TUNELURI ŞI METROPOLITANE

I. Introducere

1. Definiţie

Tunelul este o construcţie subterană, destinată să asigure continuitatea unei căi de comunicaţie în condiţiile în care traseul trece pe sub nivelul terenului, prin straturile de roci şi pământuri din porţiunea superficială a litosferei.

Fig. 1Dezvoltarea căilor de comunicaţii, mai ales a căilor ferate a generat dezvoltarea construcţiei de tuneluri.

hd > hdcr ( pentru o rocă dată) ⇒TUNEL

De la ce adâncime de debleu se trece la execuţia tunelului rezultă dintr-un calcul tehnico-economic:Cd = cost debleuCT = cost tunel

Cd ≈ CT ⇒ hdcr

Cd > CT ⇒ TUNEL

Exista si alte elemente tehnice care pot decide executia tunelurilor.

2. Elementele unui tunel

Intersecţia obţinută cu un plan perpendicular pe axul tunelului, relevă elementele care alcătuiesc secţiunea transversală a unui tunel (fig.2)

1

hd

TUNEL

Fig 2Căptuşeala sau structura de rezistenta este destinată să preia încărcările date de masiv, fără deformaţii menţinând secţiunea liberă a tunelului.

Fundaţiile căptuşelii constitue elementul ce transmite la terenul de fundaţie încărcările şi împingerile preluate de căptuşeală sub presiunea masivului muntos.

Zidurile drepte (piciore drepte) sunt partea căptuşelii cuprinsă între patrea superioară a fundaţiilor şi naşterea bolţii.

Bolta alcătuieşte partea superioară a căptuşelii şi este cuprinsă între planurile naşterilor şi cheia bolţii.

Radierul alcătuieşte partea inferioară a căptuşelii şi este cuprins între cele două fundaţii ale zidurilor drepte.

Prin construcţia sub formă de boltă interioară, ea asigură preluarea presiunilor de jos în sus, precum si menţinerea distanţei dintre fundaţiile zidurilor drepte.

Secţiunea liberă interioară constitue secţiunea utilă şi este denumită gabaritul tunelului.

Gabaritul poate fi :

• de construcţie – adica conturul transversal limită în plan vertical perpendicular pe axa tunelului al secţiunii libere interioare.

• de circulaţie - adica conturul transversal limită în planul vertical perpendicular pe axa căii, în interiorul căruia in afară de mijlocele de transport nu trebuie să intre nici o parte a construcţiei sau a instalaţiilor fixe ale tunelului.

2

3. Clasificarea tunelurilor

a). După scopul (funcţiunea)• tuneluri pentru căi ferate• tuneluri rutiere• tuneluri în oraşe (metrouri)• tuneluri apeduct• tuneluri pentru navigaţie• tuneluri hidrotehniceb). După locul• tuneluri în munte• tuneluri urbane (metrouri)• tuneluri pe fundul apelorc). După forma axei• în plan orizontal - aliniament - curbă• în plan vertical (profil longitudinal) - palier - în declivitate d). După forma căptuşelii• clopot• potcoavă• ovoidal• circulare). După modul de execuţie• în subteran • în tranşee deschisă.

II. Determinarea presiunii rocilor

1. Generalităţi

În interiorul maselor de roci din scoarţă, echilibrul este asigurat ca urmare a trei categorii de forţe:

• forţe gravitaţionale • forţe endogene, de natură tectonică

• forţe endogene, generate de atracţia corpurilor extraterestre.

MASIV ÎN ECHILIBRU

ECHILIBRUL MASIVULUI PERTURBAT

Fig. 3

3

Executarea excavaţiilor subterane, produce perturbarea stării de tensiune preexistente, ducând la apariţia unor tensiuni ce pot depăşi limita de elasticitate, producând apariţia zonelor plastice. Ca urmare, zonele cu tensiuni mai mari se deplasează spre interiorul masivului, rezultând în jurul excavaţiei tensiuni mai mici ce pot provoca afânarea rocii, formând zona lui Trompeter (fig.4):

Fig. 4

Examinând cazul unei galerii orizontale, cu secţiunea circulară, excavată într-un semispaţiu continuu, omogen, izotrop, elastic şi liniar deformabil atunci când 0

1σ şi 02σ sunt eforturile

unitare principale, în situaţia iniţială naturală, KIRSCH utilizează funcţia biarmonică Airy de forma:

θρ

ρρρρ cos)(ln2

422 FE

DCBA +++++=Φ (1)

2

2

2

11

δ θφδ×

ρ+

δ ρδ φ×

ρ=σρ

2

2

δ ρφδ=σθ (2)

