Metode de calcul pentru studiul

stabilităţii structurilor metalice

Analysis methods for steel

structures stability study

Cristina Alexandra Topală, Asist. univ. drd. ing. Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti (Technical University of Civil Engineering Bucharest), Facultatea de Hidrotehnică (Faculty of Hydrotechnics), e-mail: topala_cristina@yahoo.com Abstract: The behavior of structures is nonlinear. Designing and checking of structures can be made using first order or second order analysis. The aim of this study is to compare the results obtained for two steel structures analyzed with five different methods. The analyzed steel structures have one bay and one or two stories. The used methods are by hand or computing programs, considering the geometrical nonlinearity effect, the material nonlinearity effect or both types of nonlinearity mention. Keywords: Plastic hinge, nonlinear analysis, steel structure, material nonlinearity 1. Introducere Determinarea eforturilor din structurile de rezistenţă se poate realiza printr-un calcul de ordinul I sau de ordinul II. În unele cazuri, datorită flexibilităţii structurilor, rezultatele obţinute prin calculul de ordinul I nu sunt suficiente, deoarece a fost neglijată influenţa deformaţiilor asupra eforturilor. Cum structurile trebuie să satisfacă atât cerinţe de rezistenţă cât şi de stabilitate apare ca necesară utilizarea calculului de ordinul II care introduce efectul modificării geometriei structurii asupra stării de eforturi. In calculul structurilor, în general, se consideră două tipuri de neliniarităţi: - neliniaritatea geometrică - se referă la influenţa modificării geometriei structurii (prin deformarea structurii sub actiunea incarcarilor exterioare) asupra stării de eforturi; ecuaţiile de echilibru static se scriu pe forma deformată a structurii. Acest tip de neliniaritate este cuprins în calculul de ordinul II, calculul structurilor cu deplasări mari şi calculul de stabilitate. -neliniaritatea fizică (de material) - se referă la legile constitutive ce descriu comportarea materialului în timpul exploatării structurii, astfel cunoscându-se capacitatea secţiunii de a disipa energie prin plasticizare. Calculul neliniar al structurilor poate include una sau ambele tipuri de neliniarităţi menţionate anterior. In calculul elasto-plastic pot fi consideraţi mai mulţi factori pentru caracterizarea comportării

1. Introduction

The determination of structures efforts can be realized by an I order or II order analysis. In some cases, due to the flexibility of the structures, the results obtained in I order analysis are not enough, because the influence of deformations on the efforts has been neglected. Because the structures have to satisfy strength requirements, but also stability requirements is necessary to use II order analysis that introduce the effect of the modification of structure geometry on the efforts values. In structures analysis, in general, are considered two types of nonlinearities: - geometrical nonlinearity – meaning that the modification of the structure geometry (by structure deformation under the action of the exterior loads) on the values of efforts have to be considered; equilibrium equations are expressed on the deformed shape of the structure. This type of nonlinearity is contained in II order analysis, large displacements structures analysis and stability analysis. -physical nonlinearity (material nonlinearity) – meaning the constituent laws that describe the material behavior during the structure exploitation, in order to know the section capacity to dissipate energy by plastification. The nonlinear analysis of structures may include one or both types of nonlinearity mention above. In the elasto-plastic analysis can be considered more factors for the characterization of

structurii precum: modelul curbei caracteristice a materialului (curba Prandtl, curba Ramberg-Osgood), modelarea articulaţiilor plastice (zone plastice, articulaţii plastice punctuale), interacţiunea dintre forţa axială şi momentul încovoietor, reducerea modulului de elasticitate datorită tensiunilor reziduale.

structure behavior like: material characteristic curve model (Prandtl’s curve, Ramberg-Osgood’s curve), plastic hinges modeling (plastic zones, punctual plastic hinges), interaction between axial force and bending moment, elasticity modulus reduction due to residual stress.

