Catedra Metodos Numericos 2013 - UNSCH 13 [Modo de ... · METODOS NUMERICOS Ingeniería Civil...

CATEDRA 13

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

Capitulo XIII

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

II. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES2.1. Aspectos básicos.2.2. Teorema de Schur y Gershgorin2.3. Problemas propios de una matriz.2.4. Factorizaciones Ortogonales y problemas de mínimoscuadrados2.5. Método de QR de Francis para problemas de valorespropios2.6. Método mixtos evaluación de la determinante Iteraciónen un subespacio

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C0NTENIDO

Competencias:. Explica los conceptos de valores y vectores propios deuna matriz cuadrada.

. Explica los conceptos de polinomio característico y ecuación característica de una matriz.

. Explica el concepto de base propia.

. Explica el concepto de matriz diagonalizable.

. Determina cuando una matriz es diagonalizable y hallarla matriz de transición necesaria para diagonalizarla.

Definición:

VECTOR Y VALOR PROPIO

Dada la Matriz A nxn se llama valor propiode A al escalar y vector propio de Aal vector no nulo v tal que: nx1

AV= V

valor propio

vector propio

POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

SEA A y SEA V NO NULO,

AV = V entonces :

P( ) = det ( A- I)

det ( A - I ) = 0

nxn nx1

polinomio característico

ecuacióncaracterística

Tal que

SEA UN VALOR PROPIO DE A EL CONJUNTO:

nxn

CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO

CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

E = { V (A- I)V = 0 }nx1

observe que los v son las soluciones del sistemahomogéneo (A - I)V=0

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

1. Se halla los valores propios que son las raíces 1, 2 ,..., n de p( ) = det(A- I )= 0

2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A- I)v= 0, correspondiente a cada valor propio i

( son los vi )

EJEMPLO:

Hallar los valores y vectores propios de

A=

110421001

2.1. ASPECTOS BÁSICOSPara ingresar a los estudios de los valores propios de

una matriz debemos tener cierta familiaridad conmatrices y determinantes los números complejos.MATRICES, DEFINICIÓN, INTERPRETACIÓN

DEFINICIÓN: Llamaremos matriz a un arreglorectangular de entes (números, funciones, etc)ordenados en filas y columnas.

18/12/2013 10

2.1. Aspectos básicos.

2.1.2. ORDEN DE UNA MATRIZ: Se llama así al productode las filas y columnas

18/12/2013 11


nmmnmimm

ni

ni

ni

aaaa

aaaaaaaaaaaa

21

333231

222221

111211............

225243

525078990143

columnasfilasijnmij aa

2.1.3. MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNAMATRIZ FILA: Llamaremos matriz fila o vector fila aaquella matriz que posee sólo una fila y n columnas.La representamos del siguiente modo:

MATRIZ COLUMNA: Llamaremos matriz columna ovector columna a aquella matriz que posee sólo unacolumna y m filas.La representamos del siguiente modo:18/12/2013 12


nnaaaaA 11131211 ...,,,,

11

2111

mxma

aa

A

2.1.4. IGUALDAD DE MATRICES:Las matrices son iguales si tienen el mismo orden; esdecir el número de filas y columnas de cada una debende ser iguales y además cada elemento de una de ellastiene que ser igual al correspondiente de la otra.Su representación matricial es:

2.1.5. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

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njmiijij baBA ,...,3,2,1,...,2,1;

mnm

n

aa

aaA

1

111

2.1.5.SUMA DE MATRICES:Dadas las matricesla suma de ambas es otra matriz en la que cadaelemento de es igual a la suma de los elementoscorrespondientes de .Su representación matricial es:

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nmijnmij bByaA

nmijnmijij babaBAC

)(

2.1.6. PRODUCTO DE MATRICESEl producto de DOS es una matriz . El producto de lasmatrices estará definido correctamente si ; es decir si elnúmero de columnas de la matriz es igual al número defilas de la matriz .Su representación matricial es:

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nmijnpijpmij cBACbBaA

;

njmibacp

kkjikij ,...,1;,...,1;.

1

2.1.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES:1.MATRIZ CUADRADA: Cuando m=n ; se llama matrizcuadrada de orden y se denota por .

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nnijAA

102221106552'0897465000111111207800075968578234567890

7A

2.MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Llamaremos matriztriangular superior a aquella matriz cuyos elementosson ceros para ; y se representa como:

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nn

nnn

a

aaaaaaaaa

A

0000

...00

...0

...

