Centrul de excelent,ă Hunedoara 25.11.2017

prof. Szép Gyuszi

Colegiul Nat,ional „Decebal”

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare

Exemple

1. Fiecare număr din figură este egal cu suma numerelor pe care se sprijină. Aflat,i numerele a, b s

,i c.

Olimpiada locală de matematică, Alba, 2008

3 a 8

b c

21

Solut,ie. Conform enunt

,ului, putem să scriem că:

b+ c = 21, a+ 3 = b s,i a+ 8 = c.

Atunci b + c = 21 ⇐⇒ a + 3 + a + 8 = 21 ⇐⇒ 2a + 11 = 21 ⇐⇒ 2a = 10 ⇐⇒ a = 5. Din

b = a+ 3 se obt,ine b = 8, iar din a+ 8 = c se obt

,ine c = 13.

2. Pe o tablă sunt scrise în ordine crescătoare numerele 1, 2, 3, . . . , 2008. Ioana s,i George inventează

următorul joc:

Ioana s,terge primul număr din s

,ir, George s

,terge al doilea număr dintre cele rămase, Ioana s

,terge al

treilea număr dintre cele rămase, s,.a.m.d. Jocul continuă până se ajunge la capătul s

,irului.

a) Care este ultimul număr s,ters s

,i cine l-a s

,ters?

b) Care este numărul de pe locul 777 dintre numerele rămase la sfârs,itul jocului?

Olimpiada locală de matematică, Bacău, 2008

Solut,ie. a) Scriem mai jos s

,irul de numere s

,i, sub fiecare număr s

,ters, scriem init

,iala numelui copilului

care a s,ters numărul respectiv:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 · · · 2007 2008

I G I G I G G

Observăm că Ioana a s,ters numerele din s

,irul 1, 5, 9, 13, 17, . . . , adică a s

,ters numerele de forma

M 4 + 1.

Pe de altă parte, George a s,ters numerele din s

,irul 3, 7, 11, 15, 19, . . . , adică a s

,ters numerele de

forma M 4 + 3.

1

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare Clasa a V - a

Cum 2007 este de forma M 4 + 3, atunci rezultă că ultimul număr s,ters este 2007, iar acest număr

a fost s,ters de către George.

b) Observăm că numerele rămase la sfârs,itul jocului sunt: 2, 4, 6, 8, 10, . . . , de unde deducem că

numărul situat în acest s,ir pe pozit

,ia 777 este 777 · 2 = 1554.

3. Reconstituit,i adunarea:

L A L E L E +

A L E L E

L E L E

E L E

L E

E

2 ∗ 8 ∗ 3 6

unde la litere diferite corespund cifre diferite, la litere identice corespund cifre identice, iar „∗” poate

să reprezinte orice cifră. Găsit,i toate solut

,iile posibile.

Solut,ie. Vom folosi notat

,ia u(x) pentru ultima cifră a numărului natural x. Observăm că u(E + E +

E + E + E + E) = u(6 · E) = 6. Atunci E = 1 sau E = 6.

Pentru E = 1 obt,inem că u(L+ L+ L+ L+ L) = u(5 · L) = 3, ceea ce este fals.

Pentru E = 6, avem că u(5 · L + 3) = 3, iar de aici, t,inând cont s

,i de faptul că L este s

,i prima

cifră a numărului LALELE s,i rezultatul final începe cu cifra 2, deducem că L = 2. Ajungem astfel la

adunarea:

2 A 2 6 2 6 +

A 2 6 2 6

2 6 2 6

6 2 6

2 6

6

2 ∗ 8 5 3 6

Din această adunare deducem că A = 1, A = 3 sau A = 4.

As,adar, numărul LALELE poate să fie: 212626, 232626 sau 242626.

4. Se consideră s,irul de numere: 1, 3, 6, 10, 15, 21 , . . .

a) Completat,i s

,irul cu următoarele 3 numere.

b) Aflat,i cel de-al 2018-lea număr din s

,ir.

c) Determinat,i cât

,i divizori naturali are numărul egal cu diferent

,a termenilor de pe pozit

,iile 2018 s

,i

2017 din s,ir.

