Cap1.Calcularea Indicilor Tendintelor Centrale

8/17/2019 Cap1.Calcularea Indicilor Tendintelor Centrale

1/13

Indicatorii tendintei centrale sunt utilizati în analiza statistica a fenomenelor demasa, reprezentând expresia sintetizarii într-un singur nivel reprezentativ a ceea ce esteesential, tipic si general în aparitia, manifestarea si dezvoltarea fenomenelor.

Principalii indicatori ai tendintei centrale sunt:

1. valoarea medie ( );

2. valoarea mediana (M);

3. valoarea dominanta (D).

xemplu:

!otele o"tinute la examen de cinci studenti sunt urmatoarele: 1#, $, %, 1#, &.

Pentru a analiza pe ansam"lu situatia celor cinci studenti, se calculeaza cei trei

indicatori:

- media 'nota medie(, care se determina ca raport între suma notelor o"tinute sinumarul studentilor:

- mediana 'nota mediana(, care este valoarea ce împarte seria de studenti îndoua parti egale: )#* se situeaza su" nota mediana, )#* se situeaza pestenota mediana; se determina ca valoare 'nota( centrala, dupa aran+area valorilor

seriei în ordine crescatoare sau descrescatoare.

valori în ordine crescatoare:

&, $, %, 1#, 1#

M % ')#* dintre studenti au o"tinut note su" %, iar )#* peste %(

- dominanta 'nota dominanta(, reprezentând nota care se înregistreaza la cei

mai multi studenti:

D 1# 'pentru ca aceasta nota apare la un numar de doi studenti, în timpce notele celelalte apar la câte un singur student(.

a urmare s-au calculat cei trei indicatori ai tendintei centrale, care caracterizeaza seria statisticarespectiva:


2/13

%,&

M %

D = 1#

alorile acestora sunt diferite, urmare a faptului ca si continutul si semnificatiaindicatorilor difera.

4.1. Mediile

Principalele caracteristici ale mediilor:

1. /ediile sunt indicatorii statistici cu cel mai mare grad de aplica"ilitate practica.

2. /ediile se prezinta ca marimi cu caracter a"stract, în sensul ca valoarea medie- de cele mai multe ori - nu coincide cu niciuna dintre valorile individuale din care s-a

calculat 'în exemplul anterior, niciunul dintre studenti nu a o"tinut nota %,&(.

3. /edia este nivelul la care ar fi a+uns caracteristica înregistrata, daca, în toatecazurile, toti factorii esentiali si neesentiali ar fi actionat constant.

4. Pentru a asigura un continut real mediilor calculate, valorile individuale dincare se o"tin tre"uie sa fie cât mai apropiate, sa existe o omogenitate a colectivitatii. 0ncazul eterogenitatii colectivitatii, aceasta tre"uie separata pe grupe calitative pentru carese calculeaza medii partiale.

5. 0n analiza statistica se calculeaza mai multe tipuri de medii:

- media aritmetica;

- media armonica;

- media patratica;

- media geometrica;

- media cronologica.

0n practica, marimile medii nu se folosesc la întâmplare. 0n functie de specificul si de

proprietatile fenomenului respectiv se utilizeaza una sau alta dintre medii.

0n continuare, se prezinta detaliat media aritmetica, urmând ca si celelalte tipuri de medii sa fietratate la temele urmatoare.

Media aritmetica ( )


3/13

/edia aritmetica este rezultatul sintetizarii într-o singura expresie numerica a tuturor nivelurilor individuale o"servate si se calculeaza prin raportarea valorii totalizate acaracteristicii la numarul total al unitatilor.

ormula de calcul

A. pentru seriile simple, adica în cazul în care numarul variantelor caracteristiciistudiate este egal cu numarul unitatilor.

fie caracteristica X cu variantele X 1, X 2 ,..., X n, în care :

, unde n numarul unitatilor.

înlocuind fiecare valoare X i cu se o"tine:

rezulta formula de calcul pentru media aritmetica simpla:

xemplu:

Pentru cei 1# anga+ati ai unei firme s-au înregistrat în luna septem"rie 2##$,urmatoarele salarii lunare "rute 'în unitati monetare - um(:

%##; ##; ##; ##; 1###, ##, ##; 1###; %##; 11##.

