Ce Este Decibelul Si Caracteristica BODE

Control Numeric ____________________________________________________________Ioan P. MIHU

_____________________________________________________________________ 1

1. Ce este decibelul? Istoria utilizării acestei unităţi de măsură este legată de proprietăţile fiziologice ale sistemului auditiv uman. Spre exemplu (figura 1), dacă se aplică unui difuzor un semnal cu o putere de 1 W el va crea o anumită presiune acustică iar aceasta va produce ascultătorului un anumit nivel al intensităţii auditive. Dacă repetăm experienţa şi aplicăm difuzorului o putere de 100 W, în aceleaşi condiţii de ascultare şi randament al difuzorului, nu se va crea o senzaţie auditivă de 100 ori mai puternică ci doar de aproximativ 20 ori (!), adică egală cu logaritmul raportului celor două puteri.

1 W 100 W Figura 1. Referitor la intensitatea senzaţiei auditive Rezultatul este în concordanţă cu legea Weber-Fechner, care arată că "intensitatea unei senzaţiei (exemplu cea auditivă) este proporţională cu logaritmul stimulului (puterea acustică)". Aşa cum se observă din figura 2, aceleaşi diferenţe ale intensităţii senzaţiei sonore sunt cauzate de diferenţe diferite ale stimulului la nivele diferite de intensitate.

Intensitateasenzatiei

Praguldurerii

Putereacusticã

Figura 2. Referitor la legea Weber-Flechner. Nu doar în domeniu intensităţii, ci şi în perceperea frecvenţelor, auzul uman este tributar unei scări logaritmice. Astfel dacă diferenţa dintre 100 Hz şi 200 Hz este percepută ca o octavă, la fel ca şi diferenţa dintre 1000 şi 2000 Hz este percepută tot ca o octavă. De aceea este adecvat a utiliza ca unitate de măsură pentru mărimile destinate a fi percepute auditiv sau vizual, decibelul, aşa cum va fi definit în continuare. Există două modalităţi în care el este definit şi folosit: ca unitate de măsură relativă sau unitate de măsură absolută.


_____________________________________________________________________ 2

1.1. Decibelul - unitate de măsură relativă. Decibelul [dB] reprezintă de regulă logaritmul zecimal al raportului dintre puterea de ieşire şi puterea de intrare a unui circuit, multiplicat de zece ori.

[A ] = 10 logP

P = 10 lg

P

PP dB 102

1

2

1

(1)

Pentru amplificarea în tensiune, exprimarea ei în decibeli va fi:

[A ] = 20 logU

U = 20 lg

U

UU dB 102

1

2

1

(2)

Spre exemplu dacă considerăm un amplificator a cărui tensiune de intrare este de 10 mV iar cea de ieşire este de 10 V, câştigul în tensiune al amplificatorului, exprimat în decibeli va fi :

[A ] = 20 lgU

U = 20 lg

10

10 dBU dB

2

1 - 2 = ⋅ =20 3 60

În decibeli se poate exprima şi atenuarea introdusă de un circuit. Atenuatorul poate fi privit ca un amplificator cu câştig subunitar. De exemplu, la un atenuator care are la intrare o tensiune de 1V iar la ieşire o tensiune de 0,01 V, atenuarea va fi:

[a ] = 20 lgU

U = 20 lg

10

1 dBU dB

2

1

- 2

= ⋅ − = −20 1 20( )

1.2. Decibelul - unitate de măsură absolută. În multe puncte de măsură ale unor circuite interesează de obicei valorile absolute ale tensiunilor sau puterilor. Pentru a putea exprima valoarea absolută a acestor mărimi în decibeli, trebuie aleasă o mărime de referinţă, faţă de care se vor raporta mărimile de măsurat. • Prin convenţie, în domeniul electric se consideră de referinţă, puterea de 1 mW, pe o

sarcină de 600 Ω, pe care tensiunea va fi 0,7745 V iar curentul prin ea va fi de 1,29 mA (P=I2⋅R).

