Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala ... · CLASA a V a Problema 1. În două...

Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”

Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017

Subiecte - Clasa a V– a Proba pe echipe

Problema 1. Determinați numerele naturale de forma , știind că împărțite la dau câtul 14 și

restul 19.

Problema 2 Pentru un număr natural n, se consideră numerele:

,

−

− −

Comparați numerele a, b, c și scriețile în ordine crescătoare.

Problema 3. Determinați ultimele cinci cifre ale numărului:

.

Problema 4. Suma a patru numere naturale este 1766. Al doilea număr se obține tăind prima cifră

a primului număr, al treilea se obține tăind prima cifră a celui de-al doilea număr, iar al patrulea

tăind prima cifră a celui de-al treilea . Determinați numerele.

SUCCES!

Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru 2 ore

Subiectele au fost propuse și selectate de:

Prof. Moanță Anamaria - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

Prof. Boloș Mihai - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

1

CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ

„ TINERE SPERANȚE ”

Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare

PROBA PE ECHIPE - BAREM

CLASA a V a

Problema 1.

1. …… 1p

2. ...….2p

3. …......….2p

4.

.…......…1p

5. = 537 …... ...…....1p

Problema 2.

1. …………1p

2. ……...1p

3. …………1p

4.

..………..1p

5. ……..….1p

6. Pentru ……...…1p

7. Pentru ……..…1p

Problema 3.

1.

…..……….2p

2.

….……......2p

3.

…….…..….2p

4. Ultimele cinci cifre ale numărului sunt 09093 ………...….1p

Problema 4.

1. Dacă suma este de patru cifre și ținând cont de enunțul problemei, rezultă că primul număr este

un număr de forma ................................................................................................ 1p

2.

................................................................................ 1p

3.

........................ 1p

4. Caz I :

.................................. 1p

2

5.

.......................... 1p

6. Caz II :

.............................. 1p

7.

.......................................... 1p




PROBA INDIVIDUALĂ

CLASA a V a

Problema 1. În două coșuri sunt 360 de mere. Mutăm din primul coș în al doilea de trei ori mai

multe mere decât erau în al doilea. Apoi mutăm din al doilea coș în primul de trei ori mai multe

mere decât rămăseseră în primul. Astfel , în primul coș avem cu 184 de mere mai mult ca în al

doilea. Câte mere erau la început în fiecare coș?

Problema 2. Determinați numerele naturale pentru care 3 4 este pătrat

perfect.

Problema 3. Într-o familie sunt 3 frați care sunt elevi. La sfârșitul fiecărui an școlar, fiecare copil primește

un anumit număr de cărți egal cu numărul clasei absolvite. După sfârșitul anului școlar 2016-2017, cei

trei frați au împreună 72 de cărți. Ce clasă a absolvit în anul 2017 fiecare din cei trei frați? ( În fiecare an

școlar cei trei frați au promovat clasa.).

Problema 4. Fie număr natural 3 3 3 , n număr natural.

a) Pentru 0 și 1 , exprimați A ca produs de două numere naturale.

b) Scrieți ca produs de numere naturale expresia A, indiferent de valoare lui n.

SUCCES!


Timp de lucru 3 ore


Prof. Moanță Anamaria - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

Prof. Boloș Mihai - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare




PROBA INDIVIDUALĂ - BAREM

CLASA a V a

Problema 1.

1. Fie x – numărul de mere din al doilea coș.

x + 184 – numărul de mere din primul coș …………………………………………….………………….1p

2. Folosim metoda mersului invers.

1 1 1 ………………………………………1p

3. de mere sunt în al doilea coș și – de mere sunt în primul coș

după cele două mutări. …………………………………………………………………………………………………………..1p

4. Spune în enunțul problemei că mutăm din al doilea coș în primul de trei ori mai

multe mere decât rămăseseră în primul vom avea de ori mai multe mere în

primul coș decât aveam înainte. ……………………………………….……………………………..……………………..1p

5. , adică de mere sunt în primul coș și – 68 = 292 de mere

sunt în al doilea coș. …………………………………………………………………………………….……………………....1p

6. Mai spune problema că mutăm din primul coș în al doilea de trei ori mai multe

mere decât erau în al doilea vom avea de ori mai multe mere în al doilea coș decât aveam

înainte. ………………………………………………………………………………………………………………………………….1p

7. , adică de mere au fost la început în primul coș și – 73 = 287

de mere în al doilea coș. …………………………………….…………………………………………….………………….1p

Problema 2.