333223221131211

3.MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Llamaremos matriz triangularinferior a aquella matriz cuyos elementos son ceros para ; y serepresenta como:

4.MATRIZ DIAGONAL: Llamaremos matriz diagonal a aquellamatriz donde todos sus elementos son ceros para , y serepresenta de la siguiente forma:

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nnmmm aaaa

aaaaa

a

A

321

3332312221

11

0...0...00...00

nna

aa

a

A

0000

0...000...000...00

3322

11

5. MATRIZ ESCALAR: Es aquella matriz diagonal donde todos loselementos son igual a una constante ; y se representa de lasiguiente manera:6. MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz escalar con ; y se representade la siguiente manera7. MATRIZ TRANSPUESTA: Dada una matriz ; llamaremostranspuesta de A denotada por a la matriz

(5) (6) (7)

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nmijaA

tA mnjia

mnnnn

mmm

t

mnmmm

nnn

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

...

...

...

...

...

...

...

...

321

333231323222121312111

321

333323122322211131211

K

KK

K

A

0000

0...000...000...00

10000

0...1000...0100...001

A

8. MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz cuadrada essimétrica si se cumple que los elementos ; es decir .

9. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si

10.MATRIZ HERMITIANASLas matrices cuadradas cuyos elementos tienen simetríaconjugada se le llama matriz Hermitianas es decir: , endonde * indica la conjugada compleja

(9) (10)18/12/2013 20


jiaa jiij ;

tAA

tAA

064602420

064602420

664602420

tt AAA

11. MATRIZ BANDAEs una matriz cuadrada en donde la mayor parte de los

elementos son ceros y los elementos con valor significativo estánagrupados alrededor de su diagonal principal en este caso sellama matriz banda.

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1100012100

012100012100011

A

Obs.•Las líneas paralelas a la diagonal principal se le llamacodiagonales.•El número total de diagonal y codiagonales con elementossignificativos es el ancho de banda (3 en este ejemplo).•Para matrices simétricas puede también hablarse de un ancho desemi – banda; que incluye a la diagonal principal (2 en el ejemploprecedente).•Una matriz banda tiene baja densidad. Considerando densidadcomo la razón entre el número de elementos con valorsignificativo y el número total de elementos.

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2.1.8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZDefinición: Determinante de una matriz A denotada por .

2.1.8.1. MENOR COMPLEMENTARIODefinición: Llamaremos menor complemento de un elementode una matriz A de tercer orden al determinante de una matrizcuadrada de segundo orden que se obtiene después de eliminar lafila i y la columna j; .El menor complementario de se denota por .

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AA )det(

22211211

aaaa

A 12212211 ..)det( aaaaA

"" ijM

)( ijMija ijM

Ejemplo

el menor complementario de:

es de es

2.1.8.2. COFACTOR DE UN ELEMENTOSea un elemento de una matriz A denotaremos cofactor yse define como:

18/12/2013 24


333231232221131211

33aaaaaaaaa

aA ij

33322322

11 aaaa

M11a

33321312

21 aaaa

M21a

ija ijA

ijji

ij MA 1

333231232221131211

aaaaaaaaa

A

1313

3113

121221

12

111111

11

1

1

1

MMA

MMA

MMA

131312121111 MaMaMaA

2.1.8.3. Propiedades:1. Si se intercambian una fila por una columna en su determinantesu valor no se altera.

2. Si todos sus elementos de una fila o columna son ceros eldeterminante es cero.3. Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas eldeterminante cambia de signo.

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333222111

321321321

cbacbacba

cccbbbaaa

321

321

321

321

321

321

cccaaabbb

cccbbbaaa

2.1.8.3. Propiedades:4. Si un determinante tiene dos filas ó dos columnas iguales oproporcionales su valor es cero.

5. Todos los elementos de una fila o columna de un determinantese multiplica por un número el valor del determinante quedamultiplicado por el número.