4a se calculeze salariul mediu lunar la nivelul firmei.

5a nivelul firmei, salariile au variat între %## um si 11## um, iar salariul mediu a fost de # um.

B. pentru seriile cu distributie de frecvente , adica în cazul în care variantelecaracteristicii se înregistreaza de mai multe ori 'în exemplul anterior acelasi salariu


4/13

este înregistrat la mai multi salariati: ## um la 3 salariati, 1### um, ## um si %##um la câte 2 salariati, 11## um la 1 salariat.

formula de calcul pentru media aritmetica ponderata este urmatoarea:

unde:

f i = frecventa a"soluta înregistrata la valoarea X i a caracteristici;

frecventa relativa 'ponderea( înregistrata la valoarea X i a

caracteristicii;

m numarul de grupe ale caracteristicii 6.

xemplu:

Pentru cei 1# anga+ati ai firmei 'din aplicatia anterioara( salariile lunare "rute înregistrate în lunaseptem"rie 2##$ sunt urmatoarele:

7a"elul &.1

Calculul mediei aritmetice ponderate

Salariul brut

- um -

X i

Numar

salariati

- pers -

f i

700

800

900

1000

1100

2

2

3

2

1

1400

1600

2700

2000

1100

0,2

0,2

0,3

0,2

0,1

Total

4alariul mediu se poate calcula în doua moduri:


5/13

a. pe baza frecventelor absolute

b. pe baza frecventelor relative

0n unele cazuri, varia"ila X i nu este definita printr-un set de valori 'de exemplusalariul de %##, ##, ##, 1###, 11## um(, ci printr-un set de intervale egale 'sauinegale( de grupare, de exemplu:

700 - 800

800 - 900

900 - 1000

1000 - 1100

1100 - 1200

8ceasta situatie este întâlnita, de regula, atunci când numarul unitatilor de o"servare este foartemare si, în plus, nu sunt cunoscute valorile individuale, ci numai încadrarea lor într-un anumitinterval.

alculul mediei aritmetice ponderate se efectueaza pe "aza acelorasi relatii.9eoarece fiecare grupa nu este caracterizata de o anumita valoare X i a caracteristicii, cide un interval, prin conventie se sta"ileste ca valoarea corespunzatoare fiecarui intervalsa fie centrul intervalului de grupare 'media aritmetica simpla a limitei inferioare si alimitei superioare a intervalului(.

xemplu:

Pentru o firma cu 2## de anga+ati se cunosc urmatoarele informatii privind salariul"rut realizat în luna septem"rie 2##$:

7a"elul &.2

Calculul mediei aritmetice ponderate

Grupe de

salarii

Numar de

salariati

Centrul

intervalului- %


6/13

- um - f i - um -

X i

< 700

700 - 800

800 - 900

900 - 1000

1000 -

1100

> 1100

10

40

60

40

30

20

650

750

850

950

1050

1150

6500

30000

51000

38000

31500

23000

5

20

30

20

15

10

TOTAL 200 * 180000 100Nota: 5imita superioara este inclusa în interval.

Pentru intervalele încise se sta"ileste centrul intervalului

entrul intervalului de grupare este considerat a fi valoarea care exprima sintetic variatia încadrul fiecarui interval si corespunde ipotezei ca frecventele se distri"uie uniform în interiorulacestuia.

Pentru intervalele descise se asigura mai întâi înciderea acestora, considerând - în modconventional - ca au aceeasi marime cu intervalele alaturate.

%## intervalul $## - %##< 11## intervalul 11## - 12##

0n continuare, media se poate calcula în doua moduri:

a. pe baza frecventelor absolute

b. pe baza frecventelor relative


7/13

4e o"serva din ta"elul anterior ca frecventele relative au fost calculate înprocente:

Pentru a calcula media, frecventele relative tre"uie transformate su" forma decoeficienti, prin împartire la 1##:

Principalele proprietati ale mediei aritmetice

1. /edia aritmetica are întotdeauna o valoare cuprinsa între valorile extreme aleseriei:

9aca media se plaseaza în afara acestor limite, rezultatul este în mod sigur eronat 'controlullogic(.

