Aplicatii rezolvate statistica teoretica si economica

8/10/2019 Aplicatii rezolvate statistica teoretica si economica

1/9

n vederea analizei productivitii obinute n cadrul unei colectiviti de salariai format din 250de persoane, s-a extras un eantion format din 30 de salariai. Datele referitoare la producia zileiprecedente sunt prezentate n tabelul urmtor (datele sunte exprimate n buci)

Productia(buc)Xi

Nr.Salariaini

20-30 230-40 840-50 950-60 760-70 4Total 30

1. Determinai mrimile medii de calcul.

Media este o msur a tendinei centrale, iar valoarea sa calculat sintetizeaz ntr-un singurnivel reprezentativ tot ceea ce este tipic, esenial, comun i obiectiv n apariia i manifestareafenomenelor de mas.

Din cadrul mrimilor medii de calcul vom determina: media aritmetic, media armonici mediaptratic.

CONVENIE

n cazul n care se dispune de o distribuie pe grupe, pentru a calcula o valoare apropiat devaloarea real a mediei,n locul valorilor Xise iau n considerare centrele intervalelor de grupare, notatecu x i'.

Aceast convenie este indus de urmtoarea ipotez: n interiorul tuturor intervalelor degrupare, frecvenele sunt uniform distribuite. n practic, ipoteza efectuat se verific foarte rar, motivpentru care ntre media calculat pe baza centrelor de interval i cea calculat pe baza datelor iniialeexistdiferene.

Pentru determinarea mediei aritmeticese utilizeaz urmtoarea formul de calcul.


2/9

n vederea identificrii valorii de la numrtorul relaiei de calcul ne vom ajuta de urmtorul tabel:

Productia(buc)

Xi

Nr.Salariai

ni x' X*n20-30 2 25 5030-40 8 35 28040-50 9 45 40550-60 7 55 38560-70 4 65 260Total 30 1380

Astfel media aritmetica este egal cu 4630

1380= buc/salariat.

Interpretare: Ca atare, n medie n ziua precedent cei 30 de salariai au produs 46 debucti/salariat.

Pentru determinarea mediei armonicese utilizeaz urmtoarea formul de calcul.

n vederea identificrii valorii de la numitorul relaiei de calcul ne vom ajuta de urmtorul tabel:

Productia(buc)

XiNr. Salariai

ni x' n/x20-30 2 25 0,08030-40 8 35 0,22940-50 9 45 0,20050-60 7 55 0,12760-70 4 65 0,062Total 30 0,697

Media armonic este egal cu 04,43697,0

30= . Deoarece producia este o caracteristic

statistic cu variaiediscret (discontinu), se va rontunji rezultatul obinut la valoarea ntreag 43buc/salariat.


3/9

Pentru determinarea mediei ptraticese utilizeaz urmtoarea formul de calcul.

n vederea identificrii valorii de la numrtorul relaiei de calcul ne vom ajuta de urmtorul tabel:

Productia(buc)Xi

Nr.Salariaini x' x2*n

20-30 2 25 1250

30-40 8 35 980040-50 9 45 1822550-60 7 55 2117560-70 4 65 16900Total 30 67350

Media ptratic este egal cu 38,4730

67350= . Deoarece producia este o caracteristic

statistic cu variaie discret (discontinu), se va rontunji rezultatul obinut la valoarea ntreag 47

buc/salariat.

Aa cum se observ, valorile calculate pentru aceste mrimi medii de calcul nu sunt egale, maimult se tie c acestea respect relaia de inegalitate pgh xxxx .

Interpretarea mediilor se va realiza dup acelai tipar prezentat n cazul mediei aritmetice.

2. Determinai mrimile medii de poziie.

Se vor calcula n continuare valoare dominant (modul) i mediana.

Valoarea modal a caracteristicii (numit i valoare dominant, valoarea cea maiprobabil sau modul) reprezint acea valoare a caracteristicii care corespunde celui mai mare numr deuniti sau aceea care are cea mai mare frecven de apariie.

Relaia de calcul n cazul unei distribuii grupate pe intervale, este:


4/9

ntr-o prim faz se identific intervalul modal analiznd coloana frecvenelor ni i identificnd

valoarea cea mai mare. n cazul nostru frecvena cea mai mare este 9, aceasta fiind corespunztoareintervalului (40-50), ca atare, acesta va fi intervalul modal.

Astfel, valoarea dominant este egal cu 3,43)79()89(

)89(1040 =

+

+ Deoarece producia

este o caracteristic statistic cu variaie discret (discontinu), se va rontunji rezultatul obinut lavaloarea ntreag 43 buc.

Interpretare: Astfel, producia obinut de ctre cei mai muli salariai, din rndul celor 30analizai, a fost de 43 buc.

