8/19/2019 Clasa _VIII-a_Tema_8_30.01.2016.pdf

1/3

  Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2015-2016 1https://2015cjemcta.wikispaces.com/home 

Tema 8 –  DISTANTE IN SPATIU.

30.01.2016  

Prof. Gr. I PIRVU MIHAIȘcoala gimnazială nr. 43 “Ferdinand” Constanta 

1.  Consideraţii teoretice. 1.1. Distanţa de la un punct la o dreaptă. 

Definiţia 1. Fie un punct A, o dreaptă d şi fie punctul H proiecţia

or togonală a punctului A pe dreapta d. Distanţa de la punctul A la dreapta d  este

distanţa dintre punctele A şi H. 

Teoremă 1. Distanţa de la un punct la o dreaptă este cea mai scurtădistanţă de la acest punct la oricare punct al dreptei. 

Teorema 2. Două dre pte paralele sunt echidistante.Teorema 3. Dacă punctele A şi B sunt echidistante   fată de punctele P şi Q,

atunci dreapta AB este mediatoarea   segmentului de dreaptă [PQ]. 

Definiţia 2. Distanţa dintre două drepte necoplanare a şi b este egală cudistanţa dintre punctele de intersecţie determinate pe perpendiculara comună a

dreptelor date.

1.2.  Distanţa de la un punct la un plan. Definiţia 3. Fie un punct A, un plan π şi fie punctul H proiecţia ortogonală

a punctului A pe planul π. Distanţa de la punctul A la planul π  este distanţa dintre

 punctele A şi H. 

Definiţia 4. Planul mediator  al unui segment de dreaptă este planul

 perpendicular pe segment, dus prin mijlocul segmentului.Teorema 4. Distanţa de la un punct la un plan este cea mai scurtă distanţă

de la acest punct la oricare punct al planului.

Teorema 5. Două plane paralele sunt echidistante. 

Teorema 6. Orice punct al planului mediator al unui segment de dreaptă

este echidistant   faţă de capetele segmentului de dreaptă. 

https://2015cjemcta.wikispaces.com/homehttps://2015cjemcta.wikispaces.com/homehttps://2015cjemcta.wikispaces.com/home

8/19/2019 Clasa _VIII-a_Tema_8_30.01.2016.pdf

2/3

2 Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2015-2016https://2015cjemcta.wikispaces.com/home 

2.  Probleme propuse.

2.1. Fie pătratul ABCD cu M ∈ (CD) şi N ∈ (AB), [AN]≡[NB]. In exteriorul pătratului ABCD se construiesc pătratele CMEF şi DMIH . Dacă NP ⊥(ABC), NP = AB = a, săse calculeze distanţele de la punctul P la centrele de greutate ale ∆ AHF şi ∆ BHF.

 Mihai Pîrvu 

2.2. Arătaţi că centrele feţelor unui cub sunt vârfurile unui octaedru, iar centrele feţelor unui

octaedru sunt vârfurile unui cub.

[5]

2.3. In piramida regulată VABC , fie punctele M ∈ (VA), VA = 4∙  VM şi N ∈ (BC), [BN]≡[NC  ].

Dacă VO⊥(ABC), O∈ (ABC), să se demonstreze că MN trece prin mijlocul înălţimii [VO] .[2]

2.4. Fie unghiul diedru cu măsura mai mică de 900 format de planele α şi β  , segmentul [ AB] astfel

încât  A∈  α şi B∈   β  şi fie  M  mijlocul segmentului [ AB]. Distanţa de la A la muchia diedrului esteegală cu 3√  5cm, distanţa de la M  la planul β  este egală cu 2,5cm şi distanţa de la B la planul α esteegală cu 6,(6)cm. Să se determine distanţa de la punctul M  la muchia diedrului şi tangenta unghiului

 plan al diedrului. Antonio Zahariade

2.5. Dreptunghiul ABCD cu AB = a şi  BC = a√  3 se îndoaie după diagonala BD astfel încât

(ABD)⊥(CBD). Dacă E  este mijlocul segmentului [BC], aflaţi poziţia punctului N, N ∈ (BD),astfel încât ∆ NAE să fie isoscel.

 Nicolae Deceanu 

2.6 . Triunghiul ABC  este inscris într -un cerc şi fie D un punct oarecare al cercului. Dacă dreapta 

 DE este perpendiculară pe planul cercului şi M, N, P sunt proiecţiile punctului E pe dreptele AB, BC

şi respentiv AC, să se demonstreze că : 

a) 

dacă M = B, atunci P = C ; b)M, N şi P sunt coliniare ; 

 b)  dacă  M  este mijlocul laturii [AB], atunci BN ∙  CP = CN ∙  AP.  Alecu Pascalnâi 

2.7 . Fie ∆ ABC cu m∢ (BAC)= 900 şi m∢ (ACB)= 150 , care se „îndoaie” triunghiul după înălţimea

[ AD], D∈ (BC),  AD = 1m, astfel încât pr (ABD)C = B. Să se calculeze d[D, (ABC)], d[B, (ACD)] şiraportul dintre aria ∆ ABC înainte de „îndoire” şi după „îndoire”. 

