91827031-Curs-HS-TDDH-Medias-2011

UNIVERSITATEA LUCIAN BLAGA DIN SIBIU Facultatea de Inginerie „Hermann Oberth“

Specializarea Transportul, Depozitarea şi Distribuţia Hidrocarburilor

EUGEN MIHAIL IONESCU

2011

_________________________________________________________________________________________________________________________________________ Copyright© 2005…2011 Eugen Mihail Ionescu

C U P R I N S

pag. 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Mediu poros şi mediu fisurat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Rocă colectoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Zăcământ de hidrocarburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Presiunea iniţială şi temperatura de zăcământ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Proprietăţile fizice ale mediilor poroase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. Porozitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.2. Aria specifică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3. Permeabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.4. Compresibilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Statica fluidelor din zăcământ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.1. Saturaţiile rocii colectoare în fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.2. Tensiunile interfaciale şi presiunea capilară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.1. Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.2. Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR ÎN ZĂCĂMINTELE DE HIDROCARBURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Ecuaţia dinamicii fluidelor în medii poroase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Ecuaţia liniară a filtrării unui fluid monofazic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2. Domeniul de existenţă a ecuaţiei lui Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3. Ecuaţia neliniară a filtrării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4. Ecuaţia lui Darcy pentru un fluid multifazic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Ecuaţia continuităţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1. Ecuaţia microscopică a continuităţii pentru un fluid monofazic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Ecuaţia macroscopică a bilanţului material pentru un fluid monofazic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Ecuaţiile de stare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Problemă rezolvată . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2. Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. MIŞCĂRI ALE LICHIDELOR INCOMPRESIBILE ÎN MEDII POROASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Mişcarea unidimensională într-un mediu poros omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Mişcări bidimensionale într-un mediu poros omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1. Mişcarea radial plană . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2. Mişcarea generată de o sondă amplasată excentric într-un zăcământ cu contur de alimentare circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.3. Mişcarea generată de o sondă într-un zăcământ cu contur de alimentare liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Legea refracţiei liniilor de curent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4. Mişcări unidimensionale în medii poroase cu permeabilitate zonal constantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1. Mişcarea unidimensională în cazul frontierei comune perpendiculare pe direcţia mişcării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.2. Mişcarea unidimensională în cazul frontierei comune coliniare cu direcţia mişcării. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Mişcări radial plane în medii poroase cu permeabilitate zonal constantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.1. Mişcarea radial plană în cazul frontierei comune perpendiculare pe direcţia mişcării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.2. Efectul skin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5.3. Mişcarea radial plană în cazul frontierei comune coliniare cu direcţia mişcării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6. Mişcări tridimensionale generate de sonde imperfecte din punct de vedere hidrodinamic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6.1. Mişcarea radial sferică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6.2. Mişcarea generată de o sondă parţial penetrantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6.3. Mişcarea generată de o sondă imperfectă după modul de deschidere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6.4. Conuri de apă de talpă inactivă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7. Mişcări gravitaţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7.1. Ecuaţia lui Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 CUPRINS


3.7.2. Mişcarea gravitaţională unidimensională nestaţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7.3. Mişcarea gravitaţională axial simetrică staţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7.4. Mişcarea zonal gravitaţională axial simetrică staţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8. Estimarea rezervelor de hidrocarburi prin metoda declinului de producţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.8.1. Declinul de producţie constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.8.2. Declinul de producţie hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8.3. Declinul de producţie armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


3.10. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. MIŞCAREA LICHIDELOR COMPRESIBILE ÎN MEDII POROASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1. Ecuaţiile mişcării lichidelor compresibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Mişcarea radial plană semistaţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3. Mişcarea radial plană staţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4. Mişcarea tranzitorie generată de o sondă cu debit constant, într-un zăcământ de întindere mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5. Cercetarea hidrodinamică a sondei extractive de ţiţei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1. Cazul sondei cercetate prin închidere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.2. Cazul sondei cercetate la deschidere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6. Influxul natural al apei în zăcăminte de hidrocarburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.1. Consideraţii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.2. Determinarea variaţiei influxului cumulativ de apă într-un zăcământ de hidrocarburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


4.8. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5. MIŞCĂRI GENERATE DE SONDE ÎN ZĂCĂMINTE DE GAZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1. Ecuaţia cu derivate parţiale a pseudopresiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2. Mişcarea unidimensională staţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3. Mişcări radial plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1. Mişcarea staţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.2. Mişcarea semistaţionară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3.3. Mişcarea tranzitorie generată de o sondă cu debit constant într-un zăcământ de întindere infinită . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4. Cercetarea hidrodinamică a sondei extractive de gaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4.1. Cazul sondei cercetate prin închidere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4.2. Cazul sondei cercetate prin variaţia debitului în trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5. Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.5.1. Problemă rezolvată . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.5.2. Problemă propusă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6. EXPLOATAREA ZĂCĂMINTELOR DE GAZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1. Modele zerodimensionale folosite în exploatarea zăcămintelor de gaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.1.1. Zăcăminte de gaze cu frontierele impermeabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.1.2. Zăcăminte de gaze cu influx de apă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2. Prevederea comportării în exploatare a unui zăcământ de gaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.1. Presiunea medie de zăcământ şi factorul de recuperare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.2. Debitul şi presiunea dinamică de fund ale sondei cu comportare medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.2.1. Cazul sondei cu viteză de filtrare constantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.2.2. Cazul sondei cu presiune constantă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2.2.3. Cazul sondei cu debit constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2.3. Presiunea de suprafaţă în tubing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2.4. Presiunea de suprafaţă în coloană . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2.5. Puterea necesară comprimării gazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3. Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.1. Problemă rezolvată . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.2. Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7. DEZLOCUIREA NEMISCIBILĂ A ŢIŢEIULUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1. Aspecte generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

HIDRAULICA SUBTERANĂ 5


7.2. Prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire unidimensională de tip piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3. Prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire radial plană de tip piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.4. Dezlocuirea fracţională unidimensională. Teoria BUCKLEY – LEVERETT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.5. Dezlocuirea ţiţeiului cu soluţie de polimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5.1. Aspecte generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.2. Comportarea reologică a soluţiilor de polimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.3. Degradarea soluţiilor de polimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.5.4. Estimarea performanţei spălării unidimensionale cu soluţie de polimer a unui zăcământ de ţiţei folosind soluţia ecuaţiei

avansului frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.5.5. Criterii de selecţie a zăcământului pentru spălarea cu soluţie de polimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


7.8. Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 SOLUŢIILE TESTELOR DE AUTOEVALUARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


Capi to lul 1

NOŢ IUNI FUNDAMENTALE

1.1. Mediu poros şi mediu fisurat Corpurile solide pot conţine spaţii lipsite de materie solidă, numite goluri. Aceste goluri, care, de fapt, sunt spaţii ocupate de fluide, au o gamă largă de dimensiuni şi se clasifică în: interstiţii moleculare (în cazul dimensiunilor foarte mici), pori (în cazul dimensiunilor moderate), caverne şi fisuri (care au dimensiuni relativ mari). Un corp care prezintă pori se numeşte corp poros sau mediu poros. De regulă, porii comunică între ei, permiţând ca fluidul din mediul poros să fie o fază continuă şi să se deplaseze prin acesta sub acţiunea unor gradienţi de presiune. În mod obişnuit, prin mediu poros se înţelege mediul poros permeabil. Mediul solid care prezintă caverne şi fisuri intercomunicante se numeşte mediu fisurat permeabil sau, mai simplu, mediu fisurat. În cazul în care mediul poros este străbătut de fisuri intercomunicante, fluidele pot circula atât prin sistemul de fisuri cât şi prin matricea poroasă, iar forţele capilare pot juca un rol important. 1.2. Rocă colectoare Mediile poroase şi mediile fisurate care prezintă acumulări de hidrocarburi fluide se numesc roci colectoare. Rocile colectoare sunt constituite, în principal, din roci sedimentare şi, uneori, din roci metamorfice sau roci eruptive (vulcanice). Rocile sedimentare se împart în roci detritice (clastice) şi roci de precipitaţie chimică (neclastice). Rocile detritice sunt reprezentate, în general, de nisipuri şi gresii; în aceste roci sunt cantonate aproximativ 60% din rezervele mondiale de hidrocarburi fluide. Rocile neclastice, care sunt roci carbonatice (calcare şi dolomite), constituie sediul acumulărilor ce reprezintă aproape 40% din rezervele mondiale de hidrocarburi fluide. Rocile metamorfice sunt cunoscute ca roci colectoare în câteva zăcăminte din California, Kansas, Venezuela şi Maroc, iar unele zăcăminte din Cuba şi Mexic au rocile colectoare de origine vulcanică. Rocile detritice sunt constituite din particule de rocă rezultate din eroziunea rocilor vulcanice, metamorfice sau sedimentare preexistente, transportate fie de curenţi de apă sau de aer, fie gravitaţional, prin rostogolire pe panta terenului. Rocile colectoare detritice s-au format prin sedimentarea particulelor de rocă, odată cu scăderea vitezei curentului de fluid purtător la o valoare la care greutatea particulei, redusă cu portanţa hidrostatică şi cu rezistenţa opusă mişcării ca efect al frecării, a fost preponderentă faţă de forţa de inerţie. După sedimentarea particulelor de rocă au avut loc procese de tasare şi, uneori, de cimentare, rezultată prin precipitarea carbonaţilor şi dioxidului de siliciu din apa de mare. Vitezele curenţilor de apă şi ritmul precipitării chimice în bazinele de sedimentare s-au modificat, atât în timp, cât şi de la o zonă la alta, determinând formarea, pe fundul acestor bazine, a unor roci sedimentare cu compoziţii mineralogice diverse. Proprietăţile rocilor detritice depind de: natura rocilor din care provin, distanţa la care au fost transportate materialele constituente, condiţiile biochimice din bazinele de sedimentare, adâncimea bazinelor, distanţa dintre locurile de sedimentare şi ţărm, sortarea depunerilor etc. Rocile granulare neconsolidate (nisipuri) sau consolidate (gresii) curate, care au diametrul granulelor cuprins între 2 mm şi 1/16 mm şi cimentul reprezentat de silice, calcit şi oxid de fier, s-au format în perioadele de linişte relativă a scoarţei, când zonele de coastă constituiau câmpii mărginite de mări puţin adânci, închise complet sau parţial. În aceste zone au avut loc procese de eroziune minimă şi de descompunere chimică foarte intensă, care au determinat ca mineralele stabile ajunse în mare să se depună în strate de grosimi uniforme pe suprafeţe relativ mari. Aleuritele (roci detritice consolidate care au diametrul particulelor cuprins între 1/16 mm şi 1/256 mm), nisipurile murdare (caracterizate prin procente relativ mari de particule marno-argiloase) şi conglomeratele (constituite din particule de rocă cu diametrul mai mare de 2 mm) sunt formate în perioadele de deformare moderată a scoarţei terestre, în bazine de sedimentare relativ adânci, separate de zona continentală printr-o platformă continentală scurtă. În aceste bazine a avut loc o sedimentare detritică continuă, în condiţiile existenţei unei rapide eroziuni a zonei continentale şi a unei distanţe mici de transport a materialului solid, reflectate prin imposibilitatea realizării transformărilor chimice, ca urmare a timpului de transport relativ scurt. Argilele intră atât în compoziţia aleuritelor, cât şi în materialul ce umple spaţiul dintre particulele de rocă ale conglomeratelor. Stratele sedimentare detritice eterogene, care au grosime mare şi conţin multe minerale instabile, s-au format în perioadele de deformare zonală intensă a scoarţei terestre, când anumite regiuni au fost mult ridicate faţă de cele ale mării adiacente, în care s-au sedimentat particulele de rocă provenite din zona continentală. Aceste sedimentări au avut loc în condiţiile existenţei unor distanţe mici de transport, asociate cu transformări chimice extrem de reduse. Rocile sedimentare neclastice s-au format prin depunerea resturilor calcaroase de plante şi animale, sau prin precipitarea chimică a carbonaţilor din apa de mare, în bazine închise. Scufundarea treptată a platformei continentale a dus la mărirea perioadei de precipitare a carbonaţilor, formându-se calcarele şi dolomitele, care sunt roci compacte, incapabile să se opună deformărilor scoarţei terestre. Din acest motiv, ele s-au fisurat, iar fisurile s-au mărit ulterior, sub acţiunea procesului de dizolvare a mineralelor carbonatice de către apa de circulaţie.

8 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE


Calcarele oolitice nefisurate, formate prin depunerea carbonatului de calciu pe granule minerale, constituie, de asemenea, medii poroase, în care s-au putut acumula hidrocarburi fluide. În afară de clasificarea genetică (având drept criteriu modul de formare) în roci clastice şi neclastice, rocile sedimentare mai pot fi grupate după compoziţia lor mineralogică. În acest sens, se poate constata că rocile detritice conţin, de regulă, cuarţ (sau grupa silice) în proporţie predominantă. Pe de altă parte, se poate observa că rocile sedimentare sunt formate, în principal, din trei materiale: gresie (sau nisip), calcar şi argilă. Ca urmare, prin admiterea observaţiei că, pentru fiecare rocă sedimentară, predomină două din cele trei materiale menţionate, denumirea rocii este dată de cele două materiale, luate în ordinea descrescătoare a fracţiilor de participare. Spre exemplu, o rocă formată din 55% argilă şi 45% calcar este o argilă calcaroasă, o rocă constituită din 60% gresie şi 40% argilă este o gresie argiloasă, o rocă având 70% calcar şi 30% gresie este un calcar nisipos sau grezos etc. Dintre toate mineralele care pot face parte dintr-o rocă colectoare, cele mai importante pentru procesul de recuperare a ţiţeiului sunt mineralele carbonatice şi mineralele argiloase. Din acest motiv, în cadrul determinării compoziţiei mineralogice a probelor de rocă colectoare se urmăreşte, în principal, stabilirea gradului şi modului de participare la compoziţia rocii a mineralelor din aceste două grupe. 1.3. Zăcământ de hidrocarburi Zăcământul de hidrocarburi este o acumulare de ţiţei, gaze şi apă (sau doar de gaze şi apă) într-o rocă colectoare mărginită de frontiere impermeabile (reprezentate de strate marnoase sau argiloase, falii etanşe prin amplitudinea săriturilor sau prin materialele impermeabile depuse pe falie etc.), care prezintă potenţial de exploatare în condiţii tehnico-economice date. Conform ipotezei organice, ţiţeiul şi gazele s-au format din substanţe de origine animală şi vegetală depozitate, odată cu sedimentele, în bazine închise şi transformate chimic sub acţiunea bacteriilor, presiunii, temperaturii, catalizatorilor şi radioactivităţii. Aceste transformări au avut loc în rocile mamă, marnoase sau argiloase, care fac parte din clasa pelitelor (clasa rocilor cu diametrul particulelor mai mic de 0,01 mm). Sub acţiunea sedimentelor depuse ulterior, hidrocarburile au migrat din rocile mamă în rocile colectoare. Procesul de migrare în rocile colectoare a continuat până când hidrocarburile au întâlnit un complex de condiţii fizice şi geologice propice realizării unei acumulări. Acest proces de migrare este cunoscut sub numele de migrare secundară, iar complexul condiţiilor de acumulare se numeşte capcană. Migrarea secundară a avut loc, în principal, pe direcţie laterală, sub acţiunea de antrenare a ţiţeiului de către apele subterane aflate în mişcare, la care s-au adăugat expansiunea gazelor, segregarea gravitaţională şi capilaritatea. Forma, tipul şi poziţia capcanelor sunt determinate de particularităţi structurale, stratigrafice şi hidrodinamice. Factorii structurali care determină existenţa capcanelor sunt cutele, faliile normale sau inverse şi intruziunile (inclusiv diapirismul). Factorii stratigrafici sunt reprezentaţi de variaţiile laterale ale procesului de sedimentare şi de suprafeţele de discordanţă a sedimentelor. Asfaltizarea ţiţeiului în zona în care roca colectoare aflorează, precum şi existenţa anumitor particularităţi hidrodinamice ale structurii pot constitui, de asemenea, capcane în care s-au cantonat acumulări de hidrocarburi. Zăcămintele de hidrocarburi care au rocile colectoare granulare, formate în perioadele de linişte zonală relativă a scoarţei terestre, se caracterizează prin uniformitatea gresiilor şi nisipurilor componente. De regulă, exploatarea unui astfel de zăcământ are loc sub acţiunea unui proces de împingere naturală a apei provenite din acviferul adiacent, proces care asigură, în final, extragerea unei părţi însemnate din cantitatea de ţiţei existentă. În aleurite, intercalate cu conglomerate, gresii şi nisipuri murdare se formează zăcăminte foarte neuniforme. Exploatarea acestor zăcăminte prin împingere naturală a apei constituind cazuri de excepţie, se impune, în general, aplicarea unor procese de suplimentare a energiei de zăcământ prin injecţie de apă sau gaze. Tipul şi forma capcanei determină schema de amplasare a sondelor de extracţie a ţiţeiului. Cunoaşterea condiţiilor de formare a zăcământului oferă posibilitatea stabilirii preliminare a formelor energiei de zăcământ capabile să împingă fluidele spre sonde.

1.4. Presiunea iniţială şi temperatura de zăcământ Hidrocarburile fluide din zăcământ sunt caracterizate de câmpuri scalare ale presiunii şi temperaturii. Câmpul iniţial de presiune din zăcământ este definit de câmpul hidrostatic, potrivit căruia presiunea unui lichid omogen incompresibil, aflat în echilibru sub acţiunea gravitaţiei, creşte direct proporţional cu adâncimea. Presiunea iniţială de zăcământ este, prin definiţie, egală cu valoarea presiunii măsurate, la deschiderea zăcământului, în planul orizontal determinat de limita inferioară iniţială a zonei saturate cu hidrocarburi. În general, această limită este reprezentată de contactul iniţial apă–ţiţei sau apă–gaze, iar presiunea iniţială a zăcămintelor de hidrocarburi poate fi aproximată prin presiunea hidrostatică dată de o coloană de apă de densitate medie ρa = 1.038 kg/m3, având înălţimea egală cu adâncimea zăcământului, măsurată faţă de gura sondei. În acest sens, se poate observa că presiunea relativă prf a fluidului din zăcământ este o componentă a presiunii litostatice pl, definită ca greutatea coloanei litostatice (formate din roci şi din fluidele care saturează rocile permeabile) pe unitatea de arie, astfel ,0 rrrfl pppp ++= (1.1) unde prr este presiunea relativă existentă între particulele rocii la adâncimea respectivă, iar p0 – presiunea atmosferică.

HIDRAULICĂ SUBTERANĂ 9


Deoarece presiunea litostatică la o adâncime dată este constantă, diferenţiind relaţia (1.1) rezultă că rfrr pp dd −= (1.2) ceea ce arată că, prin scăderea presiunii fluidelor în timpul exploatării zăcământului, presiunea la contactul dintre granulele rocii creşte. Admiţând că densitatea coloanei de roci este constantă şi egală cu densitatea medie a acesteia şi ţinând seama că, în timpul formării zăcământului, a existat o comunicaţie permanentă a apei de zăcământ cu apa din bazinul de sedimentare, presiunea rocii creşte liniar cu adâncimea, conform relaţiei ,zgp rrr ρ= (1.3) iar presiunea relativă a apei din vecinătatea zăcământului este dată de legea hidrostaticii .zgp ara ρ= (1.4) Ca urmare, relaţia (1.1) devine ( ) zgpp ral ρ+ρ+= 0 (1.5) şi indică o variaţie liniară a presiunii litostatice cu adâncimea z (figura 1.1). Deşi mineralizaţia apelor din rocile scoarţei terestre variază cu adâncimea, determinând variaţia densităţii acestor ape între 1.000 kg/m3 (pentru apa nemineralizată) şi 1.150 kg/m3 (pentru apă saturată cu NaCl), presiunea iniţială de zăcământ poate fi estimată, în majoritatea cazurilor, cu relaţia (1.1) în care ρa = 1.038 kg/m3. Există însă şi zăcăminte cu presiuni hidrostatice anormale, definite de relaţia ,0 Czgpp aa + ρ+= (1.6) unde pa este presiunea absolută a apei, iar C este o constantă, ale cărei valori sunt pozitive pentru zăcămintele suprapresurizate (dreapta b din figura 1.1), respectiv negative pentru zăcămintele subpresurizate (dreapta a). Pentru un zăcământ de hidrocarburi normal presurizat, având contactul apă–ţiţei la adâncimea hat şi contactul gaze–ţiţei la adâncimea hgt (figura 1.2), presiunile absolute iniţiale în zonele de ţiţei şi de gaze variază conform legii hidrostaticii, astfel ( ) ,, atgtattatt hzhzhgpp ≤≤−ρ−= (1.7)

( ) ( ) ,, gtggtggtattatg hzhzhghhgpp ≤≤−ρ−−ρ−= (1.8) unde pat, ca presiune absolută, are expresia ,0 ataat hgpp ρ+= (1.9) iar hg este adâncimea limitei superioare a zonei de gaze. Măsurătorile de presiune au arătat că, în cadrul relaţiilor (1.7) şi (1.8), se pot admite pentru densităţile ţiţeiului şi gazelor valorile medii constante ρt = 807 kg/m3 şi ρg = 184,5 kg/m3. Ca urmare, modulele gradienţilor de presiune medii iniţiali în zonele de apă, ţiţei şi gaze au valorile: dpa/dz = ρa g = 10.179 Pa/m, dpt/dz = ρt g = 7.913 Pa/m, respectiv dpg/dz = ρg g = 1.809 Pa/m, care corespund dreptelor din figura 1.3. Dacă se introduce în relaţia (1.6) corecţia de densitate Δρa prin substituţia ,zgC aρΔ±= (1.10) ecuaţia (1.6) devine ( ) .0 zgpp aaa ρΔ±ρ+= (1.11) Măsurătorile de presiune iniţială în cazul zăcămintelor anormal presurizate au arătat că densitatea corectată a apei (ρa ± Δρa) ia valori minime în intervalul (450…680) kg/m3 şi valori maxime în domeniul (2.040…2.300) kg/m3. Cauzele acestor anomalii de presiune sunt multiple şi includ fie temperaturi peste limitele normale, fie eroziunea suprafeţei terestre, fie ridicarea zăcământului în cazul zăcămintelor suprapresurizate, fie temperaturi sub limitele normale ori scufundarea zăcământului în cazul subpresurizării. Temperatura de zăcământ este definită sub forma ,0 zgTT tz += (1.12) în care T0 este temperatura medie multianuală la suprafaţa solului, z – adâncimea zăcământului, iar gt – gradientul geotermic. Gradientul geotermic este, conform relaţiei (1.12), diferenţa dintre temperaturile Tz şi T0, raportată la adâncimea zăcământului, adică

,0

zTTTg z

t−

=∇= (1.13)

Figura 1.1 Variaţiile presiunii litostatice şi

componentelor acesteia cu adâncimea

Figura 1.2. Secţiune verticală printr-un zăcământ de

ţiţei cu cap de gaze iniţial

Figura 1.3 Variaţia presiunii iniţiale în zonele de gaze şi de ţiţei ale unui

zăcământ normal presurizat



unde

,zTk

yTj

xTiT

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rr

(1.14)

este gradientul de temperatură în scoarţa terestră, ir

, jr

, kr

sunt versorii axelor carteziene, iar ∇ este operatorul lui Hamilton (gradient). În România, pentru altitudini ce nu depăşesc 300 m, temperatura medie multianuală T0 este de 282,95 K (9,8 °C) în sudul ţării şi de 282,35 K (9,2 °C) în nord. Inversul gradientului geotermic se numeşte treaptă geotermică şi se notează cu tg. În mod obişnuit, tg = 27 m/°C, dar s-au întâlnit valori minime cuprinse între 5,2 m/°C şi 22 m/°C şi valori maxime situate între 66 m/°C şi 125 m/°C. Acestei trepte geotermice medii îi corespunde gradientul geotermic mediu gt = 0,037 °C/m, aproximat, deseori, prin reţinerea primelor două zecimale, astfel: gt == 0,03 °C/m. Folosind treapta geotermică tg, temperatura de zăcământ se poate calcula cu relaţia

,0g

z tzTT +=

ca valoare estimativă, care poate fi confirmată sau infirmată de măsurătorile de temperatură efectuate în sonde.

1.5. Proprietăţile fizice ale mediilor poroase Principalele proprietăţi fizice ale mediilor poroase sunt: porozitatea, aria specifică, permeabilitatea şi compresibilitatea.

1.5.1. Porozitatea Porozitatea este proprietatea mediilor poroase de a prezenta goluri de dimensiuni moderate, numite pori. Ea este caracterizată cantitativ prin coeficientul de porozitate volumică m (numit de obicei, prin abreviere, porozitate) care, prin definiţie, este raportul dintre volumul porilor Vp şi volumul brut Vb al domeniului ocupat de roca poroasă. Conform acestei definiţii, coeficientul m poate fi exprimat astfel

,1b

s

b

p

VV

VV

m −== (1.15)

sau

,1s

bmρρ

−= (1.16)

unde Vs, ρs reprezintă volumul, respectiv densitatea părţii solide a rocii (matricei acesteia), iar ρb – densitatea brută sau aparentă, definită ca raport între masa rocii şi volumul brut Vb al acesteia. După modul de formare, porozitatea se clasifică în porozitate primară şi porozitate secundară. Porozitatea primară este porozitatea depozitelor de sedimente rezultată în urma proceselor de compactare şi cimentare, iar porozitatea secundară este rezultatul proceselor de fisurare şi de dizolvare la care sunt supuse unele roci carbonatice. Coeficientul de porozitate volumică (pe scurt – porozitatea) exprimă capacitatea de acumulare a fluidelor în roca colectoare. Porozitatea absolută ia în considerare volumul tuturor porilor rocii, iar porozitatea efectivă este definită în raport cu volumul porilor intercomunicanţi, prin care se pot deplasa fluidele. Porozitatea mai poate fi apreciată şi prin coeficientul de porozitate superficială, exprimat prin relaţia

,b

ps A

Am = (1.17)

unde Ab este aria brută (totală) a unei secţiuni plane oarecare prin mediul poros, iar Ap – aria porilor, determinată prin analiza microscopică a secţiunii plane considerate. Dacă se consideră că secţiunea de arie Ab este reprezentativă pentru un cilindru de rocă având o anumită înălţime, atunci se poate admite că porozitatea superficială este egală cu porozitatea volumică. Porozitatea poate fi definită ca o funcţie continuă (funcţie de punct) dacă se asociază fiecărui punct din domeniul ocupat de mediul poros câte un cub cu centrul în punctul respectiv şi având latura l mult mai mare decât diametrul echivalent de al granulelor rocii, respectiv mult mai mică decât dimensiunea minimă de gabarit a domeniului mediului poros. Astfel, valoarea porozităţii în orice punct este egală cu porozitatea cubului centrat în acel punct. Porozitatea devine astfel o funcţie continuă de coordonatele spaţiale x, y, z şi permite, împreună cu conceptele de permeabilitate funcţie de punct şi viteză de filtrare, utilizarea ecuaţiilor mediilor continue pentru descrierea mişcării fluidelor prin medii poroase. Un mediu poros este omogen sau neomogen după cum funcţia m(x, y, z) este sau nu constantă. Porozitatea rocilor colectoare variază între 5% şi 40%, cu observaţia că valorile mari corespund rocilor necimentate. Astfel, în cazul rocilor colectoare din România, porozitatea are valori cuprinse între 30% şi 40% pentru nisipuri neconsolidate, respectiv de (10…35)% pentru gresii, particularizându-se în cazul gresiei de kliwa la valori situate între 10% şi 20%. În general, se consideră că porozitatea unei roci colectoare este neglijabilă dacă m < 5%, mică dacă m se situează între (5…10)%, medie dacă m se găseşte între (10…15)%, mare dacă m se află între (15…20)% şi foarte mare dacă m depăşeşte 20%. Pentru cunoaşterea gradului de neuniformitate a unei roci colectoare neconsolidate şi pentru stabilirea rocii fictive echivalente acesteia, se poate efectua analiza granulometrică a probei de rocă. În cadrul analizei granulometrice, se separă granulele componente ale rocii în clase de dimensiuni, reprezentate prin greutatea fiecărei clase, exprimată ca fracţie din greutatea probei de rocă, stabilindu-se astfel compoziţia granulometrică a rocii. Separarea granulometrică se poate efectua prin cernere printr-un set de site, prin sedimentare în lichid, prin elutriaţie, prin centrifugare sau pe cale microscopică.



1.5.2. Aria specifică Aria specifică este definită ca aria totală a suprafeţelor interstiţiilor (pori şi/sau fisuri) conţinute în unitatea de volum brut al rocii şi are dimensiunea inversului unei lungimi (L–1). O valoare mare a ariei specifice reflectă preponderenţa forţelor de frecare şi importanţa fenomenelor superficiale de adsorbţie, manifestate în roca colectoare în prezenţa fluidelor aflate în repaus sau în mişcare. În cazul modelului rocii fictive formate din particule sferice de acelaşi diametru d, aria specifică este dată de relaţia

( ) ,16d

mAs−

= (1.18)

care, pentru d = de, poate fi aplicată unei roci cu granulaţie neuniformă. Generalitatea acestei relaţii poate fi extinsă prin admiterea presupunerii că particulele de rocă nu sunt sferice, ci poliedrice, şi au aria laterală de na ori mai mare decât aria sferei. S-a stabilit că na variază, în mod frecvent, între 1,2 şi 1,5. Dacă toate particulele de rocă au aproximativ aceeaşi valoare a lui na, relaţia (1.18) devine

( ) .16

e

as d

mnA −= (1.19)

Acest mod de estimare a ariei specifice poate fi folosit numai pentru mediile poroase granulare neconsolidate, fiind bazat pe analiza granulometrică. Deoarece suprafaţa interioară a oricărui mediu poros natural are o formă extrem de complexă, aria specifică poate fi determinată doar prin metoda statistică sau prin metode indirecte. Metoda statistică se bazează pe analiza datelor statistice obţinute prin repetarea, de un număr mare de ori, a experimentului de cădere a unui ac de lungime l pe o microfotografie, mult mărită, a unei secţiuni din mediul poros. Notând cu np numărul de experimente în care acul cade în interiorul porilor şi cu ng numărul de experimente corespunzătoare intersectării acului cu perimetrele porilor, aria specifică se obţine pe baza teoriei probabilităţilor astfel

,4

Nnl

nmA

p

gs = (1.20)

unde m este porozitatea, iar N – factorul de amplificare a microfotografiei. Se apreciază că aceasta este cea mai bună metodă de determinare a ariei specifice. Metodele indirecte se bazează fie pe adsorbţia de vapori pe suprafaţa interstiţiilor, fie pe mişcarea unui fluid în mediul poros. Cercetările au arătat că rocile colectoare au arii specifice cuprinse în intervalul (0,2…100) ha/m3 în cazul zăcămintelor de ţiţei, respectiv între 1 ha/m3 şi 1.000 ha/m3 în cazul zăcămintelor de gaze.

1.5.3. Permeabilitatea Prin definiţie, permeabilitatea este proprietatea unui corp solid de a permite mişcarea prin el a unui fluid, sub acţiunea unui gradient de presiune. Potrivit acestei definiţii, permeabilitatea este, de fapt, o componentă a conductivităţii fluidului în mediul poros, lucru evidenţiat clar de legea lui DARCY exprimată, pentru mişcarea unidimensională, sub forma

,2121

lppA

lppkAQ −

λ=−

μ= (1.21)

unde k este permeabilitatea, μ – vâscozitatea dinamică a fluidului, iar Q – debitul volumic care traversează o suprafaţă de arie totală (brută) A, sub acţiunea gradientului de presiune (p1 – p2)/l. Conductivitatea unui fluid într-un mediu poros se numeşte mobilitate şi are, conform relaţiei (1.21), expresia λ = k/μ . (1.22) Se observă că mobilitatea depinde atât de fluid (prin intermediul vâscozităţii dinamice μ), cât şi de mediul poros (prin permeabilitatea k a acestuia). Permeabilitatea k are dimensiunile unei arii (L2) şi reprezintă o măsură a mediei pătratelor diametrelor porilor. Permeabilitatea are un caracter macroscopic, deci pentru determinarea ei trebuie considerat un volum de mediu poros care să conţină un număr suficient de mare de pori intercomunicanţi. Ca şi în cazul porozităţii, se poate defini permeabilitatea ca funcţie continuă (funcţie de punct), asociind fiecărui punct din mediul poros un cub centrat în punctul respectiv şi având latura l mult mai mare decât diametrul mediu al porilor şi mult mai mică decât dimensiunea minimă de gabarit a mediului poros. Astfel, permeabilitatea în orice punct al mediului poros este egală cu permeabilitatea cubului centrat în punctul respectiv. Permeabilitatea se măsoară în S.I. (Sistemul Internaţional de unităţi de măsură) în m2, iar în sistemul CGS (centimetru, gram, secundă) în cm2, unitate numită perm. Din considerente de ordin practic, se mai folosesc unităţile de măsură μm2 (micrometru pătrat), darcy (D) şi milidarcy (mD). Unitatea de măsură darcy se defineşte, pe baza relaţiei (1.21), astfel

.m109869,0s1Pa325.101m10sPa10

atm1cm1

cm1cP1s

cm1D1 212

243

2

3

−−−

⋅=⋅

⋅⋅=

⋅

⋅⋅=

Permeabilitatea mediilor poroase poate fi afectată de o serie de factori. Astfel, compactarea rocii duce la reducerea atât a porozităţii cât şi a permeabilităţii. În cazul când roca colectoare conţine minerale argiloase, la contactul acestora cu apă dulce sau cu apă de altă mineralizaţie decât cea din zăcământ, permeabilitatea rocii se micşorează, ca urmare a proprietăţii argilelor de tip montmorillonitic de a absorbi apă şi de a-şi mări astfel volumul.



Dacă roca colectoare este calcaroasă, trecerea prin ea a apei dulci duce la dizolvarea calcarului şi deci la creşterea permeabilităţii. În cazul mediilor poroase neconsolidate, acţiunea forţelor mecanice dezvoltate la mişcarea fluidelor vâscoase poate avea ca efect alterarea structurii rocii şi, implicit, a permeabilităţii acesteia. Permeabilitatea rocii colectoare se poate determina prin măsurători pe carote, din date de carotaj şi din date de cercetare hidrodinamică a sondelor. Determinarea în laborator a permeabilităţii carotei constă, în principiu, din măsurarea (cu ajutorul aparatului numit permeametru) a debitului de fluid care trece, în regim staţionar, prin carotă, sub acţiunea unei diferenţe de presiune p1 – p2, existente între secţiunile de intrare şi de ieşire ale carotei, în condiţiile în care se asigură ca fluidul să circule numai prin proba de rocă. Cunoscându-se, prin măsurare prealabilă, dimensiunile carotei (aria secţiunii transversale, lungimea carotei) şi temperatura fluidului (pentru precizarea vâscozităţii dinamice μ), cu datele de debit şi presiune introduse în relaţia (1.21), scrisă sub forma

( ) ,21 ppA

lQk−μ

= (1.23)

se calculează permeabilitatea respectivă. 1.5.4. Compresibilitatea Compresibilitatea este definită ca proprietatea corpurilor de a-şi micşora volumul sub acţiunea forţelor exterioare de compresiune. Compresibilitatea rocilor colectoare este o proprietate importantă pentru studiul mişcării fluidelor în zăcămintele de hidrocarburi. Compresibilitatea unui corp se exprimă cantitativ prin coeficientul de compresibilitate şi, în limbajul curent, se identifică cu acesta. Coeficientul de compresibilitate totală a unei roci colectoare are, prin definiţie, expresia

,1p

VV

b

bb ∂

∂−=β (1.24)

deci reprezintă variaţia volumului brut Vb al rocii cu presiunea hidrostatică p, raportată la volumul brut. Semnul minus a fost introdus pentru ca βb să fie o mărime pozitivă, în condiţiile în care volumul brut scade când presiunea hidrostatică creşte. Pe baza relaţiei dintre volumul brut, volumul porilor, volumul părţii solide şi porozitate, formula (1.24) poate fi scrisă sub forma

( ) ,111⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−=+

∂∂

−=βp

VVV

VVp

VVV

VVV

pVs

sb

pbp

pb

psp

bb

care se reduce la relaţia ( ) ,1 srb mm β−+β=β (1.25) unde βr este coeficientul de compresibilitate a porilor, numit şi compresibilitatea efectivă a rocii colectoare, iar βs este coeficientul de compresibilitate a părţii solide (matricei rocii). Având în vedere că, în timpul exploatării unui zăcământ de hidrocarburi, presiunea exterioară (litostatică) rămâne constantă, iar presiunea fluidelor din zăcământ scade, volumul brut al rocii colectoare se va micşora în concordanţă cu relaţia (1.24), iar volumul matricei rocii va creşte prin destinderea elastică a părţii solide. Ca urmare, volumul porilor şi, deci, porozitatea se vor micşora în conformitate cu relaţia (1.25). Coeficientul de compresibilitate a porilor, pentru roci colectoare formate din calcare sau gresii, variază între 0,3·10–9 Pa–1 şi 3,63·10–9 Pa–1.

1.6 . Statica fluidelor din zăcământ 1.6.1. Saturaţiile rocii colectoare în fluide Spaţiile goale ale unui mediu poros sau fisurat pot fi ocupate de unul sau mai multe lichide nemiscibile şi, eventual, de aer sau de un alt gaz. Pentru a se stabili volumul spaţiilor goale ocupat de fiecare fluid s-a introdus noţiunea de saturaţie a mediului poros în raport cu un fluid, definită astfel

,p

ff V

Vs = (1.26)

unde Vf este volumul fluidului din mediul poros, iar Vp – volumul spaţiilor goale ale acestuia. Dacă în mediul poros se află n fluide nemiscibile, de volume Vf, cu f = 1, 2, …, n, atunci se poate scrie relaţia

,1

p

n

ff VV =∑

=

(1.27)

care, prin împărţire la Vp, devine

11

=∑=

n

ffs (1.28)

şi se numeşte ecuaţia saturaţiilor.



După cum se observă din relaţia de definiţie (1.26), saturaţia mediului poros în raport cu un fluid reprezintă o mărime adimensională globală, egală cu fracţia volumului spaţiilor goale ocupată de acel fluid. Caracterul global al acestei mărimi rezidă în faptul că, la definirea ei, nu s-a ţinut seama de distribuţia fluidelor în structura poroasă a rocii. Cunoaşterea saturaţiilor iniţiale în fluide a rocii colectoare permite determinarea cantităţii de hidrocarburi acumulate în zăcământul respectiv. Aşa cum se ştie, în cele mai multe zăcăminte de hidrocarburi, roca colectoare s-a aflat, înainte de invadarea ei de către hidrocarburi, saturată integral cu apă mineralizată. Întrucât, în cadrul procesului de migrare a hidrocarburilor, acestea nu au putut dezlocui integral apa din porii rocii colectoare, pentru cunoaşterea cantităţii de hidrocarburi acumulate în zăcământ trebuie determinate saturaţiile iniţiale în apă şi ţiţei, precum şi în gaze (constituite din hidrocarburi în stare de vapori) dacă presiunea iniţială de zăcământ este inferioară presiunii iniţiale de vaporizare. Metodele de determinare a saturaţiilor rocii colectoare în fluide sunt grupate în metode directe şi metode indirecte. Metodele directe constau în măsurarea în laborator a saturaţiilor probelor extrase din zăcământ, în condiţiile conservării conţinutului în fluide, iar metodele indirecte se bazează pe măsurarea unor parametri fizici ai rocii, dependenţi de saturaţiile în fluide. Probele de rocă folosite în laborator pentru determinarea saturaţiilor în fluide sunt obţinute prin carotaj mecanic sau prin intermediul dispozitivelor de detaşat carote din peretele lateral al sondei în zona rocii colectoare. Datorită atât pătrunderii filtratului din fluidul de foraj în roca colectoare, ca urmare a diferenţei de presiune dintre coloana fluidului de foraj şi fluidele din zăcământ, cât şi expansiunii apei, ţiţeiului şi gazelor din proba de rocă odată cu scăderea presiunii fluidului din sondă, prin ridicarea probei la suprafaţă terestră, probele de rocă ajung la laborator cu un conţinut în fluide diferit de cel din zăcământ. Cele mai utilizate metode de măsurare a saturaţiilor în fluide ale probelor de rocă sunt metoda încălzirii în retortă şi metoda extracţiei cu solvent.

1.6.2. Tensiunile interfaciale şi presiunea capilară Forţele care exprimă acţiunea moleculară dintre diferite faze solide, lichide şi gazoase într-un zăcământ de hidrocarburi se numesc forţe capilare. Această denumire se datorează faptului că una din cele mai evidente manifestări ale existenţei lor o constituie comportarea unui lichid într-un tub capilar. La suprafaţa de contact dintre două faze oarecare de tipul lichid–gaz, lichid–lichid, lichid–solid sau gaz–solid există forţe moleculare neechilibrate, care au ca efect tendinţa de contractare a ariei suprafeţei respective la o valoare minimă. Dacă se consideră o cantitate de apă într-un vas, orice moleculă din masa de apă va fi atrasă uniform în toate direcţiile de către moleculele de apă vecine. În schimb, orice moleculă de pe suprafaţa liberă, neavând alte molecule de apă deasupra ei, va fi atrasă în masa de lichid de către moleculele de apă aflate sub ea. Altfel spus, pentru a aduce o nouă moleculă de apă la suprafaţa liberă este necesar să se efectueze un anumit lucru mecanic. Este evident că lucrul mecanic necesar formării unei noi unităţi de arie a suprafeţei libere este proporţional cu numărul de molecule existente pe unitatea de arie. Energia necesară efectuării lucrului mecanic pentru crearea unei unităţi de arie a suprafeţei libere se numeşte energie superficială a acelui lichid. O noţiune utilizată mai frecvent decât energia superficială este tensiunea superficială, definită ca raport între forţa care acţionează tangenţial la suprafaţa liberă şi unitatea de lungime a normalei la suprafaţa liberă duse prin punctul de aplicaţie a forţei. Tensiunea superficială şi energia superficială sunt numeric egale. Denumirea de tensiune superficială este rezervată cazurilor în care suprafaţa corespunde frontierei dintre un lichid şi vaporii săi sau dintre un lichid şi aerul atmosferic. Dacă suprafaţa delimitează două lichide sau un lichid de un corp solid se foloseşte noţiunea de tensiune interfacială. Apa aflată la presiunea atmosferică şi temperatura de 20 °C are tensiunea superficială egală cu 72,6 mN/m, iar tensiunea interfacială dintre apă şi hidrocarburi are valoarea medie de 30 mN/m şi variază în funcţie de natura hidrocarburilor. Tensiunea superficială a unei substanţe lichide pure este o caracteristică constantă a acelei substanţe, iar tensiunea interfacială dintre două substanţe pure reprezintă o caracteristică invariantă a acelei perechi de substanţe. Astfel, mercurul are tensiunea superficială 471,6 mN/m şi tensiunea interfacială faţă de apă egală cu 375 mN/m. Cele mai evidente manifestări ale tensiunii superficiale sunt tendinţa volumelor de lichid liber de a lua forme care prezintă arie minimă (sfere în cazul picăturilor mici de lichid dispersate în aer sau în cazul particulelor fazei disperse a unei emulsii) şi ridicarea sau coborârea unui lichid într-un tub capilar. Tensiunea superficială a apei creşte odată cu creşterea conţinutului în săruri, având, pentru apele de zăcământ, valori cuprinse între 59 şi 76 mN/m. Valorile prezentate mai sus pentru tensiunile superficială şi interfacială corespund presiunii atmosferice şi temperaturii de 20 °C. Prin creşterea presiunii sau a temperaturii aceste tensiuni se micşorează. Astfel, tensiunea superficială a apei are, la temperatura de 25 °C, valorile 71,8 mN/m când presiunea este egală cu presiunea atmosferică, respectiv 61,6 mN/m când presiunea este egală cu 3,45 MPa. Considerând starea de echilibru a apei în contact cu aerul atmosferic într-un tub capilar (figura 1.4) şi introducând forţele de legătură ( aat σ−

r), condiţia de echilibru a

coloanei de apă din tub se exprimă astfel ,cos2 2

mcaac hgrr ρπ=θσπ (1.29) unde σaa este tensiunea superficială a apei, rc – raza tubului, hm – înălţimea medie a lichidului în tub, iar θ este unghiul făcut de planul tangent la suprafaţa liberă a lichidului cu planul

Figura 1.4 Starea de

echilibru a apei în contact cu aerul atmosferic, într-un tub

capilar vertical



tangent la tub într-un punct comun. Acest unghi se numeşte unghi de contact şi se măsoară de partea fazei fluide cea mai densă, aflată în contact cu suprafaţa solidă. Relaţia (1.29) poate fi scrisă sub forma

,cos2 θρ

=σ mcaa

hgr (1.30)

care arată că, pentru σaa şi θ constante, adică pentru un lichid şi o suprafaţă solidă date, înălţimea capilară a apei creşte invers proporţional cu raza tubului. Această relaţie poate fi folosită pentru determinarea uneia din mărimile σaa, rc, hm, θ, când se cunosc celelalte trei mărimi. Conform relaţiei (1.30), înălţimea capilară hm este pozitivă când θ < 90° (ca în figura 1.4), egală cu zero când θ = 90° şi negativă când θ > 90° (ca în cazul mercurului). Fluidul care udă preferenţial suprafaţa solidă se numeşte fluid umezitor, iar proprietatea suprafeţei de a fi udată de un fluid se numeşte umidibilitate. În exemplul din figura 1.4, apa este fluidul umezitor, iar aerul fluidul neumezitor. Deoarece, în cadrul exploatării zăcămintelor de ţiţei, dezlocuirea ţiţeiului este, în mod curent, un proces de dezlocuire a unor grăsimi de către apă sau soluţii apoase, roca colectoare se numeşte rocă hidrofilă dacă este udată preferenţial de apă, rocă oleofilă (sau hidrofobă) dacă este udată preferenţial de ţiţei, respectiv rocă cu umidibilitate neutră dacă apa şi ţiţeiul au umidibilităţi egale pentru acea rocă. Prezenţa tensiunilor superficiale sau interfaciale pe suprafaţa de contact lichid–fluid poate determina existenţa unei diferenţe între valorile presiunii de o parte şi de alta a acestei suprafeţe, cunoscută sub numele de presiune capilară. Produsul dintre rezultanta presiunilor capilare şi aria suprafeţei pe care acţionează aceasta se numeşte forţă de presiune capilară sau forţă capilară. Ridicarea apei în tubul capilar din figura 1.4 se poate explica prin existenţa tensiunii interfaciale suprafaţă solidă–aer, notată cu σsae, care, fiind mai mare decât tensiunea interfacială suprafaţă solidă–apă, notată cu σsa, determină ascensiunea particulelor de apă de la contactul cu peretele tubului şi, odată cu aceasta, curbarea suprafeţei apă–aer din tub până la echilibrarea acestor forţe (de tensiune interfacială solid–fluid) cu componenta axială a forţei de tensiune superficială a apei de pe circumferinţa de rază rc, conform relaţiei ,0cos222 =θσπ−σπ−σπ aacsacsaec rrr (1.31) care, după simplificări, se reduce la forma

,cosaa

sasaeσ

σ−σ=θ (1.32)

cunoscută sub numele de formula lui YOUNG. 1.7. Probleme 1.7.1. Probleme rezolvate 1.1. Un zăcământ de ţiţei cu cap primar de gaze (figura 1.2) are contactul gaze-ţiţei la adâncimea hgt = 1600 m. Presiunea iniţială, măsurată într-o sondă de explorare, la adâncimea hm = 1620 m, este pm = 17 MPa. Ştiind că modulele gradienţilor medii de presiune în zonele de ţiţei şi de gaze libere au valorile dpt/dz = 8 kPa/m, respectiv dpg/dz = 1,8 kPa/m, se cere să se calculeze următoarele:

a) legea de variaţie a presiunii în zona de ţiţei; b) legea de variaţie a presiunii în zona de gaze libere; c) adâncimea contactului apă-ţiţei, dacă modulul gradientului presiunii în zona de apă este dpa/dz = 10 kPa/m.

Rezolvare a) Se calculează presiunea la limita apă – ţiţei, apoi se scrie legea variaţiei presiunii în zona de ţiţei astfel ( ) ( ) ,MPa84,16600.1620.11081017 36 =−⋅−⋅=−ρ−= gtmtmgt hhgpp (1.33)

( ) .,1081004,4 36atgtgttgtt hzhzhzgpp ≤≤⋅+⋅=−ρ+= (1.34)

b) Legea variaţiei presiunii în zona de gaze libere este ( ) .,108,11096,13 36

gtggtggtg hzhzzhgpp ≤≤⋅+⋅=−ρ−= (1.35) c) Pe de o parte, presiunea la limita apă – ţiţei este dată de ecuaţia hidrostaticii, iar pe de altă parte poate fi scrisă în funcţie de presiunea măsurată, deci ( ) ,0 mattmataat hhgphgpp −ρ+=ρ+= (1.36)

( )

.m34,969.110810

620.1108325.10110173

360 =

⋅−

⋅⋅−−⋅=

ρ−ρρ−−

=gg

hgpphta

mtmat (1.37)

1.2. Prin studierea în laborator a unei carote, s-au obţinut următoarele valori: volumul brut Vb = 11,5 cm3, volumul granulelor Vgr = 9,2 cm3 şi saturaţia în apă interstiţială sai = 0,21. Se cere să se calculeze:

a) porozitatea volumică m a carotei; b) saturaţia iniţială în ţiţei, sti, admiţând absenţa gazelor libere; c) aria specifică As, considerând că granulele sunt sfere uniforme, de rază r = 0,1 mm; d) resursa geologică de ţiţei N, pentru volumul brut de zăcământ Vbz = (1 ha)·(1 m), dacă factorul de volum este bt = 1,25.