)1

(δ θδ φ×

δδδ−=τρ

δ θ

]FE3

D3C[2sin2

B2]1

E6D12C2[2cos1

A

]8C2F4E6

[2cosB2A

242

42

2

242

ρ−

ρ−ρ+θ=τ

+ρ

+ρ+θ+ρ

−=σ

−+ρ

−ρ

−θ++ρ

=σ

ρθ

θ

ρ

(3)

∞→ρ condiţii la limită

θσ−σ−=τ

σ+σ=σ+σ

∞→ρρ θ

∞→ρθ∞→ρρ

2sin2

)(

)()(

02

01

02

01

(4)

4

M(ρ ,θ )

θ−π2

θπ−2

θ

ρ

r=ρ 0)(

0)(

r

r

=σ

=σ

=ρθ

=ρρ (5)

Notăm ρ=α r

, dacă 1r =α⇒ρ=

Cu aceste notaţii:

θαασστ

θασσασσσ

θαασσασσσ

ρ θ

θ

ρ

2sin)231)((2

1

2cos)31)((2

1)1)((

2

1

2cos)431)((2

1)1)((

2

1

2402

01

402

01

202

01

2402

01

202

01

+−−=

+−+++=

−+−−−+=

(6)

presiunea litostatică hp ⋅= γ

constanta lui Poisson ϑµ 1=

La distanţa suficient de mare de la marginea galeriei 0r →ρ

θ−−−=τ

θ−−−

=σ

θ−+−

=σ

2sin1m

2m

2

p

]2cos)2m(m[)1m(2

p

]2cos)2m(m[)1m(2

p

t

r

(7)

Se observă că eforturile unitare în masivul din jurul excavaţiei nu depind de caracteristicile mediului ci de starea naturală de deformaţii şi de mărimea razei excavaţiei.Pentru m=5 şi r=ρEforturile unitare maxime de compresiune p75.2max =σ se găsesc la pereţi în timp ce la tavan eforturile unitare de întindere au valoarea .p25.0=σ

3. Estimarea presiunii verticale a rocii. Metode pratice de evaluare a incarcarilor

Metodele de estimare a presiunilor verticale sunt grupate în trei grupe:

3.1. Metode care ţin seama de grosimea straturilor de roci deasupra tunelurilor

2.1. a. Metoda Terzaghi

Initial teoria lui Terzaghi a fost stabilita pentru (pamanturi) roci necoezive insa ea poate fi extinsa si pentru roci coezive.Schema de calcul:

5

Fig. 6

Terzaghi a stabilit presiunea ce se exercită asupra unei căptuşeli de tunel pe baza observaţiilor rezultate în urma unor experienţe cu nisip.

vh K

mtgbB

σσ

ϕ

⋅=

−+= )2

45(2

, K =(1,…1.5) – relaţie experimentală

ϕσϕσϕστ tgKctgctgc vh ⋅⋅+=⋅+=⋅+=

Ecuaţia de echilibru (echilibrul elementului de grosime dz si de latime B):

dzdBBdzB vvv ⋅++=⋅+⋅⋅ τσσσγ 2)( (1)

dztgKcdBBBdzB vvvv )(2 ϕσσσσγ ⋅⋅++⋅+⋅=⋅+⋅⋅ dz

1÷

ϕσγσtgKcB

dz

dB v

v ⋅⋅−−⋅= 22 B

1÷

vv

B

tgK

B

c

dz

d σϕγσ ⋅−−= 22 (2)

condiţiile la limită: z=0 , qv =σSoluţia ecuaţiei diferenţiale (2):

ϕϕ

ϕ

γσ

tgB

Kztg

B

Kz

v eqeKtg

B

CB 22

)1(2

)2

( −−

⋅+−−

= (3)

În cazul rocilor necoezive C=0 şi fără suprasarcină q=0:

6

)1(2

2 ϕ

ϕγσ

tgB

Kz

v eKtg

B −

−⋅= (4)

]1[

]1[2

2

zv

zB

Ktg

v

e

eKtg

B

α

ϕ

αγσ

ϕγσ

−

−

−=

−⋅=

daca z=H vv p=σ⇒

)1(2

2 ϕ

ϕγ tg

B

KH

v eKtg

Bp

−

−⋅= presiunea verticală pe căptuşeală (5)

În cazul în care tunelul este amplasat la o adăncime H>2.5B TERZAGHI consideră că tasarea straturilor situate sub această adâncime, nu influenţează starea de tensiune din straturile superioare, prin urmare se distinge o înălţime H2, în care se manifestă efectul de boltă:

Fig. 2

ϕϕγ

ϕγ tg

B

KHtg

B

KH

v eHeKtg

Bp

22 2

1

2

)1(2

−−

⋅⋅+−⋅= (6)

Daca H2 devine mai mare ca H5

1 termenul al doilea se poate neglija.

