CIRCUITE PLL - comm.pub.ro 12 PLL01.pdf · nu are importanţă în modul de tratare a circuitului;...

Transmisiuni Analogice şi Digitale; Circuite

CIRCUITE PLL

Circuitul PLL(Phase Locked Loop) - 1932

Conceput pentru implementarea unui procedeu de realizare a recepţiei sincrone a

unui semnal de radiofrecvenţă modulat în amplitudine.

Realizarea sa sub formă de circuit integrat, (analogică sau digitală, DPLL) a

permis o largă aplicare a circuitului pentru:

• demodularea semnalelor MF în prezenţa perturbaţiilor

• realizarea sintetizoarelor de frecvenţă,

• realizarea sincronizării de bit la transmisiuni cu MIC etc.

Configuraţia circuitului PLL:

Structură simplă dar analiza completă a circuitului necesită tratarea funcţionării sale

neliniare care, în condiţiile în care semnalul aplicat la intrare este însumat cu

zgomot, conduce la dificultăţi majore.

Fig. 1 Structura circuitului PLL

Transmisiuni Analogice şi Digitale; Circuite PLL

2

1. Principiul de funcţionare şi elementele componente ale PLL

faza unui oscilator propriu, numit oscilator comandat în tensiune (OCT), esteobligată să urmărească faza unui semnal aplicat la intrare.

Oscilatorul comandat în tensiune (OCT) = un oscilator MF, de semnalul decomandă, c(t), şi având la ieşire semnalul, d(t).

Se poate scrie:

(t)]+t[X2-=d(t) rr

oϕωsin (1)

în care :

• fr=ωr/2π este frecvenţa centrală a OCT = valoarea medie a frecvenţei

instantanee;

• ϕr(t) - modulaţia de fază a OCT.

• Xo - este amplitudinea semnalului a(t) precizat mai departe

Observaţii:

• Pentru amplitudinea lui d(t) a fost aleasă o valoare convenabilă calculelor;

nu are importanţă în modul de tratare a circuitului;

• Frecvenţa centrală, fr, este egală cu frecvenţa de oscilaţie liberă, fro, dacă

semnalul de comandă c(t) este nul.

Legea de funcţionare a OCT este:

c(t)Kttωt r 3ror =-)](+[dd

ωϕ (2)

• Aici K3[rad/s⋅V] = panta OCT, măsurată în zona liniară a caracteristicii.

Amplificatorul şi filtrul de buclă (AFB):

• Factorul de transfer, K2F(s) unde K2 este câştigul amplificatorului.

• In majoritatea aplicaţiilor funcţia F(s) există şi F(0)=1;

• Filtrul este de tipul TJ; în general are o configuraţie simplă.

• Se notează : {F(s)} =(t)h f-1L (3)


3

Detectorul de fază (DP)

• are la cele două intrări:

- Un semnal extern

(t)]+t[X=a(t) iio ϕωcos (4)

Observaţie: amplitudinea Xo nu joacă nici un rol, deoarece semnalul a(t)

ajunge la intrarea DP după o limitare.

- semnalul d(t) furnizat de OCT.

• Semnalul de la ieşire depinde monoton de eroarea de fază:

(t)-(t)+)t-(=(t) ririe ϕϕωωϕ (5)

• Variante de realizare detector de fază:

1. circuit de multiplicare analogic,

2. sumator modulo 2 cu limitare prealabilă,

3. medierea ieşirii unui bistabil comandat de fronturile semnalelor

limitate.

1. Pentru circuitul de multiplicare analogic se poate scrie

(t)]+(t)+)t+[(K--(t)K=a(t)d(t)K=b(t)

riri1

e11

ϕϕωω

ϕ

sinsin

(6)

După AFB :

(t)K=b(t) e1 ϕsin (7)

Caracteristică sinusoidală (figura 2-a).

Dacă ωi=ωr, (circuit PLL la sincronism) pentru |ϕe(t)|<<1 rad.

(t)K=b(t) e1ϕ (8)

Panta K1[V/rad] a DP poate fi definită:

[rad]V]

eϕ∆∆b[=K1 (9)


4

Fig. 2 Caracteristica detectorului de fază: a) de tip sinusoidal, b) de tiptriunghiular, c) de tip dinte de fierăstrău.