Rezolvare a) Conform celei de a doua relaţii (1.15), se poate scrie

.2,05,112,911 =−=−=

−==

b

gr

b

grb

b

p

VV

VVV

VV

m

b) Ecuaţia saturaţiilor de fază (1.28) se particularizează sub forma ,1=++ gat sss (1.38) atunci când mediul poros conţine trei faze fluide: ţiţei, gaze şi apă, simbolizate prin indicii t, a, respectiv g. Absenţa gazelor libere corespunde condiţiei sg = 0, iar din relaţia (1.38) rezultă valoarea

sti = 1 – sai = 1 – 0,21 = 0,79 . c) Ştiind, din § 1.5.2, definiţia ariei specifice, se poate face următorul raţionament: aria specifică As este produsul dintre aria A1 gr a unei granule şi numărul ngr de granule dintr-un metru cub de rocă poroasă; ngr poate fi determinat ca raport dintre volumul Vgr al tuturor granulelor conţinute într-un metru cub de rocă şi volumul V1 gr al unei granule, iar Vgr este produsul dintre volumul brut Vbr al rocii (egal, prin definiţia ariei specifice, cu 1 m3) şi complementul porozităţii (1 – m). Astfel, se pot scrie succesiv relaţiile

( ) ( ) .ha/m4,2/mm104,2101,0

8,031334

14 332433

2

111 =⋅=

⋅⋅

=−

=π−

π=== −rm

rVmr

VV

AnAA br

gr

grgrgrgrs

d) Resursa geologică de ţiţei reprezintă volumul de ţiţei existent în zăcământ la punerea în evidenţă a acestuia, exprimat în condiţii de suprafaţă prin divizarea volumului de ţiţei în condiţii de zăcământ la factorul de volum al ţiţeiului; la rândul său, volumul de ţiţei în condiţii de zăcământ este produsul dintre volumul brut al zăcământului, porozitate şi saturaţia iniţială în ţiţei, ceea ce conduce la ecuaţia

( ) ( ) .m)/(mm1264,0mha/m264.125,1

79,02,011011 2334

⋅=⋅=⋅⋅⋅

=−=ti

aibz bsmVN

1.7.2. Probleme propuse 1.3. Un zăcământ de ţiţei, asociat cu cap de gaze iniţial, cuprins între adâncimile hg = 1660 m şi hgt = 1700 m (figura 1.2) are, la adâncimea hm = 1720 m, presiunea măsurată pm = 18 MPa. Ştiind că modulele gradienţilor medii de presiune în zonele de ţiţei şi de gaze libere au valorile dpt/dz = 7,8 kPa/m, respectiv dpg/dz = 1,82 kPa/m, iar aria suprafeţelor secţiunilor orizontale ale zonei saturate cu hidrocarburi este constantă, se cere să se calculeze următoarele:

a) presiunea medie pmg a zonei de gaze libere; b) adâncimea hat a contactului apă-ţiţei, dacă modulul gradientului presiunii în zona de apă este dpa/dz = 10,2 kPa/m; c) presiunea medie pmt a zonei de ţiţei.

1.4. Un zăcământ de ţiţei are cap de gaze iniţial, situat între adâncimile hg = 1680 m şi hgt = 1720 m (figura 1.2). Presiunea măsurată la adâncimea hm = 1740 m are valoarea pm = 18,2 MPa, iar modulele gradienţilor medii de presiune în zonele de ţiţei şi de gaze libere au valorile dpt/dz = 8 kPa/m, respectiv dpg/dz = 1,8 kPa/m. Se mai cunosc: gradientul geotermic gt = 0,03 K/m, temperatura medie multianuală la suprafaţa solului To = 9,6 °C, masa molară şi parametrii pseudocritici ai gazelor M = 18,8 kg/kmol, ppc = 4,59 MPa, respectiv Tpc = 207 K. Se cere să se estimeze densitatea medie ρm a gazelor libere. 1.5. Se consideră un zăcământ de ţiţei. Se cere să se calculeze următoarele: a) coeficientul de compresibilitate al ţiţeiului nesaturat cu gaze, cunoscând: presiunea iniţială pi = 14 MPa, presiunea de început de vaporizare piv = 9 MPa şi valorile factorului de volum al ţiţeiului la cele două presiuni bti = 1,16, respectiv btiv = 1,17; b) creşterea de volum rezultată prin destinderea elastică a ţiţeiului din zăcământ ca urmare a scăderii presiunii de la pi la piv, ştiind că resursa geologică de ţiţei este N = 6·106 m3. 1.6. Se consideră un zăcământ de ţiţei. Se cere să se calculeze următoarele: a) saturaţia actuală în ţiţei a zăcământului caracterizat prin: resursa geologică N = 50·106 m3, producţia cumulativă Np = 3·106 m3, saturaţia în apă interstiţială sai = 0,24, valorile iniţială şi actuală ale factorului de volum al ţiţeiului bti = 1,42, respectiv bt = 1,25; b) producţia cumulativă finală de ţiţei, cunoscând saturaţia în ţiţei remanent str = 0,15 şi valoarea finală a factorului de volum al ţiţeiului btf = 1,05. 1.8. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. De câte feluri sunt golurile prezente în unele corpuri solide, din punctul de vedere al dimensiunilor acestora? 2. Ce sunt rocile detritice şi cum s-au format acestea? 3. Numiţi trei tipuri de roci sedimentare, clasificate pe criteriul compoziţiei lor mineralogice. 4. Ce se înţelege prin zăcământ de hidrocarburi?



5. Ce sunt gradientul geotermic şi treapta geotermică? Precizaţi parametrul de stare al zăcământului a cărui valoare se află cu ajutorul acestor mărimi fizice.

6. Proprietăţile fizice mediilor poroase sunt sau nu funcţii continue? Argumentaţi răspunsul. 7. Care sunt componentele coeficientului de compresibilitate totală a unei roci colectoare? Scrieţi relaţia dintre acestea. B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Variaţiile cu adâncimea ale presiunii litostatice şi componentelor acesteia. 2. Zonele de gaze libere, ţiţei şi apă ale unui zăcământ de ţiţei cu cap primar de gaze. 3. Echilibrul static al apei în contact cu aerul atmosferic, într-un tub capilar. C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Ipoteza organică privind formarea ţiţeiului şi gazelor naturale. 2. Permeabilitatea mediilor poroase. 3. Saturaţiile rocii colectoare în fluide. D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Porozitate absolută – porozitate efectivă. 2. Permeabilitate – mobilitate. 3. Tensiune superficială – tensiune interfacială. 4. Rocă oleofilă – rocă hidrofilă.


Capi to lu l 2

ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR ÎN ZĂCĂMINTE DE HIDROCARBURI

În cazul mişcării unui fluid monofazic într-un mediu poros, sistemul de ecuaţii fundamentale este format din ecuaţia echilibrului dinamic al forţelor predominante (cunoscută sub numele de ecuaţia filtrării), ecuaţia continuităţii (numită şi ecuaţia conservării masei sau ecuaţia de bilanţ material), ecuaţia de stare şi ecuaţia bilanţului de căldură (scrisă atunci când temperatura în zăcământ variază în timpul exploatării, ca urmare a aplicării metodelor termice de recuperare a ţiţeiului). Rezolvarea acestui sistem de patru ecuaţii fundamentale permite, atunci când este posibilă, determinarea legilor de variaţie în timp şi spaţiu a presiunii, vitezei (ca mărime vectorială), densităţii şi temperaturii. Odată stabilit câmpul vectorial al vitezei, debitul volumic de fluid care traversează o suprafaţă oarecare (sau, în particular, peretele sondei) se obţine ca fluxul vectorului viteză relativ la acea suprafaţă, flux care, în cazul vitezei uniforme, normale la suprafaţă, este egal cu produsul dintre mărimea vitezei şi aria acelei suprafeţe. Ecuaţiile filtrării, continuităţii şi bilanţului de căldură îmbracă forma diferenţială, cunoscută sub numele de formă microscopică, dacă se consideră mişcarea fluidului prin mediul poros ca aparţinând mecanicii mediilor fluide continue, prin definirea porozităţii, permeabilităţii şi vitezei de filtrare ca funcţii continue. În cazul mişcării unui fluid multifazic printr-un mediu poros, sistemul de ecuaţii fundamentale este constituit din ecuaţia filtrării (acceptată a fi ecuaţia lui DARCY) şi ecuaţia continuităţii, scrise pentru fiecare fază a fluidului multifazic, la care se adaugă ecuaţiile de stare, cu sau fără transfer interfazic de masă, împreună cu ecuaţiile bilanţului de căldură, saturaţiilor de fază şi presiunilor capilare. 2.1. Ecuaţia dinamicii fluidelor în medii poroase Ecuaţia dinamicii fluidelor în medii poroase este ecuaţia vectorială care exprimă condiţia de echilibru dinamic (în fiecare punct, în cazul ecuaţiei microscopice) al tuturor forţelor, inclusiv celor de inerţie, care acţionează asupra fluidului aflat în mişcare într-un mediu poros. Dacă forţele predominante la mişcarea unui fluid într-un mediu poros sunt forţele de frecare, forţele de presiune şi forţele gravitaţionale, în timp ce forţele de inerţie sunt neglijabile, ecuaţia dinamicii fluidelor se numeşte ecuaţia liniară a filtrării sau ecuaţia lui DARCY. Dacă forţele de inerţie au acelaşi ordin de mărime cu forţele de frecare, de presiune şi, eventual, cu forţele gravitaţionale, ecuaţia dinamicii fluidelor într-un mediu poros se numeşte ecuaţia neliniară a filtrării. 2.1.1. Ecuaţia liniară a filtrării unui fluid monofazic Complexitatea deosebită a geometriei interstiţiilor mediului poros face imposibilă stabilirea distribuţiei forţelor de frecare şi de presiune asociate mişcării fluidelor în medii poroase. Ca urmare, ecuaţia dinamicii fluidelor monofazice în medii poroase a fost stabilită pe cale experimentală, sub formă macroscopică, de către inginerul francez HENRI PHILIBERT GASPARD DARCY (1856), în cadrul unor experimente de filtrare a apei de alimentare a oraşului Dijon. Ecuaţia astfel obţinută se numeşte ecuaţia lui DARCY. Pe de altă parte, ecuaţiile scalare microscopice NAVIER – STOKES extinse la mişcarea turbulentă guvernează şi mişcarea fluidelor în medii poroase şi se reduc la ecuaţiile mişcării laminare în interstiţiile în care tensiunile turbulente sunt neglijabile. Dar integrarea acestor ecuaţii (pentru a se ajunge la ecuaţiile macroscopice) este imposibil de realizat, din cauza necunoaşterii formei frontierelor interstiţiilor, necesare pentru exprimarea condiţiilor de aderenţă a fluidului la aceste frontiere. KING HUBBERT (1956) a arătat că ecuaţia lui DARCY poate fi obţinută din ecuaţiile NAVIER – STOKES. Experimentele lui DARCY au constat din filtrarea apei printr-un strat de nisip neconsolidat, conţinut într-un tub cilindric vertical, prevăzut la capete cu două site, două prize manometrice şi două racorduri destinate circulaţiei apei prin nisip, de sus în jos. Valorile debitului de apă Q măsurate pentru diferite diferenţe de nivel h1 – h2 (indicate de cele două tuburi manometrice) şi pentru anumite valori ale lungimii l a stratului de nisip dintre prizele manometrice au condus la dependenţa

,21

lhhCQ −

= (2.1)

cunoscută sub numele de ecuaţia lui DARCY, unde C este un coeficient care, pentru experimentele de filtrare izotermă a apei, depinde doar de permeabilitatea k a stratului de nisip. Prin folosirea vitezei de filtrare, definită astfel v = Q/A , (2.2) unde A: este aria totală (brută) a secţiunii transversale a tubului cu nisip, mişcarea fluidului în mediul poros capătă atributul continuităţii în întregul domeniu ocupat de sistemul rocă–fluid şi ecuaţia (2.1) îmbracă forma

,21

lhhkv fil

−= (2.3)

unde

18 2. ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR ÎN ZĂCĂMINTE DE HIDROCARBURI


ACk fil = (2.4)

se numeşte coeficient de filtrare. Notând cu vr viteza reală a fluidului în mediul poros şi cu Ap aria porilor din secţiunea de arie brută A, se poate scrie ecuaţia ,AvAvQ pr == (2.5) din care rezultă că între viteza reală şi viteza de filtrare există interdependenţa mvvr = (2.6) unde m este porozitatea. Alţi cercetători, reluând experimentele lui DARCY, dar folosind mai multe lichide şi înclinând tubul cu nisip în diferite poziţii, au ajuns la concluzia că ecuaţia lui DARCY nu depinde de înclinarea tubului, iar coeficientul kfil este funcţie atât de permeabilitatea nisipului, cât şi de densitatea ρ şi vâscozitatea μ ale lichidului, conform relaţiei

.μρ

=gkk fil (2.7)

Dacă se consideră filtrarea unui lichid printr-un tub înclinat (figura 2.1), panta liniei piezometrice între două secţiuni transversale aflate la distanţa dx una faţă de cealaltă poate fi exprimată,cu notaţiile din figura 2.1, astfel

( )( ) ,

dd21

xxxhhh

lhh

+−−−

=−

din care se obţine

xh

lhh

dd21 −=

− (2.8)

şi relaţia (2.3) ia forma

,dd

xhkv fil−= (2.9)

unde derivata dh/dx este negativă, deoarece înălţimea piezometrică h scade când distanţa x creşte. Notând cu p presiunea în centrul de greutate al secţiunii transversale situate la distanţa x faţă de secţiunea de intrare în mediul poros şi cu z cota acestui centru de greutate, rezultă că

zg

ph +ρ

= (2.10)

şi ecuaţia (2.9) devine

.dd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ−= zgp

xgk

v fil (2.11)

Relaţia (2.11) corespunde fluidelor incompresibile şi se reduce la forma

,d

d *

xp

gk

v fil

ρ−= (2.12)

care pe baza expresiei (2.7), devine

,xpkv

dd *

μ−= (2.13)

unde p* se numeşte presiune redusă (la planul de referinţă) şi are expresia ,* zgpp ρ±= (2.14) în care semnul minus corespunde cazului în care axa Oz este verticală descendentă. Deoarece ecuaţia lui DARCY, sub oricare din formele (2.1), (2.3) sau (2.13), exprimă variaţia liniară a debitului sau a vitezei de filtrare cu mărimea gradientului sarcinii hidraulice sau presiunii reduse, ea se numeşte ecuaţia liniară a filtrării. Ţinând seama că ecuaţia lui DARCY este independentă de direcţia mişcării, în cazul mişcării tridimensionale raportate la sistemul de axe cartezian, componentele vitezei de filtrare pot fi exprimate prin relaţiile

,,,***

zpkv

ypkv

xpkv zyx ∂

∂μ

−=∂∂

μ−=

∂∂

μ−= (2.15)

echivalente cu ecuaţia

,*pkv ∇μ

−=r

(2.16)

care reprezintă ecuaţia lui DARCY sub formă vectorială, corespunzătoare mişcării unui lichid monofazic într-un mediu poros omogen, când forţele de inerţie sunt neglijabile.

Figura 2.1 Aparat pentru studiul legii filtrării liniare a

unui lichid



În această relaţie, ∇ este operatorul lui HAMILTON şi are expresia

,z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rrr

(2.17)

în care ir

, jr

şi kr

sunt versorii axelor carteziene. 2.1.2. Domeniul de existenţă a ecuaţiei lui DARCY Dacă, în cadrul mişcării fluidelor monofazice în medii poroase, există şi alte forţe care au acelaşi ordin de mărime cu forţele de frecare, de presiune şi, eventual, gravitaţionale, atunci ecuaţia lui DARCY încetează să guverneze acea mişcare. Volumul mare de date experimentale prezentate în literatura de specialitate, cu referire la valabilitatea ecuaţiei lui DARCY, indică faptul că domeniul de existenţă a ecuaţiei liniare a filtrării este mărginit inferior şi superior de valori limită ii şi is ale gradientului sarcinii hidraulice. Acest gradient este definit, în cazul mişcării unidimensionale, astfel

xhi

dd

−= (2.18)

şi, ca urmare, forma (2.9) a ecuaţiei lui DARCY devine .ikv fil= (2.19) Graficul vitezei de filtrare în funcţie de gradientul hidraulic i poate fi împărţit, în general, în cinci zone (figura 2.2) şi anume: zona fără mişcare, zona preliniară, zona liniară (zona lui DARCY), zona postliniară laminară şi zona postliniară turbulentă. Zona fără mişcare poate exista numai în cazul mediilor poroase cu un conţinut ridicat de particule coloidale (foarte fine), când forţele electrostatice (superficiale) dintre lichid şi particulele solide sunt suficient de puternice pentru a contracara gradientul hidraulic aplicat fluidului. Această zonă se întinde de la i = 0 până la gradientul i0 necesar iniţierii mişcării fluidului. Zona preliniară apare în cazul mediilor poroase superficial active, reprezentate prin argile şi marne, în prezenţa apei. Moleculele polare de apă, constând din ioni negativi de oxigen şi ioni pozitivi de hidrogen, în contact cu mineralele argiloase, sunt orientate sub acţiunea câmpului electric dezvoltat de surplusul de energie electrică existent pe suprafaţa particulelor de argilă. Aceste forţe electromoleculare (numite şi forţe superficiale) au valori foarte mari pe suprafaţa particulei, putând fi egale, pe unitatea de arie, cu 1.000 MPa, dar devin neglijabile la o distanţă de 0,5 μm de această suprafaţă. Ca urmare, straturile de apă orientată care se găsesc foarte aproape de mineralele argiloase sunt în stare de aderenţă fermă la aceste minerale şi constituie apa puternic legată sau apa adsorbită. Dincolo de această zonă, moleculele de apă sunt slab legate de particulele solide, dar îşi menţin caracterul de orientare în câmpul electric şi se comportă substanţial diferit de apa liberă. Dimensiunile mici ale interstiţiilor din stratele argiloase conduc la situaţii în care întreaga cantitate de apă din pori este apă legată (puternic sau slab). Prezenţa forţelor electromoleculare în cadrul rocilor cu suprafaţă activă (ca argile, mâluri, soluri organice etc.) determină, deci, existenţa zonei preliniare. Limita superioară a acestei zone constituie limita inferioară a domeniului legii lui DARCY şi este reprezentată de valoarea ii a gradientului hidraulic, care s-a găsit că poate varia între 0,086 şi 0,42 pentru argile, respectiv între 10–5 şi 0,1 pentru nisipuri mâloase. Zona liniară sau zona lui DARCY este descrisă de ecuaţia (2.19), dacă i0 = 0, (dreapta a din figura 2.2) şi corespunde situaţiilor în care efectele forţelor electrostatice şi ale forţelor de inerţie asupra mişcării fluidului în mediul poros sunt neglijabile în raport cu cele ale forţelor de frecare. Când i0 este diferit de zero, zona liniară este definită de ecuaţia ( ) ,cu, 00 sfil iiiiikv ≤≤−= (2.20) corespunzătoare dreptei b (figura 2.2). Deoarece limita superioară a domeniului de existenţă a ecuaţiei lui DARCY este asociată cu creşterea forţelor de inerţie la nivelul forţelor de frecare, definirea acestei limite este realizată printr-un număr REYNOLDS critic, bazat fie pe diametrul echivalent al particulelor de mediu poros, fie pe permeabilitate, fie pe aria specifică. ARAVIN şi NUMEROV au tras concluzia că numărul Re variază între 7 şi 9 când este definit cu diametrul echivalent al particulelor şi este egal cu 0,02 când are la bază permeabilitatea. CRISTEA a arătat că, pentru mişcarea lichidelor în medii poroase, Rec = 1, iar pentru filtrarea gazelor Rec = 12. SCELKACEV a propus pentru definirea numărului REYNOLDS formula

.10Re 3,2 μρ

=kv

m (2.21)

Zona postliniară laminară corespunde intervalului de valori ale gradientului hidraulic în care mişcarea fluidului este încă laminară, dar creşterea progresivă a forţelor de inerţie determină abaterea graficului v(i) de la dreapta lui DARCY.

Figura 2.2 Graficul vitezei de filtrare în raport cu gradientul

sarcinii hidraulice



Zona postliniară turbulentă începe de la o valoare a gradientului hidraulic it (greu de precizat), de la care mişcările pulsatorii provocate de neregularităţile interstiţiilor nu mai pot fi amortizate de vâscozitatea fluidului şi, ca urmare, ele se propagă în întreaga masă a fluidului. Acest fapt determină ca o mare parte din gradientul hidraulic aplicat fluidului să fie disipat pentru învingerea forţelor de inerţie, ceea ce corespunde unei micşorări a ritmului de creştere a vitezei prin creşterea gradientului hidraulic. În funcţie de specificul mediului poros, acesta poate prezenta una, două sau trei din cele cinci zone menţionate. Astfel, în cazul argilelor, ultimele două zone sunt absente, iar pentru nisipuri, gresii şi alte medii poroase superficial inactive, primele două zone pot lipsi sau pot fi inobservabile. În cazul zăcămintelor de hidrocarburi, de regulă, la mişcarea ţiţeiului (şi, în general, a lichidelor) este prezentă doar zona lui DARCY, iar la filtrarea gazelor pot apărea ultimele trei zone. Ca urmare, în cadrul hidraulicii zăcămintelor de hidrocarburi se admite că legile filtrării sunt descrise de graficul a (figura 2.2), ceea ce corespunde unui domeniu de existenţă a ecuaţiei lui DARCY mărginit de viteza de filtrare zero şi de valoarea vitezei de filtrare care corespunde numărului REYNOLDS critic.

2.1.3. Ecuaţia neliniară a filtrării În condiţiile în care mediile poroase nu prezintă forţe electromoleculare la contactul dintre fluid şi particulele solide, domeniul legilor filtrării (graficul a din figura 2.2) este format din domeniul legii liniare (legea lui DARCY, descrisă de ecuaţia (2.19)), continuat cu domeniile legilor postliniare laminară, respectiv turbulentă, care sunt considerate împreună sub denumirea de domeniul legii neliniare a filtrării. Această lege neliniară a filtrării a fost exprimată de FORCHHEIMER, pentru condiţii staţionare, sub forma

,2vbvaxp

+=dd (2.22)

unde

,, hbk

a βρ=μ

−= (2.23)

iar βh este un coeficient de rezistenţă hidraulică. Pentru valorile relativ mici ale vitezei de filtrare v, termenul bv2 devine neglijabil, iar ecuaţia neliniară a filtrării staţionare se identifică cu ecuaţia lui DARCY. În cazul filtrării nestaţionare a fluidelor în zăcământ, ecuaţia neliniară (2.22) trebuie completată cu termenul nestaţionar (care ţine seama de variaţia în timp a vitezei de filtrare) şi devine

,2tvcvbva

xp

∂∂

++=dd (2.24)

unde c este un coeficient care se determină experimental, pentru fiecare caz particular. Întrucât vâscozitatea gazelor este mult mai mică decât vâscozitatea ţiţeiului, conform relaţiei (2.21) aplicată în cazul gazelor, pentru acelaşi mediu poros şi aceeaşi valoare a vitezei de filtrare va rezulta o valoare a numărului REYNOLDS mult mai mare decât în cazul ţiţeiului sau, în general, al unui lichid, ceea ce duce la concluzia, dovedită experimental, că mişcarea gazelor generată de sonde în zăcăminte poate fi guvernată de legea neliniară a filtrării.

2.1.4. Ecuaţia lui DARCY pentru un fluid multifazic Prin definirea permeabilităţilor efective ale mediului poros faţă de fiecare din fazele fluide prezente, ecuaţia (2.13) poate fi extinsă la cazul mişcării fazei fluide f a unui fluid multifazic într-un mediu poros, sub forma

,*f

f

f pk

v ∇μ

−= (2.25)

unde presiunea redusă la un plan de referinţă a fazei f are, conform relaţiei (2.14), expresia ,* zgpp fff ρ±= (2.26) în care presiunea pf este presiunea fazei f într-un punct oarecare al interfeţei comune cu o altă fază a fluidului multifazic. Complexitatea deosebită a mişcării oricărui fluid multifazic într-un mediu poros a determinat ca ecuaţia (2.25) a lui DARCY să fie acceptată ca ecuaţie a dinamicii oricăreia dintre fazele fluidului multifazic, chiar dacă faza respectivă este o fază gazoasă, a cărei mişcare este, de regulă, guvernată de ecuaţia neliniară a filtrării, din cauza mobilităţii mari a gazelor în raport cu lichidele.

2.2. Ecuaţia continuităţii Prin folosirea noţiunii de viteză de filtrare, definită de ecuaţia (2.2), studiul mişcării fluidelor în medii poroase se transferă din domeniul mediilor fluide discontinue în cel al mediilor fluide continue, fapt care conferă tuturor parametrilor mişcării atributul de continuitate. Ecuaţia microscopică de bilanţ material care exprimă matematic legea conservării masei fluidului dintr-un volum de control de dimensiuni infinitezimale, pentru un fluid monofazic sau pentru orice fază a unui fluid multifazic, poartă numele de ecuaţia microscopică a continuităţii fluidului sau fazei respective. Dacă volumul de control are dimensiuni finite, ecuaţia de bilanţ masic rezultată se numeşte ecuaţia macroscopică a continuităţii şi poate fi obţinută, de asemenea, prin integrarea ecuaţiei microscopice a continuităţii pe volumul macroscopic considerat. Ecuaţia de bilanţ masic a unei faze aparţinând unui fluid multifazic care traversează şi ocupă un domeniu de control microscopic sau macroscopic, în condiţiile existenţei unor surse de fluid pozitive sau negative (care emit,



respectiv care extrag fluid din domeniul de control), ale transferului interfazic de masă şi ale reacţiilor chimice se exprimă, în raport cu un interval de timp precizat, astfel

masa intrată – masa ieşită + masa datorată surselor + masa transferată interfazic + + masa de reacţie chimică = masa acumulată . (2.27) Această formulare a ecuaţiei de continuitate este valabilă şi în cazul mişcării unui fluid monofazic, cu observaţia că masa transferată între faze şi masa de reacţie chimică sunt, în mod evident, nule. Termenul masei de reacţie chimică apare, spre exemplu, în cazul combustiei subterane, caz în care unele din hidrocarburile din componenţa ţiţeiului suferă transformări chimice, sub acţiunea temperaturilor ridicate .

2.2.1. Ecuaţia microscopică a continuităţii pentru un fluid monofazic

Pentru obţinerea ecuaţiei microscopice a continuităţii în coordonate carteziene este avantajos să se aleagă, ca domeniu de control, un paralelipiped de dimensiuni infinitezimale, raportat la un sistem de axe carteziene paralele cu muchiile paralelipipedului (figura 2.3). Notând densitatea fluidului şi componentele vitezei în punctul P cu ρ, vx, vy, vz şi ştiind că dimensiunile paralelipipedului sunt dx, dy, dz, ecuaţia (2.29) ia forma

( ) ( )⎩⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρ

∂∂

+ρ−ρ+ρ+ρ zyxvx

vtyxvzxvzyv xxzyx dddddddddd

( ) ( ) ( ) ,zyxmzyxtmt

mQtxzvz

vzxyvy

v mszzyy dddddddddyddddd ρ−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρ

∂∂

+ρ=+⎭⎬⎫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρ

∂∂

+ρ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

∂∂

+ρ+ (2.28)

care, după reducerea termenilor asemenea, împărţire prin tzyx dddd şi gruparea termenilor într-un singur membru, devine

( ) ( ) ( ) ( ) ,0=ρ∂∂

++ρ∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂ m

tqv

zv

yv

x mszyx (2.29)

unde m este porozitatea, Qms – suma algebrică a debitelor masice ale surselor pozitive şi negative, iar

zyx

Qq msms ddd

= (2.30)

este debitul masic specific datorat surselor. Dacă mişcarea fluidului este axial simetrică sau radial sferică, este convenabil să se folosească ecuaţia continuităţii în coordonate cilindrice

( ) ( ) ( ) ( ) ,011=ρ

∂∂

+ρ∂∂

+ρθ∂∂

+ρ∂∂

θ mt

vz

vr

vrrr zr (2.31)

respectiv în coordonate sferice

( ) ( ) ( ) ( ) ,0sin1sin

sin11 2

2 =ρ∂∂

+ρθ∂∂

ϕ+ϕρ

ϕ∂∂

ϕ+ρ

∂∂

θϕ mt

vr

vr

vrrr

r (2.32)

unde s-a considerat, pentru simplificare, că sursele sunt absente. Ecuaţia (2.29) mai poate fi scrisă sub forma

( ) ( ) ,0=ρ∂∂

+ρ∇ mt

vr

(2.33)

unde ∇ are expresia (2.17). Ecuaţiile (2.29), (2.31), (2.32) şi (2.33) îmbracă forme simplificate corespunzătoare cazurilor în care densitatea este constantă, una sau două componente ale vitezei sunt constante sau nule, ori compresibilitatea mediului poros este neglijabilă. 2.2.2. Ecuaţia macroscopică a bilanţului material pentru un fluid monofazic Considerând un domeniu macroscopic de control (figura 2.6) şi notând cu Qmi, Qme debitele masice medii care intră printr-o parte din suprafaţa domeniului, respectiv iese prin cealaltă parte a acestei suprafeţe în intervalul de timp infinitezimal dt, ecuaţia macroscopică a bilanţului material se exprimă astfel

,t

MQQQ msmemi dd

=+−

unde Qms este debitul masic datorat surselor, M – masa totală a fluidului din volumul de control la timpul t, iar dM – masa acumulată în timpul dt. Această ecuaţie mai poate fi scrisă sub forma Mi – Me + Ms = Mt+Δt – Mt , (2.34) unde: Mi = Qmi Δt, Me = Qme Δt, Ms = Qms Δt, dM ≅ ΔM = Mt+Δt – Mt, dt ≅ Δt.

Figura 2.3 Domeniu paralelipipedic infinitezimal de control pentru bilanţul masic al unui fluid monofazic

Figura 2.6 Domeniu de control macroscopic pentru bilanţul masic



Ecuaţia (2.34) se exprimă, în mod frecvent, în condiţii standard şi, prin simplificare cu densitatea fluidului în condiţii standard, devine o ecuaţie volumică, de forma:

volumul de fluid intrat prin frontiera zăcământului – volumul de fluid ieşit prin această frontieră + + volumul de fluid datorat surselor = volumul de fluid existent în zăcământ la timpul de exploatare t –

– volumul de fluid aflat în zăcământ în momentul iniţial, (2.35) utilizată în cadrul modelelor zerodimensionale (de tip volumic) asociate mişcării fluidelor monofazice în medii poroase. 2.3. Ecuaţiile de stare Ecuaţia de stare reprezintă o corelaţie între parametrii de stare (presiune, volum sau densitate şi temperatură) ai unui fluid. În cazul fluidelor monofazice, ecuaţia de stare are forma generală implicită ( ) 0,, =ρ Tpf (2.36) şi se particularizează, în funcţie de tipul fluidului, astfel: const.0 =ρ=ρ (2.37) pentru lichidele incompresibile; ( )00

ppe −βρ=ρ (2.38) sau, prin dezvoltarea în serie TAYLOR a funcţiei exponenţiale şi păstrarea primilor doi termeni, ( )[ ]00 1 pp −β+ρ=ρ (2.39) pentru lichide compresibile, respectiv

TRZp=

ρ (2.40)

pentru gaze reale, unde MRR u= (2.41) este constanta gazului, exprimată în J/(kg·K), iar Ru = 8.314,3 J/(kmol·K) reprezintă constanta universală a gazelor.

2.4. Probleme 2.4.1. Problemă rezolvată 2.1. Printr-o carotă de formă cilindrică, având lungimea l = 10 cm, raza r = 3 cm, porozitatea m = 0,2 şi permeabilitatea k = 2 D, filtrează debitul Q = 2,88 dm3/h apă sărată cu densitatea ρ = 1,07 kg/dm3 şi vâscozitatea cinematică ν = 1,01 cSt. Să se scrie ecuaţia filtrării. Rezolvare Se calculează numărul REYNOLDS din relaţia (2.21), după aflarea vitezei de filtrare din ecuaţia continuităţii, astfel

,m/s108294,203,0600.3

1088,2 42

3

2−

−

⋅=⋅π⋅

⋅=

π==

rQ

AQv

.1605,01001,12,0

102108294,2101010Re 63,2

124

3,23,2 =⋅⋅

⋅⋅⋅=

ν=

μρ

= −

−−kvm

kvm

Întrucât Re < 1, filtrarea unidimensională este liniară, iar ecuaţia lui DARCY (2.13) scrisă astfel

,dd v

kxp μ

−= (2.42)

prin explicitarea gradientului presiunii şi înlocuirea lui p* cu p, capătă, cu datele problemei, forma particulară

.Pa/m,104035,5dd

1021001,11007,1

dd 8

12

63v

xpvv

kxp

⋅−=⇒⋅

⋅⋅⋅−=

νρ−= −

−

2.4.2. Probleme propuse 2.2. Să se scrie ecuaţia de filtrare corespunzătoare mişcării unidimensionale a ţiţeiului cu densitatea ρ = 820 kg/m3 şi vâscozitatea dinamică μ = 2 cP printr-o carotă de formă cilindrică, caracterizată prin: raza r = 2 cm, lungimea l = 10 cm, permeabilitatea k = 50 D şi diametrul echivalent al granulelor de = 1,4 mm, ştiind că, la presiunea diferenţială Δp = 2 bar, s-a măsurat debitul Q = 12,5 cm3/s. 2.3. Să se calculeze permeabilitatea unei carote de formă cilindrică, cu lungimea l = 5 cm, aria suprafeţei secţiunii transversale A = 4 cm2 şi diametrul echivalent al granulelor de = 0,2 mm, ştiind că, la filtrarea unidimensională prin carotă a apei sărate cu densitatea ρ = 1,1 kg/dm3 şi vâscozitatea dinamică μ = 1,05 cP, s-a măsurat, pentru o diferenţă de presiune corespunzătoare unei coloane de mercur cu înălţimea h = 500 mm (ρHg = 13 600 kg/m3), debitul Q = 0,2 cm3/s. Să se determine şi valoarea coeficientului de filtrare kfil. 2.4. Să se calculeze permeabilitatea unei carote de formă cilindrică, cu lungimea l = 6 cm, diametrul d = 3 cm şi porozitatea m = 0,18, ştiind că, la presiunea diferenţială Δp = 60 kPa, s-a măsurat debitul de apă sărată Q = 1 cm3/s. Apa



sărată are densitatea ρ = 1100 kg/m3 şi vâscozitatea dinamică μ = 1,08 cP. Să se verifice valabilitatea, în condiţiile problemei, a legii lui DARCY. 2.5. O sondă cu raza rs = 10 cm produce, dintr-un strat orizontal cu grosimea h = 8 m, ţiţei cu densitatea ρ = 0,85 kg/dm3 şi vâscozitatea dinamică μ = 1 mPa·s, în condiţiile mişcării radial plane staţionare. Ştiind că diametrul echivalent al granulelor rocii este de = 0,5 mm, se cere să se determine valoarea debitului de ţiţei (în condiţii de zăcământ) corespunzătoare trecerii la filtrarea neliniară. 2.5. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Numiţi relaţiile care formează sistemul de ecuaţii fundamentale aferent mişcării unui fluid monofazic într-un

mediu poros. 2. Care sunt forţele predominante al căror echilibru este exprimat prin ecuaţia filtrării neliniare? 3. Cum se numesc cele 5 zone de pe graficul funcţiei v(i) trasat pentru stabilirea domeniului de existenţă a

ecuaţiei lui Darcy? 4. De ce filtrarea gazelor spre sondele de extracţie poate fi guvernată de ecuaţia neliniară a filtrării? 5. Care este enunţul general al ecuaţiei continuităţii? 6. Ce se înţelege, într-un cadru general, prin ecuaţie de stare a unui fluid? B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Studiul experimental al filtrării liniare a unui lichid. 2. Dependenţa vitezei de filtrare de gradientul sarcinii hidraulice. 3. Bilanţul masic al fluidului monofazic dintr-un volum de control paralelipipedic. C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Ecuaţia liniară a filtrării unui fluid monofazic. 2. Ecuaţia lui Darcy pentru un fluid multifazic. 3. Ecuaţia microscopică a continuităţii pentru un fluid monofazic. D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Echilibru static – echilibru dinamic (al unui fluid). 2. Mişcare staţionară – mişcare nestaţionară. 3. Fluid multicomponent – fluid multifazic.


Capi to lul 3

MIŞCĂRI ALE LICHIDELOR INCOMPRESIBILE ÎN MEDII POROASE

Mişcările studiate în acest capitol fac parte din categoria mişcărilor staţionare, caracterizate de condiţia dp/dt = 0 în orice punct al domeniului mişcării şi la orice timp t. Deşi condiţia ca mişcarea să fie staţionară este îndeplinită, cu unele excepţii, doar în cadrul experimentelor de laborator, soluţiile ecuaţiilor fundamentale obţinute pentru aceste mişcări pot fi folosite fie la studierea calitativă a anumitor aspecte ale mişcărilor nestaţionare, fie la tratarea mişcărilor nestaţionare prin metoda asimilării acestora cu o succesiune de stări staţionare.

3.1. Mişcarea unidimensională într-un mediu poros omogen Fie un mediu poros omogen şi izotrop, de formă paralelipipedică (figura 3.1), având feţele laterale impermeabile şi bazele (perpendiculare pe axa Ox) permeabile. Prin acest mediu poros filtrează un lichid incompresibil, între presiunile pc şi ps (pc > ps) constante în timp (pentru ca mişcarea să fie staţionară), la debitul volumic Q. Ecuaţiile fundamentale ale mişcării sunt: ecuaţia filtrării liniare (a lui DARCY) (2.16), ecuaţia continuităţii (2.29) şi ecuaţia de stare (2.36), care se reduc, în condiţiile existenţei unei singure componente a vitezei de filtrare şi incompresibilităţii lichidului, la relaţiile

( ) const.,0dd,

dd

0 =ρ=ρ=ρμ

−== xx vxx

pkvv (3.1)

Înlocuind prima şi a treia ecuaţie (3.1) în cea de a doua, se obţine ecuaţia diferenţială a mişcării

,02

2=

xp

dd (3.2)

a cărei soluţie ,bxap += (3.3) este asociată cu condiţiile la limite

⎩⎨⎧

====

.,la,,0la

c

s

pplxppx

(3.4)

Punând soluţiei (3.3) condiţiile la limite (3.4) se obţin egalităţile ,, blapbp cs +==

care conduc la expresiile constantelor de integrare

ssc pb

lppa =

−= ,

şi legea variaţiei presiunii (3.3) devine

.xl

pppp scs

−+= (3.5)

Introducând derivata dp/dx obţinută din expresia (3.5) în prima relaţie (3.1) se găseşte formula vitezei de filtrare

,l

ppkv sc −μ

−= (3.6)

care, înlocuită în ecuaţia macroscopică a continuităţii vAQ = , (3.7) unde A este aria suprafeţei secţiunii transversale prin mediul poros, dă pentru debitul volumic formula

( ) .l

ppkAQ sc

μ−

= (3.8)

3.2. Mişcări bidimensionale într-un mediu poros omogen 3.2.1. Mişcarea radial plană O sondă care străbate întreaga grosime a stratului productiv şi primeşte fluid prin peretele ei natural se numeşte sondă perfectă din punct de vedere hidrodinamic. Dacă stratul productiv este orizontal şi are grosimea h constantă, iar sonda produce, la o presiune constantă ps, dintr-o zonă cilindrică coaxială având pe frontiera exterioară, de rază rc, presiunea constantă pc (figura 3.2). mişcarea este staţionară radial plană în sens generalizat. Notaţiile folosite în figura 3.2 au următoarele semnificaţii: rs – raza sondei, rc – raza conturului (frontierei) de alimentare, ps – presiunea dinamică

Figura 3.1 Domeniul mişcării unidimensionale a unui lichid printr-un mediu poros omogen

26 4. MIŞCAREA LICHIDELOR COMPRESIBILE ÎN MEDII POROASE


de adâncime a sondei (măsurată la adâncimea medie a intervalului perforat), pc – presiunea statică a stratului productiv, numită şi presiune pe conturul de alimentare. Condiţia ca presiunea pc să fie constantă, asigurând caracterul staţionar al mişcării generate de sondă, este îndeplinită dacă, prin frontiera exterioară de rază rc, care trebuie să fie permeabilă şi poartă numele de frontieră de alimentare, pătrunde în zona de drenaj a sondei o cantitate de lichid egală cu cea produsă de sondă. Având în vedere caracterul axial simetric al mişcării, este avantajos ca ea să fie studiată în coordonate cilindrice care, pentru mişcarea plană, se reduc la coordonatele polare r, θ. În aceste condiţii, ecuaţia microscopică a continuităţii (2.31), asociată cu ecuaţia de stare (2.37) a lichidului incompresibil, se reduce la forma

( ) ,01=rvr

rr dd (3.9)

unde viteza radială, care este singura componentă a vitezei de filtrare, este dată de legea lui DARCY

.rpkvv r d

dμ

−== (3.10)

Din relaţiile (3.9) şi (3.10) rezultă ecuaţia diferenţială a mişcării

,0dd

dd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rpr

r (3.11)

care se integrează succesiv astfel

,dd,

dd

ra

rpa

rpr ==

conducând la soluţia ,ln brap += (3.12) ce reprezintă legea variaţiei presiunii şi este asociată, aşa cum rezultă din figura 3.2, cu condiţiile la limite

⎩⎨⎧

====

.,la,,la

cc

ss

pprrpprr

(3.13)

Prin înlocuirea condiţiilor (3.13) în relaţia (3.12) astfel ,ln,ln brapbrap ccss +=+=

se găsesc expresiile celor două constante de integrare

c

s

csc

cs

s

csc

s

s

csc r

rr

pppr

rr

pppb

rr

ppa lnln

lnln

,ln

−−=

−−=

−=

şi legea variaţiei presiunii (3.12) devine

.lnln

lnln r

r

rr

ppprr

rr

pppp c

s

csc

cs

s

csc

s−

−=−

+= (3.14)

Dacă se înlocuieşte derivata dp/dr a presiunii obţinută din relaţia (3.14) în ecuaţia lui DARCY (3.10), se stabileşte formula vitezei de filtrare

,1

ln rrrppkv

s

csc −

μ−= (3.15)

care, introdusă în ecuaţia macroscopică a continuităţii (3.7), în care secţiunea normală la viteza de filtrare în orice punct are forma unui cilindru de rază oarecare r, deci aria acestei secţiuni este ,2 hrA π= (3.16) conduce la formula debitului volumic de lichid incompresibil produs de sondă

( ) .ln

2

s

ct

sc

rrb

pphkQμ

−π= (3.17)

În ecuaţia precedentă s-a admis că sonda produce ţiţei. Pentru ca debitul de ţiţei să fie exprimat în condiţii de suprafaţă (la presiunea din rezervorul de depozitare, practic egală cu presiunea atmosferică), s-a introdus la numitor factorul

de volum al ţiţeiului bt, definit ca volumul de ţiţei în condiţii de zăcământ care corespunde unităţii de volum de ţiţei în condiţii de suprafaţă. Având în vedere că, la presiunea de zăcământ, ţiţeiul conţine o cantitate semnificativă de gaze dizolvate, care sunt separate din faza lichidă înaintea depozitării acesteia în rezervor, factorul de volum al ţiţeiului are o valoare supraunitară.

Figura 3.2 Configuraţia mişcării radial plane a

unui lichid printr-un mediu poros omogen

Figura 3.3 Graficele presiunii şi vitezei de

filtrare în funcţie de rază, în condiţiile mişcării radial plane staţionare a unui lichid



În figura 3.3 sunt trasate graficele de variaţie a presiunii şi vitezei de filtrare în funcţie de rază. Se constată că valorile maxime ale gradienţilor presiunii şi vitezei se înregistrează în vecinătatea sondei, fapt care pune în evidenţă importanţa majoră a acestei zone asupra debitului produs de sondă. Raportul dintre debitul sondei şi presiunea diferenţială la care produce aceasta se numeşte indice de productivitate a sondei şi are, pe baza relaţiei (3.17), expresia

.ln

2

s

ctsc

p

rrb

hkpp

QIμ

π=

−= (3.18)

Indicele de productivitate specific este raportul dintre Ip şi grosimea h a stratului productiv, adică

( ) ,ln

2

s

ctsc

pps

rrb

kpph

QhI

Iμ

π=

−== (3.19)

iar mărimea hkC = (3.20) poartă numele de capacitate de producţie a stratului colector de hidrocarburi. Parametrii Ip şi Ips caracterizează în mod direct performanţa sondei de extracţie. Din relaţiile (3.17) şi (3.18) se observă că indicele de productivitate reprezintă panta graficului Q(pc – ps), numit diagramă indicatoare (figura 3.4). În domeniul de valabilitate a ecuaţiei lui DARCY (2.16), limitat superior de punctul critic C, diagrama indicatoare este linia dreaptă descrisă de ecuaţia (3.18), iar în domeniul filtrării neliniare diagrama indicatoare este o curbă cu panta descrescătoare. Unul din scopurile principale ale tehnologiei extracţiei ţiţeiului constă în creşterea indicelui de productivitate a fiecărei sonde la valori maxime posibile din punct de vedere economic. Acest proces este cunoscut sub numele de stimulare a productivităţii sondelor şi poate fi realizat prin diferite căi, care pot fi deduse din analiza modului în care fiecare factor al relaţiei (3.18) trebuie modificat pentru a duce la creşterea indicelui de productivitate. Creşterea permeabilităţii k prin acidizare sau fisurare hidraulică, precum şi scăderea vâscozităţii μ prin metode termice (ca injecţia ciclică de abur în strat) sunt principalele căi de stimulare a productivităţii sondelor. Acidizarea constă din injectarea în stratul productiv a unei soluţii apoase de acid clorhidric (care dizolvă mineralele carbonatice), acid fluorhidric (care dizolvă cuarţul) şi un inhibitor de coroziune (care protejează echipamentul sondei). Dopul de soluţie acidă pătrunde radial în strat, până la raza r0 (egală, de obicei, cu 1…2 m), iar prin reacţiile chimice dintre acizi şi mineralele rocii colectoare se măresc porozitatea şi, implicit, permeabilitatea zonei din vecinătatea sondei. Produşii de reacţie sunt solubili în apă, deci sunt aduşi la suprafaţă după repunerea în producţie a sondei. Fisurarea hidraulică constă din injectarea de ţiţei sau apă de zăcământ în stratul productiv, la o presiune superioară celei de fisurare a rocii. Se formează astfel un sistem de fisuri într-o zonă cilindrică, coaxială cu sonda, de rază r0 = 1…2 m, realizându-se creşterea permeabilităţii zonei respective. Pentru ca fisurile formate să rămână deschise şi după terminarea operaţiei, se adaugă în fluidul injectat nisip dur (de cuarţ) sortat, cu granulaţia adecvată lărgimii estimate a fisurilor. Deşi zona cu permeabilitate mărită are o extindere redusă, atât în cazul acidizării cât şi în cel al fisurării hidraulice, debitul sondei creşte semnificativ după stimulare (vezi interpretarea figurii 3.3). Prin stimulare se reduce timpul de recuperare a ţiţeiului, ca efect al intensificării ritmului de extracţie, dar nu se obţine, în mod necesar, şi o creştere a factorului final de recuperare. Metodele de creştere a factorului final de recuperare implică suplimentarea energiei naturale a zăcământului. Astfel, în timp ce dezlocuirea (spălarea) ţiţeiului cu abur, care constituie o metodă de creştere a factorului final de recuperare, conduce la mărirea energiei totale a sistemului, cea mai mare parte din energia termică furnizată zăcământului în cadrul injecţiei ciclice de abur (care este un procedeu de stimulare a productivităţii sondelor) se pierde în perioada de producţie, ca rezultat al conducţiei termice către stratele impermeabile din acoperişul şi culcuşul colectorului, precum şi prin transportul căldurii la suprafaţă, odată cu fluidele încălzite produse de sondă. Presiunea medie ponderată cu aria zonei de drenaj a sondei este definită prin relaţia

,d1∫=A

m ApA

p (3.21)

în care ( ) ,2d,22 drrArrA sc π=−π=

iar presiunea este dată de ecuaţia (3.14). Înlocuind aceste expresii în relaţia (3.21) rezultă

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−+

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+−

= ∫∫∫∫c

s

c

s

c

s

c

s

r

rs

r

rs

c

scr

rs

sc

r

r s

s

c

scs

scm rrrrrr

rr

pprrprr

rrrr

rr

ppprr

p dlndlnln

d2dlnln

22222

Figura 3.4 Graficul debitului

volumic în funcţie de presiunea diferenţială în condiţiile mişcării radial

plane staţionare a unui lichid



.ln2

ln2

ln24

ln2

ln2ln2

2 22222222

22

s

c

sccs

ss

cscs

sc

c

s

c

scscs

scrrppprrrrrrrrrr

rr

pprrprr

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−−

−+

−

−= (3.21')

3.2.2. Mişcarea generată de o sondă amplasată excentric într-un zăcământ cu contur de alimentare circular Fie mişcarea generată de o sondă în condiţiile menţionate în paragraful 3.2.1, cu singura deosebire că sonda este amplasată excentric, la distanţa δ faţă de centrul conturului circular de alimentare de rază rc. Pentru studiul acestei mişcări se poate folosi metoda funcţiilor de variabilă complexă, asociată mişcărilor potenţiale plane. În acest sens se observă că, dacă se defineşte funcţia

,pkμ

−=ϕ (3.22)

componentele vitezei, exprimate, conform legii lui DARCY, astfel

,,ypkv

xpkv yx ∂

∂μ

−=∂∂

μ−= (3.23)

iau forma

,,y

vx

v yx ∂ϕ∂

=∂ϕ∂

= (3.24)

care arată că mişcarea bidimensională a lichidelor incompresibile monofazice în medii poroase omogene se comportă ca o mişcare potenţială, având potenţialul de viteză ϕ. Neglijând raza rs a sondei în raport cu raza rc a conturului de alimentare, sonda poate fi asimilată cu o distribuţie liniară de surse negative. Potenţialul complex al mişcării generate de sondă în planul xOy din figura 3.5 este dat de relaţia

( ) ( ) ,ln21 δ+

π−= z

hbQzf t (3.25)

unde z = x + i y, Q bt este debitul volumic de ţiţei exprimat în condiţii de zăcământ (corespunzător debitului Q în condiţii de suprafaţă) iar numărul complex z1 care defineşte poziţia sondei faţă de sistemul de axe are expresia

z1 = x + δ + i y = z + δ . Sonda a fost considerată ca o sursă plană negativă, S1, deoarece ea absoarbe fluid din domeniul mişcării, iar intensitatea (debitul) sursei plane este raportul dintre debitul şi lungimea h a sursei liniare. Pentru extinderea mişcării (care se desfăşoară, în mod evident, numai în cercul de rază rc) în întreg planul xOy, se introduce o sursă pozitivă S2 (asimilată unei sonde de injecţie, cu intensitatea (debitul volumic) +Q), simetrică faţă de cerc, în punctul S2, situat faţă de centrul domeniului mişcării la distanţa .2 δ= crD (3.26) Astfel, mişcarea generată de sonda excentrică într-un zăcământ de ţiţei poate fi studiată pe baza modelului mişcării potenţiale plane generate de două surse de semne contrare. Potenţialul complex al sursei S2 se exprimă sub forma

( ) ( ) ,ln22 Dz

hbQzf t +

π= (3.27)

iar potenţialul complex al mişcării rezultante se obţine prin însumarea potenţialelor complexe ale celor două surse astfel

( ) ( ) ( ) .ln2

ln2

ln2 δ+

+π

=+π

+δ+π

−=z

Dzh

bQDzh

bQzh

bQzf ttt (3.28)

Scriind că ,e,e 21 2211

θθ =+==δ+= ii rDzzrzz ecuaţia (3.28) devine

( ) ( ) ,ln2 12

1

2 ψ+ϕ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ−θ+

π= ii

rr

hbQzf t (3.28’)

iar partea reală

,ln2 0

1

2 ϕ+π

=ϕrr

hbQ t (3.29)

introdusă în relaţia (3.21), dă pentru presiune formula

,ln2 1

2 Crr

hkbQp t +

πμ

−= (3.30)

unde r1, r2 sunt coordonatele bipolare definite în figura 3.5, iar ϕ0 este valoarea potenţialului de viteză la r = rs.

