1

Cap.4. Circuite în regim tranzitoriu

4.1 Circuite RC de ordinul întâi Problema rezolvată 1

Ȋn circuitul cu schema din Fig.1 întrerupătorul se află în poziţia deschis de mult timp, astfel că circuitul este în regim staţionar. La momentul t=0 se închide întrerupătorul. Să se determine: a). Variaţia în timp a tensiunii uC şi a curentului i pe intervalul t≥0 şi să se reprezinte graficele acestor funcţii. b) Energia debitatǎ de sursa de tensiune continuǎ în intervalul (0 5τ], τ fiind constanta de timp a circuitului.

Fig.1 Fig.2

Rezolvare.

a). Circuitul fiind de ord.1, tensiunea uC este dată de relaţia

[ ] +τ−

+ ≥∞−+∞= 0t,e)(u)0(u)(u)t(u/t

CCCC , (1)

în care: - uC(0+) reprezintǎ valoarea iniţială a tensiunii pe condensator, imediat dupǎ închiderea întrerupǎtoarului; - uC(∞) reprezintǎ tensiunea pe condensator după stabilirea noului regim staţionar; - τ = RThC este constanta de timp a circuitului, pe intervalul t > 0. Urmează să calculăm cele trei mărimi. 1o. Conform teoremei condiţiilor iniţiale uC(0+)= uC(0−), unde uC(0−) reprezintă tensiunea pe condensator la momentul care precede închiderea comutatorului. În acest moment circuitul este în regim staţionar şi prin urmare condensatorul este echivalent cu o întrerupere – Fig.2.

Aplicând formula divizorului de tensiune, obţinem

V6121236

123)0(uC =

+++

++=− .

2o. După stingerea regimului tranzitoriu, circuitul ajunge din nou în regim staţionar, condensatorul fiind din nou echivalent cu o întrerupere – Fig.3a.

Fig.3a Fig.3b

După ce redesenăm circuitul ca în Fig.3b, cu ajutorul formulei divizorului de tensiune, obţinem

V41236

3)(uC =

+=∞ .

3o. Considerăm circuitul la un moment arbitrar t > 0. Constanta de timp a circuitului este τ = RThC, unde RTh este rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat, văzută de la bornele condensatorului – Fig.4a.

2

Fig.4a Fig.4b

Redesenând circuitul ca în Fig.4b, se observă că

Ω=+

== k236

3.636RTh .

Constanta de timp este atunci τ = 2.103.5.10-6 = 10-2 s.

4o. Înlocuind rezultatele obţinute în rel.(1), rezultă

0t],V[e24)t(ut100

C ≥+=− .

Graficul acestei funcţii este reprezentat în Fig.5.

Fig.5

5o. Pentru calculul curentului i(t), t > 0, ne folosim de teoremele lui Kirchhoff şi de faptul că cunoaştem uC(t), t > 0.

Fig.6 Fig.7 După ce redesenăm circuitul (Fig.6) şi aplicăm TK2 pe ochiul din stânga, obţinem

0)t(i6)t(u12 C =−− ,

de unde

t100t100

Ce

3

1

3

4

6

e2412

6

)t(u12)t(i

−−

−=−−

=−

= [mA], t >0+.

Graficul i(t) este reprezentat în Fig.7 b). Puterea momentanǎ furnizatǎ de sursa de tensiune continuǎ este

( ) 0t,e44e3

1

3

412)t(iU)t(p

t100t100S >−=

−==

−− .

Energia debitatǎ de sursǎ în intervalul (0, 5.10-2 ] este atunci

3

( ) 76.0dte44W

210.5

0

t100=−= ∫

−

− [W.s].

Problema rezolvată 2

Circuitul din Fig.8 se află în regim staţionar până la momentul t=0 când se închide întrerupătorul K. Să se determine uC(t) şi i(t) pentru t ≥ 0 şi să se reprezinte grafic aceste funcţii.