La adancimi mari ϕγKtg

BP

2max

⋅=

Când )B10H(H4H 212 ≥≥ termenul exponenţial tinde către zero, iar presiunea se poate calcula cu expresia:

ϕγKtg

Bpv 2

⋅= (7)

7

În general teoria lui Terzaghi, dă rezultate suficient de precise în cazul rocilor necoezive, pentru adâncimi de amplasare .B5,2H ≤

2.1.b. Teoria lui Suquet

Schema de calcul:

2

b

2

b ,

245

ϕ−=α

Fig. 3

Teoria lui Suquet aplicabilă pentru metropolitane executate în apropierea suprafeţei terenului se bazează pe observaţiile efectuate la construcţiile metroului din Paris.

Deasupra excavaţiei se formează o boltă de pământ ce preia o parte din greutatea coloanei de pământ, de deasupra căptuşelii.

Diferenţa determină apariţia asupra căptuşelii a unei presiuni considerate uniform distribuită.

]2

)mh(

tg

)3

mh(

2

b

[h

2p

2++α

+γ= (8)

Pentru cazul când h are valori mari atunci înălţimea m a calotei se poate neglija:

]htg

b[]

2

h

tg2

b[2p +

αγ=+

αγ= (9)

2.1.c. Teoria lui Eszto

8

∫=

=

θ=

H

0

1

2

dpp

B

dGdp

yH

ctgx

]2

ln2

[ln)

21(

2

2 θθ

θθγ

tgH

b

b

tgH

H

ctgbctg

p⋅

−⋅⋅−

=

3.2. Metode care nu ţin seama de influenţa adâncimii de amplasare a tunelurilor

9

δhtg

θα

3.2.1.a. Metoda lui Protodiakonov

Bazat pe o serie de date practice Protodiakonov a ajuns la concluzia că deasupra tavanului excavaţiei se formează o boltă a cărei formă îi asigură echilibrul numai prin eforturi de compresiune, fără momente încovoietoare sub acţiunea presiunii geologice.

Bolta care apasă asupra galeriei se numeşte „boltă de năruire” (”boltă de prăbuşire”).

Fig.1

Bolta de prăbuşire care acţionează asupra galeriei se consideră că s-a desprins de restul masivului, masivul rămânând în echilibru în jurul unui gol de forma bolţii de echilibru.

Fig. 2

Dacă acest gol rămâne în echilibru (fără să se prăbuşească) înseamnă că greutatea care apasă asupra galeriei este egală cu greutatea bolţii de prăbuşire (G).

Pentru a calcula valoarea lui G trebuie să cunoaştem:

• ecuaţia conturului bolţii de prăbuşire

• înălţimea bolţii de prăbuşire (h)

Dacă roca se menţine în echilibru cu golul în el înseamnă că conturul acestei bolţi este o curbă de coincidenţă deci în orice secţiune a bolţii M=0.

Se consideră o boltă cu trei articulaţii:

10

volum ce incarca galeria

deplasare infinitezimala

Shema de calcul:

Fig. 3

Definirea coeficientului de duritate al rocilor:

σ+ϕσ=

στ

= Ctgf rr

−ϕ unghi de frecare interioarăC – coeziunea p –presiunea uniform repartizată dată de coloana de pământ până la suprafaţă pe lăţimea b

γγ ⋅=⋅⋅⋅= Hb

Hbp

1

−τ presiune orizontală uniform distribuită

0)( =⇒∀ xMA

022

2

=−=− xpTy

xpxTy

2

2xpTy = - ecuaţia bolţii de presiune (10)

rr fbpfVT

bpV

bbp

hhhTbVM

⋅⋅=⋅=⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⇒=

'

'0 0

220 τ

11

τ

ττ

τ

⇒=⋅−⋅⋅⋅−⋅

=⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅

022

022

22

222

hfhbp

bp

bp

hhfbpbp

r

r

rfhbpb

ph ⋅⋅⋅−⋅=⋅

22

22

τ

h

pbf

h

pbpbhf

bp

hr

r

22)

2(

22

2

2−=−=τ

h

pbf

h

pb r22

2

−=τ

Bolta va avea stabilitate maximă dacă: maxτ→τ

0)(221

2)1

(2)2

(23

2

223

2 =−=−⋅=−−−=h

bf

h

pb

h

pb

hpbf

hpbf

hpb

dh

drrr

τ

0h

bfr =− ,

h

bfr =

rf

bh = - înălţimea bolţii de năruire (11)

Ecuaţia bolţii de prăbuşire: 2

2pxTy =

2)(

2pxyhpbfhpbfT

ThfV

rr

r

=+⇒+=

=⋅+⋅

ττ

τ

Greutatea bolţii de prăbuşire : 123

21 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= γγ hbAG

rrr f

b

f

b

f

hbbhG

3

4

3

4

3

4

3

4 22 γγγγ ==== (12)

fr – coeficient de duritate (s-a determinat experimental)fr = 0.3…20 funcţie de natura rocilor.

