BSA

Cuvinte cheie modelarea sistemului fizic senzori si actuatori software si achizitionarea de date computer si sisteme logice semnale si sisteme

12 Ce este mecatronica

1972 ndash Termenul de mecatronica brevetat de Yaskawa Electric Co si defineste

fuziunea tehnologica Mecanica ndash Electronica ndash Informatica

Tehnologia mecatronica se deosebeste fundamental de tehnologia traditionala prin faptul ca

adauga componenta informatie la componentele material si energie

Tendinte

In literatura de specilalitate au devenit consacrate extinderi in alte domenii ca hidronica

pneutronica termotronica autotronica agromecatronica (agricultura de precizie)

Evolutia in dezvoltarea tehnologica inseamna micromecatronica nanomecatronica si

biomecatronica Tendinta generala este de ldquointelectualizare a masinilor si sistemelor

21 Notiunea de sistem teoria sistemelor si sistem automat

- Prin sistem se intelege o unitate relativ delimitata fata de mediu printr-o structura

interna

- In lexiconul tehnic roman se da urmatoarea definitie Prin sistem se intelege un ansamblu de

elemente intre care exista una sau mai multe relatii afara de relatia conform careia elementele

apartin ansamblului Elementele unui sistem pot fi obiecte concepte marimi propozitii

Pentru a clarifica aceasta definitie se face apel la exemplul urmator

Fig21 p15 Voicu

Intr-un recipient (fig21) trebuie ca temperatura si nivelul lichidului sa ramana constante in

conditiile in care exista un consum de lichid Aceasta presupune supravegherea nivelului si

temperaturii si in functie de variatiile acestor marimi de la valorile lor prestabilite comanda

corespunzatoare a pompelor P1 si P2 si ventilului V3

Se pun aici doua probleme

a) sa se modifice adecvat debitele pompelor P1 si P2 astfel ca nivelul sa ramana constant

Elementele care concura la rezolvarea acestei probleme actioneaza intr-o ordine si sunt

intercorelate Ele concretizeaza o structura si formeaza o unitate Incalzirea sau racirea

lichidului nu apartin unitatii si reprezinta mediu exterior S-a evidentiat un sistem

b) sa se modifice adecvat debitul Qt astfel ca temperatura sa ramana constanta De

aceasta data variatia nivelului lichidului apartine unitatii deoarece temperatura

depinde si de debitele Qt si Q1 Q2 S-a evidentiat un alt sistem

A Se defineste stare a unui sistem cea mai mica colectie de numere care trebuie cunoscute

la momentul t =t0 pentru a face posibila prezicerea in mod unic a comportarii sistemului in

orice moment tget0 pentru orice marime de intrare ce apartine multimii marimilor de intrare in

ipoteza ca toate elementele acestei multimi sunt cunoscute la tget0 Aceste numere sunt

denumite variabile de stare

B Sistemele reale in cadrul TS sunt investigate prin doua modalitati de abordare si anume

a) Axiomatica se defineste riguros sistemul dupa care pe cale deductiva prin

utilizarea unui instrument matematic adecvat se obtin rezultatele care prezinta interes

b) Dinamica se urmareste caracterizarea evolutiei in timp a sistemului In acest scop se

pot folosi doua modalitati de descriere externa si interna

b1) Descrierea externa

- sistemul este considerat ca o cutie neagra

- relatiile cu mediul inconjurator sunt descrise prin intermediul variabilelor de intrare

u p si de iesire y ca marimi externe cutiei (fig22)

Fig22

A

u = (u1 u2 hellip ur)

p = (p1 p2hellip pr) Este un sistem dinamic orientat

y = (y1 y2hellipyr)

Carmen Bujoreanu 4Carmen Bujoreanu 4

Unui asemenea sistem dinamic i se poate atasa ecuatia intrare-iesire (ecuatii terminale) de

forma

y = A (u p) (21)

unde A este un operator algebric diferential integrala etc liniar sau neliniar

Orice pereche (u y) care satisface ecuatia (21) se numeste pereche intrare-iesire

b2) Descrierea interna se defineste multimea de variabile interne numite de stare

si a legaturilor functionale intre acestea

x = (x1 x2hellipxn) (22)

Aceasta multime de variabile sintetizeaza caracterizeaza si memoreaza evolutia obiectelor

din structura sistemului pana in momentul considerat

In acest scop blocul A din fig 22 se sectioneaza ca in fig 23

Fig23

Exista o infinitate de moduri de sectionare a blocului A deci pot rezulta diverse seturi de

variabile de stare(vs) x Cand se foloseste un numar minim de vs care permite totusi

descrierea completa a sistemului dinamic rezulta forma redusa

Ca urmare a sectionarii relatia (21) se descompune corespunzator celor doua blocuri

B x = B (u p) (23)

C y = C (x u p) (24)

unde B si C sunt operatori care formeaza impreuna operatorul A

A(up) = C (B(u p) u p) (25)

Ecuatia 23 genereaza ecuatia intrare-stare intimp ce ecuatia 24 genereaza ecuatia intrare-

stare-iesire

Cele doua modalitati de descriere sunt utilizate in vederea studierii sistemelor deci si a

sistemelor mecatronice adica stabilitate controlabilitate raspuns la diverse excitari

determinarea performantelor

Cele doua modalitati de descriere au elemente de coincidenta ele trebuie sa descrie in mod

consistent sistemul dinamic


Deosebiri b1) ndash este o descriere functionala explica comportarea sistemului prin

interactiunile cu mediul inconjurator

b2) - este o descriere structurala explica comportarea sistemului in termeni

de variabile de stare variabile interne in interdependenta lor

Teoria sistemelor este utilizata in vederea rezolvarii a 3 probleme UTILIZARE

Analiza sistemelor ndash actiuni intreprinse in vederea cunoasterii comportarii unui

sistem dat a relatiilor existente intre elementele componente a modului de

interactiune cu mediul inconjurator putand fi realizata pe calea observarii

experimentarii deductiei analogiei etc

Scop determinarea sau evaluarea unor proprietati stabilitate controlabilitate observabilitate

performante etc

Sinteza sistemelor ndash este operatia inversa analizei si se refera la problema construirii

sub forma abstracta (ca model) sau sub forma fizica (o realizare concreta) a unui

sistem care sa aiba o anumita functionabilitate si anumite proprietati dorite

indeplinind in primul rand conditia esentiala de realizabilitate fizica

Scop orientarea spre obtinerea anumitor performante (anumite relatii intre intrari stari si

iesiri) care nu sunt proprii sistemului dar care se cer atinse

Conducerea sistemelor ndash ca parte aplicativa de cea mai mare importanta a TS se

refera la posibilitatea aducerii unui sistem dat dintr-o stare data intr-o stare dorita prin

comenzi corespunzatoare Exista posibilitati multiple de rezolvare a acestei probleme

(de ex robotii ndashhard si soft -ffvariat )

Analiza si conducerea sistemelor se bazeaza pe existenta identificata sau presupusa a unui

sistem cu structura si functionalitati precizate printr-un model matematic Daca informatia

este insuficienta se recuge la identificare

cauze efecte

Dupa legaturile ce exista intre dispozitivul de automatizare DA si instalatia automatizata IA

exista doua structuri fundamentale ale sistemelor automate

a) sisteme automate deschise (fig25a)


b) sisteme automate inchise (fig25b)

Fig25a Fig25 b


Sistemul automat realizeaza o anumita dependenta intre marimea de iesire y si cea de

intrare r y = f(r)

In cadrul sistemului deschis (fig25a) transmiterea informatiei se realizeaza unidirectional

numai de la intrarea la iesirea dispozitivului de automatizare DA genereaza marimea de

executie m doar pe baza marimii de intrare r Pentru o intrare data datorita efectului

marimii perturbatorii up marimea de iesire y poate avea diverse valori Rezulta ca un sistem

deschis nu poate asigura o buna precizie in realizarea dependentei y = f(r)

In cazul sistemelor automate inchise-cu reactie (fig25b) dispozitivul de automatizare

elaboreaza actiunea de comanda atat functie de marimea de intrare r cat si in functie de

marimea de iesire y Subsistemul S2 conform fig25b transmite la intrarea dispozitivului de

automatizare informatii asupra evolutiei marimii de iesire prin intermediul semnalului yr ce

poarta denumirea de semnal de reactie Legatura aceasta inversa de la iesirea sistemului

asigura sistemului reducerea sensibilitatii la actiunea perturbatiilor cresterea preciziei etc

De obicei masurarea marimii de iesire y si transmiterea informatiei la intrare introduce o

anumita intarziere care atrage si o functionare necorespunzatoare a sistemului Pentru a reduce

la minimum timpul de informare a sistemului de inerpretare decizionala asupra evolutiei

iesirii se poate ca marimea de iesire sa fie transmisa direct la intrare obtinandu-se un sistem

cu legatura inversa rigida (fig25c)

r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c

Elementele componente ale dispozitivului de automatizare DA sunt elemente de masura

(traductoare) lemente de comparatie elemente de prelucrae intermediara a semnalelor

elemente de corectie de amplificare de actionare de executie si sursele de alimentare In

cadrul sistemelor mecatronice se intalnesc si convertoare analognumerice si

numericanalogice


25 Clasificarea sistemelor (Olaru Sebastian)

Sistemele automate se pot clasifica dupa mai multe criterii avand la baza fie structura fie

relatia functionala ce le caracterizeaza

1 Dupa structura dupa cum s-a mentionat anterior sistemele pot fi cu structura

deschisa sau inchisa

2 Dupa cantitatea de informatie apriorica disponibila despre subsistemul condus

(instalatia tehnologica) putem clasifica in sisteme cu informatie apriorica completa

si sisteme cu informatie apriorica incompleta

3 Dupa modalitatea de modelare a transferului informational exista situatii cand

transferul poate fi modelat matematic prin aplicarea diferitelor legi ale fizicii

