cilindrul-rezolvate
-
Upload
cristina-cristea -
Category
Documents
-
view
30 -
download
7
description
Transcript of cilindrul-rezolvate
K. CILINDRUL CIRCULAR DREPT PROBLEME REZOLVATE
1) Un cilindru circular drept cu raza bazei mai mica decit generatoarea se desfasoara dupa un dreptunghi cu diagonala de 8cm si unghiul dintre diagonale de 60°. Se cere: a) aria laterala, aria totala si volumul cilindrului; b) aria sectiunii axiale ; c) distanta de la centrul unei baze la un punct de pe circumferinta bazei opuse; d) volumul prismei hexagonale regulate inscrise in cilindru
REZOLVARE
A' O' B' C'
4 4 G H
4 60° D 4
4 R
A O B 2πR C
a) Al = 2πRG ; At = Al + 2∙Ab ; Ab = πR 2 ⇒ At = 2πR(R + G) ; V = Ab∙H ⇒ V = πR 2 H
In ∆B'DB , B'D = BD = 4 cm , ∠(B'DB) = 60° ⇒ ∆B'DB este echilateral⇒ B'B = 4cm ⇒ G = H = 4cm
In ∆B'BC,∠B = 90°⇒ BC 2 = B'C 2 B'B 2 = 64 16 = 48 ⇒ BC = 4√3cm
2√3
Latura BC = cu lungimea cercului bazei cilindrului ⇒ BC = 2πR ⇒ 2πR = 4√3 ⇒ R= cm π
2√3 12 12 24 12 48
Al=2π∙ ∙4 =16√3cm 2 ; Ab=π∙ = ⇒ At=(16√3+ ) cm 2 ; V = ∙4 = cm 3
π π 2 π π π π
2√3 16√3 b) Sectiunea axiala este dreptunghiul ABB'A'⇒ Aria SECTIUNII = 2RG=2∙∙4 = cm 2
π π
12 √12+16π 2
c) d(O; B' )=OB' ⇒ In ∆B'O'O, ∠O=90°⇒ B'O 2 =O'B' 2 +O'O 2 = + 16 ⇒ B'O= π 2 π
R 2 √3 12 √3 18√3 d) Volumul prismei = Aria bazei ∙ Inaltimea ; Aria bazei = 6∙ = 6 ⋅ ⋅ = cm 2
4 π 2 4 π 2
18√3 72√3 Volumul prismei = ⋅ 4 = cm 3
π 2 π 2
http:/
/epro
fu.ro
/mate
matica
2) Aria laterala a unui cilindru circular drept este egala cu suma ariilor bazelor, iar volumul este
1000πcm 3 . Se cere:
a) Aria sectiunii axiale b) Aria suprafetei obtinute prin desfasurarea cilindrului
c) Volumul prismei triunghiulare regulate inscrise in cilindru
REZOLVARE
A' O' B' C'
G H
A R O B C
Al = 2πRG Ab = πR 2 ⇒ 2πRG = 2πR 2 ⇒ G = R
V = πR 2 H = πR 2 G = πR 3 ⇒ πR 3 = 1000π ⇒ R = 10cm ⇒ G = H = 10cm
a) Aria ABB'A' = 2RG = 2R 2 = 200 cm 2
b)Aria BCC'B' = BB'∙BC = G∙2πR = 2πR 2 = 200π cm 2
c) Volumul prismei = Aria bazei∙Inaltimea
Latura bazei este latura ∆ echilateral inscris in cercul bazei cilindrului l=R√3
l 2 √3 3R 2 √3 3 ⋅ 100 ⋅ √3
⇒Aria bazei = = = = 75√3cm 2 ⇒ V PRISMA = 75√3 ⋅ 10 = 750√3 cm 3 . 4 4 4
http:/
/epro
fu.ro
/mate
matica
3) Intrun cilindru circular drept raza si generatoarea sunt direct proportionale cu numerele 2 si 3, iar
aria laterala este 432π cm 2 . Se cere:
a) Raza si generatoarea cilindrului b) Aria totala si volumul cilindrului
c) Raza conului care este echivalent cu cilindrul si are inaltimea egala cu inaltimea clindrului. REZOLVARE
A' O' B'
H G
R A O B
a) R, G direct proportionale cu 2, 3 ⇒ R = 2k si G = 3k
Aria laterala = 2πRG ⇒ 2⋅ π⋅2k⋅3k = 432π ⇒ 12k 2 = 432 ⇒ k 2 = 36 ⇒ k = 6 ⇒
⇒ R = 2⋅6 = 12 si G= 3⋅6 = 18 ⇒ R = 12 cm ; G = 18 cm.
b) Aria totala = Aria laterala + 2⋅Aria bazei ; Aria bazei = πR 2 = π⋅12 2 ⇒ Aria bazei = 144π cm 2 ⇒
Aria totala = 432π + 288π = 720π ⇒ Aria totala = 720π cm 2
Volumul = Aria bazei ⋅ inaltimea ⇒ Volumul = 144π⋅18 ⇒ Volumul = 2592π cm 3 .
c) Daca conul este echivalent cu cilindrul ⇒ Volumul conului = Volumul cilindrului
Aria bazei ⋅inaltimea π⋅R 2 con ⋅ Hcon π⋅R 2 con ⋅ 18 Volumul conului = = ⇒ = 2592π ⇒
3 3 3
⇒ π⋅R 2 con⋅6 = 2592π ⇒ R 2 con = 432 ⇒ Rcon = √432 ⇒ Rcon = 12√3 cm .
http:/
/epro
fu.ro
/mate
matica