Medianamparte numrul unitilor investigate n dou pri egale.

n vederea determinrii acestuiindicator se parcurg urmtoarele etape:

a. Calculul unitii mediane2

1

2

1 1= +=+=

k

i

i

me

nn

U , 5.152

130=

+=

meU

b. sedeterminfrecvenele cumulate iN

Productia(buc)Xi

Nr.Salariaini

Frecv.cumulatedescrescator

iN

20-30 2 2

30-40 8 1040-50 9 1950-60 7 2660-70 4 30Total 30

c. se identificintervalul median prin comparare mei UN

Astfel, frecvena cumulat cea mai apropiat de unitatea median i care respectcondiia de maisus este 19, aferent intervalului 40-50.

d.

Utilizarea urmtoarei relaii pentru determinarea valorii medianei


5/9

Me= 40+10 11,469

105,15=

Interpretare: Astfel, valoarea produciei ce mparte distribuia aferentcelor 30 de salariai n 2pri de volum egal este 46 buc.

n cazul unei distribuii unimodale uor asimetrice, frecvenele sunt uor deplasate ntr-o partesau alta, ntre cei trei indicatori ai tendinei centrale exist urmtoarea relaie ,care se respect i n cadrul aplicaiei noastre.

3. Caracterizai variabilitatea fa de tendina central cu ajutorul indicatorilor simpli isintetici ai variaiei.

Un indicator simplu al variaiei, care ofer o imagine general asupra dispersiei, estedistanadintre nivelul maxim i nivelul minim al variabilei sau amplitudinea variaiei.

Ax= x max x min

Ax=70-20=50 buc

Interpretare: Distana dintre nivelul maxim i nivelul minim al produciei realizate este de 50 debuci-producie.

abaterile nivelurilor individualeale unei variabile fa de nivelul lor mediu, notate cu di, icare se pot calcula dup formula:

xxd ii = ,Media aritmetic a distribuiei noastre a fost determinat i are valoarea x =46 buc/salariat

Determinarea abaterilor individuale fa de media aritmetica a distribuei se prezint n urmtorultabel:

Productia(buc)

XiNr. Salariai

ni x' di di%20-30 2 25 -21 -46%30-40 8 35 -11 -24%40-50 9 45 -1 -2%50-60 7 55 9 20%60-70 4 65 19 41%Total 30

Abaterile di se pot exprima i n mrimi relative prin raportarea lor la nivelul mediu alvariabilei, astfel:

100100%

==x

xx

x

dd

ii

i

n practic aceste abateri se utilizeaz pentru calculul ulterior al indicatorilor sintetici ai variaiei


6/9

Interpretare: Se observ c prima grup de salariai au reuit s produc cu 21 de buci maipuin dect media colectivitii sau putem prezenta n form relativ c au produs cu 46% mai puindect media colectivitii. n mod asemntor se interpreteaz i valorile determinate pentru intervalelede grupare urmtoare cu precizarea c valorile pozitive exprim depiri ale nivelului mediu alcolectivitii.

Indicatorii sintetici ai variaiei se caracterizeaz prin faptul c, n calculul lor, se includabaterile tuturor nivelurilor individuale ale unei variabile fa de nivelul lor mediu.

Abaterea medie liniar, notat cu d , se determin ca o medie aritmetic (simpl sauponderat) a abaterilor nivelurilor individuale ale unei variabile fa de media lor aritmetic, considerate

n valoare absolut.

=

=

=k

i

i

k

i

ii

n

nxx

d

1

1

Abaterea medie liniar se poate calcula i fa de median.

Determinarea valorii de la numrtorul relaiei o vom realiza cu ajutorul urmtorului tabel:

Productia(buc)

XiNr. Salariai

ni x' di ii nxx

20-30 2 25 -21 4230-40 8 35 -11 8840-50 9 45 -1 950-60 7 55 9 6360-70 4 65 19 76Total 30 278

26,930

278==d Deoarece producia este o caracteristic statistic cu variaie discret

(discontinu), se va rontunji rezultatul obinut la valoarea ntreag 9 buc.

Interpretare:Putem concluziona c fiecare salariat, din rndu celor 30 analizai, s-a abtut de laproducia medie a eantionului selectat, n medie cu 9 buc/salariat.


7/9

Dispersia, notat cu 2 , se calculeaz ca o medie aritmetic a ptratelor abaterilornivelurilor individuale ale unei variabile de la nivelul lor mediu (media aritmetic).

( )

=

=

= k

i

i

k

i

ii

n

nxx

1

1

2

2

Productia(buc)

XiNr. Salariai

ni x' di ( ) ii nxx 2

20-30 2 25 -21 88230-40 8 35 -11 96840-50 9 45 -1 950-60 7 55 9 567

60-70 4 65 19 1444Total 30 3870

12930

38702 ==

Interpretare: Dispersia este un indicator cu un caracter economic abstract, rezultatul obinut s-arexprima n buc2 , ceea ce din pct. de vedere economic nu poate fi interpretat. Astfel, valoarea acestuiindicator nu poate fi interpretat din pct. de vedere economic i nici nu se va prezenta vreo unitate demsur.

Abaterea medie ptratic, numit i abatere standardsau abatere tip se noteaz cu

i se calculeaz prin extragerea rdcinii ptrate din dispersie. Abaterea medie ptratic reprezintmedia ptratic a abaterilor nivelurilor individuale ale caracteristicii fa de media lor.