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0

321321321

ccckakakaaaa

321321321

321321321

321321321

cccbbbaaa

kccckbkbkbaaa

cckcbbkbaaka

2.1.8.3. Propiedades:6. Si todos los elementos de una fila o columna son expresadoscomo la suma de dos o más números, el determinante puedeexpresarse como la suma de dos o más determinantes

7. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se lemultiplica por m y a este resultado se le suma otra fila o columnael valor del determinante no se altera

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323232

321321321

321321321

cczbbyaax

cccbbbaaa

cczcbbybaaxa

322132213221

321321321

ccmccbbmbbaamaa

cccbbbaaa

2.1.8.4. ObservacionesLa determinante de una matriz triangular es igual al producto delos elementos de su diagonal principal.2.1.8.5. MATRIZ DE COFACTORESSea la matriz

entonces llamamos matriz de cofactores de la matriz A a la matriz; donde

18/12/2013 28


333231232221131211

aaaaaaaaa

A

333231232221131211

AAAAAAAAA

CA ijji

ij MA 1

414221422422414

315153531

CAA

2.1.8.6. MATRIZ ADJUNTASe llama así a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores y sedenota por

2.1.8.7. MATRIZ INVERSA.Supongamos la matriz cuadrada tiene , entonces la inversa de lamatriz A denotada por es

18/12/2013 29


332313322212312111

)(AAAAAAAAA

CAAadj t

3636126363

)(363

6126363

987654321

AadjCAA

ACAAadj

AA

t )(11

21.1.8.8. RANGO DE UNA MATRIZ:Se llama rango de una matriz A de orden nxn, al orden de lamatriz cuadrada mas grande contenida en A cuyo determinantees diferente de cero y se denota r(A) = rango de A.Debemos resaltar que el r(A) ≤ min:{m,n} donde la matriz A en de

orden de mxn.2.1.8.10. LONGITUD DE UN VECTORSupongamos x un vector en R2, su longitud denotado por |x| esdefinido como un número positivo o cero1,2.

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En términos de producto punto

,

ANGULO ENTRE VECTORESEl coseno entre dos vectores es dado porEjemploSean los vectores

PERPENDICULARIDAD DE VECTORESDos vectores son ortogonales si el coseno entre ellos es cero esdecir si solo siEjemplo:Sean los vectores x=(2,3,3,4), y =(4,-3,7,-5) sonortogonales pues X*y=2*4+3(-3)+3*7+4(-5)=0

18/12/2013 31

2.1. Aspectos básicos.,

2.1.9. ESPACIO VECTORIAL Cn

El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos los vectores X endonde , Si al vectorcomplejo x es multiplicado por también complejo el resultado esotro vector complejo así:2.1.10. NORMA DE VECTORESLa norma Euclidiana se define:

,

18/12/2013 32


,,

2.1.10. VALOR PROPIO DE UN MATRIZ AAhora consideremos A una matriz de orden nxn cuyos elementospueden ser complejos y sea un escalar (numero complejo). Si laecuación

(1)Tiene una solución no trivial es decir entonces , es unvalor propio de A . Un vector x distinto de cero que satisface laecuación (1) es un vector propio de A correspondiente al valorpropioEjemplo: Consideremos la Ecuación siguiente

.

18/12/2013 33


Esta ecuación nos afirma que -2 es un valor propio de matriz 3x3y que (1,3,-4)T, es un vector propio correspondiente.La condición de que la ecuación (1) tenga una solución no triviales equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones.

mapea algún vector distinto de cero en 0 (2)es singular (3)

(4)

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2.1.11. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LA MATRIZ ADebemos decir que podemos resolver la relación (4) para lasincógnitas , y de esta manera determinamos los valores propiosde A. Resaltando que a esta relación se le conoce como ecuacióncaracterística de la matriz A . Nosotros podemos escribir estaecuación mas detalladamente así:

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2.1. Aspectos básicos.,,,

00000

......

......

......

......

det

321

321

22232221

11131211

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

2.1.12. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE A,Podemos observar que la ecuación (4) tiene la forma de unpolinomio de grado n en la variable , a esto se le llama polinomiocaracterístico de A, de lo cual podemos decir que una matriz denxn tiene exactamente n valores propios, siempre y cuando secuenten con las multiplicidades que tienen como raíces de laecuación característica.

