78354201-ELECTROTEHNICA

7/30/2019 78354201-ELECTROTEHNICA

1/379

Valentin GUU

CAPITOLUL 1

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

1.1. CIRCUITELECTRIC

1.1.1. Elemente de circuit. Caracterizareaelementelor de circuit

Prin circuite electrice de curent continuu nelegem circuitele n

care curenii i tensiunile au valori invariabile n timp. Este accepta-t notarea acestor mrimi cu litere mari :I, E, Uetc.Componentele unui circuit electric se numesc elemente de circuit.Un ciruit simplu de curent continuu, cuprinznd o surs cu t.e.m. Ei rezistena internRi, care alimenteaz un rezistorR (figura.1.1),are dou elemente: sursa i rezistorul.Elementele de circuit cu dou borne (terminale) de acces se numescelemente dipolare. Dac elementul dipolar poate fi caracterizat

printr-o singur mrime, el se numete element ideal de circuit; deexemplu, rezistorul ideal este caracterizat numai de rezistena sa,R.

Fig.1.1 Fig. 1.2 Fig.1.3

Elemente pasive i active. Un element de circuit de curent conti-nuu se numetepasiv, dac nu poate ceda energie electric n circuitoricare ar fi sensul curentului prin element; de regul, un astfel de

element a b s o a r b e energie electric. Rezistorul R (figura 1.1)este un element pasiv de circuit.

21


2/379

Valentin GUU

Un element de circuit de curent continuu se numete activ, dacpoate genera energie de natur electric n anumite regimuri defuncionare (exist i regimuri, n care un astfel de element poate,

eventual primi energie electric, fiind deci un receptor de energie).Sursele de curent sau tensiune electric sunt elemente active (figura1.4, figura 1.5).

Fig.1.4. Reprezentarea Fig.1.5. Surse ideale de energie:sursei reale de tensiune. a surs ideal de tensiune U= E; b surs ideal de curentI= J

Circuitul electric format numai din elemente pasive se numetecircuit pasiv; un circuit electric care pe lng elementele pasive arecel puin un element activ se numete circuit activ.

Caracteristica elementului de circuit. Relaia ntre tensiunea Ulabornele unui element dipolar i intensitatea I a curentului prinelement caracterizeaz complet elementul de circuit. Aceast relaie

prezentat grafic n planul coordonatelorU Ipoart denumirea decaracteristic tensiune-curenta elementului de circuit.Elementele de circuit se numesc liniare dac caracteristica tensiune-curent este o linie dreapt (figura 1.2); aceste elemente se numescneliniare dac caracteristica menionat este o linie curb (figura

1.3).De regul, elementele reale de circuit sunt neliniare, dar n multecazuri practice pot fi considerate ca fiind liniare, n limite suficientde largi ale curentului i tensiunii.

22


3/379

Valentin GUU

1.1.2. Elemente de circuit, ideale i reale

Pentru simplificarea calculelor practice i a analizei circuitelorelectrice de curent continuu (c.c.) se recurge la prezentarea grafic acircuitelor prinscheme echivalente, n care elementele de circuit surse de energie i rezistene (conductane) sunt considerate cafiind ideale.Rezistorul ideal. Acesta este un element de circuit care are tensiu-nea la borne proporional cu intensitatea curentului, oricare ar fivaloarea acestui curent; factorul de proporionalitate este rezistena

R a rezistorului. Ecuaia de circuit a rezistorului poate fi scris:

U=R I. (1.1)Mrimea inversproporional rezisteneiR se numete conductan,se noteaz G i este egal:

1G = . (1.2)

R

Simbolul grafic al acestor elemente i caracteristica tensiune-curent o dreapt care trece prin originea axelor este prezentat n fig.1.6.

Fig. 1.6.

Fig 1.7. Surs ideal de

tensiuneRezistorul ideal este un element pasiv, puterea disipat pe acestelement poate fi calculat ca:

U2

PR = U I=R I2= G U2= . (1.3) R

Aceast putere este totdeauna pozitiv i primit pe la borne, reg-

23


4/379

Valentin GUU

sindu-se sub forma de cldur dezvoltat n unitatea de timp, prinefect Joule.

Sursa ideal i real de tensiune(curent). Sursa ideal de tensiune

este un element de circuit, care are tensiunea la borne independentde curentul ce trece prin surs . Simbolul grafic i caracteristica U-Isunt reprezentate n figura 1.7. Este clar c sursa real de tensiunesau curent difer prin faptul c n primul caz n serie cu sursa esteconectat rezistenaRi , iar n al doilea conductana Gi, n paralel,aa cum se vede n figura 1.8. Ecuaia ce leag tensiunea la borne iintensitatea curentului ntr-o sur-s real de tensiune este:

U=Ri IE, (1.4)

ceea ce arat c tensiunea se maipoate reprezenta sub forma uneisurse ideale de tensiuneE, legatn serie (s fie parcurs de ace-lai curent) cu un rezistorRi .

Un sistem format dintr-o sursideal de curentJlegat n para-lel cu un rezistor de conductanGi este parcurs de un curent total

Fig. 1.8.Reprezentri echivalenteale sursei de energie electric:

a reprezentarea serie a sursei reale detensiune; b reprezentarea derivaie a

sursei reale de curent.

accesibil la bornele sistemului (figura 1.8, b):

I=J+ Gi U, (1.4)

relaie ce mai pote fi scris sub forma

1 JU= I . (1.5)

Gi Gi

Din relaiile (1.3) i (1.5) se vede c sistemul reprezentat n figura1.8, b se comport identic cu sursa real de tensiune, dac suntndeplinite condiiile:

Gi = 1 /Ri , J= Gi E=E/ Ri. (1.6)

24


5/379

Valentin GUU

Prin urmare, relaiile (1.6) constituie condiiile de comportareechivalent a sursei reale de tensiune cu sistemul reprezentat nfigura 1.8, b i numit surs real de curent.

n raport cu sensurile precizate, sursa funcioneaz n regim degenerator atunci cnd curentul prin surs este pozitiv i n regim dereceptor cnd curentul este negativ. Puterea la bornele sursei,Pb == U I = E I este pozitiv n primul caz (regim de generator) inegativ n cel de-al doilea (regim de receptor), ceea ce este bineilustrat n figura 1.9.

a b cFig. 1.9. Bilanuri energetice caracteristice conductorului (filiform)

parcurs de curent:a U+E=RI, Pb+ Pg=Pec. n conductor se disip prin efect electrocaloric (Pec)ireversibil (Joule) att puterea primit pe la borne (Pb), ct i cea cedat de sursa deenergie (Pg); b U =E+RI, Pb =Pg+Pec. Puterea transmisPb se pierde n parte

prin efect electrocaloric (Pec) ireversibil, restul este primit de sursa de energiecare o nmagazineaz sub forma energiei sale specifice; c E = U + RI, Pg =

Pb+Pec. Sursa de energie cedeaz putere n exterior, din care o parte se restituieconductorului, transformat ireversibil n cldur, prin efect electrocaloric.

Aa dar, energia electric schimbat de surs prin borne ntr-uninterval de timp (t, t + t) este W= Pb t. Energia electric este

pozitiv (W> 0) cnd este efectiv cedat de surs i negativ (W< 0) cnd este primit de surs. n ce privete intensitatea curentului

Iprin surs, aceasta depinde de elementele de circuit conectate labornele sale, denumite i elemente de structur.

25


6/379

Valentin GUU

1.1.3. Elemente de structur a circuitelor electrice

Reprezentrile grafice ale circuitelor electrice poart denumirea descheme electrice echivalente. Aici am dori s accentum: schemaechivalent a unui circuit electric este un fragment grafic care, cuun anumit grad de exactitate reflect circuitul real; acesta din urmeste (sau poate fi) montat, schema ns numai desenat! Aa dar,expresia uzual ...s montm schema... este complet absurd!Schema arat modul n care se interconecteaz ntr-un circuitelementele componente ale acestuia, adic rezistoarele i sursele deenergie electric. Un exemplu de schem echivalent este prezentat

n figura 1.10.n cele ce urmeaz se definesctermenii indispensabili descrieriicomplete a structurii unui circuitelectric:

born, extremitate a unuiele-ment al circuitului;

nod, born comun unuinu-mr de cel puin treielemente de circuit; Fig. 1.10. Exemplu de schem elec-tric a unui circuit de c.c.

latur, grup de elemente de circuit legate direct (n serie, frra-mificri) ntre dou noduri ale circuitului;

bucl, succesiune continu de laturi ale circuitului, ceformeaz un contur nchis;

ochi, bucl ce nu conine laturi interioare;

cale, succesiune continu de laturi ale circuitului, ce leagdou borne oarecare (de obicei noduri).

Revenind la schema din figura 1.10 se recunosc:borne nu sunt;noduri a, b, c, d, e,f;laturi (1)- (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)- (11);

bucle (1)- (2)- (3)- (7), (7)- (8)- (5)- (6)- (10) - (11), etc.;

ci ntre nodurile a i b , de exemplu: (4), (3)- (8)- (5), etc.

26


7/379

Valentin GUU

Un rol deosebit n definirea structurii unui circuit electric joac iconceptul de sistem de bucle fundamentale; acesta este unsistem de bucle independente, ce nu se pot deduce unele din

celelalte i care conin toate laturile circuitului. Alegerea buclelorindependente ale unui circuit poate s difere, dar numrul lor estentotdeauna acelai pentru un circuit dat.n literatura de limb rus este utilizat nc un termen de descriere aschemei circuitului electric, n opinia autorului important: arborede schem o succesiune de laturi, care leag toate nodurileschemei fr a crea un contur nchis (o bucl). n cazul schemei dinfigura 1.10 exemplu de arbore poate fi: (7)- (3)- (8)- (5)- (9) etc.

Orice latur adugat la arbore creaz o bucl fundamental (iindependent).O latur de circuit se numete activ saupasiv dup cum coninesau nu surse de energie electric; corespunztor, un circuit va fiactiv sau pasiv, dac conine surse de energie sau, respectiv numai elemente (laturi) pasive.Este utilizat i noiunea depasivizare a circuitului ndeprtarea

din circuit a surselor de energie electric fr a modifica rezistenalaturilor acestuia. Pasivizarea surselor de enetgie este ilustrat n

Fig.1.11. Pasivizarea surselor de energie electric.

27


8/379

Valentin GUU

figura 1.11. Procedura pasivizrii este suficient de clar i nunecesit explicaii suplimentare.Sunt denumite borne de acces sau poli acele borne ale circuitului

electric, prin care acesta poate fi legat cu alte circuite; un circuit cuun numr oarecare de borne de acces se numete multipol. n cazulc are numai dou borne de acces se numete dipol.Circuitul electric se numete completdac nu are borne de accescu exteriorul. Dac la un astfel de circuit cu lse noteaz numrul delaturi, cu n numrul de noduri i cu b numrul de bucle funda-mentale (independente), conform teoremei lui Euler se poatedemonstra c ntre aceste mrimi exist relaia urmtoare:

b = ln + 1 . (1.7)

1.2. TEOREMELE (LEGILE) LUI KIRCHHOFF

1.2.1. Prima teorem a lui Kirchhoff

Vom considera o suprafa nchis ( ) trasat astfel nct s nchidun singur nod (figura 1.12) al unui circuit. FieI1,I2 iI3 intensit-

Fig. 1.12.

Fig. 1.13.ile curenilor prin conductoarele care se ramific din nodul respec-tiv. Pentru suprafaa n conformitate cu legea conservrii sarciniise poate scrie:

I= I1 +I2 I3

i q= 0 ,

28


9/379

Valentin GUU

ceea ce semnific c sarcina electric existent pe suprafeeleconductoarelor parcurse de curent continuu este invariabil n timp.nlocuind n enunul legiiI= q / t, obinem:

I1 +I2 I3 = 0. (1.8)

Relaia (1.8) exprim prima teorem (lege) a lui Kirchhoffreferitoare la nodul considerat, care, generalizat se enun astfel:suma a l g e b r i c a intesitilor curenilor din laturile ce seramific dintr-un nod al unui circuit de curent continuu esten u l

N Ik = 0 . (1.9)

K= 1

Astfel, dup convenia adoptat n formularea legii conservrii sar-cinii, intensitile curenilor care pleac din nod se iau cu semnul

plus (+), iar cele ale curenilor ce vin n nod cu semnul minus ().