Solut,ie. a) Observăm că numerele din s

,ir se pot scrie astfel:

1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, . . .

Următoarele 3 numere din s,ir vor fi: 1 + 2+ 3+ · · ·+ 7, 1 + 2+ 3+ · · ·+ 8 s

,i 1 + 2 + 3 + · · ·+ 9, adică

28, 36 s,i 45.

2

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare Clasa a V - a

b) Cel de-al 2018-lea număr din s,ir va fi 1 + 2 + 3 + · · ·+ 2018 = 2018 · 2019 : 2 = 2037171.

c) Diferent,a termenilor de pe pozit

,iile 2018 s

,i 2017 din s

,ir este:

1 + 2 + 3 + · · ·+ 2018− 1− 2− 3− . . .− 2017 = 2018

Dacă descompunem numărul 2018 în factori primi, avem 2018 = 2 · 1009. Prin urmare, 2018 va avea 4

divizori.

5. Punet,i în cerculet

,e semnele „+” s

,i „−” s

,i, dacă este necesar, punet

,i paranteze, fără a schimba ordinea

termenilor, pentru ca relat,ia următoare să fie adevărată:

1© 2© 3© 4© 5© 6© 7© 8© 9 = 1.

Solut,ie. Putem să scriem 1 + 2− (3 + 4− 5) + 6− (7 + 8− 9) = 1.

6. În triunghiul de mai jos, toate cifrele nenule apar câte o singură dată, astfel încât suma numerelor de

pe fiecare latură să fie aceeas,i.

a) Precizat,i suma numerelor de pe fiecare latură.

b) Înlocuit,i literele cu cifre, pentru a obt

,ine această sumă.

1 c d 3

b

a

2

f

e

Solut,ie. a) Suma numerelor de pe cele 3 laturi este:

(1 + b+ a + 2) + (1 + c+ d+ 3) + (2 + f + e+ 3) = (1 + 2 + 3 + · · ·+ 9) + (1 + 2 + 3) = 51,

deoarece s,tim că lucrăm doar cu cifrele 1, 2, . . . , 9, iar cifrele 1, 2 s

,i respectiv 3 fac parte din câte două

laturi ale triunghiului.

Astfel, t,inând cont de faptul că triunghiul are 3 laturi, suma numerelor de pe fiecare latură este

51 : 3 = 17.

b) Cifrele 1, 2 s,i 3 apar deja pe laturile triunghiului. De aici deducem că pentru a, b, c, d, e s

,i f

pot fi alese doar cifrele 4, 5, 6, 7, 8 s,i 9.

S,tim că suma numerelor de pe fiecare latură este egală cu 17. Atunci rezultă că a+b = 14, c+d = 13

s,i e+ f = 12. O solut

,ie posibilă este: a = 5, b = 9, c = 6, d = 7, e = 8 s

,i f = 4.

P.S. Găsit,i s

,i alte solut

,ii!

7. În fiecare din cele 9 căsut,e ale unui pătrat este scrisă cifra 0. Alegem un pătrat format din 4 căsut

,e

alăturate s,i mărim cu câte o unitate toate cele 4 numere din căsut

,ele pătratului ales. Repetăm această

operat,ie de 100 de ori. În final se obt

,ine:

40 e f

b c d

15 a 29

3

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare Clasa a V - a

Aflat,i numerele a, b, c, d, e, f .

Solut,ie. Pentru ca numărul din colt

,ul stânga-sus să crească de la 0 la 15, pătratul cu 4 căsut

,e care

cont,ine pe 15 trebuie să fie ales de 15 ori.

Pentru ca numărul din colt,ul dreapta-sus să crească de la 0 la 29, pătratul cu 4 căsut

,e care cont

,ine

pe 29 trebuie să fie ales de 29 ori.

