Carte_Actionari Electrice Reglabile Cu Masini Asincrone

Iulian ŢOPA

Adrian DĂNILĂ Laurenţiu DIACONU

MATRIX ROM BUCUREŞTI 2007

Acţionări electrice reglabile cu maşini asincrone

5

PREFAŢĂ

Cartea "Acţionări electrice reglabile cu maşini asincrone" reprezintă o parte a cursului de Acţionări electrice şi se adresează studenţilor secţiilor de Electrotehnică şi Automatică, dar poate fi utilizată şi de către inginerii şi cercetătorii care sunt interesaţi de conceperea şi realizarea sistemelor moderne de reglare ale acţionărilor electrice. Dezvoltarea sistemelor de reglare cu maşini de curent alternativ, cu performanţe ridicate în reglarea cuplului electromagnetic, a început din anii 1970 prin lucrările lui K. Hasse, F. Blaschke şi W. Leonhard, bazate pe teoria fazorilor spaţiali. O dată cu dezvoltarea microprocesoarelor, calculatoarelor şi procesoarelor digitale de semnal s-au realizat sisteme de reglare cu orientare după câmp (control vectorial) deosebit de sofisticate şi cu performanţe ridicate, implementate practic în toate ramurile industriale. Mai târziu, în jurul anului 1985, I. Takahasi şi T. Noguchi realizează reglarea directă a cuplului (Direct Torque Control) iar M Depenbrock autoreglarea directă (Direct Self Control). În ţara noastră, cercetările în acest domeniu încep cu V. Nedelcu şi sunt continuate cu A. Kelemen, M. Imecs, A. Fransua, R. Măgureanu, I. Boldea ş.a. semnalându-se astfel preocuparea cercetătorilor noştri de a fi în permanenţă în contact cu tendinţele avansate din perioadele respective. Numeroasele lucrări ştiinţifice apărute pe plan mondial au condus la un material bibliografic impresionant. Lucrarea de faţă îşi propune să prezinte într-o formă succintă şi uşor accesibilă conceptele care stau la baza sistemelor de reglare actuale ţinând seama de mijloacele moderne de realizare ale acestora. Pentru a veni în ajutorul celor interesaţi de aceste sisteme de reglare, s-au păstrat unele concepte şi chiar notaţii, ceea ce – considerăm noi – îi va ajuta pe cei deja familiarizaţi cu acestea şi va înlesni înţelegerea celor care acum îşi manifestă dorinţa de a le cunoaşte. Teoria fazorilor spaţiali este prezentată în formă fazorială şi matriceală, uşor de înţeles şi poate constitui baza pentru reglarea altor maşini de curent alternativ, utilizarea soft-ului actual, precum şi pentru tratarea sistemelor mai complexe de reglare robustă în spaţiul stărilor. O atenţie specială se acordă – cum era şi nomal – modelului maşinii asincrone, prezentându-se într-un mod compact ecuaţiile maşinii, necesare pentru realizarea ulterioară a oricărei scheme de reglare. Sistemele de reglare cu orientare după câmp au condus la extrem de multe scheme de reglare, unele dintre ele abandonate. Pentru a nu încărca inutil materialul lucrării, s-au prezentat numai schemele de reglare care permit înţelegerea principiului de orientare după câmp, sunt în directă legătură cu cunoştinţele prezentate anterior şi sunt viabile. Un capitol important al lucrării este dedicat reglării directe a cuplului maşinii asincrone., principiu de reglare mai puţin tratat în literatura noastră tehnică de specialitate. Reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de tensiune (VSI) constituie principala parte a acestui capitol, în care se expun bazele fizice şi matematice ale producerii răspunsului rapid al cuplului, selecţia nepredictivă şi predictivă a vectorului de comutaţie şi schema de reglare industrială

6 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE ABB. Se prezintă de asemenea reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de curent (CSI). Ultimul capitol tratează reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone şi cuprinde estimatoare de viteză şi alunecare pentru aplicaţii cu performanţă redusă (aplicabile în special schemelor de reglare U/f = const.) şi estimatoare de viteză, poziţie şi flux pentru aplicaţii cu performanţă ridicată. Pentru cele din urmă se prezintă în detaliu patru scheme, considerate a fi reprezentative şi care ar putea conduce la realizări deosebite. Ţinem să aducem şi pe această cale sincerele noastre mulţumiri domnilor prof. dr. ing. Vasile Comnac şi prof. dr. ing. Florin Moldoveanu, recenzenţii ştiinţifici ai lucrării, care, prin sugestiile competente şi prin observaţiile făcute cu prilejul elaborării lucrării, au contribuit la îmbunătăţirea acesteia. Mulţumim anticipat tuturor celor care, după parcurgerea materialului, ne vor adresa observaţii sau sugestii pentru o îmbunătăţire ulterioară a lucrării. Braşov, mai 2007 AUTORII

7

CUPRINS

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Teoria fazorilor spaţiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Vectorul spaţial asociat curentului dintr-o bobină . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Fazori spaţiali în maşinile trifazate de curent alternativ. . . . . . . . 11 1.3. Tratarea matriceală a fazorilor spaţiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Transformări de faze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Transformări de axe ale fazorilor spaţiali . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3. Transformări de axe ale sistemului bifazat . . . . . . . . . . 20 1.3.4. Transformări de axe ale sistemului trifazat. . . . . . . . . . . 22 1.4. Analogia dintre modelul bifazat al maşinilor de curent alternativ

trifazate şi maşina de curent continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 2. Modelul maşinii asincrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1. Ecuaţiile de tensiune ale maşinii asincrone . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Curentul de magnetizare al maşinii asincrone . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Ecuaţiile de flux ale maşinii asincrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. Ecuaţiile generale ale maşinii asincrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. Puterea şi cuplul electromagnetic ale maşinii asincrone. . . . . . . 47

3. Principiul de reglare cu orientare după câmp a maşinii asincrone 53 4. Sisteme de reglare automată cu orientare după câmp ale maşinii

asincrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1. Orientarea după fluxul rotoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2. Orientarea după fluxul din întrefier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3. Orientarea după fluxul statoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Controlul direct al cuplului maşinii asincrone . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2. Reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la

un invertor sursă de tensiune (VSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 5.2.1. Bazele fizice şi matematice ale producerii răspunsului

rapid al cuplului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.2. Selecţia vectorului de comutaţie optim (acţionare cu alegerea nepredictivă a vectorului de comutaţie) . . . . .

85

5.2.3. Selecţia predictivă a vectorului de comutaţie . . . . . . . . 88

8 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE

5.2.4. Schemă de reglare directă a cuplului motorului asincron folosind un invertor sursă de tensiune (VSI)

104

5.2.5. Reducerea ondulaţiilor fluxului statoric şi cuplului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

5.3. Reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de curent (CSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

5.3.1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.2. Schema de acţionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.3. Estimarea fluxului rotoric şi a cuplului electromagnetic 109 5.3.4. Selecţia vectorului optim de comutaţie a curentului . . . 112 5.4. Schema ABB de control direct al cuplului maşinii asincrone

alimentate de la un invertor sursă de tensiune (VSI) . . . . . . . . .

113 5.5. Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6. Reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone 121 6.1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.2. Estimatoare de viteză şi alunecare pentru aplicaţii cu

performanţe reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 6.3. Estimatoare de viteză, poziţie şi flux pentru aplicaţii cu

performanţe ridicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 6.3.1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.3.2. Scheme îmbunătăţite pentru estimatoare de viteză,

poziţie şi flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127 Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9

INTRODUCERE

Maşinile de curent continuu s-au folosit iniţial în acţionările electrice, în special în cazul maşinilor-unelte, datorită proprietăţilor lor favorabile privind reglarea fină şi în limite largi a turaţiei. Sistemele de reglare ale acestora se realizează pe baza principiului reglării în cascadă, obţinându-se scheme relativ simple în ceea ce priveşte proiectarea şi punerea în funcţiune. Dezavantajul principal al acestora îl constituie prezenţa colectorului şi a periilor, care limitează superior puterea şi turaţia şi măreşte momentul de inerţie. Costul mai ridicat de fabricaţie şi întreţinere al acestora, precum şi pericolul de funcţionare în medii inflamabile sau explozive, sunt alte dezavantaje ale acţionărilor de c.c. Dezvoltarea ulterioară, puternică, a electronicii, electronicii de putere, microprocesoarelor şi calculatoarelor a făcut posibilă înlocuirea acţionărilor de curent continuu cu acţionări de curent alternativ. Iniţial, acţionările de c.a. s-au dezvoltat pe baza teoriei fazorilor spaţiali iar reglarea cu orientare după câmp (vector control) a rezultat în urma analogiei dintre maşina de c.c. complet compensată şi modelul bifazat al maşinii trifazate de c.a. orientată după câmp. În ultimele decenii au apărut şi s-au dezvoltat şi alte concepte ca: reglarea directă a cuplului şi autoreglarea directă. Mai mult, s-au înlocuit senzorii de viteză şi flux obţinându-se aşa-numitele sisteme de acţionare fără senzori ("sensorless") iar în estimarea principalelor mărimi se utilizează din ce în ce mai mult, conceptul reglării robuste şi elemente de inteligenţă artificială. Lucrarea de faţă îşi propune să prezinte – într-o formă accesibilă – aceste sisteme de reglare, insistându-se şi pe principiile mai puţin tratate în literatura noastră de specialitate, punând astfel al îndemâna studenţilor, cercetătorilor şi inginerilor un material care, sperăm, să le fie util. Pentru aceasta, în primul capitol se prezintă teoria fazorilor spaţiali în maşinile trifazate de c.a. insistându-se pe tratarea matriceală (necesară soft-ului), transformări de faze, transformări de axe (ale sistemului bifazat şi ale sistemului trifazat) şi transformări de axe ale fazorilor spaţiali. Pe aceste baze rezultă analogia dintre modelul bifazat al maşinii trifazate de c.a. şi maşina de c.c. complet compensată. Capitolul al doilea este dedicat modelului maşinii asincrone şi tratează: ecuaţiile de tensiune ale maşinii asincrone, curentul de magnetizare, ecuaţiile de flux şi producerea cuplului electrimagnetic. Prezentarea se realizează în formă fazorială şi matriceală, insistându-se pe explicarea elementelor absolut necesare, ceea ce permite o înţelegere uşoară a materialului. În capitolul al treilea se tratează principiul de reglare cu orientare după câmp şi se explică principalele blocuri de calcul întâlnite în schemele de reglare ce vor urma. Sistemele de reglare cu orientare după câmp sunt tratate pe larg în capitolul al patrulea. S-au prezentat schemele cele mai reprezentative şi utile, bazate pe orientare după: fluxul rotoric, fluxul din întrefier şi fluxul statoric. Trimiterile la materialul deja studiat şi explicarea amănunţită a schemelor contribuie la fixarea

10 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE cunoştinţelor şi la o înţelegere uşoară a acestora, care – la prima vedere – par destul de complicate. Capitolul al cincilea cuprinde controlul direct al cuplului maşinii asincrone. La început se tratează reglarea directă a cuplului maşinii asincrone alimentată de la un invertor sursă de tensiune (VSI), soluţie utilizată frecvent în practică. Pentru explicarea principiului, se prezintă bazele fizice şi matematice ale producerii răspunsului rapid al cuplului, care sunt necesare pentru lămurirea selecţiei vectorului de comutaţie optim. În continuare se tratează alegerea nepredictivă şi predictivă a vectorului de comutaţie (în regim staţionar şi în regim tranzitoriu) şi reducerea ondulaţiilor fluxului statoric şi ale cuplului electromagnetic. Se prezintă de asemenea reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de curent (CSI) şi selecţia vectorului optim de comutaţie a curentului. În final se tratează schema implementată industrial ABB pentru controlul direct al cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de tensiune, schemă care dă o viziune de ansamblu a realizărilor actuale în acest domeniu şi permite reflecţii asupra posibilităţilor viitoare de cercetare şi inovare. Ultimul capitol tratează reglarea fără senzori a vitezei, poziţiei şi fluxului motoarelor asincrone, prezentându-se estimatoarele pentru aplicaţii cu performanţă redusă şi cele cu performanţă ridicată.

11

1. TEORIA FAZORILOR SPAŢIALI

1.1. Vectorul spaţial asociat curentului dintr-o bobină Fie o bobină având w spire parcurse de curentul electric de conducţie i, (fig. 1.1). Trecerea curentului prin bobină produce un câmp magnetic. Aplicând legea circuitului magnetic rezultă:

iwdsJdlHU SS

mm ⋅===⋅=⋅= ∫∫ ΘΘΓ

Γ

ΓΓ

în care: este tensiunea magnetomotoare de-a lungul curbei închise Γ; ΘΓmmU sΓ –

solenaţia.

Fig. 1.1. Definirea vectorului spaţial pentru cazulunei bobine parcurse de curent.

Sensul liniilor de câmp ale câmpului magnetic (sensul solenaţiei) se determină cu regula burghiului drept asociată curentului. În interiorul bobinei solenaţia acţionează după axa spaţială de magnetizare. Modificând poziţia spaţială a bobinei se modifică direcţia axei de magnetizare. Se poate deci caracteriza solenaţia printr-un vector spaţial având direcţia axei de magnetizare a bobinei, sensul dat de regula burghiului drept şi mărimea

egală cu valoarea instantanee a solenaţiei.

iwS ⋅== ΘΘΓ

(1.1)

Deoarece w este un scalar, curentul i poate fi privit ca un vector al cărei direcţie coincide cu direcţia solenaţiei [1], [2], [6]. În mod analog se poate considerea fluxul magnetic înlănţuit:

iL ⋅=Ψ (1.2)

în care L este inductivitatea proprie a bobinei.

1.2. Fazori spaţiali în maşinile trifazate de curent alternativ Pentru o înfăşurare a unei maşini electrice trifazate, solenaţia de-a lungul întrefierului variază în trepte din cauza distribuţiei discontinue a curentului datorată spirelor înfăşurării (fig. 1.2.a).

În teoria clasică a maşinilor electrice se ia în considerare numai fundamentala θ(1) a solenaţiei neglijând armonicele spaţiale ale acesteia.


Fig. 1.2. (a) Reprezentarea desfăşurată a distribuţiei solenaţiei rezultante pe circumferinţa întrefierului maşinii asincrone; (b) definirea fazorilor spaţiali ai curentului – i, solenaţiei – θşi fluxului magnetic – Ψ.

Aceasta înseamnă că se presupune şi o distribuţie continuă sinusoidală a solenaţiei la periferia întrefierului. Distribuţia spaţială sinusoidală a solenaţiei se poate reprezenta printr-un vector spaţial θ care are direcţia în sensul valorii maxime a sinusoidei iar mărimea egală cu valoarea maximă a solenaţiei, deci şi distribuţia de curenţi poate fi reprezentată printr-un vector spaţial de curent i, în direcţia vectorului spaţial al solenaţiei, (fig. 1.2.b).

Conform relaţiei (1.2) şi fluxul magnetic poate fi reprezentat printr-un vector Ψ în aceeaşi direcţie [6]. În cazul unei maşini trifazate (asincrone sau sincrone) există trei înfăşurări statorice (fig. 1.3.a). În fig. 1.3.a s-au reprezentat liniile de câmp ale fazei a şi vectorul spaţial

Teoria fazorilor spaţiali 13

Fig. 1.3. (a) Liniile de câmp ale unei faze; (b) reprezentarea schematică a înfăşurării statorice; (c) fazorii spaţiali de flux.

de flux al acestei faze. Acest vector îşi schimbă sensul dacă faza este parcursă de curent alternativ. Vectorul de curent din faza a va avea aceeaşi direcţie şi acelaşi sens. Unui curent oarecare dintr-o înfăşurare de fază îi va corespunde întotdeauna un vector spaţial în direcţia fixă după axa magnetică a înfăşurării iar lungimea şi sensul acestui vector sunt determinate de valoarea instantanee a curentului. Considerând cele trei faze ale unei maşini trifazate, apar trei vectori spaţiali de flux Ψa, Ψb şi Ψc (fig. 1.3.c) defazaţi în spaţiu cu 2π/3 şi respectiv 4π/3. Lungimea şi sensul fiecăruia va corespunde însă valorii instantanee a curentului din faza respectivă. Dacă curenţii din cele trei faze statorice au valorile instantanee isa, isb, isc vectorii spaţiali corespunzători vor fi: isa, isb, isc. Direcţia în spaţiu a acestor vectori va fi dată de poziţia în spaţiu a înfăşurării. Asupra variaţiei curenţilor nu s-a pus nici o condiţie. Rezultă că variaţia lor poate urma orice lege (valori constante, variabile periodic, sinusoidale, etc.). Deoarece vectorii curenţilor de fază au poziţii bine determinate în spaţiu, se pot exprima cu numere complexe. Dacă se consideră axa reală a sistemului de coordonate complexe în direcţia de magnetizare a fazei statorice as, vectorii spaţiali de curent ai celor trei faze vor fi:

sc2

scsbsbsasa iai;iai;ii ⋅=⋅== , (1.3)

în care a este operatorul de rotaţie:

23j

21ea 3

2j⋅+−==

⋅⋅

π

, 23j

21a2 ⋅−−= (1.4)


Fig. 1.4. Definirea fazorului spaţial al curentului statoric, (a); descopunerea fazorului spaţial după direcţiile planului complex, (b).

Pentru a exprima efectul rezultant al celor trei vectori spaţiali de curent, aceştia se însumează vectorial (fig. 1.4.a) şi se obţine un vector spaţial trifazat de curent statoric.

scsbsas iiii ++=Σ

(1.5)

În locul curentului rezultant (solenaţia rezultantă) din relaţia (1.5) se defineşte fazorul spaţial de curent statoric [2], [6] astfel:

( sc2

sbsas iaiai32i ⋅+⋅+⋅= ). (1.6)

Fazorul spaţial de curent se poate descompune în două componente: componenta reală, respectiv componenta imaginară (fig. 1.4.b):

α⋅⋅=⋅+= jsqsds eiijii . (1.7)

Conform relaţiei (1.6) se poate scrie fazorul spaţial al tensiunii. Dacă tensiunile statorice pe fază sunt usa, usb, usc, fazorul spaţial al tensiunii statorice va fi:

( sc2

sbsas uauau32u ⋅+⋅+⋅= ). (1.8)

Dacă valorile instantanee ale fluxurilor statorice pe cele trei faze sunt Ψsa, Ψsb, Ψsc; fazorul spaţial al fluxului statoric va fi:

( )sc2sbsas aa

32 ΨΨΨΨ ⋅+⋅+⋅= . (1.9)

Teoria fazorilor spaţiali 15 În cazul în care motorul asincron este cu rotor bobinat, toate fenomenele referitoare la mărimile statorice, respectiv la fazorii spaţiali ai acestor mărimi rămân valabile şi pentru mărimile rotorice.

Sistemul de axe d – q al planului complex când se referă la mărimile statorice este legat de stator deci este fix în spaţiu. În cazul fazorilor spaţiali ai mărimilor rotorice se utilizează un plan complex al cărei axă reală este axa primei faze rotorice ar. În acest fel fazorul spaţial al curentului rotoric în sistemul de coordonate ataşat rotorului (care se roteşte cu rotorul) este:

( rc2

rbrar iaiai32i ⋅+⋅+⋅= ). (1.10)

Analog, fazorul spaţial al tensiunii rotorice va fi:

( rc2

rbrar uauau32u ⋅+⋅+⋅= ). (1.11)

Pentru flux:

( rc2

rbrar aa32 ΨΨΨ )Ψ ⋅+⋅+⋅= . (1.12)

În cazul general, notând cu xa, xb, xc un sistem trifazat de mărimi (curenţi, tensiuni, fluxuri, etc) de fază într-o maşină trifazată, se poate scrie fazorul spaţial al acestor mărimi (rel. 1.6):

( ) Σx32xaxax

32x c

2ba ⋅=⋅+⋅+⋅= . (1.13)

unde: cba xxxx ++=Σ

este vectorul spaţial trifazat. Dacă se descompune x după cele două axe ale planului complex (indicele după axa reală va fi d iar după axa imaginară q) se obţine:

qd xjxx ⋅+= , (1.14)

iar componenta homopolară va fi:

( cba0 xxx31x ++⋅= ) . (1.15)

Proprietăţi specifice: a) Dacă componenta homopolară este nulă, proiecţiile fazorului spaţial pe cele trei

axe ale fazelor (a, b, c) sunt numeric egale cu valorile instantanee ale mărimilor considerate în faza respectivă;

b) Dacă componenta homopolară este diferită de zero, acestă proprietate se păstrează cu menţiunea că proiecţia fazorului spaţial pe cele trei faze va fi egală cu valoarea instantanee a mărimilor considerate în faza respectivă, mai puţin componenta homopolară.

16 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Direcţia axei reale se consideră totdeauna direcţia de magnetizare a fazei as (prima fază a sistemului trifazat statoric). Proiecţia fazorului spaţial după axa primei faze se obţine calculând partea reală a fazorului.

( ) ( )

( ) ( )2

xaxax32xaxax

32

2xxxRexPr

cb2

ac2

ba

*a

⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=

+==

,

unde *x este expresia complex conjugată a lui x. Ţinând seama de relaţia 1 + a + a2 = 0 se obţine proiecţia pe faza a a fazorului conform expresiei:

( ) 0aa xxxPr −= . (1.16)

Pentru a proiecta fazorul pe axa b se va roti sistemul trifazat împreună cu fazorul spaţial cu unghiul 4π/3 astfel încât direcţia axei b să se suprapună peste direcţia axei reale [3], [6]. Luând acum partea reală a fazorului rotit se obţine proiecţia căutată. Rotirea fazorului spaţial cu un unghi de 4π/3 înseamă înmulţirea fazorului cu operatorul a2.

( ) ( ) ( ) 0b22

ab xxxaRexaPrxPr −=⋅=⋅= . (1.17)

În mod analog, pentru a obţine proiecţia pe faza c, rotirea ca fi cu 2π/3 (înmulţirea cu a a fazorului x):

( ) ( ) ( ) 0cac xxxaRexaPrxPr −=⋅=⋅= . (1.18)

Observaţie: nu avem nici un fel de restricţie pentru xa, xb, xc. Dacă, de exemplu, cei trei curenţi formează un sistem sinusoidal trifazat echilibrat, câmpul magnetic rezultant va fi un câmp magnetic învârtitor în spaţiu cu viteză constantă egală cu pulsaţia curenţilor. În acest caz, fazorul spaţial va rezulta un vector de lungime constantă şi învârtitor în spaţiu. Vârful acestui vector va descrie un cerc (fig. 1.5.a). Dacă sistemul de curenţi este un sistem sinusoidal dezechilibrat, cercul va degenera într-o elipsă (fig. 1.5.b). În cazul unui regim tranzitoriu cu curenţi sinusoidali amortizaţi, vârful fazorului spaţial va descrie o curbă de forma unei spirale, (fig. 1.5.c).

Fig. 1.5. Locul geometric al fazorului spaţial. (a) sistem sinusoidal echilibrat; (b) sistem sinusoidal dezechilibrat; (c) regim tranzitoriu cu curenţi sinusoidali amortizaţi; (d) alimentare de la convertoare statice.

Teoria fazorilor spaţiali 17 Fazorul poate să-şi modifice direcţia nu numai continuu ci şi intermitent aşa cum este cazul alimentării înfăşurării trifazate de la convertoare statice (fig. 1.5.d).

1.3. Tratarea matriceală a fazorilor spaţiali

1.3.1. Transformări de faze

Prin trecerea de la sistemul trifazat de mărimi instantanee la fazorul spaţial (rel. 1.13) reprezentată în planul complex (rel. 1.14) maşina trifazată reală se înlocuieşte cu o maşină echivalentă bifazată (fig. 1.6). Dacă componentele homopolare ale diferitelor mărimi nu sunt nule, se adaugă maşinii bifazate un circuit electric respectiv magnetic corespunzător acestor componente. Pentru tratarea matriceală a schimbării de variabilă de la modelul trifazat la modelul bifazat, se notează matricea sistemului trifazat de mărimi instantanee de fază cu [6]:

. (1.19) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

c

b

a

xxx

x

Matricea sistemului bifazat de mărimi, adică, matricea componentelor fazorului spaţial, se notează cu [ ] : ⊥x

. (1.20) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⊥

0

q

d

xxx

x

Legătura dintre cele două sisteme de variabile o va face chiar fazorul spaţial adică o matrice care va conţine acest fazor [6]:

Fig. 1.6. Transformarea de la modelul trifazat la modelul bifazat.


[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

*

xxx

x . (1.21)

Cu ajutorul relaţiei (1.13) se poate exprima matricea fazorului spaţial, cu ajutorul mărimilor de fază ale sistemului trifazat astfel:

[ ] [ ] [ ]xaxxx

212121aa1aa1

32

xxx

x

c

b

a2

2

0

* ⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= . (1.22)

unde:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=212121aa1aa1

32a 2

2

şi [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

12a2a12a2a12121

a2

21 ; (1.23)

Cu relaţia (1.15) se exprimă matricea fazorului spaţial, cu ajutorul mărimilor sistemului bifazat ca fiind:

[ ] [ ] [ ]⊥⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= xJxxx

1000j10j1

xxx

x

0

q

d

0

* ; (1.24)

în care:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000j10j1

J şi [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=−

10002j2j02121

J 1 (1.25)

Din relaţiile (1.22) şi (1.24) rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⊥⋅=⋅= xJxax (1.26)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xAxaJx 1 ⋅=⋅⋅= −⊥ ,

în care:

[ ] [ ] [ ]aJA 1 ⋅= − (1.27)

Deci: [ ] [ ] [ ]xAx ⋅=⊥ (1.28)

Din aceasta se obţine relaţia de recurenţă pentru transformarea inversă:


[ ] [ ] [ ]⊥− ⋅= xAx 1 (1.29)

unde:

[ ] [ ] [ ]JaA 11 ⋅= −− (1.30)

Efectuând produsul matriceal din relaţiile (1.27) respectiv (1.29) se obţin matricele [A] şi [A-1]:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−⋅=

2121212323021211

32A (1.31.a)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=−

1232112321101

A 1 . (1.31.b)

Fig. 1.7.Transformări de axe ale fazorilor spaţiali.

Efectuând operaţiile matriceale din relaţiile (1.28) şi (1.29), rezultă:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++⋅=

−=

−=−−⋅⋅=

cba0

cbq

0acbad

xxx31x

3xxx

xxxxx231x

;(1.32)

respectiv:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+⋅−−=

+⋅+−=

+=

0qd

c

0qd

b

0da

xx23

2x

x

xx23

2x

x

xxx

. (1.33)

Matricea [A], respectiv [A]-1 realizează schimbarea de variabile în urma căreia maşina trifazată este transformată într-un model bifazat echivalent. Această transformare se numeşte transformare de faze [6].

1.3.2. Transformări de axe ale fazorilor spaţiali

Fazorul spaţial fiind definit în planul complex, expresia sa va depinde de axele acestui plan la care este raportat. Considerând o axă de referinţă, în figura 1.7 s-au reprezentat două sisteme de axe bifazate a căror axă reală fac unghiurile α1, respectiv α2 cu axa de referinţă. În planul complex, ( ) ( ){ 11 Im,Re }αα fazorul se scrie:


11

jexx γα

⋅⋅= . (1.34)

Acealşi fazor, în planul ( ) ( ){ 22 Im,Re }αα are expresia:

22

jexx γα

⋅⋅= . (1.35)

Trecerea de la sistemul α1 la α2, ţinând seama de relaţia (1.34) este:

11

jexx γα

⋅−⋅= , (1.36)

Introducând aceasta în relaţia (1.35) rezultă:

( )

βα

γγα

γγαα

⋅−

−⋅−⋅⋅−

⋅=

=⋅=⋅⋅=j

jjj

ex

exeexx

1

211

2112 , (1.37)

unde 1221 ααγγβ −=−= .

Dacă planul complex este rotit în sens direct trigonometric cu unghiul β, fazorul spaţial raportat la planul rotit xα2 este egal cu vechiul fazor xα1 înmulţit cu operatorul e-j.β. x are argumentul x şi unghiul γ1, respectiv γ2 faţă de cele două sisteme.

1.3.3. Transformări de axe ale sistemului bifazat

Schimbarea de axe ale unui fazor spaţial, descompus în componente după axa reală şi imaginară, conduce la trasnformări de axe în sistemul bifazat de mărimi. Este indicat ca această transformare să se facă matriceal. Considerăm axele d şi q ale sistemului bifazat suprapuse peste axele reale respectiv imaginare ale planului complex corespunzător.

Proiectăm fazorul spaţial (fig. 1.8) mai întâi pe direcţiile dα1, qα1. Obţinem astfel fazorul spaţial x scris în planul α1 astfel:

111 qd xjxx ααα ⋅+= . (1.38)

Acelaşi fazor raportat la planul complex α2 va avea expresia:

222 qd xjxx ααα ⋅+= . (1.39)

Expresiile (1.38) şi (1.39) pot fi scrise matriceal conform relaţiei (1.20) astfel:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⊥

0

q

d

xxx

x1

1

1 α

α

α şi [ ] . (1.40) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⊥

0

q

d

xxx

x2

2

2 α

α

α

Componenta homopolară x0 a sistemului trifazat este o mărime scalară – rel. 1.15 – şi nu depinde de sistemul de axe (nu se reprezintă în planul complex).

Teoria fazorilor spaţiali 21 Schimbarea sistemului de axe este echivalentă cu schimbarea de variabilă; se trece deci de la [ ] la . Din fig. 1.8,

prin relaţii geometrice, se obţin compo-nentele bifazate astfel:

1x α⊥ [ ]

2x α⊥

( ) ( )( ) ( )12d12qq

12q12ddsinxcosxxsinxcosxx

112

112

αααααααα

ααα

ααα−⋅−−⋅=−⋅+−⋅=

]

.

Deoarece componenta homopolară se păstrează prin schimbarea sistemului de axe, pe baza relaţiilor de mai sus se poate scrie relaţia de recurenţă sub forma matriceală:

Fig. 1.8. Transformări de axe ale sistemului bifazat.

[ ] ( )[ ] [12

xDx 12 αα αα ⊥⊥ ⋅−= . (1.41)

Notând 12 ααβ −= :

. (1.42) ( )[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossin0sincos

D ββββ

β

Trecând de la sistemul de axe α1 la α2, unghiul β al matricei de transformare (1.42) se va măsura de la axa reală a sistemului α1 spre axa reală a sistemului α2.

Pentru transformarea inversă de la α2 la α1, unghiul β al matricei [D(β)] va fi acelaşi dar cu semn schimbat. În acest caz:

( ) 2112 ααααβ −=−−= .

Se obţine deci:

[ ] ( )[ ] [ ]21

xDx 21 αα αα ⊥⊥ ⋅−= . (1.43)

Matematic, expresia (1.43) se obţine din relaţia (1.41), înmulţind la stânga cu inversa matricii [D]:

( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]12

xDDxD 121

121

12 αα αααααα ⊥−

⊥− ⋅−⋅−=⋅− ,

[ ] ( )[ ] [ ]21

xDx 112 αα αα ⊥

−⊥ ⋅−= . (1.44)

Din relaţiile (1.43) şi (1.44) se observă următoarea proprietate a matricei de transformare:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T1 DDD βββ =−=− , (1.45)

unde este matricea transpusă a lui ( )[ ]TD β ( )[ ]βD .

22 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE În cazul unei schimbări de variabile succesive, matricea de transformare se aplică de două ori succesiv, adică:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2121 DDD ββββ +=⋅ . (1.46)

Se vede că diferenţele de unghiuri β1 şi β2 se adună. Dacă, de exemplu, β1 = α2 - α1 şi β2 = α3 - α2 trecerea de la sistemul α1 la sistemul α3 se face cu matricea [D(β3)] = [D(β1 + β2)] = [D(α3 - α1)] în care β3 este α3 - α1.

Matricea D[(β)] este un operator de rotire cu unghiul β al sistemului de axe la care se raportează fazorul spaţial, adică la care se proiectează fazorul spaţial pentru a obţine componentele d – q [6]. Conform expresiilor (1.40) componenta homopolară a unei matrice în sistemul bifazat

nu este o componentă a fazorului spaţial aferent. [ ]⊥xDacă se defineşte scrierea restrânsă a matricei [ ]⊥x , conţinând numai componentele d – q ale fazorului spaţial, adică:

, (1.47) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊥

q

dxx

x

atunci operatorul de rotire prezintă proprietatea:

( )[ ] ( )[ βπββ

D2

DDdd

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ], (1.48)

unde:

. (1.49) ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ββββ

βcossinsincos

D

Relaţia (1.48) exprimă proprietatea unui vector a cărui derivată are o componentă rotită înainte cu 900.

1.3.4. Transformări de axe ale sistemului trifazat

Considerăm două sisteme de axe trifazate, conform fig. 1.9, unul definit de unghiul α1 şi celălalt definit de unghiul α2. La sistemele trifazate se ia unghiul primei faze egal cu unghiul dintre sistemul trifazat şi axa de referinţă. Un fazor oarecare, x, va avea, conform relaţiei (1.13), în sistemul trifazat α1 expresia:

( )1111 c

2ba xaxax

32x

αααα ⋅+⋅+⋅= , (1.50)

în care fazorii 1, a, a2 sunt orientaţi după axele aα1, bα1, cα1. Acelaşi fazor în sistemul trifazat α2 va fi:

( )2222 c

2ba xaxax

32x

αααα ⋅+⋅+⋅= , (1.51)

în care fazorii 1, a, a2 sunt orientaţi după axele aα2, bα2, cα2.


Fig. 1.9. Schimbări de axe ale sistemului trifazat.

Aceşti fazori pot fi scrişi matriceal (rel. 1.19) astfel:

; (1.52) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

1

1

c

b

a

1xxx

x

α

α

α

α [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

2

2

c

b

a

2xxx

x

α

α

α

α

Deoarece s-a dedus relaţia matriceală pentru transformări de axe ale sistemului bifazat, trecerea de la sistemul trifazat [x]α1 la [x]α2 se face mai simplu, nu direct, ci prin intermediul matricei [D].

10 Transformăm sistemul trifazat [ ]1

x α în sistem bifazat [ ]1

x α⊥ . Axa reală dα1 a

sistemului bifazat, dα1 – qα1, se orientează după axa aα1 a sistemului trifazat α1. Aplicând relaţia (1.28) obţinem:

[ ] [ ] [ ]11

xAx αα ⋅=⊥

20 Schimbăm sistemul de axe ortogonale, rel. (1.41), obţinând matricea componentelor bifazate [ ] rotite cu unghiul (α

2x α⊥ 2 - α1):

[ ] ( )[ ] [ ][ ] ( )[ ] [ ] [ ]

12

12

xADxxDx

12

12

αα

αααααα

⋅⋅−=⋅−=

⊥

⊥⊥


30 Pentru a obţine matricea mărimilor de fază a sistemului trifazat α2 aplicăm transformarea, inversă rel. (1.29):

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]122

xADAxAx 1211

ααα αα ⋅⋅−⋅=⋅= −⊥

−

Prin urmare schimbarea de axe trifazate se efectuează cu relaţia de mai sus în care produsul matriceal:

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]ADAT 121

12 ⋅−⋅=− − αααα (1.53)

Deci: [ ] ( )[ ] [ ]12

xTx 12 αα αα ⋅−=

Ţinând cont de faptul că ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]ADAT 121

12 ⋅−⋅=− − αααα şi efectuând calcule pe

baza relaţiilor ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

32cos πβ şi ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32cos πβ , rezultă pentru matricea ( )[ ]βT relaţiile:

( )[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⋅=

βπβπβ

πββπβ

πβπββ

β

cos21

32cos

21

32cos

21

32cos

21cos

21

32cos

21

32cos

21

32cos

21cos

21

32T (1.54)

Astfel, schimbarea de axe trifazate de la sistemul α1 la sistemul α2 se poate realiza prin:

[ ] ( )[ ] [ ]12

xTx 12 αα αα ⋅−= . (1.55)

iar transformarea inversă prin:

[ ] ( )[ ] [ ]21

xTx 112 αα αα ⋅−= − . (1.56)

Matricea T[β] are proprietăţi asemănătoare matricei D[β].

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T1 TTT βββ =−=− . (1.57)

Pentru schimbarea de axe succesive se aplică de două ori matricea T[β] sau o singură dată matricea T cu suma unghiurilor celor două rotiri succesive:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2121 TTT ββββ +=⋅ . (1.57.a)

De asemenea

( )[ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]333 1T11T =⋅=⋅ ββ , (1.57.b)

unde este matricea "unu" (cu toate elementele egale cu unitatea). [ ]31Derivata matricei T[β] poate fi exprimată cu matricea originală astfel:


( )[ ] [ ] ( )[ βββ

TKTdd

⋅−= ], (1.58)

unde matricea [K] este:

. (1.59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

011101110

K

Matricele D[β] şi T[β] care realizează schimbarea de sisteme de axe bifazate, respectiv trifazate sunt operatori de rotaţie cu unghiul β.

