1

3. METODE ŞI TEHNICI DE INVESTIGARE A PROPRIETĂŢILOR

MECANO - REOLOGICE ALE HÂRTIILOR

3.1. TEHNICI ŞI CONDIŢII EXPERIMENTALE

Pentru cercetarea comportării mecano-reologice a produselor

papetare, supuse acţiunii unor solicitări exterioare de deformare, este necesar

să se stabilească dependenţa dintre efort şi deformaţie, precum şi variaţia

acestor parametri în timp. In esenţă, se urmăreşte stabilirea unei legi de

variaţie a deformaţiei funcţie de efort, obţinută ca o caracteristică a probei de

tipul:

∆l = f(F) (3.1)

unde: ∆l - deformaţie

F - efortul

Dacă se solicită hârtia la un efort constant în timp, şi se înregistrează

deformaţia ei, se obţine o curbă de fluaj /31, 32, 44/.

Dacă se menţine constantă deformaţia şi se urmăreşte variaţia efortului

în timp, obţinem fenomenul de relaxare a hârtiei /2,31/.

a b Fig. 3.1. Reprezentarea curbelor de fluaj (a) si relaxare (b)

1- revenirea elastică instantanee; 2- revenirea finală; 3-deformaţia remanentă

Comportarea reologică a materialelor se analizează cu ajutorul relaţiilor

dintre efortul unitar, deformaţii şi viteze de deformare, precum şi prin evoluţia

acestor parametri în timp. O astfel de corelaţie complexă este definită prin

ecuaţia reologică de stare a materialului. Ea se obţine prin modelare

reologică sau numerică.

2

Determinările mecano-reologice ale hârtiilor se efectuează în anumite

condiţii standard: lungimea epruvetelor este de 180 mm, lăţimea de 15 mm;

standardele nu interzic însă utilizarea epruvetelor cu lungimi de 100 mm.

Probele sunt însă, obligatoriu, condiţionate înaintea efectuării testelor.

Durata minimă de expunere a epruvetelor în atmosfera climatizată este

de 4 ore pentru hârtiile ce au în compoziţie celuloze, paste semichimice sau

mecanice, a căror gramaj este de maxim 80 g/m2 şi au un grad de încleiere de

maxim 1,5 mm; produsele papetare cu gramajul cuprins între 80 şi 300 g/m2

şi un grad de încleiere mai mare de 1,5 mm, se climatizează minim 12 ore.

Conform STAS 3975-67, temperatura se menţine constantă la 20 OC ± 2 OC şi

umiditatea relativă a aerului la 65 %± 2%.

Testele mecano-reologice se efectuează în aceleaşi condiţii de

climatizare, respectiv la o temperatură de 20 OC ± 2 OC şi o umiditate relativă a

aerului de 65% ± 2%.

Pentru testele de fluaj durata solicitării este variabilă, deseori

utilizându-se 15 minute; revenirea din fluaj se înregistrează pentru acelaşi

interval de timp.

De obicei, solicitarea aplicată pentru efectuarea curbelor de fluaj la

hârtie variază între 60 - 75 % din efortul la rupere, iar la descărcare - funcţie

de modelul reologic pe care-l utilizăm de 0 până la 25 % din efortul la rupere.

Pentru aceste teste se pot utiliza diferite tipuri de dinamometre, în

special cele de tip INSTROM. Cele mai performante aparate sunt dotate cu

incinte climatizate ale blocului de măsură. Aparatele moderne sunt echipate

cu calculatoare şi softuri performante, ceea ce permite condiţii stabile de

determinare, precum şi prelucrarea mărimilor urmărite în aceste încercări

mecano-reologice specifice.

3.2. DETERMINAREA CARACTERISTICILOR REOLOGICE PRIN

TESTE DE SOLICITARE LA INTINDERE

3.2.1. CURBELE EFORT-DEFORMAŢIE

Prin intermediul curbelor efort-deformaţie se urmăreşte stabilirea legii

de variaţie a deformaţiei funcţie de efort. Analizându-se grafic curba acestei

variaţii se disting următoarele domenii (vezi fig. 2.1.):

Segmentul OA - dependenţă liniară între deformaţie şi solicitare,

descrisă de legea lui Hooke. In acest domeniu sunt manifestate proprietăţile

3

elastice ale hârtiei şi în baza acestei legi se poate determina modulul de

elasticitate, ca raportul dintre efortul unitar şi deformaţie:

E = σ/ ε = tg α (3.2)

unde: α - panta curbei în domeniul elastic

σ = F/So - efortul unitar la întindere, N/mm2

ε = (∆l/ lo)*100 - deformaţia sau alungirea specifică, %

Deformaţia totală se compune din deformaţia elastică (∆le),

(reversibilă), deformaţia vâsco-elastică (∆lv-e) şi cea plastică (∆lpl.), care este

remanentă.

∆l = ∆le + ∆lv-e + ∆lpl (3.4)

Dacă raportăm această evoluţie la secţiunea iniţială a epruvetei

(So) şi la lungimea sa iniţială (lo), obţinem o relaţie de forma:

ε = f(σ) (3.5)

Reprezentarea grafică a acestei funcţii este denumită “caracteristica

convenţională a materialului” /2/.

In sens fizic, modulul de elasticitate (modulul Young) reprezintă

valoarea efortului unitar necesar pentru a produce o deformaţie de 100 % a

materialului. In cazul unor hârtii cu fibre puternic orientate, valoarea lui în

direcţia de orientare, poate fi de ordinul 1010 N/m2, deci cu un ordin de

mărime mai mic decât în cazul oţelului /73/.

Tensiunea sau efortul unitar la care se înregistrează prima abatere de

la liniaritate a curbei se numeşte limită de elasticitate .

Segmentul AB - este caracterizat prin apariţia fenomenelor vâsco-

elastice. Rigiditatea hârtiei scade, începe să se manifeste elasticitatea

neliniară şi apar deformaţii remanente. In acest caz, cea mai mare parte din

energia de deformare se pierde ireversibil, comparativ cu domeniul elastic, în

care proba se comportă ca un acumulator de energie /72/.

Segmentul BC - apare când destrucţia este precedată de fenomene

ce reduc rezistenţa probei, ca de exemplu, apariţia fisurilor, ruperea

legăturilor interfibrilare, sau chiar a fibrelor, etc. /2/. Punctul C se defineşte,

obişnuit, ca efort la rupere (Fr).

La descărcarea probei, caracteristica urmăreşte traseul DO1 care - la

majoritatea materialelor - exprimă o dependenţă liniară între solicitare şi

deformaţie. Faptul că cele două traiectorii ale caracteristicii: domeniul elastic

AB şi revenirea la descărcare DO1 sunt paralele, justifică faptul că materialul

îşi menţine proprietăţile elastice iniţiale. Din aria cuprinsă între abscisă şi

curba efort-deformare se determină caracteristica, denumită generic, T.E.A. şi

4

care reprezintă energia adsorbită de probă în timpul testării la întindere ş88ţ.

Legătura între lucrul mecanic determinat în mod convenţional şi TEA este dată

de relaţia :

[ ] [ ][ ] [ ]TEA J m

L N m

b m l m

mec, /

2 =∗

∗ (3.6)

unde: L - lucrul mecanic; b - lăţimea epruvetei; l - lungimea epruvetei. Fig. 3.2. Energia adsorbită la întindere ş88ţ

Curbele succesive de încărcare-descărcare pun în evidenţă unele

aspecte importante ale comportării reologice.

Din figura 3.3, se pot diferenţia:

Segmentul liniar AB - care indică faptul că în condiţiile unor eforturi

mici hârtia manifestă proprietăţi net elastice. In acest domeniu, după

încetarea acţiunii exterioare, proba revine la dimensiunile iniţiale.

Segmentul de dreaptă CD - care dovedeşte că la eforturi de

încărcare mai mari au loc în hârtie fenomene de curgere - deformaţiile fiind

remanente ş74ţ.

Porţiunea de curbă BC - demonstrează că hârtia prezintă un caracter

vâsco-elastic. La o nouă încărcare, se remarcă apariţia unei bucle de

histerezis, după care curba caracteristică îşi reia evoluţia din punctul în care a

avut loc prima descărcare /2, 3, 5, 75/.