2. Sumator modulo doi precedat de circuite de limitare:

(t)][ K=b(t) e1 ϕsinarcsin (10)

Caracteristică triunghiulară (figura 2-b).

3. Medierea ieşirii unui circuit bistabil comandat de fronturile semnalelor a(t) şi d(t)

limitate:

)2)+(2k,(2k ],1)+(2k-(t)[K=b(t) ee1 ππϕπϕ ∈ (11)

Caracteristică - dinte de fierăstrău (figura 2-c)

Pentru a urmări FUNCŢIONAREA CIRCUITULUI PLL se admite la începutcă sistemul este nesincronizat, (ex. bucla este întreruptă).

Semnalul la intrarea PLL

)+t(cosX=a(t) 0iio ϕω (12)

La ieşirea OCT


5

)+t(sinX2-=d(t) 0rro

oϕω (13)

fazele ϕio şi ϕro sunt constante.

Pentru un DP cu caracteristică sinusoidală, semnalul de ieşire este

]-+)t-[(K=b(t) roioroi1 ϕϕωωsin (14)

Dacă |ωi-ωro| nu depăşeşte o anume valoare, după închiderea buclei urmează unregim tranzitoriu, până când ωr=ωi, - sincronizarea.

Semnalul d(t) devine

)+t(X2-=d(t) ri

oϕωsin (15)

la ieşirea AFB se obţine

)-(F(0)KK=c(t) rio21 ϕϕsin (16)

Pentru OCT este valabilă legea

c(t)K=-)t+(dtd

3rori ωϕω (17)

Deci:

)-(F(0)KKK=- rio321roi ϕϕωω sin (18)

Adică eroarea de fază |ϕ io-ϕr| scade atunci când |ωi-ωro| scade şi atunci

când câştigul buclei, K = K1K2K3F(0) creşte.

Se observă că diferenţa de fază tinde (aici) la de π/2 - sinfazare.

2. Ecuatia de funcţionare a circuitului PLL. Modelul liniar

Pentru circuitul PLL analizat, se consideră că semnalele a(t) şi d(t) au expresiile:

)+t(cosX=a(t) 0iio ϕω (19)

)+t(sinX2-=d(t) 0rro

oϕω (20)

semnalul b(t), este


6

(t)]+(t)+)t+[(K--(t)K=a(t)d(t)K=b(t)

riri1

e11

ϕϕωω

ϕ

sinsin

(21)

iar la ieşirea AFB rezultă

(t)(t)hKK=c(t) ef21 ϕsin⊗ (22)

Conform relaţiei (2) se poate scrie

(t)sin(t)hKKK=-+dt

(t)def321ror

r ϕωωϕ

⊗ (23)

Notând:

KKKK 321= dt(t)d(t)

.

ϕϕ =

din relaţia (20) se obţine:

(t)-(t)+)t-(=(t)(t)(t)hK=-+(t)

ririe

efrorr

ϕϕωωϕ

ϕωωϕ sin.

⊗(24)

Ecuaţiile (23) sunt ecuaţiile de funcţionare ale circuitului PLL.

Circuitul este sincronizat dacă ω i = ωr. ;

La sincronism folosind notaţia

ωωω roii -=∆ (25)

ecuaţiile (23) devin:

(t)-(t)=(t)(t)(t)hK=+(t)

rie

efir

ϕϕϕ

ϕωϕ sin⊗∆&(26)

Dacă se pune în evidenţă o componentă constantă ϕro a fazei OCT:

,-(t)=(t) 0r1 ϕϕϕ rr (27)

respectiv eroarea dinamică de fază:

(t),-(t)=(t) 1ri1 ϕϕϕ e (28)

relaţia (28) devine


7

]-(t)sin[(t)hK=+(t) ro1efi1 ϕϕωϕ ⊗∆& r (29)

Dacă prin proiectarea circuitului PLL se asigură

rad 1 |»(t)1ϕ e| (30)

şi se ţine seama că

ϕϕ⊗ rorof F(0)=(t)h sinsin (31)

ecuaţia (31) devine

ϕ

ϕϕωϕ

ro

1efroi1r

sinKF(0)--(t)(t)hKcos=+(t) ⊗∆&(34)

Din relaţia (34) se obţin ecuaţiile corespunzătoare modelului liniar al PLL în

sincronism:

(t)(t)hK=(t)-KF(0)=

elfrorl

roi

ϕϕϕ

ϕω⊗

∆

cossin

& (35)

A doua ecuaţie exprimă funcţionarea dinamică a circuitului PLL.

