7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

1/49

1

1 Lucrul mecanic i energia. Conservarea energiei.

Prin definiie, lucrul mecanic elementar efectuat de o for F

cnd punctul de aplicaie al

acestei fore se deplaseaz cu distana rd

, este egal cu produsul scalar dintre F

i rd

:

cosFdrrdFdW

(1.28)

unde este unghiul dintre vectorul for i vectorul deplasare (Fig. 1.5).Dac se ine seama de relaia (1.26), lucrul mecanic se mai poate scrie astfel:

vdvmdtvvmdtrrmdtdt

rdrmrdrmdW

........

(1.29)

Rezult c lucrul mecanic se mai poate scrie i astfel:

2mv2

1dvdvmdW

(1.30)

Mrimea din parantez din relaia (1.30) se numete energia cinetic a corpului de mas m:

2

mv

E

2

c (1.31)Cu aceast notaie, relaia (1.30) devine:

cdEdW (1.32)care reprezint legea variaiei energiei cinetice sub form local.

F ig. 1.5.Aciunea unei forei asupra punctului material.

Prin integrarea relaiei (1.32) ntre dou puncte definite de vectorii de poziie 1r

i 2r

, se

obine:

2c2c

r

r

EErdFW2

1

(1.33)

adic variaia energiei cinetice n direcia deplasrii este egal cu lucrul mecanic efectuat ndecursul acestei deplasri de ctre fora care acioneaz asupra corpului.

n cazul n care asupra corpului nu acioneaz nici o for sau fora este orientat normal lavectorul deplasare, lucrul mecanic este nul i conform relaiei (1.33) energia cinetic a corpului seconserv.

Forma de existen a materiei care se manifest prin aciunea corpurilor constituie un cmpde fore. Exist cmpuri de fore numite conservative, de exemplu cmpul gravitaional sau cmpulelectrostatic, pentru care, lucrul mecanic efectuat de forele cmpului asupra corpurilor nu depindede traiectoria sau viteza corpului, ci numai de poziiile iniial i final (Fig. 1.6):

21 CC

rdFrdFW

(1.34)

Pentru aceste cmpuri lucrul mecanic efectuat de forele conservative pe o traiectorie nchiseste nul. ntr-adevr, conform figurii 1.6 i avnd n vedere relaia (34), se obine:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

2/49

2

1 2

'21

C CCCC

0rdFrdFrdFrdFrdFW

(1.35)

Folosind teorema lui Stokes, relaia (35) se poate scrie i sub forma:

0SdFrdFC S

(1.36)

unde S este o suprafa arbitrar mrginit de curba (C). Suprafaa S fiind arbitrar, rezult:0F

(1.37)

F ig. 1.6.Traiectorii diferite n cmp conservativ de fore.

Relaia (1.37) indic posibilitatea definirii unei funcii )z,y,x(E)r(E pp

, astfel nct fora

F

s derive din gradientul acestei funcii:

k

z

Ej

y

Ei

x

EEF

pppp

(1.38)

Deoarece rotorul unui gradient este ntotdeauna nul, expresia (1.38) satisface condiia (1.36)0)E( p (1.39)

Funcia )r(Ep

astfel definit se numete energia potenial a punctului material de vector de

poziie r .Lucrul mecanic al forelor conservative poate fi scris acum i sub forma urmtoare:

rdErdFdW p

(1.40)

Deoarece membrul drept al relaiei (1.40) se poate scrie sub forma:

pppp

p dEdzz

Edy

y

Edx

x

ErdE

(1.41)

relaia (1.40) devine:

pdEdW (1.42)

Lucrul mecanic total efectuat de fora conservativ F

ntre dou puncte A i B se obine prinintegrarea relaiei (1.42) ntre aceste puncte:

ppBpA

B

A

B

A

p EEEdErdFW

(1.43)

Fixnd valoarea energiei poteniale Ep ntr-un punct, de exemplu n A, se poate definienergia potenial ntr-un punct oarecare B de vector de poziie r

:

r

A

pAp rdFE)r(E

(1.44)

n multe cazuri punctul A se alege la infinit, unde se consider prin convenie, energia

potenial EpAnul. Rezult atunci c energia potenial ntr-un punct oarecare va fi dat de relaia:)r(WrdF)r(E

r

p

(1.45)

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

3/49

3

Deci, energia potenial a punctului material ntr-un punct de vector de poziie r

este egalcu lucrul mecanic efectuat de fora F

, luat cu semn schimbat, cnd punctul material este deplasat

din punctul de referin n punctul respectiv.n cazul forelor conservative, prin compararea relaiilor (1.32) i (1.42) se obine:

pc dEdEdW (1.46)

sau

0)EE(d pc (1.47)

adic energia total este constant:.constEE pc (1.48)

Relaia (1.48) reprezint legea conservrii energiei mecanice, care arat c atunci cndasupra unui punct material acioneaz numai fore conservative, suma dintre energia cinetic ienergia potenial rmne constant. De asemenea din relaia (1.48) se poate observa c n cursuldeplasrii punctului material ntr-un cmp de fore conservativ are loc o transformare reciproc aenergiei cinetice n energie potenial, dar suma lor rmnnd constant n orice moment.

2. Micarea oscilatorie amortizat

n cazul micrii oscilatorii armonice libere s-a presupus c influena mediului exterior esteneglijabil.

n realitate ns, orice mediu opune o rezisten micrii oscilatorii, astfel c n generaloscilaiile sunt amortizate. Pentru o mare clas de fenomene fizice, se poate considera c fora derezisten (de frnare) este proporional, n modul, cu viteza corpului:

xrrvFf (1.81)unde r este coeficientul de rezisten, strict pozitiv.

n aceste condiii, pelng fora elastic apare i fora de frecare care se opune deplasrii i

astfel ecuaia diferenial care descrie micarea oscilatorului va fi (Fig. 1.10):xrkxxm (1.82)

sau

0kxxrxm (1.83)n care notnd cu:

m

k20 (1.84)

pulsaia proprie a oscilatorului i cu

m2

r (1.85)

factorul de amortizare, se obine urmtoarea ecuaie diferenial de ordinul doi, omogen i cucoeficieni constani:

0xx2x 20 (1.86)

Fig.1.10.Oscilatorul liniar amortizat.

Ecuaia caracteristic a ecuaiei difereniale (1.86) va fi:

02 202 (1.87)

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

4/49

4

care are urmtoarele soluii:20

21 i

20

22 (1.88)

Mai departe se noteaz cu:22

0 (1.89)

numit pseudo-pulsaia sau pulsaia micrii oscilatorii amortizate.Se pot distinge trei cazuri:

1) 0 sau mk2r , caz n care frecarea din partea mediului este foarte mare. n acest

caz soluiile ecuaiei caracteristice 1i 2, date de relaiile (1.88), sunt mrimi pozitive i conduc lasoluii reale pentru elongaia x:

t)(

2

t)(

1

20

220

2

eCeCx (1.90)

Din relaia (1.90) se observ c micarea const n descreterea deformaiei iniiale, caretinde asimptotic ctre poziia de echilibru (fr oscilaii) atunci cnd t, aa cum se observ dinFig. 1.11a curba (1). Acest tip de micare se numete micare amortizat aperiodic.

2) 0 sau mk2r . n acest caz soluiile ecuaiei caracteristice sunt reale i

confundate: 1=2=-. Ecuaia de micare a oscilatorului n acest caz va fi:t

21 e)tCC(x (1.91)

Acest caz este un caz particular al micrii aperiodice, numit micareamortizat aperiodic critic.Elongaia iniial a oscilatorului tinde i n acest caz la zero tot fr oscilaii, cnd t(Fig. 1.11acurba 2).