Fig. 3.3. Curbe succesive de încărcare – descărcare pentru o hârtie supusă la deformaţii cu viteză constantă

Se poate afirma că hârtia se comportă ca şi cum ar fi păstrat în

“memorie” drumul iniţial al procesului şi nu ar fi intervenit o nouă fază de

încărcare-descărcare a sarcinii.

5

Drept consecinţă a unor cicluri de încărcare-descărcare se înregistrează

creşterea limitei de elasticitate, adică se realizează o “condiţionare

mecanică” a hârtiei /2, 3, 75/.

Testul de întindere la distanţa zero dintre cleme, “zero-span”,

oferă informaţii despre rezistenţa fibrei, fiind util pentru aprecierea

rezistenţei limită a hârtiei dar şi în unele calcule privind modelul matematic al

curbei efort-alungire.

Evoluţia curbelor efort-deformaţie depinde de o serie de factori :

Influenţa vitezei de deformare. Brecht şi colaboratorii /64/ au

stabilit că există o relaţie exponenţială între sarcina de rupere şi viteza de

întindere (până la o viteză de deformaţie de 110 mm/sec.) a hârtiei, de forma:

σ εr

ba v= ∗ (3.7)

unde: σ r - efortul unitar la rupere, şN/mm2ţ;

vε - viteza de alungire (mm/sec);

a - constanta ce reprezintă sarcina de rupere a hârtiei la o viteză

de întindere de 10 m/min;

b - constanta de material (pentru o hârtie de ambalaj din

celuloză sulfat,

b = 0,41- 0,45) /44/.

La creşterea vitezei de solicitare, hârtiile preiau eforturi mai mari, fără

să înregistreze şi o modificare majoră a alungirii. Reversibilitatea deformaţiei

este deci mai accentuată la viteze de deformare mai mari, prezentând un

caracter elastic mai pronunţat şi suportând eforturi dinamice superioare

condiţiilor statice de testare /20, 72/.

Influenţa dimensiunilor probei. Datele experimentale obţinute de

diverşi cerce- tători /2, 3/ pe epruvete mai mari de 20 mm, indică faptul că în

intervalul de uscăciune de 20-87 %, caracteristicile efort-deformaţie nu

depind, practic, de dimensiunile epruvetelor, indiferent de valorile eforturilor

aplicate sau al deformaţiilor considerate.

La micşorarea lungimii epruvetelor, efortul de rupere şi deformaţiile

cresc (figura 3.4) /145/.

6

Fig. 3.4. Influenţa lungimii epruvetelor asupra curbelor efort-deformaţie (v =0,024 %/sec)

• La distanţa “zero” între cleme, se percepe, după cum s-a menţionat

anterior, rezistenţele fibrelor individuale.

• Intre 0 - 20 mm, rezistenţa care se înregistrează depinde atât de

rezistenţa fibrelor, cât şi de valoarea legăturilor interfibrilare.

• La lungimi ale epruvetelor mai mari de 20 mm, efortul măsurat indică

îndeosebi intensitatea legăturilor interfibrilare din foaia de hârtie.

Rezistenţa la întindere oferă informaţii asupra rezistenţei celui mai slab

punct din produsul papetar testat. Datorită acestui fapt, cu cât va creşte mai

mult lungimea epruvetei, rezistenţa măsurată a hârtiei va scădea,

deoarece creşte probabilitatea de a include puncte (sau zone) mai slabe

/88/.

De asemenea, odată cu creşterea lungimii iniţiale a epruvetei, creşte

şi alungirea relativă a acesteia /89/.

Influenţa solicitărilor anterioare Printr-o presolicitare a hârtiei se

produc, într-o anumită măsură, destrucţii ireversibile, cum ar fi ruperea

legăturilor de hidrogen, sau chiar a microfibrilelor. Influenţa acestora asupra

profilului curbelor efort - deformare este ilustrată în fig. 3.5 /2,3/.

Aceste destrucţii sunt mai puternice în cazul unor presolicitări

lente. Când presolicitarea este realizată cu viteza mare, structura iniţială a

hârtiei se menţine aproape în totalitate.

Fig. 3.5. Diagramele efort - alungire funcţie de solicitările anterioare pentru o hârtie Clupak

7

3.2.2. CURBELE DE FLUAJ ŞI RELAXARE

In cazul comportării reologice a hârtiei se întâlnesc frecvent aşa

numitele “post-efecte”. Ele includ fenomenele de fluaj şi relaxare.

In general, prin fluaj se înţelege proprietatea materialului de a-şi

modifica în timp starea tensională şi de deformaţie /74/.

Prin urmărirea variaţiei deformaţiei în timp, şi prin intermediul curbelor

de fluaj, se stabileşte funcţia de fluaj, care defineşte deformaţia

corespunzătoare tensiunii egală cu unitatea.

( )F tk

k

σε

σ, = (3.8)

unde : σk- efortul constant la care este supusă proba, kgf/cm2

ε - deformaţia, mm

Când pe curba de fluaj apare o deformaţie instantanee ( ε ei), ea este

prezentă şi pe curba de recuperare (de fluaj invers) în momentul anulării

tensiunii. Restul deformaţiei se recuperează lent, curba de fluaj invers

tinzând asimptotic către o valoare constantă, ε∞ , denumită deformaţie

remanentă /74/.

Testele de relaxare se realizează cu probe netensionate anterior.

Epruveta este adusă brusc la o deformaţie constantă, după care, se urmăreşte

variaţia tensiunii în timp. La timpul t deformaţia se reduce la zero, ceea

ce poate necesita uneori o tensiune negativă (de exemplu, forţe de

compresiune). Pe baza rezultatelor obţinute se trasează curba de relaxare şi

se deduce funcţia de relaxare :

( )R tk

k

εσ

ε, = (3.9)

Această funcţie defineşte tensiunea corespunzătoare unei deformaţii

egale cu unitatea. In cazul hârtiilor, este mai eficientă folosirea curbelor de

fluaj. Prin prelucrarea - grafică sau analitică - a acestor curbe, folosind şi un

model reologic adecvat, se pot obţine parametrii reologici ce caracterizează

hârtia respectivă supusă anumitor solicitări.

Condiţiile experimentale (climatizare, viteza de solicitare, domeniul şi

mărimea sarcinilor aplicate, etc.) afectează, de asemenea, evoluţia curbelor

efort-deformaţie.

Influenţa efortului de încărcare. Dacă se supune hârtia la tensionări

diferite, iar apoi se descarcă “la zero”, deformaţia totală va prezenta trei

8

domenii distincte: revenirea elastică imediată (εe), revenirea elastică întârziată

(εei), şi deformaţia permanentă, sau plastică (εpl ). La testarea hârtiilor pe un

aparat tip INSTROM, utilizând tensiuni cuprinse între 20 şi 95 % din

valoarea efortului la rupere, s-a găsit că, atât timp cât alungirea totală este

sub 0,2 - 0,25 % din valoarea maximă, nu se înregistrează alungiri plastice

/19, 20, 64/. Totodată, la eforturi de încăr-care situate sub 20 % din sarcina

de rupere, hârtiile prezintă un caracter net elastic /98/. Deformaţiile plastice

apar, de regulă, la încărcări peste 45% din efortul la rupere, respectiv la

peste 1,2% din valoarea maximă a alungirii /20/.

Fig. 3.6. Evoluţia curbelor de fluaj direct şi invers pentru o hârtie Clupak cu sarcina de încărcare ş133ţ

Influenţa duratei de solicitare. Dacă o bandă de hârtie este

tensionată până la o anumită valoare a deformaţiei, forţa necesară menţinerii

acestei deformări scade în timp, adică se realizează o relaxare a

tensiunilor. Durata la care tensiunea scade până la 1/e din valoarea ei iniţială

se defineşte ca “timp de relaxare”.

Fenomenele “ timp-dependente” explică “efectul

de memorie Kohlrausch” al hârtiei: după

solicitare, hârtia tinde să revină la starea ei

iniţială, netensionată. La descărcare, ea “îşi

aminteşte” stările tensionale şi intensitatea

deformaţiilor suferite, încercând să le repete din

nou /72/.

