Aplicaţii GPS GPS-ul şi algebra liniară

Matematica este omniprezentă în dezvoltarea tehnologiei, iar rezolvarea unei probleme dinviaţa reală se face de obicei prin utilizarea unor cunoştinţe matematice. Unul dintre cele maibune exemple de aplicaţie a matematicii în practică este dat de următoarea problemă simplă :cum poate fi localizat un obiect pe suprafaţa Pământului? Încercarea de a ne lămuri în ce stadiu ne aflăm şi spre ce ne îndreptăm este probabil una din cel mai vechi frământări ale omului.

Pentru rezolvarea acestei probleme au fost utilizate diverse instrumente, precum compasul magnetic, astrolabul, sextantul. Navigaţia şi poziţionarea erau cruciale pentru atât de multe activităţi care se desfăşurau chiar foarte greoi.

În prezent sunt folosite metode şi tehnologii mai avansate, cum ar fi Sistemul Global de Poziţionare (GPS). Sistemul GPS a fost completat în 1995 de catre Departamentul Apărării al SUA şi a fost autorizat pentru aplicaţii civile. El era compus iniţial din 24 de sateliţi, dintre care cel puţin 21 erau funcţionali 98% din timp. În 2005 el a fost extins la 32 de sateliţi, dintre care cel puţin 24 sunt funcţionali, iar restul sunt de rezervă, pentru a înlocui un eventual satelit defect. Sateliţii se află la 20 200 km de suprafaţa Pământului şi sunt distribuiţi în 6 plane orbitale, care fac un unghi de 55° cu planul ecuatorial.

Fiecare plan orbital conţine cel puţin 4 sateliţi şi fiecare satelit descrie o orbită circulară în jurul Pamântului în 11 h 58 min. Sateliţii sunt distribuiţi astfel încât în orice moment şi în orice loc de pe suprafaţa Pământului pot fi observaţi cel puţin 4 sateliţi. GPS-ul foloseste sateliţii ca puncte de referinţă pentru a calcula poziţiile cu o acurateţe de domeniul metrilor, iar cu variante avansate de GPS se pot face măsurători cu o acurateţe mai mică de un centimetru!

1

Aplica ţ ii ale GPS Sistemul Global de Poziţionare tinde să devină indispensabil, el realizând, printre altele :

o determinarea poziţiei unor persoane izolate (excursionişti, vânători, marinari) prinmarcarea unui traseu, inclusiv pe o hartă ;

o găsirea unei adrese de către conducătorul unui taxi, de exemplu ;o orientarea cu o hartă veche, prin scanarea sau digitizarea ei ;o realizarea de coridoare aeriene pentru avioane, pentru a evita coliziunea lor ;o urmărirea simultană a mai multor autovehicule, de exemplu de catre o companie de

închirieri, pentru a verifica respectarea contractului ;o determinarea exactă a altitudinilor montane (Everest, K2, Mont Blanc, etc.) ;o aplicaţii militare.

GPS-ul a devenit foarte popular după ce a început să fie folosit de din ce în ce mai mulţiconducători auto. Rolul acestui sistem de navigaţie este să îl conducă pe utilizator la destinaţie. Acest raţionament are la bază noţiuni şi rezultate din algebra liniară, după cum vom vedea mai jos.

Algebra liniară oferă, în multe aplicaţii, posibilitatea construirii de modele matematice elegante şi accesibile. Vom arăta cum algebra liniară permite modelarea matematică a GPS-ului. Mai precis, soluţia generală parametrizată a unui sistem liniar nedeterminat împreună cu GPS-ul ne oferă determinarea locaţiei geografice.

2

Cu timpul, GPS-ul a început să folosească mai mult de 4 sateliţi şi metoda celor mai mici pătrate pentru a determina cea mai bună estimare a locaţiei şi orei receptorului. Alteîmbunătăţiri ale metodei GPS-ului actual iau în considerare impedimentele pe care undele radio le întâmpină la trecerea prin atmosferă.

Modelul Considerăm un autoturism al cărui şofer deţine un sistem GPS. Acesta obţine simultan semnale de la patru sateliţi, fiecare semnal specificând timpul de transmisie şi poziţia satelitului în acel moment.