2. Metode pentru determinarea comportării

structurilor

Metodele de calcul utilizate pentru determinarea răspunsului structurii sunt: -Calculul de ordinul I elasto-plastic (metoda plastică simplă sau metoda biografică). Ipotezele specifice calculului de ordinul I elasto-plastic sunt: forţele cresc toate în funcţie de un singur parametru, momentul încovoietor nu poate depăşi în nicio secţiune valoarea momentului plastic, structura nu îşi pierde stabilitatea înainte de formarea mecanismului de cedare elasto-plastic [2]. -Calculul de ordinul II elasto-plastic prin metoda deplasărilor. În acest tip de calcul se poate ţine seama atât de efectele neliniarităţii geometrice cât şi de cele ale neliniarităţii de material şi se consideră că structura poate ajunge la colaps fie prin formarea articulaţiilor plastice fie prin pierderea stabilităţii prin deformare continuă. Programele utilizate în prezenta lucrare sunt: -CALESPA I – CALculul de ordinul I ElaSto-PlAstic -CALESPA II – CALculul de ordinul II ElaSto-PlAstic prin metoda deplasărilor Aplicaţiile CALESPA I, CALESPA II utilizează o modalitate mixtă de calcul (programul Mathcad precedat de o fază manuală de calcul). - PAAP – realizat de Seung-Eock Kim, Purdue University, School of Civil Engineering (sekim@sejong.ac.kr) [4], acest program este utilizat pentru calculul elasto-plastic considerând modelul Prandtl al materialului, metoda articulaţiilor plastice detaliate (cu considerarea reducerii treptate a rigidităţii), interacţiunea N-M, reducerea modului de elasticitate. Pentru determinarea soluţiei utilizează metoda pas cu pas. În acest studiu PAAP este folosit în două variante: -PAAP 1 – nu ţine seama de existenţa forţelor axiale acţionând direct pe stâlpi (forţele concentrate 2P- fig. 2 şi forţele concentrate 0.9P, 1.65P - fig. 7) -PAAP 2 – ţine seama de efectul forţelor axiale acţionând direct pe stâlpi. -GEONEL – realizat de conf. Mireca Teodorescu

2. Methods for determination of structures

behavior

Analysis methods used for determination of structure answer are: -I order elasto-plastic analysis (simple plastic method or biographical method). Specific hypothesis of I order elasto-plastic analysis are: forces are rising all according to only one parameter, the bending moment can not be bigger than plastic moment in any section, structure is not losing stability before forming of elasto-plastic failure mechanism [2]. -II order elasto-plastic analysis by displacements method. In this type of analysis can be included the geometrical nonlinearity effect but also the material nonlinearity effect and it is considered that structure can reach collapse by forming of plastic hinges or by losing stability by continuing deformation.

The programs utilized in the present paper are: -CALESPA I – I order elasto-plastic analysis

-CALESPA II – II order elasto-plastic analysis by displacements method Programs CALESPA I, CALESPA II are using a mixed modality of analysis (Mathcad software preceded by a manual phase of analysis).

-PAAP – made by Seung-Eock Kim, Purdue University, School of Civil Engineering (sekim@sejong.ac.kr) [4], this program is used for elasto-plastic analysis considering Prandtl’s model of material, refined plastic hinges method (with accounting for stiffness gradual reduction), interaction N-M, reduction of elasticity modulus. For solution determination uses step by step method. In this study PAAP is use in two versions:

-PAAP 1– is not considering the existence of the axial forces acting directly on columns (concentrated forces 2P – fig.2 and concentrated forces 0.9P, 1.65P – fig.7) -PAAP 2 – is considering the effect of the axial forces acting directly on columns -GEONEL – made by conf. Mircea Teodorescu

(Catedra de Mecanică, Statica şi Dinamica Construcţiilor, mirceat@mail.utcb.ro) [3], acest program se bazează pe formularea matriceală a calculului geometric neliniar, utilizând o metoda incremental iterativă. În calculul de ordinul II eforturile sunt funcţie de nivelul forţelor axiale din bare. Articulaţiile plastice pot apărea atât pe rigle cât şi pe stâlpi. În literatură sunt prezentate expresiile momentelor încovoietoare pentru tipurile de bare puternic comprimate utilizate în metoda deplasărilor pentru diferite tipuri de solicitări (translaţii, rotiri, forţe exterioare) [1]. Pentru realizarea aplicaţiei CALESPA II a fost necesară determinarea expresiei momentului încovoietor din încastrare pentru bara încastrat-articulată solicitată de momentul plastic în capătul articulat (fig.1).

(Department of Mechanics, Statics and Dynamics of Structures, mirceat@mail.utcb.ro) [3], this program is based on matrix formulation of geometric nonlinear analysis, using an incremental iterative method. In II order analysis the efforts are function of the bar’s axial forces level. Plastic hinges can appear both on bars and on the columns. In specialized literature are presented the bending moments expressions for types of strong compressed bars used in displacements method for different types of loadings (translations, rotations, exterior forces) [1]. For realizing of application CALESPA II was necessary the determination of fixed end bending moment expression for fixed-hinged bar subjected to the plastic moment at the hinged end (fig.1).