Deoarece producia este o caracteristic statistic cu variaie

discret (discontinu), se va rontunji rezultatul obinut la valoareantreag 11 buc/salariat.

Interpretare: nterpretarea abaterii ptratice se realizeaz dup modeulul prezentat n cazul abateriiliniare.

Coeficientul de variaie, notat cuv , se calculeaz ca raport ntre abaterea medie i

nivelul mediu al unei variabile, iar pentru a se interpreta mai uor se exprim n procente:

100=xdv

d 100= xv

35,11

30

3870==

( )

=

=

=k

i

i

k

i

ii

n

nxx

1

1

2


8/9

Cu ct valorile sale sunt mai apropiate de zero, cu att seria este mai omogen (media este

mai reprezentativ) Cu ct valorile sale sunt mai apropiate de 100 cu att ansamblul valorilor individuale observate

este mai eterogen (mprtierea este mai mare, iar media calculat este mai puin reprezentativ).

Practica utilizrii coeficientului de variaie a stabilit pragul de trecere de la starea deomogenitate la cea de eterogenitate: dac Cv 35%colectivitatea este eterogen.

%14,2010046

9==

dv

Interpretare: Valorile determinate ale coeficientului de variaie se situiaz sub valoare de 35%,astfel concluzionm c eantionul celor 30 de salariai analizai este unul omogen din perspectivavariabilei producie i, totodat, rezult c i media produciei este reprezentativ din punct de vederestatistic.

4. Determinai eroarea maxim admisibil ntre nivelul mediu al producieidescoperit la nivelul eantionului i nivelul mediu al produciei realizat la nivelul ntregiicolectiviti de salariai format, aa cum se precizeaz n enun, din 250 persoane. Determinaiulterior nivelul eantionului necesar a fi extras dac se dorete o reducere a erori i maximeadisibile descoperite anterior cu 30%.

Calculele se vor realiza cu o probabi litate de lucru de 95,45% pentru care coefic ientul z=2.Prezentai calculele att pentru procedeul extragerii repetate ct i pentru procedeul

extragerii nerepetate.

Pocedeul extragerii repetate

Eroarea maxim admisibil se determin cu ajutorul relaiei =x xsz

n cadrul acestei relaii xs

semnific eroarea standard (eroarea medie de reprezentativitate), cepoate fi determinat cu ajutorul relaiei de mai jos:

07,230

1292

===n

sx

buc/salariat

=x 2,07*2 = 4,14. Deoarece producia este o caracteristic statistic cu variaie discret(discontinu), se va rontunji rezultatul obinut la valoarea ntreag 4.

Interpretare: Se garanteaz cu o probabilitate de 95,45% o eroare maxim ntre nivelul mediu alproduciei descoperit la nivelul eantionului i nivelul mediu al produciei realizat la nivelul ntregiicolectiviti de salariai, n cazul unei extrageri repetate, de 4 buc/ salariat.

Nivelul eantionului, pentru extragerea repetat, se determin cu ajutorul relaiei

2

22

x

zn

=

Eroarea maxim admisibil obinut anterior se reduce cu 30%, astfel =x 2,8 buc/salariat

%69,2410046

11==

v


9/9

81,658,2

129*22

2

==n

. Fiind vorba despre un numr de salariai va trebui sa rotunjim rezultatulla 66 persoane necesare a fi extrase pentru a forma un eantion care s garanteze cu o probabilitate de95,45% o eroare maxim admisibil de 2,8 buc/salariat.

Pocedeul extragerii nerepetate

Eroarea maxim admisibil se determin cu ajutorul relaiei =x xsz

n cadrul acestei relaii xs

semnific eroarea standard (eroarea medie de reprezentativitate),cepoate fi determinat cu ajutorul relaiei de mai jos:

94,1250

301

30

1291

2

=

=

=N

n

nsx

buc/salariat

=x 1,94*2=3,88. Deoarece producia este o caracteristic statistic cu variaie discret(discontinu), se va rontunji rezultatul obinut la valoarea ntreag 4.

Interpretare: Se garanteaz cu o probabilitate de 95,45% o eroare maxim ntre nivelul mediu alproduciei descoperit la nivelul eantionului i nivelul mediu al produciei realizat la nivelul ntregiicolectiviti de salariai, n cazul unei extrageri nerepetate, de 4 buc/ salariat.

Nivelul eantionului, pentru extragerea nerepetat, se determin cu ajutorul relaiei

N

z

zn

x

22

2

22

+

=

Eroarea maxim admisibil obinut anterior se reduce cu 30%, astfel =x 2,8 buc/salariat

10,52

250

129*28,2

129*22

2

2

=

+

=n . Fiind vorba despre un numr de salariai va trebui sa rotunjim

rezultatul la 52 persoane necesare a fi extrase pentru a forma un eantion care s garanteze cu oprobabilitate de 95,45% o eroare maxim admisibil de 2,8buc/salariat.

Aplicatii rezolvate statistica teoretica si economica

Documents

Transcript of Aplicatii rezolvate statistica teoretica si economica