3_RADACINI

3. RDCINILE ECUAIILOR ALGEBRICE I TRANSCENDENTE

3.1 SUMAR DE TEORIE I APLICAII

Avnd o ecuaie de forma ( ) 0f x , rdcinile acestei ecuaii se pot calcula

prin metode numerice iterative, care conduc la o aproximare suficient de precis a rdcinii reale. Aceste metode pornesc fie de la un interval n care se tie c se gsete cel puin o rdcina, fie de la o valoare iniial aleatoare.

Metode nchise pe un interval

Metoda biseciei

Algoritmul metodei este urmtorul :

1. Se stabilesc limitele a respectiv b ale intervalului, astfel nct

( ) ( ) 0f a f b

2. Se estimeaz rdcina ca medie aritmetic a limitelor intervalului

2

baxi

3. Se determin limitele subintervalului n care se afl rdcina :

Dac ( ) ( ) 0if a f x rdcina se afl n subintervalul ; ia x n

pasul urmtor ib x

Dac ( ) ( ) 0if a f x rdcina se afl n subintervalul ;ix b ;n

pasul urmtor ia x

Dac ( ) ( ) 0if a f x rdcina este xi

4. Se calculeaz 1 100i i

i

x x

x

.

Dac este mai mare dect o valoare admisibil a calculul se

reia de la punctul 2

Daca este mai mic sau egal cu a xi+1 va fi rdcina obinut

prin metoda biseciei

Cap. 3 - Rdcini de ecuaii algebrice i transcendente

27

Metoda coardei

Algoritmul acestei metode este :

1. Se stabilesc limitele a respectiv b ale intervalului, astfel nct

0f (a) f (b)

2. Se estimeaz rdcina xi

ia b

x b f (b)f (a) f (b)

3. Se determin limitele subintervalului n care se afl rdcina :

Dac 0if (a) f ( x ) rdcina se afl n subintervalul ia; x n pasul urmtor ib x

Dac 0if (a) f ( x ) rdcina se afl n subintervalul ix ; b ;n pasul urmtor ia x

Dac 0if (a) f ( x ) rdcina este xi

4. Se calculeaz 1 100i i

i

x x

x

.

Dac este mai mare dect o valoare admisibil a calculul se


Dac este mai mic sau egal cu a , xi+1 va fi rdcina obinut

prin metoda coardei

Metode deschise de rezolvare a ecuaiilor

Metoda Newton-Raphson

Cea mai utilizat metoda pentru determinarea rdcinilor unei ecuaii este metoda Newton-Raphson (sau metoda tangentei). Metoda se bazeaz pe un calcul iterativ fiind o metod deschis de calcul. Algoritmul acestei metode este urmtorul:

1. Se stabilete o valoare iniial 0x .

2. Se calculeaz rdcina aproximativ: 1 '

( )

( )

ii i

i

f xx x

f x


28

3. Se calculeaz 1

1

100i i

i

x x

x

.

Dac este mai mare dect o valoare admisibil a , calculul se



prin metoda Newton Raphson

Metoda secantei

n cazul unor funcii complexe a cror derivat e greu de calculat se folosete metoda secantei. Algoritmul su este asemntor cu cel al metodei Newton-Raphson, fiind diferit doar ecuaia iterativ precum i necesitatea unei a doua valori iniiale:

1. Se stabilesc dou valori iniiale 0x si 1x

2. Se calculeaz rdcina aproximativ: 111

( ) ( )

( ) ( )

i i ii i

i i

f x x xx x

f x f x

3. Se calculeaz 1

1

100i i

i

x x

x

.

Dac este mai mare dect o valoare admisibil a , calculul se



prin metoda secantei


29

Aplicaia 1.

Un parautist execut un salt n gol de la mare nlime. Masa parautistului este m=68,1 kg, timpul dup care atinge pmntul tf=10 s iar

viteza final v=40m/s. Se cunoate acceleraia gravitaional g=9,81 m/s2.

S se calculeze coeficientul de frecare cu aerul c prin metoda biseciei i prin metoda coardei i s se comenteze convergena metodelor

Indicaie:se va rezolva ecuaia:

1 ppf

tc

mgv m e

c

sau 01 p fp

t

v

cmg

m ec

Pentru determinarea limitelor intervalului vom trasa graficul aproximativ al funciei ataate ecuaiei

Aplicaia 2.

Se consider ecuaia: - - 0xe x . S se stabileasc rdcinile acestei

ecuaii prin metoda Newton-Raphson, cu o eroare admisibil de 0.0001%.