Exemplu.Din nodul (a) al unei reele (circuit) de c.c. se ramific patruconductoare. Stiind c I1 =1 A , I2 = 2 A , I3 = 5 A , s se determine curentul I4.

PentruI4 se alege un sens de referin arbitrar, ca n figura 1.13 i, aplicnd pri-ma teorem a lui Kirchhoff se obine:

I1 +I2 I3 +I4 = 0 ,

de unde rezult:

I4 = I3(I1 +I2) = 53 = 2 A.

Sensul curentuluiI4 coincide cu sensul de referin ales arbitrar; n caz contrarar fi trebuit schimbat.

1.2.2. A doua teorem a lui Kirchhoff

Pentru a clarifica esena celei de-a dou teoreme (lege) a luiKirchhoff se va considera o succesiune de laturi dintr-o reea dec.c., care formeaz un contur nchis i care, cum a fost specificatmai sus poart denumirea de ochi (bucl ce nu conine laturi

interioare). Se admite de asemenea c sensurile de referin acurenilor din laturi coincid cu sensurile de referin ale tensiunilor

29


10/379

Valentin GUU

electromotoare (t.e.m.), precum este prezentat n figura 1.14. Buclanchis se va parcurge n direcia acului ceasornicului (indicat cu osgeat). Considernd tensiunile de la bornele laturilor cu sensurile

de referin din figur, pot fi scrise urmtoarele ecuaii pentruaceste tensiuni (n conformitate cu teorema potenialului electricstaionar, [1] i relaia prezentat mai sus, U=Ri IE):

U1 + E1= R1 I1U2 + E2= R2 I2U3 + E3= R3 I3 (1.10)

U4 + E4= R4 I4

Fig. 1.14.

Relaiile de legtur ntre tensiunile la bornele laturilor i potenia-lele bornelor se vor scrie astfel:

U1 = Va VbU2 = Vc VbU3 = Vc Vd (1.11)U4 = Vd Va

nmulind cu (1) relaia U2 (sensul tensiunii este invers sensuluiparcurgerii buclei nchise) i adunnd parte cu parte, se obine:

U1U2 + U3 + U4 = Va Vb Vc + Vb + Vc Vd + Vd Va = 0,

sau

U1U2 + U3 + U4 = 0 . (1.12)

Procednd n mod analog cu sistemul (1.10) i innd cont de rezul-tatul stabilit prin (1.12), se obine:

E1E2 + E3+ E4 = R1 I1R2 I2 +R3 I3 + R4 I4. (1.13)

30


11/379

Valentin GUU

Au fost obinute astfel dou ecuaii (1.12) i (1.13) i, deci douformulri (diferite) pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, care suntechivalente numai pentru circuitele cu elemente liniare de curent.

Pentru teorema a doua Kirchhoffsunt valabile dou enunuri: ntr-un ochi fr de surse t.e.m.suma algebric a tensiunilorla bornele laturilor ce-l alctuiesc este nul :

N Uk = 0 . (1.14) k= 1

ntr-o bucl nchis (ochi) suma algebric a cderilor detensiune pe rezistoarele laturilor este egal cu suma algebric a

t.e.m. ale surselor din laturile acesteia : N N

IkRk= Ek . (1.15) k= 1 k= 1

Sumele de mai sus sunt algebrice, din cauza adoptrii arbitrare asensului n care se parcurge ochiul; tensiunile la bornele laturilorcare au sens opus celui ales pe ochi intervin n suma (1.15) cu

semnul . Regula rmne aceeai i pentru t.e.m. i cderile detensiune pe rezistoarele din laturile ochiului dat.

Exemple pe teorema a doua a lui Kirchhoff:

S se aplice teorema a doua Kirchhoffpentru circuitul din figura alturat.

Conform primului enun

U1U2 + U3 = 0,

iar dup al doilea enun:E1E2 + E3 = R1 I1R2 I2 +R3 I3.

Sunt date: U1 = 200 V, U2 = 50 V iU3 = 400 V. Se cere U4 (sensul artat)Conform primului enunU1+ U2 U3 U4 = 0, de undeU4 = (U1+ U2) U3 = 250 400 =

= 150 V.

31


12/379

Valentin GUU

n ochiul de circuit din figur suntdate:R1 = 10 , R2 = 20 ,R3=1i curenii I1 = 5 A , I2= 1 A i I3=10 A . S se determine t.e.m. E3 .

Pentru rezolvare se scrie teorema doiKirchhoff n forma enunlui al doilea:

E3=R1 I1R2 I2 +R3 I3 = 50 20+ 10 = 40 V.

1.2.3. Rezolvarea circuitelor electrice liniare de c.c.prin metoda asocierii (transformrilor simple)

Circuit electric liniar, prin definiie se numete acel circuit nstructura cruia intr numai rezistoare al cror material se comportliniar din punct de vedere conductiv. Rezistivitatea acestormateriale fiind constant, definete fiecrui rezistor o valoare cons-tant, bine determinat a rezistenei sale electrice. n continuarevom lua cunotin cu anumite reguli de asociere a sensurilor dereferin i a elementelorcircuitelor liniare de c.c.

1. Reguli de asociere a sensurilor de referinale curentului i tensiunii la borne.

Vom analiza un circuit liniar, alctuit dintr-o surs ideal de tensi-une care alimenteaz un rezistor liniar, reprezentat n figura 1.15, a.

a b cFig. 1.15.

Deoarece tensiunea la bornele sursei este aceeai cu cea de labornele rezistorului, adic U = E i respectiv U = R I se poatededuce curentul prin circuit:

I = E/ R .

32


13/379

Valentin GUU

Sursa de energieEdezvolt o putere n circuit care este egal:

Pg= E I.

Aceast putere este cedat rezistorului, unde energia sursei setransform n cldur prin efect Joule. Astfel,

Pg= E I= R I2 = PR .

Fa de borneleA i B (figura 1.15, a), curentul prin borne i tensi-unea ntre borne au sensurile asociate n moduri diferite, dup cumne referim: la partea din stnga unde este sursa de energie, sau lacea din dreapta, unde se afl receptorul de energie.

n cazul unui circuit dipolar se spune c sensurile tensiunii icurentului sunt asociate dup regula utilizat pentru genera-tordac sensurile lor sunt cele pentru sursa electric n regim degenerator (figura 1.15, b); tensiunea i curentul au sensurile dereferin asociate dup regula utilizat pentru receptoare dacsensurile lor sunt cele utilizate pentru un rezistor (figura 1.15, c).Este important de subliniat c precizarea regulei de asociere a sens-urilor de referin ale tensiunii i curentului la bornele unui element

dipolareste obligatorie! Numai n raport cu aceste sensuriau semnificaie valorile numerice ale acestor mrimi, care pot finegative sau pozitive.

2. Conexiunile rezistoarelor

Este momentul s facem o remarc , considerm, important: celeexpuse mai sus referitor la teoremele Kirchhoff, la fel ca i cele ce

vor urma n continuare, inclusiv legea lui Ohm despre care nu s-apomenit nc toate acestea se expun cu un singur scop care poatefi formulat ca metode de rezolvare a circuitelor liniare de c.c..Unele dintre aceste metode fiind mai simple (metodele transform-rilor echivalente), altele mai complicate. Din categoria transform-rilor echivalente simple fac parte i conexiunile rezistoarelor.Rezistena echivalent a unui circuit dipolar, liniar i pasiv este

raportul dintre tensiunea aplicat la borne i intensitatea curentuluiprin circuit (1.16). Relaia de calcul deci este urmtoarea:

33


14/379

Valentin GUU

UR e =

I

Fig. 1.16. Fig. 1.17.

a) Asocierea n serie

n figura 1.17 sunt prezentate dou rezistoare R1 i R2 legate nserie. Din figur este evident c U = U1 +U2,unde U1= R1 I, iarU2= R2 I i atunci tensiunea Ucare este egal cu U= Re Ipoate fi

prezentat astfel:

U = U1 +U2 ; Re I= R1 I + R2 I,

de unde, simplificnd cuI( 0) se obine

Re = R1 + R2. (1.16)

1 1 1Dat fiind faptul cRe = , R1 = i R2 = , se obine

Ge G1 G2

1 1 1 = + , (1.17)

Ge G1 G2

sau G1 G2Ge = . (1.18)

G1 + G2

Gn caz c elementele sunt identice, atunciRe = 2R iarGe = .

2

34


15/379

Valentin GUU

b) Asocierea n paralel

S analizm acum situaia, cnd cele dou rezistoare sunt conectaten paralel. Rezistena echivalent Re se determin, punndu-se

condiia ca pentru aceeai tensiune ntre borne curentul prin bornen cele dou variante (figura 1.18) s fie acelai; numai curespectarea acestei condiii transformarea poate fi considerat echi-valent. Deci, curentul prin rezistena echivalent esteI = U/Re i,n conformitate cu prima teore-m Kirchhoff se poate scrie:

Ik = 0 sau I = I1 + I2,

unde U UI1 = , I2 = .

R1 R2 Fig. 1.18.

nlocuind I1 iI2 i innd cont c I = U/Re , simplificnd cu U(0) vom obine:

1 1 1= + , (1.19)

Re R1 R2sau

R1R2Re = . (1.20)

R1 + R2

Pentru conductana echivalent n acest caz obinem, evident:

Ge = G1 + G2 . (1.21)

Pentru elemente identiceGe =2 G, iarRe= R / 2.

Relaiile de calcul al rezistenelor echivalente pot fi generaizatepentru cazul n care sunt asociate n serie (figura 1.19) sau paralel(figura 1.20) un numrn de rezistoare diferite. Utiliznd teorema adoua Kirchhoff, asemntor exerciiilor de mai sus, obinem:

Re = R1 + R2+ R3 +...+ Rn . (1.22)

35


16/379

Valentin GUU

Fig. 1.19. Asocierea a n rezistoare n serie.

Relaia (1.22) poate fi scris i sub alte forme: n Re = Rk . (1.23) k= 1

sau

1 n 1= . (1.24)

Ge k= 1 Gk

n cazul elementelor identice Re= n R i Ge= G / n .Pentru aceleai elemente, legate n paralel prima teorem Kirchhoff

a

b

Fig. 1.20. Dou variante de asociere a rezistenelor n paralel.se scrie:

I = I1 + I2+ I3 +...+ In , (1.25)

undeU U

I = , Ik = , k = 1, 2, 3, ..., nRe Rk

36


17/379

Valentin GUU

Dac n relaia (1.25) substituim curenii i mprim cu U ambiitermeni, obinem pentru asocierea n paralel a n rezistoare:

1 1 1 1= + + ... + , (1.26)Re R1 R2 Rn

sau mai compact

1 n 1= . (1.27)

Re k +1 Rk

i n Ge = Gk . (1.28) k= 1

n cazul rezistoarelor identice, Re = R / n iarGe = n G .

La finalul acestui subparagraf am vrea s subliniem c conexiunilerezistoarelor n serie sau paralel sunt o realitate, iar determinarearezistenei echivalente a unui sector (pri) de circuit ce conine

aceste conexiuni se face nu de dragul determinrii, ci pentru ca sse ajunc la schema simplificat i echivalent din figura 1.16 saufigura 1.18, n care cele trei mrimi I, U iR sunt legate ntre ele

prin legea lui Ohm, care poate fi formulat astfel:

ntr-un circuit nchis curentul este direct proporional cu t.e.m. iinvers proporional rezistenei (echivalente) a circuitului.Legea lui Ohm, conform definiiei poate fi scris n felul urmtor:

EI = , (1.29) Re + Ri

undeIi Esunt curentul i tensiunea electromotoare n circuit, res-

pectiv; Re rezistena prii exterioare a circuitului (echivalent);

Ri

rezistena intern a sursei de energie electric.Legea lui Ohm poate fi scris i altfel:

37


18/379

Valentin GUU

E = I(Re + Ri) . (1.30)

n expresiile (1.29) i (1.30) curentul se msoar n amperi A,t.e.m. n voli V, iar rezistena n ohmi .

