Capitolul V

160

V.4 Comparatoare de fază

Comparatoarele de fază utilizate în buclele PLL pot fi clasificate în trei categorii generale: 1. circuite de tip multiplicator, 2. circuite secvenţiale, 3. detectoare cu eşantionare şi memorare.

CF de tip multiplicator dau la ieşire un semnal analogic provenit din produsul semnalului aplicat la intrare cu semnalul dat de OCT, care este mediat cu un FTJ, pentru a extrage componenta de pe frecvenţa diferenţă. În această categorie intră: multiplicatoarele analogice în 2 şi 4 cadrane, detectoarele sincrone tip poartă analogică (echilibrate, neechilibrate, modulator în inel, etc.). Caracteristica de transfer a unui CF de tip multiplicator, pentru un semnal sinusoidal aplicat la intrare, este o sinusoidă, aşa cum se arată în figura 5.27.

Dacă semnalul sinusoidal de intrare este transformat în semnal rectangular, de exemplu cu ajutorul unui limitator (figura 5.28), caracteristica de transfer a CF de tip multiplicator atacat cu semnale rectangulare devine triunghiulară (funcţia de autocorelaţie a semnalului rectangular este triunghiulară).

Dacă ambele semnale sunt rectangulare, multiplicatorul analogic degenerează într-un sumator modulo-2 (SAU-EXCLUSIV).

Avantajul principal al CF tip multiplicator este acela că permit buclei PLL să funcţioneze şi cu un semnal acoperit de zgomot. Evident, aceste CF sunt circuite fără memorie.

Din păcate, domeniul liniar al caracteristicii de transfer sinusoidale, specifice CF de tip multiplicator, este destul de restrâns (admiţând o abatere faţă de linia dreaptă de maximum 5%, obţinem un domeniu de variaţie de ±30%).

Figura 5.27 Tipuri de CF

Figura 5.28 Bucla PLL cu limitator la intrare

Figura 5.29 Caracteristici liniare extinse ale detectorului de fazǎ TAN-LOCK

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

161

O extindere a porţiunii liniare a caracteristicii de fază putem produce prin asimetrizarea ei, cu diferite metode, prezentate în continuare. De remarcat însă că în cazul buclei PLL cu CF având caracteristica sinusoidală, avem aceeaşi valoare a pantei în nulul stabil cât şi în cel instabil (figura 5.13), ceea ce nu impune nici o restricţie asupra polarităţii reacţiei, bucla selectând singură acel nul care produce reacţia negativă şi funcţionarea stabilă. Prin asimetrizarea caracteristicii de fază, cele două pante devin inegale şi trebuie luate măsuri de asigurare a polarităţii corecte a reacţiei pe întreaga buclă, astfel ca bucla să funcţioneze pe nulul stabil.

CF cu caracteristica liniară extinsă sunt: tan-lock, cu multiplicator analogic şi cu reacţie de fază; caracteristicile lor de fază fiind ilustrate în figura 5.29.

Caracteristica CF de tip tan-lock este descrisă de ecuaţia:

ϕϕ

cos1sin)1(

xxKU Dd +

+= (5.33)

factorul x luând valori între 0 şi 1. Pentru x = 0 se obţine caracteristica sinusoidală specifică comparatorului de fază tip multiplicator analogic.

Comparatorul de fază de tip tan-lock poate fi implementat în principiu conform figurii 5.30.

Operaţia de divizare poate fi realizată cu ajutorul unui multiplicator, montat în circuitul de reacţie al unui A0, cum se arată în figura 5.31. Schema prezentată în această figură prezintă limitări în ceea ce priveşte domeniul dinamic şi stabilitatea.

CF cu multiplicator analogic nu necesită circuite de divizare, caracteristica CF fiind descrisă de relaţia:

ϕϕ sin1

cos1x

xKU Dd −−

= (5.34)

El poate fi realizat pe baza schemei bloc prezentate în figura 5.32.

Deşi implementarea pune mai puţine probleme, faţă de circuitul tan-lock, domeniul liniar al caracteristicii de fază nu este prea extins (figura 5.33).

Figura 5.31 O implementare posibilă a CF tip tan-lock

Figura 5.30 Implementarea de principiu a CF tan-lock

Figura 5.32 Implementarea de principiu a CF cu multiplicator

Capitolul V

162

Extinderea domeniului liniar al caracteristicii de fază poate fi realizată şi printr-o reacţie negativă de fază, care reduce defazajul dintre cele două semnale de la intrarea CF. Reacţia se realizează cu modularea în fază a semnalului dat de OCT de către semnalul de ieşire din buclă (figura 5.34).

