Conc Rez38
4
AxiomA supliment mAtemAtic-nr.38 20 CONCURSUL REZOLVATORILOR 3) CLASA a V-a 1. Fie A o mulţime de numere naturale cu proprietăţile: , dacă aparţin mulţimii A atunci şi numărul aparţine mulţimii A 1)Arătaţi că A 2)Arătaţi că dacă este un numar natural cu proprietatea că orice număr mai a 0 A 1 A b a,b 2a 3b 0,1,2,3....9,10 n mic decît el aparţine mulţimii A atunci şi aparţine mulţimii A 3)Justificaţi dacă aparţine mulţimii A n 2010 Dragos Moldoveanu, Sinaia 2. Impartind un numar natural de patru cifre distincte la suma cifrelor sale obtinem catul 332 si restul un numar patrat perfect de doua cifre. Stiind ca restul si impartitorul sunt numere naturale consecutive, determinati deimpartitul. Concursul ,, Generaţia 15’’, Ploieşti, 2010 3. Ordinea crescătoare a numerelor: 15 18 ; 4 10 2 54 ; 7 162 este ... . Concursul ,, Generaţia 15’’, Ploieşti, 2010 4. Să se calculeze restul împărţirii numărului a = 5 n + 4 ∙ 3 n + 1 + 5 n + 1 ∙ 3 n + 3 -15 n la 2009, () n N. E. Blăjuţ, Bacău 5. Să se afle restul împărţirii numărului a = 8 + 8 2 + 8 3 + ... + 8 2010 la 117. E. Blăjuţ, Bacău 6. Într-o cutie sunt 2010 bile numerotate de la 1 la 2010. Care este numărul minim de bile extrase fără a privi în urmă pentru a fi siguri că printre bilele extrase se află cel puţin trei bile care au proprietatea că suma numerelor corespunzătoare bilelor (numerele cu care sunt numerotate bilele) este un număr care se împarte exact la 3. Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 7. Dintr-o fântână trebuiau pompate 300 găleţi de apă. Pompa scoate 180 găleţi de apă pe oră din care 30 găleţi se scurg înapoi în fântână. În câte ore se scot cele 300 de găleţi de apă? Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 8. O urnă conţine bile roşii, galbene şi albastre. Se ştie că 46 de bile nu sunt roşii, 38 de bile nu sunt galbene şi 22 de bile nu sunt albastre. Care este numărul minim de bile care trebuie extrase fără a privi în urnă pentru a fi siguri că se extrag cel puţin 5 bile de aceeaşi culoare? Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 9. Într-un bloc de locuinţe sunt apartamente cu 2, 3 şi 4 camere. Ştiind că sunt 26 de apartamente cu 2 şi 4 camere care au în total 68 de camere, iar numarul apartamentelor cu 3 camere reprezintă 2 3 din numărul apartamentelor cu 2 camere, să se afle câte camere sunt în total în acest bloc. Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 3) Se primesc soluţii pana la 25 martie 2011
description
matematica
Transcript of Conc Rez38
AxiomA supliment mAtemAtic-nr.38
20
CONCURSUL REZOLVATORILOR 3) CLASA a V-a 1. Fie A o mulţime de numere naturale cu proprietăţile:
,
dacă aparţin mulţimii A atunci şi numărul aparţine mulţimii A
1)Arătaţi că A2)Arătaţi că dacă este un numar natural cu proprietatea că orice număr mai
a 0 A 1 A
b a,b 2 a 3 b
0,1,2,3....9,10n
mic decît el aparţine mulţimii A atunci şi aparţine mulţimii A3)Justificaţi dacă aparţine mulţimii A
n2010
Dragos Moldoveanu, Sinaia 2. Impartind un numar natural de patru cifre distincte la suma cifrelor sale obtinem catul
332 si restul un numar patrat perfect de doua cifre. Stiind ca restul si impartitorul sunt numere naturale consecutive, determinati deimpartitul.
Concursul ,, Generaţia 15’’, Ploieşti, 2010 3. Ordinea crescătoare a numerelor: 1518 ; 410 254 ; 7162 este ... .