2. 0n cazul unei serii cu distri"utii de frecvente, media aritmetica se încadreaza întrevalorile extreme ale varia"ilei si oscileaza în +urul termenului 'intervalului( cu frecventamaxima.

0n cazul aplicatiei anterioare:

si în plus oscileaza în +urul intervalului '##-##(, care are cea mai mare frecventa deaparitie '$# de salariati, respectiv 3#* din total(.

3. 4uma a"aterilor nivelurilor individuale de la media lor este egala cu #.

pentru o serie simpla:

pentru o serie cu distri"utie de frecvente:


8/13

8ceasta proprietate se verifica foarte usor în cazul aplicatiilor prezentate.

Dea!anta"ul mediei aritmetice

/edia aritmetica este sensi"ila fata de valorile extreme, astfel ca devine nereprezentativa dacatermenii seriei sunt prea împrastiati.

xemplu:

Pentru cei 1# anga+ati ai unei firme s-au înregistrat, în luna septem"rie 2##$,urmatoarele salarii "rute 'în um(:

)##; )##; $##; $##; $##; $##; %##; %##; 1##; 2###

alculând salariul mediu lunar se o"tine:

ara a fi necesare calcule suplimentare[7] se o"serva ca media nu estereprezentativa. olectivitatea de "aza este alcatuita din doua su"colectivitati total

diferite: anga+ati au un salariu %## um, în timp ce doi anga+ati încaseaza lunar

1##, respectiv 2### um.

a urmare, salariul mediu calculat, de $# um, nu sintetizeaza ceea ce esteesential, tipic, pentru colectivitate.

0n consecinta, salariul mediu tre"uie studiat separat pentru cele doua tipuri calitative:

- pentru cei anga+ati cu salarii mici:

- pentru cei 2 anga+ati cu salarii mari:

8stfel, s-au calculat doua salarii medii reprezentative, corespunzatoare celor doua tipuri calitative.

ele doua medii partiale pot fi agregate în continuare, o"tinând salariul mediu la nivelul firmei:

http://www.scritub.com/economie/INDICATORII-TENDINTEI-CENTRALE24484.php#_ftn1http://www.scritub.com/economie/INDICATORII-TENDINTEI-CENTRALE24484.php#_ftn1http://www.scritub.com/economie/INDICATORII-TENDINTEI-CENTRALE24484.php#_ftn1


9/13

um

dar, su"liniem înca o data, calculul are o valoare pur teoretica, salariul mediu - înaceasta situatie - fiind un indicator lipsit de continut economic.

0n concluzie, indiferent de media utilizata si de modelul de calcul, pentru verificarea gradului dereprezentativitate a acesteia este necesar sa se calculeze indicatorii variatiei si asimetriei.

4.2. Mediana

Mediana '/( reprezinta termenul care ocupa locul central în seria valorilor caracteristicii, aran+ate în ordine crescatoare sau descrescatoare. aloarea medianei

împarte seria în doua parti egale: )#* dintre unitatile o"servate se afla su" nivelulmedianei si )#* peste nivelul medianei.

Metoda de calcul a medianei:

A. pentru seriile simple calculul se realizeaza diferit, în functie de numarultermenilor seriei:

8.1. în cazul în care numarul termenilor este impar

Pentru exemplificare utilizam datele de la aplicatia rezolvata la =/edia aritmetica=, luând înconsiderare numai salariile înregistrate la primii noua anga+ati:

%##; ##; ##; ##; 1###; ##; ##; 1###; %##.

4e parcurg urmatoarele etape:

a. se ordoneaza crescator termenii seriei:

%##; %##; ##; ##; ##; ##; ##; 1###; 1###

". se calculeaza locul medianei L(M (, conform relatiei:

unde n numarul termenilor seriei.