CF de tip circuit secvenţial extrag informaţia de fază, memorând intervalul între trecerile prin zero ale celor două semnale de la intrări. Ele sunt circuite de memorie având la bază bistabile RS şi datorită modului de extragere a informaţiei de fază nu pot tolera semnale din care lipsesc unele tranziţii, sau care prezintă tranziţii suplimentare. Din această cauză nu sunt indicate pentru procesarea semnalelor însoţite de zgomot.

Cel mai simplu tip de CF secvenţial este cel cu un bistabil RS, reprezentat în figura 5.35.

Exemplul V.4 Să se calculeze valoarea medie de c.c. a tensiunii de la ieşirea bistabilului RS..

Din asemănarea triunghiului OAB cu OCD avem (figura 5.36):

Figura 5.33 Caracteristici liniare extinse produse de schema cu multiplicator analogic

Figura 5.35 CF secvenţial cu bistabil RS

Figura 5.34 Reacţie negativă de fază Figura 5.36 Caracteristica CF tip RS

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

163

π

ϕ2

EU =

Din echivalenţa ariilor celor două dreptunghiuri se observă că valoarea medie a tensiunii de c.c. de ieşire este:

π

ϕ2

AUC = unde 0 < ϕ < 2π

iar A este ilustrat în figura 5.37.

De remarcat că spre deosebire de CF de tip multiplicator, care asigură calarea pentru φ = 900, în acest caz φ = 1800, şi pentru a avea o componentă de c.c. medie nulă, va trebui compensată tensiunea E/2 printr-un circuit de polarizare adecvat. Acest dezavantaj poate fi înlăturat folosind un circuit CF cu 2 bistabile RS, prezentat în figura 5.38.

Frontul activ al semnalului în avans de fază setează un bistabil, la ieşire apărând un impuls pozitiv sau negativ în funcţie de semnul defazajului; impulsul este resetat de frontul activ al celuilalt semnal. În acest caz tensiunea zero va apare când semnalele sunt sinfazice, ceea ce face ca acest CF să asigure calarea pentru φ = 00.

Prin introducerea unui divizor digital de frecvenţă prin N înaintea bistabilului RS, domeniul de variaţie liniară a fazei creşte de la ±π la ± Nπ, ceea ce reprezintă un avantaj faţă de CF tip multiplicator analogic cu limitator.

Un CF mai complex format din 4 bistabile RS este prezentat în figura 5.39. El este denumit detector fază-frecvenţă, deoarece când bucla nu este calată indică şi relaţia între frecvenţa semnalului de intrare şi cea a OCT (mai mare sau mai mică).

Figura 5.37 Ilustrarea funcţionǎrii CF cu bistabil RS

Figura 5.38 CF cu două bistabile tip RS

Figura 5.39 CF cu patru bistabile tip RS

Capitolul V

164

El se compune din 4 bistabile RS, câteva porţi logice şi un circuit de ieşire cu 3 stări; este întâlnit în structura CI CMOS 4046. O particularitate a acestui CF este aceea că are două ieşiri U (Up) şi D (Down), folosite pentru a încărca, respectiv descărca un condensator conectat la ieşirea CF.

Prin deschiderea tranzis-toarelor MOS cu canal p sau n, ieşirea este “trasă” la VDD sau VSS. Întrucât CF este un circuit secvenţial, acţionând pe fronturile semnalelor, semnalele de intrare şi cel dat de OCT pot avea orice coeficient de umplere.

Dacă frecvenţa fi a semnalului de intrare este mai mare decât fO a OCT, este activă ieşirea U şi tranzistorul MOS cu canal p este menţinut deschis tot timpul. În caz contrar este activă ieşirea D şi este deschis tranzistorul MOS cu canal n. Dacă semnalele au aceeaşi frecvenţă, între ele existând un defazaj, este activă una din cele două intrări (U pentru semnal de intrare în avans faţă de OCT, D pentru întârziere), însă numai pe o durată corespunzătoare defazajului.

În acest mod, tensiunea de pe condensatorul din FTJ este reglată la o valoare care permite sincronizarea ambelor semnale în fază şi frecvenţă, atingându-se un punct stabil de funcţionare. În această situaţie ambele tranzistoare MOS de ieşire, cu canal p şi n, sunt blocate, iar ieşirea CF este în starea Z, de impedanţă mare, izolând CF de FTJ, care îşi menţine tensiunea constantă. Orice variaţie a acesteia ar duce la deteriorarea relaţiei de fază şi eventual frecvenţă, iar situaţia de echilibru este restabilită conform mecanismului descris anterior. La echilibru semnalul de la ieşirea “Fază impulsuri” este pe nivel M şi poate fi folosit ca indicator de calare.