Eroarea constantă de fază a OCT este

KF(0) arcsin-= i

roωϕ

∆(36)

Din condiţia evidentă

1|<KF(0)

| iω∆

se determină valoarea maximă permisă pentru ∆ ω i:

|KF(0)|1=1=f2=B iiu πω

π∆∆

Bu , banda de urmărire a circuitului PLL

Banda de prindere sau banda de captură, Bc,

Calculul Bc se poate face numai prin analiza ecuaţiei neliniare.


8

3. Caracterizarea circuitelor PLL

Se consideră ecuaţia care descrie funcţionarea dinamică a circuitului PLL la

sincronism:

(t)(t)hK=(t) elfrorl ϕϕϕ ⊗cos&

Introducem transformatele Laplace

(t)}{ =(s)(t)}{ =(s)(t)}{ =(s)

ii

1e1e

1r1r

ϕ

ϕ

ϕ

L

L

L

Φ

Φ

Φ

(32)

se obţine

F(s)K+sF(s)K=

(s)(s)=H(s)

sssFKss

o

o

i

rl

riror

ΦΦ

Φ−Φ=Φ )()()((cos)( 11 ϕ

(33)

Aici:

- Ko=Kcosϕro, este câştigul modificat al buclei;

- H(s)= funcţia de transfer cu bucla închisă a circuitului PLL.

Rezultă schema bloc:

Fig. 3 Banda de urmărire (Bu) şi banda de captură (Bc).


9

Fig. 4 Circuitul echivalent modelului liniar pentru regimul dinamic.

Deschidem bucla prin întrerupererea intrării Φr1(s) şi se obţine funcţia de transfer

cu bucla deschisă (BD) a circuitului PLL:

.sF(s)K=|

(s)(s)=G(s) o

BDi

1r

ΦΦ

Se observă legătura: .G(s)+1

G(s)=H(s)

CIRCUITELE PLL se pot clasifica după ORDIN şi după TIP;

• Ordinul circuitului PLL = numărul de poli pentru G(s).

• Tipul circuitului PLL = numărul de poli în origine pentru G(s).

Tipul şi ordinul circuitului PLL sunt determinate de structura FB.

Exemplu un PLL fără filtru trece jos este de ordin 1 tip 1 iar structurile de filtreanalizate mai departe determină circuite de ordinul doi.

Abordând PLL cu diferite filtre se vor analiza următoarele aspecte:

• stabilitatea circuitului, determinată de poziţia polilor funcţiei H(s)

• parametrii funcţiei de transfer H(s),

• parametrii funcţiei de transfer determinată pentru eroarea de fază;


10

H(s)-1=(s)(s)

i

1

ΦΦe

e =(s)H

• caracteristicile de frecvenţă (H(jω) şi He(jω) - modul şi argument).

Circuit PLL fără FTJ (mai precis cu un FTJ care să permită numai eliminarea

componentelor nedorite de la ieşirea CP):

1=F(s) (34)

şi se determină

0.>K ,K+s

K=H(s) oo

o(35)

Deci circuitul este de tipul unu şi ordinul unu

este necondiţionat stabil.

Observaţie: semnul lui Ko .

Circuite PLL de ordinul 2:

Cel mai simplu filtru (figura 5-a) are funcţia de transfer

Fig. 5 Structuri de filtru trece-jos utilizate în componenţa

circuitelor PLL.


11

)(1)()(;)()(sG

sGsHssFKsG

RC,= ,s+1

1=F(s) 11

+==

ττ

Circuit PLL corespunzător de ordinul doi şi tipul unu .