1. ab ba a b 1 1 ………………...1p

2. 1 1 ……….……...1p

3. este pătrat perfect dacă , , , ,… ………….…...1p

4. Dar , ș , , ………………...1p

5. Caz I : , , , …………...…1p

6. Caz II : , 1 1 1 . . ………………...1p

7. Caz III : , . . …………...……1p

Problema 3.

1. Fie x, y și z ultima clasă absolvită de cei trei frați.Cei trei frați au primit până acum

1 , 1 1 ă ț . .................................................1p

2. Deoarece 1 1, , ,1 ,1 , 1, , , , , , , .................................................1p

3. Pentru orice 1, , … ,1 , trebuie să-l scriem pe ă ț

1, , ,1 ,1 , 1, , , , , . ..................................................................................................1p

4. Găsim variantele : , 1 ș 1 1 . .................................................1p

5. În primul caz, cel mai mare copil va absolvi clasa a 11-a, iar cei doi frați mai mici clasa a 2-a....1p

6. În al doilea caz copii vor absolvi clasele a 9-a, a 6-a respectiv a 3-a..............................................1p

7. În al treilea caz copii vor absolvi clasele a 8-a, a 6-a respectiv a 5-a. ...........................................1p

Problema 4…..

1. a) = ……………1p

2. 1 11 1 ……………….1p

3. 1 = ..………………1p

4.

1 1 ….……….…....1p

5. b) Calculele de la punctul a) ne sugerează să grupăm termenii după puterile lui 5, respectiv 7,

pentru a da factor comun și evident pentru a calcula mai ușor.

………..……..….2p

6. .…………..……1p




Subiecte - Clasa a VI– a Proba pe echipe

Problema 1.

a) Aflați numerele naturale divizibile cu 36 știind că prin împărțire la 5 dau restul 2 și

− b) Un număr natural are în mulțimea exact 9 divizori a căror sumă este 403. Să se afle

numărul.

Problema 2. Pe tablă se scriu numerele naturale de la 1 până la un anumit număr natural

divizibil cu 50, apoi se șterg de pe tablă toți multiplii lui 50. Demonstrați că suma numerelor

rămase pe tablă este un pătrat perfect.

Problema 3. Demonstrați că oricare ar fi număr natural, numărul nu este pătrat

perfect.

Problema 4.

a) Pe o dreaptă se consideră în ordine, punctele și fie

mijloacele segmentelor și respectiv

. Arătați că este îndeplinită egalitatea

.

b) Fie unghiurile astfel încât 256 ,

iar semidreptele sunt bisectoarele unghiurilor

Știind că 1 , determinați numărul

natural și pentru n astfel determinat, calculați suma :

.


Timp de lucru 2 ore


Prof. Ienuțaș Vasile - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

MULT SUCCES !

1




PROBA PE ECHIPE - BAREM CLASA a VI a

Problema 1.

1. a) Avem și cum ultima cifră este sau , avem sau .

înseamnă este număr par. Așadar ....................................................................................1p

2. Din obținem . Acum , divizibil cu și rezultă ,

divizibil cu și , divizibil cu . Din divizibil cu rezultă .......... .. 2p

3. De aici și din divizibil cu obținem soluțiile ................................1p

4. b) Fie numărul căutat,

cu numere prime și

Numărul divizorilor lui este . Rezultă posibilitățile

sau ..................................................................................................1p

5. , deci

. Suma divizorilor lui este

Cum , rezultă

adică

de unde Numărul căutat este = .......................1p

6. , deci Suma divizorilor lui este:

, deci acest caz este imposibil.....................................................................................1p

Problema 2.

