VALERIU LUPU

ALGORITMI. TEHNICI ŞI LIMBAJE DE PROGRAMARE

EDITURA UNIVERSITĂŢII “ŞTEFAN cel MARE” SUCEAVA2007

3

Prefaţă

Cartea isi propune in primul rand sa fie un curs si nu o "enciclopedie" de algoritmi. Pornind de la structurile de date cele mai uzuale si de la analiza eficientei algoritmilor, cartea se concentreaza pe principiile fundamentale de elaborare a algoritmilor: greedy, divide et impera, programare dinamica, backtracking. Majoritatea algoritmilor selectati au o conotatie estetica. Efortul necesar pentru intelegerea elementelor mai subtile este uneori considerabil. Ce este insa un algoritm "estetic"? Putem raspunde foarte simplu: un algoritm este estetic daca exprima mult in cuvinte putine. Un algoritm estetic este oare in mod necesar si eficient? Cartea raspunde si acestor intrebari.

In al doilea rand, cartea prezinta mecanismele interne esentiale ale limbajului Visual Basic si trateaza implementarea algoritmilor in mod iterative cat si recursiv. Totusi, aceasta carte nu este un curs complet de Visual Basic. Algoritmii nu sunt pur si simplu "transcrisi" din pseudo-cod in limbajul Visual Basic, ci sunt reganditi din punct de vedere al programarii orientate pe obiect. Speram ca, dupa citirea cartii, veti dezvolta aplicatii de programare in mod iterative cat si recursiv si veti elabora implementari ale altor structuri de date. Programele pot fi scrise si in limbajul C#. Acest limbaj se caracterizeaza, in principal, prin introducerea claselor parametrice si a unui mecanism de tratare a exceptiilor foarte avansat, facilitati deosebit de importante pentru dezvoltarea de biblioteci C#.

Fara a face concesii rigorii matematice, prezentarea este intuitiva, cu numeroase exemple. Am evitat, pe cat posibil, situatia in care o carte de informatica incepe - spre disperarea ne-matematicienilor - cu celebrul "Fie ... ", sau cu o definitie. Am incercat, pe de alta parte, sa evitam situatia cand totul "este evident", sau "se poate demonstra". Fiecare capitol este conceput fluid, ca o mica poveste, cu putine referinte si note. Multe rezultate mai tehnice sunt obtinute ca exercitii. Algoritmii sunt prezentati intr-un limbaj pseudo-cod compact, fara detalii inutile.

Presupunem ca cititorul nu are la baza cel putin un curs introductiv in programare, fiindu-i straini termeni precum algoritm, recursivitate, functie, procedura si pseudo-cod. Exista mai multe modalitati de parcurgere a cartii. In functie de interesul si pregatirea cititorului, acesta poate alege oricare din partile referitoare la elaborarea, analiza, sau implementarea algoritmilor. Cu exceptia partilor de analiza a eficientei algoritmilor (unde sunt necesare elemente de matematici superioare), cartea poate fi parcursa si de catre un elev de liceu. Pentru parcurgerea sectiunilor de implementare, este recomandabila cunoasterea limbajului Visual Basic.

S-a dovedit utila si experienta autorului de peste douzeci de ani in dezvoltarea produselor software. Le multumesc pentru aprecieri pro/contra asupra lucrării membrilor catedrei de informatică de la Facultatea de Ştiinţe Economice şi Administraţie Publică.

Autorul,Conf. univ. dr. Lupu Valeriu

Universitatea “Ştefan cel Mare” SuceavaFacultatea de Ştiinţe Economice şi Administraţie Publică

Catedra de Informatică

4

Cuprins

Capitolul I Descrierea algoritmilor .................................................................................................6

Capitolul II Subprograme ................................................................................................. .............16

Capitolul III Metode de proiectare a algoritmilor ...........................................................................23

Capitolul IV Analiza algoritmilor ...................................................................................... .............27

Capitolul V Clase de algoritmi ........................................................................................................34

Capitolul VI Evoluţia limbajelor de programare .............................................................................41

Capitolul VII Limbajul Visual Basic ................................................................................................55

Capitolul VIII Reguli privind alegerea unui limbaj de programare ...................................................69

Capitolul IX Metoda backtracking ..................................................................................................73

Capitolul X Metoda Divide et impera ............................................................................................91

Capitolul XI Metoda Greedy ...........................................................................................................95

Capitolul XII Studii de caz – Aplicaţii ................................................................................ ...........109

Bibliografie ....................................................................................................................................135

5

CAPITOLUL I

DESCRIEREA ALGORITMILOR

1.1 Algoritm, program, programare

Apariţia primelor calculatoare electronice a constituit un salt uriaş în direcţia automatizării activităţii umane. Nu există astăzi domeniu de activitate în care calculatorul să nu îşi arate utilitatea[18].

Calculatoarele pot fi folosite pentru a rezolva probleme, numai dacă pentru rezolvarea acestora se concep programe corespunzătoare de rezolvare. Termenul de program (programare) a suferit schimbări în scurta istorie a informaticii. Prin anii '60 problemele rezolvate cu ajutorul calculatorului erau simple şi se găseau algoritmi nu prea complicaţi pentru rezolvarea lor. Prin program se înţelegea rezultatul scrierii unui algoritm într-un limbaj de programare. Din cauza creşterii complexităţii problemelor, astăzi pentru rezolvarea unei probleme adesea vom concepe un sistem de mai multe programe.

Dar ce este un algoritm? O definiţie matematică, riguroasă, este greu de dat, chiar imposibilă fără a introduce şi alte noţiuni. Vom încerca în continuare o descriere a ceea ce se înţelege prin algoritm.

Ne vom familiariza cu această noţiune prezentând mai multe exemple de algoritmi şi observând ce au ei în comun. Cel mai vechi exemplu este algoritmul lui Euclid, algoritm care determină cel mai mare divizor comun a două numere naturale. Evident, vom prezenta mai mulţi algoritmi, cei mai mulţi fiind legaţi de probleme accesibile absolvenţilor de liceu.

Vom constata că un algoritm este un text finit, o secvenţă finită de propoziţii ale unui limbaj. Din cauză că este inventat special în acest scop, un astfel de limbaj este numit limbaj de descriere a algoritmilor. Fiecare propoziţie a limbajului precizează o anumită regulă de calcul, aşa cum se va observa atunci când vom prezenta limbajul Pseudocod.

Oprindu-ne la semnificaţia algoritmului, la efectul execuţiei lui, vom observa că fiecare algoritm defineşte o funcţie matematică. De asemenea, din toate secţiunile următoare va reieşi foarte clar că un algoritm este scris pentru rezolvarea unei probleme. Din mai multe exemple se va observa însă că, pentru rezolvarea aceleaşi probleme, există mai mulţi algoritmi.

Pentru fiecare problemă P există date presupuse cunoscute (date iniţiale pentru algoritmul corespunzător, A) şi rezultate care se cer a fi găsite (date finale). Evident, problema s-ar putea să nu aibă sens pentru orice date iniţiale. Vom spune că datele pentru care problema P are sens fac parte din domeniul D al algoritmului A. Rezultatele obţinute fac parte dintr-un domeniu R, astfel că executând algoritmul A cu datele de intrare xD vom obţine rezultatele rR. Vom spune că A(x)=r şi astfel algoritmul A defineşte o funcţie

A : D ---> R .Algoritmii au următoarele caracteristici: generalitate, finitudine şi unicitate.Prin generalitate se înţelege faptul că un algoritm este aplicabil pentru orice date iniţiale xD.

Deci un algoritm A nu rezolvă problema P cu nişte date de intrare, ci o rezolvă în general, oricare ar fi aceste date. Astfel, algoritmul de rezolvare a unui sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute prin metoda lui Gauss, rezolvă orice sistem liniar şi nu un singur sistem concret.

Prin finitudine se înţelege că textul algoritmului este finit, compus dintr-un număr finit de propoziţii. Mai mult, numărul transformărilor ce trebuie aplicate unei informaţii admisibile xD pentru a obţine rezultatul final corespunzător este finit.

Prin unicitate se înţelege că toate transformările prin care trece informaţia iniţială pentru a obţine rezultatul rR sunt bine determinate de regulile algoritmului. Aceasta înseamnă că fiecare pas din execuţia algoritmului dă rezultate bine determinate şi precizează în mod unic pasul următor. Altfel spus, ori de câte ori am executa algoritmul, pornind de la aceeaşi informaţie admisibilă xD, transformările prin care se trece şi rezultatele obţinute sunt aceleaşi.

În descrierea algoritmilor se folosesc mai multe limbaje de descriere, dintre care cele mai des folosite sunt:

- limbajul schemelor logice;

6

- limbajul Pseudocod. În continuare vom folosi pentru descrierea algoritmilor limbajul Pseudocod care va fi definit în

cele ce urmează. În ultima vreme schemele logice sunt tot mai puţin folosite în descrierea algoritmilor şi nu sunt deloc potrivite în cazul problemelor complexe. Prezentăm însă şi schemele logice, care se mai folosesc în manualele de liceu, întrucât cu ajutorul lor vom preciza în continuare semantica propoziţiilor Pseudocod.

1.2 Scheme logice

Schema logică este un mijloc de descriere a algoritmilor prin reprezentare grafică. Regulile de calcul ale algoritmului sunt descrise prin blocuri (figuri geometrice) reprezentând operaţiile (paşii) algoritmului, iar ordinea lor de aplicare (succesiunea operaţiilor) este indicată prin săgeţi. Fiecărui tip de operaţie îi este consacrată o figură geometrică (un bloc tip) în interiorul căreia se va înscrie operaţia din pasul respectiv.

Prin execuţia unui algoritm descris printr-o schemă logică se înţelege efectuarea tuturor operaţiilor precizate prin blocurile schemei logice, în ordinea indicată de săgeţi.

În descrierea unui algoritm, deci şi într-o schemă logică, intervin variabile care marchează atât datele cunoscute iniţial, cât şi rezultatele dorite, precum şi alte rezultate intermediare necesare în rezolvarea problemei. Întrucât variabila joacă un rol central în programare este bine să definim acest concept. Variabila defineşte o mărime care îşi poate schimba valoarea în timp. Ea are un nume şi, eventual, o valoare. Este posibil ca variabila încă să nu fi primit valoare, situaţie în care vom spune că ea este neiniţializată. Valorile pe care le poate lua variabila aparţin unei mulţimi D pe care o vom numi domeniul variabilei. În concluzie vom înţelege prin variabilă tripletul

(nume, domeniul D, valoare)unde valoare aparţine mulţimii D {nedefinit}.

Blocurile delimitatoare Start şi Stop (Fig.1.2.1. a şi 1.2.1. b) vor marca începutul respectiv sfârşitul unui algoritm dat printr-o schemă logică. Descrierea unui algoritm prin schemă logică va începe cu un singur bloc Start şi se va termina cu cel puţin un bloc Stop.

Blocurile de intrare/ieşire Citeşte şi Tipăreşte (Fig. 1.2.1. c şi d) indică introducerea unor Date de intrare respectiv extragerea unor Rezultate finale. Ele permit precizarea datelor iniţiale cunoscute în problemă şi tipărirea rezultatelor cerute de problemă. Blocul Citeşte iniţializează variabilele din lista de intrare cu valori corespunzătoare, iar blocul Tipăreşte va preciza rezultatele obţinute (la execuţia pe calculator cere afişarea pe ecran a valorilor expresiilor din lista de ieşire).

Blocurile de atribuire (calcul) se utilizează în descrierea operaţiilor de atribuire (:=). Printr-o astfel de operaţie, unei variabile var i se atribuie valoarea calculată a unei expresii expr (Fig.1.2.1. e).

Fig.1.2.1. Blocurile schemelor logice

7

Blocurile de decizie marchează punctele de ramificaţie ale algoritmului în etapa de decizie. Ramificarea poate fi dublă (blocul logic, Fig.1.2.1.f) sau triplă (blocul aritmetic, Fig. 1.2.1.g). Blocul de decizie logic indică ramura pe care se va continua execuţia algoritmului în funcţie de îndeplinirea (ramura Da) sau neîndeplinirea (ramura Nu) unei condiţii. Condiţia care se va înscrie în blocul de decizie logic va fi o expresie logică a cărei valoare poate fi una dintre valorile "adevărat" sau "fals". Blocul de decizie aritmetic va hotărî ramura de continuare a algoritmului în funcţie de semnul valorii expresiei aritmetice înscrise în acest bloc, care poate fi negativă, nulă sau pozitivă.

Blocurile de conectare marchează întreruperile săgeţilor de legătură dintre blocuri, dacă din diverse motive s-au efectuat astfel de întreruperi (Fig.1.2.1.h).

Pentru exemplificare vom da în continuare două scheme logice, corespunzătoare unor algoritmi pentru rezolvarea problemelor P1.2.1 şi P1.2.2.

P1.2.1. Să se rezolve ecuaţia de grad doi aX2+bX+c=0 (a,b,cR _i a0).Metoda de rezolvare a ecuaţiei de gradul doi este cunoscută. Ecuaţia poate avea rădăcini reale, respectiv complexe, situaţie recunoscută după semnul discriminantului d = b2 - 4ac.

Fig.1.2.2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiei de gradul doi Fig.1.2.3. Algoritm pentru calculul unei sume.

Algoritmul de rezolvare a problemei va citi mai întâi datele problemei, marcate prin variabilele a, b şi c. Va calcula apoi discriminantul d şi va continua în funcţie de valoarea lui d, aşa cum se poate vedea în fig.1.2.2.P1.2.2. Să se calculeze suma elementelor pozitive ale unui şir de numere reale dat.

Schema logică (dată în Fig.1.2.3) va conţine imediat după blocul START un bloc de citire, care precizează datele cunoscute în problemă, apoi o parte care calculează suma cerută şi un bloc de tipărire a sumei găsite, înaintea blocului STOP. Partea care calculează suma S cerută are un bloc pentru iniţializarea cu 0 a acestei sume, apoi blocuri pentru parcurgerea numerelor: x1, x2…xn şi adunarea celor pozitive la

8

suma S. Pentru această parcurgere se foloseşte o variabilă contor i, care este iniţializată cu 1 şi creşte mereu cu 1 pentru a atinge valoarea n, indicele ultimului număr dat.

Schemele logice dau o reprezentare grafică a algoritmilor cu ajutorul unor blocuri de calcul. Execuţia urmează sensul indicat de săgeată, putând avea loc reveniri în orice punct din schema logică. Din acest motiv se poate obţine o schemă logică încâlcită, greu de urmărit. Rezultă importanţa compunerii unor scheme logice structurate (D-scheme, după Djikstra), care să conţină numai anumite structuri standard de calcul şi în care drumurile de la START la STOP să fie uşor de urmărit.

1.3. Limbajul PSEUDOCOD

Limbajul Pseudocod este un limbaj inventat în scopul proiectării algoritmilor şi este format din propoziţii asemănătoare propoziţiilor limbii române, care corespund structurilor de calcul folosite în construirea algoritmilor. Acesta va fi limbajul folosit de noi în proiectarea algoritmilor şi va fi definit în cele ce urmează. Ţinând seama că obţinerea unui algoritm pentru rezolvarea unei probleme nu este întotdeauna o sarcină simplă, că în acest scop sunt folosite anumite metode pe care le vom descrie în capitolele următoare, în etapele intermediare din obţinerea algoritmului vom folosi propoziţii curente din limba română. Acestea sunt considerate elemente nefinisate din algoritm, asupra cărora trebuie să se revină şi le vom numi propoziţii nestandard. Deci limbajul Pseudocod are două tipuri de propoziţii: propoziţii standard, care vor fi prezentate fiecare cu sintaxa şi semnificaţia (semantica) ei şi propoziţii nestandard. Aşa cum se va arăta mai târziu, propoziţiile nestandard sunt texte care descriu părţi ale algoritmului încă incomplet elaborate, nefinisate, asupra cărora urmează să se revină.

Pe lângă aceste propoziţii standard şi nestandard, în textul algoritmului vom mai introduce propoziţii explicative, numite comentarii. Pentru a le distinge de celelalte propoziţii, comentariile vor fi închise între acolade. Rolul lor va fi explicat puţin mai târziu.

Propoziţiile standard ale limbajului Pseudocod folosite în această lucrare, corespund structurilor de calcul prezentate în figura 1.3.1 şi vor fi prezentate în continuare. Fiecare propoziţie standard începe cu un cuvânt cheie, aşa cum se va vedea în cele ce urmează. Pentru a deosebi aceste cuvinte de celelalte denumiri, construite de programator, în acest capitol vom scrie cuvintele cheie cu litere mari. Menţionăm că şi propoziţiile simple se termină cu caracterul ';' în timp ce propoziţiile compuse, deci cele în interiorul cărora se află alte propoziţii, au un marcaj de sfârşit propriu. De asemenea, menţionăm că propoziţiile limbajului Pseudocod vor fi luate în seamă în ordinea întâlnirii lor în text, asemenea oricărui text al limbii române.

Prin execuţia unui algoritm descris în Pseudocod se înţelege efectuarea operaţiilor precizate de propoziţiile algoritmului, în ordinea citirii lor.

În figura 1.3.1, prin A, B s-au notat subscheme logice, adică secvenţe de oricâte structuri construite conform celor trei reguli menţionate în continuare.

Structura secvenţială (fig.1.3.1.a) este redată prin concatenarea propoziţiilor, simple sau compuse, ale limbajului Pseudocod, care vor fi executate în ordinea întâlnirii lor în text.

a) structurasecvenţială

b) structuraalternativă

c) structurarepetitivă

Figura 1.3.1. Structurile elementare de calcul

9

Propoziţiile simple din limbajul Pseudocod sunt CITEŞTE, TIPAREŞTE, FIE şi apelul de subprogram. Propoziţiile compuse corespund structurilor alternative şi repetitive.

Structura alternativă (fig.1.3.1.b) este redată în Pseudocod prin propoziţia DACĂ, prezentată în secţiunea 1.3.2, iar structura repetitivă din fig.1.3.1.c este redată în Pseudocod prin propoziţia CÂT TIMP, prezentată în secţiunea 1.3.3.

Bohm şi Jacopini au demonstrat că orice algoritm poate fi descris folosind numai aceste trei structuri de calcul.

Propoziţiile DATE şi REZULTATE sunt folosite în faza de specificare a problemelor, adică enunţarea riguroasă a acestora. Propoziţia DATE se foloseşte pentru precizarea datelor iniţiale, deci a datelor considerate cunoscute în problemă (numite şi date de intrare) şi are sintaxa:

DATE listă;unde listă conţine toate numele variabilelor a căror valoare iniţială este cunoscută. În general, prin listă se înţelege o succesiune de elemente de acelaşi fel despărţite prin virgulă. Deci în propoziţia DATE, în dreapta acestui cuvânt se vor scrie acele variabile care marchează mărimile cunoscute în problemă.

Pentru precizarea rezultatelor dorite se foloseşte propoziţia standardREZULTATE listă;

în construcţia "listă" ce urmează după cuvântul REZULTATE fiind trecute numele variabilelor care marchează (conţin) rezultatele cerute în problemă.

Acum putem preciza mai exact ce înţelegem prin cunoaşterea completă a problemei de rezolvat. Evident, o problemă este cunoscută atunci când se ştie care sunt datele cunoscute în problemă şi ce rezultate trebuiesc obţinute. Deci pentru cunoaşterea unei probleme este necesară precizarea variabilelor care marchează date considerate cunoscute în problemă, care va fi reflectată printr-o propoziţie DATE şi cunoaşterea exactă a cerinţelor problemei, care se va reflecta prin propoziţii REZULTATE. Variabilele prezente în aceste propoziţii au anumite semnificaţii, presupuse cunoscute. Cunoaşterea acestora, scrierea lor explicită, formează ceea ce vom numi în continuare specificarea problemei. Specificarea unei probleme este o activitate foarte importantă dar nu şi simplă.

De exemplu, pentru rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea, specificarea problemei, scrisă de un începător, poate fi:

DATE a,b,c; { Coeficienţii ecuaţiei }REZULTATE x1,x2; { Rădăcinile ecuaţiei }

Această specificaţie este însă incompletă dacă ecuaţia nu are rădăcini reale. În cazul în care rădăcinile sunt complexe putem nota prin x1, x2 partea reală respectiv partea imaginară a rădăcinilor. Sau pur şi simplu, nu ne interesează valoarea rădăcinilor în acest caz, ci doar faptul că ecuaţia nu are rădăcini reale. Cu alte cuvinte avem nevoie de un mesaj care să ne indice această situaţie (vezi schema logică 1.2.2), sau de un indicator, fie el ind. Acest indicator va lua valoarea 1 dacă rădăcinile sunt reale şi valoarea 0 în caz contrar. Deci specificaţia corectă a problemei va fi

DATE a,b,c; { Coeficienţii ecuaţiei }REZULTATE ind, {Un indicator: 1=rădăcini reale, 0=complexe}x1,x2; { Rădăcinile ecuaţiei, în cazul ind=1,}

{respectiv partea reală şi cea }{imaginară în cazul ind=0}

Evident că specificarea problemei este o etapă importantă pentru găsirea unei metode de rezolvare şi apoi în proiectarea algoritmului corespunzător. Nu se poate rezolva o problemă dacă aceasta nu este bine cunoscută, adică nu avem scrisă specificarea problemei. Cunoaşte complet problema este prima regulă ce trebuie respectată pentru a obţine cât mai repede un algoritm corect pentru rezolvarea ei.

1.3.1 Algoritmi liniari

Propoziţiile CITEŞTE şi TIPĂREŞTE sunt folosite pentru iniţializarea variabilelor de intrare cu datele cunoscute în problemă, respectiv pentru tipărirea (aflarea) rezultatelor obţinute. În etapa de

10

programare propriu-zisă acestor propoziţii le corespund într-un limbaj de programare instrucţiuni de intrare-ieşire.

Propoziţia CITEŞTE se foloseşte pentru precizarea datelor iniţiale, deci a datelor considerate cunoscute în problemă (numite şi date de intrare) şi are sintaxa:

CITEŞTE listă ;unde listă conţine toate numele variabilelor a căror valoare iniţială este cunoscută.

Deci în propoziţia CITEŞTE, în dreapta acestui cuvânt se vor scrie acele variabile care apar în propoziţia DATE în specificarea problemei. Se subînţelege că aceste variabile sunt iniţializate cu valorile cunoscute corespunzătoare.

Pentru aflarea rezultatelor dorite, pe care calculatorul o va face prin tipărirea lor pe hârtie sau afişarea pe ecran, se foloseşte propoziţia standard

TIPĂREŞTE listă ;în construcţia listă ce urmează după cuvântul TIPĂREŞTE fiind trecute numele variabilelor a căror valori dorim să le aflăm. Ele sunt de obicei rezultatele cerute în problemă, specificate şi în propoziţia REZULTATE.

Blocului de atribuire dintr-o schemă logică îi corespunde în Pseudocod propoziţia standard[FIE] var := expresie ;

Această propoziţie este folosită pentru a indica un calcul algebric, al expresiei care urmează după simbolul de atribuire ":=" şi de atribuire a rezultatului obţinut variabilei var. Expresia din dreapta semnului de atribuire poate fi orice expresie algebrică simplă, cunoscută din manualele de matematică din liceu şi construită cu cele patru operaţii: adunare, scădere, înmulţire şi împărţire (notate prin caracterele +, -, *, respectiv /).

Prin scrierea cuvântului FIE între paranteze drepte se indică posibilitatea omiterii acestui cuvânt din propoziţie. El s-a folosit cu gândul ca fiecare propoziţie să înceapă cu un cuvânt al limbii române care să reprezinte numele propoziţiei. De cele mai multe ori vom omite acest cuvânt. Atunci când vom scrie succesiv mai multe propoziţii de atribuire vom folosi cuvântul FIE numai în prima propoziţie, omiţându-l în celelalte.

Din cele scrise mai sus rezultă că o variabilă poate fi iniţializată atât prin atribuire (deci dacă este variabila din stânga semnului de atribuire :=) cât şi prin citire (când face parte din lista propoziţiei CITEŞTE). O greşeală frecventă pe care o fac începătorii este folosirea variabilelor neiniţializate. Evident că o expresie în care apar variabile care nu au valori nu poate fi calculată, ea nu este definită. Deci nu folosiţi variabile neiniţializate.

Pentru a marca începutul descrierii unui algoritm vom folosi propoziţia: ALGORITMUL nume ESTE:

fără a avea o altă semnificaţie. De asemenea, prin cuvântul SFALGORITM vom marca sfârşitul unui algoritm.

Algoritmii care pot fi descrişi folosind numai propoziţiile prezentate mai sus se numesc algoritmi liniari.

Ca exemplu de algoritm liniar prezentăm un algoritm ce determină viteza v cu care a mers un autovehicul ce a parcurs distanţa D în timpul T.

ALGORITMUL VITEZA ESTE: { A1: Calculează viteza }{ D = Distanţa (spaţiul) }

{ T = Timpul; V = Viteza } CITEŞTE D,T; { v:= spaţiu/timp } FIE V:=D/T; TIPĂREŞTE VSFALGORITM

11

1.3.2 Algoritmi cu ramificaţii

Foarte mulţi algoritmi execută anumite calcule în funcţie de satisfacerea unor condiţii. Aceste calcule sunt redate de structura alternativă prezentată în figura 1.3.1.b, căreia îi corespunde propoziţia Pseudocod

DACĂ cond ATUNCI A ALTFEL B SFDACĂsau varianta redusă a ei, DACĂ cond ATUNCI A SFDACĂfolosită în cazul în care grupul de propoziţii B este vid.

Aceste propoziţii redau în Pseudocod structura alternativă de calcul. Ele cer mai întâi verificarea condiţiei scrise după cuvântul DACĂ. În caz că această condiţie este adevărată se va executa grupul de propoziţii A. În cazul în care această condiţie este falsă se va executa grupul de propoziţii B, dacă este prezentă ramura ALTFEL. Indiferent care dintre secvenţele A sau B a fost executată, se va continua cu propoziţia următoare propoziţiei DACĂ.

O generalizare a structurii alternative realizată de propoziţia DACĂ este structura selectivă: SELECTEAZĂ i DINTRE v1: A1; v2: A2; . . . vn: An SFSELECTEAZĂ

structură echivalentă cu următorul text Pseudocod: DACĂ i=v1 ATUNCI A1 ALTFEL DACĂ i=v2 ATUNCI A2 ALTFEL . . . DACĂ i=vn ATUNCI An SFDACĂ . . . SFDACĂSFDACĂ

Cu propoziţiile prezentate până aici putem deja descrie destui algoritmi. Aceştia se numesc algoritmi cu ramificaţii.

Ca exemplu vom scrie un algoritm pentru rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea. Am scris mai sus specificaţia acestei probleme şi am precizat semnificaţia variabilelor respective. Pe lângă aceste variabile, pentru rezolvarea problemei mai avem nevoie de două variabile auxiliare:

delta - pentru a reţine discriminantul ecuaţiei; r - pentru a reţine valoarea radicalului folosit în exprimarea rădăcinilor.

Ajungem uşor la algoritmul dat în continuare.

ALGORITMUL ECGRDOI ESTE: { Algoritmul 2: Rezolvarea }{ ecuaţiei de gradul doi }

CITEŞTE a,b,c; { a,b,c = Coeficienţii ecuaţiei } FIE delta:=b*b-4*a*c; DACĂ delta<0 ATUNCI ind:=0; { rădăcini complexe } r:=radical din (-delta); x1:=-b/(a+a); x2:=r/(a+a); ALTFEL ind:=1; { rădăcini reale } r:=radical din delta; x1:=(-b-r)/(a+a); x2:=(-b+r)/(a+a); SFDACĂ TIPĂREŞTE ind, x1,x2;SFALGORITM

12

1.3.3 Algoritmi ciclici

În rezolvarea multor probleme trebuie să efectuăm aceleaşi calcule de mai multe ori, sau să repetăm calcule asemănătoare. De exemplu, pentru a calcula suma a două matrice va trebui să adunăm un element al primei matrice cu elementul de pe aceeaşi poziţie din a doua matrice, această adunare repetându-se pentru fiecare poziţie. Alte calcule trebuiesc repetate în funcţie de satisfacerea unor condiţii. În acest scop în limbajul Pseudocod există trei propoziţii standard: CÂTTIMP, REPETĂ şi PENTRU.

Propoziţia CÂTTIMP are sintaxa CÂTTIMP cond EXECUTĂ A SFCÂT i cere execuţia repetată a grupului de propoziţii A, în funcţie de condiţia "cond". Mai exact, se evaluează condiţia "cond"; dacă aceasta este adevărată se execută grupul A şi se revine la evaluarea condiţiei. Dacă ea este falsă execuţia propoziţiei se termină şi se continuă cu propoziţia care urmează după SFCÂT. Dacă de prima dată condiţia este falsă grupul A nu se va executa niciodată, altfel se va repeta execuţia grupului de propoziţii A până când condiţia va deveni falsă. Din cauză că înainte de execuţia grupului A are loc verificarea condiţiei, această structură se mai numeşte structură repetitivă condiţionată anterior. Ea reprezintă structura repetitivă prezentată în figura 1.3.1.c.

Ca exemplu de algoritm în care se foloseşte această propoziţie dăm algoritmul lui Euclid pentru calculul celui mai mare divizor comun a două numere.

ALGORITMUL Euclid ESTE: {A3: Cel mai mare divizor comun} CITEŞTE n1,n2; {Cele două numere a căror divizor se cere} FIE d:=n1; i:=n2; CÂTTIMP i0 EXECUTĂ r:=d modulo i; d:=i; i:=r SFCÂT TIPĂREŞTE d; { d= cel mai mare divizor comun al }SFALGORITM { numerelor n1 şi n2 }

În descrierea multor algoritmi se întâlneşte structura repetitivă condiţionată posterior:REPETĂ A PÂNĂ CÂND cond SFREP

structură echivalentă cu: CÂTTIMP not(cond) EXECUTĂ A SFCÂTDeci ea cere execuţia necondiţionată a lui A şi apoi verificarea condiţiei "cond". Va avea loc

repetarea execuţiei lui A până când condiţia devine adevărată. Deoarece condiţia se verifică după prima execuţie a grupului A această structură este numită structura repetitivă condiţionată posterior, prima execuţie a blocului A fiind necondiţionată.

O altă propoziţie care cere execuţia repetată a unei secvenţe A este propoziţiaPENTRU c:=li ;lf [;p] EXECUTĂ A SFPENTRU

Ea defineşte structura repetitivă predefinită, cu un număr determinat de execuţii ale grupului de propoziţii A şi este echivalentă cu secvenţa

c:=li ; final:=lf ;REPETĂ

Ac:=c+p

PÂNĂCÂND (c>final şi p>0) sau (c<final şi p<0) SFREP

Se observă că, în sintaxa propoziţiei PENTRU, pasul p este închis între paranteze drepte. Prin aceasta indicăm faptul că el este opţional, putând să lipsească. În cazul în care nu este prezent, valoarea lui implicită este 1.

Semnificaţia propoziţiei PENTRU este clară. Ea cere repetarea grupului de propoziţii A pentru toate valorile contorului c cuprinse între valorile expresiilor li şi lf (calculate o singură dată înainte de începerea ciclului), cu pasul p. Se subînţelege că nu trebuie să modificăm valorile contorului în nici o propoziţie din grupul A. De multe ori aceste expresii sunt variabile simple, iar unii programatori modifică în A valorile acestor variabile, încălcând semnificaţia propoziţiei PENTRU. Deci, nu recalcula limitele şi nu modifica variabila de ciclare (contorul) în interiorul unei structuri repetitive PENTRU).

13

Să observăm, de asemenea, că prima execuţie a grupului A este obligatorie, abia după modificarea contorului verificându-se condiţia de continuare a execuţiei lui A.

Ca exemplu, să descriem un algoritm care găseşte minimul şi maximul componentelor unui vector de numere reale. Vom nota prin X acest vector, deci X = (x1, x2, ... , xn) .

Specificaţia problemei este următoarea: DATE n,(xi ,i=1,n); REZULTATE valmin,valmax;

iar semnificaţia acestor variabile se înţelege din cele scrise mai sus. Pentru rezolvarea problemei vom examina pe rând cele n componente. Pentru a parcurge cele n componente avem nevoie de un contor care să precizeze poziţia la care am ajuns. Fie i acest contor. Uşor se ajunge la următorul algoritm:

ALGORITMUL MAXMIN ESTE { Algoritmul 5: Calculul } { valorii minime şi maxime } CITEŞTE n,(xi,i=1,n); FIE valmin:=x1; valmax:=x1; PENTRU i:=2,n EXECUTĂ DACĂ xi<valmin ATUNCI valmin:=xi SFDACĂ DACĂ xi>valmax ATUNCI valmax:=xi SFDACĂ SFPENTRU TIPĂREŞTE valmin,valmax; SFALGORITM

Un rol important în claritatea textului unui algoritm îl au denumirile alese pentru variabile. Ele trebuie să reflecte semnificaţia variabilelor respective. Deci alege denumiri sugestive pentru variabile, care să reflecte semnificaţia lor.

În exemplul de mai sus denumirile valmin şi valmax spun cititorului ce s-a notat prin aceste variabile.

1.4 Calculul efectuat de un algoritm

Fie X1, X2, ..., Xn, variabilele ce apar în algoritmul A. În orice moment al execuţiei algoritmului, fiecare variabilă are o anumită valoare, sau este încă neiniţializată.

Vom numi stare a algoritmului A cu variabilele menţionate vectorul s = ( s1,s2,...,sn )

format din valorile curente ale celor n variabile ale algoritmului.Este posibil ca variabila Xj să fie încă neiniţializată, deci să nu aibă valoare curentă, caz în care sj

este nedefinită, lucru notat în continuare prin semnul întrebării '?'.Prin executarea unei anumite instrucţiuni unele variabile îşi schimbă valoarea, deci algoritmul îşi

schimbă starea.Se numeşte calcul efectuat de algoritmul A o secvenţă de stări

s0, s1, s2, ..., sm

unde s0 este starea iniţială cu toate variabilele neiniţializate, iar sm este starea în care se ajunge după execuţia ultimei propoziţii din algoritm.

1.5 Rafinare în paşi succesivi

Adeseori algoritmul de rezolvare a unei probleme este rezultatul unui proces complex, în care se iau mai multe decizii şi se precizează tot ceea ce iniţial era neclar. Observaţia este adevărată mai ales în cazul problemelor complicate, dar şi pentru probleme mai simple în procesul de învăţământ. Este vorba de un proces de detaliere pas cu pas a specificaţiei problemei, proces denumit şi proiectare descendentă, sau rafinare în paşi succesivi. Algoritmul apare în mai multe versiuni succesive, fiecare versiune fiind o detaliere a versiunii precedente. În versiunile iniţiale apar propoziţii nestandard, clare pentru cititor, dar

14

neprecizate prin propoziţii standard. Urmează ca în versiunile următoare să se revină asupra lor. Algoritmul apare astfel în versiuni succesive, tot mai complet de la o versiune la alta.

Apare aici o altă regulă importantă în proiectarea algoritmului: amână pe mai târziu detaliile nesemnificative; concentrează-ţi atenţia la deciziile importante ale momentului.

15

CAPITOLUL II

SUBPROGRAME

Conceptul de SUBPROGRAM

Orice problemă poate apare ca o subproblemă S a unei probleme mai complexe C. Algoritmul de rezolvare a problemei S devine în acest caz un SUBPROGRAM pentru algoritmul de rezolvare a problemei C.

Pentru a defini un SUBPROGRAM vom folosi propoziţia standard SUBPROGRAMUL nume (lpf) ESTE:

unde nume este numele SUBPROGRAMului definit, iar lpf este lista parametrilor formali. Aceştia sunt formaţi din variabilele care marchează datele de intrare (cele presupuse cunoscute) şi variabilele care marchează datele de ieşire (rezultatele obţinute de SUBPROGRAM).

Această propoziţie este urmată de textul efectiv al SUBPROGRAMului, text care precizează calculele necesare rezolvării subproblemei corespunzătoare. Descrierea se va încheia cu cuvântul SFSUBPROGRAM sau SF-nume.

Dăm ca exemplu un SUBPROGRAM cu numele MAXIM, care găseşte maximul dintre componentele vectorului X = (x1,x2, ..., xn).

Datele cunoscute pentru acest SUBPROGRAM sunt vectorul X şi numărul n al componentelor vectorului X. Ca rezultat vom obţine maximul cerut, pe care-l vom nota cu max. Deci lista parametrilor formali conţine trei variabile, n, X şi max. SUBPROGRAMul este dat în continuare.

SUBPROGRAMUL maxim(n,X,max) ESTE: FIE max:=x1; PENTRU i:=2;n EXECUTĂ DACĂ xi>max ATUNCI max:=xi SFDACĂ SFPENTRUSF-maxim

În cadrul multor algoritmi este necesar calculul valorilor unei funcţii în diferite puncte. Este necesar să definim funcţia printr-un SUBPROGRAM de tip funcţie.

Pentru definirea unui SUBPROGRAM de tip funcţie se foloseşte un antet care precizează numele funcţiei şi variabilele de care depinde ea. SUBPROGRAMul are forma:

FUNCŢIA nume(lpf) ESTE: {Antetul funcţiei} text {corpul funcţiei}SF-nume {marca de sfârşit}

În corpul funcţiei trebuie să existe cel puţin o atribuire în care numele funcţiei apare în partea stângă, deci prin care funcţia primeşte o valoare.

Dăm ca exemplu o funcţie numar : R --> {2,3,4,5}, definită matematic astfel:În Pseudocod descrierea este următoarea:

FUNCŢIA numar(x) ESTE: DACĂ x<0.2 ATUNCI numar:=2 ALTFEL DACĂ x<0.5 ATUNCI numar:=3 ALTFEL DACĂ x<0.9 ATUNCI numar:=4 ALTFEL numar:=5 SFDACĂ SFDACĂ SFDACĂ SF-numar

16

Am văzut că definiţia unei funcţii constă dintr-un antet şi dintr-un bloc care va defini acţiunile prin care se calculează valoarea funcţiei. În antet se precizează numele funcţiei şi lista parametrilor formali.

În concluzie, există două categorii de SUBPROGRAMi: de tip funcţie şi SUBPROGRAMi propriu-zişi, cărora li se mai spune şi proceduri. Importanţa lor va fi subliniată prin toate exemplele care urmează în acest curs. În încheiere menţionăm că subprogramele de tip funcţie se folosesc în scopul definirii funcţiilor, aşa cum sunt cunoscute ele din matematică, în timp ce SUBPROGRAMii de tip procedură se referă la rezolvarea unor probleme ce apar ca subprobleme, fiind algoritmi de sine stătători.

Apelul unui SUBPROGRAM

Am văzut că un SUBPROGRAM este dedicat rezolvării unei subprobleme S a unei probleme mai complexe C. Algoritmul corespunzător problemei C va folosi toate operaţiile necesare rezolvării problemei S, deci va folosi ca parte întregul SUBPROGRAM conceput pentru rezolvarea subproblemei S. Spunem că el va apela acest SUBPROGRAM.