Fig. 3.7. Curbe de relaxare a tensiunilor

9

3.2.3. ALTE METODE DE INVESTIGARE ALE PROPRIET|}ILOR

MECANO-REOLOGICE A HÂRTIEI

In ultimii ani s-au elaborat metode noi de evaluare a proprietăţilor

mecano-reologice ale hârtiilor ş11, 13, 16, 23, 24, 29, 34, 80, 81, 82, 131ţ.

In baza acestor studii, au putut fi analizate prin metode sonice

(frecvenţe cuprinse între 5-100 KHz), proprietăţile elastice şi parametrii

vâsco-elastici ai hârtiilor funcţie de temperatură şi umiditate. S-a ajuns la

concluzia că între viteza sunetului şi efortul unitar de solicitare al hârtiei există

o anumită corelaţie, în baza căreia se pot obţine informaţii utile asupra

structurii şi proprietăţilor mecanice ale hârtiei /13/.

* * *

Pentru a urmări proprietăţile mecanice ale produselor papetare, Batten

apelează la teoria structurală de reţea a legăturilor de hidrogen, dezvoltată de

Perkins şi Mark /14, 76,78,79/.

El calculează, cu ajutorul unor relaţii semiempirice, geometria şi

intensitatea legăturilor de hidrogen necesară obţinerii unei hârtii ideale,

izotrope şi o corelează cu modulul lui Young /14, 76, 79/. In consecinţă,

autorul propune pentru caracterizarea hârtiilor din punct de vedere mecano -

reologic un nou parametru, denumit “modulul elastic izotrop”. Această teorie a

fost puternic controversată /76,77,78/.

O altă modalitate de apreciere a proprietăţilor mecanice ale hârtiei

constă în determinarea modulului dinamic al forfecării prin metoda oscilaţiilor

de torsiune /11, 24/. Prin acest procedeu se poate stabili numărul şi calitatea

contactelor interfibrilare pe unitatea de volum a hârtiei.

Alte tehnici recomandă interferometria cu raze laser (LSI) pentru

determinarea modulului elastic şi a coeficientului Poisson /26/.

Pentru măsurarea “on-line” a proprietăţilor de rezistenţă a hârtiei, s-a

apelat la urmărirea tensiunii dezvoltate în procesul de uscare, de care depind,

în mare măsură, proprietăţile mecanice finale ale hârtiei. S-a demonstrat că

între tensiunea la uscare, tensiunea în stare umedă şi modulul elastic există

o strânsă legatură /19/.

10

3.2.4. CAUZELE ŞI FACTORII CARE DETERMINĂ

REZISTENŢA LA RUPERE A HÂRTIEI

In ceea ce priveşte modul în care are loc propagarea efortului şi a

lucrului mecanic consumat în solicitarea la întindere a hârtiei, până la

destrucţia şi respectiv ruperea finală a structurii, s-au emis numeroase

ipoteze.

Se consideră că efortul aplicat la testul de întindere, în funcţie de

direcţia în care acesta este aplicat - pe longitudinalul sau transversalul foii - se

distribuie atât asupra fibrelor, cât şi asupra legăturilor interfibrilare. Se

realizează un efect de întindere şi de forfecare, ultimului acordândui-se o

importanţă mai mare /112/.

In ceea ce priveşte lucrul mecanic consumat pentru ruperea structurii

fibroase (a foii de hârtie), există opinii contradictorii.

Conform teoriei formulată de Van der Akker /113/, lucrul mecanic

consumat la rupere este datorat celor două procese care se manifestă

concomitent:

1. întinderea fibrelor individuale, sub acţiunea forţei de tracţiune până

la rupere;

2. “extragerea” fibrelor individuale din reţeaua fibroasă, în sens

contrar acţiunii forţelor de frecare.

In esenţă, teoriile emise asupra distribuţiei lucrului mecanic la rupere se

diferenţiază prin aceea că unii autori consideră că acesta este consumat, în

principal, pentru ruperea fibrelor /116, 117, 118/. S-a afirmat chiar că lucrul

mecanic consumat pentru ruperea fibrelor ar reprezenta 90 % din valoarea

totală a lucrului mecanic consumat la rupere /116/.

Alţii sunt de părere că lucrul mecanic în momentul ruperii s-ar consuma

dominant, pentru disocierea şi respectiv destrucţia legăturilor fibră-fibră

/113/.

In sfârşit, o seamă de cercetători sunt de părere că lucrul mecanic

necesar ruperii structurii s-ar repartiza - neegal - atât pentru desfacerea

legăturilor interfibrilare, cât şi pentru ruperea fibrelor componente ale

structurii /114, 117/.

Seth şi Page /118/ au prezentat unele rezultate experimentale menite

să demonstreze aportul rezistenţei fibrelor individuale asupra rezistenţei la

rupere a structurii fibroase.

11

S-a evidenţiat existenţa unei dependenţe exponenţiale între rezistenţa

“zero span” şi rezistenţa la rupere a hârtiei, ca structură consolidată. Valoarea

exponentului este mică pentru foile slab legate şi mai ridicată, de circa 2,

pentru cele bine legate /118/.

Rezistenţa la rupere a hârtiei = k*(rezistenţa “zero - span”)n (3.11)

unde: k - constantă dependentă de material;

n - constantă exponenţială care indică gradul de legare a fibrelor

individuale în structura consolidată

Pentru a argumenta acest fapt, s-a determinat rezistenţa la rupere

pentru diverse grade de hidroliză a fibrelor, funcţie de logaritmul rezistenţei

“zero-span”. S-a constatat că panta dreptelor obţinute prezintă aceeaşi

valoare, deşi gradele de hidroliză sunt diferite.

Pentru celuloza din răşinoase, s-a demonstrat experimental că, valoarea

constantei exponenţiale n creşte odată cu legarea fibrelor individuale în

structura consolidată. In acest caz rezistenţa la rupere a hârtiei atinge o

valoare maximă, n ≅≅≅≅ 2, indiferent de creşterea ulterioară a legării.

La celuloza din foioase, exponentul n este mai mic. El creşte treptat,

odată cu intensificarea legării. Aceste rezultate justifică ipoteza că lucrul

mecanic consumat la ruperea fibrelor reprezintă o cotă mult mai însemnată

din valoarea lucrului mecanic consumat la rupere decât s-a crezut până în

prezent. In cazul structurilor fibroase parţial consolidate, lucrul mecanic de

rupere se datorează atât ruperii fibrelor, cât şi ruperii legăturilor fibră - fibră.

La structuri complect consolidate, proporţionalitatea dintre rezistenţa la

rupere şi pătratul rezistenţei fibrei sugerează că lucrul mecanic de rupere a

fibrelor individuale are o pondere semnificativă asupra valorii lucrului mecanic

dezvoltat la rupere /116/.

In dezacord cu această poziţie, Pöttschke susţine că rezistenţa hârtiei

este determinată în principal de valoarea forţelor de legare interfibrilară /94,

119/.

Kallmes a demonstrat că energia forţelor de legare depăşeşte atât

valoarea rezistenţei de întindere a fibrelor individuale, cât şi pe cea a

rezistenţei la forfecare dintre fibre /112/.

Dacă asupra unei structuri fibroase acţionează un anumit timp un efort

constant, după depăşirea unui prag, a unei limite de solicitare, pot apare

12

anumite procese şi la nivelul microstructurii. Aceasta evoluează în paralel, cu

efecte cumulative specifice.

In acest mod, porţiunile de fibre pliate sau cutate din structura hârtiei

sunt îndreptate şi orientate în sensul direcţiei de solicitare.

In general acest proces este reversibil la aplicarea unor eforturi

sub 25 % din sarcina de rupere, când legăturile interfibrilare nu sunt afectate.

Deci aici are loc doar o modificare elastică a structurii fibroase.

Dacă efortul de solicitare depăşeşte o anumită limită, pot apare şi

efecte vâscoelastice, sau chiar plastice. Funcţie de intensitatea şi durata

solicitării, procesul poate deveni ireversibil.

In timpul uscării, datorită diferenţelor de contracţie a fibrelor în

lungime şi grosime, apar porţiuni de fibre microcomprimate care pot fi în

proporţie de maxim 25% din lungimea totală a fibrelor orientate în sensul de

mers al maşinii de fabricaţie. Datorită acestor fibre microcomprimate,

structura internă a hârtiei este modificată.