1. Dacă ..........................................................................................................................................1p

2. Suma numerelor scrise inițial pe tablă era .............................2p

3. Suma numerelor șterse de pe tablă este

1. ............................................................................................................................................................2p

4. Așadar, suma numerelor rămase pe tablă este

1 +1=25 49 = 2 , adică un pătrat perfect.......................................................2p

Problema 3.

1. Avem . .....................................................................................................1p

2. Deoarece și sunt prime între ele , pentru ca să fie pătrat perfect trebuie ca și să

fie pătrate perfecte......................................................................................................................................2p

3. Din pătrat perfect deducem că unde este număr natural ....................................................1p

4. Arătăm că nu este pătrat perfect .

Avem ..............................................................................2p

5. iar un pătrat perfect nu poate avea forma ..................................................................................1p

Problema 4.

1. a) Avem

și

……………………………………..……………………..2p

2

2. Cum , adunând egalitățile de mai sus se obține că

……………………..............................................2p

3. b) Avem succesiv:

2 4 8 16

32 64 128 256 ………………………….……1p

4. deci ………………………………………………….…………………………1p

5. Suma căutată este 511 …………………………...……………1p




PROBA INDIVIDUALĂ

CLASA a VI - a

Problema 1.

Determinați numerele prime pentru care există număr natural, astfel încât .

Problema 2.

Pentru un număr de două cifre se calculează produsul cifrelor sale. Se repetă procedeul până

când,se obține un număr format dintr-o singură cifră. Pentru câte numere de două cifre rezultatul

final este 0.

Problema 3.

a) Două unghiuri suplementare au o latură comună, iar bisectoarele lor formează un unghi cu

măsura de . Determinați măsurile unghiurilor.

b) În interiorul segmentului se consideră punctele și astfel încât

și . Calculați lungimea segmentelor și și stabiliți

ordinea punctelor .

Problema 4.

Fie un număr natural divizibil cu 8 și nedivizibil cu 16. Să se arate că produsul tuturor divizorilor săi

naturali este un pătrat perfect,

SUCCES!


Timp de lucru 3 ore







CLASA a VI a

1. Caz I. Dacă din

....................................................................2p

Rezultă .

Rezultă

………………………………………………………2p

este număr prim rezultă

.

Pentru ………………………………………………………...2p

Caz II. Dacă imposibil......................................................................1p

2. După prima calculare a produsului, acesta este 0

pentru numerele de forma numere………………………………………………..1p

După doi pași vor da produsul 0 toate numerele care după primul pas dau

adică 25, 52, 56, 65, 58, 85 8 numere……………….2p

După trei pași vor da produsul 0 numerele care după doi pași dau 25, 52, 45, 54, 56, 65, 58, 85, adică

55, 59, 95, 69, 96, 78, 87 7 numere……………………………………………………..2p

Cum niciunul din aceste numere nu se scrie ca produs de două numere de o cifră, nu există numere

care după patru sau mai mulți pași să dea produsul 0 …………………………………….1p

În total sunt 24 de numere ………………………………………………………………...1p

3. a) Notăm Dacă laturile și se află de părți diferite ale

laturii comune , atunci unghiul făcut de bisectoarele este drept,

deci acest caz este imposibil ………………………………………………………………1p

Astfel se află de aceeași parte a lui .

Avem . Pe de altă parte…………………………………………………….1p

………………………………………..1p

obținem rezultă …………………1p

Avem

Analog …..2p

Dacă și cum , deduce că ordinea punctelor

este .

4. Avem

sunt numere prime diferite de 2. Numărul

divizorilor lui a este ,

adică un număr divizibil cu 4. ………………………………………………………………3p

Putem grupa divizorii câte doi, astfel

și așa mai departe,

până la

unde

……………………………………………………………….2p

Cu această grupare produsul divizorilor va fi

.

Cum este divizibil cu 4 rezultă este divizibil cu 2, rezultă este pătrat perfect………..2p




CLASA a VII a – Proba pe echipe

Problema 1. Determinați x, y, z * astfel încât xy + yz + xz = xyz

Problema 2. Fie ABCD un pătrat și E , F mijloacele laturilor [AB], respectiv [BC]. Știind că GE DF =

{M} și AM BC = {N}, să se arate că:

a) CE DF;

b) (AD) (AM);

c) N este mijlocul segmentului CF.