În Pseudocod apelul unei funcţii se face scriind într-o expresie numele funcţiei urmat de lista parametrilor actuali. Trebuie să existe o corespondenţă biunivocă între parametrii actuali şi cei formali folosiţi în definiţia funcţiei. Deşi denumirile variabilelor din cele două liste pot să difere, rolul variabilelor care se corespund este acelaşi. Mai exact, parametrul formal şi parametrul actual corespunzător trebuie să se refere la aceeaşi entitate, trebuie să aibă aceeaşi semnificaţie, să reprezinte aceeaşi structură de date. Putem considera că în timpul execuţiei algoritmului cei doi parametri devin identici.

Folosirea unui SUBPROGRAM în cadrul unui algoritm se face apelând acest SUBPROGRAM prin propoziţia standard CHEAMĂ nume (lpa); unde nume este numele SUBPROGRAMului apelat iar lpa este lista parametrilor actuali. Această listă conţine toate datele de intrare (cele cunoscute în subproblema corespunzătoare) şi toate rezultatele obţinute în SUBPROGRAM. Şi în acest caz între lista parametrilor formali din definiţia SUBPROGRAMului şi lista parametrilor actuali din propoziţia de apel trebuie să existe o corespondenţă biunivocă, ca şi în cazul funcţiilor. Ca o primă verificare a respectării acestei corespondenţe, subliniem că numărul parametrilor actuali trebuie să coincidă cu numărul parametrilor formali.

Ca exemplu de apelare a funcţiilor, dăm în continuare un program pentru a calcula a câta zi din anul curent este ziua curentă (zi,luna,an). El foloseşte un subprogram de tip funcţie pentru a obţine numărul zilelor lunii cu numărul de ordine i şi un altul pentru a verifica dacă un an este bisect sau nu. Aceste două funcţii sunt:

- NRZILE(i) furnizează numărul zilelor existente în luna i a unui an nebisect;- BISECT(an) adevărată dacă anul dintre paranteze este bisect.

Algoritmul este următorul:ALGORITMUL NUMĂRĂZILE ESTE: CITEŞTE zi, luna, an; FIE nr:=zi; DACĂ luna>1 ATUNCI PENTRU i:=1, Luna-1 EXECUTĂ nr:=nr+NRZILE(i) SFPENTRU SFDACĂ DACĂ luna>2 ATUNCI DACĂ BISECT(an) ATUNCI nr:=nr+1 SFDACĂ SFDACĂ TIPĂREŞTE nr;SFALGORITM

Să observăm că în proiectarea acestui algoritm nu este necesar să cunoaştem textul SUBPROGRAMilor folosiţi, ci doar specificarea acestor SUBPROGRAMi, numele lor şi lista parametrilor formali. La acest nivel accentul trebuie să cadă pe proiectarea algoritmului care apelează,

17

urmând să se revină ulterior la proiectarea SUBPROGRAMilor apelaţi, conform specificaţiei acestora. În cazul de faţă este necesară descrierea funcţiilor NRZILE(i) şi BISECT(an). Lăsăm această descriere ca temă pentru cititor.

Ca exemplu de apelare a unei proceduri vom scrie mai jos o procedură care efectuează suma a două polinoame.Un polinom P(X) este dat prin gradul său, m, şi prin vectorul coeficienţilor P = (p0, p1, ..., pm) (prin pi s-a notat coeficientul lui Xi).

Procedura SUMAPOL(m,P,n,Q,r,S) trebuie să efectueze suma S(X) = P(X)+Q(X),unde P este un polinom de gradul m, iar Q este un polinom de gradul n, date. Suma lor, S, va fi un polinom de gradul r calculat în SUBPROGRAM. Pentru efectuarea ei este utilă o altă procedură care adună la suma S(X) un alt polinom, T(X), de grad mai mic sau egal decât gradul polinomului S(X). O astfel de procedură se dă în continuare.

SUBPROGRAMUL SUMAPOL1(n,T,r,S) ESTE: {n r} {S(X):=S(X)+T(X)} PENTRU i:=0;n EXECUTĂ si := si+ti

SFPENTRUSF-SUMAPOL1

SUBPROGRAMul SUMAPOL apelează acest SUBPROGRAM, aşa cum se poate vedea în continuare.

SUBPROGRAMUL SUMAPOL(m,P,n,Q,r,S) ESTE: {S(X):=P(X)+Q(X)} DACĂ m<n ATUNCI r:=n; S:=Q; CHEAMĂ SUMAPOL1(m,P,r,S) ALTFEL r:=m; S:=P; CHEAMĂ SUMAPOL1(n,Q,r,S) SFDACĂSF-SUMAPOL

Să observăm că în textul acestui SUBPROGRAM am extins semnificaţia propoziţiei de atribuire, permiţând atribuirea S:=Q. Acest lucru este normal întrucât S notează un polinom, iar Q este un polinom cunoscut; prin atribuire S primeşte o valoare iniţială, cea dată de polinomul Q.

Subliniem că atribuirea v := uva fi corectă în cazul în care variabilele u şi v reprezintă aceleaşi obiecte matematice, deci au aceeaşi semnificaţie.

Alte exemple

Ca un al doilea exemplu de definire şi folosire a SUBPROGRAMilor, să considerăm următoarea problemă:

Se dau trei mulţimi de numere: A = { a1, a2, ... , am } B = { b1, b2, ... , bn } C = { c1, c2, ... , cp }

Se cere să se tipărească în ordine crescătoare elementele fiecărei mulţimi, precum şi a mulţimilor A U B, B U C, C U A.

În rezolvarea acestei probleme se întâlnesc următoarele subprobleme: S1: Să se citească elementele unei mulţimi; S2: Să se efectueze reuniunea a două mulţimi; S3: Să se tipărească elementele unei mulţimi; S4: Să se ordoneze crescător elementele unei mulţimi.

Presupunând că pentru rezolvarea acestor subprobleme am conceput SUBPROGRAMii:

18

CITMUL(m,A); REUNIUNE(m,A,n,B,k,R);TIPMUL(m,A); ORDON(m,A);

care sunt specificaţi mai jos (la locul definirii lor) prin comentarii, algoritmul de rezolvare a problemei de mai sus este dat în continuare. Întrucât operaţiile respective se folosesc de mai multe ori (de 3 ori), am definit un SUBPROGRAM TIPORDON(m,A) care ordonează mai întâi elementele mulţimii A şi apoi le tipăreşte.

ALGORITMUL OPER-MULTIMI ESTE: { A6: SUBPROGRAMi } CHEAMĂ CITMUL(m,A); CHEAMĂ CITMUL(n,B); CHEAMĂ CITMUL(p,C); CHEAMĂ TIPORDON(m,A); CHEAMĂ TIPORDON(n,B); CHEAMĂ TIPORDON(p,C); CHEAMĂ REUNIUNE(m,A,n,B,k,R); CHEAMĂ TIPORDON(k,R); CHEAMĂ REUNIUNE(n,B,p,C,k,R); CHEAMĂ TIPORDON(k,R); CHEAMĂ REUNIUNE(p,C,m,A,k,R); CHEAMĂ TIPORDON(k,R); SFALGORITM

SUBPROGRAMii apelaţi mai sus sunt definiţi în continuare.

SUBPROGRAMUL CITMUL(n,M) ESTE: {Citeşte n şi M} CITEŞTE n; {n=nr. elementelor mulţimii} CITEŞTE (mi,i=1,n); {M=mulţimea cu elementele m1,m2,...,mn}SF-CITMUL SUBPROGRAMUL ORDON(n,M) ESTE: {Ordonează crescător cele n} REPETĂ {elemente ale mulţimii M} FIE ind:=0; {Cazul M este ordonată} PENTRU i:=1;n-1 EXECUTĂ DACĂ mi>mi+1 ATUNCI {schimbă ordinea celor} FIE t := mi; {două elemente} mi:=mi+1; mi+1:=t; ind:=1; {Cazul M nu era ordonată} SFDACĂ SFPENTRU PÂNĂCÂND ind=0 SFREPSF-ORDON

SUBPROGRAMUL REUNIUNE(m,A,n,B,k,R) ESTE: { R := A U B }{ k = numărul elementelor mulţimii R }

FIE k:=m; R := A; PENTRU j:=1,n EXECUTĂ FIE ind:=0; {Ipoteza bj nu e in A} PENTRU i:=1;m EXECUTĂ DACĂ bj=ai ATUNCI ind:=1 {bj este in A} SFDACĂ SFPENTRU

19

DACĂ ind=0 ATUNCI k:=k+1; rk:=bj SFDACĂ SFPENTRU SF-REUNIUNE SUBPROGRAMUL TIPMUL(n,M) ESTE: { Tipăreşte cele n elemente } PENTRU i:=1;n EXECUTĂ { ale mulţimii M } TIPĂREŞTE mi

SFPENTRUSF-TIPMUL SUBPROGRAMUL TIPORDON(n,M) ESTE: { Ordonează şi tipăreşte } CHEAMĂ ORDON(n,M); { elementele mulţimii M } CHEAMĂ TIPMUL(n,M); SF-TIPORDON

Tot ca exemplu de folosire a SUBPROGRAMilor, vom scrie un algoritm pentru rezolvarea următoarei probleme: dirigintele unei clase de elevi doreşte să obţină un clasament al elevilor în funcţie de media generală. În plus, pentru fiecare disciplină în parte doreşte lista primilor şase elevi.

În rezolvarea acestei probleme este necesară găsirea ordinii în care trebuiesc tipăriţi elevii în funcţie de un anumit rezultat: nota la disciplina "j", sau media generală. Am identificat prin urmare două subprobleme independente, referitoare la:

(1) aflarea ordinii în care trebuie tipărite n numere pentru a le obţine ordonate; (2) tipărirea elevilor clasei într-o anumită ordine.

Prima subproblemă se poate specifica astfel: Dându-se numerele x1, x2, ... , xn, găsiţi ordinea o1, o2, ..., on, în care aceste numere devin ordonate descrescător, adică

x[o1] x[o2] ... x[on] .Pentru rezolvarea ei vom da un SUBPROGRAM ORDINE în care intervin trei parametri formali:

- n, numărul valorilor existente; - X, vectorul acestor valori; - O, vectorul indicilor care dau ordinea dorită.

Primii doi parametri marchează datele presupuse cunoscute, iar al treilea, rezultatele calculate de SUBPROGRAM.

SUBPROGRAMUL ORDINE(n,X,O) ESTE:{n, numărul valorilor existente}

{X, vectorul acestor valori}{O, vectorul indicilor care dau ordinea dorită}

PENTRU i:=1; n EXECUTĂ oi :=i SFPENTRU REPETĂ ind:=0; PENTRU i:=1;n-1 EXECUTĂ DACĂ x[oi] < x[oi+1] ATUNCI FIE ind:=1; t:=oi+1 ; oi+1 :=oi; oi :=t; SFDACĂ SFPENTRU PANÂCÂND ind=0 SFREPSF-ORDINE

A doua subproblemă se poate specifica astfel:

20

Dându-se ordinea o1,o2, ..., on, a elevilor clasei, numele şi mediile acestora, să se tipărească numele şi mediile primilor k elevi în ordinea specificată.

SUBPROGRAMul TIPAR, dat în continuare, rezolvă această problemă. SUBPROGRAMUL TIPAR(k, NUME, O) ESTE: PENTRU i:=1;k EXECUTĂ Tipăreşte datele elevului de rang oi. SFPENTRU SF-TIPAR

Variabilele folosite pentru problema dată sunt următoarele: - n reprezintă numărul elevilor clasei; - m este numărul disciplinelor la care elevii primesc note; - NUME este vectorul care reţine numele elevilor: NUMEi este numele elevului cu numărul de ordine i;- NOTE este matricea notelor elevilor, având n linii şi m coloane;

NOTEi,j este nota elevului cu numele NUMEi la disciplina cu numărul de ordine j; NOTE.j este coloana a j-a a matricei NOTE şi reprezintă notele elevilor la disciplina j;

- MEDII este vectorul mediilor generale. Algoritmul se dă în continuare:

ALGORITMUL CLASAMENT ESTE: { Algoritmul 7: Ordonare} CITEŞTE m, {numărul disciplinelor şi} n, {al elevilor} NUMEi, i=1,n, {numele elevilor} NOTEi,j, j=1,m, i=1,n; {notele elevilor} PENTRU i:=1;n EXECUTĂ { calculează media generală} FIE S:=0; {a elevului i} PENTRU j:=1;m EXECUTĂ S:=S+NOTEi,j SFPENTRU FIE MEDIIi:=S/m SFPENTRU CHEAMĂ ORDINE(n,MEDII,O); CHEAMĂ TIPAR(n,NUME,O); PENTRU j:=1;m EXECUTĂ CHEAMĂ ORDINE(n,NOTE.j,O); CHEAMĂ TIPAR(6,NUME,O); SFPENTRUSF-ALGORITM

Apel recursiv

În exemplele date se observă că apelul unui subprogram se face după ce el a fost definit. Este însă posibil ca un SUBPROGRAM să se apeleze pe el însuşi. Într-un astfel de caz spunem că apelul este recursiv, iar SUBPROGRAMul respectiv este definit recursiv.

Ca exemplu, definim în continuare o funcţie care calculează recursiv valoarea n!. Se va folosi formula n! = n.(n-1)! în cazul n>0 şi faptul că 0!=1. Recursivitatea constă în faptul că în definiţia funcţiei Factorial de n se foloseşte aceeaşi funcţie Factorial dar de argument n-1. Deci funcţia Factorial se apelează pe ea însăşi. Este important ca numărul apelurilor să fie finit, deci ca procedeul de calcul descris să se termine.

FUNCTIA Factorial(n) ESTE: DACĂ n=0 ATUNCI Factorial:=1 ALTFEL Factorial:= n*Factorial(n-1)

21

SFDACĂSF-Factorial;

Tot ca exemplu de apel recursiv putem descrie o funcţie ce calculează maximul a n numere x1,x2,...,xn. Ea se bazează pe funcţia MAXIM2 care calculează maximul a două numere, descrisă în continuare.

FUNCŢIA MAXIM2(a,b) ESTE: DACĂ a<b ATUNCI MAXIM2:=b ALTFEL MAXIM2:=a SFDACĂSF-MAXIM2

Funcţia MAXIM, care calculează maximul celor n numere este următoarea:FUNCŢIA MAXIM(n,X) ESTE: {Calculează maximul a n numere}

{X=vectorul cu numerele date} DACĂ n=1 ATUNCI MAXIM:=x1

ALTFEL MAXIM:=MAXIM2( MAXIM(n-1,X), xn) SFDACĂSF-MAXIM

22

CAPITOLUL III

METODE DE PROIECTARE A ALGORITMILOR

3.1 Elaborarea algoritmilor

Prin elaborarea (proiectarea) unui algoritm înţelegem întreaga activitate depusă de la enunţarea problemei până la realizarea algoritmului corespunzător rezolvării acestei probleme.

În elaborarea unui algoritm deosebim următoarele activităţi importante:– specificarea problemei;– descrierea metodei alese pentru rezolvarea problemei;– proiectarea propriu-zisă. Ea constă în descompunerea problemei în subprobleme, obţinerea algoritmului principal şi a tuturor SUBPROGRAMilor apelaţi, conform metodelor prezentate în secţiunile următoare. Ea se termină cu descrierea algoritmului principal şi a SUBPROGRAMilor menţionaţi, dar şi cu precizarea denumirilor şi semnificaţiilor variabilelor folosite;– verificarea algoritmului obţinut.

3.2 Proiectarea ascendentă şi proiectarea descendentă

Există două metode generale de proiectare a algoritmilor, a căror denumire provine din modul de abordare a rezolvării problemelor: metoda descendentă şi metoda ascendentă. Proiectarea descendentă (top-down) porneşte de la problema de rezolvat, pe care o descompune în părţi rezolvabile separat. De obicei aceste părţi sunt subprobleme independente, care la rândul lor pot fi descompuse în subprobleme. La prima descompunere accentul trebuie pus pe algoritmul (modulul) principal nu asupra subproblemelor. La acest nivel nu ne interesează amănunte legate de rezolvarea subproblemelor, presupunem că le ştim rezolva, eventual că avem deja scrişi SUBPROGRAMi pentru rezolvarea lor. Urmează să considerăm pe rând fiecare subproblemă în parte şi să proiectăm (în acelaşi mod) un SUBPROGRAM pentru rezolvarea ei. În final, se va descrie SUBPROGRAMul de rezolvare al fiecărei subprobleme, dar şi interacţiunile dintre aceşti SUBPROGRAMi şi ordinea în care ei sunt folosiţi.

Noţiunea de modul va fi definită în secţiunea următoare. Deocamdată înţelegem prin modul orice SUBPROGRAM sau algoritmul principal. Legătura dintre module se prezintă cel mai bine sub forma unei diagrame numită arbore de programare. Fiecărui modul îi corespunde în arborele de programare un nod, ai cărui descendenţi sunt toate modulele apelate direct. Nodul corespunzător algoritmului principal este chiar nodul rădăcină.

În multe cărţi metoda top-down este întâlnită şi sub denumirea stepwise-refinement, adică rafinare în paşi succesivi. Este vorba de un proces de detaliere pas cu pas a specificaţiei, denumit proiectare descendentă. Algoritmul apare în diferite versiuni succesive, fiecare fiind o detaliere a versiunii precedente.Scopul urmărit este acelaşi: concentrarea atenţiei asupra părţilor importante ale momentului şi amânarea detaliilor pentru mai târziu. Dacă ar fi necesar să le deosebim am spune că metoda top-down se referă la nivelul macro iar metoda rafinării succesive la nivel micro. La nivel macro se doreşte descompunerea unei probleme complexe în subprobleme. La nivel micro se doreşte obţinerea unui modul în versiune finală. Într-o versiune intermediară pot fi prezente numai părţile importante ale acestuia, urmând să se revină asupra detaliilor în versiunile următoare (aşa cum s-a arătat în secţiunea 1.5), după ce aspectele importante au fost rezolvate.

Avantajele proiectării top-down (cunoscută şi sub denumirea "Divide et impera") sunt multiple. Avantajul principal constă în faptul că ea permite programatorului să reducă complexitatea problemei, subproblemele în care a fost descompusă fiind mai simple, şi să amâne detaliile pentru mai târziu. În momentul în care descompunem problema în subprobleme nu ne gândim cum se vor rezolva subproblemele ci care sunt ele şi conexiunile dintre ele.

23

Proiectarea descendentă permite lucrul în echipe mari. Prin descompunerea problemei în mai multe subprobleme, fiecare subproblemă poate fi dată spre rezolvare unei subechipe. Fiecare subechipă nu cunoaşte decât subproblema pe care trebuie să o rezolve.

Metoda "Divide et Impera" poate fi folosită nu numai la împărţirea problemei în subprobleme ci şi la împărţirea datelor în grupe mai mici de date. Un astfel de procedeu este folosit de SUBPROGRAMul Quicksort.

Metoda ascendentă (bottom-up) porneşte de la propoziţiile limbajului şi de la SUBPROGRAMi existenţi, pe care îi asamblează în alţi SUBPROGRAMi pentru a ajunge în final la algoritmul dorit. Cu alte cuvinte, în cazul metodei ascendente va fi scris mai întâi SUBPROGRAMul apelat şi apoi cel care apelează. Ca rezultat al proiectării ascendente se ajunge la o mulţime de SUBPROGRAMi care se apelează între ei. Este important să se cunoască care SUBPROGRAM apelează pe care, lucru redat printr-o diagramă de structură, ca şi în cazul programării descendente.

Această metodă are marele dezavantaj că erorile de integrare vor fi detectate târziu, abia în faza de integrare. Se poate ajunge abia acum la concluzia că unii SUBPROGRAMi, deşi corecţi, nu sunt utili.

De cele mai multe ori nu se practică o proiectare ascendentă sau descendentă pură ci o combinare a lor, o proiectare mixtă.

3.3 Proiectarea modulară

Prin proiectare (programare) modulară înţelegem metoda de proiectare (programare) a unui algoritm pentru rezolvarea unei probleme prin folosirea modulelor.

Dar ce este un modul? Modulul este considerat o unitate structurală de sine stătătoare, fie program, fie subprogram, fie o unitate de program. Un modul poate conţine sau poate fi conţinut într-alt modul. Un modul poate fi format din mai multe submodule. Astfel, în Pseudocod fiecare SUBPROGRAM şi algoritmul principal sunt considerate module. În limbajele de programare cu structură de bloc UNIT-urile pot fi considerate module. La compilarea separată un grup de subprograme compilate deodată constituie un modul, dar acest modul poate fi considerat ca o mulţime de submodule din care este compus.

Este însă important ca fiecare modul să-şi aibă rolul său bine precizat, să realizeze o funcţie în cadrul întregului program. El apare în mod natural în descompunerea top-down.

Indiferent că privim modulul ca un singur SUBPROGRAM, un grup de SUBPROGRAMi, sau un algoritm de sine stătător ce apelează alţi SUBPROGRAMi, considerăm modulele relativ independente, dar cu posibilităţi de comunicare între ele. Astfel, un modul nu trebuie să fie influenţat de maniera în care se lucrează în interiorul altui modul. Orice modificare ulterioară în structura unui program, dacă funcţia pe care o realizează un modul M încă este necesară, acest modul trebuie să fie util şi folosit în continuare fără modificări.

Rezultă că programarea modulară se bazează pe descompunerea problemei în subprobleme şi proiectarea şi programarea separată a SUBPROGRAMilor corespunzători. De altfel, considerăm că într-o programare serioasă nu se poate ajunge la implementare fără a avea în prealabil algoritmii descrişi într-un limbaj de descriere (la noi Pseudocod). Deci programarea modulară se referă în primul rând la proiectarea modulară a algoritmilor şi apoi la traducerea lor în limbajul de programare ales, ţinând seama de specificul acestui limbaj. Programarea modulară este strâns legată de programarea ascendentă şi de programarea descendentă, ambele presupunând folosirea SUBPROGRAMilor pentru toate subproblemele întâlnite.

Avantajele programării modulare sunt multiple. Menţionăm în cele ce urmează câteva dintre ele. Descompunerea unei probleme complexe în subprobleme este un mijloc convenabil şi eficient de a reduce complexitatea (Principiul Divide et impera acţionează şi în programare). Este evident că probabilitatea apariţiei erorilor în conceperea unui program creşte cu mărimea programului, lucru confirmat şi de experienţa practică. De asemenea, rezolvând o problemă mai simplă, testarea unui modul se poate face mult mai uşor decât testarea întregului algoritm.

24

Apoi, faptul că trebuiesc proiectate mai multe subprograme pentru subproblemele întâlnite, permite munca mai multor programatori. S-a ajuns astfel la munca în echipă, modalitate prin care se ajunge la scurtarea termenului de realizare a produsului program.

Modulele se pot refolosi ori de câte ori avem nevoie de ele. Astfel, s-a ajuns la compilarea separată a subprogramelor şi la păstrarea subprogramelor obţinute în biblioteci de subprograme, de unde ele se pot refolosi la nevoie. Sunt cunoscute astăzi multe astfel de biblioteci de subprograme. Reutilizabilitatea acestor subprograme este o proprietate foarte importantă în activitatea de programare. Ea duce la mărirea productivităţii în programare, dar şi la creşterea siguranţei în realizarea unui produs corect.

Uneori, în timpul proiectării algoritmului sau a implementării lui, se ajunge la concluzia că proiectarea a fost incompletă sau că unele module sunt ineficiente. şi în această situaţie programarea modulară este avantajoasă, ea permiţând înlocuirea modulului în cauză cu altul mai performant.

Una din activităţile importante în realizarea unui program este verificarea corectitudinii acestuia. Experienţa a arătat că modulele se pot verifica cu atât mai uşor cu cât sunt mai mici. Abilitatea omului de a înţelege şi analiza corectitudinea unui SUBPROGRAM este mult mai mare pentru texte scurte. În unele cărţi chiar se recomandă a nu se folosi SUBPROGRAMi mai mari decât 50 de propoziţii. Sigur că o astfel de limită nu există, dar se recomandă descompunerea unui SUBPROGRAM în alţi SUBPROGRAMi oricând acest lucru este posibil în mod natural, deci aceşti noi SUBPROGRAMi rezolvă subprobleme de sine stătătoare, sau realizează funcţii bine definite.

3.4 Programarea structurată

Programarea structurată este un stil de programare apărut în urma experienţei primilor ani de activitate. Ea cere respectarea unei discipline de programare şi folosirea riguroasă a câtorva structuri de calcul. Ca rezultat se va ajunge la un algoritm uşor de urmărit, clar şi corect.

Termenul programare, folosit în titlul acestei secţiuni şi consacrat în literatura de specialitate, este folosit aici în sens larg şi nu este identic cu cel de programare propriu-zisă. Este vorba de întreaga activitate depusă pentru obţinerea unui program, deci atât proiectarea algoritmului cât şi traducerea acestuia în limbajul de programare ales.

Bohm şi Jacopini au demonstrat că orice algoritm poate fi compus din numai trei structuri de calcul:

– structura secvenţială;– structura alternativă;– structura repetitivă.

Fiecare din aceste structuri, ca parte dintr-o schemă logică, are o singură intrare şi o singură ieşire şi sunt prezentate în figura 1.3.1.

Knuth consideră programarea structurată ca fiind un mijloc de a face produsele program mai uşor de citit. De asemenea, programarea structurată este definită ca fiind programarea în care abordarea este top-down, organizarea muncii este făcută pe principiul echipei programatorului şef, iar în proiectarea algoritmilor se folosesc cele trei structuri de calcul definite de Bohm-Jacopini.

Alţi autori consideră programarea structurată nu ca o simplă metodă de programare ci ansamblul tuturor metodelor de programare cunoscute. Dar programarea modulară, programarea top-down, sau bottom-up (ascendentă sau descendentă) au apărut înaintea programării structurate. Important este faptul că programarea structurată presupune o disciplină în activitatea de programare.

Considerăm că programarea structurată se poate întâlni:– la nivel micro, privind elaborarea unui SUBPROGRAM;– la nivel macro, privind dezvoltarea întregului produs informatic (algoritm).

La nivel micro programarea structurată este cea în care autorul este atent la structura fiecărui modul în parte, cerând claritate şi ordine în scriere şi respectarea structurilor de calcul definite mai sus.

25

La nivel macro programarea structurată presupune practicarea proiectării top-down, a programării modulare şi a celorlalte metode de programare, cerând ordine în întreaga activitate şi existenţa unei structuri clare a întregii aplicaţii, precizată prin diagrama de structură a aplicaţiei.

În acest scop am definit limbajul Pseudocod, care are structurile de calcul menţionate. Schemele logice obţinute dintr-o descriere în Pseudocod a unui algoritm, conform semanticii propoziţiilor Pseudocod, se numesc D-scheme (de la Dijkstra) sau scheme logice structurate.

26

CAPITOLUL IV

ANALIZA ALGORITMILOR

O anumită problemă poate fi rezolvată cu ajutorul calculatorului numai dacă se găseşte un algoritm pentru rezolvarea ei, care este dat calculatorului sub forma unui program. Întrucât toate problemele practice pe care le întâlnim se pot rezolva cu ajutorul calculatorului, s-ar putea crede că orice problemă este rezolvabilă. Această afirmaţie este însă falsă. Se ştie că nu există un program care să rezolve "problema terminării programelor":"Scrieţi un program care să decidă dacă un algoritm oarecare, dat, intră sau nu într-un ciclu infinit".

Chiar şi problemele pentru care există algoritmi corespunzători nu sunt neapărat rezolvabile cu calculatorul. Este posibil ca timpul necesar execuţiei acestor algoritmi, sau cantitatea de memorie necesară, să nu permită folosirea lor în practică.

Evident, dacă spaţiul de memorie necesar programului este mai mare decât cantitatea de memorie disponibilă, programul nu poate fi executat. De asemenea, dacă numărul calculelor ce trebuie efectuat este foarte mare, programul poate fi inutil. Iar asta se poate întâmpla destul de uşor în cazul problemelor ce trebuiesc rezolvate în timp real (adică soluţia trebuie obţinută înaintea unui timp critic).

Iată câteva motive pentru care este necesar să analizăm algoritmii pe care-i concepem pentru rezolvarea unei probleme.

Ne interesează să analizăm un program din mai multe puncte de vedere: 1) Corectitudine; 2) Eficienţă; 3) Posibilitate de îmbunătăţire; 4) Alte calităţi pe care le are.

4.1 Corectitudinea programelor

Un program este corect dacă el satisface specificaţiile problemei. Nu ne interesează câtă memorie foloseşte acest program, din câte instrucţiuni este compus, sau cât timp de execuţie necesită. Cu alte cuvinte, un program este corect dacă pentru acele date de intrare care satisfac specificaţiile problemei rezultatele obţinute în urma execuţiei sunt corecte.

Pentru orice program P deosebim trei tipuri de variabile, pe care le vom grupa în trei vectori X, Y şi Z. Componentele vectorului X desemnează variabilele de intrare, deci datele presupuse cunoscute în problema rezolvată prin programul P. Componentele vectorului Z sunt variabilele care reprezintă rezultatele cerute de problemă. În sfârşit, componentele vectorului Y sunt variabilele de lucru, care notează diferitele rezultate intermediare necesare în program.

O problemă nu are sens pentru orice date de intrare. Vom folosi predicatul R(X) pentru a preciza datele pentru care problema are sens. R(X) se numeşte predicat de intrare sau precondiţie. Pentru acele valori ale lui X pentru care predicatul este adevărat problema are sens, pentru celelalte nu are sens să executăm programul P.

Între rezultatele Z ale problemei şi datele iniţiale X (cunoscute în problemă) există anumite relaţii. Vom reda aceste relaţii prin predicatul de ieşire R(X,Z), numit şi postcondiţie. Acesta este corect pentru acele valori a şi b ale vectorilor X şi Z pentru care rezultatele problemei sunt b în cazul când datele iniţiale sunt a şi este fals în caz contrar. Deci, dacă executând programul cu datele iniţiale a obţinem rezultatele b' şi R(a,b') este fals, acest fapt este un indiciu că rezultatele obţinute în program nu sunt corecte. Apare o altă regulă: fiecare variabilă să aibă semnificaţia ei şi să nu fie folosită în scopuri diferite.

27

4.2 Testarea şi depanarea programelor

Testarea programelor este activitatea prin care programatorul observă comportarea programului în urma execuţiei lui cu date de test. Evident, primul lucru urmărit este corectitudinea rezultatelor obţinute în urma execuţiei programului cu datele de test folosite. Dar se va urmări şi dacă programul are alte caracteristici ca: utilitate, siguranţă în funcţionare, robusteţe, performanţă. Este beneficiarul mulţumit de rezultatele care se obţin şi de forma sub care sunt prezentate? Sunt ele obţinute în timp util? Datele de test sunt date de intrare alese pentru variabilele de intrare pentru care se cunosc rezultatele, sau avem unele informaţii despre rezultate. Executând programul cu aceste date ar trebui să ajungem la rezultatele cunoscute.

Corectitudinea rezultatelor în aceste execuţii nu demonstrează corectitudinea programului în general. Testarea însă pune adeseori în evidenţă erori făcute în diferite faze ale programării. În privinţa aceasta dăm un citat din Dijkstra: Testarea programelor poate fi un mijloc eficient de a indica prezenţa erorilor, dar din păcate, nu şi un mijloc de a demonstra absenţa lor.

Cu toate că ea nu demonstrează corectitudinea programului, testarea măreşte certitudinea corectitudinii lui şi este deocamdată singura metodă practică de certificare a programului. Ar fi de dorit demonstrarea apriori a corectitudinii programului, dar rezultatele cunoscute în prezent în această direcţie nu sunt aplicabile programelor complexe.

Scopul testării programelor este depistarea şi eliminarea erorilor. Acest lucru este făcut prin execuţia programului cu date de test pentru care se cunosc dinainte rezultatele (sau cel puţin se ştie ceva despre ele) şi se observă rezultatele obţinute în urma execuţiei. În cazul în care rezultatele obţinute în urma execuţiei nu sunt cele aşteptate se vor căuta şi elimina erorile. Activitatea care urmăreşte descoperirea cauzelor erorilor şi înlăturarea lor se numeşte depanare.

Se pune problema alegerii datelor de test şi a numărului de execuţii ce trebuie făcute pentru a putea considera că programul nu are erori. Numărul tuturor seturilor de date de intrare posibile este teoretic infinit chiar şi pentru probleme simple. Deci nu poate fi vorba de o testare exhaustivă. Stabilirea datelor de test se poate face cel puţin pe două căi:

– ţinând seama de specificaţia problemei;– ţinând seama de textul programului.

Aşa cum va rezulta din cele ce urmează, cea mai bună cale este una mixtă, în care sunt combinate aceste două posibilităţi.

La testarea după specificaţia problemei, stabilirea datelor de test se face analizând specificaţia problemei. Se recomandă stabilirea datelor de test ţinând seama de specificaţia asupra datelor de intrare şi de specificaţia asupra datelor de ieşire. Această metodă de testare este adecvată problemelor simple. În cazul unei probleme complexe aplicarea ei este imposibilă datorită numărului foarte mare de cazuri posibile, care ar trebui testate. Însă problema noastră a fost descompusă în subprobleme mai mici, invizibile în specificaţie şi a căror testare este mai simplă. Privind programul ca o cutie neagră nu vom mai ţine seama de aceste subprobleme. Totuşi, testarea după specificaţia problemei rămâne o metodă utilă în testarea modulelor.

Testarea după textul programului ţine seama, pentru a stabili datele de test, de instrucţiunile care trebuiesc executate. Considerând că algoritmul este descris printr-o schemă logică, o execuţie a programului înseamnă parcurgerea unui drum de la START la STOP în această schemă. Dacă la această execuţie rezultatele obţinute sunt corecte probabil că textul algoritmului pe acest drum este corect. Ar trebui să verificăm toate blocurile schemei logice şi mai ales toate drumurile de la START la STOP posibile. Cu observaţia că în cazul a două drumuri ce diferă doar prin faptul că o anumită buclă se execută de n1, respectiv n2 ori le vom considera echivalente între ele. Dintre toate drumurile echivalente între ele vom testa un singur drum, altfel am avea o infinitate de drumuri de testat.

În concluzie vom alege pentru fiecare drum un set de date de test, numărul execuţiilor fiind egal cu numărul acestor drumuri. Dacă toate execuţiile au dat rezultate corecte programul se consideră testat. Dacă însă la o singură execuţie am depistat erori, corectarea lor a modificat textul algoritmului şi testarea trebuie reluată pe toate drumurile afectate de această schimbare.

28

Pentru un program complex, deci pentru o schemă logică cu un număr foarte mare de drumuri START-STOP, testarea ar fi o activitate complexă, constând dintr-un număr foarte mare de execuţii. Încă un motiv pentru a practica programarea modulară, caz în care testarea se face asupra unor module mai mici şi asupra interfeţei dintre ele, aşa cum se va menţiona mai jos.

Stabilirea datelor de test după textul programului are şi unele dezavantaje. În primul rând, programul poate fi incomplet şi să nu corespundă specificaţiilor. Pe drumurile existente el este corect, dar lipsesc drumuri care, conform specificaţiilor, ar trebui să existe. Lipsa acestor drumuri este o greşeală gravă care nu va fi descoperită de datele de test care ne duc doar pe drumurile existente. Din această cauză se recomandă o testare mixtă.

În textul unui program există şi drumuri moarte, pe care nu se poate merge oricare ar fi datele de intrare, deci nu putem găsi date de test corespunzătoare acestor drumuri. Adeseori aceste drumuri scot în evidenţă erori prin simpla analiză a textului. Astfel, în succesiunea de propoziţii Pseudocod

DACĂ n<2 ATUNCI . . . DACĂ n>3 ATUNCI A SFDACĂ . . .SFDACĂ

grupul A este inaccesibil oricare ar fi valoarea lui n. Este însă foarte frecventă eroarea de omisiune a unui caracter; în cazul nostru tastarea numărului 2 în loc de 20, ceea ce schimbă complet sensul textului Pseudocod de mai sus.

Adesea este imposibil să se execute programul cu toate datele de test stabilite. În acest caz apare problema alegerii acelei submulţimi din aceste date care să aibă şansa maximă de a depista erorile prezente în program. Testarea minimă care trebuie făcută constă într-un număr de execuţii a programului care să ne asigure că fiecare instrucţiune din program a fost executată cel puţin odată. Ea înseamnă mult mai puţine execuţii decât toate drumurile START-STOP.

Există date de test care ne duc pe un anumit drum fără a depista erori existente în instrucţiunile întâlnite şi alte date de test care depistează aceste erori. Încă un motiv pentru care se recomandă o testare mixtă.

Ca ordine de folosire a datelor de test în timpul testării, se recomandă mai întâi testarea după specificaţii şi apoi testarea după textul programului.

Este necesară şi testarea robusteţei programului, care înseamnă buna lui comportare la date de intrare intenţionat greşite, pentru care problema nu are sens. Unele programe intră în aceste condiţii în ciclu infinit, altele se termină cu erori de execuţie. Un program robust nu trebuie să fie afectat de datele de intrare eronate. Comportarea cea mai normală în astfel de situaţii ar fi semnalarea unor mesaje de eroare corespunzătoare.

La un produs program complex testarea este o activitate mult mai complicată. Este necesară o testare separată a fiecărui modul în parte, o testare a interfeţei dintre module şi o testare a produsului în ansamblu (testarea de integrare).

Testarea de integrare se referă la funcţionarea programului realizat în ansamblu. După ce fiecare modul în parte a fost testat şi corectat, deci în ipoteza că fiecare modul în parte este corect, e necesar să se verifice comportarea globală a programului. În această etapă găsirea erorilor, înlăturarea cauzelor care le-a generat şi corectarea lor, poate fifoarte dificilă, mai ales atunci când ele provin dintr-o proiectare greşită.

Execuţia unui program se poate termina anormal datorită apariţiei unor erori ca:– împărţiri la zero;– alte erori ce provoacă depăşiri;– neconcordanţa între parametri actuali şi formali;– depăşirea dimensiunii tablourilor.

Dar chiar şi la execuţia normală a programului putem avea erori, unele foarte grave, obţinând rezultate greşite. În ambele situaţii urmează depanarea programului, adică descoperirea cauzei erorilor şi înlăturarea lor.

29

O metodă utilă în depanarea programelor, în special pentru începători, este inserarea în program a unor tipăriri auxiliare. Mai ales în locurile vecine cu instrucţiunile care au provocat eroarea şi pentru variabilele implicate în producerea ei. Observarea valorilor unei variabile, a schimbărilor făcute în timpul execuţiei, pot dezvălui programatorului cauza erorii. Cu siguranţă îi va arăta că o anumită variabilă ia alte valori decât cele la care se aşteaptă el. De altfel, pe timpul testării unui program, sunt utile semnalările oricăror semne de eroare. Recomandăm verificarea valorilor variabilelor imediat după obţinerea acestora.

4.3 Complexitatea algoritmilor

În această secţiune ne va interesa eficienţa unui algoritm. Mai exact, ne interesează să comparăm între ei mai mulţi algoritmi care rezolvă aceeaşi problemă. Care dintre ei este mai bun? Evident, vom compara numai algoritmi despre care ştim că sunt corecţi.

Putem compara doi algoritmi în raport cu:– cantitatea de memorie necesară;– viteza de lucru, deci timpul necesar rezolvării problemei.