Rezistena total a circuitului este: Re + Ri =E/I.Legea lui Ohm este adevrat nu numai n raport cu circuitul nansamblu, ci i cu fiecare segment (latur) a lui aparte. Dac un seg-met de circuit nu conine surs de energie, atunci sarcinile electricese deplaseaz prin acest segment din punctul cu un potenial mainalt spre cel cu un potenial mai jos; sursa de energie se consum

pentru susinerea acestei diferene de potenial ntre punctul (nodul)

iniial i cel final al segmentului. Aceast diferen de potenial senumete tensiune aplicat pe segment (latur). Deci, legea lui Ohm

pentru un segment de circuir (fr surs de energie) se poate scriecaI= U/R , fiind Utensiunea aplicat iarR rezistena segmen-tului. Poate fi formulat legea lui Ohm astfel:

Intensitatea curentului printr-o latur a circuitului este egal cutensiunea la bornele acestei laturi mprit la rezistena acesteia.

Din aceast definiie urmeaz c tensiunea (deseori se spune cderea de tensiune) la bornele laturii este egal cu produsulintensitii curentului i rezistena ei: U = I R.Pentru un circuit nchis care conine sursa de energieEcu rezistenainternR i, cea echivalentR i curentulI, conform legii lui Ohmse poate scrie:

E = I R i+ I R = I R i + U,

unde I R = U cderea de tensiune pe rezistena R , adic ncircuitul exterior sau, altfel spus la bornele sursei de energie (ageneratorului);I R i este cderea de tensiune pe rezistena intern asursei de energie.S-a tot vorbit mai sus de intensitatea curentului, de tensiune icderea de tensiune; aceste mrimi ale circuitelor de c.c. (i nunumai) pot i de cele mai multe ori trebuie, s fie msurate. Deci,curentul n circuit se msoar cu aparatul numit a m p e r m e t r u ,

tensiunea cu v o l t m e t r u l . Pentru conectarea ampermetrului n

38


19/379

Valentin GUU

circuitul curentului se produce o ruptur, unde se i conecteaz(consecutiv) ampermetrul (v. figura 1.21). Astfel prin aparat va tre-

Fig. 1.21. Schema conectriiampermetrului i voltmetrului.

ce tot curentul msurat.

Voltmetru arat cderea de tensi-une pe un segment dat al circui-tului. Dac voltmetrul este cone-ctat la nceputul circuitului exte-rior, adic la polul pozitiv al ge-neratorului (sursa de energie), elva arta cderea de tensiune n

circuitul exterior, care va fi totodat i tensiunea la bornele sursei.

Tensiunea la bornele sursei de energie (a generatorului) este egalcu diferena dintre t.e.m. i cderea de tensiune pe rezistena interna acestei surse, adic U = E I R i .Dac rezistena circuitului exterior sursei se micoreaz, discrete isuma R i + R, ceea ce duce la creterea curentului I. Aceasta vamajora cderea de tensiune n interiorul sursei de energie (I R i), datfiindR i = const. Prin urmare, cu micorarea rezisteneiR a circuitu-

lui extern, tensiunea la bornele sursei de energie de asemenea scade.Dac aceste borne se interconecteaz cu un conductor rezistenacruia este practic nul, curentul n circuit va fi maximal i egal cu

I = E/ R i cea mai mare valoare posibil a curentului furnizat desursa dat de energie. Regimul de funcionare cu rezistena circuitu-lui exteriorR 0 se numete s c u r t c i r c u i t .Pentru sursele de energie cu rezisten intern mic, cum sunt gene-ratoarele (mainile electrice), acumulatoarele acidice acest regim

este foarte periculos el poate distruge respectiva surs. Scurtcir-cuitul poate aprea ca rezultat al deteriorrii izolaiei conductoarelorce conecteaz sursa de energie cu consumatorul ei. Pentru a protejaechipamentele electrotehnice de scurtcircuit se utilizeaz tot felul desigurane i dispozitive de protecie.Vom ncheia acest subparagraf cu cteva exemple de rezolvare acircuitelor de c.c. prin metoda transformrilor echivalente simple,

utiliznd teoremele lui Kirchhoff i legea lui Ohm.Exemple.

39


20/379

Valentin GUU

Rezistoarele din figura alturat auvalorile R1= 1 , R2 = 2 ,R3 = 6 . Sse calculeze rezistena echivalent acircuitului.

Schema prezint o asociere mixt: R1 iR2 n serie i mpreun n paralel cuR3.Rezistena echivalent va fi:

(R1+R2) R3Re = = 2.

R1+R2 +R3

Sunt date: R1= 4 , R2 = 3 i

R3 = 6 . S se determine Re. R2 R3Re = R1 + = 6.

R2 +R3

3. Divizor de tensiune i curent

a) Divizorul de tensiuneAcesta prezint un circuit electric alctuit din dou rezistoare nserie, pentru a obine o tensiune mai mic dect tensiunea de la

bornele circuitului. Un astfel de circuit este reprezentat n figura1.22. Prin divizor trece un curent egal cu

Fig. 1.22. Fig.1.23.

U

40


21/379

Valentin GUU

I = ,R1+R2

iar tensiunea care prezint interes, n cazul din figura 1.22 U2 este

UU2 = I R2 = R2 ,

R1+R2

sau ntr-o form general acceptat

R2 U2 = U . (1.31)

R1+R2

Exemplu. S se prezinte grafic un dispozitiv care s permit obinerea uneitensiuni, ajustabile ntre 0 i o valoare maxim U.n acest scop poate fi utilizat un reostat cu un singur sul de rezistenR , prev-zut cu un cursor mobil; simbolul grafic al dispozitivului este dat n figura 1.23.Tensiunea dintre cursor i borna 0, potenialul creea se presupune egal cu zerova fi:

xUx = U ,R

undex este rezistena reostatului ntre cursor i borna 0 (de mas); la deplasa-rea cursorului de jos n sus, tensiunea Ux va crete de la 0 la U. Aspectul unuireostat practic, cu un singur sul este prezentat n figura 1.24.

Fig. 1.24. Reostat dispozitiv cu rezisten variabil:1 cursorul; 2 contact imobil .

b) Divizorul de curent

41


22/379

Valentin GUU

Este un circuit format din dou rezistoare n paralel, plasat ntr-olatur a unui circuit electric, pentru a obine prin unul dintreelemente un curent mai mic dect curentul principal (I, figura 1.25).

Fig. 1.25. Schema unui divizor de curent.

Cele dou elemente asociate n paralel dau o rezisten echivalentcare se determin prin relaia (1.20), iar tensiunea comun la

bornele lor este U = I Re .Curenii prin fiecare element al divizo-rului pot fi calculai astfel: R2

I1 = I , (1.32) R1 + R2

R1 I2 = I . (1.33)

R1 + R2Exemple.Un galvanometru G cu rezistena proprie (in-tern) de 9,9 indic 1 mA (10-3A ) pe divizi-une. Scala aparatului posed 50 div . S se de-termine rezistena untului (o rezisten conecta-t la bornele G) dac se dorete ca aparetul spoat fi utilizat pentru a msura cureni de pnla 1 A (v. figura din dreapta).

Din formula divizorului de curentRs

Ig= IRg+ Rs

se deduceRg:Rg

Rs= ,nA 1

unde nA =I / Ig este raportul n care se demultiplic curentul prin galvano-

metru n prezena untului.DeoareceIg= 50 1 10 3 = 5 10 2 A, rezult raportul nA care este:

42


23/379

Valentin GUU

1 10 2nA = = = 20 ,

5 10 2 5

prin urmare rezistena untului va fi:

Rg 9, 9 Rs = = = 0,521 .

nA 1 20 1

Ce rezisten trebuie conectat n serie cuun galvanometru cu Rg = 9,9 pentru adispune de un voltmetru capabil s ms-oare tensiuni pn la 30 V ? (v. schema )(la captul scalei curentul este de 50 mA).

Atunci cnd acul aparatului deviaz la captul scalei, tensiunea la bornelegalvanometrului este egal cu: U = 50 10 3 9,9 = 0,495V. innd cont deformula divizorului de tensiune, pentru cazul dat se poate scrie:

RgUg = U ,

Rg + R ad

de unde se obine rezistena adiional cutat,R ad :

R ad=Rg(nV 1),

unde nV = U / Ug este raportul de demultiplicare al divizorului de tensiuneformat cuRgiR ad ; pentru nV= 30 / 0,495 = 60,61 rezult

R ad=Rg(nV 1) = 9,9 (60,61 1) = 590,1 .

Rezistena voltmetrului ce msoar tensiunea Upoate fi calculat ca:

R V=Rg+R ad= 9,9 + 590,1 = 600 ,

sau , n conformitate cu legea lui Ohm

U 30R V= = = 600

Ig 5 10 2

acelai rezultat, ceea ce este firesc s fie.4. Sursa real de tensiune

Anterior a fost considerat cazul sursei ideale de tensiune i curent.

43


24/379

Valentin GUU

Sursa real de tensiune este un generator de tensiune, care arerezisten intern (R i 0). Un astfel de generator funcionnd nsarcin, se caracterizeaz prin ecuaia:

uAB = e i Rg,

sau cu notaiile acceptate pentru circuitele de c.c.

U =EI R i . (1.34)

n (1.34)Ri =Rg este rezistena intern a generatorului de tensiune.

Schema echivalent cu elemente ideale, care este descris de

aceast ecuaie poate fi obinut din teorema a doua a lui Kirchhoff(figura 1.26). Spre deosebire de sursa ideal de tensiune pentru care

Fig. 1.26. Surs real de tensiune:a schema echivalent; b caracteristica U I.

tensiunea Unu depinde de curentulI, n cazul sursei reale tensiuneala borne scade cnd curentul crete (relaia 1.34 i figura 1.26, b).Graficul din figura 1.26, b conine dou puncte distincte, care n

practic determin dou regimuri de funcionare a sursei: funcionarea n gol (I = 0)

U = U0 = E; I= 0

funcionarea n scurtcircuit (U = 0) i n acest caz

E U

I = Isc = max. posibil !!U= 0 Ri Ri

44


25/379

Valentin GUU

De menionat c dac regimul de funcionare n gol nu esterezonabil din considerentele...bunului sim (pentru surs ns estecel mai favorabil), regimul de funcionare n scurtcircuit este inad-

misibil (n subparagrafele precedente a fost menionat c acest cazde funcionare este un accident care se termin lamentabil pentrusursa de tensiune respectiv se distruge!).

Exemple.

1. Sursa real de tensiune are U0= 12 V i I0 = 120 A . Care vor fi elementeleschemei ideale?Elementele ideale vor fi:

U0 12E = U0 = 12 V ; Ri = = = 0,1 .

I0 120

2. Se cere schema echivalent a unei surse reale, tensiunea de mers n gol iintensitatea curentului de scurtcircuit, dac sursa debiteaz I1 = 10 A la U1 =100 V i I2 = 10 A la U2 = 50 V.

Din relaiile U1 = E Ri I1 i U2 = E Ri I2 se obineRi:

U1 U2 100 50Ri = = = 5

I2 I1 20 10

Tensiunea de mers n gol este:

U0= E = U1 + Ri I1 = 100 + 5 10 = 150 V,

iar curentul de scurtcircuit

E 150Isc = = = 30 A.

Ri 5

5. Sursa real de curent

Dac ecuaia (1.34) se mparte la rezistenaRi , se obine:

45


26/379

Valentin GUU

U E

= I = Isc I,Ri R i

sau U

Isc = + I = I i + I. (1.35)R i

innd cont de relaia (1.35), n conformitate cu legea nti a luiKirchhoff se poate prezenta grafic schema echivalent a sursei realede curent, care este dat n figura 1.27, a. Elementul ideal care debi-

a b c

Fig.1.27. Surs real de curent:

a schema echivalent; c caracteristicaI U.

teaz curentul Isc se numete surs ideal de curent (figura 1.27,b); pentru o astfel de surs R i = (Ii = 0) iI =Isc pentru orice U(figura 1.27, c). De regul, curentul Isc se mai noteaz i cu Ig(curentul de generator).I

Isc

U00

U Fig. 1.28.

Astfel, sursa real de curent esteansamblul alctuit din sur-

sa ideal de curent n pa-ralel cu rezistena inter-na generatorului.Caracteristica curent-tensiune a surseireale de curent este reprezentat n fig-ura 1.28, de unde se vede clar c cu

creterea tensiunii intensitatea curentului debitat de surs scade p-

n la valoareaI = 0, cnd U = U0 = IscR i .