Problema 3. Se consideră mulțimea A = 1 2 3, , ,...,n . Din mulțimea A se elimină un element. Aflați n și

elementul eliminat știind că media aritmetică a elementelor rămase este egală cu 439

13.

Problema 4. Fie ABC un triunghi și D mijlocul laturii BC. Notăm cu E simetricul punctului A față de D

și fie F AC, astfel încât C (AF) și EF AC. Dacă AC = 2CF și m ( CAD) +1

2 m ( BAD) = 45

°,

arătați că triunghiul ABC este echilateral.

SUCCES!


Timp de lucru 2 ore


Prof. Mureșan Corina - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

Prof. Codrea Ioana Lucica – Colegiul Tehnic „Anghel Saligny” Baia Mare





CLASA a VII a

1. a) 4

1 2 3 23

2 6 24 24a .....................................................................................................1p

b)

1 1 1 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3

n n

n n n n n

.....................2p

c)

2016 2016

1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2015 1 2 2016 1 2 2016a a

..2p

d) 1 2016

1 1 2 2018.1 2 2017

nn

Cel mai mic n care verifică inegalitatea este 7n ...2p

2. Desen.................................................................................................................................... 1p

Notăm ,m BAC x m CAD y m BAD x y .....................................................1p

Triunghiul ABC isoscel 90 902 2

x xm ACB m ACD .....................................1p

Triunghiul AEB isoscel m DAE x y ............................................................................1p

Triunghiul AEC isoscel 2 902

xm CAE x y m ACE y ..................................1p

m ECD m ACD m ACE m ECD x y ........................................................1p

Finalizare BAD ECD ......................................................................................................1p

3.3

1/ 3 3 51

ab a b a

b

.......................................................................................1p

3 5 3

1 2.2 2 2

b a

a a a

........................................................................................................1p

3 3

1,22 2

b b

a a

..........................................................................................................1p

I. 3 3

1 3 2 1 1,32

b ab a b a a

a a

.

1, 0a b fals; 3, 2a b ...........................................................................................3p

II. 3 3

2 2 1 .2 2 2

b ab a

a a

Dar

31,

2 2

a

a

pentru orice *a , singura soluție este

3, 2a b ....................................................................................................................1p

4. Desen ....................................................................................................................................1p

Construim triunghiul echilateral ,ACN cu B și N de aceeași parte a dreptei AC .................1p

Atunci 15 , *m NCB m ACN m ACB m MCB ................................................1p

30m BAN m BAC m NAC și ,AN AC AB deci 180 30

75 ,2

m NBA

de unde

30m NBC m NBA m CBA m MBC ** ...........................................................1p

Folosind * și ** rezultă . . .BCN BCM U LU , de unde BN BM ......................................1p

Rezultă că triunghiul NBM este isoscel și 60 ,m NBM deci MN BM ................................ 1p

152

m NABMAN MAB m MAB și 75m MAC ..............................................1p


CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ„TINERE SPERANŢE” Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017

Subiecte - Clasa a VIII– a

Proba pe echipe

Problema 1. Fie numere reale pentru care sunt adevărate relațiile

, și . Calculați

Problema 2.

a) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: .

b) Arătați că: , oricare ar fi un număr real.

Problema 3.

Să se arate că

oricare ar fi numerele reale

Problema 4. Fie tetraedrul cu , centrul de greutate al triunghiului

, iar centrul cercului înscris în același triunghi.

Știind că arătați că și calculați

distanța de la punctul la .

Toate probleme sunt obligatorii. Se cer rezolvări complete. Pentru fiecare problemă corect rezolvată se acordă 7p. Timp efectiv de lucru 2 ore.


Prof. Ienuțașn Vasile - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

MULT SUCCES !

A

D

x

x

x

P E B

Q

C

N

F

M

x 90-x

90-x

90-x

x





CLASA a VII a

1.