Dacă în urmă cu două decenii volumul de memorie necesar rezolvării unei probleme era un factor important din cauza memoriei reduse existente la calculatoarele din acel timp, astăzi acest factor a devenit mai puţin important. Calculatoarele actuale au memorie suficient de mare pentru marea majoritate a algoritmilor întâlniţi.

Timpul necesar execuţiei unui program depinde de numărul operaţiilor ce trebuiesc executate. Iar numărul operaţiilor efectuate depinde de datele de intrare, deci se schimbă de la o execuţie la alta.

Există însă un cel mai rău caz, pentru acele date de intrare pentru care numărul operaţiilor efectuate este maxim. În acest caz vorbim de complexitate în cel mai rău caz.

De asemenea, putem vorbi de numărul mediu de operaţii efectuate într-o execuţie. Dacă numărul execuţiilor posibile este finit atunci acest număr mediu este egal cu numărul operaţiilor efectuate în toate execuţiile, împărţit la numărul execuţiilor. Sunt însă foarte puţine programe cu această proprietate. Pentru aproape toate programele, cel puţin teoretic, numărul execuţiilor posibile este infinit.

4.4 Documentarea programelor

În paralel cu elaborarea programului trebuie elaborată şi o documentaţie. Aceasta va conţine toate deciziile luate în crearea programului. Documentarea este activitatea de prezentare a programului celor care vor fi interesaţi să obţină informaţii despre el. Aceştia sunt în primul rând persoanele care au realizat programul, apoi persoanele care-l vor folosi şi persoanele solicitate să facă întreţinerea acestuia.

Adeseori se întâlnesc programe fără nici o altă documentaţie în afara textului propriu-zis al programului. În graba de a termina cât mai repede, programul nu este însoţit de nici o documentaţie şi frecvent nu sunt folosite nici comentarii în textul programului.

Sigur că însăşi textul programului constituie o autodocumentare. Iar comentariile prezente în program dau explicaţii suplimentare despre program. Este însă necesară o documentaţie completă, scrisă, care va conţine:

– enunţul iniţial al problemei;– specificaţia (vezi secţiunea 4.1);– documentaţia de proiectare (metoda de rezolvare aleasă şi proiectarea algoritmilor folosiţi. Pentru fiecare algoritm va fi prezentată subproblema corespunzătoare, cu specificaţia ei şi rolul fiecărei variabile);– documentaţia de programare, care va include textul programului;– datele de test folosite; – documentaţie privind exploatarea programului;– modificări făcute în timpul întreţinerii programului.

30

Menţionăm că cele mai recente produse realizate de firmele consacrate au, pe lângă documentaţia scrisă, şi o autodocumentaţie (funcţii HELP).

Referitor la autodocumentare, folosirea comentariilor, alegerea cu grijă a denumirii variabilelor, cât şi claritatea textului, obţinută prin indentare şi grijă asupra structurii programului, este utilă nu numai pe timpul elaborării programului, dar mai ales pe timpul întreţinerii şi modificărilor ulterioare.

Denumirea variabilei să fie astfel aleasă încât să redea cât mai bine semnificaţia ei. Cei care au dorit să refolosească programe scrise cu câteva luni în urmă înţeleg foarte bine

diferenţa dintre un program însoţit de comentarii explicative şi un program fără nici o explicaţie. Uitarea acţionează asupra oricărei persoane şi, chiar dacă este posibilă, descifrarea unui program cere timp şi nu este o sarcină prea uşoară. Comentariile sunt recomandate, fiind un mijloc de autodocumentare a programului sursă.

Sigur că prima documentaţie a oricărui program este textul sursă propriu-zis. Este bine ca acest text să poată fi citit cât mai uşor, iar programarea structurată duce la un program mai uşor de citit decât unul lipsit de orice structură.

Este însă nevoie şi de o documentaţie însoţitoare scrisă, care constituie documentarea propriu-zisă a programului. Aceasta trebuie să redea toate deciziile făcute în timpul proiectării, să prezinte diagrama de structură a întregului produs şi fiecare parte separat. Pentru fiecare modul documentaţia va conţine:

– numele acestuia;– datele de intrare;– datele de ieşire;– funcţia realizată de modulul respectiv;– variabilele folosite şi semnificaţia lor;– algoritmul propriu-zis.

Este necesar ca aceste informaţii să se afle şi sub forma unor comentarii în textul programului. De asemenea, documentaţia va conţine şi textul final al programului.

Este necesară şi o documentaţie de folosire a produsului realizat. Beneficiarul nu este interesat de modul în care a fost realizat programul ci de modul în care îl poate folosi.

O documentare completă a unui program poate fi utilă nu numai pentru folosirea şi întreţinerea programului. Componente ale unui produs existent pot fi utile şi în realizarea altor produse. Este însă necesar să se înţeleagă cât mai uşor ce funcţii realizează aceste componente şi cu ce performanţe. Folosirea acestor componente existente, testate şi documentate, duce evident la creşterea productivităţii în realizarea noului produs.

4.5 Stil în programare

Fiecare programator are stilul să propriu de concepere şi redactare a unui program. Este bine ca el să respecte anumite reguli generale de programare, astfel încât programele elaborate să aibă anumite calităţi.

Calităţile pe care le poate avea un program sunt următoarele:Corectitudine = proprietatea programului de a respecta specificaţiile şi a da rezultate corecte;Extensibilitate = posibilitatea adaptării programului la unele schimbări în specificaţie;Robusteţe = abilitatea de a recunoaşte situaţiile în care problema ce se rezolvă nu are sens şi de a se comporta în consecinţă (de exemplu, prin mesaje de eroare corespunzătoare);Reutilizabilitate = posibilitatea reutilizării întregului program sau a unor părţi din el în alte aplicaţii;Compatibilitate = uşurinţa de combinare cu alte produse program;Portabilitate = posibilitatea de folosire a produsului program pe alte sisteme de calcul, diferite de cel pe care a fost conceput;Eficienţă = măsura în care sunt bine folosite resursele sistemului de calcul;Claritate = uşurinţa citirii şi înţelegerii textului programului, a structurilor din care este compus şi a rolului denumirilor şi părţilor sale.

31

Un produs program este considerat de calitate dacă are calităţile de mai sus, dacă lansat în execuţie dă rezultate corecte, dacă textul lui se poate citi şi înţelege, dacă poate fi uşor întreţinut şi dacă este terminat la data fixată.

Stilul unui programator este dat de măsura în care programul său are aceste calităţi şi de vizibilitatea lor. Evident, pe lângă aceste calităţi, vizibile şi în text, stilul de programare este dat şi de corectitudinea şi robusteţea produselor realizate. Programul trebuie să funcţioneze şi la introducerea unor date greşite (pentru care problema nu are sens), recunoscând această situaţie şi semnalând-o. În acelaşi timp rezultatele obţinute pentru date pentru care problema are sens trebuie să fie corecte. Iar corectitudinea sau incorectitudinea programului este o consecinţă a modului în care programatorul a respectat regulile de programare (vezi capitolul 8) şi a experienţei obţinute în activitatea de programare.

Privind claritatea algoritmului trebuie să observăm că indentarea (paragrafarea) este un alt mijloc de a mări claritatea scrierii. Textul unui algoritm poate fi scris cuvânt după cuvânt, completând tot rândul asemeni textului unui roman. Claritatea lui este mică, după cum urmează:

PROGRAMUL CLASAMENT ESTE: DATE m,n,NUMEi, i=1,n, NOTEi,j, j=1,m, i=1,n; PENTRU i:=1,n EXECUTĂ {calculează media generală a elevului i} FIE S:=0; PENTRU j:=1,m EXECUTĂ S:=S+NOTEi,j SFPENTRU FIE MEDIIi:=S/M SFPENTRU PENTRU j:=1,m EXECUTĂ CHEAMĂ ORDINE(n,NOTEj,O); CHEAMĂ TIPAR(n, NUME, O) SFPENTRU CHEAMĂ ORDINE(n,MEDII,O); CHEAMĂ TIPAR(n,NUME,O) SFALGORITM

Considerăm că fiecare programator trebuie să respecte anumite reguli de scriere a programelor, cu gândul la claritatea textului. În unele cărţi sunt date mai multe reguli de indentare. Astfel, Gries sugerează următoarele reguli:

- instrucţiunile unei secvenţe se vor scrie aliniate, începând toate în aceeaşi coloană;- instrucţiunile unei structuri de calcul (instrucţiuni compuse) se vor scrie începând toate din aceeaşi coloană, aflată cu 2-4 caractere la dreapta faţă de începutul instrucţiunii compuse;- pe o linie pot fi scrise mai multe instrucţiuni, cu condiţia ca ele să aibă ceva comun. Astfel, 2-4 instrucţiuni scurte de atribuire pot fi scrise pe acelaşi rând. Acest lucru se recomandă în vederea unei scrieri compacte a programului. E bine ca un program ce se poate scrie pe o pagină, cu respectarea structurii lui, să nu fie întins pe două pagini !

Considerăm că nu există reguli de scriere obligatorii pentru toată lumea! Dar fiecare programator trebuie să aibă propriile lui reguli de scriere.

Tot privind claritatea scrierii programului, se recomandă ca denumirile variabilelor să fie astfel alese încât să reflecte semnificaţia acestor variabile.

Un alt mijloc de a mări claritatea textului unui program constă în inserarea comentariilor în text. Comentariile sunt texte explicative închise între acolade. Ele au rolul de a explica cititorului anumite părţi din program. Am spus deja că în proiectarea algoritmilor folosim şi propoziţii nestandard care vor fi pe parcurs înlocuite cu propoziţii standard. E bine ca aceste propoziţii să rămână în text sub formă de comentarii.

Comentariile vor fi prezente:– în capul programului, pentru a prezenta titlul şi scopul programului, perioada realizării lui şi numele programatorului;

32

– în definiţii, pentru a descrie semnificaţia notaţiilor folosite (a variabilelor, constantelor, SUBPROGRAMilor etc);– în dreapta unor instrucţiuni, pentru a descrie rolul acestora, sau cazul în care se atinge acea instrucţiune;– între părţile unui modul mai lung, pentru a explica rolul fiecărei părţi.

Sperăm că prin exemplele date în acest material am prezentat un stil propriu de programare şi am convins cititorul de necesitatea formării propriului său stil.

33

CAPITOLUL V

CLASE DE ALGORITMI

Căutarea şi Sortarea sunt două dintre cele mai des întâlnite subprobleme în programare. Ele constituie o parte esenţială din numeroasele procese de prelucrare a datelor. Operaţiile de căutare şi sortare sunt executate frecvent de către oameni în viaţa de zi cu zi, ca de exemplu căutarea unui cuvânt în dicţionar sau căutarea unui număr în cartea de telefon.

Căutarea este mult simplificată dacă datele în care efectuăm această operaţie sunt sortate (ordonate, aranjate) într-o anumită ordine (cuvintele în ordine alfabetică, numerele în ordine crescătoare sau descrescătoare).

Sortarea datelor constă în rearanjarea colecţiei de date astfel încât un câmp al elementelor colecţiei să respecte o anumită ordine. De exemplu în cartea de telefon fiecare element (abonat) are un câmp de nume, unul de adresă şi unul pentru numărul de telefon. Colecţia aceasta respectă ordinea alfabetică după câmpul de nume.

Dacă datele pe care dorim să le ordonăm, adică să le sortăm, sunt în memoria internă, atunci procesul de rearanjare a colecţiei îl vom numi sortare internă, iar dacă datele se află într-un fişier (colecţie de date de acelaşi fel aflate pe suport extern), atunci procesul îl vom numi sortare externă.

Fiecare element al colecţiei de date se numeşte articol iar acesta la rândul său este compus din unul sau mai multe componente. O cheie C este asociată fiecărui articol şi este de obicei unul dintre componente. Spunem că o colecţie de n articole este ordonat crescător după cheia C dacă C(i) C(j) pentru 1i<jn, iar dacă C(i) C(j) atunci şirul este ordonat descrescător.

5.1 Algoritmi de căutare

În acest subcapitol vom studia câteva tehnici elementare de căutare şi vom presupune că datele se află în memoria internă, într-un şir de articole. Vom căuta un articol după un câmp al acestuia pe care îl vom considera cheie de căutare. În urma procesului de căutare va rezulta poziţia elementului căutat (dacă acesta există).

Notând cu k1, k2, ...., kn cheile corespunzătoare articolelor şi cu a cheia pe care o căutăm, problema revine la a găsi (dacă există) poziţia p cu proprietatea a = kp.

De obicei articolele sunt păstrate în ordinea crescătoare a cheilor, deci vom presupune căk1 < k2 < .... < kn .

Uneori este util să aflăm nu numai dacă există un articol cu cheia dorită ci şi să găsim în caz contrar locul în care ar trebui inserat un nou articol având cheia specificată, astfel încât să se păstreze ordinea existentă.

Deci problema căutării are următoarea specificare:Date a,n,(ki, i=1,n);Precondiţia: nN, n1 şi k1 < k2 < .... < kn ;Rezultate p;Postcondiţia: (p=1 şi a k1) sau (p=n+1 şi a > kn) sau (1<pn) şi (kp-1 < a kp).

Pentru rezolvarea acestei probleme vom descrie mai mulţi SUBPROGRAMi.O primă metodă este căutarea secvenţială, în care sunt examinate succesiv toate cheile.

SUBPROGRAMul CautSecv(a,n,K,p) este: {nN, n1 şi}{k1 < k2 < .... < kn}

{Se caută p astfel ca:}{(p=1 şi a k1) sau (p=n+1 şi a>kn)}

{sau (1<pn) şi (kp-1 < a kp)} Fie p:=0; {Cazul "încă negasit"} Dacă ak1 atunci p:=1 altfel

34

Dacă a>kn atunci p:=n+1 altfel Pentru i:=2; n execută Dacă (p=0) şi (aki) atunci p:=i sfdacă sfpentru sfdacă sfdacăsf-CautSecv

Se observă că prin această metodă se vor executa în cel mai nefavorabil caz n-1 comparări, întrucât contorul i va lua toate valorile de la 2 la n. Cele n chei împart axa reală în n+1 intervale. Tot atâtea comparări se vor efectua în n-1 din cele n+1 intervale în care se poate afla cheia căutată, deci complexitatea medie are acelaşi ordin de mărime ca şi complexitatea în cel mai rău caz.

Evident că în multe situaţii acest algoritm face calcule inutile. Atunci când a fost deja găsită cheia dorită este inutil a parcurge ciclul pentru celelalte valori ale lui i. Cu alte cuvinte este posibil să înlocuim ciclul PENTRU cu un ciclu CÂTTIMP. Ajungem la un al doilea algoritm, dat în continuare.

SUBPROGRAMul CautSucc(a,n,K,p) este: {nN, n1 şi}{k1 < k2 < .... < kn}

{Se caută p astfel ca:}{(p=1 şi a k1) sau (p=n+1 şi a>kn)}

{sau (1<pn) şi (kp-1 < a kp). Fie p:=1; Dacă a>k1 atunci Câttimp pn şi a>kp executş p:=p+1 sfcât sfdacăsf-CautSecv

O altă metodă, numită căutare binară, care este mult mai eficientă, utilizează tehnica "divide et impera" privitor la date. Se determină în ce relaţie se află cheia articolului aflat în mijlocul colecţiei cu cheia de căutare. În urma acestei verificări căutarea se continuă doar într-o jumătate a colecţiei. În acest mod, prin înjumătăţiri succesive se micşorează volumul colecţiei rămase pentru căutare. Căutarea binară se poate realiza practic prin apelul funcţiei BinarySearch(a,n,K,1,n), descrisă mai jos, folosită în SUBPROGRAMul dat în continuare.

SUBPROGRAMul CautBin(a,n,K,p) este: {nN, n1 şi k1 < k2 < .... < kn}{Se caută p astfel ca: (p=1 şi a k1) sau}

{(p=n+1 şi a>kn) sau (1<pn) şi (kp-1 < a kp)} Dacă ak1 atunci p:=1 altfel Dacă a>kn atunci p:=n+1 altfel

p:=BinarySearch(a,n,K,1,n) sfdacă sfdacăsf-CautBinFuncţia BinarySearch (a,n,K,St,Dr) este: Dacă StDr-1 atunci BinarySearch:=Dr altfel m:=(St+Dr) Div 2; Dacă aK[m] atunci BinarySearch:=BinarySearch(a,n,K,St,m) altfel BinarySearch:=BinarySearch(a,n,K,m,Dr) sfdacă sfdacăsf-BinarySearch

35

În funcţia BinarySearch descrisă mai sus, variabilele St şi Dr reprezintă capetele intervalului de căutare, iar m reprezintă mijlocul acestui interval.

Se observă că funcţia BinarySearch se apelează recursiv. Se poate înlătura uşor recursivitatea, aşa cum se poate vedea în următoarea funcţie:

Funcţia BinSeaNerec (a,n,K,St,Dr) este: Câttimp Dr-St>1 execută m:=(St+Dr) Div 2; Dacă aK[m] atunci Dr:=m altfel St:=m sfdacă sfcât BinSeaNerec:=Drsf-BinSeaNerec

5.2 Sortare internă

Prin sortare internă vom înţelege o rearanjare a unei colecţii aflate în memoria internă astfel încât cheile articolelor să fie ordonate crescător (eventual descrescător).

Din punct de vedere al complexităţii algoritmilor problema revine la ordonarea cheilor. Deci specificarea problemei de sortare internă este următoarea:

Date n,K; {K=(k1,k2,...,kn)}Precondiţia: kiR, i=1,nRezultate K';Postcondiţia: K' este o permutare a lui K, dar ordonată crescător. Deci k1 k2 ... kn.

O primă tehnică numită "Selecţie" se bazează pe următoarea idee: se determină poziţia elementului cu cheie de valoare minimă (respectiv maximă), după care acesta se va interschimba cu primul element. Acest procedeu se repetă pentru subcolecţia rămasă, până când mai rămâne doar elementul maxim.

SUBPROGRAMul Selectie(n,K) este: {Se face o permutare a celor}{n componente ale vectorului K astfel}

{ca k1 k2 .... kn } Pentru i:=1; n-1 execută Fie ind:=i; Pentru j:=i+1; n execută Dacă kj < kind atunci ind:=j sfdacă sfpentru Dacă i<ind atunci t:=ki; ki:=kind; kind:=t sfdacă sfpentrusf-Selectie

Se observă că numărul de comparări este:(n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2

indiferent de natura datelor. A treia metodă care va fi prezentată, numită "BubbleSort", compară două câte două elemente

consecutive iar în cazul în care acestea nu se află în relaţia dorită, ele vor fi interschimbate. Procesul de comparare se va încheia în momentul în care toate perechile de elemente consecutive sunt în relaţia de ordine dorită.

SUBPROGRAMul BubbleSort (n,K) este: Repetă

36

Fie kod:=0; {Ipoteza "este ordine"} Pentru i:=2; n execută Dacă ki-1 > ki atunci t := ki-1; ki-1 := ki; ki:=t; kod:=1 {N-a fost ordine!} sfdacă sfpentru pânăcând kod=0 sfrep {Ordonare}sf-BubbleSort

O metodă mai performantă de ordonare, care va fi prezentată în continuare, se numeşte "QuickSort" şi se bazează pe tehnica "divide et impera" după cum se poate observa în continuare. Metoda este prezentată sub forma unei proceduri care realizează ordonarea unui subşir precizat prin limita inferioară şi limita superioară a indicilor acestuia. Apelul procedurii pentru ordonarea întregului şir este : QuickSort(n,K,1,n), unde n reprezintă numărul de articole ale colecţiei date.

SUBPROGRAMul SortareRapidă (n,K) este: Cheamă QuickSort(n,K,1,n)sf-SortareRapidă

Procedura QuickSort (n,K,St,Dr) va realiza ordonarea subşirului kSt,kSt+1,..., kDr. Acest subşir va fi rearanjat astfel încât kSt să ocupe poziţia lui finală (când şirul este ordonat). Dacă i este această poziţie, şirul va fi rearanjat astfel încât următoarea condiţie să fie îndeplinită:

kj ki kl , pentru st j < i < l dr (*)Odată realizat acest lucru, în continuare va trebui doar să ordonăm subşirul kSt , kSt+1 , ... ,ki-1 prin

apelul recursiv al procedurii QuickSort(n,K,St,i-1) şi apoi subşirul ki+1,..., kDr prin apelul QuickSort(i+1,Dr). Desigur ordonarea acestor două subşiruri (prin apelul recursiv al procedurii) mai este necesară doar dacă acestea conţin cel puţin două elemente.

Procedura QuickSort este prezentată în continuare :SUBPROGRAMul QuickSort (n,K,St,Dr) este: Fie i:=St; j:=Dr; a:=ki; Repetă Câttimp kj >= a şi (i<j) execută j:=j-1 sfcât ki:= kj; Câttimp ki a şi (i<j) execută i:=i+1 sfcât kj:= ki ; pânăcând i=j sfrep Fie ki := a; Dacă St < i-1 atunci Cheamă QuickSort(n,K,St,i-1) sfdacă Dacă i+1 < Dr atunci Cheamă QuickSort(n,K,i+1,Dr) sfdacăsf-QuickSort

Un ultim algoritm care va fi prezentat se numeşte "Merge Sort" (sortare prin interclasare) şi se bazează pe tehnica "divide et impera". Şirul ce urmează a fi ordonat se împarte în două subşiruri care se ordonează, după care acestea se vor interclasa obţinându-se întregul şir ordonat. Fiecare subşir se va ordona tot prin despărţirea lui în două subşiruri urmată de interclasare şi aşa mai departe până când ordonarea unui subşir se poate rezolva elementar fără a mai fi necesară despărţirea lui în alte două subşiruri (lungimea subşirului este cel mult 2).

37

Algoritmul corespunzător este prezentat în secţiunea următoare sub forma unei proceduri recursive care ordonează un subşir precizând limitele acestuia.

5.3 Interclasare

Fiind date două colecţii de date, ordonate crescător (sau descrescător) după o cheie, se cere să se obţină o colecţie care să fie de asemenea ordonată crescător (respectiv descrescător) după aceeaşi cheie şi care să fie formată din articolele colecţiilor date. Acest lucru se poate obţine direct (fără o sortare a colecţiei finale) prin parcurgerea secvenţială a celor două colecţii, simultan cu generarea colecţiei cerute. Prin compararea a două elemente din listele de intrare se va decide care element va fi adăugat în lista de ieşire.

Deci ne interesează un algoritm de rezolvare a problemei ce are următoarea specificare:Date m, (xi, i=1,m), n, (yi, i=1,n);Precondiţia: {x1 x2 ... xm} şi {y1 y2 ... yn}Rezultate k, (zi, i=1,k);Postcondiţia: {k=m+n} şi {z1 z2 ... zk} şi (z1,z2,..., zk) este o permutare a valorilor (x1, ..., xm,y1,..., yn)

O soluţie posibilă ar fi depunerea componentelor vectorului X şi a componentelor vectorului Y în vectorul Z, realizând astfel a doua parte din postcondiţie. Ordonând apoi componentele vectorului Z obţinem soluţia dorită. Acest algoritm, deşi corect, este ineficient şi, în plus, nu este util în sortările externe (vezi secţiunea 5.4). Este important ca la o singură trecere prin vectorii X şi Y să se obţină vectorul Z. Acest lucru este realizat de următorul algoritm de interclasare:

SUBPROGRAMul Interclasare(m,X,n,Y,k,Z) este: {X are cele m}{componente ordonate nedescrescător}

{La fel Y cu n componente. Cele m+n valori}{se depun în Z, tot ordonate nedescrescător}

Fie i:=1; j:=1; k:=0; Câttimp (i<=m) şi (j<=n) execută {Există componente} Dacă xiyj atunci Cheamă PUNE(i,xi,k,Z) {şi în X} altfel Cheamă PUNE(j,yj,k,Z) {şi în Y} sfdacă sfcât Câttimp (i<=m) execută {Există componente} Cheamă PUNE(i,xi,k,Z) {numai în X} sfcât Câttimp (j<=n) execută {Există componente} Cheamă PUNE(j,yj,k,Z) {numai în Y} sfcâtsf-Interclasare

Aici s-a folosit SUBPROGRAMul PUNE(ind,val,k,Z) care pune în vectorul Z valoarea val şi măreşte indicele ind cu 1, subalgortim dat în continuare.

SUBPROGRAMul PUNE(ind,val,k,Z) este: {Adaugă val} k:=k+1; {în vectorul Z cu} zk:=val; {k componente şi} ind:=ind+1 {măreşte ind cu 1}sf-PUNE

Algoritmul MergeSort de sortare bazat pe interclasare se poate vedea în continuare.

38

Algoritmul MergeSort este: {Sortare prin interclasare} Citeşte n; Pentru i:=1 ; n execută Citeşte Ki sfpentru Cheamă SortInter (n,K); Pentru i:=1; n execută Tipăreşte Ki sfpentrusf-MergeSort

SUBPROGRAMul SortInter(n, C) este: Cheamă Ordon (1,n,C);sf-SortInter

SUBPROGRAMul Ordon (St,Dr,A) este: {Sortare prin interclasare a}{elementelor ASt,ASt+1,...,ADr}

Dacă St < Dr atunci Fie m:=(St+Dr) Div 2; Cheamă Ordon (St,m,A); Cheamă Ordon (m+1,Dr,A); Cheamă Inter (St,m, m+1,Dr); sfdacăsf-Ordon

SUBPROGRAMul Inter (s1,d1, s2,d2) este: { Interclasare } Fie A:=C; k:=s1-1; Câttimp (s1<=d1) şi (s2<=d2) execută Dacă (C[s1]<C[s2]) atunci Cheamă PUNE(s1,cs1 ,k,A) altfel Cheamă PUNE(s2,cs2 ,k,A) sfdacă sfcât Câttimp (s1<=d1) execută Cheamă PUNE(s1,cs1 ,k,A) sfcât Câttimp (s2<=d2) execută Cheamă PUNE(s2,cs2 ,k,A) sfcât C:=Asf-Inter

5.4 Sortare externă

O problemă cu care ne confruntăm adesea este sortarea unei colecţii de date aflate pe un suport extern, de volum relativ mare faţă de memoria internă disponibilă. În această secţiune o astfel de colecţie de date o vom numi fişier. În acest caz nu este posibil transferul întregii colecţii în memoria internă pentru a fi ordonată şi apoi din nou transferul pe suport extern. Dacă datele ce urmează a fi sortate ocupă un volum de n ori mai mare decât spaţiul de memorie internă de care dispunem, atunci colecţia se va împărţi în n subcolecţii ce vor fi transferate succesiv în memoria internă, se vor sorta pe rând şi vor fi stocate din nou pe suportul extern sortate. Din acest moment prin operaţii de interclasare două câte două se pot obţine colecţii de dimensiuni superioare până se obţine toată colecţia ordonată.

La aceste interclasări, pentru a efectua un număr cât mai mic de operaţii de transfer se recomandă interclasarea colecţiilor de dimensiuni minime, apoi din datele obţinute din nou vor fi alese două colecţii de dimensiuni minime şi aşa mai departe până se obţine o singură colecţie care va fi colecţia cerută, adică sortată.

După metodele de sortare externă folosite, se descriu trei procedee de sortare externă:– sortarea echilibrată; – sortarea polifazică;

39

– sortarea în cascadă.Evident că sortarea depinde şi de configuraţia calculatorului folosit, dar şi de suportul pe care se

află fişierul de sortat şi fişierele intermediare create.Principial sortarea externă presupune parcurgerea a două etape importante:

a) Divizarea fişierului de sortat F, în n fişiere H1, H2, ..., Hn, cu sortarea internă a acestora;b) Interclasarea acestor fişiere sortate pentru a ajunge la fişierul dorit G.

40

CAPITOLUL VI

EVOLUŢIA LIMBAJELOR DE PROGRAMARE

Un limbaj de programare este un sistem de convenţii adoptate pentru realizarea unei comunicări – între programator şi calculator . Limbajele folosite pentru programarea unui calculator sunt extrem de asemănătoare limbajelor naturale . Ele sunt compuse din :

cuvinte (rezervate); punctuaţie; propoziţii şi fraze; reguli sintactice etc.

Aşa cum pentru însuşirea unei limbi străine trebuie învăţate cuvintele acesteia şi regulile cu care pot fi manevrate tot aşa pentru însuşirea unui limbaj de programare trebuie studiate cuvintele şi semnele care îl compun împreună împreună cu regulile de manevrare a lor.

De-a lungul timpului,oamenii au inventat masini pentru a calcula cat mai eficient.Inaintea calculatoarelor performante din zilele noastre,au existat alte masini de calcul.

Momentul iniţial al istoriei calculatoarelor este, de obicei legat de numele matematicianului englez Charles Babbage. El a propus în anul 1830 o Maşină Analitică care a anticipat în mod fascinant structura calculatoarelor actuale. Ideile sale au devansat cu peste 100 de ani posibilităţiile tehnologice ale vremii sale. Înaintea a mai fost încercări în acest domeniu ale lui Leibnitz şi Pascal (sec al XVII-lea) .Următorul moment de referinţă este anul 1937, când Howard Aiken, de la Universitatea Harvard a propus Calculatorul cu secvenţă de Comandă Automată, bazat pe o combinaţie între ideile lui Babbage şi calculatoarele elertromecanice, produse de firma IBM. Construcţia acestuia a început în anul 1939 şi s-a terminat în anul 1944, fiind denumit Mark I . El a fost în principal primul calculator electromecanic, fiind alcătuit din comutatoare şi relee.

Înlocuirea releelor cu tuburi electronice a constituit un important pas înainte. Rezultatul a fost concretizat în calculatorul ENIAC ( Electronic Numerical Integrator And Computer ), primul calculator electronic digital. El conţine circa 18.000 de tuburi electronice şi executa 5.000 de adunări pe secundă, având o memorie de 20 de numere reprezentate în zecimal. Programarea sa se realiza prin poziţionarea a circa 6.000 de comutatoare, cu mai multe poziţii. O semnificaţie aparte o are faptul că în arhitectura calculatoarelor Mark I şi ENIAC, intrau mai multe elemente de calcul, ce lucrau în paralel la o problemă comună, fiind dirijate de o singură unitate de comandă . Această soluţie a fost aleasă datorită vitezei reduse a fiecărei unităţi de calcul, în parte. La versiunea următoare s-a renunţat la această structură paralelă de calcul, deoarece s-a considerat că viteza unei unităţi de calcul, realizată cu circuite electronice, este suficientă . Soluţia prelucrării paralele a fost reluată ulterior după anii 80’ pentru mărirea performanţelor unui sistem de calcul; astfel în 1996 Firma INTEL a realizat un supercalculator ce foloseşte peste 7000 de procesoare PENTIUM utilizând tehnica „de calcul masiv” (utilizat pentru simularea testelor nucleare, în cercetări genetice, spaţiale, meteorologice).

De remarcat că la realizarea primelor calculatoare, în calitate de consultant al echipei, a lucrat şi matematicianul John von Neumann, unul dintre matematicienii importanţi ai secolului XX. De altfel, la realizarea calculatorului EDVAC ( primul calculator cu circuite electronice ) el a stabilit 5 caracteristii principale ale calculatorului cu program memorat :

Trebuie să posede un mediu de intrare, prin intermediul căruia să se poată introduce un număr nelimitat de operanzi şi instrucţiuni . Trebuie să posede o memorie, din care să se citească instrucţiunile şi operanzii şi în care să se poată memora rezultatele. Trebuie să posede o secţiune de calcul, capabilă să efectueze operaţii aritmetice şi logice, asupra operanzilor din memorie. Trebuie de asemenea să posede un mediu de ieşire, prin intermediul căruia un număr nelimitat de rezultate să poată fi obţinute de către utilizator.

41

Trebuie să aibă o unitate de comandă , capabilă să interpreteze instrucţiunile obţinute din memorie şi capabilă să selecteze diferite moduri de desfăşurare a activităţii calculatorului pe baza rezultatelor calculelor.

Primul calculator comercializat a fost UNIVAC (UNIversal Automatic Computer ) realizat pe structura calculatorului EDVAC, în anul 1951. În anii 1960 a apărut un nou tip de calculatoare: minicalculatoarele. Aceste maşini erau mai ieftine, mai mici, nu avea nevoie de aer condiţionat şi erau mult mai uşor de folosit (cel puţin după standardele acelor timpuri) faţă de mainframe-uri. În faţă ereziei, preoţii mainframe-urilor s-au înfiorat. Deţinerea unui mainframe era problema corporaţiei, datorită cheltuielilor necesare, dar un departament putea avea propriul minicalculator, pentru că acesta nu necesita spaţii speciale sau specialişti necesari unui mainframe. Pe scurt, minicalculatoarele erau ieftine.Această dezvoltare a dus la apariţia unui nou personaj pe scena calculatoarelor. Minicalculatoarele au adus la înlocuirea programatorilor de mainframe, curaţi şi bine îmbrăcaţi, cu o nouă specie de programatori.

Minicalculatoarele au început să fie introduse în universităţi şi alte instituţii de învăţământ, pentru că erau ieftine. Ele erau accesibile şi proiectate pentru a putea suporta modificări ulterioare, ceea ce a atras un grup de entuziaşti cunoscuţi sub numele de hackeri. Aceşti hackers nu sunt identici cu cei din zilele noastre. Acei hacker-i erau plini de entuziasm faţă de calculatoare, oameni care voiau să facă programe mai bune, mai rapide şi mai „elegante”.Din rândurile lor s-au ridicat o parte din oameni care au făcut revoluţia calculatoarelor personale. Piaţa minicalculatoarelor a crescut repede. Imediat ce departamentele puteau justifica nevoia minicalculatorului, acesta era instalat. Acesta a fost momentul când DEC (Digital Equipment Corporation) a devenit a doua mare companie producătoare de calculatoare din lume.În privinţa îmbunătăţirilor aduse programelor, gama funcţiilor care pot fi realizate a crescut. Un minicalculator poate fi folosit simultan de mai mulţi utilizatori, cu ajutorul unui procedeu de împărţire a timpului de folosire a procesului numit time-sharing. Astfel, fiecare utilizator poate să prelucreze date, să creeze programe sau să utilizeze, ca şi când ar fi singurul utilizator. Acest sistem a fost introdus şi în tehnologia de realizare a mainframe-urilor. Sisteme sofisticate de time-sharing, cu componente disc mai puternice şi programe mai sofisticate, au fost dezvoltate în acelaşi timp pentru mainframe-uri.Aceasta era piaţa calculatoarelor în anii ´70: mainframe-uri şi minicalculatoare erau prezente în toate companiile şi principalele departamente. Pentru sacinile pe care le puteau rezolva în moduri în care le rezolvau, erau bune. Au adus metode noi şi eficiente în birouri şi au făcut afacirele mai eficiente. Totuşi, au eşuat în mărirea productivităţii personale (în creşterea eficienţei personalului, nu a corporaţiilor).

Apariţia calculatoarelor personale

La mijlocul anilor ´70 a apărut o nouă tehnologie: miniprocesorul. Acesta folosea multe tranzistoare conectate pe o pastilă de siliciu pentru a realiza un dispozitiv de calcul.Primele microprocesoare au fost, după standardele actuale, destul de simple. Primul microprocesor, devine cunoscut ca 4004, a fost proiectat pe patru biţi de către inginerul Marcian E. „Ted” Hoff de la Intel, în anul 1969. Clientul care i-a comandat lui Intel microprocesorul a fost o firmă japoneză, care a dat faliment în 1970; după aceasta Intel nu se putea hotărî dacă să lanseze sau nu circuitul pe piaţă. L-au lansat, şi în 1974 existau mai mult de 19 tipuri de microprocesoare pe piaţă, inclusiv Intel 8088, cel care va deveni trambulina actualelor calculatoare personale.Microprocesoarele au fost iniţial folosite drept controler - dispozitive de control – pentru maşini de spălat veselă şi frigidere. Producătorii şi proiectanţii de calculatoare nu au pierdut ocazia dată de potenţial acestor dispozitive de a fi folosite drept calculatoare.

8080, Z80, CP/M

Primele succese ale pieţei au fost microprocesorul Intel 8080 şi noul sistem de operare numit CP/M-80 scris pentru acest cercuit. CP/M-80 a fost creat în 1975 de Gary Kildall, fondatorul şi preşedintele companiei Digital Research – primul producător al unui sistem de operare pentru microcalculatoare. Astăzi, compania este o divizie a lui Novell Inc. – cea mai mare companie în domeniul sistemelor de operare în reţea.CP/M este prescurtat de la Controlul Programului/Microcalculatorului – cel mai sugestiv nume de produs, dacă mai existase unul, de până atunci. Acest sistem de operare a fost, la

42

acea dată, extraordinar. Dacă aveai un sistem 8080 sau Z80, cu sistem de operare CP/M, cu 64 kilobiţi de RAM şi o pereche de unităţi de disc flexsibil de 8", aveai „ultimul strigăt” al modei calculatoarelor şi îl făceai verde de invidie pe orice pasionat. Un singur lucru le putea depăşi invidia şi cîştiga ura: să ai un disc şi o imprimată; ambele necesitau o cheltuială exorbitantă.Discurile acelor timpuri merită puţină atenţie. Primul tip larg răspândit împreună cu microcalculatoarele aveau discuri de 14" (comparaţi-le cu cele de 3,5" disponibile astăzi) şi un timp de acces suficient pentru o pauză de cafea.

Apple Computer, binecunoscută ca avându-şi începuturile într-un garaj, a apărut în 1976. Apple a fost fondată de legendarii Steve Jobs şi Steve Wozniack, şi este recunoscut drept compania care a pus bazele industriei calculatoarelor personale. Deşi povestea lui Visilac şi a calculatorului Apple II este bine cunoscută, merită să o spunem încă o dată, pentru că arată motivele care au generat revoluţia calculatoarelor personale.La mijlocul anilor `70, dacă doreai să faci încercări de genul „şi dacă” calculând pe mainframe, trebuia să scrii un program, să-l depanezi, să încerci un set de date, să verifici rezultatele, să încerci un set de date mai complex s.a.m.d. Era un procedeu cel puţin laborios şi nu foarte practic, cu excepţia cazului în care priviziunele aveau importanţă pentru corporaţie şi aveai suficient timp la dispoziţie. Această situaţie a motivat doi studenţi de la Harvard Business School să facă primul program de calcul tabelar: Visicalc.Apple II avea la bază un procesor Motorola 6502 (proiectat pe 8 biţi), până la 128 kilobiţi de RAM şi utiliza un casetofon pentru a stoca date şi programe. Apple a încheiat o înţelegere cu realizatorii lui Visicalc pentru a obţine exclusivitatea programului pe Apple II. Acestui program i se acordă meritul de a fi catapultat Apple de la un venit de 800.000 de dolari în 1977 la puţin sub 48 de milioane în 1979.Utilizatorii cumpărau Apple II doar pentru a rula Visicalc, şi o dată cu el un raft întreg de aplicaţii, care ofereau utilizatorilor, pentru prima dată la un preţ rezonabil, putere de calcul accesibilă şi dedicata

IBM preia controlul

Calculatoarele despre care am vorbit, maşinile CP/M şi Apple, nu erau numite calculatoare personale – acesta nu a fost un termen recunoscut până în august 1981, data de naştere a calculatorului IMB PC a fost creat de piaţă, datorită acelor sisteme de microcalculatoare care au făcut posibilă existenţa calculatorului IBM PC.Deşi microprocesorul care a stat la bază calculatorului IBM PC a fost produs în 1974, calculatorul IBM PC a fost produs abia în 1981. Intel 8088 era un microprocesor pe 16 biţi, care putea lucra cu mai multă memorie şi mai rapid decât predecesorii săi. IBM a delegat o companie necunoscută, numită Microsoft, pentru a realiza un sistem de operare. Restul este, aşa cum o spun ei, istorie. IBM PC a devenit un standard, în realitate o serie de standarde care au adus la vânzarea de aproximativ 100 de milioane de calculatoare personale din 1981. puterea marketing-ului IBM a dus la succesul lui IBM PC. IBM avea bani şi poziţia pe piaţă astfel încât să facă calculatorul IBM PC acceptat în corporaţii. Deşi e uşor să critici IBM pentru greşelile, destul de multe, făcute în dezvoltarea pieţei calculatoarelor personale şi lipsa de receptivitate faţă de o piaţă care creştea mai rapid decât putea acoperi IBM, fără amestecul lui IBM, această piaţă ar fi crescut mult mai încet şi mai fragmentat.