Figura 3.5 Sistemul de două surse plane echivalent mişcării generate de o sondă

amplasată excentric



Pentru exprimarea condiţiilor la limite se presupune că punctul M din figura 3.5 aparţine succesiv peretelui sondei şi conturului de alimentare. Dacă M aparţine frontierei de rază rs, prima condiţie la limită ia forma .,şila 21 ss ppDrrr =δ−== (3.31) Dacă M se află pe frontiera exterioară a zonei aferente sondei (figura 3.6), pornind de la relaţia de simetrie faţă de cerc (3.26) scrisă sub forma

c

crDr

=δ

rezultă că triunghiurile OS1M şi OS2M sunt asemenea. Se completează ecuaţiile care exprimă proporţionalitatea laturilor celor două triunghiuri

1

2rr

rDr

c

c ==δ

şi se scrie cea de a doua condiţie la limită astfel

.,la1

2c

c pprrr

=δ

= (3.32)

Înlocuind condiţiile la limite (3.31), (3.32) în ecuaţia (3.30) se obţin expresiile

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+δπ

μ−=

+δ

δ−πμ

−=

,ln2

,ln2

22

Crhk

bQp

Cr

rhk

bQp

ctc

s

cts

(3.33)

cu precizarea că, pentru scrierea primei relaţii (3.33), s-a folosit egalitatea

,lnln22

s

c

s rr

rD

δδ−

=δ−

în care D a fost înlocuit conform ecuaţiei (3.26). Din prima relaţie (3.33) rezultă pentru constanta C expresia

,lnln

22 δδ−

−+= c

sc

c

scc

r

rrr

pppC (3.34)

iar din a doua relaţie (3.33) se obţine egalitatea

,lnln2 22

sc

c

sc

c

ct

rrr

pprpC

hkbQ

δ−

−=

δ

−=

πμ (3.34’)

care permite exprimarea debitului volumic de lichid al sondei sub forma

( ) .

ln

222

sc

ct

sc

rrrb

pphkQδ−

μ

−π= (3.35)

Introducând expresiile (3.34) şi (3.34’) în relaţia (3.30), legea variaţiei presiunii în coordonate bipolare devine

.lnln 1

222 r

rr

rrr

ppppc

sc

c

scc

δ

δ−

−−= (3.36)

Revenind la coordonatele carteziene, cu relaţiile

( ) ( ) ,, 222

221 yDxryxr ++=+δ+= (3.36’)

apoi înmulţind cu 2 la numărător şi numitor raportul din membrul drept al ecuaţiei (3.36), în scopul eliminării radicalilor, se obţine ecuaţia

( )[ ]( )[ ] ,ln

ln2222

222

22 yxryDx

rrr

ppppc

sc

c

scc

+δ+

++δ

δ−

−−= (3.37)

care exprimă legea variaţiei presiunii în coordonate carteziene. Calculele numerice au arătat că, pentru valori uzuale ale lui rc şi rs, raportul dintre debitul sondei excentrice şi cel aferent sondei centrale, exprimate de relaţiile (3.35) şi (3.17), are valori ce depăşesc cu puţin unitatea dacă δ ≤ 0,5rc. În aceste cazuri, pentru calculul debitului sondei amplasate excentric se poate folosi relaţia (3.17) aferentă sondei centrale, în locul ecuaţiei (3.35).

Figura 3.6 Ilustrarea condiţiei ca punctul M să aparţină frontierei exterioare a zonei de

drenaj a sondei excentrice



3.2.3. Mişcarea generată de o sondă într-un zăcământ cu contur de alimentare liniar Se consideră un zăcământ orizontal, cu grosimea constantă h, divizat de o falie dreaptă cu săritura mai mică decât h, în două blocuri comunicante. Falia constituie o frontieră de alimentare liniară (considerată, pentru simplificare, de lungime infinită) pentru blocul superior, în care se află o sondă de extracţie, la distanţa d faţă de frontieră. Mişcarea generată de sondă este plană şi poate fi studiată folosind teoria funcţiilor de variabilă complexă asociată mişcărilor potenţiale plane, la fel ca în paragraful 3.2.2. Pentru extinderea domeniului mişcării de la semiplanul superior (în care se află sonda de extracţie asimilată cu sursa plană negativă S1) la întreg planul xOy, se introduce sursa fictivă pozitivă S2, de intensitate +Q (sondă de injecţie) amplasată simetric faţă de conturul liniar de alimentare (figura 3.7). Însumând potenţialele complexe ale celor două surse, exprimate sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ,ln2

,ln2 21 diz

hbQzfdiz

hbQzf tt +

π=−

π−= (3.38)

unde ,)(,)(, 21 dizdyixzdizdyixzyixz +=++=−=−+=+=

se obţine pentru potenţialul complex al mişcării rezultante expresia

( ) .ln2 diz

dizh

bQzf t−+

π= (3.39)

Pentru separarea părţii reale a potenţialului complex (3.39), se scriu numerele complexe z1 şi z2 astfel 21 e,e 2211

θθ == ii rzrz şi se obţine pentru f(z) o expresie identică cu funcţia (3.28’), unde r1 şi r2 sunt coordonatele bipolare definite în figura 3.7. Potenţialul de viteză ϕ şi presiunea p sunt exprimate prin ecuaţiile (3.29), (3.30). Condiţiile la limite asociate legii de variaţie a presiunii (3.30) corespund situaţiilor în care punctul M aparţine frontierei sondei (cercului de rază rs), respectiv conturului de alimentare (axei Ox) şi pot fi exprimate prin relaţiile

⎩⎨⎧

=====

.,la,,2şila

21

21

c

ss

pprrppdrrr

(3.40)

Punând aceste condiţii ecuaţiei presiunii (3.30) se obţine sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+πμ

−=

,

,2ln2

Cp

Crd

hkbQ

p

c

s

ts (3.41)

din care rezultă expresia

,2ln2s

sct

rdpp

hkbQ −

=πμ

ce permite exprimarea debitului volumic sub forma

( ) .2ln

2

st

sc

rdb

pphkQμ

−π= (3.42)

Dacă se înlocuieşte a doua relaţie (3.41) în ecuaţia (3.30), apoi se trece la coordonate carteziene cu expresiile (3.36’) şi se înmulţeşte al doilea termen din membrul drept al relaţiei obţinute cu 2 la numărător şi numitor pentru eliminarea radicalilor, legea de variaţie a presiunii devine

( )( )

.ln2ln2

22

22

dyxdyx

rdpp

pp

s

scc

−+

++−−= (3.43)

În cazul în care frontiera de alimentare are lungimea finită, egală cu 2a, iar sonda este amplasată simetric faţă de extremităţile frontierei, relaţia (3.42) ia forma

( )

.

12ln

2

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+μ

−π=

ad

rdb

pphkQ

st

sc (3.44)

Dacă d2/a2 << 1, adică sonda se află la distanţă relativ mică faţă de o frontieră de alimentare cu lungime relativ mare, frontiera de alimentare se comportă ca şi când ar avea lungimea infinită, iar ecuaţia (3.44) se reduce la relaţia (3.42). Se defineşte curba izobară ca fiind locul geometric al punctelor din planul mişcării în care presiunea are o valoare constantă cunoscută. Pentru a se stabili forma şi parametrii unei izobare pentru mişcarea studiată în acest paragraf, se foloseşte legea de variaţie a presiunii (3.43), în care se impune ca presiunea să aibă valoarea constantă p1, ceea ce implică egalarea argumentului logaritmului de la numărător cu o constantă, adică

Figura 3.7 Sistemul de două

surse echivalent mişcării generate de o sondă situată în vecinătatea unei frontiere de alimentare liniare infinite



( )( )

.222

22c

dyxdyx

=−+

++ (3.45)

Dacă se scrie ecuaţia (3.43) sub forma

,ln2ln2

21 c

rdpppp

s

scc

−−=

se poate explicita constanta c2 astfel

.e2ln2

21

ssc

crd

pppp

c −−

= (3.46) Pe de altă parte, dezvoltând ecuaţia (3.45) se obţin succesiv relaţiile

,22 2222222222 cdcydcycxdydyx +−+=+++

,0112 2

2

222 =+

−+

++ dccydyx (3.47)

care arată că izobara p = p1 are forma unui cerc, a cărui ecuaţie generală este ( ) ( ) .222 Rbyax =−+− (3.48) Pentru a aduce relaţia (3.47) la forma (3.48) se schimbă semnul celui de-al treilea termen înlocuind la numitor pe

(1 – c2) cu –(c2 – 1), apoi se adună şi se scade termenul ( ) ( )[ ]2222 11 −+ ccd , obţinându-se ecuaţia

( )

.1

41

122

222

2

22

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−+c

dcc

cdyx (3.49)

Prin identificarea expresiilor (3.48) şi (3.49) se găsesc relaţiile de calcul pentru coordonatele centrului cercului şi razei acestuia, sub forma

.1

2,1

1,0 22

2

−=

−+

==c

dcRc

cdba (3.50)

3.3. Legea refracţiei liniilor de curent În cazul mişcării unui fluid printr-o succesiune de medii poroase cu permeabilităţi zonal constante, se produce un fenomen de refracţie a liniilor de curent, care constă din schimbarea direcţiei de mişcare a fluidului la traversarea frontierei care separă două domenii cu permeabilităţi diferite Se consideră mişcarea bidimensională a unui lichid pe frontiera comună S a domeniilor D1 şi D2, având permeabilităţile diferite k1, respectiv k2 (figura 3.8). La traversarea frontierei S, debitul şi presiunea lichidului trebuie să rămână constante. Condiţiile de continuitate a debitului şi presiunii pe suprafaţa S se exprimă astfel ,21 ∫∫ ⋅=⋅

SS

AnvAnv ddrrrr

(3.51)

p1 = p2 pe suprafaţa S . (3.52) Ţinând seama că nv

rr⋅1 = v1n şi nv

rr⋅2 = v2n (componentele normale ale vitezelor de filtrare), relaţia (3.51) se

reduce la egalitatea ,21 SnSn vv = (3.53) care, asociată cu ecuaţia lui DARCY, scrisă sub forma

,, 222

111 n

pkvnpkv nn ∂

∂μ

−=∂∂

μ−=

duce la ecuaţia

.22

11

SS npk

npk

∂∂

=∂∂ (3.54)

Relaţia (3.54) arată că derivata presiunii pe direcţia normalei suferă un salt pe suprafaţa comună S. În schimb, derivata presiunii după direcţia tangentei la S este constantă pe această suprafaţă şi, ca urmare, prin derivarea relaţiei (3.52) în raport cu s, rezultă egalitatea

.21

SS sp

sp

∂∂

=∂∂ (3.55)

Componentele tangenţiale ale vitezelor de filtrare sunt

., 222

111 s

pkvspkv ss ∂

∂μ

−=∂∂

μ−= (3.56)

Figura 3.8 Schema refracţiei liniilor de curent pe frontiera comună a două zone

de permeabilităţi diferite



Înlocuind derivatele presiunii obţinute din ecuaţiile (3.56) în formula (3.55) se găseşte expresia

.2

2

1

1

S

s

S

skv

kv

= (3.57)

Prin împărţirea relaţiei (3.57) la ecuaţia (3.53) se obţine forma

,11

2

2

21

1

1 Sn

s

Sn

svv

kvv

k=

în care, conform figurii 3.8, v1s/v1n = tg θ1, v2s/v2n = tg θ2, deci 1221 θ=θ tgtg kk pe suprafaţa S , (3.58) ecuaţie care exprimă matematic legea refracţiei liniilor de curent. Din relaţia (3.58) se observă că, în cazurile în care normala la frontiera comună este coliniară (θ1 = 0) sau ortogonală cu direcţia mişcării (θ1 = π/2), liniile de curent nu se refractă la traversarea suprafeţei comune.

3.4. Mişcări unidimensionale în medii poroase cu permeabilitate zonal constantă 3.4.1. Mişcarea unidimensională în cazul frontierei comune perpendiculare pe direcţia mişcării Mişcările de acest tip se întâlnesc în cazul filtrelor constituite din pachete de nisip de granulaţii diferite şi în cazul succesiunilor de strate orizontale permeabile. Configuraţia domeniului unei astfel de mişcări, când mediul poros este constituit din două zone de permeabilităţi k1, respectiv k2 este prezentată în figura 3.9. Indexând cu 1, respectiv 2 mărimile corespunzătoare celor două zone, ecuaţia lui DARCY şi ecuaţia microscopică a continuităţii, asociate cu ecuaţia de stare (2.37) se reduc la

( ) ,2,1,0dd,

dd

==μ

−== ixv

xpkvv iii

xii (3.59)

din care rezultă ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în cele două pachete permeabile

( ) .2,1,0dd

2

2== i

xpi (3.60)

care au soluţiile ( ) .2,1, =+= ibxap iii (3.61) Dacă se introduc cele patru condiţii la limite

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====+=

==

,şi,la;,la

;,0la

21211

221

1

vvpplxppllx

ppx

c

s

(3.62)

dintre care ultimele două exprimă continuitatea presiunii şi vitezei de filtrare pe frontiera dintre cele două pachete cu permeabilităţi diferite, în ecuaţiile (3.61) astfel

( ) ,,,, 221122

11

21211122121 akakakakblablabllapbp cs =⇒μ

−=μ

−+=+++==

se obţin expresiile celor patru constante de integrare

( ) ,,,, 2121

1

221

211

22

22

11

1 llll

kk

pppbpbll

kk

ppal

kkl

ppa sccs

scsc ++

−−==

+

−=

+

−=

iar legile de variaţie a presiunii în cele două zone devin

( ) .,21

1

22

22

11

1 xlll

kk

ppppxl

kkl

pppp scc

scs −

+

−−=

+

−+= (3.63)

Introducând derivatele presiunii obţinute din expresiile (3.63) în prima relaţie (3.59), rezultă formula

.2

2

11

121

lkkl

ppkvv sc

+

−μ

−== (3.64)

care indică egalitatea vitezelor, deci faptul că prin cele două pachete permeabile filtrează acelaşi debit de lichid. Conform ecuaţiei macroscopice a continuităţii (3.7), în care se înlocuieşte viteza de filtrare dată de relaţia (3.64), debitul volumic de lichid are expresia

.2

2

11

11

lkkl

ppkAvAQ sc

+

−μ

== (3.65)

Dacă se consideră un mediu poros omogen de permeabilitate km echivalent celui real (în sensul că debitul de

Figura 3.9 Domeniul mişcării unidimensionale în cazul frontierei comune perpendiculare pe direcţia

mişcării



lichid filtrat este acelaşi) şi se notează l1 + l2 = l, debitul este dat de ecuaţia (3.8) sub forma

.l

ppkAQ scm −μ

= (3.66)

Identificând ecuaţiile (3.65) şi (3.66) se obţine pentru permeabilitatea medie relaţia

,

2

2

1

121

kl

kl

llkm+

+= (3.67)

care, în cazul general a n zone cu permeabilităţi diferite, parcurse succesiv de lichidul în mişcare, devine

.11

∑∑==

=n

i i

in

iim k

llk (3.68)

3.4.2. Mişcarea unidimensională în cazul frontierei comune coliniare cu direcţia mişcării Această mişcare este descrisă de ecuaţiile fundamentale (3.59), care conduc la ecuaţiile diferenţiale (3.60) cu soluţiile (3.61). Conform figurii 3.10, cele patru condiţii la limite sunt

⎩⎨⎧

======

,,la,,0la

21

21

c

s

ppplxpppx

(3.69)

Prin înlocuirea condiţiilor (3.69) în relaţiile (3.61) se obţin expresiile constantelor de integrare

,, 2121 ssc pbb

lppaa ==

−==

iar ecuaţiile presiunii în cele două domenii (3.61) capătă forma

.21 xl

ppppp scs

−+== ](3.70)

Introducând derivatele presiunilor p1, p2 conform ecuaţiei (3.70) în prima relaţie (3.59) se găsesc expresiile vitezelor de filtrare

., 22

11 l

ppkvl

ppkv scsc −μ

−=−

μ−= (3.71)

Debitele filtrate prin cele două domenii se însumează pentru aflarea debitului total

( ) .2211221121 lppkAkAvAvAQQQ sc

μ−

+=+=+= (3.72)

Considerând, ca şi în paragraful 3.4.1, un mediu poros omogen echivalent celui real, prin identificarea expresiilor debitului (3.66) în care A = A1 + A2 şi (3.72) se stabileşte ecuaţia permeabilităţii medii

,21

2211AA

kAkAkm ++

= (3.73)

care, pentru cazul existenţei a n pachete cu permeabilităţi zonal constante, devine

.11

∑∑==

=n

ii

n

iiim AkAk (3.74)

3.5. Mişcări radial plane în medii poroase cu permeabilitate zonal constantă Aceste mişcări pot fi întâlnite în cazul sondelor de ţiţei care prezintă, în imediata vecinătate, o zonă fisurată hidraulic, acidizată sau cu porii parţial blocaţi, sau care traversează o succesiune de strate productive. 3.5.1. Mişcarea radial plană în cazul frontierei comune perpendiculare pe direcţia mişcării Dacă într-o zonă cilindrică, coaxială cu sonda, de rază r0, permeabilitatea stratului productiv are valoarea modificată k1, iar în restul zonei de drenaj a sondei permeabilitatea este cea originală k2 (figura 3.11), mişcarea radial plană a ţiţeiului spre sondă se desfăşoară în două domenii concentrice cu permeabilităţi diferite. Permeabilitatea modificată poate fi inferioară celei originale atunci când, în timpul forării sondei, s-a produs blocarea parţială a porilor ca efect al pătrunderii apei din fluidul de circulaţie, care a determinat umflarea mineralelor argiloase din componenţa rocii colectoare, sau poate fi superioară permeabilităţii originale în urma aplicării unui proces de acidizare sau de fisurare hidraulică. Ecuaţiile fundamentale ale mişcării, scrise în coordonate cilindrice (care se reduc, pe baza caracterului plan al mişcării, la coordonatele polare, în condiţiile existenţei unei singure componente a vitezei de filtrare şi anume cea radială), pentru cele două zone cu permeabilităţi diferite, sunt:

Figura 3.10 Domeniul mişcării

unidimensionale în cazul frontierei comune coliniare cu direcţia mişcării

Figura 3.11 Domeniul mişcării radial plane în cazul frontierei comune

perpendiculare pe direcţia mişcării



– ecuaţia lui DARCY

( ) ,2,1,dd

=μ

−== irpkvv ii

iri (3.75)

– ecuaţia continuităţii

( ) ( ) ,2,1,0dd1

==ρ ivrrr i (3.76)

– ecuaţia de stare a lichidului incompresibil (2.37). Înlocuind ecuaţiile (3.75) şi (2.37) în relaţia (3.76) se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcării

( ) ,2,1,0dd

dd

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ i

rpr

ri (3.77)

cu soluţiile ( ) ,2,1,ln =+= ibrap iii (3.78) asociate cu condiţiile la limite

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=======

,şi,la;,la;,la

21210

2

1

vvpprrpprrpprr

cc

ss

(3.79)

unde ultimele două condiţii reflectă continuitatea presiunii şi vitezei de filtrare pe frontiera de rază r0. Punând condiţiile la limite (3.79) ecuaţiilor (3.78) astfel

,,lnln,ln,ln 22110

22

0

112021012211 akak

rak

rakbrabrabrapbrap ccss =⇒

μ−=

μ−+=++=+=

se obţin expresiile celor patru constante de integrare

,lnlnln

,lnlnln

,lnln

,lnln

0

0

1

22

02

101

0

0

1

22

02

101 c

c

s

sccs

c

s

scs

c

s

sc

c

s

sc r

rr

rr

kk

pppbr

rr

kk

rr

pppb

rr

rr

kk

ppa

rr

kk

rr

ppa+

−−=

+

−−=

+

−=

+

−=

care se înlocuiesc în ecuaţiile (3.78) rezultând formulele

,lnlnln

02

101

sc

s

scs r

r

rr

kk

rr

pppp+

−+= ,ln

lnln0

0

1

22 r

r

rr

rr

kk

pppp c

c

s

scc

+

−−= (3.80)

care exprimă legile de variaţie a presiunilor din cele două zone. Dacă se introduc derivatele dp1/dr, dp2/dr obţinute din relaţiile (3.80) în ecuaţia lui DARCY (3.75), se găsesc expresiile vitezelor de filtrare

.1

lnln02

10

121 r

rr

kk

rr

ppkvvc

s

sc

+

−μ

−== (3.81)

Debitul volumic de ţiţei este dat de ecuaţia macroscopică a continuităţii (3.7), în care A = 2 π r h, sub forma

( ) ,ln1ln1

22

02

0

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+μ

−π=π=

rr

krr

kb

pphvhrQc

st

sc (3.82)

unde factorul de volum al ţiţeiului bt asigură exprimarea debitului în condiţii de suprafaţă. Relaţia (3.82) poate fi scrisă sub forma

( ) ,ln

2

s

ct

scm

rrb

pphkQμ

−π= (3.83)

unde permeabilitatea medie km are expresia

.ln1ln1

ln

02

0

1 rr

krr

k

rr

kc

s

s

c

m+

= (3.84)

3.5.2. Efectul skin Aşa cum s-a mai precizat, existenţa zonei de permeabilitate modificată k1 poate fi rezultatul unei blocări parţiale a porilor sau al unor operaţii de acidizare ori fisurare hidraulică. Modificarea permeabilităţii în zona de rază r0 impune aplicarea unei căderi de presiune suplimentare pentru ca sonda să producă acelaşi debit ca în cazul permeabilităţii constante. Căderea de presiune suplimentară poate fi pozitivă când k1 < k2, respectiv negativă când k1 > k2. Presiunile diferenţiale în domeniul cuprins între razele r0 şi rs în prezenţa, respectiv în absenţa zonei cu permeabilitate modificată (figura 3.12) au expresiile



,ln2

,ln2

0

20

0

1

'0

s

ts

s

ts r

rhk

bQpp

rr

hkbQ

ppπμ

=−πμ

=− (3.85)

unde '0p , p0 sunt valorile presiunii la raza r0, în prezenţa, respectiv în absenţa modificării de

permeabilitate, iar ps – presiunea dinamică de adâncime a sondei. Scăzând a doua relaţie (3.85) din prima, se găseşte expresia căderii de presiune suplimentare

( ) ( ) .ln12

ln112

0

1

2

2

0

210

'0

s

t

s

tsss r

rkk

hkbQ

rr

kkhbQ

ppppp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=−−−=Δ (3.86)

Fenomenul de modificare a permeabilităţii stratului productiv în zona imediat învecinată sondei este cunoscut sub numele de efect skin sau efect de deteriorare şi este caracterizat cantitativ prin factorul de skin, definit ca o cădere de presiune suplimentară adimensională, prin egalitatea

,2 2

t

s

bQphk

Sμ

Δπ= (3.87)

care, pe baza ecuaţiei (3.86), devine

.ln1 0

1

2

srr

kkS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (3.88)

Valoarea factorului de skin este pozitivă în cazul când k1 < k2, respectiv negativă atunci când k1 > k2. Dacă se înmulţeşte relaţia (3.82), la numărător şi numitor, cu k2, apoi se adună şi se scade în paranteza de la numitor termenul ln(r0/rs), se obţine ecuaţia

( ) ,lnlnln

2

00

1

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−μ

−π=

s

c

sst

sc

rr

rr

rr

kkb

pphkQ

care, pe baza expresiei (3.88) devine

( )

,ln

2 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+μ

−π=

Srrb

pphkQ

s

ct

sc (3.89)

permiţând calcularea factorului de skin, în condiţiile cunoaşterii debitului şi permeabilităţii originale, astfel

( )

.ln2 2

s

c

t

sc

rr

bQpphkS −

μ−π

= (3.90)

3.5.3. Mişcarea radial plană în cazul frontierei comune coliniare cu direcţia mişcării Această mişcare corespunde situaţiei în care sonda produce dintr-o succesiune de strate comunicante suprapuse şi este prezentată schematizat, pentru cazul particular a două strate orizontale, în figura 3.13. În condiţiile menţionate, pornind de la ecuaţiile fundamentale (3.75), (3.76) şi (2.37), se ajunge la relaţiile (3.77) cu soluţiile (3.78), la fel ca în paragraful 3.5.1. Condiţiile la limite asociate ecuaţiilor (3.78) sunt, în acest caz,

⎩⎨⎧

======

,,la,,la

21

21

cc

ss

ppprrppprr

(3.91)

şi duc la următoarele expresii ale constantelor de integrare

.lnln

lnln

,ln

2121 c

s

c

sccs

s

c

scs

s

c

sc r

rr

pppr

rr

pppbb

rr

ppaa −−=

−−==

−==

Înlocuind aceste formule în ecuaţiile (3.78) se obţin ecuaţiile presiunilor în cele două zone

,lnln

21s

s

c

scs r

r

rr

ppppp −+== (3.92)

din care se stabilesc derivatele dp1/dr, dp2/dr care, înlocuite în relaţiile (3.75), permit aflarea ecuaţiilor vitezei de filtrare

.1

ln,1

ln

22

11 r

rr

ppkvr

rr

ppkv

s

c

sc

s

c

sc −μ

−=−

μ−= (3.93)

Debitele celor două pachete permeabile suprapuse se stabilesc pe baza ecuaţiei (3.7) şi, prin însumare, se obţine debitul total astfel

( )( )

.ln

2 2211

s

ct

sc

rrb

pphkhkQμ

−+π= (3.94)

Figura 3.12 Presiunile diferenţiale în zona cu

permeabilitate modificată, în contextul determinării

factorului de skin

Figura 3.13 Domeniul mişcării radial plane în cazul frontierei comune

coliniare cu direcţia mişcării



Ecuaţia (3.94) poate fi exprimată sub forma (3.83); prin identificarea ecuaţiilor (3.83) şi (3.94), asociată cu folosirea notaţiei h1 + h2 = h, se găseşte expresia permeabilităţii medii

,21

2211

hhhkhk

km ++

= (3.95)

care poate fi generalizată pentru cazul existenţei a n pachete permeabile de grosimi hi şi permeabilităţi ki astfel

.11

∑∑==

=n

ii

n

iiim hhkk (3.96)

3.6. Mişcări tridimensionale generate de sonde imperfecte din punct de vedere hidrodinamic În acest subcapitol sunt prezentate unele aspecte privind mişcările tridimensionale generate de sonde care fie străbat doar parţial stratul productiv, fie produc prin perforaturi sau şliţuri (fante), în condiţiile în care mediul poros este omogen. Sondele care nu străbat în întregime stratul productiv se numesc sonde imperfecte după gradul de deschidere, iar cele care nu produc prin pereţii lor naturali poartă numele de sonde imperfecte după modul de deschidere. Mişcarea generată de o sondă imperfectă are caracter tridimensional convergent spre zona inferioară a sondei (în cazul sondei imperfecte după gradul de deschidere) sau spre deschiderile practicate în coloană (în cazul sondei imperfecte după modul de deschidere). Reducerea suprafeţei de intrare a fluidului în sondă determină apariţia unor rezistenţe hidraulice suplimentare şi deci a unor căderi de presiune suplimentare faţă de cele existente în cazul sondei perfecte. Aceste rezistenţe hidraulice suplimentare fac ca debitul sondei imperfecte să fie mai mic decât debitul sondei perfecte. Efectul imperfecţiunii sondei asupra debitului acesteia este caracterizat prin coeficientul de imperfecţiune, definit astfel

,p

i QQc = (3.97)

unde Q, Qp sunt debitele sondei imperfecte, respectiv perfecte, la aceeaşi presiune diferenţială. Deoarece rezistenţele hidraulice suplimentare sunt localizate în vecinătatea sondei, efectul imperfecţiunii sondei asupra debitului poate fi tratat ca un efect de pseudoskin sau ca o reducere fictivă a razei sondei. În acest mod, debitul sondei imperfecte poate fi exprimat sub una din următoarele forme echivalente

( )

,ln

2 **

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+μ

−π=

is

ct

sc

Srr

b

pphkQ (3.98)

( )

,ln

2 **

rs

ct

sc

rr

b

pphkQ

μ

−π= (3.99)

unde p* este presiunea redusă la un plan de referinţă, definită de ecuaţia (2.14), care înlocuieşte presiunea p, pentru a se putea pune condiţii la limite de presiune constantă la adâncimi diferite, ţinându-se seama de ecuaţia hidrostaticii, Si – factorul de pseudoskin corespunzător imperfecţiunii sondei, iar rrs – raza redusă a sondei. Din echivalenţa ecuaţiilor (3.98) şi (3.99) rezultă relaţia dintre factorul de pseudoskin şi raza redusă a sondei, de forma .e iS

srs rr −= (3.100) Considerând că sonda ar genera în zăcământ o mişcare radial plană dacă ar fi perfectă din punct de vedere hidrodinamic, se poate exprima debitul Qp al sondei perfecte sub forma (3.17), în care se înlocuieşte p cu p* (conform relaţiei (2.14), într-un plan orizontal, p* = p). iar relaţia (3.97), în care debitul Q al sondei imperfecte este dat de formula (3.98) devine

,ln

ln

is

cs

c

iS

rr

rr

c+

= (3.101)

unde relaţia de calcul a factorului de pseudoskin trebuie determinată pentru fiecare tip de imperfecţiune a sondei. 3.6.1. Mişcarea radial sferică Acest tip de mişcare se întâlneşte atunci când sonda pătrunde în stratul productiv pe o adâncime b foarte mică, practic neglijabilă în raport cu grosimea h a acestuia. Ca urmare, gradul de penetrare a sondei hbh = (3.102) este practic nul, iar liniile de curent sunt razele unei emisfere (figura 3.14). Mişcarea se studiază în coordonate sferice, pentru ca viteza de filtrare să aibă doar componenta radială

.d

d *

rpkvvr μ

−== (3.103)

Ecuaţia de continuitate în coordonate sferice (2.32) asociată cu ecuaţia de stare a lichidelor incompresibile (2.37) se reduce la relaţia



( ) .01 22 =rvr

rr dd (3.104)

Din formulele (3.103) şi (3.104) rezultă ecuaţia diferenţială a mişcării

,0*

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rpr

r dd

dd (3.105)

care se integrează astfel

.,d

d,d

d *2

**2 b

rap

ra

rpa

rpr +−=== (3.106)

Soluţia (3.106) arată că, începând de la o anumită rază, fie ea rc, presiunea redusă este, practic, o constantă, notată cu *

cp . Punând relaţiei (3.106) condiţiile la limite

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

,,la

,,la**

**

cc

ss

pprr

pprr (3.107)

se determină constantele de integrare a şi b sub forma

.111

111,11

***

***

**

ccs

scc

scs

scs

cs

scr

rr

pppr

rr

pppb

rr

ppa−

−+=

−

−+=

−

−=

Astfel, legea de variaţie a presiunii reduse la un plan de referinţă (acoperişul stratului productiv) devine

.1111

****

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−+=

rrrr

pppps

cs

scs (3.108)

Dacă se introduce în ecuaţia lui DARCY (3.103) derivata presiunii reduse la planul de referinţă obţinută din ecuaţia (3.108) se găseşte relaţia de calcul a vitezei de filtrare

,111 2

**

rrr

ppkv

cs

sc

−

−μ

−= (3.109)

care, asociată cu ecuaţia macroscopică a continuităţii, scrisă pentru o emisferă de rază oarecare r concentrică cu sonda (A = 2 π r2, figura 3.14), dă pentru debitul volumic de lichid formula

( )

.11

22

**2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−μ

−π=π=

cst

sc

rrb

ppkvrQ (3.110)

Având în vedere că rs << rc, iar 1/rs >> 1/rc, relaţia (3.110) se reduce la forma aproximativă

( )

.2 **

t

scsb

pprkQ

μ−π

≅ (3.111)

Dacă debitul sondei imperfecte se exprimă sub forma generală (3.98), prin identificarea acestei ecuaţii cu relaţia (3.111) se obţine pentru factorul de pseudoskin expresia

.lns

c

si r

rrhS −= (3.112)

Coeficientul de imperfecţiune a sondei care produce în condiţiile mişcării radial sferice poate fi calculat cu relaţia (3.101) asociată cu expresia (3.112), sau cu ecuaţia (3.97) în care se înlocuiesc expresiile (3.111) şi (3.17) astfel

.lns

csi r

rhrc = (3.113)

Dacă stratul orizontal saturat cu ţiţei are grosimea h relativ mică (figura 3.15), atunci domeniul mişcării se împarte în trei zone şi anume: mişcare radial sferică în zona de rază rs ≤ r ≤ R ≅ 4h, radial plană între cilindrii de raze R şi rc, respectiv de tranziţie între cilindrul de rază R şi emisfera de rază R. Această mişcare compusă se numeşte mişcare zonal (parţial) radial sferică. Notând cu *

Rp presiunea redusă pe frontiera de rază R, neglijând existenţa zonei de tranziţie şi apelând la relaţiile (3.17) şi (3.110), debitul volumic de ţiţei se poate

Figura 3.14. Configuraţia mişcării radial sferice

Figura 3.15. Configuraţia mişcării zonal radial sferice



exprima astfel

( ) ( )

,11

2

ln

2 ****

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−μ

−π=

μ

−π=

Rrb

ppk

Rrb

pphkQ

st

sR

ct

Rc (3.114)

de unde rezultă ecuaţiile presiunilor diferenţiale în cele două zone sub forma

.112

,ln2

****⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=−πμ

=−Rrk

bQpp

Rr

hkbQ

pps

tsR

ctRc

Dacă se însumează presiunile diferenţiale, se dă factor comun expresia ( )st rkbQ πμ 2 , se neglijează termenului rs/R << 1 şi se înlocuieşte R ≅ 4h se obţine ecuaţia

( )

.

4ln1

2 **

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +μ

−π=

hr

hrb

pprkQcs

t

scs (3.115)

Calculele numerice au arătat că, pentru valori obişnuite ale razelor rs şi rc, debitul calculat cu relaţia (3.111) nu prezintă o diferenţă mai mare de două procente faţă de cel rezultat din relaţia (3.115), când grosimea stratului h depăşeşte valoarea de 10 m. Deci, pentru h ≥ 10 m mişcarea poate fi considerată radial sferică, iar debitul poate fi calculat cu relaţia (3.111), iar dacă h < 10 m mişcarea este zonal radial sferică şi se foloseşte ecuaţia (3.115). Coeficientul de imperfecţiune a sondei care produce în condiţiile mişcării zonal radial sferice, definit de relaţia (3.97) în care se înlocuiesc ecuaţiile (3.115) şi (3.17), devine

.

4ln

ln

hr

rh

rr

cc

s

s

c

i+

= (3.116)

Identificând ecuaţiile (3.98) şi (3.115) se găseşte pentru factorul de pseudoskin aferent mişcării zonal radial sferice expresia

.4lnss

i rh

rhS −= (3.117)

3.6.2. Mişcarea generată de o sondă parţial penetrantă

Dacă sonda străbate stratul productiv orizontal pe adâncimea b inferioară grosimii h a acestuia, atunci gradul de penetrare exprimat prin ecuaţia (3.102) are o valoare subunitară, sonda este numită parţial penetrantă, iar mişcarea generată de ea este axial simetrică (liniile de curent sunt simetrice faţă de axul sondei). Acestei mişcări îi corespunde ecuaţia de continuitate în coordonate cilindrice (2.31) care, pe baza ecuaţiei de stare (2.37), se reduce la forma

( ) ,01=

∂∂

+∂∂

zvvr

rrz

r (3.118)

unde componentele vitezei de filtrare sunt date de legea lui DARCY astfel

.,**

zpkv

rpkv zr ∂

∂μ

−=∂

∂μ

−= (3.119)

Înlocuind expresiile (3.119) în relaţia (3.118) se găseşte ecuaţia diferenţială

.012

2*=

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

zv

rpr

rrz (3.120)

Aplicând metoda FOURIER – BERNOULLI pentru rezolvarea ecuaţiei (3.120), asociată cu condiţiile la limite, se obţine o soluţie sub formă de serii, pe baza căreia se determina formula debitului sondei. MUSKAT a soluţionat, în limita unor aproximaţii, problema mişcării generate de o sondă parţial penetrată cu talpa permeabilă, asimilând sonda cu o distribuţie liniară de surse şi extinzând mişcarea în întreg spaţiul prin metoda surselor imagine. Formula debitului obţinută de el poate fi adusă la forma generală (3.98), unde factorul de pseudoskin are expresia

( ) ,214ln1 hfhr

hh

hSs

i −−

= (3.121)

în care

( ) ( ) ( )( ) ( ) ;

125,01875,01125,0875,0ln

hhhhhf

−Γ−ΓΓΓ

= (3.122)

Figura 3.16. Graficul funcţiei ( )hf

definită prin relaţia (3.122)



Γ este funcţia lui EULER de speţa a doua, iar h – gradul de penetrare definit prin relaţia (3.102). Funcţia f( h ) este prezentată grafic în figura 3.16. KOZENY a găsit pentru factorul de pseudoskin aferent sondei parţial penetrante ecuaţia

.ln12

cos2

711

s

csi r

rhb

rhS⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=

−

(3.123)

BRONS şi MARTING au stabilit că, dacă lichidul este admis compresibil, factorul de pseudoskin poate fi exprimat astfel

( ) .ln1 hGrh

hhS

si −

−= (3.124)

Deoarece funcţia ( )hG nu poate fi exprimată analitic, ea a fost calculată numeric, iar valorile rezultate au fost folosite în relaţia (3.123) pentru obţinerea curbelor din figura 3.17. Formula (3.124) poate fi aplicată atât sondelor parţial penetrante, cât şi celor care sunt perforate în zona centrală a stratului, pe distanţa b, sau sunt perforate pe intervale echidistante a căror lungime totală este egală cu b. Calculele numerice efectuate cu formulele (3.121) şi (3.124) pentru h/rs = 100 şi h/rs = l.000 au condus la rezultate apropiate, deşi prima formulă se referă la mişcarea staţionară a unui lichid incompresibil, iar cea de a doua se referă la mişcarea de tip depletiv (cu energia epuizabilă) a unui lichid compresibil. Metoda lui MUSKAT nu este aplicabilă în cazul valorilor mici ale lui h/rs. 3.6.3. Mişcarea generată de o sondă imperfectă după modul de deschidere Problema mişcării generate de o sondă care produce prin perforaturi a fost soluţionată de MUSKAT, asimilând perforaturile cu surse negative şi extinzând mişcarea în întreg spaţiul, prin introducerea surselor imagine faţă de frontierele impermeabile ale stratului. S-a obţinut astfel pentru Si din relaţia debitului (3.98) expresia

( ) ,ln2

sin2ln2cos2

sin42221 1

1

1

1 10

10

⎥⎥⎦

⎤+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ θ

⎢⎢⎣

⎡−

π⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ θπ+π= ∑∑∑∑

−

=

−

=

∞

=

∞

= p

sm

i

im

i n

is

npi r

rm

inrnKrnKm

S (3.125)

unde K0(x) este funcţia BESSEL de speţa a doua modificată şi de ordin zero, arr pp = – raza adimensională a

perforaturii, arr ss = – raza adimensională a sondei, a – distanţa verticală dintre două perforaturi vecine (pentru perforaturile dispuse elicoidal), m – numărul de şiruri verticale de perforaturi, θi – unghiul făcut de planul vertical de referinţă cu planul vertical care conţine şirul de perforaturi i. Pe baza unor simplificări şi interpolări, V. SCIUROV (1951) a adus relaţia (3.125) la următoarea formă

( ) ( ) ,1012,132,49 82,1033,10066,0 5,4 += −

+d

nS

di (3.126)

unde n este numărul de perforaturi pe metru lungime de coloană, iar d – diametrul perforaturii, exprimat în cm. În cazul sondei echipate cu coloane şliţuite, DODSON şi CARDWELL, aplicând metoda transformărilor conforme, au stabilit pentru factorul de pseudoskin Si din ecuaţia (3.98) formula

,2ln2fm

Si π= (3.127)

unde m este numărul de şiruri verticale de şliţuri, iar f – fracţia din aria coloanei reprezentată de aria şliţurilor. Această relaţie constituie o bună aproximaţie a lui Si dacă f ≤ 0,3 şi este o formă particulară a relaţiei

,2

sinln2 fm

Siπ

−=

obţinută de T. OROVEANU şi P. IONESCU (1955). 3.6.4. Conuri de apă de talpă inactivă În timpul formării zăcământului de hidrocarburi, apa, care în procesul de migrare a trebuit să cedeze locul ţiţeiului şi gazelor, s-a separat gravitaţional în partea inferioară a zăcământului şi formează o zonă de apă de talpă sau o zonă de apă marginală, după cum frontul apă – ţiţei se află sub talpa sondei sau în poziţie laterală acesteia. De regulă, în cazul stratelor cu înclinare mică şi grosime relativ mare, apa formează o zonă de apă de talpă, în timp ce, în cazul stratelor cu înclinare mare şi grosime relativ mică, apa constituie o zonă de apă marginală. Apa de talpă poate fi activă sau inactivă după cum frontul apă – ţiţei avansează sau nu spre sonda de extracţie. În cazul apei de talpă inactive, frontul apă – ţiţei ia, pe o anumită zonă de sub talpa sondei, forma unui con cu vârful rotunjit (figura 3.18). Ca urmare, domeniul mişcării generate de sondă este mărginit în partea inferioară de frontul apă – ţiţei, care, la o anumită distanţă de sondă, este orizontal, iar sub talpa sondei are formă de con. Cu cât presiunea diferenţială este mai mare, cu atât înălţimea conului este mai mare.

Figura 3.17. Graficul factorului de pseudoskin corespunzător

imperfecţiunii sondei după gradul de deschidere



Începând de la o anumită valoare a presiunii diferenţiale, numită valoare critică, conul de apă devine instabil, pătrunzând în sondă şi determinând creşterea masivă a fracţiei de apă din debitul de fluid produs de sondă. Pentru evitarea acestui fenomen, este necesară estimarea presiunii diferenţiale critice Δpc şi impunerea restricţiei Δp < Δpc. Notând cu pa presiunea în planul orizontal al frontului apă – ţiţei (figura 3.18), condiţia necesară stabilităţii conului se poate exprima astfel ( ) ( ) ,, gzhzrpp aa ρ−+= (3.128) unde p(r, z) este presiunea într-un punct M(r, z) de pe suprafaţa conului, ρa – densitatea apei, iar h – grosimea zonei saturate cu ţiţei. Înainte de punerea sondei în producţie, relaţia (3.128) avea forma ( ) ( ) ,, gzhzrpp tia ρ−+= (3.129)

unde pi este presiunea iniţială a zăcământului, iar ρt – densitatea ţiţeiului. Identificând relaţiile (3.128) şi (3.129), rezultă condiţia

( ) ( ) ( ) ,

,,g

zhzrpzrp

tai ρ−ρ=

−−

(3.130)

care arată că, pentru a se asigura stabilitatea frontului apă – ţiţei, este necesar ca diferenţa de presiune în orice punct de pe suprafaţa conului (înainte şi după formarea acestuia) împărţită la înălţimea de ridicare a apei în acel punct să nu depăşească gradientul gravitaţiei. Ştiind că presiunea pe conturul de alimentare (la raza rc şi adâncimea z faţă de acoperişul stratului productiv, considerat ca plan de referinţă) este egală cu presiunea iniţială de zăcământ, adică

( ) ( ) ,,, zrpzrpp icc == ecuaţia (3.130) capătă forma

( ) ( ) ,,

gzh

zrppta

c ρ−ρ=−

−

sau

( ) ( ) .1, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ρ−ρ=−

hzhgzrpp tac (3.131)

La z = 0 şi r = rs, presiunea are valoarea ps, deci ps = p(rs,0). Dacă se scade ps din ambii membri ai relaţiei (3.131) rezultă ecuaţia

( ) ( ) ,1, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ρ−ρ−−=−

hzhgpppzrp tascs

care, după împărţirea ambilor membri la Δp = pc – ps, devine

( ) ( )

.11,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Δρ−ρ

−=Δ

−hz

phg

ppzrp tas (3.132)

Admiţând că frontul iniţial apă – ţiţei se comportă ca o frontieră impermeabilă, iar apa are aceleaşi proprietăţi fizice ca şi ţiţeiul, MUSKAT a folosit legea de variaţie a presiunii p* = p*(r, z) obţinută în cazul mişcării generate de o sondă parţial penetrantă şi a rezolvat grafic ecuaţia (3.132) pentru r = 0 şi diferite valori ale lui Δp (figura 3.19). Valoarea lui Δp pentru care ecuaţia (3.132) are o singură soluţie zc (dreapta b) reprezintă valoarea critică Δpc. Pentru Δp > Δpc (dreapta a) ecuaţia (3.132) nu prezintă soluţie, iar pentru Δp < Δpc (dreapta c) se obţin două soluţii z1, z2. Soluţia z1 < z2 nu are sens fizic, deoarece contravine relaţiei (3.130), prin faptul că panta graficului membrului stâng (curbei) în acest punct de abscisă z1 depăşeşte panta graficului membrului drept (dreptei c).

În concluzie, înălţimea conului stabil este hcon = h – z2.

Pentru estimarea presiunii diferenţiale critice Δpc se poate folosi nomograma din figura 3.20.

