EXEMPLU PRACTIC de optimizare a functiei de utilitate Ut in spatiul cu 4 dimensiuni.Nu se cunosc cantitatile de produse x1, x2, x3, x4. Se dau preturile p1, p2, p3, p4 si venitul lunar v.Conditia restrictiva este data de functia : gc.

conditie xi 0Ut x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 ao x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

gc x1 x2 x3 x4 v p1 p2 p3 p4 v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 conditie pi 0 i 1 2 3 4

Se scrie conditia lui Lagrange, ca functie de parametrul λ astfel :

Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ Ut x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 λ v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4

Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ ao x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

λ p1 x1 v p2 x2 p3 x3 p4 x4

Se calculeaza derivatele partiale ale functiei Lg, ==>

x1Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a1 ao x1

a1 1 x2

a2 x3

a3 x4

a4 λp1 1( )

2( )x2

Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ dd

a2 ao x1a1

x2a2 1

x3a3

x4a4

λp2

3( )

x3Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a3 ao x1

a1 x2

a2 x3

a3 1 x4

a4 λp3

x4Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a4 ao x1

a1 x2

a2 x3

a3 x4

a4 1 λp4 4( )

λLg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 5( )

Se elimina parametrul λ din (1) cu ajutorul ciclului " GIVEN - FIND """ ==>

Given

a1 ao x1a1 1

x2a2

x3a3

x4a4

λp1 0

Find λ( )a1 ao x1

a1 1 x2

a2 x3

a3 x4

a4

p1

Se substituie parametrul λ, in ecuatiile (2), (3), (4), (5) :

a2 ao x1a1

x2a2 1

x3a3

x4a4

λp2 substitute λa1 ao x1

a1 1 x2

a2 x3

a3 x4

a4

p1

ao x3a3

x4a4

a1 p2 x1a1 1

x2a2

a2 p1 x1a1

x2a2 1

p1

a3 ao x1a1

x2a2

x3a3 1

x4a4

λp3 substitute λa1 ao x1

a1 1 x2

a2 x3

a3 x4

a4

p1

ao x2a2

x4a4

a1 p3 x1a1 1

x3a3

a3 p1 x1a1

x3a3 1

p1

a4 ao x1a1

x2a2

x3a3

x4a4 1

λp4 substitute λa1 ao x1

a1 1 x2

a2 x3

a3 x4

a4

p1

ao x2a2

x3a3

a1 p4 x1a1 1

x4a4

a4 p1 x1a1

x4a4 1

p1

Se rezolva sistemul, apoi se factorizeaza ==> :

Given

a1 p2 x2 a2 p1 x1 0

a1 p3 x3 a3 p1 x1 0

a1 p4 x4 a4 p1 x1 0

v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 0

Find x1 x2 x3 x4

a1 v

a1 p1 a2 p1 a3 p1 a4 p1

a2 v

a1 p2 a2 p2 a3 p2 a4 p2

a3 v

a1 p3 a2 p3 a3 p3 a4 p3

a4 v

a1 p4 a2 p4 a3 p4 a4 p4

factor

a1 v

p1 a1 a2 a3 a4

a2 v

p2 a1 a2 a3 a4

a3 v

p3 a1 a2 a3 a4

a4 v

p4 a1 a2 a3 a4

Se substutie aceste valori in ecuatia care defineste parametrul λ, ==>

λ

a4 v

a1 p4 a2 p4 a3 p4 a4 p4

a4 a3 v

a1 p3 a2 p3 a3 p3 a4 p3

a3

a2 v

a1 p2 a2 p2 a3 p2 a4 p2

a2

a1 v

a1 p1 a2 p1 a3 p1 a4 p1

a1

ao a1 a2 a3 a4

v

Calculez derivatele partiale de ordinul 2 ale functiei Lg, pentru a defini forma finala a diferentialei de ordinul 2, d 2 Lg ==> :

d2Lg

1

3

i 1

3

jxi xj

Lg

dxi dxj

2x1Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ d

d

2a1 ao x1

a1 2 x2

a2 x3

a3 x4

a4 a1 1

2x2Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ d

d

2a2 ao x1

a1 x2

a2 2 x3

a3 x4

a4 a2 1

2x3Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ d

d

2a3 ao x1

a1 x2

a2 x3

a3 2 x4

a4 a3 1

2x4Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ d

d

2a4 ao x1

a1 x2

a2 x3

a3 x4

a4 2 a4 1

x1 x2Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a1 a2 ao x1a1 1

x2a2 1

x3a3

x4a4

x1 x3Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a1 a3 ao x1a1 1

x2a2

x3a3 1

x4a4

x1 x4Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a1 a4 ao x1a1 1

x2a2

x3a3

x4a4 1

x2 x3Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a2 a3 ao x1a1

x2a2 1

x3a3 1

x4a4

x2 x4Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a2 a4 ao x1a1

x2a2 1

x3a3

x4a4 1

x3 x4Lg x1 x2 x3 x4 ao a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ

a3 a4 ao x1a1

x2a2

x3a3 1

x4a4 1

λo ao a1 a2 a3 a4 p1 p2 p3 p4 v ao a1 a2 a3 a4

v

a1 v

p1 a1 a2 a3 a4

a1

a2 v

p2 a1 a2 a3 a4

a2

a3 v

p3 a1 a2 a3 a4

a3

a4 v

p4 a1 a2 a3 a4

a4

Calcul numeric

ao 1.25 a1 0.27 a2 0.36 a3 0.51 a4 0.79 p1 2.37 p2 4.81 p3 3.55 p4 5.19 v 25

Atunci x1, x2, x3, x4, λ , calculati numeric, sunt :