Calculatorul IBM PC a continuat tendinţa dată de Apple II, aducând puterea de calcul la îndemâna utilizatorilor. Posibilitatea de a-şi îmbunătăţi şi mări productivitatea personală a fost o atracţie atât de mare, încât oamenii au trecut peste orice pentru a-şi cumpăra un calculator personal. Ei au păcălit bugetele departamentale cumpărându-le ca maşini de scris sau chiar plătind diferenţa din propriul buzunar.

Multe companii au avut reţineri în a urma tendinţa de introducere a calculatoarelor personale, dar au descoperit ulterior că acestea erau folosite din plin de concurenţa. În aceste companii, de obicei, Centrul de Calcul era uluit când descoperea invazia calculatoarelor personale. Fanaticii mainframe-urilor erau probabil cei mai surprinşi când aflau ce se întâmplase.

Aparent peste noapte, Centrul de Calcul pierdea un procent destul de mare din prelucrările de date ale companiei. Teritoriul pe care credeau că îl stăpânesc era brusc invadat. Ceea ce era probabil cel mai tulburător pentru ei era că utilizatorii de calculatoare personale vorbeau despre informaţii şi nu doar despre coloane de date.

43

Utilizatorii au descoperit că puteau combina şi prelucra cum doresc datele. Puteau realiza rapoarte despre ceea ce îi interesa. Pe de altă parte, dacă ai fi cerut la Centrul de Calcul un raport, ţi-ar fi dat doar un raport standard aşa cum le genera mainframe-ul. (Rapoartele standard consumau o „mică pădure” de hârtie, când toţi utilizatorii doreau doar o pagină ).

Astfel a apărut o nouă tendinţă: aceea de a a-ţi realiza singur calculele. Atunci când utilizatorii doreau să facă simulări financiare de tipul „şi dacă”, ei nu mai trebuiau să meargă, cu pălăria în mână (metamorfic vorbind) la Centrul de Calcul. Puteau să-şi pornească calculatorul personal, să ruleze programul de calcul tabelar şi să realizeze o duzină de scenarii, în timpul în care Centrul de Calcul ar fi luat în considerare cererea lor.Deja nu mai exista nici o posibilitate pentru Centrul de Calcul de a schimba lucrurile. Corporaţiile aveau toate motivele să susţină noua tendinţă şi în acelaşi timp destule motive de îngrijorare pentru anarhia care se crea. Distribuirea datelor prin companii, cum veţi vedea, avea multe implicaţii şi exista marele risc de a scăpa totul de sub control.

Revoluţia calculatoarelor personale, mai mult decât orice, a forţat Centrele de Calcul să-şi regândească rolul şi tehnologia pe care o foloseau. Ele nu au avut cu adevărat de ales şi au devenit Servicii de gestiunea de informaţie (Management Information Service) sau IT (Information Tehnology) sau orice altceva care conţinea cuvântul informaţie. De asemenea, au trebuit să urmeze sau cel puţin să se obişnuiască cu valul tehnologiilor aduse de calculatoarelor personale.

Începutul conectării

Pe timpul CP/M-ului, preţul perifericilor de calitate era exorbitant. Un disc de 14" şi 10MB, care consuma 5 amperi şi făcea zgomot ca un avion care decola, era tot atât de scump ca şi un calculator. O imprimată matriceală, care nici nu se apropia de calitatea unei letter-quality, era o resursă preţioasă. În momentul lansării calculatorului IBM PC preţurile scăzuseră, dar erau încă destul de mari. Pe scurt, perifericele calculatoarelor personale erau ca aurul: rare şi scumpe.Nu era practic ca fiecare calculator să aibă disc şi imprimată, deşi fără ele productivitatea calculatoarelor personale era mai mică. O altă problemă era folosirea în comun a datelor. Dacă aveai nevoie de un document creat de altcineva, trebuia să iei dischetă, să-ţi pui pantofii de sport şi să alergi la acel microcalculator să-l iei. De aici, numele acestui tip de partajare a datelor: „reţea sportivă”.

„Reţeaua sportivă”

Acest tip de reţea a ridicat multe probleme. Cum puteai să fii sigur că documentele cu care lucrai erau la zi, dacă diverse copii modificate de un număr oarecare de oamenii circulau pe diverse dischete? Cum poţi opri furtul documentelor? Cum poţi opri furtul documentelor? Şi dacă ultima versiune, şi singura, a unui document se află pe o singură dischetă folosită de cineva drept suport pentru ceaşcă de cafea? Şi dacă...?Existau sute de probleme cu această reţea şi toate evidenţiau o singură soluţie: nevoia, absolută necesitate, de a schimba documentele electrice între calculatoare. Combinaţi cu dorinţa de a schimba, de a folosi în comun discuri şi imprimate scumpe, şi aveţi o problemă la care să meditaţi. Nevoia de a folosi în comun date şi periferice a stimula crearea primei reţele locale de calculatoare, dar aşa cum veţi vedea, problema centrală a fost nevoia de a folosi în comunicatie.

Comutatoarele de date

O modalitate de a folosi în comun periferice a fost folosirea unui comutator de date: un dispozitiv ce permite doar unui utilizator la un moment dat să folosească dispozitivul, ca exemplu o imprimată. Dacă o altă persoană folosea imprimata când doreai tu să o foloseşti, trebuia să aştepţi până termina. Un comutator de date poate fi comparat cu o coadă la bancă. Orice persoană (datele ce vor vi imprimate) care se aşează prima coadă (comutatorul) ajunge prima la casier (imprimanta). Restul trebuia să aştepte până ce aceasta termină.

Comutatorul de date oferă utilizatorului o conexiune pe portul serial sau paralel, pe bază căreia primul utilizator care cere primeşte dreptul de folosi imprimanta. Calculatorul care nu mai are nevoie de periferic trebuie să trimită o secvenţă de caractere prin care spune de fapt „Am terminat”.

44

Aceste dispozitive, deşi erau bune pentru imprimantă şi plotere (ele încă mai sunt folosite – câteva companii încă le mai oferă ), nu permiteau folosirea în comun a discurilor. De asemenea, necesitau o linie dedicată între calculator şi comutator. Aceasta devenea dificil de realizat când calculatoarele erau răspândite pe o suprafaţă mare, şi imposibil dacă erau mai multe calculatoare.

„Aici servesc discuri”

Prima încercare de a realiza ceea ce astăzi numim reţea locală (LAN) a fost tehnologie, acum învechită, numim disc server. Un disc server era un calculator, prin care, printr-o tehnică de comunicaţie oarecare, era legat de un grup de calculatoare numit clienţi. El rula un sistem de operare special care era proiectat astfel încât să poată permită accesul mai multor clienţi în acelaşi timp la disc şi la imprimată: acest sistem se numeşte sistem de operare pentru reţea (Network Operating System sau NOS).

Funcţionarea reţelei Aplicaţia client/server

Primele aplicaţii de reţea erau în majoritate programe integrate. De exemplu, dacă ofereau o bază de date multiutilizator ele aveau şi partea frontală (front-end) de interacţiune cu utilizatorului şi „motorul” bazei de date (partea de program care lucra cu fişierele bazei de date) pe acelaşi PC. Singura parte care se putea afla în reţea, pe server, era baza de date.

În această configuraţie, calculatorul client realiza toată prelucrarea datelor (citire, căutare a înregistrărilor dorite între datele citite etc.). Aplicaţiile acestea pot fi descrise ca având doar client. Serverul era o simplă „pompă” de date: trimitea utilizatorului date din fişierele aflate pe disc sau le primea şi le stoca pe disc.

În ultimii ani au apărut un număr mare de sisteme de bază de date sofisticate care pun în reţea „motorul” de acces la baza de date care se află în parte frontală (front-end) utilizatorul. Acestea se numesc sisteme client/server.

O dată cu îmbunătăţirea performanţelor datorită eliminării supraîncărcării reţelei cu transferuri mari de date, mai există şi avantajul faptului că serverul poate deservi mai mulţi clienţi în acelaşi timp. Întregul proces de sincronizare al accesului la baza de date, care trebuia realizat de clienţi, este acum realizat de server, ceea ce face aplicaţiile mai simple şi întregul sistem mai eficient.Bazele de date nu sunt singurele aplicaţii care pot fi realizate în sistem client/server. Alte aplicaţii client/server includ servere de poştă electronică, sisteme de vizualizare pe calculator a imaginilor şi urmărire serviciilor de reţea.

Avantajele sistemelor client/server sunt următoarele: securitate mai bună, deoarece accesul la datele din baza de date server este indirect. Utilizatorii nu pot vedea fişierele de date decât dacă li se dă acest drept în mod explicit. Performanţele pot fi îmbunătăţite uşor, deoarece o mai bună proiectare a serverului poate duce la o mai bună coordonare a utilizatorilor care doresc servicii în acelaşi timp şi, de aici, performanţe mai bune. În cazul severelor de baze de date prin reţea pentru a găsi ce îi interesează; e suficient ca ele să trimită cereri către server, iar serverul le va trimite doar rezultatele pe care le doresc.

Creşte raportul calitate/preţ. Clienţii trebuie doar să aibă suficientă putere de calcul pentru a rula partea frontală (front-end). (Când sunt necesare performanţe mai mari, serverul poate fi înlocuit cu un calculator personal mai performant şi, respectiv, mai scump).

Dezavantajele sistemelor client/server: Complexitatea: nu este simplu, de obicei, să configurezi şi să administrezi sisteme client/server.

Necesităţi: pentru a avea mulţi utilizatori, serverul din sistemele client/server are nevoie de un calculator scump. Aplicaţiile de pe server au tendinţa să devie mai mari şi mai complexe şi au nevoie de mai multă memorie RAM.

Preţ: performanţele serverului scad o dată cu creşterea numărului de utilizatori. Pentru a reface performanţele, serverul de bază de date trebuie să ruleze pe o maşină dedicată acelui server. Deci, acolo

45

unde cândva era un server dedicat general, care funcţiona şi ca server de bază de date, acum avem un server dedicat general şi un server de baze de date dedicat, ceea ce duce cel puţin la dublarea costului.

Tehnologii de grup

Tehnologiile de grup (groupware) sunt un set de tehnologii care au scopul de a îmbunătăţi productivitatea a doi sau mai mulţi utilizatori care cooperează în realitate unor obiective comune. Ideea este ca o dată ce reţeaua uneşte utilizatorii, munca şi comunicările cu privire la ea pot fi automatizate pentru îmbunătăţirea fluxului muncii şi a oportunităţilor. Teoretic, un grup de oameni care muncesc împreună într-o activitate comună sau pentru obiective comune poate fi mult mai eficient decât un grup de oameni care muncesc independent. Deoarece calculatoarele îmbunătăţesc dialogul între membrii grupului şi urmăresc progresele lor, detaliile nu vor mai fi omise, iar desfăşurarea poate fi foarte uşor de urmărit.

Aceste idei au fost aplicate la procese cum sunt planificate şi administrate proiectelor. Planificarea în reţea permite unui grup dintr-o reţea să-şi facă orare pe reţea. Când vor să-şi coordoneze activităţile, de exemplu să stabilească o întâlnire, orarul grupului poate fi examinat şi poate fi găsit momentul când toţi membrii sunt disponibili. Folosind poşta electronică, aceştea pot fi rugaţi să va şedinţă (sau în organizaţiile mai autoritate li se ordonă).

Alte caracteristici ale aplicaţiei de grup: Sisteme de informare (oferite în sisteme de poştă electronică cum ar fi cc: Mail). Baze de date folosite în comun. Sisteme de conducere a proiectelor. Servicii de bibliotecă (pentru administrarea documentaţiilor aparţinând unui grup). Sisteme de control al versiunii (asemănătoare cu serviciul de bibliotecă, dar cu facilităţi de control al arhivării şi găsirii diverselor versiuni de fişier; aceste sisteme sunt de obicei folosite pentru dezvoltarea programelor).

Una dintre cele mai lăudate aplicaţii ale tehnologiilor de grup, Lotus Notes, este un sistem de baze de date cu poştă electronică. Rolul lui Notes este de a răspândi informaţiile deţinute în bazele de date ale organizaţiilor, la un număr oarecare de utilizatori. Sistemul permite duplicarea şi sincronizarea mai multor copii de baze de date.

O altă direcţie principală a aplicaţiilor de grup este posibilitatea urmăririi fluxului muncii. Ideea este că grupurile de utilizatori care sunt într-o reţea pot beneficia de automatizarea activităţilor de rutină. Mare parte a sistemelor care se ocupă de fluxul muncii se bazează pe formulare. Ele primesc date de la o persoană, pe care apoi le transmit, dacă e posibil cu date suplimentarea din alte surse, celorlalţi membri. Ele au mecanisme pentru contabilizarea şi urmărirea tranzacţiilor şi raportarea stadiului muncii. Obiectivele vor fi mai rar uitate sau amânate, deoarece calculatoarele sunt mai de încredere decât oamenii. Fluxul muncii este concept atât de important în reţele, încât multe dintre principalele companii producătoare de produse de reţea au investit în companii care dezvoltă tehnologii de bază pentru suportul fluxului muncii.

Problema cu aplicaţiile de grup este că e greu ca oamenii să se obişnuiască cu ea! („Poţi să duci un cal la apă, dar nu poţi să-l faci să bea.”).

NIVELE ALE LIMBAJELOR DE PROGRAMARE

“Nivelul” unui limbaj este apreciat prin poziţia pe care o ocupă pe scara constituită de limbajul recunoscut de microprocesor (limbaj maşină) şi limbajul natural al programatorului (limba română, limba engleză …) .

Un limbaj de nivel scăzut este foarte apropiat de maşină, el manipulează cu elemente de nivel hardware, fizic, cum ar fi : registru, microprocesor, locaţie de memorie, port de intrare / ieşire etc.

Un limbaj de nivel înalt sau foarte înalt manipulează cu concepte apropiate de limbajul natural, concepte de nivel logic, cum ar fi: colecţie de date, nume de operaţie (sort, writeln, open), variabile, constante ( asemănătoare ca înţeles cu cele din matematică).

46

Cu ajutorul unui limbaj de nivel înalt programatorul se face mult mai uşor înţeles de către calculator . Uneori o singură limie de program scrisă cu un astfel de limbaj poate echivala cu sute de linii de program scrise în limbaj maşină. Deci din punct de vedere al reducerii timpului de realizare a unui program şi al siguranţei în funcţionare (absenţa erorilor de programare) este de preferat un limbaj de nivel cât mai ridicat (înalt sau foarte înalt). În schimb, pe măsură ce limbajul are un nivel mai ridicat execuţia programului conceput cu ajutorul său va fi mai lentă, decât a unui program ce realizează aceleaşi operaţii dar este scris în limbaj de asamblare.

O altă diferenţă esenţială între cele două tipuri de limbaje o reprezintă portabilitatea, adică posibilitatea transferării programelor pe un alt tip de maşină decât cea pe care au fost construite. Din acest punct de vedere limbajul de asamblare este neportabil deoarece el este specific microprocesorului. Programele realizate pe un tip de maşină trebuie rescrise integral pentru noul tip de maşină , folosind un nou set de instrucţiuni – care deobicei diferă foarte mult. Lucrurile stau altfel cu programele concepute cu ajutorul unui limbaj de nivel înalt, deoarece acestea sunt detaşate de maşină. Între un astfel de program şi calculator se interpune compilatorul (sau interpretorul) care rezolvă corect transformarea fişierului-sursă în fişier - executabil.

Limbaje procedurale – neprocedurale

Cele două tipuri de limbaje, procedurale şi neprocedurale, se diferenţiază prin nivelul de organizare (structurare) a unui program. Limbajele neprocedurale sunt concepute pentru a gândi un program la nivel de instrucţiune, pe când cele procedurale, obligă programatorul să conceapă programe la nivel de bloc. Într-un limbaj procedural (numit şi limbaj structurat) programele sunt scrise instrucţiune cu instrucţiune, dar ele sunt organizate logic în blocuri (grupuri de instrucţiuni) ce realizează o acţiune bine determinată. În general un bloc are un punct de intrare şi un punct de ieşire – nu mai multe.

Un limbaj procedural oferă posibilitatea utilizării unui nivel ridicat de concepere a unui program şi duce la realizarea de programe coerente şi protejate la erori. Prin contrast, limbajele neprocedurale nu favorizează programatorul în a se desprinde de nivelul „instrucţiune” şi duc deseori la programe greu de controlat – mai ales în cazul programelor de dimensiuni mari.

Limbajele neprocedurale sunt încă preferate de unii utilizatori datorită timpului foarte scurt cât decurge învăţarea şi utlizarea lor.

Limbaje orientate

Din punctul de vedere al aplicabilităţii unui limbaj, limbajele pot fi orientate pe o anumită problemă sau concepute pentru soluţionarea oricărui tip de problemă – limbaje de uz general sau altfel spus, neorientate pe o problemă.

Limbajele orientate prezintă un grad înalt de specificitate pe când un limbaj neorientat reprezintă un cadru general ce permite introducerea de către utilizator a conceptelor şi prelucrărilor dorite.

Deci, diferenţa esenţială dintre cele două tipuri de limbaje o constitue nivelul conceptual definit. Cele specializate posedă deja integral suportul necesar şi permit programatorului să se concentreze la ansamblul problemei, pe când cele nespecializate lasă în sarcina programatorului manevrarea nivelelor inferioare ale problemei.

Limbaje concurente

Un limbaj concurent permite definirea de procese (prelucrări) paralele, execuţia sa fiind ramificată la un anumit moment de timp. Prin contrast limbajele neconcurente (majoritatea limbajelor) au o desfăşurare liniară, fiind activ un singur proces la un moment dat. Procesele concurente presupun în mod obligatoriu un sistem multi-tasking ce poate gestiona mai multe „sarcini” la un moment dat.

Limbaje de nivel scăzut

Această categorie de limbaje are un reprezentant autoritar şi anume: limbajul de asamblare. Diferenţierile care se pot face pentru limbajele de nivel scăzut sunt următoarele:

47

după tipul de maşină;Regulile respectate de versiunile limbajului de asamblare sunt :– nouă versiune o include complet pe cea anterioară,– versiunea nouă oferă funcţii suplimentare şi le realizează pe cele vechi mai rapid.

după mediul de programare oferit.Aspectul unui limbaj poate fi schimbat radical de mediul de programare oferit . Pentru limbajul de

asamblare există mai multe implementări disponibile, începând cu pachete ce operează în mod linie şi culminând cu medii integrate în care toate operaţiile se pot declanşa de la un acelaşi pupitru de comandă .

Nu sunt luate în considerare decât aceste medii integrate (denumite generic medii Turbo), dintre care se detaşează Turbo Asamblorul firmei Borland TASM.

Limbaje de nivel înalt neorientate

BASIC

A fost creat în 1964 la Darmooth College (S.U.A.). Denumirea sa provine de la iniţialele cuvintelor Beginner’s Allpurpose Symbolic Instruction Code (Cod de instrucţiuni simbolice, de uz general, destinat începătorilor).

Are următoarele caracteristici fundamentale : – simplu de învăţat; instrucţiunile sale sunt cuvinte din limba engleză sau prescurtări ale

acestora;– neorientat pe un anumit tip de problemă; permite construirea de aplicaţii; – este un limbaj nestructurat, ceea ce îi permite să fie uşor învăţat.Din cauză că a cunoscut o largă răspândire, au fost implementate noi versiuni de Basic: GW-

BASIC, QUICK BASIC, TURBO BASIC, VISUAL BASIC (Basic for Windows).

FORTRAN

Limbajul Fortran este decanul de vârstă al limbajelor de largă folosinţă. A apărut în 1956 şi îşi datorează numele prescurtării cuvintelor: FORmula TRANslation (Traducere de formule). Iniţial reprezenta un limbaj orientat pe calcule ştiinţifice având definite concepte precum: matrice, funcţii trigonometrice, numere reale în dublă precizie. Versiunile ulterioare care au cunoscut o mare popularitate au extins posibilităţile limbajului trasformându-l într-un limbaj eficient, de uz general. În prezent există pentru IBM-PC două implementări mai importante ale limbajului: Microsoft Fortran, Fortran for Windows.

Deşi nu poate fi considerat „depăşit” din punct de vedere conceptual (este un limbaj algoritmic – structurat) este neindicată folosirea lui datorită absenţei unor medii de programare performante şi pentru că tendinţa actuală îi este defavorabilă.

PASCAL

Conceptualizat în anul 1970 de către Niklaus Wirth, limbajul PASCAL poartă numele matematicianului şi filosofului BLAISE PASCAL, în semn de recunoaştere a meritelor sale în teoretizarea maşinilor de calcul.

Creat după acumularea de cunoştiinţe temeinice în ştiinţa limbajelor formale, din confruntarea cu probleme concrete ale programării, limbajul PASCAL a constituit la vremea respectivă un limbaj modern, menţinându-se ca atare şi în prezent, datorită faptului că posedă o solidă bază conceptuală.

Limbajul PASCAL a introdus în versiunea sa iniţială noţiunea de programare structurată şi ulterior noţiunile de date (structuri) dinamice, date (structuri) definite de utilizator.

În prezent standardul implementărilor PASCAL cuprinde următoarele elemente: programare structurată de tip algoritmic; definirea de noi funcţii sau proceduri; tipuri de date definibile de către utilizator; structuri de date dinamice;

48

adresări indirecte ale datelor; recursivitate; rutine complete de intrare / ieşire; funcţii de conversie a datelor din ASCII în format intern şi invers; set complet de funcţii matematice; funcţii elementare de grafică 2D; posibilitatea inserării direct în sursă a instrucţiunilor în limbaj de asamblare; posibilitatea definirii de overlay-uri pentru program.

Versiunile standard ale implementărilor PASCAL sunt cele oferite de Microsoft şi Borland, cu avantaj pentru cele din urmă (TURBO PASCAL 5.0, TURBO PASCAL 5.5) datorită mediului de lucru performant (de tip “TURBO” ). Combinaţia PASCAL + TURBO a reprezentat un succes imens în rândul programatorilor având ca singur rival cealaltă combinaţie: C+TURBO.

Limbajul C

Acest limbaj de programare , cu cel mai scurt nume , a fost creat în 1971 de către Dennis Ritchie şi Brian Kernigham pentru dezvoltarea sistemului de operare UNIX.

Principalele caracteristici ale limbajului sunt: limbaj structurat de nivel înalt; posedă concepte de nivel scăzut, ceea ce permite exploatarea portabilă a caracteristicilor intime unei maşini; rutine de conversie a datelor foarte evoluate; tipuri de date definibile de către utilizator; gestionarea elaborată a datelor de tip dinamic; definirea de noi funcţii; adresări indirecte ale datelor , variabilelor ( pointer-i ); recursivitate; set complet de funcţii matematice; funcţii pentru realizarea de grafică elementară 2D; funcţii de apel servicii DOS; posibilitatea definirii de overlay-uri pentru un program; concizie deosebită a limbajului. Pentru versiunile standard ale implementărilor limbajului C există medii de programare de tip “TURBO” ce aparţin firmelor: Microsoft – produsul QUICK C şi firmei Borland – produsele TURBO C.

Limbajul ADA

A fost creat special pentru a gestiona totalitatea aplicaţiilor dezvoltate şi utilizate de N.A.S.A. Noutatea limbajului (de tip structurat, algoritmic) o constitue concurenţa, deci posibilitatea lansării de procese paralele (sincronizate interactiv în finalul execuţiei lor). Saltul calitativ este evident şi deschide un nou domeniu în programare … dar nu pentru IBM-PC. Versiunile implementărilor limbajului ADA pe IBM-PC nu posedă tocmai acestă parte de concurenţă, reducând limbajul la un simplu limbaj structurat de uz general. Deci, ADA este un limbaj ultramodern din punct de vedere teoretic dar ineficient din punct de vedere practic pentru IBM-PC-uri.

Limbaje orientate pe gestiunea bazelor de date

Necesităţile actuale în practica utilizării calculatoarelor se îndreaptă cu precădere spre gestionarea bazelor de date de mari dimensiuni. O explicaţie a acestei orientări e dată de faptul că o bază de date reprezintă o informaţie, iar cel ce deţine informaţii complete şi rapide într-o anumită problemă este indiscutabil cu un pas înaintea celorlalţi. Concurenţa din domeniul economic poate fi numită pe bună dreptate o bătălie informaţională.

49

Un sistem de gestionare a bazelor de date (S.G.B.D.) de tip clasic operează cu următorii termeni fundamentali:

câmp – o locaţie în care se poate memora o informaţie bine determinată; înregistrare – mai multe câmpuri alcătuiesc împreună o înregistrare; baza de date – colecţie de înregistrări.

Deci, datele sunt gestionate prin intermediul unei structuri, organizată ierarhic, la un nivel de organizare logică.

Tendinţa modernă în exploatarea bazelor de date constă în deplasarea interesului către bazele de date relaţionale. Diferenţa esenţială constă în definirea unui nivel logic suplimentar între datele gestionate. Acestea nu mai sunt privite ca simple fişe izolate între ele ci pot fi analizate pe baza legăturilor (relaţiilor) ce există între ele.

Noţiunile cu care operează un S.G.B.D. relaţional sunt următoarele: tabel – structură fundamentală de “depozitare” a datelor; linie în tabel – echivalentul unei înregistrări clasice; coloană în tabel – echivalentul unui câmp de tip clasic; bază de date – o colecţie de tabele, conectate prin valorile anumitor coloane.

Această nouă concepţie permite definirea de structuri 1:n. O “înregistrare” poate conţine n valori pentru un “câmp” anumit nu una singură ca în cazul clasic. Structurile de tip 1:n pot fi rezolvate şi cu ajutorul unui S.G.B.D. clasic, dar întreaga gestiune a operaţiilor revine programatorului pe când un mediu relaţional furnizează din start servicii speciale.

Spre deosebire de S.G.B.D.-urile clasice, un mediu relaţional presupune ca cerinţă minimală posibilitatea manipulării datelor prin intermediul conexiunilor logice stabilite. Pentru aceasta există definit (şi impus ca standard unanim recunoscut) limbajul de interogare SQL (Structured Query Language – limbaj de cereri structurate). Prin intermediul său sunt permise următoarele operaţii:

regăsire date (conexate logic) ce îndeplinesc o anumită condiţie; definire ordine de returnare a datelor; redefinire conectări logice ale datelor; exploatare; programare.

Avantajele unui S.G.B.D. clasic sunt: simplitate în manevrare; deci efort de studiu redus; pot funcţiona pe un sistem de calcul ce nu implică resurse speciale, ci doar spaţiu de stocare extern suficient pentru problema dată; preţ de cost redus faţă de cele relaţionale.

Avantajele unui S.G.B.D. relaţional sunt: nivel logic superior (corelaţii, structuri 1:n ), prelucrări (regăsiri) de date cu un înalt nivel de complexitate; nivel superior de portabilitate a aplicaţiilor, datelor.

S.G.B.D. -uri clasice

dBASE IIICel mai răspândit sistem de gestiune a bazelor de date este dBASE, în diversele lui versiuni. El

poate fi considerat un “BASIC” al bazelor de date. La momentul apariţiei a constituit o adevărată revoluţie în domeniul S.G.B.D.-urilor.

Meritele sale principale care l-au impus atenţiei utilizatorilor şi programatorilor sunt : foarte simplu de utilizat; limbaj de nivel foarte înalt , simplu de învăţat; interactivitate bună a sistemului; poate funcţiona cu resurse extrem de restrânse; Dezavantajele principale ale dBASE-ului sunt: viteză de lucru extrem de scăzută;

50

limbaj de programare cu lacune greu de surmontat (nu posedă salturi, funcţii matematice reduse, erori de implementare); aplicaţiile create slab interactive; imposibilitateta conectării cu un alt limbaj.

Cele mai importante implementări ale sale sunt: dBASE III Plus şi dBASE IV.

COBOLA fost creat în 1950 şi reprezenta singura posibilitate de gestionare a unei baze de date. Reprezintă

în primul rând un limbaj de programare special conceput pentru informatica de gestiune. Dacă facem o comparaţie, sugestivă, COBOL este echivalentul FORTRAN-ului pentru sistemele de gestiune a bazelor de date (din punct de vedere istoric şi al performanţelor).

Limbajul este considerat greoi şi inflexibil, iar pentru crearea unui program foarte simplu e nevoie de scrierea unui adevărat eseu. Singurul avantaj real al COBOL-ului este portabilitatea sa ridicată.

FOXBASE Sistemul dBASE a incintat firmele producătoare de soft, datorită popularităţii sale şi pe de altă parte a calităţilor scăzute ale implementărilor originale furnizate de firma Ashton-Tate. Au apărut noi implementări ale limbajului care au încercat să furnizeze unelte profesionale pe baza acestui suport conceptual. Versiunile FOXBASE 2.10 şi FOXBASE PRO se constitue în medii performante atât pentru programatori cât şi pentru utilizatori.

ISISEste distribuit gratis de către UNESCO, ceea ce îl face cu adevărat interesant. Caracteristicile ce îl

fac interesant sunt: interactivitate bună; posibilitate definire structuri 1:n; suport de reţea locală; un limbaj intern (o versiune de PASCAL) cu care se prelucrează datele; adaptabilitate foarte bună.

S.G.B.D. –uri relaţionale

ORACLESe poate afirma fără teama de a greşi că ORACLE reprezintă cel mai performant S.G.B.D.

disponibil la momentul actual. Pe lângă faptul că posedă avantajele unui mediu de tip relaţional ORACLE este gândit ca un sistem exhaustiv pentru rezolvarea problemelor de utilizare sau programare.

Limbajul intern folosit este SQL Plus şi este permisă conectarea cu alte limbaje externe evoluate (orientate către C). Putem menţiona:

viteză de lucru foarte bună; exploatare interactivă la nivel SQL; limitări de lucru greu sau imposibil de atins (maxim 65535 caractere într-un câmp, număr nelimitat de câmpuri, de înregistrări); exploatare eficientă a spaţiului pe disc (memorarea câmpurilor în format variabil).

Oracle este implementat pe majoritatea tipurilor de computere mari, ceea ce oferă portabilitatea aplicaţiilor, dar mai ales posibilitatea conectării la calculatoare puternice.

PARADOXReprezintă un S.G.B.D. cu adevărat profesional. El îndeplineşte toate cerinţele unui produs cu

adevărat modern şi performant şi anume: interactivitate foarte bună; viteză de lucru mare; servicii şi auxiliare;

51

limbaj de programare evoluat (PAL – Paradox Application Language), dotat cu compilator.

Limbaje orientate pe calcul tabelar

Aplicaţiile împreună cu limbajele implementate pentru rezolvarea problemelor descrise în continuarea nu pot fi considerate medii de programare propriu-zise.

Aplicaţiile de tip „tabelă de calcul” au fost concepute în ajutorul funcţionarilor, pentru a prelua o parte imensă din rutina de lucru inerentă unor astfel de activităţi.

Denumirea provine din limba engleză şi este o traducere pentru termenul „spread-sheet” (spread-întindere, desfăşurare, foaie, tabel; sheet-schemă, diagramă, a acoperi cu un strat). În traducere directă aceasta ar însemna – pentru cazul de faţă – organizarea unei foi (a unui tabel).

Iată cum funcţionează un program de tip spread-sheet: elementul de lucru îl reprezintă un tabel; un tabel este format din linii şi coloane; intersecţia unei linii cu o coloană se cheamă celulă; tabelul este vizualizat pe ecran prin intermediul unei ferestre; în fiecare celulă poate exista una din entităţile următoare: text, numere, formule, secvenţe de program, macroinstrucţiuni.

Pe lângă aceste caracteristici specifice unui spread-sheet cerinţele minimale ale unui pachet de calcul tabelar includ:

posibilitatea „căutărilor inverse” (de la rezultatul unui calcul, la valorile care l-au generat); posibilitatea de lucru multi-tabel (mai multe tabelel simultan); funcţii de editare şi formatare a textului (editor de texte obişnuit); funcţii grafice (diagrame, prezentări); sistem de gestiune a bazelor de date (pentru celulele unui tabel); tipărire de calitate (posibilitatae de a lucra cu mai multe tipuri de imprimante, exploatarea rezoluţiei unei imprimante laser, set bogat de fonturi).

Spre deosebire de limbajele de programare propriu-zise, cele folosite de spread-sheet-uri sunt special concepute pentru a fi folosite de nespecialişti (uşor de învăţat, uşor de utilizat).

Un astfel de limbaj (de tip interpretor) se constituie într-un cadru general pentru rezolvarea problemelor funcţionarilor din diverse domenii de activitate.

O aplicaţie realizată cu un spread-sheet poate fi modificată şi adusă la zi direct de către utilizator, fără a mai fi necesară intervenţia programatorului. Produsul obţinut are flexibilitate maximă, iar efortul necesar realizării lui este minim.

Dezavantajele principale ale aplicaţiilor realizate cu ajutorul unui spread-sheet le constitue imposibilitatea depăşirii cadrului de „programare” oferit şi dificultatea de a realiza prelucrări foarte complexe . Însă aceste dezavantaje sunt mai mult teoretice deoarece nu este cazul de a realiza aplicaţii cu astfel de cerinţe folosind un spread-sheet. Programele de calcul tabelar rezolvă în mod strălucit o problemă punctuală.

Cele mai cunoscute şi răspândite produse de tip „calcul tabelar” sunt:

LOTUS 1-2-3 Lotus 1-2-3, produs al firmei Lotus Development este în mod sigur cel mai răspândit produs din

această categorie. Datorită popularităţii sale el s-a constituit într-un adevărat standard (neoficial) pentru spread-sheet-uri. La nivel de ansamblu, LOTUS se preuintă ca o aplicaţie cu bună interactivitate. Reproşurile ce i se pot aduce sunt: meniurile (uneori stufoase şi nelogic ramificate) şi help-ul care nu totdeauna este la obiect.

QUATRO PRO 2.0

52

Spread-sheet-ul QUATRO, realizat de firma Borland este cel mai nou şi puternic produs din categoria sa. El combină într-un mod fericit tot ceea ce este pozitiv la rivalii săi adăugând şi multe facilităţi proprii.

EXCELProdusul firmei Microsoft, EXCEL este o aplicaţie care funcţionează sub Windows. De aici

rezultă în mod direct unele din caracteristicile sale (utilizare mai comodă, meniuri foarte clare şi standardizate, funcţii grafice deosebit de puternice, viteză de lucru inferioară lui Quatro).

Câteva specificaţii tehnice pentru EXCEL ar fi: tabelă cu dimensiunea maximă de 1638 x 256 celule; lăţimea maximă a unei coloane este de 255 caractere; tabelele şi grafica pot exista pe foi distincte; funcţioneauă după principiul WYSIWYG; se pot folosi maxim 4 fonturi la un moment dat; limbaj de programare puternic şi flexibil; posibilitatea definirii de macroinstrucţiuni; nu posedă funcţie de salvare automată; conţine suport de funcţionare în reţea; detectează prezenţa coprocesorului matematic şi face uz de facilităţile acestuia; lucrează cu memoria expandată.

Alte limbaje orientate

Limbaje orientate pe calcul matematic simbolic Specialiştii din domeniul cercetării matematice au la dispoziţie unelte de lucru extrem de utile

pentru eliminarea calculului matematic rutinier. În acest scop au fost create limbaje de programare care pot recunoaşte şi rezolva formule sau ecuaţii matematice complexe. Expresiile manevrate pot conţine operaţii algebrice elementare, operatori de derivare, de integrare, operatori diferenţiali care sunt recunoscuţi de sistem ca atare. În plus sunt oferite instrucţiuni absolut necesare pentru a controla un program.

Cele mai importante produse de acest gen sunt REDUCE, SYMNON, MATHCAD, MATHEMATICA, MATHLAB.

Limbaje orientate pe programarea inteligenţei artificiale

Acest tip de limbaje diferă esenţial de cele algoritmice. Modalitatea de programare este descriptivă şi are intenţia declarată de simulare a raţionamentului uman. Pentru rezolvarea unei probleme sunt furnizate seturile de reguli şi informaţii necesare, iar apoi se descrie în ce constă problema ca atare. Limbajul este capabil să opereze deducţiile (deciziile) necesare pentru a rezolva problema într-un caz particular ce apare în practică.

Aşadar, aceste limbaje descriu problema de rezolvat (în termenii deducţiilor logice) pe când limbajele de tip algoritmic descriu metoda de rezolvare a problemei. Domeniile de aplicabilitate pentru limbajele de programare a inteligenţei artificiale sunt cu predilecţie: realizarea de sisteme expert (programe ce înlocuiesc experţii umani), computerizarea procesului de producţie, robotică, tratarea limbajelor naturale.

Cele mai importante limbaje de acest tip sunt: PROLOG (PROgramming in LOGic) creat în 1973 şi implementat pe PC-uri abia în 1986 de firma Borland sub forma Turbo-Prolog. LISP (LISt Processing language) conceput în 1976 şi implementat pe PC-uri de firma Microsoft sub forma MuLISP.

GENERAŢII DE CALCULATOARE

Generaţia I (1946-1956) caracterizată prin:

53

Hardware: relee, tuburi electronice; Software: programe cablate, cod maşină, limbaj de asamblare; Capacitate de memorie: 2 Kocteţi; Viteză de operare: 10.000 de operaţii/sec.; Calulatoare: ENIAC, UNIVAC, IBM;

Generaţia a II–a (1957-1963) marcată de apariţia tranzistorului Hardware: tranzistoare, memorii cu ferite, cablaj imprimat; Software: limbaj de nivel înalt ( Algol, Fortan) Memorie: 32 Kocteţi; Viteza: 200.000 de instrucţiuni/sec Calculatoare: IBM 7040, NCR501;

Generaţia a III–a (1964- 1981) caracterizată prin: Hardware: circuite integrate (la început pe scară redusă, apoi pe scară medie şi largă; scara de integrare se referă la numărul de componente electronice pe unitatea de suprafaţă), cablaje imprimate multistrat, discuri magnetice, aparariţia primelor microprocesoare; Software: limbaje de nivel foarte înalt, programare orientată pe obiecte B.Pascal, programare structurată LISP, primele programe pentru grafică şi baze de date . Memorie: 1÷2 Mocteţi ; Viteza: 5.000.000 de operaţii/sec; Calculatoare: IBM 370, FELIX Comunicaţii: Primele comunicaţii prin satelit, transmisia de date prin fibră optică.