Într-o secţiune curentă momentul încovoietor are expresia:

In a current section the bending moment has the expression:

2'' 2

2

x pl

pl

x

M M Py Hx

Md y HM EI y k y x

dx EI EI

= + −

= − ⇒ + = −

Se notează 2 Pk

EI= .

The next notation is introduced 2 P

kEI

= .

H

P

y

M2Mpl

P

H

x

x

L

y

PMpl

P

Mpl

M2

Fig. 1 – Bara încastrat-articulată încărcată cu momentul plastic Mpl

Fig. 1 –Fixed-hinged bar subjected to plastic moment Mpl Soluţia ecuaţiei este: The equation solution is:

1 2

'1 2

'' 2 21 2

''' 3 31

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

y C kx C kx Ax B

y kC kx kC kx A

y k C kx k C kx

y k C kx k kx

= + + +

= − +

= − −

= − +

Pentru determinarea constantelor, se utilizează următoarele condiţii:

For constants determination, the following conditions are used:

2

2

'

0 0

0

0

0pl pl

x y

x L y

x L y

d yx M M EI M

dx

= → =

= → =

= → =

= → = ⇒ − =

Se notează v kL= parametrul de încărcare axială.

The next notation is introduced v kL= axial load parameter.

2

1 2

1 2

22

0

sin cos 0

cos sin 0

pl

C B

C v C v AL B

kC v kC v A

EIk C M

+ =

+ + + =

− + =

− = −

De unde rezultă: It results:

2

1

1 cos sin

sin cos

1 cos

sin cos

pl

pl

pl

pl

MC

P

MB

P

M v v vC

P v v v

M vA k

P v v v

=

= −

− −=

−

−=

−

Forţa tăietoare este: Shear force is: 3

3

d y dyH EI P

dx dx= + .

1 cos

sin cospl

M vH PA v

L v v v

−= =

−

2

2

sin

sin cos

pl

pl

M M HL

v vM M

v v v

= −

−=

−

La limită, pentru 20 0.5

plM Mυ = ⇒ = (cazul

barei nesolicitată la compresiune)

At the limit, for 20 0.5pl

M Mυ = ⇒ = (case

of not compressed bar)

3. Tema studiului

Scopul lucrării este compararea rezultatelor obţinute din analiza a două structuri metalice prin metodele de calcul prezentate anterior. 4. Cadru C1

4.1. Descrierea structurii

Cadru C1 cu un etaj şi o deschidere (fig.2) are caracteristicile geometrice: - rigle: ţeavă rectangulară 200x200x10

3. Study subject

The aim of this paper is the comparison of the results obtained from the analysis of two steel structures by the methods presented above. 4. C1 Frame

4.1. Structure presentation

Frame C1 with one storey and one bay (fig.2) has the geometical characteristics: -beams: rectangular pipe 200x200x10

27257A mm= , 6 442.5 10I mm= × , 3 3508 10plW mm= × , 119.38pl pl y

M W f kNm= × = ,

1705.395pl y

N A f kN= × =

-stâlpi: ţeavă rectangulară 160x160x10 -columns: rectangular pipe 160x160x10 25657A mm= , 6 420.5 10I mm= × , 3 3311 10plW mm= × , 73.085

pl pl yM W f kNm= × = ,

1329.395pl y

N A f kN= × =

-modulul de elasticitate 2210000000 /E kN m= şi rezistenţa la

curgere 2235000 /yf kN m=

-elasticity modulus 2210000000 /E kN m= and flow strength 2235000 /yf kN m=

4.2 Rezultate

Pentru cadrul C1 s-a obţinut ordinea de formare a articulaţiilor plastice prezentată în fig.3. Conform CALESPA I şi CALESPA II cadrul C1 îşi atinge limita de rezistenţă printr-un mecanism total de cedare.

4.2. Results

For frame C1 was obtained the order of plastic hinges apparition presented in fig.3. According to CALESPA I and CALESPA II frame C1 reaches the strength limit by a total failure mechanism.