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Ax

Axx

x

, ,

Ax

xx

Ax

,,

EjemploSea la matriz , calcular los autovalores de A

Los autovalores de A sonUn auto vector de A asociado con una solución de

así queEjemploDada la matriz A determinar

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2.1.13. RADIO ESPECTRAL DE UNA MATRIZRadio espectral de una matriz A se define así:en donde es un autovalor de AEjemplo: Consideremos la matriz sus autovaloresson:

El radio espectral se encuentra estrechamente vinculada con lanorma de una matriz.Para la norma matricial

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INDEPENDENCIA LINEALDiremos que los vectores no nulos sonlinealmente independientes si el único conjunto denúmeros reales tal que , es:

en caso contrario se dirá que losvectores son dependientes.EjemploDados los vectores del vector

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INDEPENDENCIA LINEALSi es un conjunto Linealmente

Independiente de n vectores en Rn, entonces para cadavector x en Rn, existe un único conjunto de númeroreales , tal queen este caso se dice que es una base de Rn.

Ejemplo:Sean los vectores .Si losnúmeros son tales que como

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Pues la única solución al sistema es entonces elconjunto , es Linealmente independiente en R3, y por lotanto es una base de R3. Entonces cualquier vector en R3, puedeescribirse de la siguiente manera:

18/12/2013 41


INDEPENDENCIA LINEAL DE AUTOVECTORES

Si A es una matriz y son autovalores distintosde A con autovectores correspondientes ,entonces , es linealmente independiente.Un conjunto de vectores es ortogonal , si,

y demás entonces el conjuntoes ortogonal.

18/12/2013 42

2.2. INDEPENDENCIA LINEAL,

INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES ORTOGONALESUn conjunto ortogonal de vectores que no contenga elvector cero es linealmente independiente.Ejemplo: El conjunto de vectores,

forman un conjunto ortogonal, pues para estos vectorestenemos que:

18/12/2013 43

,

2.2. INDEPENDENCIA LINEAL

Este conjunto forman un conjunto ortogonal por heredar laortogonalidad de

Diremos que una matriz Q de dimensiones nxn es una matrizortogonal si , debemos aclarar que esta terminologíaprovienen del hecho de que las columnas de una matriz ortogonalforman un conjunto ortogonal.

18/12/2013 44


Ejemplo. Considerando el ejemplo anterior la matrizortogonal será:

Observemos que: Q*Qt=I

Además se tiene que,

18/12/2013 45

,


AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICESSEMEJANTESSe dice que dos matrices A y B de dimensiones nxn sonsemejantes si existe una matriz P tal que A=P-1BP. Dosmatrices semejantes tienen los mismos autovectores.Supongamos que las matrices A y B son semejantes de

orden nxn, y que es un autovalor de A con un autovectorasociado x. En estas condiciones diremos que es unautovalor de B y además si A=P-1BP., entonces Px es unautovector de B asociado a

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,


Obsérvese que la determinación de los autovaloresde una matriz triangular de orden nxn esrelativamente sencilla, pues en este caso es lasolución de la ecuación

, si solo si paraalgún i .

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,


TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN

Teorema 1. Todas las matrices semejantes tienen losmismos valores propios .

Pues supongamos que A y B son dos matrices semejantesesto es

Veamos que A y B tienen el mismo polinomiocaracterístico

18/12/2013 48

,

2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN

Obsérvese:Que se a considerado que el determinante delproducto de dos matrices es el producto de susdeterminantes, y el determinante de la inversa deuna matriz es el reciproco de su determinante.

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,*


TEOREMA DE SCHUR.Sea A una matriz de orden nxn cualquiera, entoncesexiste una matriz U ortogonal tal que T=U-1AU, donde T estriangular superior cuyos elementos diagonales son losautovalores de la matriz A.Debemos manifestar que el teorema de Schur garantizaque la matriz triangular existe, pero su prueba noproporciona la construcción de T.En otras palabras SCHUR afirmo que toda matriz cuadrada

es unitariamente semejante a una matriz triangular.

18/12/2013 50

,


Corolario 1: toda matriz cuadrada es semejante unamatriz triangular.Corolario 2. Toda matriz Hermitiana es semejanteunitariamente a una matriz diagonal.Pues si A es Hermitiana, entonces A=A*, y sea U unamatriz untaría tal que UAU*, es triangular superior. Eneste caso (UAU*)*, es triangular inferior, pero, (UAU*)*=U** A* U*= UAU*, De esta manera la matriz UAU* estriangular superior e inferior en consecuencia se trata deuna matriz diagonal

18/12/2013 51

,


Ejemplo

LOCALIZACIÓN DE LOS VALORES PROPIOSTEOREMA DE GERSHGORINSea A una matriz nxn y denotemos por Ri, el círculo delplano complejo con centro en aii y radio , es decir