Se determină

ωωξωξ

ττ

ωωξω

τ

2nn

2n

2

o2

1

21

e

2nn

2n

o2

1

o

+s2+ss2+s=

K+s+ss+s=(s)H

+s2+s=

K+s+sK=H(s)

(36)

în care

τω

1

on

K= τ

ωξ1

n1=2

Circuitul este necondiţionat stabil.

Structura de filtru din figura 5-b, are funcţia de transfer

)CR+R(= C,R= ,s+1s+1

=F(s) 211221

2 ττττ

(37

Circuit de ordinul doi şi tipul unu.

Se determină

ωωξω

ωωξωωωξ

2nn

2o

2n

2

e

2nn

2

2no

2nn

+s2+s)sK/(+s=(s)H

+s2+s+)sK/-(2=H(s)

(38)

unde

ττ

ωξτ

ω1

2on

1

on

K+1=2 ,K= (39)


Structura de filtru activ din figura 5-c ; funcţia de transfer


12

)CR+RF+R(= C,R=

,s+1s+1

F-=F(s)

21o1122

1

2o

ττττ

(40)

Este interesantă dacă câştigul Fo al AO este suficient de mare şi:

CR= C,R=s

s+1-FCRs+1

s+1F-=F(s)

2211

1

2

o1

2o

τττττ ≈

(41)

Circuit PLL de ordin doi şi tip doi.

Introducând notaţiile

ττ

ωξτ

ω1

2on

1

o2n

K=2 ,K= (42)

se determină funcţiile de transfer

ωωξ

ωωξωωξ

2nn

2

2

e

2nn

2

2nn

+s2+ss=(s)H

+s2+s+s2=H(s)

(43)


Observaţie: Nu s-a ţinut cont de elementele parazite în studiul stabilităţii;

4. Comportarea tranzitorie a circuitului PLL sincronizat

Circuit PLL este la sincronism - circuitul echivalent liniarizat în regim dinamic.

Se studiază cazurile când semnalul de intrare este modulat cu:

• salt treaptă de fază,

• salt treaptă de frecvenţă

• rampă de frecvenţă.

Rezultă:

• pentru salt treaptă de fază


13

;s

=(s)(t),=(t) ioiioi

ϕσϕϕ Φ (44)

• pentru salt treaptă de frecvenţă

s=(s) (t),=(t) 2

oioi

ωσωϕ∆

Φ∆& (45)

• pentru rampă de frecvenţă

sR=(s) (t),Rt=t) 3ii Φσϕ (& (46)

Se va determina ϕr1(t) respectiv ϕe1(t) pentru a verifica dacă este valabilă condiţia

pentru liniarizare.

Intr-o primă etapă prezintă interes valoarea finală pentru ϕe1(t)

)(= elel (t)

t∞

∞→ϕϕlim

Dacă:

• |ϕe1(∞)|<1 rad, în funcţie de parametrii buclei, tipul şi ordinul său este

posibil ca circuitul PLL să se menţină în sincronism. Este necesară

determinarea concretă a fazei ϕel(t) şi verificarea dacă |ϕel(t)|<1 rad pentru

t>0;

• |ϕel(∞)|>1 rad, modelul liniar nu este valabil şi este probabilă ieşirea din

sincronism datorită modulaţiei semnalului aplicat.

Din expresiile de mai sus se deduce o expresie generală

{1,2,3}.k ,s

=(s) ki ∈Φα

Din teorema valorii finale se poate scrie

G(s)+11(s)slim=(s)H(s)slim=)( i

0sei

0s1e ΦΦ∞

→→ϕ

Deci pentru circuit PLL de tip n rezultă

s=G(s) n0s

0s

βlimlim→→

şi βα

ϕ s=)( k-1+n

0sel lim

→∞


14

Adică:

• pentru k = n+1, ϕe1(inf) = α/ß are valoare finită;

• pentru k > n+1, ϕe1(∞) = ∞, circuitul iese din sincronism,

• pentru k < n+1, ϕe1(∞) = 0 se poate păstra sincronismul şi se poate realiza o

urmărire bună a semnalului de intrare.