Indicaie: pentru identificarea primei valori aproximate se va reprezenta

grafic funcia ( ) xf x e x

Aplicaia 3.

Se consider ecuaia: - - 0xe x . S se stabileasc rdcinile acestei

ecuaii prin metoda secantei, cu o eroare admisibil de 0.0001%. S se comenteze convergena acestei metode comparate cu metoda Newton Raphson, respectiv cu metoda coardei

Aplicaia 4.

S se afle rdcinile ecuaiei 2 log( ) 010

xex pe intervalul [0; 4] prin

metoda secantei, respectiv prin metoda Newton Raphson


30

3.2 PROGRAME MATLAB

Rezolvarea ecuaiilor prin metode de convergen pe [a,b]

Metoda biseciei

clear all % DATA m=68.1; % kg v=40; % m/s g=9.8; % m/s2 t=10; % s epsi_adm=0.00005; % % % VARIANTA GRAFIC - Soluia analitic c=0:1:20; l=length(c); f=m*g.*c.^(-1).*(1-exp(-(c/m)*t))-v; plot(c,f,'r') grid % axis([ ]) sau comanda "zoom" % ALGORITMUL DE NJUMTIRE A INTERVALULUI for i=1:(l-1), if f(i)*f(i+1)epsi_adm, fa=m*g.*a.^(-1).*(1-exp(-a/m*t))-v; fc_nou=m*g.*c_nou.^(-1).*(1-exp(-c_nou/m*t))-v; ff=fa*fc_nou; if ff


31

a=c_nou; end N=N+1; c_vechi=c_nou; c_nou=(a+b)/2; epsi=abs((c_nou-c_vechi)/c_nou)*100; end disp('Metoda Biseciei: x0 eroarea*e5 N') disp('-----------------------------------') [c_nou epsi*1e5 N] Metoda interpolrii liniare sau a coardei clear all % DATA m=68.1; % kg v=40; % m/s g=9.8; % m/s2 t=10; % s epsi_adm=0.00005; % % % Soluia analitic c=0:1:20; l=length(c); f=m*g.*c.^(-1).*(1-exp(-(c/m)*t))-v; plot(c,f,'r') grid % METODA INTERPOLRII LINIARE sau a COARDEI (REGULA FALSI) for i=1:(l-1), if f(i)*f(i+1)epsi_adm, fc_nou=m*g.*c_nou.^(-1).*(1-exp(-c_nou/m*t))-v; ff=fa*fc_nou;


32

if fferror_adm, f_xi1=exp(-xi1)-xi1; f_xi2=exp(-xi2)-xi2; xi3=xi2-f_xi2*(xi1-xi2)/(f_xi1-f_xi2); I=I+1; error=abs((xi3-xi2)/xi3)*100; xi1=xi2; xi2=xi3; end


33

disp('Metoda Secantei: x0 eroarea*e5 N') disp('----------------------------------') [xi3 error*1e5 I]

Metoda Newton Raphson

clear all

% Se consider ecuaia: f(x)=exp(-x)-x

% Se reprezint funcia f(x) grafic pentru identificarea primei valori aproximate

x=-2:0.01:5; y=exp(-x)-x; plot(x,y) grid % f_prim=-exp(-x)-1 % iniial guess xi=0; error_adm=0.0001; % error=10; % valoare aleas arbitrar pentru pornirea ciclului de iteraie I=0; % contor de iteraii while error>error_adm, xi_new=xi-(exp(-xi)-xi)/(-exp(-xi)-1); error=abs((xi_new-xi)/xi_new)*100; xi=xi_new; I=I+1; end disp('Metoda Newton-Raphson: x0 eroarea*e5 N') disp('--------------------------------------') [xi error*1e5 I] Tema de lucru la cas:

S se afle rdcinile ecuaia 2ln10

xef x x n intervalul [0 4], folosind

metoda tangentei.


34

3.3 PROGRAME MATHCAD

Metoda biseciei

Un parautist execut un salt n gol de la mare nlime. Masa parasutistului este m=68,1 kg, timpul dup care atinge pmntul tf=10 s iar viteza final v=40m/s. Se

cunoate acceleraia gravitaional g=9,81 m/s2. S se calculeze coeficientul de frecare cu aerul c prin metoda biseciei i prin metoda coardei Indicaie: se va rezolva ecuaia::

vf mpg

c 1 e

c

mp

t

m 68.1 g 9.81 t 10 v 40

f c( ) mg

c 1 e

c

mt

v

a 10 b 20 epsi 0.0005

Iteraia 1

x1a b

2 f a( ) f x1 4.391 f x1 f b( ) 3.217

b x1

Iteraia 2

x2a b

2 f a( ) f x2 56.182 f x2 f b( ) 1.891

a x2

x2 x1

x2100 20

........................................................................................................