Referinta: P mW

R

U mV

I mA0

0

0

0

==

⇒≅

=

1

600

0 775

1 29Ω,

, (3)

• În domeniul acustic, nivelul de referinţă este considerat prin convenţie, presiunea sonoră

de 2⋅10 -4 µbar. Astfel atunci când se afirmă că zgomotul produs de o instalaţie este de 100 dB, puterea acustică ce îl generează are valoarea P:

•

100 dB =10 lgP

P =10 lg

P

2 100 - 4⋅

⇒ P=2⋅106 µbar

Avantajul folosirii acestei unităţi de măsură (decibelul), este în primul rând acela că exprimarea proprietăţilor de amplificatoarelor sau atenuatoarelor sunt mult mai aproape de percepţia umană, precum şi faptul că atunci când avem lanţuri de transmisie a unui semnal, amplificarea globală se obţine adunând amplificările fiecărui etaj.


_____________________________________________________________________ 3

2. Caracteristici Bode. Comportarea circuitelor la semnale de frecvenţe diferite (analiza în domeniul frecvenţă), reprezintă unul dintre cele mai importante instrumente de analiză ale ingineriei electronice.

Această comportare este complet descrisă de funcţia de transfer a circuitului analizat. Astfel, pentru reţeaua liniară din figura 3 în ipoteză că este alimentată de o tensiune sinusoidală, funcţia de transfer poate fi scrisă ca produse de polinoame de gradul 1 sau 2, atât la numărător cât şi la numitor:

Figura 3.

∏∏

∏∏

+

⋅⋅+

⋅+⋅

+

⋅⋅+

⋅+⋅

⋅==

n n

2

nm

p

k k

2

ki

z

1

2

1ω

s2

ω

s)

s(1s

1ω

s2

ω

s)

s(1s

K U

UH(s)

ζω

ζω

m

i (4)

Caracteristica de frecvenţă se obţine din relaţia (4) făcând s = jω. Ea este o mărime complexă, dependentă de frecvenţa semnalului de intrare. Exprimarea sub formă de produse de polinoame de gradul unu şi doi atât la numărător cât şi la numitor pune uşor în evidenţă rădăcinile polinoamelor de la numărător şi numitor. Rădăcinile numărătorului se numesc zerouri iar rădăcinile numitorului poli. Caracteristica de frecvenţă poate fi scrisă sintetic ca în relaţia (5):

)jω( H arg j

jω e )jω(H )s(H)jω(H ⋅==

=s (5)

Analiza dependenţei caracteristicii de frecvenţă de frecvenţa semnalului se poate face cu ajutorul caracteristicilor Bode.

[ ]

( ) 0ω pt. , )jω(H arg

0ω pt. , )jω(H lg20 )jω(H

H

dB

≥=≥⋅=

ϕ (6)

Cele două grafice mai poartă denumirea de "caracteristică de amplitudine " respectiv " caracteristică de fază ". Aşa cum se observă din relaţia (6), modulul funcţiei de transfer se exprimă în decibeli. Cu ajutorul câtorva reguli uşor de aplicat, caracteristicile Bode pot fi lesne trasate şi deşi "aproximative", ele reprezintă un instrument simplu, rapid şi util pentru analiza comportării circuitelor în domeniul frecvenţă .

Circuit liniar

(R, L, C)

I1 I2

U1 U2

Caracteristica Bode

Este o reprezentare grafică a modulului şi fazei caracteristicii de frecvenţă în care: • frecvenţa este reprezentată în coordonate logaritmice; • graficul modulului şi fazei sunt aproximate cu segmente de dreaptă; • valorile modulului sunt calculate în decibeli.


_____________________________________________________________________ 4

Tip funcţie Factor Caracterisici Bode

1 Constantă k

2 Zero simplu în

origine s

3 Pol simplu în

origine s

1

4 Zero multiplu

în origine sn

5 Pol multiplu în

origine ns

1

ϕ

|H|dB

- n 900

1

-n20 dB/dec ω

ω

ϕ

|H|dB

- n 900

1

+n20 dB/dec

ω

ω

ϕ

|H|dB

-900

1

-20 dB/dec ω

ω

ϕ

|H|dB

+900

1

+20 dB/dec

ω

ω

ϕ

|H|dB

00

1

20 lg k

ω

ω


_____________________________________________________________________ 5

6 Zero simplu 0ω

s+1

7 Pol simplu

0ω

s+1

1

8 Zero multiplu n

0ω

s+1

9 Pol multiplu n

0ω

s+1

1

10 Zerouri

complexe conjugate

1ω

s2

ω

s

0

2

0

+

⋅⋅+

ζ

ω0

ϕ

|H|dB

+1800

ω

+40 dB/dec

20⋅lg(2ζ)

