Asupra unor funcţii în teoria numerelor
98
IM ASUPRA UNOR NOI FUNCTII IN TEORIA NUMERELOR Cbi,iniu - 1999
-
Upload
florentin-smarandache -
Category
Documents
-
view
223 -
download
3
Transcript of Asupra unor funcţii în teoria numerelor
P'LOREHTIM SMARANDACHB
ASUPRA UNOR NOI FUNCTII IN
TEORIA NUMERELOR
Cbi,iniu - 1999
YNIYERSITATEA DE STAT DIN HQLDOVA CATEDRA DE ALGEBRA
FLORENTIN SMARANDACHE
ASUPRA UNOR NOI FUNCTII IN
TEORIA NUMERELOR
Chiliinau - 1999
Prof. Florentin Smarandache University of New Mexico Gallup, NM 87301, USA Fax: (505) 863-7532 (Attn. Dr. Smarandache) E-mail: [email protected] URL: http://www/ga11up.unm.edu/-smarandache/
Diagrama de pe coperta I reprezinta functia zeta a lui Riemann (p. 49).
Iar tabelul de pe coperta IV reprezinta functia S ca functie sumatoare (p. 61).
<Cl U.S.M. - 1999
Sectia po1igrafie operativa a U.S.M. 2009, Chi9inau, Str. A.Mateevici, 60
Mamei mele
ASUPRA UNOR NOI FUNCTn IN TEORIA NUMERELOR
Introducere
Performantele matematicii actuale,ca si descoperirile din viitor isi au,desigur, inceputul in cea mai veche si mai aproape de filozofie ramura a matematicii, in teoria numerelor.
Matematicienii din toate timpurile au fost, sunt si vor fi atrasi de frumusetea si varietatea problemelor specifice acestei ramuri a matematicii.
Regina a matematicii, care la randul ei este regina a stiintelor, dupa cum spunea Gauss, teoria numerelor straluceste cu lumina si atractiile ei, fascinandu-ne si usurandu-ne drumul cunoasterii legitatilor ce guverneaza macrocosmosul si microcosmosul.
De la etapa antichitatii, cand teoria numerelor era cuprinsa in aritrnetica, la etapa aritrneticii superioare din perioada Renasterii, cand teoria numerelor a de venit parte de sine statatoare si ajungand la etapa moderna din secolele XIX si XXcand in teoria numerelor isi fac loc metode de cercetare din domenii vecine, ca teoria functiilor de variabila complexa si analiza matematicii drumul este lung, insa dens, cu rezultate surprinzatoare, ingenioase si culte nu numai teoriei propriuzise a numerelor, dar si altor domenii ale cunoasterii, atat teoretice cat si practice.
In lucrarea aceasta,( capitolul II si III ), plecand de la 0 functie numerica specifica teoriei elementare a numere10r
S :N* - N* S( n ) este cel mai rnic numar natural al carui factorial este divizibil cu n, prezentarn proprietati si legaturi ale acestei functii numerice
5
clasice, dar proprietati asimptotice specifice teoriei analitice a numerelor .
Sunt de asemenea prezentate generalizarea lui S la multimea Q* a numerelor rationale nenule, ca si alte functii, obtinute prin analogie cu defmitia lui S.
Capitolul I este dedicat unor probleme diverse,tinute de autor in special in domeniul teoriei congruentelor.
Interesul international de care se bucura functiile S si diversele ei generalizari ne bucura si constitue un motiv pentru care am introdus in aceasta lucrare si prezentarea unora dintre ele.
Tin sa multumesc in special domnului profesor Vasile Seleacu, de la Universitatea din Craiova,cu care am deprins dragostea de aritrnetica si teoria numerelor , dar multumesc de asemenea tuturor celor care ,pe parcursul anilor au contribuit la formarea mea matematiaca
Multumesc de asemenea parintilor mei,care m-au indemnat spre invatatura ,m-au ajutat si rna ajuta spre acest drum minunat.
6
AUTORUL (iunie 1995)
Capitolul 1 GENERALIZAREA UNOR TEOREME
DE CONGRUENTA
1.1. Nopuni introductive
Fie m un numar intreg �i pozitiv, pe care il vom nurni modul. eu
ajutorul lui se introduce in multimea Z a numerelor intregi 0 relatie
binara, numita de congruenfi'i �i notata prin =, astfel:
1.1.1. Definipe. Numerele intregi a �i b sunt congruente fara de
modulul m dac�i numai dadi m divide diferenta a - b.
Avem deci
a=b ( mod m) ¢::> a - b = km, unde k E Z ( 1.1 . 1.)
1.1.2. Consecinta: a=b ( mod m) ¢::> a �i b dau, prin impaqire
la m, acel�i rest
Se �tie di relatia de congruenra defmita la ( 1.1.1.) este 0 relatie de
echivalenra ( este reflexiva, simetrica �i tranzitiva). Ea mai are insa �i urrnatoarele proprie�ti remarcabile:
al = bi ( mod m) �i � = b2 ( mod m) �
( i ) al + � = bi + b2 ( mod m)
( ii ) aI- � = bi - b2 ( mod m)
( iii ) aI� = bIb2( mod m)
7
Mai general, dad ai==bi ( mod m ), pentru i = 1, 2, . . . , n, iar
f(x1 , x2' • . . , xn) este un polinom eu eoeficienfi lntregi, atunei
( iv) f(a1 , �, • . . , an ) == f(bl' b2, . • . , bn) ( mod m )
Se pot demonstra $i urmatoarele propriemfi ale eongruentelor:
( v ) a == b ( mod m) $i e E N* � ae == be ( mod me)
( vi ) a == b (mod m) $i n E N*, n divide m � a == b ( mod n )
(vii ) a == b (mod mi), i = i, s => a == b ( mod m )
unde m = [mI, �, . . . , ms] este eel mai mie multiplu comun al
numerelor mi:
( viii ) a == b ( mod m) � (a, m) = (b, m)
unde prin (x, y) notam eel mai mare divizor eomun al numerelor
x $i y.
Deoareee re latia de concurenta mod m este 0 rel atie de
echivaienta, ea imparte mulfimea Z a numerelor lntregi in c1ase de
echivalenta ( c1ase de congruenta mod m). Doua astfel de c1ase sunt
sau disjuncte sau coincid.
Cum orice numar intreg da, prin lmpartire la m unul din resturile
0, 1, 2, . . . , m-I, rezulm d
Co' Cl' ... , Cm_1 sunt eele m clase de resturi mod m, unde Ci este mulfimea nuerelor
lntregi congruente eu i ( mod m).
Uneori este util sa se eonsidere, in loeul claselor, reprezentanti
care sa satisfad diferite eonditii. Astfel, este eonsaerata urmatoarea
terminologie:
LL2. Definitie. Numerele intregi a l ' �, . . . , am formeaza un
sistem compiet de resturi mod m daca oricare dintre ele sunt
necongruente mod m
8
Rezultii ca un sistem complet de resturi mod m contine cate un
reprezentant din fiecare clasa.
Dad <p este funqia lui Euler (<Pn ) este numarul numere lor
naturale mai mici decit n �i prime cu n ), atunci avem �i:
1.1.3. Definitie Numerele intregi aI' �, . .. , aq>(m) formeaza un
sistem redus de resturi mod m daca. fie care este prim cu modulul �i
oricare doua sunt necongruente mod m. Se �tie ca are lac urmatoarea
teorema:
1 .14. Teorema ( i ) Daca aI'�' . . . , am este un sistem complet de
resturi mod m �i a este un numar intreg, prim cu m, atunci �irul
a aI' a�, . . . , a am
este tot un sistem camp let de resturi mod m.
( ii) Daca aI'�' . . . , aq>(m) este un sistem redus de resturi mod m
�i a este un numar intreg prim cu m, atunci �irul
a at' a �, . . . , a a<p(m) este tot un sistem redus de resturi mod m.
Daca notam cu Zm multimea claselor de resturi mod m:
Zm = {Co' CI' .. . , C m-I}
�i defmim operatiile
+: �x Zm -7 Zm
.: Zm X Zm -7 Zm
prin
Ci + Cj = Cle' unde k == i + j (mod m)
Ci· Cj = Ch' unde h == i.j (mod m)
atunci are lac
1.15. Teorema. (i) (Zm' +) este grup comutativ
9
( ii ) (Zm' +, .) este inel comutativ ( iii ) (Gm, · ) este grup comutativ,
unde Gm = {Crl' Cr2, • . . , Cr<p{m) } este multi-mea claselor de resturi prime cu modulul. 1.1.6. Consecinta. Multi-mea Zp a claselor de resturi fata de un
modul prim p formeaza corp comutativ fata de operntiile de adunare
�i inmultire definite mai sus.
1.2. Teoreme de congruenta din teoria numerelor
In acest paragraf yom aminti cite va teorem de congruenta din teoria numerelor ( teoremele Fermat, Euler, Wilson, Gauss, Lagrange, Leibniz, Moser �i Sierpinski ) pe care in parngraful urmator Ie yom genernliza �i yom pune in evidenta un punct de vedere unificator
pentru ele.
In 1 640 enunta, rara a demonstra, urmatoarea teorema:
1.2.1. Teorema (Fermat). Daca intregul a nu este divizibil prin numarul prim p, atunci
aP-l == l (mod p) Prima demonstrnti-e a acestei teoreme a fost data in 1 736 de catre
Euler. Dupa cum se �tie, reciproca teoremei lui format nu este adevarata.
Cu alte cuvinte, din am-1 == I (mod m)
10
�i m nu este divizibil cu a, nu rezulta cu necesitate c5. m este
numar prim. N u este adeviirat nici macar c5. dadi (1.21.) este adeviirata pentru
toate numerele a prime cu m, atunci m este prim, dupa cum se peate
vedea din exemplul urmator (HI). Fie m = 561 = 3 . 11 . 17. Daca a este un intreg care nu este
divizibil cu 3, cu 11 sau cu 17, avem desigur: a:? == l (mod 3), alO == 1 (mod 11), a16 == 1 (mod 17)
conform teoremei directe a lui Fermat Dar cum 560 este divizibil
cu 2 �i 10, cit �i uc 16, deduce:
a560 == l (mod m. ), i = 1, 2, 3 1 unde mi :' 3, m:z = 11, m3 = 17
Conform proprietiitii ( vii ) din paragraful precedent rezulta
a560 == 1 (mod m1m:zm3)
adic5. am-I == 1 (mod m), pentru m = 561.
De al tfe I , se �tie ca 561 este cel mai mic numar compus care satisface (1.2.1. ). Urmeazii numerele 1105, 1729, 2465,2821, . . . .
Prin urmare, congruen�a ( 1.2.1. ) poate fi adevarata pentru un
anume intreg a si un numiir compus m
1 .2.2. Defini�ie. Daca ( 1.2.1. ) este satisIacuta pentru un umar
com pus m si un numiir intreg a se spune ca m este pseudoprim jara
de a. Daca m este pseudoprim fa� de orice intreg a prin cu m, se spune ca m este un numiir Carmichael.
Matematicianul american Robert D. Carmichael a fos tprimul care in anul 1910 a pus in evidenta astfel de numere, numite numere
prime impostoare.
Pan a nu demult nu se stia dad exista sau nu 0 infinitate de
numere Carmichael. In chiar primu[ numar a[ revistei "What's
, ,
Happening in the Mathematical Sciences", revista in care sunt
anun�ate in fiecare an rezul tatele mai importante obtinute in
matematidi in ultima vreme, se anunta ci trei matematicieni: Alford,
Grandville �i Pomerance, au ariitat ci exista 0 infinitate de numere
CarmichaeL
Demonstrafia trioului de matematicieni americani se bazeaza pe 0
observatie euristicii din 1956 a matematicianului maghiar de renume
interna�ional P. Erdos. Ideea de baza este de a alege un numar L pentru care exista multe numere prime p care nu divid pe L, dar cu
proprietatea cii p-l divide pe L Apoi se aratii ea aceste numere prime
pot fi inmultite intre ele in multe feluri astfel incit fiecare produs sa
fie congruent cu 1 mod L Rezulta d fiecare astfel de prod us este un
numar Carmichael.
De exemplu, pentru L = 120, numerele prime care indeplinesc
conditia amintitii mai sus sunt:
PI = 7, P2 = 11, P3 = 13, P4 = 31, Ps = 41, P6 = 61. Rezultii d 41041 = 7 . 11 . 13 .41, 172081 = 7. 13 . 31 . 61 �i
852841 = 11 · 31 .41 .61 sunt congruente cu 1 mod 120, deci sunt
numere Carmichael.
Mentionam cii observatia euristid a lui P. Erdos se bazeaza pe
urmatoarea teorema de caracterizare a numerelor Carmichael,
demonstrata in anul 1899.
1 .2 .3 . Teorema (A. Korselt). Numaru l n es te un numar
Carmichael dad �i numai dad sunt indeplinite conditiile
( C 1 ) este liber de patrate
(C:2) p - 1 divide pe n - 1 ori de cite ori p este un divizor prim al
lui n.
12
Cei trei matematicieni americani au demonstrat urmatoarea teorema:
1 .2.4. Teorema (Alford, Granville, Pomerance). Exista cel putin x'2f7 numere Carmichael mai mari decit x, pentru x suficient de mare.
Cu ajutorul argumentului euristic datorat lui P. Erdos se poate demonstra di exponentul 2n din teorema de mai sus poate fi inlocuit cu orice alt exponent subunitar.
1 .25. Teorema (Euler). Dad (a, m) = 1 , atunci a<p(m) == 1 (mod m) Aceasta teorema, care generalizeaza teorema lui Fermat, a fost
demonstrata de Euler in 1760. 1.2.6. Teorema (Wilson). Daca p este un numar prim, atunci ( p-l ) ! + 1 == 0 (mod p ) Se stie di reciproca teoremei lui Wilson este adevarata, adidi are loco 1.2.7. Teorema. Daca n > 1 este un numar intreg Si ( n-1 )! + 1 == O(mod n ) atunci n este numar prim Teorema lui Wilson a fost publicata prima data in 1 770 de
matematicianul Waring (meditationes algebraicae), dar ea a fost cunoscuta cu muIt inainte, chiar de Leibniz.
Lagrange generalizeaza teorema lui Wilson astfel: 1.2.8. Teorema (Lagrange). Daca p este un numar prim, atunci aP-l - 1 == (a + 1 ) (a + 2 ) . . . (a + p - 1 ) (mod p ) iar Leibniz enunta urmatoarea teorema: 1.2.9. Teorema (Leibniz) Dad p este numar prim. atunci
.( p-2 )! == 1 (mod p ) Este adevarata Si reciproca teoremei lui Leibniz, adidi un numar
natural n > 1 este numar prim dad si numai dad (n-2)! == 1 (mod n )
13
Un alt rezultat privind congruente cu numere prime este teorema urmatoare:
1.2.10. Teorema (L. Moser). Daca p este numar prim, atunci ( p-l ) !aP + a == ° (mod p ) iar Sierpinski demonstreaza ca are loc: 1.2.11. Teorema (Sierpinski). Daca p este numar prim, atunci aP + (p-l )! == ° (mod p ) Se observa ca acest enunt unifica teoremele lui Fermat si Wilson. In paragraful urmator von defini 0 functie L: Z x Z � z, cu
ajutorul careia vom putea demonstra rezultatele care unifica toate teoremele de mai sus.
1.3. Un punet de vedere unificator asupra unor teoreme de
eongruenp1 din teo ria numerelor
Sa eonsideram urmatoarele conditii pe care putem cere sa Ie satisfaca un numar intreg m E Z.
1) Vom spune ca numarul m E Z satisface conditia (a1) dad: m = ±p� sau m = ±2 p�
eu p numar prim Si � E N*
2) Vom spune ca m E Z satisface eonditia (�) daca m = ±2Ct
cuaE{O,1, 2}
14
Fie acum mulfj.mea A definiili prin
A = {m E Z I m satisface (al) sau (�)} u {O}
Pentru un numar intreg m vom considera descompunerea in factori
sub fonna
m = € PI<l1 pt2 • • • Pr�
cu € E {-1, I} si desigur ai E N*, iar Pi sunt numere prime.
Definim funcfj.a
L:ZxZ�Z prin L (x, m) = (x + CI) (x + C2) ... (x + C<p(m» unde CI, C2, ... C<p(m) este un sistem redus de resturi modulo m
( vezi definifj.a 1.1.3. ).
13.1. Lema. Fie n un intreg nenul oarecare si a E N*. Atunci dad
CI, C2, . • . C<p�n<l)
este un sistem redus de resturi mod n<l, iar k E Z Si � E N*,
rezulta di k n13 + Cl' k n13 + C2, ... , k n13 + C<p(n<l) este tot un sistem redus de resturi mod n<l.
Demonstra�e. Este suficient sa observam d pentru 1 ::s i ::s <pC na)
avem
(k n13 + Ci, n<l ) = 1
13.2. Lema. Dad
Cl' C2, ... C<p(m) este un sistem de resturi mod m, atunci din condi�ile
(1 ) p� divide pe m
( 2 ) p� + I nu divide pe m rezulta ca
Ct, C2, ... C<p(m) 15
este un sistem redus de resturi modulo p�i.
Demonstratia este triviala.