Figura 5.40 Forme de undă ilustrând funcţionarea DFF

Figura 5.41 Diagrama de stǎri logice asociată automatului secvenţial CF cu 4 bistabile tip RS

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

165

O particularitate a acestui CF este aceea că domeniul de urmărire al buclei PLL ce utilizează acest CF este egal cu domeniul de captură. Trebuie menţionat că OCT, în absenţa semnalului de intrare, este reglat pe frecvenţa sa minimă (pentru bucla PLL cu CF de acest tip). Funcţionarea CF tip detector fază-frecvenţă (DFF) poate fi înţeleasă cu ajutorul graficelor din figura 5.40 şi a diagramei de stări logice din figura 5.41. În figura 5.40, CF fiind în situaţia de calare (semnalele au aceeaşi frecvenţă), se evidenţiază 3 porţiuni:

I – semnalul de intrare defazat în avans de fază faţă de OCT

II – semnalul de intrare este în fază cu OCT; III – semnalul de intrare este defazat în urmă faţă de OCT. În figura 5.41 s-au reprezentat în cerculeţe cele 12 stări logice ce apar în funcţionarea acestui

circuit secvenţial: la numitor sunt reprezentate cele 2 stări ale semnalului de intrare (0 sau 1), respectiv OCT, iar la numărător starea în care se găseşte comparatorul. În plus, sunt evidenţiate tranziţiile prin săgeţi (0 – 1 prin ↑şi 1 – 0 prin ↓). Litera S sau C indică dacă este vorba de semnalul de intrare sau de cealaltă intrare a comparatorului (legată la OCT).

S-a presupus că tranziţiile nu pot apare simultan ci pe rând.

Stările 3, 5, 9, 11 corespund ieşirii U active (tranzistorul MOS cu canal p este deschis); stările 2, 4, 10, 12 corespund situaţiei când ieşirea este activă (tranzistorul MOS cu canal n este deschis), iar stările 1, 6, 7, 8 corespund stării când ieşirea este în starea 4 (ambele tranzistoare blocate; pentru claritate stările s-au prezentat haşurat).

Să presupunem că plecăm cu ambele semnale S şi C pe nivelul 0 (starea 1). Dacă semnalul C trece în starea 1, CF trece în starea 2 care corespunde situaţiei S = 0, C = 1 şi ieşirea D activă (Tz.MOS cu canal n deschis). Dacă S trece în 1, (tranziţie pozitivă, care apare deci în urma celei de pe C), trecem în starea 6 (S = 1, C =1), când ieşirea CF este în starea Z.

Apoi C trece în starea 0, CF trecând în starea 8, după care S trece în 0, iar CF în starea 1 iniţială. În acest ciclu tranzistorul MOS cu canal n rămâne deschis pe un interval de timp corespunzător decalajului dintre semnalele de pe intrările S şi C. În mod similar, plecând din starea 1, dacă mai întâi trece S în starea 1, CF trece prin stările 3, 6, 7 şi în final în starea 1.

Comparatorul tip DFF are caracteristica de transfer reprezentată în figura 5.42. În figura 5.43 se prezintă tensiunea de ieşire medie în funcţie de frecvenţă.

Cele mai importante trăsături distinctive ale DFF sunt: Domeniul activ de variaţie al fazei este ± 2π şi este de valoare dublă faţă de celelalte CF,

Figura 5.44 Detector de fază cu eşantionare şi memorare

Figura 5.42 Caracteristica DFF

Figura 5.43 Caracteristica tensiune-frecvenţă a DFF

Capitolul V

166

Spre deosebire de celelalte CF, caracteristica de transfer nu este periodică în ϕ, Când bucla este calată, numai una din cele două ieşiri U sau D este în stare activă,

indicând totodată sensul erorii de frecvenţă, ceea ce permite aplicarea tehnicii de achiziţie rapidă cu baleiaj de frecvenţă, asemănătoare celei cu rampă de tensiune,

În jurul punctului stabil de echilibru ϕ = 0, ambele ieşiri sunt active doar un scurt timp, producând un impuls scurt, cu coeficient mic de umplere, mai uşor de filtrat decât un semnal rectangular. La echilibru, ambele ieşiri sunt inactive.

Caracteristica sa de transfer poate prezenta distorsiuni în jurul lui ϕ = 0, deoarece bistabilele nu sunt perfect identice.

Acest CF tip DFF nu tolerează absenţa tranziţiilor din semnalul de intrare sau tranziţiile false, interpretându-le ca o pierdere a calării şi încercând să achiziţioneze.

Detectorul cu eşantionare şi memorare (DEM) este utilizat pentru semnalele ce apar în rafale scurte şi buclele PLL digitale, prezentând urmăroarele avantaje:

a. Atenuarea semnalului de intrare cu circa 80 dB, b. Domeniul activ de variaţie al fazei este de ± π. Ca dezavantaj putem menţiona că funcţionarea sa la frecvenţe mai înalte devine dificilă, datorită

vitezei limitate de comutaţie a circuitului de eşantionare şi diafoniei introduse de capacităţile parazite şi impedanţa ridicată a circuitelor. Schema DEM este prezentată în figura 5.44, iar funcţionarea sa poate fi urmărită pe formele de undă din figura 5.45.