METODE CARE ŢIN SEAMA DE GROSIMEA STRATURILOR DE ROCI DE DEASUPRA TUNELURILOR

Teoria lui Bierbaumer

12

P – forţa care acţionează asupra căptuşelii

BHP

TGP OPSR

⋅⋅⋅=−=

γα2

Htghb

tgtg

c

⋅−⋅+

−⋅−=

)2

45(22

)2

45(1

2

ϕ

ϕαα

Hhp ⋅=

=

1

1 3

4

α

αα

Teoria lui Terzaghi

13

OPSRG

ph

ch

245

ϕ+

245

ϕ+

dydBBdG yyy τσσσ 2)( ++=+

Teoria este valabilă pentru pământuri necoezive C=0.

py =σ , pentru y = H

]1[2

2 ϕλ

ϕλγ tg

B

H

etg

Bp

−−= K=λ

Teoria dă rezultate bune pentru H > 3B

ϕλγtg

Bp

⋅⋅=

2K=λ

METODE CARE NU ŢIN SEAMA DE INFLUENŢA ADÂNCIMII DE AMPLASARE A TUNELULUITeoria lui Kommerell

ABDrafatasupG ×γ=

14

yσ

δ

245

ϕ+

δδ

ah

δ⋅= 100

a – procent de afânare

nisipuri, pietrişuri a = 1-3%

argile uscate a = 3-5%

marne a = 5-8%

gresii, calcare a = 8-12%

roci compacte a= 10-15%.

Teoria lui Ritter

P – forţa care acţioneză asupra galeriei

dxcos

ydxdP t

ασ

−γ=

ecuaţia parabolei : )xb(4

y 22

t

−σγ=

2

t

b4

hσγ=

)12

b(b2P t

t

2

γσ

−σ

γγ=

32

bt

⋅< γσ - susţinerea excavaţiei este necesară

tσ - rezistenţa de rupere prin întindere a rocii.

Teoria lui Protodiakonov

15

dxcos

t

ασ

dxtσ

α

)3(2 2

bhfh

bprez −⋅=τ

frez – coeficient de duritate

rezf

bh =

rez

2

f3

b4G

γ= - forta concentrata care actioneaza asupra captuselii

4. Estimarea presiunilor laterale

3.a. Teoria lui Protodiakonov

Se consideră că în cazul terenurilor slabe se formează două bolţi de năruire iar greutatea cuprinsă între cele două bolţi constitue supraîncărcarea pentru cele două prisme de alunecare.

16

de prabusire

τ

rezf

bh = ,

rez

'

f

abh

+=

)2

45(mtgaϕ−=

ABCD.VolAMNB.Vol =

]ab2[f3

2hahbh

3

2h)ba(

3

2

rezee

' +=⇒=−+

)]2

45(mtgb2[f3

2h

reze

ϕ−+= (13)

Împingerea laterală

)2

1(2

1 2

m

hKmE e

a +⋅⋅= γ (14)

)h2m(Km2

1)

2

mh(KmE eaea

' +××γ=+××γ= (14’)

unde: Ka – coeficientul de împingere activă

)2

45(tgK 2a

ϕ−=

17

Dacă: frez >5 nu avem împingeri laterale

frez 5≤ avem împingeri laterale.

Diagrama de presiuni laterale:

aei

aes

Kmhq

Khq

)( +=⋅⋅=

γγ

5. Calculul presiunilor de jos în sus exercitate asupra tălpii excavaţiei tunelului

Fig. 1

p02

a01

Kxp

K)xH(p

γ=+λ=

p1= p2

18

0x

245 ϕ+

245

ϕ−

245

ϕ+

245 ϕ+

ap

a

pa

KK

HKx

KxKxH

−=

=+

0

00 )( γγ

p1-presiune activa, p2- presiune pasiva

x0 – adâncimea până când se manifestă refularea

Cu cât unghiul de frecare interior ϕ este mai mic cu atât x0 va fi mai mare.

