CURS 14

3.2 Parametrii matriceali ai diporilor

Indiferent de structura interna a unui diport, relaiile matematice dintre mrimile electrice aferente celor dou pori pot fi exprimate n mai multe moduri. Intruct fiecare poart este caracterizat de dou mrimi tensiune i curent modelele matematice se exprim prin intermediul unor parametri matriceali, care vor fi prezentai n cele ce urmeaz.

3.2.1 Parametrii Z expliciteaz tensiunile n funcie de cureni : 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U Z I Z IU Z I Z I

= += + (54)

Semnificaia fizic a parametrilor Z rezult din relaiile (54) :

2

111

1 0I

UZI =

= (55)

deci Z11 este impedana de intrare la poarta 1, atunci cnd poarta 2 este n gol. In mod similar

1

222

2 0I

UZI =

= (56)

adic Z22 este impedana de intrare la poarta 2, atunci cnd poarta 1 este n gol. Dac

11 22Z Z= (57) diportul este simetric i parametrii porilor sunt aceiai.

Impedanele de transfer Z12 i Z21 se definesc prin relaiile

1 2

1 212 21

2 10 0;

I I

U UZ ZI I= =

= = (58)

Deducerea acestor parametri se face prin intermediul schemelor din fig. 37. Astfel, pentru determinarea parametrului Z12, se consider la poarta 2 o surs de curent I2 i se

determin tensiunea n gol la poarta 1, U1 (fig. 37.a). In aceste condiii, raportul U1/ I2 este parametrul Z12. Pentru Z21, se conecteaz la poarta 1 sursa de curent I1 i se determin tensiunea n gol la poarta 2, U2 (fig. 37.b). Raportul U2/ I1 este parametrul Z21.

Dac 12 21Z Z= (59)

U1

1

1

2

2

I2

I2

U2

1

1 2

I1

I1

2

a b Fig. 37 Schemele prin care se deduc parametrii Z12 (a) i Z21 (b)

diportul este reciproc. Dac se definesc vectorii tensiunilor i curenilor,

1 1

2 2;

U IU I = =

U I (60)

atunci modelul (54) se poate scrie sub form matriceal =U Z I (61)

n care matricea Z este 11 12

21 22

Z ZZ Z =

Z (62)

Aplicaii 1. Fie diportul din fig. 38. S se determine parametrii Z. Impedanele de intrare la porile 1 sau 2, cnd

porile 2, respectiv 1 sunt n gol sunt : 11 1 2Z Z Z= +

22 1 2Z Z Z= + Pentru determinarea impedanei Z12 se consider

schema din fig. 39.a. Curentul I2 parcurge impedanele Z1 i Z2, producnd pe Z2 cderea de tensiune Z2I2 . Aceast cdere de tensiune se transmite integral la poarta 1, deoarece circuitul porii 1 este n gol. Deci, U1 = Z2I2 i

2 212 2

2

Z IZ ZI

= =

In mod similar, utiliznd schema din fig. 39.b, se obine: 2 121 21

Z IZ ZI

= = Matricea Z a diportului este

1 2 2

2 1 2

Z Z ZZ Z Z+ = +

Z (63)

2. Pentru diportul din fig. 40, matricea Z este 1 2 2

2 2

Z Z ZZ Z+ =

Z (64)

Diportul este nesimetric, ns reciproc. Observaie Parametrii Z sunt importani deoarece ei se

pot calcula cu uurin pornind de la schema electric a diportului. Ei se mai numesc parametrii de gol ai diportului.

I2 I1

U1

1

1

2

2

I2 U2

1

1 2

I1

2

a b Fig. 39 Calculul parametrilor Z12 (a) i Z21 (b) pentru un exemplu de diport

Z1 Z1

Z2

Z1 Z1

Z2

1 2

1 2 Fig. 38 Exemplul 1

Z1 Z1

Z2

Z1

Z2

Fig. 40 Exemplul 2

3.2.2 Parametrii Y expliciteaz curenii n funcie de tensiuni : 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y U Y UI Y U Y U= += + (65)

Semnificaia parametrilor rezult din relaiile

2 1 1 2

1 2 1 211 22 12 21

1 2 2 10 0 0 0; ; ;

U U U U

I I I IY Y Y YU U U U= = = =

= = = = (66)

11Y i 22Y sunt admitanele de intrare la poile 1 i 2, atunci cnd porile opuse sunt n scurtcircuit. 12Y este admitana de transfer, cnd mrimea cauz este tensiunea U2 iar mrimea effect este curentul I1, cnd poarta 1 este n scurtcircuit. Admitana de transfer

