BA - Calcul Neliniar - 2-3

CALCULUL NELINIAR AL ELEMENTOR DE BETON ARMAT ŞI PRECOMPRIMAT

21

Un alt model frecvent utilizat, adoptat şi de STAS 10107/0-90

[5], a fost elaborat de Hognestad [6]. Acest model prevede următoarele

relaţii:

pentru ramura ascendentă (0c0) o parabolă de gradul II:

c0c0

cu2

-12= (2.3.a)

pentru ramura descendentă (c1<cu) o variaţie liniară :

c0cu

c0

cu-

-0.15-1= (2.3.b)

Valoarea modulului lui Young tangent iniţial (vezi Figura 2.7),

în originea sistemului de referinţă, este

c0

cu

0

c02

d

d=E

(2.4)

şi este dublă faţă de modulul secant Ecs corespunzător efortului maxim.

Desayi şi Krishnan [7] unifică într-o singură expresie descrierea

comportării pe cele două ramuri (vezi Figura 2.7):

c (+)

c (+)

cu

Ec0

cu c0

Ecs

Figura 2.7 Diagrama schematizată efort-deformaţie uniaxială a

betonului comprimat pentru analize neliniare

2 MODELE CONSTITUTIVE

22

2

c0

c0

1

E=

(2.5)

Simularea unui număr redus de cicluri la încărcare şi

descărcare uniaxială la trepte inferioare de solicitare se modează

prin segmentele de dreaptă având orientarea definită de panta

tangentei în origine la curba caracteristică (direcţia definită de

Ec0), aşa cum se prezintă în Figuria 2.8.

c (+)

c (+)

Ec0

Ec0

Ec0

Figura 2.8 Traseul uniaxial pentru diagrama efort-deformaţie

la descărcare şi încărcare

O astfel de abordare este indicată doar pentru deformaţii

specifice mici:

cu4

1 (2.6)

Figura 2.9 prezintă relaţia efort-deformaţie tipică pentru betonul

supus la cicluri multiple încărcare-descărcare. Karson şi Jirsa [8] pun în


23

evidenţă un domeniu în planul efort-deformaţie, definit de o serie de

puncte care controlează degradarea proprietăţilor mecanice ale betonului

solicitat. Sub limita inferioară a acestui domeniu există o zonă de

stabilitate şi se poate aplica modelul comportamental din Figura 2.8.

Dacă sarcinile depăşesc limita zonei de stabilitate şi efortul maxim este

atins la fiecare ciclu, se acumulează deformaţii plastice importante între

cicluri. Astfel, s-au introdus noţiunile de punct convenţional şi punct de

întoarcere (vezi Figura 2.9). Punctul convenţional este definit de efortul

maxim la care diagrama unui ciclu de reîncărcare intersectează curba

definită de descărcarea ciclului precedent, iar punctul de întoarcere

(aflat pe limita superioară a zonei de stabilitate) controlează energia

disipată la fiecare ciclu. Prin modelul simplificat din Figura 2.10,

Darwin şi Pecknold [9] idealizează locul geometric al acestor puncte

caracteristice prin două curbe, iar pentru înfăşurătoarea eforturilor

adoptă o linie dreaptă definită de (cu, c0) şi (0.2cu, 4cu), aflată în

continuarea palierului ascendent corespunzător primului ciclu de

încărcare.

Figura 2.9 Comportarea betonului comprimat la cicluri

încărcare-descărcare

c (+)

c (+)

înfăşurătoarea eforturilor maxime

Ec0

Ec0

Ec0

2

cu

0.2cu

c0 4cu

punct convenţional

punct de întoarcere

punct convenţional

punct de întoarcere

p2 p1 1


24

c (+)

c (+)

înfăşurătoarea eforturilor maxime

cu

c0 p

locul geometric al punctelor convenţionale

locul geometric al punctelor de întoarcere

0.2cu

1m

1c

1i 2i

2c

2m

3i

3c

3m

4m

4i

4c

4cu

Figura 2.10 Modelul Darwin şi Pecknold [9] pentru simularea

ciclurilor încărcare-descărcare

Aşa cum se observă în Figura 2.10, în raport cu mărimea

deformaţiei specifice totale şi direcţia modulului tangent iniţial, se

disting patru zone asociate punctelor caracteristice:

zona 1:

1m1i

1m1c

2

1=

6

5=

(2.7)

zona 2:

)f6

1,

6

1(=

)f6

1,

6

1(-=

ck2m2i

ck2m2m2c

min

min

(2.8)

zona 3:

ck3m3i

ck3m3c

f3

1-=

f6

1-=

(2.9)


25

zona 4:

4m4i

4m4c

3

1=

3

2=

(2.10)

În relaţiile (2.72.10), fck este valoarea caracteristică a

rezistenţei cilindrice la compresiune uniaxială. Deformaţia plastică p

corespunzătoare deformaţiei totale d dinaintea descărcării se calculează

cu relaţia empirică propusă de Karson şi Jirsa [8]:

cu

d

2

cu

d

cup0.130.145 (2.11)

Aşa cum se observă în Figurile 2.9 şi 2.10, pentru nivele de

solicitare peste locul geometric al punctelor de întoarcere, la un ciclu

oarecare descărcarea are loc după direcţia tangentei iniţiale în origine,

după care panta descărcării se consideră panta de încărcare a ciclului

următor, care la rândul ei este definită de punctul convenţional

corespunzător şi deformaţia plastică.

În elementele liniare confinarea betonului poate fi generată de

legăturile exterioare şi/sau armăturile transversale. În primul caz, într-o

abordare incrementală, eforturile de confinare se raportează valorii

coeficientului lui Poisson şi rigidităţii legăturilor. În cel de-al doilea caz,

nivelul eforturilor de confinare se raportează valorii coeficientului lui

Poisson şi mărimii deformaţiei din armătura transversală, eventual a

eforturilor de precomprimare transversală. O rezolvare exactă a stării de

eforturi spaţiale poate fi rezolvată doar prin analize anizotrope. Într-o

abordare simplificată, pentru un efort de confinare 2 asociat

deformaţiei de curgere a armăturii transversale, EC 2 [4] admite

diagrama prezentată în Figura 2.11, definită de următoarele expresii ale

eforturilor şi deformaţiilor caracteristice:


26

c (+)

c (+)

cu

cu c0

cu,c

cu,c c0,c

Figura 2.11 Diagrama efort-deformaţie pentru betonul confinat

pentru efortul ultim la compresiune:

cu2

cu

2

cuccu,

cu2

cu

2

cuccu,

05.0pentru 5.2125.1=

05.0pentru 0.50.1=

(2.12)

pentru deformaţiile caracteristice:

cu

2

cuccu,

2

cu

ccu,

c0cc0,

2.0=

=

(2.13)

Modelul constitutiv utilizat curent pentru a caracteriza

comportarea betonul întins este prezentat în Figura 2.12. Deoarece

rezistenţa betonului întins este de doar (520) % din rezistenţa sa la

compresiune, se consideră o variaţie liniară pentru ramura ascendentă a

betonului nefisurat. Palierul descendent, după deschiderea fisurii este

descris printr-o variaţie liniară sau exponenţială, fiind introdus

parametrul de degradare .


27

t0--

tue=

t0

t (-)

tu

Et0=Ec0

t (-)

Figura 2.12 Diagrama schematizată efort-deformaţie a betonului

solicitat la întindere uniaxială

Efortul maxim (rezistenţa) al betonului întins se raportează

tipului de solicitare, iar valoarea sa este în consecinţă relativă.

În analizele neliniare se pot adopta relaţiile:

pentru betonul obişuit, relaţia etalonată de Lessard şi Aitcin [10]:

3 2

cutu0.22= (2.14)

la betonul de înaltă performanţă, propunerea lui Thorenfeld [11]:

5 3

cutu0.3= (2.15)

Literatura de specialitate abundă în astfel de formulări, raportate

atât întinderii prin despicare cât şi întinderii din încovoiere, astfel încât

având în vedere contribuţia redusă adusă de betonul întins la capacitatea

portantă a elementelor liniare, se pot adopta şi alte relaţii.

Procedeul de modelare a palierului descendent de după fisurare

a fost introdusă de Hillerborg [12], comportarea fisurii fiind idealizată

printr-un model de fisuri coezive, în care deschiderea fisurii este

guvernată de trei parametri: efortul maxim de întindere tu, energia de

fracturare Gf (vezi Figura 2.13) şi legea de degradare a materialului în

raport cu deformaţia.