Matricea de transformare T[β] poate fi descompusă ca sumă a două matrice astfel:

( )[ ] ( )[ ] [ ]3131t

32T ⋅+⋅= ββ , (1.60)

unde matricea [t(β)] este:

( )[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=

βπβπβ

πββπβ

πβπββ

β

cos32cos

32cos

32coscos

32cos

32cos

32coscos

32t (1.61)

Matricea [t(β)] se va utiliza pentru însumarea proiecţiilor fazorilor xaα1, xbα1, xcα1, după axele aα2, bα2, cα2 [6] din (fig. 1.9). În acest caz, β = α2 - α1.

1.4. Analogia dintre modelul bifazat al maşinilor de curent alternativ trifazate şi maşina de curent continuu

Introducerea noilor variabile id şi iq pentru un sistem trifazat este un artificiu matematic pentru a trata legătura magnetică dintre stator şi rotor exprimată prin relaţii în care inductivităţile nu mai variază în funcţie de poziţia rotorului. Din interpretarea fizică a modelului bifazat a rezultat principiul de reglare a maşinilor de curent alterantiv denumit principiul "orientării după câmp" (vector control). Mărimile după axele d şi q nu sunt numai mărimi matematice. Ele pot exista şi fizic. Curenţii şi tensiunile d, q apar în circuitele de reglare după câmp dar în afara maşinii în timp ce fluxurile d, q apar chiar în maşină, în întrefier. Maşina de curent continuu este singura maşină la care din întâmplare modelul matematic bifazat este realizat şi fizic. Fie o maşină de curent continuu fără poli aparenţi având două înfăşurări statorice perpendiculare una pe cealaltă, (fig. 1.10.a). Înfăşurarea rotorului (indusului) datorită colectorului apare şi ea fixă. Când înfăşurarea de pe stator este parcursă de curentul de excitaţie ie apare un câmp magnetic de excitaţie.


Fig. 1.10. Analogia dintre maşina asincronă şi maşina de curent continuu compensată.

Fluxului de excitaţie îi corespunde vectorul spaţial Φe, (fig. 1.10.b). Pentru a se produce un cuplu în maşină, înfăşurarea rotorică (indusul), trebuie să fie parcursă de curentul ia (funcţionarea maşinii ca motor). Acest curent va produce la rândul său un câmp magnetic perpendicular pe câmpul de excitaţie denumit câmp de reacţie al indusului Φa, (fig. 1.10.c). Câmpul de reacţie al indusului deformează câmpul de excitaţie. Vectorial, câmpul rezultant este reprezentat prin Φm. Efectul reacţiei indusului este nedorit. Din această cauză câmpul de reacţie se compensează cu ajutorul înfăşurării de compensaţie. Această înfăşurare, plasată pe stator, are axa magnetică în direcţia fluxului de reacţie a indusului şi produce un flux de sens opus şi de aceeaşi valoare Φc = - Φa. Datorită compensării reacţiei indusului, fluxul rezultant Φm = Φe (fig. 1.10.c). Conform interpretării vectoriale, cuplul electromagnetic me poate fi scris ca un produs dintre vectorii spaţiali de flux eΨ şi de curent prin rotor ai (fig. 1.11.a) astfel:

( )eae ikm Ψ×⋅= , (1.62)

unde k este constanta constructivă a maşinii de curent continuu. Datorită compensării reacţiei indusului, axa magnetică a înfăşurării indusului este perpendiculară pe direcţia fluxului de excitaţie (fig. 1.11.a) şi deci cuplul produs va fi maxim.


Fig. 1.11. Producerea cuplului: a) în maşina de curent continuu; b) în maşina de curent alternativ trifazată.

. (1.63) aee ikm ⋅⋅= Ψ

Această expresie este valabilă atât în regim staţionar cât şi în regim nestaţionar. Cuplul electromagnetic instantaneu al unei maşini de curent alternativ trifazate (asincrone sau sincrone) poate fi scris cu ajutorul fazorilor spaţiali sub forma (a se vedea şi subcap. 2.5):

( )s*mMe iImKm ⋅⋅= Ψ , (1.64)

p23KM ⋅= (1.65)

în care: *mΨ este valoarea complex-conjugată a fluxului magnetic rezultant iar p este

numărul de perechi de poli ai maşinii trifazate. Înlocuind fazorul de curent is cu expresia (1.7) şi fluxul cu relaţia:

mqmdm j ΨΨΨ ⋅+= , (1.66)

se obţine pentru cuplul electromagnetic relaţia:

( )sdmqsqmdMe iiKm ⋅−⋅⋅= ΨΨ , (1.67)

Acelaşi cuplu poate fi calculat şi conform interpretării vectoriale (fig. 1.11.b):

( )smMe iKm ×⋅= Ψ (1.68)

unde:

βΨ siniKm smMe ⋅⋅⋅= , (1.69)


Fig. 1.12. Producerea cuplului electromagnetic: a) într-un sistem bifazat d – q, fix; b) într-un sistem bifazat dλ – qλ, "orientat după câmp".

β este unghiul dintre cei doi fazori spaţiali (fig. 1.11.b). Pentru a aduce relaţia cuplului maşinii de curent alternativ la o formă asemănătoare cu relaţia (1.63) a maşinii de curent continuu, în relaţia (1.67) trebuie anulat termenul

sdmq i⋅Ψ .

Expresia cuplului conform relaţiei (1.67) este valabilă, indiferent de sistemul de axe de coordonate faţă de care sunt definiţi fazorii spaţiali. În figura. 1.12.a s-a reprezentat expresia cuplului maşinii de curent alternativ într-un sistem de axe bifazat (d, q) fix ataşat statorului. Dacă axa reală (d) a sistemului bifazat se orientează în direcţia fluxului rezultant Ψm (fig. 1.12.b) atunci, din relaţia (1.66) prin anularea componentei imaginare, rezultă:

mmdm ΨΨΨ λ == , (1.70)

adică, matriceal:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊥ 0

m

mq

mdm

ΨΨΨ

Ψλ

λλ . (1.71)

Ψm este modulul fazorului corespunzător, iar indicele λ indică faptul că mărimea respectivă este raportată la axele dλ – qλ. λ este unghiul fazorului Ψm faţă de axa de referinţă (axa de magnetizare a fazei as statorice). Deci, în sistemul de axe dλ – qλ expresia cuplului va fi:

AmMsqmMe iKiKm ⋅⋅=⋅⋅= ΨΨ λ , (1.72)

Teoria fazorilor spaţiali 29 în care:

, (1.73) λsqA ii =

este componenta activă a curentului statoric care, fiind perpendiculară pe direcţia fluxului, contribuie la producerea cuplului [6]. Analizând relaţiile (1.72) şi (1.63) rezultă analogia dintre modelul bifazat al maşinilor de curent alternativ şi modelul maşinii de curent continuu compensate. În aceste expresii sunt puse în evidenţă efectul fluxului şi al curentului activ la producerea cuplului.

30

2. MODELUL MAŞINII ASINCRONE

2.1. Ecuaţiile de tensiune ale maşinii asincrone Schema maşinii asincrone trifazate cu rotor bobinat (cu inele) este reprezentată în fig. 2.1. Sunt indicate sensurile de referinţă pentru tensiunile şi curenţii din stator şi din rotor. Poziţia relativă dintre stator şi rotor este caracterizată de unghiul θ. Se consideră repartiţia sinusoidală a înfăşurărilor la periferia întrefierului şi se neglijează pierderile în fier. Mărimile din rotor sunt raportate la stator. Tensiunea aplicată unei faze este echilibrată de căderea de tensiune pe rezistenţa fazei respective şi de t.e.m. indusă datorită variaţiei fluxului înlănţuit din faza respectivă. Pentru fazele statorice rezultă ecuaţiile:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+⋅=

+⋅=

+⋅=

dtd

iRudtd

iRudtd

iRu

scscssc

sbsbssb

sasassa

Ψ

Ψ

Ψ

; (2.1)

în care: Rs este rezistenţa unei faze a statorului. Sub formă matriceală a modelului trifazat, conform relaţiei (1.19), rezultă:

[ ] [ ] [ ]ssss dtdiRu Ψ+⋅= . (2.2)

Fig. 2.1. Reprezentarea schematică a maşinii asincronetrifazate cu rotor bobinat.

Pornind de la rel. (1.13) de definiţie a unui fazor spaţial, ecuaţiile de tensiune (2.1) se pot scrie într-o singură ecuaţie sub formă fazorială astfel:

dtd

iRu ssss

Ψ+⋅= . (2.3)

În această formă fazorială un fazor poate fi scris în planul complex, după axele d, q, prin modului său înmulţit cu ej.α.

Fazorii us, is, Ψs corespund relaţiilor (1.6), (1.8) şi (1.9). La relaţia (2.3) trebuie adăugată, evident, ecuaţia componentelor homopolare, (1.15):

Modelul maşinii asincrone 31

dtdiRu 0s

0ss0sΨ

+⋅= . (2.4)

Proiectând ecuaţia (2.3) pe axele planului complex (d - q) fix, ataşat statorului, se obţin cele două componente corespunzătoare modelului bifazat:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅=

+⋅=

dtd

iRu

dtdiRu

sqsqssq

sdsdssd

Ψ

Ψ

. (2.5)

Ecuaţiile (2.4) şi (2.5) conform relaţiei (1.20) pot fi scrise într-o singură ecuaţie matriceală corespunzătoare modelului bifazat:

[ ] [ ] [ ]⊥⊥⊥ +⋅= ssss dtdiRu Ψ . (2.6)

Trecerea de la ecuaţia (2.2) a modelului trifazat la ecuaţia (2.6) a modelului bifazat rezultă matematic prin înmulţirea relaţiei (2.2) la stânga cu matricea [A]. În mod analog, pentru fazele rotorice rezultă ecuaţiile de tensiune:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+⋅=

+⋅=

+⋅=

dtdiRudtdiRudtdiRu

rcrcrrc

rbrbrrb

rararra

Ψ

Ψ

Ψ

, (2.7)

în care Rr este rezistenţa unei faze rotorice. Ca şi la stator, ecuaţiile (2.7) pot fi scrise într-o singură ecuaţie matricială dar trebuie luat în considerare faptul că rotorul este rotit faţă de stator cu unghiul θ, (fig. 2.1).

Prin urmare, matricea mărimilor rotorice va purta indicele θ. Pentru modelul trifazat al rotorului, ecuaţia matriceală va fi (analog relaţiei 2.2).

[ ] [ ] [ ]θθθ Ψrrrr dtdiRu +⋅= . (2.8)

Considerând acum vectorii unitate 1, a, a2 ai fazelor rotorice într-un plan complex (dθ - qθ) legat de rotor şi procedând asemănător ca în stator, conform relaţiilor (1.10), (1.11), (1.12) şi (1.13) obţinem ecuaţia fazorială:

dt

diRu rrrr

θθθ

Ψ+⋅= . (2.9)

Se adaugă relaţia componentelor homopolare:

dtdiRu 0r

0rr0rΨ

+⋅= . (2.10)


Modelul bifazat al rotorului în sistemul de axe proprii rotorului se obţine din relaţia (2.9) proiectând ecuaţia fazorială pe axele (dθ - qθ):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⋅=

+⋅=

dtdiRudt

diRu

rdrdrrd

rdrdrrd

θθθ

θθθ

Ψ

Ψ

. (2.11)

Prin urmare ecuaţia matriceală corespunzătoare modelului bifazat (dθ – qθ) va fi:

[ ] [ ] [ ] θθθ Ψ ⊥⊥⊥ +⋅= rrrr dtdiRu . (2.12)

Trebuie observat că, conform fig. 2.1, cuplajul magnetic dintre înfăşurarea statorică şi rotorică depinde de poziţia relativă a acestor înfăşurări (unghiul θ). Această dificultate (a cuplajelor magnetice variabile) poate fi înlăturată dacă procesele din stator şi rotor se consideră raportate la un sistem de referinţă comun, oarecare (dλ – qλ) [6]. La acest sistem comun vom raporta toate ecuaţiile de tensiune: cele ale statorului (2.3) şi (2.6), respectiv rotorului (2.9) şi (2.12). În acest scop, în fig. 2.2, s-au reprezentat pentru simplificare numai

axele reale ale planurilor complexe, astfel:

Fig. 2.2. Raportarea axelor înfăşurărilor statorice şirespectiv rotorice la axele reale ale planurilorcomplexe (d - q), (dθ - qθ) şi (dλ - qλ).

axa reală d a planului complex (d - q) legat de stator;

axa reală dθ a sistemului (dθ - qθ) ataşat rotorului;

axa reală dλ a sistemului (dλ - qλ) oarecare comun, la care vom face raportările. a) Pentru a obţine ecuaţiile fazoriale de tensiune într-un sistem bifazat comun, oarecare, dλ - qλ, va trebui să efectuăm schimbarea de axe ale fazorilor spaţiali: us, is, Ψs scrişi în sistemul fix (d - q), utilizând relaţia (1.36). Dacă aceşti fazori se raportează la sistemul (dλ - qλ) pentru un fazor oarecare x, rezultă, conform relaţiei (1.37) pentru λααβ =−= 12 , deoarece 01 =α ,

λλ

⋅−⋅= jss exx .

Exprimând xs pentru cei trei fazori statorici, va rezulta:


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

⋅=

⋅

⋅

⋅

λλ

λλ

λλ

ΨΨ jss

jss

jss

eeiieuu

. (2.14)

Înlocuim această expresie în relaţia (2.3):

dtd

iRu ssss

Ψ+⋅= .

Obţinem:

( )

λλλλλ

λ

λλ

λλ

λλ

ΨλΨ

Ψ

sjjsj

ss

js

jss

js

edtdje

dtd

eiR

edtdeiReu

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

=⋅+⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

,

λλλ

λλ ΨωΨ

ss

sss jdt

diRu ⋅⋅++⋅= ; (2.15)

unde dtdλωλ = este viteza unghiulară a sistemului de axe oarecare (dλ - qλ). Ecuaţia

de tensiune a rotorului (2.9) se obţine printr-un procedeu similar. Deoarece în acest caz mărimile de fază ale rotorului se rotesc împreună cu rotorul, fazorii spaţiali: urθ, irθ, Ψrθ sunt raportaţi la sistemul de axe (dθ - qθ) solidar cu rotorul. În vederea raportării acestor fazori la sistemul comun oarecare (dλ - qλ), se aplică aceeaşi relaţie (1.36) în care:

θλααβλαθα −=−=== 1221 ,, .

Pentru un fazor oarecare raportat la axele (dλ - qλ), rezultă:

( )θλθλ

−⋅−⋅= jrr exx . (2.16)

Exprimând xrθ pentru cele trei mărimi rotorice, obţinem:

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

⋅=

−⋅

−⋅

−⋅

θλλ

θλλ

θλλθ

ΨΨ jrs

jrs

jrr

eeiieuu

. (2.17)

Înlocuind această expresie în relaţia (2.9):

dt

diRu rrrr

θθθ

Ψ+⋅= ,

obţinem:

( ) ( ) ( )( )θλλ

θλλ

θλλ Ψ −⋅−⋅−⋅ ⋅+⋅⋅=⋅ j

rj

rrj

r edtdeiReu .

34 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Efectuând calcule în acelaşi mod, rezultă în final:

( ) λλλ

λλ ΨωωΨ

rr

rrr jdt

diRu ⋅−⋅++⋅= , (2.18)

în care: dtdθω = este viteza unghiulară a rotorului.

Proiectând ecuaţiile (2.15) şi (2.18) pe axele planului complex (dλ - qλ), se obţin relaţiile corespunzătoare modelului bifazat. Pentru stator, considerând:

( )

λλ

λλλλλλ

Ψω

αΨωαπΨωΨω

sq

sss sin2

cosjRe

⋅−=

=⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=⋅⋅

,

se obţin:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅++⋅=

⋅−+⋅=

λλλ

λλ

λλλ

λλ

ΨωΨ

ΨωΨ

sdsq

sqssq

sqsd

sdssd

dtd

iRu

dtdiRu

. (2.19)

Analog, pentru rotor va rezulta:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−++⋅=

⋅−−+⋅=

λλλ

λλ

λλλ

λλ

ΨωωΨ

ΨωωΨ

sdrq

rqrrq

rqrd

rdrrd

dtd

iRu

dtdiRu

. (2.20)

Componentele homopolare (2.4) respectiv (2.10) sunt invariante faţă de schimbarea de sisteme de axe. b) Pentru a obţine ecuaţiile de tensiune scrise sub formă matriceală în sistem bifazat (dλ - qλ), pornind de la ecuaţiile de tensiune scrise sub formă matriceală în sistem trifazat, efectuăm schimbarea de variabile de la mărimile de fază la componentele fazorului spaţial în planul complex determinat de unghiul λ. Relaţia de recurenţă (1.28) devine:

. (2.21) [ ] [ ] [ ]λλ xAx ⋅=⊥

Utilizând această relaţie pentru tensiunea statorică, va rezulta:

[ ] [ ] [ ]λλ ss uAu ⋅=⊥ .

Relaţia (2.2) scrisă pentru un sistem trifazat ataşat statorului era:

[ ] [ ] [ ssss dtdiRu ψ+⋅= ] .


Pentru a obţine într-un sistem trifazat oarecare, determinat de unghiul λ, folosim relaţia (1.55), în care:

[ ]λsuλαα == 21 ,0 . Rezultă:

[ ] ( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ sss

ss

dtdTiTR

uTu

Ψλλ ]λλ

⋅+⋅⋅=

=⋅= . (2.22)

În ecuaţia (2.22), în expresia termenului al doilea, trebuie să apară derivata fluxului în sistemul de coordonate λ, care dezvoltată, va fi:

[ ] ( )[ ] [ ]{ }( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ] .

dtdT

dtd

dTd

Tdtd

dtd

ss

ss

ΨλΨλλλ

ΨλΨ λ

⋅+⋅⋅=

=⋅=

Din aceasta rezultă:

( )[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ,Kdt

d

TKdt

ddtdT

ss

sss

λλλ

λλ

ΨωΨ

ΨλωΨΨλ

⋅⋅+=

=⋅⋅⋅+=⋅

deoarece

( )[ ] [ ] ( )[ ]βββ TK

dTd

⋅−= .

În final:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]λλλ

λλ ΨωΨ

ss

sss Kdt

diRu ⋅⋅++⋅= . (2.23)

Pentru tensiunea rotorică, în loc de λ apare (λ - θ) şi în loc de dtdλωλ = , apare

ωωθλλ −=−

dtd

dtd

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]λλλ

λλ ΨωωΨ

rr

rrr Kdt

diRu ⋅⋅−++⋅= . (2.24)

Utilizând relaţia (2.21) aplicată expresiilor (2.23) şi (2.24), determinăm ecuaţiile de tensiune scrise sub forma matriceală în sistemul bifazat (dλ - qλ):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]λλλ

λ

λ

ΨωΨ

ss

ss

ss

KAdt

dAiAR

uAu

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

=⋅=⊥.

Matricea [A] conţine elemente constante şi este deci comutativă în raport cu operatorul de derivare.


[ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] λλλ ΨΨ

Ψ⊥=⋅=⋅ ss

sdtdA

dtd

dtd

A .

În termenul al treilea:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] λλλλ ΨΨΨΨ ⊥−

⊥ ⋅=⇒⋅= s1

sss AA .

Termenul [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] λλλλλλ ΨωΨωΨω ⊥⊥− ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ ss1

s QAKAKA , în care caz matricea:

. [ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⋅⋅= −

000001010

AKAQ 1

În final, ecuaţia matriceală a tensiunii statorice într-un sistem bifazat comun, oarecare, dλ – qλ devine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] λλλλλ ΨωΨ ⊥⊥⊥⊥ ⋅⋅++⋅= sssss QdtdiRu . (2.25)

Analog, pentru rotor, din rel. (2.24) rezultă:

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] λλλλλ ΨωωΨ ⊥⊥⊥⊥ ⋅⋅−++⋅= rrrrr QdtdiRu . (2.26)

Analizând ecuaţiile de echilibru ale tensiunilor la modelul bifazat corespunzător axelor (dλ - qλ) (rel. (2.19) şi (2.20)), se observă că acestea sunt legate între ele prin al treilea termen. Termenul de legătură este proporţional cu viteza unghiulară relativă dintre sistemele mărimilor care intervin (stator respectiv rotor) şi sistemul de axe la care se face raportarea acestor mărimi şi cu componenta fluxului după axa perpendiculară. Dacă sistemul de axe la care se raportează mărimile se confundă cu sistemul de axe statoric sau rotoric, această legătură "ortogonală" dispare la stator sau la rotor, dar niciodată nu poate să dispară în ambele perechi de ecuaţii (2.19) şi (2.20). Deci, între ecuaţiile de tensiune rămâne mereu o legătură ortogonală.

2.2. Curentul de magnetizare al maşinii asincrone Considerând numai armonica fundamentală, solenaţia produsă de una dintre înfăşurările de fază ale maşinii asincrone are o repartiţie sinusoidală de-a lungul întrefierului (fig. 1.2). Valoarea maximă este în direcţia de magnetizare a înfăşurării respective. Solenaţia rezultantă trifazată în maşină se datoreşte tuturor curenţilor de fază din maşină. Vectorial, ea se exprimă astfel:

rcrbrascsbsa θθθθθθθ Σ +++++= , (2.27)

unde pentru solenaţiile de fază, vectorii au direcţiile indicate în fig. 2.2.

Modelul maşinii asincrone 37 Solenaţiile sunt proporţionale cu curenţii din fazele corespunzătoare şi prin urmare:

( ) ( )rcrbrarscsbsas iiikiiik ++⋅+++⋅= θθΣθ , (2.28)

unde şi sunt factorii de înfăşurare ai înfăşurărilor statorice, respectiv rotorice. skθ rkθ

Curenţii rotorici sunt cei fizici care apar în maşină. Ca mărimi scalare, nu sunt raportaţi la stator iar ca mărimi vectoriale sunt raportaţi la rotor [6]. Definim fazorul spaţial al curentului de magnetizare (rel. 1.13) astfel:

( mc2

mbmasm iaiai32i ⋅+⋅+⋅= ), (2.29)

care, proiectat pe fazele as, bs, cs statorice dau curenţii de magnetizare din fazele respective: ima, imb şi imc. Înlocuind relaţia (2.28) în expresia fazorului spaţial al curentului de magnetizare (2.29) obţinem:

( ) ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⋅+++⋅=

=⋅⋅=

rcrbrascsbsa

sm

iiikk

iii32

k1

32i

s

r

s

θ

θ

θΣθ

(2.30)

unde s

r

kk

θ

θ este factorul de raportare a curenţilor rotorici la stator.

În continuare, nu vom mai pune în evidenţă printr-o altă notaţie faptul că curenţii rotorici (ca mărimi scalare) sunt raportaţi la stator iar ca mărimi vectoriale sunt raportaţi la rotor. Curentul de magnetizare din faza as, adică ima se obţine prin proiectarea fazorului im din relaţia (2.30) pe direcţia acestei faze. Conform figurii (2.2) rezultă:

⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+⋅+

⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅+⋅

⋅+⋅=

32cosi

32cosicosi

32cosi

32cosii

32i

rcrbra

scsbsama

πθπθθ

ππ

.(2.31)

Prin permutarea indicilor se pot scrie curenţii imb şi imc ai fazelor bs, respectiv cs. a) Pentru tratarea matriceală în sistem trifazat, având ima, imb şi imc conform relaţiei (1.19) obţinem:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]{ θθ rs

mc

mb

ma

m iti0t32

iii

i ⋅−+⋅⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= }. (2.32)


Transformările de axe trifazate le făceam cu matricea ( )[ ]βT :

( )[ ] ( )[ ] [ ]3131t

32T ⋅+⋅= ββ ,

unde matricea ( )[ ]βt este conform relaţiei (1.61).

Notăm matricea [ ] pentru a pune în evidenţă faptul că curenţii rotorici, ca mărimi vectoriale sunt raportaţi la rotor.

θri

Exprimăm matricea ( )[ ]βt din relaţia (1.60):

( )[ ] ( )[ ] [ ]3121T

23t ⋅−⋅= ββ , (2.33)

şi o înlocuim în relaţia (2.32). Obţinem:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ θθθ rs3rsm ii131iTi0Ti +⋅⋅−⋅−+⋅= }

]

. (2.34)

Pentru a elimina matricea ( )[ θ−T variabilă, se raportează toţi curenţii la acelaşi sistem trifazat comun, determinat de unghiul λ (fig. 2.2).

Cu relaţia de recurenţă (1.55), considerând pentru stator α1 = 0 şi α2 = λ şi pentru rotor α1 = θ şi α2 = λ, pentru un fazor x oarecare, scris matriceal în sistemul trifazat λ obţinem:

[ ] ( )[ ] [ ]ss xTx ⋅= λλ , (2.35)

[ ] ( )[ ] [ ]θλ θλ rr xTx ⋅−= . (2.36)

Cu acestea, din (2.34) rezultă:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ θθλ θλλ rs3rsm ii131iTiTi +⋅⋅−⋅−+⋅= }. (2.37)

unde s-a ţinut seama de relaţia (1.57.b):

( )[ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]333 1T11T =⋅=⋅ ββ .

Dar,

[ ] [ ]

[ ].0s

0s

0s

0s

scsbsa

scsbsa

scsbsasc

sb

sa

s3

iiii

iiiiiiiii

31

iii

111111111

31i1

31

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

⋅=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=⋅⋅

Modelul maşinii asincrone 39 În final:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0r0srsm iiiii −−+= λλλ . (2.38)

Observăm că la scrierea curentului de magnetizare în formă matriceală în sistemul trifazat, intervin componentele homopolare ale statorului, respectiv rotorului. Aceste componente vor dispărea dacă se trece la modelul fazorial sau la modelul bifazat. b) Pentru tratarea cu fazori spaţiali se adună vectorial cei trei curenţi de magnetizare de fază exprimaţi cu relaţia matriceală (2.32) conform definiţiei fazorului spaţial:

( )mc2

mbmam iaiai32i ⋅+⋅+= .

Utilizând pentru ima, imb, imc relaţii de tipul relaţiei (2.31) rezultă:

( )

( )⎭⎬⎫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅+⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅+

⎩⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅+⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅+⋅=

rc2

rbra2

sc2

sbsa2

ma

iaiai32

32cosa

32cosacos

iaiai32

32cosa

32cosa1

32i

πθπθθ

ππ

. (2.39)

Efectuând operaţiile din paranteze rezultă:

θθ

rj

sm ieii ⋅+= ⋅ , (2.40)

unde θri este raportat la axa rotorică dθ.

Raportând toate mărimile la aceeaşi axă comună dλ, rel. (1.36) în care, conform figurii 2.2, avem:

pentru stator: α1 = 0; α2 = λ şi

pentru rotor: α1 = θ; α2 = λ obţinem, pentru un fazor oarecare x:

λλ

⋅−⋅= jss exx , (2.41)

( )θλθλ

−⋅−⋅= jrr exx . (2.42)

Cu aceste relaţii obţinem:

( )θ

λθλλ r

jjsm ieeii ⋅+⋅= −⋅−⋅ .

Din care rezultă:

λλλ rsm iii += , (2.43)

o expresie pentru fazorul curentului de magnetizare, care ca formă nu depinde de sistemul de axe la care se raportează. Componenta homopolară a curentului de magnetizare im0:


( )

(0

iii31

34cos

32cos1

32

iii31i

scsbsa

mcmbma0m

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅

+⋅=

=++⋅=

ππ ) . (2.44)

este totdeauna zero. c) Tratarea matriceală în sistem bifazat se efectuează prin schimbarea de variabile de la sistemul trifazat la sistemul bifazat cu relaţia de recurenţă (1.28). Pentru curentul de magnetizare, relaţia (2.37) se poate scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]{ }θ

λλλλ

rs3

rsmm

ii1A31

iAiAiAi

+⋅⋅⋅−

−⋅+⋅=⋅=⊥. (2.45)

În final,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( 0r0srsm ii100

iii +⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+= ⊥⊥⊥ λλλ ) . (2.46)

Exprimând matricile de curenţi cu elementele componente, rel. (1.20), avem:

. (2.47) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0r0s0r

rq

rd

0s

sq

sd

0m

mq

md

ii00

iii

iii

iii

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Se poate observa că ultima matrice nu influenţează ecuaţia componentelor ortogonale iar componenta homopolară a curentului de magnetizare, im0, este nulă cum a rezultat şi anterior conform relaţiei (2.44).

2.3. Ecuaţiile de flux ale maşinii asincrone Fluxul din stator şi cel din rotor reprezintă rezultatul comun al efectului tuturor curenţilor din stator şi din rotor. Între rotor şi stator există o mişcare relativă şi deci inductivitatea mutuală dintre stator şi rotor depinde de poziţia rotorului (unghiul θ dintre as şi ar din fig. 2.1 şi 2.2). Vom considera o maşină asincronă trifazată cu rotor bobinat şi având o distribuţie sinusoidală a câmpului, deci a curentului de-a lungul întrefierului. Se consideră de asemenea maşina nesaturată (curba de magnetizare liniară). Fluxul magnetic total, care înlănţuie o fază oarecare este determinat atât de sistemul trifazat de curenţi statorici cât şi de cei rotorici.

Vom avea astfel pentru stator fluxurile Ψsa, Ψsb, Ψsc iar pentru rotor Ψra, Ψrb, Ψrc. Cu aceste valori instantanee se determină fazorul spaţial de flux statoric Ψs şi de flux rotoric Ψr (rel 1.9 şi 1.19).

Modelul maşinii asincrone 41 a) Tratarea cu fazori spaţiali. Pentru fazorul spaţial al fluxului total statoric în sistemul trifazat fix, ataşat statorului,

( sc2

sbsas aa32 ΨΨΨ )Ψ ⋅+⋅+⋅= , (2.48)

unde valorile instantanee ale componentelor variabile ale fluxurilor fazelor [21] sunt:

rcsrrbsr

rasrscssbssassa

i34cosMi

32cosM

icosMiMiMiL

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+

+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

πθπθ

θΨ; (2.49)

rcsrrbsr

rasrsasscssbssb

i32cosMicosM

i34cosMiMiMiL

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+⋅⋅+

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅=

πθθ

πθΨ; (2.50)

rcsrrbsr

rasrsbssasscssb

icosMi34cosM

i32cosMiMiMiL

⋅⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅=

θπθ

πθΨ; (2.51)

În aceste ecuaţii:

sL este inductivitatea proprie a unei înfăşurări de fază statorice;

sM este inductivitatea mutuală dintre înfăşurările statorice;

srM este valoarea maximă a inductivităţii mutuale dintre stator şi rotor.

Se poate observa că fluxul variabil pe fază conţine şase termeni de flux: o componentă a fluxului propriu produs de curenţii statorici din înfăşurarea statorică luată în consideraţie; două componente de flux statoric mutual datorate celorlalţi curenţi statorici; trei componente de flux mutual dintre stator şi rotor care sunt datorate celor trei curenţi rotorici. Înlocuind ecuaţiile (2.49), (2.50), şi (2.51) în ecuaţia (2.48) şi ţinând seama de raportarea fazorului spaţial al curentului rotoric (scris în sistemul ataşat rotorului) la sistemul statoric fix, rezultă:

θθΨ rj

msss ieLiL ⋅⋅+⋅= ⋅ . (2.52)

În ecuaţia (2.52):

sss MLL −= este inductivitatea trifazată totală a statorului;

srm M23L ⋅= este aşa-numita inductivitate trifazată de magnetizare.

42 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE În ecuaţia (2.52) fazorul spaţial al fluxului statoric are două componente. Prima componentă, egală cu ss iL ⋅ , este fazorul spaţial al fluxului propriu al fazelor

statorice, cauzat de curenţii statorici. A doua componentă, θθ

rj

m ieL ⋅⋅ ⋅ , este un fazor spaţial al fluxului mutual, care se datoreşte curenţilor rotorici şi este exprimat în sistem trifazat fix. Este important de observat că ecuaţia (2.52) este generală şi se menţine chiar în condiţiile circuitului magnetic neliniar. Astfel ea este valabilă de asemenea când circuitul magnetic este saturat. În acest caz Ls şi Lm nu sunt constante şi deci depind de curenţii maşinii [21]. Printr-un raţionament analog rezultă fazorul spaţial al fluxului total rotoric raportat la sistemul trifazat ataşat rotorului:

sj

mrrr ieLiL ⋅⋅+⋅= ⋅− θθθΨ . (2.53)

Pentru un sistem trifazat comun λ obţinem:

λθθ

λλλ ΨΨ ⋅−⋅⋅−⋅− ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅= jj

rmj

ssj

ss eeiLeiLe ;

( ) ( ) ( )θλθθλθ

θλθλ ΨΨ −⋅−⋅−⋅−−⋅− ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅= jj

smj

rrj

rr eeiLeiLe ,

adică:

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

λλλ

λλλΨΨ

smrrr

rmsssiLiLiLiL

. (2.54)

Inductivităţile totale trifazate ale statorului, respectiv rotorului se pot scrie:

. (2.55) ⎩⎨⎧

+=+=

mrr

mssLLLLLL

σ

σ

În aceste relaţii:

⎩⎨⎧

−=−=

srr

sssMLLMLL

σσσ

σσσ , (2.56)

unde:

rs L,L σσ reprezintă inductivitatea proprie de scăpări a unei faze a statorului, respectiv rotorului;

rs M,M σσ reprezintă inductivitatea mutuală de scăpări dintre două faze statorice, respectiv rotorice. Înlocuind relaţiile (2.55) în relaţiile (2.54) şi ţinând seama de relaţia (2.43) rezultă:

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

λλσλ

λλσλΨΨ

mmrrr

mmsssiLiLiLiL

. (2.57)

Modelul maşinii asincrone 43 Notând fluxurile de scăpări:

⎩⎨⎧

⋅=⋅=

λσλσ

λσλσΨΨ

rrr

sssiLiL

;

şi fluxul de magnetizare:

( )λλλλΨ rsmmmm iiLiL +⋅=⋅= ,

ecuaţiile de flux devin:

⎩⎨⎧

+=+=

λλσλ

λλσλΨΨΨΨΨΨ

mrr

mss . (2.58)

b) Scrierea matriceală în sistem trifazat a relaţiilor (2.52) şi (2.53) conduce la:

[ ] [ ] ( )[ ] [ ][ ] [ ] ( )[ ] [ smrrr

rmsssiTLiLiTLiL⋅⋅+⋅= ]

⋅−⋅+⋅=θΨ

θΨ

θθ

θ .

Matricile ( )[ ]θT şi ( )[ ]θ−T au fost introduse din cauza poziţiei relative dintre cele două sisteme de axe trifazate de referinţă la care sunt raportate mărimile statorice, respectiv rotorice, de poziţie variabilă cu unghiul θ (fig. 2.2). Eliminarea matricilor [T] are loc dacă se raportează toate mărimile la un sistem comun de axe trifazate determinat de unghiul λ, (rel. 2.35 şi 2.36). Obţinem astfel:

[ ] ( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ θ

λθλλ ]

ΨλΨ

rmss

ssiTTLiTL

T⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅=,

[ ] ( )[ ] [ ]

( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]θθ

θλθθλθλ

ΨθλΨ

smrr

rriTTLiTL

T⋅⋅−⋅+⋅−⋅=

=⋅−=.

şi deci:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎩

⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

.iLiLiLiL

smrrr

rmsss

λλλ

λλλΨΨ ;

(2.59)

c) Scrierea matriceală în sistem bifazat comun λ rezultă, conform relaţiei (1.28), din relaţia (2.59) astfel:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]λλ

λλ ΨΨ

rmss

ssiALiAL

A⋅⋅+⋅⋅=

=⋅=⊥ ,

respectiv,

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]λλ

λλ ΨΨ

smrr

rriALiAL

A⋅⋅+⋅⋅=

=⋅=⊥ .

44 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Rezultă:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎩

⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

⊥⊥⊥

⊥⊥⊥.iLiL

iLiL

smrrr

rmsss

λλλ

λλλΨΨ ;

(2.60)

Ţinând seama de (2.55) şi (2.46), relaţiile (2.60) se mai pot scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⎩

⎨⎧

+=⋅+⋅=+=⋅+⋅=

⊥⊥⊥⊥⊥

⊥⊥⊥⊥⊥.iLiL

iLiL

mrmmrrr

msmmsss

λλσλλσλ

λλσλλσλΨΨΨΨΨΨ ;

(2.61)

Ecuaţiile de flux, indiferent de sistemul de axe d – q ales, nu îşi modifică forma.