133. Lema. Daca (b. q) = 1 si
Cr. C2 •.. , ,C<p(q)
este un sistem redus de resturi modulo q. atunci
b + Cl' b + C2• . • . , b + C<p(q) contine un reprezentant al clasei 6 ( mod q)
Demonstratie. Deoarece (b, q-b ) = 1. rezuWi eli existii io astfel incit
Cio== q - b
deci b + Cio== 0 (mod q)
Obtinem atunci urmatorul rezultat:
13.4. Teorema. Dad ( x, m / (Pifi1 ...... Pi�) ( Teorema 1 din lu-.
= a;.r a;.s crare). atunCI ( x + Cr) . . . . . . (x + C<p(m» - 0 (mod m / (Pi! ... Pis ) Demonstratie.
13.5. Teorema (Gauss). Daca Cr. C2 •...• C<p(m) este un distem
redus de resturi modulo m, atunci
(a) mE A � C1 C2 ... C<p(m) == -1 (mod m)
(b) me A � C1 C2 ... C<p(m) == 1 (mod m)
Utilizind aceastii teorema obtinem
13.6. Lema. Avem
Cr C2 ... CQ(m) == ±1 (mod Pia;.) pentru orice i E ?
16
Semnul in congruenfa precedentii frind in concordanta cu conditiile
mE A, respectiv m e: A 13.7. Lema. Dadi Pi este un divizor comun al lui x �i m. atunci
(1) mE A � (x + CI ) (x + C2) . . . (x + Ccp(m» == -1 ( mod Pi<Ii)
(2) me: A � (x + CI) (x + C2) .. . (x + Ctp(m» == 1 (mod p/1i ) Demonstratie. Utilizind lemele precedente, avem
(x + CI) (x + C2 ) . . . (x + C<p(m» == Cl C2 ... C<p(m) == ±I (mod Piai)
Utilizind lema 1.3.7 .• obtinem 13.8. Teorema Dadi Pil, Pi2' ...... , Pis sunt toate numerele prime
care divid simultan pe x si m, atunci
(1) mE A � (x + Cl) (x + C2) . . . (x + Ccp(m» == - <IiI <Iis = -I ( mod Pil ... Pis )
(2) me: A � (x + CI ) (x + C2) . . . (x + Ctp(m» == == 1 ( mod Pil
ail ... Pis ais)
a·l a· Notind d = Pill ... Pis 15 �i m' = mid
din teoremele 1.3.4. si 1.3.8. rezulili
L (x, m) ==± 1 +kl d=�m'
unde kl' k2 E Z Sa observam di deoarece avem ( d, m' ) = I, rezulta ca ecuatia
k2m' - kl d = ±I cu necunoscutele kl si � admite solutii intregi.
Se stie ca dadi notiim kl 0, � 0 0 solutie particulara a acestei ecuatii.
atunci
kl = m't + klo, � = d ' t + �o cu t E Z este solutia generalii a ecuatiei si deci
L (x, m) = ± 1 + m' dt + klod == ±I k10 (mod m )
17
sau L (x, m):: �o m' (mod m)
Utilizind aceste rezultate, obtinem urmatoarele generalizfui:
1.3.9. Teorema (generalizarea teoremei lui Lagrange). Daca m ;:
O 4 · " " 0 . ,± ,lar x- + s- = ,atunCl
xCP(ms) + s-xs::(x+ 1 ) (x+2 ) ... (x + lml - 1) (mOd m)
unde � �i s se obfin din urmatoruI algoritm:
( 0 ) { x = /Coda .
m = modo cu do ;: 1 Sl (xo' mo) = 1 ( 1 ) {dO = do'dl
. , mo = mIdI cu dl;: 1 Sl (do, ml) = 1
(s - 1 ) {ds_:; = �s-:;'ds_1 .... . , _ mS_2 -ms-I ds_1 cu ds_1 ..... 1 �l (ds_2 ' �-l) - 1
(s) {ds_1 = ds_1 ' ds . , mS_1 = �ds cu ds = 1 �l (ds-1 ' �) = 1 Demonstrafie. Vezi F. Smarandache, "A generalization of Euler's
theorem concerning congruences", Bulet Univ. B�ov, ser. C, vol. 23
( 1 98 1 ), pp. 7-12.
Din teorema precedenta, pentru un numar prim pozitiv rezulta
� = m, s = 0 si <p( ms ) = <p(m) = m-l, deci obtinem teorema lui
Lagrange:
xm-1_ 1 :: (x + 1 )(x + 2) ... (x + m - 1 ) Functia L si algoritmul prezentat mai sus permit si generalizarea
teoremei lui Moser si a teoremei lui Sierpinski. Astfel, deoarece avem
(1) mEA � C1 C2 ... CCj)(m) aCj)(ms) + s -L( 0, m) as:: 0 (mod m)
(2) meA � -L(o, m) a<p(ms) + s + C1 C:; ... Ccp(m)as:: 0 (mod m)
Mai general:
18
(3) mE A =:::) (x-tC1) .•. (X+Ccp(m» aCP(llls) + S - L(x, m) as == 0 (mod rn)
(4) m � A=:::)- L(x, m) aCP(ms) + s+(x+C1) . .• (x+Ccp(m)aS == 0 (mod m)
Din (1 ) pentru m numar prim, obtinem teorema lui Fermat Din
( 1 ) sau (2), pentru m numar compus oarecare, obfinem teorema lui
Euler.
1.4. Contributii la 0 conjectura a lui Carmichael
Conjectura la care ne referirn este urmatoarea:
"Ecuatia <p(m) = x nu peate avea solutie unica pentrn nici un n E N",
unde, desigur, <p este functia lui Euler.
In [G3], R. K Guy arata, studiind aceastii conjectura Carmichael,
di un numar natural no care nu verifidi conjectura trebuie sa
indeplineasca conditia no > 1037•
Ordinul de miirime pentrn un astfel de no a fost apoi extins de
catre V.L Kler, care a aratat [K2] ca trebuie sa avem no > 10400 dad
no nu satisface conjectura
Amintim ca in [M d se demonstreaza pentru un no care nu
satisface conjectura d avem
no> 1010000
In cele ce urmeaza yom amta d ecuatia
<p(m) = n ( 1 .4. 1 .)
19
admite un numar finit de solutii �i vom da forma generala a
aeestora. De asemenea vom arnta di dadi Xo este 0 solutie uniea a
eeuatiei (1.4.1. ), pentru un n fixat, atunci
Xo este multiplu al numiirului 223272432
Fie deei Xc 0 solu�ie a eeuatiei (1.4.1. ) , pentru un n fixat Vom
eonstrui eu ajutorul aeeseia 0 alta solutie yo;c Xc- Pentru aeeasta vom
utiliza urmatoarele doua metode:
Metoda 1. Deseompunem pe Xo sub forma Xo = ab, eu a �i b
intregi, avand proprietatea (a,b) = 1. Daea alegem a' ;c a astfel incit
<pea') = <pea) �i (a', b) = 1
va rezulta ea Yo = a 'b este 0 noua solutie a eeuatiei.
Metoda 2. Sa eonsidernm solutia Xo deseompusa in faetori primi
Xo = qfl q/2 ... qrl3r ( 1.4.2) unde PI E N* , iar ql' q2' ... , qr sunt asadar numere prime
distinete.
Dadi giisim un intreg q avind propriet:ltile
1) (q, xo) = 1 2 ) <p(q) divide pe xo).-__
ql' q2' ... , qr atunei Yo = � este 0 noua solutie a eeuatiei.
Se observa imediat di alegerea q numar prim este neeonvenabil:l.
1.4.1. Lema. Eeuatia ( 1.4.1. ) admite un numar finit de solutii,
orieare ar fi numiirul n E N. Demonstratie. Cazurile n = 0 si n = 1 sunt banale. Fie deci n � 2
fixat Si fie
PI < P2 < ... < Ps =:; n + 1 sirul numerelor prime care nu depiisese pe n + 1.
20
Dad Xo este 0 solufie a eeuafiei (1.4.1. ) , atunei Xo se poate
exprima eu ajutorul numerelor prime Pj sub forma _ 0.1 0.2 CIs Xo -
PI P2 ... Ps eu aj E N. Deoareee pentru oriee i = r:s exista aj E N astfel incit PI
a.I � n, rezulta d 0 S aj S aj + 1 pentru oriee i. Obtinem deei 0 martine superioara pentru numarul solutiilor eeuafiei. Aeest numar nu poate depasi
s
i = I
1.4.2. Lema. Oriee solutie a eeuatiei (1.4.1.) are forma (1) sau (2).
PI P2 - Ps ( )EI ( )E' ( )E.
Xo = n Pl-I P2-1 . .. Ps-l
E Z
unde, pentru i = 1, s, avem E· = 0 dad a· = 0 I 1
E· = 1 dad a· :;: 0 1 1
1.4.3. Lema. Dad Xo este solutie unica. pentru eeuafia (1.4.1.), atunci Xc este multiplu de i! 32 72 432•
Demonstratie. Deoareee <p(o) = <p(3) si <pO) = <p(2), putem presupune Xc � 4.
Daea 2 nu divide pe xO' atunci Yo = 2 Xo :;: Xo este 0 alta solutie a
ecuatiei, deoareee <pC xo) = <pC Yo). Deci trebuie ea 2 sa fie divizor al lui XC)" Dad 4 nu divide pe xO' atunei Yo = xd2 este 0 noua solutie a
ecuatiei. Rezulta d 4 este divizor al lui XC)"
Z1
Dad 3 nu divide pe xo' atunci 3 xJ2 este 0 noua solutie a ecuatiei, deci trebuie ca 3 sa fie divizor al lui Xc- De asemenea, dadi 9 nu di vide pe Xo atunci Yo = 2xcJ3 este 0 alta solutie a ecuatiei. F r in
urmare 9 divide pe x(J Daca 7 nu divide pe xO' atunci Yo = 7 xJ6 este 0 noua solutie a
ecuatiei, deci trebuie ca 7 sa divida pe Xc-Dad 72 nu divide pe xO' atunci Yo = 6 xcJ7 este 0 noua solutie a
ecuatiei. Deci trebuie ca si 49 sa divida pe xo. Acum, dad 43 nu divide pe xO' atunci Yo = 43xJ42 este 0 noua
solutie a ecuatiei, deci trebuie ca 43 sa divida pe Xc-Dad in plus 432 nu divide pe xo' atunci Yo = 42xJ43 este 0 noua
solutie a ecuatiei. Deci 432 divide pe Xo si in concluzie de 22 32 72 432 di vide pe x(J
Rezult5. ca 0 solutie unica a ecuatiei ( 1 .4. 1 ) este de forma
cu Yi � 2 si (t, 2.3.743 ) = 1 . Deoarece no > 1010.000, rezulta ca Xc > 1010.000. Dad Y1 > 3 si prin absurd 5 nu divide pe Xc, atunci Yo = 5 xJ4 este
o noua solutie a ecu�tiei. Prin urmare, 5 divide pe Xc-Daca 25 nu divide pe Xc, atunci Yo = 4xJ5 este 0 noua solutie a
ecuatiei. Prin urmare 25 divide pe x(J Vom construi acum prin recurentii 0 multime M de numere prime
avand proprietatea d dad M este infinita, atunci conjectura lui Carmichael este rezolvam.
Etapele de recurentii sunt urmatoarele: (a) numerele 2, 3, 5 apartin lui M.
22
(b) dad. numerele prime distincte el' e2, ... , en sunt din M, atunci numfuul
bm = 1 + 2m e1 e2 ... en este prim pentru m = 1 sau m = 2, Si vom considera ca bm E M.
( c) Orice element apaI1inind lui M se obtine prin utilizarea, intr-un numar fmit de pasi, numai a regulilor (a) si (b).
Dadi M este infinitl, conjectura lui Carmichael este rezolvatl. Consideram di multimea M este infinita. De altfel se poate constata ca din cele 168 de numere prime mai
rnici decat 1.000, doar 17 nu sunt in M Acestea sunt: 101, 151, 197, 251, 401, 491, 503, 601, 607, 677, 701, 727, 751,
809, 883, 907, 983.
1.5. Functii prime
Sa consideram urmatoarele funclii: 1 ) PI: N -7 {O, I }
{ 0 dad n este prim PI (n) =
1 in caz contrar
Exemple. PI (0 ) = PI (1 ) = PI ( 4) = PI ( 6 ) = 1, PI ( 2 ) = PI ( 3 ) = PI (S) = 0
2 ) P2: N2
-7 {O, I } { 0 dad!. m si n sunt prime intre ele
P..,(m, n) = - 1 in caz contrar
23
3 ) Mai general, Pk: Nk
-7 {O, I }
dad n1 , n2, . . . nk sunt prime intre ele in eaz eontrar
In eontinuare yom studia in ee eonditii Pk(nl, n2, . . . nk) = 0 ( 1 .5. 1. ) Vom da 0 eonditie neeesara si suficienta ea n numere prime doua
cite doua sa fie simultan prime intre ele. Generalizam teorema lui Popa W�], Cueurezeanu ([C3], p. 1 65 ),'
Clement Si Patrizio [P5]. U rmatoarea lema este evidenti 1.5.1. Lema. Dad A si B sunt intregi nenegativi, atunei AB == 0 (mod pB) ¢::> A == 0 (mod p) 1.53. Lema. Fie a, b, p, q, numere intregi astfel ineit (p, q) = (a, p) = (b, q) = 1 Atunei A == 0 (mod p) si B == 0 (mod q) ¢::> aAq + bBp == 0 (mod pq) �
aA + (bBp/q) == 0 (mod p) Demonstratie. Pentru prima eehivalenta avem A = kiP, B = �q eu kl' k2 E Z deei aAq + bBp = (akl + bk2) pq Reeiproe, din aAq + bBp = kpq rezulta aAq == 0 (mod p) Si bBp ==
o (mod q) Si datorita ipotezei rezulta A == 0 (mod p) Si B == 0 (mod q) A doua si a treia eehivalenta rezulta utilizind lema 1 .5. 1 .
24
1.53. Lema Dad PI' P:;, . . . , Pn sunt numere intregi prime doua
cinte dpua, iar aI' �, . . . , an sunt numere intregi avint proprietatea
(ai' p) = 1 pentru i = 1, n
Atunci, notind P = PI • P:; • . . . . Pn �i D fiind un divizor al lui P avem
n � I (aiAi) ( .n. pj)=O(modPI pz ... pJ �
i = 1 J:;Ct
Demonstra�ia acestei Ierne se face prin induc�e, utilizand lema
pre�edenta
Cu ajutorul acestei ultime Ierne obtinem urmatoarea teorema
generaHi
1.5.4. Teorema. Fie Pij' cu i = 1, n, j = 1, mi, numere prime doua
dte doua �i fie r1 ' r:;, ... , rn, aI' �, ... , an' numere intregi, astfel indt
(ai' r) = 1 pentru orice i = 1, n. Presupunem in plus ca numerele CI' C:;, .. . Cn indeplinesc
conditi,a
(i) P·I' p.", . .. p · m. sunt sumultan prime ¢::> C10 == 0 (mod rOI) pentru 1'-::' I I orice i = 1, n.
Atunci numerele Pij cu i = G, j = 1, mi, sunt simultan prime daca
�i numai dad este indeplinita conditia
25
(%)i� (aijrJ = 0 (mod %) unde R = r1 r2 ... rn, iar D este un divizor al lui R.
Demonstrane:
( 1 .5.2. )
(Vezi F. Smarandache, "Characterization of n prime numbers
simultaneously", in «Libertas Mathematica», Texas State University,
Arlington, SUA, vol.XL (199 1 ), pp. 1 5 1-1 55 ). Observafie. Daca in condifia (i) din teorema modulul r· este I
inlocuit cu n P'i sau cu un divizor al sau, conc1uzia ( 1 .5.2 ) devine J -1
unde P = II II Pij �i D este un divizor allui P. i
= I j = I
Desigur congruenta ( 1.5.3 ) este echivalenili cu una din condinile
(a'r ) i I I IT p .. este numar intreg
i = I IJ j =
1
( 1 . 5 . 4.)
( 1 .5.5)
Sa observam de asemenea ca restricfia impusa numerelor Pij in teorema de mai sus de a fi prime intre ele, este suficient de
26
convenabiHi, deoarece dad doua dintre aceste numere nu sunt prime intre ele, atunci cel putin unul dintre ele nu este prim �i deci nici cele m1 + m:! + ... + mn numere nu sunt toate prime.