Generaţia a IV-a (1982-1989) caracterizată prin: Hardware: circuite integrate pe scară foarte mare (VLSI), sisteme distribuite de calcul, apar microprocesoarele de 16/32 biţi, primele elemente optice (discurile optice); Software: Pachete de programe de largă utilizare, sisteme expert, sisteme de operare, se perfecţioneaza limbajele de programare orientate pe obiect, baze de date relaţionale; Memorie: 8÷10 Mocteţi; Viteza: 30 de milioane de instrucţiuni/sec; Caculatoare: INDEPENDENT, CORAL, IBM (apar mai multe versiuni)

Generaţia a V-a (1991-2002) în curs de dezvolatare Hardware: circuite integrate pe scară ultralargă ULSI (proiectare circuite integrate 3D), arhitecturi paralele, alte soluţii arhitecturale noi (reţele neurale etc.), proiectele galiu-arsen. Software: limbaje concurente, programare funcţională, prelucrare simbolică, baze de cunoştiinţe, sisteme expert evoluate, programe de realitate virtuală, acum apar şi sistemele de operare windows. Această perioadă este marcată de apariţia internetului şi extinderea rapidă a acestei reţele mondiale. Memorie: de la zeci, sute de Mocteţi până la Gocteţi; Viteza: 1G de instrucţiuni /sec – 3 G de instrucţiuni/sec Comunicaţiile: au atins un nivel nemaiîntâlnit, emisiile radio de ordinul GHz, reţele globale pe fibră optică, reţele de comunicare prin satelit. Calculatoare: o gamă foarte largă de calculatoare.

54

CAPITOLUL VII

LIMBAJUL VISUAL BASIC

7.1 Programarea aplicaţiilor Windows

Pentru realizarea unei aplicaţii pot fi avute în vedere două tehnologii de programare şi anume:– programare procedurală– programare orientată spre obiecte şi dirijată de evenimente.

În programarea procedurală, o aplicaţie este constituită din unul sau mai multe programe care se vor executa într-o anumită ordine, fiecare program fiind constituit dintr-o secvenţă de instrucţuni scrise într-un limbaj de programare.

Acesta era modul clasic de realizare a aplicaţiilor şi sistemelor informatice şi are o serie de dezavantaje printre care: productivitate scăzută în realizarea programelor, efort mare pentru realizarea programelor şi mai ales a interfeţelor etc.

Apariţia tehnologiei orientate obiect, a mediilor visuale de programare şi a sistemului de operare Windows a condus la apariţia şi dezvoltarea unei noi tehnologii de programare a aplicaţiilor windows şi anume programarea orientată pe obiecte şi dirijată de evenimente, tehnologie ce va fi prezentată în cele ce urmează în cadrul limbajului Visual Basic.

O aplicaţie Windows afişează unul sau mai multe ecrane care conţin obiecte cu care va interacţiona utilizatorul pentru a controla evoluţia programului. Într-un mediu de programare vizual, obiectele principale sunt formele şi controalele desenate în forme (formă = o fereastră) Aceste obiecte pot fi create prin selecţie şi depunere folosind barele de instrumente ale mediului respectiv.

Spre exemplu, bara cu instrumente Visual Basic permite crearea unei varietăţi de obiecte printre care: forme, butoane, casete cu listă, casete derulante combinate, casete de validare, butoane radio (butoane de opţiune), etc. Fiecare din aceste obiecte are un comportament predefinit. Spre exemplu când se execută click pe un buton acesta trece în poziţia apăsat şi apoi revine în poziţia normală. Pentru a schimba comportamentul obiectului acestuia trebuie să-i ataşaţi cod de program (instrucţiuni) corespunzător, cod ce se va executa atunci când are loc un anumit eveniment (spre exemplu în cazul butonului evenimentul este click).

Evenimentele se produc ca urmare a unei acţiuni a utilizatorului (ex. evenimentul click corespunde apăsării butonului stâng al mouse-ului pe obiectul respectiv), sau în urma execuţiei codului programului, sau pot fi declanşate de către sistem.

Majoritatea obiectelor vor răspunde unui anumit număr de evenimente generate de către utilizator printre care click-uri, dublu click-uri, apăsări de taste sau trageri şi eliberări ale obiectului. Limbajul Visual Basic pune la dispoziţia utilizatorului un mediu de dezvoltare care permite crearea de programe orientate spre obiecte şi conduse de evenimente. Pentru lucrul cu obiecte conduse de evenimente se parcurg următoarele etape:

– se creează o nouă formă căreia i se dă un nume;– se desenează şi se denumesc obiectele ce urmează a fi afişate în forma respectivă;– se ataşează fiecărui obiect codul ce va fi executat ca răspuns la evenimente generate de utilizator sau de sistem.

Va rezulta o interfaţă grafică cu care interacţionează utilizatorul pentru a controla evoluţia programului. Rezumând putem spune că în programarea orientată spre obiecte şi dirijată de evenimente, obiectele au un comportament predefinit care poate fi modificat de utilizator prin ataşare de cod corespunzător şi aceste obiecte răspund la evenimente declanşate fie ca urmare a acţiunii utilizatorului asupra obiectelor, fie ca urmare a execuţiei codului ataşat, fie declanşate de sistem.

55

7.2 Proprietăţi şi metode

Un obiect este definit de un set de proprietăţi cum ar fi: dimensiune, culoare, poziţie pe ecran, comportament (ex. dacă un buton radio este activ sau nu la un moment dat etc.). O metodă este o procedură (succesiune de instrucţiuni) asociată unei anumite acţiuni a unui obiect. Spre exemplu în Visual Basic există o metodă Move asociată majorităţii obiectelor (permite mutarea obiectelor).

Deci proprietăţile descriu obiectele iar metodele definesc acţiunile obiectelor, iar pe de altă parte proprietăţile reprezintă date iar metodele reprezintă cod (instrucţiuni). Astfel în gramatica programării orientate spre obiecte :

– obiectele sunt substantive;– proprietăţile sunt adjective;– metodele sunt verbe.

Utilizarea notaţiei cu punct pentru referirea proprietăţilor şi metodelorReferirea unei proprietăţi se face astfel:

Obiect . Proprietate = ValoareExemplu - fie forma frmForma1 şi variabila dColor în care memorăm culoarea de fond a formei

dColor = frmForma1.BackColor (citeşte culoarea curentă şi o depune în dColor)frmForma1.BackColor = QBColor (Blue) – stabileşte noua culoare de fond a formei la valoarea

Blue. Referirea metodelor se face asemănător cu referirea proprietăţilor, însă în plus metodele pot

necesita precizarea unor informaţii suplimentare.Exemplu - pentru mutarea obiectului Buton1 în colţul din stânga sus al formei curente se apelează

metoda Move şi se precizează coordonatele colţului din stânga sus:Buton1.Move 0,0

Stabilire proprietăţi şi executare metodeProprietăţile unui obiect pot fi setate în faza de proiectare (atunci când se desenează sau se

modifică formele) utilizând fişa Properties a formei sau obiectului din formă (fişa este automat vizualizată la selecţia obiectului respectiv: forma, buton, etc.). De asemenea fişa Properties poate fi vizualizată prin click dreapta şi selecţie Properties.

Proprietăţile pot fi modificate şi prin program în momentul execuţiei formei, dacă codul de program asociat conţine instrucţiuni care referă şi setează proprietăţi (ca în exemplul de mai sus în care schimbăm culoarea fondului formei).

Spre deosebire de proprietăţi, metodele pot fi executate numai în momentul execuţiei programului (eventual în momentul depanării programului utilizând facilitatea Debugger a programului Visual Basic).

Denumirea obiectelorOrice obiect are proprietăţile:

Name - numele utilizat în scrierea coduluiCapture - numele dat obiectului pentru a putea fi identificat de utilizator. Visal Basic dă

nume implicite obiectelor. Este indicat ca utilizatorul să dea nume obiectelor (Name) utilizând următoarea convenţie:

– un prefix format din 3 litere mici (ex. frm pentru formă, cmd pentru buton de comandă, etc.)– un şir de caractere care identifică obiectul (ex. Forma1, Ecran1, Buton1, etc.).

În tabelul următor sunt prezentate convenţiile de denumire a obiectelor din Visual Basic:

Obiect Prefix Exemplu

Formă Frm frmForma1Buton de comandă cmd, btn cmdButon, btnOK

Casetă de text Txt txtCaseta1

56

Obiect Prefix Exemplu

Bare de derulare- orizontală- verticală

hsbvsb

Meniu Mnu mnuMeniuPrincCasetă de validare Chk

Casetă cu lista LstCadru Fra

Imagine ImgButon de opţiune (radio) Opt optBO1

7.3 Instrucţiunile VBA

Generalităţi

Există trei categorii de instrucţiuni Visual Basic: instrucţiuni de declarare (prezentate la declararea variabilelor) prin care se denumesc şi se declară tipul pentru variabile, constante şi proceduri; instrucţiuni de atribuire (prezentate în continuare) prin care se atribuie valori variabilelor sau constantelor; instrucţiuni executabile (prezentate în continuare) care iniţiază acţiuni: execută metode sau proceduri, controlează fluxul execuţiei codului.

În mediul de dezvoltare VBA, sintaxa instrucţiunilor este verificată automat după ce se trece la instrucţiunea următoare (prin Enter).

Continuarea instrucţiunilorO instrucţiune poate să fie scrisă pe mai multe linii prin utilizarea caracterului de continuare a

liniei "_" precedat de un spaţiu. De exemplu, crearea prin program a unui tabel într-un document Word:ActiveDocument.Tables.Add Range:=Selection.Range, _NumRows:=3, _NumColumns:= 3

unde, pe lângă continuarea liniilor se va remarca utilizarea argumentelor numite la apelul metodei de adăugare a unui nou tabel la colecţia de tabele a documentului.

Două instrucţiuni pot fi scrise pe o aceeaşi linie dacă sunt separate cu caracterul ":".

Etichetarea liniilorO linie poate fi identificată:

printr-o etichetă: orice nume, care respectă regulile generale, care începe în prima coloană a liniei şi se termină cu caracterul ":" printr-un număr: orice combinaţie de cifre, care începe în prima coloană a liniei şi este unic în modulul respectiv.

Identificatorii de linii pot fi utilizaţi în instrucţiuni de control, desi codul astfel construit nu respectă regulile programării structurate.

ComentariiTextele explicative (necesare documentării codului) pot fi introduse pe linii separate sau în

continuarea liniei de cod.O linie de comentariu începe cu un apostrof (') sau cu cuvântul Rem urmat de un spaţiu.Comentariul de pe aceeaşi linie cu o instrucţiune se introduce printr-un apostrof urmat de

comentariu.

57

OperatoriÎn formarea expresiilor de diverse tipuri, operatorii sunt cei utilizaţi aproape general în limbajele

de programare de nivel înalt. Pentru fixarea termenilor şi notaţiilor sunt totuşi prezentaţi, pe categorii, însoţiţi, acolo unde este cazul de scurte explicaţii.

Operatori aritmetici

Operator Semnificaţie Observaţii

^ Ridicarea la putere

rezultatul este Double sau Variant(Double) cu excepţia: dacă un operand este Null, rezultatul este tot Null

* Înmulţirea rezultatul este dat de cel "mai precis" factor, ordinea crescătoare a "preciziei" fiind, pentru înmulţire, Byte, Integer, Long, Single, Currency, Double şi Decimal. Dacă o expresie este Null, rezultatul este Null. O expresie Empty este considerată ca 0. Pentru excepţii se va studia Help – *(operator).

/ Împărţirea rezultatul este, în general, Double sau Variant(Double). Dacă o expresie este Null, rezultatul este Null. O expresie Empty este considerată ca 0. Pentru excepţii se va studia Help – /(operator).

\ Împărţirea întreagă

înainte de împărţire, operanzii sunt rotunjiţi la Byte, Integer sau Long. Rezultatul este Byte, Variant(Byte), Integer, Variant (Integer), Long, sau Variant(Long). Dacă o expresie este Null, rezultatul este Null. O expresie Empty este considerată ca 0.

Mod Restul împărţirii

operanzii sunt rotunjiţi la întregi şi se obţine restul împărţirii. Rezultatul este Byte, Variant(Byte), Integer, Variant (Integer), Long, sau Variant(Long). Dacă o expresie este Null, rezultatul este Null. O expresie Empty este considerată ca 0.

+ Adunarea numerică sau concatenarea

şirurilor

în general, operanzi numerici produc adunarea, iar operanzi şiruri produc concatenarea. În cazul numeric, rezultatul este de tipul cel "mai precis" al operanzilor, ordinea de "precizie" fiind pentru adunare şi scădere: Byte, Integer, Long, Single, Double, Currency şi Decimal. Deoarece operanzii pot fi orice expresie, pentru o informare completă (de exemplu operanzi Variant) se va studia Help – +(operator).

- Scăderea sau inversarea semnului

operanzii pot fi doar numerici. Rezultatul este de tipul cel "mai precis" al operanzilor, ordinea de "precizie" fiind pentru adunare şi scădere: Byte, Integer, Long, Single, Double, Currency şi Decimal. Dacă o expresie este Null, rezultatul este Null. O expresie Empty este considerată ca 0. Pentru excepţii se va studia Help – -(operator).

58

Operatori de comparareRelaţiile care există între diferite tipuri de entităţi se pot evidenţia prin comparaţii având una

dintre formele următoare:result = expression1 comparisonoperator expression2result = object1 Is object2result = string Like pattern

underesult este o variabilă numericăexpression este o expresie oarecarecomparisonoperator este un operator relaţionalobject este un nume de obiectstring este o expresie şir oarecarepattern este o expresie String sau un domeniu de caractere.

Operatorii de comparare sunt cei uzuali: < (mai mic), <= (mai mic sau egal), > (mai mare), >= (mai mare sau egal), = (egal), <> (diferit, neegal).

Rezultatul este True (dacă este adevărată relaţia), False (dacă relaţia este neadevărată), Null (dacă cel puţin un operand este Null).

Operatorul Is produce True dacă variabilele se referă la acelaşi obiect şi False în caz contrar.Operatorul Like compară două şiruri cu observaţia că al doilea tremen este un şablon. Prin urmare

rezultatul este True dacă primul şir operand este format după şablon, False în caz contrar. Atunci când un operand este Null, rezultatul este tot Null.

Comportarea operatorului Like depinde de instrucţiunea Option Compare, care poate fi:Option Compare Binary, ordinea este cea a reprezentării interne binare, determinată în Windows de codul de pagină. Option Compare Text, compararea este insenzitivă la capitalizarea textului, ordinea este determinată de setările locale ale sistemului.

Construcţia şablonului poate cuprinde caractere wildcard, liste de caractere, domenii de caractere: un caracter oarecare oricâte caractere (chiar nici unul) # o cifră oarecare (0–9). [charlist] oricare dintre caracterele enumerate în listă, un domeniu de litere poate fi dat prin utilizarea cratimei. [!charlist] orice caracter care nu este în listă

Observaţie. Pentru a utiliza în şablon caracterele speciale cu valoare de wildcard se vor utiliza construcţii de tip listă: [[], [?] etc. Paranteza dreapta va fi indicată singură: ].Pentru alte observaţii utile se va studia Help – Like operator.

Operatori de concatenarePentru combinarea şirurilor de caractere se pot utiliza operatorii & şi +.

În sintaxa expression1 & expression2

unde operanzii sunt expresii oarecare, rezultatul este: de tip String, dacă ambii operanzi sunt String de tip Variant(String) în celelalte cazuri Null, dacă ambii operanzi sunt Null.

Înainte de concatenare, operanzii care nu sunt şiruri se convertesc la Variant(String). Expresiile Null sau Empty sunt tratate ca şiruri de lungime zero ("").

59

Operatori logiciPentru operaţiile logice sunt utilizaţi următorii operatori, uzuali în programare.

Operator Semnificaţie Observaţii

And conjuncţia logică Null cu False dă False, Null cu True sau cu Null dă Null. Operatorul And realizează şi operaţia de conjuncţie bit cu bit pentru expresii numerice.

Eqv echivalenţa logică Dacă o expresie este Null, rezultatul este Null. Eqv realizează şi compararea bit cu bit a două expresii numerice, poziţionând cifrele binare ale rezultatului după regulile de calcul ale echivalenţei logice: 0 Eqv 0 este 1 etc.

Imp implicaţia logică True Imp Null este Null, False Imp * este True, Null Imp True este True, Null Imp False (sau Null) este Null. Operatorul Imp realizează şi compararea bit cu bit a două expresii numerice, poziţionând cifrele binare ale rezultatului după regulile de calcul ale implicaţiei logice: 1 Imp 0 este 0, în rest rezultatul este 1.

Not negaţia logică Not Null este Null. Prin operatorul Not se poate inversa bit cu bit valorile unei variabile, poziţionându-se corespunzător un rezultat numeric.

Or disjuncţia logică Null Or True este True, Null cu False (sau Null) este Null. Operatorul Or realizează şi o comparaţie bit cu bit a două expresii numerice poziţionând biţii corespunzători ai rezultatului după regulile lui Or logic.

Xor disjuncţia exclusivă

Dacă un operand este Null, atunci rezultatul este Null. Se poate efectua operaţia de sau exclusiv şi bit cu bit pentru două expresii numerice [b1+b2(mod 2)].

Instrucţiuni de atribuireAtribuirea se poate efectua prin instrucţiunea Let (pentru valori atribuite variabilelor şi

proprietăţilor), Set (pentru atribuirea de obiecte la o variabilă de tip obiect), Lset şi Rset (pentru atribuiri speciale de şiruri sau tipuri definite de utilizator).

Instrucţiunea LetAtribuie valoarea unei expresii la o variabilă sau proprietate.

[Let] varname = expressionunde varname este nume de variabilă sau de proprietate.

Este de remarcat forma posibilă (şi de fapt general utilizată) fără cuvântul Let.Observaţii. Valoarea expresiei trebuie să fie compatibilă ca tip cu variabila (sau proprietatea): valori numerice nu pot fi atribuite variabilelor de tip String şi nici reciproc.

Variabilele Variant pot primi valori numerice sau String, reciproc nu este valabil decât dacă valoarea expresiei Variant poate fi interpretată compatibilă cu tipul variabilei: orice Variant poate fi atribuit unei variabile de tip String (cu excepţia Null), doar Variant care poate fi interpretat nuric poate fi atribuit unei variabile de tip numeric.

La atribuirea valorilor numerice pot avea loc conversii la tipul numeric al variabilei.Atribuirea valorilor de tip utilizator poate fi efectuată doar dacă ambii termeni au acelaşi tip

definit. Pentru alte situaţii se va utiliza instrucţiunea Lset. Nu se poate utiliza Let (cu sau fără cuvântul Let) pentru legarea de obiecte la variabile obiect. Se

va utiliza în această situaţie instrucţiunea Set.

60

Instrucţiunea LSetCopie, cu aliniere la stânga, un şir de caractere (valoarea expresiei din dreapta) într-o variabila de

tip String. Deoarece copierea este binară, poate fi utilizată pentru atribuiri între tipuri utilizator diferite (rezultatul este impredictibil deoarece nu se face nici o verificare de tipuri/componente ale valorilor de tip record). Sintaxa este

LSet stringvar = stringLSet varname1 = varname2

unde stringvar, string reprezintă variabila de tip String şi expresia de acelaşi tip implicate într-o atribuire de şiruri.varname1, varname2 sunt denumiri de variabile, de tipuri definite de utilizator (vezi instrucţiunea Type) diferite. Zona de memorie alocată celei de a doua variabile este copiată (aliniată la stânga) în zona de memorie a primei variabile.

Caracterele care rămân neocupate se completează cu spaţii, iar dacă zona de unde se copie este mai mare, caracterele din dreapta se pierd (sunt trunchiate).

Instrucţiunea LSetCopie, cu aliniere la dreapta, un şir de caractere (valoarea expresiei din dreapta) într-o variabila de

tip String. Sintaxa esteRSet stringvar = string

Caracterele rămase neocupate în variabilă sunt completate cu spaţii. Instrucţiunea RSet nu se poate utiliza (analog lui LSet) pentru tipuri definite de utilizator.

Instrucţiuni executabileExecuţia unui program are loc, în lipsa oricărui control, instrucţiune cu instrucţiune, de la stânga

la dreapta şi de sus în jos. Acest sens poate fi modificat, într-o oarecare măsură, prin ordinea de precedenţă a operaţiilor în evaluarea expresiilor. Este evident că o asemenea structură simplă nu poate cuprinde toate aspectele programării şi din acest motiv necesitatea structurilor de control a fluxului execuţiei. Unele instrucţiuni au fost păstrate doar din motive de compatibilitate cu versiunile iniţiale ale limbajului, în locul lor fiind preferate structuri mai evoluate sau similare altor limbaje de programare.

Instrucţiuni de transfer (GoSub…Return, GoTo, OnError, On…GoSub, On…GoTo)Această categorie cuprinde instrucţiunile prin care controlul execuţiei este transferat la o altă

instrucţiune din procedură. În general, utilizarea acestor comenzi nu produce programe foarte structurate (în sensul programării structurate) şi prin urmare, pentru o mai mare claritate a codului, pot fi înlocuite cu alte structuri de programare.

GoSub…ReturnÎn cadrul unei proceduri un grup de instrucţiuni poate fi organizat ca o subrutină (similar unei

proceduri on-line, nenumite) identificată prin linia de început. Transferul controlului la acest grup de instrucţiuni şi revenirea la locul apelului se poate efectua prin GoSub…Return cu sintaxa

GoSub line...line...Return

unde line este o etichetă de linie sau un număr de linie din aceeaşi procedură.Pot exista mai multe instrucţiuni Return, prima executată produce saltul la instrucţiunea care

urmează celei mai recente instrucţiuni GoSub executate.

61

GoToRealizează tranferul controlului execuţiei la o linie din aceeaşi procedură.

GoTo lineunde line este o etichetă de linie sau un număr de linie din aceeaşi procedură.

On ErrorPermite controlul erorilor prin transferul controlului la rutine de tratare.

Observaţie. Este prezentată în secţiunea dedicată controlului erorilor.

On…GoSub, On…GoToPermit o ramificare multiplă, după valoarea unei expresii. Se recomandă, pentru claritatea codului,

utilizarea structurii Select Case în locul acestor structuri.On expression GoSub destinationlistOn expression GoTo destinationlist

undeexpression este o expresie numerică având valoare întreagă (după o eventuală rotunjire) între 0 şi 255 inclusiv.destinationlist este o listă de etichete de linii sau numere de linii, separate prin virgule (elementele pot fi de ambele categorii), din aceeaşi procedură cu instrucţiunea.

Dacă valoarea expresiei este negativă sau mai mare decât 255 se produce o eroare.Dacă valoarea expresiei, fie ea k, este în domeniul rangurilor listei, atunci se transferă controlul la

linia identificată de al k-lea element al listei. Dacă valoarea expresiei este 0 sau mai mare decât numărul de elemente din listă, transferul se

efectuează la linia care urmează instrucţiunea On...GoSub sau On...GoTo.

Instrucţiuni de terminare sau oprire a programului (DoEvents, End, Exit, Stop)Terminarea execuţiei programului sau oprirea temporară (pauza) se pot realiza prin instrucţiunile

enumerate aici.

DoEventsDeşi nu este o instrucţiune VBA ci este o funcţie, includerea ei este naturală prin aceea că permite

cedarea controlului către sistemul de operare, care poate astfel să funcţioneze în regim de multitasking. Acţiunea poate fi realizată şi prin alte tehnici (de exemplu utilizarea unui Timer etc.). Sintaxa este

DoEvents( )Funcţia returnează, în general, valoarea 0. Controlul este redat programului după ce sistemul de operare a terminat procesarea evenimentelor

din coada de evenimente, ca şi procesarea tuturor caracterelor din coada SendKeys.Observaţie. Pentru alte observaţii se va studia documentaţia comenzii DoEvents.

EndTermină execuţia unei proceduri (sub forma prezentată aici) sau indică sfârşitul codului unei

structuri de tip bloc (cum ar fi End Function, End If etc., prezentate la structurile respective).Sintaxa, în ipostaza opririi execuţiei, este:

EndPrin această instrucţiune, care poate fi plasată oriunde în program, execuţia este terminată imediat,

fără a se mai executa eventualele instrucţiuni scrise pentru tratarea unor evenimente specifice sfârşitului de program (Unload, Terminate etc.).

Fişierele deschise prin Open sunt închise şi toate variabilele sunt eliberate. Obiectele create din modulele clasă sunt distruse, iar referinţele din alte aplicaţii la asemenea obiecte sunt invalidate. Memoria este eliberată.

62

ExitPrin instrucţiunea Exit, sub una din multiplele ei forme, se întrerupe o ramură de execuţie (cum ar

fi o procedură, o structură iterativă etc.) pentru a se continua nivelul apelant. Sintaxa este Exit DoExit ForExit FunctionExit PropertyExit Sub

şi efectele sunt prezentate la structurile respective. Nu trebuie confundată cu instrucţiunea End.

StopEfectul instrucţiunii este dependent de modul de execuţiei a programului. Dacă se execută varianta

compilată a programului (fişierul .exe) atunci instrucţiunea este similară instrucţiunii End (suspendă execuţia şi închide fişierele deschise). Dacă execuţia este din mediul VBA, atunci se suspendă execuţia programului, dar nu se închid fişierele deschise şi nu se şterge valoarea variabilelor. Execuţia poate fi reluată din punctul de suspendare.

StopInstrucţiunea este similară introducerii unui punct de oprire (Breakpoint) în codul sursă.

Structuri iterative (Do...Loop, For...Next, For Each...Next, While...Wend, With)Prin intermediul construcţiilor de tip bloc prezentate în această secţiune se poate repeta, în mod

controlat, un grup de instrucţiuni. În cazul unui număr nedefinit de repetiţii, condiţia de oprire poate fi testată la începutul sau la sfârşitul unui ciclu, prin alegerea structurii adecvate.

Do…LoopSe vor utiliza structuri Do…Loop pentru a executa un grup de instrucţiuni de un număr de ori

nedefinit aprioric. Dacă se cunoaşte numărul de cicluri, se va utiliza structura For…Next. Înainte de continuare se va testa o condiţie (despre care se presupune că poate fi modificată în

instrucţiunile executate). Diferitele variante posibile pentru Do…Loop diferă după momentul evaluării condiţiei şi decizia luată.

Do [{While | Until} condition][statements][Exit Do][statements]Loop

sauDo[statements][Exit Do][statements]Loop [{While | Until} condition]

undecondition este o expresie care valoare de adevăr True sau False. O condiţie care este Null se consideră False.statements sunt instrucţiounile care se repetă atâta timp (while) sau până când (until) condiţia devine True.

Dacă decizia este de a nu continua ciclarea, atunci se va executa prima instrucţiune care urmează întregii structuri (deci de după linia care începe cu Loop).

Se poate abandona ciclarea oriunde în corpul structurii prin utilizarea comenzii Exit Do (cu această sintaxă). Dacă apare o comandă Exit Do se poate omite chiar şi condiţia din enunţ întrucât execuţia se va termina prin această decizie.

63

Structurile Do pot fi inserate (dar complet) unele în altele. O terminare (prin orice metodă) a unei bucle transferă controlul la nivelul Do imediat superior.Execuţia structurilor este explicată în tabelul următor

Do While…Loop Testează condiţia la începutul buclei, execută bucla numai dacă rezultatul este True şi continuă astfel până când o nouă evaluare produce False.

Do Until…Loop Testează condiţia la începutul buclei, execută bucla numai dacă rezultatul este False şi continuă astfel până când o nouă evaluare produce True.

Do…Loop While Se execută întotdeauna bucla o dată, se testează condiţia la sfârşitul buclei şi se repetă bucla atât timp cât condiţia este True. Oprirea este pe condiţie falsă.

Do…Loop Until Se execută întotdeauna bucla o dată, se testează condiţia la sfârşitul buclei şi se repetă bucla atât timp cât condiţia este False. Oprirea este pe condiţie adevărată.

 

For…NextAtunci când se cunoaşte numărul de repetări ale unui bloc de instrucţiuni, se va folosi structura

For…Next. Structura utilizează o variabilă contor, a cărei valoare se modifică la fiecare ciclu, oprirea fiind atunci când se atinge o valoare specificată. Sintaxa este:

For counter = start To end [Step step][statements][Exit For][statements]Next [counter]

undecounter este variabila contor (numără repetările), de tip numeric. Nu poate fi de tip Boolean sau element de tablou.start este valoarea iniţială a contorului.end este valoarea finală a contorului.step este cantitatea care se adună la contor la fiecare pas. În cazul în care nu se specifică este implicit 1. Poate fi şi negativă. statements sunt instrucţiunile care se repetă. Dacă nu se specifică, atunci singura acţiune este cea de modificare a contorului de un număr specificat de ori.

Acţiunea este dictată de pasul de incrementare şi relaţia dintre valoarea iniţială şi cea finală. Instrucţiunile din corpul structurii se execută dacă

counter <= end pentru step >= 0 sau counter >= end pentru step < 0.

După ce toate instrucţiunile s-au executat, valoarea step este adăugată la valoarea contorului şi instrucţiunile se execută din nou după acelaşi test ca şi prima dată, sau bucla For…Next este terminată şi se execută prima instrucţiune de după linia Next.

Specificarea numelui contorului în linia Next poate clarifica textul sursă, mai ales în cazul când există structuri For…Next îmbricate.

Corpul unei bucle For…Next poate include (complet) o altă structură For…Next. În asemenea situaţii, structurile îmbricate trebuie să aibă variabile contor diferite.

64

Instrucţiunile Exit For pot fi plasate oriunde în corpul unei bucle şi provoacă abandonarea ciclării. Controlul execuţiei se transferă la prima instrucţiune de după linia Next.

For Each…NextSimilară structurii For…Next, structura For Each…Next repetă un grup de instrucţiuni pentru

fiecare element dintr-o colecţie de obiecte sau dintr-un tablou (cu excepţia celor de un tip utilizator). Este utilă atunci când nu se cunoaşte numărul de elemente sau dacă se modifică, în timpul execuţiei, conţinutul colecţiei.

Sintaxa este:For Each element In group[statements][Exit For][statements]Next [element]

undeelement este variabila utilizată pentru parcurgerea elementelor. Dacă se parcurge o colecţie de obiecte, atunci element poate fi Variant, o variabilă generică de tip Object, sau o variabilă obiect specifică pentru biblioteca de obiecte referită. Pentru parcurgerea unui tablou, element poate fi doar o variabilă de tip Variant.group este numele colecţiei de obiecte sau al tabloului.statements este grupul de istrucţiuni executate pentru fiecare element.

Execuţia unei structuri For Each…Next este: Se defineşte element ca numind primul element din grup (dacă nu există nici un element, se transferă controlul la prima instrucţiune de după Next – se părăseşte bucla fără executarea instrucţiunilor). Se execută instrucţiunile din corpul buclei For. Se testează dacă element este ultimul element din grup. Dacă răspunsul este afirmatif, se părăseşte bucla. Se defineşte element ca numind următorul element din grup. Se repetă paşii 2 până la 4.

Instrucţiunile Exit For sunt explicate la For…Next. Buclele ForEach...Next pot fi îmbricate cu condiţia ca elementele utilizate la iterare să fie diferite.

Observaţie. Pentru ştergerea tuturor obiectelor dintr-o colecţie se va utiliza For…Next şi nu For Each…Next. Se va utiliza ca număr de obiecte colecţie.Count.

While…WendExecută un grup de instrucţiuni atât timp cât este adevărată o condiţie. Sintaxa

While condition[statements]Wend

Este recomandat să se utilizeze o structură Do…Loop în locul acestei structuri.

WithProgramarea orientată pe obiecte produce, datorită calificărilor succesive, construcţii foarte

complexe atunci când se numesc proprietăţile unui obiect. În cazul modificărilor succesive ale mai multor proprietăţi ale aceluiaşi obiect, repetarea zonei de calificare poate produce erori de scriere şi conduce la un text greu de citit. Codul este simplificat prin utilizarea structurii With…End With. O asemenea structură execută o serie de instrucţiuni pentru un obiect sau pentru o variabilă de tip utilizator. Sintaxa este:

With object[statements]

65

End Withunde

object este numele unui obiect sau a unui tip definit de utilizatorstatements sunt instrucţiunile care se execută pentru entitatea precizată.

Permiţând omiterea recalificărilor din referinţele la obiectul precizat, orice construcţie de tipul ".nume" este interpretată în instrucţiunile structurii drept "object.nume".

Într-un bloc With nu se poate schimba obiectul procesat. La plasarea unui bloc With în interiorul altui bloc With, obiectul extern este mascat complet, deci

calificările eventuale la acest obiect vor fi efectuate.Nu se recomandă saltul în şi dintr-un bloc With. Structuri de decizie (If…Then…Else, Select Case)Ramificarea firului execuţiei după rezultatul verificării unei condiţii este o necesitate frecventă în

orice implementare. Pe lângă structurile prezentate, se pot utiliza trei funcţii care realizează alegeri în mod liniarizat

(pe o linie de cod): Choose(), Iif(), Switch().

If…Then…ElseO asemenea structură, întâlnită de altfel în toate limbajele de programare, execută un grup de

instrucţiuni ca răspuns la îndeplinirea unei condiţii (compusă sau nu din mai multe condiţii testate secvenţial). Sintaxa permite o mare varietate de forme:

If condition Then [statements] [Else elsestatements]sau

If condition Then[statements][ElseIf condition-n Then[elseifstatements] ...[Else[elsestatements]]End If

undecondition are una din formele: expresie numerică sau şir care se poate evalua True sau False (Null este interpretat False); expresie de forma TypeOf objectname Is objecttype, evaluată True dacă objectname este de tipul obiect specificat în objecttype.statements, elsestatements, elseifstatements sunt blocurile de instrucţiuni executate atunci când condiţiile corespunzătoare sunt True.

La utilizarea primei forme, fără clauza Else, este posibil să se scrie mai multe instrucţiuni, separate de ":", pe aceeaşi linie.

Verificarea condiţiilor implică evaluarea tuturor subexpresiilor, chiar dacă prin jocul operanzilor şi operatorilor rezultatul poate fi precizat mai înainte (de exemplu OR cu primul operand True).

Select CaseInstrucţiunea Select Case se poate utiliza în locul unor instrucţiuni ElseIf multiple (dintr-o

structură If…Then…ElseIf) atunci când se compară aceeaşi expresie cu mai multe valori, diferite între ele. Instrucţiunea Select Case furnizează, prin urmare, un sistem de luare a deciziilor similar instrucţiunii If…Then…ElseIf. Totuşi, Select Case produce un un cod mai eficient şi mai inteligibil. Sintaxa este:

Select Case testexpression[Case expressionlist-n[statements-n]] ...[Case Else[elsestatements]]

66

End Selectunde

testexpression este o expresie numerică sau şir.expressionlist-n este lista, separată prin virgule, a uneia sau mai multe expresii de forma:expression. expression To expression. Cuvântul To introduce un interval de valori, valoarea minimă fiind prima specificată. Is comparisonoperator expression. Se va utiliza Is cu operatori de comparare (exceptând Is şi Like) pentru a specifica un domeniu de valori. statements-n reprezintă una sau mai multe instrucţiuni care se vor executa dacă testexpression este egală cu un element din expressionlist-n.elsestatements reprezintă una sau mai multe instrucţiuni care se vor executa dacă testexpression nu este egală cu nici un element din listele liniilor Case.

Dacă testexpression se potriveşte cu un element dintr-o listă Case, se vor executa instrucţiunile care urmează această clauză Case până la următoarea clauză Case, sau până la End Select. Control execuţiei trece apoi la instrucţiunea care urmează liniei finale End Select. Rezultă că dacă testexpression se regăseşte în mai multe liste, doar prima potrivire este considerată.

Clauza Case Else are semnificaţia uzuală "altfel, în rest, în caz contrar etc.", adică introduce instrucţiunile care se execută atunci când expresia de test nu se potriveşte nici unui element din listele clauzelor Else. Dacă aceasta este situaţia şi nu este specificată o clauză Case Else, atunci execuţia urmează cu prima instrucţiune de după End Select.

Instrucţiunile Select Case pot fi scufundate unele în altele, structurile interioare fiind complete (fiecare structură are End Select propriu, includerea este completă).

Apeluri de proceduri şi programeÎn această secţiune se prezintă doar funcţia Shell(), deoarece despre proceduri şi apelul lor s-a

discutat în capitolul 1.

Funcţia Shell()Execută un program executabil şi returnează un Variant(Double) reprezentând ID-ul de task al

programului în caz de succes; în caz contrar returnează zero. Sintaxa este Shell(pathname[,windowstyle])

undepathname este Variant (String). Conţine numele programului care se execută, argumentele necesare şi poate da calea completă (dacă este nevoie).windowstyle este Variant (Integer) şi precizează stilul ferestrei în care se va executa programul (implicit este minimizat, cu focus).

Valorile posibile pentru argumentul windowstyle sunt

Constanta numită Valoarea Semnificaţia

VbHide 0 Fereastra este ascunsă iar focus-ul este pe fereastra ascunsă.

VbNormalFocus 1 Fereastra are focus-ul şi este dimensionată şi poziţionată normal.

VbMinimizedFocus 2 Fereastra este afişată ca o icoană (minimizată) dar are focus-ul.

VbMaximizedFocus 3 Fereastră maximizată, cu focus.

VbNormalNoFocus 4 Fereastra este normală (restaurată la mărimea şi poziţia cea mai recentă) dar nu are focus-ul. Fereastra activă curentă îşi păstrează focus-ul.

VbMinimizedNoFocus 6 Fereastră minimizată, fără focus. Fereastra activă curentă îşi păstrează focus-ul.

67

Dacă funcţia Shell nu poate porni programul specificat se va semnala eroare. Programul pornit prin Shell se execută asincron, deci nu există certitudinea că acest program se termină înainte de execuţia instrucţiunilor care urmează liniei Shell.

68

CAPITOLUL VIII

REGULI IMPORTANTE PRIVIND ALEGEREA UNUI LIMBAJ DE PROGRAMARE

Prezentăm în continuare mai multe reguli importante, majoritatea dintre ele prezente şi explicate în secţiunile anterioare.

1. Defineşte complet problema.

Această indicaţie, foarte importantă în activitatea de programare, pare fără sens pentru unii cititori. Dar nu se poate rezolva o problemă dacă nu se cunoaşte această problemă. Specificarea corectă şi completă a problemei nu este o sarcină trivială, ci una foarte importantă şi adeseori chiar dificilă. Programul trebuie să respecte această specificaţie, să fie construit având tot timpul în faţă această specificaţie, să i se demonstreze corectitudinea în raport cu această specificaţie, să fie testat şi validat ţinând seama de această specificaţie.

2. Gândeşte mai întâi, programează pe urmă.

Începând cu scrierea specificaţiilor problemei, trebuie pusă în prim plan gândirea. Este specificaţia problemei corectă? Între metodele de rezolvare posibile, care ar fi cea mai potrivită scopului urmărit? În paralel cu proiectarea algoritmului demonstrează corectitudinea lui. Verifică corectitudinea fiecărui pas înainte de a merge mai departe.