Sistemele respective sunt sisteme cu model matematic cunoscut denumite sisteme

deterministe Asemenea sisteme se numesc sisteme nedeterministe

Tot in aceasta categorie putem defini sistemele stationare denumite inca cu coeficienti

constanti sau sisteme invariante

4 Dupa relatia functionala de transfer sistemele deterministe se impart in

ASisteme liniare

B Sisteme neliniare

5 Dupa natura semnalelor prelucrate in sistem se deosebesc

ASisteme automate continue cand toate variabilele ce intervin in sistem sunt functii de

timp

BSisteme automate discontinue discrete daca exista cel putin o cale pe care

transmiterea semnalului se face discontinuu (adica cu pauze de timp)

6 Dupa numarul variabilelor de intrare sisau iesire ale sistemului se deosebesc

a) sisteme monovariabile cand sistemul are o singura intrare si o singura iesire

b) sisteme multivariabile sau cu intrareiesire vectoriala la intrarea si iesirea carora

apar simultan mai multe semnale distincte


7 Dupa modul de variatie a marimii de referinta (marimea de intrare principala in

subsistemul conducator) se deosebesc sisteme automate cu referinta constanta in timp

(sisteme de stabilizare) si sisteme cu referinta variabila in timp care pot fi la randul

lor cu referinta cunoscuta (sisteme cu program) sau sisteme cu referinta necunoscuta

apriori (sisteme de urmarire)

26 Informatia- componenta a sistemelor mecatronice

In sensul cel mai larg prin informatie se inteleg acele date depre lumea inconjuratoare care

rezulta de pe urma contactului pe care-l realizam cu ea in procesul de cunoastere adaptare si

modificare a ei [LSebastian 1980]

Se face precizarea ca intre notiunile de informatie cantitate de informatie si sens al

informatiei este o mare deosebire Informatia capata un sens numai pentru cel care cunoaste

codul in care este transmisa Relatia dintre informatie si materializarea ei in semnal se

numeste cod

Cantitatea de informatie este o marime care poate fi masurata ca orice alta marime fizica

Asadar cantitatea de informatie este data de relatia

I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati

Transmiterea (transferul prelucrarea) unei informatii are intotdeauna un suport

material O marime fizico-tehnica prin care se transmite o informatie in procesul

de functionare a unui sistem sau element se numeste semnal Exista semnale-

cauza (marimi de intrare) si semnale-efect (marimi de iesire)

Conventional un sistem sau element excitat la intrare de semnalul u(t) la iesirea caruia apare

semnalul y(t) se reprezinta din punct de vedere al transferului de informatie ca in fig 26

u(t) y(t)SISTEM Fig26

Sensul de circulatie al actiunii sau altfel spus sensul de transfer al informatiei este

unidirectional anume de la u la y

Caracteristica fizica care se modifica dependent de informatie se numeste parametru

informational

Concomitent semnalele sunt functii de timp Acesta este al doilea parametru al

semnalelor Din punct de vedere matematic timpul este variabila independenta ce

evolueaza continuu in sens unic trecut-prezent-viitor

Intre elementele componente ale unui sistem apar relatii prin intermediul

semnalelor

Pentru ca informatia transmisa sa ajunga la destinatie trebuie ca subsistemul receptor

sa poata extrage informatia din semnal De ex un om nu va utiliza eficient un

termometru daca acesta nu are o scala gradata Numai din lungimea coloanei de lichid

nu se poate extrage nici o informatie Deci trebuie stabilita la emitator o

corespondenta a valorilor posibile ale parametrului informational cu informatia

Se deduce de aici ca la transmiterea unei informatii este necesar un semnal si un cod

comun pentru ambele sisteme emitator si receptor

272 Tipuri de semnale (Voicu Livint Olah)

Clasificarea semnalelor se face in conformitate cu foarte multe criterii

a) dupa efectele produse asupra unui sistem se deosebesc

- semnale utile care introduc efecte dorite in comportarea unui sistem

- semnale perturbatoare (perturbatii) care introduc efecte nedorite

b)dupa natura marimilor fizice se evidentiaza

- semnale mecanice forta cuplu deplasare liniara sau unghiulara

- semnale electrice tensiune curent rezistenta frecventa faza

- semnale pneumatice presiune

- semnale acustice optice hidraulice etc

c) dupa multimea de valori ale parametrului informational

- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c

d) dupa multimea de valori ale parametrului timp t (variabila independenta)

- semnale continue (in timp)-

- semnale discrete (in timp) esantionate si numericendash

e) dupa previzibilitatea evolutiei in timp se deosebesc

-semnale deterministe cu lege de evolutie predictibila

-semnale stohastice (aleatorii) cu lege de variatie necunoscuta nu pot fi descrise de expresii

analitice

1 Semnalul treapta unitara σ(t)

Semnalul treapta unitara σ(t) sau functia Heaviside (Oliver Heaviside-1892-bazele calculului

operational) este definita de relatia

t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)

si are graficul din figura 29

σ(t) nu este definita pentru t = 0 σ(0+) = 1 si σ(0-) = 0

Un semnal treapta de amplitudine A A σ(t) constituie o treapta neunitara Functia treapta

reproduce intr-o forma idealizata fenomenele de cuplare ale unor aparate electrice la retea de

punere brusca in functiune a unor instalatii

σ(t)

Fig29-Treapta unitara

Functia treapta unitara reala σε(t) este definita de relatia si are graficul din fig 210 de mai jos

0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210

Raspunsul sistemului reprezinta legea de variatie in timp a marimii lui de iesire cand se

cunoaste functia de excitatie u(t) si conditiile initiale

Raspunsul unui element sau sistem la un semnal treapta unitara u(t) = 1(t) aplicat la intrarea

unui sistem liniar continuu si stationar (SLCS) in momentul t = 0 se numeste functie

indiciala sau raspuns indicial Se noteaza cu g(t) Deci

Deci u(t) = 1(t) rArr

Pentru u(t) = 1(t-τ) rArr

y(t)u (t )1(t ) g (t)

y(t)u (t )1(t minus ) g (t minus )

0Se poate scrie 1(t-τ) =

1t t vezi figura 211

u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ

CURS 4 Teoria sistemelor mecatroniceCURS 4 Teoria sistemelor mecatronice

Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t

2Semnalul impuls unitar (Dirac)

Considerand derivarea functiei σε(t) se obtine functia δε(t) care este un impuls dreptunghiular

de amplitudine 1ε si durata ε (in intervalul [-ε2 si ε2] conform figurii 211a

Fig211

minus

2

Acesta se numeste semnal impuls unitar sau Dirac (sau functie delta-Dirac Paul Adrien

Maurice n1902 fizician englez fondatorul functiei delta)

infin



Proprietati

1 Impulsul unitar δε(t) este o functie para ceea ce rezulta cu usurinta din fig 211a

δ(t) = δ(-t) (11)

2 Valorile acestui semnal sunt

0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)

iar reprezentarea conventionala este data in figura 211b

3 Acest semnal nu se poate realiza practic deoarece necesita in acest scop un generator

de semnal de putere infinita

4 O alta definitie a acestui semnal in sensul teoriei distributiilor transforma relatia (12)

in infin 0

int (t )dt int (t )dt 1minusinfin minus0

(13)

Semnalul δ (impulsul Dirac) si derivatele sale nu sunt functii in sensul uzual al defnitiei (nu

sunt functii regulate ci functii generalizate)

Se poate arata riguros ca in sens distributional impulsul Dirac δ (t) este intr-adevar derivata

treptei unitare 1(t)

Nu conteaza forma si valorile pe care le ia o aproximatie oarecare a lui δ ci efectul actiunii

acesteia adica faptul ca intR = 1



Deci impulsul Dirac este derivata in sensul distributiilor a semnalului treapta unitate In

practica se foloseste semnalul dreptunghiular cu durata ∆ si amplitudine A cand ∆rarr0 si

Ararrinfin aria limitata de acest impuls va fie egala cu unitatea (fig212)



δ(t)

Fig 212

A

∆t

Semnalul impuls Dirac se utilizeaza frecvent in analiza comportarii elementelor si sistemelor

automate deci si mecatronice

Raspunsul sistemului la aplicarea unui impuls Dirac poarta denumirea de functie pondere si

este o caracteristica dinamica a unui proces liniar constant Se noteaza cu h(t) fig213

u(t)=δ(t) y(t)=h(t)SLCS

δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr

si u(t) = δ(t-τ) rArr

Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)

y(t)u (t ) (t minus ) h(t minus )

Deci nici functia pondere nu se modifica daca este aplicata la intrarea unui sistem SLCS in

momente diferite La SLCN functia pondere depinde de momentul aplicarii semnalului



Functia pondere (fp) nu poate fi obtinuta experimental decat in mod cu totul aproximativ

aceasta deoarece insusi semnalul impuls nu poate fi realizat practic

Teoretic functia pondere se obtine ca solutie a ecuatiei diferentiale omogene a sistemului

respectiv pentru conditiile initiale

y(0) = y (0) hellip ( nminus2)

y (0) 0 si( nminus1)

y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214

In fig214 sunt date cateva functii pondere tipice si anume

Curba 1- functia pondere h(t) = k

sdot eminust 1

1a unui sistem descris de ecuatia diferentiala

dy ( t )

y (t ) k sdotu (t )1 dt

Curba 2- functia pondere a unui sistem descris de ecuatia diferentiala

d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

Curba 3- functia pondere a unui sistem de ordin superior a carui ecuatie caracteristica are

toate radacinile reale si negative

Din pv al consideratiilor practice functia pondere a unui sistem fizic poate fi asemuita cu

reactia unui om la lumina unui fulger sau la zgomotul unei explozii caracterizandu-se ca ea

apare dupa disparitia cauzei care a determinat-o



Importanta impulsului unitar

1Este foarte util pentru descrierea aproximativa a multor fenomene fizice Reprezentarea

impulsului sub forma unui dreptunghi cu baza ∆ infinit mica (mult mai mic decat constantele

de timp ale procesului de identificare)) si cu suprafata egala cu 1 sugereaza ca raspunsul

obtinut se apropie de cel ideal adica y(t)asympg(t) Cu alte cuvinte se cere ca in intervalul de timp

cat actioneaza impulsul de durata finita starea sistemului analizat respectiv marimea lui de

iesire sa nu inregistreze modificari

2 Un asemenea semnal se poate realiza si prin aplicarea succesiva a doua semnale tip treapta

decalate si inversate

3Semnalul rampa

Semnalul se defineste sub forma

0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)

Graficul este definit in fig215 de mai jos

tg α=1Fig 215

Semnalul rampa exprima viteza de variatie a marimii considerate adesea aceasta fiind diferita

de unitate u(t) = α ramp(t) Raspunsul unui sistem la acest semnal de proba se numeste

raspuns la viteza Semnalul poate fi usor de reprodus in practica dar datorita cresterii

nelimitate cauzeaza regimuri inadmisibile

4 Semnal periodic sinusoidal sau cosinusoidal

Sunt semnale foarte frecvent utilizate in analiza si sinteza sistemelor mecatronice

Semnalele sinusoidale sisau cosinusoidale sunt semnale periodice de tip armonic Expresiile

unor asemenea semnale pot fi



unde A ndash amplitudinea

u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)



ω ndash pulsatie ω = 2πf = 2πT unde f este frecventa semnalului fisin R+ iar T este perioda

acestuia Tisin R+

Φ ndash faza(defazajul)

Reprezentarea complexa a semnalelor armonice (aisin C) este de asemenea folosita semnalul

astfel descris fiind mai usor de manipulat

u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt

= Acos(ωt + Φ) + jAsin(ωt + Φ) (16)

31 Tehnici de calcul in domeniul timpului

Sunt metodele cele mai vechi folosite in studiul sistemelor Metoda consta in rezolvarea

sistemelor de ecuatii diferentiale sau integro-diferentiale (liniare sau neliniare) care definesc

comportarea sistemului automat Aceasta metoda este usor aplicabila la sistemele de ordin 1

sau 2 cand rezolvarea cere etapele

frac34 Determinarea solutiei generale a ecuatiilor omogene

frac34 Determinarea unei solutii particulare a sistemelor omogene

frac34 Determinarea constantelor din solutia generala pe baza consitiilor initiale

Metoda se complica pe masura cresterii ordinului ecuatiilor diferentiale cand este inlocuita

prin metoda spatiului abstract al starilor

Se prezinta in continuare ideea ca un semnal oarecare poate fi echivalat cu o succesiune de

impulsuri (aici se pune in evidenta importanta semnalului impuls)



Fig31

u(t) asymp S1middotδ(t)+ S2middotδ(t-1)+ helliphellip+S8middotδ(t-7)

Desi semnalele din fig 31 b si 31c au prea putin comun intre ele ultima aproximare se

dovedeste utila pentru determinarea raspunsului unui sistem liniar

Sa consideram acum o functie oarecare u(τ) ca cea din figura 32

a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10

In cazul aproximarii cu o succesiune de semnale treapta (fig 32a) se poate scrie

k infin

u(t)asymp sum ∆u(k sdot ∆ ) sdot1(t minusk sdot ∆ )

k minusinfin

(1)

Variatia semnalului de intrare u se prezinta sub forma du = d u ( ) dt d sau

du =du ()

sdot (t minus )dt d

unde σ(t-τ) este semnalul treapta la momentul τ Deoarece se presupune ca sistemul este liniar

raspunsul la o treapta decalata in timp σ(t-τ) va fi functia indiciala decalata in timp g(t-τ)

Se poate utiliza principiul suprapunerii efectelor (principiul Duhamel ) si se scrie ca

t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t

unde u(0) este valoarea lui u la momentul t = 0

sdot (t minus )d (2)

Daca aproximarea semnalului se face printr-o succesiune de impulsuri (32b)

atunci stiind ca suprafata impulsului care incepe in momentul τ = kmiddot∆τ este

u(kmiddot∆τ) middot∆τ se obtine infin

u(t) asymp sum u(k sdot ∆ ) sdot ∆ sdot (t minus k sdot ∆ )k minusinfin

Cand ∆τrarr0aproximarea devine precisa si suma de mai sus se transforma in integrala

(4)

u(t) =infin

int u( ) sdot (t minus )dminusinfin

(5)

Daca se cunoaste raspunsul h(t) al sistemului la semnalul impuls unitar (este vorba de functia

pondere) atunci pentru conditii initiale nule semnalul de iesire se poate stabili utilizand


Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11

Produsul de convolutie ceea ce constituie o alta forma de aproximare a raspunsului unui

sistem in domeniul timpului

t

y(t) = int h(t minus ) sdot u( )d0

sau facand schimbarea de variabila t-τ = λ relatia de mai sus devine

(6)

t

y(t) = int h( ) sdot u(t minus )d

0

(7)

unde u(t) si y(t) sunt semnalul de intrare respectiv de iesire in momentul t iar u(t-λ) este

semnalul de intrare deplasat cu λ in devans fata de momentul considerat t Rezulta ca odata

cu cresterea lui λ de la 0 la t semnalul u(t-λ) se deplaseaza in devans fata de momentul t

ajungand pana in originea timpului (pentru λ = 0 se obtine u(t- λ) =u(t) iar pentru λ =t se

obtine u(t- λ) = u(0))

Conform relatiei de mai sus rezulta deci ca valoarea raspunsului unui sistem liniar continuu

si stationar SLCS in momentul t este determinata de toata evolutia anterioara a semnalului de

intrare u(t) Spus altfel raspunsul unui SLCS se poate afla prin convolutia semnalului de

excitatie si a functiei pondere

Convolutia (produsul de convolutie) stabileste o relatie intre semnalul de intrare si

cel de iesire prin intermediul functiei pondere care descrie sintetic sistemul dinamic

respectiv

In general produsul de convolutie a doua semnale continue u(t) si h(t) are forma infin

u lowast h (t ) int u(t minus ) sdot h( )d

minusinfin

t isin (8)

Produsul de convolutie (notiune introdusa pe structura algebrica Banach a spatiului de

semnale) are proprietati de comutativitate distributivitate si asociativitate

Observatii La calculul efectiv al convolutiilor cu ajutorul calculatorului pot aparea

urmatoarele tipuri de erori


Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12

a Erori de trunchiere [semnale continuediscrete] - Din punct de vedere al calculului

numeric semnalele cu suport infinit trebuie cu necesitate trunchiate rezultand semnale cu

suport finit (orizont finit de timp-definite pe un interval dat) Convolutiile calculate pe baza

2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13

semnalelor trunchiate sufera asadar automat de erori de trunchiere (deoarece suma seriei se

calculeaza pe baza unui numar finit de termeni) valorile semnalelor in afara orizontului de

timp (intervalului de trunchiere) fiind considerate zero Eroarea de trunchiere este rezonabil

de mica daca semnalele iau valori mici in afara intervalului de trunchiere

b Erori de esantionare [semnale continue] - Pentru a calcula numeric convolutia unor

semnale continue acestea trebuie discretizate (esantionate) astfel incat integrala de convolutie

sa poata fi inlocuita cu o suma de convolutie Eroarea de esantionare apare datorita faptului ca

se pierde total informatia despre evolutia functiei intre doua momente succesive de

esantionare Eroarea de esantionare este rezonabil de mica daca intervalul de esantionare este

suficient de mic

c Erori de rotunjire [semnale continuediscrete]- datorate erorilor inerente de calcul in

format virgula mobila Eroarea de rotunjire poate fi facuta rezonabil de mica daca se foloseste

o precizie numerica suficient de mare

Importanta practica a celor de mai inainte consta in aceea ca odata cunoscuta functia

pondere a unui SLCS cu ajutorul integralei de convolutie se poate afla raspunsul

acestui sistem la orice semnal de intrare Problema se reduce deci la a cunoaste u(t)

Functia pondere a unui sistem dinamic se obtine ca solutie a ecuatiei diferentiale

omogene a sistemului respectiv pentru conditiile initiale

1 Serii Fourier (Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768-1830)

Se demonstreaza ca orice functie periodica care se bucura de proprietatile ca pe parcursul

intregii perioade T este univoca are un numar finit de maxime minime si discontinuitati de

specia I-a si in plus inchide o suprafata finita poate fi descompusa intr-o serie infinita de

functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin

sdot e jsdotk sdot0 sdott (9)

in care

T

c 1

sdot f (t ) sdot eminus jsdotk sdot sdott dt

int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2

ω0 si T sunt pulsatia functiei periodice f(t) respectiv perioada ei

Relatia (9) poarta denumirea de serie complexa Fourier

Se pune intrebarea la ce serveste in TS

Se demonstreaza ca permite determinarea raspunsului fortat al unui SLCS provocat de un

semnal periodic oarecare

(15)



int

2Transformata Fourier

Fie o functie oarecare f(t) fig 34 Sa consideram in figura 35 o functie periodica

perioada T formata prin repetarea portiunii functiei f(t) cuprinsa intre ndashT2 si T2

sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim

f (t ) se poate descompune in serie complexa Fourier

unde ck este dat de relatia (10)

sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin


Se demonstreaza ca atunci cand T rarr infin se obtinesim

f (t ) = f(t) pentru orice t spectrul de frecvente

care la seria Fourier era un spectru discret devine acum un spectru continuu continand toata

gama de frecvente Se scrie ca

1 infin

f (t ) F ( j) sdot e jt d2 minusinfin

(12)

si F(jω) =

infin

int f (t ) sdot eminus jt

dtminusinfin

(13)

relatia (13) se numeste transformata Fourier a functiei f(t) sau spectrul frecvential al acestei

functii iar relatia (12) integrala Fourier inversa sau transformata Fourier inversa



Transformata Fourier se noteaza F(jω) = F[f(t)] (14)

iar transformata Fourier inversa f(t) = F-1[F(jω)] (15)

Importanta transformatei Fourier

Importanta transformatei Fourier in TS consta in faptul ca ea sta la baza metodei

frecventiale de studiu a SLCS O notiune fundamentala pentru aceasta metoda este cea de

raspuns la frecventa Raspunsul la frecventa al unui sistem este raspunsul lui fortat

(considerat in regim permanent) provocat de un semnal de excitatie armonic (sinusoidal)

Factorul de amplificare complex care determina complet raspunsul la frecventa al unui

SLCS este dat de raportul dintre transformata Fourier a marimii de iesire si cea a marimii

de intrare si rezulta imediat daca este cunoscuta ecuatia diferentiala a sistemului respectiv

Deci proprietatile interne ale sistemului sunt reliefate de raspunsul lui la frecventa si

deoarece tot ele determina raspunsul la orice alt semnal de excitatie este de presupus ca

unele din proprietatile raspunsurilor la semnalele deterministe conventionale vor fi

reliefate de catre parametrii raspunsului la frecventa Altfel spus pe baza raspunsului la

frecventa putem formula anumite concluzii privind raspunsul sistemului la un alt semnal

de excitatie

33 Tehnici de calcul bazate pe transformata Laplace (Sebastian Olah)

a Transformata Laplace

Ideea de baza (a metodelor operationale) de rezolvare a ecuatiilor diferentiale consta in asocierea

fiecarei functii f(t) de variabila reala t numita original a unei functii F(s) de variabila complexa

s = σ + jω numita imagine

Aceasta asociere este biunivoca si se caracterizeaza prin aceea ca operatiilor de derivare si de

integrare aplicata functiilor originale le corespund operatii algebrice aplicate imaginilor Ca

urmare ecuatiilor diferentiale intre originale le corespund ecuatii algebrice intre imagini



Deci problema rezolvarii ecuatiilor diferentiale se reduce la problema rezolvarii ecuatiilor

algebrice

Proprietati ale transformatei Laplace

-teorema liniaritatii L[k1middot f(t) + k2middot g(t)] = k1middotF(s)+ k2middotG(s)

-teorema intarzierii L [f(t-τ)] = e-sτ middot F(s)

-teorema derivarii originalului

-teorema integrarii originalului

In literatura de specialitate exista tabele cu transformatele Laplace uzuale (directa si inversa)

b Functia de transfer

ObservatieDiferenta mare intre transformata Laplace si transformata Fourier consta in aceea ca

ultima nu tine cont de conditiile initiale ale ecuatiei algebrice in care se transforma ecuatia

diferentiala (21) prin aplicarea transformatei Laplace

Proprietatile interne ale sistemului sunt determinate de coeficientii aohelliphellipan ai ecuatiei

operationale Transferul informational insa este determinat in plus si de coeficientii bohelliphellipbm

ai functiei de excitatie De aceea pentru caracterizarea transferului informational realizat de un

sistem descris de relatia (21) se poate constitui o functie de variabila s continand atat coeficientii

aohelliphellipan cat si coeficientii bohelliphellipbm O asemenea functie se numeste transformata

operationala

Se denumeste deci functie de transfer (fdt) urmatoare transferanta operationala



Deci fdt a unui sistem este definita de raportul dintre imaginea marimii de iesire a

sistemului ce se obtine in cazul raspunsului normal si imaginea marimii lui de intrare in

conditii initiale nule

Observatii

1 Functia de transfer este o functie de variabila complexa s = σ + jω

2 In expresia fdt intra numai parametrii caracteristici ai sistemuluiprocesului la care se refera ndash

prin coeficientii anhelliphellipa0 si bmhelliphelliphellipb0 Deci fdt depinde numai si numai de structura si

alcatuirea sistemului respectiv

3 Raspunsul unui sistem dat la diverse semnale de intrare u(t) se poate determina prin

intermediul fdt

(26)

4 Daca u(t) este un impuls Dirac δ(t) atunci raspunsul lui normal este functia pondere h(t) si

cum se stie (din tabele) ca L[δ (t)] = 1 rezulta ca rel (24) devine

H(s) = L[h (t)] =

infin

int h(t) sdot eminus st

dt0

(27)

p



Deci fdt este imaginea functiei pondere adica imaginea raspunsului normal provocat de

impulsul Dirac

Exista diverse forme de exprimare algebrica a fdt

- Remarcam ca numitorul fdt egalat cu zero constituie ecuatia caracteristica a ecuatiei

diferentiale a sistemului dat

- Radacinile numaratorului notate cu zi cu i = 1 2hellipm de forma zi = αi plusmnjβi se

numesc zerourile fdt iar radacinile numitorului notate cu pj cu j =12hellipn de forma

pj = αj plusmnjβj se numesc polii fdt

Tinand seama de natura zerourilor si polilor fdt se poate scrie sub urmatoarele forme

b) H (s) bm sdot( s minusz1 ) sdot( s minusz 2 ) helliphelliphellip ( s

minusz m )

an sdot (s minus p1 ) sdot (s minus p2 )helliphelliphellip (s minus pn )

(29)

cand radacinile si polii sunt reali (α = p-z)

c) Daca se presupune ca atat numitorul cat si numaratorul au radacini in origine s = 0 atunci fdt

are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)

este factorul de amplificare iar α este ordinul polului in origine

(30)

Concluzie cunoscand ecuatia diferentiala a unui sistem putem scrie fdt corespunzatoare

Exemplu de stabilire a functiei de transfer

1Accelerometru Un accelerometru prezentat in figura 37 este un aparat constituit dintr-o masa

m mobila in raport cu un suport S solidar cu sistemul a carui acceleratie se va masura Masa m



este readusa de un resort R de constanta k amortizorul A determina o frecare vascoasa

(coeficientul de proportionalitate a fortei de frecare cu viteza fiind ka)

In practica masa m se deplaseaza fara contact mecanic datorita unei perne de aer sau a unei

suspensii electrostatice Cand piesa a carei acceleratie se masoara si o data cu ea si suportul S al

accelerometrului se deplaseaza spre dreapta cu o acceleratie a masa m ramane in urma (pozitia



punctata) Altfel spus in raport cu suportul S el se va deplasa din pozitia sa de repaos spre stanga

d 2 y(t ) cu distanta y(t) si acceleratia

dt 2

Fig37

- Sa stabilim mai intai modelul matematic

Acceleratia rezultanta in deplasarea spre dreapta va fi data de relatia aprime a minus d 2 y(t )

dt 2

Forta de inertie care actioneaza asupra masei m in cadrul acestei miscari va fi

d 2 y(t ) Fi m sdot aprime m sdot (a minus

)dt 2

Conform legii echilibrului fortelor (legea drsquoAlembert) aceasta forta echilibreaza forta motoare

Fm care atrage masa m spre dreapta Forta Fm este data de forta de intindere a resortului R si cea

produsa de amortizor proportionala cu viteza masei m in miscarea spre stanga fata de suportul S

dy(t ) d 2 y(t ) Fi Fm ky(t ) ka dt

m(a minus )dt 2

Rezulta urmatoare ecuatie diferentiala liniara de ordinul II

d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )

dt k sdot y(t ) m sdot a (31)

ce exprima dependenta dintre citirea y (deplasarea masei m) si acceleratia suportului S



Diagrama Nyquist

Orice fdt H(s) fiind o functie de variabila complexa s = σ +jω poate fi scrisa sub forma

H(s) = HRe+jHim



Deci poate fi reprezentata intr-un plan complex cu coordonatele HRe si jHim denumit planul H(s)

Daca variabila complexa s descrie un contur inchis C in planul s fig 38a atunci H(s) descrie de

asemenea un contur inchis in planul H(s) fig38b

Fig38

Dintre toate contururile C posibile in studiul sistemelor automate prezinta interes conturul

Nyquist care este un semicerc cu centrul in originea axelor planului s avand raza infinit mare si

limitat la stanga de axa imaginara fig 39

Fig39 Fig310



Diagrama Nyquist exploreaza semiplanul drept al planului s in vederea analizei stabilitatii

sistemelor dinamice Parcurgerea axei imaginare din cadrul acestui contur corepunzand la valori

ale lui isin (minusinfin infin) echivaleaza cu cunoasterea hodografului vectorului H(jω)

Acesta reprezinta raspunsul la frecventa al unui sistem dinamic caracterizat de functia de transfer

H(s) si locul de transfer este o curba in planul H(jω) gradata in valori ale pulsatiei ω (fig 310)

HR(ω) si HI(ω) se numesc caracteristica reala de frecventa respectiv caracteristica imaginara

de frecventa

Diagrama Bode ( continuare de la livint apoi operatii cu fdt)



c) Reprezentari grafice ale fdt

Diagrama Nyquist


jsdot ( )H ( j) H Re () j sdot H Im () M () sdot e




Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice

Parcurgerea axei imaginare din cadrul acestui contur corepunzand la valori ale lui isin (minusinfin infin)

echivaleaza cu cunoasterea hodografului vectorului H(jω) Acesta reprezinta raspunsul la

frecventa al unui sistem dinamic caracterizat de functia de transfer H(s) Locul de transfer este o

curba in planul H(jω) gradata in valori ale pulsatiei ω (fig 310)

HR(ω) si HI(ω) se denumesc caracteristica reala de frecventa respectiv caracteristica imaginara

de frecventa

Diagrama Bode

Caracteristicile de frecventa se reprezinta de obicei in coordonate rectangulare simple

si in coordonate logaritmice cand pe axa absciselor se ia o scara liniara pentru lg ω Aceste

caracteristici constituie diagrama Bode

Pentru raspunsul in frecventa se introduce o masura a amplificarii sistemului (a modulului M(ω))

definita prin

AdB(ω) = 20middotlg M(ω)

AdB(ω) se numeste atenuare si se masoara cu o unitate de masura a amplificarii introdusa

in mod artificial numita decibel si notata dB Astfel de exemplu pentru o amplificare de

1000 corespunde o atenuare de 60 dB

Caracteristica atenuare-frecventa se reprezinta luand in ordonata o scara liniara pentru

atenuarea in decibeli

Pentru caracteristica faza-frecventa in ordonata se iau valorile fazei φ(ω) exprimate in

grade sau in radiani

Perechea de caracteristici AdB(ω)- atenuare-frecventa si φ(ω)- faza-frecventa reprezinta

locul lui Black

Fig 311 prezinta exemple de reprezentari grafice pentru H (jω) locul de transfer ndashhodograful

fazorului H (jω) in fig 311a caracteristica atenuare-frecventa AdB(ω) in fig 311b

caracteristica logaritmica faza-frecventa φ(ω)in fig 311c locul lui Black in fig311d



Fig311

Reprezentarea caracteristicilor de frecventa in coordonate logaritmice prezinta avantaje

- in cazul elementelor conectate in serie operatiilor de multiplicare le corespund operatii de

sumare algebrica

- utilizarea caracteristicilor logaritmice de frecventa permite cuprinderea unor domenii mai

intinse de valori pentru pulsatia ω

d) Operatii cu functii de transfer

Un avantaj important al utilizarii notiunii de functie de transfer se refera la posibilitatea

determinarii proprietatilor dinamice ale unui sistem (privit ca un ansamblu de elemente

interconectate) atunci cand se cunosc proprietatile dinamice (functiile de transfer) ale elementelor

componente



Structuri oricat de complicate ale sistemelor dinamice rezulta din combinarea a trei conexiuni de

baza ale elementelor componente conexiunea ldquoserieldquo conexiunea ldquoparalel ldquo si conexiunea

ldquoreactie inversaldquo



d1)Conexiunea ldquoserierdquo

Un numar de n elemente cu functiile de transfer H1(s) H2(s)hellip Hn(s) sunt conectate in serie

daca marimea de iesire a elementului k este marime de intrare pentru elementul k+1 ca in fig

312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)

Y2(s) Yn-1(s) =Un(s) Yn(s) = Y(s)Hn(s)

Pentru fiecare element se poate scrie

Fig312a

Yk(s) = Hk(s)middotUk(s) k = 12hellip n-1 (34)

Functia de transfer a elementului echivalent cu intrarea U(s) si iesirea Y(s) se determina tinand

seama de (33) si (34)

Y(s) = Yn(s) = Hn(s)middotUn(s) = Hn(s) middotYn-1(s) = Hn(s) middot Hn-1(s) middotUn-1(s) =

n = Hn(s) middot Hn-1(s) middothelliphellip H1(s) middot U1(s) = prod H k (s) sdotU (s) = H(s) middot U(s) (35)

k 1

Din relatia (35) rezulta

n

H(s) = prod H k (s)k 1

(36)

Deci functia de transfer echivalenta pentru mai multe elemente conectate in serie este egala cu

produsul functiilor de transfer ale acestor elemente Elementul echivalent este reprezentat in fig

312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b



d2) Conexiunea ldquoparalelrdquo

Elementele cu functiile de transfer H1(s) H2(s)hellip Hn(s) sunt conectate in paralel daca au aceeasi

marime de intrare

U1(s) = U2(s) =helliphellip= Un(s) =U(s) (37)

Iar iesirile se insumeaza algebric

n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)

O astfel de structura este reprezentata in figura 313a unde la elementul sumator este precizat

semnul cu care fiecare iesire apare in suma (38)

Fig 313

Deoarece pentru fiecare element se poate scrie

Yk(s) = Hk(s)middotUk(s) = Hk(s)middotU(s) k = 12hellip n

din (38) rezulta

n

Y (s) sum H k (s) sdotU (s)k 1

Deci functia de transfer a sistemului echivalent prezentat in figura 313b are expresia

(39)

n H (s)



k 1

(40)



Asadar functia de transfer echivalenta pentru mai multe elemente conectate in paralel este egala

cu suma functiilor de transfer ale acestor elemente

d3)Conexiunea ldquoreactie inversardquo

Conexiunea cu reactie inversa a doua elemente cu functiile de transfer H1(s) si H2(s) este

prezentata in figura 314 unde elementul cu functia de transfer H2(s) este conectat pe calea de

reactie a elementului cu functia de transfer H1(s)

In conformitate cu aceasta schema se pot scrie relatiile

U1(s) = U(s) plusmn Y2(s)

U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)

Daca in relatia (41) apare semnul + se spune ca reactia este pozitiva iar daca apare semnul - se

spune ca reactia este negative Din (41) si relatiile de definitie ale functiilor de transfer H1(s) si

H2(s) rezulta

de unde

Y(s) = Y1(s) = H1(s) middot U1(s) = H1(s) middot U(s) plusmn H1(s) middot H2(s) middot Y(s)

H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315

Daca reactia este adusa direct de la iesirea unui element se spune ca reactia este unitara fig

315 In acest caz functia de transfer echivalenta se gaseste considerand U2(s) = Y2(s) adica

H2(s) = 1 in relatia (42)

H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)

Asadar functia de transfer H(s) echivalenta conexiunii cu reactie inversa este egala cu raportul

dintre functia de transfer a caii directe H1(s) si suma sau diferenta (pentru reactie inversa

negativa respectiv pozitiva) dintre unitate si functia de transfer a buclei (calea directa si calea de

reactie) considerate deschisa in punctual P fig 314

Observatie

1 In cazul schemelor functionale mai complexe calculul functiilor de transfer echivalente

se efectueaza fie prin utilizarea unor reguli de transformare prezentate in tabele fie prin

utilizarea grafurilor de fluenta (formula lui Mason)

2 Notiunea de functie de transfer se extinde si in domeniul sistemelor discrete (esantionate)

unde se regaseste sub denumirea de functie de transfer in ldquozrdquo In mod obisnuit calculul

functiilor de transfer in ldquozrdquo se face fie aplicand transformata Z functiei de transfer in s

(caz in care se apeleaza la tabele de trecere de la H(s) la H(z)) fie aplicand transformata Z

functiei pondere H(s)

CURS 9 Teoria sistemelor mecat r onice CURS 9 Teoria sistemelor mecat r onice


4 Regimuri de functionare ale sistemelor automate

Se considera cazul unui sistem automat liniar cu coeficienti constanti descris de ecuatia

diferentiala

n nminus1 bull m mminus1 bull

an sdot y+ anminus1 sdot y + + a1 sdot y+ a0 sdot y = bm sdot u+ bmminus1 sdot

u + + b1 sdot u+ b0 sdot u

unde u(t) este marimea de intrare si y(t) marimea de iesire

Solutia acestei ecuatii se prezinta sub forma

y(t) = yl(t) + yf(t) (1)

unde yf(t) caracterizeaza regimul fortat in cadrul caruia variatia marimii de iesire este

determinata doar de marimea de intrare u(t) iar yl(t) caracterizeaza regimul liber in cadrul caruia

variatia marimii de iesire y(t) depinde doar de proprietatile fizice ale sistemului respectiv si de

conditiile

initiale care determina constantele de integrare

Componenta yl(t) este solutia ecuatiei omogene

n k

sum ak sdot y(t ) = 0 k =0

Regimurile de functionare ale sistemelor automate sunt

regimul permanent caracterizat prin lipsa componentei libere rarr yl(t)=0

Regimul permanent se stabileste dupa anularea componentei libere daca marimea de intrare

ramane neschimbata

regimul tranzitoriu caracterizat de

- existenta celor doua componente ale raspunsului y(t) cand u(t) ne 0 sau

- existenta componentei libere cand u(t) = 0

Regimul tranzitoriu apare datorita schimbarii legii de variatie in timp a marimii de intrare u(t) in

cadrul acestui regim forma de variatie a marimii de iesire y(t) este diferita de cea a marimii de

intrare u(t)



Definitii

Caracteristica statica a unui sistem reprezinta dependenta dintre marimea de iesire si cea

de intrare in regim permanent (stationar) Caracteristica statica poate fi liniara sau



neliniara Un sistem ce contine in componenta sa un element cu caracteristica statica

neliniara este un sistem neliniar

Caracteristica dinamica a unui sistem reprezinta dependenta in timp a marimii de iesire la

variatia marimii de intrare in regim tranzitoriu Forma caracteristicii dinamice sau a

raspunsului tranzitoriu este determinata de forma de variatie in timp a marimii de intrare

si de structura sistemului

5Stabilitatea sistemelor mecatronice- indicator de calitate

Exista diferite definitii si concepte de stabilitate dintre care mentionam

stabilitatea starii de echilibru (in sens Lagrange) astfel

- pentru un sistem monovariabil descris de o ecuatie diferentiala de ordin n starea sa de

echilibru este caracterizata de faptul ca marimea de intrare ramane constanta in timp labull nminus1

fel marimea de iesire a sistemului iar derivatele succesive ale acesteia

nule

y y sunt



- daca modelul matematic este o ecuatie de stare (s-a discutat in cursul 2) atunci starea de

echilibru este data de acel vector de stare X (t) pentru care este indeplinita

conditia

X (t) = 0

conceptul de stabilitate energetic conform caruia un sistem disipativ izolat este stabil

daca variatia de energie este negativa scazand pana la valoarea minima corespunzatoare

starii de echilibru

conceptul de stabilitate Leapunov din care deriva si notiunea de stabilitate exponentiala

care impune sa existe doua constante pozitive C si α astfel incat

α (t minust0 )X (t ) le C sdot e sdot X (t0 )

stabilitatea de tip intrare marginita ndash iesire marginita (IMEM) conform careia un sistem

este stabil daca semnalul de la iesire rezulta marginit in cazul in care la intrare se aplica

un semnal marginit

In cazul SLCS se foloseste frecvent prima definitie a stabilitatii mentionata care deriva de fapt

din definitia de stabilitate exponentiala sistemul este stabil daca durata procesului tranzitoriu

este limitata deci componenta libera a raspunsului yl(t)rarr0 cand t rarr infin

51 Criteriul fundamental de stabilitate

Un sistem liniar se gaseste la limita de stabilitate atunci cand in urma unei excitatii oarecare

raspunsul sau devine marginit si se manifesta sub forma unor oscilatii periodice intretinute de

pulsatie si amplitudine constanta ce se efectueaza in jurul unei valori constante

Rezulta deci necesitatea ca analiza stabilitatii unui sistem automat (mecatronic) liniar sa

porneasca de la studiul regimului liber normal pentru care

Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)

In cazul general cand functia u(t) este mai complicata imaginea ei U(s) se poate scrie sub forma



a doua polinoame in s si anume

In acest caz relatia (1) devine

U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)

Relatia (3) se poate exprima sub forma unei sume de fractii simple ceea ce impune cunoasterea

celor n radacini p1 p2hellippn ale polinomului P(s) si a celor r radacini ρ1 ρ2 hellip ρr ale

polinomului X2(s) In acest caz numitorul relatiei (3) se poate scrie

Q(s)middotX2(s) = anmiddotarmiddot(s-p1)middot(s-p2)middothelliphellipmiddot(s- pn)middot(s- ρ1) middot(s- ρ2)middothelliphellipmiddot(s- ρr) (4)

Conform teoremei dezvoltarii in calculul operational fractiaQ ( s )

sdot X 1

( s )se poate descompune

in (n+r) fractii simple astfel

P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)

P(s) X 2 (s) (s minus p1 ) (s minus p2 ) (s minus pn ) (s minus ρ1 ) (s minus ρ2 ) (s minus ρr )

Aplicand transformata Laplace inversa[ f (t ) = 1 σ + jω

int F (s) sdot est ds ] relatiei anterioare (5) se

obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)

In expresia lui yl(t) notam ca Cli cu i = 1n sunt constante de integrare care se determina din

conditiile initiale ale raspunsului normal iar

P(s) = 0)

pi sunt polii fdt (radacinile ecuatiei caracteristice



Forma acestor radacini care nu depind decat de coeficientii ecuatiei caracteristice

determina caracterul regimului tranzitoriu (liber) si deci determina stabilitatea sistemului


nminus1


Cand componenta libera dispare cu timpul atunci sistemul este stabil in caz contrar cand aceasta

se amplifica cu timpul sistemul este instabil Rezulta ca stabilitatea unui sistem depinde de

proprietatile interne ale sistemului si nu de legea dupa care variaza excitatia externa

Observatii

Studiul stabilitatii sistemelor liniare se reduce la studiul distributiei radacinilor ecuatiei

caracteristice fata de axa imaginara (studiul polilor)

- Sistemul automat (mecatronic) este stabil (asimptotic) atunci cand ecuatia lui caracteristica

admite radacini situate in stanga axei imaginare a planului complex al radacinilor

- Sistemul automat liniar este la limita de stabilitate sau oscilant intretinut daca ecuatia lui

caracteristica in afara unor radacini situate in stanga axei imaginare a planului radacinilor

admite in plus cel putin o pereche de radacini imaginare simple

- Sistemul este instabil cand ecuatia lui caracteristica admite o radacina situata in dreapta axei

imaginare a planului radacinilor sau radacini multiple situate pe axa imaginara

Din cele mentionate rezulta ca in aplicarea criteriului fundamental de stabilitate este

necesara rezolvarea ecuatiei caracteristice a sistemului rezolvare ce este dificila cand

ordinul ecuatiei este mai mare decat patru

Pentru a se aprecia stabilitatea unui sistem pot fi insa utilizate metode care nu necesita rezolvarea

ecuatiei caracteristice metode numite criterii de stabilitate

52 Criteriul de stabilitate Routh-Hurwitz

Criteriul coeficientilor stabilit de Routh si Hurwitz este un criteriu algebric de evaluare a

stabilitatii sistemelor liniare fara rezolvarea ecuatiei lor caracteristice

Fie ecuatia caracteristica a unui sistem liniar

P(s) = an sdot sn + a sdot

snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0



in care toti coeficientii sunt constanti si diferiti de zero

Cu coeficientii polinomului caracteristic se construieste un determinant de ordin n egal cu gradul

polinomului numit determinant Hurwitz

-pe diagonala principala se trec coeficientii polinomului caracteristic P(s) scris in ordinea

descrescatoare a puterilor lui s incepand cu an-1

-pe fiecare coloana sub diagonala principala se trec coeficientii termenilor de grad superior iar

deasupra diagonalei principale se trec coeficientii termenilor de grad inferior

- dupa epuizarea coeficientilor locurile ramase libere se completeaza cu zerourian minus1 an minus3

an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0

Criteriul de stabilitate Hurwitz se formuleaza astfel

O conditie necesara si suficienta pentru ca sistemul a carui ecuatie caracteristica este descrisa de

relatia (8) sa fie stabil este ca toti determinantii minori principali inclusiv determinantul Hurwitz

sa fie strict pozitivi

Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3

anminus1 anminus3 anminus5

∆1 = anminus1 gt 0 ∆2 = a a

gt 0 ∆3 = an anminus 2 an minus 4 gt 0 ∆n gt 0 (10)n nminus 2 0 a



C U RS 10 T e or i a sist e me l or me c a tro n i c e C U RS 10 T e or i a sist e me l or me c a tro n i c e


6 Structura hardware a unui sistem mecatronic

Structura de baza a unui sistem mecatronic este prezentata in figura 1

Fig1 Schema bloc a unui sistem mecatronic

622 Microcontrolerul

Este de asemenea un modul de baza din structura unui sistem mecatronic

1 Definitie

Un microcontroler este similar unui microprocesor Ambele conţin o unitate centrală de

prelucrare sau CPU (central processing unit) CPU execută instrucţiuni care icircndeplinesc

operaţiile de bază logice matematice şi de transport a informaţiei

Spre diferenţă de microprocesor microcontrolerul este un calculator pe un chip deorece el

conţine şi memorie şi interfeţe de intrare-iesire pe lacircngă CPU Deoarece memoria şi interfeţele

care icircncap pe un chip sunt limitate microcontrolerele tind să fie utilizate icircn sisteme mai

mici care necesită doar un microcontroler şi cacircteva elemente adiţionale



Fig 3 Structura unui microcontroler

4 Structura unui microcontroler

Modulele de baza

ale microcontrolerelor

Alte functii

specifice

1 Unitatea centrala (CPU-central processing unit)

2 Memoria (ROM RAM EEPROM)

3 Sistemul de intrariiesiri (IO)

4 Masurarea timpului

5 Canale PWM (Pulse Width Modulated

Outpouts)

6 Conversia digital - analoga

7 Conversia analog ndash digitala



5 Unitatea de memorie UM

- Mod de funcţionare

Unitatea de memorie este acea parte a microcontrolerului care are funcţia de a icircnmagazina

informaţia sub formă de date şi de a o face accesibilă (operaţie denumită ldquoCitirerdquo) atunci cacircnd

se doreşte acest lucru

- Variante de realizare a memoriei locale

Icircn afară de memoria locală de tip RAM de dimensiuni relativ reduse mai există o serie

de aspecte specifice marea majoritate a acestora fiind legată de implementarea fizică a

memoriei de program

a) Memoria ROM (Read only Memory)

- poate fi doar citita de CPU si este nevolatila

-se foloseste pt pastrarea programului si a datelor de tip constanta (ex tabele de date ce contin

caracteristicile unor traductoare)

- inscrierea programului in memorie se face cu un echipament denumit (E)PROM

PROM ndash se programeaza o singura data

EPROM ndash se poate programa de mai multe ori (de peste 100 ori)

- Pt stergere se utiliz dispozitiv bdquoStergator de EPROMrdquo (expunerea memoriei la razele

ultraviolete generate de stergator timp de cateva minute (10hellip20 min) ndash existenta unui

gemulet

- Majoritatea microcontrolerelor poseda ROM interna de tip PROM sau EPROM cea PROM

specifica microcontrolerelor programabile o singura data ndash OTP

b) Memoria RAM (Random Acces Memory)

- Poate fi citita si scrisa si este volatila

- Se utilizeaza pt pastrarea datelor memoria este mica (64hellip512 octeti) dar pentru multe

aplicatii este suficienta

- Poate fi interna (poate fi impartita in mai multe zone cu functiuni diferite) si externa

c) Memoria EEPROM (Electrically Erasable PROM)



ndash Sunt nevolatile pot fi sterse electric fiind utile in sistemele cu mct (microcontrolere) pt

pastrarea unor date ce se modifica relativ rar (date de calibrare constante de traductor etc)

sau pastrarea datelor masurate

- Timp de citirescriere mai mare decat in cazul RAM

- De regula este externa (ca masura de protectie) insa unele mct pot avea si EEPROM interna

in caz de defectare datele pot fi citite de un alt mct

6 Unitatea centrală de procesare CPU

- Rol şi funcţionalitate



Este blocul din componenţa unui microcontroler capabil să acţioneze asupra conţinutului

(datelor) uneia sau mai multor locaţii conţinute icircn unitatea de memorie UM specializat pe

operaţii (de adunare icircnmulţire icircmpărţire extragere şi reintroducere) de date care poate să

depoziteze datele atacircta timp cacirct asupra acestora se efectuează operaţii

In urma efectuării acestor operaţii se va depune icircnapoi icircn unitatea de memorie (icircn locatiile de

memorie) rezultatul operaţiilor efectuate (un nou conţinut de date)

7 Bus-ul ndash Magistrala de date şi adrese

-Rol şi funcţionalitate

Comunicatiile intre modulele microcontrolerului se realizeaza prin intermediul

bus-ului (magistrale de adrese date si control)

Din punct de vedere fizic el reprezintă un grup de 8 16 sau mai multe fire (panglică de fire

speciale care permit transmisia de date la anumite viteze impuse)

Există două tipuri de bus-uri bus de adresă sau magistrală de adrese

bus de date sau magistrală de date



8 Sistemul de intrariiesiri IO


Fig5

Icircn ceea ce priveşte funcţionalitatea situaţia s-a icircmbunătăţit dar o nouă problemă a apărut de

asemenea avem o unitate ce este capabilă să lucreze singură care nu are nici un contact cu

lumea de afară sau cu noi

Pentru a icircnlătura această deficienţă să adăugăm un bloc ce conţine cacircteva locaţii de memorie

a căror singur capăt este conectat la busul de date iar celălat are conexiune cu liniile de ieşire

la microcontroler ce pot fi văzute cu ochiul liber ca pini la componenta electronică

Operatii specifice

Citirea unor date de tip numeric

- starea unor contacte

- semnal numeric transmis de modulul de masurare ca urmare a unei prelucrari locale

a datelor citirea unor astfel de semnale se face pe un pin al mct (denumit port de

intrare in acest caz) gruparea mai multor linii de porturi formeaza un port paralel

(de regula

8 linii uneori 4)

- continutul portului se regaseste intr-un registru special (SFR) asociat

portului respectiv aflat in memoria interna a microcontrolerului

Citirea unor date de tip analogic

- Datele analogice pot fi standardizate (2hellip10 mA 4hellip20 mA etc) sau nu

- Citirea semnalului se face pe un pin al microcontrolerului denumit port analogic


- Modulul de conversie analog-numerica ADC (Analog Digital Converter) ndash semnalul este

convertit digital

- Pot fi mai multe porturi de intrare analogica dar exista de regula un singur ADC

9 Unitatea de timer

Odată rezolvată problema comunicaţiei seriale putem recepţiona trimite şi procesa date

Totuşi ca să icircl putem utiliza icircn special icircn industrie mai avem nevoie de cacircteva blocuri Unul


din acestea este blocul de timer care este important pentru noi pentru că ne dă informaţia de

timp durată protocol etc

Unitatea de bază a timer-ului este un contor liber care este de fapt un registru a cărui valoare

numerică creşte cu intervale de timp egale aşa icircncacirct luacircndu-i valoarea după intervalele T1 şi

T2 şi pe baza diferenţei lor să putem determina cacirct timp a trecut Acesta este o parte foarte

importantă a microcontrolerului a cărui control necesită cea mai mare parte a timpului nostru

Utilizari ale timerului

a) Generarea unei intreruperi la intervale regulate de timp

b) Masurarea precisa a momentului producerii unor evenimente externe captura logica

- Deoarece utilizarea unei linii de port care sa genereze o intrerupere in momentul producerii

evenimentului extern nu este o solutie acceptabila (datorita timpului scurs intre momentul

producerii evenimentului si momentul in care se iau deciziile asociate) timerele contin hardul

necesar capturii logice

- Timerul este asociat cu un numar de registri de captura care copie continutul timerului in

registru atunci cand producandu-se evenimentul extern se produce o tranzitie pe un pin de

intrare asociat registrului

- pinii de intrare asociati sunt linii de port IO obisnuite avand ca functiune alternativa captura

logica copierea se face automat daca timerul este programat in acest scop

c) Generarea precisa a unor semnale spre proces comparatia logica

- generarea acestora prin program poate fi imprecisa (existenta intreruperilor in sistem

dificultatea de a genera unele semnale prin program)

d) Controlul functionarii corecte a microcontrolerului (watchdog =ceas de garda)

Să presupunem că urmare a unei anumite interferenţe (ce adesea se icircntacircmplă icircn industrie-

situatie similara este caderea tensiunii de alimentare) microcontrolerul nostru se opreşte din

executarea programului sau şi mai rău icircncepe să funcţioneze incorect Bineicircnţeles cacircnd

aceasta se icircntacircmplă cu un computer icircl resetăm pur şi simplu şi va continua să lucreze Totuşi


nu există buton de resetare pe care să apăsăm icircn cazul microcontrolerului care să rezolve

astfel problema noastră


WATCHDOG CONTOR LIBER UNDE PROGRAMUL SCRIE UN 0 ORI DE CATE ORI SE EXECUTA CORECT

10 Convertorul Analog-Digital

Pentru că semnalele de la periferice sunt substanţial diferite de cele pe care le poate icircnţelege

(zero şi unu) ele trebuie convertite icircntr-un mod care să fie icircnţeles de microcontroler

Această sarcină este icircndeplinită de un bloc pentru conversia analog-digitală sau de un

convertor AD Acest bloc este responsabil pentru convertirea unei informaţii privind o

anumită valoare analogă icircntr-un număr binar şi pentru a o urmări pe tot parcursul la un bloc

CPU icircn aşa fel ca blocul CPU să o poată procesa

Convertoarele utilizate fac parte de regulă dintr-un sistem de achiziţie de date existacircnd şi un

multiplexor analogic cu mai multe canale

Rezoluţia disponibilă este de 8 sau 10 biţi cu precizia corespunzătoare numai pentru 8 (9) biţi

pentru mărime de intrare unipolară

Referinţa utilizată este externă Timpul minim de conversie obtenabil este icircn plaja x1 micros ndash

x10 micros Există microcontrolere care utilizează tehnici de (re)calibrare pentru mărimea şisau

menţinerea preciziei

Tehnicile de conversie utilizate sunt aproximaţii succesive (majoritatea) cu eşantionare

implicită sau rampă digitală

Obs Icircn ultimul timp au apărut şi variante de CAN cu rezoluţii mari şi foarte mari realizate icircn

tehnica sigma-delta Realizările respective sunt mai degrabă un CAN cu microcontroler (firma

Analog Device oferă un nucleu de 8051 plus un CAN sigma-deltacu rezoluţii pacircnă la 24 biţi)

Convertoare numeric-analogice (CNA)

Practic singura tehnică de conversie numeric analogică care poate fi folosită este bazată pe

modulaţia factorului de umplere (PWM) Există unul sau mai multe canale pe care se poate

genera un tren de impulsuri cu factor de umplere programabil (0 -100)

Canalele de tip PWM pot genera impulsuri a caror latime si perioada de repetitie este

programabila Iesirile tampon (buffer) PWMi pot fi utilizate pentru

- controlul vitezei de rotatie a unui motor (viteza de rotatie va fi proportionala cu continutul

registrului PWMi- realizarea conversiei numeric-analogice- generarea de sunete

Eventual icircn acest scop se poate utiliza şi sistemul de timerenumărătoare

Printr-o filtrare de tip trece jos exterioară se poate obţine o tensiune proporţională cu factorul

de umplere

21 Notiunea de sistem teoria sistemelor si sistem automat

- Prin sistem se intelege o unitate relativ delimitata fata de mediu printr-o structura

interna

- In lexiconul tehnic roman se da urmatoarea definitie Prin sistem se intelege un ansamblu de

elemente intre care exista una sau mai multe relatii afara de relatia conform careia elementele

apartin ansamblului Elementele unui sistem pot fi obiecte concepte marimi propozitii

Pentru a clarifica aceasta definitie se face apel la exemplul urmator

Fig21 p15 Voicu

Intr-un recipient (fig21) trebuie ca temperatura si nivelul lichidului sa ramana constante in

conditiile in care exista un consum de lichid Aceasta presupune supravegherea nivelului si

temperaturii si in functie de variatiile acestor marimi de la valorile lor prestabilite comanda

corespunzatoare a pompelor P1 si P2 si ventilului V3

Se pun aici doua probleme

a) sa se modifice adecvat debitele pompelor P1 si P2 astfel ca nivelul sa ramana constant

Elementele care concura la rezolvarea acestei probleme actioneaza intr-o ordine si sunt

intercorelate Ele concretizeaza o structura si formeaza o unitate Incalzirea sau racirea

lichidului nu apartin unitatii si reprezinta mediu exterior S-a evidentiat un sistem

b) sa se modifice adecvat debitul Qt astfel ca temperatura sa ramana constanta De

aceasta data variatia nivelului lichidului apartine unitatii deoarece temperatura

depinde si de debitele Qt si Q1 Q2 S-a evidentiat un alt sistem

A Se defineste stare a unui sistem cea mai mica colectie de numere care trebuie cunoscute

la momentul t =t0 pentru a face posibila prezicerea in mod unic a comportarii sistemului in

orice moment tget0 pentru orice marime de intrare ce apartine multimii marimilor de intrare in

ipoteza ca toate elementele acestei multimi sunt cunoscute la tget0 Aceste numere sunt

denumite variabile de stare










Fig22

A



y = (y1 y2hellipyr)



forma

y = A (u p) (21)









Fig23





B x = B (u p) (23)

C y = C (x u p) (24)


A(up) = C (B(u p) u p) (25)


stare-iesire

















performante etc














cauze efecte






Fig25a Fig25 b



intrare r y = f(r)

















r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c





numericanalogice

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere










Fig22

A



y = (y1 y2hellipyr)



forma

y = A (u p) (21)









Fig23





B x = B (u p) (23)

C y = C (x u p) (24)


A(up) = C (B(u p) u p) (25)


stare-iesire

















performante etc














cauze efecte






Fig25a Fig25 b



intrare r y = f(r)

















r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c





numericanalogice

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



forma

y = A (u p) (21)









Fig23





B x = B (u p) (23)

C y = C (x u p) (24)


A(up) = C (B(u p) u p) (25)


stare-iesire

















performante etc














cauze efecte






Fig25a Fig25 b



intrare r y = f(r)

















r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c





numericanalogice

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere












performante etc














cauze efecte






Fig25a Fig25 b



intrare r y = f(r)

















r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c





numericanalogice

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig25a Fig25 b



intrare r y = f(r)

















r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c





numericanalogice

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



intrare r y = f(r)

















r m yS1

(DA)S2

(IA) Fig25c





numericanalogice

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

















ASisteme liniare

B Sisteme neliniare



timp




















numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere














numeste cod



I = logaN

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

27 Semnale

271 Generalitati











informational





semnalelor



















- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere














- semnale analogice

- semnale discrete

(fig27c)

x(t)

x(t)

Fig27a Fig27b

x(t)

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

Fig27c







analitice




t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

t

01(t) = σ(t) =

1t 0t 0

(4)






σ(t)



0

2 1

σε(t)

(5) σε (t) =

(t )2

minus t 2 2

1 t 2

ε2 0 ε2 t

Fig210








y(t)u (t )1(t ) g (t)




u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

u(t) y(t)SLCS

u(t)1

y(t)

t t0

1

τ τ


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere


Carmen Bujoreanu

0

1Carmen Bujoreanu 1

t




Fig211

minus

2



infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

infin



Proprietati


δ(t) = δ(-t) (11)


0 t ne 0δ(t) =

t 0(12)





in infin 0


(13)














δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere








δ(t)

Fig 212

A

∆t






δ(t) h(t)

0 t t

τ τ

Se poate scrie deci

u(t) = δ(t) rArr


Fig213

y(t )u (t ) (t ) h(t)












y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere









y (0) 1

u(t) = δ(t)y(t) = h(t)

Fig214



sdot eminust 1


dy ( t )



d 2 y (t ) 2

dy (t ) 2 y(t ) k 2u(t ) 0 1

dt 2 n dt

n n

















3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere












3Semnalul rampa


0 t 0r(t)=ramp(t) =

t t ge 0(14)


tg α=1Fig 215












u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere




u(t) = A cos(ωt + Φ) (15)




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere




acestuia Tisin R+




u(t) = aejωt

= AejΦ

ejωt
















Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig31





a b

Fig 32

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

int


Carmen Bujoreanu 10

Carmen Bujoreanu 10


k infin


k minusinfin

(1)


du =du ()

sdot (t minus )dt d




t du

u(t) = u(0) sdot (t ) 0 dt t








(4)

u(t) =infin


(5)




Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere


Carmen Bujoreanu 11

Carmen Bujoreanu 11



t



(6)

t


0

(7)












respectiv



minusinfin

t isin (8)






Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere


Carmen Bujoreanu 12

Carmen Bujoreanu 12




2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

2

k T


Carmen Bujoreanu 13

Carmen Bujoreanu 13










suficient de mic













functii armonice

f(t) =

infin

sum ck

k minusinfin


in care

T

c 1


int 0

(10)

minus T


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere


Carmen Bujoreanu 14

Carmen Bujoreanu 14

2






(15)



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



int




sim

f (t ) de

Fig34 Fig35

Functiasim



sim

f (t ) =

infin

sum ck

k minusinfin






1 infin


(12)

si F(jω) =

infin


dtminusinfin

(13)




















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere


















de excitatie












algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere




algebrice
















operationala







Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere






Observatii






intermediul fdt

(26)



H(s) = L[h (t)] =

infin


dt0

(27)

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

p




impulsul Dirac









minusz m )


(29)



are forma

k Q (s)

undeb

k m minus q

an minus p

H (s) sdot q

s P (s)


(30)
















dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere












dt 2

Fig37



dt 2



)dt 2





m(a minus )dt 2


d 2 y(t )m sdot

dt 2 ka sdotdy(t )





Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Diagrama Nyquist


H(s) = HRe+jHim






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere






Fig38




Fig39 Fig310









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere









de frecventa





Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere




Diagrama Nyquist






Fig38






Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig39 Fig310




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere




sistemelor dinamice






de frecventa

Diagrama Bode





definita prin










locul lui Black






Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig311



sumare algebrica







componente











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere











312a

Uk+1(s) = Yk(s) k = 12hellip n-1 (33)

U(s) = U1(s) Y(s) = Yn(s)

U(s) = U1(s) Y1(s) = U2(s)H1(s) H2(s)



Fig312a






k 1


n


(36)



312 b

U(s) Y(s)n

H(s)= prod H k

(s)k 1



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig 312b





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere





marime de intrare



n

Y (s) sumYk (s)k 1

(38)



Fig 313



din (38) rezulta

n



(39)

n H (s)



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



k 1

(40)











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere











U2(s) = Y1(s) (41)

Y(s) = Y1(s)



H2(s) rezulta

de unde


H (s) Y ( s )

H 1 ( s )

(42)U (s) 1 ∓ H1 (s) sdot H 2 (s)



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig 314



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Fig 315




H (s) H 1 ( s )

1 ∓ H1 (s) (43)





Observatie













diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere





diferentiala






y(t) = yl(t) + yf(t) (1)




conditiile



n k





ramane neschimbata






intrare u(t)



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



Definitii

















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere















nule

y y sunt





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere





conditia

X (t) = 0



starii de echilibru






un semnal marginit










Y (s) = Q ( s )

sdotU

(s)P(s)

(1)






U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere





U (s) = X 1 ( s )

X 2 (s) (2)

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

sdot e



Y (s) = Q ( s )

sdot X 1

( s )(3)

P(s) X 2 (s)






sdot X 1



P(s) X 2 (s)

Q ( s ) sdot

X 1 ( s ) = A 1 +

A 2 + A n +

B 1 + B 2 + +

B r

(5)




obtine

2π j σ minus jω

n r

y (t ) = sumi =1

C li sdot e pi ( t

)

+ sumj =1

C f jsdot e

ρ j ( t

) (6)

unde yl (t ) =n

sumi =1

Cli

pi (t ) si y f (t )

=

r

sum C f

jj =1

sdot eρ j (t )

(7)



P(s) = 0)







nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere






nminus1





Observatii




















snminus1

+ + a1 sdot s + a0 = 0

(8)

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere

0 0 0

0 0 0

0 0 0an

0











an minus 2

an minus1

an minus5

an minus 4

an minus3

∆n = (9)

0 0 0 a2 a0 0

0 0 0 a3 a1 0

0 0 0 a4 a2 a0





Aceasta inseamna ca

an minus1 anminus3













1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere










1 Definitie












Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere





Modulele de baza


Alte functii

specifice






Outpouts)













memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere











memoriei de program










gemulet







































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere































Fig5







Operatii specifice






(de regula

8 linii uneori 4)








convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere



convertit digital


9 Unitatea de timer
































































de umplere






























































de umplere

BSA

Documents

Transcript of BSA