Putem obfine multe variante ale acestei teoreme, dind parametrilor ai' �, . . . an �i rl' r:! . . . , rn diverse valori.
o bservatii. 1 j Dad in teorema de mai sus luam mi = 1 , iar ci reprezinta teorema lui Simionov pentru orice i, atunci 2) Pentru D = 1 , obfinem teorema lui V. Popa � P 4 ] care si ea generalizeaza teorema lui I. Cucurezeanu [ Ci, iar aceasta din urma generalizeaza teorema lui Clement 3 ) Pentru D = Pip., si 0 alegere convenabiHi a parametrilor a si k
_ 1 1
rezulta teorema lui S. Patrizio. Exemple. 1 ) Fie PI' p." .. . , p intregi pozitivi, primi doi cite doi Si numerele
_ n Is satisfacind conditia 1� Is � Pi' pentru orice i. Atunci PI' P:!' ... , Pn sunt simultan prime dad �i numai dad este verificata una din condifiile:
(T) i[(Pi-kJ!(ki-l)!-(-l)k]'IIpj = o (mod P! ... prJ i =! j;O i
(U) ( t [(Pi -ki)! (ki -1)! -(_l)k]. II Pj1!. = 0 (mod PI'" pJ 1 -! J;OI {Ps+! ... Pn}
(V) i[(;i-ki)!(ki-l)!-(-l)k].P�,= o (modpj) i =1
27
Capitolul2
2.1. Baze de numerape generalizate
Se �tie di dad r este un numiir natural strict mai mare decit unu,
atunci 0 rice numiir natural n poate fi scris in baza de numerarie r
astfel:
(2.1 .1 .)
unde m � 0 este numar natural �i Ci, pentro i = 0, m, sunt de
asemenea numere naturale, cu proprietatea 0 � Ci � r-1 pentru orice
i = 0, m, iar Cm ;:: 0. Fiecarui numiir din �rirul 0, 1 , 2" . . , , r-1 i se poate atribui un
simbol care se nume�te citra �i atunci formula (2.1 . 1 .) se poate scrie
n = Ym Ym-l ... Y1 Yo (r)
unde Yi este cifra care simbolizeaza numarul Ci .. Se �tie di orice numiir natural poate fi scris in mod unic intr-o
baza de numeratie oarecare r, adidi poate fi scris sub forma (21 .1 .),
unde numerele Ci satisfac conditiile mentionate mai sus.
Dad notiim ai = � observam di �irol (a)ie N satisface relatia de
recurenta
ai+1 = r ai (21 .3. )
�i di (2.1 .1 ) devine
n = Cmam + Cm-Iam_1 + ... + Cial + Co (2.1 .4 )
28
De aici ideea de a considera un sir strict cresditor oarecare (b.). x' I lE:�
Si se poate observa cu usurinta di orice numar natural n poate fi
scris in mod unic sub forma
(21.5.) dar conditiile pe care Ie satisfac cifrele ci nu mai sunt atit de
simple ca in cazul bazei determinate de sirul cu termen general ai. Spre exemplu, Sirul lui Fibonacci., determinat de conditiile Fl = F:! = 1
F .,=F l+F 1 +_ 1+ I poate fi considerat 0 baza de numeratie generalizata. Aceasta baza
are mare Ie avantaj (ca Si baza de numeratie doi) ca·cifrele Ci pot Iua doar valorile 0 Si 1 , deoarece bi > bi+1.
Avantajul utilizarii acestei baze generalizate este foarte mare in reprezentarea numerelor in caIculatoarele electron ice , deoarece, pe de-o parte, se folosesc tot doua cifre ca Si in baza doi, iar pe de alta parte pentru memorarea unui numar este nevoie de 0 cantitate mai mica de memorie deoarece numarul cifrelor necesare pentru reprezentarea lui n in baza (F)ieN este mai mic decit numarul cifrelor necesare pentru reprezentarea aceluiasi n in baza ( 2i )ieN'
o alta baza generalizata, care va fi utilizata in paragrafele urmatoare, este baza de numeratie determinata de sirul
ai ( p) = (pi - 1 ) / (p - 1 ) ( 2. 1 .6. ) unde p > 1 este un numar natural.
Sa observam ca relatia de recurenta satisIacuta de acest sir: (2. 1 .7. )
este totusi destul de simp la, dar difera de relatia de recurenta clasica ( 2. 1 .3 . ).
29
Bineinfeles di orice numar natural n poate fi scris in mod unic sub forma
n = Cmam + Cm_lam_l + . . . + Clal + <lo (21 .8.)
Pentru a determina condifiiIe pe care Ie indeplinesc cifrele Ci in
acest caz yom demonstra urmatoarea teorema 2.1.1. Lema. Pentru orlce n, pE N*, P � 1 , numarul n poate fi scris
in mod unic sub forma n = tlanl(P) + �an2(p) + .. . + teane(p) cu n1 > n:! > ... > ne > 0 �i 1 =:; tj =:; p-l pentru j = I, e-l , iar
(21.9.)
1 =:; te =:; p (2.1 .10.)
Demonstrafie. Din relatia de recurenta satisfacuta de �irul cu termen general ai(p) deducem:
al(p) = I , �(p) = l+p, a3(p) = 1 + P + p2, . ..
deci N* =. u ([ai(p), ai+l(p)]n N*) leN*
intrucit [a/p), ai+l(p)]n [ai+l(p), ai+lp)]= ¢ Pentru orice n E N* exista atunci un unic nl astfel in cit
n E [an I (p), anl+l (p)] �i deci ayem
n = [anIP)] an ./p) + r,
N olind t, = [ a: (P)] obtinem n = tlan(p) + r I' ell rl < an�P) Dad rl = 0, din inegaIitatiIe an 1 ( p) =:; n=:; an 1 + 1 ( p) - 1
30
(21 .1 1 )
deducem I S tl S p. Dadi rl ;: 0, exista un unic n: E N*, astfel incit
Rl E [an2(p), an:+l(p)] �i cum anl (p) > r1' rezulta nl > n.,. De asemenea, din (21.1 1. ) rezuWi in acest caz Is tIs p - 1, deoarece
a -1-rl t1$ n;t-II) < P a� P
Obtinem in continuare rl = S an:(p) + r: �i continuind procesul, dupa un numar finit de p�i obtinem: re_l = teane(p) + re cu re = ° �i ne < ne_l, iar Is te S p �i lema este demonstrata.. Sa observam ca in ( 2. 1 . 9), spre deosebire de 21.8.), toate cifrele tj
sunt semnificative (mai mari ca zero). Prin urmare, despre cifrele Cj din ( 2. 1 .8 . ) putem spune di ele sunt cuprinse intre zero �i p-l, cu exceptia ultimei cifre semnificative, care poate fi �i p.
De asemenea sa observam di diferenta dintre relatiile de recurenta ( 2. 1.3.) �i ( 2. 1.7) induce mari diferente de calcul in baza standard.
(p) : 1, p, p2, . . . , pi, ... ( 2.1 . 1 2. ) �i baza generalizata
[p] : al(p) , �(p) , ... , aj(p), . .. ( 2.1.1 3. ) Intr-adevar, �a cum se arata in [AI]. daca m[5] = 442, n[5] = 412,
r[5] = 44 atunci m + n + r = 442 +
412 44
d c b a
31
�i pentru a determina eifrele aeestei sume, ineepem adunarea din eoloana a doua, eorespunzatoare lui �(5). Avem
4�(5) + �(5 ) + 4�(5 ) = 5�(5 ) +4�(5) A eum, utilizand 0 unitate din prima eoloana obfinem 5�(5 ) + 4�(5) = a3(5) + 4�(5 ) deci (deoeamdata) b = 4. Continuind, obtinem 4a3(5 ) + 4a/5 ) + a3(5 ) = 5a3(5) + 4a/5 ) si utilizind 0 noua unitate din prima eoloana, rezultii 4al5 ) + 4a3(5) + �(5 ) = ai5 ) +4a3(5 ) deei C = 4 �i d = l. in sf'�it, adunind eifrele ramase 4al(5 ) + 2al(5 ) = 5 al(5 ) + al(5) = 5al(5 ) + 1 = �(5) rezulra ca b trebuie sa fie modifieat, iar a = 0. Deei m+n+r = 1450[5]·
2.2. 0 noua functie 'in teo ria numerelor
in aeest paragraf vm eonstrui 0 funetie s: Z· -7 N avind proprietatile
( sl ) S(n)! este divizibil eu n ( s2 ) Se n ) este eel mai mie numar natural eu proprietatea ( p I ). Fie p > ° un numar prim Vom eonstrui mai intii funefia Sp: N* -7 N* astfel:
32
(a) Sp(aj(p» = pi
(b) Dad n E N* este scris sub forma (2.1.9.) definim Sp(n) = t 1Sp(a1(p» + SSp(�(p» + ... + teSp(ae(p»
2.2.1. Lema. Pentru orice numiir nE N*, exponentul la care apare numiirul prim p in descompunerea lui n! in factori primi este mai mare sua egal cu n.
De asemenea amintim 0 formula datorata lui Legendre care permite calculul exponentului la care apare numarul prim p in descompunerea in factori a numarului n !. Acest exponent este
e p (n) = [nJp] + [nJp2] + . . .. .. (2.2. L) Demonstratie. Se �tie d notmd cu �xt partea intreaga a numiirui x
avem:
[a l + a2 + ... + an] > [al] [a2] [an] b - b + b + .. . + b
pentru orice aj' bE N*. Atunci, dad n are scrierea (2.1.9), obtinem
[ D, D, D.] [ D'] [n1 [ D.] tIP +t2P + ... +t'p tIP t2P t.P n,1 Drl n,-I � - + - + ... + - =tlp +t2P + ... +t.P P P P P [., 00 D'] [ 0,] [DO] [D.] tIP + t2P .+ ". + t.P tIP t2P • t.P n,n, 0,0, 0 � - + - + ... + - = tIP + t2P + ... + t.P pn, p.' pD. pn,
�i deci
2.2.2. Teorema. Funetia Sp definita prin eonditiile s3 �i S4 de mai sus are proprietafile
( 1 ) Sp(n ) ! este multiplu de pn
(2) Sp( n ) este eel mm mie numar natural eu proprietatea ( 1 ) Demonstratie .. Proprietatea ( 1 ) rezulta din lema preeedenta. Pentru a demonstra pe (2 ), fie n E N* oareeare �i ?-2 un numar
prim Sa eonsideram pe n seris sub forma (2. 1 .9 ) �i sa notam z = t1pnl + Spn1 +
. . . + tepne
Vom arata ca z este eel mai mic numar natural cu proprietatea ( 1 ). Presupunand prin absurd ca exista n E N*, u<z, astfel Incit u ! este
multiplu de pn, atunci u<z � � z-1 � (z-1 )! este multiplu de pn. Dar z-1 = t1pnl + s.pn2 + . . . + tepne -1 cu n 1 > n2 > . . . > ne� 1 �i
[Z-I] nrI nrI n-I p = tIP + tzP + ... + teP ' - 1
deoarece [k + a] = k + [a] pentru orice k intreg �i [-lip] = -1
In mod asemanator avem de exemplu
deoarece 0< tepne_ l .s p . pne_l < pne+!
De asemenea
Ultima egalitate de acest fel care ne intereseaza este
deoarece
O n2 n. ( 1) n2 ( 1) n. 1 < < t2P + ... + teP ::; p- p + ... + p- p - p p - -n, n.,+-1 "" i n+l p - n,+1 n1 n. ::; (p-l) L. P + p . - 1 ::; (p-l) --1 = P - - 1 < P - 1 < P . p-
I =n •. l
Intr-adevar, pentru urmatoarea putere a lui p avem
35
deoarece 0 < t1pnl + Spn2 + ... + tepne -1 < pnl+1 - 1 < pnl+1
Din aceste egalWifi deducem d exponentul lui p in descompunerea in factori a lui (z-I)! este:
[Z-I] [Z-I] [Z-I] ( nrl nr2 0) P + 7 +
. . .
+ pDI = tl P + P + . .. + p + ... +
( n e-rI O) ( n e- I 0) + te-l P + .. . + p + te\P + ... + p - ne = n - ne < n - 1 < n
si contradicfia obtinuta demonstreaza teorema.
A cum putem construi functia S: N* � N* avind proprietatile ( sl) si (s2), astfel:
( i ) S(±I) = 1 ( ii ) pentru orice n = Ep1ClI P2� .. , PsCls eu E = ±1 �i Pi numere
prime, Pi :t:. Pj pentru i :t:. j, iar ai � I, defmim Sen) = max Sp/ ai) ( 2.2.2) 2.23. Teorema. Funetia S definita prin conditiile ( i ) �i ( ii ) de mai
sus are proprietafile ( s 1 ) �i ( s2). Demonstratie. Dad n = ±1, Sen) satisfaee eonditiile ( sl) �i ( s2). Sa presupunem ca n :t:. ±1 �i sa notam eu Mx un multiplu de x, iar SPiO(aiO) = max SPi(ai) (22. 3. ) Avem SPiO( aiO) ! = MPiO CliO �i deoareee Sp.(a.) 1 = Mp.Cli i = 15 1 1 · 1 ' , rezulta SPiO(aiO)! = MPiCli pentru i = G In plus, deoareee (Pi' p) = 1 . obtinem SPiO( aiO)! = Mpi Cl1 P:; (X.l • • • Ps Cls
36
�i deci ( s I ) este demonstrata. Pentru demonstrarea lui ( s2) sa observam eli deoareee SPiO( alO)
este cel mai mie numar natural k eu proprietatea k! = MPiO Cli{), rezulta ca pentru orice u < SPiO( aiO) avem
u! ;c MPiO ClIO deei u!;c M(£PIClI p:;Cl.z . . . Pslls) = Mn Ceea ee demonstreaza proprietatea (s2). 2.2.4. Propozi�ie. Functiile Sp, cu p numar prim sunt eresc5.toare
�i surjective, dar nu sunt injective. Functia S: Z* -t N* este "in
general crescatoare" in sensul ca 'if n 3 k S(k) � n de asemenea este surjectiva, dar nu este injectiva Demonstratie. Evidenta. 2.2.5. Consecin�e.
1. Pentru orice n E N* avem
Sp(a) = S(pCl) 2. Pentru orice numiir natural n>4 avem n este prim ¢=> Sen) = n Intr-adevar, daca n � 5 este numar prim atunci Sen) = Sn(1) = n
( 2.2.4. )
Reciproc, dadi Sen) = n, pentru n > 4 �i presupunem prin absurd ca n nu este prim, adidi
_ Cll Cl.z Cls n - PI P:; .
.. Ps
cu s� 2 �i aiE N* pentru i = G, atunci fie SPiO( aiO) dat de (2.2.3.). Din formula lui Legendre (22.1.) deducem
SPiO( aiO) < aiO PiO < n
ceea ce contrazice presupunerea facuta.
37
De asemenea, dad. n = pU, cu a � 2, ob�nem
Se n) = Sp( a) =:; pa < pU = n si teorema este demonstrata
Exemplu. Dacii n = ±231 . 327. 713, pentru calculul lui Sen) �nem
cont cii
(22.5.) iar pentru a calcula pe S2( 31) consideram baza numerica
generalizata [2]: 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... In aceasm baza avem 31 = 1· as( 2) deci S2( 31) = 1.25
= 32 Pentru calculul lui S3(27) considernm baza generalizata
[3]: 1, 4, 13, 40, . . . si avem 27 = 2 .. 13 + 1 = 2 al3) = al ( 3), deci S3(27) = S3(2a3(3) + al(3» = 2S3(a3( 3» + Sla
1( 3» =
= 2.33 + 1.31 = 57 In SI�it, pentru a calcula pe Si 13) considernm baza generalizata [7]: 1, 8, 57, . . .
S i deducem 13 = 1·8 + 5.1 = <1:2(7) + 5al( 7) deci S7(13) = 1.S7( 8) + 5S7( 1) = 1.72 + 5·7 = 84 Din ( 2.2.5.) deducem Sen) = 84. Asadar, 84 este cel mai mic
numar al ciirui factorial este divizibil cu n.
2. Care sunt numerele ale carer catoriale se termina exact cu 0 mie de zerouri?
Pentru a rnspunde la aceasm intrebare observam ca pentru n =
101000 avem S(n)! = M 101000 Si acest Sen) este cel mai mic numiir natural al ciirui factorial se terminii cu 0 sum de zero uri.
38
Avem Sen) = S( 2ICOO . 51COO) = max {S2(1000), S5( 1000)} =
= S5( 1000) Consideriim baza numeridi generalizatl [5]: 1, 6, 31, 156, 781, ...
Obtinem S5( 1000) = S5(1·a5(5) + I.ai5) +2.a3(5) I.al(5» =
55 + 54 + 2.53 + 5 = 4005 Numerele 4006, 4007, 4008 �i 4009 au �i ele proprietatea ceruta in
enunt. dar 40 10 are proprietatea di factorialul sau are 1001 zerouri. Sa observam di am ( p) :s a ¢::> ( pm - 1 )/ ( p-I) :s a ¢::> pm :s ( p-l )a + 1 ¢::> ¢::> m:S logp «p-I)a + 1) iar alP] = Ie..�(p) + kV_Iay_1(p) + ... + k1a1( p) = �_l .. ·kl [P] este scrierea exponentului a in baza [p], atunci v e partea intreaga
a lui logp( ( p-I )a+ 1), iar cifra Ie.. este obtinuti din egalitatea a = Ie.. a/p) + rv_1 Procedind analog cu ry_l obtinem indicele v-I �i pe Ie..-l etc.
23. Formule de calcul pentru Sen)
Din proprietatea ( b) pe care 0 satisface functia Sp (§2.2.) deducem ca
SCpO:) = p(a[p])(p) (2.3.1.)
adidi S( pO:) se obtine inmultind cu p numarul a scris in baza [p] �i "citit" in baza ( p).