a. Metoda Ţimbarevici

Fig. 2

ppp

aaa

Kc2Kxp

Kc2K)xp(p

+γ=

−γ+=

)KK(

KK(c2pKxpp

ap

paapa −γ

+−=⇒=

E = Ea - Ep

)2

45sin(ES

)2

45cos(ET

ϕ−=

ϕ−=

19

245 ϕ−

ϕ

ϕ−=

cos

)2

45(sinE2T

2

0

- presiunea exercitată de jos în sus.

b. Metoda Davîdov (în roci necoezive)

Fig. 3

ap

a

KK

KHx

−= ,

)2

45(tgK

)2

45(tgK

2p

2a

ϕ+=

ϕ−=

)2

45sin(T2T

cos

)2

45sin(ET

Kx2

1K)H2x(x

2

1EEE

0

p2

apa

ϕ−=

ϕ

ϕ−=

γ−+γ=−=

20pp

020aa

a2

a2

0a

xK2

1E

)Hx2x(K2

1E

KH2

1K)xH(

2

1E

γ=

+γ=

γ−+γ=

notand : D = Ea – Ep

20

Fig. 4

)2

45(DtgN)

245sin(

T

)90sin(

N

Dcos

)2

45sin(T

)90sin(

D

)2

45sin(

T

ϕ−=⇒ϕ+

=ϕ−

ϕ

ϕ−=⇒

ϕ+=

ϕ−

(15)

)2

45(tg]xK2

1)Hx2x(K

2

1[N 2

0p020a

ϕ−γ−+γ= (15’)

N trebuie echilibrată de greutatea radierului şi a umpluturii.

.5.13.1N

GG ur ÷≥+

=η

21

245

ϕ−

245

ϕ−

ϕ+90ϕ+90

245

ϕ−

III. Calculul structurilor de rezistenta utilizate la constructii subterane

Calculul bolţii dublu încastrate

Fig. 1

0d – grosimea bolţii la cheie(0)

nd - grosimea bolţii la naşteri (n)

00 Id → - moment de inerţie la cheienn Id → - moment de inerţie la naşteri

Boltă cu moment de inerţie variabil

ndd <0

Variaţiile momentului de inerţie după Ritter:

1

0 )1(1cos l

xn

I

I−−=

ϕ , unde : 21

ll =

11

0 1cos l

xn

l

x

I

I⋅+−=

ϕ , dacă : n = 1 ϕcos0II =⇒

la naştere 0

0

cosϕI

I n =

22

0ϕ ϕ

0ϕ

La lucrări subterane (tuneluri, metrouri) se utilizează bolta cu moment de inerţie variabil sau bolta cu moment de inerţie constant.

După forma axei bolţii la lucrările subterane întâlnim (fig 2-a,b,c,d)

1). boltă pleoştită sub formă de parabolă cu : – d, I variabil- d, I constant.-

2). boltă sub formă circulară cu : – d, I variabil - d, I constant.

3). boltă sub formă de potcoavă cu : - d,I variabil - d,I constant.

4). secţiuni inelare (circulare) cu moment de inerţie constant.

fig.2/c.Boltă dublu încastrată sub formă de potcoavă

fig.2/d. Secţiune ineleră

Fig. 2

23

2. Calculul bolţii dublu încastrate solicitată la încărcări verticale uniform repartizată

3.

Bolta dublu încastrată este de trei ori static nedeterminată.

Necunoscutele le vom nota: X1, X2, X3 (vezi fig. 3/a, b):

fig.3/a

Calculul coeficienţilor sistemului (1) se efectuează pe sistemul de bază, static determinat (fig.3/b).

Sistemul de bază (static determinat) :

fig. 3/b

Calculul se face cu metoda forţelor. Ecuaţiile metodei forţelor sunt următoarele:

=∆+++

=∆+++

=∆+++

0

0

0

333 323 213 1

232 322 212 1

131 321 211 1

p

p

p

XXX

XXX

XXX

δδδ

δδδ

δδδ

(1)

Ecuatiile din sistemul (1) reprezinta :

Rotirea în punctul B datorată acţiunii forţelor X1=1, X2=1, X3=1

24

Deplasarea pe orizontală în punctul B este egală cu zero.

Deplasarea pe verticală în punctul B este egală cu zero.Sistemul (1) poate fi scris sub forma:

∑=

=∆+3

1

0k

ipkik Xδ (2)

i= 1,2,3

ikδ - deplasarea generalizată (deplasare sau rotire) pe direcţia i, produsă de necunoscutele Xk=1 (deplasările se calculeză pe sistemul de bază static determinat).

