1

Anexa 4A Tematica pentru proba scris

Matematic

NOTA. Tematica coincide cu programa de bacalaureat in vigoare mai puin coninuturile

referitoare la Matematici financiare, clasa a X-a.

CLASA a IX-a

Mulimi i elemente de logic matematic

Mulimea numerelor reale: operaii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui numr real, aproximri prin lips sau prin adaos, partea ntreag, partea

fracionar a unui numr real; operaii cu intervale de numere reale

Propoziie, predicat, cuantificatori

Operaii logice elementare (negaie, conjuncie, disjuncie, implicaie, echivalen), corelate cu operaiile i cu relaiile dintre mulimi (complementar, intersecie, reuniune, incluziune,

egalitate); raionament prin reducere la absurd

Inducia matematic

iruri

Modaliti de a defini un ir, iruri mrginite, iruri monotone

iruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general n funcie de un termen dat i raie, suma primilor n termeni ai unei progresii

Condiia ca n numere s fie n progresie aritmetic sau geometric, pentru 3n

Funcii; lecturi grafice

Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulimi numerice; condiii algebrice pentru puncte aflate n cadrane; drepte din plan de

forma mx sau my , cu Rm

Funcia: definiie, exemple, exemple de corespondene care nu sunt funcii, modaliti de a descrie o funcie, lecturi grafice. Egalitatea a dou funcii, imaginea unei mulimi printr-o

funcie, graficul unei funcii, restricii ale unei funcii

Funcii numerice }),:{( RR DDfF ; reprezentarea geometric a graficului:

intersecia cu axele de coordonate, rezolvri grafice ale unor ecuaii i inecuaii de forma

)()( xgxf , ),,,( ; proprieti ale funciilor numerice introduse prin lectur grafic:

mrginire, monotonie; alte proprieti: paritate/imparitate, simetria graficului fa de drepte

de forma mx , Rm , periodicitate

Compunerea funciilor; exemple pe funcii numerice

Funcia de gradul I

Definiie; reprezentarea grafic a funciei RR :f , baxxf )( , unde Rba, ,

intersecia graficului cu axele de coordonate, ecuaia 0)( xf

Interpretarea grafic a proprietilor algebrice ale funciei: monotonia i semnul funciei;

studiul monotoniei prin semnul diferenei )()( 21 xfxf (sau prin studierea semnului

raportului 21

21 )()(

xx

xfxf

, R21, xx , 21 xx )

Inecuaii de forma 0 bax ),,( studiate pe R sau pe intervale de numere reale

2

Poziia relativ a dou drepte, sisteme de ecuaii de tipul

pnymxcbyax

, pnmcba ,,,,,

numere reale

Sisteme de inecuaii de gradul I

Funcia de gradul al II-lea

Reprezentarea grafic a funciei RR :f , cbxaxxf 2)( , cu Rcba ,, i 0a

intersecia graficului cu axele de coordonate, ecuaia 0)( xf , simetria fa de drepte de

forma mx , cu Rm

Relaiile lui Vite, rezolvarea sistemelor de forma

pxy

syx, cu Rps,

Interpretarea geometric a proprietilor algebrice ale funciei de gradul al II-lea

Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenei )()( 21 xfxf sau prin rata creterii/

descreterii: 21

21 )()(

xx

xfxf

, R21, xx , 21 xx , punct de extrem, vrful parabolei

Poziionarea parabolei fa de axa Ox, semnul funciei, inecuaii de forma 02 cbxax

),,( , Rcba ,, , 0a , studiate pe R sau pe intervale de numere reale, interpretare

geometric: imagini ale unor intervale (proieciile unor poriuni de parabol pe axa Oy)

Poziia relativ a unei drepte fa de o parabol: rezolvarea sistemelor de forma

ycbxax

ynmx2 , Rnmcba ,,,,

Vectori n plan

Segment orientat, vectori, vectori coliniari

Operaii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprieti ale operaiei de adunare; nmulirea cu un scalar, proprieti ale nmulirii cu un scalar; condiia

de coliniaritate, descompunerea dup doi vectori necoliniari

Coliniaritate, concuren, paralelism calcul vectorial n geometria plan

Vectorul de poziie al unui punct

Vectorul de poziie a punctului care mparte un segment ntr-un raport dat, teorema lui Thales (condiii de paralelism)

Vectorul de poziie a centrului de greutate al unui triunghi (concurena medianelor unui triunghi)

Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

Elemente de trigonometrie

Cercul trigonometric, definirea funciilor trigonometrice: ]1,1[]2,0[:sin ,

]1,1[]2,0[:cos , R

2

\],0[:tg , R),0(:ctg

Definirea funciilor trigonometrice: ]1,1[:sin R , ]1,1[:cos R , RR D\:tg , cu

ZkkD |2

, RR D\:ctg , cu }|{ Z kkD

3

Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: )sin( ba , )sin( ba , )cos( ba ,

