14533 G.M. 10/1974 n triunghiul ABC se noteaz cu A, B, C mijloacele laturilor [ BC ] , [CA] , respectiv [ AB ] . Dac E , F , G sunt trei puncte coliniare situate respectiv pe dreptele BC , C A i AB , atunci AE , BF i CG ntlnesc dreptele BC , CA i AB respectiv n trei puncte coliniare.S. Sava, Constan a

Solu ie.

Se noteaz

{M } = AE BC , { N } = BF CA

i

{P} = CG AB .

Conform teoremei lui

ABC pentru transversala EFG , putem scrie : EB FC GA =1 (1) EC FA GB i ACM , [ EC ] i [ EB] sunt linii mijlocii, deci BM = 2 EC , n triunghiurile ABM CM = 2 EB ; analog, CN = 2 FA, AN = 2 FC , AP = 2GB, BP = 2GA . BM CN AP 2 EC 2 FA 2GB Se calculeaz produsul = = 1 , folosind rela ia (1) . CM AN BP 2 EB 2 FC 2GA Rezult (reciproca teoremei lui Menelaus) coliniaritatea punctelor M , N , P , q.e.d.Menelaus n triunghiul

16053 G.M. 9/1976 Fie ABC un triunghi oarecare, iar AA1 , BB1 , CC1 trei ceviene concurente ( A1 ( BC ) , B1

( CA) , C1 ( AB ) ) .

Not m

{ A2 } = B1C1 BC , {B2 } = C1 A1 CA, {C2 } = A1 B1 AB .D.Bu neag, Craiova

S

se

demonstreze c punctele

A2 , B2 , C2 sunt coliniare.

Solu ie.

Teorema lui Ceva pentru cevienele concurente Se scrie teorema lui Menelaus n triunghiul

AA1 , BB1 , CC1 se scrie

A1C C1 B B1 A =1 A1 B C1 A B1C

ABC , intersectat de transversalele : A2 B B1C C1 A AB BA CB - C1 B1 A2 : =1 2 = 1 1 (1) A2C B1 A C1 B A2C B1C C1 A B2C C1 A A1 B B C C B AC - A1C1 B2 : =1 2 = 1 1 ( 2) B2 A C1 B A1C B2 A C1 A A1 B C2 A A1 B B1C C A AC B A - A1 B1C2 : =1 2 = 1 1 ( 3) C2 B A1C B1 A C2 B A1 B B1CPrin nmul irea rela iilor

(1) ( 3) membru cu membru rezult2

:

A2 B B2C C2 A A1C C1 B B1 A = =1 A2C B2 A C2 B A1 B C1 A B1C Reciproca teoremei lui Menelaus ne asigur de coliniaritatea punctelor

A2 , B2 i C2 .

22440* G.M. 8/1991 Fie ABCD un patrulater convex, iar M i N mijloacele laturilor [ BC ] , respectiv [CD ] . S sedemonstreze c dac diagonala

[ BD ]

este mp r it

de

AM i AN n trei segmente

congruente, atunci

ABCD este paralelogram.Ioan D ncil , Bucure ti

Solu ie.

Fie -

{P} = AM BD , {Q} = AN BDn triunghiul

i

{O} = AC BD . Se scrie teorema lui Menelaus :

BOC , pentru transversala APM : BM AC OP OP AO =1 = (1) MC AO BP BP AC - n triunghiul DOC , pentru transversala AQN : DN AC OQ AO OQ =1 = ( 2) NC AO DQ AC DQ OP OQ 1 Din rela iile (1) i ( 2 ) rezult = . Cum ns BP = DQ = BD , rezult OP = OQ . BP DQ 3 1 1 Din OP + OQ = PQ = BD deducem OP = OQ = BD . Se calculeaz OB = OP + BP = 3 6 1 1 1 1 = BD + BD = BD ; rezult OD = BD OB = BD = OB . 6 3 2 2 1 BD AO OP 6 1 1 1 Din rela ia (1) , = = = AO = AC OC = AC AO = AC = AO . AC BP 1 BD 2 2 2 3 ntruct diagonalele sale se njum t esc, patrulaterul ABCD este paralelogram.

22497 G.M. 10/1991ntr-un triunghi oarecare ABC se duce o cevian arbitrar

AD, D ( BC ) i fie M ( AB ) ,

N ( AC ) picioarele simedianelor din D n triunghiurile ABD , respectiv ADC . Not m cu Pintersec ia dreptelor

BC i MN . Demonstra i c PD 2 = PB PC .Nicolae Oprea, profesor, Satu Mare

Solu ie.