Exemplificând :

11δ - rotirea în punctul B produsă de momentul încovoietor unitar X1=1 12δ -rotirea în punctul B produsă datorită forţei X2=1 13δ - rotirea în punctul B produsă datorită forţei X3=1 21δ - deplasarea pe orizontală în punctul B datorită momentului unitar X1=1

22δ - deplasarea pe orizontală în punctul B datorită forţei X2=1

23δ - deplasarea pe orizontală în punctul B datorită forţei X3=1 31δ -deplasare pe verticală în punctul B datorită momentului unitar X1=1

32δ - deplasarea pe verticală în punctul B datorită forţei X2=1

33δ - deplasarea pe verticală în punctul B datorită forţei X3=1

Vezi fig. 4/a,b,c:

fig.4/a

},,{kNm1x 3121111 δδδ⇒=fig.4/b

},,{kN1x 3222122 δδδ⇒=

25

21δ

31δ

1X1 =11δ

22δ

1X2 =

12δ

32δ

Fig.4/c

},,{1 3323133 δδδ⇒= kNx

Matricea coeficientilor )(δA

sistemului (1)

verticalaBdeplasari

orizontalaBdeplasari

punctBrotiri

A

−−→−−→

−→

=

333231

232221

131211

)(

δδδδδδδδδ

δ

ip∆ - deplasarea pe direcţia necunoscutei i, produsă de încărcarea exterioară pp1∆ - rotirea în punctul B produsă de încărcarea p (fig.5) p2∆ - deplasarea pe orizontală în punctul B produsă de încărcarea p (fig.5)p3∆ - deplasarea pe verticală în punctul B produsă de încărcarea p (fig.5)

26

1X3 =

23δ

33δ

13δ

fig.5

},,{]ml

kN[p p3p2p1 ∆∆∆⇒

După determinarea coeficienţilor (rotirilor, deplasărilor) ipik ,∆δ , prin rezolvarea

sistemului (1) se obţin necunoscutele X1, X2, X3.

Determinarea eforturilor în boltă {M,N} se determină pe sistemul de bază cunoscând

toate forţele exterioare p, X1, X2, X3 (fig.6):

fig.6

Sistemul de axe: in acest caz alegem originea in punctul B.

M(x) – momentul încovoietor in secţiunea X

N(x) – forţa axială în boltă în sectiunea X

ϕϕϕ sinsincos)(2

)(

32

321

pxxxxN

xpxxxyxxxM

−+=

−+−=

Pentru a simplifica calculele, la bolţi simetrice, pentru ca fiecare ecuaţie să conţină doar o

necunoscută vom folosi centrul elastic (c) (fig.7)

27

p2∆

p3∆

p1∆

3x

2x

1x

ϕ

Centrul elastic este centrul de greutate a elementelor

∆l

s la bolţile cu moment de inerţie

variabil.

fig. 7

La bolţi simetrice, încărcate simetric X3=0 .

Ordonata centrului elastic se determină din condiţia 02112 == δδ

∫

∫=

s

s

I

ds

I

dsy

c

0

0

(3)

Dacă necunoscutele vor fi mutate în centrul elastic (O’) atunci fiecare ecuaţie conţine o

singură necunoscută (4).

adica:

=∆+

=∆+

0

0

222 2

111 1

p

p

x

x

δ

δ (4)

Ecuatiile din sistemul (4) reprezinta:

- rotirea în centrul elastic este egală zero,

- deplasarea pe orizontală în centrul elastic este zero.

La arce cu moment de inerţie variabil (fig 8):

ii tI

I=

0

28

3x3x1x 2x

oI –moment de inerţie ales arbitrar.

∑

∑∆

∆

=

i

i

ii

i

t

s

yt

s

c (5)

fig.8

fig.8.1

mii III

=+ +

21 , mi

mi

WI

s =∆ ,

21++= ii

mi

yyy

∑∑ ×

=

imi

imimi

W

yWc (6)

Calculul aproximativ al centrului elasic (6) este conform figurii 7:

Sistemul de bază în acest caz fig. 7:

29

1iI +

iI

iy1iy +

is∆

s∆

iymiy

1iy +

Se calculează conform relaţiei (7):

22

22

11

11

δ

δ

p

p

x

x

∆−=

∆−=

(7)

Cu necunoscutele X1 şi X2 se calculează eforturile secţionale M,N, pentru un punct oarecare P(x,y).