Să ne imaginăm un sistem de coordonate Oxyz cu originea în centrul Pământului,sfera unitate. Poziţia maşinii poate fi exprimată prin punctul de coordonate (x, y, z), care, apoi, pot fi transformate în coordonate geografice: latitudine şi longitudine. Evident, x² + y² + z² = 1. Fie t timpul în care primim semnalele. Scopul nostru este să determinăm aceste valori: x, y, z, t. În această construcţie, semnalul radio se deplasează cu 0,047 unităţi de raza Pământului/milisecundă. Datele sateliţilor sunt în tabelul următor:

Satelitul Poziţia Timpul 1 (1;2;1) 25,96 2 (2;1;2) 19,14 3 (1;1;1) 43,49 4 (2;1;1) 25,16

De exemplu, pentru primul satelit, semnalul a fost transmis la timpul 25,96 şi a sosit la timpul t. A călătorit cu viteza 0,047 şi a parcurs distanţa d = 0,047(t – 25, 96). Aceeaşi distanţă o putem exprima în funcţie de x, y, z şi de poziţia satelitului de coordonate (1;2;1), astfel: d =√(x - 1)² + (y - 2)² + (z -1)². Combinând aceste două rezultate, obţinem că (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 1)² = 0,047²(t – 25,96)²,care devine 2x + 4y + 2z – 0, 114t = 5,512 – 0,047²t². În aceeaşi manieră, scriem ecuaţiile pentru ceilalţi trei sateliţi. Acestea vor forma un sistem de 4 ecuaţii cu 4 necunoscute, ce va putea fi rezolvat în x, y, z, t: 2x + 4y + 2z – 0,114t = 5,512 – 0,047²t² 4x + 2y + 4z – 0,084t = 9,191 – 0,047²t² 2x + 2y + 2z – 0,192t = -0,178 – 0,047²t² 4x + 2y + 2z – 0,111t = 5,601 – 0,047²t²

Vom exprima necunoscutele x,y şi z în funcţie de t. Prin scăderea primei ecuaţii din celelalte trei, obţinem sistemul 2x - 2y + 2z + 0,03t = 3,679 0x - 2y + 0z – 0,078t = -5,69 2x - 2y + 0z + 0,003t = 0,089

Acesta are matricea: 2 -2 2 0,03 3,679 0 -2 0 -0,078 -5,69 2 -2 0 0,003 0,089

3

care se reduce la

1 0 0 0,0405 2,8895 0 1 0 0,039 2, 845 0 0 1 0,0135 1,795

Aşadar, am obţinut soluţia generală: x = 2,8895 – 0,0405t y = 2,845 – 0,039t z = 1,795 – 0,0135t

Întorcându-ne la ecuaţia primului satelit, avem (1,8895 – 0,0405t)² + (0,845 – 0,039t)²+ + (0,795 – 0,0135t)² = 0,047²(t – 25,96)²,

care se reduce la 0,0011t² - 0,125t + 3,428 = 0, ecuaţie ce are soluţiile t1 = 67,398 şi t2 = 46,238. Valoarea t2 ne plasează în afara Pământului iar t1 ne dă x = 0,159; y = 0,216 şi z = 0,885. Calculul cu mai multe zecimale ne va da o aproximare mai bună. Cu ajutorul acestor coordonate autoturismului nostru îi este oferită cea mai avantajoasă rută până la destinaţie iar cu cât aproximarea valorilor este mai fină cu atât şansele de a ajunge la destinaţia dorită sunt mai mari şi nu riscăm să fim îndrumaţi la câteva străzi distanţă.

Matematica există, într-o oarece măsură, în fiecare lucru ce ne înconjoară, însă metodele prin care ea se aplică devin din ce în ce mai sofisticate şi mai surprinzătoare.

Receptoarele GPS au fost miniaturizate până la nivelul a câteva circuite integrate astfel devenind şi foarte economice. Aceasta face tehnologia foarte accesibilă practic tuturor. La ora actuală GPS îşi găseşte locul în maşini, vapoare, avioane, echipamente de construcţii, maşini agricole etc. De câţiva ani a fost înglobat şi pe unele telefoane mobile precum şi pe tablete. În curând GPS-ul va deveni aproape la fel de obişnuit ca un telefon.

4