Figura 3.18. Configuraţia mişcării generate de

o sondă într-un zăcământ de ţiţei cu apă de talpă inactivă

Figura 3.19 Rezolvarea grafică a ecuaţiei (3.132)

Figura 3.20 Nomogramă pentru calculul presiunii diferenţiale critice a sondei

care produce în condiţiile formării conului de apă de talpă inactivă



3.7. Mişcări gravitaţionale Mişcarea unui lichid într-un mediu permeabil datorată exclusiv acţiunii gravitaţiei (greutăţii lichidului) se numeşte mişcare gravitaţională. Acest tip de mişcare prezintă suprafaţă liberă şi, din acest motiv, se mai numeşte şi mişcare cu suprafaţă liberă. Domeniul mişcării gravitaţionale a unui lichid în medii poroase poate fi mărginit (figura 3.21) de frontiere de alimentare 1 (pe care p* = const.), frontiere impermeabile 2 (pentru care componenta normală a vitezei este nulă, adică

np ∂∂ * = 0), frontiere libere 3 (caracterizate prin zgpp ρ+= 0* şi np ∂∂ * = 0) şi frontiere umede 4 (pentru care

zgpp ρ+= 0* ), unde p0 este presiunea atmosferică, n – variabila corespunzătoare axei normale la frontiera respectivă,

iar sensul axei Oz este ascendent. Determinarea frontierelor libere şi umede necesită cunoaşterea legii de variaţie a presiunii reduse la planul de referinţă p*, care, la rândul ei, nu poate fi stabilită prin rezolvarea ecuaţiilor (2.16), (2.33) şi (2.37), deoarece nu se cunoaşte integral frontiera domeniului mişcării. Din aceste motive, de regulă, se face abstracţie de frontiera umedă, iar pentru determinarea suprafeţei libere se admit unele ipoteze simplificatoare. În principiu, drenajul gravitaţional este un proces de dezlocuire a ţiţeiului cu gaze. Ascensiunea gazelor ieşite din soluţie în timpul deplasării de sus în jos a ţiţeiului (deci mişcarea gazelor în contracurent cu ţiţeiul) poate deveni importantă. Acest fenomen nu are loc atunci când există un cap de gaze care să ocupe, prin destindere elastică, spaţiul poros din care a fost extras ţiţeiul. Mişcările gravitaţionale sunt eficiente în cazul zăcămintelor cu grosime şi/sau înclinare mare, având permeabilitatea efectivă faţă de ţiţei ridicată. Ţiţeiul de zăcământ trebuie să aibă densitate relativ mare şi vâscozitate redusă. Nu este necesar ca toate aceste condiţii să fie întrunite simultan, deoarece un factor favorizant poate compensa efectul negativ al altui factor.

3.7.1. Ecuaţia lui BOUSSINESQ Se consideră mişcarea gravitaţională tridimensională a unui lichid într-un mediu poros omogen şi izotrop mărginit inferior de un plan orizontal impermeabil. Este avantajos să se formuleze ecuaţia microscopică a continuităţii pentru un element de volum definit de intersecţia a patru plane verticale ortogonale, între care există distanţele dx, dy infinitezimale, cu suprafaţa liberă şi cu planul orizontal impermeabil al culcuşului colectorului xOy (figura 3.22). Dacă se consideră că densitatea ρ şi porozitatea m sunt constante, ecuaţia continuităţii (2.33) se scrie ca o relaţie de bilanţ volumic astfel

( ) ( )

,dddddd

ddd0dddddddd

yxhmydxtthmyxhm

tyxzvhyxvh

yxvhxvhyxvh

xyvhyvh z

yyyxxx

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+−

şi, după reducerea termenilor asemenea şi împărţire prin tyx ddd , devine

( ) ( ) .thm

zvhvh

yvh

xz

yx ∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ (3.133)

Admiţând ipotezele simplificatoare lui DUPUIT (1863), potrivit cărora liniile de curent sunt paralele cu planul impermeabil xOy, iar componentele orizontale ale vitezei sunt proporţionale cu panta suprafeţei libere şi independente de z, se pot scrie relaţiile

,0,, =∂∂

−=∂∂

−= zfilyfilx vyhkv

xhkv (3.134)

unde kfil este coeficientul de filtrare, definit prin formula (2.7). Introducând relaţiile (3.134) în ecuaţia (3.133) se obţine expresia

th

km

yhh

yxhh

x fil ∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

care, pe baza observaţiei

,21;

21

2

22

2

22

yh

yhh

yxh

xhh

x ∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

devine

,22

22

2

22

th

km

yh

xh

fil ∂∂

=∂

∂+

∂∂ (3.135)

Figura 3.21 Ilustrarea frontierelor mişcării gravitaţionale

Figura 3.22 Domeniu de control mărginit în partea superioară de suprafaţa liberă a lichidului



cunoscută sub numele de ecuaţia lui BOUSSINESQ (1904). În cazul mişcării staţionare, această ecuaţie se reduce la ecuaţia lui FORCHHEIMER (1886)

.02

22

2

22=

∂∂

+∂

∂yh

xh (3.136)

3.7.2. Mişcarea gravitaţională unidimensională nestaţionară Fie un tub vertical cu înălţimea hi şi diametrul interior d, care conţine un mediu poros omogen, saturat cu ţiţei în prezenţa apei interstiţiale (figura 3.23). Se neglijează mişcarea în contracurent a gazelor şi se consideră că desaturarea mediului poros se realizează până la saturaţia în ţiţei remanent spr = constant. La momentul t = 0 tubul se deschide la partea inferioară pe întreaga suprafaţă transversală şi, ca urmare, ţiţeiul se scurge gravitaţional. După un timp t, suprafaţa liberă coboară la cota h, iar în vasul colector se va găsi un volum Np de ţiţei, egal cu volumul ţiţeiului scurs din zona cilindrică de înălţime hi – h, conform relaţiei ( )( ) ,trtiip sshhAmN −−= (3.137)

unde m este porozitatea, A = πd2/4 – aria secţiunii transversale a tubului, iar sti = (1 – sai) – saturaţia iniţială în ţiţei. Debitul de ţiţei drenat scade în timp şi poate fi exprimat, pe baza relaţiei (3.137), astfel

( ) .dd

dd

thssAm

tN

Q trtip −−== (3.138)

Pe de altă parte, din ecuaţia macroscopică a continuităţii ,vAQ =

asociată cu expresiile presiunii reduse la un plan de referinţă şi vitezei de filtrare (ecuaţia lui DARCY) scrise astfel

,,*

*z

pkvzgpp∂

∂μ

−=ρ+=

se obţine formula

.⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ+

∂∂

μ= g

zpkAQ (3.139)

Dacă se neglijează, într-o primă ipoteză, efectele capilare admiţând că zp ∂∂ = 0, din ecuaţiile (3.138) şi (3.139) rezultă că debitul este invariabil în timp şi are expresia

,μρ

=gkAQ (3.140)

iar producţia cumulativă variază liniar cu timpul, conform relaţiei .tQN p = (3.141) În mod evident, această ipoteză este nerealistă, iar efectele capilare trebuie luate în considerare. Cele mai semnificative efecte capilare se manifestă pe suprafaţa liberă a lichidului şi la capătul final al tubului. Efectele capilare la ieşirea din mediul poros, numite efecte de capăt, determină anularea debitului de lichid în momentul în care suprafaţa liberă coboară la o anumită cotă, notată în figura 3.23 cu hc. Această anulare a debitului corespunde existenţei, pe suprafaţa liberă de cotă hc, a unei presiuni relative negative, dată de relaţia .cc hgp ρ−= (3.142) Neglijând efectele capilare în zona suprafeţei libere, relaţia (3.142) este definită în domeniul h ≥ z > hc, în care gradientul de presiune poate fi aproximat astfel

.hhg

zp cρ

−=∂∂ (3.143)

iar ecuaţia (3.139) ia forma

.1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

μρ

=hhgkAQ c (3.144)

Se identifică expresia (3.144) cu relaţia (3.138) astfel

( ) .1dd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −μρ

=−−=hhgkA

thssAmQ c

trti

Dacă se introduce notaţia

( )trti ssmgkC−μ

ρ= (3.145)

se obţine ecuaţia diferenţială

,dd tChhhh

c=

−− (3.146)

Figura 3.23. Configuraţia

drenajului gravitaţional

unidimensional



care se integrează astfel

( )[ ] ,lnlnd1;1;dd0 c

cici

hhcc

h

h c

c

c

c

c

th

h c hhhhhhhhhhhh

hhh

hhh

hhhtCh

hhh i

i

i−−

+−=−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

+=−

=−

− ∫∫∫

conducând la soluţia

,ln1ln1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=c

ci

i

c

i

i

c

cici hh

hhhh

hh

Ch

hhhhhhh

Ct (3.147)

care exprimă timpul după care cota suprafeţei libere este h. Pentru prevederea evoluţiei producţiei cumulative de ţiţei Np şi debitului Q în timp, se dau valori descrescătoare lui h în intervalul hc < h < hi, se calculează valorile lui t din relaţia (3.147), iar din formulele (3.137) şi (3.144) rezultă valorile corespunzătoare ale lui Np şi Q. Valoarea lui hc poate fi estimată la 0,06 hi. În realitate, fenomenul de drenaj gravitaţional este complicat şi de existenţa, deasupra suprafeţei libere, a unei zone de mişcare bifazică, în care lichidul şi gazele care-i iau locul curg simultan. 3.7.3. Mişcarea gravitaţională axial simetrică staţionară O sondă generează o mişcare gravitaţională axial simetrică dacă se află în centrul unui bloc de zăcământ de formă cilindrică, iar atât nivelul static hc al lichidului cât şi cel dinamic hs sunt situate sub frontiera superioară a stratului productiv (figura 3.24). Condiţia ca mişcarea să fie gravitaţională este deci hc ≤ h, unde h este grosimea stratului. Admiţând că, pe frontiera de rază rc, nivelul hc este invariabil în timp (astfel încât mişcarea să fie staţionară), ecuaţia lui BOUSSINESQ (3.135) scrisă în coordonate cilindrice, se reduce la forma

0d

ddd1 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rhr

rr (3.148)

care se integrează succesiv

,d

d,d

d 22

ra

rha

rhr ==

conducând la soluţia ,ln2 brah += (3.149) asociată cu condiţiile la limite

⎩⎨⎧

====

.,la,,la

cc

ss

hhrrhhrr

(3.150)

Înlocuind condiţiile la limite (3.150) în relaţia (3.149) astfel ,ln,ln 22 brahbrah ccss +=+=

se determină constantele de integrare

,lnln

lnln

,ln

222

222

22

c

s

csc

cs

s

csc

s

s

csc r

rrhhhr

rrhhhb

rrhha −

−=−

−=−

=

care, introduse în soluţia (3.149) permit ecuaţiei suprafeţei libere a lichidului

.lnln

lnln

222

2222

rr

rrhhh

rr

rrhhhh c

s

csc

cs

s

csc

s−

−=−

+= (3.151)

Dacă se înlocuieşte derivata dh/dr obţinută din relaţia (3.151) în ecuaţia lui DARCY scrisă astfel

,dd

dd

rhgk

rpkv ρ

μ−=

μ−= (3.152)

se obţine expresia vitezei de filtrare

,121

ln

22

rhrrhhgkv

s

csc −

μρ

−= (3.153)

care, în asociere cu ecuaţia continuităţii, conduce la formula debitului de lichid care traversează o suprafaţă cilindrică de rază r şi înălţime h

Figura 3.24 Domeniul mişcării gravitaţionale axial simetrice



( )

.lnln2

222222

s

ct

sc

s

c

sc

rr

b

hhgk

rrhh

hrgkhrvhrQ

μ

−ρπ=

−μ

ρπ=π= (3.154)

Ecuaţia (3.154) include la numitor factorul de volum al ţiţeiului, bt, pentru ca debitul să fie exprimat în condiţii de suprafaţă. Ipotezele simplificatoare ale lui DUPUIT, exprimate prin relaţiile (3.134), fac ca ecuaţia (3.151) să descrie suprafaţa liberă în mod aproximativ, fără a afecta însă relaţia debitului (3.154) care, aşa cum a demonstrat I. CIARNÂI, exprimă valoarea exactă a debitului. 3.7.4. Mişcarea zonal gravitaţională axial simetrică staţionară Dacă, în condiţiile paragrafului precedent, nivelul static se situează deasupra acoperişului colectorului, iar nivelul dinamic este inferior grosimii stratului productiv (figura 3.25), suprafaţa liberă apare numai într-o anumită vecinătate a sondei (între razele rs şi r0, unde este trasată cu linie continuă în figura 3.25). Domeniul mişcării ţiţeiului spre sondă este format, în acest caz, dintr-o zonă în care mişcarea este radial plană (între razele rc şi r0) şi o zonă în care mişcarea este gravitaţională (pentru r0 ≤ r ≤ rs). Această mişcare combinată se numeşte zonal gravitaţională.

Se introduc notaţiile: hd – nivelul static, hc – grosimea stratului, hs – nivelul dinamic, ca în figura 3.25. Debitul de ţiţei este acelaşi în ambele zone şi se exprimă, conform ecuaţiilor (3.154) şi (3.17), astfel

( ) ( )

,ln

2

ln0

0

0

22

rr

b

pphk

rr

b

hhgkQ

ct

cc

st

sc

μ

−π=

μ

−ρπ= (3.155)

unde 0

0 rrpp == . Ştiind că pc = ρ g hd şi p0 = ρ g hc, a doua

ecuaţie (3.155) devine

( )

.ln

2

0rr

b

hhhgkQc

t

cdc

μ

−ρπ= (3.156)

Din prima ecuaţie (3.155) se explicitează ln(r0/rs), iar din relaţia (3.156) se exprimă ln(rc/r0) astfel ( ) ( )

.2

ln;ln0

220

t

cdcc

t

sc

s bQhhghk

rr

bQhhgk

rr

μ−ρπ

=μ

−ρπ=

Prin însumarea expresiilor precedente se găseşte formula

( ) ,2ln 22scdc

ts

c hhhhbQgk

rr

−−μρπ

=

care permite scrierea ecuaţiei debitului sub forma

( )

.ln

2 22

s

ct

scdc

rr

b

hhhhgkQ

μ

−−ρπ= (3.157)

Variaţia presiunii de zăcământ în domeniul rc ≤ r ≤ r0 este descrisă de ecuaţia (3.14), iar dependenţa de rază a înălţimii ţiţeiului în zona de rază r0 ≤ r ≤ rs este dată de ecuaţia suprafeţei libere (3.151).

3.8. Estimarea rezervelor de hidrocarburi prin metoda declinului de producţie Pentru caracterizarea ritmului de scădere a producţiei unui zăcământ de ţiţei s-a introdus noţiunea de declin de producţie, care poate fi definită ca declin efectiv

,i

ie Q

QQD −= (3.158)

sau declin nominal

( ) .dd1ln

dd

tQ

QQ

tD −=−= (3.159)

Declinul efectiv este o funcţie în trepte (lunare, trimestriale, anuale etc., în funcţie de intervalul de timp la care se referă debitul Q), în timp ce declinul nominal, definit ca panta graficului lnQ = f(t) într-un punct curent, ca valoare pozitivă, se pretează mai bine la interpretarea teoretică, fiind o funcţie continuă. ARPS (1945), folosind date de producţie provenite de la un mare număr de zăcăminte, a arătat că graficele declinului de producţie al zăcămintelor pot fi caracterizate prin trei tipuri de declin nominal: constant, hiperbolic şi armonic.

3.8.1. Declinul de producţie constant Dacă declinul de producţie este constant, ecuaţia (3.159) devine

Figura 3.25 Domeniul mişcării zonal gravitaţionale axial simetrice



,ln tDQQi = (3.160)

permiţând scrierea următoarei legi de variaţie a debitului ,e tD

iQQ −= (3.161) Producţia cumulativă de ţiţei este definită prin relaţia

∫=t

p tQN0

d (3.162)

care, pe baza ecuaţiei (3.161), devine

.e0 D

QQDQN i

ttDi

p−

== − (3.163)

Întrucât debitul scade exponenţial în timp, declinul constant mai este numit în unele lucrări, în mod impropriu, declin exponenţial. Timpul de abandonare a zăcământului (durata exploatării), definit pe baza debitului de abandonare Qa, stabilit pe criterii de natură economică, rezultă din relaţia (3.160) astfel

.ln1

a

ia Q

QD

t = (3.164)

3.8.2. Declinul de producţie hiperbolic Acest tip de declin are expresia ,nQcD = (3.165) în care c, n sunt coeficientul, respectiv exponentul declinului. Introducând relaţia precedentă în formula (3.159) se obţine egalitatea

,dd1 nQc

tQ

Q=−

care, după separarea variabilelor sub forma

,dd1 tc

QQn −=

+

integrare şi rearanjare, conduce la ecuaţia debitului

( )

.1 1 n

i

i

tDnQQ

+= (3.166)

Coeficientul de declin c poate fi exprimat în funcţie de declinul iniţial Di şi de debitul iniţial Qi astfel .n

ii QDc = (3.167) După cum se observă, pentru n = 0 relaţia (3.165) corespunde declinului constant. Producţia cumulativă de ţiţei este dată de relaţia (3.162) asociată cu formula (3.166). După integrare se obţine forma

( ) ( ).1

11 nni

i

ni

p QQDn

QN −− −−

= (3.168)

Timpul de abandonare rezultă din ecuaţia (3.166) astfel

.11i

n

a

ia DnQ

Qt⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (3.169)

3.8.3. Declinul de producţie armonic Declinul armonic este cazul particular de declin hiperbolic corespunzător lui n = 1. Ca urmare, relaţiile (3.165)…(3.167) şi (3.169) devin

,11,,1

,ia

ia

i

i

i

iDQ

QtQDc

tDQQQcD ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

+== (3.170)

iar producţia cumulativă de ţiţei se exprimă, pe baza ecuaţiei (3.162) şi celei de-a doua egalităţi (3.170), astfel

.lnQQ

DQN i

i

ip = (3.171)

Extrapolarea curbelor declinului de producţie este una din cele mai vechi şi mai frecvent folosite metode din ingineria zăcămintelor de ţiţei. Ea constă în prevederea debitului şi producţiei cumulative pe baza relaţiei (3.165), prin determinarea exponentului n care reproduce datele de producţie înregistrate pe o perioadă de timp concludentă. O nouă orientare în practica analizei curbelor de declin a fost stabilită, în anul 1968, de către SLIDER, prin introducerea metodei suprapunerii curbelor teoretice (trasate pe hârtie transparentă) peste curbele obţinute din date de



producţie. GENTRY, în anul 1972, exprimând adimensional ecuaţiile debitului şi producţiei cumulative pentru cele trei tipuri de declin introduse de ARPS, a trasat două grafice care pot fi folosite pentru extrapolarea rapidă a curbelor de declin hiperbolic şi armonic. Deşi, în unele cazuri, ca urmare a efectelor caracteristicilor fizice ale zăcămintelor (strate cu permeabilităţi diferite deschise prin aceeaşi sondă), a proprietăţilor fluidelor de zăcământ şi a mecanismelor de recuperare primară s-au obţinut valori ale exponentului de declin n supraunitare, extrapolarea curbelor debit – timp reprezintă una din cele mai folosite şi eficiente metode de estimare a resurselor primare de ţiţei. 3.9. Probleme 3.9.1. Probleme rezolvate 3.1. O sondă produce ţiţei incompresibil în condiţiile mişcării radial plane staţionare, cu debitul Q = 65 m3/zi. Cunoscând: razele rc = 250 m, rs = 8 cm şi grosimea stratului h = 18,5 m, se cer: a) raza r1 la care presiunea p1 este medie aritmetică a valorilor pc şi ps; b) raza sondei rs2 necesară pentru ca debitul sondei să se dubleze; c) viteza de filtrare la frontiera exterioară a zonei de drenaj. Rezolvare a) Legea variaţiei presiunii (3.14) particularizată pentru raza r1 permite scrierea succesivă a egalităţilor

( ) ( )( ) ,lnln,lnln2,

22lnln

2111

s

c

ss

c

s

scs

sc

sc

ssc r

rrr

rr

rrppppp

rrrrpp =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=−

+=−

iar în final se obţine valoarea .m472,408,02501 =⋅== sc rrr (3.172) Se constată că presiunea medie aritmetică a valorilor pc şi ps corespunde mediei geometrice a razelor rc şi rs. b) Se poate deduce pentru raza rs2 o expresie similară cu (3.172) folosind ecuaţia debitului volumic de lichid (3.17) astfel

( )( )

( )( ) ,

ln2

ln2

222

2sct

sc

sct

scrrb

pphkrrbpphk

QQμ

−π=

μ−π

==

.,lnln,lnln2 22

2

22scs

s

c

s

c

s

c

s

c rrrrr

rr

rr

rr

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

.m472,408,02502 =⋅== scs rrr (3.173) Acest rezultat indică faptul că dublarea debitului volumic de lichid produs de sondă prin creşterea razei acesteia este practic imposibilă. c) Conform ecuaţiei macroscopice a continuităţii pentru un fluid incompresibil, viteza de filtrare are expresia

,2 hr

Qvπ

= (3.174)

din care, pentru raza exterioară a zonei de drenaj a sondei, se obţine valoarea

.zi

mm237,2m

mm10zis400.86

sm10589,2

5,182502400.8665

238 =⋅⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅=

π= −

hrQv

cc

3.2. Să se calculeze debitul unei sonde amplasate excentric într-un zăcământ de ţiţei cu contur de alimentare circular, de rază rc = 300 m, pe care presiunea are valoarea constantă pc = 18,6 MPa. Se mai cunosc: rs = 7 cm, h = 16 m, δ = 200 m, k = 44 mD, μ = 1 cP, bt = 1,30 şi presiunea în centrul zăcământului po = 18,5 MPa. Rezolvare Pentru aflarea presiunii dinamice de adâncime a sondei se particularizează legea variaţiei presiunii (3.37) pentru coordonatele centrului zăcământului, folosind şi relaţia (3.26), astfel

δδ−−

−=δδ−

−−=

δδ

δ−−

−==== c

sc

c

scc

c

sc

c

scc

c

sc

c

scc

yox

r

rrr

pppr

rrr

pppr

D

rrr

ppppp lnln

lnln2

lnln2

222

2

2222

22

2200

şi se obţine ecuaţia

( ) ,lnln22

0 δδ−

−−= c

sc

cccs

rrr

rpppp (3.175)

din care se află valoarea

.MPa682,16Pa386.682.16200300ln

07,0300200300ln101,0106,18

2266 ≅=

⋅−

⋅−⋅=sp

Înlocuind acest rezultat alături de datele problemei în ecuaţia (3.35) rezultă



( ) ./zim520,72s/zi400.86/sm103935,8

07,0300200300ln3,1101

10682,166,181610442 33422

3

615=⋅⋅=

⋅−

⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅π⋅= −

−

−

Q

3.3. Un zăcământ de ţiţei, cu frontiera de alimentare liniară de lungime infinită, este exploatat printr-o sondă cu raza rs = 7 cm, situată la distanţa d = 50 m faţă de frontiera de alimentare. Cunoscând: presiunile pc = 120 bar, ps = 112 bar, piv = 90 bar, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1 cP, bt = 1,25, grosimea stratului h = 10 m şi permeabilitatea k = 100 mD, se cere să se calculeze: a) debitul sondei; b) parametrii (raza şi coordonatele centrului) izobarei p1 = 118 bar. Rezolvare a) Din ecuaţia debitului volumic de lichid (3.42) rezultă

( )( )

.zim837,47zis400.86sm10535,507,0502ln25,1101

10112120101012 3343

513=⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅π⋅= −

−

−Q

b) Procedând ca în § 3.2.3 se obţin ecuaţiile (3.46), (3.50), în care se înlocuiesc datele problemei şi rezultă

.m7078,1617964,37

7964,37502,m7176,52

17964,377964,37150,7964,37e 07,0

502ln2112120118120

2 =−

⋅⋅==

−+

===

⋅−−

Rbc

3.4. Într-un zăcământ de ţiţei a fost forată o sondă de rază rs = 10 cm, folosindu-se un fluid de circulaţie inadecvat. Ca urmare, s-a produs blocarea parţială a porilor într-o zonă cilindrică, coaxială cu sonda, de rază r0. Pentru restabilirea permeabilităţii originale a fost injectat volumul V = 20 m3 de soluţie acidă. Cunoscând: raza conturului circular de alimentare rc = 200 m, grosimea stratului h = 20 m, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 2 cP, bt = 1,25, presiunile pc = 140 bar, ps = 90 bar, permeabilitatea originală k2 = 30 mD, porozitatea m = 0,20 şi saturaţia în apă sai = 0,25 , se cere să se calculeze: a) valoarea razei r0, ştiind că soluţia de acidizare a dezlocuit ţiţeiul şi apa din porii rocii conform fracţiilor ft = 0,75 şi fa = 0,80; b) permeabilitatea modificată, k1, ştiind că, după acidizare, debitul sondei a crescut de 4 ori (Q2 = 4Q1), la aceeaşi

valoare a presiunii diferenţiale; c) debitele cu care a produs sonda, înainte şi respectiv după acidizare. Rezolvare a) Se scrie ecuaţia de bilanţ între volumul de soluţie acidă injectată şi suma volumelor de ţiţei şi de apă dezlocuite de aceasta din mediul poros ( ) ( )[ ] ,122

0 aaitais fsfsmhrrV +−−π= (3.176) din care se obţine raza zonei cu permeabilitatea modificată sub forma

( )[ ] .1

20 s

aaitair

fsfsmhVr +

+−π= (3.177)

Înlocuind datele problemei în relaţia (3.177) se găseşte valoarea

( )[ ] .m448,11,08,025,075,025,012,020

20 20 =+

⋅+⋅−⋅⋅π=r

b) Se înmulţeşte la numărător şi numitor cu k1 prima ecuaţie (3.82) astfel

( ) ,lnln

2

02

10

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+μ

−π=

rr

kk

rrb

pphkQc

st

sc (3.178)

apoi se face raportul Q1/Q2

,lnln

ln

02

10

2

1

2

1

rr

kk

rr

rr

kk

QQ

c

s

s

c

+= (3.179)

şi se exprimă raportul permeabilităţilor

,lnln

ln

02

1

0

2

1

2

1

rr

QQ

rr

rr

QQ

kk

c

s

c

s

−= (3.180)

obţinându-se valoarea numerică



.1049,0

448,1200ln

41

1,0200ln

1,0448,1ln

41

2

1 =−

=kk

Permeabilitatea modificată este k1 = 0,1049k2 = 3,1475 mD .

c) Se află mai întâi, cu relaţia (3.82) particularizată pentru k1 = k2, valoarea ( )( )

,/zim7057,85/sm109196,91,0200ln25,1102

10901402010302 3343

515

2 =⋅=⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅π⋅= −

−

−

Q

apoi Q1 = Q2/4 = 2,4799·10–4 m3/s = 21,4264 m3/zi .

3.5. O sondă produce ţiţei dintr-un strat orizontal, cu grosimea h = 100 m, în condiţiile mişcării gravitaţionale axial simetrice staţionare, la debitul Q = 29,5 m3/zi. Cunoscând: rc = 200 m, rs = 0,07 m, ρ = 850 kg/m3, μ = 2,5 mPa·s, bt = 1,02, k = 100 mD şi nivelul static hc = 80 m, se cere să se calculeze: a) nivelul dinamic hs al ţiţeiului în sondă, corespunzător debitului indicat mai sus; b) nivelul dinamic hs1 necesar pentru dublarea debitului sondei; c) raza r1 la care nivelul ţiţeiului în stratul productiv este h1 = (hs + hc)/2, pentru hs determinat la punctul a). Rezolvare a) Din ecuaţia (3.154) a debitului sondei, se obţine pentru nivelul dinamic hs expresia

( )

,ln2

gkrrbQ

hh sctcs ρπ

μ−= (3.181)

care conduce, cu datele problemei, la valoarea

( ) .m271,61806,985010100400.8607,0200ln02,1105,25,2980 15

32 =

⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

−= −

−

sh

b) Scriind că dublul debitului de la punctul a) poate fi obţinut prin modificarea nivelului dinamic de la hs la hs1 rezultă ( )( )

( )( ) ,2

lnln22 22

1

21

222

1 csssct

sc

sct

sc hhhrrbhhgk

rrbhhgk

QQ −=⇒μ

−ρπ=

μ−ρπ

==

.m291,3380271,612 221 =−⋅=sh

c) Se particularizează ecuaţia suprafeţei libere (3.151) pentru h1 şi se obţine expresia

( )( )( ) ( ) ( ) .4669,0

271,61804271,613271,6180280

432

lnln

2ln

ln 22

22

22

221

21

2222

1 =−

⋅−⋅⋅+=

−−+

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−

+=sc

sscc

sc

ssc

ssc

scs hh

hhhhrrrrhh

rr

rrhhhh

Astfel rezultă ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .m8752,207,020007,0,lnln4669,0

lnln 4669,04669,0

14669,0

11 ====⇒= scsscs

sc

s rrrrrrrrrrrr

3.6. Debitul unui zăcământ de ţiţei a scăzut, în 12 luni, de la valoarea iniţială Qi = 800 m3/lună la Q = 520 m3/lună. Ştiind că declinul de producţie al zăcământului este constant, se cere să se determine următoarele: a) debitul şi producţia cumulativă de ţiţei după primii 4 ani de exploatare; b) timpul t1 la care debitul are valoarea Q1 = Qi/2; c) timpul de abandonare şi producţia cumulativă finală de ţiţei, admiţând debitul limită economică Qa = 15 m3/lună. Rezolvare a) În condiţiile declinului nominal constant, din ecuaţia (3.160) se obţine

,ln1QQ

tD i= (3.182)

relaţie care permite calcularea declinului

.lună0359,0520800ln

121 1−==D

apoi, din formula (3.161) rezultă ./lunăm805,142e800 3480359,0

luni48 == ⋅−Q b) Producţia cumulativă de ţiţei are expresia (3.163), care conduce la valoarea

.m307.180359,0

805,142800 3luni48 =

−=pN

c) Timpul de abandonare se obţine din relaţia (3.182) scrisă pentru Q = Qa, sub forma (3.164), deci



,ani231,9luni772,11015800ln

0359,01

===at

iar producţia cumulativă de ţiţei la abandonare rezultă din ecuaţia (3.163) astfel

.m867.210359,0

15800 3=−

=paN

3.9.2. Probleme propuse 3.7. O sondă produce ţiţei incompresibil în condiţiile mişcării radial plane staţionare, cu debitul Q = 78 m3/zi, la presiunea dinamică de adâncime ps = 150 bar. Cunoscând: presiunea statică pc = 154 bar, presiunea de început de vaporizare piv = 120 bar, densitatea, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului ρ = 850 kg/m3, μ = 0,8 mPa·s, bt = 1,26, razele rc = 220 m, rs = 7 cm, grosimea stratului h = 20 m şi porozitatea m = 0,2, se cere să se calculeze: a) permeabilitatea zăcământului, considerat a fi omogen; b) viteza de filtrare şi valoarea numărului REYNOLDS la peretele sondei; c) presiunea medie ponderată cu aria zonei de drenaj a sondei. 3.8. Într-un zăcământ de ţiţei cu frontiera de alimentare cilindrică au fost săpate patru sonde, având raze egale, rs = 10 cm, şi excentricităţile δ1 = 0, δ2 = rc/4, δ3 = rc/2, δ4 = 3rc/4. Se admite că sondele produc succesiv, la aceeaşi presiune dinamică de adâncime. Cunoscând rc = 300 m, se cere să se determine valorile raportului dintre debitul fiecărei sonde excentrice şi debitul sondei centrale, considerând că mişcarea este staţionară şi fluidul incompresibil. 3.9. O sondă produce ţiţei incompresibil în condiţiile mişcării radial plane staţionare, cu debitul Q = 65 m3/zi, la presiunea dinamică de adâncime ps = 15,4 MPa. Cunoscând: presiunea statică pc = 15,8 MPa, presiunea de început de vaporizare piv = 12 MPa, densitatea, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului ρ = 825 kg/m3, μ = 0,9 cP, bt = 1,27, razele rc = 250 m, rs = 8 cm, grosimea stratului h = 18,5 m şi porozitatea m = 0,16, se cere să se verifice valabilitatea, în condiţiile problemei, a ecuaţiei lui DARCY şi să se calculeze: a) permeabilitatea efectivă faţă de ţiţei a mediului poros; b) viteza de filtrare la raza r1 = 8 m; c) debitul sondei corespunzător presiunii dinamice de adâncime ps1 = 15 MPa. 3.10. Într-un zăcământ de ţiţei cu frontiera de alimentare cilindrică au fost săpate patru sonde, având raze egale, rs = 10 cm, şi excentricităţile δ1 = 0, δ2 = rc/4, δ3 = rc/2, δ4 = 3rc/4. Se admite că sondele produc succesiv, la aceeaşi presiune dinamică de adâncime. Cunoscând rc = 300 m, se cere să se determine valorile raportului dintre debitul fiecărei sonde excentrice şi debitul sondei centrale, considerând că mişcarea este staţionară şi fluidul incompresibil. 3.11. Un zăcământ de ţiţei, cu frontiera de alimentare liniară de lungime infinită, este exploatat printr-o sondă de rază rs = 8 cm, situată la distanţa d = 75 m faţă de frontiera de alimentare. Se mai cunosc următoarele: grosimea stratului h = 18 m, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1,2 mPa·s, bt = 1,23, presiunile statică, respectiv dinamică de adâncime pc = 120 bar, ps = 112 bar şi debitul sondei Q = 55 m3/zi. Se cere să se determine: a) permeabilitatea efectivă faţă de ţiţei k a zonei de drenaj a sondei; b) parametrii (raza şi coordonatele centrului) izobarei p1 = 115 bar. 3.12. O sondă este amplasată echidistant faţă de extremităţile conturului de alimentare liniar de lungime 2a = 500 m, la distanţa d = 100 m faţă de acesta. Cunoscând: permeabilitatea k = 300 mD, grosimea stratului h = 12 m, presiunile pc = 14 MPa, ps = 13,5 MPa, raza sondei rs = 10 cm, vâscozitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1,5 mPa·s, respectiv bt = 1,22, se cer: a) debitul de ţiţei produs de sondă; b) presiunea de zăcământ în punctul de coordonate x = 50 m, y = 75 m. 3.13. Un filtru cilindric vertical pentru purificarea apei de zăcământ este format din 5 straturi de nisip suprapuse, cu grosimile: l1 = 20 cm, l2 = 25 cm, l3 = 30 cm, l4 = 35 cm, l5 = 40 cm şi permeabilităţile: k1 = 100 D, k2 = 90 D, k3 = 80 D, k4 = 65 D, k5 = 50 D. Cunoscând: înălţimea apei faţă de baza filtrului, h = 2 m, diametrul filtrului d = 1,7 m, densitatea şi vâscozitatea dinamică a apei ρ = 1085 kg/m3, μ = 0,95 cP, se cere să se calculeze: a) permeabilitatea medie a filtrului: b) debitul zilnic de apă filtrată. 3.14. O sondă produce ţiţei incompresibil în condiţii radial plane staţionare dintr-un strat orizontal, format din două pachete suprapuse, având grosimile h1 = 7 m, h2 = 12 m şi permeabilităţile k1 = 70 mD, k2 = 55 mD. Se mai cunosc: presiunile pc = 170 bar, ps = 162 bar, razele rc = 250 m, rs = 7 cm, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 2 cP, respectiv bt = 1,22. Se cere să se determine: a) debitul de ţiţei produs de sondă; b) vitezele de filtrare a ţiţeiului în cele două pachete permeabile, la raza r = 50 m. 3.15. Într-un zăcământ de ţiţei a fost forată o sondă folosindu-se un fluid de circulaţie inadecvat. Ca urmare, s-a produs blocarea parţială a porilor într-o zonă cilindrică, coaxială cu sonda, de rază r0, permeabilitatea acestei zone scăzând de 15 ori faţă de cea originală (k1 = k2/15). Pentru restabilirea permeabilităţii originale, a fost injectat volumul V = 20 m3 de soluţie acidă. Cunoscând: razele rc = 200 m, rs = 8 cm, grosimea stratului h = 20 m, permeabilitatea originală k2 = 30 mD, porozitatea m = 0,20 şi saturaţia ireductibilă în apă sai = 0,25, se cere să se determine:



a) valoarea razei r0, ştiind că soluţia de acidizare a dezlocuit ţiţeiul şi apa din porii rocii conform fracţiilor ft = 0,75, respectiv fa = 0,80; b) permeabilitatea medie km a stratului productiv, înainte de acidizare. 3.16. O sondă, care produce ţiţei în condiţii radial plane staţionare, a fost acidizată, realizându-se creşterea permeabilităţii într-o zonă de rază r0 = 1,7 m. Ştiind că: rc = 200 m, rs = 7 cm, h = 16 m, pc = 21,5 MPa, ps = 21 MPa, μ = 1,4 cP, bt = 1,25, k2 = 30 mD şi Q = 15 m3/zi, se cer: a) factorul de skin S; b) valoarea k1 a permeabilităţii modificate. 3.17. O sondă produce, în condiţii radial plane staţionare, debitul de ţiţei Q = 34 m3/zi, la presiunea diferenţială pc – ps = 6 bar. Cunoscând: razele rc = 200 m şi rs = 0,07 m, grosimea stratului h = 12 m, permeabilitatea originală k2 = 500 mD, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1 cP, respectiv bt = 1,25, se cere să se calculeze: a) factorul de skin S; b) permeabilitatea k1 a zonei de rază r0 = 1,8 m; c) raza redusă rrs a sondei. 3.18. O sondă, care produce ţiţei incompresibil, în condiţiile mişcării radial plane staţionare, a fost acidizată pe o zonă de rază r0 = 1,5 m. Ştiind că: rc = 200 m, rs = 10 cm, h = 16,4 m, pc = 215 bar, ps = 211 bar, μ = 1,2 cP, bt = 1,22, k2 = 30 mD şi Q = 14,5 m3/zi, se cere să se calculeze următoarele: a) permeabilitatea k1 a zonei de rază ro; b) raza redusă rrs a sondei; c) permeabilitatea medie km. 3.19. Într-un zăcământ de ţiţei a fost forată o sondă numai până la atingerea stratului productiv, din cauza prezenţei unei zone de apă de talpă. Cunoscând: razele rc = 240 m, rs = 7 cm, grosimea colectorului h = 16 m, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1,05 mPa·s, respectiv bt = 1,3, presiunile reduse la planul de referinţă *

cp = 15 MPa, *sp = 14,4 MPa şi debitul sondei Q = 12 m3/zi, se cere să se calculeze:

a) permeabilitatea medie efectivă faţă de ţiţei a mediului poros; b) raza r1 la care presiunea redusă la planul de referinţă are valoarea

*1p = ( *

cp + *sp )/2;

c) factorul de pseudoskin; d) coeficientul de imperfecţiune a sondei. 3.20. Într-un zăcământ de ţiţei a fost forată o sondă numai până la atingerea stratului productiv, din cauza prezenţei unei zone de apă de talpă. Cunoscând: razele rc = 200 m, rs = 7 cm, grosimea stratului productiv h = 4 m, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1,6 cP, bt = 1,26, presiunile reduse la planul de referinţă *

cp =

146 bar, *sp = 142 bar şi debitul de ţiţei Q = 10 m3/zi, se cere să se calculeze:

a) permeabilitatea medie efectivă faţă de ţiţei a mediului poros; b) factorul de pseudoskin; c) coeficientul de imperfecţiune a sondei. 3.21. Un tub cilindric vertical transparent, cu diametrul interior d = 6 cm, este umplut cu nisip şi saturat cu ţiţei, în prezenţa apei interstiţiale. Ţiţeiul din tub este drenat gravitaţional. Cunoscând: înălţimea coloanei de nisip hi = 2 m, porozitatea m = 0,4, permeabilitatea k = 620 mD, densitatea şi vâscozitatea ţiţeiului ρ = 890 kg/m3, μ = 27 mPa·s, saturaţiile iniţială şi remanentă în ţiţei sti = 0,7, respectiv str = 0,1 şi înălţimea de capăt hc = 0,06 hi, se cer: a) producţia cumulativă, debitul de ţiţei şi timpul de drenaj gravitaţional, corespunzătoare cotei h = hi/2; b) producţia cumulativă de ţiţei până la abandonare şi timpul total de drenaj, dacă se admite debitul de abandonare Qa = 0,1 Qi; c) factorul final de recuperare a ţiţeiului. 3.22. Un tub cilindric vertical transparent, cu diametrul interior d = 6 cm, este umplut cu nisip şi saturat cu ţiţei, în prezenţa apei interstiţiale. Ţiţeiul din tub este drenat gravitaţional. Cunoscând: înălţimea coloanei de nisip hi = 2 m, porozitatea m = 0,4, permeabilitatea k = 620 mD, densitatea şi vâscozitatea ţiţeiului ρ = 890 kg/m3, μ = 27 mPa·s, saturaţiile iniţială şi remanentă în ţiţei sti = 0,7, respectiv str = 0,1 şi neglijând efectele capilare de capăt, se cer: a) producţia cumulativă, debitul de ţiţei şi timpul de drenaj gravitaţional, corespunzătoare cotei h = hi/2; b) producţia cumulativă finală de ţiţei şi timpul total de drenaj gravitaţional. 3.23. Nivelul static al ţiţeiului într-o sondă, care produce dintr-un strat orizontal, este hd = 150 m. Cunoscând: razele rc = 200 m, rs = 8 cm, grosimea stratului hc = 90 m, permeabilitatea k = 120 mD, densitatea, vâscozitatea dinamică şi factorul de volum al ţiţeiului ρ = 850 kg/m3, μ = 1,6 mPa·s, respectiv bt = 1,03, se cere să se calculeze: a) debitul sondei corespunzător nivelului dinamic hs = 50 m; b) raza r0 a frontierei care separă zona mişcării radial plane de zona mişcării cu suprafaţă liberă; c) raza r1 la care nivelul ţiţeiului în strat este media aritmetică a valorilor hc şi hs. 3.24. Un zăcământ de ţiţei a produs cu debitul iniţial Qi = 1.000 m3/lună. Ştiind că declinul de producţie al zăcământului este de tip hiperbolic, caracterizat prin n = 0,7 şi Di = 0,03 (lună)–1, se cere să se determine: a) debitul şi producţia cumulativă de ţiţei după primii 5 ani de exploatare;



b) timpul t1 la care debitul are valoarea Q1 = Qi/2; c) durata exploatării şi producţia cumulativă finală de ţiţei, admiţând debitul limită economică Qa = 20 m3/lună. 3.24. Debitul iniţial al unui zăcământ de ţiţei a avut valoarea Qi = 1.000 m3/lună. Ştiind că declinul de producţie al zăcământului este de tip armonic şi are valoarea iniţială Di = 0,03 (lună)–1, se cere să se determine: a) debitul şi producţia cumulativă de ţiţei după primii 3 ani de exploatare; b) timpul t1 la care debitul are valoarea Q1 = Qi/2; c) durata exploatării şi producţia cumulativă finală de ţiţei, admiţând debitul limită economică Qa = 20 m3/lună.

3.10. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări

1. Numiţi ecuaţiile fundamentale ale mişcării fluidelor incompresibile prin medii poroase, folosite pentru toate tipurile de mişcări studiate în acest capitol.

2. De ce este preferabilă folosirea coordonatelor cilindrice pentru scrierea ecuaţiilor mişcării radial plane? 3. Care sunt principalele procedee tehnice de stimulare a productivităţii sondelor extractive de ţiţei? 4. În ce condiţii se poate folosi ecuaţia (3.17) în locul relaţiei (3.35) pentru aflarea debitului sondei excentrice? 5. În ce condiţii se poate folosi ecuaţia (3.42) în locul relaţiei (3.44) pentru aflarea debitului sondei dispuse într-

un zăcământ cu frontiera de alimentare liniară de lungime finită, simetric în raport cu extremităţile frontierei? 6. Ce este o izobară? Ce formă poate avea aceasta în condiţiile mişcărilor unidimensionale, bidimensionale,

respectiv tridimensionale? 7. Scrieţi relaţia care exprimă legea refracţiei liniilor de curent. 8. Precizaţi două cazuri concrete în care permeabilitatea zăcământului se modifică faţă de valoarea originală într-o

zonă cilindrică, coaxială cu sonda productivă de ţiţei. 9. Ce este efectul skin şi prin ce parametru adimensional se caracterizează acest efect? 10. De ce sondele imperfecte din punct vedere hidrodinamic generează mişcări tridimensionale? 11. În ce moduri poate fi apreciat cantitativ efectul imperfecţiunii sondei asupra debitului produs de aceasta? 12. Care sunt tipurile de sonde imperfecte după gradul de deschidere a stratului productiv? 13. Care sunt tipurile de frontiere ale domeniului mişcării gravitaţionale a unui lichid într-un mediu poros? 14. Ce tipuri de declin de producţie nominal cunoaşteţi? Care dintre ele este cel mai dezavantajos?

B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Configuraţia mişcării radial plane a unui lichid incompresibil printr-un mediu poros omogen. 2. Graficele presiunii şi vitezei de filtrare în funcţie de rază, în condiţiile mişcării radial plane staţionare. 3. Sistemul de două surse plane echivalent mişcării generate de o sondă amplasată excentric. 4. Refracţia liniilor de curent pe frontiera comună a două zone de permeabilităţi diferite. 5. Configuraţia mişcării radial plane printr-un mediu poros format din două zone de permeabilităţi diferite, în

cazul frontierei comune perpendiculare pe direcţia mişcării. 6. Configuraţia geometrică a mişcării zonal radial sferice. 7. Configuraţia mişcării generate de o sondă într-un zăcământ de ţiţei cu apă de talpă inactivă.

C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Mişcarea unidimensională a unui lichid incompresibil într-un mediu poros omogen. 2. Mişcarea generată de o sondă într-un zăcământ cu frontieră liniară de alimentare. 3. Mişcarea unidimensională într-un mediu poros cu permeabilitate zonal constantă, în cazul normalei la

frontiera comună coliniară cu direcţia mişcării. 4. Conuri de apă de talpă inactivă. 5. Ecuaţia lui BOUSSINESQ.

D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Sondă perfectă – sondă imperfectă din punct de vedere hidrodinamic. 2. Indice de productivitate – indice de productivitate specific. 3. Apă de talpă activă – apă de talpă inactivă. 4. Declin de producţie efectiv – declin de producţie nominal.