Presupunem că x y z

.............................................................................................................................1p

Cazul I x=1

, imposibil deoarece

………………………………...……..1p

Cazul II x=2

yz-2y=2z y (z-2)=2z y=

, y

4 ………………………………….....….1p

z=3

z=4

z=6 Avem soluția (2,3,6)………………………………………………………….…....1p

Cazul III : x=3

2yz=3(y+z) ……1p

2z ………………………………………………….……………..…....1p

z=2

z=3

z=6

Avem soluțiile

Soluțiile ecuației vor fi :(2,4,4), (4,2,4), (4,4,2), (2,3,6), (3,2,6),(3,6,2), (6,3,2), (6,2,3),

(2,6,3), (3,3,3) ……………………………………………………………………………………....1p

2.

a) CDF …………………………………………………………..………………………1p

Fie m( , restul măsurilor sunt specificate pe desen

F

A B

C

D

E

În 0- (x+90

0-x)=90

0 ………………………………………..1p

b) Construim P simetricul lui E față de A DAP

…………………………………………………..……1p

x+ 0 0

Din a) 0

Fie Q mijlocul laturii DM (1)……1p

Fie Q mijlocul laturii DM QA mediană (2)

Din (1) și (2) ADN este isoscel ………………………………………..………1p

c) 0-x 0

-x 0-x

0-x

NM=FN

0-(90

0-x) = x ………………………………………1p

3.

Fie x elementul eliminat și mulțimea A= A\{x}, A={1,2,3, ..., x – 1, x +1, ..., n}

1 2 x 1 x 1 nma n 1

... ...

.................................................................................................... 1p

1 2 x 1 x 1 nma n 1

... ...

=

2439 n n 2x 439

13 132 n 1

...................................................... 1p

2432 2 n 1 13n 865n 87822x n n x13 26

....................................................................... 1p

21313n 865n 878 21313 n 66n 67 7 n 1 13 n 1

......................................................... 1p

Observăm că dacă 2 n 65 x 0, iar dacă n 79 x n nϵ{1, 66} …………………………… 1p

…………………………………………………………………… ….1p

Pentru n = 1 x = 1, iar ma 439

13, iar pentru n= 66x = 16, elementul eliminat ……… ..….....1p

4.

0

FD=AD…………………………………………………………….......…….…..1p

ADM DM=DC DMC

isoscel …………………………………………………........…….….1p

ABC, DM linie mijlocie DM

ABC isoscel cu AB=BC………………………………………………………………........………1p

Fie AP bisectoarea unghiului BAD, unde P aparține lui BD

Notăm

În ABC, avem 0+x 0

-2x………………1p

AP 0-2x+x=90

0-x……………………………….......…..1p

În APD, 0- - =180

0-x-90

0+x=90

0

AD înălțime în ABC ABC isoscel cu AB=AC…………………………………....….1p

AD mediană în ABC

Avem AB=BC și AB=AC ABC echilateral………………………...….1p

ICentrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE



Subiecte - Clasa a VIII– a

Proba individuală

Problema 1.

Determinați astfel încât − − .

Problema 2.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

.

Problema 3.

Fie cu proprietățile : și .

Arătați că:

este pătrat perfect.

Problema 4.

Fie un punct în interiorul tetraedrului regulat de latură 1. Să se arate că

.


Timp de lucru 3 ore



MULT SUCCES !




Barem

Problema 1. Să se arate că pentru orice numere reale x, y, z > 0, cu yxz , este

adevărată relația 2

32

zyx

zyx

xyzyx

G.M.nr.9/2016

1.

zyx

xyzyx 2

zyx

zxyyx

222 )(2)()(=

zyx

zyx

2)()( ………….. 2p

2.

zyx

xyzyx 2zyx

zyx

zyxzyx

)()(………………. 2p

3. Folosim inegalitatea dintre media geometric și media aritmetică 2

yxxy

…… 1p

4. ,2

11

xxx ,

2

11

yyy

2

11

zzz și adunând cele trei relații

obținem

zyx

xyzyx 2

2

1

2

1

2

1 zyxzyx

2

3

zyx .......................................................................................................... 2p




Barem

Problema 2. Se consideră semidreptele necoplanare [Ox, [Oy și [Oz și punctele A, B (Ox, C, D

(Oy și E, F(Oz . Dacă AC BD = {M} , CEDF = {N} , AE FB = {P}, arătați că punctele M,

N și P sunt coliniare.