Figura 5.45 Forme de undă ilustrând funcţionarea DEM

Figura 5.46 O implementare posibilă a detectorului cu eşantionare şi memorare

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

167

Generatorul de curent constant şi condensatorul CS produc o tensiune în dinte de fierăstrău, perioada acestui semnal fiind egală cu cea a semnalului de intrare, care produce descărcarea condensatorului C prin intermediul comutatorului de la intrare şi determină reluarea procesului. Circuitul de eşantionare va stroba semnalul în dinte de fierăstrău, la momentele dictate de OCT, valoarea eşantionului fiind memorată de condensatorul C.

Când bucla este calată, OCT determină eşantionarea la mijlocul dintelui de fierăstrău. Orice eroare de fază face ca OCT să eşantioneze la stânga sau la dreapta poziţiei optime, determinând scăderea sau creşterea amplitudinii eşantionului şi implicit a tensiunii de eroare, care prin mecanismul de reacţie negativă menţine bucla în calare. O implementare practică este prezentată în figura 5.46.

V.5 PLL digital

O buclă PLL digitală se bazează pe structura reprezentată în figura 5.47. Detectorul de fază digital este urmat de un acumulator şi un oscilator cu control digital al tensiunii. Deşi unele blocuri componente ale buclei PLL analogice pot fi digitale, de exemplu CF, bucla PLL digitală este caracterizată de următoarele:

Faza semnalului generat variază discret (nu continuu ca la bucla PLL analogică); Semnalul de eroare apare nu sub formă analogică ci digitală. O formă de implementare mai complexă a buclei PLL digitale este prezentată în figura 5.48,

operaţiile digitale fiind efectuate de un procesor de semnal. Avantajul ei principal este acela că semnalul poate fi înregistrat sub formă digitală şi procesat acolo şi unde dorim.

O formă mai simplă, echivalentă cu un PLL analogic neliniar de ordinul 1 este prezentată în figura 5.49. Ea constă dintr-un circuit de eşantionare, un divizor prin N şi un oscilator de frecvenţă constantă.

Semnalul de intrare este eşantionat, polaritatea sa determinând avansul sau întârzierea fazei oscilatorului cu o perioadă de tact (±3600/k). Bucla se calează pe frecvenţa fi = f0/k iar caracteristica CF rezultă de tip rectangular (reglaj tip bang-bang). La trecerea contorului prin zero se generează un impuls de eşantionare.

Un exemplu de CI de acest tip este SN 74LS297, care este prezentat în figurile 5.50 şi 5.51. Lungimea k a contorului este programabilă digital, prin intrările A, B, C, D, ceea ce permite varierea domeniului de captură şi a timpului de achiziţie a buclei. Schema bloc detaliată este prezentată în figura 5.51.

Figura 5.47 Implementarea buclei PLL digitale

Figura 5.49 O buclǎ PLL digitală simplă

Figura 5.48 Implementare complexă a buclei PLL digitale

Capitolul V

168

Factorul de divizare este prezentat în tabelul V.1. Funcţia de divizare este dezactivată dacă pinii A, B, C şi D sunt toţi pe nivelul logic L. Factorul de divizare variază între 23 şi 217.

In figura 5.52 este dată schema conexiunilor capsulei (diagrama de pini).

Figura 5.50 Schema bloc simplificată a circuitului integrat SN 74LS297

Figura 5.51 Schema bloc detaliată a circuitului integrat SN74LS297

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

169

V.6 Funcţia de transfer a buclei PLL

Să considerăm o buclă PLL, având schema bloc reprezentată în figura 5.53. Fie puterea semnalului

de intrare A2 – waţi, de unde rezultă valoarea de vârf A2 , iar semnalul poate fi scris ca:

θ(t)A sin2 . Semnalul de ieşire al OCT este e(t),

frecvenţa OCT este: ω0 = k0 e(t), ω0 – pulsaţia liberă de oscilaţie a buclei. Atunci putem scrie:

)()(00

'

tekdt

td+= ω

θ (5.35)

Semnalul x(t) de la ieşirea CF este: [ ] [ ]{ }(t)θθ(t)(t)θθ(t)Ak(t)θθ(t)Akx(t) ''

d'

d ++−== sinsincossin2 (5.36)

iar semnalul e(t) de la ieşirea filtrului este:

0)()()()()()()(0

00

0 ≥−+=−+= ∫∫ tduutfuxteduufutxtetett

(5.37)

unde s-a presupus semnalul aplicat la intrare la momentul t = 0. Termenul e0(t) este răspunsul filtrului pentru intrare zero, care depinde numai de condiţiile iniţiale

(la t = 0) şi pentru un filtru stabil el tinde la zero când t tinde la infinit; f(t) este răspunsul la impuls al filtrului buclei. În continuare tratarea urmează [Gardner, 1965].