Capi to lul 4

MIŞCAREA LICHIDELOR COMPRESIBILE ÎN MEDII POROASE

4.1. Ecuaţiile mişcării lichidelor compresibile Compresibilitatea lichidelor joacă un rol important în cadrul exploatării zăcămintelor de ţiţei, ea putând constitui, în cazul zăcămintelor mărginite de un acvifer de dimensiuni mari, principala formă de energie capabilă să determine împingerea ţiţeiului spre sonde. De asemenea, calcularea unor parametri ai zăcământului din date de cercetare hidrodinamică a sondelor prin modificarea debitului are la bază teoria mişcării lichidelor compresibile în medii poroase. Ecuaţiile mişcării lichidelor compresibile în medii poroase sunt constituite din relaţiile lui DARCY (2.16), bilanţului material (2.33) şi de stare (2.38). Se derivează în raport cu timpul ecuaţia (2.38) astfel

( ) ,e 00 tp

tp

tpp

∂∂

ρβ=∂∂

ρβ=∂ρ∂ −β (4.1)

se neglijează, în ecuaţia (2.33), variaţia porozităţii cu timpul, se trece de la presiunea redusă p* la presiunea p în relaţia (2.16) (deoarece mişcarea este plană) şi se înlocuieşte viteza de filtrare exprimată prin ecuaţia (2.16) în formula (2.33). Se obţine astfel ecuaţia neliniară de mişcare

,tpmpk

∂∂

ρβ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇ρ

μ∇ (4.2)

a cărei neliniaritate este determinată de variaţia coeficienţilor kρ/μ şi mβρ cu presiunea. Ţinând seama că, din ecuaţia (2.38), rezultă

( ) ( ) ,1;ln;e 000

0 ppppp ∇β=ρ∇ρ

−β=ρρ

=ρρ −β

,1ρ∇

βρ=∇p (4.3)

relaţia (4.2) poate fi transcrisă, după simplificări, astfel

.t

mk∂ρ∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ∇

βμ∇ (4.3)

În continuare se presupune că mediul poros este omogen pentru toate proprietăţile şi izotrop pentru permeabilitate, că vâscozitatea şi compresibilitatea lichidului au variaţii neglijabile cu presiunea şi că ecuaţia de stare (2.38) poate fi aproximată sub forma (2.39), din care rezultă p∇βρ=ρ∇ 0 şi tpt ∂∂βρ=∂ρ∂ 0 . Astfel, ecuaţia (4.3) ia forma liniară

,1tp

ap

∂∂

=Δ (4.4)

unde ∇ este operatorul lui HAMILTON definit de ecuaţia (2.17), Δ=∇∇ , unde

2

2

2

2

2

2

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Δ

este operatorul lui LAPLACE (laplacian), iar

μβ

=m

ka (4.5)

se numeşte coeficient de piezoconductibilitate hidraulică sau de difuzie. Ecuaţia (4.4) este cunoscută sub numele de ecuaţia difuziei şi guvernează nu numai mişcarea nestaţionară a fluidelor compresibile, ci şi transferul nestaţionar al căldurii prin conducţie sau transportul nestaţionar al energiei electrice. Folosirea ecuaţiei (4.2) sub forma liniarizată (4.4) este condiţionată de satisfacerea condiţiei βp << 1, unde β este compresibilitatea totală a sistemului rocă–fluide conţinute şi are expresia ,mss raaitt β+β+β=β (4.6) în care st, sai sunt saturaţiile în ţiţei şi apă, βt, βa, βr – coeficienţii de compresibilitate ai ţiţeiului, apei şi matricei rocii, m – coeficientul de porozitate volumică, iar βr/m – compresibilitatea efectivă a porilor rocii. Mişcarea generată de o sondă perfectă din punct de vedere hidrodinamic într-un zăcământ de ţiţei cu grosimea constantă este o mişcare radial plană. În aceste condiţii, ecuaţia diferenţială (4.4) asociată cu relaţia (4.5) se reduce, în coordonate cilindrice, la forma

,1tp

km

rpr

rr ∂∂μβ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ (4.7)



care, în funcţie de condiţiile iniţiale şi la limite, poate avea diferite soluţii. Cea mai folositoare este soluţia debitului constant la peretele sondei, definită prin condiţia Q = constant la r = rs. Acest tip de soluţie prezintă importanţă îndeosebi pentru mişcări radial plane tranzitorii, semistaţionare şi staţionare. La punerea în producţie a unei sonde extractive de ţiţei, precum şi ori de câte ori debitul acesteia se modifică, mişcarea generată de sondă în zăcământ este tranzitorie, pe o durată relativ redusă, până când perturbaţia de presiune generată de funcţionarea sondei se propagă până la frontiera exterioară a zonei de drenaj. După scurgerea timpului de stabilizare ts (durata totală a mişcării tranzitorii), caracterul mişcării va depinde de tipul frontierei exterioare a zonei de drenaj: dacă aceasta este o frontieră deschisă (de alimentare) presiunea pc = p(rc) se menţine constantă, cu condiţia ca volumul de fluid extras prin sondă să fie compensat integral de fluidul care pătrunde prin frontiera de rază rc în zona de drenaj a sondei; dacă frontiera exterioară este impermeabilă sau se comportă ca atare, atunci mişcarea poate deveni semistaţionară (stabilizată) dacă ritmul de scădere a presiunii în timp este constant. 4.2. Mişcarea radial plană semistaţionară Dacă sonda produce un timp suficient de mare, astfel încât efectul frontierei exterioare impermeabile a zonei aferente sondei să se facă simţit asupra presiunii, determinând scăderea acesteia în fiecare punct în ritm constant, atunci mişcarea generată de sondă în zăcământ va fi radial plană semistaţionară. Mişcarea este descrisă de ecuaţia (4.7) asociată cu condiţiile la limite

,la0 crrrp

==∂∂ (4.8)

.şioricepentru trctp

=∂∂ (4.9)

Prima condiţie indică impermeabilitatea frontierei de rază rc, iar a doua corespunde scăderii în ritm constant a presiunii. Din relaţia de definiţie a coeficientului de compresibilitate

,1pV

V ∂∂

−=β

derivată în raport cu timpul la numărătorul şi numitorul membrului drept astfel

tbQtV

tpV

tptV

V−=−=

∂∂

β

∂∂

−=βdd,d

d1

rezultă expresia

,VbQ

tp t

β−=

∂∂ (4.10)

unde hrmV c

2π= (4.11) este volumul de pori al zăcământului, iar Q bt – debitul în condiţii de zăcământ, se obţine pentru condiţia (4.9) forma explicită

.2 hrmbQ

tp

c

t

βπ−=

∂∂ (4.12)

În cazul în care zăcământul este de tip depletiv (cu energie epuizabilă) şi produce în condiţii semistaţionare, fiecărei sonde îi va reveni câte o zonă mărginită de o suprafaţă care se comportă ca o frontieră impermeabilă (figura 4.1). Pentru îndeplinirea condiţiei (4.12) trebuie ca dp/dt să fie aproximativ constantă în întregul zăcământ. Ca urmare, în calcule se va folosi presiunea medie ponderată cu volumul, definită astfel

.11

∑∑==

=n

ii

n

iimimz VVpp (4.13)

Ţinând seama că, în relaţia (4.10), β şi dp/dt sunt constante, rezultă că ii QaV = şi formula (4.13) devine

,11

∑∑==

=n

ii

n

iimimz QQpp (4.14)

permiţând calculul presiunii pmz pe baza debitelor sondelor, care sunt mărimi uşor de măsurat. Pentru mişcarea radial plană semistaţionară, presiunea pm în zona aferentă sondei se determină din ecuaţia de

bilanţ material (4.10) scrisă, pe baza aproximării derivatei prin diferenţă finită (tpp

tp mi

−−

≅∂∂

0), astfel

( ) ,tbQppV tmi =−β (4.15)

Figura 4.1 Divizarea suprafeţei

zăcământului în zone aferente sondelor



unde pi este presiunea statică iniţială a sondei, iar Q bt – debitul de ţiţei exprimat în condiţii de zăcământ. În baza relaţiei (4.12), ecuaţia (4.7) devine

hkr

bQrpr

rr c

t2

1π

μ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ (4.16)

şi, după separarea variabilelor şi integrare, duce la formula

,2

2

2 brhkr

bQrpr

c

t +π

μ−=

∂∂ (4.17)

unde, potrivit condiţiei (4.8), constanta are expresia b = Qμbt/(2πkh). Substituind expresia lui b în ecuaţia (4.17), separând variabilele

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=∂∂

21

2 c

t

rr

rhkbQ

rp

şi integrând între limitele ps şi p, respectiv rs şi r, se obţine relaţia

,2

ln2 2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

πμ

=−c

s

s

ts

rrr

rr

hkbQpp

din care, neglijând pe 2sr << r2, rezultă legea variaţiei presiunii

,2

ln2 2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=−cs

ts

rr

rr

hkbQpp (4.18)

Pentru r = rc şi p = pc, ecuaţia (4.18) în care se include factorul de skin pentru a se lua în considerare o eventuală modificare a permeabilităţii în jurul găurii de sondă, devine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

πμ

=− Srr

hkbQpp

s

ctsc 2

1ln2

(4.19)

şi permite scrierea ecuaţiilor debitului şi indicelui de productivitate (definit de relaţia (3.18)) astfel

( ) .

21ln

2;

21ln

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−μ

π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−μ

−π=

Srrb

hkIS

rrb

pphkQ

s

ct

p

s

ct

sc (4.20)

Deoarece presiunea pc la frontiera exterioară nu poate fi măsurată direct, în relaţia (4.20) se înlocuieşte pc – ps cu pm – ps, unde presiunea medie ponderată cu aria zonei de drenaj a sondei pm se obţine prin cercetarea hidrodinamică a sondei. Prin definiţie,

,d2d12 ∫∫ ==

c

s

r

rcAm rrp

rAp

Ap (4.21)

unde ( ) 222csc rrrA π≅−π= , iar presiunea p are expresia (4.18). Integrând ecuaţia (4.21) astfel

,88

ln2

ln24

ln2

ln222

2

8ln

24ln

2222d

2lnln

22

2

4

2

422222222

2

2

42222

22

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

−−−

πμ

+−

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

πμ

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

πμ

+= ∫

c

s

c

cs

ss

cscs

sc

ctscs

c

r

rcs

ts

c

r

r cs

ts

cm

rr

rrrrrrrrrrrr

hkbQrrp

r

rrrrrrr

hkbQrp

rrr

rrrr

hkbQp

rp

c

s

c

s

se obţine, după reduceri, simplificări şi neglijarea lui 2sr << 2

cr , precum şi a termenului care conţine pe 4sr , formula

,43ln

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

πμ

+= Srr

hkbQpp

s

ctsm (4.22)

în care s-a introdus la numitor factorul de skin. Ecuaţiile precedente sunt valabile numai pentru cazul sondei centrale care produce dintr-un bloc de zăcământ cilindric orizontal, astfel încât mişcarea să fie radial plană. DIETZ a generalizat relaţia (4.22) pentru formele blocului de zăcământ şi poziţiile sondei listate în figura 4.2, scriind că

,4ln21

6,314ln

21

32,564ln

21

e44ln

21eln

21

44ln

21

43ln 222232

223

2

2

sAsss

c

s

c

s

c

rCA

rA

rA

rr

rr

rr

γ=

γ==

π

π=−

ππ

=−

unde γ = e0,5775 ≅ 1,781 este constanta lui EULER, CA – factorul de formă (factor DIETZ), iar valoarea CA = 31,6 corespunde blocului de zăcământ cilindric exploatat printr-o sondă centrală. Astfel, ecuaţia (4.22) devine



.4ln21

2 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπμ

+= SrC

Ahk

bQppsA

tsm (4.23)

Dacă debitul sondei este constant, în ecuaţia (4.23) atât pm cât şi ps variază în timp. Pentru ca această relaţie să fie exprimată în funcţie de o valoare constantă a presiunii, se foloseşte presiunea iniţială pe care o avea zăcământul la punerea sa în exploatare prin prima sondă, pi. În acest scop se recurge la ecuaţia de bilanţ material (4.15) asociată cu egalitatea (4.11), din care rezultă

.hAmtbQpp t

im β−= (4.24)

Forma zăcământului şi poziţia sondei

CA ln CA Ast Forma zăcământului şi

poziţia sondei CA ln CA

Ast

31,6 3,453 0,1

4,86 1,581 1,0

30,9 3,431 0,1

2,07 0,727 0,8

31,6 3,453 0,1

2,72 1,001 0,8

27,6 3,318 0,2

0,232 –1,46 2,5

27,1 3,299 0,2

0,115 –2,16 3,0

21,9 3,086 0,4

3,39 1,221 0,6

22,6 3,118 0,2

3,13 1,141 0,3

5,38 1,683 0,7

0,607 –0,50 1,0

2,36 0,859 0,7

0,111 –2,20 1,2

12,9 2,557 0,5

0,098 –2,32 0,9

4,57 1,519 0,5

zăcământ cu împingere de apă

19,1 2,950 0,1

10,8 2,379 0,3

zăcământ cu regim necunoscut

25,0 3,219 0,1

Figura 4.2 Valorile factorului de formă CA pentru diferite forme geometrice ale suprafeţei zonei aferente sondei şi anumite poziţii ale sondei



Între ecuaţiile (4.23) şi (4.24) se elimină presiunea pm şi se obţine formula

.24ln21

24ln

21

2 22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

μβπ

+γπ

μ=

β+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπμ

=− SAmtk

rCA

hkbQ

hAmtbQS

rCA

hkbQpp

sA

tt

sA

tsi (4.25)

Dacă se introduce mărimea

,Am

tktA μβ= (4.26)

care se numeşte timp adimensional în raport cu aria zonei aferente sondei, formula (4.25) devine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π+

γπμ

−= StrC

Ahk

bQpp AsA

tis 24ln

21

2 2 (4.27)

şi exprimă legea de variaţie a presiunii dinamice de adâncime a sondei în funcţie de timp, pentru mişcarea semistaţionară.

4.3. Mişcarea radial plană staţionară Mişcarea staţionară apare după perioada mişcării tranzitorii generate de o sondă care drenează o zonă cu frontiera exterioară complet deschisă, astfel încât, pentru orice debit de producţie constant, producţia cumulativă de ţiţei să fie integral compensată de fluidul care intră în zona de drenaj prin frontiera exterioară. Ca urmare, acestei mişcări îi sunt asociate condiţiile p = pc = constant la r = rc şi t ≥ 0 , (4.28)

0=∂∂

tp la rs ≤ r ≤ rc şi t ≥ 0 , (4.29)

care sunt îndeplinite atunci când presiunea zăcământului este menţinută la o valoare constantă, printr-un influx natural de apă sau prin injectarea unui fluid (apă sau gaze). În cazul mişcării radial plane staţionare a lichidului compresibil, ecuaţia (4.7) se reduce la forma

0dd

dd1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rpr

rr (4.30)

asociată cu condiţiile la limite (3.13) şi are soluţia (3.12) din care se obţine pentru viteza de filtrare (dată de ecuaţia (3.10)) formula (3.15). Ecuaţia microscopică a continuităţii (3.7), în care aria zonei aferente sondei are expresia (3.16), conduce la formula debitului (3.17). Dacă se scrie relaţia (3.17) pentru presiunea p corespunzătoare razei oarecare r, legea variaţiei presiunii devine

.ln2 s

ps r

rhk

bQpp

π

μ=− (4.31)

Presiunea medie ponderată cu aria zonei aferente sondei definită prin relaţia (4.21), în asociere cu formula (4.31), se scrie astfel

( )

,21ln

2ln

2ln

24ln

2ln

2222

ln24

ln222

2dlnln2

2

22222222

2

2222

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−−

πμ

+−

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

πμ

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

πμ

+= ∫

s

cts

r

rs

ss

cscs

sc

ctscs

c

r

rs

ts

c

r

rs

ts

cm

rr

hkbQprrrrrrrrrr

hkbQrrp

r

rrrrrhk

bQrpr

rrrrhk

bQpr

p

c

s

c

s

c

s (4.32)

unde s-a neglijat 2sr << 2

cr . Introducând în ecuaţia (4.32) factorul de skin, pentru a se ţine seama de o eventuală modificare a permeabilităţii în jurul găurii de sondă, formula debitului devine

( ) .

21ln

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−μ

−π=

Srrb

pphkQ

s

ct

sm (4.33)

4.4. Mişcarea tranzitorie generată de o sondă cu debit constant într-un zăcământ de întindere mare Mişcarea radial plană tranzitorie apare ca urmare a creării unei perturbaţii de presiune în zăcământ, prin modificarea debitului sondei. În cadrul cercetării hidrodinamice, modificarea debitului este provocată deliberat, pentru a produce variaţia presiunii sondei pe o durată relativ mică, în care această variaţie să nu fie afectată de prezenţa frontierei exterioare a zăcământului. Această mişcare este descrisă de ecuaţia (4.7), asociată cu următoarele condiţii iniţială şi la limite

p = pi la t = 0 şi 0 ≤ r ≤ ∞ , p = pi la r = ∞ şi 0 ≤ t ≤ ∞ , (4.34)

.2

lim0 hk

bQrpr t

r πμ

=∂∂

→



Folosind transformarea lui BOLTZMANN scrisă sub forma

,44

22

tkrm

taru μβ

== (4.35)

din care rezultă

,4

,22 2

2

tu

tkrm

tu

ru

tkrm

ru

−=μβ

−=∂∂

=μβ

=∂∂ (4.36)

ecuaţia (4.7) devine

tu

up

km

ru

ru

upr

ur ∂∂μβ

=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

dd

dd

dd1 (4.37)

şi, după efectuarea simplificărilor, se reduce la

.dd–

dd

dd

upu

upu

u=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (4.38)

Notând p' = dp/du şi separând variabilele, ecuaţia (4.38) ia forma

uu

upp d1–''d += (4.39)

şi are soluţia

,e' uuCp −= (4.40)

care, în baza celei de a treia condiţii (4.34), particularizată astfel

,2

2

dd2lim

ddlimlim

000

hkbQC

upu

ru

upr

rpr

t

rrr

π==

==∂∂

=∂∂

→→→

duce, după separarea variabilelor şi integrare, la ecuaţia

,d4

d ∫∫∞

−

πμ

=x u

tp

p

uu

ehk

bQpi

(4.41)

unde ( )tkrmx 42μβ= , iar limitele de integrare din membrul drept se obţin din a doua condiţie la limită (4.34). Ţinând seama că integrala din membrul drept al ecuaţiei (4.41) este funcţia integrală exponenţială, definită astfel

( ) ∫∞ −

=x

u

i uu

exE d (4.42)

şi având graficul din figura 4.3, relaţia (4.41) ia forma

( ) ( ) ,4

, xEhk

bQptrp it

i πμ

−= (4.43)

care, pentru r = rs, duce la formula

( ) ,4 si

tis xE

hkbQpp

πμ

−= (4.44)

ce exprimă legea de variaţie a presiunii în sondă în perioada mişcării tranzitorii. Pentru xs < 0,01, adică după scurgerea timpului de stabilizare

,04,0

2

krmt s

sμβ

=

se poate face aproximaţia ( ) ( ) .ln ssi xxE γ−= (4.45)

Deoarece ( )tkrmx ss 42μβ= este mai mare ca 0,01 pentru valori mici ale timpului t (de ordinul secundelor), relaţia (4.44) poate fi exprimată, prin introducerea factorului de skin S (pentru a se ţine seama de o eventuală modificare a permeabilităţii în jurul sondei) şi a aproximaţiei (4.45), astfel

,4ln21

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπμ

−= Sthk

bQpp tis (4.46)

unde

Figura 4.3 Graficul funcţiei integrale exponenţiale pentru valori ale argumentului

cuprinse între 0,001 şi 1,5



( ) ,4ln4ln4ln1lnln 22 γ=

γ=

μβγ=

γ=γ−

tr

tarm

tkx

xsss

s

iar t este timpul adimensional, definit de a doua relaţie (4.47). Dacă, după ce scăderea de presiune se face simţită la frontiera exterioară a zonei aferente sondei, mişcarea devine (din tranzitorie) semistaţionară, formula presiunii dinamice de fund a sondei este (4.27). Introducând variabilele adimensionale

,, 2ss rm

tktrrr

μβ== (4.47)

( ) ( )[ ] ,,2, trppbQhktrp it

−μπ

= (4.48)


tp

rpr

rr ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂1 (4.49)

şi are, pentru r = 1 adică la r = rs, soluţia

( ) ( ) ( ) ,2,1 sit

ppbQhktptp −

μπ

== (4.50)

care, prin includerea factorului de skin S, duce la formula

( )[ ] ,2

Stphk

bQpp tis +

πμ

−= (4.51)

din a cărei identificare cu relaţiile (4.46) şi (4.27) se obţin expresiile

( )γ

=ttp 4ln

21 (4.52)

pentru mişcarea tranzitorie, respectiv

( ) AsA

trC

Atp π+γ

= 24ln21

2 (4.53)

pentru mişcarea semistaţionară. Dacă debitul sondei variază în trepte, prin aplicarea teoremei superpoziţiei se obţine, pe baza formulei (4.51), relaţia

( ) ,2 1

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−Δ

πμ

−= ∑=

− SQttpQhk

bpp n

n

jjnj

tis (4.54)

unde ΔQj = Qj – Qj–1, Q0 = 0, 0t = 0, iar n este numărul treptelor de debit.

4.5. Cercetarea hidrodinamică a sondei extractive de ţiţei 4.5.1 Cazul sondei cercetate prin închidere Cercetarea hidrodinamică a unei sonde constă din înregistrarea evoluţiei în timp a presiunii de adâncime a sondei după modificarea debitului, folosind în acest scop un manometru înregistrator, fixat la adâncimea medie a intervalului perforat. Cercetarea hidrodinamică prin închidere include o primă etapă, în care mişcarea ţiţeiului spre sondă este tranzitorie, urmată de etapa mişcării semistaţionare. După închiderea sondei, care a produs la debitul constant Q pe durata tp (de la punerea ei în producţie), presiunea ps va creşte conform relaţiei (4.54), particularizată pentru Q0 = 0, Q1 = Q, Q2 = 0, t0 = 0, t1 = tp, t2 = tp + t sub forma

( ) ( ) ( ) ( )[

] ( ) ( )[ ]tpttphk

bQpS

tttpQttpQhk

bpp

pt

i

pppt

is

−+πμ

−=⋅+

+−+−+−+−πμ

−=

20

0002

(4.55) I. Etapa mişcării tranzitorii. În primele ore sau zeci de ore de la închidere (în funcţie de întinderea şi de permeabilitatea zonei aferente sondei), mişcarea este tranzitorie, funcţia ( )tp are expresia (4.52), deci ecuaţia (4.55) devine

,ln4 t

tthk

bQpp ptis

+

πμ

−= (4.56)

Figura 4.4 Graficele debitului Figura 4.5 Graficul restabilirii şi presiunii sondei extractive de presiunii sondei extractive de ţiţei cercetate prin închidere de ţiţei după închiderea acesteia



unde t este durata curentă de cercetare (figura 4.4), iar tp este timpul echivalent de producţie, dat de relaţia

Figura 4.6 Graficele funcţiei ( )pAtf în cazul

sondei situate în centrul suprafeţei productive de formă regulată


sondei situate într-un pătrat Figura 4.8 Graficele funcţiei ( )pAtf în cazul

sondei situate într-un dreptunghi având raportul laturilor 2/1




sondei situate într-un dreptunghi având raportul laturilor 4/1


sondei situate în centrul unui pătrat sau în centrele unor dreptunghiuri cu diferite raporturi dimensionale

tp = Np/Q , (4.57) în care Np reprezintă producţia cumulativă de ţiţei a sondei. Potrivit relaţiei (4.56), graficul presiunii ps în funcţie de –ln[(tp + t)/t] este o dreaptă, din a cărei pantă

,4 hk

bQi tπμ

= (4.58)

se poate calcula permeabilitatea originală a zonei aferente sondei. În realitate, graficul de restabilire a presiunii, obţinut din valorile presiunii măsurate cu un manometru diferenţial de adâncime (figura 4.5), prezintă: curba AB (care reflectă efectele de sondă, generate de imperfecţiunea hidrodinamică, prezenţa zonei de permeabilitate modificată (efect skin) şi neînchiderea sondei la talpă), dreapta BC descrisă de ecuaţia (4.56) şi curba CD (corespunzătoare trecerii la mişcarea semistaţionară, determinată de faptul că zona aferentă sondei are o întindere finită). Relaţia (4.54) asociată cu formula (4.52) se reduce, pentru n = l, la expresia

,24

ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ−= S

tipp p

isi (4.59)

în care psi este presiunea în sondă în momentul închiderii acesteia (la t = 0). Se elimină presiunea iniţială pi între ecuaţiile (4.55) scrisă pentru t = 1 oră şi (4.59), iar din relaţia obţinută se explicitează factorul de skin astfel

,4lnln21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβγ−

+−

−=

sp

psis

rmtk

ttt

ipp

S (4.60)

unde psi este presiunea de adâncime a sondei în momentul închiderii ei, iar ps1 – presiunea în sondă, citită, pentru t = 1 oră, pe dreapta BC extrapolată.



Pentru determinarea presiunii iniţiale pi, se extrapolează dreapta BC până la intersecţia ei (în punctul D*) cu verticala de abscisă zero (corespunzătoare închiderii sondei pe o durată infinită, t = ∞), se citeşte ordonata *

ip a punctului D* şi se calculează presiunea medie pm la timpul tp cu ajutorul relaţiei ( ) ,*

pAim tfipp −= (4.61) unde

,Am

tkt p

pA μβ= (4.62)

este timpul adimensional în raport cu aria A corespunzător timpului echivalent de producţie tp, iar funcţia f( pAt ) este dată de graficele lui MATTHEWS, BRONS şi HAZEBROEK, prezentate în figurile 4.6…4.10 pentru diferite forme ale zăcământului şi anumite poziţii ale sondei. În final, presiunea iniţială pi rezultă din relaţia (4.24), scrisă sub forma

.hAm

tbQpp pt

mi β+= (4.63)

II. Etapa mişcării semistaţionare. După scurgerea timpului de stabilizare, evoluţia presiunii de fund a sondei este descrisă de ecuaţia (4.27) din care se constată că graficul ps(t) este o dreaptă cu panta

,221 hAm

bQAm

khk

bQi ttβ

=μβ

ππμ

= (4.64)

din care se pot calcula aria A a zonei aferente sondei sau volumul de pori Vp = m A h. Scriind ecuaţia (4.27) pentru t = 0, când ps ar fi avut valoarea '

ip dacă mişcarea ar fi fost semistaţionară, rezultă formula

,24ln 2'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ−= S

rCAipp

sAii (4.65)

unde |i| este panta graficului ps[–ln(tp + t)/t] exprimată prin relaţia (4.58). Presiunea ipotetică 'ip se citeşte din graficul

ps(t), extrapolând porţiunea liniară a acestuia până la t = 0. Ecuaţia (4.65) permite aflarea valorii factorului de skin sau, dacă aceasta a fost determinată în etapa mişcării tranzitorii, se poate obţine factorul de formă DIETZ din expresia

.24lnln'

2 Si

pprAC ii

sA +

−−

γ= (4.66)

Odată găsită valoarea lui CA, se caută valoarea CA cea mai apropiată din figura 4.2 şi se poate estima forma sistemului sondă – suprafaţă de drenaj.

Pentru obţinerea de informaţii suplimentare asupra zăcământului, în anul 1983 a fost preconizată folosirea diagramei derivatei presiunii. Cele mai utile forme ale derivatei presiunii au fost preconizate de BOURDET şi colab., în anul 1989. Graficul derivatei presiunii prezintă simultan, la scară dublu logaritmică, derivata presiunii ln(t dp/dt) în funcţie de ln Δt, alături de ln Δp în funcţie de ln Δt, ca în figura 4.11. Avantajul folosirii graficului derivatei căderii de presiune constă în faptul că el prezintă, pe o singură diagramă, mai multe caracteristici care, altfel, ar necesita reprezentări grafice suplimentare. În cazul cercetării sondei prin modificarea debitului în trepte, graficul de restabilire a presiunii poate fi trasat cu valorile lui ps ca funcţie de

( )∑=

−−Δn

jjn

j ttpQQ

11

1, obţinându-se, conform relaţiei (4.54), o dreaptă de pantă |i|

definită de formula (4.58). 4.5.2. Cazul sondei cercetate la deschidere

Deoarece, în cadrul cercetării hidrodinamice a sondei la deschidere (adică la punerea ei în producţie), procesul de variaţie a presiunii sondei este tranzitoriu în prima perioadă de timp, pentru ca apoi să devină semistaţionar, datele de presiune ps(t) trebuie să fie reprezentate grafic în două variante şi anume ca ps în funcţie de ln t (figura 4.12), respectiv ca ps în funcţie de t (figura 4.13). Conform ecuaţiei (4.46), porţiunea liniară AB (corespunzătoare mişcării tranzitorii) din figura 4.12 are panta |i| definită de relaţia (4.58), din care se obţine permeabilitatea originală sub forma

.4 hi

bQk tπμ

= (4.67)

În continuare, din relaţia (4.46), particularizată pentru presiunea ps1 corespunzătoare timpului de cercetare t = 1 oră, rezultă factorul de skin astfel

Figura 4.11 Graficele ln Δp funcţie de ln Δt şi ln(t dp/dt) funcţie de ln Δt

corespunzătoare restabilirii presiunii sondei de ţiţei după închidere



,4ln21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβγ−

−=

s

si

rmtk

ippS (4.68)

Pe de altă parte, panta porţiunii liniare CD (corespunzătoare mişcării semistaţionare) din figura 4.13 are expresia (4.64), din care se poate estima volumul porilor zonei de drenaj a sondei, sub forma

,1 β

==i

bQhAmV t

p (4.69)

care, pentru m şi h cunoscute, permite calculul ariei zonei de drenaj, adică

.1 him

bQA t

β= (4.70)

Ordonata 'ip a punctului de intersecţie a dreptei CD cu axa ordonatelor

(corespunzătoare lui t = 0, figura 4.13), introdusă în relaţia (4.27), conduce la expresia (4.65), din care se poate calcula, sub forma (4.66), factorului de formă DIETZ CA, ce defineşte, pe baza tabelului din figura 4.2, configuraţia geometrică a sistemului sondă – suprafaţă de drenaj.

4.6. Influxul natural al apei în zăcăminte de hidrocarburi 4.6.1. Consideraţii generale Unele zăcăminte de hidrocarburi sunt mărginite, parţial sau total, de roci purtătoare de apă numite acvifere (de la cuvintele latineşti aqua – apă şi ferre – a purta). Un acvifer poate fi, la rândul lui, mărginit integral de o rocă impermeabilă, caz în care sistemul zăcământ – acvifer formează împreună o unitate închisă (numită şi volumetrică). Pe de altă parte, unele acvifere pot aflora, fiind alimentate de apele de suprafaţă sau formând fântâni arteziene. Un acvifer adiacent zăcământului reacţionează, ca răspuns la căderea de presiune din zăcământul de hidrocarburi supus exploatării, tinzând să compenseze sau să întârzie declinul presiunii, prin influxul de apă provocat de: expansiunea apei, expansiunea altor acumulări de hidrocarburi cunoscute sau nedescoperite (şi conectate cu acelaşi acvifer), compresibilitatea rocii acviferului etc. Acviferul asociat unui zăcământ poate fi considerat ca o unitate hidrodinamică independentă, care furnizează apă zăcământului, ca răspuns la variaţia presiunii pe frontiera comună apă – ţiţei sau apă – gaze. Deşi presiunea pe frontiera zăcământului este mai mare decât presiunea medie de zăcământ, de regulă între aceste două mărimi nu se face distincţie. În general, în cadrul destinderii elastice a apei din acviferul adiacent unui zăcământ de hidrocarburi, prezintă interes practic influxul cumulativ We şi debitul Q de apă pătrunsă în zăcământ în timpul exploatării, la o presiune dată. Pentru estimarea efectului interferenţei dintre zăcămintele de hidrocarburi mărginite de acelaşi acvifer prezintă importanţă practică, de asemenea, problema stabilirii legii de variaţie a presiunii pe frontierele zăcămintelor exploatate la anumite debite. În cazul acviferelor de dimensiuni mari în raport cu dimensiunile zăcământului, soluţiile acestor două probleme sunt soluţiile aceleiaşi ecuaţii diferenţiale, obţinute pentru condiţii la limite diferite.

4.6.2. Determinarea variaţiei influxului cumulativ de apă într-un zăcământ de hidrocarburi Zăcământul, de arie A, se asimilează cu o macrosondă de rază rd = πA , în care pătrunde apă la un debit constant. Atâta vreme cât scăderea de presiune din zăcământ nu se face simţită la frontiera exterioară, de rază re (figura 4.14), a acviferului, acesta se comportă ca un acvifer infinit. Mişcarea apei este radial plană şi ei îi corespunde ecuaţia (4.7) care, prin folosirea variabilelor adimensionale

;, 2dtod rm

tktrrr

μβ== (4.71)

( ) ( ) ,,,C

trpptrp i −= (4.72)

devine

,1tp

rpr

rr ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ (4.73)

unde C = pi – pdi, pi este presiunea iniţială, iar pdi – presiunea pe frontiera macrosondei în momentul punerii în exploatare a zăcământului. Ecuaţiei (4.73) îi sunt asociate condiţiile iniţială şi la limite

.1constant

,0lim,0,0la

==

===

∞→

rlaQ

ppt

r (4.74)

Figura 4.12 Graficul funcţiei

ps(ln t) obţinut în cadrul cercetării sondei extractive de ţiţei la

deschidere

Figura 4.13 Graficul funcţiei

ps(t) obţinut în cadrul cercetării sondei extractive de ţiţei la

deschidere

Figura 4.14 Sistemul radial

plan zăcământ-acvifer



Cantitatea de apă pătrunsă, în mod natural, într-un zăcământ de hidrocarburi mărginit de un acvifer care are dimensiunile de acelaşi ordin de mărime cu cele ale zăcământului, iar presiunea de zăcământ a scăzut în timpul exploatării de la pi la p, se exprimă astfel We = βto Wi(pi – p) , (4.75) unde βto = βa + βr este coeficientul de com-presibilitate totală a acviferului, βa – com-presibilitatea apei, βr – compresibilitatea porilor (numită şi compresibilitate efectivă a rocii poroase), Wi – volumul de apă existent iniţial în acvifer, pi – presiunea iniţială a zăcământului, p – presiunea medie actuală a zăcământului. Volumul de apă existent într-un acvifer a cărui configuraţie geometrică corespunde figurii 4.14, este dat de relaţia ( ) ,22 mhrrW dei −π= (4.76) care se completează cu factorul f = α°/360

în cazul când sistemul zăcământ – acvifer are forma unui sector de cilindru, cu unghiul la vârf α. Se constată cu uşurinţă că, în condiţiile configuraţiei din figura 4.14, f = 1. Această abordare corespunde propagării instantanee a căderii de presiune în întregul sistem zăcământ – acvifer, în condiţiile unui acvifer de dimensiuni relativ reduse.

În cazul acviferului de dimensiuni foarte mari în comparaţie cu dimensiunile zăcământului, căderea de presiune Δp de la frontiera zăcământului nu se poate transmite instantaneu şi, ca urmare, pentru determinarea influxului cumulativ de apă este necesar să se ţină seama de faptul că propagarea scăderii presiunii este un proces nestaţionar. Pentru rezolvarea problemei în acest caz se cunosc patru procedee, dintre care se prezintă în continuare metoda VAN EVERDINGEN – HURST. Această metodă se bazează pe soluţionarea ecuaţiei (4.73) asociată cu primele două condiţii (4.74) şi cu condiţia căderii de presiune constante la frontiera macrosondei, exprimată sub forma

( ) ( ) 1,1, 1 =−

−==

dii

ir pp

tpptrp .

Conform legii lui DARCY asociată cu relaţiile (4.71) şi (4.72), debitul macrosondei are expresia

,221=∂

∂μ

Δπ−=

∂∂

∂∂

μπ=

rd r

pphkrr

rpkhrQ (4.77)

unde C = Δp = constant este căderea de presiune la peretele macrosondei. Volumul cumulativ de apă intrată din acviferul de întindere infinită în zăcământ, prin frontiera iniţială a macrosondei, se exprimă sub forma

,ddd2d

0 10∫∫

=∂∂

μΔπ

==t

r

t

e ttt

rpphktQW

care, pe baza celei de a doua relaţii (4.71), devine ( ) ,2 2 tWprhmW dtoe Δβπ= (4.78) unde funcţia adimensională a influxului cumulativ de apă are expresia

( ) .d0 1∫

=∂∂

−=t

rt

rptW (4.79)

Figura 4.15 Graficele funcţiei influxului de apă radial plan (şi unidimensional finit) pentru

timpul adimensional 0,01 ≤ t ≤ 10 şi pentru valorile razei adimensionale egale cu 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 6 şi ∞

Figura 4.16 Graficele funcţiei influxului de apă radial plan pentru timpul adimensional 10 ≤ t ≤ 104 şi pentru valorile razei adimensionale egale cu 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 6; 7; 8; 9;

10; 15 şi ∞



Dacă acviferul are dimensiuni mari dar finite, în ecuaţia (4.78) se înlocuieşte ( )tW cu funcţia influxului de apă radial plan ( )trW e , , ale cărei valori pot fi citite din figurile 4.15, 4.16, pentru diferite valori ale timpului adimensional t şi razei adimensionale er = re/rd, inclusiv pentru er = ∞. În aceste condiţii, relaţia (4.78) poate fi scrisă, pentru configuraţia radial plană a acviferului finit sau infinit, sub forma ( ) ,,trWpUW ee Δ= (4.80) unde ,2 2

dto rhmfU βπ= (4.81) iar factorul f a fost introdus pentru ca relaţia (4.80) să fie aplicabilă şi pentru sistemul zăcământ – acvifer de forma unui sector cilindric. Formula (4.80) poate fi folosită şi în cazul sistemului zăcământ – acvifer liniar finit (figura 4.17), cu precizarea că, în acest caz,

,, 2lmtktmhlbU

to μβ== (4.82)

iar ( )tW se citeşte pe curba corespunzătoare acviferului unidimensional finit din figura 4.15. Dacă presiunea medie a zăcământului variază continuu, curba presiunii se aproximează cu o funcţie în trepte (figura 4.18), apoi se aplică principiul superpoziţiei (suprapunerii efectelor) şi se obţine formula

( ) ,,1

0∑

−

=

−Δ=n

jjeje ttrWpUW (4.83)

unde n este numărul treptelor de debit, Δpj = pj – pj–1, cu Δp0 = pi – p1 şi t0 = 0. Prin impunerea curbei de variaţie a presiunii, cu ajutorul relaţiei (4.83) se poate prevedea variaţia volumului cumulativ de apă pătrunsă în zăcământ, ca măsură a producţiei cumulative a zăcământului respectiv. Necunoaşterea exactă a dimensiunilor, porozităţii şi permeabilităţii acviferului impun utilizarea procedeului de încercare – eroare pentru reproducerea istoricului exploatării, pe baza datelor de producţie înregistrate până la data respectivă, în vederea realizării unui model matematic care să asigure prevederea comportării viitoare a zăcământului.

4.7. Probleme 4.7.1. Probleme rezolvate 4.1. În timpul forării unei sonde s-a produs blocarea parţială a porilor rocii colectoare, pe o zonă de rază r0 = 1,3 m, în care permeabilitatea s-a redus de 100 ori. După punerea în producţie, sonda a fost acidizată, permeabilitatea zonei din vecinătatea sondei cu raza *

0r = 3,1 m crescând de 10 ori faţă de cea originală. Cunoscând: raza zonei de drenaj a sondei rc = 200 m, raza sondei rs = 10 cm şi ştiind că mişcarea ţiţeiului spre sondă este staţionară în zona de rază rs ≤ r ≤ r0 şi semistaţionară în zona de rază r0 < r ≤ rc, se cere să se calculeze următoarele: a) factorul de skin în cazul blocării parţiale a porilor; b) factorul de skin după acidizarea sondei; c) raportul indicilor de productivitate a sondei stimulate şi nestimulate. Rezolvare Ecuaţiile debitului în zona cu permeabilitatea modificată k1 şi în zona neafectată (cu permeabilitatea k2) sunt, conform relaţiilor (3.17), respectiv (4.20), următoarele

( ) ( ) ,

21ln

2

ln

2

0

02

0

01

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−μ

−π=

μ

−π=

rrb

pphk

rrb

pphkQc

t

c

st

s

deci presiunile diferenţiale în cele două zone au expresiile

.21ln

2,ln

2 020

0

10 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πμ

=−πμ

=−rr

hkbQ

pprr

hkbQ

pp ctc

s

ts

Prin însumarea celor două ecuaţii anterioare rezultă

,21ln

221lnlnlnln

221lnln

2 20

000

2

2

20

0

2

2

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

πμ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

πμ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

πμ

=− Srr

hkbQ

rr

rr

rr

rr

kk

hkbQ

rr

rr

kk

hkbQpp

s

ctc

sss

tc

s

tsc

unde factorul de skin are expresia (3.88), deci debitul poate fi scris sub forma

Figura 4.17 Sistemul zăcământ-acvifer

liniar finit

Figura 4.18 Aproximarea graficului presiunii medii a unui zăcământ de ţiţei printr-o variaţie

în trepte



,

21ln

2 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+μ

π=

Srrb

hkQ

s

ct

(4.84)

care, particularizată pentru debitele Qn, Qs ale sondei înainte de stimulare şi după aceasta, diferă numai prin valorile factorului de skin Sn, respectiv Ss. Ştiind că indicele de productivitate este definit prin relaţia (3.18), se constată că raportul indicilor de productivitate poate fi determinat din ecuaţia

.

21ln

21ln

−+

−+==

ss

c

ns

c

pn

pssn

Srr

Srr

II

R (4.85)

a), b) Din ecuaţia (3.88) în care se înlocuiesc datele problemei se află valorile

( ) ,9300,2531,03,1ln1100 =−=nS ( ) .0906,3

1,01,3ln11,0 −=−=sS

c) Se aplică relaţia (4.85) şi rezultă ( )( ) .0899,65

5,00906,31,0200ln5,093,2531,0200ln

=−−−+

=snR

4.2. La punerea în producţie a unei sonde extractive de ţiţei, cu debitul constant Q = 238,5 m3/zi, s-a înregistrat presiunea pe durata totală de cercetare tt = 100 ore, obţinându-se valorile din tabelul 4.1. Se mai cunosc: raza sondei rs = 0,1 m, grosimea stratului h = 6,1 m, porozitatea m = 0,18, vâscozitatea dinamică, compresibilitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1 cP, β = 2,17·10–9

Pa–1, respectiv bt = 1,2. Se cere să se calculeze: a) permeabilitatea originală; b) factorul de skin. Rezolvare

Parametrii ceruţi pot fi calculaţi din prima parte a cercetării hidrodinamice, când mişcarea este tranzitorie, iar ps variază în timp conform ecuaţiei (4.46), din care se constată că graficul ps(ln t) este o dreaptă cu panta exprimată de relaţia (4.58), din care se poate determina permeabilitatea. În acest sens se adaugă tabelului 4.1 o a treia coloană (v. tabelul 4.2), în care se înscriu valorile funcţiei ln t, se trasează graficul din figura 4.19, se alege un interval pentru care graficul este liniar şi se calculează panta dreptei. De exemplu, pentru intervalul t = (1…3) ore avem

( ) ,Pa/ciclu108196,100986,1

101121,209122,19 56

⋅−=−

⋅−=i

.mD5,237m10375,2

1,6108196,14400.862,11015,238

4213

5

3

=⋅=

=⋅⋅⋅π⋅⋅

⋅⋅⋅=

πμ

=

−

−

hibQk t

b) Factorul de skin are expresia (4.68), unde oră11 == tss pp se

preia din tabelul 4.1 dacă punctul corespunzător face parte din porţiunea liniară a graficului din figura 4.19, sau se citeşte pe ordonata graficului respectiv, extrapolând porţiunea sa liniară, în caz contrar. În problema de faţă, pentru t = 1 oră s-a reprezentat primul punct al graficului, care face parte din porţiunea liniară, deci se citeşte, din tabelul 4.1, valoarea ps1 = 20,1121 MPa şi se obţine

( ) .4930,41,01011017,218,0781,1

600.310375,24ln108196,1

101121,201318,2421

239

13

5

6=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅

⋅−= −−

−

S

4.3. Un sistem zăcământ–acvifer, a cărui formă este prezentată în figura 4.20, este caracterizat prin: grosimea h = 15 m, razele rd = 1.500 m, re = 4.500 m, unghiul α = 70°, porozitatea m = 0,25, permeabilitatea k = 50 mD, vâscozitatea dinamică a apei μ = 0,9 mPa·s, compresibilităţile apei şi porilor rocii βa = 4,35·10–10 Pa–1, respectiv βr = 8,7·10–10 Pa–1. Se cere să se calculeze volumul cumulativ We al apei de influx, în următoarele variante: a) atunci când căderea de presiune Δp = 7 bar de la contactul iniţial apă–ţiţei se propagă după legile lichidului

compresibil, pentru timpul t = 3 ani;

Tabelul 4.1

t, ore ps, MPa t, ore ps, MPa 0 24,1318 20 19,0434 1 20,1121 30 18,6366 2 19,9949 40 18,2712 3 19,9122 50 17,9058 4 19,8501 60 17,5473 5 19,7812 70 17,2025

7,5 19,6364 80 16,8440 10 19,5123 90 16,4924 15 19,2641 100 16,1407

Figura 4.19

Tabelul 4.2 t, ore ps, MPa ln t

0 24,1318 – 1 20,1121 0,0000 2 19,9949 0,6931 3 19,9122 1,0986 4 19,8501 1,3863 5 19,7812 1,6094

7,5 19,6364 2,0149 10 19,5123 2,3026 15 19,2641 2,7081 20 19,0434 2,9957 30 18,6366 3,4012 40 18,2712 3,6889 50 17,9058 3,9120 60 17,5473 4,0943 70 17,2025 4,2485 80 16,8440 4,3820 90 16,4924 4,4998

100 16,1407 4,6052



b) atunci când aceeaşi cădere de presiune se propagă instantaneu în întregul acvifer. Rezolvare a) Volumul cumulativ de apă pătrunsă din acvifer în zăcământ prin frontiera iniţială dintre acestea este dat de ecuaţiile (4.80), (4.81), unde

.,,,360 2

dtoe

derato

rmtkt

rrrf

μβ==β+β=β

α=

o

(4.86)

Se calculează mai întâi

( )

,03,10500.1109,01005,1325,0

400.8625,36531070,3500.1500.4

,/Pam103452,1500.115107,835,425,0360702

2310

15

32210

=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅===

⋅=⋅⋅⋅+⋅π⋅=

−−

−

−−

tr

U

e

se citeşte din figura 4.16 valoarea ( )trW e , = 4, iar în final se găseşte

.m666.374107103452,1 352 =⋅⋅⋅⋅= −eW

Trebuie făcută observaţia că valoarea ( )trW e , = 4 este cea maximă pentru er = 3, deci volumul cumulativ de apă We va rămâne acelaşi pentru orice valoare a timpului mai mare de 3 ani. b) Considerând că perturbaţia de presiune se propagă instantaneu în acvifer, se pot folosi ecuaţiile (4.75), (4.76) asociate cu relaţiile (4.86), din care rezultă

( ) .m666.371071005,133607025,015500.1500.4 351022 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−π= −

eW

Se constată că rezultatul este acelaşi cu cel găsit la punctul a). Metoda folosită la punctul b) permite doar aflarea volumului cumulativ final al apei de influx, fără a se cunoaşte timpul de producţie corespunzător sau evoluţia în timp a volumului de apă care invadează zăcământul. 4.7.2. Probleme propuse 4.4. O sondă nouă produce ţiţei, la debitul constant Q = 63,6 m3/zi. Cunoscând: raza sondei rs = 10 cm, grosimea stratului h = 9,5 m, porozitatea m = 0,3, permeabilitatea k = 50 mD, vâscozitatea dinamică, compresibilitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 3 cP, β = 1,45·10–9 Pa–1, respectiv bt = 1,25, se cere să se calculeze următoarele: a) timpul după care este valabilă aproximaţia: Ei(xs) ≅ – ln(γ xs); b) căderea de presiune în sondă, după timpul de producţie t = 3 ore la debitul constant Q, pentru S = 0; c) durata totală ts a mişcării tranzitorii, ştiind că sonda este situată în centrul unui bloc de zăcământ de formă cilindrică, cu raza exterioară rc = 200 m. 4.5. O sondă extractivă de ţiţei a fost cercetată la deschidere, măsurându-se presiunea pe durata tt = 100 ore, după punerea ei în producţie la debitul constant Q = 238,5 m3/zi. Datele obţinute sunt listate în tabelul 4.1. Cunoscând: raza sondei rs = 0,1 m, grosimea stratului h = 6,1 m, porozitatea m = 0,18, permeabilitatea k = 240 mD, factorul de skin S = 4,49, vâscozitatea dinamică, compresibilitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1 cP, β = 2,17·10–9 Pa–1, respectiv bt = 1,2, se cere să se calculeze următoarele: a) aria zonei de drenaj a sondei; b) factorul de formă DIETZ, CA; c) geometria sistemului zăcământ-sondă, cu ajutorul tabelului pus la dispoziţie la cerere. 4.6. Presiunea dinamică de adâncime a unei sonde extractive de ţiţei, pusă în producţie şi exploatată la debitul constant Q = 238,5 m3/zi, a fost înregistrată în primele 100 de ore de exploatare. Cu datele de presiune obţinute în perioada mişcării semistaţionare, a fost trasat graficul ps(t), care este o linie dreaptă de pantă dp/dt = –9,8 Pa/s, care întâlneşte axa ordonatelor în punctul *

ip = 19,6 MPa. Se mai cunosc: raza sondei rs = 0,1 m, grosimea stratului h = 6,1 m, porozitatea m = 0,18, permeabilitatea k = 255 mD, presiunea iniţială pi = 24,1318 MPa, factorul de skin S = 4,9, vâscozitatea dinamică, compresibilitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1 mPa·s, β = 2,17·10–9 Pa–1, respectiv bt = 1,2. Se cere să se calculeze următoarele: a) aria A a zonei aferente sondei; b) factorul de formă CA; c) geometria sistemului zăcământ-sondă, cu ajutorul tabelului pus la dispoziţie la cerere. 4.7. O sondă, care a produs volumul cumulativ de ţiţei Np = 11829,6 m3 la debitul constant Q = 63,6 m3/zi, a fost cercetată prin închidere, obţinându-se datele din tabelul 4.3. Se cunosc: raza sondei rs = 0,1 m, grosimea stratului h = 6,1 m,

Figura 4.20 Sistemul zăcământ–acvifer

Tabelul 4.3

t, ore ps, MPa t, ore ps, MPa 0 13,0243 6,0 19,2365

0,5 18,4987 7,5 19,2709 1,0 18,7056 10 19,3330 1,5 18,9124 12 19,3675 2,0 18,9745 14 19,3951 2,5 19,0296 16 19,4226 3,0 19,0710 20 19,4640 3,5 19,1055 25 19,5329 4,0 19,1466 30 19,5812 4,5 19,1606 36 19,6088 5,0 19,1882



aria zonei de drenaj A = 32,375 ha, porozitatea m = 0,2, vâscozitatea dinamică, compresibilitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 1 mPa·s, β = 2,9·10–9 Pa–1, respectiv bt = 1,23. Se cere să se calculeze următoarele:

a) permeabilitatea originală; b) factorul de skin; c) presiunea iniţială a zăcământului, pentru geometria sistemului zăcământ-sondă redată în figura 4.21.

4.8. O sondă, care a produs volumul cumulativ de ţiţei Np = 11829,6 m3 la debitul constant Q = 63,6 m3/zi, a fost cercetată prin închidere. Graficul funcţiei ps = f{–ln[(tp + t)/t]} este o linie dreaptă de pantă |i| = 0,24 MPa/ciclu, care intersectează axa ordonatelor în punctul *

ip = 20,82 MPa. Se mai cunosc: raza sondei rs = 0,1 m, grosimea stratului h = 6,1 m, aria zonei de drenaj A = 32,4 ha, porozitatea m = 0,2, presiunile psi = 13,0243 MPa, ps1 = 18,8 MPa, vâscozitatea dinamică, compresibilitatea şi factorul de volum al ţiţeiului μ = 2 mPa·s, β = 2,9·10–9 Pa–1, respectiv bt = 1,23. Se cere să se calculeze următoarele: a) factorul de skin S; b) presiunile medie pm şi iniţială pi, admiţându-se că sonda este situată în centrul unui bloc de zăcământ cilindric.