1. NCE , CE (ACE)N(ACE), MAC , AC (ACE)M(ACE), PAE , AE (ACE)

P(ACE) …………………………………………………………………….…………………….…………… 2p

2. NFD , FD (BDF)N(BDF), NFD , FD (BDF)N(BDF), PFB , FB (BDF)

P(BDF)…………………………………………………………………………………………………………… 2p

3. (ACE) (BDF) = { M, N, P} ……………………………………………………………………………………….….. 1p

4. Conform propoziției că dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă

Comună punctele M, N, P aparțin dreptei commune planelor (ACE) și (BDF)

punctele M, N, P sunt coliniare. ………………………………………………………………………………….. 2p




Barem

Problema 3.Fie x, y, z numere reale nenule astfel încât xy, yz, zx sunt numere raționale.

a) Arătați că numărul x2 + y2 + z2 este rațoinal.

b) Dacă în plus, numărul x3 + y3 + z3 este rațional și nenul, arătați că numerele x, y, z sunt raționale.

(Marius Ghergu)

a)

1. xy, yz, zx Q xy yz Q xy2z Q ............................................................................. 1p

2. xy2z Q și xz Q y2 Q ................................................................................................ 1p

3. Analog se arată că x2 Q și z2 Q ...................................................................................... 1p

4. Finalizare x2 + y2 + z2 Q ...................................................................................................... 1p

b)

5. x 2xy Q x3y Q, y 2y2 Q y3y Q, z 2zy Q z3y Q …………………………….…….. 1p

6. Adunând relațiile dinainte (x3+y3+z3)y Q y Q ……………………………………………………….. 1p

7. Analog se arată că x, z Q …………………………………………………………………………………………………… 1p




Barem

Problema 4.Triunghiurile ABC și ADE sunt în plane diferite și au mediana [AM] comună. Pe segmentele

[AB], [AC], [AD], [AE] se consideră punctele P, Q, R, respectiv S astfel încât AP AQ AR AS

= = =PB QC RD SE

. Arătați

că:

a) patrulaterul cu vârfurile P, Q, R, S este paralelogram;

b) dacă 2 2 2 2AB + AC = AD + AE , atunci PQRS este drptunghi.

a)

1. În ABC, P[AB], Q[AC] și AP AQ

=PB QC

PQ BC și în ADE, R[AD], S[AE] și AR AS

=RD SE

RS DE ………………………………………………………………………………………………………………………..………. 1p

2. AM PQ = {O}, deoarece [AM] este mediana în ABC [AO] este mediană în APQ, deci

[PO] [OQ] . ……………………………………………………………………………………………………………………………. 1p

3. AM RS = {O’}, deoarece [AM] este mediana în ADE [AO’] este mediană în ARS, deci

[RO’] [O’S] . ……………….……………………….………………………………………………………………………………. 1p

4. În ABM, PO BM și AP AO

=PB OM

, iar din ARD, RO’ DM și 'AR AO

=RD O'M

, dar AP AR

=PB RD

' '

AO AO AO AO

= =OM O'M AM AM

O= O’punctele P, Q, R, S sunt coplanare PQRS este parallelogram

(diagonalele se înjumătățesc) …………………………………………………………….…………………………………………. 1p

b)

5. [AM] este mediana în ABC și ADE4 AM = 2 (AB2+AC2) – BC2 și 4 AM = 2 (AD2+AE2) – DE2

BC2= DE2 BC = DE ………………………………………………………………………………………………….………… 1p

6. Din a) avem PQ BC și RS DE AP PQ

=AB BC

și AS SR

=AE DE

, dar AP AS

=AB AE

și BC = DEPQ=SR .… 1p

7. Finalizare paralelogramul PQRS este drptunghi …………………………………………………………………………. 1p

1




PROBA PE ECHIPE - BAREM CLASA a VIII a

Problema 1.