Pentru ca numărul din colt,ul stânga-jos să crească de la 0 la 40, pătratul cu 4 căsut

,e care cont

,ine

pe 40 trebuie să fie ales de 40 de ori.

Atunci a = 15 + 29 = 44 s,i b = 15 + 40 = 55.

Pătratul cu 4 căsut,e care cont

,ine pe f trebuie să fie ales de: 100− (15 + 29 + 40) = 16 ori. Atunci

f = 16, e = 16 + 40 = 56, d = 29 + 16 = 45 s,i c = 100.

8. Se consideră împărt,irea:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ 2 1

= = ∗

∗

∗ ∗

∗ ∗

= = ∗

∗

=

a) Dat,i un exemplu de astfel de împărt

,ire.

b) Câte împărt,iri de acest tip se pot efectua? Justificat

,i răspunsul.

Solut,ie. a) Un exemplu de astfel de împărt

,ire:

1 0 1 0 5 5

1 0 2 0 2 1

= = 1

0

1 0

1 0

= = 5

5

=

Împărt,itorul are o singură cifră, iar rezultatul după prima împărt

,ire trebuie să fie un număr de două

cifre. De aceea, împărt,itorul trebuie să fie mai mare sau egal cu 5.

b) Câtul împărt,irii trebuie să fie un număr de forma ab21. Nu putem avea a = 1, pentru că, după

prima împărt,ire, rezultatul obt

,inut nu va fi un număr de două cifre.

Avem următoarele posibilităt,i:

• Dacă împărt,itorul este 5, atunci a ∈ {2, 3, . . . , 9}.

• Dacă împărt,itorul este 6, atunci a ∈ {2, 3, . . . , 9}.

4

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare Clasa a V - a

• Dacă împărt,itorul este 7, atunci a ∈ {2, 3, . . . , 9}.

• Dacă împărt,itorul este 8, atunci a ∈ {2, 3, . . . , 9}.

• Dacă împărt,itorul este 9, atunci a ∈ {2, 3, . . . , 9}.

Prin urmare, se pot efectua 5 · 8 = 40 de astfel de împărt,iri.

9. Pe tablă sunt scrise numerele 3, 7, 12, 14, 22, 35, 49. Doi elevi s,terg câte 3 numere. Un al treilea elev

constată că suma numerelor s,terse de unul dintre ei este de 4 ori mai mare decât suma numerelor s

,terse

de celălalt. Să se determine numărul rămas pe tablă.

Olimpiada locală de matematică, Bucures,ti, 2008

Solut,ie. Calculăm suma tuturor numerelor. Obt

,inem:

3 + 7 + 12 + 14 + 22 + 35 + 49 = 142.

Presupunem că suma numerelor s,terse de către unul dintre elevi este S. Atunci celălalt elev a s

,ters

numerele cu suma 4 · S. Toate numerele care au fost s,terse de pe tablă au suma S +4 · S = 5 ·S, adică

suma celor 6 numere s,terse este divizibilă cu 5.

Numărul rămas pe tablă poate să fie 7, 12 sau 22.

Singura solut,ie este 22.

5

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare Clasa a V - a

Probleme propuse

1. Determinat,i numărul de aparit

,ii ale cifrei 0 în scrierea completă a numărului

A = 600599598597 . . .502501500.

2. Fie s,irul de numere naturale: 207, 211, 215, 219, 223, . . .

a) Completat,i s

,irul cu încă 4 numere.

b) Stabilit,i dacă numerele 2007 s

,i 2017 sunt termeni ai s

,irului.

c) Calculat,i suma primilor 2017 termeni din s

,ir.

3. Se consideră tabloul:

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

........................

a) Cu ce număr începe al optulea rând?

b) Calculat,i suma numerelor din rândul 100.

4. În pătratul de mai jos sunt scrise numere naturale, astfel încât suma numerelor situate pe linii, pe

coloane s,i pe diagonale să fie aceeas

,i. O parte din numere au fost s

,terse.