3. Nu folosi variabile neiniţializate.

Este vorba de prezenţa unei variabile într-o expresie fără ca în prealabil această variabilă să fi primit valoare. Este o eroare foarte frecventă a programatorilor începători (dar nu numai a lor). Destule compilatoare permit folosirea variabilelor neiniţializate, neverificând dacă o variabilă a fost iniţializată înaintea folosirii ei. Alte compilatoare iniţializează automat variabilele numerice cu valoarea zero. Cu toate acestea nu e bine să ne bazăm pe o asemenea iniţializare ci să atribuim singuri valorile iniţiale corespunzătoare variabilelor. Programul realizat trebuie să fie portabil, să nu se bazeze pe specificul unui anumit compilator.

4. Verifică valoarea variabilei imediat după obţinerea acesteia.

Dacă o variabilă întreagă trebuie să ia valori într-un subdomeniu c1..c2 verifică respectarea acestei proprietăţi. Orice încălcare a ei indică o eroare care trebuie înlăturată. Valoarea variabilei poate fi calculată sau introdusă de utilizator. În primul caz, verificarea trebuie făcută după calcul, în al doilea caz se recomandă ca verificarea să urmeze imediat după citirea valorii respectivei variabile.

5. Cunoaşte şi foloseşte metodele de programare.

Este vorba de programarea Top-Down, Rafinarea în paşi succesivi, Divide et impera [Gries85]), Bottom-up şi mixtă, programarea modulară, programarea structurată şi celelalte metode prezentate în acest curs, sau alte metode ce vor fi asimilate ulterior.

Aceste metode încurajează reutilizarea, reducând costul realizării programelor. De asemenea, folosirea unor componente existente (deci testate) măreşte gradul de fiabilitate a produselor soft realizate şi scurtează perioada de realizare a acestora. Evident, dacă o parte din SUBPROGRAMii necesari programului sunt deja scrişi şi verificaţi, viteza de lucru va creşte prin folosirea lor. Foloseşte deci bibliotecile de componente reutilizabile existente şi construieşte singur astfel de biblioteci, care să înglobeze experienţa proprie.

69

O bună programare modulară elimină legăturile între două module prin variabile globale. Se recomandă ca fiecare modul să realizeze o activitate bine definită şi independentă de alt modul. Comunicarea între două module trebuie să se realizeze numai prin mecanismul parametrilor formali-actuali.

6. Amână pe mai târziu detaliile nesemnificative.

Această regulă stabileşte priorităţile de realizare a componentelor unui program; în primul rând se acordă atenţie aspectelor esenţiale, începând cu modulul principal. În fiecare fază dă atenţie lucrurilor importante. De exemplu, este inutil să se piardă timp cu scrierea unor părţi de program pentru tipărirea rezultatelor şi a constata ulterior că rezultatele nu sunt cele dorite, sau nu sunt corecte.

Nu uita însă că pentru beneficiar "Detaliile nesemnificative sunt semnificative". Beneficiarii ţin foarte mult la forma rezultatelor şi, adeseori, judecă programatorii după această formă. E păcat de munca depusă dacă tipărirea rezultatelor lasă o impresie proastă asupra beneficiarului.

7. Evită artificiile.

Prin folosirea artificiilor în programare, a prescurtărilor şi simplificărilor se pierde adesea din claritatea programului şi, mult mai grav, uneori se ajunge chiar la introducerea unor erori. În plus se poate pierde portabilitatea programului.

Există însă situaţii în care prin anumite artificii se câştigă eficienţă în execuţie sau se face economie de memorie. Dacă acest fapt este important atunci artificiile sunt binevenite, în caz contrar nu se recomandă folosirea lor.

8. Foloseşte constante simbolice.

Folosirea intensivă a constantelor simbolice este recomandată oriunde în textul sursă trebuie scris un număr (la declararea tablourilor, la precizarea limitelor de variaţie a unor variabile, etc.). Prin utilizarea acestor constante se măreşte gradul de generalitate a textului scris, iar în situaţia în care valoarea unei constante trebuie schimbată, modificarea este mult mai uşoară (doar la locul definiţiei constantei) şi nu duce la erori. Ea implică numai definiţia constantei, nu modificarea valorii concrete în toate instrucţiunile programului.

9. Verifică corectitudinea algoritmului şi programului în fiecare etapă a elaborării lor.

Detectarea şi eliminarea unei erori imediat după comiterea ei duce la creşterea vitezei de realizare a produsului, evitându-se activităţi inutile de depanare. Se recomandă demonstrarea corectitudinii fiecărui algoritm folosit, întrucât erorile semnalate în timpul testării sunt adeseori greu de descoperit şi, câteodată, imposibil de eliminat altfel decât prin rescrierea modulului sau programului respectiv. Urmează testarea fiecărui subprogram imediat după ce a fost scris (codificat). Acest lucru se potriveşte codificării bottom-up şi sugerează o abordare sistematică a activităţii de codificare. Dacă pentru proiectare se pot folosi oricare dintre metodele indicate, în codificare (şi testarea aferentă codificării), abordarea de jos în sus este esenţială. Sugerăm ca această testare să se facă independent de programul în care se va folosi subprogramul testat. Este adevărat că activitatea de testare necesită un anumit timp, dar ea este utilă cel puţin din trei puncte de vedere:

– scoate în evidenţă erorile provocate de proiectarea algoritmului sau codificarea neadecvată a acestuia;– facilitează detectarea erorilor, deoarece dimensiunea problemei este mai mică; în fapt nu se pierde timp cu scrierea unui program de test, ci se câştigă timp, deoarece la fiecare nivel de detaliere se vor folosi numai componente testate deja; ceea ce rămâne de testat la nivelul respectiv este gestiunea corectă a apelurilor respectivelor componente;

70

– obligă implementatorul să gândească încă o utilizare (cel puţin) a respectivului subprogram, independentă de cea pentru care a fost iniţial conceput.

10. Foloseşte denumiri sugestive pentru identificatorii utilizaţi în program.

Fiecare identificator (nume de variabilă, de tip de date, de constante, de subprograme) îşi are rolul şi semnificaţia lui într-un program. E bine ca denumirea să reflecte această semnificaţie, mărind astfel claritatea textului programului.

Unii programatori exagerează însă, folosind identificatori lungi, obţinuţi prin concatenarea mai multor cuvinte. E clar că denumirea alesă redă semnificaţia variabilei, dar claritatea textului scade, lungimea programului creşte şi citirea lui devine greoaie.

11. Cunoaşte şi respectă semnificaţia fiecărei variabile.

Fiecare variabilă are o semnificaţie. În demonstrarea corectitudinii algoritmului această semnificaţie se reflectă, de cele mai multe ori, printr-un predicat invariant. O greşeală frecventă făcută de unii programatori constă în folosirea unei variabile în mai multe scopuri.

12. Foloseşte variabile auxiliare numai acolo unde este strict necesar.

Fiecare variabilă trebuie să aibă o semnificaţie proprie, iar în demonstrarea corectitudinii programului, acesteia i se ataşează un invariant, care trebuie verificat.

Folosirea necontrolată a mai multor variabile auxiliare, ruperea unor expresii chiar lungi în subexpresii cu diferite denumiri, pot duce la reducerea clarităţii programului.

13. Prin scriere redă cât mai fidel structura programului.

Importanţa indentării şi spaţierii pentru claritatea programului au fost arătate anterior. Fiecare programator trebuie să aibă propriile reguli de scriere, care să scoată cât mai bine în evidenţă structura programului şi funcţiile fiecărei părţi a acestuia.

14. Nu uita să testezi programul chiar dacă ai demonstrat corectitudinea lui.

Sunt cunoscute demonstraţii greşite pentru unele teoreme celebre din matematică. Şi o demonstraţie a corectitudinii unui program poate fi greşită. Dar, chiar dacă demonstrarea corectitudinii algoritmului este validă, programul poate conţine greşeli de codificare, de introducere (tastare) sau pot fi alte cauze care generează erori.

15. Nu recalcula limitele şi nu modifica variabila de ciclare în interiorul unei structuri repetitive dată prin propoziţia Pseudocod PENTRU.

O astfel de practică poate duce la erori greu de detectat şi încalcă regulile programării structurate. Atunci când este necesară schimbarea variabilei de ciclare sau a limitelor se recomandă folosirea uneia din structurile repetitive REPETĂ sau CÂTTIMP.

16. Nu ieşi forţat din corpul unei structuri repetitive redată prin propoziţia Pseudocod PENTRU.

Instrucţiunea Pseudocod PENTRU corespunde unui număr cunoscut de execuţii ale corpului ciclului. În situaţia când corpul conţine şi testarea condiţiei de continuare a ciclării, recomandăm a se folosi structurile REPETĂ sau CÂTTIMP şi nu PENTRU.

71

17. Elaborează documentaţia programului în paralel cu realizarea lui.

Aşa cum s-a arătat în mai multe locuri din acest material, pe durata de viaţă a unui program se iau mai multe decizii. E bine ca aceste decizii să rămână consemnate împreună cu rezultatul final al fiecărei faze din viaţa programului (specificarea problemei, proiectarea algoritmilor, programul propriu-zis, datele de test folosite). Vor rezulta documentaţii de analiză, proiectare, implementare şi exploatare. Primele trei sunt necesare la întreţinerea aplicaţiei, trebuind a fi actualizate ori de câte ori se produc modificări, iar ultima este necesară celor care exploatează aplicaţia. Pe lângă acestea, un program bun va trebui să posede şi o componentă de asistenţă on-line (funcţie help), care contribuie la asigurarea a ceea ce am numit interfaţă prietenoasă.

18. Foloseşte comentariile.

Rolul comentariilor a fost explicat în secţiunea 4.4. Este foarte greu să descifrăm un program lipsit de comentarii, chiar dacă este vorba de propriu; program scris în urmă cu câteva luni sau ani de zile. Orice program sau modul trebuie să fie însoţit de comentarii explicative dacă dorim să-l refolosim şi nu trebuie să scriem programe care să nu poată fi refolosite. Minimum de comentarii într-un modul trebuie să conţină specificarea acestui modul şi semnificaţia fiecărei variabile.

72

CAPITOLUL IX

METODA BACKTRACKING

La dispoziţia celor care rezolvă probleme cu ajutorul calculatorului există mai multe metode. Dintre acestea cel mai des utilizate sunt:

– metoda Greedy;– metoda Divide et impera;– metoda Branch and Bound;– metoda Backtracking;

Metoda backtracking se aplică problemelor în care soluţia poate fi reprezentată sub forma unui vector – x = (x1, x2, x3, …xk,… xn) € S, unde S este mulţimea soluţiilor problemei şi S = S1 x S2 x… x Sn, şi Si sunt mulţimi finite având s elemente si xi € si , (¥)i = 1..n.

Pentru fiecare problemă se dau relaţii între componentele vectorului x, care sunt numite condiţii interne; soluţiile posibile care satisfac condiţiile interne se numesc soluţii rezultat. Metoda de generare a tuturor soluţiilor posibile si apoi de determinare a soluţiilor rezultat prin verificarea îndeplinirii condiţiilor interne necesită foarte mult timp.

Metoda backtracking evită această generare şi este mai eficientă. Elementele vectorului x, primesc pe rând valori în ordinea crescătoare a indicilor, x[k] va primi o valoare numai daca au fost atribuite valori elementelor x1.. x[k-1]. La atribuirea valorii lui x[k] se verifica îndeplinirea unor condiţii de continuare referitoare la x1…x[k-1]. Daca aceste condiţii nu sunt îndeplinite, la pasul k, acest lucru înseamnă ca orice valori i-am atribui lui x[k+1], x[k+1], .. x[n] nu se va ajunge la o soluţie rezultat.

Metoda backtracking construieşte un vector soluţie în mod progresiv începând cu prima componentă a vectorului şi mergând spre ultima cu eventuale reveniri asupra atribuirilor anterioare.

Metoda se aplica astfel :1) se alege prima valoare sin S1 si I se atribuie lui x1 ;2) se presupun generate elementele x1…x[k-1], cu valori din S1..S[k-1]; pentru generarea lui x[k] se

alege primul element din S[k] disponibil si pentru valoarea aleasa se testează îndeplinirea condiţiilor de continuare.Pot apărea următoarele situaţii :

a) x[k] îndeplineşte condiţiile de continuare. Daca s-a ajuns la soluţia finală (k = n) atunci se afişează soluţia obţinută. Daca nu s-a ajuns la soluţia finală se trece la generarea elementului următor – x [k-1];

b) x[k] nu îndeplineşte condiţiile de continuare. Se încearcă următoarea valoare disponibila din S[k]. Daca nu se găseşte nici o valoare în S[k] care să îndeplinească condiţiile de continuare, se revine la elementul x[k-1] şi se reia algoritmul pentru o nouă valoare a acestuia. Algoritmul se încheie când au fost luate in considerare toate elementele lui S1.

Problemele rezolvate prin această metodă necesită timp mare de execuţie, de aceea este indicat sa se folosească metoda numai daca nu avem alt algoritm de rezolvare.

Dacă mulţimile S1,S2,…Sn au acelaşi număr k de elemente, timpul necesar de execuţie al algoritmului este k la n. Dacă mulţimile S1, S2.. Sn nu au acelaşi număr de elemente, atunci se notează cu „m” minimul cardinalelor mulţimilor S1…Sn si cu „M”, maximul. Timpul de execuţie este situat în intervalul [m la n .. M la n]. Metoda backtracking are complexitatea exponenţială, in cele mai multe cazuri fiind ineficientă. Ea insa nu poate fi înlocuită cu alte variante de rezolvare mai rapide în situaţia în care se cere determinarea tuturor soluţiilor unei probleme.

Generarea permutărilor. Se citeşte un număr natural n. Să se genereze toate permutările mulţimii {1, 2, 3, …,n}.

Generarea permutărilor se va face ţinând cont că orice permutare va fi alcătuită din elemente distincte ale mulţimii A. Din acest motiv, la generarea unei permutări, vom urmări ca numerele să fie distincte.

73

Prezentăm algoritmul corespunzător cazului n=3:

1 2 31 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 2 33 3 3 3 11 1 1 1 2 2

1 2 3 11 1 1 2 3 32 2 2 2 2 2

se încarcă în stivă pe nivelul 1 valoarea 1; încărcarea valorii 1 pe nivelul al 2-lea nu este posibilă, întrucât această valoare se găseşte şi pe nivelul 1 al stivei; încărcarea valorii 2 pe nivelul al 2-lea este posibilă, deoarece această valoare nu mai este întâlnită; valoarea 1 din nivelul al 3-lea se regăseşte pe nivelul 1; valoarea 2 din nivelul al 3-lea se regăseşte pe nivelul al 2-lea; valoarea 3 pe nivelul al 3-lea nu e întâlnită pe nivelurile anterioare; întrucât nivelul 3 este completat corect. Tipărim: 1 2 3……Algoritmul continuă până când stiva devine vidă.

Programul sursa este urmatorul:

Private Sub CommandButton14_Click() cit_n "n = ", n back_permEnd Sub

Sub back_perm() Dim k As Integer k = 1 While k > 0 Do succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid1 ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_r Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

74

Sub valid1(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Then ev = False End If NextEnd Sub

Sub tipar_r() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To n b = b + Str$(st.ss(i)) + "," Next MsgBox bEnd Sub

Sub succesor(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

Stiva este acea formă de organizare a datelor (structură de date) cu proprietatea că operaţiile de introducere şi scoatere a datelor se fac în vârful ei.

Stivele se pot simula utilizând vectori.Fie ST(i) un vector. ST(1), ST(2), ..., ST(n) pot reţine numai litere sau numai cifre. O variabilă K

indică în permanentă vârful stivei.Exemplificăm, în continuare, modul de lucru cu stiva:

În stiva iniţial vidă se introduce litera A, vârful stivei va fi la nivelul 1 (k-1);

introducem în stivă litera B, deci k va lua valoarea 2;

scoatem din stivă pe B (A nu poate fi scos);

scoatem din stivă pe A; stiva rămâne vidă

În mod practic la scoaterea unei variabile din stivă, scade cu 1 valoarea variabilei ce indică vârful stivei, iar atunci când scriem ceva în stivă, o eventuală valoare reziduală se pierde:

Pe un anumit nivel se retine, de regulă, o singură informaţie (literă sau cifră), însă este posibil; aşa cum va rezulta din exemplele, prezentate în lucrare, să avem mai multe informaţii, caz în care avem de a face cu stive duble, triple, etc.

Întreaga teorie a recursivităţii se bazează pe structura de tip stivă.

A

BA

A

75

Prezentarea tehnicii BacktrackingAceastă tehnică se foloseşte în rezolvarea problemelor care îndeplinesc simultan următoarele

condiţii:– soluţia lor poate fi pusă sub forma unui vector S=x1,x2, ...,xn, cu x1 € A1, x2 € A2 …, xn € An

– mulţimile A1, A2 , …., An sunt mulţimi finite, iar elementele lor se consideră că se află într-o relaţie de ordine bine stabilită;– nu se dispune de o altă metodă de rezolvare, mai rapidă – x1 x2 …, xn pot fi la rândul lor vectori;– A1, A2 …, An pot coincide.

La întâlnirea unei astfel de probleme, dacă nu cunoaştem această tehnică, suntem tentaţi să generăm toate elementele produsului cartezian A1,A2 …,An si fiecare element să fie testat dacă este soluţie. Rezolvând problema în acest mod, timpul de execuţie este atât de mare, încât poate fi considerat infinit, algoritmul neavând nici o valoare practică.

De exemplu, dacă dorim să generăm toate permutările unei mulţimi finite A, nu are rost să generăm produsul cartezian AxAx.....xA, pentru ca apoi, să testăm, pentru fiecare element al acestuia, dacă este sau nu permutare (nu are rost să generăm 1.1,1.......1, pentru ca apoi să constatăm că nu am obţinut o permutare, când de la a doua cifră 1 ne puteam da seama că cifrele nu sunt distincte).

Tehnica Backtracking are la bază un principiu extrem de simplu:– se construieşte soluţia pas cu pas: x1, x2 …,xn

– dacă se constată că, pentru o valoare aleasă, nu avem cum să ajungem la soluţie, se renunţă la acea valoare şi se reia căutarea din punctul în care am rămas.

Concret:– se alege primul element x, ce aparţine lui A;– presupunând generate elementele x1,x2 …,xk , aparţinând mulţimilor A1, A2 …,Ak, se alege (dacă există) xk+1, primul element disponibil din mulţimea Ak+1, apar două posibilităţi: 1) Nu s-a găsit un astfel de element, caz în care caz în care se reia căutarea considerând generate elementele x1,x2 …,xk+1 , iar aceasta se reia de la următorul element al mulţimii Ak rămas netestat;2) A fost găsit, caz în care se testează dacă acesta îndeplineşte anumite condiţii de continuare apărând astfel două posibilităţi: îndeplineşte, caz în care se testează dacă s-a ajuns la soluţie si apar din nou două posibilităţi:

- s-a ajuns la soluţie, se tipăreşte soluţia si se reia algoritmul considerând generate elementele x1,x2 …,xk, (se caută în continuare, un alt element al mulţimii Ak, rămas netestat);- nu s-a ajuns la soluţie, caz în care se reia algoritmul considerând generate elementele x1,x2 …,xk , si se caută un prim element xk+2 € Ak.

nu le îndeplineşte caz în care se reia algoritmul considerând generate elementele x1,x2

…, xk , iar elementul xk-1 se caută între elementele mulţimii A, rămase netestate.Algoritmii se termină atunci când nu există nici un element x1 € A1 netestat.

Observaţie: tehnica Backtracking are ca rezultat obţinerea tuturor soluţiilor problemei. În cazul în care se cere o sigură soluţie se poate forţa oprirea, atunci când a fost găsită.

Am arătat că orice soluţie se generează sub formă de vector. Vom considera că generarea soluţiilor se face intr-o stivă. Astfel, x1 € A1, se va găsi pe primul nivel al stivei, x2 € A2 se va găsi pe al doilea nivel al stivei,... xk € Ak se va găsi pe nivelul k al stivei. În acest fel, stiva (notată ST) va arăta astfel:

76

ST

Nivelul k+1 al stivei trebuie iniţializat (pentru a alege, în ordine, elementele mulţimii k+1 ). Iniţializarea trebuie făcută cu o valoare aflată (în relaţia de ordine considerată, pentru mulţimea Ak+1 ) înaintea tuturor valorilor posibile din mulţime. De exemplu, pentru generarea permutărilor mulţimii {1,2.....n}, orice nivel al stivei va lua valori de la 1 la n. Iniţializarea unui nivel (oarecare) se face cu valoarea 0. Procedura de iniţializare o vom numi INIT şi va avea doi parametri: k (nivelul care trebuie iniţializat si ST (stiva)).

Găsirea următorului element al mulţimii Ak (element care a fost netestat) se face cu ajutorul procedurii SUCCESOR (AS,ST,K). Parametrul AS (am succesor) este o variabilă booleană. În situaţia în care am găsit elementul, acesta este pus în stivă şi AS ia valoarea TRUE, contrar (nu a rămas un element netestat) AS ia valoarea FALSE..

Odată ales un element, trebuie văzut dacă acesta îndeplineşte condiţiile de continuare (altfel spus, dacă elementul este valid). Acest test se face cu ajutorul procedurii VALID (EV,ST,K).

Testul dacă s-a ajuns sau nu la soluţia finală se face cu ajutorul funcţiei SOLUTIE(k) iar o soluţie se tipăreşte cu ajutorul procedurii TIPAR. Prezentăm în continuare rutina Backtracking:

k:=1; CALL init(1,st);while k>0 do CALL succesor (as, st, k) ; if as then CALLvalid(ev,st,k) then loop until (not as) or (as and ev) ; if as then if solutie(k) then CALL tipar else k:=k+l; CALL init ( k, st ); end; else k:=k-1 wend

Observaţie: Problemele rezolvate prin această metodă necesită un timp îndelungat. Din acest motiv, este bine să utilizăm metoda numai atunci când nu avem la dispoziţie un alt algoritm mai eficient. Cu toate că există probleme pentru care nu se pot elabora alţi algoritmi mai eficienţi, tehnica backtracking trebuie aplicată numai în ultimă instanţă.

Fiind dată o tablă de şah, de dimensiune n, xn, se cer toate soluţiile de aranjare a n dame, astfel încât să nu se afle două dame pe aceeaşi linie, coloană sau diagonală (dame să nu se atace reciproc).

Exemplu: Presupunând că dispunem de o tablă de dimensiune 4x4, o soluţie ar fi următoarea:

...

xk

…

…

x2

x1

77

Observăm că o damă trebuie să fie plasată singură pe linie. Plasăm prima damă pe linia 1, coloana 1.

A doua damă nu poate fi aşezată decât în coloana 3.

Observăm că a treia damă nu poate fi plasată în linia 3. Încercăm atunci plasarea celei de-a doua dame în coloana 4.

A treia damă nu poate fi plasată decât în coloana 2.

În această situaţie dama a patra nu mai poate fi aşezată.Încercând să avansăm cu dama a treia, observăm că nu este posibil să o plasăm nici în coloana 3,

nici în coloana 4, deci o vom scoate de pe tablă. Dama a doua nu mai poate avansa, deci şi ea este scoasă de pe tablă. Avansăm cu prima damă în coloana 2.

A doua damă nu poate fi aşezată decât în coloana 4.

D

DD

D

D

D

D

D

D

D

DD

D

78

Dama a treia se aşează în prima coloană.

Acum este posibil să plasăm a patra damă în coloana 3 si astfel am obţinut o soluţie a problemei.

Algoritmul continuă în acest mod până când trebuie scoasă de pe tablă prima damă.Pentru reprezentarea unei soluţii putem folosi un vector cu n componente (având în vedere că pe

fiecare linie se găseşte o singură damă).Exemplu pentru soluţia găsită avem vectorul ST ce poate fi asimilat unei stive.Două dame se găsesc pe aceeaşi diagonală dacă si numai dacă este îndeplinită condiţia: |st(i)-st(j)|

=|i-j| ( diferenţa, în modul, între linii si coloane este aceeaşi).

În general ST(i)=k semnifică faptul că pe linia i dama ocupă poziţia k.

3 ST(4)

1 ST(3)

4 ST(2)

2 ST(1)

Exemplu: în tabla 4 x4 avem situaţia:

st(1)= 1 i = 1 st(3)= 3 j = 3|st(1) - st(3)| = |1 – 3| = 2 |i – j| = |1 – 3| = 2

sau situaţia

st(1) = 3 i = 1st(3) = 1 j = 3|st(i) - st(j)| = |3 – 1| = 2

D

D

D

DD

D

DD

D

D

DD

D

D

DD

D 79

|i – j| = |1 – 3| = 2

Întrucât doua dame nu se pot găsi în aceeaşi coloană, rezultă că o soluţie este sub formă de permutare. O primă idee ne conduce la generarea tuturor permutărilor si la extragerea soluţiilor pentru problema ca două dame să nu fie plasate în aceeaşi diagonală. A proceda astfel, înseamnă că lucrăm conform strategiei backtracking. Aceasta presupune ca imediat ce am găsit două dame care se atacă, să reluăm căutarea.

Iată algoritmul, conform strategiei generate de backtracking:– În prima poziţie a stivei se încarcă valoarea 1, cu semnificaţia că în linia unu se aşează prima damă în coloană.– Linia 2 se încearcă aşezarea damei în coloana 1, acest lucru nefiind posibil întrucât avem doua dame pe aceeaşi coloană.– În linia 2 se încearcă aşezarea damei în coloana 2 , însă acest lucru nu este posibil, pentru că damele se găsesc pe aceiaşi diagonală (|st(1)-st(2)|=|1-2|);– Aşezarea damei 2 în coloana 3 este posibilă.– Nu se poate plasa dama 3 în coloana 1, întrucât în liniile 1-3 damele ocupa acelaşi coloană.– Şi această încercare eşuează întrucât damele de pe 2 şi 3 sunt pe aceeaşi diagonală.– Damele de pe 2-3 se găsesc pe aceeaşi coloană.– Damele de pe 2-3 se găsesc pe aceeaşi diagonală.– Am coborât în stivă mutând dama de pe linia 2 şi coloana 3 în coloana 4.

Algoritmul se încheie atunci când stiva este vidă. Semnificaţia procedurilor utilizate este următoarea:

INIT - nivelul k al stivei este iniţializat cu 0;SUCCESOR - măreşte cu 1 valoarea aflată pe nivelul k al stivei în situaţia în care aceasta este mai mică decât n şi atribuie variabilei EV valoarea TRUE, în caz contrar, atribuie variabilei EV valoarea FALSE;VALID - validează valoarea pusă pe nivelul k al stivei, verificând dacă nu avem două dame pe aceeaşi linie (st(k)=st(i)), sau dacă nu avem două dame pe aceeaşi diagonală (st(k)-st(i)=|k-i|)caz în care variabilei EV i se atribuie FALSE; în caz contrar, variabilei EV i se atribuie TRUE;SOLUTIE - verifică dacă stiva a fost completată până la nivelul n inclusiv;TIPAR - tipăreşte o soluţie.

Subprogramele prezentate in limbajul Visual Basic sunt descrise mai jos:

Global n As Integer, am_suc As Boolean, ev As Boolean Type stiva ss(100) As Integer End TypeGlobal st As stiva

Sub init(k As Integer, st As stiva) st.ss(k) = 0End Sub

Sub succesor(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End If

80

End Sub

Sub valid(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Or (Abs(st.ss(i) - st.ss(k)) = Abs(k - i)) Then ev = False End If NextEnd Sub

Function solutie(k As Integer) As Integer If k = n Then solutie = True Else solutie = False End IfEnd Function

Sub tipar() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To n b = b + "(" + Str$(i) + "," + Str$(st.ss(i)) + ")," Next MsgBox bEnd Sub

Sub back() Dim k As Integer k = 1 While k > 0 Do succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then

tipar Else k = k + 1 init k, st

End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

Sub Button2_Click() n = InputBox("n=", ib_title) backEnd Sub

81

Produsul cartezian a n mulţimi. Se dau mulţimile de mai jos şi se cere produsul cartezian al lor.A1 = {1, 2, 3, …, k1}A2 = {1, 2, 3, …, k2}………………………An = {1, 2, 3, …, kn}Exemplu: A1 = {1, 2}A2 = {1, 2, 3}A3 = {1, 2, 3}

A1 A2 A3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 1), (1, 3, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3)}.

Pentru rezolvare, se folosesc stiva ST şi un vector A ce reţine numerele k1, k2, …kn. Utilizăm metoda backtracking, uşor modificată din următoarele motive:

a) Orice element aflat la nivelul k al stivei este valid, motiv pentru care procedura valid nu face altceva decât să atribuie variabilei ev valoarea TRUE.b) Limita superioară pe nivelul k al stivei este dată de A(k).

Modul de concepere a algoritmului rezultă din cele ce urmează:

1 2 3 1

1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1

2 3 1 2 3

2 2 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

Observaţii:Algoritmul prezentat aici este de tip backtracking? Întrebarea are sens pentru că este absent mecanismul de întoarcere. Vom admite că şi aceasta este backtracking, dar „degenerat”.

Private Sub CommandButton16_Click() Dim a As vector cit_n "n=", n cit_date "a", n, a tipar " multimile sunt : ", n, a back_prod_cartEnd Sub

Sub cit_n(mes As String, nnn As Integer) Do nnn = InputBox(mes, y) Loop Until n > 0 And n < 100End Sub

Sub cit_date(mes As String, n As Integer, a As vector) For i = 1 To n a.v(i) = InputBox(mes + "(" + Str$(i) + ")=", y)

82

NextEnd Sub

Sub tipar(mes As String, n As Integer, a As vector) sir = "" For i = 1 To n sir = sir + Str$(a.v(i)) + "," Next MsgBox mes + " " + sirEnd Sub

Sub back_prod_cart() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_prod am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_prod ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_r Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

Sub valid_prod(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = TrueEnd SubFunction solutie(k As Integer) As Boolean If k = n Then solutie = True Else solutie = False End IfEnd Function

Sub succesor_prod(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < a.v(k) Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd SubSub init(k As Integer, st As stiva) st.ss(k) = 0End Sub

83

Generarea aranjamentelor. Se citesc n şi p. Să se genereze toate aranjamentele de n luate câte p.Din analiza problemei rezultă următoarele:

– stiva are înălţimea p;– fiecare nivel ia valori între 1 şi n;– elementele plasate pe diverse niveluri trebuie să fie distincte.

Algoritmul este asemănător cu cel de la permutări, cu deosebirea că aici stipa are înălţimea p.

Private Sub CommandButton17_Click() cit_n "n = ", n cit_n "p = ", p back_aranjEnd Sub

Sub back_aranj() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid1 ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie1(k) Then tipar_rr Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

Sub valid1(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Then ev = False End If NextEnd Sub

Sub tipar_rr() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To p b = b + Str$(st.ss(i)) + "," Next MsgBox bEnd Sub

84

Function solutie1(k As Integer) As Boolean If k = p Then solutie1 = True Else solutie1 = False End IfEnd Function

Sub succesor(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd SubSub init(k As Integer, st As stiva) st.ss(k) = 0End Sub

Generarea combinărilor. Se citesc n şi p numere naturale, np. Se cere să se genereze toate submulţimile cu p elemente ale mulţimii {1, 2, 3, …, n}.

Pentru rezolvarea problemei trebuie ţinut cont de următoarele:– stiva are înălţimea p;– elementele aflate pe niveluri diferite ale stivei trebuie să fie distincte;– pentru a evita repetiţia elementele se aşează în ordine crescătoare: pe nivelul k se va afla o valoare mai mare decât pe nivelul k-1 şi mai mică sau egală cu n-p+k.

Private Sub CommandButton18_Click() cit_n "n = ", n cit_n "p = ", p back_combEnd Sub

Sub back_comb() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_c am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_c ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie1(k) Then tipar_rr Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If Wend

85

End Sub

Sub succesor_c(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n - p + k Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

Sub valid_c(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) Dim i As Integer ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Then ev = False End If Next If k > 1 Then If st.ss(k) < st.ss(k - 1) Then ev = False End If End IfEnd Sub

Function solutie1(k As Integer) As Boolean If k = p Then solutie1 = True Else solutie1 = False End IfEnd Function

Sub tipar_col() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To nb = b + "Tara = " + Str$(i) + "; culoarea " + Str$(st.ss(i)) + " " Next MsgBox bEnd Sub

Problema comis-voiajorului. Un comis voiajor trebuie să viziteze un număr n de oraşe. Iniţial, el se află într-unul dintre ele, notat 1. Comis – voiajorul doreşte să nu treacă de două ori prin acelaşi oraş, iar la întoarcere să revină în oraşul 1. Cunoscând legăturile existente între oraşe, se cere să se tipărească toate drumurile posibile pe care le poate efectua comis – voiajorul.

Exemplu: În figura alăturată sunt simbolizate cele 6 oraşe, precum şi drumurile existente între ele.

86

2 3

1 4

6 5

Comis - voiajorul are următoarele posibilităţi de parcurgere:1, 2, 3, 4, 5, 6, 1;1, 2, 5, 4, 3, 6, 1;1, 6, 3, 4, 5, 2, 1;1, 6, 5, 4, 3, 2, 1;

Legăturile existente între oraşe sunt date în matricea An,n. Elementele matricei A pot fi 0 sau 1 (matricea este binară).

1, dacă există drum între oraşele i şi j;A(i,j) = 0 , altfelSe observă că A(i,j) = A(j,i), oricare ar fi i,j {1, 2, 3, …, n} – matricea este simetrică.Pentru rezolvarea problemei folosim stiva st. la baza stivei (nivelul 1) se încarcă numărul 1.

Prezentăm în continuare modul de rezolvare a problemei.

2De la oraşul 1 la oraşul 2 există drum, deci se va urca în stivă;

1

2Oraşul 2 se mai găseşte în stivă, deci nu este acceptat;2

1

3De la oraşul 2 la oraşul 3 se găseşte drum; prin oraşul 3 nu s-a mai trecut, deci oraşul 3 este acceptat.

21

Algoritmul continuă în acest mod până se ajunge din nou la nivelul 1, caz în care algoritmul se încheie.

Un succesor, între 2 şi n, aflat pe nivelul k al stivei, este considerat valid dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

– nu s-a mai trecut prin oraşul simbolizat de succesor, deci acesta nu se regăseşte în stivă;– există drum între oraşul aflat la nivelul k-1 şi cel aflat la nivelul k;– dacă succesorul se găseşte la nivelul n, să existe drum de la el la oraşul 1.

Observaţii:1. Problemele rezolvate prin această metodă necesită un timp îndelungat de execuţie. Din acest motiv este bine să utilizăm metoda atunci numai atunci când nu mai avem la dispoziţie un alt algoritm mai eficient

87

2. Menţionăm că nu există probleme pentru care nu se cunosc algoritmi eficienţi de rezolvare, deci backtracking este indicată.3. Rezolvarea iterativă încalcă principiul stivei atunci când verificăm condiţiile de continuare, sau atunci când tipărim soluţia găsită, pentru că accesăm orice nivel al stivei. Consider că o structură trebuie folosită ca atare atunci când este strict necesar. De exemplu, chiar şi segmentul de stivă al calculatorului poate fi accesat oriunde. Asta nu înseamnă că acolo nu se utilizează din plin „mecanismul” stivei.

Sub back_comis() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_col am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_col ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_col Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

Sub succesor_comis(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd SubSub valid_comis(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) And (mat.m(i, k) = 1) Then ev = False End If NextEnd Sub

Sub tipar_comis() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To n b = b + "Tara = " + Str$(i) + "; vizitat " + Str$(st.ss(i)) + " " Next MsgBox b

88

End Sub

PROBLEMA COLORĂRII HĂRŢILOR

Enunţ:Fiind dată o hartă cu n ţări, se cer toate soluţiile de colorare a hărţii, utilizând cel mult patru culori,

astfel încât două ţări de frontieră comună să fie colorate diferit. Este demonstrat faptul că sunt suficiente numai patru culori pentru ca orice hartă să poată fi colorată.Rezolvare:

Pentru exemplificare, vom considera următoarea hartă unde ţările sunt numerotate cu cifre cuprinse între 1 şi 5:

O soluţie a acestei probleme este următoarea:ţara 1 – culoarea 1ţara 2 – culoarea 2ţara 3 – culoarea 1ţara 4 – culoarea 3ţara 5 – culoarea 4

Harta este furnizată programului cu ajutorul unei matrice An,n

1, dacă ţara i se învecinează cu ţara j;A(i,j) =

0 , altfelMatricea A este simetrică. Pentru rezolvarea problemei se utilizează stiva st, unde nivelul k al

stivei simbolizează ţara k, iar st[k] culoarea ataşată ţării k. Stiva are înălţimea n şi pe fiecare nivel ia valori între 1 şi 4.

Sub back_col() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_col am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_col ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_col Else k = k + 1

1

23

4

5

Figura 9.1 Harta ţărilor

89

init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

Sub succesor_col(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < 4 Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

Sub valid_col(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) And (mat.m(i, k) = 1) Then ev = False End If NextEnd Sub

Sub tipar_col() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To nb = b + "Tara = " + Str$(i) + "; culoarea " + Str$(st.ss(i)) + " " Next MsgBox bEnd Sub

Sub tipar_rr() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To p b = b + Str$(st.ss(i)) + "," Next MsgBox bEnd Sub

90

CAPITOLUL X

METODA DIVIDE ET IMPERA

Metoda de programare DIVIDE ET IMPERA consta in impartirea problemei initiale de dimensiuni [n] in doua sau mai multe probleme de dimensiuni reduse. In general se executa impartirea in doua subprobleme de dimensiuni aproximativ egale si anume [n/2]. Impartirea in subprobleme are loc pana cand dimensiunea acestora devine suficient de mica pentru a fi rezolvate in mod direct(cazul de baza). Dupa rezolvarea celor doua subprobleme se executa faza de combinare a rezultatelor in vederea rezolvarii intregii probleme.

Metoda DIVIDE ET IMPERA se poate aplica in rezolvarea unei probleme care indeplineste urmatoarele conditii:

se poate descompune in (doua sau mai multe) suprobleme; aceste suprobleme sunt independente una fata de alta (o subproblema nu se rezolva pe baza alteia si nu se foloseste rezultate celeilalte); aceste subprobleme sunt similare cu problema initiala; la randul lor subproblemele se pot descompune (daca este necesar) in alte subprobleme mai simple; aceste subprobleme simple se pot solutiona imediat prin algoritmul simplificat.

Deoarece putine probleme indeplinesc conditiile de mai sus ,aplicarea metodei este destul de rara.Dupa cum sugereaza si numele "desparte si stapaneste "etapele rezolvarii unei probleme (numita

problema initiala) in DIVIDE ET IMPERA sunt : descompunerea problemei initiale in subprobleme independente, smilare problemei de baza, de dimensiuni mai mici; descompunerea treptata a subproblemelor in alte subprobleme din ce in ce mai simple, pana cand se pot rezolva imediata ,prin algoritmul simplificat; rezolvarea subproblemelor simple; combinarea solutiilor gasite pentru construirea solutiilor subproblemelor de dimensiuni din ce in ce mai mari; combinarea ultimelor solutii determina obtinerea solutiei problemei initiale

Metoda DIVIDE ET IMPERA admite o implementare recursiva, deorece subproblemele sunt similare problemei initiale, dar de dimensiuni mai mici.