3) 0 sau mk2r , caz n care frecarea din partea mediului este foarte mic. Soluiile(1.88) ale ecuaiei caracteristice sunt complexe:

i1 i i2 (1.92)iar ecuaia general a ecuaiei de micare va fi:

)eCeC(ex ti

2

ti

1

t

(1.93)Termenul din paranteza relaiei (1.93) este de aceeai form cu cel din relaia (1.64) iefectund un raionament similar cu cel folosit la oscilatorul liniar armonic se obine soluia deforma:

)t(coseAx 0t

0 (1.94)

unde A0 este amplitudinea iniial i 0 faza iniial, constante care se determin din condiiile

iniiale.Relaia (1.94) arat c micarea este o micare oscilatorie amortizat, pentru care

amplitudinea micrii scade exponenial n timpt

0eA)t(A (1.95)

Perioada micrii oscilatorii amortizate este mai mare dect perioada proprie a micriioscilatorii libere efectuate sub aciunea aceleiai fore elastice, dar n absena forelor de frecare:

0

022

0

2T

2T

(1.96)

Din relaia (1.96) se observ c perioada micrii oscilatorii amortizate tinde asimptoticctre infinit pe msur ce tinde spre 0, deci atunci cnd micarea tinde spre o micare aperiodiccritic.

Variaia elongaiei micrii oscilatorii amortizate n funcie de timp este prezentat n Fig.1.11 b. Curba continu reprezint relaia (1.84) iar cele punctate funcia:

t

0eA)t(x

(1.97)

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

5/49

5

Experimental se poate determina factorul de amortizare, , cu ajutorul decrementului

logaritmic, , care reprezint logaritmul natural a dou amplitudini succesive sau a dou elongaiisuccesive, separate n timp de o perioad:

TeA

eAln

A

Aln

)Tt(x

)t(xln

)Tt(0

t0

1n

n

(1.98)

Dac se cunoate amplitudinea iniial A0i amplitudinea dup n oscilaii complexe, An, sepoate obine o alt relaie pentru decrementul logaritmic:

n

A

A

A

A

A

Aln

A

Aln

n

1n

2

1

1

0

n

0 (1.99)

n

0

A

Aln

n

1 (1.100)

a) b)F ig. 1.11.a) Micarea amortizat aperiodic, b) Micarea oscilatorie amortizat.

O alt mrime caracteristic micrii oscilatorii amortizate este i timpul de relaxare, ,definit ca intervalul de timp dup care amplitudinea scade de e ori:

e

)t(A)t(A (1.101)

Din aceast relaie rezult:

1

(1.102)

i se poate constata c raportul:

1T

1

T (1.103)

reprezint numrul de oscilaii complete efectuate de oscilator n intervalul de timp egal cu timpulde relaxare .

3 Ecuaia undei plane monocromatice

n general se poate considera c o und reprezint o perturbaie care se propag n spaiu, dinaproape n aproape, prin intermediul unui cmp. Acest cmp poate fi un cmp de fore elastice, ncazul undelor elastice sau un cmp electromagnetic, n cazul undelor electromagnetice. Mrimea

perturbat este funcie att de poziia punctului n spaiu prin coordonatele x,y,z, ct i de timp,astfel nct poate fi reprezentat printr-o funcie )t,r()t,z,y,x(

, numit funcie de und.

Aceast funcie poate fi att o mrime vectorial, cum ar fi elongaia, intensitatea cmpului electricsau magnetic, ct i o mrime scalar: presiunea unui gaz, diferena de potenial, etc.

Mulimea punctelor din spaiu n care funcia de und are aceeai valoare constant, la unmoment dat, formeaz o suprafa de und.. Dac suprafaa de und este plan i perpendicular pedirecia de propagare a undei, unda se numete und plan. Undele elastice pot fi longitudinale cnd

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

6/49

6

punctele mediului oscileaz de-a lungul direciei de propagare i unde transversale, cnd punctelemediului oscileaz perpendicular pe direcia de propagare.

Considerm o und plan care se propag de-a lungul direciei Ox cu o vitez constant, v,i fr atenuare. Pentru particula din origine, x=0, unde se consider sursa de oscilaie, elongaia vafi )t(f)t,0( , astfel c n orice punct de pe ax, la care va ajunge unda, elongaia )t,x( a

particulei din acest punct va trece prin aceleai valori ca i n origine, dar cu o ntrziere dat de

timpul necesar undei s ajung n punctul respectiv: =x/v.Deci elongaia n punctul x, la momentul t, va trebui s fie aceeai ca n origine, dar la

momentul (t-):

v

xtf

v

xt,0)t,x( (1.121)

Relaia (1.121) reprezint ecuaia undei plane progresive neatenuate care se propag nsensul pozitiv al axei Ox cu viteza v. Dac n unda plan oscilaiile periodice sunt armonice cuanumit pulsaie =2/T, atunci unda este i monocromatic. Funcia de und pentru undele planemonocromatice poate fi exprimat prin funciile trigonometrice cosinus sau sinus. De exemplu, dacse adopt exprimarea prin funcia cosinus, funcia de und va avea expresia:

vx

Tt2cosA

vxtcosA)t,x( (1.122)

unde A se numete amplitudinea undei.Din relaia (1.122) se observ c unda elastic plan este un fenomen periodic n timp, cu

perioada T i spaiu cu perioada spaial, , numit lungime de und. ntr-adevr se pot scrierelaiile:

)t,x(v

x

T

t2cosA

v

x

T

Tt2cosA)Tt,x(

(1.123)

i

)t,x(v

x

T

t

2cosA)t,x(

(1.124)

Din condiia:

2v

(1.125)

rezult expresia lungimii de und:

v

Tvv2

(1.126)

unde =1/T se numete frecvena undei.Din relaia (1.126) se observ c lungimea de und reprezint distana parcurs de und n

timpul unei perioade, sau altfel spus, distana minim dintre dou puncte, de-a lungul direciei depropagare, care oscileaz n faz. Introducnd numrul de und

2k (1.127)

ecuaia undei plane se poate exprima astfel:)kxt(cosA)t,x( (1.128)

Dac unda plan se propag de-a lungul unei direcii oarecare r

, ecuaia undei plane devine:

)rkt(cosA)t,x(

(1.129)

unde nkk

este vectorul de und iar n

este versorul direciei de propagare a undei.Pentru funcia de und se poate folosi i expresia complex:

)rkt(i

eA)t,r(

(1.130)avnd semnificaie fizic partea real a acestei expresii sau partea imaginar dac funcia de und(1.129) se exprim prin funcia sinus.

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

7/49

7

Mrimea )kxt( se numete faza undei plane. Deeoarece suprafaa de und es tedefinit prin condiia )t,x( =const., nseamn c aceast suprafa este determinat de relaia=const. Din aceast condiie rezult c suprafeele de und sunt suprafee de faz constant, caresunt plane normale pe direcia de propagare. Suprafaa de und cea mai naintat n sensul de

propagare a undei se numete front de und.Prin definiie, viteza de propagare a unui punct x de faz constant este denumit vitez de

faz. Din condiia d/dt=0, rezult c viteza de faz este chiarviteza de propagare a undei:

vTkdt

dxvf

(1.131)

Dou puncte de pe direcia de propagare, de coordonate x1i x2sunt n concordan de fazdac fazele undei n aceste puncte difer printr-un numr par de :

n2x

T

t2

x

T

t2 21 , n=0,1,2, (1.132)

adic

2

n2xx 12

(1.133)

Dac fazele undei n cele dou puncte difer printr-un numr impar de , cele dou punctevor oscila n opoziie de faz:

)1n2(x

T

t2

x

T

t2 21 , n=0,1,2, (1.134)

sau

2)1n2(xx 12

(1.135)

Studiul undelor plane monocromatice este important deoarece o und oarecare poate fidescompus n unde plane monocromatice, analog descompunerii unei oscilaii oarecare n oscilaii

armonice sinusoidale.