Dac ntr-un triunghi

ABC , D este mijlocul lui ( BC ) i S piciorul simedianei din A , conform

rela iei lui Steiner, putem scrie :

BS BD AB 2 BS AB 2 = = CS CD AC 2 CS AC 2 Acest rezultat se aplic n triunghiurile ADB i ADC : AM AD 2 AN AD 2 = ; = BM BD 2 BN CD 2 Teorema lui Menelaus n triunghiul ABC pentru transversala MNP se scrie : AM PB CN AD 2 PB CD 2 PB BD 2 =1 =1 = BM PC AN BD 2 PC AD 2 PC CD 2 Dac C ( PB ) , atunci PB PC = BC = a . Se evalueaz raportul : PB PC BD 2 CD 2 a CD 2 a BD 2 = PC = , PB = PC CD 2 BD 2 CD 2 BD 2 CD 2 ( BD + CD ) CD + BD 2 CD 2 = a CD 2 Calcul m PD = PC + CD = + CD = CD BD 2 CD 2 BD 2 CD 2 CD BD CD a = BD CD + CD 2 + BD 2 CD 2 ) = 2 2 ( BD CD BD 2 CD 2BD 2 a CD 2 a BD CD a Rela ia PD = = = PB PC se verific prin calcul 2 2 BD 2 CD 2 BD 2 CD 2 BD CD direct. Un ra ionament similar se efectueaz n cazul B ( PC ) .2 2

AM AN = , deci BM BN MN & BC , conform reciprocei teoremei lui Thales. n acest caz, punctul P ar fi aruncat laObserv m c nu putem avea

BD 2 CD 2 = 0 BD = CD ; ar rezulta

infinit.

25440 G.M.B. 12/2005 Fie ABC un triunghi oarecare i O Int ABC un punct mobil. Fie AO BC = { A} , BO CA = { B} , CO AB = {C } . Fie { D} = BC AO . S se arate c C D BC = constant . BD C BGh. Szllsy, Sighetu Marma iei Solu ie.

BA CB AC , k2 = , k3 = . Conform teoremei lui Ceva, avem k1k 2 k3 = 1 . CA AB BC CO CB CA 1 k k +1 Folosind rela ia lui Van Aubel, calcul m = + = k2 + = 1 2 (1) . OC AB BA k1 k1 AB 1 AB 1 Cu ajutorul propor iilor derivate, avem = = . CB k2 AC k2 + 1 Scriem teorema lui Menelaus n triunghiul C BC , pentru transversala ADO : C D AB OC = 1 ; inem seama de (1) i g sim BD AC OC C D AC C O k1 = = ( k2 + 1) ( 2) BD AB CO k1k2 + 1Se noteaz

k1 =

Tot cu metoda propor iilor derivate, calcul m:

CB k k = 2 CB = 2 b AC k2 + 1 k2 + 1 BC 1 BC 1 c = = BC = AC k3 AB k3 + 1 k3 + 1 C D BC k1 ( k2 + 1) k2b k3 + 1 b k1k2 ( k3 + 1) = = . BD C B k1k2 + 1 k2 + 1 c c k1k2 + 1 C D BC b AC = = = constant . Dar k1k 2 ( k3 + 1) = k1k2 k3 + k1k 2 = 1 + k1k 2 . Rezult c BD C B c ABn concluzie,

C:1262 G.M. 5/1992 n interiorul triunghiului ABC consider m un punct M . Prin acesta ducem paralele la laturile triunghiului : A1 A2 & BC , B1 B2 & AC i C1C2 & AB , punctele A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 fiind situate pe AA BB CC laturile triunghiului. S se arate c : 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2 . BC AC ABIon Brnzan, profesor, Craiova Solu ie.

Fie

{ A} = AM BC , {B} = BM CA, {C } = CM AB .

