NUMERE COMPLEXE  (aplicatii practice)

Notiunea de numar complex nu a aparut din probleme de geometrie, ci din probleme de algebra. Cristalizarea

acestui concept a durat aproximativ 100 de ani, de-a lungul sec.al- XVIII-lea. Matematicieni renumiti ca Leonhard Euler

(1707-1783), Jean d’Alembert (1717- 1783) au utilizat corect numerele imaginare, care le completau pe cele reale, dar fara

sa le explice originea si proprietatile. Importanta introducerii numerelor 141j98b complexe in matematica s-a vazut in anul

1801in lucrarea „Disquisitiones Aritmeticae” a lui Karl Friederich Gauss.

    I. Reprezentarea geometrica a numerelor complexe.

    Execitiu;

 Punctele M( 2,0) si N( 3,4) au ca afixe numerele complexe zM = 2 si zN = 3 + 4i.

                     Numerele complexe z1 = 2i si z2 = 3 – i au ca imagine geometrica punctele A( 0,2) si B(3,-1)

Prin asocierea z = x + iy « M(x,y), multimii R a numerelor reale ii corespunde axa Ox numita, in acest context, axa reala, iar

multimii iR a numerelor imaginare, axa Oy, numita axa imaginara. Planul ale carui puncte se identifica cu numerele

complexe prin functia g o f, definita mai inainte, se numeste planul complex. In acest fel, putem transfera pe C proprietatile

geometrice definite pe V2 sau P si reciproc, orice relatie stabilita intre numere complexe poate fi interpretata in V2 sau P .

   

II. Descrierea geometrica a operatiilor cu numere complexe. Distanta dintre doua puncte.

     

Exercitii:

1)  Se considera punctele A, B, C si I de afixe   , si respectiv 2 + i. Sa se arate ca

punctele A, B si C se gasesc pe un acelasi cerc cu centrul in I.

    Solutie:

Calculam distantele:

      

  

Deci A, B, C sunt puncte ale cercului cu centrul in I si raza 3

2) Sa se reprezinte in planul complex multimea punctelor M al caror afix z verifica egalitatea

            .

      Solutie:

Fie A si B punctele de afixe zA = -1 –i si zB = 3

Relatia data se scrie  , adica MA = MB. Multimea cautata este mediatoarea segmentului AB.

     

  III. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie.

1) Impartirea unui segment intr-un raport dat.

       Fie A1, A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 si respectiv z2 si fie P un punct pe dreapta A1A2, astfel

incat  , unde l I R, l ¹ -1. Daca P are afixul zP, atunci:

                         zP = 

    Formula reprezinta afixul punctului care imparte un segment intr-un raport dat. Demonstratia formulei foloseste expresia

vectoriala a punctului P:  .

2) Afixul mijlocului unui segment.

      Daca P este mijlocul segmentului [ A1A2], atunci l = 1. Din formula precedenta se obtine:

            

                           zP = 

3) Centrul de greutate al unui triunghi.

      Fie ABC un triunghi ale carui varfuri au afixele zA, zB, zC. Atunci centrul de greutate G al triunghiului are afixul

                       zG =  ( zA + zB + zC)

      

4) Distanta dintre doua puncte; ecuatia cercului.

    Daca A1, A2 sunt puncte in plan de afixe z1 si respectiv z2, atunci lungimea segmentului [A1A2] este

                 

    Rezulta ca cercul de centru Ao(zo) si raza r are ecuatia

                  

5) Ecuatia dreptei care trece prin doua puncte.

     Fie A1, A2, doua puncte distincte din plan de afixe z1, respectiv z2.Atunci, dreapta A1A2 reprezinta multimea punctelor din

plan ale caror afixe z sunt de forma:

                 z = ( 1 - l) z1 + l z2 ,  l I R

   

6) O alta forma a ecuatiei unei drepte in C

   Punctul P apartine dreptei A1A2 daca si numai daca afixul sau z verifica egalitatea:

                           

7) Ortocentrul unui triungh. Dreapta lui Euler.

          Fie ABC un triunghi inscris intr-un cerc cu centrul in originea O a sistemului cartezian xOy. Inaltimile AA 1, BB1 si

CC1 ale triunghiului sunt concurente intr-un punct H care indeplineste conditia vectoriala:    

8) Centrul cercului inscris intr-un triunghi

   Fie ABC un triunghi ale carui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c. Centrul I al cercului inscris in triunghiul ABC are afixul

            zI =