39
Exemplu. Pentru calculul lui S( 111000) procedam astfel: tinind
cont cii baza [11] este
[11]: 1,12, 133, 1464, . .. avem 1000 = 7·133 + 5.12 + 9 = 759[11]' deci
S( 11IOOO) = 11( 759)(11) = 11 (7.112 + 5·11 + 9) = 10021 Prin urmare, 10021 este cel mai mic numar natural al dirui
factorial este divizibil cu 111000. Egalitatea ( 2.3.1.) earatii importanta bazelor ( p) �i [p] in calculul
lui Sen). Fie
n . a(p)= I CiP1
i=O
expresia exponentului a in cele doua baze. Obtinem
r . r
(p-l) a = "2)i - Lkj
deci notind
j=1 j=1
( 23.2)
(2.3.3.)
r r-1 �i {.infud cont di I. kpj
= p I. kpj este tocmai � alP 1() obtinem . p J=1 j=O S(p a) = (p _ 1) a + cr[p�a) (2.3.4.)
Cu ajutorul primei inegalitiiti ( 2. 3. 3.) obtinem
sau
� = i C iai+llp) + �l (p!a) p- i=O P
si ill consecinfii avem
a = �l(a(p�[P/ �(p!a) (2. 3 . 5.)
unde prin (a(p»[p] am no tat numfuul obtinut scriind pe a in baza (p) Si citindu-l in baza [pl.
Inlocuind aceasta expresie a lui a in (23.4.), obtinem
(2.3.6.)
Putem obtine Si 0 legatura intre S(pa) Si exponentul ep( a) din formula lui Legendre (2.21.). Amintim ca ep( a) este exponentul la care apare numfuul prim p in descompunerea in factori a lui a !
Se stie ca pe linga exprimarea (221 ) mai avem
a - a(p' a) e (a)= -.....!.!:!....�-
l:A p-l
deci utilizind (2.3.5.) deducem
( 2.3.7. )
ep(a) = (a(p»[p] - a 2.3.8.
o aWi formula pentru ep( a) poate fi ob�inutii astfel: daca. a dat de prima egalitate (23.2.) este
a(p) = Cn pn + Cn_ 1 pn-1
+ . .. + C1P + Co atunci cum
41
(2.3.9)
e p( a ) = [alp] + [alp2] + . . . + [alpn] =
= (Cnpn-I + Cn_Ipn-2 + . . . CI) + . . . + (CnP + Cn_l) + Cn obtinem
(23. 10 ) unde aCp) = Cn Cn_1 ... Co este exprimarea lui a in baza (p ). Din (23.6 . ) �i (2.3.8 . ) dedueem
S(p a ) = 1�1 )2(eJa) + a) + �1 <J(p!a) + <J[p1a) (2 .3 . 1 1 . )
Utilizind egaliHip.le ( 2.3. 1 . ) �i ( 2.3.6. ) obp.nem 0 legatura intre numerele :
(aCp)hp] = numarul a seris in baza (p ) �i "eitit" in baza [p] (a[p] )cP) = numarul a seris in baza [p] �i "eitit" in baza (p ) �i anume: p2(a[p])cP) - ( p-I )2(aCP)[p] = p<J[p](a ) + ( p-I )<Jcp/a ) (23. 1 2. ) Pentru a obp.ne �i alte expriman ale lui observam ca din formula
lui Legendre ( 2.2. 1 . ) rezulta S(pa ) = p (a - ip( a» eu � ip( a ) 5 [( a-I )/p] (23. 1 3. ) de unde, utilizind pentru S(pa ) no tap. a eehivalenta Sp( a ), obp.nem ( l/p)Sp(a) + ip(a ) = a (23. 14 . ) �i deci pentru fieeare funep.e Sp exista 0 funep.e i p astfel incit sa
avem eondip.a binarii (2 3. 1 3. ) pentru a obp.ne identitatea Pentru a obtine exprimari ale funep.ei i p observam ea din ( 2.3.7 . )
rezultii a = (p-I ) e p(a ) + <JcP)(a ), iar din ( 2.3.4 .) obtinem a = (Sp( a ) -<J[p] ( a ) )/(p-I ), deei ( p-I )e p(a ) + <JcP)(a ) = (Sp(a ) -<J[p](a»/(p- 1) sau S(pa) = (p-I )2ep( a ) + (p-l ) <Jcp/ a ) + <J[p] ( a ) ( 2.3. 1 5. )
42
Revenind la functia ip' observam d. din ( 2.3.4. ) si ( 2. 3. 14. ) rezuWi
( 23.16.) prin urmare putem spune d. exista 0 complementarita te intre
exprimarea lui ep(a) prin egalitatea ( 2. 3.7. ) Si exprimarea de mai sus a lui ip( a).
Putem gasi si alte legaturi intre ip si ep. De exemplu din ( 2.3.7.) si ( 2. 3.16. ) obfinem
iJa} = (p-l)eJa) + <J/pta) - <J[Pla) p (2. 3 .17.)
De asemenea, din a[p] = ky ky-l .. . kl = ky ( pV-I + pv-2 + . . . + 1) + + ky-l (pv-2 + pv-3 + . . . + 1 ) + . . . + k2(p+ 1 ) + kl ' obtinem
a = (kypv-I + ky_IpV-2 + . . . + Is p + kl) + Kv( pv-2 + pv-3 + . . . + 1 ) + ky_l(pv-3 + pV-4 + . . . + 1 ) + . . . + k/p+l) + Is = (a[p]) (p) + [alp] - [ (v[p](a» /p]
deoarece [alp] =ky(pv-2 + pv-3+ . . . + p+ 1)+kjp +�_1(pv-3+pv-4+ . . . + p+ 1)
+ ky_/p + . . . + k3(p+ 1 ) + kip + � + !sIp + k/p iar [n + x] = n + [x] Obtinem a = (a[p]) (p) + [alp] - [<J[p{a) /p] Rezulta ca putem scrie
(2. 3. 18)
S(pa ) = pea - ([alp] - [<J[p](a) /p])) (2. 3.19)
iar din ( 23.16.) si ( 2.3. 19.) deducem ip(a) = [alp] - [<J[p](a) /p] (2. 3.20)
relafie care se poate obfine Si direct, din ( 23.16. ) finind cont ca dad.:
(m-n)/p E N atunei (m-n )/p = [m/p] - [nip] prin urmare (a - a[p](a» /p = [alp] - [a[p](a)/p] o alili exprimare a lui ip(a) se obtine din (23. 1 . ) �i ( 2.3. 16. ) sau
din (2.3.18 ) �i ( 2.3.20 ) �i anume ip(a) = a - (a[p])(p) In sf'�it, din definitia lui S rezulili Sp(ep(a» = p[alp] = a - ap
(2.3.21.)
unde ap este restul impa¢rii lui a la p, [i de asemenea ep(Sp(a» � a, ep(Sp(a) - 1 ) < a (2.3.22.)
deci
sJa} - a(p{s Ja}) > p-l - a
SJa} - l - a(p{s Ja} - l ) p-l < a
Utilizind (2.3.4.) rezulta di Sp(a) este solutia unidi a sistemului a(p)(x) � a[p]( a) � a(p)(x- l) + 1 (2.3.23.) In fialul acestui paragraf vom reveni la funetia ip pentru a prezenta
o comportare asimptotidi a ei Din eondifiile pe care Ie indepline�te aeeasta funefie in ( 23. 1 3 )
rezultl ea notind �(a, p ) = [(a- l )/p] - ip(a) avem � � O. Pentru a caleula pe � observam ea [(a-l )/p] - ip(a) = [(a-l )/p] - [alp] + [a[p](a)/p] si presupunind a E [hp+ 1, hp+p--l ] , rezulta
(2.3.24.)
[(a-I )/p] = [alp] deci �(a, p) = [(a-I )/p] - ip(a) = [cr[pla)/p] De asemenea, dad a = hp, atunci [(a-I )/p] = [(hp-I )/p] = h-I in timp ce [alp] = h, deci (2. 3 .24) devine ilea, p) = [cr[p)(a)/p] - I Analog, dad a = hp + p, obtinem [(a-I )/p] = [h + I - ( lIp)] = h
(2.3 .25)
(2.3 .26)
iar [alp] = h+I , deci (23 .24.) are forma (23.26 ). Pentru OIice a pentru care �( a, p ) are forma ( 2.3 .25. ) sau ( 2.3.26.) deducem d �( a, p ) este maxim dad cr[p)(a) este maxim, deci pentru a = aM' unde
aM = « p-I )(p-I) . . . (p-I ) P [p] v termem
Avem deci aM = (p- I )a/p) + (P-I )�_l(P) + . . . + (p-l )az(p) + p =
= (p-I) [(pY-I )/(p-I )' + (pY-l_ I )/(p-I ) + . . . + (p2 - I )/(p-I)] + p =
= (pY + pY-l + . . . + p?rp) - (v-I) = P �(p) - (v-I ) Rezulta d aM nu este multiplu de p dad � i numai dad. v-I nu
este multiplu de p. In acest caz cr[p] (aM) = (v-I)(p-I ) + P = pv-v+I �i �( aM' p) = [cr[p)(aM)/p] = [v - (v-I )/p] = v - [(v- l )/p] Deci ip(aM) � [(aM-I)/p] - t adica ip(aM) E [[(aM- l )/rl - t, [(aM - I )/p] ] . Dad v-I E ( hp, hp+p ), obtinem [(v-I )/p] = h �i
h( p- l ) + 1 < .6.( aM ) < h( p-l ) + P + 1 deei
lim .6.(aM, p) = 00 U M -t 00
Observam de asemenea ca
[(aM-I)/p}= av<p) - [(v-l )/p] = (pv+! _ l )/(p-l ) - [(v-l )/p] E
E [(php+ ! _ l )/(p- l ) - h, (php+p+! - l )/(p-l ) - h] Asadar, dad aM �- ea px, atunei .6.( aM' p ) � - ea x.
De asemenea din
iJaJ _ aJp) - v [cr�-l] - aJP1 _ [V;2]
rezultii
lim iJa) = 1 U -t 00
[a;l ]
� l
2.4. Legaturi intre funcpa S �i unele functii numerice clasice
In aeest pragraf vom prezenta legaturi ale funefiei S eu funefia lui Euler, funefia lui von Mangolt, funefia lui Riemann, funefia n
2.4.1. Definipe. Functia lui von Mangolt se define�te prin
A(n) = { In p, dacii n = pm 0, dacii n ;e pm (24 . 1.)
Se �tie cii aceasta functie nu este multiplicativa, adicii din (n, m) = 1 nu rezulta A(n.m) = A(n) .A(m)
De exemplu, pentru n = 3 �i m= 5 avem A(n) = In 3, A(m) = In 5 �i A(m n) = A( l 5) = °
Despre aceasta functie se cunosc urmatoarele rezultate : 2.4.2. Teorema. Avem
Ii) L A(d) = In n
<Yn (ii) A(n) = L �(d) In� <Yn d
un de }l este functia lui Moebius, definita prin
{ I, daca n = 1 A(n) = 0, dacii n este divizibil cu un patrat
(_1) k, daca n = PIP2 . . . Pk (24 .2) 2.43. Definipe. Functia \jf: R -7 R este definita prin relatia
(2.4 .3 )
Dintre proprietatile acestei functii mentionam doar doua, de care avem nevoie in conti.nuare, �i anume:
2.4.4. Teorema. Functia \jI satisface
Ii) 'If{x) = L A(n) n:5 x
(ii) 'V(x) = I n[l . 2 . 3 . . . . . [x] 47
unde cu paranteza dreapta am no tat cel mai mic multiplu comun al numerelor 1, 2, . .. [x).
Se �tie d. pe mulnmea N* putem considera doua structuri laticeale
�i anume 'J.fe = (N*, A, V ), � = (N*, 1- � unde A = min, V = max -1 = c.mmd.c. (notat pina acum cu paranteze rotunde ) � = c.mmd.c. (notat pina acum nu paranteze drepte) Ordinea indusa pe N* de structura 'Xe 0 yom nota cu :s, iar ordinea
indusa pe N* de structura � 0 notam cu :sd, se �tie d. nl :S d n2 <=> nl divide nz (<=> n/nz ) (24.4. ) In virtute a acestor consideratii putem spune ca funqia S este
definita pe laticea � cu valori in laticea '1{,. Aceasta in virtutea proprietatii S(nl -ernz ) = S(nl) V S(nz) (2.4.5. ) pe care 0 are s. In felul acesta S devine 0 functie monotona, in sensul ca
nl :s d nz � S(nl ) :s S(nz ) ( 2.4.6 . ) Se �tie �) d. dad. (0/, A, V) este 0 latice finitii, 0/= {Xl' XZ' . . . Xn }
cu ordinea indusa :s, atunci pentru orice functie f: V � R, functia generatoare a�ata este definita prin
F( n ) = L fey ) (24.7) ysn Acum putem reveni la functia lui Mangolt �i sa observam ca
notind cu pi functia generatoare a�ata functiei numerice f in laticea
�, �i cu fO functia generatoare a�ata lui f in laticea � in virtutea teoremei 2.4.2 avem pe de-o parte:
pi( n) = �n A(k) = In n ( 2. 4.8. )
iar pe de alta parte se poate eonstata eu usurinta ca funqia generatoare atasata aeeleiasi funetii a lui Mangolt, insa in latieea � este
pJ(n ) = � A(k) = ",(n ) = In [ 1 , 2, . .. , n] Observam deei di fieeiirei funetii numeriee f Ii putem atasa doua
funeti,i generatoare si anume funeti,ile pJ si pi.
Pe baza aeestor eonsideratii obti,nem diagrama urrnatoare:
A
Fd(n) = L A(k) = In n k:Sd n
21. � 22
FIn) = "" In k F(n) = L in k = In n! L Ic S n
� lc Sd n
�
49
Observam de aici di defrnifia lui S este intr-o strinsa legatura cu egalitafile (1.1. ) �i (2.2.).
Considerind drept f funcfia lui Mangolt, din egalitafile [ 1 . 2 • . . . . n] = e F(n) = ef(l) . ef(2) • . • • • ef(n) = even)
n ! = eF(n ) = epic 1 ) . epic:!) . . . . . epic n) utilizind �i definifia funcfiei S . suntem cond�i la a considera
funcfii numerice de forma yen ) = min {m/ n:5d[ l . 2, . . . . m] } (2.4.9.) asupra carora vom reveni intr-un paragraf care urmeaza. Revenind
la ideea legaturii dintre funcfia S �i funcfii numerice c1asice, pentru a prezenta 0 legatura dintre S si funcfia lui Euler amintim di daca p este un num:1r prim. atunci
<p(pll) = pll _ pll-l (24. 10. ) iar pentru ex � 2 avem pll-l = ( p-l )all_1(p) + 1 deci a[p](pll-l) = p UtiliZilld egalitatea (2.3 .4.) rezult Sp(pll-l ) = (p-l)pll-l + a[p{pll-l ) = <p(pll) + P (2.4. 1 1 .) 2.45. Defini�ie. Seria Dirichlet atasata unei funcfii f: N* � C este
Dr(z) = i f(� (2.4. 12. ) n=l n
care pentru un anume z = x + i y poate fi convergent:! sau nu. Cea mai simpia serie Dirielet este
s(z) = i� z n=! n (24. 1 3. )
50
nufnitii funqia lui Riemann sau funct i a zeta, care este convergent3.
pentru Rez > l. In cele ce urmeaza vom presupune d Z E R, deci z = x.. 2.4.6. Teorema. Dad
t . a ' n = I1 P i 1 n
i = I
este descompunerea In factori prirni a numarului natur:l.l n. atunci Intre functiile S si functia lui Riemann avem urm:itoare.1 le £'::inlr:i p �
I' t. S ( ai .- l) �(x-l ) = I II P A P i - P i L(X) n�! . x ai •
. J 1 = 1 Pi Dernonstraoe:
Se srie c3 ser1:l Dirichet :lrasara functiei lui \ 1001 '.!S �S;� I
D. (z)= -- pentru Re(z» 1 . ( (z)
iar seria Dirichet atasata functiei lui Euler este
((z- I ) D�(z))=--- per:tru Re(z» 2
((z)
A vern de asernenea
pentru Re(z» 1
unde �(n) este numarul divizori lor lui n, inclusiv l si n. Mai general:
D " in)=((z)*((z-k), pe:1tru Re(z» I, Relz» k- l
unde -=,(n) esre suma ;Juterilor de or::mn k :l dlvizorilor lui n
Vom nota :(n) In loc de : , In). lar '0 In )=; I n ).
(2" +. 1 4 . )
Dupi cum am r:1ai spus. intre functiile Q s i � ex.ist3. leg5.rurJ.