4. Principiul al doilea al termodinamicii. Entropia

Primul principiu al termodinamicii a introdus funcia de stare energia intern, pentru acaracteriza conservarea energiei n procesele termice, fr ns a impune nici-o limitare n

posibilitatea de transformare a lucrului mecanic n cldur i a cldurii n lucru mecanic.Experimental s-a constatat c afirmaiile de mai sus, ce decurg din primul principiu altermodinamicii, sunt valabile numai n cazul transformrii integrale a lucrului mecanic n cldurdar nu i invers. De exemplu primul principiu nu exclude posibilitate realizrii unui perpetuummobile de spea a doua, adic a unei maini termice monoterme, capabile s transforme n lucru

mecanic, ntr-un proces ciclic, cldura obinut prin rcirea corpurilor nconjurtoare. Tot dinexperien rezult c fr compensaie din exterior, cldura nu se poate transforma integral n lucrumecanic i de aceea n cazul n care un corp primete cldura Q i o transform n lucru mecanic L,ntotdeauna are loc relaia: QL, iar dac lucrul mecanic L este transformat n cldur Q, atunci este

posibil ca L=Q. Rezult c procesele naturale sunt ntotdeauna ireversibile.Din punct de vedere istoric, principiul al doilea al termodinamicii a aprut din studiul

mainilor termice (ciclu Carnot) i a fost fundamentat de ctre R.Clausius si W.Thomson,Formularea lui Clausius a principiului al doilea al termodinamicii: nu este posibil o

transformare care s aib ca rezultat trecerea cldurii de la sine a cldurii de la un corp cu otemperatur dat la un corp cu o temperatur mai ridicat.

Formularea lui Thomson a principiului al doilea al termodinamicii: ntr-o transformareciclic monoterm, sistemul nu poate ceda lucrul mecanic n exterior. Dac transformarea ciclicmonoterm este i ireversibil, atunci sistemul primete lucru mecanic din exterior. Acest principiu

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

8/49

8

se mai enun i astfel: n natur nu este posibil s se construiasc o main termic cu o singursurs de cldur sau cu un singur termostat (monoterm).

Din aceste formulri echivalente ale principiului doi al termodinamicii rezult ctransformrile ciclice reversibile nu pot fi monoterme. Totui exist posibilitatea realizrii unortransformri ciclice reversibile biterme, adic a unei maini termice care schimb cldur cu doutermostate cu temperaturi diferite T1i respectiv T2.

Dac presupunem c T1T2, atunci sistemul primete cldura Q10 de la termostatul cald T1i cedeaz cldura Q20 termostatului rece T2, transformnd n lucru mecanic diferena valorilorabsolute ale acestor cantiti de cldur:

0QQL 21 (3.60)

Randamentul unei maini termice care efectueaz o transformare ciclic biterm va fi:

1Q

Q1

Q

L

1

2

1

(3.61)

S. Carnot n dorina de a mbunti randamentul mainii termice, a realizat o main idealcare s funcioneze dup un ciclu format din dou izoterme i dou adiabate, numit ciclu Carnot(Fig. 3.3). n transformarea izoterm (1-2), maina termic primete cldura Q1de la sursa cald cutemperatura T1, iar n transformarea izoterm (3-4), maina termic cedeaz cldura Q2sursei reciaflat la temperatura T2.

Cantitile de cldur Q1i Q2pot fi calculate astfel:

1

211

V

VlnRTQ (3.62)

4

322

V

VlnRTQ (3.63)

Din legea transformrii adiabatice n coordonate (T,V), relaia (3.55) se pot scrieurmtoarele egaliti:

132

121 VTVT

(3.64)1

421

11 VTVT (3.65)

de unde rezult c:

4

3

1

2

V

V

V

V (3.66)

astfel nct randamentul (3.61) devine:

1T

T1

1

2c (3.67)

Fig. 3.3. Ciclul Carnot.

Relaia (3.67) arat c randamentul ciclului Carnot este independent de natura substanei de

lucru i depinde numai de temperaturile T1i T2ale sursei calde i respectiv ale sursei reci. Pentru aobine un randament egal cu unitatea, conform relaiei (3.67), rezult c ar trebui fie ca T 1, fieca T20K. Cum aceste cazuri nu sunt posibile, rezult c este imposibil s se realizeze o main

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

9/49

9

termic cu randamentul egal cu unitatea. n plus, dac am presupune T1= T2, ar rezulta =0, ceea censeamn c nu se poate obine lucru mecanic folosind o singur surs de cldur. Constatarea crandamentul unei maini termice este ntotdeauna mai mic dect unitatea (1) reprezint, deasemenea, enunul principiului al doilea al termodinamicii.

Dac ciclul Carnot este parcurs n sens invers celui din Fig. 3.3, adic maina termic arprelua cldura Q2de la sursa rece T2i ar ceda sursei calde T1cldura Q1, pe seama unui consum de

lucru mecanic din exterior L=Q1, atunci maina termic funcioneaz ca o main frigorific sauca o pomp de cldur, cu eficiena:

21

2

c

2

TT

T1

1

L

Q

(3.68)

Din relaiile randamentului (3.61) i (3.67) rezult:

1

21

1

21

T

TT

Q

QQ

(3.69)

de unde se poate deduce c:

0

T

Q

T

Q

2

2

1

1 (3.70)

0T

Q

T

Q

2

2

1

1 (3.71)

Mrimea (Q/T) se mai numete cldur redus, astfel nct ntr-un ciclu Carnot reversibil,suma algebric a cldurilor reduse este nul. Relaia (3.71) poate fi extins pentru orice ciclureversibil arbitrar, deoarece un asemenea ciclu poate fi mprit ntr-o infinitate de cicluri Carnotelementare i reversibile pentru care relaia (3.71) este valabil. ntr-adevr, conform Fig. 3.4,deoarece toate adiabatele intermediare vor fi parcurse n ambele sensuri lucrul mecanic total peaceste adiabate se va anula. Izotermele rmase i prima i ultima adiabat, care sunt parcurse doar osingur dat, formeaz la limit o linie frnt nchis, care la limit coincide cu ciclul iniial. Ca

urmare pentru orice ciclu reversibil se poate scrie o relaie de forma (3.71):

0T

Q

i i

irev (3.72)

sau la limit:

0T

dQ

)rev(

(3.73)

numit egalitatea lui Clausiusi exprim n cazul proceselor ciclice cvasistatice reversibile formamatematic a principiului doial termodinamicii.

Mrimea de sub integral din relaia (3.73) se noteaz astfel:

TdQdS (3.74)

n care funcia de stare Seste o diferenial total exact, numit entropie. Conform relaiei (3.74)se observ c n cazul transformrilor adiabatice reversibile, entropia este constant: S=const.,deoarece dQ=0. Transformrile adiabatice se mai numesc deci i transformri izentropice.

n general, din relaia (3.74) se poate calcula numai variaia de entropie, valoarea entropieipropriu-zis fiind definit pn la o constant arbitrar aditiv S0:

0ST

dQS (3.75)

n cazul n care sistemul efectueaz o transformare ciclic ireversibil, cum ar fi cazul uneimaini termice reale care funcioneaz cu pierderi de energie, cednd sursei reci mai mult cldurdect maina termic ideal: 22 Q'Q , randamentul va fi:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

10/49

10

rev1

21

1

21irev

T

TT

Q

'QQ

(3.76)

din care rezult:

0T

'Q

T

Q

2

2

1

1 (3.77)

F ig. 3.4.Ciclul termodinamic reversibil oarecare.

Generaliznd relaia (3.77) ca i n cazul ciclurilor reversibile oarecare, se obine n cazultransformrilor ciclice ireversibile oarecare, relaia:

0T

dQ

)irev(

(3.78)

care se numete inegalitatea lui Clausius.Relaiile (3.73) i (3.78) pot fi comasate ntr-o singur relaie, valabil att pentru procese

ciclice reversibile, ct i pentru procese ciclice ireversibile:

0T

dQ

)(

(3.79)

iar variaia de entropie ntre dou stri (1) i (2), poate fi determinat astfel:

)2(

)1( T

dQS (3.80)

unde semnul = corespunde proceselor reversibile i semnul proceselor ireversibile. Valoarea

mrimii:

)2(

)1( T

dQS , fiind o msur a ireversibilitii procesului respectiv.