)cos( ba , a2sin , a2cos , ba sinsin , ba sinsin , ba coscos , ba coscos

(transformarea sumei n produs)

Aplicaii ale trigonometriei i ale produsului scalar a doi vectori n geometria plan

Produsul scalar a doi vectori: definiie, proprieti. Aplicaii: teorema cosinusului, condiii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

Aplicaii vectoriale i trigonometrice n geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

Calcularea razei cercului nscris i a razei cercului circumscris n triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

CLASA a X-a

Mulimi de numere

Numere reale: proprieti ale puterilor cu exponent raional, iraional i reale ale unui numr pozitiv nenul, aproximri raionale pentru numere reale

Radical de ordin n ( Nn i 2n ) dintr-un numr, proprieti ale radicalilor

Noiunea de logaritm, proprieti ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaia de logaritmare

Mulimea C. Numere complexe sub form algebric, conjugatul unui numr complex, operaii cu numere complexe. Interpretarea geometric a operaiilor de adunare i de scdere

a numerelor complexe i a nmulirii acestora cu un numr real

Rezolvarea n C a ecuaiei de gradul al doilea avnd coeficieni reali. Ecuaii biptrate

Funcii i ecuaii

Funcia putere cu exponent natural: Df R: , nxxf )( , Nn , 2n i funcia radical:

RDf : , n xxf )( , Nn i 2n , unde ),0[ D pentru n par i RD pentru n

impar

Funcia exponenial: ),0(: Rf , xaxf )( , ),0( a , 1a i funcia logaritmic:

R),0(:f , xxf alog)( , ),0( a , 1a

Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcii inversabile: definiie, proprieti grafice, condiia necesar i suficient ca o funcie s fie inversabil

Funcii trigonometrice directe i inverse

Rezolvri de ecuaii folosind proprietile funciilor: 1. Ecuaii care conin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2. Ecuaii exponeniale, ecuaii logaritmice

3. Ecuaii trigonometrice: ax sin , ax cos , ]1,1[a , ax tg , ax ctg , Ra ,

)(sin)(sin xgxf , )(cos)(cos xgxf , )(tg)(tg xgxf , )(ctg)(ctg xgxf

Not: Pentru toate tipurile de funcii se vor studia: intersecia cu axele de coordonate, ecuaia

0)( xf , reprezentarea grafic prin puncte, simetrie, lectura grafic a proprietilor algebrice ale

funciilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate.

Metode de numrare

Mulimi finite ordonate. Numrul funciilor BAf : , unde A i B sunt mulimi finite

Permutri - numrul de mulimi ordonate care se obin prin ordonarea unei mulimi finite cu n

elemente

4

- numrul funciilor bijective BAf : , unde A i B sunt mulimi finite

Aranjamente - numrul submulimilor ordonate cu cte k elemente fiecare, nk , care se pot forma cu

cele n elemente ale unei mulimi finite

- numrul funciilor injective BAf : , unde A i B sunt mulimi finite

Combinri numrul submulimilor cu cte k elemente, unde nk 0 , ale unei mulimi finite cu n elemente. Proprieti: formula combinrilor complementare, numrul tuturor

submulimilor unei mulimi cu n elemente

Binomul lui Newton

Geometrie

Reper cartezian n plan, coordonatele unui vector n plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector i un numr real, coordonate carteziene ale unui

punct din plan, distana dintre dou puncte n plan

Ecuaii ale dreptei n plan determinate de un punct i de o direcie dat i ale dreptei determinate de dou puncte distincte

Condiii de paralelism, condiii de perpendicularitate a dou drepte din plan; calcularea unor distane i a unor arii

CLASA a XI-a

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL I SISTEME DE ECUAII LINIARE

Permutri

Noiunea de permutare, operaii, proprieti

Inversiuni, semnul unei permutri

Matrice

Tabel de tip matriceal. Matrice, mulimi de matrice

Operaii cu matrice: adunarea, nmulirea, nmulirea unei matrice cu un scalar, proprieti

Determinani

Determinant de ordin n, proprieti

Sisteme de ecuaii liniare

Matrice inversabile din )(CnM , 4n

Ecuaii matriceale

Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice

Studiul compatibilitii i rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouch, metoda Gauss

Aplicaii: ecuaia unei drepte determinate de dou puncte distincte, aria unui triunghi i coliniaritatea a trei puncte n plan

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC

Limite de funcii

Noiuni elementare despre mulimi de puncte pe dreapta real: intervale, mrginire, vecinti, dreapta ncheiat, simbolurile i

Funcii reale de variabil real: funcia polinomial, funcia raional, funcia putere, func