�(x-l) = I <p(n) �( ) , x :., X n� : n
I n plus, avem
( 2.-+.1 5. )
t n; \ t n
<p(n) = IT <p (p�1 = IT (SPi (p�i .- 1 ) _ Pi ) i = 1 i = 1
�i inlocuind aceasta expresie a lui <pe n ) in ( 2.4. 1 5. ) obtinem egalitatea din enunt
Pentru functia S avem
Ds(x) = i Sen) x n=! n
�i notind cu DFsd seria Diriclet atasata functiei urmatoare F s d
deducem 2.4.6. Teorema. Pentru orice x > 2 avem ( i ) se x) s Ds(x) s sex-I)
(ii) S2(x) s DFSd ( x) s sex) . sex-I) Demonstratie. ( i ) Inegalitatile rezulta din aceea ca avem 1 s Sen) s n (24. 16. ) pentru orice n E N* ( ii ) Avem
1� 1 ) (� S(k» ) sex) Dslx) £..J -; £..J -x = k=l k k=l k
= S( l ) + S(1 ) + S(2) + S( 1 ) + S(3) + S(1 ) + S(2) + S(4) + . . . = DFd(x) 2x 3x 4x S
Si inegalitiitile rezultii utilizind pe ( i ). Sa observam ca ( ii ) este echivalent cu Dt(x) s DFSd(x) s DcrCx) inegalitate care peate fi dedusa si observind ca din ( 2.4. 1 6. ) se
obtine
I I ::; I S(k) ::; I k k::;d n is d Q is d a
52
prin urmare avem ten ) :::s Fsd(n) :::s (j(n) ( 24. 1 7 ) Remardim eli in [GsJ s-a aratat di functia sumatoare FSd satisface
chiar inegalitatea ten ) :::s Fsd(n) :::s n + 4
Pentru aprezenta aite inegaliiliti satisIacute de seria Dirichlet Ds amintim mai intii eli dad!. f �i g sunt doua functii de 0 variabila reala, cu cre�teri nemarginite, dad f(x) > 0 �i dad exista constantele C1 �i c; astfel incH
If(x)1 < Cl(x) pentru orice x > C2 atunci scriem f(x) = O(g(x» (f este de ordinul lui g). In mod special se noteaza cu O( I ) orice funqie care ramine
miirginitii pentru x > C2. Dad raportul f(x )/g( x ) tinde la zero pentru x tinzind la infinit, notam
f(x) = 0 ( g(x) ) In mod special se noteaza cu o( I ) orice functie care tinde la zero
cind x tinde la infinit Evident ca f(x ) = o(g(x)) � f(x) = O(g(x » ) dar nu �i reciproc. 2.4.7. Teorema. Func�ia lui Riemann satisface rumatoarele
egalitiip.: ( i ) �(z ) = l I( z-I ) + 0(1)
(li) In �(z ) = In( l I( z-I ) + O(z-I ) ( iii ) �' ( z ) = -1I(z-I )2 + 0(1)
pentru orice numar complex Z, unde prin O( 1) am no tat 0 funqie miirginitii.
Utilizind teoremele ( 2.4.6.) �i (2.4.7. ) obtinem: 53
2.4.8. Teorema. Seria Dirichlet Ds atasata func�ei S si derivata
sa D's satisfac inegalitawe: e i ) lie x-I ) + oe 1) $ Dsex) $ lIex-2 ) + O( 1)
e ii ) -lIe x-I )2 + 0(1) $ D's(x ) $ -1I( x-2 )2 + 0(1)
Nota�a consacrata pentru numarul numerelor prime mai mici decit
x este IT(x ). In [S8J se da 0 legatura intre func�i1e IT si s. Plecind de la observatia ca Sex) $ n pentru orice n si di pentru
n > 4 avem Se n ) = n dad si numai dad n este numar prim, se
obfine
I1(x) = r rS�k)] - 1 k = 2 l
2.5. Functia S ca funcpe sumatoare
Hind data 0 func�e numerica, formula de inversiune a lui Mobius permite, dupa cum se stie, scrierea func�ei f cu ajutorul functiei sumatoare pi si anume
fen) = L �(d) Ft£) din daca
Fd(n) = L.f(d) din
( 2.5.1. )
Avind in vedere acest aspect, putem considera orice functie numerica f in doua situatii :
1 ) in situatia de a-i explicita functia sumatoare F
2) in situatia ca f sa fie fonsiderata functie sumatoare a unei functii numerice g.
g(n) = L �(d) fti) � f --7 FdCn) = L fCd)
din din 54
(2. 5 . 2 . )
De exemplu, pentru fen) = n (aplicatia identidi) avem
g(n) = L ll(d� = <p(n); F d(n) = L d = (J(d) &n &n
(2 . 5 . 3 . )
Considerind cazul particular cind f este functia S , explicitarea functiei sumatoare Fs d este dificila in general deoarece
F�(n) = I S ed) = I max (s()�) ) din din
cu bj factori primi ai lui d.
(2 .5 .4. )
Totusi, in doua cazuri particulare exprimarea lui FsdC n ) este mai accesibila, si anume pentru n = pCl si pentru n numiir liber de patrate. In primul caz avem
�pCl) = I s(pj) = I(!P-l)j + <J[py)) =
j=I j=I
a (a+l ) f . = (p-l) 2 + L.. <J [p !.j)
j=I (2. 5 . 5 . )
Fie acum n = PI ° P2 ° . . . ° Pk un numiir liber de patrate, cu PI < P2 < . . . < Pk numere prime. Desigur
S e n) = pk si Fsd( 1 ) = SO ) = 1 FSd(P I ) = SO ) + S(P I ) = 1 + PI FSd(PI oP2 ) = S( 1 ) + S(PI ) + S(P2) + S(PI oP2 ) = 1 + PI +2P2 FSd(PI oP2°P3 ) = 1 + Pl_+ 2 P2 + 23p3 = F( PI op2 ) + 22p3 si rezultii Fsd( n) = 1 + Fsd( PrP2° . . . °Pk_l ) +2k-1 Pk de unde se obtine
55
k FSd(n) = 1 + L2i-1Pi i=l
(25.8 .)
Sa observam C3. deoarece Sen) = Pk' inlocuind valorile lui FSd( t) date de (25.8 .) in egalitate
Sen) = .L /-l( r) FSd( t) (25.9.) f [ = n
aparent obtinem 0 exprimare a lui Pk in functie de numere prime precedente. In realitate ( 2.5.9.) este 0 identitate in care dupa reducerea termenilor asemenea coeficientul fiecarui numiir prim este nul.
In [GsJ se rezolv3. ecuatia Fsd( n) = n in ipoteza SO) = 0
(25.9.i)
(25.9.ii) 2.5.1. Propozipe. in ipoteza 92.5.9.5) ecua�ia ( 2.5.9.i) are doar
solutiile a) n numiir prim b) n E { 9, 16, 24 } Demonstratie. Deoarece Fsd(n) = L Sed) (25.9. iii)
din in ipoteza mcum se observa ca orice numiir prim este solutie a
ecuatiei. Sa presupunem ca k
n = IIp{i i=l
este descompunerea in factori primi a numarului compus n�4 , unde numerele prime Pi �i exponentii ri E N* satisfac condi�le
( c l) P1r1 > Pli pentru orice i E { 2, 3, . . . , k }
56
( e2 ) Pi < Pi+I pentru i E { 2, 3, . . . , k-l } , ori de cite ori avem k � 3. Sa presupunem mai intii k = 1 �i rl � 2 Datorita inegalitatii
S(PISI ) ::s PISI
observam d. avem rl
Pl r l = n = Fsd( n ) = FSd( p r l ) = L S ( PI S I ) I s l =O
deei
Dad. PI � 5, aeeasta inegalitate nu este satisfaeuta pentru rl � 2, deci trebuie sa avem PI > 5. Cu alte euvinte, PI E { 2, 3 } .
Cu ajutorul inega1ita� (25.9iv) putem gasi un supremum prentru
rl ' supremum ee depinde de valorile lui Pl'
Dad. PI = 2, rezulta d. rl poate lua doar valorile 2, 3, 4 �i pentru
PI = 3 singura valoare posibilii a lui rl este 2
Deei sunt eel mult patru solutii ale ecuatiei ( 2.5.9. i ) daeii n este
de forma n = p{I , �i anume n E { 4, 8, 9, 16 } .
Calculind pe Fsd(n ) in fiecare din aceste eazuri obtinem
FSd( 4 ) = 6 , FSd(8 ) = 10; FSd(9 ) = 9; Fsd( 16 ) = 16
In consecintii, solalii sunt n = 9 �i n = 16 .
Sii presupunem aeum k � 2
Seriind in ecualia ( 2.5.9. i ) pe n descompus in faetori primi.
obtinem 57
r 1 rk � I . . . I max ( p � I' P : h . . . , P oS kl <
S F O s .-= o
r 1 rk
< I . . . I rna;.; : P { I' P i;) . . . , P If kl = S F O s .-= O
r rk k = :t. . . . I p { l � p { l rr (ri + l )
S F O s .-= O i = l am obtinut deci inegalitatea
IT K< P 1f l(fl + 1 ) = f 1 (f 1 + 1 ) f+ l r l rl- l
i = 1 1 P I P I Suntem astfeI condu�i Ia studiuI functiilor
(2 . S.9 .v)
x
f(x) = x: 1 �l g(x) = x�:ll ) , x E [0, 00), unde a, b � 2
DerivateIe aces tor doua funcfii sunt x
f(x) = a 2 [(x + 1 ) In a - l] �i Ix + 1)
2 cr' (x) = (-In b)x + (2 - In b) x + 1 o x - 1 b
Deoarece ( x+l ) In a -1 � ( 1+1 ) In 2 - 1 = 2 In 2 -1 > 0, fezuIta 58
cii f ( x ) > 0 pentru x � 1 . In plus, maximul functi,ei se obti,ne pentru
Notind
deducem
de unde rezuIta � (In b / + 4 < In b + 2 pentru b� 2
� (2 - In b) (2 + In b) 2 < 2 3 x < 2 ln b ln b - ln 2
<
Sa observful ca avem �i
�ezulta ca
?i in plus
deoarece
pentru orice r I E N*. Re\inem deci cii
k
n �i < 3 i = 2
lim f(x) = lim g(x) = 00
X ---+ OO x -+ oo
rl P I P I -- cre�te, pentru r l E N*, de la -
2 la oo
r l + 1
dad P I � 2
59
Daf avem �i
de unde rezulili ca trebuie sa avem k :s 3. Pentru k = 2, din ( 2.5.9.v) si (25.9.vi ) deducem
deci P:: < 6. Daca presupunem ca f:: � 3, deducem PI . P:: � 2 . 3 = 6, adidi P2 > 6/PI· �i obWtem
p� p�2 f 1(f 1 + 1 ) { 6 } -4 :5 1 < :5 max 2, - :5 max {2, P2} = P2 f2 + r 1 - I P I P I
deci P:: 2 < 4, ceea ce este 0 contradictie. A�adaf, avem f2 :s 2. Deci P2 E {2, 3, 5} , f2 E {I, 2 } Mai mult, din
P2 p�i r 11r 1 + 1) r llr l + 1 ) 1 < - < -- < < --'--"":'" - 2 - r2 + 1 - r 1 - 1 - 2r 1- 1
P I
fezulili fl :s 6. In consecintli, fixind valorile lui P:: �i f2 inegaliilitile
ne dau suficiente informatii pentru a determina un supremum pentru r 1 (mai mic decit $apte ) pentru fie care valoare a lui Pl.
Rezultatele sunt date in tabelul urmator.
P2 r.., PI r1 n=pl rlp2 r21 Fsd( n) IIDad Fsd(n)=n. atuncil
2 2 2 2 2 3 3
3
1 3 19(s3 2-3r1 2+3r1 (rl+1 ) 5 19l� d 2+5rl (r1+1 ) 1 2-yl I I
pl�7 'I 1 1 2 PI II 2+2 PI 2 3 2 36 II 34 2 pl�5 1 4 PI
I i I I 3 PI + 6 2g1:sS 3-2r1 I I 2r 1 2-2r 1+ 1 2 1 2
pl�5 1 3 PI 1/ 1 2 p +3 1 2 3 40 II 30
Din acest tabel deducem ca trebuie sa avem n = 3 . 2r1 sau r1 = 3
II 3 1 2 -I II 3 1 2 I I II 0 = 2 -, 34 = 36 'II 11 II Pl=6 :1 II r1 = 3 i i
II PI = 3 30 = 40
deci n = 3.23 = 24, adica n = 24 este singura solutie a ecuatiei (25.9.i ) pentru k = 2
In sf'�it, sa presupunem k = 3; atunci deoarece ( p/2 )(p/2 ) < 3 rezulra P2·P3 < 12, deci P2 = 2 $i P3 E { 3, 5 } . Deoarece
r l(r l + 1 ) < r l/r l + 1 ) � 2 r r - 1 3 r r - 1
P I utilizind ( 2.5.9.vi) obtinem P2 = 3. De asemenea din (2S.9.vi ) $i ( 2.5.9.vii ) obtinem
') r� 3 r3 --- - -- < 2 r2 + 1 r3 + 1
81
( 2.5.9.vii )
I
I f I
I I i 1 I i ! i
�i deoarece membrul sting al acestei inegalitafi este un produs de doua funcfii strict crescatoare pe [ 1 , -), deducem ca singurele valori posibile pentru f2 �i f3 sunt f2 = f3 = 1 .
Introducind aeeste valori in (25.5. v ) obfinem
3 f llf l + 1 ) r llr l + 1 ) - < < ---'------'-2 r l- I - r l- I P I 5
de unde rezulta fl = l. In eonsecinta, eeuafia ( 2.5.9.i) este satisIaeuta dad �i numai daca
n = 2.3·P I = 6PI Daf
6 P I = F� 16 P I) = SO) + S(2) + S(3) + S(6) + ii S(2�jp I) = i=O j=O
deoareee S(2i.3i) � 3 < P I pentru i, j E { D, I } �i deci P I = 4, eeea ce contraziee presupunerea PI ;:: 5.
Rezulta eli eeuafia avuta in vedere nu are solutll pentru k = 3 �i propozifia este demonstrata.
Consecinta Solufiile inegalitafii Fsd(n ) > n (2S.9.viii ) se obfin finind cont de faptul eli (25.9.viii ) implieli ( 2.5.9.v ) Deci Fsd(n ) > � n E { 8, 1 2, 1 8, 2D} sau n = 2p, eu p numar prim In eonseeintfi, avem
62
FSd ( n ) � n + 4 pentru orice n E N*. Mai mult, intrucit avem solufiile inecuafiei Fsd( n ) � n putem deduce si solufiile inecua�iei F s d( n ) < n. Amintim di in [S9] se studiaza limita sirului
d n n 1 T(n) = I - In F S(n) + � I 7k) 1=1 k=1 F S\P i ce confine func�ia sumatoare. Se demonstreaza ca
lim T(n) = �
In continuarea acestui paragraf vom avea in vedere sageata spre stinga din (25.2), adica vom privi pe S ca 0 funcfie sumatoare a unei funcfii s, pe care 0 vom determina
Avem deci, prin definifie,
sen) = I �(d) S(J) din
Daca descompunerea lui n in factori primi este a l a , a t n = p • p - . • P I 2 . . . t
rezuita ca
Sa consideram ca
63
(2 . 5 . 10 . )
Distingem urmatoarele cazuri:
(al ) s( al - 1) s( a .\ . . P i o 0 � P i J pentru l :;: lo-
In acest caz observam d divizorii d ai lui n pentru care J.I.( d) :;: 0 sunt de forma d = 1 sau d = P i 1P i2 ' " P ir • Un divizor de forma a
doua poate sa contina pe PiO sau nu, deci utilizind (2.5. 1 0 ) rezultl
{ (l,l ( I 2 t-I t-I) { (ll� ( 1 2 t- I) sen) = S PiO 7 1- Ct-l + Ct_1 + . . . + (-1 ) C'_l + S PiO 7 -1 + C,_l - ct_1 + . . . + (-1 ) Ct_ 1
de un de rezulti'i d sen) = 0 pentru t 2: 2 sau dad s( ai� _ s( alO - 1) �i s( n) = p'IO ill celelalte cazuri. P iO} - P iO
( a2 ) dad exista jo astfel incit
s( alo - I) s( a) . s( aiO - I) > s( a ) . . . PiO < PjO") SI PjO - P i J pentru 1 :;: 10> Jo
In acest caz, presupunilld in plus ca
obtinem { cd ( 1 . 2 t-I t-I) sen) = S PiO'] 1- Ct_1 + C t_1 + . . . + (-1) C t-l + ( CLj� ( I 2 t-' t-2) + S Pjo] -1 + Ct-2 - C t-2 + . . . + (-1 ) Ct-2 + ( CLJO- I) ( I 2 t-2 t-2) + S PjO 1- Ct-2 + Ct-2 + . . . + (-1) Ct-2
deci sen) = 0 daca t � 3 sau daca S(p�;o- I) = S{p,;d' si Sen) = -PjO in ce1elalte cazuri.
In consecinta, observam d pentru a obtine pe s ( n ) construim,
dupa modelul de mai sus, un �ir maximal i t ' i2, . . . , ik astfel incit
( ) s( aJ s( al l - 1) s( ai� s{ al�_1 - 1) s{ aiJ S n = P i 1 J, P i 1 < Pi2} . . . , P ik-1 < P ik ] sen ) = 0 daca t 2: k + 1 sau S{p�i' < S(p�ik- I)
s( n ) = (_1 )k + l pik in celeialte cazuri. Deoarece pentru 0 egalitate de forma S( pa) = S( pa - l ) avem S(pa) = S(pa-I) � (p-l) a + (j[p)(a) = (p-l )(a-l ) = (j[p{a-l) �
� (j[p)(a- l ) - (j[p{a) = p-I iar S(pa) ;z: S(pa-I) � (j[pj(a-l) - (j[p{a) = -I , notind deducem ca
avem
sen ) = { 0, daca � k+l sau (j[pj(ak -I) - (j[p](ak) = Pk - 1 (-l )k+lpk, in celelalte cazuri .