2.4. Ecuaţiile generale ale maşinii asincrone Modelul matematic al maşinii asincrone constă dintr-un sistem de ecuaţii diferenţiale cu posibilitatea specificării sistemului de axe dλ - qλ la care este raportat modelul [6]. Aceste ecuaţii se bazează pe teoria fazorilor spaţiali şi au două moduri de scriere: vectorială, respectiv matriceală. La scrierea matriceală în sistem bifazat apar matrici de forma expresiei (1.20) care pe lângă componentele ortogonale d – q conţin şi componenta homopolară. Aceasta intervine matematic ca a treia mărime, la schimbarea de variabile, când se trece de la sistemul trifazat la cel bifazat (care corespunde fazorului spaţial). Ea nu influenţează modelul bifazat electric, magnetic sau mecanic şi nu contribuie la producerea cuplului. De asemenea nu intervine în buclele de reglare ale sistemelor cu orientare după câmp. Din această cauză vom folosi scrierea matriceală restrânsă în sistem bifazat cu ajutorul matricilor de forma:

(2.62) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊥

q

dxx

x

Prin înţelegem o matrice de forma (2.62), nu în caz general, raportată la un sistem de axe oarecare determinat de unghiul λ:

[ ] λ⊥x

(2.63) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊥

λ

λλ

q

dxx

x

Transformările care au condus la ecuaţiile generale ale maşinii asincrone sunt reprezentate în fig. 2.3. Prin aplicarea teoriei fazorilor spaţiali pentru mărimile statorice, respectiv rotorice, se trece de la sistemul trifazat natural la cel bifazat natural. Folosind operatorul matriceal [A] şi conform rel. (1.28) se obţin componentele fazorului spaţial într-un sistem de axe ortogonale d – q fix (pentru mărimile statorice) respectiv dθ - qθ legat de rotor (pentru mărimile rotorice). Modelul bifazat general se obţine din cel natural prin raportarea tuturor fazorilor spaţiali la acelaşi sistem de axe, comun oarecare dλ - qλ [6]. Aceasta se realizează prin aplicarea operatorului de rotire [D(β)], conform rel. (1.49), unde unghiul de rotire β = λ, pentru mărimile statorice, respectiv β = λ − θ, pentru mărimile rotorice.


Fig. 2.3. Transformarea maşinii asincrone trifazate într-o maşină echivalentă bifazată.

Ecuaţiile generale ale maşinii asincrone, în scrierea matriceală restrânsă – conform (2.63) – rezultă din relaţiile (2.25), (2.26), (2.46), (2.60) şi (2.61):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;λλλ

λλ ΨωΨ

⊥⊥

⊥⊥ ⋅⋅++⋅= ss

sss Qdt

diRu (2.64)

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ;λλλ

λλ ΨωωΨ

⊥⊥

⊥⊥ ⋅⋅−++⋅= rr

rrr Qdt

diRu (2.65)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ;λλ

λλσλλσλ ΨΨΨ

⊥⊥

⊥⊥⊥⊥⊥⋅+⋅=

=⋅+⋅=+=

rmss

mmssmssiLiL

iLiL (2.66)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ;λλ


⊥⊥

⊥⊥⊥⊥⊥⋅+⋅=

=⋅+⋅=+=

smrr

mmrrmrriLiL

iLiL (2.67)

, unde: [ ] [ ] λλΨ ⊥⊥ ⋅= mmm iL [ ] [ ] [ ] λλλ ⊥⊥⊥ += rsm iii . (2.68)

Ecuaţia cuplului electromagnetic este:

[ ] [ ] λλΨ ⊥⊥ ⋅⋅⋅= rT

me ip23m . (2.69)

Trebuie ţinut seama că θ este poziţia rotorului măsurată în grade electrice (unghiul electric al fazei ar din fig. 2.2).

Poziţia θr a rotorului în spaţiu, măsurată în grade geometrice va fi deci pr θθ = , unde p este numărul de perechi de poli ai maşinii. Prin urmare, ecuaţia de mişcare se va scrie sub forma:


dtd

pJ

dtdJmm r

sωω

⋅=⋅=− , (2.70)

unde J este momentul de inerţie al sistemului de acţionare raportat la arborele motorului. Matricea [Q] rezultă în urma derivării fluxului şi are expresia:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0110

2DQ π . (2.71)

Schema echivalentă corespunzătoare modelului bifazat al maşinii asincrone este mai intuitivă dacă mărimile bifazate sunt reprezentate fazorial. Sistemul de ecuaţii generale ale maşinii asincrone – scrise cu fazori spaţiali – rezultă din relaţiile: (2.15), (2.18), (2.54), (2.57), (2.58).

λλλ

λλ ΨωΨ

ss

sss jdt

diRu ⋅⋅++⋅= ; (2.72)

( ) λλλ

λλ ΨωωΨ

rr

rrr jdt

diRu ⋅−⋅++⋅= ; (2.73)

λλ


rmss

mmssmssiLiL

iLiL⋅+⋅=

=⋅+⋅=+=; (2.74)

λλ


smrr

mmrrmrriLiL

iLiL⋅+⋅=

=⋅+⋅=+=; (2.75)

λλΨ mmm iL ⋅= ,

unde: λλλ rsm iii += ; (2.76)

( )dtd

pJmip

23m s

*rme

ωΨ λλ ⋅+=⋅⋅⋅= Im . (2.77)

În lipsa componentelor homopolare, schema echivalentă a maşinii asincrone în regim nestaţionar este reprezentată în fig. 2.4.

Fig. 2.4. Schema echivalentă a maşinii asincrone în regim nestaţionar (fără componente homopolare).


2.5. Puterea şi cuplul electromagnetic ale maşinii asincrone Puterea electrică instantanee a maşinii asincrone, în cazul general când alimentarea are loc dinspre stator şi dinspre rotor, se poate exprima astfel:

rcrcrbrbrarascscsbsbsasa iuiuiuiuiuiup ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= . (2.78)

În această relaţie, conform celor stabilite în subcapitolul 2.2, mărimile rotorice, ca mărimi scalare sunt raportate la stator iar ca mărimi vectoriale sunt raportate la rotor. Acest procedeu nu modifică forma expresiei puterii instantanee. Expresia (2.78) se poate pune sub formă matriceală astfel [21]:

[ ] [ ] [ ] [ ]θθ rT

rsT

s uiuip ⋅+⋅= . (2.79)

În relaţia (2.79) la mărimile rotorice indicele θ semnifică faptul că aceste mărimi se referă la sistemul de axe trifazat solidar cu rotorul. Matricea [x]T este transpusa matricii [x] adică:

. (2.80) [ ] [ ]cbaT xxxx =

Pentru exprimarea puterii instantanee cu ajutorul componentelor bifazate ortogonale se foloseşte, atât pentru curenţi cât şi pentru tensiuni, relaţia de recurenţă (1.29). Se obţine astfel:

[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] θθ ⊥−

⊥−

⊥−

⊥− ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= r

1Tr

1s

1Ts

1 uAiAuAiAp ;

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] θθ ⊥−−

⊥⊥−−

⊥ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= r1T1T

rs1T1T

s uAAiuAAip . (2.81)

Efectuând operaţiile cu matricile [A] şi [A]-1 (relaţiile 1.31) se obţine matricea coeficienţilor de putere trifazată:

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⋅= −−

30002300023

AAK 1T1p . (2.82)

Efectuând calculele, conform (2.81), prin introducerea matricilor şi rezultă expresia puterii instantanee sub forma:

[ ]Ti ⊥ [ ]⊥u

( )( ) 0r0rrqrqrdrd

0s0ssqsqsdsd

iu3iuiu23

iu3iuiu23p

⋅⋅+⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅+⋅⋅=

θθθθ

. (2.83)

Expresia (2.83) se poate exprima şi cu ajutorul fazorilor spaţiali sub forma:

( ) ( 0r0r0s0s*rr

*ss iuiu3iuiu

23p ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= θθRe ) . (2.84)


Fazorii spaţiali us, is respectiv urθ, i rθ se referă la o fază. Pentru a lua în considerare efectul celor trei faze, în relaţia (2.84) apare factorul trei. Deoarece se lucrează cu mărimi instantanee (în regim permanent sinusoidal apare în mod obişnuit valoarea maximă U2Umax ⋅= şi nu valoarea efectivă U). Din această cauză apare factorul

( )22121 = în relaţia puterii instantanee [21]. Fazorii spaţiali din relaţia (2.84) se vor raporta la un sistem de axe comun, oarecare, λ (fig. 2.2). Conform relaţiei (1.36), unde:

pentru fazorii statorici α1 = 0 şi α2 = λ;

pentru fazorii rotorici α1 = θ şi α2 =λ. În cazul general se poate scrie:

λλ

⋅⋅= jss exx şi ( )θλ

λθ−⋅⋅= j

rr exx . (2.85)

Astfel produsele din (2.84) devin:

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅=⋅⋅⋅=⋅

⋅=⋅⋅⋅=⋅−⋅−−⋅

⋅−⋅

*rr

j*r

jr

*rr

*ss

j*s

js

*ss

iueieuiuiueieuiu

λλθλ

λθλ

λθθ

λλλ

λλ

λ ; (2.86)

Cu aceasta relaţia (2.84) devine:

( ) ( )0r0r0s0s*rr

*ss iuiu3iuiu

23p ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= λλλλRe . (2.87)

În relaţia (2.87) se înlocuiesc tensiunile usλ şi urλ cu expresiile (2.15) şi respectiv (2.18) şi tensiunile us0 şi ur0 cu relaţiile:

dtdiRu 0s

0ss0sΨ

+⋅= ;

dtdiRu 0r

0rr0rΨ

+⋅= .

Se înlocuiesc de asemenea fluxurile cu relaţiile (2.74) şi (2.75). Dezvoltând calculele şi ţinând seama că, în general, 2* xxx =⋅ , relaţia (2.87) conduce la [21]:

( ) ( )

( )4444 84444 76

444444444444444 8444444444444444 76

44444444 844444444 76

mecanicăputerea

*rr

fierînpierderile

0r0r

0s0s

m*m

r*r

s*s

cupruînpierderile

20rr

20ss

2rr

2ss

ij23

dtdi

dtdi3

dtd

idt

di

dtd

i23

iRiR3iRiR23p

λλ

λλ

λσλ

λσλ

λλ

Ψω

ΨΨΨΨΨ

⋅⋅⋅⋅−⋅+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=

Re

Re .

(2.88)

Modelul maşinii asincrone 49 În dezvoltarea de mai sus termenul:

( )[ 0iij23 *

rr*ss =⋅+⋅⋅⋅⋅ λλλλλ ΨΨωRe ] .

deoarece este pur imaginar. Acest termen conţine λω , în funcţie de sistemul de axe la care se raportează fazorii spaţiali. Dispariţia sa conduce la concluzia că – după cum este normal – expresiile diferitelor puteri sunt independente de sistemul de axe dλ – qλ ales. Din expresia puterii mecanice (rel. 2.88) se observă că componentele homopolare nu contribuie la producerea cuplului. Ţinând seama de expresiile fluxurilor (2.74) şi (2.75) puterea mecanică se poate pune şi sub formele:

( )( ) ( )λλλλ

λλ

ΨωΨω

Ψω

s*ss

*m

*rmm

im23im

23

im23p

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=

II

I. (2.89)

Cuplul electromagnetic me rezultă din expresia puterii mecanice care poate fi scrisă sub forma:

erm mp ⋅= ω ,

unde, ωr este viteza unghiulară a rotorului exprimată în grade mecanice, în timp ce ω este exprimată în grade electrice. Deoarece rp ωω ⋅= rezultă:

ωm

eppm ⋅= . (2.90)

Din expresia puterii mecanice (2.88):

( ) ( )*rr

*rrm im

23ij

23p λλλλ ΨωΨω ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅= IRe , (2.91)

şi (2.89) rezultă cuplul electromagnetic instantaneu exprimat:

• cu mărimi statorice:

( )λλΨ s*se imp

23m ⋅⋅⋅= I ; (2.92)

• cu mărimi rotorice:

( )*rre imp

23m λλΨ ⋅⋅⋅= I ; (2.93)

• cu curenţi:

( )*rsme iimLp

23m λλ ⋅⋅⋅⋅= I ; (2.94)

• cu fluxul de magnetizare:


( )λλΨ s*me imp

23m ⋅⋅⋅= I ; (2.95)

sau

( )*rme imp

23m λλΨ ⋅⋅⋅= I . (2.96)

Expresia cuplului electromagnetic, ca şi a puterii, este invariabilă la transformarea sistemului de axe. Expresiile fazoriale ale cuplului electromagnetic sunt sintetizate în tabelul 2.1. [21].

Tabelul 2.1. Expresiile fazoriale ale cuplului electromagnetic

isλ irλ Ψsλ Ψrλ Ψmλ Expresia cuplului

1 ● ● ( )*rsme iimLp

23m λλ ⋅⋅⋅⋅= I

2 ● ● ( )λλΨ s*me imp

23m ⋅⋅⋅= I

3 ● ● ( )λλΨ s*se imp

23m ⋅⋅⋅= I

4 ● ● ( )*rs

re im

11p

23m λλ Ψ

σ⋅⋅

+⋅⋅= I

5 ● ● ( )λλ Ψ m*re imp

23m ⋅⋅⋅= I

6 ● ● ( )*rre imp

23m λλΨ ⋅⋅⋅= I

7 ● ● ( )*rs

se im

11p

23m λλΨ

σ⋅⋅

+⋅⋅= I

8 ● ● ( )λλ ΨΨ

σ s*r

rs

me m

LLLp

23m ⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= I

● denotă variabilele utilizate pentru calculul cuplului.

Dacă se consideră relaţia (1.14), din relaţiile (2.92) –(2.96) se obţin expresiile cuplului – exprimate în funcţie de componentele bifazate ale mărimilor care intervin – astfel:

• cu mărimi statorice:

( )λλλλ ΨΨ sdsqsqsde iip23m ⋅−⋅⋅⋅= ; (2.97)

• cu mărimi rotorice:

( )λλλλ ΨΨ rqrdrdrqe iip23m ⋅−⋅⋅⋅= ; (2.98)

• cu curenţi:


( )λλλλ rqsdrdsqme iiiiLp23m ⋅−⋅⋅⋅⋅= ; (2.99)

• cu fluxul de magnetizare:

( )λλλλ ΨΨ sdmqsqmde iip23m ⋅−⋅⋅⋅= ; (2.100)

sau

( )λλλλ ΨΨ rqmdrdmqe iip23m ⋅−⋅⋅⋅= . (2.101)

Expresia cuplului electromagnetic se poate scrie şi matriceal. Pentru aceasta, pe baza relaţiei (1.20), din relaţiile (2.97) – (2.101) rezultă cuplul în funcţie de:

• mărimile statorice:

[ ] [ ] [ ] λλ Ψ ⊥⊥ ⋅⋅⋅⋅= sT

se Qip23m ; (2.102)

• mărimile rotorice:

[ ] [ ] [ ] λλΨ ⊥⊥ ⋅⋅⋅⋅= rT

re iQp23m ; (2.103)

• curenţi:

[ ] [ ] [ ] λλ ⊥⊥ ⋅⋅⋅⋅⋅= rT

sme iQiLp23m ; (2.104)

• fluxul de magnetizare:

[ ] [ ] [ ] λλ Ψ ⊥⊥ ⋅⋅⋅⋅= mT

se Qip23m ; (2.105)

sau

[ ] [ ] [ ] λλΨ ⊥⊥ ⋅⋅⋅⋅= rT

me iQp23m ; (2.106)

unde matricea [Q] este (a se vedea subcap. 2.1):

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⋅⋅= −

000001010

AKAQ 1 .

Expresiile (2.92) – (2.96) pot fi puse sub formă de produse vectoriale. De exemplu relaţia (2.92), după modelul din subcap. 1.4, poate fi scrisă sub forma:

( λλΨ sse ip23m ×⋅⋅= ), (2.107)

52 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE unde modulul cuplului este:

βΨ sinip23m sse ⋅⋅⋅⋅= , (2.108)

β fiind unghiul dintre fazorul de flux şi fazorul de curent. Ψs şi is, fiind modulele fazorilor respectivi, nu depind de sistemul de axe şi de aceea indicele λ a fost omis în relaţia (2.108).

Din relaţiile (2.97) – (2.101) se observă că, dacă sistemul de axe comun λ se orientează după una din mărimile care anulează componenta qλ a acesteia din termenul al doilea, atunci se obţine cuplul maxim – asemănător maşinii de curent continuu complet compensate – aşa cum s-a stabilit deja în subcap. 1.4. Acesta este principiul de bază pentru sistemele cu orientare după câmp ale maşinilor de curent alternativ.

53

3. PRINCIPIUL DE REGLARE CU ORIENTARE DUPĂ CÂMP A MAŞINII ASINCRONE

În sistemele de acţionare electrică reglabile, maşina asicronă este alimentată de la un convertor static de frecvenţă, de obicei cu circuit intermediar de curent continuu. Problema principală o constituie controlul şi reglarea cuplului electromagnetic. Mărimea de reglare depinde de tipul convertorului de alimentare. Acesta poate regla tensiunea de alimentare sau curentul statoric al maşinii adică fazorul spaţial al tensiunii sau al curentului. Analogia dintre maşina de curent continuu complet compensată şi maşina asincronă orientată după câmp (fig. 1.10.c şi 1.12.b) s-a arătat în cap.1. Această analogie permite separarea controlului mărimilor magnetice de cele mecanice care, în final, conduce la două bucle de reglare independente cu mărimi de reglare în curent continuu [2], [6]. Dacă orientarea se face după fluxul de magnetizare, Ψm, (fig. 1.12), fazorul curentului statoric se descompune în planul (dλ - qλ) în două componente (fig. 3.1.a): componenta reactivă:

, (3.1) msdR iii == λ

componenta activă:

, (3.2) rsqA iii −== λ

deoarece, conform expresiei (2.43),

rsmrsm iiiiii +==== λλλ ,

curentul de magnetizare, ca formă, nu depinde de sistemul de axe la care se raportează. În fig. 3.1.a a fost reprezentată descompunerea fazorului de curent statoric în componente orientate după fluxul de magnetizare Ψm. Componenta reactivă isdλ este orientată după direcţia fluxului magnetic învârtitor (din întrefier) iar componenta activă isqλ este perpendiculară pe această direcţie. ■ În figura 3.1.b sunt puse în evidenţă cele două bucle de reglare corespunzătoare componentelor activă şi reactivă ale curentului statoric. Pentru aplicarea principiului orientării după câmp trebuie să cunoaştem mărimea fluxului după care se face orientarea şi poziţia acestuia (unghiul λ). Blocul care furnizează informaţii referitoare la câmp este analizorul de fazor AF (fig. 3.2) care identifică poziţia λ şi modulul fazorului de flux Ψ [6]. Componentele Ψd şi Ψq ale fluxului, raportate la sistemul de axe d – q statoric, se obţin prin calcul sau prin măsurare. Din acestea se calculează modulul fazorului de flux cu relaţia:

2q

2d ΨΨΨ += (3.3)


şi funcţiile trigonometrice:

Ψψλ dcos = şi

Ψψ

λ qsin = (3.4)

Considerând poziţia unghiulară a fluxului, funcţiile trigonometrice (3.4) pot fi obţinute cu un bloc oscilator a cărui funcţie poate fi scrisă matriceal astfel:

. ( )[ ] ( )[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

01

cossinsincos

01

Dsincos

λλλλ

λλλ

λσ

(3.5)

Matricea [D] este operatorul de rotire a mărimilor bifazate d – q în scriere restrânsă (fără componenta homopolară) conform rel. 1.42.

Fig. 3.1. Principiul de reglare cu orientare după câmp a maşinii asincrone: a) diagrama fazorială; b)schema-bloc a sistemului de reglare.

Principiul de reglare cu orientare după câmp a maşinii asincrone 55 Pe baza relaţiei (3.1) se pot scrie com-ponentele fluxului în sistemul de axe propriu dλ - qλ orientat după flux:

0qd == λλ ΨΨΨ ; ,

sau matriceal, conform relaţiei (1.20), fără componenta homopolară:

. (3.6) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊥ 0

10q

d ΨΨ

ΨΨ

Ψλ

λλ

■ ■ Dacă se cunoaşte poziţia λ a fazorului de flux, se poate efectua transformarea de axe în urma căreia se obţin mărimile orientate după câmp. Blocul TA care realizează transfor-marea de axe este reprezentat în fig. 3.3. [6]. Matematic, înseamnă de fapt rotirea sistemului bifazat de axe cu un unghi λ, ceea ce se realizeză cu ajutorul ma-tricii [D] conform rel. 4.1.

Fig. 3.2. Analizor de fazor: a) diagramele fazoriale înainte şi după orientare; b) simbolul blocului.

. (3.7) [ ] ( )[ ] [ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ⊥⊥

sq

sd

ssq

sds

ii

cossinsincos

iDii

i

λλλλ

λλ

λλ

Fig. 3.3. Blocul transformării de axe: a) fazorul decurent înainte şi după orientare; b)simbolul blocului.

Mărimile orientate după câmp isdλ şi isqλ pot fi exprimate în funcţie de cele ale modelului bifazat fix în spaţiu astfel:

. (3.8) sqsdsq

sqsdsdicosisiniisinicosi⋅+⋅−=

⋅+⋅=λλ

λλ

λ

λ

Operaţiile din expresia (3.8) se realizează numeric cu blocul TA. Măsurarea directă a fluxului cu sonde Hall (fig. 3.1.b) nu se mai utilizează în prezent în practică. ■ ■ ■ Se foloseşte aproape exclusiv măsurarea indirectă a fluxului prin utilizarea mărimilor uşor măsurabile di-rect (tensiunile trifazate statorice şi curenţii trifazaţi statorici).


Calculele din circuitele de reglare se execută în sistem bifazat (de c.c.) ori-entat după câmp. Convertoarele statice de frecvenţă care alimentează maşinile de curent alternativ necesită însă mărimi de comandă în sistem trifazat. Din această cauză, în schemele de reglare vor apărea blocuri TS care re-alizează transformarea mărimilor din

sistem trifazat (xa, xb, xc) oarecare, în sistem bifazat (xd, xq) cu matricea [A] sau invers cu matricea [A]-1. Schema blocului TS (transformări de sistem) este reprezentată în fig. 3.4. Fluxul din întrefier se calculează indirect din tensiunile şi curenţii statorici măsuraţi. Din mărimile trifazate ale acestora se obţin mărimile bifazate (usd, usq) respectiv (isd, isq) cu ajutorul blocurilor TS. Din ecuaţia matriceală a tensiunilor statorice în sistem bifazat fix (rel 2.6) se deduce:

Fig. 3.4. Blocul transformării din sistem trifazat însistem bifazat de mărimi.

[ ] [ ] [ ]⊥⊥⊥ ⋅−= ssss uRudtd Ψ . (3.9)

Prin integrare se obţine fluxul statoric:

[ ] [ ]⊥⊥ =∫ ssdtd ΨΨ . (3.10)

Componentele fluxului statoric în sistem bifazat statoric se obţin ţinând seama de rel. 3.9 astfel:

. (3.11)

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅−=

⋅−=

∫

∫t

0sqssqsq

t

0sdssdsd

dtiRu

dtiRu

Ψ

Ψ

Fig. 3.5. Blocul de calcul al fluxului de magne-tizare.

Din relaţia (2.60) exprimăm matricial fluxul de magnetizare în sistem bifazat statoric (pentru λ = 0):

[ ] [ ] [ ]⊥⊥⊥ −= ssm σΨΨΨ . (3.12)

Componentele fluxului de magnetizare în sistem bifazat statoric vor fi, conform acestei relaţii:

. (3.13) ⎩⎨⎧

⋅−=−=⋅−=−=

sqssqsqsqmq

sdssdsdsdmdiLiL

σσ

σσΨΨΨΨΨΨΨΨ

Operaţiile din relaţiile (3.11) şi (3.13) se efectuează numeric de către blocul de calcul CΨm conform fig. 3.5. Se observă din nou că la calculele de mai sus, componentele d şi q nu se influenţează reciproc.

57

4. SISTEME DE REGLARE AUTOMATĂ CU ORIENTARE DUPĂ CÂMP ALE MAŞINII ASINCRONE

Sistemele de reglare cu orientare după câmp pot fi clasificate în funcţie de natura convertorului static de frecvenţă şi de fluxul după care se face orientarea. Convertoarele sursă de curent (CSI) sau invertoarele cu modulaţie în lăţime (PWM) cu curent sinusoidal reglat sunt cele mai simple. Din punctul de vedere al fluxului de orientare, se disting scheme de reglare cu orientare:

c) după fluxul rotoric; d) după fluxul din întrefier; e) după fluxul statoric.

În general, se foloseşte orientarea după fluxul rotoric deoarece mărimile reglate rezultă foarte simplu (în comparaţie cu celelalte scheme). În cazul posibilităţilor de măsurare a curentului rotoric (maşina asincronă cu rotor bobinat) schema cea mai simplă rezultă prin orientarea după fluxul din întrefier. Această schemă prezintă avantajul că parametrii maşinii Rs, Rr, Lσs, Lσr nu au nici un efect asupra sistemului de reglare. Schema de reglare cu orientare după fluxul statoric necesită calcule mai complicate fără a mări însă performanţele dinamice.

4.1. Orientarea după fluxul rotoric a) Dacă se neglijează inductivitatea de scăpări Lσr a rotorului (Lσr = 0) atunci, conform relaţiei (2.61), fluxul rotoric se confundă cu fluxul din întrefier (măsurat sau calculat) şi schemele de reglare se simplifică.

b) În cazul real când nu se neglijează inductivitatea de scăpări a rotorului (Lσr ≠ 0), schema de reglare se complică deoarece fluxul rotoric se calculează din fluxul de magnetizare neavând acces la curenţii rotorici. Pentru aceasta se porneşte de la definirea unui curent de magnetizare imr corespunzător fluxului rotoric [6]:

m

rmr Li

Ψ= (4.1)

unde rΨ conform relaţiilor (2.55), (2.56) şi (2.57) poate fi scris:

rrmmrmr iLiL ⋅+⋅=+= σσΨΨΨ (4.2)

Din relaţiile (4.1) şi (4.2) obţinem:

mrm

rmr ii

LLi +⋅= σ (4.2.a)

ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE 58

Notăm:

m

rr L

Lσσ = , (4.2.b)

coeficientul de scăpări al rotorului; cu acesta relaţia (4.2.a) devine:

mrrmr iii +⋅= σ (4.3)

Curentul de magnetizare obţinut pe baza relaţiei (2.43) este dat de relaţia:

rsm iii += (4.4) Fig. 4.1. Diagrama fazorială pentru deter-

minarea curentului de magnetizarecorespunzător fluxului rotoric.

Înlocuind în relaţia (4.3) ir respectiv im din relaţia de mai sus, se obţine:

( ) ( ) rrssrmrmr i1iii1i ⋅++=⋅−⋅+= σσσ (4.5)

Relaţia (4.5) se poate pune şi sub forma:

rrsrmr iii ⋅+⋅=⋅ σσσ (4.5.a)

Din relaţia (4.4) construim im (fig. 4.1) iar conform relaţiilor (4.3) şi (4.5) rezultă imr ţinând seama şi de relaţia (4.5.a). De asemenea, conform relaţiilor (4.1) şi (4.2) se construiesc fluxurile Ψr, Ψm, Ψσr. Relaţia (4.5) înmulţită cu Lm şi ţinând cont de relaţiile (4.1) şi (4.2.b) conduce la o relaţie asemănătoare între fluxuri:

( ) srmrr iL1 ⋅−⋅+= σΨσΨ (4.6)

Pe baza relaţiei (4.6) se poate efectua compensarea fluxului de magnetizare Ψm determinat anterior în vederea obţinerii fluxului rotoric Ψr, după care se va realiza orientarea. În fig. 4.2 se prezintă compensatorul de flux pentru obţinerea fluxului de orientare din fluxul din întrefier. Din relaţia (4.5) curentul rotoric inaccesibil se poate exprima în funcţie de curentul statoric (măsurabil) şi curentul de magnetizare imr corespunzător fluxului rotoric (mărime de orientare) astfel:

Fig. 4.2. Compensatorul de flux pentru obţinerea fluxului rotoric de orientare.

( smrr

r ii11i −⋅

+=

σ) (4.7)

Expresiile fazoriale (4.1) – (4.7) ca formă nu depind de sistemul de axe la care sunt raportate.

Sisteme de reglare automată cu orientare după câmp ale maşinii asincrone 59 Schema de reglare a poziţiei maşinii asincrone cu orientare după fluxul rotoric [6] este reprezentată în fig. 4.3. Cu blocurile TS se realizează transformarea sistemelor trifazat de tensiuni şi curenţi în sisteme bifazate. Aceasta se realizează cu matricea [A]. Acestea sunt transformări de sistem. Cu blocul mCΨ , (fig. 3.5) se calculează în acelaşi sistem bifazat fluxul de magnetizare Ψm. Vom obţine, la ieşirea lui, componentele după axele d, q ale fluxului, respectiv: Ψmd şi Ψmq. Acestea sunt mărimi bifazate de curent alternativ.

În continuare se realizează cu blocul rCΨ (fig. 4.2) calculul componentelor fluxului rotoric Ψrd, Ψrq, ( [ ). Acestea sunt tot mărimi bifazate de curent alternativ. ]⊥rΨ

În continuare se realizează orientarea după fluxul rotoric cu ajutorul analizorului de fazor AF , (fig. 3.2) obţinându-se modulul fazorului de flux (Ψrd, Ψrq Ψ⇒ r) şi funcţiile sin λr, cos λr. S-a realizat deci o transformare de axe. Mărimile obţinute sunt acum mărimi orientate de curent continuu. Din viteza unghiulară ωr măsurată printr-un bloc integrator se obţine unghiul θr – poziţia reală a rotorului. Diferenţa dintre poziţia impusă *

rθ şi poziţia reală θr se aplică regulatorului de tip proporţional de poziţie. La ieşirea acestuia rezultă valoarea impusă a vitezei unghiulare *

rω a rotorului.

Conform principiului reglării în cascadă, diferenţa r*r ωω − se aplică regulatorului PI

de viteză. La ieşirea acestui regulator rezultă valoarea impusă a cuplului electromagnetic . *

em

Cuplul electromagnetic se calculează cu relaţia (a se vedea tab. 2.1):

( )*rsr

*e i

11p

23m Ψ

σ⋅

+⋅⋅= Im (4.8)

cu mărimile orientate după fluxul rotoric rezultă:

(4.9) *rsqrMr

*e iKm λΨ ⋅⋅=

unde r

Mr 11p

23K

σ+⋅⋅= .

Din relaţia 4.9 obţinem componenta activă impusă a curentului statoric: *rsqi λ

⋅⋅

=rMr

*e*

rsqKmi

Ψλ (4.10)

Componenta reactivă impusă rezultă din regulatorul PI de flux la intrarea

căruia se aplică diferenţa R

*rsd ii =λ

r*r ΨΨ − . Prin blocul TA cu matricea [D(-λr)] se trece de la


sistemul bifazat dλr - qλr la sistemul bifazat fix statoric d – q rezultând valorile impuse şi . *

sdi*sqi

Sisteme de reglare automată cu orientare după câmp ale maşinii asincrone 61

Fig.

4.3

. Sch

emă

de r

egla

re a

poz

iţiei

maş

inii

asin

cron

e al

imen

tată

de

la u

n in

verto

r de

cur

ent,

cu m

ăsur

area

indi

rectă

a câ

mpu

lui ş

i orie

ntar

e du

păflu

xul r

otor

ic.


Convertorul static sursă de curent constă dintr-un redresor comandat şi un invertor de curent. Curentul id al circuitului intermediar nu îşi poate inversa sensul. Invertorul comută acest curent pe rând pe fiecare fază a statorului, realizând un sistem trifazat de curenţi sub formă de pulsuri dreptunghiulare. Fazorul spaţial al curentului statoric is va varia con-form diagramei hexago-nale având şase poziţii fixe.

Fig. 4.4. Blocul de calcul al pulsaţiei şi unghiului de poziţie a unuifazor spaţial.

Modulul fazorului va fi:

*di

*d

*e iKi

32i ⋅=⋅= (4.11)

Unghiul εs al acestui fazor nu variază continuu ci prin salt [29]. Din relaţia (4.11) rezultă că redresorul comandat reglează de fapt modulul fazorului is, iar invertorul reglează frecvenţa de alimentare a maşinii asincrone.

Cu analizorul de fazor AF se calculează modulul fazorului spaţial *si al curenţilor statorici şi funcţiile trigonometrice sin εs, cos εs. Pulsaţia fazorului se determină cu blocul ωC , (fig. 4.4.b).

Conform fig. 4.4.a, se vede că tg α este:

ααα

ααα

λ

λ

cossinarctg

cossin

xx

tgd

q

=⇒

==. (4.12)

Pulsaţia ωα corespunzătoare lui α este:

( ) ( )dtsindcos

dtd 1 αααωα ⋅== − . (4.13)

În cazul nostru, α = εs iar λ = 0, deoarece fazorul este raportat la sistemul de axe fix d – q. Prin urmare:

*si

ss f2dtd

s⋅⋅== πεωε . (4.14)


Din , conform relaţiei (4.11) se calculează . Cu regulatorul de curent la a cărui

intrare se aplică semnalul se reglează amplitudinea curenţilor statorici.

*si

*di

d*d ii −

La ieşirea blocului ωC rezultă sεω şi ; se compară cu frecvenţa reală iar

regulatorul de frecvenţă modifică corespunzător frecvenţa invertorului.

*sf

*sf

Observaţie: În cazul maşinii asincrone alimentate în tensiune, calculul mărimilor de reglare se complică faţă de cazul alimentării în curent.

4.2. Orientarea după fluxul din întrefier Spre deosebire de cazul precedent, la orientarea după fluxul din întrefier, fluxul rotoric trebuie exprimat în funcţie de curentul de magnetizare im (mărime de orientare) şi curentul statoric (mărime de reglare).

Pentru aceasta, relaţia (4.6), ţinând seama că mmm iL ⋅=Ψ , se pune sub forma:

( ) srmrmr iLi1L ⋅−⋅+⋅= σσΨ . (4.15)

Ecuaţia fazorială a tensiunii rotorice, (2.18) scrisă pentru un sistem de axe oarecare λ, considerând 0ur =λ devine:

( ) λλ

λ ΨωωΨ

rrr

rr jdt

diR0 ⋅−⋅++⋅= . (4.16)

Ţinând seama de relaţia (4.4), (4.15) şi de expresia lui Ψm, relaţia (4.16) se poate pune sub forma:

( ) ( )( ) ( )[ ]λσλλ

λσ

λλλ

σωω

σ

srmmr

sr

mmrsmr

iLiL1jdtid

Ldtid

L1iiR0

⋅−⋅⋅+⋅−⋅+

+⋅+⋅⋅++−⋅= . (4.17)

Împărţind ecuaţia cu Rr şi ţinând seama că:

( ) rr

mr TRL1 =⋅+σ ,

unde r

rr RLT = este constanta de timp a indusului – după separarea termenilor –

ecuaţia (4.17) se poate pune sub forma:

( )

( ) ⎥⎦

⎤⋅−⋅⎢

⎣

⎡+⋅⋅

++=

=⋅⋅−⋅+⋅+

λλλ

λ

λλλ

λ

ωωσ

σ

ωω

ss

rr

rs

mrm

rm

ijdtid

T1

i

iTjdtid

Ti

. (4.18)

ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE 64 În relaţia (4.18) s-a ţinut seama că, conform expresiei constantei de timp Tr şi relaţiei (4.2.b),

rr

r

r

r T1R

L⋅

+=

σσσ . (4.19)

Dacă raportăm toate mărimile la sistemul de axe dλm – qλm, orientat după fluxul din întrefier, din diagrama din fig. 4.5, rezultă:

0iiiimm mqmmmd === λλ ; ,

şi

Fig. 4.5. Diagramă fazorială pentru orientare după fluxul din întrefier.

0mm mqmmmd === λλ ΨΨΨΨ ; ,

dar mλλ ωω = .

Descompunând ecuaţia fazorială (4.18) după cele două direcţii dλm – qλm, obţinem:

( )

( ) ( ) .

;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+⋅⋅

++=⋅⋅−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−−⋅⋅

++=⋅+

mmm

mm

mmm

m

sdsq

rr

rsqmr

sqsd

rr

rsd

mrm

idt

diT

1iiT

idt

diT

1i

dtid

Ti

λλλ

λλ

λλλ

λ

ωωσ

σωω

ωωσ

σ

(4.20)

În cazul acestei orientări, expresia cuplului electromagnetic devine:

mm sqmMsqme iKip

23m λλ ΨΨ ⋅⋅=⋅⋅⋅= . (4.21)

Mărimile de orientare, pe care nu le putem obţine direct, trebuie calculate pe baza curenţilor statorici şi a vitezei unghiulare a rotorului. Determinarea curentului de magnetizare im se poate efectua pe baza relaţiei (4.18) în care sistemul oarecare λ se orientează după curentul statoric is. Componentele curentului statoric orientat după sistemul de axe propriu dεs – qεs, (fig. 4.5) sunt:

sssd iiis

==ε şi 0issq =ε . (4.22)

Astfel ecuaţia (4.18) descompusă în componente, după axele dεs şi qεs, conduce la:

( )( ) ( ) smdr

mqrmq

s'rsmqr

mdrmd

iiTdt

diTi

dtdiTiiT

dtdi

Ti

ssss

s

sss

s

⋅−=⋅⋅−+⋅+

⋅+=⋅⋅−−⋅+

ωωωω

ωω

εεεε

ε

εεε

ε (4.23)


unde:

rr

r'r T1

T ⋅+

=σ

σ (4.24)

şi

dtd s

s

εωε = .

sε este unghiul fazorului is faţă de axa fixă de referinţă (fig. 4.5). Pe baza ecuaţiilor (4.23) s-a realizat blocul de calcul CI al curentului de magnetizare (fig. 4.6).

m

λ

λ

Fig. 4.6. Blocul de calcul al curentului de magnetizare orientat după curentul statoric.