Din ecuaţiile de mai sus rezultă:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−−++= ∫ duuuuuAkutftekdt

td t

d ))]()(sin())()([sin()()()( ''

0000

'

θθθθωθ

Figura 5.52 Diagrama de pini

Figura 5.53 Schema bloc a buclei PLL

TABELUL V.1 – Factori de divizare pentru 74 LS297 D C B A MODULO (K) L L L L Blocat L L L H 23

L L H L 24

L L H H 25

L H L L 26

L H L H 27

L H H L 28

L H H H 29

H L L L 210

H L L H 211

H L H L 212

H L H H 213

H H L L 214

H H L H 215

H H H L 216

H H H H 217

Capitolul V

170

Presupunând condiţiile iniţiale ale filtrului zero şi că termenul pe frecvenţa sumă este înlăturat, avem:

duuuAkutfkdt

td t

d )]()(sin[()()( '

000

'

θθωθ

−−+= ∫ (5.38)

Definind: dkkk 0= (5.39)

şi eroarea de fază:

)()()( ' ttt θθφ −= (5.40) avem:

dt

tddt

tddt

td )()()( 'θθφ−= (5.41)

∫ −−−=t

duuutfAkdt

tddt

td

00 )(sin)(

)()(φω

θφ (5.42)

Se poate elimina ω0 introducând notaţiile:

⎩⎨⎧

−=

−=

ttt

ttt

0'

21

01

)()(

)()(

ωθθ

ωθθ (5.43)

∫ −−=t

duuutfAkdt

tddt

td

0

1 )(sin)()()( φ

θφ (5.44)

)()()( 21 ttt θθφ −= (5.45) Din ultimele ecuaţii rezultă modelul neliniar din

figura 5.54.Dacă φ(t) = 0, bucla este cu faza calată. Dacă φ(t) < 1 radian se poate aproxima

)()(sin tt Φ≈Φ şi pentru φ < 300 eroarea este mai mică de 5%. S-a obţinut modelul liniar din figura 5.55 eliminându-se neliniaritatea introdusă de sinφ(t).

Ecuaţia ce descrie funcţionarea buclei este:

dt

tdduuutfAk

dttd t )(

)()()( 1

0

θφ

φ=−+ ∫ (5.46)

Presupunând existenţa transformatelor Laplace:

0)(Re)()(~

0)(Re)()(~

0

011

≥=

≥=

−∞

−∞

∫

∫

sdtets

sdtets

st

st

φφ

θθ (5.47)

Ecuaţia (5.46) devine:

)(~)(~)()(~1 ssssAKFss θφφ =+ (5.48)

unde F(s) este funcţia de transfer a filtrului liniar, iar ec.(5.48) poate fi reprezentată de schema bloc din figura 5.56. Din relaţia (5.48) rezultă:

)(~/)(1

1)(~1 s

SsAKFs θφ

+= (5.49)

Figura 5.56 Schema bloc a buclei PLL

Figura 5.54 Modelul neliniar al buclei PLL

Figura 5.55 Modelul liniar al buclei PLL

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

171

Din relaţia (5.45) avem:

)(~/)(1

/)(/)(1

11)(~)(~)(~)(~1112 s

SsAKFSsAKF

SsAKFssss θθφθθ

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−= (5.50)

Notând

SsAKF

SsAKFsH/)(1

/)()(+

= (5.51)

aceasta este funcţia de transfer în buclă închisă şi putem scrie deci:

)(~)()(~12 ssHs θθ = (5.52)

)(~)](1[)(~

1 ssHs θφ −= (5.53) Transformarea inversă:

0)(21)( ≥= ∫

∞

∞−

tdsesHj

thj

j

st

π (5.54)

este răspunsul la impuls în buclă închisă. Din punct de vedere al stabilităţii este necesar pentru H(s) ca zerourile lui 1+Ak F(s)/s (polii lui

H(s)) să se afle în semiplanul stâng. Executând transformata Laplace inversă avem:

∫∫ −=−=tt

duutuhduuutht0

10

12 )()()()()( θθθ (5.55)

∫∫ −−==−−=Φtt

duutuhtduuutht0

120

1 )()](1[)()()](1[)( θθθ (5.56)

V.6.1 Bucla PLL de ordinul I Cazul cel mai simplu este acela al buclei PLL de ordinul I când F(s) = 1 – bucla nu are filtru.