Aplicape. Se �tie [�] d dad ( 0/, A, V ) este 0 !atice finit5. cu 0/ = { x l ' x2' . . . , xn } �i no tam cu ::5 ordinea indusa pe V, iar pentru functia f: 0/ � R consideram functia generatoare, definita prin egalitatea (24.7. ), atunci dadi nomm
(Y • • = F(x. A x . ) 01J 1 J rezulra det (gi) = f(xl ) .f(x2 ) • . . . • f(xn) In [L2] se arara d acest rezultat peate fi generalizat la 0 muHime
partial ordonat:a, definind
I gij = x $; x , f(x)
Utilizind aceste rezultate �i notind �(r) = det ( S( i Aj » pentru i, j = G
d rezulra d �(r) = sO ) . s(2 ) . . . . . s(r) deci pentru r suficient de mare (de fapt pentru r � 8 ) avem
�(r ) = O. Mai mult, pentru orice n exista r, suficient de mare, astfel incit dad
65
�(n, k) = det S « n+i ) Ad (n+j » , pentru i, j = I, k sa avem �(n, k) = 0 pentru k � r. Aceasta deoarece
k �(n, k ) = IT s(n+i )
i=l
Avind in vedere seria Dirichlet Ds atasata functiei s prin egalitatea
DJx) = i sen) x
n = I n avem
(i) 1 :s; DJx) :s; D<v, x lpentru x > 2
(li) 1 :s; DJx) :s; : - 1 , a ftind 0 constanta pozitiva e (x - 2)
Demonstratie. (0 Utilizind regula de inmul�ire a seriilor Dirichlet obfinem
_1 Dgx) = (i: �(�»)(i: S(�» )= Qx) k=l k k=1 k
= �(l ) S(l ) + �(l ) S(2) + ,,(2) SO ) + �(l ) S(3) + ,,(3) SO ) + �O ) S(4) + �(2) S(2) + �(4) S(l ) + . . . . . . =
2 ' 3 ' 4 ' � s(k) = L...-= D�x) kzl k x
si afirma�ia rezl!lta tinind cont de inegalita�ile ( i ) din teorema 2.4.6.
Inegalitatile ( ii ) rezulta finind cont de teorema 2.4.7.
66
Capitolul 3
Generalizari ale functiei S
3 . 1 . Prelungirea functiei S la multi mea Q a numerelor
rationale
Pentru a obtine aceasta prelungire vom defmi mai intii 0 duala a
functiei S.
In [D2] �i [D 4] este pus in evidentii un principiu de dualitate cu
ajutorul ciiruia plecind de la 0 latice data pe intervalul unitate, sa se
obtina alte latici pe acelasi interval.
Rezultatele au fost folosite pentru a propune 0 varianta de spatii
bitopologice si pentru a introduce un nou punct de vedere pentru
studiul multimilor fuzzy.
In [D3] metoda de a obtine noi latici pe intervalul unitate este
generalizata la 0 latice oarecare.
In cele ce urmeaza vom adopta 0 metoda din [D3] pentru a
construi toate functiile legate intr-un anume sens prin dualitate cu
functia Smarandache.
Sa observam d dad noUm:
Rin ) = { m / n�d m! }
R(n) = { m / n � m! }
Lin) = { m / m! �d n }
L(n) = { m / m ! � n }
putem spune cii functia S este definitii de tripletul (A, E , Rd),
deoarece
67
S(n) = A { m i m E Rin) } Putem cita to ate functiile definite cu a jutorul unui triplet (a, b, c ),
unde d
a este unul dintre simbolurile V, A, V, si A. d
b este unul dintre simbolurile E Si e
c este una dintre muHimile Rin), Lin), RCn ) si L(n) defmite
mai sus. Nu toate aceste functii sunt netriviale. Dupa cum am vazut,
tripletul (A., E , Rd ) defineste functia S/n ) = S en ), dar tripletul
(A., E , L d) defineste functia
SzCn ) = A. { m 1 m! Sd n }
care este identic egaHi cu unlL Multe dintre functiile obtinute prin aceasm metoda sunt functii in
scara. De exemplu, daca. motam cu S3 functia definita de tirpletul
CA., E , R), avem S/n) = A { m / n S m! }
Deci S/n) = m daca Si numai daca n E [em-I) ! + 1 , m!] In cele ce urmeazii yom acorda 0 atentie specialii functiei S 4
defmitii de tripletul (V, E , Ld). Avem S/n) = V {m / m! Sd n } (3. 1 . 1 .) care este, intr-un anume sens, duala functiei S. 3.1.1. Propozipe. Functia S 4 satisface S /n1 1 n2 ) = S 4(n1 ) A S 4( n:2 ) (3. 1.2 ) deci este un morfism de la (N*, A) la (N*, A).
d Demonstratie. Dad p , p , . . . , p. , . . . este simI numerelor prime Si 1 :2 1
S8
nl = n p.ai n., = n p .�i, a., �. E N I _ I I I
doar un numar finit dintre exponentii a. $i �. fiind nenuli, obtinem I I A - n min ( ai, �i) nl n., - p. d - I
Dad no tam S4( nl A n,,) = m, S4(n. ) = m., i = 1 ,2
d - I I $i presupunem ml :S m2, rezulta ca membrul drept din (3 . l .2) este
m A m." I _
Din definifia lui S rezulta ca exponentul e . (m ) la care apare 4 � numarul prim p. in descompunerea in factori alui m ! satisface I inegalitatea
e .(m ) :s min ( a., �. ), i� 1 pi I I $i eixsta j astfel incit e . ( m+l ) > min ( a., � . ). PJ J J Atunci rezultii ca u. � e . (m), �. � e . (m ), i � 1 I pi I pi Avem de asemenea e . (m! ) :S a., e . (m., ) :S a. pi I pi _ I $i in plus existii h $i k astfel incit
eph( ml + 1 ) > ah, epk(m2 + 1 ) > ak Atunci min ( a., �. ) � min (e . (ml ), e . (m., » = e . (m! ) I I pi pi _ pi deoarece m! :S m
2 Rezulta ca ml :S m Dad presupunem d inegalitatea este stricta,
rezulta m ! :S n l ' deci exista h astfel in cit eph( m ) > ah �i avem contradictia eph(m) > min ( ah, �h )
$i propozitia este demonstrata.
69
Observam d foarte multe dintre valorile lui S 4 sunt egale cu unu.
De exemplu:
S4(2n + 1 ) = 1 Si S / n) >1 dad si numai dad n este numar par. 3.1 .2 . Propozitie. Fie P I ' P::! ' . . . Pi Sirul numerelor prime
consecutive Si cxI cx::! CIk: RI R::! Rr n = p . p • . . . • p . q "' . q '" • . . . · 0 '" 1 1 k l ::! ,.
descompunerea numarului nE N* in factori primi astfel incit prima parte a descompunerii confine ( eventualele ) numere prime consecutive si fie
{ S(p.CIi) _ 1 dad e .(S(p.cxi» > a.
t = I . pI I ' . I . ill ill I S(p. ) + p. - 1 dad e .(S(p. » = a. I I pi I I Atunci
(3 . 1 .3.)
S4(n ) = min { t1 , t2, . . . , �, Pk+l-1 } (3. 1 .4.) Demonstrafie. Daca e .(S(p.CI
i» > a., din definifia funcfiei S rezulra . pi I I
ca S(p.CXI) - 1 este cel mai mare intreg pozitiv m cu proprietatea I . . e .(m) � a . . De asemenea, daca e .(S(p.ill» = a., atunci S(p.ill)+ p. - 1 pi I pi I I I I este cel mai mare intreg m cu proprietatea e . (m) = a .. pi I
Rezulra ca numarul min { tl ' t2, . . . , tk, Pk+l-1 } este cel mai mare
intreg pozitiv m pentru care e . (m ! ) =:; a. pentru i = 1 , 2, . . . , k. pi I 3.1.3. Propozipe. Funcfia S satisface
d 4 S4( nl + n::!) A S/nl V n::!) = Sinl ) A Sin::!)
. N* pentru once n , n" E . 1 _
Demonstrafie. Afmnafia rezulra utilizind egalitatea ( 3. 1.2 ), finind
cont de faptul ca
10
Inainte de a prelungi functia S la multimea Q a numere lor rationale vom pune in evidenta unele proprietati de morfism pentru alte functii definite prin triplete (a, b, c ).
3.1.4. Propozi�ie.
( i ) Functia S5: N* --7 N*, S/n ) = � {m 1 m! ::;d n } satisface S5(n1 1 n2) = S5(n 1 ) 1S5(n2) = S5(n l ) A S5(n2) ( ii ) Functia S6: N* --7 N*,
S6(n ) = � {m / n ::;d m! } satisface S6(nl -e.n2) = Sinl) -e.S6(n2) ( iii ) Functia S7: N* --7 N*,
S/n ) = � { m I m! ::;d n } satisface S7(n1 A n2) = S7(n 1) A S7(n2)
S/n 1 V n2) = S/n1) V S/n2) Demonstratie. ( i ) fie A = { ai I ai! ::;d n1 } ; B = { bj I b/ ::;d n2 } C = {Ck I Ck! ::; d n 1 1- n2 } Atunci avem A c B sau B c A. Intr-adevar, fie A = { ai ' a2, . . . , ah } , B = {b l ' b2, . . . , b) astfel incit a. < a. I �i b. < b. .
1 1+ J J+ I
(3.1 .5 . )
(3. 1 .6.)
(3.1 .7.) (3. 1 .7. )
Atunci dad. ah ::s; b , rezulta ca a. ::s; b pentru i = 1 , h, deci r 1 r
a. ! ::S;d b ! ::S;d n..,. 1 r -
Prin urmare A c B.
71
Analog, dadi br :S ah, rezulm B c A. Desigur, avem C = A n B, deci dad A c B rezuWi S5( n1 Ad n2 ) = �Ck = �ai = S/n1 ) = min { S5(nl ), S/n2) } =
S5(n 1) 1S/n2) Considerind S 5 definita pe � din ( 2.7.5. ) rezulta c5. aceasta
functie este monotona.. Dar nu este pe laticea �, deoarece m ! < m ! + 1 dar S/m ! ) = [ 1 , 2, . . . , m] Si S/m !+I ) = 1 ( ii ) Sa observam d S6(n ) = � {m / 3 i E 1 , t astfel ca e .(m) < u. } pi I
Dad nomm a = V {m / n :5d m! } atunci n :5d (a+I) ! Si a+I = A {m / n :5d m ! } = Sen) deci S6(n) = [ 1 , 2, . . . , Sen) - 1 ] Atunci avem Sinl �n2) = = [ 1 , 2, . . . , S(nl �n) - 1 ] = = [ 1 , 2, . . . , S(n l ) V S(n2)-I ] si
d Sinl) V S6(n2) = [ [ 1 , 2, . . . , Sinl)-l] , [ 1 , 2, . . . , S6(n2)-I]] = = [ 1 , 2, . . . , Sinl) V S6(n2)-1] ( iii) Egalimtile rezulm din faptul d Sin) = [ 1 , 2, . . . , m] ¢:::> n E [m!, (m+l ) !-I ] Acum yom extinde functia S la multimea numerelor rationale. Orice numar rational pozitiv poate fi descompus in factori primi
sub fonna ( 3. 1.8. )
cu U E Z si doar un numar fin it dintre acesti exponen�i sunt p nenuli.
n
Avind in vedere aeeasta seriere se dii definifia divzibil itatii
numerelor rationale in felul urmator:
3.1.5. Definitie. Numarul rational
rational b = I1 p�' dad a s p . p p a = I1 p a, divide numarul
Datoritii egalitiitii ( 3 . 1 . 8 . ) inmultirea numerelor rationale se reduce
la adunarea exponentilor aces tor numere. In eonseeintli, problemele
in legatura eu divizibilitatea numere lor rationale se redue la
probleme de ordine intre exponenti. eel mai mare divizor eomun d �i eel mai mie multiplu eomun e se
definese [H2] prin
d - ( b ) - TI min (ap' P p · · ·) - <1, , . • • - p
p - [ b ) - TI max (ap' p p • • • ) e - <1, , • . • - p
p
( 3. 1.9. )
Mai mult, intre eel mai mare divizor eomun �i eel mai multiplu eomun al unor numere rationale nenule existii relatia
1 [a,
b, . .. ]
= (! ! ) a' b ' . . .
(3. 1 . 10. )
Desigur, oriee numar rational pozitiv a poate fi seris sub forma
a = nlnl eu n E N, nl E N*, (n, nl ) = 1 .
mie
3.1.6. Definipe. Prelungirea S: Q* � Q* a funetiei Smarandaehe + + este
( 3 . 1 . 1 1 . ) o eonseeintli a aeestei definitii este aeeea cii dad. nl �i n., sunt
intregi pozitivi, atunci
S (n\ V n12) = S (n\) v S (nI2) (3. 1 . 1 2 . )
73
Intr-adevar
In general
S (nnJ v :J= (s(n) v s(m») . (s(n\) v s (�J)
formula care generalizeaza egalitatea ( 2.22. ) 3.1.7. Detinitie. Functia S: Q* -7 Q* definiili prin + +
- 1 S(a) = s(�)
se nume�te duala functiei S.
3.1.8. Propozipe. Duala S a functiei S satisface
(i) S(n l A n2) = 5 Inl) A 5 In� (ii) 5 (_1 A _I ) = 5 (�) A5 (�) n l n2 n l n2
pentru orice nl Si n2. Mai mult, avem si
Demonstratia este evidenili.
74
(3 . 1 . 1 3 . )
Observatii 1 ) Restrictia functiei S la rnultirnea intregilor pozitivi coincide eu funetia S 4'
2 ) Prelungirea funqiei S : Q * -7 Q * la mulfimea tuturor + +
numerelor rationale nenule se poate face prin egalitatea S(-a) = Sea) pentru orice a E Q *
+
3.2. Funcp.i numerice inspirate din defmitia funcpei Smarandache
In acest paragraf yom utiliza egalitatea ( 3. 1 . 1. ) �i relatia (2.4.9.) pentru a defmi prin analogie alte funqii numeriee.
S a observam ca putem spune ea n ! este produsul tuturor numerelor intregi pozitive ee nu dep�ese pe n, in latieea L Analog, produsul � al tuturor divizorilor lui m, inc1uzind pe unu �i m, este produsul tuturor intregilor pozitivi ce nu dep�ese pe m in latieea Lct.
Deci putem considera funcfii de fonna 9(n) = A { m / n :5d q(m) }
Se �tie d dad xl x2 xt m = PI • P., •
. . . • p _ t
este deseompunerea in factori a numarului rn, tuturor divizorilor lui m este
q (m) V m - dm}
atunei produsul
(3.2 1 . )
unde 't ( m) = ( x + 1 ) (x + 1 ) . . , ( x + 1 ) este nurniirul divizorilor lui m I 2 t
75
D - d <II c:t2 en ( 3 1 - ) aca n are escompunerea n = p • p.., • . . . • p . . ). 1 _ t
inegalitatea n !>d q(m) este echivalenta cu q/x ) == x/x1+1 ) . . . (\+1 ) - 2a1 � 0
q., (x ) == x.., (X., + 1 ) . . . (x + 1 ) -2 a.., � 0 _ _ _ t _
( 3.2.2 ) q (x ) == x (x +l ) . . . (x + l ) -2a � 0 t t t t t Deci 9( n ) poate fi dedus rezo2.vanc problema de programare
neliniara . f xl x2 xt (rmn ) (x ) = P I • p.., • . . . • p
cu restrictiile ( 3.2.2. ) _ t
(3.2.3 . )
Solu�a acestei probleme poate fi ob�nuta aplicind de exemplu algoritmul SUMT ( Sequential Uncons traine d Minimization Techniques ) datorat lui Fiacco �i McCormick [F1] .
Exemple. 1 ) Pentru n = 34 • 512, relatiile ( 3.2.2 ) �i ( 3.23. ) devin ( . ) f( ) 3x1 -x2 . · · 1
rmn x = . ) cu restnctn e { X 1 (x1+ 1 ) (x
2+1 ) � 8 x/x1+1 )(x2+1 ) � 24 Utilizind algoritmul SUMT, consideram func�a
t
U(x, n ) = f(x) - r L In q.(x ) i=l 1
�i sistemul au - 0 � -au - 0 aX 2 -
( 3.2.4. )
In [F ] se arara ca daca solu�a x ( r) , x..,( r) a acestui sistem nu 1 1 _
poate fi explicitata din sistem, putem face pe r sa tinda la zero. Atunci sistemul devine
76
J X l (X +l )(x,,+l ) = 8 \ x (/ + 1 )( x -+ 1 ) = 24 2 1 2
si are solufi,a X l = 1 , x2 = 3. Deci avem
. 4 12 3 mm { m / 3 • 5 $ q(m) } = rno = 3 • 5
A / , (mJ 4 4 P Intr-adevar, q (rno) 'V rno = rno = 3 • 5 - = n
2) pentru n = 32 • 57, din sisternuI (3.2.4.) rezulta pentm x., ecuafi,a 3 " -
2x2 + 9x2 - + 7x2 - 98 = 0 cu 0 soIufi,e reaIa in intervalul (2, 3). Rezulta xl E (4/7, 5/7 ).