Exemplu: circuit PLL de tipul doi (n=2):

♦ Pentru salt de fază (k=1) şi pentru salt de frecvenţă (k=2), eroarea finală

este nulă

Fig. 6 ϕe1(t)/ϕio pentru PLL de ordin doi şi tip doi (parametrii ξ şi ωn); ϕi(t)= ϕioσ(t).

♦ Pentru rampa de frecv. (k=3), eroarea de fază ϕe1(∞) este finită;


15

Fig. 7 ω nϕ e1(t)/∆ ω o pentru PLL de ordin doi şi tip doi la semnal modulat cu salt de frecvenţă

In ambele cazuri se constată că eroarea de fază este nulă în final.

Cu toate acestea la o alegere neconvenabilă a parametrilor ξ şi ωn este posibil, cala un moment dat o valoare mare pentru eroarea dinamică de fază ϕe1(t) ( figura 7)care să scoată circuitul din sincronism.

5. Răspunsul circuitului PLL sincronizat la semnal modulat armonic

Se presupune valabil modelul liniar al circuitului PLL sincronizat.

Pentru semnalul aplicat la intrare se consideră expresia

tcos=(t) mii ωϕϕ ∆ (47)

se obţine:

)(jH arg=), H(jarg=

|)(jH|=|,)H(j|=

)t+cos(=(t));t+cos(=(t)

mee

mr

meie

mir

eme1e

rmr1

ωθωθ

ωϕϕωϕϕ

θωϕϕθωϕϕ

∆∆

∆∆

∆

∆r

(50)

funcţiile H(s) şi He(s) sunt precizate după ordinul şi tipul buclei.


16

Din analiza diagramelor rezultă:

• dacă ωm este mai mică decât ωn, replica OCT are faza ϕr1(t) practic identică

cu faza ϕi(t) a semnalului aplicat. Eroarea de fază ϕe1(t) este de amplitudinemică;

• dacă ωm este mai mare decât ωn, modulaţia semnalului de intrare nu este

transferată semnalului furnizat de OCT iar eroarea de fază ϕe1(t) poate luavalori mari în funcţie de ∆ϕi şi parametrii circuitului.

Cu ajutorul caracteristicilor reprezentate fig. 9, se determină parametrii circuitului

în funcţie de semnalul aplicat astfel încât eroarea de fază să ia valori acceptabile.

O eroare de fază mică face ca semnalul la ieşirea OCT să fie similar semnalului de

intrare.

Fig. 8 Caracteristica de amplitudine a funcţiei de transfer H(jx), x=ω/ωn, pentrumodelul liniar al circuitului PLL , având FB din figura 5-a.

Fig. 9 Caracteristica de amplitudine a funcţiei de transfer He(jx),x=ω/ωn, pentru modelul liniar al

circuitului PLL cu FB din fig. 5-a.


17

Semnalul de comandă a OCT fiind proporţional cu derivata fazei ϕr1(t), serealizează demodularea semnalelor modulate în frecvenţă, prin extragerea

semnalului c(t).

6. Funcţionarea neliniară; Intrarea în sincronism

Notăm semnalul aplicat circuitului PLL la momentul t=0

ωωϕ

ϕωω

ioiio

ioiroo

+t=(t)0,t),+t+t(cosX=a(t)

∆

≥∆(48)

iar semnalul la ieşirea OCT

t(t)],+t[X2-=d(t) roro

o∀ϕωsin (49)

unde

0t=(t)ro ≤,0ϕ (50)

Pentru DP cu caracteristică de tip sinusoidal rezultă:

(t)-(t)=(t) (t),=b(t)b(t)(t)hKK=c(t)

roioeoeo

f21

ϕϕϕϕsin⊗

(51)

Conform ecuaţiei de funcţionare a OCT, se poate scrie

KKK=K(t),(t)hK=(t) 321eofro ϕϕ sin⊗& (52)

Ţinând seama de expresia semnalului de intrare:

(t)(t)h-K=-(t) eofieo ϕωϕ sin⊗∆& (53)

Introducând operatorul de derivare p=d/dt:

(t)-KF(p)=-(t) eoieo ϕωϕ sin∆& (54)

Deoarece F(p) este un raport de două polinoame

pb+bpa+a=F(p)

1o

1o(55)

relaţia (54) poate fi rescrisă

(t)p)a+a-K(=]-(t)p)[b+b( eo1oieo1o ϕωϕ sin∆& (56)


18

Analiza prin metoda planului fazelor ),( ϕϕ & eoeo ;

Traiectoria descrisă de sistem conform ecuaţiei analizate se determină pornind din

punctul de coordonate

ϕϕϕϕ ioroio

0teo =(t)]-(t)[=(0) lim

→(73)

(t)lim=(0) eo0t

eo ϕϕ &&→

(74)

traiectoria descrisă se determină prin metoda creşterilor finite.