Fig.8 Fig.9

Rezolvare. Paşii sunt aceiaşi ca în problema precedentă. Pornim de la relaţia

[ ] +τ−

+ ≥∞−+∞= 0t,e)(u)0(u)(u)t(u/t

CCCC

şi calculăm mărimile care intervin aici. 1o. uC(0+) = uC(0-), iar uC(0-) rezultă din analiza circuitului la momentul care precede comutaţia, când circuitul are schema din Fig.9 (regimul fiind staţionar, condensatorul este echivalent cu o întrerupere). Din figură rezultă direct

( ) 00uC =− .

2o. Schema corespunzătoare regimului staţionar în care ajunge circuitul după închiderea comutatorului K este reprezentată în Fig.10.

Fig.10

Folosind formula divizorului de tensiune, obţinem

( )( )

( )V824

18

624

63412

634uC ==

++

+=∞ .

3o. Circuitul pasivizat are schema din Fig.11a, redesenată în Fig.11b.

a). b). Fig.11

Rezistenţa Thevenin a circuitului rezistiv, faţă de bornele condensatorului, are valoarea

( )[ ] Ω==+= k461263412RTh .

4

Constanta de timp a circuitului este atunci mssCRTh 810.810.2.10.4 363====τ

−− . 4o. Înlocuind valorile obţinute în soluţia generală, rezultă

( ) [ ] 0tV,e88tut125

C ≥−=− .

Graficul acestei funcţii este reprezentat în Fig.12

Fig.12 Fig.13 5o. Pentru calculul curentului i(t), t >0, ţinem cont că la un condensator curentul şi tensiunea la borne sunt legate prin relaţia

dt

duCi C

= .

Înlocuind aici expresia determinată pentru uC(t), obţinem

( ) ( ) ( ) [ ] +−−−−

≥=−−= 0t,Ae10.2e.125.810.2tit1253t1256 .

La momentul t=0+, din această relaţie rezultă i(0+) = 2.10-3 A, iar din Fig.2 rezultă i(0-) = 0. Graficul funcţiei i(t) este reprezentat în Fig.13. Probleme propuse

1. Circuitul din Fig.14 se află în regim staţionar. La momentul t=0 se deschide întrerupătorul . Să se determine uC(t) şi i(t) pentru t>0. Reprezentaţi graficele acestor funcţii, inclusiv pe subintervalul t<0. Răspuns: uC(t)=4exp(-t/2), t≥0.

Fig.14 Fig.15

2. Aceiaşi întrebare pentru uC(t) şi i(t) din circuitul cu schema Fig.15, după închiderea întrerupătorului. Răspuns: i(t)=2+0,5exp(-t/0,27), t>0

3. Aceiaşi întrebare pentru uC(t) şi u(t) din circuitul cu schema din Fig.16, după deschiderea întrerupătorului. Răspuns: u(t)=24/5+1/5exp(-5t/8), t>0

Fig.16

4. Sursa din Fig.17a generează un impuls dreptunghiular de curent, cu parametrii din Fig.17b. Presupunând iniţial condensatorul neîncărcat, să se determine u(t) şi i(t), t>0 şi să se reprezinte graficele acestor funcţii. Indicaţie: Impulsul de curent dat poate fi implementat

5

printr-o sursă de curent de valoare constantă Is=6 A şi un comutator plasat corespunzător şi acţionat succesiv la momentele t=0, respectiv t=4,5 s.

Fig.17a Fig.17b Răspuns: i(t)=6-3exp(-t/8), 0<t<4,5; i(t)=4,29exp(-(t-4,5)/8), t>4,5

4.2 Circuite RL de ordinul întâi

Problema rezolvată 1 Circuitul din Fig.18 se aflǎ în regim staţionar până la momentul t = 0 când se deschide comutatorul K. Sǎ se calculeze iL(t) şi u(t) pentru t ≥ 0 şi sǎ se reprezinte grafic aceste funcţii.