Schema structurală realizată pe baza ecuaţiilor (4.23), puse sub forma ecuaţiilor diferenţiale ale unui element inerţial de ordinul întâi,este reprezentată în figura 4.7. Determinarea mărimilor de reglare se face prin compensarea curentului reactiv impus (rezultat din regulatorul de flux) – care nu se confundă cu i – respectiv prin

calculul componentei active i (la ieşirea din regulatorul de cuplu), conform relaţiei (4.21), (a se vedea şi figura 4.10). Compensarea curentului reactiv se face prin blocul de calcul , prezentat în figura (4.8) şi realizat pe baza primei ecuaţii (4.20). Schema structurală a blocului de calcul pentru compensarea curentului reactiv este prezentată în figura (4.9).

msd

msq

s1IC

O schemă de reglare a maşinii asincrone alimentată de la un invertor de curent sinusoidal, cu orientare după fluxul din întrefier [6] este prezentată în figura (4.10). Atât pe bucla de reacţie, cât şi pe bucla de reglare sunt blocuri de calcul (CI respectiv C ), determinate de modelul maşinii asincrone şi sunt afectate de variaţia

m

s1I

Fig. 4.7. Schema structurală a blocului de calcul al curentului de magnetizare orientat după curentul statoric.

ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE 66 parametrilor, în special de variaţia rezistenţei Rr. Calculul mărimilor de orientare este destul de complicat. Din valorile celor trei curenţi statorici: isa, isb, isc printr-o transformare de sistem se obţin componentele isd, isq corespunzătoare unui sistem bifazat d – q, fix, ataşat statorului (axa reală orientată după axa fixă de referinţă din figura 4.5). Din acestea prin analizorul de fazor AF se obţine modulul fazorului is şi funcţiile trigonometrice: cos εs şi sin εs ale unghiului εs, cu care este defazat fazorul faţă de axa reală (fig. 4.5). Cu blocul ωC de calcul a pulsaţiei şi unghiului de poziţie (fig. 4.4) rezultă pulsaţia

sεω . Aceasta, împreună cu rp ωω ⋅= – unde rω este viteza unghiulară a

rotorului – şi cu modulul lui is determină, prin blocul (fig. 4.6), componentele şi ale curentului de magnetizare orientat după curentul statoric (axele dε

mCI

smdi ε smqi ε s – qεs din fig. 4.5). Din aceste componente prin alt analizor de fazor AF se determină modulul curentului de magnetizare im şi funcţiile trigonometrice: cos βm şi sin βm ale unghiului msm λεβ −= , unghi dintre fazorul is şi im (fig. 4.5). Unghiul de orientare

msm βελ −= se calculează cu blocul ms βε − , pe baza funcţiilor trigonometrice ale unghiurilor εs şi βm (fig. 4.11). Printr-un alt bloc ωC se calculează, din cos λm şi sin λm, pulsaţia

mλω . La ieşirea blocului (fig. 4.8) rezultă valorile impuse şi

, iar printr-o transformare TA de axe bifazate valorile impuse şi în sistem fix, d – q, ataşat statorului (fig. 4.5). Printr-o transformare de sistem TS rezultă valorile impuse ale curenţilor statorici , , . Diferenţa dintre valorile impuse şi

s1IC*sd mi λ

*sq mi λ

*sdi

*sqi

*sai

*sbi

*sci

Fig. 4.8. Blocul de calcul pentru compensarea curentului reactiv.

Fig. 4.9. Schema structurală a blocului pentru compensarea curentului reactiv


Fig.

4.1

0. S

chem

ă de

regl

are

a m

aşin

ii as

incr

one

alim

enta

tă d

e la

un

inve

rtor d

e cu

rent

sin

usoi

dal c

u or

ient

are

după

flux

ul d

inîn

trefie

r


valorile măsurate se aplică la intrările regulatoarelor cu histerezis care vor comanda invertorul. În cazul maşinii asincrone cu rotor bobinat (cu inele), deoarece avem acces la curenţii rotorici, rezultă o schemă de reglare mult mai simplă (fig. 4.12). Schema conţine numai blocuri de fransformare de sistem TS , transformare de axe TA şi un analizor de fazor AF . Fluxul de magnetizare (flux de orientare) va rezulta, din curenţii statorici şi rotorici măsuraţi,

conform relaţiei:

Fig. 4.11. Blocul de calcul al unghiului deorientare λm.

( )rsmmmm iiLiL +⋅=⋅=Ψ , (4.25)

în care fazorii se raportează la acelaşi sistem de axe. Din curenţii statorici măsuraţi rezultă fazorul spaţial is în sistemul de axe d – q, fix, statoric. Din curenţii rotorici măsuraţi rezultă fazorul spaţial al curentului rotoric irθ raportat la sistemul de axe dθ – qθ, ataşat rotorului. Pentru transformarea acestuia în sistem fix este necesară cunoaşterea poziţiei rotorului (unghiul θ indicat în fig. 2.2). Acest unghi se obţine prin integrarea vitezei unghiulare ωr a rotorului. Rezultă astfel componentele ird şi irq în sistem statoric:

(4.26) .;

rqsqmq

rdsdmdiiiiii

+=+=

Analizorul de fazor AF conduce la determinarea modulului curentului de magnetizare im şi a funcţiilor trigonometrice ale unghiului λm (fig. 4.5).

În această schemă trebuie să apară componentele curentului rotoric în sistemul dλm – qλm orientat după fluxul de magnetizare. Acestea sunt necesare pentru calculul mărimilor de reglare.

Astfel componenta activă detemină cuplul electromagnetic al maşinii: mrqi λ

mm rqmrqme iKip

23m λλ ΨΨ ⋅⋅=⋅⋅⋅= . (4.27)

Această relaţie este modelată cu blocul de calcul (fig. 4.12). Din eroarea de

cuplu , la ieşirea regulatorului de cuplu se obţine – conform relaţiei (4.21) –

mărimea de reglare (componenta activă a curentului statoric impus).

eCm

e*e mm −

*sq mi λ

Componenta reactivă serveşte la compensarea curentului de magnetizare, conform diagramei de fazori din figura (4.5):

mrdi λ


Fig.

4.1

2. S

chem

ă de

regl

are

a vi

teze

i maş

inii

asin

cron

e cu

inel

e al

imen

tată

de

la u

n in

verto

r de

cure

nt s

inus

oida

l, cu

orie

ntar

e du

pă fl

uxul

din

între

fier.


.(4.28) mmmm rd

*mrdmd

*sd iiiii λλλλ −=−=

Din componentele şi , printr-o transformare de axe TA , se obţin valorile impuse şi ale curentului statoric în sistem fix d – q. În continuare, printr-o transformare de sistem , se obţin valorile impuse ale curenţilor statorici pe cele trei faze: ,

, .

*sd mi λ

*sq mi λ

*sdi

*sqi

TS*sai

*sbi

*sci

Diferenţele dintre aceste valori şi valorile corespunzătoare ale curenţilor statorici măsuraţi ( , , ) se aplică

la intrările regulatoarelor cu histerezis, care vor comanda invertorul. sai sbi sci

Fig. 4.13. Diagrama faz lă pentru determinarea curentului de magnetizare corespun-zător fluxului statoric.

oria

Schema prezentată este mai simplă şi are avantajul că paramatrii sarcinii (Rs, Rr, Lσs, Lσr) nu au nici un efect asupra sistemului de reglare orientat. Efectul inductivităţii mutuale Lm, oricum, nu poate fi neglijat la nici o variantă (fig. 4.10 şi 4.12).

4.3. Orientarea după fluxul statoric Pentru orientarea după fluxul statoric se defineşte curentul de magnetizare ims, [6], corespunzător fluxului statoric, conform relaţiei:

sm

ms L1i Ψ⋅= , (4.29)

unde fluxul statoric, conform relaţiei (4.29), este:

ssmmsms iLiL ⋅+⋅=+= σσΨΨΨ . (4.30)

Înlocuind (4.30) în (4.29) rezultă:

ssmms iii ⋅+= σ , (4.31)

unde mss LLσσ = este coeficientul de scăpări al statorului. Din relaţia (4.31), ţinând seama de (4.4), rezultă imediat:

( ) ( ) rsmsrssms ii1ii1i ⋅−⋅+=+⋅+= σσσ . (4.32)

Pe baza relaţiilor (4.4), (4.31) şi (4.32) rezultă curentul de magnetizare ims corespunzător fluxului statoric (fig. 4.13). Conform relaţiei (4.29) rezultă fluxul statoric, care trebuie să îndeplinească şi relaţia (4.30).


Fig. 4.14. Diagramă fazorială pentru orientaredupă fluxul statoric.

Din relaţia (4.32) se poate determina curentul rotoric (inaccesibil măsurării), în funcţie de curentul statoric (măsurabil) şi de curentul de magnetizare ims (mărime de orientare). Rezultă:

( ) ssmsr i1ii ⋅+−= σ . (4.33)

Relaţia (2.75) pentru sistemul de axe fix, statoric devine:

smrrr iLiL ⋅+⋅=Ψ . (4.34)

Înlocuind relaţia (4.33) în (4.34) şi ţinând seama că ( )r1rm LL σ+= rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−⋅= sr

smsrr i111iLσ

σΨ .

(4.35)

Ca şi în cazul orientării după fluxul de magnetizare, considerăm ecuaţia fazorială a tensiunii rotorice pentru un sistem de axe oarecare λ cu urλ = 0 (rel. 4.16). În această ecuaţie înlocuim relaţiile (4.33) şi (4.35) şi obţinem în final:

( )

( ) ( ) .iTjdtid

Ti1

iTjdtid

Ti

srs

rss

msrms

rms

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+=

=⋅⋅−⋅+⋅+

σωωσσ

ωω

λ

λ (4.36)

În relaţia (4.36) s-a notat:

( ) ( )rs 1111

σσσ

+⋅+−= . (4.37)

Ca şi în cazul orientării după fluxul din întrefier, raportăm acum ecuaţia (4.36) la sis-temul de axe orientat după fluxul statoric (flux de orientare). În această situaţie

sλλ ωω = (fig. 4.14). Conform figurii (4.14) rezultă:

( ) msmsdms iiis

==λ ; ( ) 0isqms =λ

sssd sΨΨΨ λ == ; 0

ssq =λΨ

(4.38)

Descompunând ecuaţia fazorială (4.36) după axele dλs – qλs (fig. 4.14) şi utilizând relaţiile de mai sus se obţin:


Fig.

4.1

5. S

chem

ă de

relg

are

a m

aşin

ii as

incr

one

alim

enta

tă d

e la

un

conv

erto

r sur

să d

e te

nsiu

ne ş

i cu

orie

ntar

e du

pă fl

uxul

stta

oric


( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−−⋅⋅+⋅+=⋅+

sss

s sqrsd

rsdsms

rms iTdt

diTi1

dtdiTi λλ

λλ σωωσσ

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−+⋅⋅+⋅+=⋅⋅−

sss

ss sdrsq

rsqsmsr iTdt

diTi1iT λλ

λλλ σωωσσωω .

(4.39)

În vederea calculului mărimilor de orientare după bucla de reacţie se va raporta ecuaţia (4.36) la sistemul de axe dεs – qεs orientat după curentul statoric (fig. 4.14).

În acest caz sελ ωω = şi:

sssd iiis

==ε ; 0issq =ε (4.40)

Descompunând ecuaţia fazorială (4.36) după direcţiile dεs – qεs se obţin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅−−⋅⋅+⋅+=⋅+

ssss qmsrs

rssdmsrdms iTdtdiTi1i

dtdTi εεεε σωωσσ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sssss dmsrsrsqmsrqms iTiT1i

dtdTi εεεεε ωωσωωσ ⋅⋅−−⋅⋅⋅−⋅+=⋅+ (4.41)

Pe baza relaţiilor (4.39) şi (4.41) se poate concepe o schemă de reglare asemănătoare celei din figura (4.10), cu blocuri având structură asemănătoare blocu-rilor şi , dar rezultă o schemă mult mai complicată. s1IC mCI

O soluţie mai simplă şi mai elegantă rezultă dacă se utilizează ecuaţia fazorială a tensiunii statorice, pentru determinarea fluxului statoric (a se vedea relaţia 3.39). Aceasta ne conduce la faptul că convertorul de alimentare este mai comod să fie un convertor sursă de tensiune (CSU). O asemenea schemă este reprezentată în figura (4.15). Cuplul electromagnetic poate fi calculat cu relaţia:

ss sqsMsqse iKip

23m λλ ΨΨ ⋅⋅=⋅⋅⋅= , (4.42)

iar fluxul statoric rezultă indirect, din curenţii şi tensiunile statorice măsurate, utilizând ecuaţia fazorială a tensiunii statorice scrisă în sistemul fix, statoric, d – q (fig. 4.14). Astfel:

dtd

iRu ssss

Ψ+⋅= . (4.43)

Prin integrare rezultă componentele fluxului statoric în sistemul d – q:

( )dtiRut

0sdssdsd ∫ ⋅−=Ψ ,

( )dtiRut

0sqssqsq ∫ ⋅−=Ψ .

(4.44)


Blocul de calcul pentru determinarea fluxului statoric este reprezentat în figura (4.16). Schema structurală a blocului de calcul al fluxului statoric este reprezentată în figura (4.17).

Fig. 4.16. Blocul de calcul al fluxului statoric.

Analizorul de fazor AF conduce la determinarea modulului fluxului statoric de orientare Ψs şi a funcţiilor trigonometrice sin λs şi cos λs (fig. 4.15). Pe bucla activă, din regulatorul de

cuplu (fig. 4.15) se obţine valoarea impusă a componentei active a curentului statoric. Pe bucla reactivă ieşirea regulatorului de flux furnizează valoarea impusă a curentului de magnetizare . Din aceste valori cu blocul se calculează mărimile de comandă ale convertorului. Realizarea blocului se bazează pe modelarea ecuaţiei fazoriale a tensiunii statorice orientate după fluxul statoric:

*sq si λ

*msi s2UC

s2UC

ss

sss sssj

dtd

iRu ΨωΨ

λλλ ⋅⋅++⋅= . (4.45)

Înlocuind în relaţia (4.45) fluxul Ψs din relaţia (4.29) şi ţinând seama de expresia con-stantei de timp a indusului, sss RL= )T precum şi de relaţia ( ssm 1LL σ+= , adică:

s

s

s

m1T

RL

σ+= , (4.46)

rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅

++⋅=

dtid

ij1TiRu ms

mss

ssss sss λλλ ω

σ. (4.47)

Relaţia (4.47) descompusă după direcţiile orientate dλs – qλs conduce la:

Fig. 4.17.Schema structurală a blocului pentru calculul fluxului statoric.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

++⋅=

dtdi

1TiRu ms

s

ssdssd ss σλλ ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅+⋅= ms

s

ssqssq i

1TiRu

ss σωλλλ .

(4.48)

Blocul de calcul este reprezentat în figura (4.18). Pe baza ecuaţiilor (4.48) schema structurală este prezentată în figura (4.19).

s2UC

Reglarea convertorului sursă de tensiune se realizează prin comanda tensiunii ud din circuitul intermediar de curent continuu, prin regulatorul de tensiune (fig. 4.15). În concluzie, alimentarea maşinii asincrone de la un convertor sursă de

tensiune (CSU) şi orientare după fluxul statoric simplifică mult calculul mărimilor de comandă şi nu este influenţată de variaţia rezistenţei rotorice Rr.

Fig. 4.18. Blocul de calcul al tensiunii statorice orientate după fluxul statoric.

Fig. 4.19. Schema structurală a blocului C2Us.

76

5. CONTROLUL DIRECT AL CUPLULUI MAŞINII ASINCRONE

5.1. Introducere Acţionările cu motoare asincrone (şi alte motoare de c. a.) având performanţe dinamice ridicate în reglarea cuplului electromagnetic instantaneu, bazate pe controlul vectorial (reglarea cu orientare după câmp), au fost introduse încă din anii 1970 – 1980 prin lucrările lui Blaschke, Hasse şi Leonhard. O contribuţie industrială importantă în acest domeniu a avut-o firma Siemens. Mai târziu (1985) s-au descoperit şi prezentat şi alte soluţii de reglare cum ar fi reglarea directă a cuplului (Takahashi şi Noguchi) şi autoreglarea directă (Depenbrock). În 1995 ABB a introdus şi apoi a dezvoltat acţionări industriale cu motoare asincrone cu controlul direct al cuplului [21].

5.2. Reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de tensiune (VSI)

5.2.1. Bazele fizice şi matematice ale producerii răspunsului rapid al cuplului

În cazul reglării directe a cuplului (Direct Torque Control - DTC) unui motor asincron alimentat de la un invertor, abaterile (erorile) dintre valorile impuse (de referinţă) şi valorile reale (estimate) ale fluxului şi cuplului fac posibilă reglarea directă a stărilor invertorului pentru a aduce abaterile în interiorul benzilor de histerezis fixate ale fluxului respectiv cuplului. În acest fel schema de reglare nu necesită regulator de curent, transformări de coordonate şi generator de semnale PWM, se obţine un răspuns rapid al cuplului, o frecvenţă de comutaţie a invertorului joasă şi pierderi armonice reduse [21], [22], [23]. În cele ce urmează se va descrie o reglare directă a cuplului în care, pe lângă controlul cuplului electromagnetic, fluxul controlat este fluxul statoric.Trebuie observat că se poate realiza şi o altă implementare în care fluxul rotoric sau fluxul de magnetizare să fie controlat. Controlul direct al cuplului permite răspunsuri foarte rapide ale cuplului şi o reglare flexibilă a maşinii asincrone. Într-o maşină asincronă trifazată cuplul electromagnetic instantaneu este proporţional cu produsul vectorial al fazorului staţial al fluxului statoric şi al curentului statoric (ecuaţia 2.107):

sse ip23m ×⋅⋅= Ψ (5.1)

În relaţia (5.1) ambii fazori sunt exprimaţi în sistemul bifazat statoric (fix) d – q (fig. 5.1). Considerând fazorii:

sjss e ρΨΨ ⋅⋅⋅= şi sj

ss eii α⋅⋅⋅=

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 77

ecuaţia (5.1) devine:

αΨ sinip23m sse ⋅⋅⋅⋅= (5.2)

unde ss ραα −= este unghiul dintre fazorul spaţial al fluxului statoric şi cel al curentului statoric. Se poate arăta că, prin utilizarea ecuaţiilor de tensiune ale maşinii asin-crone, pentru o valoare dată a vitezei rotorului – dacă modulul fazorului spaţial al fluxului statoric este menţinut constant – şi unghiul ρs se modifică rapid, atunci cuplul electromagnetic se poate modifica rapid. Pentru dovada matematică se obţine acum răspunsul cuplului electromag-

netic al maşinii la o schimbare în treaptă a ρs la t = 0. De aceea trebuie determinată variaţia în timp a cuplului electromagnetic [21].

Fig. 5.1 Fazorii staţiali ai fluxului statoric şi curen-tului statoric.

În acest scop se exprimă mai întâi fazorul spaţial al curentului rotoric (raportat la sistemul statoric fix, d - q) în funcţie de fazorul spaţial al fluxului statoric. În sistem statoric (λ = 0) ecuaţia fazorială a fluxului statoric (ecuaţia 2.52) era:

θθΨ ⋅⋅⋅+⋅= jrmsss eiLiL

Notăm θθ

⋅⋅=′ jrr eii şi vom avea:

rmsss iLiL ′⋅+⋅=Ψ .

De aici rezultă:

( )sssm

r iLL1i ⋅−⋅=′ Ψ . (5.3)

Exprimăm apoi fazorul spaţial al fluxului rotoric (din ecuaţia 2.53) în sistem statoric, fix d – q.

smrr'r

smj

rrj

r'r

iLiL

iLeiLe

⋅+′⋅=

⋅+⋅⋅=⋅= ⋅⋅

Ψ

ΨΨ θθ

θθ

Înlocuim în această relaţie pe i'r din relaţia (5.3) şi notând:

's

r

2m

s LLLL =−

78 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE obţinem:

( )s'ss

m

r'r iL

LL

⋅−⋅= ΨΨ (5.4)

Relaţiile (5.3) şi (5.4) le substituim în ecuaţia tensiunii rotorice în sistem statoric. Pentru rotorul în scurtcircuit şi λ = 0 ecuaţia (2.18) devine:

'r

'r'

rr jdtd

iR0 ΨωΨ

⋅⋅−+⋅=

În acest fel ecuaţia tensiunii rotorice obţinute conţine is şi Ψs şi aceasta poate fi folosită pentru a exprima fazorul spaţial al curentului statoric în funcţie de fazorul spaţial al fluxului statoric. Această expresie se substituie în ecuaţia (5.1). De asemenea prin utilizarea în acestă expresie a faptului că modulul fazorului spaţial al fluxului este constant (Ψs = k1) deci ss j

1j

ss eke ρρΨΨ ⋅⋅ ⋅=⋅= şi prin urmare dtdjdtd sss ρΨΨ ⋅⋅= , în final este posibil să obţinem o ecuaţie pentru cuplul

electromagnetic a cărei transformată inversă Laplace ne va da variaţia temporală cerută a cuplului electromagnetic. O examinare a acestei expresii arată că pentru Ψs constant, viteza de schimbare a creşterii cuplului electromagnetic este aproape proporţională cu viteza schimbării lui ρs. Astfel, prin impunerea celui mai mare dρs / dt, cu condiţia ca modulul fluxului statoric să fie constant, se obţine cel mai rapid (minimum) răspuns al cuplului electromagnetic. Cu alte cuvinte, dacă se impun tensiunile statorice ale motorului, care menţin fluxul statoric constant (la valoarea necesară), dar care rotesc fazorul fluxului statoric în poziţia necesară (la cuplu cerut), se execută controlul rapid al cuplului. Urmează că dacă, în controlul direct al cuplului motorului asincron, cuplul electromagnetic real este mai mic decât valoarea impusă, cuplul electromagnetic ar trebui crescut, cât mai rapid posibil, prin folosirea celui mai rapid dρs/dt. Totuşi, când cuplul electromagnetic este egal cu valoarea impusă (de referinţă) rotaţia se opreşte. Dacă fazorul fluxului statoric accelerează în sens direct (înainte) atunci se produce cuplu electrmegnetic pozitiv şi când se decelerează în sens invers (înapoi) se produce cuplu electromagnetic negativ. În orice caz, fazorul fluxului statoric se poate ajusta prin utilizarea celui mai potrivit fazor al tensiunii statorice, care este generat de invertorul sursă de tensiune ce alimentează maşina asincronă (a se vedea mai jos detaliile generării tensiunii). Pentru a rezuma: cuplul electromagnetic se poate schimba rapid prin comanda fazorului spaţial al fluxului statoric, care se poate modifica prin utilizarea tensiunilor statorice potrivite (generate de invertorul care alimentează motorul sincron). Se poate observa că există controlul direct al fluxului statoric şi cuplului electromagnetic utilizând tensiunile statorice potrivite. Acesta este motivul pentru care acest tip de control este uzual denumit controlul direct al cuplului. Este foarte util să considerăm o altă formă de exprimare pentru cuplul electromagnetic instantaneu, care dă o imagine fizică extrem de clară a proceselor produse dar conduce la aceleaşi rezultate, cum s-a arătat mai înainte. Considerând că:

'rmsss iLiL ⋅+⋅=Ψ

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 79 şi:

sm'rs

'r iLiL ⋅+⋅=Ψ

unde din nou mărimile rotorice notate cu prim sunt exprimate în sistemul statoric, fix, d – q, din relaţia (5.4) rezultă:

'r'

sr

m's

ss LL

LL

i ΨΨ

⋅⋅

−= (5.5)

Înlocuind (5.5) în (5.1) se obţine:

( rss'r'

sr

ms

'r'

sr

me sin

LLLp

23

LLLp

23m ρρΨΨΨΨ −⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=×⋅

⋅⋅⋅= )

γΨΨ sinLL

Lp23m s

'r'

sr

me ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= (5.6)

În ecuaţia (5.6) γ este unghiul dintre fazorii spaţiali ai fluxului statoric şi rotoric, rs ρργ −= , unde ρr este unghiul fazorului spaţial al fluxului rotoric faţă de axa reală

a sistemului statoric, fix, cum se arată în figura 5.2. Constanta de timp rotorică a unei maşini asincrone cu rotorul în scurtcircuit este mare (o valoare tipică este mai mare decât 0,1 s, dar pentru maşini mari este mult mai mare); astfel fluxul rotoric se schimbă mai lent în comparaţie cu fluxul statoric.

Fig. 5.2 Fazorii spaţiali ai fluxului statoric, rotoric şi curentului statoric.

80 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE El poate fi presupus constant. Aceasta rezultă de asemenea din ecuaţia tensiunii rotorice a maşinii asincrone dacă se presupune fluxul statoric constant. Dacă fluxurile statoric şi rotoric sunt presupuse constante, din ecuaţia (5.6) urmează că cuplul electromagnetic poate fi rapid schimbat prin schimbarea lui γ în sensul cerut (care este determinat de comanda cuplului). Aceasta este în esenţă controlul direct al cuplului. Aşa cum se va discuta în continuare unghiul γ poate fi uşor schimbat prin comutaţia fazorului spaţial potrivit al tensiunii statorice (produs de tensiunea potrivită a invertorului). Dacă modulul fazorului spaţial al fluxului statoric nu este constant (de exemplu în domeniul slăbirii câmpului), atunci este totuşi posibil să controlăm ambele mărimi (unghiul γ şi modulul Ψs) prin comutaţia potrivită a tensiunii invertorului. În contrast cu reglarea vectorială (cu orientare în câmp) a motorului asincron unde curenţii statorici se utilizează ca mărimi comandate, în controlul direct al cuplului, fluxul statoric este comandat. Trebuie observat că dacă Ψr este constant, din ecuaţia (4.9) rezultă că:

syrMrrsqrMre iKiKm ⋅⋅=⋅⋅= ΨΨ λ

unde isy este curentul statoric care produce cuplul în sistemul de axe orientat după fluxul rotoric (dλr - qλr) notate în figura 5.2 cu x şi y şi cuplul electromagnetic poate fi rapid schimbat prin scimbarea rapidă a lui isy. În reglarea cu orientare după câmp curenţii statorici sunt mărimi comandate (isy comandă cuplul şi isx comandă fluxul rotoric). Acesta este motivul pentru care, într-o acţionare comandată vectorial cu orientare după fluxul rotoric, curenţii statorici exprimaţi în sistem statoric fix (d - q) trebuie transformaţi în curenţi statorici în sistem orientat după fluxul rotoric (dλr - qλr). Din figura (5.2) sau relaţia (5.6) rezultă că sys sin ΨγΨ =⋅ este componenta fluxului

statoric care produce cuplul şi componenta Ψsx este colineară cu fluxul rotoric. În figura (5.2) fluxul statoric Ψs a rezultat din relaţia (5.4). Astfel fluxul este comandat de componenta directă a fluxului statoric (în sistem orientat după fluxul rotoric) şi cuplul de componenta în cuadratură a fluxului statoric şi din nou poate fi observat că în comparaţie cu controlul vectorial acum componentele sunt mărimi de comandă. Ecuaţia (5.6) este similară cu cea a unei maşini sincrone unde cuplul electromagnetic este comandat de unghiul de sarcină dintre fluxul statoric şi rotoric. Într-un regim tranzitoriu scurt, fluxul rotoric este aproape neschimbat astfel că schimbările rapide ale cuplului electromagnetic pot fi produse prin rotaţia fluxului statoric în sensul înainte (avans de fază) sau prin rotaţia în sens negativ (întârziere) sau prin oprirea lui, conform cu cuplul cerut. în rezumat: în reglarea directă a cuplului, reglarea rapidă a cuplului instantaneu poate fi realizată prin schimbarea rapidă a poziţiei fazorului spaţial al fluxului statoric (faţă de fazorul spaţial al fluxului rotoric) sau, cu alte cuvinte prin schimbarea rapidă a vitezei sale (viteza fazorului spaţial al fluxului statoric). În orice caz, fazorul spaţial al fluxului statoric (modulul şi argumentul său) poate fi schimbat prin tensiunile statorice [21]. Pentru simplificare, presupunând că neglijăm căderea de tensiune pe rezistenţa statorică, dtdu ss Ψ≅ , se observă că tensiunea invertorului (us = ui) determină direct fluxul statoric şi astfel locul geometric al fluxului statoric necesar se va obţine prin utilizarea tensiunilor potrivite ale invertorului (prin folosirea stărilor de comutaţie potrivite ale invertorului). Pentru o mai bună înţelegere se va discuta aceasta în detaliu. Din ss udtd =Ψ rezultă că, într-un interval scurt de timp ∆t, când se aplică


vectorul de tensiune, tu ss ∆Ψ∆ ⋅= . Astfel spus fazorul fluxului statoric se mişcă cu ∆Ψs în direcţia vectorului spaţial al tensiunii statorice la o viteză care este proporţională cu mărimea vectorului spaţial al tensiunii statorice (care este proporţională cu tensiunea din circuitul intermediar de c.c.). Prin selectarea pas cu pas a vectorului potrivit al tensiunii statorice, este deci posibil să schimbăm fluxul statoric în modul necesar. Comanda decuplată a cuplului şi fluxului statoric se realizează prin acţiunea componentelor radiale şi tangenţiale ale fazorului fluxului statoric în locul geometric. Aceste două componente sunt direct proporţionale (dacă se neglijează căderea de tensiune ohmică) cu componentele fazorului tensiunii statorice în aceleaşi direcţii şi astfel ele pot fi comandate prin comutaţiile potrivite ale invertorului. Ar trebui subliniat că pentru producerea cuplului, unghiul γ joacă un rol esenţial sau altfel spus, poziţia relativă a fazorilor spaţiali ai fluxului statoric şi rotoric determină cuplul electromagnetic. Presupunând o mişcare lentă a fazorului fluxului rotoric, dacă se aplică un vector al tensiunii statorice, care produce o mişcare rapidă a fazorului spaţial al fluxului statoric faţă de fluxul rotoric, atunci cuplul electromagnetic va creşte, deoarece unghiul γ va creşte. Dacă se aplică un vector spaţial de tensiune statorică zero (a se vedea mai jos), care aproape opreşte rotaţia fazorului spaţial al fluxului statoric, atunci cuplul electromagnetic va scădea, deoarece fazorul spaţial al fluxului rotoric încă se mai mişcă şi unghiul γ va scădea. Dacă durata vectorului zero a tensiunii este suficient de mare, atunci – deoarece fazorul fluxului statoric aproape nu se va mişca (în practică el se va mişca datorită căderii ohmice de tensiune) – fazorul spaţial al fluxului rotoric va depăşi fazorul spaţial al fluxului statoric, unghiul γ îşi va schimba semnul şi cuplul electromagnetic îşi va schimba direcţia [8], [9], [21]. Considerând un invertor sursă de tensiune (VSI fig. 5.3.a) există şase fazori spaţiali diferiţi de zero (u1, u2, ... , u6) şi doi fazori zero (u7 şi u8) (fig. 5.3.b). Cei şase fazori activi de comutaţie a invertorului se pot exprima ca:

( )

621keE32uu 3

1kjks ,,,, K=⋅⋅==

⋅−⋅π

(5.7)

unde E este tensiunea din circuitul intermediar de curent continuu. Cele şase sectoare, de 600, se delimitează având bisectoare a unghiurilor vectorii de comutaţie (fig. 5.3.b). Deoarece:

sqsds ujuu ⋅+=

fazorul u1 se aliniază cu axa reală d a sistemului bifazat fix, statoric.

Deoarece ∆Ψs = us ∆t, se poate observa că fazorul spaţial al fluxului statoric se va mişca rapid, dacă se aplică vectorii de comutaţie activi (diferiţi de zero), iar pentru un vector de comutaţie zero el aproape se va opri (se va mişca foarte încet datorită căderii ohmice de tensiune mici). Pentru un invertor cu şase pulsuri fluxul statoric se mişcă de-a lungul unei traiectorii hexagonale cu o viteză liniară constantă datorită celor şase vectori de comutaţie. Pentru un invertor PWM sinusoidal (unde stările de comutaţie ale invertorului sunt alese să dea variaţii ale fluxului statoric care să fie aproape sinusoidale), se aplică o secvenţă corespunzătoare a vectorilor zero activi (diferiţi de zero) pentru a obţine locul geometric necesar al fluxului.


Fig. 5.3. Schema invertorului PWM sursă de tensiune: a) schema invertorului; b) fazorii spaţiali de comutaţie ai tensiunii.

În acţionarea cu reglare directă a cuplului (DTC), la fiecare perioadă de eşantionare, vectorii de comutaţie se selectează pe baza menţinerii erorilor fluxului statoric într-o bandă de toleranţă necesară (banda de histerezis) şi menţinerea erorii cuplului, în banda sa de histerezis. Se presupune că lăţimile acestor benzi de histerezis sunt 2.∆Ψs şi respectiv 2.me (factorul 2 apare în această definiţie deoarece se presupune că – de exemplu pentru fluxul static – valoarea limită superioară este peste valoarea impusă cu ∆Ψs şi valoarea limită inferioară este sub ∆Ψs, astfel că lăţimea benzii de histerezis este întra-adevăr 2.∆Ψs). Dacă fazorul spaţial al fluxului se află în sectorul k, unde k = 1, 2, ..., 6, valoarea sa poate fi crescută prin folosirea vectorilor de comutaţie uk, uk+1 şi uk-1; mărimea sa poate fi scăzută prin selectarea vectorilor uk+2,

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 83 uk-2 şi uk+3. Evident că vectorii de comutaţie a tensiunii selectaţi afectează şi cuplul electromagnetic. Viteza fazorului spaţial al fluxului statoric este zero dacă se selectează un vector de comutaţie zero şi este posibil să schimbăm această viteză prin schimbarea raportului de ieşire dintre vectorii de tensiune zero şi cei diferiţi de zero. Este important de observat că durata stărilor zero are un efect direct asupra oscilaţiilor cuplului electromagnetic. După cum s-a arătat mai înainte, fazorul spaţial al fluxului statoric este integrala fazorului spaţial al tensiunii statorice şi se va mişca în direcţia fazorului tensiunii statorice atât timp cât se aplică fazorul spaţial al tensiunii. Astfel dacă se cere o reducere a modulului fazorului spaţial al fluxului statoric, modulul acestui fazor poate fi comandat prin aplicarea vectorilor de comutaţie a tensiunii care sunt îndreptaţi către centru şi dacă se cere o creştere a modulului fazorului spaţial al fluxului statoric, el poate fi comandat prin aplicarea vectorilor de tensiune care sunt îndreptaţi de la centru. Aceasta este ilustrată în fig. 5.4 unde *

sΨ este valoarea de referinţă (impusă) a fazorului spaţial al fluxului statoric. Scopul nostru este de a menţine modulul fazorului spaţial al fluxului statoric Ψ în interiorul benzii de histerezis (indicate prin cercuri) a cărei lăţime este de 2.∆Ψs (fig. 5.4). Presupunem iniţial că fazorul spaţial al fluxului este în poziţia P0, deci în sectorul 1. Presupunând că fazorul fluxului statoric se roteşte în sens direct trigonometric urmează că, deoarece la poziţia P0 a fazorului spaţial al fluxului statoric fluxul este la limita superioară ( )s*s ∆ΨΨ + , el trebuie redus. Aceasta se realizează prin selectarea vectorului de

comutaţie corespunzător, care este vectorul u3 (fig. 5.4). În acest fel fazorul spaţial al

Fig. 5.4. Controlul fazorului spaţial al fluxului statoric şi vectorii de comutaţie ai invertorului.