Concursul ,, Generaţia 15’’, Ploieşti, 2010 4. Să se calculeze restul împărţirii numărului a = 5n + 4 ∙ 3n + 1 + 5n + 1 ∙ 3n + 3 -15n la 2009,
() n N. E. Blăjuţ, Bacău
5. Să se afle restul împărţirii numărului a = 8 + 82 + 83 + ... + 82010 la 117.
E. Blăjuţ, Bacău 6.
Într-o cutie sunt 2010 bile numerotate de la 1 la 2010. Care este numărul minim de bile extrase fără a privi în urmă pentru a fi siguri că printre bilele extrase se află cel puţin trei bile care au proprietatea că suma numerelor corespunzătoare bilelor (numerele cu care sunt numerotate bilele) este un număr care se împarte exact la 3.
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 7. Dintr-o fântână trebuiau pompate 300 găleţi de apă. Pompa scoate 180 găleţi de apă pe
oră din care 30 găleţi se scurg înapoi în fântână. În câte ore se scot cele 300 de găleţi de apă?
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 8. O urnă conţine bile roşii, galbene şi albastre. Se ştie că 46 de bile nu sunt roşii, 38 de
bile nu sunt galbene şi 22 de bile nu sunt albastre. Care este numărul minim de bile care trebuie extrase fără a privi în urnă pentru a fi siguri că se extrag cel puţin 5 bile de aceeaşi culoare?
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 9. Într-un bloc de locuinţe sunt apartamente cu 2, 3 şi 4 camere. Ştiind că sunt 26 de
apartamente cu 2 şi 4 camere care au în total 68 de camere, iar numarul apartamentelor cu 3 camere reprezintă 2
3 din numărul apartamentelor cu 2 camere, să se afle câte
camere sunt în total în acest bloc. Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010
3) Se primesc soluţii pana la 25 martie 2011
AxiomA supliment mAtemAtic-nr.38
21
CLASA:a VI-a 1. Pe latura AB a triunghiului isoscel ABC în care [AB] ≡ [AC] iar m(A) = 72º, se iau
punctele D şi E astfel încât ACD ≡ DCE ≡ ECB şi fie EF, F (BC) bisectoarea unghiului BEC. Să se demonstreze că AF CE.
E. Blăjuţ, Bacău 2. a) Calculati 1022 si 10022 ; arătaţi că există pătrate perfecte care au ultimele 12 cifre
egale cu 00…04 b) Arătaţi că dacă nN*, atunci numărul nnA 4112540964 are ultimele 12 cifre egale cu 00…04 , dar nu este patrat perfect .
Concursul ,, Generaţia 15’’, Ploieşti, 2010 3. O echipă de muncitori poate termina singură o lucrare în 20 zile, alta în 15 zile, a treia în
12 zile. Dacă cele 3 echipe lucrează împreună, atunci vor termina întreaga lucrare în... Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010
4. Să se afle ultimele trei cifre ale numărului 77 76 75 747 7 7 7n . Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010
5. Notăm cu S suma numerelor naturale care împărţite la 5 dau restul 1 şi sunt cuprinse între 105 şi 302. Numărul natural S este egal cu…
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 6. Determinaţi suma elementelor mulţimii X, ştiind că mulţimile X şi Y verifică simultan
condiţiile: 2; 4; 6; 8; 10X Y
4;8X Y
suma elementelor mulţimii Y este mai mare decât 26 şi mai mică decât 30. Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010
7. George, Paul şi Bogdan au primit împreună un premiu de 2011 lei. Dacă ar fi primit
fiecare mai mult cu respectiv 53, 61, 59, sumele ar fi fost proporţionale cu numerele 3, 4, 5. Cât a primit fiecare?
Mariana Mitea, Cugir 8. Fie punctele coliniare A, B, C în această ordine astfel încât AC=108cm.Dacă M (AB)
şi )(BCN astfel încât AMMB 31 şi NBNC 3 , lungimea segmentului MN
este egală cu...cm. Concursul ,, Generaţia 15’’, Ploieşti, 2010
9. Să se determine numerele prime distincte a, b, c ştiind că verifică relaţia ab + bc + ca + 67abc = 2041
E. Blăjuţ, Bacău 10. Determinaţi cel mai mic număr natural x cu proprietatea că numerele x, x+1 şi x+2
sunt divizibile cu 13, 12 respectiv 11. Gabriel Tica, Băileşti
11. Detreminaţi numărul natural x astfel încât suma 1 2 33 3 3 3x x x xS să aibă 16096 divizori.
Mihail Focşeneanu, Ploieşti
AxiomA supliment mAtemAtic-nr.38
22
CLASA: a VII-a 1. În exteriorul trapezului isoscel ABCD, în care baza mare AB este congruentă cu diagonala
BD şi m(DAB) = 75º se construieşte triunghiul echilateral ABE. Dacă {N} = DE ∩ AB, să se demonstreze că DBE este dreptunghic isoscel iar BCDN este paralelogram.