Atunci fie: 0)( θωθ += tt (5.57) 0001 )()()( θωωωθθ +−=−= tttt (5.58) Dacă momentul iniţial al aplicării semnalului este t = 0,

ss

s 02

01 )(~ θωω

θ +−

= (5.59)

AKsAKsssssAK

s+

++−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

= 0002

01 )(/1

1)(~ θωωθωωφ (5.60)

Făcând transformata inversă:

( ) AktAkt eeAK

t −− +−−

= 00 1)( θ

ωωφ

][)(lim 0 radAk

tt

ωωφ

−=

∞→ (5.61)

Deci bucla asigură sincronizarea pe frecvenţa semnalului de intrare, dar nu poate asigura calarea de fază, ea funcţionând cu această eroare de regim permanent φ (figura 5.11).

Capitolul V

172

V.6.2 Bucla PLL de ordinul II

Dacă se introduce un FTJ cu un singur pol se obţine o buclă de ordinul II. Fie F(s) = 1 + a/s funcţia de transfer a filtrului trece jos, obţinut din legarea în paralel a unui integrator ideal cu amplificarea a, cu semnalul de intrare:

sasF += 1)( (5.62)

AakAkss

asAk

sasAk

sasAk

sH++

+=

++

+

= 2

2

2 )(

1)( (5.63)

AakAkss

sssAakAkss

sssHs+++−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++

=−= 2000

20

2

2

1 )(~)](1[)(~ θωωθωωθφ (5.64)

Folosind teorema valorii finale:

0)(~lim)(lim0

==→∞→

sstst

φφ (5.65)

Se observă că prin introducerea celui de-al doilea integrator în buclă s-a eliminat eroarea de regim permanent în cazul când semnalul de intrare este o sinusoidă de frecvenţă constantă.

Pentru un filtru trece jos uzual, de tip RC:

ssCR

sCR

sCsF11

11

11

11

1

)(τ+

=+

=+

= (5.66)

Akss

Ak

ssAk

ssAk

sH++

=

++

+=

12

1

1

)1(11

)1(1

)(τ

τ

τ (5.67)

Ea poate fi pusă sub forma canonică:

1

1

12

1

1

1

2

1

2

121

++=

++=

ξAks

τAks

ωsξ

ωs

H(s)

nn

(5.68)

unde

2/1

11 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

τω Ak

n (5.69)

1nω - pulsaţia naturală (fn – frecvenţa naturală) a

buclei.

2/1

11

121

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Akτξ (5.70)

Figura 5.57 Schemă de integrator

Figura 5.58 Filtru RC

Figura 5.59 Locul rădăcinilor pentru bucla PLL

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

173

ξ - factorul de amortizare. Funcţia de transfer în buclă deschisă a buclei PLL este pentru A = 1,

)1(

)(

1ssk

sskF

τ+=

Ea are 2 poli: s = 0 şi 1

1τ

−=s , iar cea în buclă închisă are şi două zerouri la infinit, datorită lui s.

Locul rădăcinilor începe (amplificare zero) de pe polii FT în BD şi se sfârşeşte (amplificare infinită) pe zerourile FT în BD (figura 5.59). Întrucât polii se deplasează unul spre altul pe semiaxa negativă (0 şi 1/1 τ− ) şi se întâlnesc în ( 12/1 τ− ), devin o pereche complex conjugată şi se

deplasează spre infinit pe verticala de abscisă ( 12/1 τ− ). Se observă din locul rădăcinilor:

Pe măsură ce amplificarea buclei k creşte, pentru un 1τ dat, partea imaginară a polilor

creşte, frecvenţa naturală fn creşte, iar bucla devine tot mai puţin amortizată (ξ scade). Dacă constanta de timp a filtrului 1τ creşte, partea reală scade, frecvenţa naturală şi

amortizarea se reduc. Bucla poate deci intra în oscilaţii susţinute

fie dacă amplificarea buclei este prea mare, fie dacă constanta de timp a filtrului e prea mare.

Problema stabilităţii poate fi eliminată folosind o buclă imperfectă de ordinul 2, cu un filtru de tipul celui prezentat în figura 5.60.

Filtrul pasiv este mai simplu şi dă satisfacţie în majoritatea aplicaţiilor. Cel activ necesită un A0 cu amplificare mare în c.c., dar asigură o urmărire mai de calitate a buclei.