46


27/379

Valentin GUU

Exemple.

1. S se determine sursa echivalent real de curent, dac generatorul aret.e.m. E = 100 V i o rezisten intern R i = 0,5 .Curentul sursei reale, rezisten intern a creea este R i = 0,5 se calculeazsrfel:

E 100Isc = = = 200 A.

R i 0,5

2. Generatorul are U0 = 200 V iIsc = 200 A ; s se determine sursa realechivalent de curent.

Trebuie de calculat deci, rezistena intern a sursei,R i :

U0 200Ig= Isc = 200 A; R i= = = 1 .

Ig 200

Finaliznd acest subparagraf , putem rezuma n felul urmtor rezul-tatele obinute mai sus:Orice generator electric, cu tensiunea de

mers n golU0 i curentul de scurt circuit Iscpoate fi reprezentat fie printr-o surs

real de tensiune ale crei elemente ideale

se determin prinU0

E = U0 i R i= R g = (figura 1.29, a), Isc

Fig.1.29. Surse reale de tensiune (a) i curent (b)

fie printr-o surs real de curent ale crei

elemente ideale pot fi calculate astfel:

U0

47


28/379

Valentin GUU

I0 = Isc i R i= (figura 1.29, b) .Isc

6. Asocierea surselor ideale

a) Asocierea surselor de tensiune

Dac dou surse ideale de tensiune sunt conectate (asociate) nserie, atunci n montaj adiional acestea admit o surs echivalentde tensiune cu t.e.m.Ee = E1 + E2(figura 1.30, a).Dac ns sursele sunt n montaj diferenial (sunt n opoziie), t.e.m.

Fig. 1.30. Asocierea surselor de tensiune.

a sursei echivalente va fiEe = E1 E2(figura 1.30, b). Prin urmare:un sistem de surse ideale de tensiune asociate n serie admit o

surs echivalent cu t.e.m. egal cu suma algebric a t.e.m. asurselor componente:

nEe = Ek . (1.36) k +1

O b s e r v a i e : dou surse ideale de tensiune pot fi conectate nparalelnumai atuncicnd tensiunile lor electromotoare sunt egale,

adicE1 = E2 = E = Ee t.e.m.. a sursei echivalente.

b) Asocierea surselor de curent

Dac dou surse ideale de curent sunt conectate (asociate) n para-lel, acestea admit o surs echivalent cu curentulIge= Ig1+Ig2(figura1.31, a). Dac sursele sunt n montaj diferenial (n opoziie), atunci

48


29/379

Valentin GUU

Fig. 1.31. Asocierea surselor de curent.

curentul sursei echivalente va fi: Ige = Ig2 Ig1 (figura 1.31, b).Aa dar: un sistem de surse ideale de curent asociate n paralel ad-mit o surs de curent echivalent, avnd curentul egal cu sumaalgebric a curenilor surselor componente:

nIge = Igk . (1.37) k +1

O b s e r v a i e : dou surse ideale de curent pot fi conectate n serienumai dac au curenii egali, adicIg1= Ig2= Ig. Curentul sursei decurent, echivalente cu sursele n serie este curentul lor comun Ige=Ig

7. Asocierea surselor realea) Asocierea n paralel a surselor de tensiune

Presupunem date dou surse de tensiune asociate n paralel, aacum se vede n figura 1.32, a ; trebuie de determinat alementele EeiRe ale unei surse echivalente. Aceasta se face suficient de simplu,

a b

Fig. 1.32. Transformri echivalente.

prin transformarea surselor de tensiune n surse de curent (figura

1.32, b).

49


30/379

Valentin GUU

Cele dou surse ideale de curentE1 / R1 =E1G1 i E2 /R2 =E2G2 potfi nlocuite cu o surs unic, cu curentul sumarE1G1 +E2G2 = =Ige. Rezistena intern a sursei de curent i conductana ei rezult din

asocierea n paralel a celor dou rezistene (conductane): R1R2

Re = , (1.38)R1 + R2

sauGe = G1 + G2 .

Revenind la sursa de tensiune care va avea rezistena intern it.e.m. echivalent (figura 1.32, a):

1 1 E1 + E2

1 E1G1 +E2G2 R1 R2Ee= Ie = = . (1.39)

Ge G1 + G2 1 1+

R1 R2

Aa dar: tensiunea electromotoare a sursei echivalente estevaloarea medie ponderat a t.e.m. ale surselor componente,ponderele fiind conductanele; rezistena intern a sursei echiva-lente se calculeaz ca i cum rezistenele surselor ar fi n paralel.

Exemple.1. S se determine elementele sursei de tensiune echivalente cu dou surse ide-ntice n paralel.

n conformitate cu relaiile stabilite mai sus (1.39) i (1.38), se poate scrie:

2EG REe= = E i Ie = .

2G 2

2.n circuitul din figura alturat se poateconsidera c sunt asociate n paralel dousurse, una cu t.e.m. nul, E2 = 0. S sedetermine elementele sursei echivalente detensiune.

50


31/379

Valentin GUU

Aplicnd relaia (1.39), cu condiia c E2= 0 obinem:

E1 R1R2 R1Ee= = E1 .

R1 R1 + R2 R1 + R2

Rezistena intern este egal: R1R2

Re = .R1 + R2

b) Asocierea n serie a surselor de tensiune

Dac n serie sunt conectate dou surse de tensiune (figura 1.33), seadmite prezentarea lor printr-o surs echivalent cuEe iRe care sepot calcula cu condiia: pentru aceeai tensiune la borne, acestea sfie traversate de acelai curent.Pentru schemele din figura 1.33se pot scrie relaiile evidente:

U = E1 + E2 (R1 + R2)I i

U = EeReI,din care se obine (identificnd) Fig. 1.33. Asocierea n seriea surselor de tensiune.

termenii:Ee = E1 + E2

iRe = R1 + R2 .

Dac n serie sunt asociate n surse, relaiile respective sunt: nEe = Ek

(1.40) k +1

nRe = Rk . (1.41)

k +1

n cazul a n surse identice:Ee = n Ei Re = n R .

51


32/379

Valentin GUU

c) Asocierea n paralel a surselor de curent

Sistemul format din n surse reale de curent conectate n paralel

poate fi interpretat ca fiind alctuit din n surse ideale de curant i nrezistoare n paralel; elementele sursei echivalente rezult: n

Ige = Igk (1.43) k +1

nGe = Gk . (1.44)

k +1

n cazul a n surse identice:Ige = n Igi Ge = n G.

Exemplu.S se afle sursa de tensiune echiva-lent cu sistemul de surse din figuraalturat.Sursa de tensiune se transform nsurs de curent, apoi se aplic regulile

de asociere n paralel a surselor de cu-rent. Astfel, se obine:

Ige = E/R +Ig= 10/1 + 6 = 16 A;

Re = (1 0,5) / (1 + 0,5) = 0,5 / 1,5 = 1 / 3 .

Sursa de tensiune echivalent (v. figura) deine elementele:

Ee = Ige Re = 16 1 / 3 = 5,33 V;Re = 0,33 .

52


33/379

Valentin GUU

1.3. REZOLVAREACIRCUITELOR ELECTRICELINIAREDEC.C. CUAJUTORULDIAGRAMELORORIENTATE

1.3.1. Diagrame orientate de cureni i tensiuni

ntr-un circuit electric tensiunile de la bornele laturilor i cureniiprin laturi satisfac teoremele lui Kirchhoff. Reamintim aici c primateorem Kirchhoff se refer la curenii laturilor care se ramificdintr-un nod; a doua teorem la tensiunile la bornele laturilor cealctuiesc un ochi. n continuare vom urmri modul de aplicare a

teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea i analiza circuitelor de c.c.1. Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff

n conformitate cu prima teorem a lui Kirchhoff ( 1.2), sumaalgebric a curenilor prin laturile care se ramific dintr-un nod estenul:

Ik = 0 , (1.45)

k B

unde cuB se noteaz mulimea indicilor laturilor care se ramific nnodul (b).

Exemple.

1. ntr-un circuit cu 3 noduri i 6 laturi (N =3, L = 6 ) se cunosc valorile curenilor aacum se indic n figura dat. S se verifice 1a

teorem a lui Kirchhoff.

Aceasta se poate face, aplicnd teorema pentrufiecare nod aparte:

nodul (a) 8 + 4 1 11 = 0;(b) 7 + 5 8 4 = 0;(c) 11 + 1 7 5 = 0,

ceea ce dovedete c intensitile curenilor sunt n deplinconcordan cu enunul primei teoreme Kirchhoff. Este momentul

s facem o r e m a r c : pentru a verifica prima teorem Kirchhoff

53


34/379

Valentin GUU

nu este necesar s se prezinte circuitul cu toate elementele sale; estesuficient s se figureze doar nodurile i laturile circuitului, cusensurile curenilor figurai pe laturi. Acest mod de prezentare

simplificat a circuitului electric poart denumirea diagramorientat de curent. n teoria circuitelor (i nu numai) astfel dediagrame se mai numesc i graf orientat.

2. Este dat diagrama de cureni dinfigura a i unele valori concrete alecurenilor. S se determine curenii cenu sunt cunoscui.

Se scriu ecuaiile nodurilor, conform

teoremei 1 Kirchhoff:nodul (a):I1 + 2 3 1 = 0;

(b):I2 + 1+ 1 I1 2 = 0;(c):I3 + 3 + 1 = 0.

Din aceste relaii se determin: I1 + 2 4 = 0,I1= 2 A;

I2 + 1+ 1 4 = 0, I2 = 2 A; I3 + 4 = 0, I3= 4 A.

a

bCurentulI3 rezult negativ, aceasta semnificnd c direcia sa iniial (diagramasau graful a ) nu este adevrat, sensul real fiind opus celui de referin (alesarbitrar). n figura b este dat diagrama complet a curenilor, exprimai namperi.Pentru calcularea unui curent trebuie s se cunoasc, care estenumrul de ecuaii independente ce se obin prin aplicarea primeiteoreme Kirchhoff. Rspunsul la aceast ntrebare poate fi gsit din

analiza circuitelor simple din figura 1.34, a i b.

a bFig. 1.34. Diagrame simple de cureni.

54


35/379

Valentin GUU

Precum simplu se verific, pentru circuitul cu dou noduri din figu-ra 1.34, a n ambele noduri ecuaia 1 Kirchhoff este una i aceeai:

I2 I1 I3 = 0 i I2 + I1 + I3 = 0.

n cazul circuitului cu trei noduri (figura 1.34, b) pot fi scrise treiecuaii:

nodul (a): I2 + I1 + I3 = 0;

(b): I4 +I5 I2I1 = 0;

(c): I4 I5 I3 = 0.

Sunt scrise trei ecuaii, dar numai dou dintre acestea sunt indepen-

dente; de exemplu, ecuaia pentru nodul (c) poate fi obinut dinprimele dou, nmulite cu ( 1) i adunate. Se poate trage o con-cluzie general:pentru un circuit electric cu N noduri pot fi scrise

N 1 ecuaii independente, aplicnd teorema nti a lui Kirchhoff.Astfel

Ik = 0 ,(1.46)

k B

undeB este mulimea de noduri a circuitului (k = 1, 2, 3,...,N 1).

2. Aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff

Se poate de reamintit enunul teoremei 2 a lui Kirchhoff subprimaform a acestuia: ntr-un circuit nchis (ochi) fr t.e.m. sumaalgebric a cderilor de tensiune este nul:

Uk = 0 , (1.47) k

P

undePeste mulimea de indici ale laturilor ce intr n componenaochiului. Semnul + n suma de mai sus corespunde cazului cndsensul de referin al tensiunii laturii coincide cu direcia n care se

parcurge ochiul; n caz contrar, semnul tensiunii este .

Exemple.

55


36/379

Valentin GUU

1. S se verifice teorema 2 Kirchhoff pentru ochiurile specificate pe diagramade tensiuni din figura din dreapta. Tensiunile pe diagram sunt indicate nvoli.Pentru ochiurile (1), (2) i (3) se pot scrie

urmtoarele ecuaii cunform (1.47):ochiul (1): 8 + 17 25 = 0;

(2): 15 + 10 25 = 0;(3): 17 10 7 = 0.