12 24

15 3

a) Ce număr este în primul pătrăt,el din stânga sus?

b) Completat,i pătrăt

,elele cu numerele corespunzătoare.

5. Aflat,i numărul paginilor unei cărt

,i, s

,tiind că cifra 3 s-a folosit la numerotarea paginilor sale de 72 de

ori.

6. Într-un grup sunt 19 persoane. Doar 12 poartă ochelari s,i doar 13 au ceas. Câte persoane din acest

grup au ceas s,i poartă ochelari?

7. Pentru numerotarea paginilor unei cărt,i s-au folosit 1191 cifre. De câte ori s-a folosit cifra 6?

8. În câte moduri pot fi as,ezate 3 pălării diferite pe 3 cuiere diferite? Dar pe 4 cuiere diferite?

9. Câte semne „+” sunt în egalitatea 3 + 3 + 3 + · · ·+ 3 = 2019?

10. Un număr va fi numit acceptabil dacă produsul cifrelor sale este 15. Câte numere acceptabile de 3 cifre

există? Dar numere acceptabile de 4 cifre?

6

Jocuri, s,iruri s

,i probleme de numărare Clasa a V - a

Centrul de excelent,ă Hunedoara 25.11.2017

prof. Szép Gyuszi

Colegiul Nat,ional „Decebal”

TEMĂ

1. Câte numere sunt în s,irul 8, 11, 14, 17, 20, . . . , 308, 311?

2. Câte numere naturale de forma abcd se împart exact la a0c?

3. Se consideră s,irul de numere naturale 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, . . . s

,i un al doilea s

,ir care are ca

termeni numere obt,inute efectuând suma cifrelor la fiecare din termenii primului s

,ir: 0, 7, 5, 12, 1, 8,

6, 13, . . .

a) Să se scrie, pentru fiecare s,ir în parte, următorii 5 termeni.

b) Să se determine al 2017-lea termen din primul s,ir.

4. Câte zerouri are la sfârs,it numărul A = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 60?

5. Într-o cutie cu chibrituri sunt mai put,in de 50 de bet

,e. Scoatem afară din cutie un număr de bet

,e egal

cu suma cifrelor din care este alcătuit numărul. Câte bet,e rămân în cutie?

6. Pe tablă sunt scrise numerele 29 s,i 30. Un pas înseamnă scrierea pe tablă a unui număr nou, egal cu

suma oricăror două dintre numerele deja scrise pe tablă. Este posibil ca, după mai mult,i pas

,i, pe tablă

să fie scris numărul 2009?

7. Câte numere naturale cuprinse între 1909 s,i 2105 există?

8. Felix are într-un sertar 11 s,osete albe, 6 s

,osete negre, 15 s

,osete verzi s

,i 8 s

,osete albastre.

a) Care este cel mai mic număr de s,osete pe care trebuie să le scoată Felix din sertar, fără a le privi,

pentru a fi sigur că două dintre ele au aceeas,i culoare?

b) Care este cel mai mic număr de s,osete pe care trebuie să le scoată Felix din sertar, fără a le privi,

pentru a fi sigur că are câte o pereche din fiecare culoare?

9. Se consideră numerele S1 = 1, S2 = 3 + 5, S3 = 7 + 9 + 11, S4 = 13 + 15 + 17 + 19, . . .

Determinat,i numărul S20.

10. Câte pătrate perfecte se pot forma folosind 1000 cifre de 7, 2000 cifre de 8 s,i 2018 zerouri? Justificat

,i

răspunsul.

11. Cele 25 de pătrăt,ele ale unui pătrat 5 × 5 se colorează cu 4 culori. Arătat

,i că oricum am colora

pătrăt,elele, există întotdeauna cel put

,in o linie s

,i o coloană pe care se află cel put

,in două pătrăt

,ele cu

aceeas,i culoare.

12. În câte moduri se pot alege două numere naturale nenule distincte mai mici decât 20, astfel încât ultima

cifră a produsului lor să fie egală cu 0.

7