Dacă amplificarea este foarte mare funcţiile de transfer în buclă deschisă devin:

)(1

11)(

1/1

/1)(21

2

21

2

21

21 ττ

τ++

+=

+++

=++

+=

ss

RRsCsCR

sCRRsCRsF (5.71)

1

2

1

2

1

22

11/1)(

ττs

ssCR

sCRR

sCRsF

+=

+=

+= (5.72)

Riguros, 12

22 )1(1

)1()(

sCRAsCRsCRA

sF−+++

= (5.73)

Funcţiile de transfer în buclă închisă devin:

)()/()1()/()1(

)1()()1(

)](1[11

)](1[1

)(

212122

212

2212

2

21

2

21

2

1

ττττττττ

ττττ

τττττ

τ

+++++++

=

=++++

+=

+++

+

+++

=

AkAksssAk

AkAksssAk

sssAk

sssAk

sH (5.74)

112

212

122

122

2 ///1(

11

1

)(τττ

ττ

τττ

τ

AkSAkssAk

ssAk

ssAk

sH++

+=

++

+

= (5.75)

care pot fi puse sub forma:

Figura 5.60 FTJ pentru bucla PLL de ordinul 2 imperfect

Capitolul V

174

22

2

22

22

1 2)/2(

2)/2(

)(nn

nnn

nn

nnn

ssAKs

ssAks

sHωξω

ωξωωωξω

ωωξω++

+=

+++−

= (5.76)

unde

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

AkAk

Akn

121

2

2/1

21

2/1

21

τττ

ξ

ττω

(5.77)

pentru filtrul pasiv.

Pentru filtrul activ,

22

2

2 22

)(nn

nn

sss

sHωξω

ωξω++

+= (5.78)

Figura 5.61 Caracteristici de transfer ale buclei PLL pentru diverşi ζ

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

175

iar

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2/1

1

2

2/1

1

2 ττ

ξ

τω

Ak

Akn

(5.79)

Se observă că H1(s) = H2(s) dacă ωn/Ak << 2ξ în bucla PLL cu filtru pasiv, iar bucla îndeplineşte

funcţia unui FTJ, filtrând semnalul de intrare (figura 5.61). Semnalul de eroare al buclei este:

22

2

1 2)(1

)()(

nn ssssH

ss

ωξωθφ

++=−= (5.80)

şi este reprezentat în figura 5.62 pentru ξ = 0,707. Caracteristica are alură de FTS, ceea ce indică că bucla PLL poate urmări variaţii lente ale fazei,

dar nu poate urmări variaţii rapide. Pentru filtrul pasiv:

)/1()/1(

11

/1/1)(

222

21

2

ττττ

ττ

++

=+

+=

+++

=

sss

sCRRsCRsF

Fie 2

1τ

=a

şi τ

ε 1= .

Mai departe presupunem pe 2 /τ τ

înglobat în A.

ετ

τ++

=s

assF 2)(

AakAkss

asAk

ssasAk

ssasAk

ssAkFssAkFsH

++++

=

++

+

++

=+

=)()(

)(1

)(/)(1

/)()( 2 εε

ε (5.81)

AakAkss

sssH+++

+=−

)()(1 2

2

εε

(5.82)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+++

+=⋅−=

ssAkaAkssssssHs 0

20

21 )()()(~)(1)(~ θωω

εεθφ (5.83)

Valoarea sa de regim permanent este:

aAkAka

sstst

εωωωωεφφ 00

0

)()(~lim)(lim

−=

−==

→∞→ (5.84)

Figura 5.62 Modulul lui 1 – H(s)

Capitolul V

176

deci redusă cu / aε în raport cu valoarea corespunzătoare pentru bucla de ordinul I. În tabelul V.2 sunt rezumate toate aceste cazuri. În plus, se mai consideră cazul unui semnal

recepţionat, a cărui frecvenţă variază liniar cu timpul, de tipul:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∫

t

dzRzAts0

0)(sin2)( θω (5.85)

unde R – viteza de variaţie a frecvenţei în rad/sec/sec.

TABELUL V.2 Eroarea de regim permanent a buclelor PLL Faza semnalului recepţionat

θ(t)

Ordinul buclei

Funcţia de transfer a filtrului

F(s)

Funcţia de transfer în buclă închisă

H(s)

Eroarea de fază în regim permanent

]rad[)t(limt

φ∞→

ωt + θ0 1 1

AksAk+

Ak

0ω−ω

ωt + θ0 2 1 + a/s

AkaAkss)as(Ak

2 +++ 0

ωt + θ0 2

imperfect ε++

sas

Akas)Ak(s)as(Ak

2 +ε+++

Aka0ω−ωε

02 tRt

21

θ+ω+ 2 1 + a/s AkaAkss)as(Ak

2 +++

aAkR

02 tRt

21

θ+ω+ 3 2sb

sa1 ++

bAkaAksAkss)bass(Ak

23

2

+++++ 0

V.7 Probleme

V.1 Circuitul reprezentat în figura 5.63 este un circuit de translare a frecvenţei.

a. Demonstraţi că în situaţia de calare, OCT oscilează fie pe frecvenţa fi – fT , fie pe fi + fT.

b. Ce măsuri ar trebui luate pentru ca să se asigure calarea pe frecvenţa dorită şi nu pe simetrica ei în raport cu f0.