Ruperea suprafeţelor de legare în masa structurii are loc succesiv,

funcţie de gradul de ancorare în structură, şi de lungimea fibrelor. Fenomenul

a fost pus în evidenţă, încă de mai multă vreme. Iniţial, sunt desprinse

suprafeţele mici de legare, precum şi fibrele mai labile din structură.

Fiecare rupere a unei legături modifică transferul efortului. Pe

măsură ce procesul ruperii avansează, devin disponibile tot mai puţine

elemente de transfer ale efortului. Prin urmare, efectul tensiunii creşte,

fiind afectate şi fibrele mai lungi sau porţiunile de structură mai bine

ancorate, cu suprafeţe de legare mai mari /112/.

La creşterea în continuare a efortului de solicitare, apar simultan şi alte

procese destructive care afectează noi suprafeţe de legare şi noi zone ale

fibrelor din structură.

In acest caz, deformaţiile elastice datorate transferului de efort prin

fibre se suprapun şi modifică punţile de legare dintre suprafeţele fibrelor.

Prin urmare, limita de rezistenţă a structurii, în ansamblul ei,

corespunde fazei în care legăturile interfibrilare sunt total distruse. Situaţia

este mai frecventă când apare o concentraţie mai mare de suprafeţe de

legare labile.

La descărcare, la eliberarea de sub sarcină, are loc o revenire a

întinderii elastice a fibrelor, o anumită “reconstituire” a locurilor de legare,

13

dacă acestea nu au fost distruse ireversibil. Acest proces este definit şi ca

“fluaj primar” /94/.

La o nouă solicitare, la valori mai mari ale tensiunii, cele mai

afectate sunt zonele microcomprimate.

In cazul testelor de relaxare, deformaţiile elastice ale fibrelor şi ale

suprafeţelor de legare se cumulează şi acţionează asupra structurii în sensul

prezentat mai sus. După depăşirea limitei maxime de rezistenţă, legăturile

interfibrilare încep să cedeze.

14

5.3.1. MODELE UTILIZATE LA CARACTERIZAREA PROPRIETĂŢI

REOLOGICE UNICE

Modelele analoge mecanice sunt constituite din unul sau mai multe

elemente (de natură mecanică) cuplate între ele. Supuse la solicitări, ele

reproduc - mai mult sau mai puţin fidel -comportamentul corpurilor reale

[74].

Elementele mecanice sunt considerate a fi lipsite de masă şi posedă o

proprietate unitară. Se utilizează frecvent următoarele elemente mecanice:

Solidul lui Hooke (resortul sau arcul elicoidal), posedă numai

proprietatea de elasticitate instantanee. Deformaţia este aici proporţională

cu efortul; la descărcare, aceasta se recuperează în întregime.

Considerând resortul elicoidal de lungime L asupra căruia acţionează o

forţă F1 care acţionează asupra lui, se înregistrează deformaţia instantanee

∆L1, care rămâne constantă atâta timp cât forţa persistă. Când forţa

încetează, resortul revine instantaneu la forma iniţială, datorită “memoriei”

faţă de această stare. In acest caz, între forţă şi deformaţie există o

proporţionalitate directă:

F1 = k *∆L1 (5.3)

unde: k - constanta resortului.

Fig. 5.3. Modelul mecanic al solidului lui Hooke: a) resort; b) reprezentarea spaţială a comportării resortului

Comparând ecuaţia resortului cu ecuaţia reologică a solidului perfect

elastic:

σ = E * εel (5.4)

unde: σ - efortul unitar tangenţial;

E - modulul de elasticitate;

εel - deformaţia elastică,

15

şi identificând parametrii solicitării, rezultă că resortul este analogul

mecanic al solidului lui Hooke [2, 3, 74].

Fluidul lui Newton. Modelul mecanic al fluidelor cu comportare

newtoniană este reprezintat de un amortizor. Acest model se caracterizează

printr-o relaţie liniară între viteza de deformaţie şi tensiune:

F = k * dL

dt (5.5)

unde: F - efortul aplicat tijei pistonului, determină deplasarea

acestuia cu dL

k - este constanta amortizorului;

dL

dt - este viteza de deformaţie.

Fig. 5.4. Modelul mecanic al fluidului Newton

a) amortizorul; b) reprezentarea spaţială a comportării amortizorului

Fluidul newtonian supus la o forfecare simplă se comportă după o ecuaţie

similară :

τ η η γ= ∗ = ∗•

dv

dx (5.6)

unde: τ - efortul de forfecare; η - vâscozitatea dinamică;

•

γ - gradientul de viteză.

Plasticul St.-Venant imaginează un corp perfect plastic, care se

deformează ireversibil şi numai după ce efortul a atins un anumit prag al

tensiunii. Elementul mecanic care descrie acest comportament reologic este

patina (figura 5.5) .

Patina este pusă în mişcare numai când forţa F1 aplicată acesteia

egalează forţa de frecare statică:

F1 = Ff (5.7)

In continuare, pentru a o menţine în echilibru la o viteză constantă de

deplasare, forţa F trebuie menţinută la valoarea forţei de frecare cinematice

(fig.5.5,b).

Comparând ecuaţia reologică a corpului plastic St-Venant:

16

τ=τo (5.8)

cu ecuaţia (5.7), caracteristică patinei, rezultă că patina reprezintă modelul

mecanic al plasticului St.-Venant.

Fig. 5.5. Modelul mecanic al plasticului St. - Venant: a-patina; b-încărcarea statică şi cinetică; c-reprezentarea spaţială a comportării patinei

Patina lui Kepes. Aceasta este formată dintr-un corp cu frecare fără

prag de tensiune. Modelul este astfel conceput încât forţa de frecare este

proporţională cu deplasarea (deformaţia):

-k kf fγ τ γ• •

< <

Fig. 5.6.Patina lui Kepes

In structura modelelor mecanice se pot folosi de asemenea şi

următoarele elemente:

Limitator de deformaţie, care se ataşează în general unui alt

model, mecanic atunci când există restricţii în deplasarea acestuia într-un

sens sau în ambele sensuri. Cât timp limitatorul nu face contact, forţa este

nulă, modelul urmându-şi evoluţia sa normală. După realizarea contactului,

oricât de mare ar fi efortul aplicat , deplasarea nu depăşeşte limita impusă [2,

3, 74].

17

Fig. 5.7.

Limitatoare de

deformaţie

Limitator de viteză , care se utilizează atunci când viteza de

deformaţie nu poate depăşi o anumită valoare critică, indiferent de mărimea

solicitării.

5.3.2. MODELE PENTRU CORPURI CARE POSED| SIMULTAN

DOUĂ PROPRIETĂŢI REOLOGICE

Pentru a descrie corpurile care posedă simultan două proprietăţi

reologice, s-au propus mai multe modele analog mecanice, dar se consideră ca

reprezentative două dintre ele: modelul Maxwell şi modelul Kelvin - Voigt.

Modelul Maxwell este format din două elemente: un resort şi un

piston, cuplate în serie (figura 5.8).

Fig. 5.8. Modelul Maxwell : a) - prezentarea convenţională a modelului

b) - curba de fluaj, c) - curba de relaxare

Deformaţia totală a modelului este formată din suma dintre

deformaţia elastică şi cea vâscoasă:

ε ε εt e v

= + (5. 9 )

18

Derivând în raport cu timpul, obţinem:

d

dt

d

dt

d

dt

t e vε ε ε

= + (5.10)

Conform legii lui Newton, pentru fluide normal vâscoase, avem:

σ ηε

= ⋅d

dt

v (5.11)

de unde rezultă că: d

dt

vε σ

η= (5.12)

Conform legii lui Hooke, aplicată corpurilor perfect elastice, avem :

σ ε= ⋅Eel. (5.12)

iar prin derivare în raport cu timpul, obţinem:

d

dtE

d

dt

elσ ε

= ⋅ . (5.13)

Din această relaţie obţinem :

d

dt E

d

dt

elε σ. = ⋅

1 (5.14)

Inlocuind în relaţia (5. 10), obţinem ecuaţia reologică a modelului:

d

dt E

d

dt

tε σ σ

η= ⋅ +

1 (5.15)

Ecuaţia de fluaj pentru o solicitare constantă σo , are următoarea

formă:

( )ε σση

tE

to

o= ⋅ + ⋅1

(5.16)

Primul termen, independent de timp, reprezintă deformaţia

instantanee, iar al doilea - deformaţia vâscoasă.