Relaia diferenial corespunztoare relaiei integrale (3.80), va fi:dQTdS (3.81)

sau:pdVdUTdS (3.82)

care reprezintformula fundamental a termodinamicii.Pentru un sistem izolat adiabatic, n care sistemul nu schimb cldur cu exteriorul (dQ=0),

din formula fundamental scris numai pentru procesele naturale (ireversibile), rezult c acesteprocese se desfoar n direcia creterii entropiei, adic:

0S (3.83)Aceast ultim afirmaie reprezint nc o formulare a principiuluidoi al termodinamicii.n concluzie se poate afirma c principiul al doilea al termodinamicii stabilete c pentru

orice sistem termodinamic se poate defini o nou funcie univoc de stare, numit entropie, care lasistemele izolate nu se modific n timpul proceselor cvasistatice reversibile (S=0) i care cretespre o valoare maxim n cursul proceselor nestatice ireversibile (procese naturale).

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

11/49

11

5. Distribuia canonic n fizica statistic

Prin stabilirea distribuiei microcanonice a strilor de echilibru ale unui sistem, problemafundamental a fizicii statisticii este complet rezolvat.

Totui, datorit caracterului singular al densitii de probabilitate i a necesitii trecerii lalimit a energiei sistemului, distribuia microcanonic prezint unele dezavantaje n aplicaiile

practice. Chiar din punct de vedere experimental, este foarte dificil de a menine energia unui sistemriguros constant, aa cum necesit aplicarea distribuiei microcanonice. Din aceste motive,sistemele termodinamice se menin n stare de echilibru, nu printr-o izolare complet de exterior, ci

punndu-le n contact cu un termostat.n asemenea condiii, sistemul nchis va avea numrul de particule N, volumul V, i

temperatura T riguros constante, cruia i corespundeo anumit distribuie a punctelor figurativen spaiul fazelor, numit distribuia canonic. Distribuia canonic se refer la ansambluristatistice nchise, adic la sistemele care, meninndu-i temperatura constant, pot schimba energiecu termostatul (dar nu i substan), astfel nct energia lui nu mai are o valoare bine determinat,valoarea energiei putnd fluctua n jurul unei valori foarte probabile.

Pentru a determina densitatea de probabilitate (p,q) din cazul distribuiei canonice, seconsider un sistem (1) aflat n stare de echilibru n contact termic cu un termostat (2) (Fig. 4.4.).

F ig. 4.4. Sistemul termodinamic (1) n contact termic cu termostatul (2)

n distribuia canonic.

Termostatul are n orice moment o energie perfect determinat, deoarece ntre acesta imediul exterior nu exist schimb de energie. Astfel, termostatului i va corespunde o distribuiemicrocanonic.

Se noteaz cu p1i q1, respectiv p2i q2, variabilele canonice ale sistemului (1) i respectivale termostatului (2).

Deoarece sistemul i termostatul formeaz mpreun un sistem izolat , energia acestuiansamblu poate fi considerat constant E=const.

Densitile de probabilitate ale sistemului, respectiv termostatului, conform relaiei (4.31),vor fi de forma:

)]q,p(H[)q,p( 1111111 (4.75)

)]q,p(H[)q,p( 2222222 (4.76)unde H1i H2sunt funciile lui Hamilton pentru sistem i respectiv termostat.

Energia ansamblului sistem-termostat va fi:

2,121 EEEE (4.77)

unde E1,2este energia de interaciune dintre sistem i termostat. n cazul unui sistem termodinamicaflat n echilibru cu un termostat energia de interaciune E1,2este ntotdeauna mult mai mic dectenergiile E1 i E2, astfel nct poate fi neglijat. Aceasta deoarece energiile E1 i E2 sunt

proporionale cu numrul de particule din volumele V1i V2pe care le ocup sistemul i respectivtermostatul, iar E1,2este proporional cu numrul de particule de pe suprafaa de separaie dintresistemul (1) i termostatul (2). n aceste condiii, relaia (4.77) devine:

.constEEE 21 Dei energia total E rmne contant n timp, energiile E1 i E2pot varia n timp.Fluctuaiile energiilor E1 i E2 trebuie, deci, s aib loc astfel nct energia total a ansamblului

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

12/49

12

sistem-termostat s nu varieze, iar mrimea variaiilor energiilor E1i E2s nu fie sensibile la scarmacroscopic.

Deoarece att termostatului, ct i ansamblului sistem-termostat, le corespund distribuiimicrocanonice, probabilitatea dP1ca un punct figurativ al sistemului (1)s se afle n elementulde volum d1din spaiul fazelor, din jurul punctului (p1,q1), independent de starea n care se afltermostatul, va fi proporional cu densitatea de stri 2(E2) a termostatului, ntruct singura

restricie la care este supus termostatul este ca energia sa s fie E2=E-E1. O microstare fizic asistemului (1) se poate realiza cu o probabilitate proporional cu numrul total de stri aletermostatului (2), datorit interaciunii sistem-termostat.

n aceste condiii, rezult:

12211111

22111

d)E(.constd)q,p(dP

)E(.const)q,p(

(4.78)

Conform formulei lui Boltzmann (4.52), entropia termostatului (2) va fi:

)EE(lnk)EE(S

)E(lnk)E(S

12B12

22B22

(4.79)

de unde rezult densitatea de stri a termostatului: B1212 k/)EE(Sexp)EE( (4.80)Deoarece energia ansamblului sistemtermostat E>>E1, entropia termostatului S2(E-E1), se poatedezvolta n serie Taylor n jurul valorii energiei totale a ansamblului sistem-termostat, E, ineglijnd termenii de ordin superior, se obine:

12

212 EE

S)E(S)EE(S

(4.81)

Deoarece, conform relaiei (3.124) se poate scrie urmtoarea relaie:

T

1

E

S

V

2

(4.82)

iar entropia termostatului devine:

T

E)E(S)EE(S 1212 (4.83)

n aceste condiii, densitatea de stri a termostatului dat de relaia (4.80), va fi:

Tk

E

k

)E(S

12B

1

B

2

ee)EE(

(4.84)Din relaia (4.78) densitatea de probabilitate a sistemului 1(p1,q1), rezult egal cu:

Tk

E

k

)E(S

111B

1

B

2

ee.const)q,p(

(4.85)ntruct primul termen exponenial din relaia (4.85) este o mrime independent de energia

E1, acesta se poate ngloba n constanta de proporionalitate.n aceste condiii, relaia (4.85) poate fi generalizat pentru orice sistem nchis, avndenergia E(p,q), sub forma urmtoare:

Tk

E

BeC)q,p(

(4.86)Constanta de proporionalitate, C, din relaia (4.86) se poate calcula din condiia de normare

(4.9) efectuat pe ntreg spaiul fazelor corespunztor unui sistem termodinamic nchis:

1deC Tk

)q,p(E

B

(4.87)

)V,T(Z

1

de

1C

Tk

)q,p(E

B

(4.88)

unde

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

13/49

13

de)V,T(Z Tk

)q,p(E

B 4.89)

se numete integrala statistic a sistemului pentru distribuia canonic sau funcia de partiie asistemului.