V.2 Fie o buclă PLL cu comparator de faza de tip multiplicator şi frecventa libera de oscilatie f0, atacată de un semnal PSK, pe frecvenţa purtătoare f0, Ce semnal se obţine la ieşirea FTJ dacă:

a. FTJ este de bandă largă? b. FTJ este de bandă îngustă?

V.3 Pentru schema de multiplicator de frecvenţă reprezentată în figura 5.64, arătaţi că dacă este îndeplinită condiţia de calare, OCT oscilează pe frecvenţa k fi.

Figura 5.64 Circuit de multiplicare a frecvenţei

Figura 5.63 Circuit de translare a frecvenţei

CIRCUITE DE CALARE A FAZEI

177

V.4 Se dă schema unui transponder coerent, folosit pentru măsurarea deviaţiei Doppler, reprezentată în figura 5.65. El recepţionează un semnal cu frecvenţa fr şi retransmite un semnal pe frecvenţa ft, ce satisface relaţia: ( / )t rf m n f= cu m şi n numere întregi. Să se arate că pentru schema dată:

4 1 2 3/ /( )t rf f M M M M= ± ± unde M1, M2, M3 şi M4 sunt factorii de multiplicare ai frecvenţelor. V.5 Se aplică un semnal cu frecvenţa liniar variabilă

fin(t) = f1 + Δf . t la intrarea unei bucle PLL, cu filtrul din figura 5.66. Calculaţi:

a. Funcţia de transfer F(s) a filtrului; b. Funcţia de transfer H(s) a buclei PLL; c. Eroarea de fază de regim permanent εp(t) la ieşirea buclei.

V.6 Fie schema de achiziţie rapidă, cu rampă de tensiune, reprezentată în figura 5.22. Cum decurge funcţionarea buclei, dacă la intrare avem un semnal sinusoidal de frecvenţă constantă iar semnalul în dinte de fierăstrău nu este deconectat după ce s-a sesizat situaţia de calare?

V.7 O buclă PLL lucrează cu filtrul din figura 5.67.

Calculaţi: a. Funcţia de transfer F(s) a filtrului; b. Funcţia de transfer H(s) a buclei PLL; c. Eroarea de fază de regim permanent εp(t) la ieşirea

buclei, dacă la intrare se aplică semnalul : ]coscos[)( 00 ϕωω ++= tAtts mm .

V.8 O buclă PLL lucrează cu filtrul din figura 5.68. Calculaţi:

a. Funcţia de transfer F(s) a filtrului; b. Funcţia de transfer H(s) a buclei PLL; c. Eroarea de fază de regim permanent εp(t) dacă la intrare se

aplică un semnal cu frecvenţa liniar variabilă fin(t) = f1 + Δf .t.

Figura 5.65 Schema unui transponder coerent

Figura 5.66 Filtru trece jos

Figura 5.68 Alt FTJ

Figura 5.67 Alt filtru trece jos

Capitolul V

178

V.9 O buclă PLL lucrează cu filtrul din figura 5.69. Calculaţi: a. Funcţia de transfer F(s) a filtrului; b. Funcţia de transfer H(s) a buclei PLL; c. Eroarea de fază de regim permanent εp(t) la ieşirea

buclei dacă la intrare se aplică semnalul: ]coscos[)( 00 ϕωω ++= tAtts mm .

V.10 O buclă PLL lucrează cu filtrul din figura 5.70. Calculaţi:

a. Funcţia de transfer F(s) a filtrului; b. Funcţia de transfer H(s) a buclei PLL; c. Eroarea de fază de regim permanent εp(t) la ieşirea buclei, dacă la intrare se aplică semnalul:

]coscos[)( 20 ttts mωπω ⋅+= .

V.11 O buclă PLL lucrează cu filtrul din figura 5.71.

a. Calculaţi funcţia de transfer F(s) a filtrului; b. Determinaţi constanta a astfel încât câştigul filtrului la frecvenţa RCπ2/1 să fie de –3 dB.

V.12 Fie bucla PLL din figura 5.72a, filtrul FTJ fiind reprezentat în figura 5.72b iar OCT-ul are câştigul k0.

a. Să se scrie funcţia de transfer a modelulului liniar al buclei PLL, cu semnificaţia mărimilor ce o compun.

b. Să se calculeze F(s) pentru filtrul din figura 5.72b.

c. Să se scrie funcţia de transfer 1( ) / ( )v s sθ

d. Considerăm că semnalul de intrare )(tsi este un semnal modulat MF cu semnalul modulator

x(t) care are banda limitată la frecvenţa de tăiere a filtrului F(s), iar deviaţia de frecvenţă este Δf. Cât este în acest caz v(t)? (Observaţie – se lucrează în domeniul frecvenţelor joase).

Figura 5.70 Filtru trece jos Figura 5.71 Alt filtru trece jos

Figura 5.69 Filtru trece jos

Figura 5.72 Buclă PLL