x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1 v

p1 a1 a2 a3 a4 x1 a1 a2 a3 a4 p1 v float 4 1.476

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2 v

p2 a1 a2 a3 a4 x2 a1 a2 a3 a4 p2 v float 4 0.9695

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3 v

p3 a1 a2 a3 a4 x3 a1 a2 a3 a4 p3 v float 4 1.861

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4 v

p4 a1 a2 a3 a4 x4 a1 a2 a3 a4 p4 v float 4 1.972

λo ao a1 a2 a3 a4 p1 p2 p3 p4 v float 4 0.2488

a1 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1 2

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4

a1 1 float 4 0.2917

a2 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2 2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4

a2 1 float 4 0.7899

a3 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3 2

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4

a3 1 float 4 0.2325

a4 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4 2

a4 1 float 4 0.1375

2 a1 a2 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1 1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2 1

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4

float 4 0.4379

2 a1 a3 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1 1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3 1

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4

float 4 0.3232

2 a1 a4 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1 1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4 1

float 4 0.4725

2 a2 a3 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2 1

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3 1

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4

float 4 0.6559

2 a2 a4 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2 1

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4 1

float 4 0.9589

2 a3 a4 ao x1 a1 a2 a3 a4 p1 v a1

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v a2

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v a3 1

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v a4 1

float 4 0.7077

Se verifica numeric, daca punctul gasit anterior este punct de maxim sau punct de minim :

v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 dx1p2 dx2 p3 dx3 p4 dx4

p1

p2 dx2 p3 dx3 p4 dx4

p1 float 4 2.03 dx2 1.498 dx3 2.19 dx4

dx1 2.03 dx2 1.498 dx3 2.19 dx4

deoarece xi 0 dxi 0 pentru i 1 2 3 4 deci

2.881 dx22

1.371 dx32

2.571 dx42

2.43 dx2 dx3 3.553 dx2 dx4 2.622 dx3 dx4 0

DECI punctul x1 x2 x3 x4 1.476 0.9695 1.861 1.972( ) este punct de maxim

x1 a1 a2 a3 a4 p1 v float 4 1.476

x2 a1 a2 a3 a4 p2 v float 4 0.9695

x3 a1 a2 a3 a4 p3 v float 4 1.861

x4 a1 a2 a3 a4 p4 v float 4 1.972

Cazurile particulare a functiei de utilitate

Cazul I Calcul optimal in spatiul cu 3 dimensiuni x3 f x1 x2

U x1 x2 a0 a1 a2 a0 x1a1

x2a2

x1 0 x2 0

Ld x1 x2 a0 a1 a2 λ p1 p2 v a0 x1a1

x2a2

λ v p1 x1 p2 x2 p1 0 p2 0

x01 x02 a1 v

p1 a1 a2

a1 v

p1 a1 a2

Cazul II Calcul optimal in spatiul cu patru dimensiuni x4 f x1 x2 x3

U x1 x2 x3 a1 a2 a3 a0 a0 x1a1

x2a2

x3a3

x1 0 x2 0 x3 0

g x1 x2 x3 p1 p2 p3 v v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p1 0 p2 0 p3 0

L x1 x2 x3 a1 a2 a3 a0 p1 p2 p3 v λ a0 x1a1

x2a2

x3a3

λ v p1 x1 p2 x2 p3 x3

x01 x02 x03 a1 v

p1 a1 a2 a3

a2 v

p2 a1 a2 a3

a3 v

p3 a1 a2 a3

Cazul III Calcul optimal in spatiul cu cinci dimensiuni x5 f x1 x2 x3 x4

xi 0 i 1 2 3 4U x1 x2 x3 x4 a0 a1 a2 a3 a4 a0 x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

g x1 x2 x3 x4 v p1 p2 p3 p4 v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 pi 0 i 1 2 3 4

L x1 x2 x3 x4 a0 a1 a2 a3 a4 v p1 p2 p3 p4 λ a0 x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

λ v p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4

x01 x02 x03 x04 a1 v

p1 a1 a2 a3 a4

a2 v

p2 a1 a2 a3 a4

a3 v

p3 a1 a2 a3 a4

a4 v

p4 a1 a2 a3 a4

Cazul general Calcul optimal in spatiul cu n 1( ) dimensiuni xn 1 f x1 x2 ... xn

U x1 x2 ... xn a0 a1 a2 .... an a0 x1a1

x2a2

.... xnan

xi 0 i 1 2 ... n

g x1 x2 ... xn v p1 p2 .... pn v p1 x1 p2 x2 ..... pn xn pi 0 i 1 2 ... n

L x1 x2 ... xn a0 a1 a2 .... an v p1 p2 .... pn λ a0 x1a1

x2a2

.... xnan

λ v p1 x1 p2 x2 ..... pn xn

Cu solutia :

x01 x02 x03 ... x0n a1 v

p1 S

a2 v

p2 S

a3 v

p3 S ...

an v

pn S

unde S

1

n

i

ai