Densitatea de probabilitate canonic este dat de relaia:

de

ee

Z

1)q,p(

Tk

)q,p(E

Tk

)q,p(E

Tk)q,p(E

B

B

B (4.90)

Valoarea mediea unei mrimi fizice oarecare f(p,q), n cazul distribuiei canonice se vacalcula conform expresiei:

de)q,p(fZ

1)q,p(f

Tk

)q,p(E

B (4.91)

Energia medie a unei particule:

de

deEETk

)q,p(E

Tk

)q,p(E

B

B

Pentru un sistem format din N particule identice, care interacioneaz ntre ele, energiasistemului se poate exprima sub forma:

)q,...q,q(Em2

p)q,p(E N321p

N3

1i

2

i

(4.92)

iar integrala statistic Z(V,T), devine:

N3

1i i

Tk

EN3

1i i

Tmk2

p

Tk

)q,p(E

dqedpede)T,V(Zq

B

p

p

N3

1i B

2i

B (4.93)

Prima integral din relaia (4.93), dup impulsuri, reprezint un produs de 3N integrale detip Poisson, de forma:

Tmk2

1unde;dxe

B

2x

(4.94)

adic:

2

N3

B

N3

1ii

p

N3

1i TBmk2

2i

p

)Tmk2(dpe

(4.95)

Integrala a doua din relaia (4.93), dup coordonatele de poziie q i, se numete integral deconfiguraie i este funcie de N, V i T:

N3

1ii

Tk

E

N dqeQq

B

p

(4.96)

Integrala de configuraie QN se poate calcula numai dac se cunoate dependena energieipoteniale Ep(q) de coordonatele de poziie. n asemenea condiii, integrala statistic se exprimprin:

N2

N3

B Q)Tmk2()V,T(Z (4.97)

Integrala statistic estelegat de energie liber a sistemului, F(T,V):

)V,T(ZlnTk)V,T(F B Aceast relaie exprim legtura dintre energia liber a sistemului (parametru macroscopic),

F(T,V), i integrala statistic, Z, care este o caracteristic microscopic a sistemului termodinamic.

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

14/49

14

n asemenea condiii, determinarea proprietilor termodinamice se reduce la calcularea integraleistatistice a sistemului care permite evaluarea energiei libere, precum i a altor parametrii de stare.

Pentru gazul ideal monoatomic, Ep(q)=0,iar integrala de configuraie va fi:

q

NN3

1iiN VdqQ

N2

N3

B V)Tmk2()V,T(Z Mai departe se determin energia liber, cu ajutorul relaiei (4.107):

]V)Tmk2[(lnTNk)V,T(ZlnTk)V,T(F 23

BBB Dar F(T,V)=U-TS

care prin difereniere conduce la:SdTpdVSdTTdS)pdVTdS(SdTTdSdUdF

iar din dependena F=F(T,V)se obine difereniala total:

dTT

FdV

V

FdF

ST

n aceste condiii se obine:

TV

Fp

VT

FS

innd seama de aceste relaii se determin presiunea i entropia gazului ideal monoatomic:

V

TNk

V

Fp B

T

RTTNkpV B

care reprezint ecuaia de stare a gazului ideal.Entropia sistemuluise obine n acest caz egal cu:

T

1TNk

2

3]V)Tmk2[(lnNk

T

FS B

2

3

BB

V

B2

3

BB

V

Nk2

3]V)Tmk2[(lnNk

T

FS

Energia intern, U,se obine din relaia:

TNk2

3TNk

2

3]V)Tmk2[(lnTNk]V)Tmk2[(lnTNkTSFU BB

2

3

BB2

3

BB

RT2

3U

Cldura molar la V=const., va fi:

R2

3

T

U1C

V

V

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

15/49

15

6. Efectul fotoelectric extern

Din teoria lui Max Planck a rezultat c radiaia termic i pot modifica energia lor numaiprintr-o cantitate care este un multiplu ntreg al cuantei de energie =h. Albert Einstein a fostprimul care a semnalat c, n afara legilor radiaiei termice, mai exist i alte fenomeneinexplicabile n cadrul fizicii clasice, dar explicabile pe baza ipotezei de cuantificare. Einstein a

afirmat c nsi radiaia luminoas este constituit din corpusculi, numiifotoni, care se propag cuviteza luminii (c=3108m/s). Fotonul trebuie privit ca o particul care are energie, mas de micarei impuls.

Energia fotonului este:

22

hhE f (5.50)

iar masa de micare a fotonului, conform mecanicii relativiste, va fi:

22

ff

c

h

c

Em

(5.51)

Pe de alt parte, din teoria relativitii rezult c viteza luminii n vid, deci i a fotonului,

este invariant la trecerea de la un referenial la altul. n consecin, fotonul nu posed referenialpropriu, ceea ce este echivalent cu a afirma c nu are mas proprie de repaus, adic, formal, aceastanseamn c m0f=0.

Impulsul fotonului este dat de relaia:

h

c

hcmp ff (5.52)

kp,k2

2

hp ff

(5.53)

unde k

este vectorul de und al fotonului.Prima dovad experimental pentru susinerea existenei fotonului a constituit-o explicarea

legilor efectului fotoelectric.Efectul fotoelectric extern reprezint emisia de electroni de ctre suprafaa metalelor sub

aciunea undelor electromagnetice. Pentru studiul experimental al efectului fotoelectric se poatefolosi un dispozitiv ca cel din Fig. 5.5, care constituie o celul fotoelectric.

Fig.5.5.Dispozitiv experimental pentru studiul efectului fotoelectric extern.

Catodul celulei fotoelectrice este construit din metalul n care se studiaz emisia de electronisub aciunea radiaiei. Celula fotoelectric const dintr-un tub de sticl vidat prevzut cu o fereastrde cuar, pentru a nu fi absorbite radiaiile din domeniul ultraviolet. Sub aciunea radiaiei incidente,catodul emite electroni (numii fotoelectroni), care, datorit tensiunii U aplicate ntre anod i catod,ajung la anod determinnd n circuitul exterior al celulei fotoelectrice un curent electric, numit

curent fotoelectric. La o diferen suficient de mare, toi fotoelectroni emii de catodul iluminat curadiaie monocromatic, ajung la anod. Se obine astfel un curent de saturaie, a crui valoaredepinde de intensitatea radiaiei incidente. Pentru o anumit valoare diferenei de potenial anod -

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

16/49

16

catod, U0, denumitpotenial de blocare (sau de frnare), curentul fotoelectric se anuleaz, ceea cearat c din catod nu iese nici un electron cu energia mai mare dect eU0, unde e=1,610

-19C este

sarcina elementar a electronului.Cercetrile experimentale au condus la urmtoarele legi ale efectului fotoelectric:1) Intensitatea curentului fotoelectric de saturaie, IS, determinat de numrul de electroni

smuli din metal n unitatea de timp, este proporional cu fluxul radiaiei electromagnetice

incidente, , cnd frecvena radiaiei este constant (Fig. 5.6). SIs , unde Seste sensibilitateacelulei fotoelectrice.

Fig.5.6.Caracteristicile curent-tensiune n cazul efectului fotoelectric extern.

2) Energia cinetic maxim a fotoelectronilor crete liniar cu frecvena radiaiei incidente inu depinde de fluxul acesteia;

3) Efectul fotoelectric extern se produce numai pentru radiaii incidente a cror frecveneste mai mare sau cel puin egal cu o valoare minim, 0, numit frecvena de prag (pragul rou),care este o caracteristic a fiecrui metal n parte. Pentru frecvene incidente mai mici dectfrecvena de prag,

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

17/49

17

Legea a II-a rezult direct din relaia lui Einstein (5.54)

ex

2

maxmaxc Lh

2

mvE

Tot din relaia (5.54) se observ c energia cinetic maxim a fotoelectronilor nu depinde denumrul de fotoni incideni, ci este determinat de frecvena fotonilor.

Frecvena de prag 0este determinat de relaia:

ex0 Lh (5.55)adic, fotonul are o energie suficient pentru a scoate electronul din metal, energia cinetic afotoelectronului fiind nul. Dac

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

18/49

18

7. Groapa de potenial unidimensional

Se numetegroap de potenialun anumit domeniu dintr-un cmp de fore n care energiapotenial a particulei are valori mult mai mici dect n regiunea nconjurtoare. Pentru simplitateconsiderm o particul cuantic aflat ntr-o groap de potenial unidimensional sub formdreptunghiular, de lrgime , dispus de-a lungul axei Ox (Fig. 7.1).

