HiperbolaBocăneală MaricelClasa a XIa AC.N.A.I.C.

Definiţie Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea că diferenţa distanţelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă.

Considerăm astfel un punct M(x,y) şi doua focare F₁(-c,0) şi F₂(c,0). Cu ajutorul acestora putem defini hiperbola prin condiţia geometrică : |MF₁-MF₂|=2a, a(a,) (E₁).

Ecuaţia hiperbolei

Am considerat focarele F₁(-c,0) şi F₂(c,0). Din asta rezultă că |F₁F₂|=2c, c>0.

Exprimând analitic E₁ obţinem:.

Deoarece |MF₁ - MF₂|< F₁F₂, x(-c,c) obţinem că ac. Notăm b²=c²-a².

Înlocuind în E₂ şi aducând la acelaşi numitor obţinem: (ECUAŢIA CARTEZIANĂ A HIPERBOLEI).

Intersecţia hiperbolei cu axele

Hiperbola taie axa Ox în punctele A(a,0) şi A'(-a,0), numite vârfurile hiperbolei.

Hiperbola nu taie axa Oy.Dacă a=b se numeşte hiperbolă

echilaterală.Ox şi Oy sunt axe de simetrie

pentru hiperbolă.

Funcţia hiperboleiScriind ecuaţia hiperbolei sub forma

y=, x. Considerăm funcţia

f:[a,), f(x)=. Graficul funcţiei f dă graficul

hiperbolei în cadranul I, iar prin simetrie în raport cu axele Ox şi Oy se obţine graficul hiperbolei.

Asimtote asimtote orizontalem==n=====0y=x asim. olic. la +

Derivata I şi a IIaf‘(x)=, x (a,);f''(x)=, x(a,);

Graficul funcţiei

graficul lui f

graficul hiperbolei