Ecuaţia de fluaj reprezintă o dreaptă cu panta σo/η . La timpul tk, când

solicitarea se îndepărtează, deformaţia elastică este recuperată, şi corpul

rămâne doar cu deformaţia vâscoasă.

Funcţia de fluaj se obţine prin împărţirea ecuaţiei (5. 16) la σo .

( )F tE

t= +

1

η (5.17)

Relaxarea se realizează pentru o deformaţie constantă (εe) şi se

urmăreşte evoluţia efortului in timp.

Din ecuaţia (5.15) , înlocuind pe εt cu εo , obţinem :

εσ σ

ηoE

d

dt= ⋅ +

1 (5.18)

de unde rezultă că :

19

d

dtE

o

σε

ση

= ⋅ −

(5.19)

Prin integrare obţinem:

( )σ ε ηt E e

o

Et

= ⋅ ⋅− ⋅

(5.20)

Notând raportul η/E = trel. (timpul de relaxare), avem forma

simplificată a relaţiei (5.20):

( )σ εt E eo

t

trel= ⋅ ⋅

−

(5.21)

Funcţia de relaxare rezultă din împărţirea ecuaţiei (5.20) la εo :

( )R t E e

t

trel= ⋅−

. (5.22)

Ecuaţia de relaxare poate lua o formă de genul:

( )σ ηt a e

t

trel= ⋅ ⋅ −

−

1 . (5.23)

unde: η - vâscozitatea;

E - modulul de elasticitate;

a - viteza de deformaţie;

σo- tensiunea constantă;

εo - deformaţia constantă.

Dacă considerăm t→∞ , din ecuaţia (5.23) obţinem că σ = a .η. In acest

caz se presupune că sistemul resort - amortizor este în echilibru, iar curba de

relaxare a atins starea de saturaţie [50,47].

Comportamentul reologic al materialului depinde în cazul acestui

model şi de timpul de testare (t*). Astfel, dacă t* >> trel. , atunci apare mai

evident caracterul vâscos al modelului. Dacă t* << trel., acţiunea fenomenului

elastic este mai puternică decât a celui vâscos, iar modelul Maxwell se

comportă ca un corp ideal elastic.

Dacă t* are acelaşi ordin de mărime cu timpul de relaxare, se pun în

evidenţă în aceeaşi măsură şi fenomenul elastic, şi cel vâscos.

Modelul Kelvin - Voigt redă de asemenea, comportamentul reologic

al unui corp vâsco-elastic. Este compus dintr-un amortizor şi un resort, legate

în paralel (fig. 5.10). Modelul posedă în plus elasticitate întârziată. Fiind

cuplate în paralel, cele două elemente prezintă deformaţii egale. In acest

caz, solicitarea totală este egală cu suma solicitărilor din fiecare model:

σt = σe + σv (5.24)

20

Substituind termenii din partea dreaptă a egalităţii cu

componentele corespunză-toare din legea lui Hooke şi a lui Newton, aplicate

frecării simple, obţinem:

σ ε ηε

= ⋅ + ⋅Ed

dt (5.25)

Ecuaţia (5.25) reprezintă ecuaţia reologică a modelului Kelvin -

Voigt.

Fig. 5.10. Modelul Kelvin-Voigt: a) - modelul mecanic; b) - curba de fluaj;

c) - evoluţia deformaţie-timp la eliberarea instantanee a sarcinii

Dacă asupra corpului se aplică o tensiune σo constantă, corpul se

deformează; dacă timpul de solicitare creşte foarte mult, deformaţia tinde

către o limită ε.

Ecuaţia de fluaj a acestui model se obţine prin integrarea ecuaţiei

(5.25), scrisă sub forma:

( )d

dtE

εη

σ ε= ⋅ − ⋅1

(5.26)

( )εσ η

tE

eo

Et

= ⋅ −

− ⋅

1 (5.27)

Termenul η/E are dimensiunile unui timp. şi se numeşte timp de

întârziere. El reprezintă timpul în care deformaţia atinge 0,63 din valoarea sa

finală. Făcând limita deformaţiei, pentru t→∞ , obţinem:

( ) ( )ε εσ

t tEt

o= =→∞

lim (5.28)

Dacă împărţim ecuaţia de fluaj la σo , obţinem funcţia de fluaj:

21

( )F tE

e

t

ti= ⋅ −

−11 (5.29)

In cazul modelului Kelvin-Voigt tensiunea nu se relaxează la deformaţie

constantă. Prin urmare, funcţia de relaxare nu are sens.

Modelul depinde de timpul de acţiune a sarcinii de încărcare (t*). Astfel,

dacă t*<<ti , modelul se comportă ca un fluid vâscos.

Integrând relaţia (5.25) , obţinem:

εη

σ ε= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅1 1

dtt

dt

i

(5.30)

Din aceeaşi relaţie, prin rearanjarea termenilor, se obţine următoarea

formă:

σ ηε

ε= ⋅ + ⋅

d

dt ti

1 (5.31)

Pentru t*<< ti , σ ηε

= ⋅d

dt , de unde rezultă că

d

dt

ε ση

= .

In acest caz, intervenind în relaţia (5.30), avem:

ε ε

ησηt

E

i

=⋅

= (5.32)

care reprezintă panta pentru prima porţiune a curbei de fluaj.

Dacă t* >>ti , atunci modelul prezintă o comportare elastică, aparent,

indepen-dentă de timp.

In relaţia (5.31) , pentru t* >>ti , termenul d

dt

ε→ 0 , astfel

încâtσ ηε

= ⋅t

i

.

Cum tE

i=

η, rezultă că σ ε= ⋅E .

In acest caz, viteza de variaţie a deformaţiei este practic egală cu

zero. Fenomenele se desfăşoară ca şi cum deformarea şi revenirea ar avea loc

instantaneu. O deformaţie remanentă se înregistrează doar în cazul în care

timpul de solicitare al probei este de acelaşi ordin de mărime cu timpul de

retardare (de întârziere).

Modelul Maxwell-Thomson (Zener) Acest model pune în evidenţă

proprietăţile elastice instantanee şi elasticitatea întârziată [74]. Se compune

dintr-un resort, înseriat cu un corp Kelvin -Voigt. El este echivalent cu

modelul Poynting-Thomson, iar în literatu-ră se mai întâlneşte sub denumirea

22

de modelul Zener. In figura 5.11 se prezintă schema modelului şi curbele de

fluaj şi relaxare.

La încărcare apare o deformaţie instantanee e , urmată de o deformaţie

elastică întârziată, ε2. Deformaţia totală este dată de suma deformaţiilor

anterioare:

εt =ε1+ε2 (5.33)

Pentru elementul Kelvin-Voigt avem:

σ ηε

ε= ⋅ + ⋅2

2

2 2

d

dtE (5.34)

înlocuind pe ε1 = σ/E1, şi prin separarea termenilor în ε2 din ecuaţia (5.34),

după integrare obţinem:

E E d

dtE

E d

dt

1 2

2

1

2

2

+⋅ + = ⋅ ⋅ +

ησ

ση

εε

(5.35)

Fig. 5.11. Modelul Maxwell - Thomson

a) - modelul mecanic, b) - curba de fluaj, c) - curba de relaxare

Relaţia (5.35) este ecuaţia reologică a modelului Maxwell -

Thompson.

Dacă introducem notaţiile : tr = η2/E2 ; ti = η2/(E1 + E2)

şi KE=E1E2/(E1+E2), atunci ecuaţia se transcrie sub forma:

σσ

εε

+ ⋅ = +

t

d

dtK t

d

dtr E i

(5.36)

La efort constant, σo , ecuaţia (5.36) se simplifică, iar prin integrare la

condiţia iniţială:

ε(t) = σo /E1 pentru t = 0,

se obţine:

23

( ) ( )εσ

σtE E E

eo

o

t ti= + +

− −

1 1 2

1 11 / (5.37)

Relaţia (5.37) descrie ecuaţia de fluaj a modelului Maxwell-Thomson .

