8/18/2019 CETCP Din Moldova - 2008, 06cu Autori

http://slidepdf.com/reader/full/cetcp-din-moldova-2008-06cu-autori 1/2

CLASA A VI- A

1. Să se arate că mulţimea {2008

{7,77,777,...,77...7}cifre

 A =  nu poate fi scrisă ca reuniune de mulţimi

disjuncte astfel încât suma elementelor din fiecare mulţime să fie dii!i"ilă cu #.

$n%ela &i%ăeru, Suceaa

Rezolvare şi barem:

{77...7k ori

 are suma cifrelor #7 '( 1)k k M k  × = + = +  .......................................................2 puncte

{2008

7 77 ... 77...7ori

+ + + =  #

1 2 ... 2008 M   + + + +  #

100* 200+ M = + ×  #

1 M = + ................# puncte

acă  A  s-ar scrie ca reuniune de mulţimi disjuncte cu suma elementelor # M  , atunci suma

elementelor mulţimii  A  ar fi multiplu de #, fals..........................................................2 puncte

2. eterminaţi numerele n Î ¥  cu proprietatea că , 10, 1*n n n+ +  sunt simultan numere prime.

Siliu /o%a, ai

Rezolvare şi barem:

#n k r = + , k Î ¥  i {0,1,2}r  Î ..................................................................................2 puncte

0r = Þ   #n k = , n este prim dacă i numai dacă 1k  =   Þ soluţie #, 1#, 17................# puncte

1r  = Þ 1* # 13n k + = + , care este număr compus......................................................1 punct

2r = Þ   10 # 12n k + = + , care este număr compus......................................................1 punct

#. Să se determine numerele naturale , ,a x y  astfel încât să ai"ă loc relaţia

1 11

1

a

 x a y a

++ =

+ + +, unde  x y   *- Î ¥ .

'444)

Rezolvare şi barem:

$nali!ăm ca!urile1 1

1n

n n

-+ =  i

1 ' 1)1

k n

n k n

-+ =

×, unde ,n k  Î ¥ , , 2n k  ³ ...........2 puncte

5n primul ca! aem

2

1 1 2

1 1

 x a n a n

a n x

 y a n y

 ì ì+ = = - ï ï  ï ï  ï ï  ï ï + = - Þ =í í  ï ï  ï ï + + = = ï ï  ï ï  î î 

..........................................................................................# puncte

5n al doilea ca! aem

CONCURSUL

CENTRELORDE EXCELENŢĂ

DIN MOLDOVA- 31 mai 2008 -

CENTRUL DE EXCELENŢĂPENTRU TINERI CAPABILI

DE PER!R"ANŢĂ- ILIALA SUCEAVA # 

Str. 6. $lecsandri nr.#, 720001el. 02#09331#*2 02#09331#*#

e-mail cn:stefan;<a=oo.com

>?@ABC@ D$&?D$@

  $%TEAN CEL "ARE&SC>A$6$

8/18/2019 CETCP Din Moldova - 2008, 06cu Autori

http://slidepdf.com/reader/full/cetcp-din-moldova-2008-06cu-autori 2/2

1

1

 x a n

a kn k  

 y a kn

 ì   + = ï  ï  ï  ï  + = -í  ï  ï  + + = ï  ï  î 

, dar cum  x y   *- Î ¥ , re!ultă 1 x y n kn- = - - , relaţie imposi"ilă....2 puncte

*. 5n triun%=iul  ABC , 0' ) 32m BAC    =S , considerăm semidreptele 1 2 13' , ' , ..., ' BX BX BX  ,

interioare un%=iului   ABC S  i semidreptele 1 2 13' , ' , ..., 'CY CY CY   , interioare un%=iului  ACBS ,

astfel încât 1 1 2 1* 13 13... ABX X BX X BX X BC º º º ºS S S S  precum i

1 1 2 1* 13 13... ACY Y CY Y CY Y CBº º º ºS S S S .

acă { } { }1 1 1 13 13 13' ' , ..., ' ' BX CY I BX CY I Ç = Ç =  calculaţi

a)   13' )m BI C  S

 ")   8' )m BAI  S , 1 * 1 3

' )m BI I  S .

Acaterina Euluţă, Suceaa

Rezolvare şi barem:

a) 0 0 0' ) ' ) 180 32 128m ABC m ACB+ = - =S S ............................................................. 1 punct

1F ' )m ABX  = S  i 1

G ' )m ACY  = S , 01(F 1(G 128+ = , 0F G 8+ = ................................. 1 punct

0 0 0

13' ) 180 8 172m BI C    = - =S  ..................................................................................... 1 punct

 ") 5n  ABC V , 8 I   este centrul cercului înscris, 0 0

8' ) 32 2 2(m BAI  Þ = =S  .............. 2 puncte

5n 1* BI C V , 13

 I   este centr. cerc. înscris.0

0

1 * 1 3

180 '2F 2G)' ) 82

2

m BI I    - +

= =S ...........2 puncte