21Y se definete n mod similar. Ecuaia matriceal a diportului este

=I Y U (61) n care matricea Y este

11 12 22 121

21 22 21 11

1Y Y Z ZY Y Z Z

= = = Y Z

Z (62)

unde 11 22 12 21Z Z Z Z = Z este determinantul matricei Z. Condiiile de simetrie (57) i de reciprocitate (59) devin

11 22Y Y= (63) respectiv

12 21Y Y= (64) 3.2.3 Parametrii fundamentali (de lan) A. Aceti parametri expliciteaz tensiunea

i curentul de la poarta 1 n funcie de tensiunea i curentul de la poarta 2, n situaia cnd transferul semnalului se face de la poarta 1 la poarta 2 :

1 11 2 12 2U A U A I= (65) 1 21 2 22 2I A U A I= (66)

Semnul minus din relaiile (65) i (66) provine din faptul c sensul curentului I2 (v. fig. 31) este invers fa de sensul de propagare a semnalului. Semnificaia fizic a parametrilor se deduce prin aceeai procedur ca n cazurile anterioare : A11 este o funcie de transfer pentru tensiune, cu ieirea n gol, A22 este o funcie de transfer pentru curent, cu ieirea n scurtcircuit, iar A12 i A21 sunt o impedan de transfer, respectiv o admitan de transfer. Se observ c toi parametri descriu un transfer, de aceea ei se mai numesc parametri de transfer.

In form matriceal, aceste ecuaii se scriu sub forma 1 11 12 2

1 21 22 2

U A A UI A A I

= (67)

Dac se expliciteaz modelul diportului sub forma parametrilor Z, pornind de la parametrii A, rezult

11

21 211 1

2 222

21 21

1

AA AU I

U IAA A

=

A

(68)

n care 11 22 12 21A A A A = A . Pe baza relaiilor (57), (59) i (68), se obin condiiile de simetrie

11 22A A= (69) i de reciprocitate

1 =A (70) 3.2.4 Parametrii fundamentali inveri, B, sunt similari celor anteriori, cu

deosebirea c se consider sensul de propagare a semnalului de la poarta 2 la poarta 1. In form matriceal, modelul diportului este

2 11 12 1

2 21 22 1

U B B UI B B I

= (71)

Semnul minus aferent curentului I1 provine din faptul c sensul acestui curent este invers fa de sensul de propagare a semnalului.

3.2.5 Parametrii hibrizi sunt definii prin relaiile 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U h I h UI h I h U

= += + (72)

sau, n form matriceal, 1 1 11 12 1

2 2 21 22 2

U I h h II U h h U

= = H (73)

Condiia de simetrie este 11 22 12 21 1h h h h = =h , iar condiia de reciprocitate este 12 21h h= .

3.2.6 Parametrii hibrizi inveri sunt definii prin relaiile 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g U g IU g U g I

= += + (72)

sau, n form matriceal, 1 1 11 12 1

2 2 21 22 2

I U g g UU I g g I = =

G (73)

unde 1=G H .

3.3 Conexiunile diporilor 1 Conexiunea n serie (fig. 41) implic legarea n serie a porilor, astfel nct:

' "1 1 1

' "2 2 2

U U U

U U U

= += +

(74)

Dac ntre cei doi dipori nu apare o circulaie de curent, adic I=0 (v. fig. 41), atunci ' "1 1 1I I I= = (75)

i ' "2 2 2I I I= = (76)

Modelele celor doi dipori se exprim prin parametrii Z, adic ' ' ' " " ";= =U Z I U Z I (77)

n care ' " ' "1 1 1 1' " ' "' " ' "2 2 2 2

; ; ;U U I I

U U I I

= = = = U U I I (78)

Modelul conexiunii n serie este =U Z I (79)

n care ' " ' "

1 1 1 1 1 ' "' " ' "

2 2 2 2 2

U U U U U

U U U U U

+ = = = + = + + U U U (80)

i

' "1 1 1 ' "

' "2 2 2

, deciI I I

I I I

= = = = = I I I I (81)

Din relaiile (77), (79), (80) i (81) rezult ' " ' ' " " ' " ' "( )= + = + = + = +U U U Z I Z I Z I Z I Z Z I (82)

deci ' "= +Z Z Z (83)

In concluzie, la conectarea n serie a diporilor, matricele Z aferente se nsumeaz.