Punctul vecin celui de plecare are coordonatele:

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

eo0=te

e |dd

∆

∆

&&& +(0)=)t(

,+(0)=)t(

eo1eo

eoeo1eo

(75)

Fig. 10 Exemplu de traiectorie în planul fazelor (dϕeo/dt, ϕeo)


19

Se observă că pentru 0>eoϕ& deplasarea se face în sensul creşterii fazei ϕeo, iar

pentru 0<eoϕ& în sensul scăderii fazei ϕeo.

Pentru 0=eoϕ& se poate obţine o stare de echilibru stabil.

Timpul necesar deplasării dintr-un punct al traiectoriei în altul se determină prin

relaţia evidentă

ϕϕϕ

ϕ & o

)t(

)t(12

2eo

1eo

=t-te

eod∫ (76)

Exemplu: circuitul PLL de ordin 1 şi tip 1 pentru care F(s)=1.

Ţinând cont că

bo=ao=1, b1=a1=0 (77)

se obţine

ωϕϕ ieoeo +(t) -K=(t) ∆sin&

Fig. 11 Traiectoria din planul fazelor pentru circuitul PLL de ordin unu şi tip unu. a) cazul|∆ωi| < k, b) cazul |∆ ω i |> k.


20

S-a presupus:

πϕϕ 2n==(0) ioeo (78)

şi a rezultat

ωϕ ie =(0) ∆& (79)

A. | ∆ ω i | < K; punctele stabile de funcţionare:

0= 0,<dd

eoeo

eo ϕϕϕ

&&

(80)

Punctul stabil către care tinde sistemul este caracterizat de

/K)arcsin( iωπϕ ∆∞ +2n=)(eo (81)

Timpul necesar parcurgerii traiectoriei din ϕeo(0), în ϕeo(t2) este

ϕω

ϕϕ

ϕ eoi

eo)t2(eo

(0)eo2 sinK -

d=t

∆∫ (82)

Dacă limita superioară se înlocuieşte prin valoarea corespunzătoare punctului

stabil, integrala devine improprie şi rezultă t2 infinit.

Cu alte cuvinte timpul de sincronizare ts este infinit.

Timpul de sincronizare se determină considerând o vecinătate oricât de mică a

punctului de echilibru stabil

δϕϕ |<)(-)t(| eo2eo ∞ (83)

)(K)(2/2=t

eo2 ∞ϕ

δcos

ln(84)

B. | ∆ ω i | >K ; 0>eoϕ& permanent; nu există un punct de echilibru.

Circuitul PLL nu se sincronizează.

De remarcat că pentru circuitul PLL de ordin unu şi tip unu banda de urmărire este

egală cu banda de prindere în sincronism.


21

Pentru circuitele PLL de ordinul doi reprezentarea traiectoriilor din planul

fazelor nu se poate face decât cu ajutorul unui calculator numeric sau analogic.

In figura 12 este reprezentată traiectoria din planul fazelor pentru factorul de

amortizare ξ=√2/2

Reprezentarea este efectuată prin reducerea erorii de fază ϕeo în domeniul [-π,π].

Punctul stabil de echilibru corespunzător este dat de coordonatele:

0= ,2n= eoeo ϕπϕ&

şi este atins indiferent de condiţiile iniţiale.

Banda de prindere în sincronism este infinită (rezultatul trebuie încadrat condiţiilor

în care modelul adoptat este valabil)

nu depinde de câştigul K al buclei (vezi integratorul "perfect").