18/12/2013 52


,

En donde C denota el conjunto de los números complejos.Entonces los autovalores de la matriz A están contenidosen , es más, si la unión de estos k círculos no secortan con los demás n-k círculos entonces dicha unióncontiene precisamente k autovalores contando lasmultiplicidadesEjemploLos círculos del teorema de Gershgorin son:

18/12/2013 53

,


,

Como los R1 y R2 son disjuntos de R3, existen dosautovalores en y uno con R3

18/12/2013 54

,


,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Eje Imaginario

Eje Real

En ítems anteriores ya se ha se conceptualizo un espaciocomplejo Cn, En este espacio el producto nos permitedefinir el concepto de ortogonalidad, es decir dos vectoresx, y son ortogonales si , lo que podemosgeneralizarlo considerando un conjunto en Cn,diremos que los vectores vi y vj, son ortogonales si.

Si en este caso se dice que el conjunto de losvectores es ortonormal

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2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS

,

,

Ejemplo.Determinar si los vectores son ortogonales x1 =[10,10] y .x2 =[-2,2]

Pues ,

Sin embargo si tenemos x1 =[10,10] y . x2 =[2,-2.0003],son casi ortogonales lo que induce al estudio de criteriosde Ortagonalizacion

18/12/2013 56

, 2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS

,

,

2.3.1. MÉTODO DE ORTAGONALIZACION DE GRAMSCHMIDTConsideremos dos vectores x1 , y x2 en el plano XYlinealmente Independientes, a partir de estos vectoresconstruyamos los vectores e1 y e2, ortogonales.Supongamos x1= e1, y e1 como componente de e2perpendicular a x1, en consecuencia ,gráficamente es

18/12/2013 57


,

,

e2X2

X1=e1

X2

E1

En donde debemos de encontrar de tal manera quees decir:

Consecuentemente se tiene que

De esta manera e2 se encuentra en función de x1 y x2, y seha ortogonalizado dichos vectores.

18/12/2013 58


,

,

Ejemplo.Ortogonalizar x1 =[4,6]t y . x2 =[8,0]t

HacemosPrimero: consideramos el primer vector

Segundo: determinamos

18/12/2013 59


,

,

Tercero: determinamos el segundo vector ortogonal.

18/12/2013 60


,

,

–

-1 –

-2 --

-3 -

-4 -

1 2 3 4 5 6

4 –

3 –

2 --

1 -

Gráficamente

Para un conjunto de n vectores LinealmenteIndependientes de n componentes. A partir de ellos sepuede construir un conjunto de ortogonalde la siguiente manera.Primero: consideramos el primer vector

Segundo:

Tercero:

18/12/2013 61


,*

,

Afirmación1.Una sucesión de vectoresortogonales genera una base ortogonal del espaciogenerado por para .

Cuando el proceso de Ortagonalizacion de Gram-Schmidt,se aplica a las columnas de una matriz, se puedeinterpretar el resultado como una factorización matricial.

18/12/2013 62


,

,

Pues los productos internos que aparecen en el calculo seguarda en una matriz que será uno de los factores.

Aplicamos el proceso a las columnas A1, A2, ...,An de unamatriz A de mxn y finalmente se llega después de n pasosa una matriz B de mxn cuyas columnas forman unconjunto de ortogonal

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,

,

2.3.2. PROBLEMA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOSEl problema de los mínimos cuadrados para sistemas deecuaciones lineales es justamente una aplicación de lasfactorizaciones ortogonales. Consideremos un sistema dem ecuaciones con n incógnitas, es decir

Ax=b

En este sistema de ecuaciones A es una matriz de mxn, xes de nx1, y b es de mx1

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,

,

Vamos a considerar que el rango de A es n de donde .Por lo general el sistema no tiene solución, comoconsecuencia de que b no pertenece al espacio Cm, dedimensión n. generado por las columnas de A .En consecuencia generalmente se quiere encontrar una xque minimice la norma del vector residual b-Ax. Lasolución en mínimos cuadrados del sistema planteado esel vector x que hace de , un mínimo el cual xserá único según el supuesto del rango de A.