1. Din enunț avem : .............................................................2p

2. Pe de altă parte ..................................................1p

3. Înlocuind pe : , , , obținem ,.....................................................................2p

4. de unde ...................................................................................................................1p

5. Din enunț , prin urmare ..........................................................1p

Problema 2.

1. a) Ecuația se scrie succesiv : ............................................................................. .. 2p

Soluțiile sunt

2. ................. 2p

3. b) Dacă putem scrie .........1,5p

4. Dacă putem scrie

.................................1,5p

Problema 3.

5. Inegalitatea se scrie

......................................................2p

6. Cum

.....................................................................................................................2p

și

.....................................................................................................................2p

Prin înmulțire rezultă concluzia.............................................................................................................1p

Problema 4.

1. Fie și a În triunghiul , din teorema lui Pitagora avem

.........................................................................................................................................1p

2. Din teorema bisectoarei

, deci ...................................2p

3. Cum , rezultă că ......................................................................................1p

4. Fie . Cum rezultă că , deci .............................1p

5. Avem

, deci Rezultă că ………………………….….……1p

6. iar de aici …………………………………………………………1p

.




PROBA INDIVIDUALĂ

CLASA a VII a

Problema 1. Demonstrați că dacă d și m sunt cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun

al numerelor a și b, atunci d + a + b = m dacă și numai dacă 1 1 1 1

a b m d

Problema 2. Fie x ;i y numere naturale nenule astfel încât 41 divide 4x + 5y. Arătați că 41 divide x2

5n2+7n + 8 = (m

2+m) (2n + 1)

Fie a ∈ R astfel încât a10

− a6 + a2 = 4. S˘a se arate c˘a 7 < a12 < 16.

Problema 3. Fie triunghiul ABC cu m(∢A) = 1050, m(∢B) = 30

0. Se consideră DE mediatoarea

segmentului [BC], D ∈ BC, E ∈ AB, [CF bisectoarea unghiului ∢BCE, F ∈ AB, iar {I} = CF ∩ DE,

{G} = CE ∩ AI. Să se arate că triunghiul DFG este echilateral.

Problema 4. Fie ABCD un trapez dreptunghic cu m ( A)m = 900, AB < CD și AC BD. Punctele M și

N sunt simetricele punctelor D și C față de punctul de intersecție a diagonalelor trapezului, iar MP

DC, P AC).

a) Arătați că patrulaterul MADP este romb;

b) Demonstrați că AM ND și BP DP.

SUCCES!


Timp de lucru 3 ore


Prof. Mureșan Corina - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare

Prof. Codrea Ioana Lucica – Colegiul Tehnic „Anghel Saligny” Baia Mare





CLASA a VIII a

1. Numerele trebuie să fie pătrate perfecte........................................1p

Dar ……………………………………………………………1p

și întrucât ultima cifră a numărului este 0 sau 5 rezultă ultima cifră a numărului

este 1 sau 6...................................................................................................2p

Deducem că .....................................................1p

Rezultă că …………………………………………………..1p

Rezultă ………………………………………………1p

2. Fie

………………………………………………………………...1p

Avem

, deci

…………………………………………………...1p

Rezultă de unde ………………………………………………2p

Dacă atunci

și obținem soluția

…………………………………………………………………1p

Dacă atunci

Obținem în acest caz soluția ……………………………………………………..1p

Soluția finală este

………………………………………………………..1p

3. Evident ………………………………………………….1p

Având în vedere relația din enunț deducem că sau

……………………………………………………………..2p

Pentru rezultă

pătrat perfect …………………………...2p

……………..1p

Pentru rezultă

nu este pătrat perfect………………………………1p

4. Folosim rezultatul analog din plan, anume:

Fie

………………………………………………………………….2p

Fie intersecțiile planului paralel cu dus prin cu muchiile

respective.

Notăm .

Atunci

…………………4p

Deoarece cea ce încheie demonstrația ………………………..1p

Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala ... · CLASA a V a Problema 1. În două...

Documents

Transcript of Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala ... · CLASA a V a Problema 1. În două...