S-a calculat că timpul de sincronizare este:

ωξω

3n

2i

s 2=t

∆(85)

Fig. 12 Traiectoria din planul fazelor, redusă în domeniul ϕeo∈(-π,π) pentruun circuit PLL de ordin doi şi tip doi având factorul de amortizare ξ=√2/2.


22

Pentru circuitul PLL având filtrul de buclă cu funcţia de transfer cu un zero şi cu

detector de fază cu caracteristică de tip sinusoidal:

π

ωξπτ

ωξπ

K=B

,K2)21+K(2=B

u

n1

nc ≈(86)

7. Funcţionarea circuitului PLL în prezenţa zgomotului

Se consideră semnalul la intrarea circuitului PLL format din:

• semnalul util

• zgomot alb gaussian n(t) (N0)

n(t)+)+t(X=a(t) iio ϕωcos (87)

Se presupune că circuitul PLL este precedat de un FTB ideal cu frecvenţa centrală

ωi şi lărgimea benzii de frecvenţă B[Hz].

Zgomotul n(t) poate fi scris

t(t)y+t(t)x=n(t) ii ωω sincos (88)

x(t) şi y(t) sunt zgomote de joasă frecvenţă reprezentând procese aleatoare de tip

gaussian, staţionare, statistic independente, cu valoarea medie nulă şi densitatea

spectrală a puterii 2No[W/Hz] constantă în domeniul de frecvenţe f∈(0,B/2).

Procese sunt ergodice mediile temporare sunt egale cu cele statistice deci:

BN=(t)n=(t)y=(t)x o222 (89)

Circuitul PLL fiind în sincronism, semnalul furnizat de OCT este

)+t(X2-=d(t) ri

oϕωsin (90)

Semnalul obţinut la ieşirea DP ţinând cont de prezenţa AFB este


23

)(sin

sincossin

0 tnK+)-(KXx

K-Xy

K+)-(K=b(t)

1ri1

ro

1ro

1ri1

ϕϕ

ϕϕϕϕ

=

=(91)

ϕϕ ro

ro

oXx(t)-

Xy(t)=(t)n sincos (92)

Se presupune că variaţia fazei ϕr este mult mai lentă decât a zgomotelor x(t) şi y(t).

Valabil dacă B este mult mai mare ca Bz (definită mai departe).

Mediile temporare (egale cu cele statistice)

X

BN=(t)n 0,=(t)n 20

o2oo (93)

no(t) este un zgomot echivalent de joasă frecvenţă, de tip gaussian, cu valoare

medie nulă şi densitate spectrală a puterii

No/Xo2 pentru f∈(-B/2,B/2).

Relaţia

(t)nK+)-(K=b(t) o1ri1 ϕϕsin

conduce la schema echivalentă liniară a circuitului PLL în prezenţa zgomotului

c(t)

n0(t)

Fig. 13 Schema echivalentă liniară a circuitului PLL în prezenţa zgomotului.

Sumator Sumator K1K2F(p)

K3/p

ϕi(t)

ϕr(t)


24

Dacă ϕi(t)=0 atunci ϕr1(t) este datorat în exclusivitate zgomotului.

Se obţine

)j F

F 1 ωϕ

H(=(t)}n{ (t)}{

o

r

S-a considerat cosϕro≈1.

Circuitul echivalent cu factorul de transfer H(jω) fiind liniar, rezultă că ϕr1(t) estezgomot staţionar gaussian de valoare medie nulă şi densitate spectrală a puterii

Sr1(f) [rad2/Hz] pentru f∈(-B/2,B/2) dată de

|f)H(j2|XN=(f)S 2

20

or π1

Se determină valoarea medie pătratică σr12 a fazei ϕr1(t) din relaţia

BXN2df|f)H(j2|

XN=1 n2

o

o2W/2

W/2-2o

o2r ≈∫ πσ (94)

unde Bn este banda de zgomot a circuitului PLL cu definiţia

df|f)2H(j|=df|f)2j 2

0

2 ππ ∫∫∞∞

∞

H(|21=B

-n (95)

Se găsesc valorile benzilor de zgomot după cum urmează:

• circuitul de ordinul doi şi tipul unu

4K=B o

n (96)

• circuitul de ordinul doi şi tipul doi

)4+(18

=B 2nn ξ

ξω

(97)

• Circuitul de ordinul doi şi tip unu:


25

4K=B o

n (98)

• circuitul de ordinul doi şi tipul unu

])K

-(2+[18

=B 2

o

nnn

ωξξω

(99)

8. Filtru de urmărire realizat cu un circuit PLL

Un filtru de urmărire este un filtru trece-bandă a cărui frecvenţă centrală urmăreşte

valoarea frecvenţei instantanee a semnalului prelucrat.