2 Conexiunea n paralel (fig. 42). In acest caz, porile se conecteaz n paralel i rezult :

' "1 1 1

' "2 2 2

I I I

I I I

= += +

(84)

U2

I1 I2

Fig. 41 Conexiunea n serie a diporilor

U2

I1 I2

U1

I1 I2

U1 U2 I=0

Z

Z

U1

' "1 1 1U U U= = ; ' "2 2 2U U U= = (85)

In acest caz, modelele diporilor se exprim prin parametrii Y, adic ' ' ";= =' " "I Y U I Y U (86)

1 1

2 2unde ;

I UI U = = =

I Y U I U (87)

Deoarece " si = == +' ' "I I I U U U (88)

se obine ' " "( )= + = + =' " ' " 'I Y U Y U Y U Y U Y + Y U (89)

deci ' "= +Y Y Y (90)

3 Conexiunea serie-paralel. Porile 1 ale dioprilor se conecteaz n serie iar porile 2 n paralel (fig. 43).

Dac se dezvolt modelele matematice dup modelul cazurilor anterioare, se demonstraz c diportul rezultant are matricea H egal cu suma matricelor H i H ale diporilor interconectai :

U2

I1 I2

Fig. 42 Conexiunea n paralel a diporilor

U2

I1 I2

U1

I1

U1

Y

Y

U1 I2

U2

U2

I1 I2

Fig. 43 Conexiunea n serie-paralel a diporilor

U2

I1 I2

U1

I1

U1

H

H

I2

U2

' "= +H H H (91) 4 Conexiunea paralel-serie (fig. 44). In acest caz, diportul rezultant are matricea G

egal cu suma matricelor G i G ale diporilor interconectai : ' "= +G G G (92)

5 Conexiunea n cascad (n lan) este cea mai important i rspndit conexiune a diporilor (fig. 45).

Modelul matematic al conexiunii n cascad se exprim prin parametrii fundamentali (A). Pentru ntreaga conexiune, se poate scrie

1 2

1 2

U UI I

= A (93)

Dar

1 2

1 2

' '1 '

' '1

U UUI I I

= = A (94)

Prin conectarea porii 2 a primului diport cu poarta 1 a celui de al doilea, rezult

2 1

2 1

' "

' "

U U

I I

= (95)

i relaia (94) se poate dezvolta astfel:

U2

I1 I2

Fig. 44 Conexiunea n paralel-serie a diporilor

U2

I1 I2

U1

I1

U1

G

G

U1

I2

U2

Fig. 44 Conexiunea n cascad (n lan) a diporilor

U2

I1 I2

A U1 U2

I1 I2

A U1

I1

U1

I2

U2

2 1 2 2

2 1

' " "1 ' ' ' " ' "

' " "1 2 2

U U UUUI I I I I

= = = = A A A A A A (96)

Din relaiile (93) i (96) rezult ' "=A A A (97)

3.4 Structuri uzuale de dipori

Cele mai ntlnite structuri de dipori sunt: n T (fig. 45.a), n (fig. 45.b), n T podit (TP), (fig. 45.c), n dublu T (fig. 45.d), n ntors (fig. 45.e), n (fig. 45.f) i n X (fig. 45.g). Diporii de tip T, , TP i dublu T pot fi simetrici fa de o ax median vertical. Simetria fizic implic i simetria electric. Diportul n X poate fi considerat cu o simetrie att n raport cu o ax vertical, ct i n raport co o ax orizontal. Un diport se numete echilibrat, dac are o simetrie fa de o ax orizontal. Ambele borne ale porilor unui diport echilibrat, aa cum este diportul n X, sunt borne calde (de potenial varriabil), n timp ce la diporii neechilibrai, porile au o born cald i o born rece.

O structur general de diport este cea n scar (fig. 47).

e f

a b

c d

g Fig.45 Tipuri uzuale de dipori

KK

KK

Fig. 47 Diport cu structur n scar

Se numete zero de transmisie al unui diport frecvena la care transferul semnalului ntre pori se anuleaz. Dac ne referim la un diport n scar (fig. 47), observm c el conine unipori conectai longitudinal i unipori conectai transversal. Aa cum s.a artat n capitolul anterior, la o frecven de rezonan serie, uniportul are impedana zero, iar la o frecven de rezonan derivaie, uniportul are impedana infinit. Rezult c toate frecvenele de rezonan serie ale uniporilor transversali (la care transferul semnalului este blocat prin untare) i toate frecvenele de rezonan derivaie ale uniporilor longitudinali (la care transferul semnalului este blocat prin ntrerupere) reprezint zerouri de transmisie ale diportului.