84 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE fluxului statoric se va mişca rapid de la punctul P0 la punctul P1, care este acum în sectorul 2. Există şase sectoare de 600 (datorită invertorului cu şase pulsuri). Acum se poate observa că în punctul P1 fazorul spaţial al fluxului statoric este din nou la limita superioară. Pe de altă parte, trebuie observat că, dacă fazorul spaţial al fluxului statoric se mişcă în sens invers trigonometric din punctul P0, atunci ar trebui selectat vectorul u5, deoarece acesta asigură rotaţia necesară şi de asemenea descreşterea dorită a fluxului. Deoarece în punctul P1 fazorul spaţial al fluxului statoric este din nou la limita sa superioară, el trebuie redus din nou, când se roteşte în sens trigonometric şi pentru aceasta se selectează vectorul de comutaţie u4, care deplasează Ψs din P1 în P2 (fig. 5.4). Punctul P2 este de asemenea în sectorul 2. Din punctul P2, când fazorul spaţial al fluxului rotoric este la limita sa inferioară, fluxul statoric trebuie mărit prin selectarea vectorului de comutaţie u3. Trebuie observat că dacă, de exemplu, în punctul P1 este necesară o rotaţie rapidă în sens invers trigonometric, atunci se poate vedea că cea mai rapidă rotaţie se poate atinge prin aplicarea vectorului de comutaţie u6. Pe de altă parte, dacă în punctul P1 trebuie oprită rotaţia fazorului spaţial al fluxului statoric atunci trebuie aplicat un vector de comutaţie zero, deci poate fi aplicat oricare din vectorii u7 sau u8. Deoarece anterior atingerii punctului P1 ultima comutaţie a fost realizată prin aplicarea vectorului u3 = u3 (0 1 0), pentru a minimiza numărul de comutaţii, se selectează u8 (0 0 0), deoarece necesită numai comutaţia comutatorului T3 (fig. 5.3. a) de la 1 la 0 în comparaţie cu u8 (1 1 1) care ar necesita două comutaţii T4 şi T2 (de la 0 la 1). Dacă fazorul spaţial al fluxului statoric este în punctul P2 atunci este atinsă limita inferioară ( )s*

s ∆ΨΨ − şi fazorul spaţial al fluxului statoric se poate roti în sens direct trigonometric spre punctul P3, prin creşterea sa şi în acest scop vectorul u3 dă rotaţia cea mai rapidă. Dacă, pe de altă parte, fazorul spaţial al fluxului statoric trebuie rotit din P2 în sens opus (invers) – prin creşterea sa – cea mai rapidă cale o dă vectorul de comutaţie u1, etc. Aşa cum s-a discutat mai înainte, oprirea rotaţiei fazorului spaţial al fluxului statoric corespunde cazului când cuplul electromagnetic nu poate fi schimbat (valoarea impusă este egală cu valoarea reală). Totuşi, când cuplul electromagnetic trebuie schimbat (în sens trigonometric sau invers) atunci fazorul spaţial al fluxului statoric trebuie rotit în sens corespunzător. De exemplu, când fluxul statoric se roteşte în sens direct şi dacă este necesară o creştere a cuplului electromagnetic (când fazorul fluxului statoric este în sectorul 2 în punctul P1 unde fluxul trebuie scăzut) atunci creşterea cuplului electromagnetic poate fi obţinută prin aplicarea vectorului de comutaţie u4. Pe de altă parte, dacă fazorul spaţial al fluxului statoric este în sectorul 2 dar este necesară o scădere a cuplului şi fluxul trebuie crescut, atunci aceasta se poate obţine prin aplicarea vectorului de comutaţie u1, deoarece acesta se mişcă vectorul spaţial al fluxului statoric în sens invers (care este sensul pentru cuplu negativ) şi de asemenea creşte fluxul statoric. Dacă fazorul fluxului statoric este în sectorul 2 şi este necesară o scădere a cuplului, dar fluxul statoric trebuie scăzut, atunci trebuie aplicat vectorul de comutaţie u6, etc. Figura 5.5 arată poziţia diferţilor vectori ai fluxului statoric dacă fazorul spaţial al fluxului statoric se află în unul din cele şase sectoare. Este de asemenea indicat care vector de comutaţie trebuie selectat pentru a obţine creşterea sau scăderea necesară a fluxului statoric şi creşterea sau scăderea necesară a cuplului electromagnetic (prin producerea cuplurilor pozitive sau negative).


Fig. 5.5. Poziţia diferiţilor fazori spaţiali ai fluxului şi alegerea optimă a vectorilor de comutaţie a tensiunii: FC – fluxul creşte; FS – fluxul scade; CC – cuplul creşte; CS – cuplul scade.

Trebuie observat că, în general, dacă este necesară o creştere a cuplului, atunci cuplul este comandat prin aplicarea vectorilor de tensiune care avansează fazorul spaţial al fluxului în direcţia de rotaţie şi dacă este necesară o scădere se aplică vectorii care sunt de sens invers. Dacă este necesar cuplul zero, atunci se aplică vectorul zero (u7 sau u8) şi anume acela care minimizează comutaţia invertorului. Urmează că fazorul spaţial al tensiunii statorice este comandat indirect prin modulul fazorului flux şi prin cuplu şi creşterea cuplului produce un unghi mărit. Un cuplu necesar este atins printr-o alegere a creşterii (cuplu pozitiv) sau descreşterii (cuplu negativ) sau a unui cuplu zero. Similar, modulul fazorului flux statoric este limitat printr-o alegere a creşterii (fluxul creşte) sau scăderii (fluxul scade).


5.2.2. Selecţia vectorului de comutaţie optim (acţionare cu alegerea nepredictivă a vectorului de comutaţie)

Rezultatele obţinute în paragraful precedent pot fi tabelate în aşa-numitul tabel de comutatie (tab. 5.1). Acesta prezintă selecţia optimă a vectorilor de comutaţie pentru toate poziţiile posibile ale fazorului spaţial al fluxului statoric (şase poziţii corespunzând celor şase sectoare din fig. 5.4 unde sectorul 1 este în domeniul lui α(1), sectorul 2 în domeniul lui α(2), ... , sectorul 6 în domeniul lui α(6)) şi intrările de reglare dorite – care sunt valorile impuse (de referinţă) ale modulului fluxului statoric respectiv ale cuplului electromagnetic. Dacă este necesară o creştere a fluxului, atunci ∆Ψ = 1; dacă este necesară o scădere a fluxului, atunci ∆Ψ = 0. Notaţia corespunde faptului că semnalele de ieşire ale unui comparator de flux cu histerezis cu două nivele sunt dΨ, unde:

dacă 1d =Ψ s*ss ∆ΨΨΨ −≤

dacă 0d =Ψ s*ss ∆ΨΨΨ +≥

Dacă este necesară o creştere a cuplului, atunci ∆me = 1, dacă este necesară o scădere, atunci ∆me = - 1 şi dacă nu este necesară o modificare a cuplului, atunci ∆me = 0. Notaţia corespunde faptului că ieşirile digitale ale unui comparator cu histerezis cu trei nivele este ∆me unde, pentru sensul de rotaţie direct trigonometric (rotaţie înainte):

dacă 1md e = e*ee mmm ∆−≤

dacă 0md e = *ee mm ≥

şi pentru sens invers (sens înapoi):

dacă 1md e −= e*ee mmm ∆+≥

dacă 0md e = *ee mm ≤

Tabelul 5.1. Tabelul de comutaţie.

dΨ dmesector 1

α(1)

sector 2

α(2)

sector 3

α(3)

sector 4

α(4)

sector 5

α(5)

sector 6

α(6)

1 u2 u3 u4 u5 u6 u1

1 0 u7 u8 u7 u8 u7 u8

-1 u6 u1 u2 u3 u4 u5

1 u3 u4 u5 u6 u1 u2

0 0 u8 u7 u8 u7 u8 u7

-1 u5 u6 u1 u2 u3 u4

Vectorii de comutaţie activi: u1 = (1 0 0); u2 = (1 1 0); u3 = (0 1 0); u4 = (0 1 1); u5 = (0 0 1); u6 = (1 0 1). Vectorii de comutaţie zero: u7 = (1 1 1); u8 = (0 0 0).

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 87 Alegerea lăţimii benzilor de histerezis are efecte importante, deoarece o valoare prea mică are efectul pierderii comenzii, spre exemplu fluxul statoric poate depăşi valorile impuse prin banda de toleranţă (lăţimea căreia este 2.∆Ψs). Durata stărilor zero influenţează direct oscilaţiile cuplului. Tabela de comutaţie optimă (tab. 5.1) necesită cunoaşterea fazorului spaţial al fluxului statoric, deoarece trebuie cunoscut în care sector este fazorul spaţial al fluxului statoric. Pentru aceasta sunt necesare unghiurile α(1), α(2), ... , α(6) arătate în fig. 5.4. Deoarece sqsd

jss je s ΨΨΨΨ ρ ⋅+=⋅= ⋅ unghiul fluxului statoric (ρs) poate

fi determinat prin folosirea valorilor estimate ale fluxului în axa directă şi în axa în cuadratură a sistemului de referinţă statoric (Ψsd, Ψsq); astfel:

( )sdsqs arctg ΨΨρ = (5.8)

Se poate de asemenea folosi expresia:

( )ssqs arccos ΨΨρ = (5.8)

Se poate deci folosi unghiul ρs pentru a obţine unghiurile α(1), α(2), ... , etc. Totuşi este posibil să eliminăm necesitatea folosirii funcţiilor trigonometrice, deoarece nu trebuie cunoscută poziţia precisă a fazorului spaţial al fluxului statoric ci numai sectorul (numărul) în care este poziţionat fazorul spaţial al fluxului statoric [21]. Această informaţie se poate obţine comod – numai prin considerarea semnelor diferitelor componente ale fluxului statoric – şi aceasta permite o implementare simplă care necesită numai utilizarea comparatoarelor. Pentru aceasta ar trebui considerat că, de exemplu, în sectorul 1, Ψsd > 0, dar – deoarece în sectorul 1 Ψsq poate fi atât pozitiv cât şi negativ – semnul lui Ψsq nu ne va da nici o informaţie utilă asupra poziţiei fazorului spaţial al fluxului statoric în sectorul 1.

Totuşi, în locul lui Ψsq este posibil să folosim fluxul statoric din faza bs (Ψsb) şi conform figurii 5.6 rezultă că Ψsb < 0 dacă Ψs este în primul sector (în punctul P1 unde are valoarea Ψs1). În acelaşi mod, dacă Ψs este în sectorul 2, atunci Ψsd > 0, Ψsq > 0 şi Ψsb > 0, etc. Rezultatele sunt sintetizate în tabelul 5.2. Tabelul 5.2. Selecţia sectorului fazorului spaţial al fluxului statoric.

( )sqsd3 ΨΨ −⋅

Sectoa-re

Semnul fluxului

sector 1

α(1)

sector 2

α(2)

sector 3

α(3)

sector 4

α(4)

sector 5

α(5)

sector 6

α(6)

Semnul lui Ψsd

+ + - - - +

Semnul lui Ψsq

(NU) + + (NU) - -

Semnul lui Ψsb

- + + + - -

Semnul lui Ψsb = semnul lui . NU = nu este util.


Se poate observa că semnul lui Ψsq nu dă o informaţie utilă în sectorul 1 şi 4 deoarece în ambele sectoare semnul poate fi pozitiv (+) sau negativ (-). Conform fig. 5.6 şi tab. 5.2 se observă că, pentru Ψsd trei semne plus (în sectoarele 6, 1 şi 2) sunt urmate de trei semne minus (în sectoarele 3, 4 şi 5) şi asemănător, pentru Ψsb, trei semne plus (în sectoarele 2, 3 şi 4) sunt urmate de trei semne minus (în sectoarele 5, 6 şi 1).

Trebuie observat că pentru selectarea sectorului potrivit, calculul lui ρs – prin utilizarea ecuaţiei 5.8, a ecuaţiei 5.9 sau a ecuaţiei 5.10 – poate fi evitat prin utilizarea altei tehnici, în care se determină mai întâi semnele lui Ψsd şi Ψsq. Acestea dau informaţii asupra cadranului în care este localizat fazorul spaţial al fluxului statoric. Sunt patru cadrane şi fiecare cadran (fig. 5.6) are o deschidere de 900: primul cadran începe de la axa d şi se întinde până la axa q; al doilea începe de la axa q şi se întinde până la axa negativă d, etc. Deoarece fiecare cadran conţine numai un sector întreg şi jumătate din alt sector, există astfel două posibile sectoare (în cadran) încât sectorul precis în care este localizat Ψs se poate obţine folosind raportul Ψsq / Ψsd. Este deci posibil de a folosi şi alte tehnici care să minimizeze calculul. Aplicarea vectorilor de comutaţie din tabelul 5.2 conduc la rezultate excelente când viteza maşinii nu este prea redusă. Totuşi, la viteze foarte reduse controlul fluxului poate fi pierdut. De exemplu, pot apare probleme la pornirea maşinii. În acest caz, deşi la t = 0 se aplică un flux impus (de referinţă) constant şi la t > t1 se aplică un cuplu treaptă impus, modulul fazorului spaţial al fluxului statoric real va fi zero până la t = t1, şi chiar după t1, astfel că cuplul nu va atinge valoarea impusă şi va varia.

Fig. 5.6. Relaţia fazorului spaţial de flux Ψs cu componentele fluxului statoric Ψsd, Ψsq şi Ψsb.

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 89 Astfel în loc de a avea o traiectorie circulară corespunzătoare fluxului impus constant, va fi un loc geometric simetric cu şase laturi, (nu un hexagon simetric), unde în timpul 1/6 dintr-un ciclu modulul fazorului spaţial al fluxului statoric se schimbă (într-un "colţ" este maxim, apoi descreşte şi apoi atinge valoarea maximă din nou în următorul "colţ"). Problemele se referă la utilizarea nepotrivită a vectorilor de comutaţie a tensiunii în regiunea vitezei reduse. Schemele DTC îmbunătăţite, incuzând schemele de selecţie îmbunătăţită a vectorului de comutaţie şi schemele de selecţie predictivă a vectorului de comutaţie, se vor discuta ulterior.

5.2.3. Selecţia predictivă a vectorului de comutaţie

5.2.3.1. Scheme predictive

Într-o acţionare cu motor asincron cu controlul direct al cuplului folosind tabelul 5.2 se obţine un răspuns lent la pornire şi la o schimbare a valorii impuse (de referinţă) a flulxului statoric şi a cuplului electromagnetic. Cu toate că vectorii de comutaţie ai tensiunii sunt determinaţi de poziţia fluxului statoric şi de erorile cuplului electromagnetic şi a modulului fazorului spaţial al fluxului statoric, nu se pot distinge erorile mari de cele mici. Astfel, alegerea vectorilor de comutaţie pentru erori mari (de exemplu în timpul pornirii sau în timpul schimbării treaptă a cuplului) este la fel cu alegerea vectorilor de comutaţie pentru funcţionarea normală, când erorile sunt mici. Totuşi este posibil să alegem vectorii de comutaţie în concordanţă cu domeniul erorilor (şi poziţia fazorului spaţial al fluxului statoric). În acest caz se pot creşte răspunsurile la pornire şi la schimbarea valorii de referinţă a fluxului statoric şi a cuplului electromagnetic. Există diferite soluţii posibile, de exemplu este posibil să folosim un sistem cu logică fuzzy. În acest sistem se utilizează, în timpul pornirii, acele stări de comutaţie care dau creşterea cea mai rapidă a fluxului statoric (în timp ce schimbarea cuplului este mică). Când eroarea fluxului statoric devine mică, se aleg acele stări de comutaţie care dau creşterea mai rapidă a cuplului electromagnetic [28]. Trebuie observat că pe lângă utilizarea startegiei de selecţie a vectorului de comutaţie bazată pe logica fuzzy este posibil să obţinem îmbunătăţiri prin folosirea unei scheme bazată pe inteligenţa ne-artificială, în care erorile fluxului statoric şi cuplului electromagnetic nu se cuantizează în două sau trei nivele şi unde se folosesc mai mult de şase sectoare ale fluxului statoric. Este posibil să implementăm scheme de acţionare cu controlul direct al cuplului în care vectorii de comutaţie ai tensiunii ceruţi se obţin prin algoritmi predictivi. Pentru aceasta se utilizează un model matematic corespunzător al maşinii asincrone iar cuplul electromagnetic se estimează pentru fiecare perioadă de eşantionare pentru toate stările posibile ale invertorului. Apoi, algoritmul predictiv selecţionează stările de comutaţie ale invertorului care dau deviaţia minimă dintre cuplul prezis şi cuplul impus. Deoarece există multe posibilităţi, pentru modelul matematic care se va utiliza în continuare se discută numai conceptele principale [21]. Pentru schema de estimare predictivă a vectorului de comutaţie se poate obţine un model matematic convenabil al maşinii asincrone considerând ecuaţiile de tensiune ale statorului şi rotorului şi expresia cuplului electromagnetic în cazul unui sistem de referinţă comun, ataşat fluxului rotoric. Pentru aceasta ţinem seama de curentul de magnetizare imr corespunzător fluxului rotoric (rel. 4.1).


Fig. 5.7. Orientarea după fluxul rotoric.

Ecuaţiile generale ale tensiunilor (rel. 2.15 şi 2.18) se obţin conform fig. 5.7. Pentru stator, relaţia (2.15) devine:

rsrrs

rssrs jdt

diRu λλ

λλλ Ψω

Ψ⋅⋅++⋅=

iar fluxul statoric (rel. 2.54) va fi:

rrmrssrs iLiL λλλΨ ⋅+⋅=

Din aceste ecuaţii rezultă:

rrmrrssrrr

mrs

srssrs iLjiLjdtid

Ldtid

LiRu λλλλλλ

λλ ωω ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

(5.11)

Conform fig. 5.7, imr este colinear cu dλr şi deci:

mrmrmr iii ==

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 91 Din relaţia (4.5) rezultă:

r

rsmrrr 1

iii

σλ

λ +−

= (5.12)

Înlocuind (5.12) în (5.11) se obţine:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

dtdj

LLiLj

dtid

LiRu rrrrr

r

mrs

'sr

rs'srssrs

λλλλλ

λλλ

ΨΨωω

(5.13)

unde:

r

2m

s's L

LLL −=

este inductanţa tranzitorie a statorului în sistemul de axe dλr - qλr şi

mrmmrmrrrrr iLiL ⋅=⋅=== ΨΨΨ λλ

Pentru rotorul în scurtcircuit, relaţia (2.18) devine:

( ) rrrrr

rss jdt

diR0 λλλ

λ ΨωωΨ⋅−⋅++⋅= (5.13 a)

iar fluxul rotoric (rel. 2.54) va fi:

rrrrsmrr iLiL λλλΨ ⋅+⋅= (5.13 b)

Din aceste ecuaţii rezultă:

( ) rrrrs'r

mrr'r

rr jiTL

dtd

T0 λλλ

λλ ΨωωΨΨ⋅−⋅+⋅−+= , (5.14)

unde:

r

r'r R

LT =

este constanta de timp tranzitorie a rotorului. Pentru uşurinţă vom nota mărimile raportate la sistemul de axe ataşat fluxului rotoric cu prim " ' ". Ecuaţiile (5.13) şi (5.14) se vor scrie:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

dtdj

LL'iLj

dt'idL'iR'u r

rrr

ms

'sr

s'ssss

ΨΨωω λλ (5.15)

( ) rrs'r

mr'r

r j'iTL

dtd

T0 ΨωωΨΨ

λ ⋅−⋅+⋅−+= (5.16)

92 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE La acestea se mai adaugă ecuaţia cuplului electromagnetic:

syrr

mrsqr

r

me i

LLp

23i

LLp

23m ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ΨΨ λ (5.17)

Este posibil să combinăm aceste ecuaţii într-o singură ecuaţie (vectorială) pentru fazorul spaţial al tensiunii statorice, exprimat în sistemul de referinţă fix d – q, care să conţină cuplul electromagnetic, modulul spaţial al fluxului rotoric, viteza rotorului şi parametrii maşinii. Presupunând că într-un interval de timp de eşantionare viteza ω a rotorului este constantă şi de asemenea, presupunând că cuplul impus (de referinţă) este o treaptă, se obţine o expresie vectorială simplă şi compactă pe baza valorilor de referinţă ale cuplului electromegnetic şi ale modulului fluxului rotoric. Fazorul spaţial al tensiunii este fazorul spaţial al tensiunii impuse (de referinţă) în sistemul fix d – q ( *

su ). Astfel se poate determina, prin folosirea modulaţiei fazorului spaţial, starea corespunzătoare a invertorului. Este de asemenea posibil să determinăm starea necesară a vectorilor de comutaţie a tensiunii prin utilizarea unei scheme predictive în care există reglarea deadbeat a cuplului electromagnetic şi fluxului statoric pe un ciclu constant de comutaţie. În acest scop se calculează fazorul spaţial al tensiunii statorice necesare, pentru a regla cuplul electromagnetic şi fazorul spaţial al fluxului statoric, ciclu cu ciclu, utilizând eroarea cuplului electromagnetic şi erorile fluxului statoric din ciclul precedent şi de asemenea tensiunea electromotoare a maşinii asincrone. Unul din avantajele acestui algoritm este acela că va conduce la o frecvenţă de comutaţie constantă. Trebuie observat că la supramodulare (a > 1 a se vedea ecuaţia 5.40 de mai departe) şi condiţii tranzitorii generale (când există o modificare a ambelor referinţe de flux şi de cuplu) reglarea deadbeat nu este posibilă. Totuşi, când există numai o modificare a cuplului (cazul cel mai important în practică), este posibil să avem şi reglare deadbeat a fluxului, cum se va arăta în continuare, şi în acest caz se selectează într-un interval de eşantionare doi vectori de comutaţie a tensiunii. În mod similar, dacă există o modificare a fluxului statoric, atunci este posibil să avem o reglare deadbeat a cuplului şi din nou se aplică într-un interval de eşantionare doi vectori de comutaţie a tensiunii. Dacă există o modificare simultană a cuplului şi fluxului se poate selecta un singur vector de comutaţie pentru toată perioada de eşantionare. Totuşi, dacă nu există modificare a fluxului şi cuplului (regim staţionar) este posibil să implementăm o reglare deadbeat a fluxului şi cuplului utilizând o tehnică ce se va descrie în continuare.

5.2.3.2. Baza matematică şi fizică a algoritmului predictiv în regim staţionar

1. Estimarea variaţiei cuplului pe o perioadă de eşantionare Variaţia cuplului electromagnetic pe o perioadă care este o jumătate a perioadei de comutaţie se obţine pe baza componentelor fluxului statoric, a valorilor impuse (de referinţă) ale componentelor tensiunii statorice şi a componentelor t.e.m. În acest scop ecuaţia tensiunii statorice a maşinii asincrone se utilizează împreună cu expresia cuplului electromagnetic. În contrast cu schema predictivă generală, descrisă anterior, pentru determinarea vectorilor de comutaţie ai tensiunii nu se utilizează ecuaţia de tensiune a rotorului, deoarece ecuaţia de tensiune a statorului se exprimă pe baza t.e.m. (care conţine implicit fluxul rotoric) şi a cuplului

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 93 electromagnetic obţinut pe baza t.e.m. [21]. În sistem de coordonate fix, statoric, d – q ecuaţia tensiunii statorice va fi:

dtd

iRu ssss

Ψ+⋅=

şi ţinând seama că:

rmsss 'iLiL ⋅+⋅=Ψ ,

unde i'r este fazorul spaţial al curentului rotoric scris în sistemul de coordonate d q (a se vedea 5.2.1) rezultă:

dt'idL

dtid

LiRu rm

sssss ⋅+⋅+⋅= (5.18)

Definim prin imr curentul de magnetizare corespunzător fluxului rotoric:

( ) rrsm

rmr 'i1i

L'i ⋅++== σΨ (5.19)

unde s-a ţinut seama de faptul că:

rsm 'iii +=

iar:

m

rr L

Lσσ =

este coeficientul de scăpări al rotorului. Înlocuind i'r din rel. (5.19) în ecuaţia (5.18) obţinem:

dtid

1L

dtid

1L

LiRu mr

r

ms

r

mssss ⋅

++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+⋅=σσ

.

Dacă se notează prin:

rs

2mLL

L1⋅

−=σ

coeficientul de scăpări, ecuaţia tensiunii statorice devine:

( )dtid

L1dtid

LiRu mrs

sssss ⋅⋅−+⋅⋅+⋅= σσ

Notăm prin inductanţa tranzitorie a statorului şi rezultă: s's LL ⋅= σ

( )dtid

L1dtid

LiRdtd

iRu mrs

s'sss

ssss ⋅⋅−+⋅+⋅=+⋅= σ

Ψ

94 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE sau:

viRe

dtid

LiRdtd

iRu

sss'

sss

ssss

+⋅=+⋅+⋅=

=+⋅=Ψ

(5.20)

unde e este fazorul spaţial al t.e.m. iar ( ) edtidLv s's +⋅= v este tensiunea pe

inductanţa tranzitorie a statorului (L's). Astfel, dacă se neglijează căderea de tensiune rezistivă a statorului, este posibil să se estimeze componentele t.e.m. după cele două axe:

dtid

Ldtd

ejee s's

sqd ⋅−=⋅+=

Ψ (5.21)

Trebuie observat că presupunând că Ψs şi e sunt mărimi sinusoidale atunci:

( )s'ss1 iLje ⋅−⋅⋅= Ψω

unde ω1 este frecvenţa statorică şi se poate estima simplu folosind:

( )

2s

ssss1

iRu

Ψ

Ψω

⋅−×=

Aceasta poate fi dovedită considerând ecuaţia dtd

iRu ssss

Ψ+⋅= şi înlocuind d/dt cu

j. ω1. De asemenea, din ecuaţia (5.20) dacă se neglijează căderea de tensiune rezistivă, viteza de variaţie a fazorului spaţial al curentului statoric este:

's

sLev

dtid −

= (5.22)

Dacă Ts este timpul, care este egal cu jumătatea perioadei de comutaţie, şi se presupune că acesta este suficient de mic, atunci sss Tidtid ∆≅ şi variaţia curentului statoric se obţine din ecuaţia (5.22) ca:

( )'s

ss L

evTi −⋅=∆ (5.23)

Presupunând că constanta de timp electrică a statorului este mult mai mare decât timpul Ts (variaţia curentului statoric în perioada Ts este liniară) variaţia cuplului electromagnetic în timpul Ts se obţine ca:

sse ip23m ∆Ψ∆ ×⋅⋅=

şi considerând ecuaţia (5.2.3) se obţine:


( ) ( )

( )'s

s*ss

s

's

*ssssse

*ee

LevTp

23

LevTp

23ip

23mmm

×−×⋅⋅⋅=

=−

×⋅⋅⋅≅×⋅⋅≅−=

ΨΨ

Ψ∆Ψ∆ (5.24)

Se poate vedea că variaţia cuplului electromagnetic într-o perioadă Ts se poate obţine din tensiunea statorică impusă (de referinţă) – care este de acum *

s*s vu =

deoarece s-a neglijat căderea de tensiune rezistivă – şi de asemenea din fazorul e. Utilizând forma celor două axe a ecuaţiei (5.24) şi considerând:

*sq

*sd

*ssqsdsqd ujuuj;ejee ⋅+=⋅+=⋅+= ;ΨΨΨ

se obţine:

( ) ( )[ ]qsddsq*sdsq

*sqsd'

s

se eevv

L2Tp3m ⋅−⋅+⋅−⋅⋅

⋅

⋅⋅= ΨΨΨΨ∆ (5.25)

Din ecuaţia (5.25) valoarea tensiunii de referinţă (impuse) în axa q este:

,avvsd

*sdsd*

sq ΨΨ +⋅

= (5.26)

unde:

( .eeTp3Lm2a dsqqsds

'se ⋅−⋅+

⋅⋅⋅⋅

= ΨΨ∆ ) (5.27)

2. Tensiunile statorice necesare pentru reglarea deadbeat Variaţia fluxului statoric se poate obţine din ecuaţia (5.20) neglijând căderea de tensiune rezistivă (care este o presupunere valabilă dacă frecvenţă statorică este peste câţiva Hz) şi considerând sss Tdtd Ψ∆Ψ ≅

vTss ⋅=Ψ∆ (5.28)

Deoarece sss*s Ψ∆Ψ∆ΨΨ ==− , considerând ecuaţia (5.28) rezultă că:

( ) *snsss

*s

*s vTt ⋅+=+== ΨΨ∆ΨΨΨ (5.29)

unde tn este începutul celei de-a n – a perioade Ts şi ( ) sqsdns jt ΨΨΨ ⋅+= este fazorul spaţial al fluxului statoric la începutul perioadei de eşantionare (componentele fluxului statoric se cunosc deoarece ele se determină prin integrarea tensiunii statorice necesare). Ecuaţia (5.29) se poate folosi pentru obţinerea tensiunii statorice necesare pentru reglarea deadbeat a fluxului statoric. Folosind forma celor două axe a ecuaţiei (5.29),


( ) ( ) ( )2s*sqsq

2s

*sdsd

2*s TvTv ⋅++⋅+= ΨΨΨ (5.30)

unde Ψsd şi Ψsq sunt componentele fluxului statoric la începutul celei de-a n – a perioade de eşantionare. Astfel, componentele tensiunii statorice impuse (de referinţă), şi , se pot obţine din ecuaţiile (5.26) şi (5.30). Înlocuind expresia

(5.26) în (5.30) se obţine o ecuaţie de gradul al doilea în care necunoscută este ,

*sdv

*sqv

*sdv

( )

( ) 0TaTa2

vT2T2Ta2vT

T

2*s

2sq

2sd

2

sd

s

sd

sqs

*sd

sd

s2sd

sds

2

sd

ssq

2*sd

2

sd

ssq2s

=−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

ΨΨΨΨΨ

Ψ

ΨΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

(5.31)

Ecuaţia (5.31) conduce la două soluţii pentru , dar se alege soluţia cu cea mai mică valoare absolută, deoarece aceasta corespunde celei mai mici tensiuni statorice, după axa d, necesară de a aduce fluxul statoric şi cuplul electromagnetic la valorile lor de referinţă (impuse). Dacă valoarea obţinută se substituie în ecuaţia

(5.26) se obţine în final . Astfel se obţine

*sdv

*sdv

*sqv

*sq

*sd

*s vjvv ⋅+= (care corespunde

fazorului spaţial al tensiunii de referinţă, dacă se neglijează căderea de tensiune rezistivă statorică). De aceea fazorul spaţial al tensiunii statorice de referinţă (care include şi efectul căderii de tensiune rezistive statorice) se obţine ca:

( )nss*s

*s tiRvu ⋅+= (5.32)

În ecuaţia (5.32) căderea de tensiune rezistivă din ciclul precedent Rs.is(tn) se adaugă termenului . În orice caz, aceasta se justifică când – aşa cum s-a discutat mai înainte – variaţia curentului statoric se presupune a fi liniară în perioada T

*sv

s (când căderea de tensiune rezistivă este mică în comparaţie cu căderea de tensiune pe inductanţa tranzitorie a statorului). 3. Determinarea stării de comutaţie a invertorului în regim staţionar (vectorul spaţial PWM) Starea potrivită de comutaţie a invertorului se determină folosind modulaţia în lăţime a vectorului spaţial (PWM). De aceea *

su (definit de ecuaţia 5.32) se foloseşte pentru selectarea optimă a vectorilor de comutaţie a tensiunii în aşa fel încât se selectează doi vectori de comutaţie (uk, uk+1), cei mai apropiaţi de *

su , şi se determină timpul în care se aplică aceşti vectori (tk, tk+1) din:

001k1kkks*s tututuTu ⋅+⋅+⋅=⋅ ++ (5.33)

În ecuaţia (5.33):


01kks tttT ++= + (5.34)

unde Ts este timpul de eşantionare. Ecuaţia (5.33) rezultă din faptul că media în timp a celor trei stări de comutaţie (două stări active şi o stare zero) în timpul intervalului de eşantionare este egală cu vectorul spaţial al tensiunii de referinţă. Vectorii de comutaţie şi vectorul tensiunii de referinţă sunt constanţi într-un ciclu de comutaţie. În ecuaţia (5.33) uk sunt vectorii de comutaţie în cele opt stări de comutaţie ale invertorului sursă de tensiune (a se vedea ecuaţia 5.7):

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⋅⋅=⋅−⋅

8,7k0

6...,2,1keE32

u 31kj

k

π

(5.35)

unde E este tesniunea continuă din circuitul intermediar, k = 1, 2, ..., 6 corespunde vectorilor activi de comutaţie a tensiunii (diferiţi de zero) şi k = 7, 8 corespunde celor doi vectori zero. Dacă se înlocuieşte ecuaţia (5.35) în ecuaţia (5.33) şi ecuaţia rezultantă se rezolvă în părţile sale reale şi imaginare, atunci se pot determina tk şi tk+1. Astfel, folosind *

sq*sd

*s ujuu ⋅+= se obţin:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −⋅

⋅⋅

=3

uuE2T3t

*sq

*sds

k , (5.36)

*sqs1k uT

E3t ⋅⋅=+ , (5.37)

sau utilizând coordonatele polare *sj*

sq*s euu α⋅⋅= :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⋅=

3sincosTat

*s

*s

skαα , (5.38)

3

sinTa2t*s

s1kα

⋅⋅=+ , (5.39)

unde a este indicele de modulaţie:

E2u3a*s

⋅⋅

= . (5.40)

Timpul în care se selectează cel mai potrivit vector de comutaţie zero este:

(5.41) 1kks0 ttTt +−−=

Comutaţia din starea zero în două stări adiacente implică fiecare ramură a invertorului o dată, astfel că Ts este o jumătate de perioadă a frecvenţei de comutaţie. De aceea fluxul statoric şi cuplul electromagnetic se comandă de două ori

98 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE pe frecvenţa de comutaţie. In plus, când se foloseşte acest algoritm de reglare, se reduc oscilaţiile curenţilor statorici. În condiţii tranzitorii nu este posibilă o reglare deadbeat. Aceasta se datoreşte faptului că, în acest caz, nu este suficientă tensiune de c.c. în circuitul intermediar pentru a produce o schimbare adecvată în cuplul electromagnetic şi/sau în fluxul statoric pentru a obţine o reglare deadbeat. Din ecuaţiile (5.34), (5.36) şi (5.37) urmează că atunci când există o modificare a cuplului electromagnetic şi/sau o modificare a fluxului statoric (de exemplu schimbări în treaptă), erorile cuplului elecromagnetic şi fluxului statoric sunt mari într-o perioadă de comutaţie şi astfel se obţine tk + tk+1 > Ts. Aceasta înseamnă că *

su este prea mare pentru a fi sintetizată într-o singură perioadă de comutaţie şi prin urmare trebuie să se folosească o tehnică alternativă de reglare. Pentru a rezuma, schema deadbeat prezentată este potrivită pentru determinarea vectorilor de comutaţie în regim staţionar al acţionării şi are avantajul că frecvenţa de comutaţie este constantă. 4. Algoritm de reglare predictivă în regim staţionar În continuare se descrie un algoritm predictiv în opt etape (pentru a n – a perioadă arbitrară de eşantionare Ts). Etapa 1 – a. Estimarea fluxului statoric În acţionarea cu motor asincron cu controlul direct al cuplului, componentele fluxului statoric se vor estima ţinând seama de două motive. Primul motiv este că aceste componente sunt necesare în tabela de selecţie optimă a vectorului de comutaţie, aspect discutat anterior. Al doilea motiv este acela că ele sunt de asemenea necesare pentru estimarea cuplului electromagnetic. Trebuie observat că estimarea, în general, rezultă direct din ecuaţia tensiunii statorice în sistemul de referinţă fix, statoric, d – q astfel:

( dtiRu sdssdsd ∫ ⋅−= )Ψ (5.42)

( )dtiRu sqssqsq ∫ ⋅−=Ψ (5.43)

şi cum se va arăta mai jos:

2

3 sdsqsb

ΨΨΨ

−⋅= (5.44)

Dacă se utilizează fazorii spaţiali, atunci:

( ) sqsdsc2

sbsas jaa32 ΨΨΨΨΨΨ ⋅+=⋅+⋅+⋅=

( )∫ ⋅−== dtiRu sdssdsasd ΨΨ

unde ( ) 3uuu scsbsq −= şi ( ) 3iii scsbsq −= .

Totuşi, deoarece ( sbsasc ΨΨ )Ψ +−= se obţine, ţninând seama de ecuaţia (5.44):


[ ] 23 sdsqsb ΨΨΨ −⋅= .

Nu este necesar să folosim trei senzori pentru tensiunile statorice şi trei senzori pentru curenţii statorici deoarece este posibil, considerând şi

, să obţinem u0uuu scsbsa =++

0iii scsbsa =++ sd şi usq prin monitorizarea a două tensiuni de linie (de exemplu uba, uac) şi să obţinem isd şi isq prin monitorizarea a doi curenţi (isa, isb). Astfel:

( ) ( )3i2ii;ii;

3uuu;uu

31u sbsa

sqsasdbaac

sdacbasd⋅+

==+

−=−⋅=

Din ecuaţia (5.44) rezultă că semnul fluxului Ψsb se poate obţine din examinarea semnului fluxului ( )sdsq3 ΨΨ −⋅ (fizic aceasta corespunde dublului fluxului statoric în faza bs). Este important de observat că performanţele acţionării cu controlul direct al cuplului folosind ecuaţia (5.42) şi (5.43) va depinde în mare măsură de acurateţea estimării componentelor fluxului statoric şi aceasta depinde de acurateţea monitorizării tensiunilor şi curenţilor şi de asemenea de acurateţea tehnicii de integrare. Totuşi, pot apărea erori în monitorizarea tensiunilor statorice şi a curenţilor statorici datorită următorilor factori: defazaj in valorile măsurate (datorită senzorilor utilizaţi), erori datorită factorilor de conversie şi câştigului, abateri reziduale în sistemul de măsurare, erori în sistemul digital etc. De asemenea trebuie folosită o valoare corectă pentru rezistenţa statorică. Pentru estimarea corectă a fluxului, rezistenţa statorică trebuie adaptată schimbărilor de temperatură. Integrarea poate deveni problematică la frecvenţe joase, când tensiunile statorice devin foarte mici şi sunt determinate de căderea de tensiune rezistivă. La frecvenţe mici trebuie considerată căderea de tensiune pe invertor. Aceasta este o problemă tipică asociată estimatoarelor de flux în buclă deschisă, folosite în alte acţionări de c.a. care utilizează curenţii şi tensiunile la borne. Compensarea derivei este de asemenea un factor important în implementarea practică a integrării, deoarece poate produce erori mari în poziţia fluxului. În implementarea analogică sursa derivei este deriva termică a integratoarelor analogice. Dacă se foloseşte un estimator de viteză în buclă deschisă în controlul direct al cuplului motorului asincron, care utilizează componentele estimate ale fluxului statoric, viteza se determină folosind poziţia fazorului spaţial al fluxului, astfel că o derivă în fazorul spaţial al fluxului va cauza valori incorecte şi oscilatorii ale vitezei. Un estimator de flux în buclă deschisă va lucra bine la 1 – 2 Hz dar sub aceste valori se folosesc tehnici speciale. Dacă tensiunile statorice nu pot fi monitorizate, atunci este posibil să reconstruim tensiunile statorice din monitorizarea tensiunii din circuitul intermediar de c.c. al invertorului şi din stările de comutaţie ale invertorului (a se vedea subcap. 5.4). Este posibil să utilizăm orice scheme de estimare a fluxului: aplicarea filtrelor trece-jos, a elementelor de întârziere de ordinul întâi, a observatoarelor (Luenberger, Kalman), a sistemului de reglare adaptivă cu model de referinţă etc. Etapa a 2 – a. Estimarea componentelor t.e.m. din fluxuri şi curenţi Componentele t.e.m. (ed, eq) se estimează folosind ecuaţia (5.21) unde:

sqsdssqsds ijiij ⋅+=⋅+= ΨΨΨ .