4.8. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. În ce condiţii mişcarea unui lichid compresibil generată de o sondă este tranzitorie, semistaţionară, respectiv

staţionară? 2. Ce este presiunea medie de zăcământ ponderată cu volumul zonei aferente fiecărei sonde productive? 3. Cum poate fi extinsă valabilitatea ecuaţiei (4.22) la diverse forme ale zonei de drenaj şi poziţii ale sondei? 4. Pot fi scrise ecuaţiile presiunii de adâncime a sondei ps corespunzătoare mişcării radial plane semistaţionare,

respectiv celei tranzitorii, într-o formă comună? În caz afirmativ, care este această formă? 5. În ce constă cercetarea hidrodinamică prin închidere a sondei extractive de ţiţei? 6. Ce este un acvifer? 7. Care sunt mărimile a căror determinare prezintă interes practic în contextul destinderii apei din acviferul

asociat unui zăcământ de hidrocarburi? 8. Cum se poate estima volumul cumulativ de apă pătrunsă dintr-un acvifer de dimensiuni relativ mici în

zăcământul adiacent? B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Variaţiile în timp ale debitului şi presiunii sondei extractive de ţiţei cercetate prin închidere. 2. Restabilirea presiunii sondei extractive de ţiţei după închiderea acesteia. 3. Sistemul radial plan zăcământ – acvifer. 4. Aproximarea graficului presiunii medii a unui zăcământ de ţiţei printr-o variaţie în trepte. C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Mişcarea radial plană staţionară a unui lichid compresibil. 2. Cercetarea hidrodinamică prin închidere a sondei extractive de ţiţei, în etapa mişcării semistaţionare. 3. Metoda VAN EVERDINGEN–HURST de determinare a influxului cumulativ de apă într-un zăcământ de hidrocarburi. D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Timp adimensional – timp adimensional în raport cu aria zonei aferente sondei. 2. Condiţii la limite – condiţii iniţiale. 3. Cercetare hidrodinamică la deschidere – cercetare hidrodinamică prin închidere.

Figura 4.21


Capi to lu l 5

MIŞCĂRI GENERATE DE SONDE ÎN ZĂCĂMINTE DE GAZE Dintre mişcările generate de sonde în zăcămintele de hidrocarburi gazoase prezintă interes, în special, cele unidimensionale şi radial plane. Pentru studiul acestor mişcări poate fi folosit sistemul format din ecuaţia de echilibru dinamic al forţelor (a filtrării), ecuaţia microscopică a continuităţii şi ecuaţia de stare, în asociere cu folosirea funcţiei pseudopresiune.

5.1. Ecuaţia cu derivate parţiale a pseudopresiunii Dacă se admite că mişcarea gazelor în medii poroase este guvernată de legea lui DARCY, ecuaţiile mişcării sunt constituite din ecuaţia (2.18) a lui DARCY, ecuaţia (2.31) a continuităţii şi ecuaţia de stare (2.40) a gazelor reale, transcrise sub forma

( ) .,, TRZpt

mvpkv =ρ∂

ρ∂−=ρ∇∇

μ−=

rr (5.1)

Ţinând seama că, pentru gaze reale, coeficientul de compresibilitate are expresia

,dd1

dd1

dd1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ρ=

ρρ

=−=βZp

pTRppV

V (5.2)

din a treia relaţie (5.1), prin separarea lui ρ şi derivare, se obţine

.dd1

tp

Zp

pTRt ∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂ρ∂ (5.3)

Introducând în a doua relaţie (5.1) prima ecuaţie (5.1), împreună cu expresia (5.3), rezultă ecuaţia neliniară

,tpmpk

∂∂

ρβ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇ρ

μ∇ (5.4)

care este identică cu ecuaţia (4.2) a mişcării lichidelor compresibile în medii poroase. Pentru liniarizarea ecuaţiei (5.4), asociată cu relaţia de stare (2.40), se poate folosi pseudopresiunea sau funcţia lui LEIBENZON, ca versiune a transformării integrale KIRCHHOFF, definită astfel

,d2∫ μ

=p

prZ

ppu (5.5)

unde pr este presiunea de referinţă. Aplicând relaţiei (5.5) operatorul ∇ şi operatorul de derivare în raport cu timpul, se obţin expresiile

,2,2tp

Zp

tup

Zpu

∂∂

μ=

∂∂

∇μ

=∇

care, scrise sub forma

tu

pZ

tpu

pZp

∂∂μ

=∂∂

∇μ

=∇2

,2

(5.6)

şi substituite, împreună cu ρ dat de relaţia (2.40), în ecuaţia (5.4) dau, pentru cazul mediului poros omogen, ecuaţia liniară

,2tu

kmu

∂∂μβ

=∇

sau

,1tu

au

∂∂

=Δ (5.7)

care este de acelaşi tip cu ecuaţia (4.4). În ecuaţia (5.7) a = k/(m β μ) este coeficientul de piezoconductibilitate hidraulică sau de difuzie definit prin relaţia (4.5). Dacă se admite că gazele sunt perfecte (Z = 1) şi că μ este constant, relaţia (5.5), pentru pr = 0, ia forma ,2 μ= pu (5.8) pe baza căreia ecuaţia (5.7) devine

,1 22

tp

ap

∂∂

=Δ (5.9)

identificându-se, pentru P = p2, cu ecuaţia (4.4). Ca urmare, în acest caz sunt valabile soluţiile ecuaţiei (4.4) obţinute în capitolul precedent, dacă p se înlocuieşte cu p2. De asemenea, identitatea tipului ecuaţiilor (5.7) şi (4.4) permite ca soluţiile obţinute pentru presiune în cazul mişcării ţiţeiului compresibil să fie adaptate pentru pseudopresiune în cazul mişcării gazelor reale în medii poroase.

70 5. MIŞCĂRI GENERATE DE SONDE ÎN ZĂCĂMINTE DE GAZE


Dacă p ≤ 13 MPa se poate folosi ecuaţia (4.4) în care s-a înlocuit p cu p2; în intervalul 13 MPa < p ≤ 20 MPa trebuie utilizată ecuaţia (5.7), iar dacă p > 20 MPa gazele se comportă ca lichidele compresibile, deci este valabilă relaţia (4.4). Pentru trecerea de la presiune la pseudopresiune se determină în laborator valorile vâscozităţii dinamice şi factorului de abatere a gazelor din zăcământul studiat la diferite presiuni, adică funcţiile μ(p) şi Z(p), se integrează numeric ecuaţia (5.5) şi se construieşte graficul u(p), a cărui formă este prezentată în figura 5.1. Valorile pseudopresiunii pot fi citite de pe grafic sau pot fi calculate, pentru p ≥ plim, folosind ecuaţia dreptei u = u(p).

5.2. Mişcarea unidimensională staţionară În cazul mişcării unidimensionale staţionare a gazelor reale, ecuaţia (5.7) se reduce la forma

0dd

2

2=

xu

şi are soluţia

,xl

uuuu scs

−+= (5.10)

în care l este distanţa dintre sondă şi frontiera de alimentare, x – distanţa de la sondă la secţiunea oarecare având pseudopresiunea u, us = u(ps) la x = 0, uc = u(pc) la x = l, iar ps, pc reprezintă presiunea dinamică de fund a sondei, respectiv presiunea pe frontiera de alimentare, admise constante. Debitul volumic de gaze în condiţii normale se exprimă sub forma

( )

,2d

d2d

d

0

0

0

0

000 Tlp

uuTkATpZ

Tpxu

pZkA

xpkAMQ sc −

=μ

μ=

ρρ

μ=

ρ= (5.11)

unde M este debitul masic, ρ0 – densitatea gazelor în condiţii normale, A – aria secţiunii transversale prin mediul poros, T – temperatura de zăcământ, iar p0, T0 – parametrii stării normale (p0 = 101,325 kPa, T0 = 273,15 K). Dacă se admite valabilitatea relaţiei (5.8), formulele (5.10) şi (5.11) devin

,22

22 xl

pppp sc

s−

+= (5.12)

( )

TlpppTkA

Q sc

0

220

0 2−

= (5.13)

şi sunt aplicabile în domeniul presiunilor relativ mici, unde vâscozitatea poate fi considerată constantă, iar gazele se comportă potrivit legii gazelor perfecte.

5.3. Mişcări radial plane Ca şi în cazul lichidelor compresibile studiate în capitolul 4, mişcarea gazelor generată de o sondă în condiţii radial plane poate fi staţionară, semistaţionară sau tranzitorie. Pentru mişcarea radial plană a gazelor, ecuaţia (5.7), scrisă în coordonate cilindrice, ia forma

,1tu

km

rur

rr ∂∂μβ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ (5.14)

care este similară cu ecuaţia (4.7). 5.3.1. Mişcarea staţionară În cazul mişcării radial plane staţionare a gazelor, caracterizată prin tu ∂∂ = 0, ecuaţia (5.14) se reduce la forma

0dd

dd1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rur

rr (5.15)

şi are soluţia

,lnln s

s

c

scs r

r

rruuuu −

+= (5.16)

care corespunde condiţiilor la limite us = u(ps) la r = rs şi uc = u(pc) la r = rc. Soluţia (5.16) a fost stabilită ca în §3.2.1. În cazul mişcării gazelor, ecuaţia continuităţii exprimă numai constanţa debitului masic, nu şi a celui volumic, deoarece densitatea gazelor variază mult cu presiunea. Debitul volumic de gaz se raportează la condiţiile normale (p0 = 101,325 kPa, T0 = 273,15 K) sau la condiţii standard caracterizate prin pst = p0 şi Tst = 15 °C, 60 °F sau 20 °C. Conform legii lui DARCY asociată cu ecuaţia (5.5), viteza de filtrare are expresia

ru

pZk

rpkv

dd

2dd μ

μ−=

μ−= (5.17)

Figura 5.1 Graficul funcţiei u(p)



şi, din ecuaţia macroscopică a continuităţii, rezultă debitul volumic de gaz exprimat în condiţii normale

.dd

22

dd2

00000 ρ

ρμμ

π=

ρρ

μπ=

ρρ

=ρ

=ru

pZhkr

rpkhrvAMQ (5.18)

Împărţind ecuaţia de stare (5.1.3) la aceeaşi ecuaţie scrisă în condiţii normale sub forma ρ0 = p0/(R T0) se obţine

TZpTp

0

0

0=

ρρ

iar relaţia (5.18) devine

.dd

0

00 r

uTpThkrQ π

=

Dacă se înlocuieşte în ecuaţia precedentă derivata du/dr conform relaţiei (5.16), se găseşte expresia

( ) .ln0

00

s

csc

rrTp

uuThkQ −π= (5.19)

Pseudopresiunea medie ponderată cu aria zonei aferente sondei se defineşte prin relaţia

∫∫ −==

c

s

r

rscAm rru

rrAu

Au d2d1

22

care, pe baza formulei (5.16), devine

.21ln

lnln2dln

ln

222 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

−−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+−

= ∫s

c

s

csc

s

s

csc

c

r

r ss

csc

ssc

m rr

rruuu

rruuurr

rr

rruuu

rru

c

s

(5.20)

Folosind ecuaţia (5.19) şi incluzând factorului de skin S, relaţia (5.20) capătă forma finală

.21ln

0

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

π+= S

rr

ThkQTpuu

s

csm (5.21)

De fapt, în cazul mişcării radial plane a gazelor, datorită vâscozităţii mici a gazelor în comparaţie cu vâscozitatea ţiţeiului, mişcarea este guvernată, cel puţin în vecinătatea sondei, de legea filtrării neliniare, exprimată de relaţiile (2.24) şi (2.25) scrise sub forma

.dd 2vv

krp

h ρβ+μ

= (5.22)

În aceste condiţii, căderea de presiune în mediul poros se exprimă ca suma căderilor de presiune datorate termenului liniar (corespunzător legii lui DARCY) şi termenului neliniar (proporţional cu pătratul vitezei) din ecuaţia filtrării (5.22), astfel

Δp = Δpl + Δpn , unde, conform continuităţii, v = Q/A = Q/(2π r h), deci

.d2

2

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

ρβ=Δc

s

r

rhn r

hrQp

Ca urmare, se poate scrie ecuaţia

.d2

22

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πρ

βμρ

=Δc

s

r

rhn r

hrQ

Zpu (5.23)

Ţinând seama că

,,00

000 TR

pZQTR

pQQ =ρ=ρ=ρ (5.24)

relaţia (5.23) ia forma

.d2 2

2

0

00 ∫ μ

β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=Δc

s

r

r

hn r

rRT

ThQp

u (5.25)

Deoarece mişcarea gazelor este guvernată de legea neliniară a filtrării doar într-o zonă restrânsă din vecinătatea sondei, unde viteza are valori mari, în relaţia (5.25) vâscozitatea se poate considera constantă şi egală cu valoarea μs, corespunzătoare presiunii ps. În aceste condiţii, relaţia (5.25) devine ,2

0QCu nn =Δ (5.26) unde Cn este coeficientul de neliniaritate al legii filtrării, definit prin neglijarea lui 1/rc în raport cu 1/rs astfel



.2

2

0

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πμ

β=

Thp

rRT

Cs

hn (5.27)

Întrucât aplicabilitatea legii neliniare a filtrării este limitată la o zonă restrânsă, se poate presupune că, la modificarea debitului sondei, termenul 2

0QCn se reajustează instantaneu şi păstrează, ca şi factorul de skin S, o valoare constantă. Ca urmare relaţia (5.21), în care se include termenul neliniar al legii filtrării, ia forma

,21ln *

0

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

π+= S

rr

ThkQTp

uus

csm (5.28)

unde ,0

* QDSS += (5.29)

,0

0

TpCThk

D nπ= (5.30)

se numesc factor de skin combinat, respectiv coeficient inerţial. Coeficientul Cn poate fi determinat din curba de restabilire a presiunii într-o sondă de gaze cercetată prin trei trepte de debit, sau din relaţia (5.27), pe baza valorii coeficientului de rezistenţă hidraulică inerţială βh obţinută prin măsurători experimentale de laborator. În condiţiile valabilităţii relaţiei (5.8), ecuaţiile (5.16) şi (5.19) devin

,lnln

2222

s

s

c

scs r

r

rr

pppp

−+= (5.31)

respectiv

( )

,ln0

220

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+μ

−π=

SrrTp

ppThkQ

s

c

sc (5.32)

În expresia (5.32) s-a inclus factorul de skin S şi s-a făcut abstracţie de coeficientul de neliniaritate al legii filtrării Cn. 5.3.2. Mişcarea semistaţionară Mişcarea semistaţionară (sau stabilizată) a gazelor se caracterizează prin scăderea în ritm constant a pseudopresiunii ( tu ∂∂ = constant). Condiţiile la limite asociate ecuaţiei (5.14) sunt aceleaşi ca în cazul mişcării semistaţionare a lichidelor compresibile, adică ecuaţiile (4.8), (4.9), dar acum ele trebuie exprimate în raport cu pseudopresiunea u astfel

,la0 crrru

==∂∂ (5.33)

.şioricepentru trctu

=∂∂ (5.34)

Pentru scrierea condiţiei (5.34) în funcţie de debitului volumic Q0 = constant, se foloseşte ecuaţia (4.12) în asociere cu a doua relaţie (5.6) şi rezultă formula

,22 μβπ

−=∂∂

ZhrmQp

tu

c (5.35)

care, pe baza relaţiilor (5.24), transcrise astfel

,0

00

TTQp

ZQp

= (5.36)

devine

.22

00

μβπ−=

∂∂

hrmTQp

tu

c (5.37)

Prin substituirea expresiei (5.37), ecuaţia (5.14) ia forma

.21

0200

TrhkTQp

tur

rr cπ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ (5.38)

După prima integrare se obţine formula

,2

2 2

0200 brTrhkTQp

rur

c+

π−=

∂∂ (5.39)

iar din condiţia la limită (5.33) rezultă expresia constantei de integrare



,0

00

ThkQTp

bπ

=

deci relaţia (5.39) devine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=

∂∂

20

00 1

crr

rThkQTp

ru

şi, prin integrare între limitele rs şi r, respectiv us şi u, duce la soluţia

,2

ln 2

22

0

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

π+=

c

s

ss r

rrrr

ThkQTp

uu (5.40)

unde ps variază în timp, în ritmul cerut de menţinerea constantă a debitului Q0. Pseudopresiunea medie um este definită sub forma

,d2d122 ∫∫ −

==c

s

r

rscAm rru

rrAu

Au (5.41)

similară ecuaţiei (4.21). Prin înlocuirea lui u conform relaţiei (5.40), integrare, neglijarea termenului ( )22 8 cs rr şi includerea factorului de skin combinat S*, ecuaţia (5.41) devine

,43lnd2 *

0

0022 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

π+=

−= ∫ S

rr

ThkQTp

urrurr

us

cs

r

rscm

c

s

(5.42)

Aplicând acelaşi procedeu ca în cazul obţinerii ecuaţiei (4.23), formula precedentă capătă forma

,4ln21 *

20

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπ+= S

rCA

ThkQTp

uusA

sm (5.43)

care este aplicabilă nu doar configuraţiei radial plane, ci şi pentru formele ariei de drenaj şi poziţiile sondei caracterizate prin valorile factorului de formă DIETZ prezentate în figura 4.2. Aproximând derivata pseudopresiunii prin diferenţă finită regresivă, se poate scrie

tuu

tu im −

≅∂∂

şi, din relaţia (5.37), rezultă expresia

,2

02

00

μβπ−=

ThrmtQTpuu

cim (5.44)

în care ui = u(pi) corespunde presiunii iniţiale pi a zăcământului. Înlocuind expresia (5.44) în ecuaţia (5.43) rezultă pentru pseudopresiunea sondei următoarea lege de variaţie

,24ln21 *

20

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π+

γπ−= St

rCA

ThkQTpuu A

sAis (5.45)

unde At estre timpul adimensional definit în raport cu aria zonei aferente sondei, prin relaţia

.Am

tkt A μβ= (5.46).

5.3.3. Mişcarea tranzitorie generată de o sondă de gaze cu debit constant într-un zăcământ de întindere infinită Dacă sonda generează o mişcare radial plană într-un zăcământ de gaze cu dimensiuni finite, atâta vreme cât scăderea de presiune din sondă nu se face simţită la frontiera zăcământului, acesta se comportă ca un sistem de dimensiuni plane infinite. Ecuaţia diferenţială a pseudopresiunii (5.14) are condiţiile iniţiale şi la limite (4.34) preluate de la mişcarea tranzitorie a lichidului compresibil, care trebuie transpuse în raport cu variabila dependentă u. Primele două condiţii (4.34) devin

u = ui la t = 0 şi 0 ≤ r ≤ ∞ , u = ui la r = ∞ şi 0 ≤ t ≤ ∞ , (5.47) iar a treia condiţie (4.34) asociată cu relaţia (5.5) şi cu ecuaţia de stare (5.36), capătă forma

.lim0

000 Thk

QTprur

r π=

∂∂

→ (5.48)

Pentru soluţionarea ecuaţiei (5.14) în cadrul perioadei mişcării tranzitorii se poate utiliza, la fel ca în §4.4, transformata lui BOLTZMANN, scrisă sub forma

,4

2*

taru =

şi se obţine, la fel ca în paragraful menţionat, soluţia intermediară



.e**

*

uC

uu u−

=∂∂ (5.49)

Constanta de integrare se determină din condiţia la limită (5.48) astfel

,e2limdd2lim

ddlimlim

0

00*

*0*

*

0

*

*00

*

ThkQTp

uCu

uu

rur

ru

uur

rur u

rrrr π===

∂∂

=∂∂ −

→→→→

deci

.2

e2 0

00

00

00*

*

ThkQTp

ThkQTpC

u

uπ

=π

==

(5.50)

Înlocuind expresia (5.50) în relaţia (5.49) se obţine ecuaţia

,de2

d **

0

00*

uuThk

QTpu

u−

π= (5.51)

a cărei soluţie

( ) ,2 0

00 xEThk

QTpuu ii π

−= (5.52)

cu funcţia integrală exponenţială Ei(x) definită de relaţia (4.42), descrie, pentru x = xs = ( )tars 42 , legea de variaţie a pseudopresiunii sondei în cazul mişcării tranzitorii astfel

( ) .2 0

00siis xE

ThkQTp

uuπ

−= (5.53)

Dacă se foloseşte aproximaţia (4.45), valabilă începând de la valori mici ale timpului t, relaţia (5.53) ia forma

,4ln21 *

0

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπ−= St

ThkQTp

uu is (5.54)

în care timpul adimensional t şi factorul de skin combinat S* sunt definiţi de relaţiile (4.47), respectiv (5.29). După atingerea frontierei zăcământului de către perturbaţia de presiune creată de sondă la punerea ei în producţie, mişcarea poate deveni semistaţionară şi – dacă debitul este constant – legea de variaţie a pseudopresiunii sondei va fi descrisă de ecuaţia (5.45). Ecuaţiile (5.45) şi (5.54) pot fi scrise sub forma comună

( )[ ] ,*

0

00 StuThkQTpuu is +

π−= (5.55)

unde pseudopresiunea adimensională are una din expresiile:

( )γ

=ttu 4ln

21 (5.56)

în cazul mişcării tranzitorii, respectiv

( ) AsA

trC

Atu π+γ

= 24ln21

2 (5.57)

în cazul mişcării semistaţionare. Dacă debitul sondei variază în trepte, prin suprapunerea soluţiilor se obţine formula

( ) ,1

*1

0

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−Δ

π−= ∑

=−

n

jnnjnjis SQttuQ

ThkTpuu (5.58)

care este similară relaţiei (4.54), unde ,*

nn QDSS += (5.59) iar D este definit de relaţia (5.30).

5.4. Cercetarea hidrodinamică a sondei extractive de gaze 5.4.1. Cazul sondei cercetate prin închidere Spre deosebire de cercetarea sondei de ţiţei, analizată în subcapitolul 4.5, cercetarea hidrodinamică a unei sonde de gaze prin închidere implică trei trepte de debit (figura 5.2), reprezentate de valorile Q1 înainte de închiderea sondei, Q2 = 0 corespunzător perioadei de închidere şi Q3 după repunerea sondei în producţie, când manometrul înregistrator, rămas la adâncimea de cercetare, continuă să înregistreze variaţia presiunii. Necesitatea determinării celor doi parametri S şi D din ecuaţia (5.59) impune înregistrarea presiunii atât în timpul închiderii sondei cât şi după repunerea ei în producţie. În aceste condiţii, datele de cercetare a sondei se analizează în două etape şi anume: etapa I, corespunzătoare primelor două trepte de debit, şi etapa II, care include toate cele trei trepte de debit. În prealabil, se trasează curba u(p), prin integrarea grafică sau numerică a ecuaţiei (5.5) (figura 5.1).



În cadrul etapei I, caracterizată prin n = 2, t1 = tp, t2 = tp + t, Q1 ≠ 0 şi Q2 = 0, în condiţii de mişcare tranzitorie, relaţia (5.58), asociată cu expresia (5.56), duce la următoarea lege de restabilire a pseudopresiunii sondei

,ln2 0

10

ttt

ThkQTp

uu pis

+

π−= (5.60)

în care t este durata curentă de închidere a sondei, iar tp – timpul echivalent de producţie la debitul constant Q1, definit astfel

tp = Gp/Q1 , unde Gp este producţia cumulativă de gaze a sondei. Ecuaţia (5.60) este similară relaţiei (4.56) şi corespunde, pe diagrama us funcţie de –ln (tp + t)/t, unei drepte de pantă

,2

11

o

o

ThkQTpi

π= (5.61)

din expresia căreia se poate explicita permeabilitatea originală k a zăcământului. Procedând în acelaşi mod ca în cazul obţinerii relaţiei (4.60), se găseşte pentru factorul de skin combinat aferent primei etape de cercetare a sondei formula

,4lnln21

21

11

*1 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβγ−

+−

−=+=

sp

psis

rmtk

ttt

iuuQDSS (5.62)

unde us1 este pseudopresiunea citită de pe dreapta (reală sau extrapolată) a graficului us = us[–ln (tp + t)/t], pentru durata curentă de închidere t = 1 oră, iar usi = u(psi), cu psi – presiunea dinamică de fund a sondei în momentul închiderii ei. În etapa II, caracterizată prin n = 3, t1 = tp, t2 = tp + tt, t3 = tp + tt + tr. Q1 ≠ 0, Q2 = 0 şi Q3 ≠ 0, ecuaţia (5.58) se particularizează astfel

( ) ( )[ ] ( ){ } ,*3331

0

0 SQtuQttutttuQThkTp

uu rrtrtpis +++−++π

−= (5.63)

unde tt este durata totală a perioadei de închidere a sondei, tr – timpul scurs de la repunerea sondei în producţie cu debitul Q3, iar timpul adimensional este definit de a doua ecuaţie (4.47). Deoarece, pentru valori mici ale lui tr, coeficientul lui Q1 este constant, iar

( ) ,4ln21

γ= r

rttu (5.64)

pentru că mişcarea este tranzitorie, rezultă că graficul lui us în funcţie de ln rt este o dreaptă de pantă

,2 0

303 Thk

QTpiπ

= (5.65)

din care se calculează permeabilitatea k şi se compară cu valoarea rezultată din relaţia (5.61). Pe de altă parte, se observă că

( ) ( )[ ] ,'

0

10sirtrtp uuttutttu

ThkQTp

−=+−++π

(5.66)

unde 'su este pseudopresiunea sondei corespunzătoare presiunii ipotetice '

sp care ar fi atinsă dacă restabilirea presiunii (definită de Q2 = 0) ar continua până la timpul tt + tr. Introducând expresia (5.66) în ecuaţia (5.63) se obţine relaţia

( ) ,4

ln21 *

30

30'⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπ−−−= S

tThkQTp

uuuu rsiis (5.67)

unde us şi 'su sunt valorile pseudopresiunii citite pentru un timp tr (ales, de regulă, egal cu o oră) de pe dreapta

extrapolată a graficului us funcţie de ln tr, respectiv de pe dreapta extrapolată a graficului us funcţie de –ln (tp + t)/t, pentru t = tt + tr. Din formula (5.67) rezultă relaţia

,4ln21

23

'

3*3 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μβγ−

−=+=

s

rss

rmtk

iuuQDSS (5.68)

care, împreună cu formula (5.62), formează un sistem de ecuaţii algebrice, din a cărui rezolvare se obţin parametrii S şi D. Apoi, din relaţia (5.30) se calculează coeficientul de neliniaritate a legii filtrării Cn. Pentru calculul pseudopresiunilor medie şi iniţială, se prelungeşte dreapta graficului us funcţie de –ln (tp + t)/t până la intersecţia ei cu verticala de abscisă zero (corespunzătoare lui t = ∞) şi se citeşte ordonata *

iu a acestui punct. Apoi se determină um din relaţia (4.61), scrisă sub forma ( ) ,1

*pAim tfiuu −= (5.69)

unde i1 are expresia (5.61), iar valorile funcţiei ( )pAtf se citesc din figurile 4.6…4.10, pentru pAt dat de relaţia (4.62). Cu valoarea obţinută pentru um se calculează ui din relaţia (5.44), transcrisă astfel

Figura 5.2 Graficele debitului şi

presiunii unei sonde de gaze cercetate prin închidere



,2

02

00

μβπ+=

Trhm

tQTpuu

c

pmi (5.70)

iar în final, de pe curba u(p) se poate citi, pentru ui, valoarea estimativă a presiunii iniţiale a zăcământului. 5.4.2. Cazul sondei cercetate prin variaţia debitului în trepte Dacă cercetarea sondei constă din modificarea debitului în trepte, asociată cu măsurarea debitului şi presiunii dinamice de fund a sondei la încheierea fiecărei trepte de debit, căderea de pseudopresiune poate fi scrisă, în condiţiile legii neliniare a filtrării, astfel ,2QCQCuu nlsi +=− (5.71) unde Cl şi Cn sunt coeficienţii liniar, respectiv neliniar ai legii filtrării, iar Q este debitul sondei, exprimat în condiţii normale. Pentru scrierea ecuaţiei (5.71) s-a neglijat influenţa treptelor de debit asupra pseudopresiunii sondei. De regulă, durata treptelor de debit este egală, iar cercetarea se numeşte izocronală. Conform relaţiei (5.71) transcrisă sub forma

,QCCQ

uunl

si +=−

(5.72)

graficul lui (ui – us)/Q funcţie de Q reprezintă o dreaptă, care are panta Cn şi ordonata punctului de intersecţie cu axa ordonatelor Cl. Astfel, din datele de cercetare a sondei se defineşte, prin valorile coeficienţilor Cl şi Cn, legea filtrării neliniare a gazelor (5.72). În realitate, variaţia pseudopresiunii sondei în cadrul celor n trepte de debit este descrisă de ecuaţia (5.58), care, în ipoteza (acceptabilă) că mişcarea este semistaţionară, poate fi asociată cu relaţiile (5.57), (5.59) şi (5.27) pentru a fi scrisă sub forma

( ) .4ln21ln2 2

11

0

02

⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ+

⎢⎢⎣

⎡−Δπ

π=−− ∑

=− S

rCAQttQ

ThkTp

QCuusA

n

n

jjAAnjnnsi (5.73)

Ţinând seama că

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ,1

22311211

1 ∑∑==

− Δμβ

=…+−−+−−+μβ

=−Δn

jjjnnn

n

jjAnAj tQ

AmkttQQttQQtQ

AmkttQ

relaţia (5.73) împărţită la Qn devine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ+Δ

μβπ

π=

−− ∑=

SrC

AtQQ

Amk

ThkTp

QQCuu

sA

n

jj

n

j

n

nnsi2

10

02 4ln

212 (5.74)

şi arată că graficul funcţiei ( ) nnnsi QQCuu 2−− în raport cu ∑=

Δn

jnjj QtQ

1 constă dintr-o dreaptă de pantă

.2

0

0

ThAmTpi

μβ= (5.75)

De asemenea, se poate observa că ecuaţia (5.74) se identifică cu relaţia (5.71) atunci când termenul Σ este neglijabil, rezultând

.24ln2 2

0

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γπ= S

rCA

ThkTpC

sAl (5.76)

Întrucât Cl este ordonata punctului de intersecţie a dreptei descrisă de ecuaţia (5.74) cu axa ordonatelor, din relaţia (5.76) se poate calcula permeabilitatea originală a zonei aferente sondei, dacă se admite S = 0. Pe de altă parte, din relaţia (5.75) se obţine volumul porilor zonei de drenaj a sondei astfel

.2

0

0*

TiTp

hAmVp μβ== (5.77)

Coeficientul Cn se determină prin încercări. În acest scop, se trasează graficul ecuaţiei (5.74) pentru diferite valori ale lui Cn, începând cu valoarea lui Cn rezultată din ecuaţia (5.72), până când graficul obţinut va fi o linie dreaptă.

5.5. Probleme 5.5.1. Problemă rezolvată 5.1. Presiunea de adâncime a unei sonde de gaze, care a produs timp de 3 ore la debitul constant Q1 = 1,132·106

3Nm /zi, a fost măsurată pe durata tt = 8 ore cu sonda închisă şi apoi alte 3 ore după repunerea sondei în producţie la debitul

constant Q3 = 1,699·106 3Nm /zi. Cunoscând: presiunea iniţială pi = 29,579 MPa, aria zonei de drenaj a sondei A = 80,94 ha,

temperatura de zăcământ T = 366,48 K, grosimea stratului productiv h = 12,2 m, produsul (μ β)i = 5,22·10–13 s, porozitatea m = 0,15, raza sondei rs = 0,1 m, pseudopresiunea u = 2,395·1012 p – 2,1·1019 pentru p ≥ 20 MPa şi datele de presiune din tabelul 5.1, se cer următoarele:



a) permeabilitatea zăcământului; b) factorul de skin S şi coeficientul termenului inerţial D; c) coeficientul Cn de neliniaritate a legii filtrării. Rezolvare Mai întâi se calculează valorile pseudopresiunii folosind ecuaţia din enunţ, deoarece toate presiunile sunt mai mari de 20 MPa. Astfel, pentru pseudopresiunea iniţială rezultă

ui = 2,395·1012·29,579·106 – 2,1·1019 = 498,417·1017 Pa/s , iar celelalte valori obţinute au fost înscrise în coloanele 4 şi 8 ale tabelului 5.2.

În etapa I a cercetării hidrodinamice pseudopresiunea în sondă variază conform ecuaţiei (5.60), care arată că graficul funcţiei us(–ln[(tp + t)/t] este o dreaptă cu panta exprimată prin relaţia (5.61), din care se obţine permeabilitatea

.2 01

10)1(

ThiQTp

kπ

= (5.78)

Se calculează 946,15,0

5,03ln =+ , …, 318,0

883ln =

+ , valori care se înscriu în coloana 3 a tabelului 5.2, apoi se

face reprezentarea grafică din figura 5.3. Alegând intervalul de timp t = (2…8) ore, pentru care graficul us(–ln[(tp + t)/t] este o linie dreaptă, se află panta, apoi permeabilitatea astfel

( ) ,Pa/s103251,3318,0916,0

10597,496609,494 176

1 ⋅−=−

⋅−=i

.mD9,69m109881,615,2732,12103251,32400.86

10132,148,366325.101 21417

6)1( ≅⋅=

⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅⋅

= −k

Factorul de skin combinat are, în această etapă, expresia (5.62), unde usi = u(psi), psi = 0=tsp ; usi = 379,505·1017

Pa/s (din tabelul 5.1), iar us1 = u(ps1), ps1 = oră1=tsp ; us1 = 493,05·1017 Pa/s (citită din figura 5.3, după extrapolarea porţiunii liniare). Înlocuind aceste valori în ecuaţia (5.62) rezultă

( ) .4733,101,01022,515,0781,1

600.3102734,64ln13

3ln103251,3

10505,37905,49321

213

14

17

17*1 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−+

−⋅

⋅−= −

−

S

Tabelul 5.1

t, ore ps, MPa tr, ore ps, MPa 0 24,614 0,75 21,208

0,5 28,269 1,00 21,139 1 29,337 1,25 21,091 2 29,420 1,50 21,050 3 29,448 1,75 21,015 4 29,468 2,00 20,981 5 29,482 2,25 20,946 6 29,489 2,50 20,933 7 29,496 3,00 20,884 8 29,503

Tabelul 5.2 t, ore ps, MPa ln(tp+t)t us, 1017 Pa/s tr, ore ps, MPa ln tr us, 1017 Pa/s

1 2 3 4 5 6 7 8 0 24,614 – 379,505 0,75 21,208 0,288 297,932

0,5 28,269 1,946 467,043 1,00 21,139 0,000 296,279 1 29,337 1,386 492,621 1,25 21,091 0,223 295,129 2 29,420 0,916 494,609 1,50 21,050 0,405 294,148 3 29,448 0,693 495,280 1,75 21,015 0,560 293,309 4 29,468 0,560 495,759 2,00 20,981 0,693 292,495 5 29,482 0,470 496,094 2,25 20,946 0,811 291,657 6 29,489 0,405 496,262 2,50 20,933 0,916 291,345 7 29,496 0,357 496,429 3,00 20,884 1,099 290,172 8 29,503 0,318 496,597

Figura 5.3. Variaţia pseudopresiunii în etapa I a cercetării hidrodinamice a sondei extractive de gaze



Etapa II a cercetării hidrodinamice se caracterizează printr-o variaţie a pseudopresiunii descrisă de ecuaţia (5.63), relaţie în care, pentru valori tr mici, primul termen din acoladă este practic constant şi, folosind ecuaţia (5.64), se constată că graficul us(ln tr) este o dreaptă a cărei pantă are expresia (5.65), din care se află permeabilitatea sub forma

.2 03

30)2(

ThiQTp

kπ

= (5.79)

Se completează coloana 7 a tabelului 5,2 cu valorile ln tr, se face reprezentarea grafică (figura 5.4) şi se calculează i3 pe intervalul t = (1…3) ore:

( ) ,Pa/s105591,5099,10

10172,290279,296 176

3 ⋅−=−

⋅−=i

apoi, din relaţia (5.79) se obţine

.mD7,62m102734,615,2732,12105591,52400.86

10699,148,366325.101 21417

6)2( ≅⋅=

⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅⋅

= −k

a) Permeabilitatea efectivă este media aritmetică a permeabilităţilor găsite în cele două etape de cercetare, adică

.mD3,66m106307,6102

2734,69881,62

21414)2()1(

≅⋅=⋅+

=+

= −−kkk

Factorul de skin combinat are expresia (5.68), în care 'su este valoarea pseudopresiunii corespunzătoare presiunii

ipotetice 'sp care s-ar înregistra în sondă dacă perioada de închidere a acesteia s-ar prelungi cu tr = 1 oră. Valoarea '

su

se citeşte din figura 5.3, pe dreapta extrapolată, pentru abscisa 28768,018

183lnln −=+

++−=

+

++−

rt

rtp

ttttt

şi este 'su =

496,7·1017 Pa/s. Pe de altă parte, '1su este valoarea pseudopresiunii pentru presiunea '

1sp înregistrată la tr = 1 oră după repunerea sondei în producţie cu debitul Q3. Din figura 5.4 se constată că, la abscisa ln 1 = 0, graficul este liniar, deci

'1su = 296,279·1017 Pa/s se citeşte din coloana 8, linia 2 a tabelului 5.2. Din ecuaţia (5.68) rezultă valoarea

( ) .3082,111,01022,515,0781,1

600.3106307,64ln105591,5

10279,2967,49621

213

14

17

17*3 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅

⋅−= −

−

S

b) Din sistemul de două ecuaţii algebrice

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

=+=

,3082,11

,4733,10

3*3

1*1

QDSS

QDSS (5.80)

se obţin expresiile necunoscutelor

,, 3*31

*1

13

*1

*3 QDSQDSS

QQSSD −=−=

−−

= (5.81)

apoi valorile acestora ( )

( ).8064,8400.86/10132,11272,04733,10,s/m1272,0

10132,1699,1400.864733,103082,11 63

6 =⋅⋅−==⋅−⋅−

= SD

c) Din ecuaţia (5.30) se explicitează coeficientul neliniar al legii filtrării sub forma

,0

0

ThkDTp

Cn π= (5.82)

Figura 5.4. Variaţia pseudopresiunii în etapa II a cercetării hidrodinamice a sondei extractive de gaze



care, cu datele problemei, conduce la valoarea

.s/mPa108054,615,2732,12106307,6

1272,048,366325.101 61514 ⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅π⋅⋅

= −nC

5.5.2. Problemă propusă

5.2. O sondă nouă produce gaze la debitul constant Q0 = 1,2·105 3Nm /zi. Cunoscând: presiunea iniţială pi = 18,9

MPa, temperatura de zăcământ T = 334 K, raza sondei rs = 8 cm, grosimea stratului productiv h = 12 m, porozitatea m = 0,17, permeabilitatea k = 50 mD, vâscozitatea dinamică şi compresibilitatea gazelor μ = 0,015 cP, respectiv β = 3,5·10–8 Pa–1, dependenţa u = 2,25·1012p – 2·1019, valabilă pentru p ≥ 17 MPa şi factorul de skin combinat S* = 7,7, se cere să se calculeze următoarele: a) timpul după care este valabilă aproximaţia: Ei(xs) ≅ – ln(γ xs); b) presiunea dinamică de adâncime a sondei, ps, după timpul de producţie t = 1 oră la debitul constant Q0; c) durata totală ts a mişcării tranzitorii, ştiind că sonda este situată în centrul unui bloc de zăcământ de forma unui triunghi echilateral, cu aria A = 2 ha.

5.6. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. De ce este necesară folosirea pseudopresiunii ca variabilă dependentă în ecuaţiile mişcării gazelor? În ce

domeniu de presiuni trebuie folosit acest parametru? 2. Definiţi factorul de skin combinat şi coeficientul inerţial. 3. Cum se determină parametrii S şi D în cadrul cercetării prin închidere a sondei de gaze? B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Variaţia pseudopresiunii gazelor ca funcţie de presiune. 2. Variaţiile debitului şi presiunii unei sonde de gaze cercetate prin închidere. C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Mişcarea unidimensională staţionară a gazelor într-un mediu poros omogen. 2. Mişcarea tranzitorie generată de o sondă de gaze cu debit constant într-un zăcământ de întindere infinită. 3. Cercetarea hidrodinamică a sondei de gaze prin variaţia debitului în trepte. D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Condiţii normale – condiţii standard de presiune şi temperatură. 2. Derivată parţială a unei funcţii – diferenţă finită. 3. Cercetarea prin închidere a sondei extractive de ţiţei – cercetarea prin închidere a sondei extractive de gaze.


Capi to lul 6

EXPLOATAREA ZĂCĂMINTELOR DE GAZE După cum s-a precizat în paragraful 2.2.2, modelele zerodimensionale sunt modelele bazate pe ecuaţia macroscopică a bilanţului material exprimată în funcţie de valorile medii ponderate volumic ale parametrilor zăcământului. Denumirea acestor modele provine din faptul că, prin folosirea parametrilor medii ponderaţi volumic, mişcarea nu mai depinde de nici o variabilă spaţială. Aşa cum mişcările care depind de una, două sau trei variabile spaţiale se numesc mişcări unidimensionale, bidimensionale, respectiv tridimensionale, procesul care nu depinde de nici o variabilă spaţială se numeşte proces zerodimensional şi este descris de un model zerodimensional. Modelele zerodimensionale utilizate în exploatarea primară a zăcămintelor de hidrocarburi sunt, de regulă, modele volumice care au la bază ecuaţia macroscopică a bilanţului material exprimată, în raport cu domeniul de control mărginit de frontiera iniţială a zăcământului, sub formă de volume. Aceste volume sunt scrise în condiţii de suprafaţă, respectiv în condiţii de zăcământ, după cum fluidul este monofazic, respectiv multifazic. Convertirea volumelor de fluide produse în timpul exploatării zăcământului, din condiţii de suprafaţă în condiţii de zăcământ, se realizează prin folosirea factorilor de volum şi a raţiilor de soluţie. Parametrii medii ponderaţi volumic ai unui model zerodimensional de tip volumic sunt presiunea pm, densitatea ρm, factorii de volum bmj şi raţiile de soluţie Rmsj. Prin definiţie, aceşti parametri au expresiile

( ) ( ) ,d...1,d...1∫∫ ρ=ρ=V

mV

m VtzyxV

VtzyxpV

p (6.1)

( ) ( ) ,d...1,d...1∫∫ ==V

sjmsjV

jmj VtzyxRV

RVtzyxbV

b (6.2)

unde V este volumul de pori al zăcământului, iar indicele j desemnează faza j a unui fluid multifazic. De regulă, factorii de volum bmj şi raţiile de soluţie Rmsj la orice timp t se consideră a fi egali cu valorile bj, Rsj (obţinute din analiza PVT) la presiunea pm corespunzătoare acelui timp. Primul model zerodimensional, cunoscut şi sub numele de ecuaţia lui SCHILTHUIS, a fost formulat în anul 1936, prin modificarea unei ecuaţii publicate în anul 1930.

6.1. Modele zerodimensionale folosite în exploatarea zăcămintelor de gaze Orice zăcământ de gaze poate produce prin expansiunea gazelor (când zăcământul are frontierele impermeabile sau închise), sau printr-un mecanism combinat de expansiune a gazelor şi influx de apă (când zăcământul este mărginit de un acvifer activ, v. subcapitolul 4.6). În continuare sunt prezentate modelele zerodimensionale care descriu comportarea în exploatare a acestor două tipuri de zăcăminte de gaze.

6.1.1. Zăcăminte de gaze cu frontierele impermeabile Un zăcământ de gaze care are frontierele impermeabile sau care beneficiază de un influx de apă nesemnificativ produce, în timpul exploatării sale, în regim de expansiune a gazelor, numit şi regim de depletare. Modelul zerodimensional de tip volumic asociat unui astfel de zăcământ poate fi descris fie de ecuaţia (2.35), fie de ecuaţia (2.27) scrisă sub forma (6.19). Folosind ecuaţia (2.35) şi ţinând seama de următoarele relaţii ♠ (volumul gazelor intrate) = (volumul gazelor ieşite prin frontiera zăcământului) = 0 , ♠ (volumul datorat surselor (sondelor), exprimat în condiţii normale) = –Gp (unde Gp este producţia cumulativă de gaze

obţinută până la momentul t, iar semnul – indică faptul că sursele sunt negative, adică extrag gaze din zăcământ); ♠ (volumul gazelor existente în zăcământ la timpul t) = [volumul porilor saturaţi cu gaze (dacă se neglijează

compresibilităţile apei interstiţiale şi rocii) – volumul rezultat din destinderea elastică a apei interstiţiale şi a rocii] = [m V(1 – sai) – (m V sai βa + m V βr)Δp]/bg ,

♠ (volumul gazelor din zăcământ în momentul iniţial, în condiţii normale) = (resursa geologică) = G, se obţine ecuaţia

( ) ,11

11 Gb

ps

ssVmGgai

raaiaip −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

−β+β

−−=− (6.3)

unde βa este coeficientul de compresibilitate a apei interstiţiale, V – volumul brut al zăcământului, m — porozitatea medie, βr – coeficientul de compresibilitate a porilor, definit de relaţia (1.25), Δp = pi – pm, pi – presiunea iniţială, pm – presiunea medie, definită prin relaţia (6.1), bg, bgi – factorii de volum ai gazelor la presiunile pm, respectiv pi. Întrucât

( ) ,11gi

ai bsVmG −= (6.4)

82 6. EXPLOATAREA ZĂCĂMINTELOR DE GAZE



g

gi

ai

raaip

bb

ss

GG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−β+β

−−=1

11 (6.5)

şi descrie legea de variaţie a presiunii medii (prin intermediul parametrului bg(pm)) în funcţie de producţia cumulativă de gaze Gp. În general, termenul datorat compresibilităţilor apei interstiţiale şi rocii este neglijabil şi relaţia (6.5) se reduce la forma

.1g

gip

bb

GG

−= (6.6)

Totuşi, în cazul zăcămintelor puţin adânci, constituite din nisip neconsolidat, unde compresibilitatea rocii este de peste 10 ori mai mare decât compresibilitatea rocii colectoare din zăcămintele adânci şi de peste 30 de ori mai mare decât compresibilitatea apei, se impune luarea în considerare a energiei de compactare a rocii, prin folosirea relaţiei (6.5). Conform ecuaţiei de stare (2.40), scrisă în funcţie de volumul specific la presiunile pi, pm şi temperatura T, precum şi în condiţii normale (p0, T0) astfel ,,, 000 TRvpTRZvpTRZvp mmmiii === (6.7) rezultă pentru factorii de volum expresiile

,,0

0

00

0

0 TpZTp

vvb

TpZTp

vvb

m

mmg

i

iigi ==== (6.8)

care, prin împărţire, dau relaţia

.i

i

m

m

g

gi

pZ

Zp

bb

= (6.9)

Introducând expresia (6.9) în relaţia (6.6) se obţine ecuaţia

,1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

GG

Zp

Zp p

i

i

m

m (6.10)

care exprimă dependenţa liniară a lui pm/Zm atât faţă de factorul de recuperare a gazelor, definit astfel fr = Gp/G , (6.11) cât şi faţă de producţia cumulativă de gaze Gp. Aceste dependenţe sunt reprezentate grafic în figurile 6.1 şi 6.2. Graficul din figura 6.1 arată că, dacă datele de presiune şi producţie cumulativă, reprezentate sub forma pm/Zm în funcţie de Gp/G, dau o linie dreaptă, prin extrapolarea acestei drepte până la valoarea de abandonare (pm/Zm)a, impusă de presiunea de la intrarea în conducta de colectare a gazelor, se obţine factorul final de recuperare ffr. Acest factor final de recuperare poate fi mărit dacă se folosesc compresoare, caz în care presiunea minimă de aspiraţie a staţiei de compresoare defineşte valoarea de abandonare (pm/Zm)ac, căreia îi corespunde, pe linia dreaptă, factorul final de recuperare cu compresoare ffrc > ffr. Presiunea de abandonare în cazul exploatării cu compresoare este determinată de condiţia compensării la limită a investiţiei şi cheltuielilor de exploatare asociate folosirii compresoarelor de către valoarea producţiei suplimentare de gaze. Reprezentarea grafică a datelor de presiune şi producţie sub forma pm/Zm în funcţie de Gp permite, în cazul obţinerii unei linii drepte, determinarea resursei geologice, ca abscisă a punctului de intersecţie a liniei drepte cu axa absciselor. Resursa geologică astfel obţinută trebuie comparată cu valoarea estimată prin metoda volumetrică, pe baza datelor geologice.

Ecuaţia (6.9), a cărei valabilitate se verifică, pentru fiecare caz concret, prin trasarea graficelor din figurile 6.1 şi 6.2, se foloseşte pentru prevederea comportării în exploatare a zăcământului de gaze respectiv, stabilindu-se, în funcţie de ritmul de producţie impus prin cantităţi anuale de gaze extrase, scăderea presiunii medii pe zăcământ în timp, până la atingerea factorului final de recuperare. Totodată, se pot determina, ca în subcapitolul 6.3, presiunea dinamică de fund, debitul şi presiunile de suprafaţă în tubing şi coloană ale sondei cu comportare medie, precum şi numărul anual de sonde necesar realizării ritmului de extracţie a gazelor preconizat.