Considerind x = 1 , observarn ca pentru X = 2 perechea (x , x nu 1 2 1 2 este 0 solufi,e admisibiHi a problemei, dar x., = 3 da 8(3
2.57 ) = 34.51 2
3 ) In general, pentru n = PI xl • P
: x2 di� sistemul (3.2.4. ) rezulta
ecuafi,a 3 ., "
a1 x2 + (a1 + a2 ) x2 - + a2 x2 - 2a2 - = 0 cu solufi,a data de fOITIlul lui Cartan.
Desigur, utiIizind "metoda tripletelor" putem atasa Si funqiei e multe aIte funcfi,i.
Pentm funcfi,a v dara de (2.4.9. ) se pot de asemenea atasa funcfi,ile
generate prin metoda tripletelor.
In cele ce urmeaza vom studia analogul funcfi,ei Smarandache si
duala ei in acest al doilea caz.
3.2.1. Propozipe. Dad n are descornpunerea (3.2. 1 . i ) atunci
(i) v(n ) = max p.Cti
i = 1 . t I .
(ii) v(n1 � n2) = v(n1 ) V v(n2)
Demonstrafi,e. (i) Fie an = max p cti
Pn i
n
atunci p.ai .:5 p an pentru i = l,"Z, deci 1 n
P.ai .:5 [ 1 , 2, . . . , P
an] 1
d n Dar (p.ai, p.
aj) = 1 pentru i :;c j �i deci 1 J
n :5d [ 1 , 2, . . . , Pnan]
. . an Daca pentru un anume m eu propnetatea rm; p am avea n:5 [ 1 , n d 2, . . . , m] , ar rezulta eontradietia p an :5 [ 1 , 2, . . . , m] . n d
(ii) Daca
n = n pap n = n p�p 1 ' 2
atunci
n .e- n = n pma.'< Cap. �p) 1 2
deci
v(nl .e- n2) = max pmax cap, �P) = max (max pap, max p�P)
si propozitia este demonstrata
Desigur putem spune eli functia v 1 = v este definiti de tripletul ( A, E , �d])' unde
R[d] = { m / n :5d [ 1 , 2, . . . , m] }
Duala sa, in sensul avut in vedere in paragraful precedent este
functia definiti de tripletul (V , E , L[d]) ' Sa notam cu v4 aceasti
functie yi n ) = V { m / [ 1 , 2, . . . , m] :5d n] Rezulti cii v4( n )
' este cel mai mare intreg pozitiv cu proprietatea
eli toti intregii pozitivi m .:5 vi n ) divid pe n.
Sa observam eli 0 conditie necesarn �i suficientii pentru a avea
v ( n ) > 1 este sa existe m > 1 astfel incH toate numerele prime p.:5 m 4 sa divida pe n.
Din definitia lui v 4 rezulti de asemenea ca v ( n ) = m � n este divizibil prin orice i .:5 m, dar nu prin m+ l. 4
75
3.2.2. Propozipe. Func�a v satisface 4 V4 ( nr A n., ) = v ( n ) A v ( n., ) d - 4 r 4 _ Demonstra�e. Sa notfun
n = n l A n." v ( n ) = m, v ( n. ) = rn. , i = 1 , 2 d - 4 4 I I
D a ca ml = ml A m2, mum d m = mr Din defini�a lui v 4 rezulu
v4( n . ) = m. �['1 i s m. => n este divizibil eu i dar nu eu m. + 1 : 1 1 I I
Dad am avea m < m , atunci m + 1 s m S m , deci m+ 1 divide r I 2 pe ni �i pe n2, deei m+l divide pe n. Dad m > mI , atunei m1+ l s m,
deci ml + 1 divide pe n.
Dar n divide pe nl ' deci ml + l divide pe nr �i propozi�a este
demonstrata.
Sa observam eli onotind
to = max { i / j � i => n este divizibil eu j }
Atunei v in) se poate ob�ne rezolvind problema de programare
liniam t o
max f(x) ::: I Xi in P i = r
t o I Xi in P i � in Pt#l i = 1
Dad fo este valoarea maxima a lui f din aeeasta problema, atunci ro yi n ) = e
De exemplu, v4 (23-32-5- 1 1 ) = 6 Desigur si funetia v poate fi extinsa la multimea numerelor
ra�onale, prin aeelasi proeedeu ea si fune�a S.
79
3.3. Functii Smarandache de tipul unu, doi �i trei
Fie X 0 mulp-me nevid5., r e X x X 0 relap-e de echivalenta, X multimea cIaselor de echivalenta corespunzatoare si ( 1, ::s:) muHime total ordonata.
3.3.1. Dermipe. Dad g: X -t I este 0 funcp-e injectiva oarecare, atunci funcp-a
f: X -t I, f(x) = g(x) (3.3. 1 . ) se numeste functie de standardizare. Despre multimea X yom spune in acest caz ca este ( r, (I, ::S:), f)
standardizata. 3.3.2. Definipe. Dad r1 si r2 sunt doua relatii de echivalenta pe X,
relap-a r = r1 A r2 este determinatli de conditia x r y ¢::> x r1 y Si x r2 y ( 3.3.2) Se observa cu usurinta eli r este 0 relatie de echivaIen� 3.33. Definipe. Functiile f. : X -t I, i = 1 , s, au aceeasi monotonie
1
dad pentru orice x, y E X rezultli fk(x ) ::s: fk(y ) ¢::> f/x) :s �(y), k, j = 1 , s 3.3.4. Teorema. Dad functiile de standardizare f. : X -t I,
_ 1
corespunzatoare relatiilor de echivalenta r., pentru i = 1 , s, au aceeasi 1
monotonie, atunci functia f = max. f. s 1 1
este 0 functie de standardizare corespunzatoare relatiei r = A r. si i=1 1
este de aceeasi monotonie cu functiile f.. 1
Demonstratie. Dam demonstratia acestei teoreme penttu cazul s = 2 In cazuI general demonstratia rezultli apoi prin inductie.
80
S a notam cu X l ' x ., �i x clasele de echivalenta ale lui x r r_ r corespunzatoare respecti v relatiilor de echi valenta r , r $i r = r A r 1 ::; 1 2' iar cu X l ' X"' X mUlfimile cit corespunzatoare. r r_ r
Avem f. ( x ) = g.(x . ), i = 1 ,2, unde g. : X. � I sunt func?i injective. 1 1 n 1 n
Func?a g: X � I definita prin g(x ) = max (g (x ), g (x ) este r r 1 rl ::; r2 injectiva. intr-adevar, dad x l ;:: X 2 �i max (g ( x \ g (x 1 » = r r 1 rl ::; r2
., ., = max (gl(X 1 -) ' g.,(x ., - ) ), atunci datorita injectivita?i functiilor g �i r _ r_ 1 g::; avem de exemplu
max (gl(Xr1 I ), g/xr::;l » = gl(xr2::; ) = max Cg1 C xr1::; ), g::;Cxr::;2 »
�i avem 0 contradic?e, deoarece
f (x2) = g(x ::;) < g (x l ) = f CXl) 1 rl 1 rl 1 f2( x1 ) = g2(Xr1
1 ) < g::;(xr2::; ) = f::;(x::; ) deci fl $i f::;nu sunt de aceeJ.$i monotonie.
Din injectivitatea lui g rezulili ca func?a f: X � I, f(x ) = g(x ) r este 0 func?e de standardizare. in plus avem
f(x 1 ) :s f(x2 ) � g(x 1 ) :s g(x ::; ) � max( gl(x 11 ) , g.,(X ..,l » :s r r r _ r_
max(g/xr/ ) , g2(xr::;::; » ) � max(fI(xI ) , f2(x1 » :s max(f1 (x::; ), f::;(x::; )
� � f/xl ) :s f(x2) �i f/xl ) :s fz(x2) deoarece fl $i f2 au aceea�i
monotonie.
Sa considerfun acum d sunt doua opera?i algebrice pe
X, respectiv 1.
33.5. Definipe. Func?a de standardizare f: X � I se spune ca
este L compatibila cu operatiile T �i .L dad. pentru orice x, y E
X triplerul ( f(x ), fCy) , f( x T y» sati�face condi?a L 8 1
In aeest eaz, yom mai spune ca funtia f I-standardizeaza struetura (X, T ) pe struetura ( I, :s .l. ).
Exemplu. Dad! f este funetia Smarandaehe S : N* � N*, avem urmatoarele standardizan
(a) funetia S, II - standardizeaza (N*, - ) in (N*, :S, +) deoareee avem
(I/ S(a-b) :s Sea) + S(b)
b ) Functia S verifica de asemenea relatia (I) : max (S(a), S(b)) :s (S(a-b) :s Sea) - S(b)
deci aceasta funqie (1) standardizeaza struetura ( N* , - ) in (N* , :s, - ).
eu aeeasta introducere putem defini funetiile Smarandaehe de primul tip.
Am vazut cii functia Smarandaehe S ' a fost defmitii eu ajutorul func�iilor S avind proprieta�ile ( a ) �i ( b ) din paragraful 2.2. p
Amintim ca pentru fieeare numiir prim p functia S : N* � N* este p
defmitii de eonditiile 1 ) S (n ) ! este divizibil cu pn
p
2 ) S ( n ) este eel mai mic intreg pozitiv avind proprietatea 1 ). p
Util izind defini�ia fucntiei de standardizare prezentam in continuare [B 2] trei generalizari ale funetiei S p.
Vom nota cu M un multiplu de n. n 33.6. Definipe. Pentru orice ne N* relatia r c N* x N* este n
determinatii de condiriile 82
( i) Dad n = u':', cu U = 1 sau u = p - numar prim.
s i i € NY , ':'ar a , b E Ny atune':' a:::-, b <==> = k€ N Y , k ! = Mu" , k ! = MU"� s':' k e s te eel rnai mi e intreg p o z i t i v eu aeeasta p ropr::.e t a t e
. . � i l i2 is (n) Daca n = p . p? . ..
. P ,
atunci
1 _ s ( 3 . 3 . 4 )
de p r imul tip este funeia nume =iea S . : NY- NY dete�':'na:a de eene: : ':' ':' l e ( i ) Daca n=U1 , C� 0=: sau w=p nurna= P = :ill
atunci S. ( a ) e s � e c e 2. rna':' mic :' :1 : =9':; p c : :' : :' �l K avand p =o p =':'etatea :< ! = Mu" ( ii ) Daea n=Pl" P2'Z . . . P." atunei S. ( a ) = rnax ( S;: ] l J " ' )
l :s: i :s: s
Se observa Ca:
1 . Func�iile S sunt funqii de standardizare corespunzatoare n relat:iiJ.or de echivalen� r defInite mai sus �i pentru n = 1 ob�em n x = N*, pentru orice x E N*, iar s (n) = 1 pentru orice n E N*. rl 1
2. Dad. n = p este un numar prim, atunci S este func�ia n S defmitii de F. Smarandache. p
3. Func�e S sunt crescatoare �i deci sunt de acee�i monotonie. n
ln sensu! defini�ei ( 3.3.3. ).
3.3.8. Teoremi. Funqiile S au proprietatea ca L standardizeaza n 1
(N*, +) pe ( N*, �. + ) prin rela�a
(L ) : max ( S ( a), S ( b » � S ( a+b) � S ( a) + S ( b ) 1 n n n n n pentru orice a, b E N* �i ( LZ) standardizeaza structura ( N* , + ) pe
83
structura (N*, ::;, . ) prin
(1: ): max ( S (a) , S (b » ::; S ( a+b) ::; S (a) · S ( b ) 2 n n n n n pentru orice a, b E N*
Demonstratie. Fie p un numar prim �i n = pi, cu i E N*, iar
a* = SpiC a), b* = S
pi(b) , k = S
pi( a+b)
Atunci datorita defmitiei lui S numerele a* , b* �i k sunt cele mai n mici numere mtregi pozitive cu proprietati!e:
a* ! = Mpia, b* ! = Mpib, k ! = Mpi(a+b). Deoarece k ! = Mpia
= Mpib rezuWi a* ::; k � i b* ::; k , deci
max ( a*, b* ) ::; k, ceea ce demonstreaza primele inagalitati din (1: ) I
�i (1:)
Deoarece
( a* + b*) ! = a* !( a* + 1 ) . . . . . . ( a* + b*) = Mp' : '� 1 rezulta ca
avem k � a " +b " , deci (1:1 ) este verificata.
Dad n = p/I . P2i2 . . . . psiS, avind in vedere cele de mai sus
deducem
(1: 1 ) : max ( S .i . (a) , S l.( b » ::; S i . (a+b) ::; S l . (a ) + S i( b ) PJ J PJ J PJ J PJ J PJ J pentru j = i, s
In consecintii
max ( max S i( a), max S l.( b » ::; max S i.( a+b) ::; j PJ J j PJ J j PJ J ::; max ( S .i .( a) + max ( S i .( b ) ) pentru j = i, S
j � J j ru J A�adar
max ( S ( a), S ( b ) ::; S ( a+b) ::; S ( a ) + S ( b ) n n n n n Pentru demonstrarea celei de-a doua inegali tati din ( 1:.,) sa
amintim c5. ( a+b) ! ::; ( ab ) ! daca �i numai dac5. a > 1 �i b > 1 �i sa 84
observam ca inegalitatea este satisIacuta pentru n = 1 deoarece
S l ( a+b) = SI Ca) = S/b ) = 1
Fie acum n>1. Rezulta ca pentru a* = S (a) avem a* > 1. n Intr-adevar. daca n are descompunerea ( 3.3.4. ) atunci a* = 1 ¢> S (a) max S 1. ( a ) = 1 o pj j ceea ce implica p = P, = ' " = p = 1 . deci n = 1 . I _ 5
Prin urmare. pentru orice n > 1 avem
S ( a) = a* > 1 �i S ( b) = b* > 1 n 0 atunci ( a*+b* ) ! � ( a*·b* ) ! �i obfinem
S ( a+b) < S (a) + S ( b ) � S (a) · S ( b ) n n n n n In continuare prezentam citeva rezultate referitoare la monotonia
funqiilor Smarandache de primul tip.
3.3.9. Propozifie. Pentru fiecare intreg pozitiv n funqia
Smarandache de primul tip S este crescatoare. . 0 Demonstrafie. Daca n este numar prim �i kl < k2, finind cont ca
avem
( Sn(k2» ! = Mnk2 = Mnkl rezulta S (k ) � S (k,) o I 0 _ Pentru n numar mtreg oarecare fi@
S ( i kl ) = max S .( i .k ) = S (kl ) pm m Is� pj J I 0 S (i k2 ) = max S .(i .k, ) = S (k, ) pt t Isjsr PJ J - 0 _ Deoarece
S ( i k ) � S ( i k? ) � S ( i k?) po rn ! pm m _ pt t _ rezulta ca S (k ) � S (k ) �i propozitia este demonstrata. o ! n 2
as
3.3.1 0. Propozi�ie. Sirul de funqii ( Sp
) iEN* este monoton
crescator pentru OIice numar prim p. Demonstrafie. Pentru orice i , i E N*, cu i < i., �i pentru orice 1 2 1 _
n E N* avem
S i ( n ) = S ( i l . n ) :s S ( i., . n) = S i.,( n ) p i p P _ p -
deci S i :s S i., si propozif,ia este demonstrata. p i p _
3.3.11. Propozitie. Fie p Si q numere prime date. Atunei
p < q � S (k) < S (k) pentru orice k E N*. p q
Demonstraf,ie. Fie k E N* Si
k = t a ( p) + t.,a (p) + . . . + t a (p) I s _ s-1 s 1 ( 3.3.5. )
scrierea lui k ill baza [pl . Se �tie ca avem 0 :S t. :S p-l , pentru 1
i = 1 , s, iar ultima eifra semnifieativa poate lua �i valoarea p.