Fig. 2 – Cadrul C1 Fig. 2 – C1 Frame

a) CALESPA I, PAAP 1, PAAP 2

b) CALESPA II Fig. 3 – Ordinea de formare a articulaţiilor plastice pentru cadrul C1

Fig. 3 –The order of plastic hinges formation for frame C1

În tabelul 1 sunt prezentate valorile forţei orizontale 1 0.4P P= şi a deplasărilor pe direcţie

orizontală A

u corespunzătoare nodului A

obţinute cu ajutorul programelor menţionate anterior pentru succesiunea de articulaţii plastice aparute. În fig. 4 este prezentată curba forţă-deplasare corespunzătoare punctului A. Forţa de cedare plastică obţinută prin calculul biografic este cu 8.7% mai mare decât forţa de

In table 1 are presented the values of

1 0.4P P= horizontal force and of

displacements on horizontal direction

Au corresponding to the node A obtained with

the programs mentioned above for the sequence of appeared plastic hinges. In fig. 4 is presented the load-displacement curve corresponding to the node A. Plastic failure force obtained by biographical analysis is with 8.7% bigger than plastic failure

cedare plastică obţinută în calculul elasto-plastic de ordinul II. De asemenea se observă că deplasările obţinute în momentul colapsului structurii prin calculul de ordinul II (CALESPA II, PAAP 2) sunt mai mici cu 6-11% decât cele obţinute în calculul de ordinul I (CALESPA I, PAAP 1). Datorită influenţei forţei axiale, în CALESPA II ordinea de formare a articulaţiilor plastice este diferită de cea obţinută în CALESPA I (fig. 3 b)).

force obtained by II order elasto-plastic analysis. It is also observed that the displacements obtained in the moment of structure collapse, in II order analysis (CALESPA II, PAAP 2) are smaller with 6-11% than those obtained in I order analysis (CALESPA I, PAAP 1). Due to axial force influence, in CALESPA II the order of plastic hinge appearing is different by the one obtained in CALESPA I (fig. 3b)).

Articulaţia/ Hinge 1 2 3 4

P1(kN) 36.54 42.34 42.648 46.182 CALESPA I

uA(cm) 3.28 4.23 4.52 11.2 P1(kN) 25.3 26 27.075 PAAP I

uA(cm) 4.87 5.71 11.48 P1(kN) 35.76 40.648 41.384 42.47 CALESPA II

uA(cm) 3.2 4.585 4.88 10 P1(kN) 23.03 24.43 PAAP II

uA(cm) 4.85 6.75 Tabel 1 – Forţele de cedare plastică P1 şi deplasările corespunzătoare pentru cadrul C1

Table 1 – Plastic failure forces P1 and corresponding displacements for frame C1

PAAP 1 determină formarea a numai trei articulaţii plastice iar apoi structura îşi pierde stabilitatea prin deformare continuă. PAAP 2 determină formarea a două articulaţii plastice. Acest lucru se întâmplă deoarece rigiditatea unor elemente a scăzut brusc, structura pierzându-şi stabilitatea înainte de formarea mecanismului de cedare. Deoarece programul PAAP consideră modulul de elasticitate tangent şi interacţiunea N-M, valorile momentelor plastice sunt corectate în fiecare pas de calcul [4].

PAAP 1 determinates the apparition only of three plastic hinges and then structure is losing stability by continuing deformation. PAAP 2 determinates the appearance of two plastic hinges. This is happening because the stiffness of some elements has decreased suddenly and the structure has lost the stability before the total failure mechanism has been formed. Because the program PAAP considers the reduced elasticity modulus and the N-M interaction, the plastic moments values are corrected in each analysis step [4].

Fig. 4 – Curba P-U pentru cadrul C1 Fig. 4 –The curve P-U for frame C1

1 2 3 4AP1

AP40

10

20

30

40

50

P1

(kN

)

AP1

AP2

AP3

AP4

1 2 3 4AP1

AP40

5

10

15

Dep

lasa

rea

u (c

m)

AP1AP2AP3AP4

Fig. 5 – Forţele de cedare plastică pentru cadrul C1

Fig. 5 – Plastic failure forces P1 for frame C1

Fig. 6 – Deplasarea uA pentru cadrul C1 Fig. 6 –Horizontal uA for frame C1

Evoluţia forţei de cedare plastică şi a deplasării uA pe parcursul formării articulaţiilor plastice, pentru fiecare metoda de calcul sunt prezentate în fig. 5 şi fig. 6. În fig. 5 şi fig. 6 pe direcţia x, cifra 1 reprezintă CALESPA I, 2- CALESPA II, 3- PAAP 1, 4-PAAP 2.