6.1.2. Zăcăminte de gaze cu influx de apă În cazul unui zăcământ de gaze mărginit de un acvifer activ, modelul zerodimensional se poate obţine la fel ca în paragraful 6.1.1, prin particularizarea ecuaţiei (2.35). Singurul termen care se modifică în acest caz este cel care defineşte volumul de gaze existent în zăcământ la timpul de exploatare t. Notând cu We volumul cumulativ de apă intrată în zăcământ la timpul t ca urmare a destinderii elastice a acviferului şi neglijând volumul de expansiune a apei interstiţiale şi rocii, volumul de gaze existent în zăcământ la timpul t are expresia

( )[ ] .1 geai bWsVm −− Pe baza acestei expresii, ecuaţia (2.35) ia forma

( )[ ] ,11 Gb

WsVmGg

eaip −−−=− (6.12)

Figura 6.1 Variaţia presiunii

medii de zăcământ raportată la factorul de abatere, în funcţie de factorul de recuperare a gazelor

Figura 6.2 Variaţia presiunii

medii de zăcământ raportată la factorul de abatere, în funcţie de

producţia cumulativă a unui zăcământ de gaze



care, în asociere cu relaţia (6.4), devine

.11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

gi

e

g

giP

bGW

bb

GG (6.13)

Dacă la timpul t s-a extras din zăcământ, odată cu gazele, cantitatea de apă Wp, atunci We din ecuaţia (6.13) se înlocuieşte cu We – Wp ba, unde, de regulă, factorul de volum al apei ba se consideră egal cu unitatea. Introducând expresia (6.9) în ecuaţia (6.13) se obţine relaţia

,1

1

gi

e

p

i

i

m

m

bGW

GG

Zp

Zp

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= (6.14)

care arată că, întrucât We este o funcţie de timp, dependenţa lui pm/Zm de Gp/G nu mai este liniară. Metodele de determinare a cumulativului de apă We au fost descrise în subcapitolul 4.6. Admiţând că se cunosc valorile estimative ale lui We, în figura 6.3 sunt prezentate graficele pm/Zm în funcţie de Gp/G pentru trei acvifere de dimensiuni diferite. Curba a corespunde unui acvifer de dimensiuni mici şi descrie o comportare a zăcământului de gaze apropiată de comportarea zăcământului lipsit de acvifer, descrisă de linia dreaptă întreruptă d. Curbele b şi c corespund comportării a două zăcăminte de gaze asociate cu câte un acvifer de dimensiuni mari (dimensiunile acviferului c fiind mai mari decât cele ale acviferului b). Punctele A1, A2, A3 definesc condiţiile de abandonare a celor trei zăcăminte considerate. Deoarece, în prima perioadă a exploatării zăcămintelor de gaze asociate cu influx de apă, comportarea acestora (figura 6.3) este aproape identică cu comportarea zăcămintelor lipsite de influx de apă, extrapolarea dreptei obţinute din date de presiune şi producţie înregistrate pe un interval relativ mic de exploatare a unui zăcământ cu influx de apă poate duce la o valoare a resursei geologice mult diferită de valoarea estimată prin metoda volumetrică. Atunci când există date de presiune şi producţie pentru o perioadă relativ mare de exploatare a unui zăcământ cu împingere de apă, estimarea resursei iniţiale se poate face prin metoda descrisă de BRUNS ş.a.. Conform acestei metode, din relaţia (6.6), scrisă astfel

,gig

pga bb

GbG

−= (6.15)

se determină resursa geologică aparentă de gaze Ga. Dacă, pentru diferite perechi de date Gp, bg(pm) se obţin valori diferite ale lui Ga, rezultă că zăcământul prezintă împingere de apă şi, ca urmare, resursa geologică este dată de relaţia (6.13) transcrisă sub forma

.gig

epg

bbWGb

G−

−= (6.16)

Prin scăderea relaţiei (6.16) din egalitatea (6.15) se obţine ecuaţia

,gig

ea bb

WGG−

+= (6.17)

care arată că, pentru un acvifer de formă şi dimensiuni stabilite corect, resursa geologică aparentă variază liniar cu termenul We/(bg – bgi). În figura 6.4 sunt prezentate trei grafice a, b, c ale ecuaţiei (6.17) obţinute pentru valori ale lui We calculate ca în paragraful 4.6.1, admiţând pentru acvifer dimensiuni prea mari (curba a), dimensiuni corecte (dreapta b), respectiv dimensiuni prea mici (curba c). Ordonata punctului de intersecţie a dreptei b cu axa ordonatelor defineşte resursa geologică a zăcământului respectiv. Calculul resursei geologice în acest mod nu ţine însă seama de cantitatea de gaze rămasă în zona inundată ca efect al avansării apei în zăcământ. Această cantitate de gaze este definită de saturaţia în gaze reziduale sgr (ale cărei valori sunt cuprinse între 30…50 %) şi este, practic, independentă de presiunea gazelor existentă în momentul inundării zonei. Pe baza acestei independenţe a lui sgr şi în conformitate cu relaţia de stare (2.40), scrisă sub forma

,TRnsZp

ugrm

m = (6.18)

rezultă că numărul n de kilomoli de gaze reţinuţi în zona inundată este cu atât mai mare cu cât presiunea pm este mai mare. COLLIER ş.a. au prezentat un procedeu de luare în considerare a cantităţii de gaze rămase în zona inundată. Modelul zerodimensional descris de ecuaţia (6.13), care, pentru We = 0, se reduce la ecuaţia (6.6), poate fi definit şi pe baza ecuaţiei de continuitate (2.27), scrisă sub forma np = ni – nn , (6.19) unde np, ni, nn sunt numerele de kilomoli de gaze produse, existente iniţial în zăcământ, respectiv neproduse (rămase în zăcământ). Conform ecuaţiei de stare (2.40), termenii relaţiei (6.19) pot fi exprimaţi astfel

Figura 6.3 Variaţiile raportului pm/Zm în

funcţie de factorul de recuperare a gazelor din trei zăcăminte asociate cu câte un acvifer de

dimensiuni diferite

Figura 6.4 Variaţiile resursei geologice aparente de gaze în funcţie de influxul cumulativ de apă raportat la (bg – bgi),

admiţând pentru acviferul adiacent dimensiuni prea mari (a), corecte (b),

respectiv prea mici (c)



,,,0

0

0

0n

um

mn

uip

up G

TRZpnG

TRpnG

TRpn === (6.20)

unde volumul de gaze neproduse (exprimat în condiţii de zăcământ) este dat de relaţia ( ) .1 egieain WbGWsVmG −=−−= (6.21) Introducând expresiile (6.20) şi (6.21) în ecuaţia (6.19), se obţine forma

( ) ,0

0

TZpTpWbGGGm

megip −−= (6.22)

care, pe baza relaţiei (6.8) a factorul de volum bg, se reduce la ecuaţia (6.13). Utilizând ecuaţia (2.35), se poate scrie –Vp = Vn – Vi , (6.23) unde volumele de gaze Vp, Vn şi Vi sunt exprimate în condiţii de zăcământ la timpul t şi reprezintă volumul cumulativ al gazelor produse de sonde, volumul de gaze neproduse (rămase în zăcământ) la timpul de exploatare t, respectiv volumul de gaze existente iniţial în zăcământ. Ţinând seama că Vp = Gp bg , Vi = G bgi , Vn = Gn , (6.24) şi apelând la relaţia (6.21), ecuaţia (6.23) devine ( ) ,egiggp WbGbGbG −−= (6.25) şi se identifică cu formula (6.13). Luarea în considerare a volumului de gaze reziduale Vr din zona inundată constă în înlocuirea lui We cu valoarea We + Vr, unde volumul de gaze Vr este exprimat în condiţii de zăcământ.

6.2. Prevederea comportării în exploatare a unui zăcământ de gaze În cadrul calculelor de prevedere a comportării în exploatare a unui zăcământ de gaze se determină, ca valoni medii anuale, presiunea medie de zăcământ, factorul de recuperare, debitul şi presiunea dinamică de fund ale sondei cu comportare medie, numărul de sonde necesare obţinerii producţiei anuale de gaze propuse şi presiunile de suprafaţă, măsurate la coloană şi la tubing. 6.2.1. Presiunea medie de zăcământ şi factorul de recuperare Utilizând modelele zerodimensionale, prezentate în subcapitolul 6.1, presiunea medie a zăcământului, în cadrul unui an din perioada de prevedere a comportării, se calculează cu relaţia (6.10) sau (6.14), după cum zăcământul are influxul de apă zero sau diferit de zero. În ipoteza aplicării ecuaţiei (6.14), influxul cumulativ de apă se determină ca în paragraful 4.6. În cadrul relaţiilor (6.10) şi (6.14), producţia cumulativă de gaze Gpj la sfârşitul anului j de prevedere este egală cu producţia cumulativă Gp j–1 de la sfârşitul anului precedent, însumată cu producţia ΔGj a anului respectiv, astfel .1 pjjppj GGG Δ+= − (6.26)

La rândul ei, producţia anuală ΔGj este distribuită în timpul anului, în funcţie de consumul zilnic sau lunar, avându-se în vedere acoperirea vârfului de consum din perioada de iarnă. În timpul exploatării zăcământului, producţia anuală poate să cunoască două etape şi anume: etapa producţiei anuale constante, asociată cu creşterea numărului sondelor de extracţie de la un an la altul, respectiv etapa scăderii producţiei anuale în condiţiile menţinerii numărului de sonde constant. Planificarea producţiei anuale de gaze se realizează prin corelarea cerinţelor de consum cu posibilităţile de producţie ale zăcământului. Odată stabilită producţia anuală, factorul de recuperare anual se calculează din formula (6.11), cu Gp dat de relaţia (6.26). 6.2.2. Debitul şi presiunea dinamică de fund ale sondei cu comportare medie Se numeşte sondă cu comportare medie sonda fictivă care realizează o producţie anuală de gaze egală cu producţia anuală programată a zăcământului împărţită la numărul de sonde aflate în producţie în anul respectiv. Numărul de sonde necesar realizării producţiei anuale ΔGi se obţine astfel n = ΔGi/Q , (6.27) unde Q este debitul anual al sondei cu comportare medie. Valoarea debitului potenţial al sondei de gaze poate fi stabilită folosind una din următoarele condiţii: a) viteză de filtrare constantă la peretele sondei, când roca colectoare este slab consolidată şi există riscul de producere a viiturilor de nisip, b) presiune de suprafaţă în tubing dată (şi egală cu presiunea de intrare în conducta colectoare de gaze), când presiunea medie a zăcământului nu a scăzut sub valoarea de abandonare corespunzătoare exploatării fără compresoare, c) debit constant impus de capacitatea staţiei de comprimare a gazelor, în cazul exploatării zăcământului cu compresoare, în etapa finală a vieţii de producţie a acestuia. 6.2.2.1. Cazul sondei cu viteză de filtrare constantă

Dacă roca colectoare este slab consolidată sau neconsolidată (gresie friabilă, respectiv nisip), este necesar să se determine, prin cercetarea sondei la debite crescătoare, viteza de filtrare constantă la peretele sondei, definită astfel



,2

max

hrQv

ss π

= (6.28)

unde Qmax este debitul maxim de gaze produs fără ca particulele de nisip din strat să fie antrenate în sondă. Ţinând seama de relaţia (5.32), se poate scrie expresia

0

00max Tp

ZTQpQs

s=

şi, din relaţia (6.54), rezultă formula

,0s

s

ZpcQ = (6.29)

unde

,2

0

0

TpvThrc ssπ

= (6.30)

iar Q0 este debitul sondei în condiţii normale corespunzător presiunii dinamice de fund ps. Această presiune variază potrivit legii filtrării asociată cu condiţia de viteză constantă la peretele sondei. Ecuaţia (5.70) ia forma um – us = Cl Q + Cn Q2 , (6.31) unde s-a renunţat la indicele 0 asociat debitului volumic în condiţii normale exprimat prin ecuaţia (6.29), Cl este dat de relaţia (5.75), iar um are, conform ecuaţiei (5.45), expresia

.2

10

0 ∑=

Δμβ

−=n

jjjim tQ

ThAmTpuu (6.32)

Debitul Q şi presiunea ps se obţin ca soluţie a sistemului de ecuaţii (6.29) şi (6.31), rezultată prin aplicarea metodei iterative (de încercare – eroare). Astfel, pentru pm, determinat ca în paragraful 6.2.1, se stabileşte um = u(pm). Apoi se admite o valoare pentru Q (notată Qp, adică debit presupus) şi, din relaţia (6.29), rezultă presiunea ps, căreia îi corespunde valoarea us = u(ps) care, introdusă în relaţia (6.31) duce, prin rezolvarea în raport cu Q, la o valoare Qc (debit calculat). Dacă |Qc – Qp| ≤ εad, unde εad este eroarea admisibilă, calculul se încheie. În cazul contrar, se reiau calculele, înlocuind Qp prin Qc. 6.2.2.2. Cazul sondei cu presiune constantă Dacă roca colectoare este bine consolidată nu există riscul înnisipării sondei, care poate să producă cu debitul maxim definit de presiunea de intrare în conducta colectoare de gaze, dacă presiunea medie de zăcământ asigură un debit rezonabil. Presiunea dinamică de fund a sondei va avea o valoare constantă, definită pe baza presiunii de suprafaţă din tubing, ca în paragraful 6.2.3. În acest mod, pentru um = u(pm) şi us = u(ps), din ecuaţia (6.31), rezolvată în raport cu debitul volumic Q, se obţine relaţia

( )

,2

42

n

smnll

CuuCCC

Q−++−

= (6.33)

unde pseudopresiunea us are o valoare constantă. 6.2.2.3. Cazul sondei cu debit constant Dacă presiunea medie a zăcământului scade atât de mult încât sonda nu mai poate fi conectată la conducta colectoare, există trei opţiuni: 1. cuplarea sondei la un compresor, care să ridice presiunea până la valoarea de intrare în colector; 2. racordarea sondei la o conductă colectoare de presiune mai mică, destinată consumatorilor locali, şi 3. închiderea sondei. În cazul primei opţiuni, sonda este exploatată la debit constant, pe seama creşterii continue a puterii consumate de compresor pentru asigurarea presiunii de intrare în colector (conform paragrafului 6.2.5). Valoarea debitului constant al sondei se stabileşte la alegerea compresorului, iar presiunea dinamică de fund a sondei se determină din corelaţia ps = p(us), pentru valoarea lui us obţinută din ecuaţia (6.31).

6.2.3. Presiunea de suprafaţă în tubing Determinarea presiunii de suprafaţă în tubing pt când se cunoaşte presiunea de fund ps a sondei sau invers – determinarea lui ps când se impune pt, se poate face pe baza ecuaţiei energiei curentului de gaze din tubing, integrată între ps şi pt. Ecuaţia energiei pentru un tub de curent de lungime dz, scrisă astfel

,0dddd=+++

ρ dhgvvzgp

se reduce, prin neglijarea termenului v dv al energiei cinetice, la forma

,0ddd=++

ρ dhgzgp (6.34)

unde termenul energiei disipate are expresia

,d2

d2

zgd

vhdλ

= (6.35)



în care λ este coeficientul de rezistenţă hidraulică longitudinală, d – diametrul interior al tubingului, iar v – viteza medie a gazelor în secţiunea transversală a tubingului. Ţinând seama de relaţia de definiţie a vitezei medii şi de ecuaţia (5.32), se poate scrie că

,44

02

002 pTd

ZTQpdQv

π=

π= (6.36)

iar prin înlocuire în ecuaţia (6.34), asociată cu relaţiile (6.35) şi (2.40), se obţine forma

,0d81d22

0

0052 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πλ

++ zpZ

pTTQp

dggp

pTRZ

prpcpr

pr (6.37)

în care s-a substituit, pe baza relaţiei ppr = p/ppc, în care ppc este presiunea pseudocritică, presiunea p prin presiunea pseudoredusă ppr.

Dacă se admite că temperatura T este constantă şi egală cu valoarea medie corespunzătoare distribuţiei temperaturii gazelor de la talpa sondei până la suprafaţa terestră, ecuaţia (6.37) poate fi integrată astfel

,d

1

d 0

2∫ ∫−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

prt

prs

p

p H

pr

prpr z

TRg

pZB

ppZ

(6.38)

unde H este adâncimea sondei, iar parametrul B are expresia

.82

0

0052 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πλ

=pcpTTQp

dgB (6.39)

Definind integrala

,

1

d

21 ∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=prp

a

pr

prpr

a

pZB

ppZ

aI (6.40)

ecuaţia (6.38) ia forma

,TRHgII asat =− (6.41)

unde Iat = Ia(pprt) şi Ias = Ia(pprs). Pentru a se simplifica aplicarea practică a ecuaţiei (6.41), integrala (6.40) a fost evaluată numeric, prin metoda trapezelor, şi tabelată pentru diferite valori ale parametrilor B şi Tpr, unde Tpr = T/Tpc este temperatura pseudoredusă, iar Tpc – temperatura pseudocritică. Valorile integralei Ia astfel obţinute sunt reprezentate grafic în figurile 6.5 şi 6.6. Graficele din figura 6.5 corespund domeniului valorilor mici ale presiunii, definit de presiunile pseudoreduse cuprinse între 1 şi 5, respectiv de presiunile situate între 4,1 şi 22 MPa. Graficele din figura 6.6 au fost stabilite pentru domeniul presiunilor mari, definit de presiunile pseudoreduse cuprinse între 3 şi 12 (sau de presiunile superioare valorii de 13,8 MPa). Referitor la temperatura pseudoredusă, s-a considerat acoperitor din punct de vedere practic domeniul valorilor cuprinse între 1,5 şi 1,7. Parametrul B are valorile 0, 5, 10 şi 20 în figura 6.5, respectiv 0, 5 şi 10 în figura 6.6. Pentru calculul presiunii de suprafaţă în tubing când se cunoaşte ps, se calculează parametrul B, se citeşte, din figurile 6.5 sau 6.6, valoarea Ias, iar din relaţia (6.41) scrisă astfel

,TRHgII asat +=

se calculează Iat. Apoi, din aceleaşi grafice, se determină pprt şi deci pt. Când se cunoaşte pt şi se cere ps, se calculează B, se determină din figurile 6.5 sau 6.6 valoarea Iat, se calculează din relaţia (6.41) valoarea Ias şi, în final, se determină din figurile 6.2, 6.3 valoarea lui ps. În acest caz, calculele se efectuează prin încercări, deoarece, simultan cu valoarea lui ps, trebuie determinată şi valoarea lui Q din ecuaţia (6.33). Se observă că, pentru calculul lui B, este necesară cunoaşterea debitului Q0 = Q.

6.2.4. Presiunea de suprafaţă în coloană Cunoscând presiunea de adâncime ps a sondei (la intrarea în tubing) şi ştiind că gazele din coloană se află în repaus, presiunea de suprafaţă în coloană, pc, se determină pe baza legii de variaţie a presiunii într-un gaz aflat în repaus

Figura 6.5 Graficele funcţiei Ia(ppr,B)

pentru presiunea pseudoredusă cuprinsă între 1 şi 5 şi pentru diferite valori ale

parametrului B

Figura 6.6 Graficele funcţiei Ia(ppr,B)

pentru presiunea pseudoredusă cuprinsă între 3 şi 12 şi pentru diferite valori ale

parametrului B



sub acţiunea câmpului gravitaţional, exprimată astfel

,e mm TRZHg

sc pp−

= (6.42) unde Zm este factorul de abatere al gazelor, la presiunea medie pmc şi temperatura medie Tm a gazelor din spaţiul inelar coloană – tubing. Valorile medii ale presiunii şi temperaturii au, prin definiţie, expresiile

( ) ( ) ,de0∫

−=

HzTRzZ

zgs

mc zHpp (6.43)

( ) .d1

0∫=H

m zzTH

T (6.44)

Dacă se admite că distribuţia temperaturii este descrisă de relaţia (1.14), din relaţia (6.44) se obţine expresia

( ) ( ) .21

211d1

002

00 TTHTHg

HzTzg

HT zt

H

tm +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= ∫ (6.45)

Determinarea presiunii medii în coloană cu relaţia (6.43) implică integrarea numerică a exponenţialei de sub integrală. O variantă simplificată aproximativă constă din admiterea mărimilor Z şi T constante şi egale cu Zm şi Tm. În aceste condiţii, relaţia (6.43) duce la ecuaţia

,e–1⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−mm TRZ

Hgmms

mc HgTRZpp (6.46)

care se rezolvă prin încercări, în raport cu pm şi Zm. 6.2.5. Puterea necesară comprimării gazelor În cazul discutat în paragraful 6.2.2.3, menţinerea debitului sondei la o valoare constantă, odată cu scăderea presiunii de suprafaţă din tubing sub presiunea de intrare în conducta colectoare, se realizează prin creşterea continuă a puterii consumate de compresor. Cunoscând temperatura gazelor înainte şi după comprimare, pentru creşterea presiunii gazelor de la valoarea pt < pk la valoarea pk a presiunii din conducta colectoare (în condiţiile aspiraţiei din sondă a debitului constant Q), este necesară creşterea entalpiei specifice masice a gazului de la it = i(pt) la ik = i(pk). Puterea P (în kW) necesară comprimării gazelor, în aceste condiţii, este dată de relaţia

,0

ηΔρ

=iQP (6.47)

unde Q este debitul volumic (în sm3N ), ρ0 – densitatea gazelor în condiţii normale (în 3

Nmkg ), Δi = ik – it (în kJ/kg), iar η – randamentul staţiei de compresoare (egal, de regulă, cu 0,3). 6.3. Probleme 6.3.1. Problemă rezolvată 6.1. Un zăcământ de gaze cu frontiera impermeabilă este constituit dintr-o rocă bine consolidată şi se caracterizează prin: resursa geologică G = 4,535·108

3Nm , pi = 29,579 MPa, T = 366,45 K, ppc = 4,54 MPa, Tpc = 243 K, Cl = 8,17·1017

Pa/m3, Cn = 2,1·1016 Pa·s/m6, u = 2,38·1012 p – 2·1019 pentru p ≥ 19 MPa, Se cer: a) presiunea medie a zăcământului, când producţia cumulativă de gaze are valoarea Gp = 2,1·108 3

Nm ; b) debitul sondei cu comportare medie, corespunzător menţinerii presiunii dinamice de adâncime la valoarea ps = 6,8 MPa, impusă de presiunea de intrare în conducta colectoare. Se dă valoarea us = 4·1018 Pa/s. Rezolvare a) Se calculează parametrii pseudoreduşi ai gazelor definiţi de ecuaţiile ,, pcprpcpr TTTppp == (6.48) din care, în condiţiile iniţiale de presiune şi temperatură ale zăcământului rezultă

,508,124345,366,515,654,4579,29 ====== pcprpcipri TTTppp valori pentru care se citeşte, din diagrama STANDING–KATZ (figura 6.7), factorul de abatere de la legea gazelor perfecte Zi = 0,89, apoi, din ecuaţia modelului zerodimensional (6.10) se determină

.Pa943.844.17535,41,21

89,010579,29 6

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

m

m

Zp (6.49)

Tabelul 6.1

p, MPa u, 1018 Pa/s p, MPa u, 1018 Pa/s 2,76 0,631 13,79 14,368 5,51 2,503 16,55 20,028 8,27 5,433 19,31 26,170

11,03 9,403 22,06 32,598



Pentru calcularea valorii pm trebuie cunoscut factorul de abatere Zm, care depinde de pm prin intermediul presiunii pseudoreduse pprm = pm/ppc, deci calculul nu se poate face decât prin încercări, procedându-se după cum urmează: se alege o valoare presupusă Zmp a factorului de abatere Zm, se calculează pm din relaţia (6.49), apoi se află presiunea pseudoredusă pprm din prima relaţie (6.48); pentru valorile pprm şi Tpr se citeşte din diagrama redată în figura 6.7 factorul de abatere Zmd, care se compară cu valoarea Zmp aleasă iniţial; dacă mdmp ZZ − ≤ εad, unde εad este eroarea admisibilă,

calculul se încheie, iar valoarea presiunii medii de zăcământ pm este corectă. În caz contrar, calculul se reia, pornind de la valoarea Zmd citită la prima iteraţie. În cazul de faţă, succesiunea calculelor este următoarea: se alege Zmp = 0,775, se calculează pm = 0,775·17.844.943 = 13.829.830 Pa din relaţia (6.49), apoi pprm = 13.829.830/(4,54·106) = 3,0463 din prima ecuaţie (6.48); pentru pprm = 3,0463 şi Tpr = 1,508 se citeşte din diagramă Zmd = 0,775, valoare identică cu cea presupusă, deci pm a fost determinată corect. b) În cazul sondei cu presiune dinamică de adâncime ps constantă, debitul volumic de gaze în condiţii normale este soluţia ecuaţiei de gradul doi (6.57) şi are forma (6.33) din care se obţine valoarea

( ) ( ),/zim541.876/400.86·/sm1451,10

101,2210445,14101,241017,81017,8 3

N3N16

181621717==

⋅⋅

⋅−⋅⋅+⋅+⋅−= zisQ

unde um se calculează prin interpolarea liniară a valorilor din tabelul 6.1 (ecuaţia lui u din enunţ fiind valabilă numai pentru presiuni superioare valorii de 19 MPa, în vreme ce pm = 13,83 MPa), astfel

( )( )

( ) .Pa/s10450,141079,13830.829.131079,1355,1610368,14028,2010368,14 186

6

1818 ⋅=⋅−

⋅−⋅−

+⋅=mu

6.3.2. Probleme propuse 6.2. Un zăcământ de gaze lipsit de influx de apă se caracterizează prin: presiunea iniţială pi = 45,4 MPa, temperatura T = 388 K, resursa geologică G = 9,092·108 3

Nm , producţia cumulativă de gaze Gp = 6,4433·108 3Nm şi

parametrii pseudocritici ai gazelor ppc = 4,57 MPa, respectiv Tpc = 191,34 K. Se cere să se determine: a) presiunea medie a zăcământului la sfârşitul următorului an de producţie, în care se va extrage cumulativul de gaze ΔGp = 0,81·108 3

Nm ; b) rezerva recuperabilă corespunzătoare presiunii medii de abandonare pma = 4 MPa.

Figura 6.7. Diagrama STANDING–KATZ pentru determinarea factorului de abatere

al gazelor naturale



6.3. Resursa geologică a unui zăcământ de gaze, calculată din date de carotaj şi probe de rocă, este G = 5,36·109 3Nm . După obţinerea producţiei cumulative de gaze Gp = 2,01·109 3

Nm , presiunea a scăzut de la pi = 24,13 MPa la pm = 17,24 MPa. Cunoscând valorile factorului de abatere, determinate experimental, la temperatura de zăcământ T = 60 °C şi la cele două presiuni: Zi = 0,85, respectiv Zm = 0,82, se cer: a) resursa geologică de gaze, estimată din date de presiune – producţie, presupunând că nu există influx de apă; b) volumul cumulativ de apă pătrunsă în zăcământ în timpul obţinerii producţiei cumulative de gaze Gp, dacă valoarea resursei geologice G = 5,36·109 3

Nm este corectă.

6.4. Un zăcământ de gaze, aflat sub acţiunea împingerii parţiale a apei de influx, a produs volumul cumulativ de gaze Gp = 3,21·109 3

Nm , în condiţiile scăderii presiunii de la pi = 20,7 MPa la pm = 15,18 MPa. Prin metoda volumului descris de aria zonei invadate de apă, s-a stabilit că, în acest interval de timp, a pătruns în zăcământ volumul cumulativ de apă We = 8,27·105 m3. Cunoscând valorile factorului de abatere, la temperatura de zăcământ T = 77 °C şi la cele două presiuni: Zi = 0,88, respectiv Zm = 0,78, se cere să se determine: a) factorul de volum bgm al gazelor la presiunea medie pm; b) resursa geologică de gaze, G. 6.4. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Cum se definesc parametrii medii ponderaţi volumic ai unui model zerodimensional? 2. În ce constă estimarea resursei iniţiale a unui zăcământ de gaze cu împingere de apă prin metoda lui BRUNS ş.a.? 3. Ce mărimi se determină în cadrul calculelor de prevedere a comportării în exploatare a unui zăcământ de gaze? 4. Care sunt variantele de determinare a debitului potenţial al sondei de gaze cu comportare medie? B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Variaţia raportului pm/Zm în funcţie de producţia cumulativă a unui zăcământ de gaze cu frontiere impermeabile. 2. Variaţiile resursei geologice aparente de gaze Ga în funcţie de We/(bg – bgi), admiţând diferite dimensiuni ale

acviferului adiacent. C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Model zerodimensional pentru exploatarea unui zăcământ de gaze cu frontiere impermeabile. 2. Analiza în laborator a comportării de fază a unui sistem de hidrocarburi de tip gaze cu condensat. 3. Estimarea presiunii de suprafaţă în tubing când se cunoaşte presiunea de adâncime a sondei. D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Modele zerodimensionale – modele tridimensionale ale mişcării fluidelor în medii poroase. 2. Regim de exploatare prin expansiunea gazelor – regim de exploatare prin împingerea apei din acvifer.


Capi to lu l 7

DEZLOCUIREA NEMISCIBILĂ A ŢIŢEIULUI

7.1. Aspecte generale Procesele de dezlocuire a ţiţeiului asociate cu un front de discontinuitate a saturaţiei au loc atât în cadrul exploatării primare, prin influxul apei din acvifer sau prin expansiunea gazelor din capul de gaze, cât şi în exploatarea secundară sau terţiară, atunci când se injectează în zăcământ apă sau gaze, în scopul menţinerii parţiale sau totale a presiunii sau ca proces de spălare a zăcământului. Mobilitatea λ = k/μ a fluidului dezlocuitor fiind, de regulă, mai mare decât cea a ţiţeiului, în spatele frontului de dezlocuire are loc mişcarea simultană a acestor două fluide. Prin adăugarea unui polimer în apa de injecţie, se poate obţine o scădere a mobilităţii acesteia la valori apropiate de cea a ţiţeiului, realizându-se astfel condiţiile unei dezlocuiri de tip piston, caracterizată printr-o saturaţie reziduală în ţiţei constantă în spatele frontului de dezlocuire. Practic, între injecţia de apă destinată menţinerii presiunii de zăcământ şi aceea corespunzătoare spălării cu apă nu există deosebiri decât în privinţa momentului iniţierii procesului respectiv. Astfel, în timp ce spălarea cu apă este un proces de exploatare secundară, care se aplică după atingerea debitului limită economică al perioadei de exploatare primară, menţinerea presiunii prin injecţie de apă este destinată suplimentării energiei de zăcământ şi îmbunătăţirii caracteristicilor de producţie, aplicându-se începând de la un anumit moment al exploatării primare. La baza deciziei de aplicare a procesului de injecţie a apei în zăcământ, în scopul menţinerii presiunii sau al spălării cu apă, trebuie să stea o analiză aprofundată a următorilor factori principali ai zăcământului: configuraţia geometrică, litologia, adâncimea, porozitatea, permeabilitatea, continuitatea proprietăţilor rocii colectoare, distribuţia şi valorile saturaţiilor în fluide, proprietăţile fluidelor, proprietăţile sistemului rocă – fluide etc. Poziţiile sondelor de injecţie şi de extracţie depind de geologia zăcământului şi de volumul rocii colectoare care trebuie spălat într-un timp definit de criterii economice. Ideea folosirii efectelor favorabile ale gravitaţiei în cadrul proceselor de injecţie a unor fluide în zăcăminte de ţiţei a condus la două sisteme principale de amplasare a sondelor de injecţie şi anume: 1) Sistemul extracontural, caracterizat prin gruparea sondelor de injecţie în zona centrală sau în zona periferică; 2) Sistemul intracontural sau în reţea, caracterizat prin distribuirea sondelor de injecţie printre sondele de extracţie. Amplasarea centrală sau periferică a sondelor de injecţie se aplică în următoarele cazuri: a) Când zăcământul are cap de gaze în care se injectează gaze; în acest caz, sondele de injecţie sunt grupate în anticlinal (în centru), unde se află capul de gaze. b) Când zăcământul este de tip anticlinal mărginit inferior de un acvifer în care se injectează apă; în această situaţie, sondele de injecţie formează un inel (periferic) în jurul zăcământului. c) Când zăcământul este de tip monoclinal asociat cu un cap de gaze sau cu un acvifer şi urmează să fie supus unui proces de injecţie de apă sau de gaze. În aceste condiţii, sondele de injecţie se grupează într-unul sau mai multe şiruri, situate la baza zăcământului dacă se injectează apă, respectiv în capul de gaze dacă se injectează gaze. Amplasarea sondelor în reţea este folosită, de obicei, în cazul zăcămintelor care au înclinare mică şi aria suprafeţei orizontale mare sau al zăcămintelor orizontale. În acest caz, pentru asigurarea unei spălări uniforme a zăcământului, sondele de injecţie se poziţionează printre sondele de extracţie. Există reţele de sonde simetrice sau nesimetrice. Tipurile de reţele simetrice sunt următoarele: a. Reţea în linie directă; în acest caz, sondele a două şiruri consecutive de sonde de injecţie şi sonde de extracţie se află faţă în faţă (figura 7.1). Acest sistem de amplasare a sondelor este caracterizat prin parametrii: a – distanţa dintre sondele de acelaşi tip şi d – distanţa dintre două şiruri adiacente de sonde de injecţie, respectiv de extracţie. b. Reţea în linie alternantă; în acest tip de reţea, sondele de injecţie sunt dispuse lateral, cu distanţa a/2, faţă de sondele de extracţie (figura 7.2). c. Reţea în cinci puncte, numită şi reţea pătratică. Acest caz reprezintă varianta reţelei în linie alternantă, particularizată prin a = 2d, ceea ce revine la amplasarea fiecărei sonde de injecţie în centrul unui pătrat care are în vârfuri centrele a patru sonde de extracţie (figura 7.3). Reţelele de tipurile a, b şi c se caracterizează prin identitatea numărului ni al sondelor de injecţie cu numărul ne al sondelor de extracţie. d. Reţea în şapte puncte, numită şi reţea hexagonală. În acest caz, sondele de injecţie sunt amplasate în vârfurile unui hexagon, în al cărui centru se situează o sondă de extracţie (figura 7.4). Ca urmare, această reţea se caracterizează prin ni = 2ne. e. Reţea în nouă puncte. Acest tip de reţea este similar reţelei în cinci puncte, cu deosebirea că în mijlocul fiecărei laturi a pătratului se situează, în plus, câte o sondă de injecţie, ceea ce duce la ni = 3ne (figura 7.5).

Figura 7.1 Reţea de sonde în linie

directă

Figura 7.2 Reţea de

sonde în linie alternantă

Figura 7.3 Reţea de sonde cu elemente

în cinci puncte

92 7. DEZLOCUIREA NEMISCIBILĂ A ŢIŢEIULUI


Dacă poziţiile sondelor de injecţie şi de extracţie se schimbă între ele, se obţin reţelele inversate. Deşi, în cazul reţelei în cinci puncte inversate, relaţia ni = ne se menţine, elementul de reţea în cinci puncte inversat diferă de cel al reţelei clasice prin faptul că sondele din vârfurile pătratului sunt sonde de extracţie, iar sonda centrală este de injecţie. Reţelele inversate în şapte puncte şi în nouă puncte se caracterizează prin relaţiile ni = ne/2, respectiv ni = ne/3.

În mod obişnuit, alegerea unei reţele simetrice se face dintre tipurile de reţele în linie directă sau alternantă (cu varianta în cinci puncte), deoarece celelalte tipuri de reţea necesită forarea şi echiparea unui număr suplimentar de sonde de injecţie. În cazul unui zăcământ anizotrop, reţeaua simetrică trebuie asimetrizată, prin mărirea distanţei dintre sonda de injecţie şi sondele de extracţie pe direcţia în care permeabilitatea are valoarea maximă. 7.2. Prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire unidimensională de tip piston

Presupunând dezlocuirea unidimensională de tip piston a ţiţeiului determinată de avansarea frontului de dezlocuire de la şirul sondelor de injecţie a apei, dispuse extracontural, către şirul sondelor de extracţie (figura 7.6) şi indexând cu 1 mărimile aferente zonei de mişcare a ţiţeiului şi cu 2 pe cele corespunzătoare zonei de mişcare a apei, legea evoluţiei frontului de dezlocuire, exprimată implicit astfel F(x,t) = 0 , (7.1) ia, prin diferenţiere, forma

,0dd

=∂∂

+∂∂

= fxxtx

xF

tF (7.2)

care, pe baza legii lui DARCY, devine

,0dd 1

1

11 =∂∂

−∂∂μ

= fxxxp

xF

tF

km (7.3)

unde xf este abscisa frontului de dezlocuire. În ecuaţia (7.3) s-a ţinut seama că, pentru x = xf, există relaţiile

,dd

dd 1

11

1

1

1

2

2xp

mk

mv

mv

tx

μ−=== (7.4)

unde m1 = m(1 – sai) , m2 = m(1 – sai – spr) . (7.5) Întrucât, în cazul dezlocuirii unidimensionale, ecuaţia (7.1) are forma x – xf(t) = 0 , (7.6) rezultă că

t

xtF

xF f

dd

,1 −=∂∂

=∂∂ (7.7)

şi ecuaţia (7.3) se reduce la

.0dd

dd 1

1

11 =+μ

= fxx

f

xp

tx

km (7.8)

Ecuaţiile de continuitate pentru mişcările monofazice ale ţiţeiului şi apei din zonele 1, respectiv 2, sunt

( ) ( ) ,2,1,0dd

==ρ ivx ii

şi, pe baza ecuaţiei lui DARCY şi a relaţiei de stare, exprimate astfel

( ) ,2,1,constant,dd

==ρμ

−= ixpkv i

i

i

ii

iau forma

( )2,1,0dd

2

2== i

xpi

şi au soluţia .iii bxap += (7.9) Pe baza condiţiilor la limite, scrise astfel p1 = ps la x = 0 , p2 = pc la x = l , p1 = p2 şi v1 = v2 la x = xf , (7.10) se determină constantele de integrare care, după înlocuire în relaţiile (7.9), dau formulele

Figura 7.4 Reţea de sonde cu

elemente în şapte puncte

Figura 7.5 Reţea de sonde cu elemente în

nouă puncte

Figura 7.6 Domeniile mişcării apei şi ţiţeiului în cadrul dezlocuirii unidimensionale de tip piston a

ţiţeiului



( ) ,0,1 fff

scs xxx

xlxMppMpp ≤≤−+

−+= (7.11)

( ) ,,2 lxxxlxlxM

pppp fff

scc ≤≤−

−+−

−= (7.12)

unde

21

12

1

2μμ

=λλ

=kkM (7.13)

este raportul dintre mobilitatea apei şi mobilitatea ţiţeiului. Introducând expresia (7.11) în ecuaţia (7.8), se obţine forma

( ) ,0d

d

1

11 =−+

−+

μ

ff

scf

xlxMppM

tx

km (7.14)

care, prin separarea variabilelor şi integrare, duce la relaţia

( ) ( ) .dd021

2 ∫∫ μ−

−=−+t

scx

lfff t

mppkxxlxM

f

(7.15)

Prin efectuarea calculelor şi gruparea termenilor, relaţia (7.15) poate fi scrisă sub forma

( ) ( ) ,1212

2

2

221

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−μ

= Ml

xl

xM

ppklmt ff

sc (7.16)

din care, pentru xf = 0, se obţine timpul

( ) ( ) ,12 2

221 M

ppklmt

sci +

−μ

= (7.17)

corespunzător momentului inundării sondelor de extracţie. Relaţia (7.16) poate fi folosită pentru prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire. Astfel, pentru un şir de valori descrescătoare ale lui xf/l, cuprinse în intervalul 1 > xf/l > 0, se obţin valorile timpului în care frontul de dezlocuire ajunge în poziţia respectivă. Pe de altă parte, cu perechile de valori (xf/l, t) astfel determinate, din relaţia ( )( )praifp ssxlAmN −−−= 1 (7.18) se calculează producţia cumulativă de ţiţei în funcţie de timp. Asimilând şirul sondelor de extracţie cu o galerie având aria secţiunii transversale A, debitul acesteia se determină din relaţia

( ) ,1

1

ff

scxlxM

ppMkAQ−+

−μ

= (7.19)

pentru xf/l şi t calculate, ca un şir de valori, din ecuaţia (7.16).

7.3. Prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire radial plană de tip piston În cazul reţelelor clasice în cinci puncte şi în şapte puncte, fiecărei sonde de extracţie îi revine câte o baterie circulară de sonde de injecţie formată din patru, respectiv şase sonde de injecţie. În aceste condiţii, începând de la o anumită distanţă de sonda de extracţie, mişcarea devine radial plană. Dacă numărul sondelor de injecţie dispuse într-o baterie circulară este relativ mare, dezlocuirea ţiţeiului de către apă are caracter radial plan. Procedând ca în paragraful precedent, ecuaţia diferenţială (7.3), scrisă astfel

,0dd 1

1

11 =∂∂

−∂∂μ

= frrrp

rF

tF

km (7.20)

descrie, sub formă diferenţială, evoluţia frontului de dezlocuire de tip piston, unde rf este raza frontului de dezlocuire (figura 7.7) la timpul t. Întrucât frontul de dezlocuire are relaţia implicită r = rf(t) , (7.21) rezultă că

( )t

rtF

rFtrrF f

f dd

,1, −=∂∂

=∂∂

−= (7.22)

şi ecuaţia (7.20) devine

.0dd

dd 1

1

11 =+μ

= frr

f

rp

tx

km (7.23)

Figura 7.7 Domeniile mişcării apei şi ţiţeiului în cadrul dezlocuirii radial

plane de tip piston a ţiţeiului



Ecuaţiile de continuitate ale mişcărilor monofazice radial plane ale ţiţeiului şi apei, scrise în coordonate cilindrice astfel

( ) ( ) ,2,1,0dd1

== ivrrr i

duc, prin asociere cu ecuaţia lui DARCY şi relaţia de stare, la ecuaţiile

( ) .2,1,0dd

dd1

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ i

rpr

rri

Soluţia acestor ecuaţii are forma ( )2,1,ln =+= ibrap iii (7.24) şi descrie legea de variaţie a presiunii în domeniul mişcării. Impunând relaţiilor (7.24) condiţiile la limite scrise astfel

p1 = ps la r = rs , p2 = pc la r = rc , p1 = p2 şi v1 = v2 la r = rf , se obţine un sistem de ecuaţii algebrice, din a cărui rezolvare rezultă expresiile constantelor de integrare, care, introduse în relaţiile (7.24), dau formulele

( ) ,,lnlnln

1 fss

f

c

s

fsc

s rrrrr

rr

rr

M

ppMpp ≤≤+

−+= (7.25)

,,lnlnln

2 cfc

f

c

s

fsc

c rrrrr

rr

rr

M

pppp ≤≤+

−−= (7.26)

unde raportul mobilităţilor M are expresia (7.13). Pe baza relaţiei (7.25), ecuaţia (7.23) devine

( ) 01

lnlnd

d

1

11 =+

−+

μ

f

f

c

s

fscf

rrr

rr

M

ppMt

rk

m (7.27)

şi, după integrare, duce la formula

( ) ,1ln1lnln4 2

2

2

2

2

2

2

2

2

221

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−−

−μ

= MrrMM

r

rM

r

r

r

rppk

rmts

c

s

f

c

f

c

f

sc

c (7.28)

care descrie evoluţia frontului de dezlocuire radial plană de tip piston. Timpul de inundare a sondei de extracţie rezultă din relaţia (7.28), particularizată pentru rf = rs astfel

( ) .1ln1ln4 2

2

2

2

2

2

2

221

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−μ

= MrrMM

rr

rr

ppkrmt

s

c

c

s

c

s

sc

ci (7.29)

Calculând, din relaţia (7.28), valorile lui t corespunzătoare diferitelor valori considerate pentru rf în domeniul rc > rf > rs, se realizează prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire radial plană. Producţia cumulativă, la un timp t astfel calculat, se determină din relaţia ( ) ( ) ,122

praifcp sshrrmN −−−π= (7.30) unde rf(t) are valoarea ce i-a fost atribuită în cadrul calculului lui t din relaţia (7.28). Conform legii lui DARCY, asociată cu ecuaţia (7.25), debitul de ţiţei are expresia

( ) ,lnln

2

2

2

1

1

f

c

s

fsc

rr

krr

k

pphQμ

+μ

−π= (7.31)

care arată că, în condiţiile unei mobilităţi k2/μ2 a apei mai mari decât cea a ţiţeiului, debitul de ţiţei creşte pe măsura avansării frontului de dezlocuire, dacă pc şi ps sunt invariabile în timp.

7.4. Dezlocuirea fracţională unidimensională. Teoria BUCKLEY – LEVERETT Dezlocuirea ţiţeiului în condiţiile existenţei unei mişcări difuze, caracterizate printr-o distribuţie a saturaţiilor în fluide de-a lungul mişcării invariabilă pe grosimea stratului, se numeşte dezlocuire de tip fracţional şi se întâlneşte în următoarele cazuri: a) când dezlocuirea ţiţeiului de către fluidul de dezlocuire se efectuează la debite de injecţie mari, astfel încât efectele capilare şi gravitaţionale devin neglijabile, şi b) când dezlocuirea are loc la debite de injecţie mici, într-un zăcământ în care înălţimea zonei de tranziţie capilară este foarte mare în raport cu grosimea stratului. În acest sens, experimentele de laborator privind determinarea relaţiilor permeabilitate efectivă – saturaţie corespund mişcării difuze realizate la debite mari. Utilizarea frecventă a teoriei dezlocuirii de tip fracţional are la bază faptul că admiterea ipotezei mişcării difuze permite descrierea matematică a procesului de dezlocuire unidimensională printr-un model simplu.



În cadrul teoriei mişcării fracţionale, un rol important îl are fracţia fD a debitului de fluid dezlocuitor QD din debitul total Qt, exprimată astfel

,1 tto

tto

to

D

tD

DD f

QQQ

QQ

QQQf −=

−==

+= (7.32)

unde ft este fracţia de debit pentru ţiţei, iar debitele celor două faze, în condiţiile mişcării unidimensionale într-un strat înclinat, sunt date, conform legii lui DARCY, de formula

( ) ,,,sin tDfgx

pkkQ f

f

f

rff =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αρ+

∂

∂

μ−= (7.33)

în care α este unghiul de înclinare a stratului faţă de planul orizontal, x – variabila spaţială pe direcţia mişcării (figura 7.8), iar A – aria suprafeţei secţiunii transversale. Admiţând fluidele incompresibile şi debitul injectat Qi = Qto = constant, prin eliminarea presiunilor şi debitelor de fază între relaţiile (7.32) şi (7.33) se obţine formula

,1

sin1

rDt

rtD

c

tto

rt

D

kk

gx

pQ

Akk

f

μμ

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ αρΔ−∂

∂μ

+= (7.34)

unde Δρ = ρD – ρt este diferenţa densităţilor fluidului dezlocuitor şi ţiţeiului, iar pc = pt – pD (7.35) este presiunea capilară, definită pozitiv pentru un mediu poros umezit preferenţial de fluidul dezlocuitor. În cazul în care efectele capilare şi cele gravitaţionale sunt neglijabile, relaţia (7.34) se reduce la forma

,11−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

+=rDt

rtDD k

kf (7.36)

care arată că, pentru dezlocuirea izotermă, la care vâscozităţile ţiţeiului şi fluidului dezlocuitor pot fi considerate constante, fracţia fD este dependentă numai de saturaţia sD, prin intermediul permeabilităţilor relative, şi are graficul tipic prezentat în figura 7.9. BUCKLEY ŞI LEVERETT, folosind noţiunea de front de saturaţie constantă, căreia îi este asociată, în sistem unidimensional, ecuaţia implicită ( ) ,constant, =txsD (7.37) au stabilit formula vitezei de deplasare a frontului de saturaţie constantă. Derivând ecuaţia (7.37), se obţine forma

,0dd

=∂

∂+

∂∂

tx

xs

ts DD

din care rezultă pentru viteza de deplasare a unui front de saturaţie constantă expresia

.dd

xs

ts

txv DD

∂∂

∂∂

−== (7.38)

În condiţiile mişcării difuze a celor două fluide incompresibile (ţiţeiul şi apa), ecuaţia de bilanţ material scrisă pentru fluidul dezlocuitor, în cadrul unui volum de control de lungime dx (v. figura 7.8), are forma

.t

sQ

Amx

f D

to

D∂

∂−=

∂∂ (7.39)

Dacă fD depinde numai de sD, atunci

xsf

xs

sf

xf D

DD

D

DD∂

∂=

∂∂

=∂

∂ 'dd

şi, din relaţia (7.39), se obţine expresia

,'D

DtoD fx

sAm

Qt

s∂

∂−=

∂∂

care, înlocuită în relaţia (7.38), duce la formula

,dd '

Dto fAm

Qtxv −== (7.40)

cunoscută sub numele de ecuaţia BUCKLEY-LEVERETT sau ecuaţia avansului frontal. Prin integrarea ecuaţiei (7.40) se obţine poziţia frontului de saturaţie constantă la timpul t de injecţie a apei, sub forma

,d1 ''

0

'D

toD

tot

toD fAm

VfAmtQtQf

Amx === ∫ (7.41)

Figura 7.8 Element de control pentru bilanţul volumic al

fluidului dezlocuitor aferent domeniului dezlocuirii unidimensionale de tip fracţional a ţiţeiului

Figura 7.9 Graficul fracţiei de debit

a fluidului dezlocuitor



unde Vto este volumul cumulativ de fluid dezlocuitor injectat, în condiţii de zăcământ, la timpul t. Pe baza relaţiei (7.41) şi a determinării derivatei

'Df , se poate trasa distribuţia saturaţiei de-a lungul

mişcării. Deoarece curba fD(sD) din figura 7.9 prezintă un punct de inflexiune, graficul derivatei '

Df are forma din figura 7.10 şi, conform relaţiei (7.41), curba de distribuţie a saturaţiei se prezintă ca în figura 7.11. Din această figură se observă că unui front de saturaţie constantă, ajuns la distanţa x, îi corespund două valori

ale saturaţiei sD. Acest fapt, lipsit de semnificaţie fizică, este evitat prin admiterea unui front de discontinuitate a saturaţiei, numit front de dezlocuire şi definit de saturaţia sDf (figura 7.11), obţinută prin găsirea verticalei care asigură identitatea ariilor suprafeţelor haşurate SA şi SB. În spatele acestui front, saturaţia în fluid dezlocuitor variază în intervalul sDf < sD < 1 – str, iar gradientul presiunii capilare este neglijabil. Ca urmare, relaţia (7.34) se reduce la forma

,1sin1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αρΔ

μ−=

rDt

rtD

tto

rtD k

kgQ

Akkf (7.42)

care arată că, în condiţiile considerate, fD este funcţie numai de sD, ca în relaţia (7.36). Conform metodei BUCKLEY – LEVERETT, profilul saturaţiei la un moment oarecare al procesului de dezlocuire se determină trasându-se, pe baza graficului fD(sD) şi a ecuaţiei (7.41), graficul sD(x) şi găsindu-se, prin planimetrări succesive, saturaţia sDf (figura 7.11). Dacă distanţa dintre şirul sondelor de injecţie şi cel al sondelor de extracţie este suficient de mare, începând de la un anumit timp de injecţie se formează o zonă în care saturaţia în ţiţei atinge valoarea ireductibilă (remanentă) str. Ca urmare, înainte de inundarea sondelor de extracţie, în zăcământ pot exista trei zone distincte şi anume: zona mişcării monofazice a ţiţeiului, zona mişcării bifazice şi zona mişcării monofazice a fluidului dezlocuitor. Profilul saturaţiei pentru acest caz este prezentat în figura 7.12. Saturaţia medie în fluid dezlocuitor sDm, înainte de inundarea sondelor,

se obţine conform graficului din figura 7.13, aşa cum a preconizat WELGE, astfel

( ) ,d11 2

1

12 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= ∫

x

xDtrDm xsxs

xs (7.43)

unde x1 şi x2 sunt distanţele de la sondele de injecţie la frontierele din amonte, respectiv din aval ale zonei mişcării bifazice. Ţinând seama că x1, x2 şi dx pot fi exprimaţi prin formula (7.41), relaţia (7.43) devine

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+−= ∫

Df

D

s

sDDtr

DfDm fsfs

fs

1

'D

'1' d11 (7.44)

şi, după integrare prin părţi, se reduce la forma

,1

'Df

DfDfDm

f

fss

−+= (7.45)

unde ( )1''

1 DDD sff = , sD1 = 1 – str, fDf = fD(sDf), ( )DfDDf sff '' = . Ecuaţia (7.45) poate fi obţinută direct din triunghiul ABC (figura 7.13), prin egalarea derivatei în punctul A cu tangenta unghiului CAB. În acest mod, potrivit metodei WELGE, saturaţia frontului de dezlocuire se obţine prin găsirea abscisei punctului de tangenţă a tangentei dusă prin punctul de saturaţie iniţială sDi la curba fD(sD), iar saturaţia medie în spatele frontului de dezlocuire este dată de abscisa punctului B din figura 7.13. Pentru prevederea evoluţiei producţiei cumulative de ţiţei se disting două etape: cea anterioară inundării sondelor de extracţie şi cea de după inundare. În condiţiile admiterii fluidelor incompresibile şi a debitului de injecţie constant, producţia cumulativă înainte de inundarea sondelor de extracţie este egală cu volumul cumulativ de fluid injectat şi, potrivit relaţiei (7.41), se exprimă în funcţie de volumul porilor astfel

,1'D

pp

fLx

LAmN

N == (7.46)

unde L este distanţa dintre şirul sondelor de injecţie şi şirul sondelor de extracţie.

Figura 7.10 Graficul derivatei fracţiei

de debit a fluidului dezlocuitor

Figura 7.11 Curba de variaţie a saturaţiei în fluid dezlocuitor din

zona mişcării bifazice

Figura 7.12 Profilul saturaţiei în fluid dezlocuitor în cazul existenţei unei zone de mişcare monofazică în spatele zonei mişcării bifazice, înaintea inundării

sondelor de extracţie

Figura 7.13 Ilustrarea metodei

WELGE de determinare a saturaţiei în fluid dezlocuitor pe frontul de dezlocuire şi a saturaţiei medii în

fluid dezlocuitor din zona inundată



Timpul de inundare a sondelor de extracţie se obţine din relaţia (7.41), scrisă pentru x = L sub forma

.'Dfto

ifQLAmt = (7.47)

Producţia cumulativă în momentul inundării rezultă din relaţia (7.46) astfel

.1'Df

pipi

fLAmN

N == (7.48)

După inundarea sondelor de extracţie, zona mişcării bifazice îşi reduce lungimea, iar profilul saturaţiei ia forma din figura 7.14. Producţia cumulativă de ţiţei după inundarea sondelor se obţine făcând diferenţa dintre volumul fluidului dezlocuitor existent în zăcământ în momentul respectiv şi în momentul iniţial, astfel

( ) ( ) ,1 dDeDiDeDiDmpd

pd VfssssLAm

NN −+−=−== (7.49)

unde dV este volumul cumulativ adimensional de apă injectată, exprimat, pe baza relaţiei (7.41), sub forma

,1'De

tod

fLAmVV == (7.50)

iar sDm are, conform relaţiei (7.45), expresia ( ) ,1 dDeDiDm Vfss −+=

în care sDe este saturaţia la x = L după inundare, iar fDe = fD(sDe). Zona mişcării bifazice (figura 7.12) are lungimea x2 – x1 dependentă de raportul mobilităţilor fluidului dezlocuitor şi ţiţeiului. Astfel, cu cât mobilitatea fluidului dezlocuitor este mai mare decât mobilitatea ţiţeiului cu atât lungimea x2 – x1 este mai mare. Dacă raportul M determină o lungime neglijabilă a zonei mişcării bifazice, dezlocuirea este de tip piston şi corespunde identificării saturaţiei pe frontul de dezlocuire cu saturaţia medie din spatele acestuia. Deci, cu cât sDm este mai apropiat de sDf, cu atât dezlocuirea de tip fracţional se apropie mai mult de dezlocuirea de tip piston. 7.5. Dezlocuirea ţiţeiului cu soluţie de polimer 7.5.1. Aspecte generale Spălarea cu soluţie de polimer este cel mai folosit procedeu de control al mobilităţii în vederea creşterii eficienţei spălării volumetrice. Acest procedeu a fost descoperit în anul 1964 de PYE şi SANDIFORD, extinzându-se apoi rapid în industria petrolieră. Metoda constă din adăugarea unei concentraţii reduse de polimer (200…1.000 ppm1) în apa de injecţie, cu scopul reducerii mobilităţii fluidului dezlocuitor. Singurele tipuri de polimer utilizate în practică sunt poliacrilamida parţial hidrolizată (PAA), care măreşte vâscozitatea soluţiei apoase şi reduce permeabilitatea efectivă faţă de aceasta, şi guma de xanthan, al cărei efect este doar de creştere a vâscozităţii soluţiei. Ceilalţi polimeri care au fost studiaţi în laborator nu s-au dovedit fezabili pentru aplicaţiile de zăcământ, deoarece fie necesitau concentraţii mai mari (şi deci costuri suplimentare), fie aveau o stabilitate insuficientă în condiţii de zăcământ. Poliacrilamida parţial hidrolizată se prezintă sub formă de praf uscat, de culoare albă, lipsit de toxicitate şi necorosiv. Macromoleculele de PAA au masa moleculară de ordinul a 106 şi dimensiunile macromoleculelor de până la 1 μm. PAA reduce permeabilitatea efectivă a mediului poros faţă de soluţia injectată, ca rezultat al adsorbţiei şi reţinerii particulelor de polimer în porii rocii. Această micşorare a permeabilităţii este ireversibilă, neputând fi anulată prin spălare ulterioară cu apă. Alţi polimeri, ca oxizii de polietilenă, pot fi spălaţi cu apa de urmărire, fapt ce duce la restabilirea permeabilităţii la o valoare aproape identică cu cea iniţială. PAA este sensibilă la salinitatea apei şi, în consecinţă, pentru prepararea soluţiei de polimer trebuie folosită apă dulce (cu mai puţin de 10.000 ppm substanţe solide dizolvate). Întrucât soluţiile de PAA pot fi degradate mecanic de către tensiunea de forfecare, manipularea lor la suprafaţă, în timpul preparării şi pompării, impune o atenţie specială. Soluţiile de gumă de xanthan sunt aproape insensibile la salinitatea apei şi pot suporta eforturile de forfecare, ceea ce le face mai uşor manevrabile prin echipamentul de injecţie. Dezavantajele principale ale gumei de xanthan sunt pericolul de blocare a formaţiunii şi degradarea soluţiei sub acţiunea bacteriilor. Blocarea formaţiunii poate fi datorată precipitatelor generate prin combinarea polimerului cu cationi (crom, fier, calciu, magneziu) sau anioni (sulfaţi, fosfaţi), prezenţi ca impurităţi în masa polimerului sau în apa de injecţie. Blocarea formaţiunii poate fi evitată prin filtrarea soluţiei, iar atacul bacterian poate fi combătut cu bactericide. 7.5.2. Comportarea reologică a soluţiilor de polimer Comportarea reologică a soluţiilor de poliacrilamidă poate fi divizată în patru zone (figura 7.15), dintre care primele trei sunt prezente şi în cazul soluţiilor de gumă de xanthan.

1 ppm – părţi pe milion sau miligrame de substanţă dizolvată într-un kilogram de soluţie

Figura 7.14 Profilurile saturaţiei în fluid

dezlocuitor în momentul inundării sondelor de extracţie (curba continuă) şi

la un moment dat după inundarea acestora (curba intermitentă)



Aceste zone se caracterizează prin: vâscozitate aparentă maximă aproximativ constantă la valori mici ale vitezei (zona a, de comportare newtoniană); vâscozitate aparentă descrescătoare odată cu creşterea vitezei (zona b, de comportare pseudoplastică); vâscozitate aparentă minimă aproximativ constantă la valori relativ mari ale vitezei (zona c, corespunzătoare comportării newtoniene); vâscozitate aparentă crescătoare odată cu creşterea vitezei, deci comportare dilatantă (zona d). Admiţând că domeniul comportării dilatante este absent, comportarea soluţiei de polimer poate fi aproximată prin dreptele marcate prin linie întreruptă din figura 7.15, corespunzătoare comportărilor newtoniene definite de μmax şi μmin, respectiv comportării pseudoplastice descrise de legea puterii, modificată de BLAKE şi KOZENY sub forma

,1−=μ nap vH (7.51)

unde parametrii H şi n pot fi calculaţi direct, din date de mişcare a soluţiei prin probe de rocă, sau pot fi estimaţi din măsurători de vâscozitate. Cercetările experimentale au arătat că, pentru aceeaşi valoare a vitezei de forfecare, scăderea mobilităţii soluţiei de polimer este cu atât mai mare cu cât masa moleculară a polimerului este mai mare. Pentru a exprima micşorarea mobilităţii soluţiei de polimer faţă de cea a apei cu care a fost preparată soluţia respectivă, PYE a definit coeficientul de rezistenţă Rr sub forma

,apo

poa

po

ar pQ

pQIIR

Δ

Δ== (7.52)

care devine Rr = Qa/Qpo (7.53) când dezlocuirile cu apă şi soluţie de polimer au loc la aceeaşi presiune diferenţială (Δpa = Δppo), respectiv Rr = Δppo/Δpa (7.54) când Qa = Qpo. În relaţiile (7.52)…(7.54), I este indicele de productivitate, iar indicii a şi po corespund apei, respectiv soluţiei de polimer. Pe de altă parte, pe baza legii lui DARCY, ecuaţia (7.52) poate fi scrisă astfel Rr = λa/λpo , (7.55) unde λa este mobilitatea apei la saturaţia în ţiţei rezidual, iar λpo – mobilitatea soluţiei de polimer. Coeficientul de rezistenţă creşte odată cu creşterea volumului cumulativ de soluţie injectată în carotă, tinzând spre o valoare constantă, care constituie un indiciu al faptului că mediul poros nu va fi blocat. Caracterizarea reducerii permeabilităţii mediului poros faţă de soluţia de polimer, reflectată prin micşorarea mobilităţii apei injectate după dopul de soluţie de polimer, se poate face cu ajutorul coeficientului de rezistenţă reziduală, definit astfel Rrr = λa/λpa , (7.56) unde λa este mobilitatea apei înainte ca roca să fie contactată de soluţia de polimer, iar λpa – mobilitatea apei după ce mediul poros a fost în contact cu soluţia de polimer. Pentru controlul calităţii soluţiei de polimer, se foloseşte vâscozimetrul tubular prevăzut cu un pachet de site. În acest sens, se utilizează coeficientul de sită (sau de filtrare), definit ca raportul dintre debitul de apă scurs printr-un tub capilar prevăzut cu un pachet de site şi debitul soluţiei de polimer scurse prin acelaşi tub. Întrucât volumele lichidelor scurse prin vâscozimetrul cu site sunt aceleaşi, coeficientul de sită se reduce la raportul timpilor de scurgere a soluţiei de polimer, respectiv a apei. De regulă, coeficientul de sită este corelat cu masa moleculară a polimerului dizolvat şi cu reducerea de permeabilitate, reflectate prin coeficientul de rezistenţă Rr. Conform relaţiei (7.55), pentru a se obţine valori mari ale coeficientului de rezistenţă este necesară realizarea unor valori mici ale mobilităţii soluţiei de polimer. Cercetările de laborator efectuate cu diferite soluţii de polimer au arătat că, într-adevăr, valorile mari ale lui Rr se obţin ca rezultat atât al reducerii permeabilităţii prin reţinerea moleculelor de polimer în pori, cât şi al creşterii vâscozităţii apei în prezenţa polimerului. În cadrul mişcării soluţiei de polimer în medii poroase, aceste două efecte nu pot fi separate unul de celălalt. 7.5.3. Degradarea soluţiilor de polimer Pentru asigurarea eficienţei procesului de spălare, soluţia de polimer trebuie să rămână stabilă în condiţii de zăcământ, pentru o lungă perioadă de timp. Polimerii sunt însă susceptibili de degradări mecanice, chimice, termice şi bacteriene. Aceste degradări pot fi prevenite sau minimizate prin folosirea unor echipamente şi metode speciale. Degradarea mecanică a soluţiilor de poliacrilamidă parţial hidrolizată este provocată de tensiunile de forfecare ridicate şi vitezele mari care pot apărea în instalaţiile de dizolvare a polimerului, de filtrare şi de pompare a soluţiei, cât şi în mediile poroase cu permeabilitate mică. Se apreciază că degradarea mecanică apare în zonele cu pierderi locale de presiune mai mari de (0,15…0,2) MPa. Pentru a putea fi acceptate căderi locale de presiune mai mari decât aceste valori, se propune utilizarea unor dispozitive speciale şi se recomandă să se asigure o cât mai bună comunicaţie între sonda de injecţie şi stratul productiv. Cercetările au arătat că degradarea mecanică are un efect moderat asupra vâscozităţii (reducând-o, în cele mai multe cazuri, cu circa 5 procente) şi un efect major asupra coeficientului de sită (pe care îl reduce cu până la 90 de procente). Din acest motiv, în şantier se efectuează controlul calităţii soluţiei de polimer după

Figura 7.15. Comportarea reologică a soluţiilor de

polimer



trecerea prin instalaţiile în care ar putea să apară degradarea mecanică, precum şi înainte de injectarea soluţiei în zăcământ. Acest control constă în determinarea coeficientului de sită şi corelarea lui cu coeficientul de rezistenţă. Degradarea mecanică este mai intensă la debite mari. Astfel, vâscozitatea rămâne neafectată la debite mai mici de 6,84 m3/(m2·zi), iar coeficientul de sită nu suferă modificări la debite inferioare valorii 1,71 m3/(m2·zi). Degradarea mecanică a soluţiilor de polimer este accentuată în cazul formaţiunilor cu permeabilitate mică şi salinitate mare. Degradarea chimică apare în cazul în care soluţia de polimer se află în contact cu oxigenul sau cu alţi agenţi oxidanţi, în prezenţa anumitor ioni ai metalelor tranziţionale, ca rezultat al hidrolizei în medii acide sau bazice, al prezenţei inhibitorilor de coroziune sau chiar al unor substanţe solide aflate în suspensie. Degradarea chimică poate fi accentuată de temperatura ridicată şi de anumite radiaţii ale spectrului luminii. Cercetările de laborator au arătat că, prin contaminarea soluţiei de polimer cu oxigen, coeficientul de sită se poate reduce cu 30 de procente. Pentru îndepărtarea oxigenului din soluţia de poliacrilamidă, se poate folosi hidrosulfitul de sodiu, în concentraţie mică. Acest aditiv trebuie introdus în apă înaintea polimerului, lăsându-i-se timp să reacţioneze cu oxigenul. Deoarece, în prezenţa oxigenului liber şi a polimerului dizolvat, hidrosulfitul de sodiu tinde să catalizeze degradarea polimerului, se impune ca, după dizolvarea hidrosulfitului de sodiu, să se evite cu stricteţe contactul soluţiei cu oxigenul liber din aer. De asemenea, se mai poate folosi în acest scop formaldehida, în concentraţie mică. Degradarea termică a soluţiilor de poliacrilamidă parţial hidrolizată se manifestă prin micşorarea continuă a vâscozităţii în domeniul temperaturii cuprins între 120 °C şi 150 °C. În literatura de specialitate au fost publicate rezultatele unor cercetări cu privire la stabilitatea termică a diferitelor soluţii de polimer pe perioade de timp mai mari de 6 luni. Cu toate acestea, nu au fost încă precizate criterii ale stabilităţii termice de lungă durată, în diferite medii şi pentru orice tip de polimer. Degradarea termică este accentuată de prezenţa oxigenului, de valorile pH ridicate şi de prezenţa ionilor metalici. Astfel, temperaturile mai mari de 50 °C devin critice pentru anumiţi polimeri, când pH depăşeşte valoarea 10. 7.5.4. Estimarea performanţei spălării unidimensionale cu soluţie de polimer a unui zăcământ de ţiţei folosind soluţia ecuaţiei avansului frontal Dezlocuirea ţiţeiului cu soluţie de polimer îmbunătăţeşte în mod substanţial eficienţele spălărilor orizontală şi verticală, precum şi eficienţa de dezlocuire (microscopică). În cele ce urmează este prezentat un algoritm de estimare a performanţei spălării cu soluţie de polimer, relativă la eficienţa dezlocuirii, folosind ecuaţia avansului frontal, extinsă pentru acest caz. Considerându-se dezlocuirea liniară schematizată în figura 7.16, ecuaţia de continuitate, care exprimă matematic bilanţul material pentru componentul polimer, are forma

( )

( )[ ] ,dd1

dd

txAmCsmt

A

txACfx

QACfQACfQ

porpoap

poatopoatopoato

ρ−+∂∂

=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+− (7.57)

care, după simplificări, devine

( ) ( )[ ] ( ) ,01 =∂∂

+ρ−∂∂

+∂∂

poato

porpoap CfxA

QAmt

Csmt

(7.58)

unde mp este porozitatea efectivă accesibilă soluţiei de polimer, Cpo – concentraţia polimerului, ρr – densitatea rocii, Apo – masa de polimer adsorbit pe unitatea de masă a rocii, A – aria secţiunii transversale prin zăcământ, Qto – debitul total constant de soluţie injectată, iar m – porozitatea rocii. Un exemplu tipic de izotermă de absorbţie, care poate fi folosită pentru estimarea parametrului Apo în funcţie de Cpo, este prezentat în figura 7.17. Notând cu poC raportul dintre volumul de polimer adsorbit pe suprafaţa rocii şi volumul porilor, adică

,1ˆporpo A

mmC ρ

−= (7.59)


( ) ( ) .0ˆ

=∂∂

+∂

∂+

∂∂

poap

topo

ppoa Cf

xAmQ

tC

mmCs

t (7.60)

Pentru componentul apă, ecuaţia de continuitate are forma

( ) ( ) ,0=∂∂

+∂∂

aato

aa CfxAm

QCst

(7.61)

în care Ca este concentraţia apei din soluţie. Admiţând că mp = m şi dezvoltând ecuaţia (7.60) se obţine egalitatea

Figura 7.16

Figura 7.17



,0d

ˆd=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

xC

AmfQ

tsC

tC

CC

s poatoapo

po

po

poa (7.62)

unde s-a presupus că, în cadrul bancului de polimer, fa ≅ constant. De asemenea, se poate observa că Ca ≅ 1, ceea ce implică Cpo ≅ 0 şi astfel ecuaţia (7.62) devine

.0d

ˆd=

∂

∂+

∂

∂⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

xC

AmfQ

tC

CC

s poatopo

po

poa (7.63)

Un front de concentraţie în polimer constantă are ecuaţia implicită Cpo(x,t) = const. , (7.64) care, prin derivare, devine

.0dd

=∂

∂+

∂

∂

tx

xC

tC popo (7.65)

Înlocuind pe tC po ∂∂ dat de relaţia (7.65) în expresia (7.63) şi simplificând cu xC po ∂∂ , se obţine ecuaţia avansului frontal, care poate fi scrisă sub forma

,dd

poa

atoDs

fAm

Qtx

+= (7.66)

unde

po

popo C

CD

d

ˆd= (7.67)

este parametrul de deplasare întârziată a frontului de dezlocuire (numit şi întârziere adimensională la avansul frontal a soluţiei de polimer). În general, în cadrul spălării cu soluţie de polimer se formează două fronturi de dezlocuire. Primul front corespunde dezlocuirii ţiţeiului de către apa interstiţială care, la rândul ei, este dezlocuită de soluţia de polimer în cadrul celui de-al doilea front (figurile 7.18 şi 7.19), pe care apa şi soluţia de polimer sunt complet miscibile.

Dezlocuirea ţiţeiului de către apă în cadrul primului front este descrisă de ecuaţia avansului frontal scrisă astfel

.dd

dd

a

atosf

AmQ

tx

= (7.68)

Până la inundarea sondelor de extracţie de către bancul de apă, sondele de extracţie vor produce numai ţiţei, iar după acest moment ele vor produce un amestec de ţiţei şi apă, în care fracţia fa2 a debitului de apă corespunde saturaţiei saf = sa2 (figura 7.19). Admiţând că punctul de tangenţă la curba fa(sa) pentru dezlocuirea ţiţeiului de către apă este acelaşi cu punctul de intersecţie al tangentei duse prin punctul (–Dpo,0) la curba fapo(sa) cu curba fa(sa), se poate scrie relaţia

,d

d

3

3

23

23

3poa

a

aa

aa

ssa

apo

Dsf

ssff

sf

aa+

=−−

==

(7.69)

în care fa3 este determinat de pe curba fapo(sa), cu

.11−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μ

μ+=

t

po

rpo

rtapo k

kf (7.70)

De regulă, se poate admite egalitatea krpo = kra. Producţia cumulativă de ţiţei se determină astfel

Figura 7.18 Figura 7.19



,tQN top = pentru 0 ≤ t ≤ tia , (7.71)

( )( ) ,1 2 iaatopiap ttfQNN −−+= pentru tia ≤ t ≤ tipo , (7.72)

( ) ,3 lAmssNN aampipop −+= pentru t ≥ tipo , (7.73) unde tia este timpul de inundare cu apă, tipo – timpul de inundare cu soluţie de polimer, Npia – producţia cumulativă de ţiţei la momentul tia, Npipo – producţia cumulativă de ţiţei la timpul tipo, iar sam – saturaţia medie în soluţie de polimer din spatele frontului soluţie de polimer – ţiţei. Relaţiile (7.71)…(7.73) definesc graficul din figura 7.20, pentru trasarea căruia trebuie determinaţi în prealabil timpii tia şi tipo, respectiv saturaţia sa3 a frontului soluţie de polimer – ţiţei. Saturaţia medie în apă după inundarea cu soluţie de polimer poate fi aproximată astfel

( )[ ] ,121

traaam sss −+= cu sa ≥ sa3 . (7.74)

Timpul de inundare cu soluţie de polimer rezultă din soluţia ecuaţiei avansului frontal (7.66), particularizată pentru x = l sub forma

.3

3

a

poa

toipo f

DsQ

lAmt+

= (7.75)

Valoarea lui fa2 din ecuaţia (7.72) se obţine din formula (7.69) astfel

.33

22 a

poa

poaa f

DsDs

f+

+= (7.76)

Timpul de inundare cu apă poate fi determinat prin particularizarea formulei poziţiei frontului de dezlocuire apă–ţiţei stabilite pe baza ecuaţiilor de bilanţ material scrise pentru fazele ţiţei şi apă, înainte de inundarea cu apă a sondelor de extracţie. Din ecuaţia de bilanţ material pentru faza ţiţei

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ,111211 23 arafatfafatratrapftoar sxlAmsxxAmsssxAmtQslAm −−+−−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−++=− (7.77)

rezultă expresia poziţiei frontului soluţie de polimer – ţiţei

( )

( )[ ],

121

23

2

atraa

afaratopf

sss

lx

ssV

lx

−−+

−−= (7.78)

unde

,lAmtQV to

to = (7.79)

sar este saturaţia în apă reziduală, iar xtf şi xaf (figura 7.19) sunt abscisele fronturilor soluţie de polimer – ţiţei, respectiv apă – ţiţei. Ecuaţia de bilanţ material al apei injectate

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+= artraapfto sssxAmtQ 1

21

3 (7.80)

defineşte poziţia frontului soluţie de polimer – ţiţei astfel

( )[ ]

.1

21

3 artraa

topf

sss

Vl

x

−−+= (7.81)

Identificând relaţiile (7.78) şi (7.81) rezultă pentru poziţia frontului apă – ţiţei formula

( )

( ).

121

121

13

23

2⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

−+−−

−=

aratra

aatra

ara

topf

sss

sss

ssV

lx

(7.82)

Substituind expresia (7.79) în relaţia (7.82) se obţine, pentru t = tia, corespunzător lui xaf = l, ecuaţia

( ) .121

3 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= aratra

toia sss

QlAmt (7.83)

Producţiile cumulative de ţiţei la inundarea cu apă, respectiv cu soluţie de polimer, care intervin în formulele (7.72) şi (7.73), au expresiile ,iatopia tQN = (7.84)

( )( ) .1 2 iaipoatopiapipo ttfQNN −−+= (7.85)

Figura 7.20



Tabelul 7.2 sa kra krt fa

0,20 0,000 0,800 0,000 0,25 0,002 0,610 0,247 0,30 0,009 0,470 0,657 0,35 0,020 0,370 0,844 0,40 0,033 0,285 0,921 0,45 0,050 0,220 0,958 0,50 0,075 0,163 0,979 0,55 0,100 0,120 0,988 0,60 0,132 0,081 0,994 0,65 0,170 0,050 0,997 0,70 0,208 0,027 0,999 0,75 0,251 0,010 0,999 0,80 0,300 0,000 1,000

Cercetările experimentale au arătat că masa de polimer adsorbită depinde de natura polimerului şi a suprafeţei rocii, fiind observate trei aspecte generale: a) adsorbţia mai mare a polimerului în cadrul testelor de laborator decât în aplicaţiile de zăcământ; b) adsorbţia mult mai mică pe rocile consolidate decât pe nisipuri şi c) creşterea cantităţii de polimer adsorbite odată cu creşterea salinităţii apei de zăcământ. Concentraţia polimerului în apă variază între 250 şi 2.500 ppm (mg/kg ≅ mg/dm3), iar cantitatea specifică de polimer adsorbită în cadrul aplicaţiilor de şantier este cuprinsă între 80 şi 2.000 kg/(ha·m). 7.5.5. Criterii de selecţie a zăcământului pentru spălarea cu soluţie de polimer Spălarea cu soluţie de polimer a fost aplicată cu succes la zăcămintele aflate în faza iniţială a exploatării secundare prin dezlocuire cu apă, când saturaţia în ţiţei mobil este încă ridicată. Dacă raţia apă – ţiţei de producţie este mare (peste 10), eficienţa procesului se reduce, deoarece cantitatea de ţiţei mobil rămasă în zăcământ este insuficientă pentru îndeplinirea criteriilor de rentabilitate economică. Adâncimea zăcământului trebuie să nu fie nici prea mică, deoarece, în acest caz, presiunea de injecţie este limitată superior de riscul fisurării formaţiunii productive, dar nici prea mare, din cauza temperaturii ridicate, care ar conduce la degradarea termică a soluţiei de polimer. Practic, s-a constatat că limitele adâncimii sunt (300…2.200) m, iar temperatura de zăcământ nu trebuie să depăşească 110 °C în cazul poliacrilamidei, respectiv 76 °C pentru guma de xanthan, preferându-se limitele superioare ale temperaturii egale cu 93 °C, respectiv 70 °C. Permeabilitatea este limitată inferior atât de receptivitatea insuficientă a sondelor de injecţie, care ar prelungi procesul peste limita economică (deoarece debitul de soluţie injectată ar fi neeconomic de redus), cât şi de riscul degradării mecanice a soluţiei de polimer în jurul sondelor de injecţie, unde vitezele de filtrare sunt ridicate. Valoarea minimă întâlnită în aplicaţiile de şantier a fost de 23 mD. Raţia mobilităţilor a variat, în cadrul aplicaţiilor reuşite, între 0,1 şi 42. Vâscozitatea ţiţeiului a avut valori de la 5 mPa·s până la 125 mPa·s, dar se preferă ţiţeiurile mai puţin vâscoase (sub 25 mPa·s), celelalte pretându-se mai bine la aplicarea metodelor termice. Vâscozitatea mare a ţiţeiului impune folosirea unor concentraţii de polimer ridicate, ceea ce creşte costul procesului. Aplicaţiile de şantier reuşite au inclus zăcăminte cu grosimi între 2,4 şi 50 m, atât grezoase cât şi carbonatice, în care s-au injectat dopuri de soluţie având concentraţii între 200 şi 1.000 ppm, respectiv volume de 0,034…0,45 volume de pori. Testele de şantier nereuşite au indicat faptul că trebuie evitate zăcămintele cu permeabilitate mică, cu saturaţie în ţiţei redusă, cu vâscozitate ridicată a ţiţeiului, cu acvifer mare sau cu apă foarte mineralizată, cu variaţii mari de permeabilitate pe diferite direcţii sau de la o zonă la alta.

7.6. Probleme 7.6.1. Probleme rezolvate

7.1. Într-un zăcământ orizontal se aplică un proces de dezlocuire fracţională a ţiţeiului de către apa injectată prin sonde dispuse în linie directă cu cele de extracţie. Relaţiile permeabilitate–saturaţie sunt descrise de datele din tabelul 7.1, iar presiunea de zăcământ se menţine la valoarea iniţială, pentru care bt = 1,3 şi ba = 1. Ştiind că μt = 50 cP şi μa = 0,5 cP, se cer: a) producţia cumulativă de ţiţei exprimată ca fracţie din volumul de pori al zăcământului, în momentul inundării sondelor de extracţie; b) fracţia de debit a apei, în condiţii de suprafaţă, la inundare. Rezolvare

a) În cazul dezlocuirii unidimensionale fracţionale orizontale, în condiţiile neglijării efectelor capilare, fracţia de debit a apei are expresia (7.36), unde μa/μt = 0,5/50 = 0,01. Folosind valorile krt, kra din tabelul 7.1 şi relaţia (7.36), se completează coloana 4 a tabelului 7.2, apoi se reprezintă grafic funcţia fa(sa) ca în figura 7.21. Se citesc de pe grafic valorile saf = 0,28, faf = 0,55, sami = 0,34 şi se calculează ,aiampi ssN −= (7.86)

rezultând valoarea piN = 0,34 – 0,2 = 0,14 volume de pori (VP). b) Pentru exprimarea fracţiei de debit a apei în condiţii de suprafaţă, se împart debitele la factorii de volum corespunzători astfel

Tabelul 7.1

sa kra krt 0,20 0,000 0,800 0,25 0,002 0,610 0,30 0,009 0,470 0,35 0,020 0,370 0,40 0,033 0,285 0,45 0,050 0,220 0,50 0,075 0,163 0,55 0,100 0,120 0,60 0,132 0,081 0,65 0,170 0,050 0,70 0,208 0,027 0,75 0,251 0,010 0,80 0,300 0,000



,

111

1

1

1

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=−

+=

=+

=+

=

at

aa

ato

t

a

a

t

t

a

t

t

a

aaa

as

fbb

QQQ

bb

QQ

bb

bQ

bQ

bQf

(7.87)

deci fracţia de debit a apei pe frontul de spălare în momentul inundării sondelor de extracţie este

.61373,01

55,01

3,111

1

111

1=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

aft

aafs

fbb

f

7.2. Un zăcământ de ţiţei orizontal urmează să fie supus unui proces de menţinere totală a presiunii de zăcământ, injectându-se gaze printr-un şir de sonde, dispuse în linie directă cu cele de extracţie. Se cunosc: resursa geologică de ţiţei N = 4,87·106 m3, m = 0,295, k = 300 mD, pi = 9,48 MPa şi sai = 0,30. Dezlocuirea este de tip fracţional, iar variaţia raportului kg/kt cu saturaţia sg este prezentată în tabelul 7.3. Vâscozităţile ţiţeiului şi gazelor, la presiunea pi = piv, au valorile μt = 0,48 mPa·s, respectiv μg = 0,0148 mPa·s. Admiţând că mişcarea fluidelor este unidimensională orizontală şi că saturaţia remanentă în gaze are valoarea sgr = 0, se cere să se calculeze:

a) producţia cumulativă de ţiţei, exprimată în volume de pori, în momentul invadării sondelor de extracţie de către gazele injectate; b) raţia gaze–ţiţei la peretele sondei, în momentul inundării cu gaze, ştiind că bt = 1,21 şi bg = 0,01; c) factorul de recuperare a ţiţeiului, la inundarea cu gaze. Rezolvare a) Spălarea cu gaze a zăcământului de ţiţei este, în acest caz, unidimensională orizontală, iar fracţia de debit a gazelor fg se determină cu ecuaţia (7.36) în care indicele D se înlocuieşte cu g, deoarece gazele constituie fluidul dezlocuitor. Se completează tabelul 7.3 cu coloana 3, în care se înscriu valorile fg, ştiind că μg/μt = 0,0148/0,48 = 0,030833. Se reprezintă grafic funcţia fg(sg) ca în figura 7.22 şi se citesc de pe grafic valorile sgf = 0,05, fgf = 0,45 şi sgmi = 0,13. Se aplică apoi ecuaţia (7.124) scrisă sub forma ,grgmipi ssN −= (7.88)

şi se găseşte valoarea piN = 0,13 VP, deoarece sgr = 0. b) Raţia gaze – ţiţei este definită ca raport între debitul de gaze şi cel de ţiţei. Expresiile sale, în condiţii de zăcământ, respectiv în condiţii de suprafaţă, sunt

,1

;11 g

t

g

g

tt

gggts

g

g

tog

tog

t

ggt b

bf

fbQbQ

Rf

fQQ

QQQQ

R−

==−

=−

==

(7.89) Ca urmare, raţia gaze – ţiţei la inundarea cu gaze a sondelor de extracţie, exprimată în condiţii de suprafaţă, se calculează cu ultima relaţie (7.89) scrisă astfel

g

t

gf

gfgti b

bf

fR

−=

1 (7.90)

şi rezultă valoarea

.mm9901,021,1

45,0145,0 33

N=−

=gtiR

c) Factorul de recuperare a ţiţeiului la inundare este dat de relaţia

Figura 7.21

Tabelul 7.3

sg kg/kt 0,00 0,000 0,02 0,004 0,05 0,025 0,10 0,088 0,15 0,265 0,20 0,770 0,25 2,30 0,30 7,35 0,35 25,15 0,40 117,00 0,45 755,00

Figura 7.22

Tabelul 7.4 sg kg/kt fg 0,00 0,000 0,0000 0,02 0,004 0,1148 0,05 0,025 0,4478 0,10 0,088 0,7405 0,15 0,265 0,8958 0,20 0,770 0,9615 0,25 2,30 0,9868 0,30 7,35 0,9958 0,35 25,15 0,9988 0,40 117,00 0,9997 0,45 755,00 1,0000



,1 t

ti

ai

grgmipiri b

bs

ssN

Nf

−

−== (7.91)

care conduce, cu datele problemei, la valoarea

.1857,021,121,1

3,01013,0

=−

−=rif

7.6.2. Probleme propuse 7.3. Într-un zăcământ orizontal se aplică un proces de dezlocuire fracţională a ţiţeiului de către apa injectată prin sonde dispuse în linie directă cu cele de extracţie. Relaţiile permeabilitate–saturaţie sunt descrise de datele din tabelul 7.1, iar presiunea de zăcământ se menţine la valoarea iniţială, pentru care bt = 1,3 şi ba = 1. Ştiind că μt = 5 cP şi μa = 0,5 cP, se cer: a) producţia cumulativă de ţiţei exprimată în volume de pori, în momentul inundării sondelor de extracţie; b) valorile raţiei apă–ţiţei produse, în condiţii de zăcământ şi de suprafaţă, la inundarea sondelor de extracţie. 7.4. Într-un zăcământ orizontal se aplică un proces de dezlocuire fracţională a ţiţeiului de către apa injectată prin sonde dispuse în linie directă cu cele de extracţie. Relaţiile permeabilitate–saturaţie sunt descrise de datele din tabelul 7.1, iar presiunea de zăcământ se menţine la valoarea iniţială, pentru care bt = 1,3 şi ba = 1. Ştiind că μt = 0,4 cP şi μa = 1 cP, se cer: a) producţia cumulativă de ţiţei exprimată în volume de pori, în momentul inundării sondelor de extracţie; b) valoarea raţiei apă–ţiţei produse, în condiţii de suprafaţă, la inundarea sondelor de extracţie; c) examinând graficul fa(sa), să se aprecieze şi să se argumenteze dacă dezlocuirea poate fi considerată de tip piston. 7.5. Într-un zăcământ de ţiţei orizontal se injectează apă, la debitul constant Q = 159 m3/(zi·sondă), printr-un şir de sonde, dispuse în linie directă cu cele de extracţie. Se cunosc: m = 0,18, sai = 0,20, str = 0,20, μt = 5 cP, μa = 0,5 cP, grosimea stratului h = 12,2 m, distanţa dintre două sonde de injecţie consecutive a = 190,5 m şi distanţa dintre şirul sondelor de injecţie şi cel al sondelor de extracţie L = 609,6 m. Aplicând procedeul WELGE graficului funcţiei fa(sa) au fost determinate valorile: saf = 0,45, faf = 0,70, sami = 0,55. Presupunând că dezlocuirea are loc în condiţiile mişcării fracţionale, iar injectarea apei începe odată cu punerea sondelor în producţie, se cer: a) timpul de inundare a sondelor de extracţie; b) evoluţia producţiei cumulative de ţiţei după inundare, în funcţie de volumul cumulativ de apă injectată şi de timp. 7.6. Un zăcământ de ţiţei, care are cap primar de gaze şi se caracterizează prin: resursa geologică de ţiţei N = 4,873·106 m3, resursa geologică de gaze libere din cupolă G = 3,6·108

3Nm , aria contactului gaze–ţiţei A = 3,41·106 m2, k = 300 mD, sai = 0,3, pi = 9,48 MPa, bti =

1,21, bgi = 0,01, μt = 0,48 cP. μg = 0,0148 cP, Rsi = 85 3Nm /m3, ρg = 84 kg/m3, ρt = 765 kg/m3

şi Qto = 442,5 m3/zi, este supus unui proces de menţinere totală a presiunii prin injecţie de gaze în cupolă. Relaţiile permeabilitate relativă – saturaţie sunt descrise de valorile listate în tabelul 7.5. Ştiind că mişcarea fluidelor este unidimensională verticală (α = π/2), se cer: a) factorul de recuperare a ţiţeiului, în momentul invadării de către gaze a sondelor de extracţie, deschise la baza zăcământului; b) raţia gaze-ţiţei la ieşirea din zăcământ, în momentul inundării cu gaze; c) cantitatea adimensională de gaze care trebuie injectate.

7.8. Test de autoevaluare A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Care sunt motivele pentru care se practică injecţia de fluide în zăcămintele de ţiţei? 2. Care sunt sistemele de amplasare a sondelor de injecţie şi de extracţie în cadrul unui proces de injecţie în zăcământ? Precizaţi şi

variantele acestor sisteme de amplasare. 3. În ce condiţii dezlocuirea ţiţeiului de către apă este un proces de tip fracţional? 4. Care sunt polimerii cei mai folosiţi pentru aditivarea apei de injecţie? 5. Care sunt principalele criterii de selecţie a unui zăcământ pentru spălarea cu soluţie de polimer? B. Trasaţi schiţe grafice care să ilustreze următoarele aspecte 1. Domeniile mişcării apei şi ţiţeiului în cadrul dezlocuirii unidimensionale de tip piston a ţiţeiului 2. Dependenţa dintre fracţia de debit a fluidului dezlocuitor şi saturaţia în fluid dezlocuitor 3. Metoda BUCKLEY–LEVERETT de determinare a saturaţiei sDf în fluid dezlocuitor la inundarea sondelor de extracţie 4. Metoda WELGE de determinare a saturaţiei sDf în fluid dezlocuitor la inundarea sondelor de extracţie 5. Comportarea reologică a soluţiilor de polimer C. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Prevederea evoluţiei frontului de dezlocuire unidimensională de tip piston 2. Prevederea evoluţiei producţiei cumulative de ţiţei obţinute în cadrul unui proces de dezlocuire fracţională 3. Degradarea soluţiilor de polimer D. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Dezlocuire unidimensională – dezlocuire radial plană a ţiţeiului de către apă 2. Dezlocuire de tip piston – dezlocuire fracţională 3. Mişcare monofazică – mişcare bifazică a fluidelor în medii poroase 4. Comportare newtoniană, pseudoplastică, respectiv dilatantă a soluţiilor de polimer

Tabelul 7.5

sg krt krg/krt 0,20 0,132 0,77 0,25 0,068 2,30 0,30 0,032 7,35 0,35 0,013 25,15 0,40 0,0048 117,00 0,45 0,0016 755 0,50 0,0005 10000 0,55 0,00015 80000 0,60 0,00004 900000 0,65 0 ∞


S O L U Ţ I I L E T E S T E L O R D E A U T O E V A L U A R E Lista notaţiilor: p. – pagina; al. – alineatul; ec. – ecuaţia; f. – figura; v – vezi.

Capitolul 1 Secţiunea A 1. §1.1, p. 7; 2. §1.2, p. 7, al. 3; 3. §1.2, p. 8, al. 2; 4. §1.3, p. 8, al. 1; 5. §1.4, p. 8; temperatura de zăcământ; 6. nu, deoarece

mediile poroase sunt discontinue la scara porilor; v. §1.5.1, p. 10; 7. §1.5.4, p. 12, ec. (1.25). Secţiunea B 1. f. 1.1, p. 9; 2. f. 1.4, p. 13. Secţiunea D 1. §1.5.1, p. 10; 2. §1.5.3, p. 11, ec. (1.21), (1.22); 3. §1.6.2, p. 13; 4. §1.6.2, p. 13, al. 2.

Capitolul 2 Secţiunea A 1. introducere la cap. 2, p. 17, al. 1; 2. §2.1, p. 17, al. 1; 3. §2.1.2, p. 19, al. 3; 4. §2.1.3, p. 20, al. 3; 5. §2.2, p. 21; ec. (2.29);

6. §2.3, p.22, al. 1 şi ec. (2.38). Secţiunea B 1. f. 2.1, p. 18; 2. f. 2.2, p. 19; 3. f. 2.3, p. 21. Secţiunea D 1. Fluidul se află în echilibru static sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare dacă el rămâne în repaus; în condiţiile

echilibrului dinamic, fluidul se deplasează cu viteză constantă (deci cu acceleraţie nulă); 2. în mişcare staţionară, parametrii cinematici ai mişcării sunt independenţi de timp; în mişcare nestaţionară, aceşti parametri variază în timp; 3. fluidul multicomponent este format din mai multe substanţe pure (ex.: aerul, gazele naturale, ţiţeiul); fluidul multifazic este format din mai multe componente aflate în stări de agregare diferite sau din două lichide nemiscibile (ex.: fumul, ceaţa, emulsiile).

Capitolul 3 Secţiunea A 1. §3.1, p. 25, al. 2; 2. §3.2.1, p. 26, al. 2; 3. §3.2.1, p. 27; 4. §3.2.2, p. 29, ultimul al.; 5. §3.2.3, p. 30, sub ec. (3.44); 6.

§3.2.3, p. 30, al. 6; izobara este un punct, o curbă plană, respectiv o suprafaţă în spaţiu în condiţiile mişcărilor unidimensionale, bidimensionale, respectiv tridimensionale; 7. §3.3, p. 32, ec. (3.58); 8. §3.5.1, p. 33, al. 1; 9. §3.5.2, p. 34, al. 2; 10. §3.6, p. 36, al. 3; 11. §3.6, p. 36, al. 5, ec. (3.98), (3.99); 12. sonda care doar atinge stratul productiv, respectiv sonda care traversează numai parţial stratul productiv; 13. §3.7, p. 40, ultimul al.; 14. §3.8, p. 44, al. 3; declinul constant.

Secţiunea B 1. f. 3.2, p. 26; 2. f. 3.3, p. 26; 3. f. 3.5, p. 28; 4. f. 3.8, p. 31; 5. f. 3.11, p. 33; 6. f. 3.15, p. 37; 7. f. 3.18, p. 40. Secţiunea D 1. §3.6, p. 36; 2. §3.2.1, p. 27, ec. (3.18), (3.19); 3. §3.6.4, p. 39, al. 1; 4. §3.8, p. 44, ec. (3.158), (3.159).

Capitolul 4 Secţiunea A 1. §4.1, p. 54, al. 2; 2. §4.2, p. 54, ec. (4.13), (4.14); 3. §4.2, p. 55, ultimul al.; 4. da; §4.4, p. 59, ec. (4.51).; 5. §4.5.1, p. 59,

al. 1; 6. §4.6.1, p. 63, al. 1; 7. §4.6.1, p. 63, al. 3; 8. §4.6.2, p. 64, ec. (4.75). Secţiunea B 1. f. 4.4, p. 59; 2. f. 4.5, p. 59; 3. f. 4.14, p. 63; 4. f. 4.18, p. 65. Secţiunea D 1. §4.2, p. 57, ec. (4.26), respectiv §4.4, p. 59, ec. (4.47); 2. condiţiile la limite se referă la variabilele spaţiale şi se pun pe

frontierele domeniului mişcării, în timp ce condiţiile iniţiale se referă la variabila temporală şi se pun la momentul începerii mişcării; 3. §4.5.1, p. 59, al. 1, respectiv §4.5.2, p. 62, al. 1.

Capitolul 5 Secţiunea A 1. §5.1, p. 69, al. 4 şi p. 70 al. 1; 2. §5.3.1, p. 72, ec. (5.29), (5.30); 3. §5.4.1, p. 75, al. cu ec. (5.68). Secţiunea B 1. f. 5.1, p. 69; 2. f. 5.2, p. 75. Secţiunea D 1. §5.3.1, p. 70, al. 2; 2. derivata parţială a unei funcţii de mai multe variabile exprimă creşterea valorii funcţiei

corespunzătoare unei creşteri infinitezimale (foarte mici) a uneia din variabile; diferenţa finită exprimă creşterea funcţiei corespunzătoare unei creşteri finite (nici foarte mică, dar nici infinită) a uneia din variabile; 3. §5.4.1, p. 74, al. 1.

Capitolul 6 Secţiunea A 1. introducere la cap. 6, p. 81, ec. (6.1), (6.2).; 2. §6.1.2, p. 83, ec. (6.15), f. 6.4; 3. §6.2, p. 84, al. 1; 4. §6.2.2, p. 84, al. 3. Secţiunea B 1. f. 6.2, p. 82; 2. f. 6.4, p. 83. Secţiunea D 1. introducere la cap. 6, p. 81, al. 1 pentru modelele zerodimensionale; modelul tridimensional ale trei variabile spaţiale; 2.

§6.1, p. 81, al. 1.

106 SOLUŢIILE TESTELOR DE AUTOEVALUARE


Capitolul 7 Secţiunea A 1. §7.1, p. 91, al. 1, 3; 2. §7.1, p. 91, 92; 3. §7.4, p. 94, al. 1; 4. §7.5.1, p. 97, al. 1; 5. §7.5.5, p. 102. Secţiunea B 1. f. 7.6, p. 92; 2. f. 7.9, p. 95; 3. f. 7.11, p. 96; 4. f. 7.13, p. 96; 5. f. 7.15, p. 98. Secţiunea D 1. §7.2, p. 92 şi §7.3, p. 93; 2. în cadrul dezlocuirii de tip piston, în spatele frontului de dezlocuire saturaţia în ţiţei are o

valoare constantă, egală cu saturaţia în ţiţei remanent, str, deci prin această zonă filtrează doar apa injectată; în cadrul dezlocuirii fracţionale, în spatele frontului de dezlocuire saturaţia în ţiţei scade continuu în timp, tinzând către valoarea str, deci în această zonă are loc mişcarea simultană a ţiţeiului şi apei; 3. dacă printr-un mediu poros filtrează un singur fluid, mişcarea acestuia este monofazică; dacă prin mediul poros filtrează simultan două fluide (ţiţei–apă, ţiţei–gaze sau apă–gaze), mişcarea acestora este bifazică; 4. §7.5.2, p. 98.

91827031-Curs-HS-TDDH-Medias-2011

Documents

Transcript of 91827031-Curs-HS-TDDH-Medias-2011