Energia potenial a particulei n groapa de potenial este nul, iar n afara ei este U0, adic:

)x(U

)IIIdomeniul(xpentruU

)IIdomeniul(x0pentru0

)Idomeniul(0xpentruU

0

0

(7.36)

F ig. 7.1.Groapa de potenial unidimensional.

n cazul clasic, particula nchis ntr-o astfel de groap de potenial, rmne n aceastgroap avnd orice valoare a spectrului energetic continuu. n cazul cuantic, aa cum vom vedeamai departe, microparticula aflat n groapa de potenial unidimensional, are un spectru discretde energii.

Deoarece ne intereseaz numai strile staionare ale microparticulei n groapa de potenial,vom considera ecuaia staionar a lui Schrdinger (7.14), scris numai pentru coordonata x. Astfeln regiunea II, ecuaia Schrdinger devine:

0)x(Em2

dx

)x(d22

0

2

22

(7.37)

Dac se noteaz cu:

0p

Em2

k2

2

2

02

(7.38)

atunci ecuaia (7.37) devine:

0)x(kdx

)x(d2

2

2

22

(7.39)

Soluia general a acestei ecuaii difereniale este:],0[xpentrueBeA)x( ikx2

ikx22 (7.40)

Pentru E

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

19/49

19

xpentrueBeA)x(x)EU(m2

1

3

x)EU(m21

33

0000

(7.44)

n ambele soluii, coeficienii lui x de la exponeni sunt reali. Cum funciile de und 1 i

3 trebuie s ndeplineasc condiiile standard, adic s fie finite, rezult c B1=0, n regiunea I i

A3=0n regiunea III. n aceste condiii funciile de und care descriu comportarea microparticulei n

regiunile I i III sunt:

0xpentrueA)x(x)EU(m2

1

11

00

(7.45)

xpentrueB)x(x)EU(m2

1

33

00

(7.46)

n cazul gropii de potenial cu perei infinii, pentru care U 0, funciile de und seanuleaz 0)x()x( 31 (particula nu se poate gsi n exteriorul gropii de potenial). Dincondiia de continuitate a funciei de und pe frontier, rezult:

0)0()0( 12 (7.47)0)()( 32 (7.48)

Din condiia de continuitate a funciei de und la x=0(7.40), rezult:22 BA (7.49)

ceea ce nseamn c funcia de und, )x(2 , care descrie comportarea particulei n groapa depotenial (pentru ],0[x ), devine:

kxsinakxsiniA2eeA)x( 2ikxikx22 (7.50)Mai departe avnd n vedere condiia de continuitate (7.48), pentru x , rezult:

0ksina)(2 (7.51)ceea ce pentru a 0 este posibil doar dac:

....3,2,1n,nk (7.52)

adic....3,2,1n,nkn

(7.53)

innd seama de relaia (7.38), energia total a microparticulei n groapa de potenial arevalori discrete (valori proprii), date de relaia:

....3,2,1n,nm2m2

kE 2

2

2

0

2

0

2

n

2

n

(7.54)

iar funciile de und corespunztoare acestor valori ale energie (funciile proprii) sunt:

.....3,2,1n,xn

sina)x( nn

(7.55)

Coeficienii anpot fi determinai din condiia de normare a funciei de und:

1dx)x(

2

0

2

(7.56)

sau

12

adxx

n2cos1

2

adxx

nsina

2

n

0

2

n

0

22

n

(7.57)

de unde rezult:

2a n (7.58)

Funciile proprii atemporale se scriu n final sub forma:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

20/49

20

.....3,2,1n,xn

sin2

)x(n

(7.59)

n Fig. 7.2 sunt reprezentate funciile de und date de relaia (7.59), pentru n=1, 2, 3, 4. Seobserv c aceste reprezentri sunt asemntoare soluiilor coardei vibrante fixate la capete, caz ncare se formeaz unde staionare.

Densitatea de probabilitate este independent de timp i va fi dat de relaia:

.....3,2,1n,xn

sin2

)t,x()t,x()t,x( 2*2

(7.61)

n Fig. 7.3 sunt reprezentate densitile de probabilitate corespunztoare strilorcaracterizate de numerele cuantice n=1, 2, 3, 4. Se observ c strile descrise de funciile de und

)t,x(n sunt stri staionare. Rezult, deci, c probabilitatea de a gsi particula ntr-un punct saualtul din interiorul gropii de potenial nu este aceeai pe toat lrgimea gropii, dar este constant ntimp n fiecare punct al gropii de potenial. De exemplu pentru starea staionar (n=1),

probabilitatea maxim este la mijlocul gropii de potenial, iar probabilitatea de a gsi particula lamarginea gropii de potenial este nul. n cazul clasic o particul macroscopic se poate gsi cu

probabilitate egal n orice punct al gropii.

F ig. 7.2.Reprezentarea grafic a funciilor de und )x(n pentru n=1, 2, 3, 4,n cazul gropii de potenial unidimensionale.

Fig. 7.3.Reprezentarea grafic a densitilor de probabilitate2

n )x(

pentru n=1, 2, 3, 4, n cazul gropii de potenial unidimensionale.

Din relaia (7.54) se observ c energia particulei n groapa de potenial este cuantificat.Starea cu cea mai joas energie se obine pentru n=1i se numete starea fundamental, iar strile

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

21/49

21

corespunztoare numrului cuantic n2se numesc stri excitate. Energia strii fundamentale estedat de relaia:

2

2

0

2

1m2

E

(7.62)

iar a strilor excitate se obin uor din relaia general:

1

2

n EnE (7.63)Efectele cuantificrii energiei se manifest cu att mai puternic asupra distanrii nivelelorcu ct masa m0i mai ales lrgimea gropii de potenial sunt mai mici. Este evident c n cazul

particulelor macroscopice distanele dintre nivelele energetice succesive devin insesizabil de mici ispectrul energetic devine continuu.

8. Modelul gazului electronic n metale

Din punct de vedere cuantic, se consider c unui metal i corespunde o groap depotenial tridimensional, cubic de muchie L, care conine electroni ale cror nivele energetice suntfoarte apropiate ntre ele.

Pentru electronii unui atom liber este satisfcut principiul excluziunii al lui Pauli, conformcruia doi electroni nu pot avea aceleai patru numere cuantice: n, , m , ms. Pentru electronii

aflai n groapa de potenial vor corespunde alte patru numere cuantice care vor satisface principiullui Pauli. Aceste numere cuantice rezult din expresia funcie de und

321 nnn a electronilor din

groapa de potenial tridimensional, dat de expresia :)z()y()x()z,y,x( zyx

L

znsin

L

ynsin

L

xnsin

L

2)z,y,x( 321

2/3

nnn 321 (8.46)

i de valorile proprii ale energie En, date de relaia (7.86):

}0{Zn,n,n;nLm2

nnnLm2

E 3212

20

2223

22

212

0

22

n

(8.47)

Fig. 7.4.Groapa de potenial tridimensional.

Rezult c spectrul energetic al electronilor n metal este discret, iar dac L este foarte mare,nivelele energetice sunt foarte apropiate. Deoarece, diferitele nivele energetice ale electronilor ngroapa de potenial tridimensional a metalului sunt determinate de cele trei numere cuantice n1, n2,i n3 la care se mai adaug i numrul cuantic magnetic de spin ms, atunci se obin cele patrunumere cuantice care caracterizeaz starea electronilor n metale.

n acest caz, pentru fiecare triplet de numere cuantice (n1n2n3) exist o singur funcie deund

321 nnn , dat de relaia (8.46), Valorile energiei En, ns, sunt aceleai pentru toate strile

descrise de numerele cuantice (n1 n2 n3) care satisfac condiia (8.47). Deci, n cazul gropii depotenial sub form cubic, diferite stri ale microparticulei corespund unui singur nivel de energie.