18/12/2013 65


,

,

LEMA: Si x es tal que A*(Ax-b)=0 entonces x es unasolución del problema de mínimos cuadrados.Si suponemos que A se a factorizado de la forma A= BT, lasolución en mínimos cuadrados del sistema Ax=b será lasolución exacta del sistema nxn Tx=(B*B )-1 B*b. el cual severifica usando el lema anteriorA*Ax=(BT)*BTx=T* B*BTx = T* B*B(B*B )-1 B*b=T*B*b=A*bVeer demostracion en Analisis numerico de David Kincaid;Ward Cheney

18/12/2013 66


,

,

La matriz (B*B )-1es un matriz diagonal , estadiagonal es calculado por el algoritmo modificado deGram-Schmidt cuyo algoritmo evita el calculo de raícescuadradas.

Otra manera de abordar el problema de mínimoscuadrados asociado al sistema Ax=b es utilizardirectamente el lema citado de esta manera , seráun mínimo si A* (Ax-b)=0.

18/12/2013 67


,

,

FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDEREs uno de los métodos mas útiles para factorizarortogonalmente. La idea es factorizar una matriz A deorden mxn como un productoA=QREn donde Q es una matriz unitaria de mxm y R una matriztriangular superior de mxn, vale destacar que el algoritmode factorización produce Q*A=RConstruyéndose Q* paso a paso como un producto dematrices unitarias que tiene la forma de,

18/12/2013 68

2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,

,

FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDEREsto se le conoce con el nombre de transformaciones deHouseholderPrimero, determinamos el vector con la característicaque l-vv*, sea untaría de tal manera que (I-vv* )A iniciecon tener la forma de R es decir una matriz triangularsuperior de orden mxm es decir su primera columna debede tener la forma , y denotamos la primeracolumna de A con A1,Queremos que , esto se realiza como sigue:

18/12/2013 69


,

FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDERPrimero, elegimos un número complejo ,sea real.Segundo, hacer ,En donde ,Obsérvese que aquí se admite dos valores para , en estecaso nosotros elegimos la que permita realizar menoscancelaciones al calcular el valor de v es decir,

,

18/12/2013 70


,

FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDERLos siguientes pasos son similares al primero, puesdespués de k pasos se habría conseguido multiplicar porla izquierda por k matrices untarías, obteniendo de estamanera lo siguiente,

,En dondeJ : es una matriz triangular superior de KxK0: es la matriz nula de (m-k)xkH: es una matriz de kx(n-k) W: es una matriz (m-k)x(n-k),18/12/2013 71


,

Se afirma que existe un vector tal que I-W*, es unamatriz unitaria de orden m-k con la característica de que(I-W*) tiene ceros por debajo del elemento en su primeracolumna, esto es, .En esta relación , es una matriz unitaria y lodenotamos por Uk+1, y el proceso termina cuando lacolumna (n-1) - ésima de R queda en la forma apropiada yconsecuentemente tenemos, Q* A = R, en donde Q*

denota el producto de todas las matrices unitarias que sehan usado como factores dado que Q es una matrizunitaria, A=QR .

18/12/2013 72


,

Observemos que Q*= Qn-1Qn-2....Q1

en este caso , siendo, se puede observar que Uk es Hermitiana

consecuentemente tenemos,

18/12/2013 73


Ejemplo.Sea la matriz

Paso IPrimero: Calculamos como , pues A1es real

Segundo, hacer

18/12/2013 74


En este caso el primero factor unitario

Tercero. Calculamos U1A

18/12/2013 75

2.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER,*

Paso IIPrimero: Calculamos

Segundo, hacer

18/12/2013 76



18/12/2013 77


Tercero. Calculamos U2 U1A

Paso IIIPrimero: Calculamos

Segundo


18/12/2013 78


,


En este caso la matriz triangular superior es

18/12/2013 79


,

Tercero. Calculamos Q* U3 U2 U1A

Luego A=QR

18/12/2013 80


,

La descomposición en valores singulares es otra manera defactorizar matrices que tiene una diversidad de aplicaciones en elmundo real.Se afirma que toda matriz compleja A de orden mxn se puedefactorizar en la formaA=PDQEn donde

P= es una matriz de orden mxmD= es una matriz de orden mxnQ= es una matriz de orden nxn

18/12/2013 81

,

DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS

Ejemplo

Se tiene que:

18/12/2013 82

,


,

Entonces A=PDQ

18/12/2013 83

* ,


,

,

Muchas Gracias 84

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