 Mihai Pîrvu 

2.8.  Fie A, B, C, D  puncte necoplanare astfel încât AB = 8, AC = 2√  11, AD = 10 şi 

 BD = BO = DO = 6, unde O este mijlocul segmentului [ DC ]. Dacă N  şi T  sunt mijloacele

segmentelor { AD] şi respectiv [ BC ] , să se afle : 

a) 

d[C,(ABD)] ;b) d[A,(BCD)]; c) m∢ (AC;BD); d)NT. Paraschiva Nicolau 

2.9. Fie punctele necoplanare A, B, C, D, astfel încât m∢ (BCD)= 900 , BC = 30cm,

CD = 40cm , m∢ [AC;(BCD)] = 600 şi [AB]≡[AD ]. Planul determinat de centrele de greutate ale

∆ ABC, ∆ ACD şi ∆ BCD este perpendicular pe planul ( BCD). Să se determine distanţa de la punctul

 A la planul ( BCD).

G.M.B. 5-6/1998 

https://2015cjemcta.wikispaces.com/homehttps://2015cjemcta.wikispaces.com/homehttps://2015cjemcta.wikispaces.com/home

8/19/2019 Clasa _VIII-a_Tema_8_30.01.2016.pdf

3/3

  Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-2015-2016 3https://2015cjemcta.wikispaces.com/home®copyrightVasile Arsinte 

2.10. Fie diedrul dre pt determinat de pătratele ABCD şi ABEF cu AB = 1cm. Se consideră cercul 

 (O,  ) tangent dreptei EF,astfel încât C,D ∈  (O,  ). Să se determine lungimea razei   , distanţa

de la punctul O la planul (ABC) şi aria proiecţiei plăcii circulare [  (O,  )] în planul (ABC). Mihai Pîrvu 

2.11. Cubul ABCDEFGH  este secţionat cu un plan α  ce include CE, astfel încât aria secţiunii să

fie minimă. Dacă AB = a (cm), deter minaţi distanţa de la dreapta DH  la dreapta CE şi aria secţiunii

minime în cub. 

[5]

2.12.  Fie prisma regulată ABCDEF cu AD >AB = a (cm), (AM bisectoarea ∡  BAD , M ∈ (BE), şi(BN  bisectoarea ∡  EBC, N ∈ (CF). Dacă (MAC)∩(ABN) = [AP  , să se determine :

a) d(AP;BE); b) d(BC;AP); c) d[B, (ACP)].

 Mihai Pîrvu 

2.13. In  prisma r egulată ABCDEFA1 B1C 1 D1 E 1 F 1  cu AA1 = AB = a , notăm (ADD1 )∩CE 1 = {P},

(CEE 1 )∩AD1 = {Q} şi AF ∩  BC = {T}. 

a) Să se demonstreze că  PQ⊥(ABD); b) Să se determine d(T,PQ) şi aria ∆ PQT.

c) Să se calculeze d[F,(PQT)].

 Mihai Pîrvu 

2.14.  Fie tetraedrul regulat ABCD, AB = a şi M ∈ (BC), [BM]≡[MC]. Dacă N ∈ (BD), astfel încât

lungimea AN +MN este minimă, să se determine :a) poziţia punctului N; b) lungimea segmentelor  AN şi MN; c) d[D.(AMN)] .

 Mihai Pîrvu 

 Informaţie utilă : Am ataşat acestei teme 14 fişiere, create special pentru cei pasionaţi de studiul

geometriei 3D. Pentru folosirea fişierelor ataşate, ce conţin figuri 3D în format .ggb , vă rog să vă

instalaţi pe calculator sau laptop sau smartphone, sofware-ul GeoGebra , care se bazează pe limbajul

de programare LaTex şi în acest sens, accesaţi link -ul : http://www.geogebra.org/cms/download .

Apoi veţi salva fişierele, le puteţi deschide şi după o oarecare acomodare cu comenzile din meniu,

veţi avea un mijloc modern de studiu. Folosind aceste exemple create de mine, puteţi să vă creaţi

 propriile imagini 2D sau 3D. Pentru eventuale informaţii suplimentare, vă pot ajuta pe e-mail.Să aveţi un studiu „excelent” !

Bibliografie:

[1] Liviu Nicolescu, VladimirBoskoff –  Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București,1990. 

[2] Colectia Gazeta Matematică, seria B, I.S.S.N. 1584-9333. 

[3] Ion Tiotioi şi colaboratorii  –  Probleme de matematică publicate In R.M.I., 364p., Editura Starr Tipp,

Slobozia, 2012, ISBN-978-606-8171-57-9.

[4] Ivanca Olivotto, Eleonora Feru –  Cum găndim problemele de geometrie, Editura Ara, Bucureşti, 1994. 

[5] Stere Ianus, Marcel Tena  –  Probleme de geometrie, E.D.P., Bucuresti, 1983.

 Address of the author:

Pîrvu Mihai 

Școala gimnazială nr. 43 „Ferdinand” Constanţa 

 E-mail : mykemath@yahoo.com 

https://2015cjemcta.wikispaces.com/homehttp://www.geogebra.org/cms/downloadhttp://www.geogebra.org/cms/downloadhttp://www.geogebra.org/cms/downloadhttp://www.geogebra.org/cms/downloadhttps://2015cjemcta.wikispaces.com/home