Fig.18 Fig.19

Rezolvare.

Pentru calculul lui iL(t) vom folosi relaţia

[ ] +τ

−

+ ≥∞−+∞= 0,)()0()()( teiiiti

t

LLLL , (2)

unde: - iL(0+) este valoarea iniţialǎ a curentului, dupǎ comutare, - iL(∞) este valoarea cǎtre care tinde curentul (valoarea de regim staţionar), - τ = L/RTh reprezintǎ constanta de timp a circuitului. 1o. Conform teoremei condiţiilor iniţiale

)0()0( −+ = LL ii . La momentul t = 0-, care precede comutarea, circuitul se afla în regim staţionar, bobina fiind echivalentǎ cu un scurtcircuit între bornele sale (Fig.19). Se observǎ cǎ rezistorul de 2 Ω este în paralel cu sursa de 6 V, astfel cǎ

AiL 32

6)0( ==− .

2o. La t = ∞ circuitul este din nou în regim staţionar – Fig.20.

Fig.20 Fig.21

Sursa este decuplatǎ de circuit, astfel cǎ nu existǎ curenţi şi tensiuni în acest regim:

6

0)(,0)( =∞=∞ uiL . 3o. Rezistenţa echivalentǎ faţǎ de bornele bobinei a circuitului pasivizat se calculeazǎ în baza schemei reprezentatǎ în Fig.21. Se observǎ cǎ faţǎ de bornele bobinei cele trei rezistoare sunt legate în serie, astfel cǎ

Ω=++= 8242ThR . Constanta de timp a circuitului inductive este atunci

sR

L

Th

25.0==τ .

40. Cu ajutorul rel.(1) obţinem

+

−≥= 0],[3)( 4

tAetit

L . Graficul acestei funcţii este reprezentat în Fig.22

Fig.22 Fig.23 5o. Pentru calcului tensiunii u(t) revenim la circuitul original, considerat la un moment arbitrar t > 0 (deci când comutatorul este deschis) – Fig.23. Se observǎ cǎ circuitul are un singur ochi, parcurs de curentul iL. Cu ajutorul legii lui Ohm rezultǎ atunci

+

−≥−=⋅−= 0],[6)(2)( 4

tVetitut

L . (semnul “–“ este datorat sensurilor de referinţǎ opuse pentru tensiune şi curent la bornele rezistorului considerat). În particular, de aici obţinem u(0+) = – 6 V. Pe de altǎ parte, folosind formula divizorului de tensiune, din Fig.2 rezultǎ

Vu 2624

2)0( =

+=− .

Fig.24

Graficul acestei funcţii este reprezentat în Fig.24.

Problema rezolvată 2 Circuitul din Fig.25 se aflǎ în regim staţionar. La momentul t = 0 se închide comutatorul K. Sǎ se calculeze iL(t) şi u(t) pentru t ≥ 0 şi sǎ se reprezinte grafic aceste funcţii.

7

Fig.25 Fig.26

Rezolvare. Pentru calculul lui iL(t) vom folosi relaţia

[ ] +τ

−

+ ≥∞−+∞= 0,)()0()()( teiiiti

t

LLLL , (2)

unde: - iL(0+) este valoarea iniţialǎ a curentului, dupǎ comutare, - iL(∞) este valoarea cǎtre care tinde curentul (valoarea de regim staţionar), - τ = L/RTh reprezintǎ constanta de timp a circuitului. 1o. Conform teoremei condiţiilor iniţiale

)0()0( −+ = LL ii . La momentul t = 0–, care precede comutarea, circuitul se afla în regim staţionar, bobina fiind echivalentǎ cu un scurtcircuit între bornele sale (Fig.26). Scurtcircuitul reprezentat de bobinǎ şunteazǎ rezistorul care este în paralel cu bobina (curentul trece prin scurtcircuit, evitând rezistenţa de 10 Ω). Circuitul are o singurǎ cale de curent, reprezentatǎ cu linie întreruptǎ, parcursǎ de acelaşi curent iL(0–) care rezultǎ imediat:

AiL 6,01010

12)0( =

+=− .