ω 5-ζ ⋅ω0 5

ζ ⋅ω0

ω0

ϕ

|H|dB

-n900

ω

-20 n dB/dec

0,1⋅ω0 ω 10⋅ω0

ω0 ϕ

|H|dB

+n900

+20 n dB/dec

0,1⋅ω0 10⋅ω0

ω

ω

ω0

ϕ

|H|dB

-900

-20 dB/dec

0,1⋅ω0 10⋅ω0

ω

ω

ω0 ϕ

|H|dB

+900

+20 dB/dec

ω

ω 0,1⋅ω0 10⋅ω0


_____________________________________________________________________ 6

11

Poli complecşi conjugaţi

1

ω

s2

ω

s

1

0

2

0

+

⋅⋅+

ζ

Tabelul 1. Caracteristici Bode (sinteză)

Alte detalii despre caracteristica Bode:

• Reguli simple pentru a memora uşor forma caracteristicii Bode: o În dreptul unui pol simplu, caracteristica de amplitudine se frânge cu 20

dB/dec în jos, aidoma „frângerii unui băţ pe genunchi”, o Datorită unui pol simplu, caracteristica de fază se schimbă în intervalul [0 ÷ ∞]

cu -900, în dreptul polului, graficul având orientarea „în jos”. o Pentru zerouri, este invers. o Pentru, poli multipli sau zerouri multiple de ordin n, efectele sunt amplificate

de n ori. • Decada reprezintă intervalul de frecvenţă de la 10n Hz, până la 10(n+1) Hz. Toate

decadele se întind pe acelaşi spaţiu (cm) pe axa frecvenţelor . • Sintagma des întâlnită „+20 dB/dec” are semnificaţia din figura de mai jos, unde se

observă că într-un interval de frecvenţe de o decadă, (de la 10n Hz, până la 10n+1 Hz), amplificarea creşte cu 20 dB.

Figura 4. Creştere de 20 dB/dec.

• Graficul exact al caracteristicilor de amplitudine şi de fază = asimptotic la segmentele de dreaptă (linia punctată). În dreptul unui pol sau al unui zerou, diferenţa dintre valoarea exactă şi aproximaţia Bode este de 3 dB.

ωi ϕ

|H|dB

f

+20 dB/dec

102 102 102 101 [Hz] 102

20

40

60

80

decadă

20 dB

ω0

ϕ

|H|dB

-1800

-40 dB/dec

-20⋅lg(2ζ)

ω

ω

5-ζ ⋅ω0 5ζ ⋅ω0


_____________________________________________________________________ 7

• Pentru situaţia descrisă la punctul 10 din tabel (zerouri complex conjugate), caracteristica are un minim dacă 0 < ζ < 0.707. În acest caz, caracteristica de frecvenţă reală este asimptotică la cele două segmente de dreaptă, dar trece prin punctul de minim (marcat cu steluţă în desen), ca în figura de mai jos. Ordonata punctului de minim are valoarea -20 lg(2ζ).


• Pentru situaţia descrisă la punctul 11 din tabel (poli complex conjugaţi), caracteristica are un maxim dacă 0 < ζ < 0.707. În acest caz, caracteristica de frecvenţă reală este asimptotică la cele două segmente de dreaptă, dar trece prin punctul de maxim (marcat cu steluţă în desen), ca în figura de mai jos. Ordonata punctului de minim are valoarea +20 lg(2ζ).


• În electronică se mai foloseşte noţiunea de octavă. Octava este o unitate de măsura

relativa a frecventei sau a lărgimii de banda si exprima un raport intre frecvente de 2:1, respectiv o lărgime de banda ce acoperă un raport de frecvente de 2:1, nu de 10:1, cum este la decadă. Spre exemplu un interval de frecvenţă cuprins intre 1 kHz si 16 kHz acoperă 4 octave, şi anume: [1kHz ÷2KHz], [2kHz ÷4KHz], [4kHz ÷8KHz], şi [8kHz ÷16KHz].

f

-40 dB/dec

102 102 102 101

[Hz]

102

-40

-20

0

20

+20⋅lg(2ζ)

ω0

|H|dB

f

+40 dB/dec

102 102 102 101

[Hz]

102

-20

0

20

40

-20⋅lg(2ζ)

ω0

|H|dB

Ce Este Decibelul Si Caracteristica BODE

Documents

Transcript of Ce Este Decibelul Si Caracteristica BODE