140

Exemplul E.15. Determinarea unei secţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secţiune variabila solicitate la M-N; Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere.

EXEMPLE DE CALCUL

E.13. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii – interacţiunea M-N

� Descrierea problemei Se consideră stâlpul unei hale parter cu noduri fixe, cu prinderea la bază realizată în

soluţie articulată pe ambele direcţii. Rigla cadrului transversal transmite stâlpului efort axial, forţa tăietoare şi moment încovoietor. Stâlpul are înălţimea de 6.5 m şi este realizat din profil laminat I cu tălpi late HEB320 marca S235. Se cere să se facă verificările de rezistenţă şi stabilitate necesare.

� Schema statică

N

L

z

y

N

L

zy

MV

Figura E.13.1. Schema statica si lungimea de flambaj după axele y-y, respectiv z-z

� Datele problemei Pentru verificarea de rezistenţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date:

Forţa axială NEd = 215 kN Forţa tăietoare VEd = 50 kN Moment încovoietor MEd = 325 kNm Lungimea elementului L = 6,50 m Marca oţelului S235

� Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale

HE 320 B - Marca de oţel S235; Înălţimea h = 320,0 mm Înălţimea inimii hw = 279,0 mm Înălţimea liberă a inimii dw = 225,0 mm Lăţimea tălpilor b = 300,0 mm Grosimea inimii tw = 11,5 mm Grosimea tălpilor tf = 20,5 mm Raza de racord r = 27,0 mm Aria A = 161,3 cm2

Momentul de inerţie / y-y Iy = 30824 cm4

141

Momentul de inerţie / z-z Iz = 9239 cm4

Momentul de inerţie la torsiune It = 230 cm4

Moment de inerţie sectorial Iw = 2071812 cm6

Modul de rezistenţă elastic /y-y Wel,y = 1926,5 cm3

Modul de rezistenţă plastic /y-y Wpl,y = 2149,2 cm3

Raza de giraţie /z-z iz = 7.57 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z

Figura E.13.2. Secţiunea transversala

� Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca S235 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 15 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este fy = 235 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

� Coeficienţii parţiali de siguranţăγM0 = 1.00 γM1 = 1.00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1) � Determinarea lungimii de flambaj

Stâlpul este dublu articulat pe ambele direcţii: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1,00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y × L = 6,50 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) fL_z = 1.00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z × L = 6,50 m

� Determinarea clasei secţiunii Parametrul ε depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2351

235[N/mm ]yfε = = =

• Talpa în consolă solicitată la compresiune 2 300 11,5 2 27

117,25 mm2 2

wb t rc

− − ⋅ − − ⋅= = =

117,255,72 9 9 1 9

20,5f

c

t= = < ⋅ε = ⋅ = ⇒ talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

142

• Perete interior solicitat la încovoiere şi compresiune 3215 10

79,56 mm11,5 235

EdN

w y

Nd

t f

⋅= = =⋅ ⋅

79,5 2250,677 0,5

2 2 225N w

w

d d

d

+ +α = = = >⋅ ⋅

2 2 320 2 20.5 2 27 225 mmw fd h t r= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ =

225 396 396 1

19.565 50,7611,5 13 1 13 0,677 1

w

w

d

t

⋅ ε ⋅= = < = =⋅ α − ⋅ −

⇒ inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin

favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de faţă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face

bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale. � Verificările de rezistenţă

Pentru a respecta condiţiile de rezistenţă stâlpul trebuie să îndeplinească toate verificările la: − Forţă axială N; − Forţă tăietoare V; − Moment încovoietor M; − Interacţiunea M-N-V.

SREN 1993-1-1 §6.2.10 Datorită interacţiunii M-N-V ordinea logică a determinării rezistenţelor este Vpl,Rd, Npl,Rd şi

Mpl,y,Rd.

� Rezistenţa la forfecare Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare în absenţa răsucirii depinde de aria de

forfecare, care se defineşte:

2

2 ( 2 )

16130 2 300 20,5 (11,5 2 27) 20,5 5173 mm

vz f w fA A b t t r t= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

În absenţa răsucirii, este dată de relaţia:

,, ,

0

5173 235701,85 kN

3 3 1,0v z y

pl z RdM

A fV

⋅ ⋅= = =⋅ γ ⋅

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisfăcută condiţia:

,

500,071 0,5

701,85Rd

c Rd

V

V= = ≤ ⇒ secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce valoarea

momentului încovoietor capabil

� Verificarea la forţă axialăPentru a determină rezistenţa de calcul a secţiunii transversale a stâlpului la compresiune

uniformă se foloseşte relaţia de definiţie corespunzătoare clasei de secţiune 1: 2

,0

161,3 10 2353791 kN

1,0y

c RdM

A fN

⋅ ⋅ ⋅= = =γ

După determinarea capacităţii portante se trece la verificarea condiţiei:

,

2150,057 1,0

1791Ed

c Rd

N

N= = ≤ ⇒ secţiunea verifică

143

Pentru secţiunile cu doua axe de simetrie I sau H şi alte secţiuni cu doua axe de simetrie cu tălpi, nu este necesar să se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

,215 kN 0,25 0,25 3791 947,75 kNEd pl RdN N= ≤ ⋅ = ⋅ =

0

0,5 0,5 279 11,5 235215 kN 377 kN

1w w y

EdM

h t fN

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≤ = =γ

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(4) Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi

neglijat. � Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezistenţa de calcul a unei secţiuni transversale solicitată la încovoiere în raport cu axa principală de inerţie se determină astfel:

3

, ,0

2149,2 10 235505,06 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

⋅ ⋅ ⋅= = = =γ

Valoarea de calcul MEd a momentului încovoietor în fiecare secţiune transversală trebuie săsatisfacă condiţia:

,

3250,643 1,0

505Ed

c Rd

M

M= = ≤ ⇒ secţiunea verifică

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 � Verificările de pierdere a stabilităţii

Barele solicitate la compresiune axială şi încovoiere trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

, , , ,

, ,

11 1

1y Ed y Ed z Ed z EdEdyy yz

y Rk LT y Rk z Rk

MM M

M M M MNk k

N N M

+ Δ + Δ+ ⋅ + ⋅ ≤χ ⋅ χ ⋅

γγ γ

, , , ,

, ,

1 11

1y Ed y Ed z Ed z EdEdzy zz

z Rk LT y Rk z Rk

M MM

M M M MNk k

N M M

+ Δ + Δ+ ⋅ + ⋅ ≤χ ⋅ χ ⋅

γ γγ

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Deoarece , , 0z Ed z EdM M= Δ ≤ relaţiile de interacţiune se pot scrie:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

+ Δ+ ⋅ ≤χ ⋅ χ ⋅

γ γ

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

+ Δ+ ⋅ ≤χ ⋅ χ ⋅

γ γ

Pentru calculul acestor formule de interacţiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune kzz, kyy, kyz şi kzy.

� Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr

Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaţie de definiţie: 2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 30824 1015104 kN

6500y

cr ycr y

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

144

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 9239 104528 kN

6500z

cr zcr z

π E IN

L

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

� Zvelteţea relativăZvelteţea relativă se calculează cu ajutorul formulei:

2

,

161,3 10 2350,501

15104y

ycr y

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

2

,

161,3 10 2350,915

4528y

zcr z

A f

N

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

� Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversala trebuie să luam în

considerare următoarele condiţii: � HEB 320 - profil laminat

� Raportul 320

1,07 1,2300

h

b= = ≤

� Grosimea tălpilor 20.5 mm 100 mmft = ≤� Marca de oţel S235 • Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y:

Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,501 0,2) 0,501 0,676y y y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 2 2

1 10,884

0,676 0,676 0,501y

y y y

χ = = =φ + φ − λ + −

• Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,915 0,2) 0,915 1.093z z z z⎡ ⎤ ⎡ ⎤φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ = ⋅ + ⋅ − + =⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 2 2

1 10,591

1,093 1,093 0,915z

z z z

χ = = =φ + φ − λ + −

� Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-răsucire

• Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind

următoarea expresie:

2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z

I k L G IE I kM C C z C z

k Ik L E I

⎧ ⎫⎪ ⎪⋅ ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⋅ π ⋅ ⋅⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

În calculul Mcr, au fost introduse următoarele valori pentru factori: � k = 1; din moment ce talpa comprimată e liberă să se rotească în jurul axei minime de

inerţie, � kw = 1; din moment ce nu sunt prevăzute măsuri speciale de împiedicare a deplanării

libere a capetelor grinzii. � zg distanţa de la punctul de aplicare al încărcării la centru de tăiere. Deoarece eforturile

sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0.

145

� Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu variaţie lineară – şi pentru raportul între momente ψ = 0, avem: C1 = 1.77

Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

Astfel formula momentului critic devine:

22,

1 2 2,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL

⋅ ⋅π ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ +π ⋅ ⋅

Datorită complexităţii expresiei, a posibilităţii inerente a unor erori algebrice este recomandată efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urmărirea mai facilă a calculelor:

2 2 5 4 143,14 2,1 10 9239 10 1,915 10z E Iπ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅2 14

61 2 2

1,915 104,532 10

6500zE I

T L

π ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

64

2 7

2071812 102,242 10

9239 10w

z

IT

I

⋅= = = ⋅⋅

2 2 44

3 2 14

6500 80770 230 104,099 10

1,915 10t

z

L G I T

E I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅π ⋅ ⋅ ⋅

În continuarea calculelor va fi necesar calculul Mcr,0 , momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete – variaţie constantă – ψ = 1, C1,0 = +1,00.