Aadar, pentru aplicarea celei de a douateoreme a lui Kirchhoff conform primului enun, nu este necesar s se figurezecircuitul electric n detaliu; este suficient s se prezinte numai nodurile i laturi-le cu sensul tensiunilor la borne (v. figura). Asemenea prezentare, ca i n cazul

primei teoreme a lui Kirchhoff, poart denumirea de diagram orientat (detensiuni) sau graf orientat .

2. Este dat un circuit cu L = 6 laturi i N = 4 noduri (v. figura adiacent) secunosc trei tensiuni la borne. S se determine tensiunile necunoscute i s seprezinte diagrama orientat de tensiuni.

a b

Din figura a necunoscute sunt tensiunile U1, U2 i U3. Din ochiul (1) rezult:

U1+ 10 40 = 0; U1 = 30 V.

Din ochiul (2) obinem: U2 + 2010 = 0; U2 = 10 V.

Din ochiul (3) obinem:

U3 U2 U1= 0; U3 = 20 V.

Diagrama orientat a tensiunilor este prezentat n figura b.

Dar cte ecuaii (independente) pot fi scrise conform teoremei 2

Kirchhoff ? Numrul ecuaiilor independente de tensiuni pe ochieste egal cu numrul ochiurilor in d e p e n d e n t e .

56


37/379

Valentin GUU

O c h i u l se consider i n d e p e n d e n t n raport cu alte ochiuridac nu este constituit din laturile acestora. O definiie i maisimpl: ochiul este independent dac conine cel puin o latur

nou. Drept exemplu, n figura 1.35 ochiurile formate din laturile 1,

Fig. 1.35.

3, 6; 2, 4, 6 i 3, 4, 5 sunt independentefiindc toate au cte o latur (cel puin)

pe care nu o au celelalte. Ochiul nsformat din laturile 1, 2 i 5 nu este inde-

pendent din simplu motiv c nu coninenici o latur care nu ar aparine celor trei

ochiuri. Aadar, dac numrul total de laturi ale unui circuit este L

iar numrul total de noduri N, n conformitate cu teorema luiEuler, numrul de ochiuri independente este:

M =L (N 1). (1.48)

Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff ntr-un circuit cuL laturiiNnoduri, se obine un sistem de ecuaii independente M =L

N +1 de tensiuni pe ochiuri:

Um = 0 , unde p = 1, 2, ..., M .mP

n continuare vom demonstra utilizarea teoremei 2 Kirchhoff n ceade-a doua formulare, enunul creea este: nte-un ochi indepen-dent de circuit suma algebric a t.e.m. este egal cu sumaalgebric a cderilor de tensiune. S ne clarificm, despre ce este

vorba.Foarte frecvent circuitele de c.c. sunt constituite doar numai din re-zistoare i surse de tensiune. Dup echivalarea elementelor reale decircuit cu elemente ideale, o latur ka circuitului poate fi compusdoar numai dintr-un rezistor ideal i o surs ideal de tensiune,legate n serie. n aa caz se poate scrie:

Em = ImRm (p = 1, 2, ..., M ). (1.49)mP mP

57


38/379

Valentin GUU

Din relaia (1.49) urmeaz c la aplicarea teoremei 2 Kirchhoff subaceast form, ochiul de reea se parcurge de dou ori: o dat pentrut.e.m. i a doua pentru cderile de tensiune pe rezistoare.

n privina semnelor +, : semnul unei t.e.m. este + dac sensulei coincide cu sensul ales pe ochi, n caz contrar este ; sensulunei cderi de temsiune ImRm este + dac sensul curentului prinrezistor coincide cu sensul ales pe ochi, n caz contrar este . Svedem toate acestea, cum se spune n lucru.Exemple.

1. S se deduc ecuaiile, satisfcute de intensitile curenilor prin cele treila-turi ale circuitului de c.c.din figura 1.36.

Fig. 1.36.

n circuit observm dou noduriN = 2 itrei laturi L = 3. Prin urmare, con-formteoremei 1 Kirchhoff (sau mai laconicKirchhoff 1) pot fi scrise N 1= 2 1 = 1 ecuaii; conform Kirchhoff 2 sepot scrieM = L N+ 1 = 2 ecuaii.Aceste ecuaii sunt:

pentru nodul (a) I1 + I2 I3 = 0;

pentru ochiul (1) E1 E2 = I1R1 I2R2;

(2) E2+ E3 = I2R2+ I3R3.

Semnul termenilor n partea stng i dreapt a ecuaiilor scrise conform teore-mei 2 Kirchhoff se determin aa cum a fost menionat n ultimul alineat.Observaie. Dac circuitul liniar conine i surse de curent, atunci pentru ochi-urile cu aceste surse se aplic forma general a teoremei 2 Kirchhoff, n care senlocuiesc n funcie de cureni numai tensiunile la bornele rezistoarelor, iar

tensiunile la bornele surselor de curent se pstreaz ca necunoscute (v. exem-plul ce urmeaz).

2. S se obin ecuaiile circuitului din figura 1.37 aplicnd, unde-i posibil,forma particular a teoremei Kirchhoff-2.

58


39/379

Valentin GUU

n schema propusN = 3, deci conformKirchhoff-1 pot fi scrise dou ecuaii:

(a) I 1 = I3 + I4 + Ig;

(b) I 2 + I3 + I5 + Ig= 0;n ecuaiile de mai sus s-a nlocuitI6 cuIg, unde este curentul debitat de sursa Fig. 1.37.

ideal de curent. Conform teoremei Kirchhoff-2 pot fi scrise 5 3 + 1= 3 ecua-ii i anume:

(1) E 1 = I1R1+ I4R4;

(2) 0 = I3R3 I5R5 I4R4;(3) E 2 = I5R5 I2R2 .

Ultima ecuaie pentru ochiul (4) ce conine sursa ideal de curent se poate scriepa baza formei generale Kirchhoff-2: (4) I3R3 Ug = 0.

1.3.2. Rezolvarea circuitelor cu ajutorulteoremelor lui Kirchhoff

Procesul de rezolvare a circuitelor electrice de c.c. i obinereavalorilor numerice ale intensitilor curenilor i tensiunilor cuprin-de trei etape:

stabilirea i scrierea sistemului de ecuaii al circuitului; soluionarea sistemului de ecuaii i determinarea necunos-

cutelor(cureni i tensiuni); verificarea corectitudinii calculelor.

Prima etap ncepe cu rspunsul la ntrebarea: cte ecuaii trebuiede scris? Rspunsul este evident: exact attea ecuaii, cte necunos-cute sunt prezente. A doua ntrebare fireasc: cte ecuaii se scriu nconformitate cu teorema nti i cte cu teorema a doua a luiKirchhoff ? Rspunsul este: dac circuitul liniar de c.c. conineL la-turi iNnoduri, atunci:

conform teoremei 1 Kirchhoff se scriu N 1 ecuaii pentru

curenii laturilor ce au acces la nodul n (n = 1, 2, ...,N 1);

59


40/379

Valentin GUU

conform teoremei 2 Kirchhoff se scriu L ( N 1)=Mecu-aii ntre celeL tensiuni la bornele laturilor.

Aa dar, sistemul de ecuaii este:

Ik = 0 (a = 1, 2, ..., (N 1)) (1.50)kA

conform teoremei 1 Kirchhoff i

Em = ImRm (p = 1, 2, ..., M ). (1.51)mP mP

Ecuaiile (1.50) i (1.51) includ i situaiile particulare n care laturam este alctuit numai dintr-un rezistor (Em = 0 ) sau numai dintr-osurs t.e.m. (Rm = 0).Dac circuitul are i surse de curent, atunci:

sursa de curent determin curentul prin latura respectiv(acesta nu mai este necunoscut), numrul necunoscutelor se reduce

cu o unitate la cureni, dar adaug o nou necunoscut care estetensiunea la bornele sursei de curent; numrul de ochiuri pe care se pote scrie a doua teorem

Kirchhoff se reduce dar, pentru ochiurile rmase se poate aplicateorema 2 Kirchhof n forma general. Prin urmare, i n acest cazrezult un sistem de L ecuaii cu L necunoscute care sunt toatetensiunele la bornele generatoarelor de curent i toate intensitilecurenilor prin laturile care nu conin surse de curent.n continuare, vom urmri cele expuse mai sus prin analiza a doucircuite de c.c.

Exemple.1. S se determine intensitile curenilor debitai de cele dou surse de t.e.m.ale circuitului din figura 1.38, unde E1 = 19 V, E2 = 7 V, R1 = 2 , R2 = 1 ,R3 = 3 .

60


41/379

Valentin GUU

Fig. 1.38.

Etapa 1.n circuit sunt N = 2 noduri i L = 3laturi. Este clar c ecuaii trebuie s sestabileasc: (N 1) +L (N 1) =L;

n cazul de fa : 2 1 + 3 2 + 1 = 3.Conform teoremei 1 Kirchhoff :N 1= 2 1 = 1ecuaii;

conform teoremei 2 Kirchhoff : L (N 1) = 3 2 + 1= 2 ecuaii. Astfel, seobin trei ecuaii:

nodul (a) I1 + I2 = I3;

ochiul (1) E1 = I1R1+ I3R3;

E2 = I2R2 + I3R3.

nlocuind cu valorile numerice se obine sistemul de ecuaii:I1 + I2 = I3;19 = 2I1 + 3I3;

7 = I2 + 3I3;

Aici se ncheie prima etap, prin obinerea unui sistem de treiecuaii neconoscute cei trei cureniI1, I2i I3.

Etapa 2. Rezolvarea sistemului de ecuaii i determinarea necunoscutelor.Folosind prima ecuaie, nlocuimI3 n celelalte dou:

19 = 2I1 + 3 (I1 +I2) = 5I1 + 3 I2 ;

7 = I2 +3 (I1 +I2) = 3 I1 + 4 I2 .

S-a obinut un sistem din dou ecuaii cu dou necunoscute I1 i I2 care pot ficalculate, de exemplu prin metoda reducerii, sau utiliznd determinanii.Astfel, I1 = 5 A iI2 = 2A.

Etapa 2 se ncheie cu determinarea curentului I3, din prima ecuaie de underezult:

I1 + I2 = 5 2 = 3 A = I3.

Avnd valorile cunoscute ale intensitilor curenilor se pot construi diagrameleorientate (grafurile) de cureni (figura 1.39, a) i tensiuni (figura 1.39, b).

61


42/379

Valentin GUU

Fig. 1.39. Diagramele orientate (grafurile) curenilor (a) i tensiunilor (b)circuitului de curent continuu.

Totul este bine, dar... cum rmne cu etapa 3 verificarea? Rspuns la aceastntrebare rmne s se dea ulterior. Acum ns trebuie s fie clar un lucru, imp-ortant: verificarea prin folosirea teoremelor Kirchhoffnu detecteaz eventualaeroare de calcul! Este necesar deci un alt instrument.

Teorema conservrii puterilor. S considerm ecuaiile obinuteprin aplicarea teoremei 1 Kirchhoff tuturor nodurilor unui circuitelectric. nmulind fiecare din aceste ecuaii cu potenialul noduluirespectiv i sumnd toate relaiile astfel obinute, rezult:

n

Vj Ik = 0. (1.52)j= 1 k(j)

Dat fiind faptul c n relaia (1.52) n membrul stng fiecare dincureni figureaz de dou ori (odat nmulind potenialul Vk(e) alnodului din care iese curentul cu semnul +, i odat Vk(i) al nodu-lui n care intr curentul, cu semnul ), relaia (1.52) poate fi res-cris sub forma:

l l

Ik (Vk(e)Vk(i)) = Uk Ik = 0, (1.53)k= 1 k= 1

deoarece diferena Vk(e) Vk(i) este tocmai tensiunea Uk la bornelelaturii k. n conformitate cu acest rezultat, numit teoremma con-servrii puterilor suma puterilor schimbate pe la borne delaturile unui circuit electric complet (nchis) cu cmpulelectromag-netical surselor t.e.m. este ntotdeauna nul.Folosind relaia U + E = I R pentru fiecare latur activ de curent

rezultatul (1.53) se mai poate pune sub forma: l l

62


43/379

Valentin GUU

Ik (Rk IkEk) = Uk Ik = 0, (1.53)k= 1 k= 1

sau

l lRk Ik2 = Ek Ik , (1.54)

k= 1 k= 1

corespunznd urmtorului enun al teoremei: suma puterilorconsumate prin efect electrocaloric ireversibil (Joule) n rezisten-

ele unui circuit electric complet este egal cu suma algebric aputerilor cedate de sursele de energie electric.Verificarea egalitii (1.54) pentru un circuit electric se numete

bilanul puterilorcircuitului respectiv.Revenind la exemplul cu figura 1.38, poate fi efectuat verificarea,adicEtapa 3. Puterea dat de surse:

E1I1E2I2 = 19 5 7 2 = 95 14 = 81 W.