LL

L

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

22/49

22

Astfel de stri se numesc stri degenerate, iar numrul strilor cuantice (funciilor de und)diferite, care au aceeai energie se numete grad de degeneraresauponderea cuantica strii.

De exemplu, pentru cazul n care:

9nnnn 2322

21

2 (8.47b)nivelele energetice au aceeai energie, dat de relaia:

20

22

nm2

9E

iar strile cuantice sunt descrise de trei funcii de und distincte determinate de cele trei combinaiiale numerelor cuantice (n1n2n3), care ndeplinesc condiia (8.47b). Gradul de degenerare n acestcaz fiind egal cu 3.

Cele trei funcii de und sunt date de relaiile:

L

z2sin

L

y2sin

L

xsin

L

2)z,y,x(

2/3

122

L

zsin

L

y2sin

L

x2sin

L

2)z,y,x(

2/3

221

L

z2sin

L

ysin

L

x2sin

L

2)z,y,x(

2/3

212

Nivelele energetice pot fi reprezentate ca puncte n spaiul numerelor cuantice (n1, n2, n3). nacest spaiu, numrul total de stri energetice distincte ale electronilor, cu energia mai mic sauegal cu o anumit limit E, este egal cu numrul de triplei (n1, n2, n3), care satisfac condiia:

223

22

21 nnnn (8.48)

Numrul de stri cu energiaE

Ense determin, dac se interpreteaz tripletul (n1, n2, n3)ca un punct n primul octan al unei sfere de raz R=n, din spaiul numerelor de und (Fig. 8.11). Un

punct cu coordonate ntregi corespunde la o celul cu volumul (n1n2n3) = 1 i, deci, numrul destri energetice, G(E), este egal cu numrul de celule cuprinse n primul octan al sferei de raz n,adic:

6

n

3

n4

8

1)E(G

33

(8.49)

Din relaia (8.47) rezult expresia numrului cuantic n:

2/10 )Em2(

Ln

(8.50)

Fig. 8.11.Determinarea numrului de stri cu energia E En.

Numrul de stri cu energia E En, va avea expresia:2/3

032 )Em2(

6

V)E(G

(8.51)

Densitatea energetic de stri, g(E), adic numrul de stri cu energia cuprins ntr-uninterval energetic unitar, se definete prin relaia:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

23/49

23

2/12/3032

E)m2(4

V

dE

)E(dG)E(g

(8.52)

Deoarece electronii din metal sunt caracterizai i de numrul cuantic magnetic de spin ms,

care poate lua 2s+1 valori (unde2

1s ), un nivel energetic are gradul de degenerare 2s+1, iar

densitatea de stri a electronilor va fi:

2/12/3032

E)m2(4

V)1s2()E(g

(8.53)

Deoarece numrul cuantic de spin, n cazul electronilor este s=1/2, rezult c densitateaenergetic de stri n cazul electronilor din metale este:

2/12/3032

E)m2(2

V)E(g

(8.54)

sau

2/12/303

E)m2(h

V4)E(g (8.55)

Numrul electronilor care au energia cuprins n intervalul de energie E i E+dE , estedat de produsul dintre numrul de stri energetice din intervalul de energie menionat g(E)dE iprobabilitatea de ocupare a acestor stri. Deoarece electronii sunt fermioni, acetia se supunstatisticii Fermi-Dirac (7.172), probabilitatea de ocupare a unei stri energetice este chiar funcia dedistribuie Fermi-Dirac, fFD(E,T). n aceste condiii numrul electronilor care au energia cuprins nintervalul de energie E i E+dE, va fi:

dE)T,E(fg(E))E(dN FD (8.56)Deoarece electronii sunt caracterizai de numrul cuantic magnetic de spin ms, pe fiecare

nivel energetic pot exista cel mult doi electroni cu spinii antiparaleli. Rezult c la T0 K,electronii vor ocupa toate nivelele energetice pn la o anumit valoare, EF, numit energia Fermi(Fig. 8.12 a). La zero absolut cei N electroni din metal vor ocupa N/2 nivele de energie, iar funcia

Fermi-Dirac (7.172), trebuie s satisfac condiiile:

F

FFD

EEdac0

EEdac1)T,E(f (8.57)

Aceste condiii sunt satisfcute dac potenialul chimic, (0), la T=0 K, reprezint energiaFermi, EF, adic:

1e

1)T,E(f

Tk

EEFD

B

F

(8.58)

La temperaturi mai mari ca zero absolut (T0 K), o parte din electronii care au energie

apropiat de energia Fermi pot ctiga energie termic i sar pe nivele energetice superioare EEF(Fig. 8.12 b).

a) b)

Fig. 8.12. Electronii n groapa de potenial: a) T=0 K, b) T0 K.

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

24/49

24

Limita pn la care pot fi ocupate strile superioare nivelului Fermi este dat de mrimeaenergiei termice kBT. n mod corespunztor, o parte din nivelelesituate sub limita nivelului Fermi,

pn la (EF- kBT), vor fi depopulate, astfel c pe un interval de energie 2 kBT, n jurul niveluluiFermi, va exista n medie cte un electron pe fiecare nivel. La temperaturi foarte mari electronii potchiar prsi groapa de potenial, adic pot prsi metalul respectiv.

Dependena de energie a funciei Fermi-Dirac fFD(E,T) la T=0K i T0 K este reprezentat

n Fig.8.13. Din Fig. 8. 13 se observ c pentru T0 K apar electroni cu energie peste nivelul Fermi.De asemenea, se observ c probabilitatea de ocupare a nivelului Fermi la orice temperatur T0 Keste 1/2.

F ig. 8.13.Funcia de distribuie Fermi-Dirac.

De exemplu, pentru a determina energia nivelului Fermi EF n funcie de concentraia n0aelectronilor liberi din metale trebuie s se calculeze numrul de electroni cu energia cuprins ntre Ei E+dE. Acest numr de electroni este dat de relaia (8.56), unde se ine seama de relaia (8.55),

pentru g(E) i de relaia (8.57)pentru funcia Fermi-Dirac, fED(E,T)=1, la T=0 K, adic:

dEEm2h

V4dN 2/1

2/303

(8.59)

Prin integrarea relaiei (8.59) ntre zero i EF, i apoi raportnd la volumul total al metaluluiV, se obine concentraia electronilor:

2/3F2/3

02

E

0

2/12/3030

Em2h3

8dEEm2

h

4

V

Nn

F

(8.60)

de unde rezult energia Fermi n metale la T=0 K:3/2

0

0

2

F

n3

m8

hE

(8.61)

Din relaia (8.61) sau (8.61) se observ c energia Fermi este funcie numai de concentraian0a electronilor i cum pentru metale ea este n jur de 10

28 - 1029 electroni/m3, rezult o energie

Fermi cuprins n intervalul 1-10 eV i o temperatur Fermi, TF=EF/kBcuprins ntre 10

4

K i 10

5

K, care este aproximativ cu dou, trei ordine de mrime peste temperatura de topire a metalelor.Exemplu de calcul, pentru electronul de mas m0=9,1 10

-31 kg i o concentraie deaproximativ n0=10

29electroni/m3, se obine:

eV87,7106,1

1103

101,98

10626.6E

19

3/229

31

682

F

K1012,91038,1

106,187,7

k

ET 4

23

19

B

FF

n calcule s-a utilizat valorile constantei lui Planck: h=6,626 10-34 J/K i a constantei lui

Boltzmann: kB=1,38 10-23

kg.