2o. La momentul t = ∞ circuitul este din nou în regim staţionar – Fig.27.

Fig.27 Fig.28 Circuitul are o singurǎ cale de curent, parcursǎ de curentul iL(∞), de valoare

AiL 2,110

12)( ==∞ .

3o. Rezistenţa echivalentǎ faţǎ de bornele bobinei a circuitului rezisteiv pasivizat se calculeazǎ în baza schemei din Fig.28. Se observǎ cǎ între bornele a şi b existǎ douǎ cǎi, astfel cǎ

Ω== 51010ThR .

Constanta de timp a circuitului este atunci

sR

L

Th

32

10.25

10 −−

===τ .

40. Înlocuind în rel.(2) obţinem

0],[6,02,1)( 500≥−=

−tAeti

tL .

Graficul corespunzǎtor este reprezentat în Fig.29.

8

Fig.29 Fig.30

5o. Pentru calcului tensiunii u(t) observǎm cǎ aceasta este egalǎ cu tensiunea de la bornele bobinei, de unde

+

−≥=== 0],[3

)()()( 500

tVedt

tdiLtutu

tLL .

În particular, de aici rezultǎ Vu 3)0( =+ .

Graficul este reprezentat în Fig.30. Pentru momentul care precede închiderea întrerupǎtorului, din Fig.2 obţinem

0)0( =−u . Aşadar tensiunea u(t) are un salt la momentul t = 0.

Probleme propuse 1. Circuitul din Fig.31 se află în regim staţionar. La momentul t=0 se deschide întrerupătorul. Să

se determine i(t) şi u(t) pentru intervalul t>0. Reprezentaţi graficele acestor funcţii, inclusiv pentru subintervalul t<0. Răspuns: u(t)=-6exp(-4t), t>0

2. Aceiaşi întrebare pentru iL şi i din Fig.32, după închiderea întrerupătorul la momentul t=0. Răspuns: i(t)=12/5exp(-18t/5), t>0

Fig.31 Fig.32

3. Aceiaşi întrebare pentru i(t) şi u(t) din Fig.33, întrerupătorul deschizându-se la t=0. Răspuns: i(t)=3-5/3exp(-2t), t>0

Fig.33 Fig.34 4. O bobină de inductivitate L şi rezistenţă r este alimentată de la o sursă de tensiune

continuă U0, prin intermediul unui întrerupător modelat printr-un întrerupător ideal în paralel cu o rezistenţă R foarte mare (Fig.34). Circuitul se află în regim staţionar până la momentul t=0 când se deschide întrerupătorul. Să se determine variaţia în timp a tensiunii u12(t) de la bornele întrerupătorului şi să se reprezinte grafic această variaţie. Să se comenteze valoarea u12(0+) a acestei tensiuni ţinând cont că R>>r. Răspuns: u12(t)=(RU0/(R+r))(1+(R/r)exp(-t(R+r)/L)), u12(0+)=(R/r)U0>>U0.

9

5. Sursa de tensiune us din Fig.8a generează un impuls dreptunghiular de tensiune, cu parametrii din Fig.8b. Ştiind că bobina are condiţii iniţiale nule, să se determine i(t), u(t) pentru t>0 şi să se reprezinte graficele acestor funcţii. Indicaţie: se modelează impulsul de tensiune dat printr-o sursă de tensiune de valoare constantă Us=12 V şi un întrerupător convenabil plasat şi acţionat succesiv la momentele t=0, respectiv t=1 s. Răspuns: i(t)=2(1-exp(-3t/2)), 0<t<1, i(t)=1,55exp(-

3t/2), t>1.

Fig.35a Fig.35b