Curba de fluaj tinde asimptotic către o dreaptă paralelă cu abscisa, a

cărei ordonată reprezintă deformaţia maximă:

( )ε εσ

σk

t

o

ot

E E E= = + +

→∞lim

1 1 2

1 1 (5.38)

Pentru a obţine ecuaţia de relaxare, se consideră ε=εk=constant, şi se

impune condiţia iniţială : la t = 0, σ=σo , când σ(t) va deveni :

( ) ( )σ ε σ εt K K eE k E k

t tr= ⋅ + − ⋅ − / (5.39)

5.4. MODELE ANALOG-MECANICE SUSCEPTIBILE PENTRU

EVIDENŢIEREA CARACTERISTICILOR REOLOGICE

ALE HÂRTIILOR LA SOLICITAREA DE INTINDERE

Conform opiniei lui Rance, încercările de modelare reologică a

comportării hârtiei la solicitarea de întindere au în vedrere următoarele

particularităţi: [38, 50]

1) Este necesar să fie considerate condiţiile tehnologice ale procesului de

fabricaţie al hârtiei respective;

2) Cercetările reologice asupra hârtiei trebuie să evidenţieze

comportamentul său înainte şi în timpul ruperii, întrucât ruperea reprezintă un

fenomen frecvent în procesul tehnologic;

3) Trebuie specificat că modelarea reologică a hârtiei se referă la aspectul

macroscopic, şi mai puţin la cel al microstucturii.

4) Investigaţiile reologice ale hârtiei trebuie să fie dominant de natură

structurală, nu fenomenologică.

Cele mai frecvente modele utilizate pentru a reproduce comportamentul

reologic al hârtiei, sunt modelele analoge mecanice, primele fiind elaborate

încă din anii ‘40 [38].

24

5.4.1. MODELUL POYNTING-THOMPSON

Modelul reologic Poynting-Thompson cu trei parametri reflectă într-o

anumită măsură, comportarea reologică a hârtiei [38,50].

Acest model este alcătuit dintr-un model Maxwell cuplat în paralel cu

un resort (figura 5.12). In faza iniţială, sub acţiunea sarcinii σo este

următoarea: se deformează doar resorturile. In continuare, se deplasează

toate cele trei elemente ale modelului.

La descărcare, în prima fază are loc scăderea tensiunii din ambele

resorturi, în timp ce pistonul amortizorului îşi continuă cursa descendentă.

Viteza de mişcare a pistonului scade treptat, devenind în cele din urmă

egală cu zero. In această fază rămâne sub tensiune resortul E2, legat în serie

cu pistonul amortizorului.

Când viteza de deplasare a pistonului devine egală cu zero, partea de

model corespunză-toare cuplării în serie E2 -η2 prezintă tensiune doar în

resortul E2. In resortul E1 tensiunile continuă să se relaxeze. Incepe să se

relaxeze parţial şi pistonul amortizorului.

Fig. 5.12. Modelul Poynting-Thompson, unde: B = E1 + E2 ; E = E1 ; n =

η2 /E2

a) - modelul mecanic; b) - curba de fluaj; c) - curba de relaxare

In final se realizează un echilibru stabil între deformaţiile şi tensiunile

elementelor componente ale modelului.

Modelul Poynting - Thompson este descris de următoarea ecuaţie

reologică :

25

( )ση σ

εη ε

+ ∗ = ∗ + ÷2

2

12

2

1 2ΕΕ

ΕΕ Ε

d

dt

d

dt (5.40)

unde : σ - sarcina ce acţionează asupra modelului;

η2

2Ε = trel. - timpul de relaxare;

E1 - modulul static de elasticitate;

(E1 + E2 ) - modulul de elasticitate instantaneu

Ecuaţia de relaxare a modelului este de forma :

σ ε εη

( )t E Eo o

t

= ∗ + ∗ ∗∗

1 2 e-E2

2 (5.41)

Modelul Poynting - Thompson evidenţiază unele din caracteristicile

hârtiei, cum ar fi elasticitatea şi efectele de postacţiune în hârtie, fiind însă

absent fenomenul postactiunii plastice .

5.4.2. MODELUL BÜRGER

Mason, analizând procesul de deformare al hârtiei în timpul solicitării de

întindere, stabileşte că deformaţia totală reprezintă efectul cumulat al

întinderii unor fibre (a), al ruperii fibrelor (b), glisării fibrelor nelegate (c),

precum şi al deplasărilor relative ale fibrelor legate (d). Prima componentă

este echivalentă întinderii elastice, componentele (b) şi (c) deformaţiei

vâscoase, iar ultima componentă (d) - întinderii vâsco - elastice. El propune

un model mecanic cu 4 parametri : modelul "Bürger" (figura 5.13,b); Barthel

şi Kleinert [93] prezintă acest model sub denumirea de modelul lui Rebinder ,

între cele două versiuni, neexistând însă nici o deosebire (figura 5.13,a).

Acest model se obţine prin cuplarea în serie a unui model Maxwell cu

unul de tip Kelvin-Voigt. Prezenţa amortizorului şi a resortului liber, precum

şi cuplarea în paralel a unui resort cu un amortizor, conferă modelului

vâscozitate, elasticitate instantanee şi elasticitate întârziată.

26

Fig. 5.13. a - Modelul Rebinder

b - Modelul Bürger ;

Curbele de fluaj direct şi invers, precum şi curba de relaxare pentru

modelul Burger sunt prezentate în fig.5.14 [43].

Fig. 5.14. Modelul Bürger : a) - curba de fluaj; b) - curba de relaxare

Ecuaţia reologică diferenţială a modelului se stabileşte pe consideraţia

că deformaţia totală constituie suma deformaţiilor unui model Maxwell (ε1) şi

al unuia Kelvin-Voigt (ε2 ).

ε = ε1 +ε2 (5.42)

Derivând în raport cu timpul, se obţine:

dε/dt = dε1 /dt + dε2 /dt (5.43)

şi respectiv,

d2ε/dt2 = d2ε1 /dt2 + d2ε2 /dt

2 (5.44)

Pentru modelul Maxwell :

dε1 /dt = 1/E1 *dσ/dt + σ/η1 (5.45)

Derivând în raport cu timpul, ecuaţia (5.45), ia forma:

d2ε1 /dt2 = 1/E1 *d

2σ/dt2 + 1/η1*dσ/dt (5.46)

Pentru solidul Kelvin - Voigt există relaţia:

σ = E2*ε2 + η2dε2 /dt (5.47)

Derivata acesteia în raport cu timpul este:

dσ/dt = E2*dε2/dt + η2 d2ε2 /dt

2 (5.48)

27

Inlocuind derivata dε1/dt din relatia (5.45) în relaţia (5.43), se calculează

dε2/dt :

dε2/dt = dε/dt - 1/E1*dσ/dt - σ/η1 (5.49)

Prin substituirea derivatei dε2 /dt din expresia (5.46) cu relaţia (5.49),

rezultă :

d2ε2/dt2 = 1/η2 *dσ/dt - E2/η2 *(dε/dt - 1/E1*dσ/dt - σ/η1 ) (5.50)

In sfârşit, după înlocuirea derivatei de ordinul doi a deformaţiei în

raport cu timpul şi rearanjarea termenilor se obţine ecuaţia generală de

stare reologică:

d2 σ/dt2 + A*dσ/dt + B*σ = E1*d2ε /dt2 + E1E2 /η2*dε/dt (5.51)

unde: A = E1/η1 + E2 /η2 + E1/η2 ;

B = E1E2 /(η1η2 )

Ecuaţia (5.51.) se poate scrie într-o formă generalizată, astfel:

&& & && &σ σ σ ε ε+ ∗ + ∗ = ∗ + ∗A B C D (5.52)

unde: C = E1; D = E1E2 /η2

Funcţia de relaxare a modelului Bürger este:

Φ(t) = E1exp(-k/2)*(exp(k/2*t)-1/k(A+k-2E1/η2))sh(k/2*t) (5.53)

unde: k A B= − ∗2 4

In acest model tensiunea scade deci lent, iar după un anumit timp se

anulează .

5.4.3. MODELUL DUBLU MAXWELL

Modelul dublu Maxwell oferă o imagine generală, mai apropiată de

comporta-mentul real al hartiei (figura 5.15). Acest model este constituit din

două modele Maxwell, cuplate în paralel, caracterizate prin parametri diferiţi

[2, 3, 97].