Puterea consumat n rezistoare:

R1I12

+ R2I22

+ R3I32

= 2 25 + 1 4 + 3 9 = 81 W.Aadar,

R1I12+ R2I22 + R3I32 = E1I1E2I2 i

81 W = 81 W.

n concluzie se poate afirma c verificarea calculelor se finalizeazcu bilanul puterilor.

2. S se efectueze analiza circuitului din figura 1.40; valorile t.e.m. ale surse-lor de tensiune, a intensitii curentului sursei de curent i valorile rezisenelorsunt date direct n dreptul elementelor respective.

n acest exemplu se va executa doaretapa 1 (aa se pune problema).Deoarece circuitul areL = 6 i N = 4,ecuaii trebuie s se scrie 6: trei pentru

cureni i trei de tensiuni. Se obine:

63


44/379

Valentin GUU

(a) I1 = I2+ I3;

(b) I4 = 0,25+ I3;

Fig. 1.40.

(c) I4 + I5= 0,25.

Acestea sunt trei ecuaii de cureni scrise conform teoremei 1 Kirchhoff; urm-toarele trei ecuaii de tensiuni, se scriu conform teoremei 2 Kirchhoff:

(1) 9 = 10 I1 + 5 I2 ;

(2) 6,5 = 5 I2 15 I4 20 I3;

(3) 0 = Ug15 I4.

Diagramele orientate (grafurile) de cureni (a) i tensiuni (b) sunt reprezentaten figura de mai sus. Soluiile respective sunt marcate pe figuri n amperi (A) ivoli (V).n multe cazuri concrete, circuitele liniare pot fi analizate direct,

construindu-se concomitent ambele diagrame. S urmrim aceasttehnologie.

Exemplu.S se determine intensitile curenilorprin laturile circuitului rep-rezentat n figura1.41,a. Valorile t.e.m.i a rezistenelor sunt notate pe schem.

Fig. 1.41.

Circuitul areN = 3 iL = 7. Nodul(c) este conectat la mas, ntre nod-urile (a) i (c), respectiv (b) i (c) sunt conectate cele dou surse cu t.e.m. , de

12 V i 6 V; deci potenialele nodurilor (a) i (b) fa de mas sunt cunoscute:

64


45/379

Valentin GUU

Va = 12 V i Vb = 6 V. diferena de potenial ntre nodurile (a) i (b) este egalVa Vb = 12 6 = 6 V (figura 1.41, b).Cum se vede n schem, rezistoarele de 3 k i 6 k sunt conectate ntre nod-ul (a) i mas; intensitile curenilor prin aceste rezistoare sunt: 12 V / 3 k =

4 mA i 12 V / 6 k = 2 mA. n mod asemntor se calculeaz curenii prinrezistorul de 1 k legat ntre nodul (b) i mas, precum i prin rezistoarele de2 k i 6 k legate ntre nodurile (a) i (b) (figura 1.41, c).Este simplu de calculat curenii debitai de sursele ideale de t.e.m., prin aplica-rea teoremei 1 Kirchhoff pentru nodurile (a) i (b) (figura 1.41, d). Diagramade tensiuni complet (figura 1.41, e) justific valorile curenilor obinui n dia-grama de cureni.

Merit de subliniat c utilizarea teoremelor Kirchhoff n calculele

i analiza circuitelor liniare de c.c. nu totdeauna este justificat. Deexemplu, n cazul circuitelor liniare cu o unic surs de t.e.m., esterezonabil utilizarea aa-numitei metode de transfigurrisimple. Vom exemplifica aceasta pe un caz concret. Presupunemdat circuitul de c.c. liniar cu o singur surs de energie, schema rep-rezentat m figura 1.42, a. Cum se vede,N = 2 iL = 3 i, conform

Fig. 1.42. Schema echivalent a unui circuitliniar de c.c.

celor expuse anterior ar trebui de stabilit sistemul de ecuaii (n

cazul de fa, 1 ecuaie n cureni 2 1 = 1 i dou ecuaii n tensi-uniL N +1 = 3 2 + 1 = 2), de rezolvat sistemul de trei ecuaii cu

65


46/379

Valentin GUU

trei necunoscute curenii I1, I2, i I3 i de finalizat cu verificareasoluiei. Toate acestea nu prezint dificulti n acest caz, dar se

poate, totui de procedat i mai simplu, apelnd la metoda trans-

figurrilor simple. Cu unele elemente ale acestei metode ne-amntlnit deja, n cazul calculelor rezistenei echivalente a dou saumai multe rezistoare, conectate n serie sau paralel. Exerciiulefectuat n figura 1.42 poziiile b, c i dn literatura de limb rus

poart denumirea de , ceea ce n traducerenseamn nfurare desfurare. ntr-adevr, de la poziia a la

poziia d are loc nfurarea schemei: rezistoarele R2 i R4 suntconectate n serie, deci R24 = R2 + R4; rezistoarele R3 i R24 sunt

conectaten paralel, deciR3 24 =R3 (R2 + R4)/ R3 + (R2 + R4), pozi-ia c (n urma acestei transfigurri nodul (a) s-a transformat din realn eliminat); rezistoareleR1 iR3 24 sunt conectate n serie, deci rezi-stena echivalent a circuitului va fi

R3 (R2 + R4)R13 24 = R1 +R3 24 = R1 + .

R3 +R2 + R4 E

Iar acum se poate calcula curentul primei laturi I1 = . R13 24

Curenii I2 i I3 pot fi determinai dac se cunoate tensiunea U(a b)(aici, practic ncepe desfurarea schemei) care poate fi calculatconform regulei divizorului de tensiune ( 1.1.3):

R 3 24 U(a b)

U(a b) = E ; I3 = (legea lui Oh); I2 = I1 I3 .

R1 + R 3 24 R3

Volumul de lucru se poate dovedi ceva mai mare, dar el esteelementar, ceea ce micoreaz considerabil probabilitatea erorilor.n continuare vom mai analiza un caz, demn de atenie aparte.Exemplu.

S se determine cderea de tensioune la bornele rezistorului de 150 i inten-sitatea curentului prin rezistorul de 300 din circuitul de c.c. reprezentat n

figura 1.43, a.

66


47/379

Valentin GUU

a bFig. 1.43.

Circuitul dat poate fi echivalat cu cel din figura 1.43, b dac se ine cont c: rezistoarele de 100 i 200 sunt n serie i echivalente cu un rezistor

de 300 ;

rezistoarele de 300 i 600 sunt legate n paralel i echivalente cuun rezistor de 200 ; sursele de 200 V i 55 V n serie, sunt echivalente cu una singur, cu

sensul celei de 200 V, de valoare 145 V.

Circuitul echivalent obinut n urma acestor modificri este reprezentat n figu-ra 1.43, b. Uor de observat c schema a devenit mai simpl i conine cu olatur mai puin, fiindL = 3 iarN = 2. Nu vom intra de aceast dat n detaliilede rezolvare a acestui nou circuit, ci vom prezenta soluia din figura 1.44. Solu-

Fig. 1.44. Diagrame orientate i soluii (schema echivalent, 1.43, b).

ia obinut pentru circuitul echivalent este suficient pentru determinareamrimilor cutate. n figura dat mai sus sunt reprezentate diagrameleorientate (grafurile) de cureni i tensiuni ale circuitului dat (figura 1.43, a), de-duse din diagramele circuitului echivalent (figura 1.43, b), n mod direct.

Acest exemplu este semnificativ prin faptul c n urma transfigur-rilor echivalente a schemei din figura 1.43, a s-a obinut schema

67


48/379

Valentin GUU

echivalent din figura 1.43, b n care elementele pasive (rezistoare-le) formeaz o stea. Cum se procedeaz mai departe? Vom vedean continuare.

1.3.3. Relaii de transfigurare

T r a n s f i g u r a r e a unui circuit const n transformarea acestuiantr-un circuit echivalent: cunoscutele exemple de conectare a rezis-toarelor n serie i n paralel, echivalarea unui generator real detensiune cu un generator real de curent etc.n electritehnic metodele de transfigurare sunt folosite pentru

simplificarea circuitelor, a calculelor i analizei acestor circuite lucru care a fost menionat deja, ceva mai sus.n continuare, vom studia cteva tipuri de transfigurri, nc necu-noscute la acest moment.

1. Transfigurarea stea- triunghi i triunghi-stea. nfigura 1.45, a este dat un circuit, configuraia cruia permitecatalogarea lui ca circuit n stea, iar cel din figura 1.45, b ca circuit n triunghi Elementele acestor circuite suntR1,R2 i

R3, respectiv R12 ,R23 i R31.

Fig. 1.45.

Circuitul n stea are trei laturi legate ntre un nod central i bornelede acces, iar circuitul n triunghi are cele trei laturi legate directntre cele trei borne de acces.

A transfigura triunghiul n stea nseamn a gsi elementeleR1,R2i R3 ale unui circuit n stea care poate nlocui n orice condiii

68


49/379

Valentin GUU

circuitul n triunghi, deci care este echivalent cu acesta. Prin urma-re, se dauR12,R23 i R31 i se cerR1,R2 iR3.Punndu-se problema echivalenei n orice condiii, cele dou circu-

ite sunt echivalente i atunci cnd se alimenteaz numai la o singurpereche de borne, de exemplu ntre bornele (1) i (2), fiind borna(3) n gol, liber (aa cum este artat n figura 1.45). n acest cazcele dou rezistene echivalente R1, i R2 trebuie s fie egale (nsum) cu :

R12 (R23 +R31)R1 +R2 = .

R12 +R23 +R31

n mod analog, alimentnd pe la bornele (2), (3) i (3), (1) se obinrelaiile urmtoare:

R23 (R31 +R12)R2 +R3 =

R12 +R23 +R31R31 (R12 +R23)

R3 +R1 = R12 +R23 +R31

Din adunarea celor trei ecuaii se obine:R12R23 +R23 R31 +R31R12

R1 +R2 + R3 = . R12 +R23 +R31

Dac din aceast relaie se scad pe rnd cte una dintre ecuaiileprecedente, pentru R1,R2 iR3 se obine:

R12 R31 R23 R12 R31 R23R1 = ; R2 = ;R3 = .R12 +R23 +R31 R12 +R23 +R31 R12 +R23 +R31

(1.55)Dac rezistoarele din laturile triunghiului sunt de egal valoare,adic R12 = R23 =R31 = R atunci se obine: R1 =R2 =R3 =R/3.Aceast particularitate i raportul rezistenei laturilor triunghi-steaeste frecvent utilizat n electrotehnica practic. (de exemplu, la

pornirea unor motoare electrice asincrone).

69


50/379

Valentin GUU

Transfigurarea stea triunghi. Pentru aceasta cele dou circuite sealimenteaz pe rnd ca n figura 1.45, de exemplu pe la bornele (1)i (2), cu bornele (3) i (2) n scurtcircuit. Se calculeaz

conductanele echivalente care trebuie s fie egale i se obine:G1 (G2 + G3)

G12 + G31 = ; G1 + G2 + G3

G2 (G3 + G1) G23 + G12 = ;

G1 + G2 + G3

G3 (G1 + G2) G31 + G23 = .

G1 + G2 + G3

Dac acest sistem de ecuaii se rezolv asemntor cazului prece-dent, se obine:

G1 G2 G2 G3 G3 G1G12 = ; G23 = ; G31 = .G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3

(1.56)innd cont c G = 1 /R , pot fi obinute expresii pentruR12,R23 i

R31 :R1R2 R2R3 R3R1

R12 =R1 +R2 + ;R23 =R2 +R3 + ; R31 =R3 +R1 + . R3 R1 R2

(1.57)Dac conductanele circuitului n stea sunt n toate laturile egale,adic G1 = G2 = G3 = Gst = 1 /R tr, obinem:

1 Gs t 1 G12 = G23 = G31 = = =

R t r 3 3 R s t

de unde rezult

70


51/379

Valentin GUU

R t rR s t = , ca i n cazul precedent.