100 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Etapa a 3 – a. Estimarea cuplului electromagnetic din flux şi curenţi Valoarea reală a cuplului electromagnetic se estimează cu:

( ) ( )sdsqsqsdne iip23tm ⋅−⋅⋅⋅= ΨΨ .

Etapa a 4 – a. Estimarea variaţiei cuplului electromagnetic

. ( ) *enee mtmm −=∆

Etapa a 5 – a. Estimarea tensiunii statorice necesare de referinţă în axa d ( ) presupunând R

*sdv

s = 0

Estimarea se face utilizând relaţia (5.31), ţinând seama de ecuaţia (5.27) şi alegând soluţia cu cea mai mică valoare absolută.

*sdv

Etapa a 6 – a. Estimarea tensiunii statorice necesare de referinţă în axa q ( presupunând R

*sqv )

s = 0

Estimarea se face utilizând relaţia (5.26) şi ţinând seama de (5.27). *sqv

Etapa a 7 – a. Estimarea fazorului spaţial al tensiunii de referinţă necesare *su

(adăugând factorul de corecţie datorită lui Rs ≠ 0) Estimarea fazorului spaţial al tensiunii de referinţă se face cu relaţia (5.32) astfel:

( )

( ) ( )[ nsqnsds*sq

*sd

nss*s

*sq

*sd

*s

tijtiRvjv

tiRvujuu

⋅+⋅+⋅+=

=⋅+=⋅+=

].

Etapa a 8 – a. Estimarea timpilor de aplicare ai vectorilor adiacenţi şi ai vectorilor zero (tk, tk+1 şi t0) Timpii de aplicare ai vectorilor adiacenţi (tk, tk+1) se estimează cu ecuaţiile (5.36) şi (5.37) sau cu ecuaţiile (5.38), (5.39) şi (5.40). Timpul de aplicare al vectorului de comutaţie zero (t0) se determină cu ecuaţia (5.41). Dacă există o soluţie, atunci stările de comutaţie şi intervalele de comutaţie constituie baza comenzii invertorului. Dacă nu există soluţie (deoarece nu este posibil de a avea o reglare deadbeat a fluxului statoric şi cuplului electromagnetic), atunci se va proceda conform metodei descrise în continuare.

5.2.3.3. Reglarea predictivă în regim tranzitoriu

În cele ce urmează se discută strategia de reglare predictivă (alegerea vectorului de comutaţie) pentru a se utiliza în condiţii tranzitorii. Dacă există o modificare a referinţei cuplului electromagnetic (de exemplu schimbarea treaptă), atunci regulatorul trebuie să conducă cuplul electromagnetic în direcţia necesară (pentru a reduce eroarea cuplului în perioada Ts) în timp ce se menţine reglarea deadbeat a fluxului statoric. Dacă există o modificare a referinţei fluxului statoric, atunci fluxul statoric trebuie condus în direcţia referinţei sale în timp ce se menţine reglarea deadbeat a cuplului electromagnetic. În această situaţie, alegerea vectorilor potriviţi

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 101 de comutaţie poate fi realizată prin considerarea mai întâi a poziţiei fazorului spaţial al fluxului statoric (faţă de axa d a sistemului de referinţă fix), ρs (fig. 5.2) şi apoi se consideră sensul cuplului electromagnetic sau eroarea fluxului statoric. Aceasta se va discuta în continuare în detaliu. Mai întâi se presupune o schimbare a referinţei cuplului când cuplul electromagnetic nu poate fi condus spre valoarea sa de referinţă într-o singură perioadă Ts (adică nu este posibilă reglarea deadbeat a cuplului). Aceasta este cel mai important caz care apare cel mai frecvent şi în general nu se cere o schimbare în treaptă a fluxului statoric. În cele mai multe cazuri fluxul se schimbă numai în domeniul slăbirii câmpului. Totuşi, în acest mod de funcţionare, când fluxul începe să scadă, există o variaţie aproape liniară şi deci el variază continuu. Astfel, pentru a obţine o schemă simplificată predictivă de alegere a vectorului de comutaţie se poate neglija modificarea simultană a cuplului şi fluxului [21]. Pentru cazul când există numai o schimbare a cuplului, vectorii de comutaţie se aleg a priori în aşa fel încât să conducă cuplul în direcţia dorită, permiţând însă reglarea deadbeat a fluxului statoric. Dacă, de exemplu, fazorul spaţial al fluxului statoric se află în sectorul 1 arătat în fig. 5.5, care are o deschidere de la – 300 la 300 [unghiul α(1)], atunci vectorii u2 şi u3 produc creşterea cuplului electromagnetic şi permit reglarea fluxului (u2 creşte fluxul iar u3 scade fluxul). Similar, u5 şi u6 produc o scădere a cuplului electromagnetic şi permit reglarea fluxului (u5 scade fluxul iar u6 creşte fluxul). Astfel u2 şi u3 (care corespund stărilor de comutaţie 2 şi 3) pot fi folosiţi pentru a regla fluxul statoric la valoarea sa de referinţă (impusă) într-o perioadă Ts, în timp ce cuplul creşte continuu pe întregul interval. Prin urmare este posibil să alcătuim un tabel de selecţie a vectorilor pentru regimul tranzitoriu prin care se aleg doi vectori [vectorii k şi (k + 1)] folosind eroarea de cuplu şi numărul sectorului n = 1, 2, ,,,, 6 (unde este localizat fazorul spaţial al fluxului statoric). Această situaţie este arătată în tabelul 5.3. Sectorul unde este localizat un fazor spaţial al fluxului statoric poate fi determinat din poziţia fazorului spaţial al fluxului (a se vedea discuţia de la paragraful 5.2.2). În tabelul 5.3, k şi k + 1 înseamnă starea de comutaţie cu numărul de ordine k respectiv k + 1. În exemplul analizat k corespunde vectorului u2 (starea a 2 – a de comutaţie şi k + 1 corespunde vectorului u3 starea a 3 – a de comutaţie) pentru creşterea cuplului electromagnetic. Pentru scăderea cuplului (linia a 2 – a din tabelul 5.3) k ar corespunde vectorului u5 iar k + 1 vectorului u6. Astfel prin folosirea vectorilor de comutaţie selectaţi uk, uk+1, fluxul statoric este reglat în manieră deadbeat, similară cu cea dată de ecuaţia (5.29); astfel:

( ) 1k1kkknsss*s tutut ++ ⋅+⋅+=+= ΨΨ∆ΨΨ , (5.45)

unde pe durata tk se aplică vectorul de comutaţie uk şi pe durata tk+1 se aplică vectorul uk+1. În regim tranzitoriu nu se folosesc vectorii zero, deoarece se doreşte conducerea cuplului electromagnetic într-o direcţie în modul cel mai rapid în timpul perioadei de comutaţie. Astfel t0 = 0 şi din ecuaţia (5.41) rezultă că:

. (5.46) 1kks ttT ++=

102 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Tabelul 5.3. Selecţia vectorului de comutaţie al tensiunii când există o schimbare a referinţei cuplului electromagnetic.

sgn (me – me

*) k k + 1

α(1) sect.

1

α(2) sect.

2

α(3)sect.

3

α(4)sect.

4

α(5)sect.

5

α(6)sect.

6

α(1)sect.

1

α(2)sect.

2

α(3) sect.

3

α(4) sect.

4

α(5) sect.

5

α(6)sect.

6

0 u2 u3 u4 u5 u6 u1 u3 u4 u5 u6 u1 u2

1 u5 u6 u1 u2 u3 u4 u6 u1 u2 u3 u4 u5

Trebuie observat că omiterea stărilor zero în timpul comutaţiei între stările adiacente este echivalentă cu scăderea pulsului într-un PWM sinusoidal convenţional. Pentru o valoare dată a lui *

sΨ , ecuaţiile (5.45) şi (5.46) pot fi rezolvate în raport cu tk şi tk + 1. Astfel, prin aplicarea vectorilor de comutaţie potriviţi pe durata potrivită, se reglează fluxul statoric spre valoarea sa de referinţă şi cuplul electromagnetic este condus continuu spre valoarea sa dorită în direcţia potrivită, cu tensiune maximă aplicată invertorului (datorită lui t0 = 0, tensiunea de referinţă se menţine în limita locului geometric hexagonal; astfel tensiunea de ieşire a invertorului este maximă). Dacă se consideră al doilea caz, când există o schimbare a referinţei fluxului statoric (adică fluxul statoric nu poate fi condus spre valoarea sa de referinţă într-o singură perioadă Ts), atunci din nou selecţia vectorului de tensiune se face a priori. În acest caz, dacă de exemplu, fazorul spaţial al fluxului statoric este în sectorul 1 (fig. 5.5), u1 şi u2 cresc fluxul iar u3 şi u4 descresc fluxul, etc. Selecţia vectorilor de comutaţie potriviţi este arătată în tabelul 5.4. Astfel prin selecţia vectorilor de comutaţie uk, uk + 1, cuplul electromagnetic se reglează deadbeat în mod similar cu cel dat de ecuaţia (5.24); astfel:

( )[ ]s1k1kkks's

e TetutuL2p3m ⋅−⋅+⋅×⋅

⋅

⋅= ++Ψ∆ . (5.47)

Tabelul 5.4. Selecţia vectorului de comutaţie al tensiunii când există o schimbare a referinţei fluxului statoric.

sgn

(Ψs – Ψs*)

k k + 1

α(1) sect.

1

α(2) sect.

2

α(3)sect.

3

α(4)sect.

4

α(5)sect.

5

α(6)sect.

6

α(1)sect.

1

α(2)sect.

2

α(3) sect.

3

α(4) sect.

4

α(5) sect.

5

α(6)sect.

6

0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u2 u3 u4 u5 u6 u1

1 u3 u4 u5 u6 u1 u2 u4 u5 u6 u1 u2 u3

Ecuaţiile (5.46) şi (5.47) produc valorile necesare tk şi tk + 1. Astfel dacă vectorul de comutaţie selectat uk se aplică pe durata tk şi uk + 1 se aplică pe durata tk + 1, atunci se realizează reglarea deadbeat a cuplului elecromagnetic, în timp ce fazorul spaţial al fluxului statoric se conduce în direcţia dorită. Aşa cum s-a spus mai înainte, vectorii de comutaţie zero nu se aplică. Omiterea stărilor de comutaţie zero, între stările de

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 103 comutaţie adiacente este echivalentă cu scăderea pulsului într-un PWM sinusoidal convenţional. În sfârşit se consideră a treia condiţie: cazul când există o schimbare a fluxului statoric şi cuplului electromagnetic. În acest caz se selectează o singură condiţie pentru întreaga perioadă de comutaţie, care conduce ambele mărimi, fluxul statoric şi cuplul electromagnetic, în direcţiile dorite cât mai rapid posibil. De exemplu, dacă fazorul fluxului statoric este în sectorul 1 (fig. 5.5) şi ambele mărimi - fluxul şi cuplul – trebuie să crească, atunci, prin considerarea celor şase vectori de comutaţie, se selectează u2. Dacă fluxul trebuie să crească şi cuplul trebuie să scadă atunci se selectează u6, etc. Selecţia vectorilor de comutaţie este dată în tabelul 5.5. Tabelul 5.5. Selecţia vectorului de comutaţie al tensiunii când se modifică ambele mărimi: fluxul statoric şi cuplul electromagnetic.

sgn (me – me

*) sgn

(Ψs – Ψs*)

α(1) sect.

1

α(2) sect.

2

α(3) sect.

3

α(4) sect.

4

α(5) sect.

5

α(6) sect.

6

0 0 u2 u3 u4 u5 u6 u1

0 1 u3 u4 u5 u6 u1 u2

1 1 u5 u6 u1 u2 u3 u4

1 0 u6 u1 u2 u3 u4 u5

Evident aceasta este în acord cu părţi componente din tabelul 5.1 prezentat în paragraful 5.2.2. Astfel, în general, algoritmul pentru selecţia vectorului de comutaţie al tensiunii se realizează de asemenea în etape (etapele 1 - 8), conform celui prezentat anterior pentru regimul staţionar. Totuşi, dacă în etapa a 8 – a nu mai există o soluţie pozitivă, de exemplu tk + tk + 1 ≤ Ts nu poate fi satisfăcută, atunci se presupune – mai întâi – că există o schimbare a referinţei cuplului electromagnetic. Astfel, se foloseşte tabelul 5.3 pentru selecţia celor două stări potrivite de comutaţie şi se rezolvă ecuaţiile (5.45) şi (5.46) pentru a determina tk şi tk + 1. Dacă rezultă o soluţie pozitivă, atunci se aplică vectorii uk şi uk + 1 pentru durata tk, respectiv tk + 1. Dacă nu există o soluţie pozitivă atunci se presupune că este prezentă o schimbare a fluxului statoric şi prin urmare se rezolvă ecuaţiile (5.46) şi (5.47). Dacă există soluţii pozitive atunci se aplică vectorii de comutaţie potriviţi din tabelul 5.4 pe duratele tk respectiv tk + 1. Totuşi, dacă nu există o soluţie se aplică vectorii din tabelul 5.5 (stările de comutaţie corespunzătoare şi timpii de comutaţie sunt ieşirile spre invertor). Algoritmul predictiv se poate implementa cu un DSP, dar ar trebui considerat că aceasta este o schemă foarte intensă de calcul şi la frecvenţe înalte de comutaţie se pretind calcule foarte rapide. Ar trebui notat că, similar cu alte tipuri de scheme predictive, când se foloseşte schema predictivă prezentată, survine eroarea staţionară a unei singure perioade Ts. Aceasta se datorează faptului că estimarea cuplului electromagnetic şi a fluxului statoric se bazează pe intrările din perioada precedentă. O întârziere de o singură perioadă este necesară pentru a estima semnalele de comutaţie. Un regulator deadbeat ideal ar necesita estimări care să fie executate în timp zero. Mai mult, regulatorul predicitiv se bazează numai pe erorile cuplului electromagnetic şi fluxului statoric. Combinarea acestui fapt cu întârzierea de o perioadă are drept rezultat o


eroare staţionară a cuplului electromagnetic. Totuşi, a-ceasta nu prezintă nici o problemă dacă se utilizează şi un regulator de viteză. O tehnică alternativă de alegere predictivă a vectorului de comutaţie, care nu necesită calcule atât de intense ca aceea descrisă mai sus, se va discuta pe scurt în continuare. Se presupune că există numai o schimbare a cuplului. Deşi această tehnică alternativă nu are drept rezultat reglarea deadbeat a fluxului statoric, va rezulta numai o degradare minimă a performanţei. Această tehnică alternativă se

bazează pe limitarea mărimii tensiunii statorice de referinţă (impuse) la valoarea instantanee maximă permisă cu modulaţia vectorului spaţial, cum se arată în fig. 5.8.

Fig. 5.8. Selecţia predictiv alternativă a vectorului de comutaţie.

În fig. 5.8 se arată că de fiecare dată fazorul tensiunii de referinţă (us*), rezultat dintr-

un algoritm de reglare deadbeat, este în afara hexagonului tensiunii şi că mărimea tensiunii de intrare în modulatorul fazorului spaţial se limitează la tensiunea maximă a invertorului ( *

maxsu ). Tensiunea *maxsu are acelaşi unghi ca şi tensiunea de

referinţă originară. Astfel, mărimea vectorului de referinţă a tensiunii este dată ca:

*sα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅=

3sin

3E31u

*s

*maxs πα

(5.48)

şi unghiul este schimbat faţă de cel calculat folosind algoritmul dat mai sus. În fig. 5.8 valoarea medie a tensiunii statorice pe o perioadă de eşantionare (Ts) calculată cu schema predictivă originară (nu cu cea alternativă) este *

convsu ; aceasta este

indicată prin vectorul cu linie întreruptă. Vârful acestui vector este la intersecţia limitei hexagonale a tensiunii de ieşire cu fluxul statoric de referinţă. Totuşi, când se foloseşte schema predictivă echivalentă, tensiunea medie ( *

maxsu ) pe aceeaşi

perioadă (Ts) se află pe limita tensiunii de acelaşi unghi ca *su . Trebuie notat că

eroarea fluxului creşte cu creşterea mărimii lui *su . Este interesant de observat că *su

este dafazată înaintea lui *convsu , când cuplul electromagnetic trebuie să fie crescut

şi este defazat în urma lui *convsu când cuplul electromagnetic trebuie să fie scăzut.

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 105 Urmează că curentul care produce cuplul este mai mare cu schema alternativă decât cu schema predictivă originară. Aceasta conduce la performanţă dinamică îmbunătăţită, în ciuda faptului că schema alternativă nu prevede reglarea deadbeat a mărimii fluxului. Această schemă predictivă echivalentă poate fi de asemenea folosită când survine supramodulaţia (adică în regiunea dintre PWM continuu şi funcţionare în şase paşi). Această regiune de funcţionare este un caz particular al schimbării cuplului/fluxului. Similar cu cele discutate mai sus, în regiunea de tranziţie, vectorul de referinţă *

su este situat în afara limitei hexagonale. La limită, cum *su

devine mare în valoare absolută, tensiunea invertorului *maxsu "sare" dintr-un colţ al

hexagonului în următorul, ceea ce este echivalent cu funcţionarea în şase paşi.

5.2.4 Schemă de reglare directă a cuplului motorului asincron folosind un invertor sursă de tensiune (VSI)

În figura 5.9 se arată schematic o formă simplă de acţionare cu motor asincron cu controlul direct al cuplului folosind un invertor sursă de tensiune. În această schemă fluxul reglat este fluxul statoric, astfel că ea se va denumi ca o acţionare cu motor asincron cu reglare directă a cuplului bazată pe fluxul statoric. Un invertor sursă de tensiune (VSI) cu şase pulsuri alimentează motorul asincron (MA). Aşa cum s-a discutat anterior, controlul direct al cuplului implică controlul separat al fluxului statoric şi al cuplului prin alegerea optimă a modurilor de comutaţie a invertorului. Tabelul de comutaţie optimă (tab. 5.1) a fost arătat în paragraful 5.2.2. În fig. 5.9 valoarea impusă (de referinţă) a fluxului statoric se compară cu valoarea reală Ψ

*sΨ

s şi eroarea rezultată alimentează un comparator de flux cu histerezis cu două nivele. Similar, valoarea de referinţă a cuplului electromagnetic ( ) se compară cu valoarea reală (m*

em e) şi semnalul de eroare a cuplului electromagnetic alimentează un comparator de cuplu cu histerezis cu trei nivele. Ieşirile comparatoarelor de flux şi cuplu se utilizează în tabelul de comutaţie optimă (tabelul de căutare), care de asemenea foloseşte informaţia de poziţie a fazorului spaţial al fluxului. În figura 5.9 erorile de flux şi cuplu electromagnetic se limitează în interiorul benzilor de histerezis, care sunt de lăţime 2.∆Ψs şi respectiv 2.∆me. Banda

Fig. 5.9. Schema de principiu a acţionării cu motor asincron cu controlul direct al cuplului bazat pe fluxul statoric şi alimentat de la VSI.

106 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE de histerezis de flux influenţează în special distorsiunea curentului statoric pe baza armonicilor de ordin redus iar banda de histerezis de cuplu influenţează frecvenţa de comutaţie şi astfel pierderile de comutaţie. Schema de reglare directă a cuplului necesită estimările fluxului şi cuplului electromagnetic. Cum s-a discutat în 5.2.3.2 componentele fluxului statoric se pot obţine prin integrarea tensiunilor monitorizate corespunzătoare mai puţin căderile de tensiune ohmice, cum se arată în ecuaţiile (5.42) şi (5.43), dar la frecvenţe joase se pot produce erori mari datorită variaţiei rezistenţei statorice, derivei de integrare şi a zgomotului. Cuplul electromagnetic se poate estima folosind ecuaţia (5.1); astfel

( )sdsqsqsde iip23m ⋅−⋅⋅⋅= ΨΨ (5.49)

Reglarea vitezei se poate obţine folosind un regulator de viteză (de exemplu un regulator PI sau un regulator fuzzy logic etc.), a cărui ieşire va da cuplul impus (de referinţă) iar intrarea regulatorului de viteză va fi diferenţa dintre viteza impusă şi viteza reală.

5.2.5 Reducerea ondulaţilor fluxului statoric şi cuplului electromagnetic

În acţionarea cu motor asincron şi reglarea directă a cuplului există ondulaţii ale cuplului şi fluxului, deoarece nici unul dintre vectorii de comutaţie ai invertorului nu este capabil - în cele mai multe cazuri de comutaţie – să genereze exact tensiunea statorică necesară pentru a produce schimbările dorite ale cuplului electromagnetic şi ale fluxului statoric. Totuşi, ondulaţiile cuplului electromagnetic şi ale fluxului statoric se pot reduce utilizând diferite tehnici, dintre care unele implică folosirea frecvenţelor ridicate de comutaţie sau schimbarea topologiei invertorului, dar este de asemenea posibil să folosim scheme care nu implică frecvenţe ridicate de comutaţie sau schimbarea topologiei invertorului, ca de exemplu reglarea factorului de umplere [21]. În acţionarea cu motor asincron şi controlul direct al cuplului, frecvenţa de comutaţie crescută este dorită deoarece reduce conţinutul armonic al curenţilor statorici şi de asemenea conduce la armonici de cuplu reduse. Totuşi, dacă se foloseşte o frecvenţă ridicată de comutaţie, aceasta va provoca o creştere importantă a pierderilor de comutaţie (conducând la reducerea randamentului) şi o creştere a solicitărilor elementelor semiconductoare ale invertorului. Aceasta este motivul pentru care invertoarele de mare putere (de exemplu în tracţiunea Diesel - electrică) funcţionează la frecvenţe reduse de comutaţie, de câteva sute de Hz. În cazul frecvenţelor ridicate de comutaţie, este necesar un procesor rapid, deoarece timpul de procesare se reduce. Aceasta însă creşte costurile. În acţionarea ABB cu controlul direct al cuplului (a se vedea 5.4) se foloseşte un procesor digital de semnal de mare viteză de 40 MHz [cu un circuit integrat cu aplicaţie specifică (ASIC) hard] pentru a determina frecvenţa de comutaţie a invertorului [21]. Dacă se utilizează topologia schimbată a invertorului, este posibil să se folosească un număr crescut de comutaţii, dar aceasta va creşte de asemenea costul. Se poate creşte numărul stărilor de comutaţii prin utilizarea a două invertoare, cu GTO, conectate în paralel. Deşi în acest sistem se creşte numărul stărilor de comutaţie diferite de zero la 18, se produc curenţi de secvenţă zero. În acţionarea tradiţională cu motor asincron şi reglarea directă a cuplului (dsicutată înainte) se aplică un vector de tensiune pentru

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 107 întreaga perioadă de comutaţie şi aceasta produce creşterea curentului statoric şi a cuplului electromagnetic pe întreaga perioadă de comutaţie. Astfel pentru erori mici, cuplul electromagnetic depăşeşte valoarea sa impusă mai devreme în timpul ciclului şi continuă să crească, producând o ondulaţie mare a cuplului. Aceasta este apoi urmată de ciclul de comutaţie în care se aplică vectori de comutaţie zero pentru a reduce cuplul electromagnetic la valoarea sa impusă. Se poate obţine o soluţie prin care ondulaţiile cuplului şi fluxului se pot reduce prin folosirea vectorului selecţionat de comutaţie numai pentru o parte a perioadei de comutaţie (care este definită ca factor de umplere, δ) şi folosirea vectorului zero pentru restul perioadei. Timpul de aplicare a vectorului activ (diferit de zero) se alege astfel încât să crească cuplul electromagnetic spre valoarea sa de referinţă. Când cuplul electromagnetic atinge valoarea sa de referinţă se aplică vectorul zero. În timpul aplicării vectorului zero, se aplică maşinii tensiunea zero şi astfel cuplul electromagnetic este aproape constant; el descreşte uşor. Valoarea medie a tensiunii de alimentare a motorului asincron în timpul aplicării fiecărui vector de comutaţie este δE (E este tensiunea continuă din circuitul intermediar de c.c.). Prin variaţia factorului de umplere între 0 şi 1, este posibil să se aplice, în timpul fiecărei perioade de comutaţie, orice tensiune între 0 şi E. Aceasta creşte alegerea vectorului de tensiune care - într-un DTC convenţional – este limitat la numărul vectorilor de comutaţie. Cum s-a stabilit mai sus, factorul de umplere se alege astfel încât să dea un vector de tensiune a cărui valoare medie pe un ciclu de comutaţie [21] să dea schimbarea dorită a cuplului, având drept rezultat ondulaţii reduse ale cuplului.

Fig. 5.10. Regulator cu logică fuzzy.

Factorul de umplere al fiecărei stări de comutaţie este o funcţie neliniară a erorii cuplului electromagnetic şi a erorii fluxului statoric şi de asemenea o funcţie de poziţia fazorului spaţial al fluxului statoric. Astfel este dificil de modelat această funcţie neliniară. Totuşi, prin folosirea unui sistem de control direct al cuplului bazat pe logica fuzzy este posibil să se realizeze reglarea factorului de umplere în timpul fiecărui ciclu de comutaţie. Într-un asemenea sistem există două intrări, eroarea cuplului electromagnetic eme = me

* – me şi poziţia fluxului statoric ρs. Ieşirea regulatorului cu logică fuzzy este factorul de umplere δ (fig. 5.10).

5.3 Reglarea directă a cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de curent (CSI)

5.3.1 Introducere

Într-o acţionare cu motor asincron cu controlul direct al cuplului alimentat de la un convertor sursă de curent (CSI), un circuit intermediar de c.c. alimentează invertorul cu un curent continuu constant, aproape neted. Curentul din circuitul intermediar este comutat prin intermediul invertorului CSI pentru a produce curenţii alternativi necesari alimentării motorului asincron. Curentul continuu se obţine de la un redresor comandat (fig. 5.11). Pentru a menţine constant curentul continuu id, din circuitul intermediar, la valoarea de referinţă (impusă) id*, există un circuit de reglare a curentului în care valoarea id* se compară


Fig. 5.11. Schema unui convertor sursă de curent .

cu valoarea reală id şi diferenţa constituie intrarea în regulatorul de curent (regulator PI) a cărei ieşire comandă elementele de comutaţie ale redresorului comandat. Invertorul, ca şi redresorul, sunt de cele mai multe ori în punte trifazată, ca în figura 5.3a. Fiecare element de comutaţie a punţii invertorului va conduce 2.π / 3 şi vor conduce totdeauna două elemente (unul din ramura superioară şi unul din ramura inferioară). Dacă presupunem că numai două faze conduc, rezultă şase moduri de funcţionare. Dacă conduc elementele T1 şi T2 (fig. 5.3a) isa = id, isb = 0 şi isc = - id, unde id este curentul din circuitul intermediar de c.c. Din definiţia fazorului spaţial al curentului statoric:

( )sc2sbsas iaiai

32i ⋅+⋅+⋅=

rezultă pentru această situaţie:

( )3ei2ia1

32i

6j

dd

2s

π⋅

⋅⋅=⋅−⋅= , (5.50)

Fazorul spaţial al curentului în sistem bifazat fix, statoric, se află în poziţia i1 din figura 5.12. Axa reală a sistemului d – q este orientată în direcţia primei faze statorice as. În situaţia următoare, când conduc T3 şi T2, isa = 0, isb = id şi isc = - id şi fazorul curentului statoric va fi:

( )3ij2iaa

32i d

d2

s⋅⋅

=⋅−⋅= , (5.51)

şi aceasta corespunde poziţiei i2 a fazorului spaţial al curentului statoric din figura 5.12. Rezultă că mărimea curenţilor trifazaţi se reglează prin mărimea curentului continuu din circuitul intermediar. Frecvenţa curenţilor trifazaţi se determină prin viteza de comutaţie a elementelor invertorului. La viteze reduse pot exista pulsaţii ale cuplului, care se datorează în special curenţilor statorici nesinusoidali produşi de invertor. La frecvenţe foarte reduse frecvenţa pulsaţiilor se reduce atât de mult încât rotorul se mişcă în paşi în locul unei

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 109 rotaţii uniforme. Datorită acestui fenomen această acţionare nu este potrivită pentru servo-aplicaţii, care necesită o reglare continuă a poziţiei.

5.3.2 Schema de acţionare

Controlul direct al cuplului (DTC) unui motor asincron alimentat de la un invertor sursă de curent (CSI) implică controlul direct al fluxului rotoric (sau statoric) şi al cuplului electromagnetic prin aplicarea vectorilor optimi de comutaţie a curentului. Mai mult, în controlul direct al cuplului unui motor asincron alimentat de la un invertor sursă de curent este posibil să reglăm direct fazorul spaţial al fluxului rotoric rΨ prin tensiunea redresată şi cuplul elecromagnetic me prin frecvenţa invertorului. În acest scop vectorii potriviţi de comutaţie optimă a invertorului se produc folosind un tabel optimal al vectorului de comutaţie a curentului. Acesta conţine şase vectori activi posibili de comutaţie a curentului (i1, i2, ... , i6) şi de asemenea vectorii de comutaţie inactivi (i0). Vectorii de comutaţie activi sunt arătaţi în figura 5.12, împreună cu locul geometric al fazorului spaţial al curentului statoric, care este un hexagon. Selecţia optimă a vectorilor de comutaţie se face cu limitarea erorii cuplului electromagnetic în interiorul benzii de histerezis a cuplului. O intrare în tabelul de comutaţie optimă a curentului este eroarea discretizată a cuplului (dme) care este ieşirea unui comparator cu histeretis cu trei nivele. Se utilizează un comparator cu trei nivele, deoarece acesta corespunde erorilor de cuplu 0, 1 şi – 1. Tabelul de căutare a comutaţiei optime necesită de asemenea cunoaşterea poziţiei fazorului spaţial al fluxului rotoric, deoarece trebuie ştiut în care din cele şase sectoare se află fazorul spaţial al fluxului rotoric. Schema de bază a controlului direct al cuplului unui motor asincron alimentat de la un invertor sursă de curent este arătată în figura 5.13. Schema de acţionare conţine un estimator de cuplu electromagnetic şi flux rotoric.

Fig. 5.12. Locul geometric al fazorului spaţial al curentului statoric şi vectorii activi de comutaţie.


Fig. 5.13. Schema de acţionare.

5.3.3 Estimarea fluxului rotoric şi a cuplului electromagnetic

Cuplul electromagnetic se poate estima din ecuaţia:

( )sdrqsqrdr

ms

'r

r

me ii

LLp

23i

LLp

23m ⋅−⋅⋅⋅⋅=×⋅⋅⋅= ΨΨΨ (5.52)

[a se vedea ec. (5.17) şi figura (5.7)].

Ψ'r este fazorul spaţial al fluxului rotoric scris în sistemul de coordonate fix, statoric, d – q iar is = isd + j.isq este fazorul spaţial al curentului statoric scris în acelaşi sistem de coordonate. Componentele fluxului rotoric se obţin din ecuaţia tensiunii statorice scrisă în sistem de coordonare fix, pe baza monitorizării curenţilor statorici [ecuaţia (5.13) scrisă pentru λr = 0].

dtd

LL

dtid

LiRu'r

r

ms'ssss

Ψ⋅+⋅+⋅= .

Rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−⋅=dtid

LiRuLmL

dtd s'

ssssr

'rΨ

(5.53)

Astfel se obţin componentele fluxului rotoric:

dtdtdiLiRu

LmL sd'

ssdssdr

rd ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⋅=Ψ (5.54)


dtdtdi

LiRuLmL sq'

ssqssqr

rq ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−⋅=Ψ (5.55)

Din ecuaţiile (5.54) şi (5.55) se vede că pentru a estima componentele fluxului rotoric trebuie utilizate rezistenţa statorică, inductanţa tranzitorie statorică şi raportul Lr / Lm al inductanţelor. Totuşi, este posibil să avem o implementare în care Lr / Lm nu este necesar. În acest caz, în locul estimării fluxului rotoric se estimează valoarea sa raportată:

'r

r'rR Lm

L ΨΨ ⋅= . (5.56)

Utilizând relaţiile (5.53) şi (5.56) din ecuaţia

( ) s'ssss

'rR iLdtiRu ⋅−⋅−= ∫Ψ

se obţin componentele fluxului rotoric raportat, după axele d şi q, astfel:

( ) sd'ssdssdrdR iLdtiRu ⋅−⋅−= ∫Ψ (5.57)

( ) sd'ssdssdrdR iLdtiRu ⋅−⋅−= ∫Ψ (5.58)

În acest caz, cuplul electromagnetic se obţine folosind ecuaţia (5.52); astfel

( )sdrqRsqrdRs'rR

r

me iip

23i

LLp

23m ⋅−⋅⋅⋅=×⋅⋅⋅= ΨΨΨ (5.59)

Deoarece într-o acţionare alimentată de la CSI, se poate neglija saturaţia, L's poate fi presupus constant. Totuşi, pe lângă acest estimator de flux în buclă deschisă este posibil să utilizăm scheme mai precise (de exemplu aplicarea filtrelor trece-jos, a elementelor de întârziere de ordinul întâi, observatoarelor Luenberger, Kalman, etc.). Unghiul fazorului spaţial al fluxului rotoric raportat (care este acelaşi cu al fazorului neraportat) se poate estima folosind

( )rdRrqRr arctg ΨΨρ = sau ( )rRrdRr arccos ΨΨρ =

sau

( )rRrqRr arcsin ΨΨρ = unde ( )21

2rqR

2rdRrR ΨΨΨ += ,

dar, similar cu cazul discutat în paragraful 5.2.2, este posibil să evităm funcţiile trigonometrice. În figura 5.13 regulatorul fluxului rotoric acţionează direct asupra tensiunii redresate. Motivul fizic pentru prezenţa acestui circuit de reglare este faptul că modulul fazorului spaţial al flulxului rotoric se poate schimba prin schimbarea amplitudinii tensiunii

112 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE statorice. Aceasta rezultă din ecuaţia tensiunii statorice (5.53), iar tensiunile statorice se pot schimba prin schimbarea tensiunii redresate. Pe de altă parte, se poate arăta – prin consideraţii fizice relativ simple – că cuplul electromagnetic se poate regla prin schimbarea frecvenşei statorice [21]. Pentru a arăta aceasta se pleacă de la ecuaţia tensiunii rotorice [ecuaţia (5.13a)] scrisă într-un sistem de axe bifazate ataşate fluxului rotoric (fig. 5.7) , dλr – qλr.

( )rr

rrrrrr j

dt

diR0

λλ Ψωω

Ψλλ ⋅−⋅++⋅= .

Cu mrmmr iLirr

==λ

Ψ ecuaţia de mai sus devine:

( ) mrmrmr

mrrr iLjdtdiLiR0 ⋅⋅−⋅+⋅+⋅= ωωλλ . (5.60)

Înlocuind relaţia (5.12) în (5.60) şi împărţind cu Rr rezultă:

( ) mrrrrsmrmr

r iTjiidtdiT ⋅⋅−⋅−=+⋅ ωωλλ , (5.61)

unde rrr RLT = este constanta de timp a rotorului.

În sistemul de coordonate fix, d – q, pentru λr = 0, ecuaţia (5.61) devine:

mrrrsmrmr

r iTjiidtdiT ⋅⋅⋅⋅+=+⋅ ωλ . (5.62)

Considerând m'rmr Li Ψ= şi revenind la fluxul rotoric, relaţia precedentă se poate

scrie:

'rs

r

m'r

r

'r ji

TL

T1

dtd

ΨωΨΨ

⋅⋅⋅+⋅=⋅+ . (5.63)

Presupunând fluxul rotoric sinusoidal, în care caz tj'r

'r

1e ⋅⋅⋅= ωΨΨ , rezultă:

( ) 'r1

rs

r

m jT1i

TL0 Ψωω ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅++⋅−= . (5.64)

Considerând ecuaţia (5.57) şi de asemenea ecuaţia (5.52) rezultă că, atunci când poziţia fazorului spaţial al curentului statoric se schimbă rapid, se obţine o schimbare rapidă a cuplului electromagnetic şi de asemenea a pulsaţiei de alunecare ( )ωωω −= 12 .

