conc rez37 24-30

Axioma supliment matematic-nr.37

24

CONCURSUL REZOLVATORILOR 3) CLASA a V-a 1. Se dă numărul 2004432 3...3333 B .

a.Să se arate că B se divide cu 13; b.Precizaţi alţi 4 divizori primi ai lui B; justificaţi răspunsul dat.

Anghel Dafina, O.L.M. Prahova,2004 2. Se consideră mulţimea M formată din toate numerele de patru cifre abcd cu

proprietatea că 442cdab . a) Care este cardinalul acestei mulţimi? b) Stabiliţi câtul şi restul împărţirii celui mai mare element din M la cel mai mic

element din M. Mihail Focşeneanu, O.L.M ,2002

3. Se dă numărul yzxzxyxyzA . Arătaţi că dacă 23 divide A, atunci A are două cifre identice.

Ioana Craciun şi Gh. Crăciun , O.J.M. Prahova,2002 4. În mulţimea {1,2,3,4,…,n} , 123 de numere se divid cu 2, dar nu se divid cu 4, iar 62 de

numere se divid cu 4, dar nu se divid cu 8. Să se afle n. Vasile Şerdean, Concursul,, Grigore Moisil’’, 2008

5. Sa se determine toate numerele naturale nenule, care, împarţite la 17, dau câtul egal cu restul si, împarţite la 23, dau, de asemenea, câtul egal cu restul.

Constantin Apostol, Rm. Sarat, Concursul ,, Congruente’’, 2010 6.

Se dau numerele : x = [3121 : 960 +(5 3 )2 : (52 )2] : 22 si y =102 :{ 23+34:[(2 32)2 :18 – 170 12008]} Să se arate că : a) x + y = 11 ; b) x2008 + 2008y nu este pătrat perfect

O.L.M. Vrancea, 2008 7. Pe o tablă sunt scrise numerele naturale de la 1 la 1000. Elevii A si B şterg pe

rând, începând cu A, câte un număr. Pierde elevul care este obligat sa steargă primul un multiplu al lui 2 sau un multiplu al lui 5. Care elev câstigă , A sau B? Justificaţi răspunsul.

O.L.M. Vrancea, 2008 8. Aflaţi x din egalitatea:

24-165: { [ (35 : x + 2) : 9 + 251 : 3210 ] : (274 : 311) + 10 } = 1

Nicolae Bivol, O.L.M. Olt,2008 9. Determinaţi numărul cuprins între 1200 şi 1600 care împărţit pe rând la 21, 24, 28 şi

36 dă de fiecare dată restul 18. Maria şi Anton Negrilă, O.J.M. Prahova,1997

10 Se consideră numărul cabbcaabcn . a) Arătaţi că numărul n se divide cu 111. b) Determinaţi n, dacă prin împărţire la 110 dă restul 26.

Dragos Moldoveanu, O.L.M . Prahova,2001 3) Se primesc soluţii pana la 25 ianuarie 2011


25

CLASA:a VI-a 1. Lungimile laturilor unui triunghi sunt a, b, c. Ştiind că 222 ,, aabbbccac sunt

direct proporţionale cu a, c, b, să se arate că triunghiul este echilateral. Vasile Şerdean, Concursul,, Grigore Moisil’’, 2008

2. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE sunt adiacente şi cu interioarele disjuncte astfel

încât punctele A, O şi E sunt coliniare. Măsurile unghiurilor AOB, BOC, COD, DOE formează respectiv cu patru numere naturale nenule consecutive, rapoarte egale. Să se demonstreze că două dintre unghiuri sunt complementare.

Cecilia Solomon,O.L.M. Galati 2009 3. Demonstraţi că pentru orice 37 de numere naturale, nenule putem găsi 7 numere cu

suma divizibilă cu 7. Constantin Bărăscu, Râmnicu Vâlcea, O.L.M.2009

4. Fie multimile A = 115/ nNn se divide cu 17} B = 57/ nNn se divide cu 17}

a) Determinati cel mai mic element al multimii A. b) Stabiliti valoarea de adevar a propozitiilor urmatoare: P1) Orice numar natural care da restul 8 la impartirea cu 17 este element a lui A. P2) Multimile A si B au cel putin un element comun.

Gabriela Boroica, O.J.M Maramures,2008 5. a) Scrieţi numerele 14 şi 142 ca sumă de trei pătrate perfecte.

b) Arătaţi că orice putere naturală a lui 14 se poate scrie ca o sumă de trei pătrate perfecte.