The evolution of plastic failure force and the displacement uA during the plastic hinges apparition, for each analysis method are presented in fig. 5 and in fig. 6. In fig. 5 and fig. 6 on x direction, number 1 represents CALESPA I, 2- CALESPA II, 3- PAAP 1, 4-PAAP 2.

5. Cadru C2

5.1. Descrierea structurii Cadru C2 cu două etaje şi o deschidere (fig. 7) are caracteristicile geometrice: - rigle: ţeavă rectangulară 250x250x10

5. C2 Frame 5.1. Structure presentation Frame C2 with two stories and one bay (fig. 7) has the geometical characteristics: -beams: rectangular pipe 250x250x10

29257A mm= , 6 487.1 10I mm= × , 3 3822 10plW mm= × , 193.17pl pl y

M W f kNm= × = ,

2175.395pl y

N A f kN= × =

- stâlpi: ţeavă rectangulară 300x300x10 -columns: rectangular pipe 300x300x10 211257A mm= , 6 4155 10I mm= × , 3 31211 10plW mm= × , 284.585

pl pl yM W f kNm= × = ,

2645.4pl y

N A f kN= × =

4m

P

3m 3m

0.25P

1.65P

1.65P

1.2P0.9P 0.9P0.55P

4m

P

0.25P

1.65P

1.65P

1.2P0.9P 0.9P0.55P

1

23

4

56

B

Fig. 7 – Cadrul C2 Fig. 7 – C2 Frame

Fig. 8 – Ordinea de formare a articulaţiilor plastice pentru cadrul C2

Fig. 8 – The order of plastic hinges apparition for frame C2

-modulul de elasticitate 2210000000 /E kN m= şi rezistenţa la

-elasticity modulus 2210000000 /E kN m= and flow strength 2235000 /yf kN m=

curgere 2235000 /yf kN m=

5.2 Rezultate Pentru cadrul C2 s-a obţinut ordine de formare a articulaţiilor plastice prezentată în fig. 8.

5.2 Results

For frame C2 was obtained the order of plastic hinges apparition presented in fig. 8.

Se constată că sub acţiunea sistemului de forţe considerat cadrul C2 ajunge la colaps prin formarea unui mecanism parţial de cedare la nivelul inferior. Pentru trasarea curbei forţă-deplasare s-au înregistrat P2- forţa orizontală aplicată în nodul B şi deplasarea orizontală uB corespunzătoare nodului B (tabel 2, fig. 8).

It is observed that under the action of the considered system of forces, frame C2 reaches the collapse by forming of a partial failure mechanism at the inferior level. For tracing the load-displacement curve are recorded P2- horizontal force applied in node B and horizontal displacement uB corresponding to the node B (table 2, fig. 8).

Articulaţia 1 2 3 4 5 6

P2(kN) 67.32 73.37 88.275 96.195 96.68 96.91 CALESPA I

uB(cm) 4.5 5.3 8.6 12.625 13.035 13.295 P2(kN) 76.01 77.11 88.11 91.96 PAAP I

uB(cm) 6.418 6.68 10.86 16.26 P2(kN) 64.625 70.73 85.58 CALESPA II

uB(cm) 4.7 5.6 9.797 P2(kN) 75.075 76.175 85.745 86.185 PAAP II

uB(cm) 6.673 6.99 12.09 13.54 Tabel 2 – Forţele de cedare plastică P2 şi deplasările corespunzătoare pentru cadrul C2

Table 2 – Plastic failure forces P2 and corresponding displacements for frame C2 Din tabelul 2 se poate observa că doar CALESPA I furnizează informaţii despre toate articulaţiile plastice, celelalte metode oprindu-se în momentul în care structura îşi pierde stabilitatea prin deformare continuă. Diferenţa dintre forţa de cedare plastică ultimă din CALESPA I şi forţa de pierdere a stabilităţii din CALESPA II este de 6%.

From table 2 can be observed that only CALESPA I gives information about all plastic hinges, the other methods stopped when the structure lose the stability by continuing deformation. The difference between the last plastic failure force from CALESPA I and stability loss force from CALESPA II is 6%.