Principiul fundamental al recursivitatii este autoapelarea unui subprogram cand acesta este activ; ceea ce se intampla la un nivel, se intampla la orice nivel, avand grija sa asiguram conditia de terminare ale apelurilor repetate. Asemanator se intampla si in cazul metodei DIVITE ET IMPERA; la un anumit nivel sunt doua posibilitati:

s-a ajuns la o (sub)problema simpla ce admite o rezolvare imediata caz in care se rezolva (sub)problema si se revine din apel (la subproblema anterioara, de dimensiuni mai mari); s-a ajuns la o (sub)problema care nu admite o rezolvare imediata, caz in care o descompunem in doua sau mai multe subprobleme si pentru fiecare din ele se continua apelurile recursive (ale procedurii sau functiei).

In etapa finala a metodei DIVIDE ET IMPERA se produce combinarea subproblemelor (rezolvate deja) prin secventele de revenire din apelurile recursive.

Etapele metodei DIVIDE ET IMPERA (prezentate anterior) se pot reprezenta prin urmatorul subprogram general (procedura sau functie )recursiv exprimat in limbaj natural:

Subprogram DIVIMP (PROB); Daca PROBLEMA PROB este simpla Atunci se rezolva si se obtine solutia SOL Altfel pentru i=1,k executa DIVIMP(PROB) si se obtine SOL1; Se combina solutiile SOL 1,... ,SOL K si se obtine SOL;

91

Sfarsit_subprogram;Deci, subprogramul DIVIMP se apeleaza pentru problema initiala PROB; aceasta admite

descompunerea in K subprobleme simple; pentru acestea se reapeleaza recursiv subprogramul; in final se combina solutiile acestor K subprobleme.

De obicei problema initiala se descompune in doua subprobleme mai simple; in acest caz etapele generale ale metodei DIVIDE ET IMPERA se pot reprezenta concret, in limbaj pseudocod, printr-o procedura recursiva astfel:

Procedura DIVIMP(li,ls,sol); Daca ((ls-li)<=eps) Atunci REZOLVA (li,ls,sol); Altfel DIVIDE (li,m,ls); DIVIMP(li,msol1); DIVIMP(m,ls,sol2); COMBINA(sol1,sol2,sol);Sfarsit_procedura;

Procedura DIVIMP se apeleaza pentru problema initiala care are dimensiunea intre limita inferioara (li) si limita inferioara(ls); daca (sub)problema este simpla (ls-li<=eps), atunci procedura REZOLVA ii afla solutia imediat si se produce intoarcerea din apelul recursiv; daca (sub)problema este (inca) complexa, atunci procedura DIVIDE o imparte in doua subprobleme, alegand pozitia m intre limitele li si ls; pentru fiecare din cele doua subprobleme se reapeleaza recursiv procedura DIVIMP; in final, la intoarcerile din apeluri se produce combinarea celor doua soluitii sol1 si sol2 prin apelul procedurii COMBINA.

PROBLEMA TURNURILOR DIN HANOI

Prezentarea algoritmului rezolvariiFie trei tije verticale notate A,B,C. Pe tija A se gasesc asezate n discuri de diametre diferite, in

ordinea crescatoare a diametrelor, privind de sus in jos. Initial, tijele B si C sunt goale. Sa se afiseze toate mutarile prin care discurile de pe tija A se muta pe tija B, in aceeasi ordine, folosind ca tija de manevra C si resspectand urmatoarele reguli:

– la fiecare pas se muta un singur disc;– un disc se poate aseza numai peste un disc cu diametrul mai mare.

Rezolvarea acestei probleme se bazeaza pe urmatoarele considerente logice:– daca n=1, atunci mutarea este immediata AàB (mut discul de pe A pe B); – daca n=2, atunci sirul mutarilor este: AàC,AàB,CàB;– daca n>2 procedam astfel :

- mut (n-1) discuri AàC;- mut un disc AàB;- mut cele (n-1) discuri CàB.

Observam ca problema initiala se descompune in trei subprobleme mai simple, similare problemei initiale: mut (n-1)discuri AàC, mut ultimul disc pe B, mut cele (n-1)discuri C-->B. Dimensiunile acestor subprobleme sunt: n-1,1,n-1.

Aceste subprobleme sunt independente, deoarece tijele initial (pe care sunt dispuse discurile), tijele finale si tijele intermediare sunt diferite. Notam H(n,A,B,C)=sirul mutarilor a n discuri de pe A pe B, folosind C.

PENTRU n=1 AàB n>1 H(n,A,B,C)= H(n-1,A,C,B),AB, H(n-1,C,B,A)

92

Sortare rapida (quicksort)Un tablou V se completeaza cu n elemente numere reale .Sa se ordoneze crescator folosind

metoda de sortare rapida .Solutia problemei se bazeaza pe urmatoarele etape implementate in programul principal:

se apeleaza procedura “quick” cu limita inferioara li=1 si limita superioara ls=n; functia”poz” realizeaza mutarea elementului v[i] exact pe pozitia ce o va ocupa acesta in vectorul final ordonat ; functia”poz” intoarce (in k ) pozitia ocupata de acest element; in acest fel , vectorul V se imparte in doua parti: li …k-1 si k+1…ls; pentru fiecare din aceste parti se reapeleaza procedura ”quick”, cu limitele modificate corespunzator; in acest fel, primul element din fiecare parte va fi pozitionat exact pe pozitia finala ce o va ocupa in vectorul final ordonat (functia”poz”); fiecare din cele doua parti va fi, astfel, inpartita in alte doua parti; procesul continua pana cand limitele partilor ajung sa se suprapuna ,ceea ce indica ca toate elementele vectorului au fost mutate exact pe pozitiile ce le vor ocupa in vectorul final ;deci vectorul este ordonat ; in acest moment se produc intoarcerile din apelurile recursive si programul isi termina executia.

Observaţii:– daca elementul se afla in stanga, atunci se compara cu elementele din dreapta lui si se sar (j:=j-1) elementele mai mari decat el;– daca elementul se afla in dreapta, atunci se compara cu elemente din stanga lui si se sar (i:=i+1) elementele mai mici decat el.

Sortare prin interclasare(mergesort)Tabloul unidimensional V se completeaza cu n numere reale. Sa se ordoneze crescator folosind

sortare prin interclasare.Sortarea prin interclasare se bazeaza pe urmatoarea logica:

– vectorul V se imparte, prin injumatatiri succesive,in vectori din ce in ce mai mici; – cand se ating vectorii de maxim doua elemente, fiecare dintre acestia se ordoneaza printr-o simpla comparare a elementelor; – cate doi astfel de mini-vectori ordonati se interclaseaza succesiv pana se ajunge iar la vectorul V.

Observaţii: – mecanismul general de tip Divide et Impera se gaseste implementat in procedura “divi”;– astfel de abordare a problemei sortarii unii vector conduce la economie de timp de calcul, deoarece operatia de interclasare a doi vectori deja ordonati este foarte rapida, iar ordonarea independenta celor doua jumatati (mini-vectori) consuma in total aproximativ a doua parte din timpul care ar fi necesar ordonarii vectorului luat ca intreg .

CONCLUZII LA TEHNICA  DIVIDE ET IMPERA 

Sortare prin insertie binaraSa se ordoneze crescator un tablou unidimensional V de n numere reale, folosind sortarea prin

insertie binara.Pentru fiecare element v[i] se procedeaza in patru pasi:

1. se considera ordonate elementele v[1],v[2],….,v[i-1];2. se cauta pozitia k pe care urmeaza s-o ocupe v[i] intre elementele v[1],v[2],…,v[i-1] (procedura “poz” prin cautare binara);3. se deplaseaza spre dreapta elementele din pozitiile k,k+1,…,n (procedura “deplasare”);4. insereaza elementul v[i] in pozitia k (procedura”deplasare”);

93

Se obtine o succesiune de k+1 elemente ordonate crescator.

Analiza a complexitatii timp pentru algoritmii Divide et ImperaAlgoritmii de tip Divide et Impera au buna comportare in timp, daca se indeplinesc urmatoarele

conditii:– dimensiunile subprogramelor (in care se imparte problema initiala) sunt aproximativ egale (“principiul balansarii”);– lipsesc fazele de combinare a solutiilor subproblemelor (cautare binara).

94

CAPITOLUL XI

METODA GREEDY

11.1 Algoritmi greedy

Pusi in fata unei probleme pentru care trebuie sa elaboram un algoritm, de multe ori “nu stim cum sa incepem”. Ca si in orice alta activitate, exista cateva principii generale care ne pot ajuta in aceasta situatie. Ne propunem sa prezentam in urmatoarele capitole tehnicile fundamentale de elaborare a algoritmilor. Cateva din aceste metode sunt atat de generale, incat le folosim frecvent, chiar daca numai intuitiv, ca reguli elementare in gandire.

11.2 Tehnica greedy

Algoritmii greedy (greedy = lacom) sunt in general simpli si sunt folositi la probleme de optimizare, cum ar fi: sa se gaseasca cea mai buna ordine de executare a unor lucrari pe calculator, sa se gaseasca cel mai scurt drum intr-un graf etc. In cele mai multe situatii de acest fel avem:

multime de candidati (lucrari de executat, varfuri ale grafului etc) o functie care verifica daca o anumita multime de candidati constituie o solutie posibila o functie care verifica daca o multime de candidati este fezabila, adica daca este posibil sa completam aceasta multime astfel incat sa obtinem o solutie posibila, nu neaparat optima, a problemei o functie de selectie care indica la orice moment care este cel mai promitator dintre candidatii inca nefolositi o functie obiectiv care da valoarea unei solutii (timpul necesar executarii tuturor lucrarilor intr-o anumita ordine, lungimea drumului pe care l-am gasit etc); aceasta este functia pe care urmarim sa o optimizam (minimizam/maximizam)

Pentru a rezolva problema noastra de optimizare, cautam o solutie posibila care sa optimizeze valoarea functiei obiectiv. Un algoritm greedy construieste solutia pas cu pas. Initial, multimea candidatilor selectati este vida. La fiecare pas, incercam sa adaugam acestei multimi cel mai promitator candidat, conform functiei de selectie. Daca, dupa o astfel de adaugare, multimea de candidati selectati nu mai este fezabila, eliminam ultimul candidat adaugat; acesta nu va mai fi niciodata considerat. Daca, dupa adaugare, multimea de candidati selectati este fezabila, ultimul candidat adaugat va ramane de acum incolo in ea. De fiecare data cand largim multimea candidatilor selectati, verificam daca aceasta multime nu constituie o solutie posibila a problemei noastre. Daca algoritmul greedy functioneaza corect, prima solutie gasita va fi totodata o solutie optima a problemei. Solutia optima nu este in mod necesar unica: se poate ca functia obiectiv sa aiba aceeasi valoare optima pentru mai multe solutii posibile. Descrierea formala a unui algoritm greedy general este:

 function greedy(C)     {C este multimea candidatilor}

     S ← ø    {S este multimea in care construim solutia}

     while not solutie(S) and C ≠ ø do         x ← un element din C care maximizeaza/minimizeaza select(x) C ← C \ {x}         if fezabil(S {x}) then S ← S {x}    if  solutie(S)        then   return S                            else   return “nu există soluţie”

95

Este de inteles acum de ce un astfel de algoritm se numeste “lacom” (am putea sa-i spunem si “nechibzuit”). La fiecare pas, procedura alege cel mai bun candidat la momentul respectiv, fara sa-i pese de viitor si fara sa se razgandeasca. Daca un candidat este inclus in solutie, el ramane acolo; daca un candidat este exclus din solutie, el nu va mai fi niciodata reconsiderat. Asemenea unui intreprinzator rudimentar care urmareste castigul imediat in dauna celui de perspectiva, un algoritm greedy actioneaza simplist. Totusi, ca si in afaceri, o astfel de metoda poate da rezultate foarte bune tocmai datorita simplitatii ei.

Functia select este de obicei derivata din functia obiectiv; uneori aceste doua functii sunt chiar identice.

Un exemplu simplu de algoritm greedy este algoritmul folosit pentru rezolvarea urmatoarei probleme. Sa presupunem ca dorim sa dam restul unui client, folosind un numar cat mai mic de monezi. In acest caz, elementele problemei sunt:

candidatii: multimea initiala de monezi de 1, 5, si 25 unitati, in care presupunem ca din fiecare tip de moneda avem o cantitate nelimitata solutie posibila: valoarea totala a unei astfel de multimi de monezi selectate trebuie sa fie exact valoarea pe care trebuie sa o dam ca rest multime fezabila: valoarea totala a unei astfel de multimi de monezi selectate nu este mai mare decat valoarea pe care trebuie sa o dam ca rest functia de selectie: se alege cea mai mare moneda din multimea de candidati ramasa functia obiectiv: numarul de monezi folosite in solutie; se doreste minimizarea acestui numar

Se poate demonstra ca algoritmul greedy va gasi in acest caz mereu solutia optima (restul cu un numar minim de monezi). Pe de alta parte, presupunand ca exista si monezi de 12 unitati sau ca unele din tipurile de monezi lipsesc din multimea initiala de candidati, se pot gasi contraexemple pentru care algoritmul nu gaseste solutia optima, sau nu gaseste nici o solutie cu toate ca exista solutie.

Evident, solutia optima se poate gasi incercand toate combinarile posibile de monezi. Acest mod de lucru necesita insa foarte mult timp.

Un algoritm greedy nu duce deci intotdeauna la solutia optima, sau la o solutie. Este doar un principiu general, urmand ca pentru fiecare caz in parte sa determinam daca obtinem sau nu solutia optima.

11.3  Minimizarea timpului mediu de asteptare

O singura statie de servire (procesor, pompa de benzina etc) trebuie sa satisfaca cererile a n clienti. Timpul de servire necesar fiecarui client este cunoscut in prealabil: pentru clientul i este necesar un timp ti, 1 ≤ i ≤ n. Dorim sa minimizam timpul total de asteptare

(timpul de asteptare pentru clientul i)

ceea ce este acelasi lucru cu a minimiza timpul mediu de asteptare, care este T/n. De exemplu, daca avem trei clienti cu t1 = 5, t2 = 10, t3 = 3, sunt posibile sase ordini de servire. In primul caz, clientul 1 este servit primul, clientul 2 asteapta pana este servit clientul 1 si apoi este servit, clientul 3 asteapta pana sunt serviti clientii 1, 2 si apoi este servit. Timpul total de asteptare a celor trei clienti este 38.

Ordinea                         T1    2    3           5+(5+10)+(5+10+3)        =    381    3    2           5+(5+3)+(5+3+10)          =    312    1    3           10+(10+5)+(10+5+3)      =    432    3    1           10+(10+3)+(10+3+5)      =    413    1    2           3+(3+5)+(3+5+10)          =    29     ← optim3    2    1           3+(3+10)+(3+10+5)        =    34

96

Algoritmul greedy este foarte simplu: la fiecare pas se selecteaza clientul cu timpul minim de servire din multimea de clienti ramasa. Vom demonstra ca acest algoritm este optim.

Fie I = (i1  i2 ... in) o permutare oarecare a intregilor {1, 2, ..., n}. Daca servirea are loc in ordinea I, avem

Presupunem acum ca I este astfel incat putem gasi doi intregi a < b cu

Interschimbam pe ia cu ib in I; cu alte cuvinte, clientul care a fost servit al b-lea va fi servit acum al a-lea si invers. Obtinem o noua ordine de servire J, care este de preferat deoarece

Prin metoda greedy obtinem deci intotdeauna planificarea optima a clientilor.Problema poate fi generalizata pentru un sistem cu mai multe statii de servire.

Interclasarea optima a sirurilor ordonateSa presupunem ca avem doua siruri S1 si S2 ordonate crescator si ca dorim sa obtinem prin

interclasarea lor sirul ordonat crescator care contine elementele din cele doua siruri. Daca interclasarea are loc prin deplasarea elementelor din cele doua siruri in noul sir rezultat, atunci numarul deplasarilor este #S1 + #S2.

Generalizand, sa consideram acum n siruri S1, S2, ..., Sn, fiecare sir Si, 1 ≤ i ≤ n, fiind format din qi

elemente ordonate crescator (vom numi qi lungimea lui Si). Ne propunem sa obtinem sirul S ordonat crescator, continand exact elementele din cele n siruri. Vom realiza acest lucru prin interclasari succesive de cate doua siruri. Problema consta in determinarea ordinii optime in care trebuie efectuate aceste interclasari, astfel incat numarul total al deplasarilor sa fie cat mai mic. Exemplul de mai jos ne arata ca problema astfel formulata nu este banala, adica nu este indiferent in ce ordine se fac interclasarile.

Fie sirurile S1, S2, S3 de lungimi q1 = 30, q2 = 20, q3 = 10. Daca interclasam pe S1 cu S2, iar rezultatul il interclasam cu S3, numarul total al deplasarilor este (30+20)+(50+10)=110. Daca il interclasam pe S3 cu S2, iar rezultatul il interclasam cu S1, numarul total al deplasarilor este (10+20)+(30+30)=90.

Atasam fiecarei strategii de interclasare cate un arbore binar in care valoarea fiecarui varf este data de lungimea sirului pe care il reprezinta. Daca sirurile S1, S2, ..., S6 au lungimile q1 = 30, q2 = 10, q3 = 20, q4 = 30, q5 = 50, q6 = 10, doua astfel de strategii de interclasare sunt reprezentate prin arborii din Figura 11.1.

Figura 11.1 Reprezentarea strategiilor de interclasare.

Observam ca fiecare arbore are 6 varfuri terminale, corespunzand celor 6 siruri initiale si 5 varfuri neterminale, corespunzand celor 5 interclasari care definesc strategia respectiva. Numerotam varfurile in

97

felul urmator: varful terminal i, 1 ≤ i ≤ 6, va corespunde sirului Si, iar varfurile neterminale se numeroteaza de la 7 la 11 in ordinea obtinerii interclasarilor respective (Figura 11.2).

Figura 11.2 Numerotarea varfurilor arborilor din Figura 11.1

Strategia greedy apare in Figura 11.1b si consta in a interclasa mereu cele mai scurte doua siruri disponibile la momentul respectiv.

Interclasand sirurile S1, S2, ..., Sn, de lungimi q1, q2, ..., qn, obtinem pentru fiecare strategie cate un arbore binar cu n varfuri terminale, numerotate de la 1 la n, si n–1 varfuri neterminale, numerotate de la n+1 la 2n–1. Definim, pentru un arbore oarecare A de acest tip, lungimea externa ponderata:

unde ai este adancimea varfului i. Se observa ca numarul total de deplasari de elemente pentru strategia corespunzatoare lui A este chiar L(A). Solutia optima a problemei noastre este atunci arborele (strategia) pentru care lungimea externa ponderata este minima.

Proprietatea 11.1 Prin metoda greedy se obtine intotdeauna interclasarea optima a n siruri ordonate, deci strategia cu arborele de lungime externa ponderata minima.

Demonstratie: Demonstram prin inductie. Pentru n = 1, proprietatea este verificata. Presupunem ca proprietatea este adevarata pentru n–1 siruri. Fie A arborele strategiei greedy de interclasare a n siruri de lungime q1 ≤ q2 ≤ ... qn. Fie B un arbore cu lungimea externa ponderata minima, corespunzator unei strategii optime de interclasare a celor n siruri. In arborele A apare subarborele

reprezentand prima interclasare facuta conform strategiei greedy. In arborele B, fie un varf neterminal de adancime maxima. Cei doi fii ai acestui varf sunt atunci doua varfuri terminale qj si qk. Fie B' arborele obtinut din B schimband intre ele varfurile q1 si qj, respectiv q2 si qk. Evident, L(B') ≤ L(B). Deoarece B are lungimea externa ponderata minima, rezulta ca L(B') = L(B). Eliminand din B' varfurile q1 si q2, obtinem un arbore B" cu n–1 varfuri terminale q1+q2, q3, ..., qn. Arborele B' are lungimea externa ponderata minima si L(B') = L(B") + q1+q2. Rezulta ca si B" are lungimea externa ponderata minima. Atunci, conform ipotezei inductiei, avem L(B") = L(A'), unde A' este arborele strategiei greedy de interclasare a sirurilor de lungime q1+q2, q3, ..., qn. Cum A se obtine din A' atasand la varful q1+q2 fiii q1 si q2, iar B' se obtine in acelasi mod din B", rezulta ca L(A) = L(B') = L(B). Proprietatea este deci adevarata pentru orice n.

98

La scrierea algoritmului care genereaza arborele strategiei greedy de interclasare vom folosi un min-heap. Fiecare element al min-heap-ului este o pereche (q, i) unde i este numarul unui varf din arborele strategiei de interclasare, iar q este lungimea sirului pe care il reprezinta. Proprietatea de min-heap se refera la valoarea lui q.

Algoritmul interopt va construi arborele strategiei greedy. Un varf i al arborelui va fi memorat in trei locatii diferite continand:

LU[i]    =   lungimea sirului reprezentat de varfST[i]    =   numarul fiului stangDR[i]    =   numarul fiului drept

procedure interopt(Q[1 .. n]){construieste arborele strategiei greedy de interclasare

a sirurilor de lungimi Q[i] = qi, 1 ≤ i ≤ n} H ← min-heap vid for i ← 1 to n do (Q[i], i) => H        {insereaza in min-heap} LU[i] ← Q[i]; ST[i] ← 0; DR[i] ← 0 for i ← n+1 to 2n–1 do (s, j)  <= H       {extrage radacina lui H} (r, k) <= H       {extrage radacina lui H} ST[i] ← j; DR[i] ← k; LU[i] ← s+r (LU[i], i) => H       {insereaza in min-heap}

In cazul cel mai nefavorabil, operatiile de inserare in min-heap si de extragere din min-heap necesita un timp in ordinul lui log n. Restul operatiilor necesita un timp constant. Timpul total pentru interopt este deci in O(n log n).

Coduri HuffmanO alta aplicatie a strategiei greedy si a arborilor binari cu lungime externa ponderata minima este

obtinerea unei codificari cat mai compacte a unui text.Un principiu general de codificare a unui sir de caractere este urmatorul: se masoara frecventa de

aparitie a diferitelor caractere dintr-un esantion de text si se atribuie cele mai scurte coduri, celor mai frecvente caractere, si cele mai lungi coduri, celor mai putin frecvente caractere. Acest principiu sta, de exemplu, la baza codului Morse. Pentru situatia in care codificarea este binara, exista o metoda eleganta pentru a obtine codul respectiv. Aceasta metoda, descoperita de Huffman (1952) foloseste o strategie greedy si se numeste codificarea Huffman. O vom descrie pe baza unui exemplu.

Fie un text compus din urmatoarele litere (in paranteze figureaza frecventele lor de aparitie):S (10), I (29), P (4), O (9), T (5)

Conform metodei greedy, construim un arbore binar fuzionand cele doua litere cu frecventele cele mai mici. Valoarea fiecarui varf este data de frecventa pe care o reprezinta.

Etichetam muchia stanga cu 1 si muchia dreapta cu 0. Rearanjam tabelul de frecvente:S (10), I (29), O (9), {P, T} (45 = 9)

Multimea {P, T} semnifica evenimentul reuniune a celor doua evenimente independente corespunzatoare aparitiei literelor P si T. Continuam procesul, obtinand arborele

99

In final, ajungem la arborele din Figura 11.3, in care fiecare varf terminal corespunde unei litere din text.

Pentru a obtine codificarea binara a literei P, nu avem decat sa scriem secventa de 0-uri si 1-uri in ordinea aparitiei lor pe drumul de la radacina catre varful corespunzator lui P: 1011. Procedam similar si pentru restul literelor:

 S (11), I (0), P (1011), O (100), T (1010)Pentru un text format din n litere care apar cu frecventele f1, f2, ..., fn, un arbore de codificare este

un arbore binar cu varfurile terminale avand valorile f1, f2, ..., fn, prin care se obtine o codificare binara a textului. Un arbore de codificare nu trebuie in mod necesar sa fie construit dupa metoda greedy a lui Huffman, alegerea varfurilor care sunt fuzionate la fiecare pas putandu-se face dupa diverse criterii. Lungimea externa ponderata a unui arbore de codificare este:

Figura 11.3 Arborele de codificare Huffman.

unde ai este adincimea varfului terminal corespunzator literei i. Se observa ca lungimea externa ponderata este egala cu numarul total de caractere din codificarea textului considerat. Codificarea cea mai compacta a unui text corespunde deci arborelui de codificare de lungime externa ponderata minima. Se poate demonstra ca arborele de codificare Huffman minimizeaza lungimea externa ponderata pentru toti arborii de codificare cu varfurile terminale avand valorile f1, f2, ..., fn. Prin strategia greedy se obtine deci intotdeauna codificarea binara cea mai compacta a unui text.

Arborii de codificare pe care i-am considerat in acesta sectiune corespund unei codificari de tip special: codificarea unei litere nu este prefixul codificarii nici unei alte litere. O astfel de codificare este de tip prefix. Codul Morse nu face parte din aceasta categorie. Codificarea cea mai compacta a unui sir de caractere poate fi intotdeauna obtinuta printr-un cod de tip prefix. Deci, concentrandu-ne atentia asupra acestei categorii de coduri, nu am pierdut nimic din generalitate.

11.4  Arbori parţiali de cost minim

Fie G = <V, M> un graf neorientat conex, unde V este multimea varfurilor si M este multimea muchiilor. Fiecare muchie are un cost nenegativ (sau o lungime nenegativa). Problema este sa gasim o submultime A   M, astfel incat toate varfurile din V sa ramina conectate atunci cand sunt folosite doar muchii din A, iar suma lungimilor muchiilor din A sa fie cat mai mica. Cautam deci o submultime A de cost total minim. Aceasta problema se mai numeste si problema conectarii oraselor cu cost minim, avand numeroase aplicatii.

100

Graful partial <V, A> este un arbore si este numit arborele partial de cost minim al grafului G (minimal spanning tree). Un graf poate avea mai multi arbori partiali de cost minim si acest lucru se poate verifica pe un exemplu.

Vom prezenta doi algoritmi greedy care determina arborele partial de cost minim al unui graf. In terminologia metodei greedy, vom spune ca o multime de muchii este o solutie, daca constituie un arbore partial al grafului G, si este fezabila, daca nu contine cicluri. O multime fezabila de muchii este promitatoare, daca poate fi completata pentru a forma solutia optima. O muchie atinge o multime data de varfuri, daca exact un capat al muchiei este in multime. Urmatoarea proprietate va fi folosita pentru a demonstra corectitudinea celor doi algoritmi.

Proprietatea 11.2 Fie G = <V, M> un graf neorientat conex in care fiecare muchie are un cost nenegativ. Fie W   V o submultime stricta a varfurilor lui G si fie A   M o multime promitatoare de muchii, astfel incat nici o muchie din A nu atinge W. Fie m muchia de cost minim care atinge W. Atunci, A   {m} este promitatoare.

Demonstratie: Fie B un arbore partial de cost minim al lui G, astfel incat A   B (adica, muchiile din A sunt continute in arborele B). Un astfel de B trebuie sa existe, deoarece A este promitatoare. Daca m   B, nu mai ramane nimic de demonstrat. Presupunem ca m   B. Adaugandu-l pe m la B, obtinem exact un ciclu. In acest ciclu, deoarece m atinge W, trebuie sa mai existe cel putin o muchie m' care atinge si ea pe W (altfel, ciclul nu se inchide). Eliminandu-l pe m', ciclul dispare si obtinem un nou arbore partial B' al lui G. Costul lui m este mai mic sau egal cu costul lui m', deci costul total al lui B' este mai mic sau egal cu costul total al lui B. De aceea, B' este si el un arbore partial de cost minim al lui G, care include pe m. Observam ca A   B' deoarece muchia m', care atinge W, nu poate fi in A. Deci, A   {m} este promitatoare. 

Multimea initiala a candidatilor este M. Cei doi algoritmi greedy aleg muchiile una cate una intr-o anumita ordine, aceasta ordine fiind specifica fiecarui algoritm.

Algoritmul lui KruskalArborele partial de cost minim poate fi construit muchie, cu muchie, dupa urmatoarea metoda a lui

Kruskal (1956): se alege intai muchia de cost minim, iar apoi se adauga repetat muchia de cost minim nealeasa anterior si care nu formeaza cu precedentele un ciclu. Alegem astfel #V–1 muchii. Este usor de dedus ca obtinem in final un arbore. Este insa acesta chiar arborele partial de cost minim cautat?

Inainte de a raspunde la intrebare, sa consideram, de exemplu, graful din Figura 11.4a. Ordonam crescator (in functie de cost) muchiile grafului: {1, 2}, {2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {1, 4}, {2, 5}, {4, 7}, {3, 5}, {2, 4}, {3, 6}, {5, 7}, {5, 6} si apoi aplicam algoritmul. Structura componentelor conexe este ilustrata, pentru fiecare pas, in Tabelul 11.1.

Figura 11.4 Un graf si arborele sau partial de cost minim.

Pasul Muchia considerata Componentele conexe ale

101

subgrafului <V, A>initializare — {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}

1 {1, 2} {1, 2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}2 {2, 3} {1, 2, 3}, {4}, {5}, {6}, {7}3 {4, 5} {1, 2, 3}, {4, 5}, {6}, {7}4 {6, 7} {1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7}5 {1, 4} {1, 2, 3, 4, 5}, {6, 7}6 {2, 5} respinsa (formeaza ciclu)7 {4, 7} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Tabelul 11.1 Algoritmul lui Kruskal aplicat grafului din Figura 11.4a.

Multimea A este initial vida si se completeaza pe parcurs cu muchii acceptate (care nu formeaza un ciclu cu muchiile deja existente in A). In final, multimea A va contine muchiile {1, 2}, {2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {1, 4}, {4, 7}. La fiecare pas, graful partial <V, A> formeaza o padure de componente conexe, obtinuta din padurea precedenta unind doua componente. Fiecare componenta conexa este la randul ei un arbore partial de cost minim pentru varfurile pe care le conecteaza. Initial, fiecare varf formeaza o componenta conexa. La sfarsit, vom avea o singura componenta conexa, care este arborele partial de cost minim cautat (Figura 11.4b).

Ceea ce am observat in acest caz particular este valabil si pentru cazul general, din Proprietatea 11.2 rezultand:

Proprietatea 11.3 In algoritmul lui Kruskal, la fiecare pas, graful partial <V, A> formeaza o padure de componente conexe, in care fiecare componenta conexa este la randul ei un arbore partial de cost minim pentru varfurile pe care le conecteaza. In final, se obtine arborele partial de cost minim al grafului G. 

Pentru a implementa algoritmul, trebuie sa putem manipula submultimile formate din varfurile componentelor conexe. Folosim pentru aceasta o structura de multimi disjuncte si procedurile de tip find si merge. In acest caz, este preferabil sa reprezentam graful ca o lista de muchii cu costul asociat lor, astfel incat sa putem ordona aceasta lista in functie de cost. Iata algoritmul:

function Kruskal(G = <V, M>){initializare}sorteaza M crescator in functie de costn ← #V

A ← ø {va contine muchiile arborelui partial de cost minim}initializeaza n multimi disjuncte continand fiecare cate un element din V

{bucla greedy}repeat {u, v} ← muchia de cost minim care inca nu a fost considerate ucomp ← find(u) vcomp ← find(v) if ucomp ≠ vcomp     then   merge(ucomp, vcomp)

A ← A {{u, v}}until #A = n-1return A

102

Pentru un graf cu n varfuri si m muchii, presupunand ca se folosesc procedurile find3 si merge3, numarul de operatii pentru cazul cel mai nefavorabil este in:

O(m log m) pentru a sorta muchiile. Deoarece m ≤ n(n–1)/2, rezulta O(m log m)   O(m log n). Mai mult, graful fiind conex, din n-1 ≤ m rezulta si O(m log n)   O(m log m), deci O(m log m) = O(m log n). O(n) pentru a initializa cele n multimi disjuncte. Cele cel mult 2m operatii find3 si n–1 operatii merge3 necesita un timp in O((2m+n-1) lg* n). Deoarece O(lg* n)   O(log n) si n-1 ≤ m, acest timp este si in O(m log n). O(m) pentru restul operatiilor.

Deci, pentru cazul cel mai nefavorabil, algoritmul lui Kruskal necesita un timp in O(m log n).O alta varianta este sa pastram muchiile intr-un min-heap. Obtinem astfel un nou algoritm, in care

initializarea se face intr-un timp in O(m), iar fiecare din cele n–1 extrageri ale unei muchii minime se face intr-un timp in O(log m) = O(log n). Pentru cazul cel mai nefavorabil, ordinul timpului ramane acelasi cu cel al vechiului algoritm. Avantajul folosirii min-heap-ului apare atunci cand arborele partial de cost minim este gasit destul de repede si un numar considerabil de muchii raman netestate. In astfel de situatii, algoritmul vechi pierde timp, sortand in mod inutil si aceste muchii.

Algoritmul lui PrimCel de-al doilea algoritm greedy pentru determinarea arborelui partial de cost minim al unui graf

se datoreaza lui Prim (1957). In acest algoritm, la fiecare pas, multimea A de muchii alese impreuna cu multimea U a varfurilor pe care le conecteaza formeaza un arbore partial de cost minim pentru subgraful <U, A> al lui G. Initial, multimea U a varfurilor acestui arbore contine un singur varf oarecare din V, care va fi radacina, iar multimea A a muchiilor este vida. La fiecare pas, se alege o muchie de cost minim, care se adauga la arborele precedent, dand nastere unui nou arbore partial de cost minim (deci, exact una dintre extremitatile acestei muchii este un varf in arborele precedent). Arborele partial de cost minim creste “natural”, cu cate o ramura, pina cand va atinge toate varfurile din V, adica pina cand U = V. Functionarea algoritmului, pentru exemplul din Figura 11.4a, este ilustrata in Tabelul 11.2. La sfarsit, A va contine aceleasi muchii ca si in cazul algoritmului lui Kruskal. Faptul ca algoritmul functioneaza intotdeauna corect este exprimat de urmatoarea proprietate, pe care o puteti demonstra folosind Proprietatea 11.2.

Pasul Muchia considerata Uinitializare — {1}

1 {2, 1} {1, 2}2 {3, 2} {1, 2, 3}3 {4, 1} {1, 2, 3, 4}4 {5, 4} {1, 2, 3, 4, 5}5 {7, 4} {1, 2, 3, 4, 5, 6}6 {6, 7} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Tabelul 11.2 Algoritmul lui Prim aplicat grafului din Figura 11.4a.

Proprietatea 11.4 In algoritmul lui Prim, la fiecare pas, <U, A> formeaza un arbore partial de cost minim pentru subgraful <U, A> al lui G. In final, se obtine arborele partial de cost minim al grafului G.  Descrierea formala a algoritmului este data in continuare.

function Prim-formal(G = <V, M>){initializare}

A ←ø    {va contine muchiile arborelui partial de cost minim} U ← {un varf oarecare din V}{bucla greedy} while U ≠ V do

103

gaseste {u, v} de cost minim astfel ca u   V \ U si v   U      A ← A  {{u, v}}      U ← U  {u}  return A

Pentru a obtine o implementare simpla, presupunem ca: varfurile din V sunt numerotate de la 1 la n, V = {1, 2, ..., n}; matricea simetrica C da costul fiecarei muchii, cu C[i, j] = + , daca muchia {i, j} nu exista. Folosim doua tablouri paralele. Pentru fiecare i   V \ U, vecin[i] contine varful din U, care este conectat de i printr-o muchie de cost minim; mincost[i] da acest cost. Pentru i   U, punem mincost[i] = –1. Multimea U, in mod arbitrar initializata cu {1}, nu este reprezentata explicit. Elementele vecin[1] si mincost[1] nu se folosesc.

function Prim(C[1 .. n, 1 .. n]){initializare; numai varful 1 este in U}

A ← ø for i ← 2 to n do   vecin[i]  ← 1   mincost[i] ← C[i, 1]{bucla greedy} repeat n–1 times       min ← +         for j ← 2 to n do          if 0 < mincost[ j] < min  then   min ← mincost[ j]             k ← j           A ← A   {{k, vecin[k]}}            mincost[k] ← –1  {adauga varful k la U}          for j ← 2 to n do              if C[k, j] < mincost[ j] then     mincost[ j] ← C[k, j]                 vecin[ j] ← kreturn A

Bucla principala se executa de n–1 ori si, la fiecare iteratie, buclele for din interior necesita un timp in O(n). Algoritmul Prim necesita, deci, un timp in O(n2). Am vazut ca timpul pentru algoritmul lui Kruskal este in O(m log n), unde m = #M. Pentru un graf dens (adica, cu foarte multe muchii), se deduce ca m se apropie de n(n–1)/2. In acest caz, algoritmul Kruskal necesita un timp in O(n2 log n) si algoritmul Prim este probabil mai bun. Pentru un graf rar (adica, cu un numar foarte mic de muchii), m se apropie de n si algoritmul Kruskal necesita un timp in O(n log n), fiind probabil mai eficient decat algoritmul Prim.

11.5 Cele mai scurte drumuri care pleaca din acelasi punct

Fie G = <V, M> un graf orientat, unde V este multimea varfurilor si M este multimea muchiilor. Fiecare muchie are o lungime nenegativa. Unul din varfuri este desemnat ca varf sursa. Problema este sa determinam lungimea celui mai scurt drum de la sursa catre fiecare varf din graf.

Vom folosi un algoritm greedy, datorat lui Dijkstra (1959). Notam cu C multimea varfurilor disponibile (candidatii) si cu S multimea varfurilor deja selectate. In fiecare moment, S contine acele varfuri a caror distanta minima de la sursa este deja cunoscuta, in timp ce multimea C contine toate celelalte varfuri. La inceput, S contine doar varful sursa, iar in final S contine toate varfurile grafului. La fiecare pas, adaugam in S acel varf din C a carui distanta de la sursa este cea mai mica.

Spunem ca un drum de la sursa catre un alt varf este special, daca toate varfurile intermediare de-a lungul drumului apartin lui S. Algoritmul lui Dijkstra lucreaza in felul urmator. La fiecare pas al

104

algoritmului, un tablou D contine lungimea celui mai scurt drum special catre fiecare varf al grafului. Dupa ce adaugam un nou varf v la S, cel mai scurt drum special catre v va fi, de asemenea, cel mai scurt dintre toate drumurile catre v. Cand algoritmul se termina, toate varfurile din graf sunt in S, deci toate drumurile de la sursa catre celelalte varfuri sunt speciale si valorile din D reprezinta solutia problemei.

Presupunem, pentru simplificare, ca varfurile sunt numerotate, V = {1, 2, ..., n}, varful 1 fiind sursa, si ca matricea L da lungimea fiecarei muchii, cu L[i, j] = + , daca muchia (i, j) nu exista. Solutia se va construi in tabloul D[2 .. n]. Algoritmul este:

function Dijkstra(L[1 .. n, 1 .. n]){initializare} C ← {2, 3, ..., n}       {S = V \C exista doar implicit}   for i ← 2 to n do D[i] ← L[1, i]{bucla greedy}   repeat n–2 times     v ← varful din C care minimizeaza D[v]     C ← C \ {v}          {si, implicit, S ← S {v}}     for fiecare w C do      D[w] ← min(D[w], D[v]+L[v, w])return D

Pentru graful din Figura 11.5, pasii algoritmului sunt prezentati in Tabelul 11.3.