I. Lupea şi I. Tomescu, O.J.M. Prahova ,2002 6. a) Arătaţi că există un multiplu de 1998 care are suma cifrelor 1998.

b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii numărului A = 2n+5 27n+1 + 63 2n+1 33n+2 la 1998, unde n N.

Nicolae Angelescu,O.J.M. Prahova,1998 7. Fie unghiurile AOB, BOC, COD adiacente două câte două care au suma măsurilor lor

de 1500 şi îndeplinesc condiţiile: ba

BOC)m(AOB)m(

unde a, b şi c sunt numere naturale

prime care verifică relaţia 3a+b+6c =51. Dacă [OM şi [ON sunt bisectoarele unghiurilor BOC, respectiv COD, aflaţi măsura unghiului MON.

Ion Tomescu, O.L.M. Prahova,1996

8. Fie a, b, c numere raţionale pozitive astfel încât:

bac

cab

cba

.

Arătaţi că expresia: accb5

baac3

cbba2

reprezintă un număr natural.

Gheorghe Achim,O.L.M. Prahova,1998


26

CLASA: a VII-a 1. In exteriorul dreptunghiului ABCD se construiesc patratele ADEF, ABGH. Daca M este

mijlocul segmentului GE, calculati masurile unghiurilor triunghiului MBD. Concursul,, Al. Cojocaru’’, Roman,2006

2. Pe latura AB a triunghiului ABC se ia un punct D astfel încât 52

DBAD .

Fie O pe DC astfel încât 37

ODOC şi E intersecţia dreptelor AC şi BO, iar M intersecţia

dreptelor BC şi AO. Să se calculeze aria triunghiului DME. Vasile Serdean, Concursul,, Grigore Moisil’’, 2008

3.

Se dau numerele:

201020092008

20081...

987

71

654

41

3211

a

20091...

6731

6721

6711

b

Să se arate că inversul numărului a-b este un număr natural divizibil cu 670.

Gheorghe Bumbăcea, Buşteni, Concursul interjudeţean „Discipolii lui Lazăr”, 2010, Ploieşti 4. Ştiind cǎ

20093

20081

20071

20061

cba

, să se arate că

20099

20082

20071

2006

c

cb

ba

a .

Daniela Badea, Ploieşti,2009- Concurs Generaţia 15 5. În ABC fie M mijlocul laturii AB şi N mijlocul laturii AC . Pe latura BC se

consideră punctele P şi Q , P BQ astfel încât ,BP PQ şiQC sunt direct

proporţionale cu numerele 1, 2 şi 4. AP MN F , AQ MN G .

a) Aflaţi valoarea raportului MFGN

.

b) Demonstraţi că GP NQ . c) Arătaţi că GP NQ .

Constantin Dragomir, Concursul ,, Pitagora’’,2008 6. a) Câte numere naturale sunt mai mari sau egale decât 2k şi mai mici decât 12k ?

b) Se consideră 2008 numere naturale nenule cu proprietatea că suma inverselor lor este mai mare sau egală cu 11. Arătaţi că cel puţin două dintre cele 2008 numere sunt egale.

Artur Bălăucă, Botoşani, Concursul ,, Pitagora’’2008 7. Fie ABCD un paralelogram. Notăm cu M punctul in care se intersectează bisectoarele

unghiurilor A şi D şi cu N punctul in care se intersecteaza bisectoarele unghiurilor B şi C. a) Calculati masura unghiului AMD; b) Demonstraţi că MN||AB.

O.L.M. Arges,2008


27

8. În ABC, bisectoarele unghiurilor ABC şi ACB se intersectează în punctul I. Paralela prin

I la BC taie pe AB în M şi pe AC în N. Dacă P şi Q sunt puncte pe latura BC, astfel încât

IP ││ AB şi IQ ││ AC, arătaţi că punctele A, I, R sunt coliniare, unde {R}=MP NQ.

Paunescu Constantin, Urziceni, Concursul,, Grigore Moisil’’, 2009 CLASA: a VIII-a 1.

În cubul ABCDA’B’C’D’ se consideră T un punct pe (AO) unde O este centrul feţei BCC’B’. Aflaţi unghiul dintre dreptele D’B şi B’T.

Ioana Craciun ,Gheorghe Craciun, O.L.M. Prahova 2009 2. Se consideră un dreptunghi ABCD cu AB = 2 şi BC = 3 . Punctul M aparţine laturii

AD astfel că MD = 2AM şi punctul N este mijlocul segmentului AB. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara MP şi alegem punctul Q pe segmentul MP astfel încât măsura unghiului planelor (MPC) şi (NPC) să fie de 45o, iar măsura unghiului planelor (MPC) şi (QPC) să fie de 60o. a) Să se arate că dreptele DN şi CM sunt perpendiculare. b) Să se arate că punctul Q este mijlocul segmentului MP.