Treeerea de la k la k+ 1 in ( 3.3.5. ) pune in evidenfii urmatorul
algritm:
( i ) t este mant cu 0 unitate s
( ii ) dad t nu poate fi mant eu 0 unitate. atunci t este mant cu s �1 o unitate �i t devine zero. s
(iii ) dad nici t niei t nu pot fi mariti eu 0 unitate atunci t ., se s �1 s-_
mareste eu 0 unitate, iar t Si t devine egali cu zero. s s-1 Procedeul continua ill acest fel pilla obtinem expresia lui k=l
Notiim eu
�k( S ) = S ( k+ l ) - S (k) p p p
( 3.3.6. )
salmI funcf,iei S cilld trecem de la k la k+ 1 , urmind proeedeul p descris mai illainte g5.sim
86
- in eazul C i) 6.kCSp) = p
- in eazul (ii) 6.k( Sp) = 0
- in eazul (iii ) 6.k(Sp) = 0
Se observa cii n
S ( n) = L 6.k( S ) + S ( 1 ) P k=1 P p
�i analog n
S ( n) = L 6.k( S ) + S ( 1 ) q k=1 q q Tinind eont cii S C I ) = p < q = S ( 1 ) �i utilizind algoritmul de p q
mai sus dedueem ca numaruI de salturi eu valoarea zero a lui S este p
mai mare de cit numarul de salturi eu valoarea zero a lui S �i q respeetiv numaruI de salturi eu valoarea p a lui S este mai mie de cit
p numaruI de salturi eu valoarea q a lui S , de unde rezuita
n n q �I 6.kC Sp) + S/ 1 ) < �l 6.kC Sq) + Sq( 1 ) ( 3.3.7. )
deei S Cn ) < S (n) , pentru oriee n E N*. p q Exemplu. Tabelul eu valorile lui S2 �i S3 pentru 0 < n � 20 este
, I , , saltu1 2 0 2, 2 0 0 i 2 2 0 2
19 20 2 0 2 2 2
S/k) 2 4 4 6: 8 8 8 10 12 12 14 16 16 16 16 18 18 20 22 24
saltul 3 3 ' 0 3 3 3 0 3 3 3 0 0 3 3 3 0 3 3 3
Sik) 3 6 9 : 9 12 15 18 18 21 24 27 27 27 27 30 36 36 39 42 45
Deei S2(k) < S/k) pentru k = 1, 20
a7
O b s ervafie. Pentru once �ir cresc ator d e numere prime
p <p < . . . <p < . . . rezulta S < S < S ., < < S < . . . �i dad I 2 . . n . I p I p_ pn I I I .
n = PI . P2 .. . . . Pt cu PI<P2< · · ·<Pt atunCl
S (k ) = max S i(k) = S i(k) = S (ik) n !�jS. pj pt pc 3.3.12. Propozipe. Dad P �i q sunt numere prime �i p·i < q atunci
S i < S . p q Demonstratie. Deoarece poi < q rezulta
S i( 1 ) s p . i <q = S ( 1 ) p p �i S i(k ) = S (ik) s i S (k ) p p p Trecmd de la k la k+l , din ( 3.3.8. ) deducem
( 3.3.8. )
il ( S i) s ilk( S ) ( 3.3.9. ) k p p Tinind cont de propozitia 3.3. 1 1 din egalitatea ( 3.3.9. ) rezulta ca
trecind de la k la k+ 1 obtinem
ilk( Spi ) s i ilk( Sp) s i · p < q �i n n
i L ilk( S ) s L ilk( S ) ( 3.3.10.) k=1 p k=! q Deoarece avem
n n S i( n) = S .( 1 ) + L ilk( S i ) s S i( 1 ) + i L ilk( S ) p pI k=1 P P k=l P �l n S (n) = S ( 1 ) + L ilk( S )
q q k=l q din ( 3.3.8. ) �i ( 3.3. 10) rezulra S i (n) s S ( n) pentru orice nE N* p q
�i propozitia este demonstrata.
3.3.13. Propozipe. Dad p este numar prim. atunci S < S pentru n p orice n < p.
Demonstratie. Dad n este un numar prim, din inegalitatea n< p,
utilizmd propozitia 3.3. 1 1 . rezulra S (k) < S (k) pentru orice k E N*. n p aa
D � � il i2 ic . aca n este un numar compus n = PI . P2 . . . . . Pc ' atuncl
S ( k ) = max ( S i(k» = S i (k) �i deoarece' n < p rezulta ca . n l!:js pj j . pr r
p 11" < p, deci cum i D ::s p 11" < p, utilizind propozifia precedenta r r r r rezultii S i ( k) ::s S ( k), deci S (k) < S (k) pentru orice kE N*. � r p n p
Trecem acum la prezentarea func�or Smarandache de al do ilea
tip, �a cum este ea defmita in [Bl 3.3.14. Defmipe. Func�e Smarandache de tipul doi sunt funqiile
Sk: N* - N* definite prin egalitatea
Sk( n) = S (k) pentru orice k E N* fixat, un de S este functia n n
Smarandache de primul tip corespunzatoare lui n,
Observam ca pentru k = 1 , Sk este chiar funqia Smarandache S.
lntr-adevar, pentru n > 1 avem
Sl (n) = S ( 1 ) = max ( S 1 .( 1 » = max ( S .( i . » = Se n ) n j pj j pj J 3.3. 15 . Teorema. Functile Smarandache de tipul doi 1:3-
standardizeaza structura ( N*, . ) pe structura (N*, ::s, + ) prin
(1:3 ) : max ( Sk(a), Sk( b » ::s Sk( a.b) ::s Sk( a) + Sk( b )
pentru orice a, b E N* � i in acela�i timp 1: 4 -standardizeaza
structura ( N*, .) pe structura (N*, ::s, .) prin
(1:4): max ( S\a), Sk( b » ::s Sk(a.b) ::s Sk( a) . Sk( b )
pentru orice a, b E N*.
Demonstratie. Relatia de echivalenta rk corspunzatoare lui Sk este
defmitii prin
( 3.3. 1 1. )
89
�i a* este eel mai mie intreg pozitiv eu proprietatea (3.3. 1 1. ). Prin
urmare, putems pune ca Sk este 0 funet,ie de standardizare at�ata
relat,iei de eehivalen� l. Sa observrun ca funeliile Smarandache de tipul al doilea nu sunt
de aceea�i monotonie deoarece de exemplu S2
( a ) � S2( b ) ¢:>
S( a2
) � S( b2
) �i de aici nu rezulili SIC a) � S
I( b).
Pentru fiecare a, b E N*, fie a* = Sk( a ), b* = S
k( b), C = Sk(a.b ).
Atunci a*, b* �i C* sunt respectiv cele mai miei numere intregi
pozitive eu proprietiitile
a* ! = Mak, b* ! = Mb*, C* ! = M( a
k.bk
) �i deci C* ! = Mak = Mbk
,
de unde rezultii
a* � C*, b* � C*
ceea ce implica max (a * , b* ) � C*, adid. ..
madx ( Sk( a), Sk( b » � Sk( a.b )
k k Dar deoareee (a*+b* ) ! = M ( a* !b* ! ) = M( a b )
rezulta ca avem �i C* � a* + b*, deei
( 3.3. 12)
Sk( a.b) � Sk(a) + Sk( b ) ( 3.3. 13. )
D in ( 3 . 3 . 12 ) s i ( 3 . 3 . 1 3 ) obtinem max ( S' ( a ) , S« b ) ) � S' ( a ) + S« b )
deci (�3 ) este verificata.
in sf'�it, deoareee ( a*b* ) ! = M (a* !b* ! )
rezulta ca avem �i
Sk
( a.b ) � Sk
(a) . Sk( b)
eeea ce demonstreaza pe (�4)' 3.3.16. Propozitie. Pentru orice k. n E N*, avem
Sk9n) < n·k ( 3.3. 14. )
90
D . F· il i2 it . emonstraf.1e. Ie n = PI . P2 . . . . . Pt �I
Sen) = max ( S . ( i . » = S(p Un) I �� PJ J m
Atunei, deoarece
Sk(n) = S(nk ) = max( S . ik) = S(p irk) s k S(p ir) S k S(p im) = k Sen) Isj:g PJ J r r m
�i Sen) s n, rezulra inegalitatea ( 3.3. 14. ).
3.3.17. Teorema. Orice numar prim p � 5 este punet de rna'{im
loeal pentru funqiile Sk �i Sk(p) = p(k - i (k» P
unde i sunt funetiile defInite prin egalitatea (2.3.1 3.). P
Demonstrafie. Dad. p> 5 este un numiir prim, partea intii a
teoremei rezulra din inegalitafile
S l (k) < S (k) �i S I (k ) < S (k) p- p p+ p
pe eare Ie satisfac funcfiile Smarandache de primul timp.
A doua parte a teoremei rezuita din defInifia funetiilor Sk:
Sk( p ) = S (k) = p(k-i (k» p p
�i teorema este demonstrata.
Sa observam ca avem �i
Sk(p) = p-k pentru p � k
3.3.18. Teorema. Numerele kp, cu p numiir prim �i P > k. sunt
puncte frxe pentru funcfia Sk. al a2 at
Demonstrafie. Fie p un numar prim, m = P I . P2 . Pc
descompunerea in factori a lui m �i p > max( m. 4). Atunci ai . -
p.u. S p. < p pentru 1 = 1 , t I I I
deci avem
91
Sk( mp ) = S« mpl ) = max ( S .(a.), S (k» = S ( k) = kp Isis pi I P P Pentru m = k ob�em
Sk(lep ) = kp
deci kp este punct fIx pentru Sk.
3.3.19. Teorema.. Functiile Sk au urmlitoarele proprietliti:
( i ) Sk = o(nl+E) pentru E > 0
(li) 1 · Sink) lm sup -- = k n
Demonstratie. Avem
O s l im s �n) = l im S(nk) s lim s �n) = k l im SIn) = 0 I + E I + E I + E I + E n - � n n - x n n - x n n - � n
�i ( i ) este demonstrata
De asemenea
l im sup S�n) = l im sup S(nk) = l im s(p� = k n n Pn 0 - :10 n - x n - ::CI
unde (p ) C N este �irul numerelor prime. n n �
3.3.20. Teorema. Functiile Smarandache de tipul al doilea sunt in
general crescatoare, ill sensul cl 't/ n E N* 3 m � rna � Sk(m) � Sk(n).
Demonstralie. Se �tie [S J di functia Smarandache este in general ;:, crescatoare, adicii
't/ t E N* 3 ra E N* 't/ r � ra � S(r) � Set) ( 3.3. 1 5. )
Fie t = nk �i ro astfel illcit pentru orice r � ra avem S(r) � S(nk ) . .• � k .
Fie de asemenea rna = [� ro 1 + 1 . Desigur rna � �-ro .;::> rna � ra Sl
92
k k rn � rno <=> rn � rno
.
k k Deoarece rn � rno � r 0 rezul ta
S(rnk) � S(nk) adica Sk(rn) � Sk(n)
A�adar
'r/ n E N* 3 mo = [� J + 1 'r/ m � mo � Sk( m ) � Sk(n)
unde ro = ro(nk) este dat de ( 3.3. 15. )
33.21. Teorema. Fiecare numar n = p ! , cu p � max ( 3, k), nurnar
prim este punct de minim relativ al lui Sk.
Demonstralie. Fie
il i2 im p ! = PI . P2 . . . . . Pm . p
descompunerea lui p ! in factori primi, astfel ineit
2 = p < P? < . . , < p < p. I _ m
Deoarece p ! este divizibil cu p.ij, rezulta J
S(p.ij) s p = S(p) pentru orice j = 1 , m. 1 Desigur
k k k " k S ( p ! ) = S« p ! ) ) = max ( S(p . .IJ), S(p » l:Sjsn J
�l
S(p.ij) s k S(P.ij) < k S(p) = kp = S ( pk)
1 1 pentru k s p. Prin urmare
Sk( p ! ) = S( pk) = kp pentru k s p
Dad. descompunerea lui p !-1 in factori primi este
' 1 i l i2 it p .- = q! . q2 . . . . . � atunci avem q. > p pentru j = 1 , t
J
93
!
( 3.3. 16. )
Rezulta
S ( p !-l ) = max ( S( q.ij
» = Se a im)
1!:F;t J . 'In
cu � . p, �i deoarece S(�lm) > S(p) = S ( p ! ) rezultii di
S(p !-l ) > S(p ! )
Analog se aratii di S( p ! ) + 1 > S ( p ! )
Desigur
Sk( p !_l ) = S« p !_l )k) � Seq k.im) � Se q
k) > S(pk) = k.p m m ( 3.3. 17. )
�i
sk( p !+ l ) = Se e p !+1 )
k) > k.p ( 3.3. 1 8. )
Din ( 3.3. 16. ), ( 3.3. 17. ) �i ( 3.3. 18. ) rezultii demonstratia teoremei.
in incheierea acestui paragraf vom prezenta funcWle Smarandache
de al treilea tip, a�a cum au fost ele defInite de 1 BaIacenoiu in [B/ Sa consideram �iruri1e arbitrare
( a) : 1 = a , a2, . . • , a , ' " 1 n
( b): 1 = b • b." . . , b , . . . [ _ n
avind proprietiitile
a = a · a , b = b · b 1m k n 1m k n ( 3.3. 1 9. )
Desigur, exista 0 infmitate de �iruri c u aceste proprietati deoarece
alegind 0 valoare arbitrara pentru a27 termenii urmatori din �irul ( a )
se determina punfud conditia sa fIe satisiacuili relatia de recurenfa..
Fie acum functia
f b: N* _ N*. f b (n) = S ( b ) a a an n
unde S este functie Smarandache de primul tip. an
94
Se observa �or ca
( i ) dad a = 1 �i b = n pentru OIice n E N*, rezuWi f b = S n n a I
( i ) dad a = n �i b = 1 , pentru orice n E N*, rezulta f b = 5 1. n n a
3.3.22. Definipe. Funcfiile Smararidache de tipul aI treilea sunt
functiile S b defInite prin a
S b = f b a a
in cazul cind �irurile ( a ) $i ( b ) diferii de cele care genereaza func
We 5 1 �i 51. 3.3.23. Teorema. FuncWle f b au proprietatea ca L _ -standardizea-
a )
za structura (N*, 0 ) pe structura ( N*, �, +, 0 ) prin (L5) : max ( f b(k) , f be n » � � f b(kon) � b f
b( k) = bkf
be n )
a a a n a a
Demonstratieo Fie
f b(k) = S ( b ) = k*, f ben) = S ( b ) = n* a ak k a an n
f b(kon ) = S ( b ) = t* a ak'n k'n
Atunci k*, n* �i t* sunt cei mai mici i'ntregi pozitivi pentru care
k* ! = M( ak
bk), n* ! = M( anbn ), t* ! = M( a
nkbnk ) = M« a
koa
n)�·bn )
�i deci
max(k* , n* ) � t* Mai muIt, deoarece
( bkon* ) ! = M( ( n* ! )bk), ( bnok* ) ! = M( (k* ! )bn )
( 3.3.20 )
( bkon* + bnok* ) ! = M( ( bkon* ) !( bnok* ) ! ) = M« n* ! )bx: o( k* ! )bo ) =
= M« a bn)bx: o( a �)bn ) = M« a oa )�bn) n k k n rezuIra d
t* < b 0 k* + b 0 n* - n k ( 3.3.2 1 . )
95
Din ( 3.3.20. ) si ( 3.3.2 1 . ) obtinem
max (k*, n* ) ::5 t* ::5 b ·k* + b ·n* ( 3.3.22. ) n n Din aeeasta inegalitate rezulta ( L 5 )' deei funetia Smarandaehe de
al treilea tip satisfaee
(L6) : max ( S \k) , S b( n » ::5 S b(k.n ) ::5 b S b(k ) + bkS be n ) a a 3 n a a pentru oriee k, n E N*
Exemplu. Fie sirurile ( a ) Si ( b ) determinate de a = b = n, ell n n n E N*. Funetia Smarandaee de al treilea tip eorespunz.atoare este
S 3: N* -+ N*, S 3( n ) = S ( n ) a a n Si (L6) devine
max ( Sk(k) , S ( n » ::5 Sk (k·n ) ::5 n Sk( k ) + k S ( n ) n ·n n pentru oriee k, n E N*.
Aceasta relatie este eehivalenta eu urmatoarea relatie, serisa eu
ajutorul functiei Smarandaehe
max ( S ( kk
) , S(nn » ::5 S( ( k.nl·n ) ::5 n S(kk
) + k S(nn ) .
96
Cuprins
I ntroducere 5
Capitolul 1 Generalizarea unor teoreme de congruenta 1. 1. Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 2. Teoreme de congruenta din teoria numerelor . . . . . . . . . . . . . . 10 1. 3. Un punct de vedere unificator asupra unor teoreme de congruent a din teoria numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1. 4. Contributii la 0 conj ectura a lui Carmichael . . . . . . . . . . . . 19 1. 5. Functii prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Capitolul 2 2. 1. Baze de numeratie generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2. 2. 0 noua functie in teoria numere10r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. 3. Formu1e de calcul pentru S ( n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. Legaturi intre functia S �i une1e functii numerice c1as i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 2. 5. Functia S ca functie sumatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Capito1u1 3 Generalizari ale functiei S 3. 1. Pre1ungirea functiei S la multimea Q a numerelor rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. Functii numerice inspirate din definitia functiei Smarandache . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 75 3. 3 Functii Smarandache de tipul unu , doi, �i trei . . . . . . . . . . . 80
97
P, 'l PI 'I n=pI'Ip'� Fs"<n) Il3cl F,"<n)=n . • runci 2 I 3 IgI:<3 2-3" 2+3rl(r,+1) 3 1 2
2 I 5 1ST,s:! 2-511 2+5rl(r.+ l ) 3 1 2
2 I Pl�7 I 2 PI 2+2 PI 0 = 2
2 2 3 2 36 34 34 36
2 2 Pl� I 4 PI 3 PI + 6 PI=6
3 I 2 2slsS 3-2rl 2rt2-2r,+12 fl s 3
3 I PI;<5 I 3 PI 2�+3 PI = 3
3 I 2 3 40 30 30 = 40
25 Lei
![ACADEMIA ROMANA · Web viewÎn lucrarea aplicativă [13], utilizând elemente de geometrie şi teoria numerelor analizăm structura invizibilă complexă a unei picturi renascentiste](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/5e3e11b900da632e9c0e7ba5/academia-romana-web-view-n-lucrarea-aplicativf-13-utiliznd-elemente-de-geometrie.jpg)