28

Modelul exponenţial de degradare a betonului este datorat lui

Petersson [13], parametrul fiind raportat energiei de fracturare

corespunzătoare unui volum de beton dat prin relaţia:

t0

ftu

f

2

1-

L

G

(2.16)

unde Lf este:

fisurii Aria

fisura contine ce VolumulL

f (2.17)

Volumul ce conţine fisura

(2.17)

La nivelul unui punct material (cu dimensiuni mici, egale cu

unitatea), Lf devine:

ff

3

f

f

fw

1

1w

1

A

VL

(2.18)

În cazul ciclurilor de încărcare-descărcare care au loc cu

alternarea solicitărilor de compresiune cu solicitările de întindere,

raportarea eforturilor maxime la întindere şi a modulului de elasticitate

al palierului de întindere se face la panta şi efortul maxim de

compresiune asociate ciclului respectiv [14], şi se stabilesc în

conformitate cu Figurile 2.9 şi 2.10.

Figura 2.13 Interpretarea geometrică a energiei de fracturare

t (-)

f

ff

L

w

t (-)

t (-) wf

Gf

t0--

tue=

limw tlim


29

2.2 Armături din oţel

Caracteristicile de deformabilitate şi de rezistenţă ale

armăturilor active şi pasive se raportează în principal proprietăţilor lor

uniaxiale. De aceea, armăturile sunt aproape invariabil modelate ca

având doar rigiditate axială (pe direcţia longitudinală a barei). Figura

2.14 prezintă diagramele tipice ale oţelurilor utilizate în construcţii

pentru armăturile pasive. EC 2[4] defineşte ca şi valori caracteristice

pentru eforturile şi deformaţiile armăturilor din oţel următoarele valori:

rezistenţa caracteristică la curgere (fak): corespunde efortului de

curgere la oţelurile cu palier de curgere (vezi Figura 2.14.a) fak=c

sau efortului care la descărcare înglobează o deformaţie remanentă

r=0.2 % la oţelurile fără palier de curgere (vezi Figura 2.14.b) f0.2k=

c0.2;

rezistenţa caracteristică la întindere (fat): corespunde efortului

maxim al efortului unitar (vezi Figura 2.14) fat= t;

alungirea caracteristică la efort maxim (uk): valoarea deformaţiei

specifice uk=u corespunzătoare efortului unitar maxim u.

Figura 2.14 Diagrame caracteristice efort-deformaţie pentru

o ţ e l u r i u t i l i z a t e î n a r m ă t u r i p a s i v e

t (-)

t (-)

t (-)

t (-)

t

c

t

c

u u

a. oţel l a m i n a t l a c a l d b. oţel p r e l u c r a t l a r e c e

r


30

Tabelul 2.3 prezintă cerinţele EC 2 [4] necesare pentru

armăturile pasive din oţel utilizate în construcţii, fabricate în

conformitate cu specificaţia europeană EN 10080 [15].

Ca şi diagrame idealizate ale armăturilor solicitate atât la

întindere cât şi la compresiune, standardul european admite diagramele

biliniare (cu palier de consolidare sau cu palier orizontal) din Figura

2.15, care descriu acceptabil comportarea oţelului.

t[c] (±)

t[c] (±)

t[c]

ct[c]

ut[c]

Figura 2.15 Diagrame schematizate efort-deformaţie pentru

armături pasive din oţel EC 2

Pentru armăturile active ale elementelor din beton

precomprimat (vezi Figurile 2.16 şi 2.17) confecţionate respectând

exigenţele prevăzute de EN 10138 [16], în acelaşi standard sunt

prevăzute următoarele valori caracteristice pentru eforturile şi

deformaţiile de întindere:

rezistenţa caracteristică la întindere (fpk): corespunde efortului unitar

maxim fpk=pt;

rezistenţa caracteristică de curgere (fp0.1k): corespunde efortului pc

care la descărcare înglobează o deformaţie remanentă pr=0.1 %;

alungirea caracteristică la efort maxim (puk): deformaţia specifică

de întindere puk=pu corespunzătoare efortului unitar maxim pt.

BA - Calcul Neliniar - 2-3

Documents

Transcript of BA - Calcul Neliniar - 2-3