Fig. 5.15.Modelul dublu Maxwell

28

Tensiunea totală care acţionează asupra modelului este egală cu suma

tensiunilor din cele două elemente Maxwell:

σ =σ1 + σ2 (5.54)

Conform ecuaţiei de fluaj a modelului Maxwell, valorile tensiunilor în

cele două ramuri au forma:

σσ

ηε

1 1

1

1= − + ∗

t

d

dt

d

dtrel . (5.55)

σσ

ηε

2 2

2

2= − + ∗

t

d

dt

d

dtrel . (5.56)

In aceste expresii, timpii de relaxare sunt diferiţi în cele două ramuri

ale modelului Maxwell, şi anume:

trel.1=η1/E1 ; trel.2=η2/E2 (5.57)

Inlocuind σ1 si σ2 din ecuaţiile (5.55) şi respectiv (5.56) în relaţia (5.54),

se obţine ecuaţia de stare reologică a modelului dublu Maxwell:

d2σ/dt2 + (trel1+trel.2)dσ/dt + (trel1+trel.2)*σ = (E1+E2)d2ε/dt2 +

(E1trel.2+E2trel.1)dε/dt (5.58)

Sau, scrisă sub forma:

σ σ σ ε ε+ + = +A A B B1 2 1 2& && & (5.59)

unde : AE E1

1

1

2

2

= +η η

; AE E2

1 2

1 2

=∗

∗

η η

B1 1 2= +η η ; BE E

E E2

1 2

1 2

1 2=+

∗∗ ∗η η

Ecuaţia de relaxare a modelului are următoarea formă:

σ ε εη η( ) ( )t E e E eo

Et

o

Et

= − +∗ ∗

1 211

1

2

2 (5.60)

In sfârşit, împărţind relaţia (5.60) la εo , se obţine funcţia de

relaxare:

F t E e E e

Et

Et

( ) = +− ∗ − ∗

1 2

1

1

2

2η η (5.61)

29

Dacă principiul lui Boltzmann este valabil pentru acest model, atunci

pentru o solicitare a modelului în timpul t1, efectele din cele două ramuri

se cumulează.

Funcţie de comportamentul hârtiei solicitate, se disting trei cazuri:

- curbe care ating starea de saturaţie înainte de momentul ruperii (trelaxare < 5

secunde);

- curbe care nu ating starea de saturaţie înaintea ruperii;

- curbe pentru care timpul de relaxare este mai mare de 200 secunde.

5.4.4. MODELUL ÜNGER-PÖETSCHKE

Ünger şi Pöetschke elaborează un model cu şapte parametri, pentru

descrierea comportării reologice a hârtiei. Acest model este adecvat pentru

încărcare, descărcare şi apoi pentru o nouă încărcare a hârtiilor supuse la

întindere (figura 5.16) [43, 94].

Potrivit autorilor, în cazul încărcării cu o sarcină, modelul acţionează în

totalitatea sa, iar la descărcare doar prin componenta Maxwell-Thomson a

modelului integral.

In conformitate cu recomandarea autorilor, încărcarea se face cu o

sarcină de 0,75 din efortul la rupere, iar descărcarea cu o valoare de 0,25

din efortul la rupere [94].

La o nouă încărcare, acţionează componenta Bürger a modelului. Prin

urmare, descrierea comportării hârtiei la încărcare şi descărcare se poate

face numai în anumite condiţii limită, cu ajutorul componentelor modelului

menţionat.

30

Fig. 5.16. Modelul Ünger - Pöetschke

La descărcare s-a remarcat o suprapunere între revenirea deformaţiei

elastice şi revenirea deformaţiei vâsco-elastice, fapt reprezentat în acest

model prin elementul Maxwell-Thomson.

Ecuaţiile ce descriu dependenţa deformaţiilor de efort în cazul modelului

Ünger-Pöetschke sunt de forma:

Ydesc. M-T (t) = ∆σE /FEo + ∆σE /FE1 *(1-exp(-E1 /η1 *t)) =

= ∆σE /F(1/Eo +1/E1) - ∆σE /FE1 *exp(-E1 /η1 *t)

Ydesc. M-T (t) = K1 - K2 exp(-K3*t) (5.62)

Yînc. U-P (t) = Yînc M-T + Yînc.B (5.63)

Yînc. U-P (t) = ∆σE /FEo + ∆σE /FE1 *(1-exp(-E1 /η1 *t)) + ∆σB /FE2 +

+ ∆σB /FE3*(1-exp(η3/E3*t)) ;

Yînc. U-P (t) =∆σE /FE1*(1-exp(-E1 /η1 *t)) + ∆σB /Fη2*t + ∆σE /FEo +

+ ∆σB /FE2 + ∆σB /FE3* exp(-E3/η3*t) =

Yînc. U-P (t) = K2(1-exp(-K3t)) + K4t + K5 + K6exp(-K7t) (5.64)

31

Din expresia constantelor K1 până la K7 se pot determina parametrii

reologici care intră în alcătuirea modelului, adică Ei ; ηi ; trel. ; tret..

Secvenţele de calcul ale parametrilor reologici sunt următoarele

(conform figurii 5.17) [94,133] :

K1 = ∆σE/ F*(1/E2 + 1/E3) (5.65)

K2 = ∆σE/FE1 ⇒ E1 = ∆σE/FK2 (5.66)

K3 = E1/η1 ⇒ η1 = E1/K3 (5.67)

K4 = ∆σB /Fη2 ⇒ η2 = ∆σB /F K4 (5.68)

K6 = ∆σB /FE3 ⇒ E3 = ∆σB /F K6 (5.69)

K7 = E3/η3 ⇒ η3 = E3/ K7 (5.70)

K6 = ∆σE /FEo + ∆σB /F*(1/E2 +1/E3) (5.71)

(K5 - K6 ) ⇒ E2 = ∆σBEo /((K5 - K6 )*FEo-∆σE) (5.72)

Din relaţia [(K5+K4tB)-(K1-K2)] rezultă modulul de elasticitate Eo :

Eo = ∆σE / F [K1- K4tb + K2(∆σB/∆σE* E1/η1*tB - 1)] (5.73)

Modelul care

acţionează

Evoluţia curbei corespunzătoare

Determinarea parametrilor modelului

Determinarea parametrilor din evoluţia curbei de descărcare (evoluţia

curbei de fluaj invers)

y(t)=K1+K2exp(-K3t) K1 → E1 ↓ K3 → E1/η1 → η1

Determinarea parametrilor din evoluţia curbei de încărcare (curba de

fluaj direct)

y(t)=K2(1-exp(-3t))+ +K4t + K5 - -K6 exp.(-K7t) K4 → η2 K6 → E3 → η3 K7 → E3/η3 → η3 (K5+K4t2)-(K1+K2)→ Eo↵

(K5-K6)→1/Eo-1/E2→

E2↵ Fig. 5.17. Determinarea parametrilor reologici din curba de fluaj direct şi

invers

în care:

F - o constantă a modelului (care de obicei se consideră egală cu unitatea);

∆σE - efortul la încărcare,N/mm2;

∆σB - efortul la descărcare,N/mm2.

32

Prin folosirea datelor menţionate mai sus, se obţin termenii:

trel. = 1/K3 ; tret.1. =η1 /E1 ; tret.2 = η3 /E3 (5.74)

Pentru calculul valorilor constantelor k5 şi k6, se apelează la curba

redusă de fluaj, de forma:

Y*(t) = Yînc(t) - Ydesc(t) =K*5+ K4t + K6exp(-K7t) (5.75)

unde: K*5 = ∆σB /F

*(1/E2 + 1/E3) (5.76)

5.4.5. ALTE MODELE PROPUSE IN ACEST SCOP

In paragrafele de mai sus s-au prezentat cele mai semnificative modele

analog-mecanice susceptibile pentru evidenţierea caracteristicilor reologice ale

hârtiilor supuse la solicitarea de întindere.

In literatura de specialitate există însă numeroase alte modele care

încearcă să explice comportamentul reologic al hârtiilor supuse la solicitarea

de întindere.

Astfel, Ivarson şi Steenberg au propus un model reologic cu patru

parametri (figura 5.18).