Figura 11.5 Un graf orientat.

Pasul v C Dinitializare — {2, 3, 4, 5} [50, 30, 100, 10]

1 5 {2, 3, 4} [50, 30, 20, 10]2 4 {2, 3} [40, 30, 20, 10]3 3 {2} [35, 30, 20, 10]

Tabelul 11.3 Algoritmul lui Dijkstra aplicat grafului din Figura 11.5.

Observam ca D nu se schimba daca mai efectuam o iteratie pentru a-l scoate si pe {2} din C. De aceea, bucla greedy se repeta de doar n-2 ori.

Se poate demonstra urmatoarea proprietate:

Proprietatea 11.5. In algoritmul lui Dijkstra, daca un varf ii)   este in S, atunci D[i] da lungimea celui mai scurt drum de la sursa catre i;ii)    nu este in S, atunci D[i] da lungimea celui mai scurt drum special de la sursa catre i. 

La terminarea algoritmului, toate varfurile grafului, cu exceptia unuia, sunt in S. Din proprietatea precedenta, rezulta ca algoritmul lui Dijkstra functioneaza corect.

105

Daca dorim sa aflam nu numai lungimea celor mai scurte drumuri, dar si pe unde trec ele, este suficient sa adaugam un tablou P[2 .. n], unde P[v] contine numarul nodului care il precede pe v in cel mai scurt drum. Pentru a gasi drumul complet, nu avem decat sa urmarim, in tabloul P, varfurile prin care trece acest drum, de la destinatie la sursa. Modificarile in algoritm sunt simple:

– initializeaza P[i] cu 1, pentru 2 ≤ i ≤ n– continutul buclei for cea mai interioara se inlocuieste cu

if D[w] > D[v] + L[v, w]   then   D[w] ← D[v] + L[v, w]                                               P[w] ← v

– bucla repeat se executa de n -1 oriSa presupunem ca aplicam algoritmul Dijkstra asupra unui graf cu n varfuri si m muchii.

Initializarea necesita un timp in O(n). Alegerea lui v din bucla repeat presupune parcurgerea tuturor varfurilor continute in C la iteratia respectiva, deci a n -1, n -2, ..., 2 varfuri, ceea ce necesita in total un timp in O(n2). Bucla for interioara efectueaza n-2, n-3, ..., 1 iteratii, totalul fiind tot in O(n2). Rezulta ca algoritmul Dijkstra necesita un timp in O(n2).

Incercam sa imbunatatim acest algoritm. Vom reprezenta graful nu sub forma matricii de adiacenta L, ci sub forma a n liste de adiacenta, continand pentru fiecare varf lungimea muchiilor care pleaca din el. Bucla for interioara devine astfel mai rapida, deoarece putem sa consideram doar varfurile w adiacente lui v. Aceasta nu poate duce la modificarea ordinului timpului total al algoritmului, daca nu reusim sa scadem si ordinul timpului necesar pentru alegerea lui v din bucla repeat. De aceea, vom tine varfurile v din C intr-un min-heap, in care fiecare element este de forma (v, D[v]), proprietatea de min-heap referindu-se la valoarea lui D[v]. Numim algoritmul astfel obtinut Dijkstra-modificat. Sa il analizam in cele ce urmeaza.

Initializarea min-heap-ului necesita un timp in O(n). Instructiunea “C ← C \ {v}” consta in extragerea radacinii min-heap-ului si necesita un timp in O(log n). Pentru cele n–2 extrageri este nevoie de un timp in O(n log n).

Pentru a testa daca “D[w] > D[v]+L[v, w]”, bucla for interioara consta acum in inspectarea fiecarui varf w din C adiacent lui v. Fiecare varf v din C este introdus in S exact o data si cu acest prilej sunt testate exact muchiile adiacente lui; rezulta ca numarul total de astfel de testari este de cel mult m. Daca testul este adevarat, trebuie sa il modificam pe D[w] si sa operam un percolate cu w in min-heap, ceea ce necesita din nou un timp in O(log n). Timpul total pentru operatiile percolate este deci in O(m log n).

In concluzie, algoritmul Dijkstra-modificat necesita un timp in O(max(n, m) log n). Daca graful este conex, atunci m ≥ n si timpul este in O(m log n). Pentru un graf rar este preferabil sa folosim algoritmul Dijkstra-modificat, iar pentru un graf dens algoritmul Dijkstra este mai eficient.

Este usor de observat ca, intr-un graf G neorientat conex, muchiile celor mai scurte drumuri de la un varf i la celelalte varfuri formeaza un arbore partial al celor mai scurte drumuri pentru G. Desigur, acest arbore depinde de alegerea radacinii i si el difera, in general, de arborele partial de cost minim al lui G.

Problema gasirii celor mai scurte drumuri care pleaca din acelasi punct se poate pune si in cazul unui graf neorientat.

11.6  Euristica greedy

Pentru anumite probleme, se poate accepta utilizarea unor algoritmi despre care nu se stie daca furnizeaza solutia optima, dar care furnizeaza rezultate “acceptabile”, sunt mai usor de implementat si mai eficienti decat algoritmii care dau solutia optima. Un astfel de algoritm se numeste euristic.

Una din ideile frecvent utilizate in elaborarea algoritmilor euristici consta in descompunerea procesului de cautare a solutiei optime in mai multe subprocese succesive, fiecare din aceste subprocese constand dintr-o optimizare. O astfel de strategie nu poate conduce intotdeauna la o solutie optima, deoarece alegerea unei solutii optime la o anumita etapa poate impiedica atingerea in final a unei solutii optime a intregii probleme; cu alte cuvinte, optimizarea locala nu implica, in general, optimizarea globala.

106

Regasim, de fapt, principiul care sta la baza metodei greedy. Un algoritm greedy, despre care nu se poate demonstra ca furnizeaza solutia optima, este un algoritm euristic.

Vom da doua exemple de utilizare a algoritmilor greedy euristici.

11.6.1  Colorarea unui graf

Fie G = <V, M> un graf neorientat, ale carui varfuri trebuie colorate astfel incat oricare doua varfuri adiacente sa fie colorate diferit. Problema este de a obtine o colorare cu un numar minim de culori.Folosim urmatorul algoritm greedy: alegem o culoare si un varf arbitrar de pornire, apoi consideram varfurile ramase, incercand sa le coloram, fara a schimba culoarea. Cand nici un varf nu mai poate fi colorat, schimbam culoarea si varful de start, repetand procedeul.

Figura 11.6 Un graf care va fi colorat.

Daca in graful din Figura 11.6 pornim cu varful 1 si il coloram in rosu, mai putem colora tot in rosu varfurile 3 si 4. Apoi, schimbam culoarea si pornim cu varful 2, colorandu-l in albastru. Mai putem colora cu albastru si varful 5. Deci, ne-au fost suficiente doua culori. Daca coloram varfurile in ordinea 1, 5, 2, 3, 4, atunci se obtine o colorare cu trei culori.

Rezulta ca, prin metoda greedy, nu obtinem decat o solutie euristica, care nu este in mod necesar solutia optima a problemei. De ce suntem atunci interesati intr-o astfel de rezolvare? Toti algoritmii cunoscuti, care rezolva optim aceasta problema, sunt exponentiali, deci, practic, nu pot fi folositi pentru cazuri mari. Algoritmul greedy euristic propus furnizeaza doar o solutie “acceptabila”, dar este simplu si eficient.

Un caz particular al problemei colorarii unui graf corespunde celebrei probleme a colorarii hartilor: o harta oarecare trebuie colorata cu un numar minim de culori, astfel incat doua tari cu frontiera comuna sa fie colorate diferit. Daca fiecarui varf ii corespunde o tara, iar doua varfuri adiacente reprezinta tari cu frontiera comuna, atunci hartii ii corespunde un graf planar, adica un graf care poate fi desenat in plan fara ca doua muchii sa se intersecteze. Celebritatea problemei consta in faptul ca, in toate exemplele intalnite, colorarea s-a putut face cu cel mult 4 culori. Aceasta in timp ce, teoretic, se putea demonstra ca pentru o harta oarecare este nevoie de cel mult 5 culori.

Problema colorarii unui graf poate fi interpretata si in contextul planificarii unor activitati. De exemplu, sa presupunem ca dorim sa executam simultan o multime de activitati, in cadrul unor sali de clasa. In acest caz, varfurile grafului reprezinta activitati, iar muchiile unesc activitatile incompatibile. Numarul minim de culori necesare pentru a colora graful corespunde numarului minim de sali necesare.

11.6.2 Problema comis-voiajorului

Se cunosc distantele dintre mai multe orase. Un comis-voiajor pleaca dintr-un oras si doreste sa se intoarca in acelasi oras, dupa ce a vizitat fiecare din celelalte orase exact o data. Problema este de a minimiza lungimea drumului parcurs. Si pentru aceasta problema, toti algoritmii care gasesc solutia optima sunt exponentiali.

Problema poate fi reprezentata printr-un graf neorientat, in care oricare doua varfuri diferite ale grafului sunt unite intre ele printr-o muchie, de lungime nenegativa. Cautam un ciclu de lungime minima, care sa se inchida in varful initial si care sa treaca prin toate varfurile grafului.

107

Conform strategiei greedy, vom construi ciclul pas cu pas, adaugand la fiecare iteratie cea mai scurta muchie disponibila cu urmatoarele proprietati:

nu formeaza un ciclu cu muchiile deja selectate (exceptand pentru ultima muchie aleasa, care completeaza ciclul)

nu exista inca doua muchii deja selectate, astfel incat cele trei muchii sa fie incidente in acelasi varf

La: 2 3 4 5 6

De la:1 3 10 11 7 252 6 12 8 263 9 4 204 5 155 18

Tabelul 11.4 Matricea distantelor pentru problema comis-voiajorului.

De exemplu, pentru sase orase a caror matrice a distantelor este data in Tabelul 11.4, muchiile se aleg in ordinea: {1, 2}, {3, 5}, {4, 5}, {2, 3}, {4, 6}, {1, 6} si se obtine ciclul (1, 2, 3, 5, 4, 6, 1) de lungime 58. Algoritmul greedy nu a gasit ciclul optim, deoarece ciclul (1, 2, 3, 6, 4, 5, 1) are lungimea 56.

108

CAPITOLUL XII

STUDII DE CAZ – APLICAŢII

109

1. Să se determine toate numerele perechile de numere gemene pana la o anumita valoare n. Două numere sunt gemene dacă sunt ambele prime şi diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic este 2.

Private Sub CommandButton1_Click() Dim rad As Integer, n As Integer, p As Integer, i As Integer, j As Integer cit_n "n = ", n For i = 3 To n p = 1 rad = Int(Sqr(i + 2)) For j = 2 To Int(rad) If i Mod j = 0 Or (i + 2) Mod j = 0 Then prim = 0 j = Int(rad) End If Next If p Then MsgBox "(" + Str$(i) + "," + Str$(i + 2) + ")" + Chr(13) End If Next

End Sub

2. Să se citească o valoare naturala n cu valori cuprinse intre 1 şi 100.

Sub cit_n(mes As String, nnn As Integer) Do nnn = InputBox(mes, y) Loop Until n > 0 And n < 100End Sub

3. Citirea unui vector cu n componente

Sub cit_date(mes As String, n As Integer, a As vector) For i = 1 To n

110

a.v(i) = InputBox(mes + "(" + Str$(i) + ")=", y) NextEnd Sub

4. Tipărirea unui tablou cu n componente

Sub tipar(mes As String, n As Integer, a As vector) sir = "" For i = 1 To n sir = sir + Str$(a.v(i)) + "," Next MsgBox mes + " " + sirEnd Sub

5. Generarea permutărilor utilizănd metoda backtracking

Private Sub CommandButton14_Click() cit_n "n = ", n back_permEnd Sub

6. Generarea produsului cartezian a n mulţimi utilizând metoda backtracking

Private Sub CommandButton16_Click() Dim a As vector cit_n "n=", n cit_date "a", n, a tipar " multimile sunt : ", n, a back_prod_cartEnd Sub

7. Generarea permutărilor utilizănd metoda backtracking

Private Sub CommandButton17_Click() cit_n "n = ", n cit_n "p = ", p back_aranjEnd Sub

8. “Problema celor n dame” utilizănd metoda backtracking

Private Sub CommandButton15_Click() cit_n "n = ", n backEnd Sub

9. Generarea combinărilor (de n luate câte m) utilizănd metoda backtracking

Private Sub CommandButton18_Click() cit_n "n = ", n cit_n "p = ", p back_combEnd Sub

10. Generarea partiţiilor unei mulţimi utilizănd metoda backtracking

111

Private Sub CommandButton19_Click() cit_n "n=", n back_partitiiEnd Sub

11. Căutarea binară utilizând metoda “Divide et Impera” pentru sortarea unui şir de numere

Private Sub CommandButton2_Click() Dim n As Integer, x As Integer, a As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a tipar "sirul dat este : ", n, a divimp 1, n, a 'MsgBox "Sirul a sortat este" tipar "Sirul a sortat este", n, a x = InputBox(" x = ", y) st = 1 dr = n l = True While st <= dr And l = True pp = (st + dr) / 2 If a.v(pp) = x Then l = False MsgBox "numarul x = " + Str$(x) + " se afla printre elementele vectorului a" End If If a.v(pp) < x Then st = pp + 1 Else dr = p - 1 End If Wend If l = True Then MsgBox "numarul x = " + Str$(x) + " nu se fala in sir " End IfEnd Sub

12. Realizarea unei subrutine pentru sortarea rapidă “Quicksort”

Sub sort(p As Integer, q As Integer, a As vector) Dim m As Integer If a.v(p) > a.v(q) Then m = a.v(p) a.v(p) = a.v(q) a.v(q) = m End IfEnd Sub

13. Sortarea “Merge-Sort” utilizând metoda “Divide et impera”

Sub interc(p As Integer, q As Integer, m As Integer, a As vector) Dim b As vector, i, j, k As Integer i = p j = m + 1 k = 1

112

While (i <= m) And (j <= q) If a.v(i) <= a.v(j) Then b.v(k) = a.v(i) i = i + 1 k = k + 1 Else b.v(k) = a.v(j) j = j + 1 k = k + 1 End If Wend If i <= m Then For j = i To m b.v(k) = a.v(j) k = k + 1 Next Else For i = j To q b.v(k) = a.v(i) k = k + 1 Next End If k = 1 For i = p To q a.v(i) = b.v(k) k = k + 1 NextEnd Sub

14. Sortarea rapidă utilizând metoda “Divide et impera”

Sub divimp(p As Integer, q As Integer, a As vector) Dim m As Integer If (q - p) <= 1 Then sort p, q, a Else m = Int((p + q) / 2) divimp p, m, a divimp m + 1, q, a interc p, q, m, a End IfEnd Sub

15. Problema colorării hărţilor utilizând metoda backtracking

Private Sub CommandButton20_Click() Dim mat As matrice cit_n " n = ", n cit_mat "a", n, n, mat tipar_mat "a", n, n, mat For i = 1 To n For j = 1 To n mat.m(j, i) = mat.m(i, j) Next Next back_colEnd Sub

113

16. Interclasarea a 2 şiruri ordonate crescător

Private Sub CommandButton3_Click() Dim n As Integer, x As Integer, a As vector, m As Integer, b As vector, k As Integer, c As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a tipar "sirul dat este : ", n, a divimp 1, n, a 'MsgBox "Sirul a sortat este" tipar "Sirul a sortat este", n, a cit_n "m = ", m cit_date "a", m, b tipar "sirul dat este : ", m, b divimp 1, m, b 'MsgBox "Sirul a sortat este" tipar "Sirul b sortat este", m, b i = 1 j = 1 k = 0 While i <= n And j <= m If a.v(i) < b.v(j) Then k = k + 1 c.v(k) = a.v(i) i = i + 1 Else If a.v(i) = b.v(j) Then k = k + 1 c.v(k) = a.v(i) i = i + 1 j = j + 1 Else k = k + 1 c.v(k) = b.v(j) j = j + 1 End If End If Wend If i <= n Then For l = i To n k = k + 1 c.v(k) = a.v(l) Next End If If j <= m Then For l = j To m k = k + 1 c.v(k) = b.v(l) Next End If tipar "A U B = ", k, cEnd Sub

17. Sortarea Shell-Sort utilizând metoda Greedy

114

Private Sub CommandButton4_Click() Dim n As Integer, k As Integer, a As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a tipar "sirul dat este : ", n, a k = n Do k = k / 2 Do b = 1 For i = 1 To n - k If a.v(i) > a.v(i + k) Then x = a.v(i) a.v(i) = a.v(i + k) a.v(i + k) = x b = 0 End If Next Loop Until Not (b = 0) Loop Until Not (k <> 1) 'MsgBox "Sirul a sortat este" tipar "Sirul a sortat este", n, aEnd Sub

18. Citirea si scrierea unei matrici pe ecran

Private Sub CommandButton5_Click() Dim n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, p As Integer, c As matrice cit_n "n = ", n cit_n "m = ", m cit_mat "a", n, m, a tipar_mat "a", n, m, aEnd Sub

19. Citirea unei matrici de pe dispozitivul de intrare

Sub cit_mat(mes As String, n As Integer, m As Integer, a As matrice) For i = 1 To n For j = 1 To m a.m(i, j) = InputBox(mes + "(" + Str$(i) + "," + Str$(j) + ")=", y) Next NextEnd Sub

20. Scrierea unei matrici pe ecran

Sub tipar_mat(mes As String, n As Integer, m As Integer, a As matrice) sir = mes + Chr(10) For i = 1 To n For j = 1 To m sir = sir + Str$(a.m(i, j)) + " "

115

Next sir = sir + Chr(10) Next MsgBox sirEnd Sub

21. Produsul a două matrici

Private Sub CommandButton6_Click() Dim n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, p As Integer, c As matrice cit_n "n = ", n cit_n "m = ", m cit_mat "a", n, m, a tipar_mat "a", n, m, a cit_n "p = ", p 'cit_n "m = ", m cit_mat "b", m, p, b tipar_mat "m", m, p, b prod_mat n, m, p, a, b, c tipar_mat "axb=", n, p, cEnd Sub

Sub prod_mat(n As Integer, m As Integer, p As Integer, a As matrice, b As matrice, c As matrice) For i = 1 To n For j = 1 To p c.m(i, j) = 0 For k = 1 To m c.m(i, j) = c.m(i, j) + a.m(i, k) * b.m(k, j) Next Next NextEnd Sub

22. Programul principal pentru adunarea a două matrici

Private Sub CommandButton7_Click() Dim n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, p As Integer, c As matrice cit_n "n = ", n cit_n "m = ", m cit_mat "a", n, m, a tipar_mat "a", n, m, a 'cit_n "p = ", p 'cit_n "m = ", m cit_mat "b", n, m, b tipar_mat "b", n, m, b ad_mat n, m, a, b, c tipar_mat "a+b=", n, m, cEnd Sub

23. Subrutina pentru adunarea a două matrici

Sub ad_mat(n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, c As matrice)

116

For i = 1 To n For j = 1 To m c.m(i, j) = a.m(i, j) + b.m(i, j) Next NextEnd Sub

24. Programul principal pentru scăderea a două matrici

Private Sub CommandButton8_Click() Dim n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, p As Integer, c As matrice cit_n "n = ", n cit_n "m = ", m cit_mat "a", n, m, a tipar_mat "a", n, m, a 'cit_n "p = ", p 'cit_n "m = ", m cit_mat "b", n, m, b tipar_mat "b", n, m, b scad_mat n, m, a, b, c tipar_mat "a-b=", n, m, cEnd Sub

25. Subrutina pentru adunarea a două matrici

Sub scad_mat(n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, c As matrice) For i = 1 To n For j = 1 To m c.m(i, j) = a.m(i, j) - b.m(i, j) Next NextEnd Sub

26. Programul principal pentru ridicarea unei matrici la o putere p

Private Sub CommandButton9_Click() Dim n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, p As Integer, c As matrice, k As Integer 'Sub scad_mat(n As Integer, m As Integer, a As matrice, b As matrice, c As matrice) 'const t as vector ={0,31,28,31,30,31,30,31,30,31,30,31,30} cit_n "n = ", n 'cit_n "m = ", m cit_mat "a", n, n, a tipar_mat "a", n, n, a cit_n "putere = ", k 'cit_n "m = ", m 'cit_mat "b", n, m, b 'tipar_mat "b", n, m, b putere_mat n, a, k, c tipar_mat "a^p=", n, n, cEnd Sub

27. Subprogramul pentru ridicarea unei matrici la o putere p

117

Sub putere_mat(n As Integer, a As matrice, k As Integer, c As matrice) Dim b As matrice, c1 As matrice For i = 1 To n For j = 1 To n c.m(i, j) = 0 c1.m(i, j) = 0 Next Next For i = 1 To n c.m(i, i) = 1 c1.m(i, i) = 1 Next 'Next While k > 0 If k Mod 2 = 1 Then prod_mat n, n, n, c1, a, c End If For i = 1 To n For j = 1 To n c1.m(i, j) = c.m(i, j) 'c1.m(i, j) = 0 Next Next prod_mat n, n, n, a, a, b k = Int(k / 2) For i = 1 To n For j = 1 To n a.m(i, j) = b.m(i, j) 'c1.m(i, j) = 0 Next Next Wend For i = 1 To n For j = 1 To n c.m(i, j) = c1.m(i, j) 'c1.m(i, j) = 0 Next NextEnd Sub

28. Subrutina de iniţializare a stivei pentru metoda backtracking

Sub init(k As Integer, st As stiva) st.ss(k) = 0End Sub

29. Subrutina successor pentru “problema celor n dame”

Sub succesor(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End If

118

End Sub

30. Subrutina successor pentru generarea combinărilor

Sub succesor_c(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < n - p + k Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

31. Subrutina succesor pentru problema “produsului cartezian a n mulţimi” utilizând metoda backtracking

Sub succesor_prod(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < a.v(k) Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

32. Subrutina successor pentru colorarea hărţilor

Sub succesor_col(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) If st.ss(k) < 4 Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

33. Subrutina valid pentru “problema celor n dame”

Sub valid(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Or (Abs(st.ss(i) - st.ss(k)) = Abs(k - i)) Then ev = False End If NextEnd Sub

34. Subrutina valid pentru colorarea hărţilor

Sub valid_col(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) And (mat.m(i, k) = 1) Then ev = False End If

119

NextEnd Sub

Sub valid_c(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) Dim i As Integer ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Then ev = False End If Next If k > 1 Then If st.ss(k) < st.ss(k - 1) Then ev = False End If End IfEnd Sub

35. Subrutina valid pentru “produs cartezian a n mulţimi”

Sub valid_prod(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = TrueEnd Sub

36. Subrutina soluţie pentru generarea permutărilor

Function solutie(k As Integer) As Boolean If k = n Then solutie = True Else solutie = False End IfEnd Function

37. Subrutina soluţie pentru generarea aranjamentelor sau combinărilor

Function solutie1(k As Integer) As Boolean If k = p Then solutie1 = True Else solutie1 = False End IfEnd Function

38. Subrutina tipărire pentru “problema celor n dame”

Sub tiparr() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To n b = b + "(" + Str$(i) + "," + Str$(st.ss(i)) + ")," Next MsgBox bEnd Sub

120

39. Subrutina tipărire pentru “colorarea hărţilor”

Sub tipar_col() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To nb = b + "Tara = " + Str$(i) + "; culoarea " + Str$(st.ss(i)) + " " Next MsgBox bEnd Sub

40. Subrutina back pentru “problema celor n dame”

Sub back() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tiparr Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

41. Programul principal pentru “problema celor n dame”

Sub Button2_Click() n = InputBox("n=", ib_title) backEnd Sub

42. Subrutina back pentru “generarea permutărilor”

Sub back_perm() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid1 ev, st, k End If

121

Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_r Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

43. Subrutina back pentru “generarea aranjamentelor”

Sub back_aranj() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid1 ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie1(k) Then tipar_rr Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

44. Subrutina valid pentru metoda backtracking

Sub valid1(ev As Boolean, st As stiva, k As Integer) ev = True For i = 1 To k - 1 If (st.ss(i) = st.ss(k)) Then ev = False End If NextEnd Sub

45. Subrutina tipar pentru metoda backtracking

Sub tipar_r() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To n

122

b = b + Str$(st.ss(i)) + "," Next MsgBox bEnd Sub

46. Subrutina tipar pentru metoda backtracking

Sub tipar_rr() Dim i As Integer, b As String b = " " For i = 1 To p b = b + Str$(st.ss(i)) + "," Next MsgBox bEnd Sub

47. Subrutina back pentru “generarea combinărilor”

Sub back_comb() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_c am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_c ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie1(k) Then tipar_rr Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

48. Subrutina back pentru “generarea produsului cartezian a n multimi”

Sub back_prod_cart() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_prod am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_prod ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then

123

tipar_r Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

49. Subrutina back pentru “generarea partiţiilor unei mulţimi”

Sub back_partitii() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_part am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_prod ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_part Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

50. Subrutina tiparire pentru problema “generare partiţii” a unei mulţimi

Sub tipar_part() Dim i As Integer, max As Integer, j As Integer, sir As String sir = "" max = st.ss(1) For i = 2 To n If max < st.ss(i) Then max = st.ss(i) End If Next sir = " PARTITII " For j = 1 To max For i = 1 To n If st.ss(i) = j Then sir = sir + Str$(i) + " " End If Next sir = sir + Chr(10) Next

124

MsgBox sirEnd Sub

51. Subrutina succesor pentru problema “generare partiţii” a unei mulţimi

Sub succesor_part(am_suc As Boolean, st As stiva, k As Integer) Dim i As Integer, max As Integer If k = 1 Then max = 1 Else max = st.ss(1) For i = 2 To k - 1 If max < st.ss(i) Then max = st.ss(i) End If Next End If If st.ss(k) < max + 1 And st.ss(k) < k Then am_suc = True st.ss(k) = st.ss(k) + 1 Else am_suc = False End IfEnd Sub

52. Subrutina back pentru “colorarea hărţilor”

Sub back_col() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do succesor_col am_suc, st, k If am_suc = True Then valid_col ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_col Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd SubPublic s As String

53. Funcţia pentru a verifica dacă un număr natural n este prim sau nu

Function prim(n As Integer) As Boolean b = True For i = 2 To Int(Sqr(n))

125

If n Mod i = 0 Then b = False i = Int(Sqr(n)) End If Next prim = bEnd Function

54. Programul principal pentru inversarea unui număr natural n

Sub buton1_Click() Dim n As Integer, ninv As Integer, n1 As Integer, sir As String Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 n1 = n ninv = 0 sir = "" While n <> 0 sir = sir + LTrim(RTrim(Str$(n Mod 10))) ninv = ninv * 10 + n Mod 10 n = Int(n / 10) Wend MsgBox " numarul initial este : " + Str$(n1) + " numarul inversat este: " + sirEnd Sub

55. Algoritmul lui Euclid pentru calcularea CMMDC a două numere naturale pozitive

Private Sub Buton10_Click() Dim a As Integer, b As Integer, c As Integer Do a = InputBox("a = ", y) b = InputBox("b = ", y) a1 = a b1 = b Loop Until a > 0 And b > 0 And a > b c = euclid2(a, b) If c = 1 Then MsgBox " nr. sunt prime intre ele (" + Str$(a1) + "," + Str$(b1) + ")" Else MsgBox "Cmmdc (" + Str$(a1) + "," + Str$(b1) + ")=" + Str$(euclid2(a, b)) End IfEnd Sub

56. Sortarea unui sir cu n componente utilizând metoda bulelor

Private Sub Buton11_Click() Dim n As Integer, a As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a tipar "vectorul initial a este ", n, a bule n, a tipar "vectorul a sortat este : ", n, aEnd Sub

126

57. Subrutina pentru sortarea prin metoda bulelor

Sub bule(n As Integer, a As vector) Do k = 0 For i = 1 To n - 1 If a.v(i) > a.v(i + 1) Then x = a.v(i) a.v(i) = a.v(i + 1) a.v(i + 1) = x k = 1 End If Next Loop Until k = 0End Sub

58. Sortarea unui sir cu n componente utilizând metoda selecţiei directe

Private Sub Buton12_Click() Dim n As Integer, a As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a tipar "vectorul initial a este ", n, a selectie n, a tipar "vectorul a sortat este : ", n, aEnd Sub

59. Subrutina pentru sortarea prin metoda selecţiei directe

Sub selectie(n As Integer, a As vector) For i = 1 To n - 1 min = a.v(i) k = i For j = i + 1 To n If min > a.v(j) Then min = a.v(j) k = j End If Next If k <> i Then x = a.v(i) a.v(i) = a.v(k) a.v(k) = x End If NextEnd Sub

60. Sortarea unui sir cu n componente utilizând metoda prin numărare

Private Sub Buton14_Click() Dim n As Integer, a As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a tipar "vectorul initial a este ", n, a numarare n, a

127

tipar "vectorul a sortat este : ", n, aEnd Sub

61. Suma cifrelor unui număr natural dat n

Sub buton2_Click() Dim n As Integer, s As Long, n1 As Integer Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 n1 = n s = 0 While n <> 0 s = s + n Mod 10 n = Int(n / 10) Wend MsgBox " suma cifrelor numarului n = " + Str$(n1) + " este : " + Str$(s)End Sub

62. Verificarea unui numar natural n daca este prim sau nu

Sub buton3_Click() Dim n As Integer, s As Long, n1 As Integer Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 n1 = n b = True For i = 2 To Int(Sqr(n)) If n Mod i = 0 Then b = False i = Int(Sqr(n)) End If Next If b = True Then MsgBox "numarul n = " + Str$(n) + " este prim" Else MsgBox "numarul n = " + Str$(n) + " nu este prim" End IfEnd Sub

63. Determinarea numerelor prime mai mici sau egale cu n utilizând metoda directă

Sub buton4_Click() Dim n As Integer, s As Long, n1 As Integer, i As Integer Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 n1 = n If n = 2 Then MsgBox "numerele prime sunt : 2" Else sir = "2," i = 3 While i <= n If prim(i) = True Then

128

sir = sir + Str$(i) + "," End If i = i + 2 Wend End If MsgBox "numere prime sunt : " + sirEnd Sub

64. Ciurul lui Eratostene

Sub buton5_Click() Dim n As Integer, a As vector, sir As String Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 For i = 1 To n a.v(i) = i Next For i = 2 To Int(Sqr(n)) If a.v(i) <> 0 Then j = 2 * i While j <= n j = j + i a.v(j) = 0 Wend End If Next sir = "" For i = 2 To n If a.v(i) <> 0 Then sir = sir + Str$(i) + "," End If Next MsgBox "Numerele prime sunt : " + sirEnd Sub

65. Descompunerea unui numar in factori primi

Sub buton6_Click() Dim n As Integer, a As vector, sir As String, n1 As Integer Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 i = 2 n1 = n l = 0 sir = "" Do fm = 0 While n Mod i = 0 fm = fm + 1 l = 1 n = Int(n / i) Wend If fm <> 0 Then sir = sir + Str$(i) + "^" + Str$(fm) + "*" End If

129

i = i + 1 Loop Until n = 1 If l = 0 Then sir = Str$(n) + "^1" End If MsgBox Str$(n1) + "=" + sirEnd Sub

66. Scrierea unui număr ca suma a două cuburi

Sub buton7_Click() Dim n As Integer, a As vector, sir As String, n1 As Integer Do n = InputBox(" n = ", y) Loop Until n > 0 n1 = n For n = 1 To n1 Max = Int(n / 2) nr = 0 For i = 1 To Max For j = i To Max If i * i * i + j * j * j = n Then If nr = 0 Then i1 = i j1 = j Else i2 = i j2 = j End If nr = nr + 1 End If Next Next If nr > 1 Then MsgBox Str$(n) + "=" + Str$(i1) + "^" + Str$(j1) + "+" + Str$(i2) + "^" + Str$(j2) End If NextEnd Sub

67. CMMDC a două numere utilizând recursivitatea

Sub buton8_Click() Dim a As Integer, b As Integer, c As Integer Do a = InputBox("a = ", y) b = InputBox("b = ", y) a1 = a b1 = b Loop Until a > 0 And b > 0 And a > b c = euclid(a, b) If c = 1 Then MsgBox " nr. sunt prime intre ele (" + Str$(a1) + "," + Str$(b1) + ")" Else MsgBox "Cmmdc (" + Str$(a1) + "," + Str$(b1) + ")=" + Str$(euclid(a, b))

130

End IfEnd Sub

68. Funcţia euclid

Function euclid(a As Integer, b As Integer) As Integer Dim r As Integer Do r = a Mod b MsgBox r a = b b = r Loop Until Not (r = 0 And r = 1) If r = 1 Then euclid = 1 Else euclid = a End IfEnd Function

69. CMMDC a două numere utilizând scăderi repetate

Private Sub Buton9_Click() Dim a As Integer, b As Integer, c As Integer Do a = InputBox("a = ", y) b = InputBox("b = ", y) a1 = a b1 = b Loop Until a > 0 And b > 0 And a > b c = euclid1(a, b) If c = 1 Then MsgBox " nr. sunt prime intre ele (" + Str$(a1) + "," + Str$(b1) + ")" Else MsgBox "Cmmdc (" + Str$(a1) + "," + Str$(b1) + ")=" + Str$(euclid1(a, b)) End IfEnd Sub

70. Funcţia Euclid utilizând scăderi repetate

Function euclid1(a As Integer, b As Integer) As Integer If a > b Then euclid1 = euclid1(a - b, b) Else If a < b Then euclid1 = euclid1(a, b - a) Else euclid1 = a End If End IfEnd Function

71. Funcţia Euclid utilizând scăderi repetate

131

Function euclid2(a As Integer, b As Integer) As Integer If b = 0 Then euclid2 = a Else euclid2 = euclid2(b, a Mod b) End IfEnd Function

72. x ^ y utilizând un număr minim de înmulţiri

Sub Button15_Click() Dim x As Integer, y As Integer, z As Integer, t As String, bb As vector Dim xx As Integer Do x = InputBox("a=", ib_title) y = InputBox("b=", ib_title) Loop Until (x > 0) And (y > 0) And (x >= y) baza1 x, y, bb, xx t = "" MsgBox "n = " + Str$(xx) For z = xx To 1 Step -1 t = t + Str$(bb.v(z)) Next MsgBox tEnd Sub

73. Verifică dacă un număr natural este palindrome sau nu

Sub Button16_Click() Dim n As Long, m As Long Do n = InputBox("n=", ib_title) Loop Until (n > 0) m = n If palindrom(n) = True Then MsgBox "n=" + Str$(m) + " este plaindrom" Else MsgBox "n=" + Str$(m) + " nu este plaindrom" End IfEnd Sub

74. Baza la exponent

Sub Button17_Click() Dim x As Double, y As Byte, z As Double, t As Byte Do x = InputBox("baza=", ib_title) y = InputBox("exponent=", ib_title) Loop Until (x > 0) And (y > 0) z = putere(x, y, t) MsgBox Str$(z) + " " + Str$(t - 1)End Sub

75. Quicksort

132

Sub Button18_Click() Dim n As Integer, a As vector cit_n "n = ", n cit_date "a", n, a 'MsgBox "Sirul a este" tipar "Sirul a este", n, a divimp 1, n, a 'MsgBox "Sirul a sortat este" tipar "Sirul a sortat este", n, aEnd Sub

76. Minimul dintr-un şir de numere utilizând divide et impera

Sub Button19_Click() Dim n As Integer, a As vector cit_n "n=", n cit_date "a", n, a 'MsgBox "Sirul a este" tipar "sirul dat este ", n, a MsgBox "minimul in Sirul a este" + Str$(minim(1, n))End Sub

77. Turnurile din Hanoi

Sub Button20_Click() Dim n As Integer, a As sir, b As sir, c As sir d = "" a.s = "A" b.s = "B" c.s = "C" n = InputBox("n=", ib_title) hanoi n, a, b, c MsgBox dEnd Sub

78. Subrutina Hanoi

Sub hanoi(n As Integer, a As sir, b As sir, c As sir) If n = 1 Then d = d + "(" + a.s + "->" + b.s + ")," Else hanoi n - 1, a, c, b d = d + "(" + a.s + "->" + b.s + ")," hanoi n - 1, c, b, a End IfEnd Sub

79. Subrutina back pentru permutări

Sub back_perm() Dim k As Integer k = 1 init k, st While k > 0 Do

133

succesor am_suc, st, k If am_suc = True Then valid1 ev, st, k End If Loop Until (Not am_suc) Or (am_suc And ev) If am_suc Then If solutie(k) Then tipar_r Else k = k + 1 init k, st End If Else k = k - 1 End If WendEnd Sub

80. Calculul sumei 1-1,1-1-1,………….,1-1-1-1-1-1-1…….-1

Private Sub Buttton3_Click() Dim n As Integer, ss As String cit_n "n = ", n ss = "" i = 0 j = 1 While (i < n) ss = ss + " 1" i = i + 1 k = 1 While k <= j And i < n ss = ss + " -1" i = i + 1 k = k + 1 Wend j = j + 1 Wend MsgBox ssEnd Sub

134

Bibliografie

[1.] Brassard, G., Bratley, P. “Algorithmics - Theory and Practice”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1988.[2.] Cormen, T.H., Leiserson, C.E., Rivest, R.L. “Introduction to Algorithms”, The MIT Press, Cambridge, Masshusetts, 1992 (eighth printing).[3.] Ellis, M., Stroustrup, B. “The Annotated C++ Reference Manual”, Addison-Wesley, Reading, 1991.[4.] Graham, R.L., Knuth, D.E., Patashnik, O. “Concrete Mathematics”, Addison-Wesley, Reading, 1989.[5.] Horowitz, E., Sahni, S. “Fundamentals of Computer Algorithms”, Computer Science Press, Rockville, 1978.[6.] Knuth, D.E. “Tratat de programarea calculatoarelor. Algoritmi fundamentali”, Editura Tehnica, Bucuresti, 1974.[7.] Knuth, D.E. “Tratat de programarea calculatoarelor. Sortare si cautare”, Editura Tehnica, Bucuresti, 1976.[8.] Lippman, S. B. “C++ Primer”, Addison-Wesley, Reading, 1989.[9.] Livovschi, L., Georgescu, H. “Sinteza si analiza algoritmilor”, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986.[10.] Morariu N, Limbaje de programare, curs ID,2003[11.] Sedgewick, R. “Algorithms”, Addison-Wesley, Reading, 1988.[12.] Sedgewick, R. “Algorithms in C”, Addison-Wesley, Reading, 1990.[13.] Sethi, R. “Programming Languages. Concepts and Constructs”, Addison-Wesley, Reading, 1989.[14.] Smith, J.H. “Design and Analysis of Algorithms”, PWS-KENT Publishing Company, Boston, 1989.[15.] Standish, T.A. “Data Structure Techniques”, Addison-Wesley, Reading, 1979.[16.] Stroustrup, B. “The C++ Programming Language”, Addison-Wesley, Reading, 1991.[17.] Stroustrup, B. “The Design and Evolution of C++”, Addison-Wesley, Reading, 1994.[18.] http://thor.info.uaic.ro/~dlucanu/

135