Se continu calculele pn cnd eroarea calculat este mai mic dect eroarea maxim admisibil


35

Metoda coardei

m 68.1 g 9.81

f c( ) mg

c 1 e

c

mt

v

a 10 b 20

Iteraia 1

x1 ba b

f a( ) f b( )f b( ) f a( ) f x1 20.796

f x1 f b( ) 15.237 b x1

Iteraia 2

x2 ba b

f a( ) f b( )f b( ) f a( ) f x2 3.905

f x2 f b( ) 0.623

b x2

x2 x1

x2100 5.298

Se continu calculele pn cnd eroarea calculat este mai mic dect eroarea maxim admisibil

t 10

v 40


36

Metoda NewtonRaphson i metoda secantei

Se consider funcia :

f x( ) ex

x

S se rezolve ecuaia f(x)=0 cu ajutorul metodei Newton-Raphson i apoi cu ajutorul metodei secantei cu o eroare relativ admisibil de 0.001.

Metoda Newton Raphson

se ncearc mai multe valori pentru numrul de iteraii observndu-se pentru fiecare valoare eroarea calculat raportat la cea admisibil

i 0 6

x0 2 f1 x( )x

f x( )d

d

xi 1 xi

f xi f1 xi

ei 1

xi 1 xi

xi 1100

Metoda secantei

i 1 6 x1 1 x0 0 xi 1 xi

f xi xi 1 xi f xi 1 f xi

eseci 1

xi 1 xi

xi 1100

Se realizeaz graficul e i esec n funcie de i i se compar rezultatele

Tem de lucru la clas:

S se afle rdcinile ec. / 203log xf x x e pe [10 40], folosind metoda tangentei.


37

Probleme propuse

3.1. Concentraia unei bacterii poluante n apa unui lac descrete n timp dup expresia :

2 0.180 20t tC e e

S se calculeze timpul necesar pentru ca bacteria s fie redus la 10C utiliznd metoda grafic/Newton Raphson

3.2. S se afle rdcina pozitiv a ecuaiei :

4 3 2( ) 8.5 35.5 465 1000f x x x x x folosind metoda secantei i

0 7x i 1 9x ca puncte de pornire a iteraiei

3.3. S se afle rdcinile urmtorului sistem de ecuaii neliniare :

2 1

3cos

y x

y x

folosind metoda Newton Raphson si 0 0( , ) (1,1)x y

3.4. Viteza v de urcare a unei rachete poate fi calculat cu formula :

0

0

ln --

mv u gt

m qt unde 2200 m/su = este viteza relativ de

evacuare a combustibilului, 0 160 tm este masa iniial a rachetei la

momentul 0t , kg/sq = 2680 este viteza de consum a

combustibilului i 29.81m/sg este acceleraia gravitaional. S se

estimeze un interval a b[ , ]t t n care s se afle momentul de timp t la

care =1000 m/sv i 2000 m/sv

3.5. Sse determine rdcina real ecuaiei 2lnx = 0.7 pentru intervalul

[0.5 ;2] prin metoda biseciei, respectiv a falsei poziii. Sse comenteze rezultatele.

3.6. S se calculeze prima rdcinnenul a ecuaiei 2sinx = x , folosind

metoda biseciei pe intervalul [a,b] = [0.5;1]

3.7. S se aproximeze rdcina ecuaiei 3.3x =79 pe intervalul [3;4] prin

metoda falsei poziii

3.8. Fie sistemul de ecuaii neliniare :

2 2

2 2

(x - 4) +(y - 4) = 4

x + y =16


38

S se calculeze rdcinile sistemului dac 0 0(x ,y ) = (3,3)

3.9. S se aproximeze prin metoda punctului fix rdcina ecuaiei :

f(x) = sin x - x , tiind ca 0.50x .

3.10. Determinai rdcinile reale ale ecuaiei:

1 0 61- .

( )x

f xx

utiliznd metoda secantei (3 iteraii) i valorile iniiale

-1 1.5ix i 2.0ix

3.11 Utiliznd metoda NewtonRaphson s se determine toate rdcinile ecuaiei:

2 5.8 11.45 0x x cu o eroare admisibil 0.001%a

3_RADACINI

Documents

Transcript of 3_RADACINI