Pentru determinarea necunoscutelor deplasările se calculează cu relaţiile (8), (9), (10), (11):

∑ ∑∫∫ += dsEA

Nds

EI

M2

1

2

111δ (8)

∑∫ ∑∫+= dsEA

Nds

EI

M2

2

2

222δ (9)

∑ ∫∑ ∫×

+×

=∆ dsEA

NNds

EI

MM ppp

111

(10)

∑ ∑∫∫×

+×

=∆ dsEA

NNds

EI

MM ppp

222 (11)

Pentru nevoile proiectării curente sunt suficiente din relaţiile (8), (9), (10), (11), doar primii termeni.

Diagramele de momente: pMMM ,, 21 sunt determinate pe sistemul de bază fig.9/b,c,d:

30

ϕ

fig.9/a11 =M

fig. 9/b

1)(2 ×−= cyM

dacă: 1)(

0

2

2

×−=⇒=

=⇒=

cfMfy

Mcy

fig.9/c

22

2xp

xpxM p ==

822

2lp

lM

lx =

⇒=

Eforturile secţionale:

ϕϕ sincos)(2

)(

2

21

pxxxN

xpxcxxxM

+−=

−+−= (12), (13)

În cazul bolţilor cu axa circulară se pot efectua calcule în coordonate polare, fig. 10:

31

1x1 =1M

2M

pM

ϕ

fig.10

)cos1(cos

sin

ϕϕϕ

−=−==

rrry

rx

Cu acestă expresie a coordonatelor, expresia lui Mp :

ϕϕ 22

222

sin2

sin2

1

2

prrp

xpM p ===

( ) 02

2

00 sin2

0)0(0

ϕϕϕϕ

ϕpr

M

M

=⇒=

=⇒=

dacă: 222

2

0

prM =

⇒= ππϕ

5.3. Calculul bolţii dublu încastrate considerând sistemul de bază nesimetric, fig.11:

fig.11

Notând: 0I

It ii =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑∆

∆

=∆

∆

=

×∆

×∆

=∆

∆

=

i

i

ii

i

i

i

ii

i

i

i

ii

i

i

i

ii

i

t

s

yt

s

t

s

I

yt

s

I

It

s

yIt

s

I

s

yI

s

y

0

0

0

00 1

1

(14)

Sistemul de ecuaţii a metodei forţelor:

32

ϕ

is∆3x

2x1x

0yiy

=∆+

=∆+

=∆+

0

0

0

333 3

222 2

111 1

p

p

p

x

x

x

δ

δ

δ

(15)

Coeficienţii (deplasările şi rotirile) se calculează cu următoarele relaţii:

∑∑

∑∑

∑∑

−∆

=∆−

=

∆=∆=

∆=∆=

n

ii

ii

i

i

n

ii

in

ii

i

n

i

in

ii

xl

t

s

EIs

EI

xl

yt

s

Eis

EI

y

t

s

EIs

EI

1

2

0

2

33

1

2

01

2

22

101

2

11

)2

(1)

2(

1

11

δ

δ

δ

(16)

Deplasările din încărcărcarea exterioară uniform repartizată (17):

0

)(22

)(

)(22

)(

3

1

2

01

2

2

1

2

10

2

1

=∆

−∆

−=∆−

−=∆

−∆

−=∆−

−=∆

∑∑

∑ ∑

p

n

iii

in

ii

iip

n n

ii

ii

i

ip

yxlt

s

EI

ps

EI

yxlp

xlt

s

EI

ps

EI

xlp

(17)

03 =∆ p - dacă structura este simetrică.Într-o secţiune oarecare eforturile secţionale M şi N se calculează cu relaţiile:

.cos222

212211

ϕXNNxNN

yxxMMxMxMM

pp

ipp

+=+=

++=++= (18), (19).

33

6. Calculul sectiunii dreptunghiulare

Fig. 1

Peretii AB si CD au moment de inertie I0

Peretii AD si BC au moment de inertie I

Centrul elastic O se afla la mijlocul cadrului

2,

2

baO

0I

I=σ - rapotul momentelor de inertie

dsiEI Mii ⋅= ∫ 21δ ds

EI MM ipip ⋅=∆ ∫1

+=⋅= ∫ bads

M σσδ 2

2

111

+=⋅= ∫ 32

22

222

babdsM σσ

δ

34

+=⋅= ∫ baads

M σσδ

32

22

333

+−==∆ ∫ bapads

MM pp 312

2

11 σσ

022 ==∆ ∫ σds

MM pp

033 ==∆ ∫ σds

MM pp

01111 =∆+ pXδ ⇒

+

+

=b

a

ba

paX

σ

σ

24

32

1

Momentul incovoietor in punctele A,B,C,D se calculeaza cu relatia:

1XMMMMM PDCBA +====

( )σσ

σba

pa

ba

ba

papa

M A +−=

+

+

+−=12

24

3

8

32

2

( )σba

paM A +

−=12

3

La mijlocul deschiderii pe grinzile transversale

( )σba

papaM A +

−=128

32

Pe peretii verticali momentul incovoietor va fi AM

Metoda analitica de descompunere a structurii de rezistenta in elemente componente

35

Q- greutatea proprie bolta

Q0-greutatea boltii de naruire

−∆G greutatea penelor de pamant

l

GQQp

∆++= 0

Bolta este dublu incastrata (3 ori static nedeterminata)

Sistem de baza

∫

∫=

2/

0

2/

0

s

s

I

dsI

dsy

C

0=∆+ ipkik Xδ i=1,2,3 k=1,2,3

dsEA

NNds

EI

MM ski

ski

ik ∫∫ +=2/

0

2/

0δ

dsEA

NNds

EI

MM s pis piip ∫∫ +=∆

2/

0

2/

0

−

=

==

2

2

lpV

p lH

p lM

H

M

αα

eforturi din incarcari uniform repartizate verticale

−

==

e lH

e lM

H

M

ββ 2

eforturi din incarcari orizontale

Coeficientii HMHM ββαα ;;; sunt dati in tabelul nr. 1 in functie de 0,, ϕrl

f

Eforturile sectionale sunt determinate in punctele 1,2,3

Tabel nr. 1

36

Daca calculul boltii dublu incastrate se efectueaza cu metoda fortelor conform celor aratate in paragraful anterior, eforturile sectionale M si N sunt determinate cu urmatoarele relatii conform figurii

Determinand M si N in incastrare rezulta { }bbb VHM ,,

( )cyXXMM p −−−= 12

ϕcos1XNN p +=

{ }bbb VHM ,,

La fel se calculeaza si radierul rezultand { }rrr VHM ,,

{ } { }{ }rrr

bbb

MVH

MVHMVH

,,

,,,, ∠

Cunoscand aceste elemente se trece la calculul zidului drept

Calculul zidului drept

( ) ϕϕϕ

tgEES

WtgS

PtgS

pa +===

2

1

Deplasarile infinitezimale

c

e p11 =δ ϕδ

tga

f 11 =

c

e p22 =δ ϕδ

tga

f 22 =

bc

W=δ ϕδtg

af =

In calculele practice se lucreaza ϕtgf =

Fortele care actioneaza asupra zidului drept se afla in echilibru daca:

0

0

0

0 =

=

=

∑∑∑

−

−

M

F

F

yy

xx

37

( )0

2

0

0

1

21

=+++−+−−−−−+

=−−+−++

=−+++−

PhftEtEWtGtvVhHMMhHvVa

P

VWfEEGVP

HWfEEHPf

ppaaWgrrrrrbbbbb

rapb

rapb

Considerand zidul un corp rigid, la rotirea lui avem relatia:

figura

h

ee

b

WW ppab 21 −=

−

2

2

b

tb

GW

b

WW

W

b

−

+=

2

2

b

tb

GW

b

WW

W

a

−

−=

3

21 212

b

tb

W

h

ee Wpp

−

=−

W

M

A

N ±=2,1σ

Wp tt ; - bratele fortelor WE p ;

21

212

3 pp

ppp ee

eeht

++

⋅=

ba

baW WW

WWbt

++

⋅=2

3

bba Wb

WWW →

+=

2

121

2 ppp

p ehee

E →+

=

bW si 1pe se inlocuiesc in pt respectiv Wt dupa care pt si Wt se inlocuiesc in ecuatia de momente.

38

( )

3

21

1

21

212

02

0

0

b

th

W

h

ee

PhftEtEWtGtvVhHMMhHvVa

P

VWfEEGVP

HWfEEHPf

Wpp

ppaaWgrrrrrbbbbb

rapb

rapb

−

=−

=+++−+−−−−−+

=−−+−++

=−+++−

ba WWb

W +=2ab W

b

WW −= 2

21

2pp

p eeh

E+= 21

2p

pp e

h

Ee −=

22

22

2

22

3pp

p

ppp

p

eeh

E

eeh

E

ht

+−

+

−

⋅=

b

Wb

WW

b

Wb

WW

Wb

WW

bt

a

aa

aa

W 2

2

32

22

3

+⋅=

−+

−+⋅=

Sistemul se rezolva, necunoscutele fiind pE , W , pt si Wt .

( )2, ppp eEft =

( )aW WWft ,=

Din ecuatiile 3, 4, ⇒ ap We ;2 care vor fi inlocuite in relatia bW si 1pe

In acest fel cele 4 necunoscute sunt determinate.

39