Deoarece

A1 A2 & BC , au loc

asem n rile :

A1 A2 AA1 = ; BC AB AA1 AM A1 A2 AM BB BM - AMA1 AAB = . Rezult = ; analog, avem 1 2 = i AB AA BC AA AC BB C1C2 CM = . AB CC BA CB AC Se noteaz rapoartele : k1 = , k2 = , k3 = . Teorema lui Ceva se scrie k1k 2 k3 = 1 . CA AB BC -

AA1 A2 ABC

Se scrie rela ia lui Van Aubel :

AM AC AB 1 k k +1 AM k2 k3 + 1 = + = k3 + = 2 3 = MA BC CB k2 k2 AA k2 k3 + k2 + 1 BM BA BC 1 k k +1 BM k3 k1 + 1 k k +1 k k k +k = + = k1 + = 3 1 = = 3 1 = 3 2 1 2 = MB CA AC k3 k3 BB k3 k1 + k3 + 1 1 + k + 1 1 + k2 k3 + k2 3 k2 1 + k2 = k 2 k3 + k 2 + 1 CM CB CA 1 k k + 1 CM k1k2 + 1 k1k2 + k1k2 k3 = + = k2 + = 1 2 = = = MC AB BA k1 k1 CC k1k2 + k1 + 1 k1k2 + k1 + k1k2 k3

=

k1k2 (1 + k3 ) k1 ( k2 + 1 + k2 k3 )

=

k 2 + k 2 k3 k 2 + 1 + k 2 k3

Prin adunarea celor trei rela ii, ob inem :

A1 A2 B1 B2 C1C2 k2 k3 + 1 + 1 + k2 + k2 k3 + k2 2 ( k2 k3 + k2 + 1) + + = = = 2 , q.e.d. BC AC AB k 2 k3 + k 2 + 1 k 2 k3 + k 2 + 1

22421* - G.M. 7/1991 Se d un tetraedru ABCD

A1 CD, A2 CB, C1 AD i C2 AB . Se noteaz { E} = BC1 DC2 i { F } = BA1 DA2 . S se arate c dreptele AE i CF sunt concurente.Florentin Smarandache, matematician, Craiova

i patru puncte coplanare

Solu ie.

planul ce con ine punctele A1 , A2 , C1 , C2 . Apar dou cazuri distincte. Cazul I Planul & BD . Rezult C1C2 & BD i A1 A2 & BD . Fie {G} = AE BD

Fie

i

{H } = CF BD .Se scrie teorema lui Ceva n

ABD pentru cevienele concurente AG, BC1 i DC2 : BG DC1 AC2 AC1 AC2 = 1 ; dar = (teorema lui Thales n ABD , C1C2 & BD ); DG AC1 BC2 DC1 BC2 BG rezult = 1 G este mijlocul lui [ BD ] . DG Un ra ionament similar n CBD arat c H este mijlocul lui [ BD ] ; rezult c AE i CF se

intersecteaz n acest caz n mijlocul lui Cazul al II-lea

[ BD ] . Planul BD ; fie { M } = BD .C1C2i

Dreptele coplanare

BD nu pot fi paralele, c ci ar rezulta BD & , contradic ieic

BD C1C2 = {M } , deoarece C1C2 . Analog se aratTeorema lui Menelaus n ABD pentru transversala

BD A1 A2 = {M } .

C1C2 M se scrie :

AC2 BM DC1 DC1 AC2 DM =1 = BC2 DM AC1 AC1 BC2 BM Se scrie teorema lui Ceva n ABD pentru cevienele concurente AG , BC1 i DC2 : BG DC1 AC2 BG DM BG BM =1 =1 = DG AC1 BC2 DG BM DG DM

BH BM BG = = H G . n acest caz, dreptele AE i CF se DH DM DG intersecteaz n punctul { M } = BD .Analog se arat c i

14530 G.M.10/1974ntr-un triunghi isoscel bisectoarea arate c

ABC , AB = AC , AB > BC , se construiesc n l imea

[ AD ]

i

[ BE ] ( D ( BC ) , E ( AC ) ) . Dreptele

AB i DE se intersecteaz n F . S se

DE AB BC = . DF AB + BCIon Safta, Pite ti

Solu ie.

Se scrie teorema lui Menelaus n triunghiul ABC pentru transversala DEF :

BD EC AF = 1. DC AE BF BD EC BC ns = 1 , deoarece n l imea [ AD ] este i median ; teorema bisectoarei ne d = DC AE AB AF AB = ; cu ajutorul propor iilor derivate, ob inem Rezult BF BC AF BF AB BC AB BC = BF = (1) BF BC AB BC CE BC CE BC AB BC Cum = , avem = CE = ( 2) AE AB AC AB + BC AB + BC Se scrie teorema lui Menelaus n triunghiul AFE pentru transversala BDC : AB DF CE DE CE =1 = . Dup ce nlocuim BF i CE din (1) i ( 2 ) , rezult BF DE AC DF BF

AB BC DE AB + BC AB BC = = , q.e.d. AB BC DF AB + BC AB BC