Gheorghe Bumbăcea, Buşteni O.J.M.,2007 3. Se dă un paralelipiped dreptunghic având dimensiunile L,l,h. Să se arate că acest

paralelipiped este cub dacă şi numai dacă (L·l)2+(L·h)2+(h·l)2=L·l·h(L+l+h).

Ioana Crăciun , Gheorghe Crăciun - G.M. 12/2001 4. Pe planul triunghiului isoscel ABC ( [AB] [AC] ) se duce perpendiculara în G

(centrul de greutate ) şi se ia pe acesta un punct D . Fie punctul N [AB] astfel încât

NBAN =

27 ; prin N se duce un plan ││ (DBC) care intersectează DG în Q .

a.Stabiliţi valoarea raportului GDGQ .

b.Determinaţi m( ( , (ABC))) ştiind că DG = 3

AM , unde M este mijlocul lui

[BC]. Codeci Daniel. O.L.M Arges,2008

5. Aflaţi x Z astfel încât

2x1x3 N.

*** 6. Fie numărul natural ab2,0a2b,02ba,0A . Determinaţi cifrele a şi b, cu a

< b. Concursul,, Stefan Dartu’’,2008

7. Dacă ),2[,,, dcba şi ,16 dcba atunci .403333 dcba D. S. Marinescu, I. Şerdean Concursul ,, Trident’’,2009

8. Fie x, y, z , astfel încât: 2x – y + 2 0 şi y – z – 5 0 şi z - 2x + 3 0.

Arătaţi că 2x + 2y-3z = 13.

Paunescu Constantin, Urziceni, Concursul,, Grigore Moisil’’


28

Concursul de matematică „Prietenii lui Pitagora” Clasa a V-a, 29 mai 2010

Subiecte propuse de prof. Adelina Monica Apostol Subiecte: I. Pe foaia de concurs completaţi spaţiile libere cu răspunsurile corecte:

1. Se dă şirul: 32

; 73

; 134

; 215

; ... Al 2010-lea termen al şirului este ...

2. Dacă x şi y sunt numere naturale nenule astfel încât 5xy + x =88, atunci y2: x este egal cu ...

3. Ultima cifră a numărului 666 +

527 este ... 4. Scrierea numărului 1·2·3·4 ······ 101 conţine un numar de ... zerouri. II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problemă umpleţi cerculeţul de la varianta corectă. 5. Câte numere pare de 6 cifre conţin în scrierea lor numarul 2010? a) 900 ; b) 235 ; c) 185 ; d) 190 ; e) 260 6. Limbile unui ceasornic cu minutar formează pe parcursul unei zile un numar de unghiuri obtuze egal cu : a) 696 ; b) 672 ; c) 600 ; d) 720 ; e) 760 7. Dacă abab - 2300 = 9 ab atunci ba este egal cu: a) 47 ; b) 25 ; c) 74; d) 52 ; e) 75 III. Pe foaia de concurs asociaţi fiecărui număr din coloana A raspunsul corect din coloana B 8. Dacă A = {21; 22; 23; ... ; 260} B = {41; 42; 43; ... ; 460} C = {81; 82; 83; ...; 820} atunci :

A B 1. card (A B C ) este egal cu ... a. 30 2. card (A–C) este egal cu ... b. 40 3. card (A B) este egal cu ... c. 60 4. card ( B C ) este egal cu ... d. 20 e. 10 9. Se dau ecuaţiile: 30(x)= 15; 21(y)= 9; 205(z)= 23 si 110(t)= 42. Atunci bazele de numeratie x; y; z respectiv t sunt:

A. B. 1. x a. 2 2. y b. 6 3. z c. 5 4. t d. 3 e. 4

10. Un teren agricol a fost cultivat astfel: 18

din teren cu floarea soarelui; 27

din rest cu

porumb; 35

din noul rest cu grau si 100 hectare cu cartofi. Atunci:

A. B. 1. suprafaţa cultivată cu grâu este a. 100 ha 2. suprafaţa cultivată cu porumb este b. 500 ha 3. suprafaţa terenului este c. 50 ha


29

4. suprafaţa cultivată cu floarea soarelui este d. 150 ha e. 400 ha Clasa a VI-a Subiecte: I. Pe foaia de examen completaţi spaţiile libere cu răspunsurile corecte:

1. Dacă 5n 37n 5

şi n este număr natural, atunci numărul n poate lua un numar de …

valori distincte.