>ezulta ca locul medianei este dat de termenul din centrul seriei, în cazul nostru, al )-leatermen

c. se determina valoarea medianei (M):

um


10/13

A.2. în cazul în care numarul termenilor este par

Pentru exemplificare, utilizam datele din seria anterioara pentru toti cei 1# anga+ati.


a. se ordoneaza crescator termeni seriei:

%##; %##; ##; ##; ##; ##; ##; 1###; 1###; 11##

". se calculeaza locul medianei:

>ezulta ca locul medianei se afla între cei doi termeni centrali ai seriei, respectiv al )-lea si al $-lea.

c. se calculeaza valoarea medianei, ca medie aritmetica simpla a celor doitermeni din centrul seriei:

um

0n concluzie, putem aprecia ca, în am"ele cazuri, )#* dintre anga+ati au salarii su" ## um, iar )#* peste ## um.

B. pentru seriile cu distributie de frecvente (grupate pe intervale)

Pentru exemplificare utilizam seria statistica de la aplicatia rezolvata la =/edia aritmetica=

7a"elul &.3

Calculul medianei

Grupe de salarii

- um -

Numar de

salariati

f i

Freventele

umulate resator

< 700

700 - 800

800 - 900

## - 1###

1000 - 1100

10

40

60

40

30

10

10+40=50

50+60=110

110+40=150

150+30=180


11/13

> 1100 20 180+20=200

TOTAL 200 *


a. se sta"ileste locul medianei, conform relatiei :

". se sta"ileste intervalul median 'care contine mediana(, pe "aza frecventelor cumulate crescator 'calculate în coloana 3 a ta"elului anterior(.

?ntervalul median I(M) este primul interval la care frecventa cumulata crescator esteun numar mai mare decât locul medianei:

0n cazul nostru

c. se calculeaza valoarea medianei printr-un procedeu de interpolare, pornindde la limita inferioara a intervalului median (X 0 ), la care se adauga o portiunedin marimea intervalului median (K), considerând ca frecventele suntdistri"uite în mod uniform în cadrul intervalului median.

unde:

frecventele cumulate ale intervalelor precedente intervaluluimedian;

frecventa intervalului median.

0n cazul nostru:


12/13

iar valoarea medianei este:

um

@"servatii:

1. 4pre deose"ire de medie, mediana nu este afectata de valorile extreme ale seriei.

2. 0n afara de mediana, care împarte seria în doua parti egale ')#*, )#*(, în statistica semai calculeaza în mod asemanator:

- cuartile, care împart seria statistica în & parti egale '2)*, 2)*, 2)*, 2)*(;

- decile, care împart seria statistica în 1# parti egale '1#*, ..., 1#*(.

4.3. #aloarea dominanta (sau modul)

#aloarea dominanta '9( a seriei este acea valoare a caracteristicii care are ceamai mare frecventa de aparitie. aloarea dominanta se mai numeste !aloare modala.

aloarea dominanta se determina astfel:

A. pentru o serie simpla este acea valoare care se înregistreaza la cele mai multeunitati ale colectivitatii.

0n cazul exemplului nostru:

%##, %##, ##, ##, ##, ##, ##, 1###, 1###, 11##

9 ## um fiind înregistrata la 3 anga+ati.

B. pentru o serie cu distributie de frecvente 'grupate pe intervale(, valoareadominanta se calculeaza în doua etape:

a. se determina intervalul ce contine valoarea dominanta ?'9(, adica intervalulcu cea mai mare frecventa de aparitie 'intervalul modal(.

0n cazul exemplului nostru:

I(D) = (800-900)


13/13

b. se calculeaza valoarea dominanta, pornind de la limita inferioara aintervalului modal (X 0 ), la care se adauga o portiune din marimea intervaluluimodal (K), utilizându-se - de asemenea - un procedeu de interpolare.

unde:

∆1 diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventaintervalului precedent celui modal.

∆2 diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventaintervalului urmator celui modal.

0n exemplul nostru:

Cap1.Calcularea Indicilor Tendintelor Centrale

Documents

Transcript of Cap1.Calcularea Indicilor Tendintelor Centrale