ψψψψ C1 ψψψψ C1

1.00 1.00 -0.25 2.05 0.75 1.14 -0.50 2.33 0.50 1.31 -0.75 2.57 0.25 1.52 -1.00 2.55 0.00 1.77

Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

6 4 4,0 1 2 3 4,532 10 2,242 10 4,099 10 1141 kNmcrM T T T= ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire

1 ,0 1,77 1141 2020 kNmcr crM C M= ⋅ = ⋅ =

• Zvelteţea redusă pentru încovoiere-răsucire Zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu următoarele

relaţii: 6

,6

2149.2 10 2350,5

2020 10pl y y

LTcr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)

Alternativ se poate folosi o metoda simplificata pentru profilele I / H blocate la capete fărăforţă destabilizatoare:

/ 6500 / 75.70,826

104z

LTs

L i

kλ = = =

unde ks = 104 (S235); 96 (S275); 85 (S355); 78 (S420), respectiv 75 (S460). NCCI – Access Steel (BS)

146

Deoarece λLT = 0,5 > λLT,0 = 0,4 (profile laminate) efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire fiind obligatorie.

• Factorul de reducere Pentru profile laminate sau secţiunile sudate echivalente solicitate la încovoiere, valorile χLT

pentru zvelteţea redusă corespunzătoare pot fi determinate astfel:

2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LT LT

χ ≤⎧⎪χ = ⎨χ ≤⎪φ + φ − β ⋅ λ λ⎩

unde : 2

,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT⎡ ⎤φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ⎣ ⎦

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

αLT factorul de imperfecţiune pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 320

2,222 2300

h

b= = ≤ ⇒ curba b (αLT = 0,34)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5 Tabel 6.3

Valorile recomandate: λLT,0 = 0,4 şi β = 0,75 SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,34 (0,5 0,4) 0,75 0,5 0,618

LT LT LTLT LT⎡ ⎤φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅λ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =⎣ ⎦

2

22 2

1

1 10,944 1; 3,177

0,618 0,618 0,75 0,5

LT

LTLT LT

LT

χ = =φ + φ − β ⋅λ

⎛ ⎞= = < =⎜ ⎟+ − ⋅ λ⎝ ⎠

Pentru a lua în considerare distribuţia momentelor între legăturile laterale ale barelor se calculează factorul f:

1 10,752

1,33 0,33 1,33 0ck = = =− ⋅ψ −

- diagrama de momente lineară

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,752) 1 2 (0,5 0,8) 0,898 1

LTcf k ⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ −⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = <⎣ ⎦

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)

Factorul de reducere χLT poate fi definit astfel:

, ,0,944

1,051 1 1,000,898

LTLT mod LT modf

χχ = = = > ⇒ χ =

� Calculul factorilor de interacţiune kyy şi kzy

Factorii de interacţiune kyy , kyz , kzy , kzz depind de metoda de calcul aleasă. Se pot calcula folosind două metode alternative. În acest exemplu valorile acestor factori au fost determinate conform anexei A (metoda alternativă 1).

147

Se începe cu calculul factorilor auxiliari:

,

,

2151 115104 0,998

2151 1 0,884

15104

Ed

cr yy

Edy

cr y

NN

NN

− −μ = = =

− χ ⋅ − ⋅

,

,

2151 14528 0,98

2151 1 0,591

4528

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

NNN

− −μ = = =

− χ ⋅ − ⋅

,

,

2149,21,116 1.5

1926,5pl y

yel y

Ww

W= = = ≤

,

,

939,11,525 1,5 1.5

615,9pl z

z zel z

Ww w

W= = = > ⇒ =

� Efortul axial critic de flambaj elastic prin răsucire se determină:

2

, 2 20 ,

2 5 64

3 2

1

1 3,14 2,1 10 2071812 1080770 230 10 11570kN

24,83 10 6500

wcr T t

cr T

E IN G I

i L

⎛ ⎞π ⋅ ⋅= ⋅⎜ ⋅ + ⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠Pentru o secţiune dublu simetrica i0 se defineşte ca fiind:

2 2 2 2 2 2 2 3 20 0 0 138,2 75,7 24,83 10 mmy zi i i y z= + + + = + = ⋅

unde: y0, z0 sunt coordonatele centrului de tăiere faţă de centrul de greutate; Mcr,0 este momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete: ,0 1141 kNmcrM = .

6

,0 6,0

2149.2 10 2350,665

1141 10y y

LTcr

W f

M

⋅ ⋅ ⋅λ = = =⋅

40 1, ,

4

0,2 1 1

215 2150,2 1,77 1 1 0,265

4528 11570

Ed Edlim

cr z cr TF

N N C

N N⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ = ⋅ ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

în care , , 11570 kNcr TF cr TN N= = (secţiune dublu simetrică).