Fig. 9 – Curba P-U pentru cadrul C2 Fig. 9 – The curve P-U for frame C2

1 2 3 4AP1

AP4

0

20

40

60

80

100

P2 (k

N)

AP1

AP2

AP3

AP4

AP5

AP6

1 2 3 4

AP1

AP40

5

10

15

20

Dep

lasa

rea

u (c

m)

AP1

AP2

AP3

AP4

AP5

AP6

Fig. 10 – Forţele de cedare plastică pentru cadrul C2

Fig. 10 – Plastic failure forces P1 for frame C2 Fig. 11 – Deplasarea uB pentru cadrul C2

Fig. 11 –Horizontal uB for frame C2 De asemenea se observă că deplasările obţinute în momentul colapsului structurii prin calculul de ordinul II (CALESPA II, PAAP 2) sunt mai mici cu 20-35% decât cele obţinute în calculul de ordinul I (CALESPA I, PAAP 1). Momentul plastic calculat cu PAAP scade cu până la 3% faţă de momentul plastic de referinţă deoarece acesta este corectat în funcţie de curba de interacţiune N-M [4]. După apariţia primelor două articulaţii plastice, structura devine mai flexibila ceea ce conduce la creşterea mai rapidă a deplasărilor. Fig. 10 prezintă evoluţia forţei de cedare plastică pe parcursul formării articulaţiilor plastice. Fig. 11 prezintă deplasarea pe direcţie orizontală a punctului B. În fig. 10 şi fig. 11 pe directia x, cifra 1 reprezintă CALESPA I, 2- CALESPA II, 3- PAAP 1, 4-PAAP 2.

It is also observed that the displacements obtained in the moment of structure collapse, in II order analysis (CALESPA II, PAAP 2) are smaller with 20-35% than those obtained in I order analysis (CALESPA I, PAAP 1). The plastic moment determinated with PAAP decrease with 3% compared with the plastic moment of reference, because this is corrected according to the N-M interaction curve [4]. After the apparition of the first two plastic hinges, the structures becomes more flexible that leading to a faster displacements rising. Fig. 10 presents the evolution of the plastic failure force during the plastic hinges apparition. Fig. 11 presents the displacements on horizontal direction of node B. In fig.10 and fig. 11 on x direction, number 1 represents CALESPA I, 2- CALESPA II, 3- PAAP 1, 4-PAAP 2.

5. Concluzii Metoda plastică simplă în ambele cazuri a furnizat valoarea cea mai mare pentru forţa de cedare plastică. Considerarea în calcul a efectului P − ∆ poate conduce fie la un alt mecanism de cedare (cadrul C1) fie poate reliefa faptul că structura este scoasă din exploatare nu prin formarea mecanismului de cedare ci prin pierderea de stabilitate prin deformare continuă (cadrul C2). În concluzie validitatea şi precizia rezultatelor obţinute printr-o metodă de analiză a structurilor depinde de: -respectarea ipotezelor simplificatoare

5. Conclusions

Simple plastic method in both cases gave the biggest value for the plastic failure force. Considering in the analysis of the P − ∆ effect can lead to another failure mechanism (frame C1) or may show that the structure is taken out from use not by the failure mechanism formation but by losing stability by continuing deformation (frame C2). In conclusion, the validity and the precision of the results obtained from a structure analysis method depends by: -respecting the considered simplified

considerate -metoda de determinare a soluţiei (iterativă, incrementală, mixtă) -factorii care influentează sau modelează comportarea structurii -modul de aplicare a metodei ( calculul se poate realiza într-o secvenţă de încărcare, aşa cum a fost considerat în acest studiu, sau în două secvenţe de încărcare, conform normativului P100, metoda statică neliniară [5]).

hypothesis -the solution determination method (iterative, incremental, mixed) -the factors that influence or configure the structure behavior -the way of method application (de calculus can be done in one load sequence, as it was done in this study, or in two load sequence, according to P100 Code, static nonlinear method [5]).

BIBLIOGRAFIE

REFERENCES

[1] Bănuţ, V. - Calculul de ordinul II şi de stabilitate al elementelor şi structurilor de

rezistenţă, Ed. Conspress, Bucuresti 2005 [2] Bănuţ, V., Teodorescu, M. E. – Despre limitele metodei plastice simple, Buletinul Ştiinţific nr. 2

UTCB, 2002 [3] Teodorescu, M. E. - Studiu comparativ al metodelor pentru determinarea soluţiei în calculul

neliniar al structurilor, Teză de doctorat, 1999 [4] Chen, W. F., Seung-Eock Kim – LRFD Steel Design using Advanced Analysis, CRC Press, Florida

1997 [5] Cod de proiectare seismică P1001/2006 Prevederi de proiectare pentru clădiri