3

n relaiile de mai susR s t este rezistena laturei de stea, respectiv

R t r de triungi.Exemplu.Eficiena acestui tip de transfigurri poate fi urmrit n schemadin figura 1.46, unde n poziia a este schema unui pod neechilibrat iar npoziia b schema dup transfigurarea stelei r1, r2, ir5n triunghiul rab , rbci rca .

a bFig. 1.46.

2. Transfigurarea circuitelor n generatoare echivalente.Metoda generatorului echivalent

n unele cazuri practice apare necesitatea studierii regimului defuncionare a unei laturi dintr-un circuit electric complex, ndependen de modificarea rezistenei acestei laturi. n acest caz nueste necesar de efectuat calcule voluminoase ale circuitului nansamblu, dac se utilizeaz metoda generatorului echivalent. nconformitate cu aceast metod, influena tuturor surselor circui-tului asupra laturii n cauz poate fi nlocuit cu aciunea unui

generator echivalent conectat n serie cu latura, cu t.e.m. Eec irezistena intern rec (indicele ec nsemn echivalent).Vom demonstra posibilitatea acestei transfigurri pentru determi-narea curentului n latura cu un rezistor variabil r, din schema repre-zentat n figura 1.47, a.

71


52/379

Valentin GUU

Fig. 1.47. Schemele circuitului pentru determinarea curentului uneilaturi dup metoda generatorului echivalent.

Presupunem c sunt dateE1, E2, E3i rezistoarele r1, r2, r3, r4, r5 aleschemei. Pentru a stabili dependena curentului de rezistena rsepa-rm latura, restul circuitului fiind inclus n dreptunghiul cu linie

punctat, indicnd bornele a i b prin care acesta este conectat culatura investigat (figura 1.47, b). Partea selectat a circuituluiavnd dou borne, este un cuadripol activ A, litera A n interiorul

dreptunghiului indicnd c influena surselor E1, E2 i E3 asupralaturii studiate nu este nul.Conectm n latura cu pricina dou surse de t.e.m. egale ca mrimedar cu sens opus, E'iE"(poziia c, n aceeai figur); evident, cu-rentulIn latur va fi acelai ca i n poziia b. Acest curent poate fiinterpretat ca suprapunerea curenilorIa provocat de E', E1, E2, E3(schema poziia d) i Ib sub aciunea t.e.m. E"(schema poziia e,unde laturile circuitului nu conin surse, deci dreptunghiul este

pasiv i notatP).

72


53/379

Valentin GUU

Pentru ca curentulIal laturii cercetate s fie egal cu curentulIb dinschema figura 1.47, e sursa E'se alege de aa valoare ca curentulIas fie egal cu zero. Aceast condiie poate fi respectat, dac t.e.m.

E'va fi egal cu tensiunea de mers n gol la bornele a i b a circu-itului:E'= Uabg ol .Valoarea t.e.m. E'pentru aceste condiii poate fi determinat i pacale analitic; n acest caz, utiliznd lagea lui Ohm pentru o laturdin circuit cu t.e.m.E'i tensiunea Uab (schema 1.47, d):

Uab E'Ia = .

rDin aceast ecuaie se vede c pentru curentulIa = 0 t.e.m.E'esteegal cu tensiunea de mers n gol Uabg ol la bornele a i b aleschemei. Prin urmare, pentru a determina curentul I al circuituluiiniial este suficient de studiat numai schema din figura 1.47, e cusursa de t.e.m.E"= E'= Uabg ol . Acest circuit const din elementulrezistiv al laturii studiate r nseriat cu rezistena de intrare rin aceleilalte pri ale schemei (rin = r) fa de bornele a i b (schema

1.47,f). Rezistena de intrare a prii pasive a circuitului din figura1.47, e poate fi calculat, inndu-se cont de regula: generatoarelede t.e.m. se scurtcircuiteaz, iar laturile cu generatoarele de curentse rup. Astfel, rezistena de intrare fa de bornele a i b (schema1.47, a) va fi:

r6 (r'+ r4)rin = ,

r6+ r' + r4

r1 r2 r3 + r1 r3 r5 + r2 r3 r5unde r'= .

r1 r2 +r1 r3 + r1 r5 +r2 r3 + r2 r5

Influena t.e.m. E" asupra rezistenei r din schema figura 1.47, fpoate fi prezentat ca influena generatorului echivalent de t.e.m.Eechiv care este egal cu tensiunea de mers n gol la bornele a i b lacare se conecteaz latura cercetat:

Eechiv = E" = Uabg ol .

73


54/379

Valentin GUU

Rezistena intern a generatorului echivalent este egal cu rezistenade intrare a celeilalte pri pasive ale schemei fa de bornele a i b,la care se conecteaz latura menionat:

rechiv = rin .Cunoscnd Eechiv i rechiv ale generatorului echivalent (schema1.47,f) se poate calcula curentul prin latura studiat:

EechivI = . (1.58) r + rechiv

Aceast metod de calcul a curentului printr-o latur a unui circuitelectric complex este numit metoda generatorului echivalentsau metoda dipolului activ; prima dintre aceste denumiri estelegat cu efectul nfluenei circuitului n ansamblu asupra laturiistudiate, drept influena unui generator echivalent. A doua denumireeste legat de faptul c, n raport cu latura n cauz restul circuituluiconectat cu latura prin bornele a i b, este numit dipol.

Ceea ce pare curios i important de subliniat este faptul c nliteratura de specialitate occidental aceste metode poart denumi-rea de teoreme ale lui Helmholtz i Thevenin. n literatura respec-tiv sovietic (de limb rus) foarte puini autori pomenesc numelesavanilor menionai.Este clar din cele expuse mai sus c teorema Helmholtz Theveninse refer la generatorul echivalent de tensiune. Judecnd n modanalog, poate fi introdus conceptul de generator echivalent decurentceea ce a i fost fcut de un alt savant Norton, prin teoremacare-i poart numele. Generatorul echivalent de tensiune se poate de

74


55/379

Valentin GUU

transfigurat n generator echiva-lent de curent (figura 1.48) i naa fel se obine generatorul echi-

valent de curent al circuitului nraport cu bornele A i B. Se poateenuna deci urmtoarea teorema generatorului echivalent de cu-rent al unei reele active: n raportcu dou borne A i B orice circuitliniar activ de c.c.se poate transfi-

gura ntr-un generator echivalent

Fig. 1.48. Transfigurarea genera-torului echivalent de tensiune (a)

n generator echivalentde curent (b).

de curent avnd Ig = IscAB = UAB 0/ RAB0 i conductana echivalentGAB0 = 1 /RAB0.S considerm generatorul echivalent de curent al unui circuit, caredebiteaz pe un receptor de conductan G = 1 / R . Calculmtensiunea UAB la bornele receptorului:

1UAB =IAB R = IAB .

GFolosind cunoscuta teorem a divizorului de curent, obinemIAB:

RAB 0 GIAB = Isc AB = IscAB .

R + RAB 0 G + GAB 0

nlocuind n expresia tensiunii, vom obine pentru aceasta:Isc AB

UAB = . (1.59) G + GAB 0

Relaia (1.59) este exprimarea matematic a teoremei lui Norton,care poate fi enunat astfel: tensiunea la bornele unei laturi pasivede conductan G conectate ntre bornele A i B ale unei reeleliniare active de c.c. este egal cu raportul dintre intensitatea cu-

rentului care se stabilete la scurtcircuitarea bornelor i suma

75


56/379

Valentin GUU

dintre conductana G a laturii i conductana GAB 0 a reelei pasi-vizate fa de bornele A , B.

1.3.4. Teorema transferului maxim de puterePentru circuitul activ reprezentat n figura 1.49 tensiunea pe reziste-na de sarcin rs , conform legii lui Ohm pentru un sector (latur)

pasiv de circuit, este egal : Uab = I rs . Anterior a fost artat ct.e.m. a unei surse de energie este : E = Uab+ r I, unde reste rezis-tena intern a sursei. nlocuind Uabse poate scrie:

E= Uab+ r I = r I + rs I. (1.60)Exptresia (1.60) este ecuaia ce reflect starea echilibrului electricntr-un circuit simplu nchis. Din aceast ecuaie se poate obinelegea lui Ohm pentru un circuit simplu nchis cu generatorechivalent de t.e.m..E(figura 1.48, a):

EI = . (1.61)

r + rsPuterea circuitului extern este

rsE2

Ps = rs I2 = . (1.62) (r + rs) 2

Curentul n circuitul exterior al generatorului echivalent de curent

(schema de transfigurare paralel, figura 1.48, b) poate fi calculat:

U rs II = Ig = Ig , (1.63)

r rundeIg (n figura 1.51 notatIk) este curentul sumar al generatorului,

I curentul debitat pe sarcin i de unde

r

76


57/379

Valentin GUU

I = Ig .( r + rs )

Fig. 1.49. Schema unui circuitnchis de curent. Fig. 1.50. Regim de funcionare a sursei deenergie: a nedorit (mers n gol); b inadmisibil

(scurtcircuit)

a b

Fig. 1.51. Scheme reale ale surselor de energie:a de tensiune (schema consecutiv); b de curent

(schema paralel de transfigurare).

Puterea dezvoltat n sarcin (figura 1.49) va fi egal:

rs Ig2 r2

Ps = rs I2 = . (1.64) (r + rs) 2

Aceast putere este nul n dou cazuri: n regimul de mers n gol(rs = ) i cazul de scurtcircuit (rs = 0). Puterea debitat pe sarcin

este maxim atunci cnd relaia rs/(r+rs)2 atinge valoarea maximal;

77


58/379

Valentin GUU

lund derivata de gradul nti a acestei fracii i egalnd-o cu zero,vom afla condiia de transmitere a puterii maxime de la surs pesarcin:

d r (r + rs) 2 2 r (r + rs)= = 0 d t (r + rs) 2 (r + rs) 2

sau(r + rs) 2 2 r (r + rs) = 0,

de unde se determinrs = r. (1.65)

n cazul generatorului de t.e.m.E(schema consecutiv, figura 1.51,a) puterea absorbit de sarcin (receptor) :

P = r I2 .

Conform legii lui Ohm (schema 1.49) :E

I = , (r + rs)

puterea va fi

rsE2 E2P = = . (1.66) (r + rs)2 r 2

+ rs rs

T.e.m. fiind dat, puterea va fi maxim cnd numitorul va fi minim.Pentru a gsi minimul numitorului, constatm c produsul terme-nilor este constant, adic:

r

rs = r. rs

Este cunoscut din matematic: dintre toate perechile de numere al

cror produs este constant, suma numerelor e minim cnd ele sunt

78


59/379

Valentin GUU

egale; de exemplu, 1 16 = 2 8 = 4 4 4 + 4 < 2 + 8 < 1 +16. Prin urmare, deoarece produsul termenilor din paranteza de lanumitor (relaia 1.66) este constant, suma lor va fi minim cnd ei

sunt egali: r

= rs rs= r. (1.67) rs

Am obinut aceeai condiie ca i n cazul generatorului de curent,relaia (1.65).

n acest caz puterea maxim va fi:

E2 Pmax= . (1.68) 4 r

Se ajunge astfel la enunul teoremei transferului maxim deputere: un generator transfer unui rezistor(sarcine) o puteremaxim E2/4 r atunci cnd rezistena rezistorului este egal curezistena intern a generatorului.Puterea poate fi deci reprezentat ca funcie deR (rs) observnd c:

pentruR = 0, putereaP = 0 (v. figura 1.52); R = Ri(r), putereaP = Pmax; R = ,putereaP = 0.

Receptorul care satisface condiia de transfer maxim de putere esteconsiderat adaptat sursei. Adaptarea receptoarelor este importanti se utilizeaz pe larg n tehnica semnalelor (televiziune, radioteh-nic etc.).Prin urmare, puterea generatorului de energie se consum, parialdebitat pe sarcin, parial irosit n interiorul su. Chiar i n cazulunui regim adaptat puterea pierdut n interiorul sursei de energieeste egal cu o jumtate din puterea total, adic:

P = r I2 = rs I2 = E I/ 2 .

Se poate defini randamentul transferului de energie ca :

P t P = = ,

79


60/379

Valentin GUU

Pg t Pg

unde P = rs E 2/ (r + rs)2 este puterea debitat pe sarcin iarPg= E2/(r + rs). Prin nlocuire se obine:

rs 1 = = . (1.69)r + rs 1 + r/ rs

Din formula (1.69) se vede c n cazul mersului n gol cnd rs = randamentul este gol= 1; n caz de scurtcircuit, cnd rs = 0 randa-mentul sc= 0. n regim adaptat (r = rs) ad= = 0,5.

Fig. 1.52. Fig. 1.53.n figura 1.53 sunt reprezentate curbeleP(Pg), Ps(P) i funciede mrimea relativ a rezistenei circuitului exterior, rs / r. Meritde subliniat faptul c n condiii practice regimulnominalal puteriisurselor rareori coincide cu regimul adaptat, fiindc n acest cazrandamentul este ad = 0,5 (v. figura) iar curentul sursei prinsarcin

depete considerabil curentul nominal. Aceasta poate conduce lao degajare substanial de cldur n interiorul sursei.Regimul adaptat poate fi acceptat n cazurile practice, atunci cndun randament mic nu este determinant. Dar dac considerenteleeconomice sunt hotrtoare, stunci rezistena intern a sursei trebuies fie mai mic dect rezistena circuitului exrerior (r < rs). ntr-unastfel de caz regimul nominal al sursei sete aproape de regimul demers n gol i 1.

80


61/379

Valentin GUU

1.3.5. Metoda curenilor de contur (Maxwell)

Rezolvarea circuitelor electrice prin metoda direct (a transfigur-

rilor simple) i a teoremelor Kirchhoff ridic dificultatea rezolvriiunui sistem cu un numr mare de ecuaii i necunoscute cecorespunde numrului de laturi. n condiiile impuse de tehnicaactual, cnd circuitele utilizate n practic devin tot mai complexe,

problema gsirii unor metode care ar reduce considerabil volumulcalculelor se impune imperios. Tendina fireasc n aceste condiiieste, n primul rnd aceea de a micora efortul de calcul, prinreducerea numrului de ecuaii ce trebuie rezolvate. O asemenea

reducere se poate realiza utiliznd n locul intensitilor curenilordin laturi alte variabile (mrimi fictive sau de semnificaie fizicreal), care s satisfac identic cte una din cele dou teoreme alelui Kirchhoff.Astfel, conform unei observaii fcute de Maxwell, se poateconsidera c fiecrei bucle (sau ochi) a unui sistem dat de buclefundamentale (sau independente) i se poate asocia un curent fictiv

Ic

, numit curent ciclic sau curent de conturcare s parcurg n cir-cuit nchis bucla dat, aa nct intensitatea curentului real dinorice latur a circuitului s fie suma algebric a intensitilor cu-renilor de contur ce trec prin aceast latur:

Ik = Icp . (k = 1, 2, ..., l) (1.70)pk

n baza acestei observaii Maxwell a aprut un mecanism de calculal curenilor prin laturile unui circuit nchis, care se numetemetoda curenilor de contur (prescurtat MCC). Aceastmetod permite micorarea numrului total de ecuaii ce trebuie derezolvat; anterior a fost artat c dac circuitul conineL laturi (totatea cureni necunoscui) iNnoduri, conform teoremei 1 Kirch-hoff se scriuN 1 ecuaii i conform teoremei 2 se scriuL (N 1). Aa dar, la baza MCC se afl noiunea de curent de contur omrime virtual, de calcul, care curge doar prin propriul contur.

81


62/379

Valentin GUU

S considerm acum schema dinfigura 1.54. Vom diviza-o n treiconturi (sau ochiuri) adiacente i

vom admite c n fiecare conturcircul propriul su curentII ,III iIIII. Sensul acestor cureni esteacelai n cele trei conturi ndirecia acului ceasorniculai, aacum este artat n schem. Seobserv totodat c curenii decontur coincid cu valorile curen-

ilor reali (acetea sunt de aseme-

Fig 1.54. Schema unui circuit re-lativ complex pentru calculul

curenilor prin MCC.

nea indicai n schem) doar n laturile exterioare:

II = I1, III = I6, IIII = I3 . (1.71)

Curenii laturilor adiacente sunt egali cu diferena curenilor decontur ai ochiurilor vechine. Aa,

I2= III IIII, I4 = II IIII , I5= IIII II . (1.72)

Prin urmare, cunoscnd curenii de contur pot fi uor calculaicurenii reali ai laturilor.Pentru a calcula curenii de contur n cazul schemei din figura 1.54este suficient de alctuit doar trei ecuaii (dup numrul de ochiurifundamentale), n conformitate cu teorema 2 Kirchhoff (relaia1.51):

pentru bucla (conturul) I:

(r1 + r10 + r4 + r5)II r4III r5IIII = E1 + E4,pentru conturul II:

(r2 + r4 + r6)III r4II r2IIII = E2 E4,

pentru conturul III:(r2 + r3 + r5)IIII r5II r2III = E3 E2.

Ecuaiile scrise alctuiesc sistemul de ecuaii

82


63/379

Valentin GUU

(r1 + r10 + r4 + r5)II r4III r5IIII = E1 + E4

(r2 + r4 + r6)III r4II r2IIII = E2 E4 (1.73)

(r2 + r3 + r5)IIII r5II r2III = E3 E2

care permite determinarea curenilor de conturII IIII i, ulterior acurenilor reali din laturile circuitului,I1 I6 .Deseori MCC este folosit pentru a deduce posibilitile altor metodede calcul i pentru analiza circuitelor la forma general. n astfel decazuri se scriu ecuaiile curenilor de bucl la forma generalizat.n acest scop rezistena sumar a conturului dat se noteaz cu index

dublu jos, care indic numrul conturului i se numete r e z i s t e n - p r o p r i e a c o n t u r u l u i . Aa, n schema analizat mai sus re-zistenele proprii ale celor 3 bucle sunt:

r11 = r1 + r10 + r4 + r5;

r22 = r2 + r4 + r6; (1.74)

r33 = r2 + r3 + r5.

R e z i s t e n e le c o m u n e a l e b u c l e lo r n v e c in a t e suntconsiderate ca coeficieni pe lng respectivii cureni, notndu-se cuindex dublu jos, care indic buclele ntre care sunt conectate; aa,

r12 = r4 , r13 = r5 , r23 = r2. (1.75)

innd cont de (1.74) i (1.75), sistemul de ecuaii (1.73) se poatescrie ntr-o form general astfel:

r11 II r12III r13IIII= EI,

r21II + r22 III r23IIII = EII , (1.76)

r31II r32III + r33IIII = EIII .

n aceste ecuaii sunt notate:

EI = E1 + E4, EII = E2 E4 i EIII = E3 E2 (1.77)

83


64/379

Valentin GUU

care se numesc t . e . m . d e c o n t u r i prezint suma algebric at.e.m. ale laturilor conturului dat. Se ia cu semnul + t.e.m. sensulcreea coincide cu sensul curentului de contur.

Ecuaiile curenilor de contur se rezolv prin metoda determinani-lor, sau utiliznd forma matriceal de prezentare a ecuaiilor.

Utilizarea determinanilor i a matricelor pentrurezolvarea ecuaiilor obinute prin MCC.

Vom considera rezolvarea sistemului (1.76) cu ajutorul determinanilor. PentrucurentulIk din latura kse poate scrie expresia:

Ik = k/ , (1.78)

unde este d e t e r m i n a n t u l p r i n c i p a l al sistemului de ecuaii :

r11 r12 r13

= r21 r22 r23 . (1.79)

r31 r32 r33

Determinantul k se obine din determinantul principal prin nlocuireacoloanei kcu coloana termenilor din dreapta ecuaiilor sistemului (1.76). Deexemplu, pentru primul curent de conturII (k = 1)

E1 r12 r13

1 = EII r22 r23 . (1.80)

EIII r32 r33

Prin urmare, calculul curentului de contur se reduce la alctuirea a doi deterni-nani care, de fapt pot fi scrii fr ca n prealabil s se scrie sistemul de ecuaii.n acest scop, se nscriu iniial rezistenele proprii ale conturilor r11 , r22 , r33etc., care se plaseaz pe diagonala principal (din colul stng sus spre coluldrept jos) cu semnul +. Determinantul este simetric fa de diagonala princi-pal rezistenele comune negative din partea superioar a diagonalei sunt ref-lecia rezistenelor comune negative din partea inferioar a diagonalei. Astfel,calculnd rezistenele comune ale conturilorr12 , r13 , ... etc. pentru prima liniei rn1 , rn2 , ... pentru linia n , pot fi completate partea de sus i cea de jos a

84


65/379

Valentin GUU

determinanturlui. Cunoscnd se determin k i apoi se calculeaz valoareacurentuluiIk .Se poate demonstra dependena curentului de contur de toate sursele t.e.m. EI ,EII , EIII , ...etc., pentru ce determinantul k se descompune fa de coloana k.Vom descompune, de exemplu, determinantul 1 (1.80) fa de prima coloan(k = 1):

1 =A11 EI + A21 EII + A31 EIII. (1.81)

nlocuim aceast valoare a lui 1 n formula (1.78) pentru curentul II :

1 A11 A21 A21II = = EI + EII + EIII . (1.82)

n mod analog se poate scrie expresia general pentru curentul conturului k:

k A1k A2k AnkIk = = EI + EII + ... + En (1.83)

sau ntr-o form mai compact

nIk= (Ank/) En . (1.84)

1

Primul index n se refer la numrul t.e.m. sau, ce-i tot aceeai la numrulconturului sau numrul liniei determinantului . Al doilea index keste num-rul curentului determinat sau, ce-i tot aceeai numrul coloanei determinantului . Coeficienii Ank prezint complementele algebrice care sunt legate cu mi-norii Mnkai determinantului prin ecuaiile

Ank= (1)n+kMnk . (1.85)

MinorulMnk se obine din determinantul prin tierea liniei n i a coloanei k.n cazul dat, pentru curentul conturului nti II (k = 1) complementele algebri-ce sunt egale:

r22 r23A11= ( 1 )1+1M11= ,

r32 r33

r12 r13

A21= (1)2+1

M21= , r32 r33

85


66/379

Valentin GUU

r12 r13A31= ( 1 )3+1M31= .

r22 r23

Sistemul de ecuaii (1.76) poate fi rezolvat i cu ajutorul matricelor. La alctui-rea matricelur, ca i n cazul determinanilor sunt utilizai coeficienii sistemu-lui de ecuaii. Sub forma matricial poate fi scris sistemul de ecuaii (1.76):

r11 r12 r13 II EI

r21 r22 r23 III = EII (1.86)

r31 r32 r33 IIII EIII

sau sub forma unei singure ecuaii matriciale

r I = E , (1.87)

unde r este matricea coeficienilor pe lng curenii necunoscui.

Soluia ecuaiei (1.87) n raport cu matricea I va fi:

I = r 1 E . (1.88)

n (1.88) I este matricea-coloan a curenilor necunoscui; r 1 estematricea invers matricei coieficienilor;

E matricea-coloan a termenilor liberi ai ecuaiei.Din (1.88) urmeaz c pentru determinarea curenilor necunoscui estenecesar de gsit matricea invers matricei coeficienilor i de nmulit aceastmatrice la matricea-coloan a termenilor liberi ai ecuaiei.

Suluionarea se petrece n felul urmtor:1) se alctuiete determinantul din elementele matricei (v. (1.79));2) se alctuiete matricea invers, pentru aceasta:

fiecare termen al matricei coeficienilor se nlocuiete cucomplementul algebric cu aceiai indici inferiori (de jos) ca i aicoeficienilor nlocuii;

matricea obinut se transpune, nlocuindu-se reciproc coloanelei liniile.

n urma acestor operaii natricea invers poate fi determinat ca:

A11 A12 A13

86


67/379

Valentin GUU

r 1= 1/ A21 A22 A23 . (1. 89)A

31A

32A

33

Transcr

78354201-ELECTROTEHNICA

Documents

Transcript of 78354201-ELECTROTEHNICA