Deoarece condiţia ,0 0LT lim λ > λ este îndeplinită, rezultă:

,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅ α

= + − ⋅+ ε ⋅α

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

α= ⋅ ≥⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 2,

3 3,

325 10 161,3 1012,656

215 10 1926.5 10y Ed

yEd el y

M A

N W

⋅ ⋅ε = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

(secţiune clasa I).

148

şi 3

4

230 101 1 0,999 1

30824 10T

LTy

I

I

⋅α = − = − = ≥⋅

Factorul ,0myC se calculează conform tabel A.2, unde 0yψ = :

,0,

0,79 0,21 0,36 ( 0,33)

2150,79 0,21 0 0,36 (0 0,33) 0,79

15104

Edmy y y

cr y

NC

N= + ⋅ψ + ⋅ ψ + ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

� Calculul parametrilor myC şi mLTC

,0 ,0(1 )1

12,656 0.9990,79 (1 0,79) 0.954

1 12,656 0.999

y LTmy my my

y LT

C C Cε ⋅α

= + − ⋅ =+ ε ⋅α

⋅= + − ⋅ =+ ⋅

2

, ,

2

1 1

0.9990.954 0.94 1 1

215 2151 1

4528 11570

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

mLT

C CN N

N N

C

α= ⋅ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ = < ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� Calculul factorilor yyC şi zyC

max ( ; ) 0,915max y z z λ = λ λ = λ =

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y

yy y my max my max pl LTy y pl y

WC w C C n b

w w W

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − ⋅ − ⋅ ⋅ λ − ⋅ ⋅ λ ⋅ − ≥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

3

2

1 1

215 100,0567

161,3 10 2351,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f⋅= = = =⋅ ⋅ ⋅

γ γ

, ,2,0

, , , ,

1 1

0.5 0 ( 0)y Ed z EdLT LT z Ed

LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M= ⋅ α ⋅λ ⋅ ⋅ = =χ ⋅

γ γ

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,116 1) 1 0,954 0,915 0,958 0,633 0,0567

1,116 1,116

1926,50.9915 0,896

2149,2

yy

el y

pl y

C

W

W

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= > = =

2 2,

5,

1 ( 1) 2 14 0.6my max y el yzy y pl LT

z pl yy

C w WC w n d

w Ww

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ λ⎢ ⎥⎜ ⎟= + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ≥ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed

my LT pl y Rd mz pl z Rd

M Md M

C M C M

λ= ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅χ ⋅ ⋅+ λ

149

2 2

5

0,984 0,9151 (1,116 1) 2 14 0,0567

1,116

1,116 1926,50,9726 0,6 0,4639

1,5 2149,2

zyC⎡ ⎤⎛ ⎞⋅= + − ⋅ − ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= ≥ ⋅ ⋅ =

� Calculul factorilor de interacţiune conform Tabel A.1.

,

1 1 0,998 10,954 1 0,9603

215 0,99151 115104

yy my mLTEd yy

cr z

k C CN CN

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =− −

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

μ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

0,98 1 1,1160,954 1 0,6 0,5047

215 0,9726 1,5115104

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

� Verificarea formulelor de interacţiune

,

,

1 1

3 6

2 3

215 10 325 100,9603 0,682 1

161,3 10 235 2149,2 10 2350,884 1,0

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M+ ⋅ =χ ⋅

χ ⋅γ γ

⋅ ⋅= + ⋅ = ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

,

,

1 1

3 6

2 3

215 10 325 100,5047 0,421 1

161,3 10 235 2149,2 10 2350,591 1,0

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M+ ⋅ =χ ⋅

χ ⋅γ γ

⋅ ⋅= + ⋅ = ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Stâlpul îndeplineşte condiţiile de interacţiune M-N.

E.14. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui cadru portal

E.14.1 Grinda cu secţiune variabila – interacţiunea M-N

� Descrierea structurii Se consideră grinda unui cadru transversal al unei hale parter cu deschiderea de 24m

si traveea de 7,20m, cu prinderea la bază a stâlpului realizată în soluţie articulată pe ambele direcţii. Grinda este realizata dintr-un profil laminat IPE 400 marca S355. La margine pe distanta de 2,40 m grinda este vutată (lungime aleasa conform recomandarilor din “Manual for the design of steelwork building structure” editat de ISE – UK), realizându-se o secţiune cu trei tălpi. La începutul vutei şi din 4.8m, distanţa măsurată orizontal, sunt dispuse legăturile transversale care împiedica torsiunea. Se cere să se facă verificările de rezistenţă şi stabilitate necesare.

� Datele problemei Pentru verificarea de rezistenţă şi pierdere a stabilităţii a grinzii sunt necesare eforturile de

calcul in secţiunea cea mai solicitata: