TEMA: METODA NEWTONElaborat de Bondarenco Ana, eleva clasei a XII-a “B”

CUVINT INAINTE

Metoda Newton reprezinta o metoda raspindita si convenabila de rezolvare a ecuatiilor neliniare. Ea se mai numeste metoda Newton-Raphson sau metoda tangentelor.

Deci, ea este o metoda de determinare a unei radacini a unei functii reale, adica sa aflam punctul de intersectie a graficului unei functii reale cu axa Ox

PREZENTAREA GRAFICA A UNEI FUNCTII

este necesar atât evaluarea funcţiei f(x) ce defineşte ecuaţia, cât şi a derivatei acesteia f '(x) unde ecuaţia tangentei în xn-1 este:

y – f(xn-1) = f’(xn-1)(x – xn-1)

Ca conditie f este derivabilă şi derivata nu se anulează. Rădăcina ecuaţiei este determinată ca limita unui şir. Se pleacă de la un punct x0 dat. Presupunând că s-a construit termenul xn-1, termenul xn se determină ca fiind abscisa intersecţiei dintre tangenta la graficul funcţiei în xn-1 şi axa Ox.

NUANTELE METODEI:

Condiţiile de convergenţă ale metodei Newton se referă nu numai la funcţia f(x) dar şi la primele sale două derivate,  f '(x) şi f ''(x) pentru ca calculele sa poata fi efectuate si ecuatia tangentei functiei sa poata fi aplicata.   Deosebirea dintre alte metode de rezolvare a ecuatiilor si metoda Newton apropierea de soluţia exacta, prin care se asigură practic dublarea numărului de cifre exacte ale soluţiei calculate la fiecare iteraţie. Această proprietate plaseaza metoda Newton ca cea mai eficientă cale de rezolvare a unei ecuaţii neliniare pentru care este posibilă evaluarea derivatei f '(x).

ALGORITMUL DE APLICATIE

1. Definirea functiei f(x), a derivatei f '(x), a aproximaţiei iniţiale x, a preciziei Eps şi a numărului maxim de iteraţii nmax.2. Iniţializarea procesului iterativ:  It ← 0;3. Procesul iterativ: 1)Se trece la o noua iteratie: It ← It+1; 2)Calculul corectiei: dx ← f(x) / f '(x) ; 3)Calculul noii aproximaţii:  x ← x + dx ; 4)Dacă s-a atins precizia dorită (|dx| <= Eps) sau numărul maxim de iteraţii(nmax) se întrerupe bucla iterativă şi se trece la pasul 4.4. Stabilirea condiţiilor de ieşire din bucla iterativă: 1)Dacă |dx|<Eps - proces convergent – soluţia aproximativă este x. 2)Dacă |dx|>=Eps şi It=nmax, se afişează mesajul : "Depăşire număr maxim iteraţii".

FORMULA SOLUTIEI ECUATIEI

Xn=Xn-1-f(x-1)/f '(x-1) unde n>= 1 si x0∈ [a, b] este ales astfel încât f(x)f”(x0) > 0Aceasta expesie reprezinta un sir a carui limita reprezinta x.

CONCLUZIE

Metoda Newton este usor de aplicat in problemele Pascal returnind valori aproximativ exacte ca radacini ale unei functii reale. Desi este o generalizare a metodei tangentei, unicul ei dezavantaj consta in faptul ca este necesara calcularea la fiecare pas a inversei unei matrice sau rezolvarea unui sistem de ecuatii lineare.