2.Ecuaţia x2 y16 2 1025

x2 are în mulţimea un număr de … soluţii.

3. Numărul 10,(0x)

+ 10, 0(0x)

este pătrat perfect dacă x este egal cu …

4.Se dau în plan şapte puncte, oricare trei dintre ele necoliniare. Câte triunghiuri cu vîrfurile în acele puncte există?....... II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problemă umpleti cerculeţul de la varianta corectă. 5.Dacă S= 1 + 2 + 22 + … + 22010, atunci 2(S+1) este egal cu a)22012 ; b) 22011; c) 22011- 1; d) 22012 -1; e) 22012+2 6.Dacă x, y şi z sunt cifre distincte astfel încât numerele xy ; yz şi zx sunt direct

proporţionale cu 4, 2 respectiv 5, atunci cel mai mare număr de forma xyz este egal cu: a) 654 ; b) 564; c) 568; d) 645; e) 658 7.Se consideră ABC cu m( A)=900 şi AB = 2AC. Atunci măsura unghiului C este: a)mai mare decât 680; b) mai mică decât 670; c) egală cu 67030’; d) mai mica decât 680; e) mai mica decât 67030’ III Pe foia de concurs asociaţi fiecărui număr din coloana A răspunsul corect din coloana B. 8.Andrei, Bogdan şi Cristi cumpără nuci. Andrei a cumpărat o treime din numărul nucilor, Bogdan a cumpărat o treime din numărul nucilor rămase. Cristi a cumpărat o treime din numarul nucilor rămase. Ştim că au mai rămas 600 nuci. A B 1. În total au fost a. 300 nuci 2. Andrei a cumpărat b. 450 nuci 3. Cristi a cumpărat c. 2025 nuci 4. Bogdan a cumpărat d. 675 nuci e. 2050 nuci

9.Tatăl are pasul de 34

m; mama de 35

m şi fiul de 12

m. Toţi trei parcurg împreună un drum

şi fac împreună 9000 paşi. Atunci: A B

1. lungimea drumului este a) 3500 2. numărul paşilor mamei este b) 2400 3. numărul paşilor fiului este de c) 3000 4. numărul paşilor tatălui este de d) 3600 e) 1800


30

10.Un unghi are măsura de 400. A B

1. Jumătatea suplementului său are măsura a) 1600

2. Triplul complementului său are măsura b) 800 3. Bisectoarea unghiului formează cu adiacentul c) 700 său suplementar un unghi de … 4.O cincime din înzecitul său are măsura d) 1500

e) 900 Clasa a VII-a I. Pe foaia de concurs completaţi spaţiile libere cu răspunsurile corecte: 1. Dacă x2+y2+2 3 x - 200 y +53 =0 unde x si y sunt numere reale atunci y2- x2 este egal cu … 2. Un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare are diagonala de 7 cm. Atunci aria trapezului este egală cu … cm2. 3. Lungimea unui dreptunghi este triplul lăţimii sale. Cât la sută din semiperimetrul dreptunghiului îl reprezintă suma dintre lungimea sa şi lăţimea acestuia multiplicată cu 17? 4. Numărul numerelor de forma xy care verifică relaţia:

0, xx(y) 0, 0y(x) 0, y = 23

este egal cu …

II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problemă umpleţi cerculeţul de la varianta corectă 5. Soluţia în a ecuatiei 9x+27y= 1458 este :

a)x 4y 2

; b)

x 2y 3

; c)

x 2y 2

; d)

x 1y 4

; e)

x 3y 2

6. Numărul real 2a 2a 2 + 2b 3 + 6 3c 2c 10 unde a; b; c sunt numere reale este, pentru orice valoare a acestora: a) mai mic decat 5; b) mai mare decat 7; c) mai mare sau egal decat 6; d) mai mare sau egal cu 5,5; e) mai mic decit 7.

7. Daca a = 3 8 si b = 27 200 atunci media aritmetica a numerelor a si b este:

a)2; b) 3; c) 32

; d) 1; e) 12

III. Pe foaia de concurs asociaţi fiecărui număr din coloana A răspunsul corect din coloana B. 8. Dacă într-o clasa se aşează doi elevi într-o bancă, patru bănci rămân libere. Dacă mai vin 5 elevi şi toţi elevii se aşează câte 3 în bancă atunci 7 bănci vor rămâne libere. A B 1. Numărul băncilor este a) 33 2. Numărul iniţial al elevilor a fost b) 18 3. Numărul elevilor în final a fost de c) 28 4. Dublul numărului băncilor este d) 14 e) 36

conc rez37 24-30

Documents

Transcript of conc rez37 24-30