E. Blăjuţ, Bacău 2. Determinati numerele abcd cu a<b<c<d , stiind ca
1 1 1 1[a;b] [b;c] [c;d] 18
unde [m;n]
este cel mai mic multiplu comun al numerelor m si n. Cristinel Mortici, Targoviste
3.
Să se afle câte numere naturale de forma 2 3 5a b cA au proprietatea că
4 / 2 2 2a b c , unde , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9a b c .
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 4. Să se determine n şi numerele de trei cifre x abc , scrise în baza zece, astfel încât
să aibă loc egalitatea 1 2 3 ...x n . Concursul,, Cristian Calude-Barajul 1’’ Galaţi,2010
5. Fie dreptunghi ABCD, P(BD), M (CP, astfel ĩncât PM=CP, ME AD, EAD, MFAB, FAB. Arătaţi că: a) AM şi BD sunt paralele; b) E, F, P sunt coliniare .
Saraolu M, Saraolu C.- Rm. Vâlcea 6. Să se calculeze numărul:
a = 6777...7771444...444888...888333...333111...11120092010201020102010
E. Blăjuţ, Bacău 7. Se consideră numerele naturale , ,x y z cu proprietatea 18 13 23 158x y z .
Aflaţi cea mai mare valoare posibilă a sumei S x y z . Care sunt numerele , ,x y z în acest caz?
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 8. În paralelogramul ABCD, diagonalele formează un unghi cu măsura egală cu 30 , iar
23
ACBD
. Fie 'B simetricul lui B faţă de AC şi 'C simetricul lui C faţă de BD. Aflaţi
raportul dintre aria triunghiului ' 'AB C şi aria lui ABCD. Mariana Saraolu, Constantin Saraolu, Rm. Vâlcea
9. Aflaţi numerele de forma abc , care verifică simultan condiţiile: a) dau restul 5 la împărţirea cu 9; b) a b c acb 2 şi
7 7sunt numere naturale.
Nicolae Stănică, Brăila 10. Aflaţi maximul expresiei 2 2,E x y x y , unde 3 5, ,y x x y . Pentru ce
valori reale x şi y se atinge valoarea maximă a expresiei ,E x y ? Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010
AxiomA supliment mAtemAtic-nr.38
23
CLASA: a VIII-a 1.
Să se afle cel mai mic număr natural k astfel încât numărul 20103 k să fie divizibil cu 40.
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 2.
Să se rezolve sistemul de ecuaţii 4 2 3 3 6 16 42 2 2 6
10 5 34 4 8 11 02 6 2 2
x y x yx y y xy x y x
x y y x
în mulţimea
numerelor reale. Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010
3. Să se determine numerele naturale xy , scrise în baza zece, cu proprietatea 2xy yxyx
.
Concursul,, Cristian Calude’’ Galaţi,2010 4. Sa se demonsteze inegalitatea:
2009220082007
12008265
16243
14221
122 10042222
Simona Tudor, Sinaia 5. În planul triunghiului ABC dreptunghic în A se construieşte pătratul BCC′B′ astfel
încât punctele A şi B′ sunt de o parte şi de alta a dreptei BC. Punctele D,E,F şi G sunt mijloacele segmentelor BC, CC′, B′C′ şi B′B. Paralelele prin D şi E la dreptele AB, respectiv AC se intersectează în M, iar paralelele prin F şi G la dreptele MD, respectiv ME se intersectează în P. Pe planul triunghiului ABC se ridică perpendiculara AT. a) Demonstraţi că punctele M şi P aparţin planului bisector al unghiului diedru format de planele (TEB) şi (TAC). b) Arătaţi că MP2 = 2·AB2
Simona Tudor, Sinaia ;Gheorghe Bumbăcea, Buşteni 6. Să se determine numerele prime distincte a, b, c ştiind că verifică relaţia
ab + ac + bc + 1979 = 67abc. E. Blăjuţ, Bacău
7. Fie AD bisectoarea unghiului BAC din triunghiul ABC, AB AC. Să se determine
măsura unghiului BAC ştiind că ADACAB
211 .
E. Blăjuţ, Bacău 8. Să se rezolve ecuaţia:
,
Mariana Mitea, Cugir