Aceasta este similar cu cazul controlului direct al cuplului motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de tensiune, dar la alimentarea de la un astfel de invertor schimbarea rapidă a cuplului electromagnetic se obţine prin schimbarea rapidă a vectorului potrivit de tensiune. Cuplul de referinţă impus se poate obţine de la ieşirea unui regulator PI de viteză.


5.3.4 Selecţia vectorului optim de comutaţie al curentului

Din asimilarea stărilor de comutaţie ale invertorului sursă de curent şi ale invertorului sursă de tensiune, urmează că tabelul de selecţie al vectorului optim de comutaţie a curentului trebuie de asemenea să se asemene cu tabelul obţinut pentru vectorii de comutaţie a tensiunii de la paragraful 5.2.2, dar acum vectorii de curent înlocuiesc vectorii de tensiune. Aşa cum s-a discutat mai înainte, pentru sistemul CSI, eroarea de flux nu este o intrare a tabelului de comutaţie optimă (deoarece fluxul rotoric este reglat direct prin tensiunea redresată şi nu prin stările de comutaţie ale invertorului) [21]. Astfel este posibil, formal, să folosim prima parte a tabelului de comutaţie dată pentru alimentarea de la VSI, dar toate tensiunile trebuie să fie schimbate în curenţi. Totuşi, pentru o mai bună înţelegere, tabelul de comutaţie necesar se va determina în continuare într-un alt mod [21].

Tabelul de comutaţie optimă a curentului invertorului se poate obţine prin considerarea poziţiei fazorului spaţial al fluxului rotoric în unul din cele şase sectoare (de exemplu primul sector este regiunea cuprinsă în unghiul α1 arătat în fig. (5.12), a doua regiune cuprinde unghiul α2, etc.). Se poate vedea că dacă, de exemplu, fazorul spaţial al fluxului rotoric se află în primul sector, atunci pentru cuplu electromagnetic pozitiv trebuie să se aplice vectorul de comutaţie i2. Aceasta se datoreşte faptului că trebuie să se aleagă un vector al curentului statoric, care produce cuplu pozitiv şi se găseşte la un unghi mai mic de 900 în direcţia pozitivă faţă de fazorul spaţial al fluxului rotoric. Pentru cuplu electromagnetic negativ, trebuie aplicat i6, deoarece curentul statoric ales trebuie să producă cuplu negativ şi trebuie să fie în urma fazorului spaţial al fluxului rotoric cu un unghi mai mic de 900. Pentru cuplu electromagnetic zero se aplică unul dintre vectorii de comutaţie zero (i0). În mod analog, dacă fazorul spaţial al fluxului rotoric se află în sectorul al doilea se selectează i3 pentru cuplu pozitiv şi i1 pentru cuplu negativ. Fazorii spaţiali ai fluxului rotoric şi vectorii potriviţi de comutaţie a curentului sunt reprezentaţi în figura 5.14, pentru cele două cazuri discutate, când Ψ'r este în primul, respectiv al doilea sector.

Fig. 5.14. Selecţia vectorilor de comutaţie: CC – cuplul creşte: CS – cuplul scade.

114 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Tabelul 5.6. Tabelul de căutare a vectorului optim de comutaţie a curentului pentru motorul asincron

alimentat de la CSI.

dmeα(1) sect.

1

α(2) sect.

2

α(3) sect.

3

α(4) sect.

4

α(5) sect.

5

α(6) sect.

6

1 i2 i3 i4 i5 i6 i10 i0 i0 i0 i0 i0 i0

- 1 i6 i1 i2 i3 i4 i5 Tabelul vectorului optim de comutaţie al curentului astfel obţinut este tab. 5.6. Trebuie arătat că, aşa cum era de aşteptat, acest tabel de comutaţie se aseamănă formal cu partea superioară a tabelului 5.1 folosit în paragraful 5.2.2 pentru controlul direct al cuplului motorului asincron alimentat de la un VSI.

5.4 Schema ABB de control direct al cuplului maşinii asincrone alimentate de la un invertor sursă de tensiune

(VSI) ABB a introdus în 1995 prima acţionare industrială fără senzori de viteză cu IGBT-uri. Aceasta conţine un convertor de frecvenţă ACS 600, în componenţa căruia există un invertor sursă de tensiune (VSI) [21]. Comutaţiile invertorului reglează direct fluxul şi cuplul electromagnetic al motorului. Familia de convertoare ACS 600 cuprinde gama de puteri de la 2,2 kW la 630 kW şi tensiuni de c.a. între 380 V şi 690 V asfel încât acoperă 95% din aplicaţiile industriale (pompe, ventilatoare, malaxoare, conveiere, lifturi, elevatoare, macarale, vârtelniţe centrifuge, etc.). Schema-bloc este reprezentată în figura 5.15. Ea este similară cu cea reprezentată în figura 5.9. Mărimile principale reglate sunt cuplul electromagnetic şi fluxul statoric. Conform figurii 5.15 se măsoară doi curenţi statorici şi tensiunea din circuitul intermediar de c.c. Cei doi curenţi statorici se utilizează pentru a obţine componentele curentului statoric în sistemul de referinţă d–q, fix, statoric, sasd ii = şi conform ecuaţiei (1.32), ţinând seama că 0iii scsbsa =++ , ( ) 3i2ii sbsasq ⋅+= . Cu tensiunea (E) din circuitul intermediar de c.c. (fig. 5.3.a) şi cu semnalele de comutaţie ale invertorului se reconstruiesc tensiunile statorice. Pentru aceasta, folosind funcţiile de comutaţie ale invertorului (fig. 5.3.a) Sa, Sb, Sc se poate obţine fazorul spaţial al tensiunii statorice (exprimat în sistemul de referinţă fix d-q). Cu stările de comutaţie şi tensiunea E din circuitul intermediar de c.c. rezultă:

( ) sqsdc2

bas ujuSaSaSE32u ⋅+=⋅+⋅+⋅⋅= . (5.65)

unde: Sa = 1 când tranzistorul superior (T1) al fazei as (fig. 5.3 a) este în conducţie iar

tranzistorul inferior (T4) este blocat.

Controlul direct al cuplului maşinii asincrone 115 Sa = 0 când tranzistorul superior (T1) al fazei as este blocat iar tranzistorul inferior

(T4) este în conducţie. În mod analog, pentru funcţiile de comutaţie Sb şi Sc corespunzătoare fazelor bs şi cs. Din relaţia (1.32) rezultă:

( cbasd SSS2E31u −−⋅⋅⋅= ) ; (5.66)

3SSEu cb

sq−

⋅= . (5.67)

Pentru o reconstrucţie precisă a tensiunilor statorice trebuie considerate, mai ales la viteze reduse ale rotorului, blocarea temporizată (timpul mort, care se programează în logica de comutaţie din DSP pentru a preveni scurtcircuitările din circuitul intermediar de c.c.) şi căderile de tensiune pe elementele semiconductoare de comutaţie (IGBT-uri). Curenţii statorici împreună cu tensiunile statorice reprezintă intrări într-un model adaptiv al motorului asincron (care conţine şi un estimator) cum se arată în fig. 5.15 şi care estimează în timp real, la fiecare 25µs (folosind un DSP) modulul fazorului spaţial al fluxului statoric, ( sΨ ), poziţia sa faţă de axa reală a sistemului d–q fix, (ρs), fig. (5.2) cuplul electromagnetic, (me) şi viteza rotorului, (ω). Cum s-a discutat în paragraful 5.2.1 este foarte important să considerăm că rolul principal al modelului este de a estima precis componentele fluxului statoric, deoarece modulul şi poziţia fazorului spaţial al fluxului statoric, cuplul electromagnetic şi de asemenea viteza rotorului se estimează din componentele fluxului statoric. Expresia cuplului electromagnetic este dată de ecuaţia (5.49). Viteza rotorului [21]:

2r

re2r

rdrq

rqrd

p3Rm2dtd

dtd

ΨΨ

ΨΨΨ

Ψω

⋅⋅

⋅⋅−

⋅−⋅= , (5.68)

rezultă în funcţie de componentele fluxului rotoric. Acesta se determină din componentele fluxului statoric cu [21]:

( sd'ssd

m

rrd iL

LL

⋅−⋅= Ψ )Ψ , (5.69)

( sq'ssq

m

rrq iL

LL

⋅−⋅= Ψ )Ψ . (5.70)

Pentru a crea modelul posibil al motorului trebuie înscrise de utilizator, într-un soft de iniţializare al ABB, numai datele nominale (viteza nominală a motorului, curentul nominal, tensiunea nominală, puterea nominală, frecvenţa nominală). Totuşi, pentru a obţine un model mai precis, unii parametri folosiţi în modelul motorului se iniţializează în timpul unei etape de pornire de identificare (etapa de autoconfirmare,

116 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE care se referă la etapa de autocalibrare). În timpul pornirii sistemului de acţionare, ACS 600 pune în funcţiune motorul aproximativ un minut. Circuitul de reglare monitorizează răspunsul motorului asincron la puterea aplicată şi determină diferiţi parametri ai maşinii (rezistenţă statorică, inductanţă statorică, inductanţă de magnetizare, coeficient de saturaţie pentru aceste două inductanţe, moment de inerţie al motorului, etc) şi măreşte precizia modelului matematic al motorului. De exemplu, rezistenţa statorică este necesară – în principiu – la viteză mare, fluxul statoric se obţine prin integrarea tensiunii statorice potrivite mai puţin căderea de tensiune rezistivă:

( ) ( )∫∫ ⋅−=⋅−= dtiRu,dtiRu sqssqsqsdssdsd ΨΨ , (5.69)

Când viteza rotorului se determină utilizând viteza fazorului spaţial al fluxului rotoric [ecuaţia (5.68)], este necesară utilizarea diferitelor inductanţe ale maşinii asincrone. Există două alternative de identificare (ID) la pornire: identificarea standard la pornire şi identificarea redusă la pornire. În timpul identificării standard, motorul nu este cuplat la sarcină. Identificarea redusă se poate folosi dacă sarcina nu poate fi decuplată sau dacă reducerea fluxului statoric nu este permisă. De exemplu, reducerea fluxului nu este permisă la frânarea motorului. Pentru a obţine cel mai precis model al motorului şi cea mai bună performanţă de reglare trebuie aleasă identificarea standard. Dacă nu se selectează metoda de identificare al pornire, se execută automat o identificare rapidă a motorului (când se comandă START). În timpul primei proceduri de pornire, motorul porneşte de la viteză zero, pentru câteva secunde, pentru a permite estimarea parametrilor necesari ai modelului avansat al motorului. Trebuie notat că există diferite tehnici de estimare on-line şi în timp real a diverşilor parametri şi în repaus. Există mai mulţi parametri (ca rezistenţa statorică) care se actualizează continuu în modelul adaptiv al motorului asincron în timpul funcţionării acţionării. De exemplu, rezistenţa statorică se actualizează folosind un model termic al motorului asincron. În acţionarea ABB cu controlul direct al cuplului, temperatura se estimează presupunând că temperatura mediului ambiant este de 300. Temperatura motorului poate fi estimată folosind două curbe: variaţia în timp a sarcinii motorului şi variaţia în timp a constantei termice a motorului. În timpul pornirii de identificare a motorului, regulatorul de viteză prezentat în figura 5.15 este acordat automat. Acesta conţine un regulator PID clasic (nu un regulator fuzzy). Totuşi, este de asemenea posibil să ajustăm manual amplificările regulatorului PID. În modul de pornire autoacordat se obţine acordarea automată a amplificărilor PID. Aceasta foloseşte de asemenea sarcina şi momentul de inerţie al maşinii. Cu autoacordare este posibil să se obţină o performanţă dinamică mai bună (răspunsuri mai rapide ale vitezei) decât cu acordarea manuală. Conform schemei ABB, eroarea statică a regulatorului de viteză este situată între ± 0,1% şi ± 0,5% din viteza nominală a motorului. O reglare şi mai bună a vitezei poate fi obţinută numai utilizând un encoder cu impulsuri. În acest caz, eroarea statică de viteză este de domeniul ± 0,01% (dacă se utilizează un encoder cu 1024 impulsuri/rotaţie). Eroarea dinamică a regulatorului de viteză este în mod obişnuit de ± 0,4% la cuplu treaptă de sarcină 100% dacă nu se foloseşte encoder sau un tahogenerator (acţionare "sensorless") şi este de ± 0,1% când se utilizează un encoder incremental cu


Fig. 5.15. Schema-bloc ABB de control direct al cuplului maşinii asincrone.

impusuri. În orice caz, trebuie observat că eroarea dinamică de viteză depinde puternic de acordarea regulatorului de viteză. Pentru multe aplicaţii industriale reglarea vitezei este funcţia cea mai importantă a unei acţionări alimentate de la invertor. Într-o acţionare cu controlul direct al cuplului, reglarea vitezei nu reprezintă însă o parte a reglării interioare a invertorului ca în acţionările tradiţionale alimentate de la invertor.

În fig. (5.15) intrarea regulatorului de viteză este eroarea de viteză (ω*- ω) iar ieşirea regulatorului produce valoarea de referinţă (impusă) a cuplului electromagnetic. Regulatorul de viteză constă dintr-un regulator PID şi de asemenea dintr-un compensator de acceleraţie. Compensatorul de acceleraţie (reacţie anticipativă de la derivata vitezei de referinţă) este extrem de util pentru minimizarea abaterii de reglare în timpul pornirii, acceleraţiei sau deceleraţiei. Regulatorul PID se poate acorda pentru a fi mai mult decât un compensator de sarcină. Regulatorul PID şi compensatorul de acceleraţie se acordă cu o metodă de

118 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE acordare automată, care se bazează pe identificarea constantei mecanice de timp a acţionării. Cu identificarea constantei mecanice de timp într-o autoacordare iniţială, sau în timpul funcţionării normale, este posibil să se acorde regulatorul PID pentru eficienţă maximă. În figura (5.15) intrarea în bucla de reglare a cuplului este, fie referinţa externă de cuplu (me

*), fie referinţa de cuplu de la ieşirea regulatorului de viteză. Regulatorul cuplului de referinţă produce semnalul cuplului de referinţă intern (me

*i). În interiorul

regulatorului cuplului electromagnetic de referinţă, ieşirea vitezei reglate se limitează prin limitele de cuplu şi de tensiunea din circuitul intermediar de c.c. În acest fel cuplul motorului este împiedicat să depăşească cuplul critic şi invertorul este protejat la suprasarcină. Calculul limitei de cuplu foloseşte curentul maxim al invertorului şi curentul maxim al motorului. În fig. (5.15) regulatorul fluxului statoric de referinţă produce modulul fluxului statoric intern de referinţă ( *

isΨ ). Capacitatea de reglare şi

modificare a acestui modul furnizează o cale convenabilă de implementare a trei funcţii (f1, f2, f3), reprezentate în fig. 5.15, care sunt: optimizarea fluxului, frânarea prin flux şi slăbirea fluxului (câmpului). Optimizarea fluxului furnizează adaptarea automată a fluxului la variaţia sarcinii, producând creşterea randamentului. Frânarea prin flux furnizează cel mai mare cuplu de frânare posibil fără hard suplimentar. Slăbirea fluxului face posibilă o viteză mai mare decât viteza nominală a rotorului [21]. Optimizarea fluxului. Folosind modelul motorului, nivelul de magnetizare optim (modulul fazorului de flux statoric) poate fi de asemenea estimat ca o funcţie a sarcinii. Există diferite metode de reglare optimală a randamentului [21]: reglarea constantă a fluxului, reglarea raportului dintre componentele (directă şi în cudratură) curentului statoric, reglarea optimală a fluxului şi reglarea bazată pe inteligenţa artificială. Optimizarea fluxului reduce consumul total de energie al motorului (îmbunătăţeşte randamentul) şi nivelul de zgomot, când acţionarea funcţionează sub sarcina nominală. Randamentul total al motorului şi acţionării poate fi îmbunătăţit cu 1% până la 10% depinzând de punctul de funcţionare (cuplu de sarcină şi viteza rotorului). Frânarea prin flux. Frânarea prin flux este o tehnică prin care energia mecanică a sarcinii se converteşte în căldură în interiorul motorului prin creşterea fluxului. Invertorul, care alimentează motorul, poate produce o deceleraţie mai mare – prin creşterea nivelului de magnetizare în motor – fără un hardware suplimentar. Prin creşterea fluxului statoric, energia generată de maşină în timpul frânării se poate converti în energie termică. Invertorul monitorizează continuu starea motorului şi în timpul frânării prin flux. Astfel frânarea prin flux se poate utiliza pentru oprirea motorului şi de asemenea pentru trecerea de la o viteză la alta. Trebuie observat că nu este posibilă frânarea cu injecţie de c.c. (frânarea dinamică), care este o tehnică larg folosită. Alte avantaje ale frânării prin flux, comparativ cu frânarea prin injecţie de c.c. sunt:

• acţiunea de frânare începe imediat după ce este dată comanda STOP. În cazul injecţiei de c.c. există o întârziere de 500 ms după comanda STOP şi începutul frânării. Această întârziere este esenţială deoarece injecţia de c.c. este posibilă numai după ce fluxul motorului este redus suficient:


• răcirea motorului este mai eficientă. În timpul frânării prin flux cresc curenţii statorici iar la frânarea în c.c. cresc curenţii rotorici. Totuşi, statorul se răceşte mai eficient decât rotorul.

Este posibil să avem o frânare eficace utilizând un rezistor de frânare. Sub viteza nominală (de bază) se utilizează o valoare constantă a modulului fluxului statoric (tensiunea statorică creşte) iar peste viteza de bază (unde se atinge tensiunea limită a invertorului) modulul fluxului statoric se reduce invers proporţional cu viteza (slăbirea fluxului). În fig. (5.15) valorile reale (estimate) ale cuplului electrimagnetic (me) şi ale modulului fazorului spaţial al fluxului statoric sΨ se compară la fiecare 25 µs cu valorile lor interne de referinţă (impuse) care reprezintă ieşirea regulatorului cuplului de referinţă ( ) respectiv a regulatorului fluxului de referinţă, *eim

*isΨ . Erorile rezultate (

se,m Ψεε )

reprezintă semnalele de intrare în comparatoarele de cuplu electromgnetic şi respectiv de flux statoric, care – conform schemei ABB – sunt comparatoare cu histerezis cu două nivele. Un tabel de căutare al vectorului optim de comutaţie a invertorului determină comutaţiile optime ale invertorului în funcţie de ieşirile celor două comparatoare (dme şi dΨ) şi de poziţia (ρs) a fazorului spaţial al fluxului statoric. În acest scop se utilizează un procesor digital de semnal, foarte rapid, de 40 MHz împreună cu un ASIC. Toate semnalele de comandă se transmit prin legături optice pentru transmisii de date de mare viteză. Astfel se poate vedea că fiecare comutaţie a invertorului se determină separat, pe baza valorilor cuplului electromagnetic şi ale flulxului statoric (modulul şi unghiul fazorului spaţial al fluxului statoric) şi nu într-un mod predeterminat ca în alte acţionări de c.a. În acţionarea cu controlul direct al cuplului nu este necesar un modulator de lăţime a pulsului pentru reglarea separată a tensiunii şi frecvenţei. Datorită răspunsului extrem de rapid al cuplului (mai mic de 2 ms), acţionarea poate reacţiona imediat la schimbările dinamice cum ar fi schimbările bruşte ale sarcinii, întreruperea alimentării, supratensiuni etc. Deoarece selecţia vectorului de comutaţie determină tensiunile şi curenţii motorului, care influenţează pe rând cuplul electromagnetic şi fluxul rotoric, circuitele de reglare sunt circuite (bucle) închise. În controlul direct al cuplului unei acţionări cu motor asincron modulul fluxului statoric şi cuplul electromagnetic se menţin în interiorul benzilor lor de histerezis stabilite. Comutaţiile invertorului se modifică dacă valorile reale ale cuplului şi fluxului statoric diferă de valorile lor de referinţă mai mult decât permit benzile de histerezis. Când fazorul spaţial al fluxului statoric, care se roteşte, atinge limita superioară sau inferioară de histerezis se selectează un vector potrivit de comutaţie a tensiunii, care schimbă direcţia fazorului spaţial al fluxului statoric şi astfel îl forţează să fie în banda de histerezis necesară. Aceste aspecte ale selecţiei tabelei de comutaţie optimală s-au discutat în paragrafele 5.2.1, 5.2.2 şi 5.2.3. Ar trebui observat că, la frecvenţe reduse vectorii de comutaţie ai tensiunii în direcţie tangenţială (de exemplu u3, u6, etc.) au o puternică influenţă asupra cuplului electromagnetic. În controlul direct al cuplului există de asemenea posibilitatea de a regla frecvenţa de comutaţie a invertorului modificând parametrii de histerezis ca o funcţie de frecvenţă electrică. În acţionarea ABB cu control direct al cuplului se poate obţine o reglare optimă a cuplului fără utilizarea unui sensor de viteză. De exemplu, este posibil să avem un timp de creştere a cuplului electromagnetic mai mic de 5 ms cu un cuplu

120 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE electromagnetic de referinţă de 100%. Prin aplicarea unui cuplu de referinţă (impus) în locul unei viteze de referinţă, se poate menţine un anumit cuplu motor iar viteza se adaptează automat pentru a menţine cuplul de referinţă. Prin folosirea controlului direct al cuplului este de asemenea posibil să avem un cuplu de pornire maxim, controlabil şi deci o pornire lină. Conform schemei ABB, este posibil să funcţioneze controlul direct al cuplului la controlul motorului asincron chiar la viteză zero (nu la frecvenţă statorică zero) şi motorul să poată dezvolta cuplul nominal la acestă viteză, fără utilizarea unui encoder cu impusuri sau tahogenerator. Aceasta este o trăsătură importantă pentru diferite aplicaţii, ca de exemplu: elevatoare, lifturi, macarale, etc. Totuşi, dacă este necesară o funcţionare îndelungată la viteză zero, poate fi necesar un encoder cu impulsuri.

5.5 Concluzii Trăsăturile principale ale controlului direct al cuplului sunt:

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

reglarea directă a fluxului şi cuplului (prin selecţia vectorilor optimi de comutaţie a invertorului);

reglarea indirectă a curenţilor şi tensiunilor statorice;

curenţii statorici şi fluxurile statorice sunt aproximativ sinusoidale;

posibilitatea reducerii oscilaţiilor cuplului; oscilaţiile cuplului depind de durata de aplicare a vectorilor zero;

performanţă dinamică ridicată;

frecvenţa de comutaţie a invertorului depinde de lăţimea benzilor de histerezis ale fluxului şi cuplului.

Avantejele principale ale controlului direct al cuplului sunt:

absenţa transformărilor de coordonate (care sunt necesare în cele mai multe acţionări cu control vectorial);

absenţa blocului distict de modulaţie a tensiunii (necesar în acţionările vectoriale);

absenţa circuitelor de decuplare a tensiunii (necesare în acţionările vectoriale alimentate de la VSI);

absenţa diferitelor regulatoare (de exemplu, într-o acţionare cu motor asincron alimentat de la un VSI PWM există cel puţin patru regulatoare – a se vedea figurile (4.10) şi (4.12);

trebuie determinat numai sectorul în care se află fazorul spaţial al fluxului şi nu poziţia fazorului spaţial real (precizia minimă necesară este de 600 el. în comparaţie cu aproximativ 1,40 el. în acţionările vectoriale);

timp minim de răspuns al cuplului. Dezavantajele principale ale controlului direct al cuplului sunt:

probleme posibile în timpul pornirii, la funcţionarea cu viteze reduse şi în timpul schimbării comenzii cuplului;


•

•

•

necesitatea estimatoarelor de flux şi cuplu (aceleaşi probleme există şi pentru acţionările vectoriale);

schimbarea frecvenţei de comutaţie;

ondulaţia mare a cuplului.

122

6. REGLAREA FĂRĂ SENZORI A VITEZEI ŞI POZIŢIEI MOTOARELOR ASINCRONE

6.1. Introducere Primele încercări de a extrage semnalul de poziţie sau de viteză a unei maşini asin-crone s-au limitat la tehnici care sunt valabile în regim staţionar (permanent). Acestea pot fi utilizate în acţionările cu costuri reduse, care nu necesită performanţe dinamice ridicate. Pentru aplicaţii cu performanţe dinamice ridicate, cum este cazul acţionărilor cu orientare după câmp sau cu controlul direct al cuplului, trebuie aplicate alte tehnici. O trăsătură comună a multor tehnici "fără senzori" este aceea că ele depind de parametrii maşinii: aceştia pot depinde de temperatură, de nivelele de saturaţie, de frecvenţă, etc. Pentru a compensa variaţiile parametrilor, în literatura tehnică s-au propus diferite scheme de adaptare a parametrilor [21], [24]. Într-o acţionare fără senzori ideală, informaţia de viteză şi reglarea se prevede cu o precizie de 0,5% sau mai mare, de la viteza zero la viteza cea mai ridicată, pentru toate condiţiile de funcţionare şi independent de nivelele de saturaţie şi de variaţiile parametrilor. Într-o singură implementare industrială fără senzori şi cu controlul direct al cuplului, pentru a estima viteza se foloseşte un model matematic îmbunătăţit şi se pretinde că acţionarea poate lucra chiar la viteză zero. Tehnicile bazate pe inteligenţă artificiale (logică fuzzy, reţele neuronale, neuro-fuzzy) pătrund din ce în ce mai mult în acţionările fără senzori, astfel încât – pentru estimarea vitezei sau poziţiei – nu vor mai fi necesare modele matematice complicate. Într-o acţionare fără senzori, cu motor asincron, cu performanţe dinamice ridicate, tehnicile convenţionale nu sunt potrivite pentru a realiza o funcţionare stabilă la viteze foarte mici. În acest caz estimarea vitezei este problematică datorită nepotrivirii parametrilor şi zgomotului. Dacă motorul asincron se reprezintă prin modelul său fundamental, atunci la frecvenţa zero el devine neobservabil [21]. Este posibil, totuşi, pentru estimarea vitezei să se utilizeze diferite efecte (armonicile crestăturilor roto-rice, poli aparenţi, etc), dar semnalul armonic al crestăturii rotorice este insuficient (în lăţime de bandă) pentru un semnal de reacţie într-o acţionare de mare performanţă iar introducerea polilor aparenţi speciali necesită rotoare nestandardizate. Pe de altă parte, este posibil să se estimeze poziţia rotorului, la viteză foarte mică, chiar la frecvenţa zero – cu o lăţime de bandă mare – într-un motor asincron normal cu rotor în scurtcircuit prin utilizarea variaţiei inductanţelor maşinii cu unghiul rotorului

( )dtdiu sasa , ( )dtdiu sbsb şi ( )dtdiu scsc .

6.2. Estimatoare de viteză şi alunecare pentru aplicaţii cu performanţe reduse

Este posibil să se construiască un dispozitiv sensibil la alunecare, cu un cost redus, care să utilizeze tensiunile şi curenţii motorului asincron. Acesta poate fi obţinut prin simpla considerare a schemei echivalente în regim staţionar a motorului asincron

Reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone 123 [29]. Se poate observa că pentru valori mici ale alunecării, alunecarea (s) poate fi exprimată ca:

( )2

m

e1'r

U

M3Rs ⋅⋅=

ω , (6.1)

unde: 'rR este rezistenţa rotorică raportată la stator;

1ω este pulsaţia statorică;

reprezintă cuplul electromagnetic în regim staţionar; eM

mU este valoarea absolută a tensiunii de magnetizare.

Astfel monitorul alunecării utilizează cuplul electromagnetic monitorizat şi de asemenea tensiunea de magnetizare, care poate fi obţinută simplu din tensiunea la borne scăzând căderea de tensiune ohmică şi căderea de tensiune de scăpări a statorului. Cuplul electromagnetic se poate obţine din curenţii şi tensiunele monitorizate (prin utilizarea faptului că cuplul poate fi exprimat ca produs vectorial al fazorilor fluxului statoric şi curentului statoric iar fazorul fluxului statoric rezultă prin integrarea tensiunii statorice redusă cu fazorul spaţial al căderii de tensiune ohmice – relaţia (2.108)). Ca alternativă, cuplul electromagnetic poate fi obţinut din puterea electromagnetică:

1

ee

PMω

= . (6.2)

Puterea electromagnetică se poate determina ca diferenţa dintre puterea din circuitul intermediar de curent continuu al convertorului de alimentare şi pierderile în filtru, invertor şi statorul motorului:

( )siFdddce pppIUpPP ++−⋅=−= . (6.3)

În această schemă se monitorizează tensiunea şi curentul din circuitul intermediar de curent continuu. Lipsa acurateţei în determinarea diferitelor pierderi are un efect important în precizia estimării alunecării deoarece la valori reduse ale alunecării, aceste pierderi au un procentaj mare din puterea de intrare. În regim staţionar viteza unghiulară a rotorului poate fi obţinută ca :

( s11 )r −⋅= ωω . (6.4)

Este important de notat că schemele de monitorizare descrise mai sus nu pot fi folosite pentru condiţii nestaţionare (dinamice) şi prima schemă se poate utiliza numai pentru estimarea alunecării în jurul valorii sale nominale, deci pentru valori mici ale alunecării. Astfel, domeniul de viteză este limitat. Mai mult, în prima schemă – când se obţine tensiunea de magnetizare – tensiunea de scăpări a statorului conţine derivate ale curenţilor statorici şi aceasta poate produce probleme importante datorită conţinutului de zgomot în curenţii statorici. Tehnicile descrise se pot folosi numai în aplicaţii de performanţă redusă şi nu în acţionările de performanţă înaltă.


Fig. 6.1. Schema de reglare U/f folosind senzor de viteză.

Este de asemenea posibil să se utilizeze formula lui Kloss pentru determinarea alunecării în regim staţionar [29], dacă considerăm cunoscute alunecarea maximă (sk) şi cuplul maxim (Mk):

( )ssss2

MM

kkk

e+

≅ , (6.5)

unde cuplul electromagnetic poate fi estimat folosind una din tehnicile descrise mai sus. Mai mult, din ecuaţia (6.5) rezultă că pentru valori reduse ale alunecării, estimarea alunecării se poate baza pe:

kk

ess2

MM ⋅

≅ , (6.6)

iar pentru valori mari ale alunecării ea se poate obţine din:

ss2

MM k

k

e ⋅≅ , (6.7)

Într-o acţionare convenţională cu reglarea vitezei motorului asincron alimentat de la un invertor sursă de tensiune (VSI) cu reglarea fluxului în buclă deschisă folosind modelul staţionar al maşinii (reglare U / f = const.) se monitorizează viteza iar valoarea de referinţă (impusă) a pulsaţiei de alunecare se obţine la ieşirea regulatorului de viteză, cum se arată în figura 6.1. În această schemă pulsaţia statorică se obţine utilizând:

r*2

*1 ωωω += , (6.8)

iar constituie mărimea de intrare în generatorul de funcţie f(ω*1ω 1), care produce la

ieşire modulul tensiunii statorice de referinţă *su . Dacă se neglijează efectul

rezistenţei statorice, atunci – pentru a asigura fluxul statoric constant – se variază *su liniar cu frecvenţa statorică (deci funcţia f este o funcţie liniară de ω1). Totuşi, la

frecvenţe statorice reduse este important să considerăm efectul rezistenţei statorice şi atunci tensiunea statorică trebuie compensată (astfel funcţia f(ω1) nu este liniară).. Astfel o asemenea acţionare are o bună performanţă în regim staţionar dar performanţă dinamică redusă, deoarece ea se bazează pe circuitul echivalent în regim staţionar. Asemenea tuturor acţionărilor în buclă deschisă, o asemenea acţionare este sensibilă la diferite efecte secundare (variaţia parametrilor, de

Reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone 125 exemplu datorită variaţiei temperaturii). Într-o implementare cu cost redus a acţionării U/f, nu se utilizează compensarea alunecării, astfel că nu este necesară monitorizarea vitezei. O asemenea schemă de acţionare cu motor asincron alimentat de la VSI, având cost redus şi performanţă dinamică redusă, este reprezentată în figura 6.2. În această schemă nu se consideră frecvenţa de alunecare, astfel că se presupune . *

r1 ωω =

Când se integrează pulsaţia ω1 se determină poziţia (ε) a fazorului spaţial al tensiunii statorice (faţă de axa reală d a sistemului bifazat de referinţă fix, statoric). Astfel:

. (6.9) ( ) ( )∫= dttt 1ωε

Pe de altă parte, ieşirea generatorului de funcţie f(ω1) furnizează modulul tensiunii statorice de referinţă *

su . Acest generator de funcţie implementează, aşa cum s-a

spus anterior, caracteristica fU . Într-un sistem de axe dε – qε orientat după fazorul tensiunii statorice, acest fazor va avea numai componentă după axa dε adică

*s

*sd uu =ε şi . În această situaţie, componentele după cele două axe d – q

ale sistemului de referinţă fix se obţin folosind transformarea:

0u*sq =ε

( )*sq

*sd

j*sq

*sd ujueuju εε

ε ⋅+⋅=⋅+ ⋅ . (6.10)

Astfel εcosuu *s

*sd ⋅= şi εsinuu *

s*qd ⋅= , sunt intrările în modulatorul PWM (cum este

reprezentat în fig. 6.2). Tensiunile statorice de care avem nevoie în sistem trifazat se obţin ca:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅=⋅=34cosuu;

32cosuu;cosuu *

s*sb

*s

*sb

*s

*sa

πεπεε . (6.11)

Schema din fig. 6.2 conţine erori de viteză produse de sarcină (pentru sarcini mari eroarea este mare), deoarece s-a presupus că frecvenţa statorică este egală cu frecvenţa corespunzătoare vitezei unghiulare de referinţă a rotorului, ceea ce este corect numai dacă alunecarea este zero (mers în gol ideal). Rezultă că, pentru a asigura o reglare bună a vitezei în regim staţionar, trebuie să se folosească compensarea alunecării.

Fig. 6.2. Schema de reglare U/f, de cost redus, fără senzor de viteză.


Fig. 6.3. Schemă de reglare U/f fără senzori cu compensarea frecvenţei de alunecare folosind poziţia fazorului spaţial al tensiunii statorice.

În diferite implementări ale schemelor de reglare U/f cu compensarea alunecării este posibil să se obţină frecvenţa de alunecare folosind conceptele discutate mai înainte pentru estimarea alunecării. Se poate realiza o schemă simplă (fig. 6.3), care conţine compensarea frecvenţei de alunecare, dar în care frecvenţa de alunecare se obţine mai uşor într-un alt mod. În acest scop se utilizează faptul că frecvenţa de alunecare este proporţională cu cuplul electromagnetic, care – la rândul lui – este proporţional cu componenta în cuadratură a curentului (isqε) în sistemul de axe dε – qε orientat după tensiunea statorică (acest sistem de referinţă s-a introdus în legătură cu schema din fig. 6.2). Pentru aceasta se monitorizează componenta activă (isqε) a fazorului curentului statoric. Această componentă se poate obţine din monitorizarea curenţilor statorici, deoarece fazorul spaţial al curentului statoric în sistemul dε – qε se poate exprima ca:

( )sqsdj

sqsd ijieiji ⋅+⋅=⋅+ ⋅− εεε . (6.12)

unde este fazorul spaţial al curentului statoric în sistemul de referinţă fix dε

– qε. Astfel sqsd iji ⋅+

εεε cosijsinii sqsdsq ⋅⋅+⋅−= . Aceasta este motivul pentru care

transformarea este prezentată în schema de reglare reprezentată în fig. 6.3. Transformarea tensiunii este aceeaşi cu cea reprezentată în schema din figura 6.2.

ε⋅− je

Frecvenţa de alunecare se poate estima considerând că ea este proporţională cu componenta activă a curentului statoric, astfel că εω sq2 icˆ ⋅= unde c este o constantă. Regulatorul de viteză (fig. 6.3) furnizează valoarea de referinţă a curentului statoric activ ( )*

sqi ε şi când aceasta se compară cu valoarea reală a acestui curent, eroarea rezultată constituie intrarea în regulatorul curentului statoric activ. Ieşirea acestuia furnizează valoarea de referinţă a pulsaţiei statorice ( )*1ω , care

integrată ne va da unghiul ε, cum s-a precizat anterior. Diferenţa dintre ( )*1ω şi

valoarea estimată a pulsaţiei de alunecare va da viteza estimată a rotorului *2ω̂ rω̂ .

Considerând că 0iii scsbsa =++ , curenţii statorici pe axele d şi q (ale sistemului fix), isd şi isq, se pot obţine prin măsurarea numai a doi curenţi statorici (de exemplu isa şi isb). Se obţine (rel. 1.32): şi sasd ii = ( ) 3i2ii sbsasq ⋅+= .

Reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone 127 Schema prezentată conţine circuite de reglare pentru ambele mărimi (viteză şi curent statoric activ). Ea se poate utiliza pentru reglarea precisă a vitezei maşinii asincrone în regim staţionar pentru orice valoare a sarcinii. Reamintim că performanţa dinamică a acţionării este redusă, deoarece schema se bazează pe circuitul echivalent al maşinii în regim staţionar.

6.3. Estimatoare de viteză, poziţie şi flux pentru aplicaţii cu performanţe ridicate

6.3.1. Introducere

În cele ce urmează estimatoarele de viteză se obţin prin considerarea ecuaţiilor de tensiune ale maşinii asincrone. Schemele descrise în continuare monitorizează tensiunile statorice şi curenţii sau monitorizează curenţii şi reconstruiesc tensiunile statorice. Unele dintre aceste scheme de estimare se folosesc în acţionările electrice industriale, fără senzori de viteză, disponibile pe piaţă. Totuşi, este important de observat că, în general, precizia estimatoarelor în buclă deschisă depinde în mare măsură de precizia folosită pentru determinarea parametrilor maşinii. La viteze reduse ale rotorului, precizia estimatoarelor în buclă deschisă este redusă şi deviaţia parametrilor de la valorile lor reale are o mare influenţă asupra performanţei în regim staţionar şi în regim tranzitoriu a acţionărilor care folosesc estimatoare în buclă deschisă. O precizie mai mare este atinsă dacă fluxul statoric se obţine cu o schemă care evită integratoarele pure [21]. În general, estimatoarele în buclă deschisă depind de diferiţi parametri ai maşinii asincrone. Rezistenţa statorică (Rs) are un efect important asupra fluxului statoric, în special la viteze reduse şi dacă fluxul rotoric se obţine din cel statoric, atunci precizia fluxului rotoric este influenţată de rezistenţa statorică. Este posibil să avem mai degrabă o estimare precisă a rezistenţei statorice "fierbinţi" (la temperatură ridicată) prin folosirea modelului termic al maşinii asincrone. În unele scheme, fluxul rotoric estimat necesită cunoaşterea constantei de timp rotorice, care poate de asemenea varia, deoarece ea este raportul dintre inductivitatea proprie a rotorului şi rezistenţa rotorului; rezistenţa rotorului poate varia datorită temperaturii şi efectului pelicular iar inductivitatea proprie poate varia datorită efectului pelicular şi datorită efectelor saturaţiei. Schimbările rezistenţei rotorice datorită schimbărilor de temperatură sunt, în mod obişnuit, schimbări lente. Datorită saturaţiei fluxului principal, inductivitatea de magnetizare (Lm) se poate schimba şi astfel inductivitatea proprie a rotorului

se poate de asemenea schimba chiar dacă inductivităţile de scăpări (L

mrr LLL += σ

σs, Lσr) sunt constante. Schimbările inductivităţii proprii a rotorului datorită saturaţiei pot fi rapide. Datorită saturaţiei fluxului de scăpări, Lσs, Lσr şi inductivitatea tranzitorie a statorului ( )r2

ms's LLLL −= se pot de asemenea schimba.

Într-o acţionare cu reglarea cuplului, efectele parametrilor incorecţi au drept rezultat cuplu incorect, flux incorect, degradarea performanţei sistemului, etc.


6.3.2. Scheme îmbunătăţite pentru estimatoare de viteză, poziţie şi flux

Schema 1 Este posibil să obţinem direct o expresie pentru viteza rotorului folosind ecuaţia fazorială a tensiunii rotorice (rel. 2.18) exprimată în sistemul de referinţă fix d – q (λ = 0). Din (2.18) ecuaţia tensiunii rotorice după axa reală devine (a se vedea rel. 2.20), renunţând la indicele λ [21],

rqrrd

rdr dtdiR0 ΨωΨ

⋅++⋅= , (6.13)

unde, (conform 2.75)

sdmrdrrd iLiL ⋅+⋅=Ψ . (6.14)

Ecuaţia (6.13) conţine curentul rotoric în axa d care nu poate fi măsurat direct. Totuşi, înlocuind (6.14) în (6.13) rezultă viteza unghiulară ωr în funcţie de componenta după axa d a curentului statoric. Se obţine:

rqsdr

m

r

rdrdr i

TL

Tdtd ΨΨΨω ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+−−= . (6.15)

Această ecuaţie se poate utiliza pentru estimarea vitezei rotorului. Pentru aceasta trebuie estimate componentele fluxului rotoric după axa d şi axa q. Pentru aceasta se scriu ecuaţiile (2.74 şi 2.75) în sistemul d – q astfel:

rmsss iLiL ⋅+⋅=Ψ , (6.16)

smrrr iLiL ⋅+⋅=Ψ . (6.17)

Înlocuind ri (din rel. 6.16) în rel. 6.17, ţinând seama că rrr RLT = şi că

inductivitatea tranzitorie a statorului r2ms

's LLLL −= , rezultă:

( s'ss

m

rr iL

LL

⋅−⋅= Ψ )Ψ . (6.18)

Din ecuaţia (6.18) se obţine:

( sd'ssd

m

rrd iL

LL

⋅−⋅= Ψ )Ψ , (6.19)

( sq'ssq

m

rrq iL

LL

⋅−⋅= Ψ )Ψ . (6.20)

Derivata lui rdΨ se utilizează în rel. (6.15). Neglijând saturaţia, din (6.19) rezultă că:

Reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone 129

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=

dtdiL

dtd

LL

dtd sd'

ssd

m

rrd ΨΨ , (6.21)

Ecuaţiile (6.19 şi 6.21) conţin componentele fluxului statoric, care se pot obţine din ecuaţia (2.3):

sdssdsd iRudtd

⋅−=Ψ , (6.22)

sqssqsq iRudtd

⋅−=Ψ

. (6.23)

Ecuaţia (6.21), ţinând seama de (6.22), devine:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⋅=

dtdiLiRu

LL

dtd sd'

ssdssdm

rrdΨ , (6.24)

şi rdΨ rezultă printr-o integrare. În mod similar, rqΨ se obţine din:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−⋅=dtdi

LiRuLL

dtd sq'

ssqssqm

rrqΨ, (6.25)

prin integrare. O implementare posibilă este indicată în fig. 6.4. conform relaţiilor (6.24), (6.25) şi (6.15). Se poate observa că această schemă necesită diferiţi parametri ai maşinii care variază cu temperatura, efectul pelicular şi saturaţia. Deci se poate obţine o viteză precisă dacă aceşti parametri sunt precis cunoscuţi. La viteze reduse precizia acestei

Fig. 6.4. Estimator de viteză a rotorului utilizând două integratoare, două elemente derivative şi cinci parametri ai maşinii.

130 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE scheme este limitată, dar se pot obţine îmbunătăţiri folosind alte tehnici de estimare a fluxului. O schemă îmbunătăţită se obţine utilizând următoarea tehnică [21]. Din ecuaţia fazorială a tensiunii statorice, scrisă în sistem bifazat fix d – q (rel. 2.3), rezultă componentele bifazate ale derivatei fluxului statoric (ecuaţiile 2.5):

sdssdsd iRudtd

⋅−=Ψ , (6.26)

sqssqsq iRudtd

⋅−=Ψ

. (6.27)

Se orientează sistemul bifazat după fluxul statoric (fig. 4.14). În acest caz s

s

jss e λ

λ ΨΨ ⋅−⋅= (ecuaţia 2.13). Ecuaţia fazorială a tensiunii statorice în sistemul dλs

– qλs, orientat după fluxul statoric (ec. 2.15) devine:

sss

sss sssj

dtdiRu ΨωΨ

λλλ ⋅⋅++⋅= , (6.28)

deoarece sss sΨΨΨ λ == . Din ecuaţia (6.28) componentele după axele dλs şi qλs

vor fi:

dtdiRu s

sdssd ss

Ψλλ +⋅= , (6.29)

ssqssq sssiRu Ψωλλλ ⋅+⋅= . (6.30)

Din ecuaţiile (6.29) şi (6.30) rezultă:

ss sdssd

s iRudtd

λλΨ

⋅−= , (6.31)

şi

sss sqssqs iRu λλλ Ψω ⋅−=⋅ . (6.32)

Acestea constituie ieşirile din blocul (fig. 6.5). Prin integrarea ecuaţiei (6.31) rezultă fluxul statoric

sje λ⋅−

sΨ iar prin împărţirea relaţiei (6.32) cu sΨ şi apoi prin integrare rezultă poziţia fluxului statoric (unghiul λs). Aceste blocuri, care constituie estimatorul de flux, sunt marcate în schema din figura 6.5 prin blocul figurat cu linie punctată. În continuare, prin blocul de transformare polar-cartezian (P → C) se determină componentele fluxului statoric sΨ după axele d – q ataşate statorului.

sssd cosλΨΨ ⋅= şi sssq sinλΨΨ ⋅= (6.33)

În continuare utilizând relaţiile (6.19) şi (6.20) se determină fluxurile rotorice rdΨ şi

rqΨ , iar cu relaţia (6.15) rezultă viteza unghiulară a rotorului rω .


Fig. 6.5. Estimator de viteză a rotorului utilizând două integratoare, un element derivativ şi patru parametri ai maşinii

Estimatorul prezentat în figura 6.5 conţine un element derivativ pentru a obţine dtd rdΨ . Dacă se foloseşte un algoritm numeric potrivit, derivarea se poate executa

precis. Schema 2 Este posibil să obţinem o altă schemă de estimare a vitezei rotorului dacă ecuaţiile (6.19), (6.20) şi (6.24) se înlocuiesc în ecuaţia (6.15). Astfel rezultă:

( )sq'ssq

r

sdsd'ssd

r

sssdr iL

TdtdiLi

TLRu ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= ΨΨω . (6.34)

Ar putea fi arătat că aceeaşi expresie se poate obţine direct dacă se consideră ecuaţia tensiunii rotorice în axa d, ecuaţia (6.13) şi se înlocuiesc în aceasta ecuaţiile (6.20), (6.24) şi ( ) msdssdrd LiLi ⋅−= Ψ (care rezultă din definiţia fluxului statoric în axa d, rdmsdssd iLiL ⋅+⋅=Ψ ). Schema estimatorului folosind ecuaţia (6.34) este reprezentată în figura 6.6. Blocul estimator de flux poate fi implementat folosind oricare din tehnicile îmbunătăţite discutate mai devreme. Estimatorul de viteză din figura (6.6) necesită patru parametri ai maşinii şi precizia estimatorului depinde mult de aceştia. Totuşi, este posibil să se obţină rezultate satisfăcătoare până la 1 – 2 Hz. Ecuaţia (6.34) a rezultat folosind ecuaţia de tensiune a rotorului în axa d, dar dacă se utilizează ecuaţia de tensiune a rotorului în axa q, se poate obţine în mod asemănător:

( )sd'ssd

r

sqsq'ssq

r

sssqr iL

Tdtdi

LiTLRu ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= Ψ

Ψω . (6.35)

O implementare bazată pe ecuaţia (6.35) necesită aceeaşi complexitate ca aceea prezentată în figura (6.6). Totuşi, după cum se poate vedea din ecuaţia (6.35) rezultă că dacă se utilizează un alt estimator, în care fluxul după axa q se forţează să fie


Fig. 6.6. Estimator de viteză rotorică folosind două integratoare, un element derivativ şi patru parametri ai maşinii.

zero, schema se simplifică şi numărătorul nu va mai conţine sqΨ . Acest caz se va discuta în continuare. Schema 3 Există multe posibilităţi pentru a obţine viteza rotorului, dar este foarte simplu să folosim mai întâi ecuaţia de tensiune a rotorului în sistemul de referinţă fix, d – q şi apoi, ecuaţia rezultantă să se transforme în sistemul orientat după fluxul statoric [21]. Urmând această concepţie vor rezulta desigur ecuaţiile (6.34) şi (6.35). În acest scop se consideră fazorul spaţial al tensiunii rotorice în sistemul de referinţă statoric d – q. Acesta se obţine din ecuaţia (2.18) presupunând λ = 0 şi astfel:

λλ

λ ΨωΨ

rrr

rr jdt

diR0 ⋅⋅−+⋅= ,

sau renunţând la indicele λ şi notând 'rr ΨΨ λ = ; '

rr ii =λ vom avea:

'rr

'r'

rr jdtd

iR0 ΨωΨ

⋅⋅−+⋅= .

Fazorul spaţial al curentului rotoric se poate elimina considerând ecuaţia (5.3):

( sssm

'r iL

L1i ⋅−⋅= Ψ )

şi ecuaţia (5.4),


( s'ss

m

r'r iL

LL

⋅−⋅= Ψ )Ψ .

Deoarece:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−⋅=dtid

LiRuLL

dtd s'

ssssm

r'rΨ

,

înlocuind expresiile pentru 'ri , 'rΨ şi dtd '

rΨ în ecuaţia tensiunii rotorice rezultă:

( )s'ssr

r

ss'ss

r

sss iLj

Tdtid

LiTLRu ⋅−⋅⋅+−=⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− Ψω

Ψ. (6.36)

Se observă că, aşa cum era de aşteptat, părţile reale şi imaginare ale ecuaţiei (6.36) sunt ecuaţiile (6.34) respectiv (6.35). Ecuaţia (6.36) este o formă specifică a ecuaţiei tensiunii rotorice într-un sistem de referinţă fix, d – q. Când această ecuaţie se raportează la un sistem de referinţă rotativ, orientat după fazorul spaţial al fluxului statoric, a cărei viteză este dtd ss

λωλ = (fig. 4.14) atunci, conform relaţiei (1.36), rezultă:

( )sss

s

js

's

jsr

j

r

s

js'ss

r

sss

eiLejeT

edtid

LiTLRu

λλλ

λ

ΨωΨ ⋅−⋅−⋅−

⋅−

⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅−=

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

. (6.37)

Din partea dreaptă a ecuaţiei (6.37):

sssqsdsj

s ssss je ΨΨΨΨΨΨ λλλ

λ ==⋅+==⋅ ⋅− ,

şi

sss

s sqsdsj

s ijiiei λλλλ ⋅+==⋅ ⋅− .

reprezintă fazorii spaţiali ai fluxului statoric şi respectiv curentului statoric în sistemul de referinţă orientat după fluxul statoric. Astfel se poate scrie:

( )s

ss

'ssr

r

sjs'ss

r

sss iLj

Te

dtid

LiTLRu λ

λ ΨωΨ

⋅−⋅⋅+=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ⋅− . (6.38)

Părţile reale şi imaginare ale ecuaţiei (6.38) conduc la:

ss sq

'sr

r

s*sd iL

Tu λλ ωΨ

⋅⋅+−= ; (6.39)

( )ss sd

'ssr

*sq iLu λλ Ψω ⋅−⋅= , (6.40)


Fig. 6.7. Estimator de viteză utilizând schema 3.

unde:

sss

js'ss

r

sss

*sq

*sd e

dtid

LiTLRuuju λ

λλ⋅−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⋅+ (6.41)

şi sqsds ujuu ⋅+= , sqsds ijii ⋅+= . Din ecuaţia (6.40) rezultă că:

( )ss sd

'ss

*sqr iLu λλ Ψω ⋅−= . (6.42)

Cum era şi de aşteptat numărătorul ecuaţiei (6.42) conţine numai şi nu conţine

componenta

*sq su λ

sqΨ a fluxului statoric (a se vedea ecuaţia (6.35)). Fizic, aceasta se datoreşte faptului că în sistemul de referinţă orientat după fluxul statoric componenta în cuadratură a fluxului statoric este zero. În figura (6.7) este implementată ecuaţia (6.42) ţinând seama şi de ecuaţia (6.41). Această schemă conţine din nou patru parametri ai maşinii şi poate da rezultate satisfăcătoare chiar la viteze foarte reduse. Tensiunile statorice pot fi monitorizate sau pot fi reconstruite din tensiunea de c.c. din circuitul intermediar al convertorului şi din stările de comutaţie ale invertorului (a se vedea subcap. 5.4). Un estimator de viteză bazat pe ecuaţia (6.42) se poate utiliza eficace, în schemele de reglare cu orientare după fluxul statoric, chiar la frecvenţe statorice relativ reduse. Dacă viteza rotorului este determinată de ecuaţia (6.40), atunci utilizând ecuaţia (6.39), este posibil să se obţină o expresie pentru constanta de timp Tr a rotorului şi aceasta se poate folosi pentru a monitoriza schimbările lui Tr . Pentru estimatorul de

Reglarea fără senzori a vitezei şi poziţiei motoarelor asincrone 135 flux se poate utiliza cel din figura (6.5) (blocul figurat cu linie întreruptă) sau se pot folosi oricare din tehnicile îmbunătăţite descrise anterior. Trebuie să arătăm că este posibil să se construiască un estimator de flux statoric sau rotoric în care problemele de derivă, asociate cu cele ale integratoarelor "pure" în buclă deschisă la frecvenţă redusă, sunt evitate printr-o integrare într-o bandă limitată a componentelor de frecvenţă ridicată şi prin înlocuirea estimării imprecise a fluxului la frecvenţă sub T1 cu valoarea sa impusă într-o tranziţie uşoară. În acest scop se utilizează un element inerţial de ordinul întâi, cum se arată în figura (6.8). Intrările estimatorului de flux din figura (6.8) sunt valorile monitorizate ale fazorului spaţial al tensiunii statorice ( )su şi ale fazorului spaţial al curentului statoric ( )si în sistemul de axe staţionar (d – q). O a treia intrare este modulul valorii impuse a

fazorului spaţial al fluxului statoric ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ *

sΨ , exprimat în acealşi sistem de axe. Fazorul

spaţial al valorii impuse a fluxului statoric *sΨ conţine două componente *

sdΨ şi *sqΨ .

Din ecuaţia (2.3) fazorul spaţial al tensiunilor statorice induse este:

dtd

iRuu sssssi

Ψ−=⋅−=

şi, într-un estimator de flux statoric în buclă deschisă – utilizând un integrator "pur" – valoarea sa integrată ( )∫ dtusi va produce fazorul spaţial al fluxului statoric sΨ .

Totuşi, în figura (6.8) siu este multiplicat cu T. Fazorul spaţial al fluxului statoric

impus adunat cu siuT ⋅ produce *ssiuT Ψ+⋅ . Aceasta constituie intrarea în elementul

inerţial de ordinul întâi, cu funcţia de transfer ( ) ( )Ts11sY ⋅+= . La ieşirea acestui element se obţine valoarea estimată a fazorului spaţial al fluxului statoric sΨ̂ . Se

poate vedea că dacă *sΨ este egal cu sΨ atunci ieşirea ( )sΨ̂ este exact sΨ . În figura

(6.8) se foloseşte un convertor cartezian-polar (C→P) care produce modulul *s

*s

ˆˆ ΨΨ = şi unghiul al fazorului spaţial al fluxului statoric în sistemul de referinţă

fix (fig. 4.14). Este posibil să se obţină o estimare a fazorului spaţial al fluxului rotoric, exprimat în sistemul de referinţă fix,

sλ̂

'rΨ , considerând că, din ecuaţia (5.4):

'r

r

ms

'ss L

LiL ΨΨ ⋅+⋅= ,

unde este inductivitatea statorică tranzitorie şi această estimare este de

asemenea prezentată în figura (6.8). Astfel se obţine

'sL

( ) 'rrm ˆLL Ψ⋅ şi folosind un alt

convertor C→P se obţin ( ) 'rrm ˆLL Ψ⋅ şi rλ̂ . Această schemă de estimator se poate

folosi în sistemul de reglare cu orientare după fluxul statoric şi după fluxul rotoric cât şi în acţionările cu controlul direct al cuplului. În acţionările cu orientare după fluxul


Fig. 6.8. Estimator de flux folosind un element inerţial de ordinul întâi.

statoric, fazorul spaţial *sΨ̂ se poate obţine din modulul fazorului spaţial al fluxului

statoric impus *sΨ̂ , care este una din intrările în schema de reglare cu orientare

după fluxul statoric considerând că:

sj*s

*s eˆˆ λΨΨ ⋅⋅= ,

unde este unghiul fazorului spaţial al fluxului statoric cu axa reală a sistemului de referinţă staţionar (fix).

sλ

Trebuie observat că pentru funcţionarea la frecvenţă redusă, în schema din figura (6.8), elementul inerţial are o funcţie de transfer aproximativ unitară şi astfel ieşirea sa devine aproape egală cu *

sΨ , deoarece siu este mic. Aceasta este în acord cu ceea ce s-a stabilit mai înainte. Totuşi, la frecvenţe statorice ridicate, funcţia de transfer a elementului inerţial este aproximativ egală cu cea a unui integrator şi urmează că cele două acţiuni se comută în jurul frecvenţei statorice T1 . Constanta de timp ar trebui aleasă astfel încât ea să minimizeze eroarea de estimare când are loc producerea comutaţiei. O valoare potrivită pentru T este rTT = , unde Tr este constanta de timp rotorică; aceasta dă un estimator cu o sensibilitate minimă a parametrilor. Schema 4 În cele ce urmează se va prezenta un estimator de viteză a rotorului care foloseşte viteza unghiulară a fazorului spaţial al fluxului rotoric. Acesta necesită estimarea frecvenţei de alunecare potrivite. Schema este una care se utilizează în acţionările fără senzori, de înaltă performanţă, introduse recent pe piaţă. În aceste implementări comerciale tensiunile statorice nu se monitorizează ci se reconstruiesc din tensiunea de c.c. din circuitul intermediar şi din stările de comutaţie ale invertorului (a se vedea


subcap. 5.4). Este posibil să implementăm un estimator al pulsaţiei de alunecare (ω2) cu considerarea ecuaţiei tensiunii rotorice a motorului asincron (ec. 2.18):

Fig. 6.9. Diagramă fazorială pentru orientare dupăfluxul rotoric.

( ) ,

rr

r

r

rr

rrr

jdt

diR0

λλ

λλ

Ψωω

Ψ

⋅−⋅−

−+⋅= (6.43)

unde rrλ

Ψ este fazorul spaţial al

fluxului rotoric în sistemul de referinţă dλr – qλr ataşat fluxului rotoric (fig. 6. 9) şi definit de ecuaţiile:

rrr rΨΨΨ λ ==

şi,

rrr smrrrr iLiL λλλ ΨΨ ⋅+⋅== .

Din ecuaţia (4.1) de definiţie a curentului de magnetizare corespunzător fluxului rotoric rezultă:

mrmr iLr

⋅=λΨ . (6.44)

Înlocuirea ecuaţiei (6.44) în ecuaţia (6.43) conduce la următoarea ecuaţie diferenţială a tensiunii rotorice, dacă se neglijează saturaţia magnetică (Lm = const.):

( ) mrmrmr

mrr iLjdt

idLiR0

rr⋅⋅−⋅+⋅+⋅= ωωλλ . (6.45)

Din ecuaţia (4.5) se poate scrie:

r

smrr 1

iii r

r σλ

λ +

−= .

Prin înlocuirea acesteia în ecuaţia (6.45) şi prin împărţirea cu Rr, se obţine o ecuaţie care se poate pune sub forma ecuaţiei unui element inerţial de ordinul întâi astfel:

( ) mrrrsmrmr

r iTiidt

idT

rr⋅⋅−−=+⋅ ωωλλ . (6.46)

Rezolvând componentele după axa reală şi imaginară se obţin ecuaţii extrem de simple care descriu modelul de flux rotoric în sistemul de referinţă orientat după

138 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE fluxul rotoric:

rsdmr

mrr ii

dt

idT λ=+⋅ , (6.47)

mrr

sqr

iT

ir

r ⋅+= λ

λ ωω . (6.48)

În ecuaţia (6.48) termenul ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅ mrrsq iTi

rλ reprezintă, conform ecuaţiei (6.8), pulsaţia

de alunecare a fluxului rotoric ω2 şi urmează că viteza unghiulară a fluxului rotoric

rλω este egală cu suma dintre viteza unghiulară a rotorului şi pulsaţia de alunecare a

fluxului rotoric ω2. Dacă mri este constant, din ecuaţia (6.47) rezultă că rsdmr ii λ= .

Modulul fazorului spaţial al fluxului rotoric poate fi menţinut constant, la un nivel dorit, prin reglarea componentei curentului statoric în axa directă , cum se vede din ecuaţia (6.47), dacă nu există slăbire de câmp (sub viteza de bază). Cuplul electromagnetic este determinat de curentul statoric din axa în cuadratură , conform cu ecuaţia (4.8). Din ecuaţia (6.48) pulsaţia de alunecare a fluxului rotoric este:

rsdi λ

rsqi λ

mrr

sq2

iT

ir

⋅= λω . (6.49)

Trecerea de la sistemul bifazat d – q la sistemul (dλ – qλ) se face conform ecuaţiei (1.41):

[ ] ( )[ ] [ ]⊥⊥ ⋅= srs iDir

λλ

sau

. (6.50) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sq

sd

rr

rr

sq

sdii

cossinsincos

ii

r

r

λλλλ

λ

λ

Înlocuind expresia lui din ecuaţia (6.50) în ecuaţia (6.49) se obţine: rsqi λ

mrr

rsqrsd

mrr

sq2

iT

cosisini

iT

ir

⋅

⋅+⋅−=

⋅=

λλω λ . (6.51)

unde λr este unghiul fluxului rotoric faţă de axa directă a sistemului de referinţă staţionar (fig. 6.9).


Considerând că modulul fluxului rotoric se poate exprima cu mrmr iL ⋅=Ψ –

conform ec. (4.1) şi folosind de asemenea relaţiile: rrqrsin ΨΨλ = ;

rrdrcos ΨΨλ = (fig. 6.9), ecuaţia (6.51) poate fi scrisă ca:

( sqrdsdrq2rr

m2 iiT

L⋅+⋅−⋅

⋅= ΨΨ

Ψω ) . (6.52)

Ecuaţia (6.52) poate fi utilizată pentru monitorizarea pulsaţiei de alunecare cu ajutorul monitorizării curenţilor statorici şi folosind fluxul rotoric. Fluxul rotoric poate fi estimat în diferite moduri, de exemplu folosind ecuaţiile (6.19) şi (6.20). Aceste expresii conţin fluxul statoric, care poate fi estimat din tensiunile şi curenţii statorici, cum s-a descris anterior. O altă cale este aceea de a reformula ecuaţia (6.52) considerând expresia cuplului elecromagnetic dată de ecuaţia (4.9) scrisă astfel:

rr sqr

r

msqr

re i

LLp

23i

1p

23m λλ ΨΨ

σ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

+⋅= .

Înlocuind din această relaţie, în ecuaţia (6.51) – după efectuarea calculelor – rezultă:

rsqi λ

2r

re2

Rmp32

Ψω ⋅

⋅⋅

= . (6.53)

Expresia conţine modulul fluxului rotoric şi de asemenea modulul cuplului electromagnetic. Cuplul electromagnetic se poate de asemenea substitui prin ecuaţia (2.97) ( ) ( )sdsqsqsde ii2p3m ⋅−⋅⋅= ΨΨ , unde sdΨ şi sqΨ sunt fluxurile statorice în sistemul de referinţă staţionar şi monitorizarea lor a fost de asemenea discutată anterior. Este de asemenea posibil să se obţină o expresie pentru viteza rotorului considerând că din ecuaţia (6.8) rezultă că:

2r rωωω λ −= , (6.54)

unde rλω este viteza fluxului rotoric (faţă de stator), dtd rr

λωλ = şi 2ω este pulsaţia

de alunecare (dată de exemplu de ecuaţiile (6.52) şi (6.53)). Cu alte cuvinte 2ω este viteza unghiulară a fazorului spaţial al fluxului rotoric faţă de rotor. Este posibil să se obţină o expresie pentru

rλω pe baza componentelor fluxului rotoric cu ajutorul

dezvoltării derivatei dtd rλ . Deoarece fazorul spaţial al fluxului rotoric exprimat în sistemul de referinţă staţionar, fix, este:

rjrrqrd

'r ej λΨΨΨΨ ⋅⋅=⋅+= ,

atunci ( )rdrqr arctg ΨΨλ = şi urmează că:


( )[ ] ,2rq

2rd

rdrqrqrdrdrq

r dtddtdarctg

dtd

dtd

r ΨΨ

ΨΨΨΨΨΨλωλ

+

⋅−⋅===

Numitorul conţine 2rΨ . Substituind ecuaţia (6.55) în ecuaţia (6.54) şi considerând

(6.52) sau (6.53) în final obţinem:

( )sqrdsdrq2rr

m2

r

rdrqrqrd

2r

iiT

Ldtddtdr

⋅+⋅−⋅⋅

−⋅−⋅

=

=−=

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨωωω λ

, (6.56)

sau

2

r

re2

r

rdrqrqrd

2r

p3

Rm2dtddtdr

ΨΨ

ΨΨΨΨωωω λ

⋅⋅

⋅⋅−

⋅−⋅=

=−=

. (6.57)

Se poate construi un estimator de viteză care monitorizează curenţii statorici şi componentele fluxului rotoric, care se pot obţine din componentele fluxurilor statorice cum s-a discutat anterior. Din ecuaţia (5.4) se poate scrie:

dtd

LL

dtid

Ldtd r

r

ms's

s ΨΨ+⋅= . (6.58)

Pe de altă parte:

ssss iRu

dtd

⋅−=Ψ

. (6.59)

Din ecuaţiile (6.58) şi (6.59) rezultă imediat:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−⋅−⋅=dtid

LiRuLL

dtd s'

ssssm

rrΨ. (6.60)

Conform relaţiei (6.59) fluxul statoric se obţine monitorizând curenţii statorici şi monitorizând sau reconstruind, tensiunile statorice. O implementare posibilă, utilizând ecuaţiile (6.60) şi (6.56), este prezentată în figura (6.10). Aceasta conţine următorii trei parametri ai maşinii: , şi sR

'sL rmr LLk = . Pentru implementarea

digitală este posibil să se utilizeze diferite forme, inclusiv forma discretă [21]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kikkikkTL

kk1kk1kk

sqrdsdrq2

rrm

2rrdrqrqrdr

⋅+⋅−⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−

−⋅−−⋅−=

ΨΨΨ

ΨΨΨΨΨω, (6.61)

unde ( ) ( )[ ] ( )[ ]2rq2

rd2

r 1k1kk −+−= ΨΨΨ .


Fig.

6.1

0. E

stim

ator

de

vite

ză ro

torică

folo

sind

două

inte

grat

oare

, do

uă e

lem

ente

der

ivat

oare

şi t

rei

para

met

ri ai

maş

inii.

142 ACŢIONĂRI ELECTRICE REGLABILE CU MAŞINI ASINCRONE Deoarece această ecuaţie conţine o eroare de modelare, care are drept rezultat o eroare a vitezei rotorice estimate, pentru înlăturarea acestei erori, în practică, se poate utiliza un filtru trece-jos. Trebuie observat că într-o acţionare cu orientare după câmp, se poate obţine o estimare destul de precisă a vitezei rotorului dacă pulsaţia de alunecare din ecuaţia (6.57) se înlocuieşte cu valoarea sa de referinţă (impusă). De exemplu, într-o acţionare cu reglare după fluxul rotoric (fig. 4.3) unde se utilizează valorile şi *

sq ri λ

*mri ;

*mrr

*sq*

2iT

ir

⋅= λω sau 2*

r

r*e*

2p3

Rm2

Ψω

⋅⋅

⋅⋅= .

Schema din figura (6.10) care foloseşte ecuaţiile (6.56) sau (6.57) este cea mai simplă şi cea mai precisă. Dacă pentru a se obţine estimările fluxului se utilizează tensiunile şi curenţii statorici, atunci prin considerarea variaţiei termice a rezistenţei statorice (de exemplu, prin folosirea unui model termic) şi de asemenea prin folosirea inductivităţilor saturate potrivite, precizia estimării se poate îmbunătăţi mult. O acţionare de reglare a cuplului (cu orientare după câmp sau cu controlul direct al cuplului) fără senzori, de performanţă ridicată, folosind acest tip de estimator de viteză va funcţiona cu succes chiar la viteze extrem de scăzute (inclusiv viteză nulă), dacă estimatorul de flux este un observator în buclă închisă.

143

BIBLIOGRAFIE

1. Hasse, K. Zur Dynamik Drehzahlgeregelter Antriebe mit Strom-richtergespeisten Asynchron – Kurtzschlusslaufermaschinen. Ph. D. Dis-sertation. Tech. Hochschule Darmstadt, 1969.

2. Blaschke, F. Das Verfahren der Feldorientierung zur Regelung der Drehfeldmaschine. Ph. D. Dissertation. Tech. Universität Braunschweig, 1973.

3. Leonhard, W. Regelung in der elektrischen Antriebstechnik. Teuber Studienbücher, Stuttgart, 1974.

4. Nedelcu, V. N. Teoria conversiei electromecanice. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1978.

5. Leonhard, W. Control of electrical drives. Springer – Verlag, Berlin, 1985. 6. Kelemen, A. şi Imecs, M. Sisteme de reglare cu orientare după câmp ale

maşinilor de curent alternativ. Institutul Politehnic, Cluj-Napoca, 1987. 7. Vas, P. Electrical machines and drives: a space-vector theory approach.

Oxford University Press, 1992. 8. Depenbrock, M. Direct self-control (DSC) of inverter-fed induction machine.

IEEE Transactions on Power Electronics 3, 1988, 420 – 9. 9. Takahashi, I. and Noguchi, T. A new quick response and high efficiency

control strategy of an induction motor. IEEE IAS Meeting, 1985, pp. 496 – 542.

10. Takahashi, I. and Ohmori, Y. High performance direct torque control of an induction machine. IEEE Transactions on Ind. Applications IA – 25, 1989, 257 – 64.

11. Baader, U. Depenbrock, M. and Gierse, G. Direct self control (DSC) of inverter-fed induction machine: a basis for speed control without speed measurement. IEEE Transactions on Ind. Applications IA – 28, 1992, 581–8.

12. Boldea, I. and Nasar, S.A. Torque vector control (TVC) – a class of fast and robust torque – speed and position digital controllers for electric drives. Electric Machines and Power Systems, 16, 1988, 135 – 47.

13. Holtz, J. and Bube, E. Field-oriented asynchronous pulse-width modulation for high-performance a.c. drives operating at low switching frequence. IEEE Transactions on Ind. Applications 27, 1991, 574-9.

14. Casadei, D. Grandi, G. and Serra, G. Rotor flux oriented torque control of induction machines based on stator flux vector control. EPE, Brighton, 1993, pp. 67 – 72.

15. Jonsson, R. and Leonhard, W. Control of induction motor without a mechanical sensor, based on the principle of natural field orientation. IPEC. Yokohama, 1995, pp. 298 – 303.


16. Kreindler, L. Moreira, J. C., Testa, A. and Lipo, T.A. Direct field orientation controller using stator phase voltage third harmonic. IEEE Transactions on Ind. Applications. IA – 30, 1994, 441-7.

17. Li, Y. D., Shao, J. W., Cao, J. T., and Ji, Z. Y. Direct torque control of induction motors using DSP. ICEM, 1993, Paris, pp. 18 – 23.

18. Miyashita, I., Imayanagida, A., and Koga, T. Recent industrial Application of speed sensorless vector control in Japan. IEEE IECON, 1994, pp. 1573 – 8.

19. Nilsen, R. and Kasteenpohja, T. Direct torque controlled induction motor drive utilised in an electrical vehicle. EPE. Seville, 1995, pp. 2877 – 2882.

20. Vas, P. Application of space-vector techniques to electrical machines and variable-speed drives. EPE tutorial, 1995, Seville, pp. 1 – 130.

21. Vas, P. Sensorless vector and direct torque control. Oxford University Press, 1998.

22. Novotny, D. W. and Lipo, T. A. Vector control and dynamics of AC drives. Oxford University Press, 2000.

23. Rajashekara, A., Kawamura, A. and Matsuse, K. Sensorless control of AC motor drive. IEE Press Book, 1996.

24. Holtz, J. and Quan, J. Sensorless vector control of induction motors at very low speed using nonlinear inverter model and parameter identification. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, Chicago, Sept. 30 Oct. 4, 2001.

25. Kenny, B. H. and Lorentz, R. D. Stator-and rotor-flux-based deadbeat direct torque control of induction machines. IEEE Trans. Ind. Appl., vol 39, no. 4, 2003, pp. 1093 – 1101.

26. Idris, N. R. N. and Yatim, A. H. M. Direct torque control of induction machines with constant switching frequency and reduced torque ripple. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 51, 2004, pp. 758 – 767.

27. Carnana, C. Sensorless vector control of cage induction machines using signal injection techniques. Ph. – D. Dissertation. University of Nottingham, 2004.

28. Ryu, J. H., Lee, K. W. and Lee, J. S. A unified flux and torque control method for DTC-based induction-motor drives. IEEE Trans. on Power Electronics, vol. 21, no. 1, 2006, pp. 234 – 242.

29. Ţopa, I., Dănilă, A. şi Diaconu, L. Elemente de execuţie electrice. Editura MATRIX ROM, Bucureşti, 2005.

Carte_Actionari Electrice Reglabile Cu Masini Asincrone

Documents

Transcript of Carte_Actionari Electrice Reglabile Cu Masini Asincrone