Circuitele PLL reprezinta o modalitate foarte convenabilă pentru a implementa

asemenea filtre.

Fie un semnal care conţine componenta utilă modulată în fază

(t)]+t[X=(t)a iio ϕωcos1 (100)

datorită prezenţei zgomotului n(t) de bandă îngustă.

Extragerea semnalului util se realizează optimal, după Wiener [18] dacă se

minimizează abaterea medie pătratică dintre semnalul filtrat şi semnalul util.

Pentru circuitul PLL având semnalul a1(t) aplicat la intrare ieşirea OCT poate fi

considerată ca o variantă a componentei utile filtrată optim, dacă se minimizează

abaterea medie pătratică

(t)]-(t) 2i

21 ϕϕ r[ (101)

Folosind modelul liniar se defineşte semnalul de intrare

(t)n+(t)=y(t) oiϕ (102)

Densitatea spectrală de putere a semnalului y(t) poate fi scrisă

(t)}{ =)( );()(=)(S iy*

yyy ϕωωωω ℑΦΦΦ (103)


26

Tinînd seama că densitatea spectrală a puterii zgomotului no(t), considerată pentru

frecvenţe pozitive şi negative, este No/Xo2, rezultă funcţia de transfer optimă

)(XN

-1=)jH(y

2o

o

ωω

Φ(104)

EXEMPLE: 1. Salt de fază

(t)=(t) ii σϕϕ ∆ (105)

se obţine

XN+

2=)(S 2

o

o2i

yϕ

ω∆

(106)

Se deduce funcţia de transfer a filtrului optim

NX=B ,

B+jB=)j

o

2o

2i

oo

o ϕω

ω∆(H o (107)

Comparând cu funcţia de transfer obţinută pentru modelul liniar al circuitului PLL

de ordin unu şi tip unu, se obţine relaţia K=Bo.

Se constată că valoarea optimă K depinde de valoarea saltului de fază şi de

raportul semnal-zgomot la intrare.

La raport semnal-zgomot mic trebuie micşorat K, astfel încât banda de zgomot să

fie mai mică.

2. Salt de frecvenţă

(t)=(t)i ωσϕ ∆& (108)

se determină

XN+

4=)(S 2

o

o2

yωω

∆(109)

funcţia de transfer a filtrului optim este


27

NX=B ,

B2j+-BB2j+B=)j

o

2o2

11

221

121 ω

ωω

ωω ∆(H o (110)

Această funcţie de transfer corespunde modelului liniar al circuitului PLL de ordin

doi şi tip doi (53). Prin comparare se obţin parametrii

B= ,22= 2

12nωξ (111)

CONCLUZII:

Este evident că filtrarea optimală în sensul adoptat de Wiener poate fi făcută

pentru anume categorii de semnale de intrare, structura circuitului PLL depinzând

de semnal.

Discutând la modul general de realizarea unei curăţiri a semnalului util a1(t) dezgomotul aditiv, cu alte cuvinte de obţinerea filtrului de urmărire cu ajutorul

circuitului PLL sunt valabile următoarele recomandări:

• Cu cât ωn este mai mic cu atât banda de zgomot este mai mică, deci

efectul zgomotului micşorat.

• Valoarea frecvenţei naturale ωn nu se micşorează oricât pentru a asigura

o bandă de captură (88) corespunzătoare aplicaţiei date.

CIRCUITE PLL - comm.pub.ro 12 PLL01.pdf · nu are importanţă în modul de tratare a circuitului;...

Documents

Transcript of CIRCUITE PLL - comm.pub.ro 12 PLL01.pdf · nu are importanţă în modul de tratare a circuitului;...