Fig. 5.18. Modelul mecanic propus de

Ivarson si Steenberg [38]

Aceiaşi autori susţin că pentru viteze mari de deformare, modelul

Darmstadt (fig.5.19) descrie mai corect comportarea reologică a hârtiilor

supuse la întindere [93].

Fig. 5.19. Modelul Darmstadt

33

După Brecht, Gottsching şi Baumgarten [94], o reflectare mai bună a

proprietăţilor reologice ale hârtiei se poate obţine prin cuplarea in serie a

modelului Bürger cu un element St.-Venant (figura 5.20).

Fig. 5.20. Modelul Brecht-

Göttsching-Baumgarten

Badusov [38, 50] propune un model cu cinci parametri, prin care

doreşte să pună în evidenţă deformaţiile ireversibile şi concentraţiile locale de

tensiune din banda de hârtie .

Fig. 5.21. Modelul propus de Badusov

Pentru a descrie anumite proprietăţi reologice ale hârtiilor supuse la

diverse solicitări, în tabelul 5.1 se prezintă o sinteză a componentelor

constituente şi modele analog-mecanice , precum şi ecuaţiile de stare

reologică a acestora [50].

*

* *

34

Deşi aceste modele nu sunt perfecte, ele permit totuşi analiza

comportamentului reologic al hârtiilor, pentru anumite situaţii concrete, şi

prefigurarea evoluţiei în timp a caracteristicilor la variaţia în timp a

efortului sau deformaţiei.

Cunoscându-se aceste caracteristici mecano-reologice, produsele

papetare se pot utiliza în limitele optime, fără a necesita solicitarea acestora la

valorile maxime (de rupere) . Pe de altă parte, având corelaţiile cantitative şi

calitative dintre caracteristicile materialului, precum şi parametrii tehnologici,

se pot realiza produse papetare cu proprietăţi prestabilite, solicitate de anumiţi

beneficiari.

6. DESCRIEREA MODELULUI REOLOGIC CONSIDERAT

PENTRU CALCULUL PARAMETRILOR REOLOGICI

Pentru interpretarea curbei de fluaj s-a apelat la modelul Bürger,

considerat de noi ca fiind mai adecvat pentru descrierea comportamentului

reologic al hârtiilor. Evoluţia comportamentului vâsco-elastic prin intermediul

acestui model poate fi explicată în următoarele secvenţe (figura II.5) [122] :

Fig. II.5. Descrierea comportării vâsco-elastice utilizându-se modelul Bürger

(a) Inaintea solicitării la întindere, materialul şi modelul se află în stare de

echilibru (repaus);

35

(b) In momentul aplicării tensiunii constante σo, aceasta este preluată de către

resortul E1 şi amortizorul η1. Totodată, tensiunea este distribuită, în mod

egal, îi în elementul Kelvin -Voigt.

(c) Ansamblul Kelvin-Voigt , cu cele două elemente dispuse paralel, E2 şi η2,

începe să se extindă lent. Viteza de alungire scade pe măsură ce creşte

partea din tensiunea σo preluată de resortul E2 , până când amortizorul η2

nu mai suportă extinderi suplimentare, iar E2 este complet extins.

(d) Din momentul în care resortul E2 este complet întins, deformaţia începe să

decurgă cu viteză constantă, odată cu extinderea amortizorului η1.

Curgerea vâscoasă continuă, şi amortizorul η1 se extinde până la

îndepărtarea sarcinii σo .

(e) ~n momentul îndepărtării tensiunii, resortul E1 se contractă rapid, revenind

la lungimea sa iniţială.

(f) Datorită legării în paralel a resortului E2 cu amortizorul η2, energia

acumulată în resortul E2 tinde să contracte întreg ansamblul Kelvin-Voigt,

viteza de contracţie fiind controlată de valoarea vâscozităţii η2. Fenomenul

se desfăşoară până la recuperarea completă a deformaţiei elementului η2.

(g) Deoarece asupra amortizorului η1 nu acţionează nici o forţă pentru

recuperarea alungirii sale, el rămâne în stare extinsă, ceea ce corespunde

deformaţiei vâscoase remanente.

Ecuaţia de fluaj pentru acest model este :

YE E

tE

eB

o o o t ti= + + − −σ σ σ

1 2 2

1* * ( )/ (II.1)

Evaluarea cantitativă a parametrilor E1; E2; η1; η2 , respectiv ti,

precum şi a componentelor deformaţiilor εe ; εve ; εp , se poate realiza

pe cale grafică [133].

Considerând expresia din relatia (II.1) în care YB reprezintă deformaţia

totală, şi separând termenii în t, obţinem

YE E

tE

eB

o o o o t tret= + + − −σ σ ση

σ

1 2 1 2

* * / . (II.2)

unde t = t ret. = η2 / E2 , denumit timp de retardare.

Notând termenul liber şi coeficienţii ecuaţiei funcţie de timp, cu

constante Ki , ecuaţia (II.2) devine:

ΥB = k 1 + k 2*t - k 3*eK t-4* (II.3)

36

unde:

k 1 = σo * ( l / E1 + l / E2 ) (II.4)

k 2 = σo / η1 (II.5)

k 3 = σo / E2 (II.6)

k 4 = E2 / η2 (II.7)

Metoda de calcul grafic a parametrilor reologici este redată în figura

II.5.

Odată stabilite constantele geometrice, se pot determina parametrii

reologici ai modelului, sistematica de calcul fiind menţionată în schema

următoare:

k 1 k 2 η1 E1 k 3 E2

k 4 η2

Fig. II.5. Calculul geometric al principalelor elemente

de calcul pentru modelul Bürger

Pentru deformaţiile înregistrate la un moment dat, funcţie de solicitarea

constantă σo , se pot scrie următoarele ecuaţii pentru:

- deformaţia elastică instantanee: εe.i. (t) = σo / E1 = εo (II.8)

- deformaţia vâsco-elastică: εv.e. (t) = σo / E2* ( l - e-t/ tret.) = k 3*(1 4--e

K t* )

(II.9)

37

- deformaţia vâscoasă (remanentă): εv (t) = σo / η1* t = k 2 * t (II.10)

- deformaţia totală avem:εT ( t ) = εe.i. (t) + εv.e. (t) + εv. (t) (II.11)

Tabelul II.1. Valorile timp - deformaţie experimentale şi calculate pentru o

hârtie de ambalaj din celuloză kraft (70 g/m2) solicitată la un efort unitar de

31 N/mm2

Timp, sec ε exp., mm εcalc., mm

1,1 0,9128 1,025269 1,2 1 1,026283 1,3 1,0319 1,027292 1,4 1,0466 1,028297 1,7 1,06066 1,031283 3 1,0741 1,043753

4,6 1,0872 1,058107 6,2 1,1 1,071441 8,5 1,1114 1,088966 11,3 1,1233 1,107952 15,6 1,13599 1,132775 20,9 1,15 1,157423 26,1 1,1667 1,176552 34,1 1,18389 1,198669 44,3 1,2 1,217925 55,7 1,2121 1,231978 69,4 1,2227 1,242855 88,3 1,2328 1,252387 104,7 1,2432 1,258268 135,7 1,255 1,267166 159,8 1,2694 1,273409 175,2 1,284 1,277305 212 1,3 1,286519

244,6 1,3136 1,29465 283,3 1,3261 1,304295 325,6 1,3381 1,314836 376,2 1,35 1,327445 446,9 1,3625 1,345063 507,8 1,3751 1,360239 574,7 1,3877 1,376909 661,2 1,4 1,398464 792,4 1,4108 1,431158 880,8 1,4214 1,453187

E1 = 3,06.103 MPa

E2 = 14,26.103 MPa

η1 = 12,46.106 MPa.s

η2 = 29,75.104 MPa.s

38

Proba 2.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 200 400 600 800 1000

timp, sec

def.

,m

m

defc.,mm

def.,mm

def=1.2337+2.4919e-4*t-0.2119exp(-0.0475*t) r2 =0,95

Fig. II.6. Curbele deformaţie - timp experimentale şi calculate pentru o hârtie de ambalaj din

celuloza kraft (70 g/m2) solicitată la un efort unitar de 31 N/mm2

Def.calc., mm

Def.inreg., mm