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

25/49

25

9. Concentraiile purttorilor de sarcin n semiconductorii intrinseci

Structura de tip diamant n care cristalizeaz Si i Ge, poate fi reprezentat printr-un modelbidimensional, numit modelul legturilor de valen (Fig. 9.3) care ilustreaz corect principaleleproprieti ale acestui tip de structur. Aa cum s-a artat n capitolul VI, configuraia electronic a

atomului de Si (Z=14), este: 22622 p3s3p2s2s1 . Cercurile din Fig. 9.3, avnd nscrise simbolul Si,

indic miezurile ionice, inerte i pozitive, compuse din nucleu i electronii periferici de pe orbiteleinterioare, cu excepia celor 4 electroni de valen. Ultima subptur electronic (3p 2) a unui atomde Si este incomplet, de pe ea lipsind 4 electroni.

Legtura covalent se realizeaz printr-o pereche de electroni pui n comun ntre atomiivecini, fr a fi transferai de la unul la cellalt i ocupnd dou orbitale stabile, cte unul pentrufiecare atom. Cei doi electroni au spinii antiparaleli. Fiecare atom, datorit legturii co valente, aren reeaua cristalin 8 electroni periferici, devenind n acest mod o structur stabil, similar cu ceaa gazelor nobile. Aceti electroni periferici leag miezurile ionice prin atracie columbian,asigurnd coeziunea cristalului semiconductor.

La temperaturi sczute, apropiate de zero absolut, materialele semiconductoare se comport

ca nite izolatori, toi electronii de valen din structura cristalin a semiconductorului particip laformarea legturilor covalente, neexistnd electroni liberi care s asigure conducia electric.Legturile covalente pot fi rupte dac fiecare electron primete din exterior o energie mai

mare sau egal cu energia de legtur a electronului n atom (1,10 eV pentru Si). Electronii careprimesc energie egal cu energia de legtur, devin liberi, putndu-se deplasa n cristal n modsimilar cu electronii liberi din metale. Aceti electroni se numesc electroni de conducie,concentraia acestora depinznd puternic de temperatur. Un numr egal de legturi covalente vorrmne nesatisfcute, determinnd apariia unor regiuni de sarcin pozitiv, denumite goluri. Areloc astfel un proces de generare de perechi electron-gol. Astfel, concentraia electronilor deconducie nva fi egal cu cea golurilor,p. Dac generarea perechilor electron-gol este datorat uneiradiaii luminoase, fenomenul se numete generare optic iar dac generarea se datoreaz unei

surse de cldur, se numetegenerare termic.La conducia electric a semiconductorului particip deopotriv att electronii ct i golurile.Deplasarea golurilor este ns mai complex, deoarece, ea este determinat de electronii de valenai semiconductorului. Astfel, o legtur covalent rupt poate fi refcut prin deplasarea unuielectron de valen de la un atom vecin. La rndul ei, aceast nou legtur rupt, prin plecareaelectronului de valen, poate fi ocupat de un alt electron de la un alt atom vecin i aa mai departe(Fig. 9.4).

Fig. 9.3.Modelul legturilor de Fig. 9.4.Generarea unei perechivalen pentru Si. electron-gol n semiconductorul intrinsec de Si

Deplasarea golului este independent de micarea electronilor de conducie. Micarea

electronilor de conducie i a golurilor se datoreaz agitaiei termice haotice, dar sub aciunea unuicmp electric poate cpta un caracter dirijat. Electronul se deplaseaz n sens opus cmpului

electric, fiind o particul cu sarcina negativ qn=-e i mas efectiv

nm , iar golul se deplaseaz n

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

26/49

26

sens opus cmpului electric, ca i cum ar fi o particul pozitiv cu sarcina pozitiv qp=+e i cu o

mas efectiv pm . Masele efectivenm i

pm ale electronului i respectiv golului, include efectul

cmpului electric periodic al cristalului semiconductor, cei doi purttori de sarcin fiind supui doarforelor externe, macroscopice. Electronul de conducie i golul sunt particule fictive care au sensdoar n interiorul semiconductorului. Procesul invers, n care legtura covalent se reface prinrevenirea unui electron liber se numete recombinareapurttorilor de sarcin.

Concentraia electronilorPentru calcularea concentraiei purttorilor de sarcin n semiconductorii intrinseci, aflai la

echilibru termodinamic, la o temperatur T 0 K, trebuie s se in seama att de concentraiaelectronilor din banda de conducie ct i de concentraia golurilor din banda de valen. Deoareceambele tipuri de purttori sunt fermioni, att electroni ct i golurile se vor supune legii dedistribuie Fermi-Dirac (8.58).

Numrul de electroni din unitatea de volum din banda de valen, cu energia cuprins ntre Ei E+dE, va fi egal cu produsul dintre densitatea de stri pe unitatea de volum, gn(E), probabilitateade ocupare a unui anumit nivel, fn(E,T), i intervalul energetic dE:

dEf)E(gdn nn0 (9.5)

n cazul semiconductorilor, expresia densitii de stri permise pe unitatea de volum pentruelectroni, gn(E), se abate de la expresia (8.55) din cazul metalelor, deoarece, n semiconductori, spredeosebire de metale, pe lng benzile de energie permise exist i benzi de energie interzise.Deoarece, majoritatea strilor ocupate de electroni se afl n apropierea limitei inferioare a benzii deconducie, atunci lund ca referin energia Ec, corespunztoare minimului benzii de conducie,densitatea de stri pe unitatea de volum pentru electroni este dat de relaia:

2/1c

2/3*n3n

)EE()m2(h

4)E(g

(9.6)

iar expresia (9.5) devine:

dE

1e

1)EE()m2(

h

4dn

Tk

EE

2/1c

2/3*n30

B

F

(9.7)

Deoarece, concentraia electronilor din banda de conducie este mic comparativ cu cea aatomilor, se poate admite c gazul electronic este nedegerat, pentru care este satisfcutinegalitatea:

TkEE BF (9.8)n aceste condiii n expresia funciei Fermi-Dirac, se poate neglija unitatea n raport cu

exponeniala, funcia Fermi-Dirac putnd fi nlocuit cu funcia de distribuie Boltzmann:

Tk

EE

Tk

EEnB

F

B

F

e

1e

1)T,E(f

(9.9)

Concentraia electronilor poate fi calculat prin integrarea relaiei (9.7) ntre minimul benziide conducie, Eci :

c

B

F

E

Tk

EE

2/1c

2/3*n30

dEe)EE()m2(h

4n (9.10)

Cum energia nivelului Fermi EF=const., se poate scoate n faa integralei i rezult:

c

BB

F

E

Tk

E

2/1c

Tk

E

2/3*n30

dEe)EE(e)m2(h

4n (9.11)

n relaia (9.11) se nmulete i semparte cu expresia TkE

B

c

e

i se obine:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

27/49

27

c

B

c

B

cF

E

Tk

EE

2/1c

Tk

EE

2/3*n30

dEe)EE(e)m2(h

4n (9.12)

Se face schimbarea de variabil sub integral:

Tk

dEdx;

Tk

EEx

BB

c

(9.13)

i rezult:

0

x2/1Tk

EE

2/3B

*n30

dxexe)Tkm2(h

4n B

cF

(9.14)

Integrala din relaia (9.14) este o integral de tip Euler:

0

x1rdxex)r(

)r(rdxexrdxexrexdx)e(xdxex)1r(0

x1r

0

x1rxr

00

'xr

0

xr

2)

2

1(2

1)12

1( , unde )

2

1(

n aceste condiii integrala din relaia (9.14) va fi egal cu:

2dxex

0

x2/1

(9.15)

i relaia (9.14), devine:

Tk

EE

cTk

EE

2/3B

*n30

B

Fc

B

Fc

eNe)Tkm2(h

2n

(9.16)

unde

2/3B

*n3c

)Tkm2(h

2N (9.17)

reprezint densitatea efectiv de stri a electronilor din banda de conducie.La temperatura de 300 K, pentru Si, densitatea de stri este Nc=2,72 10

19 cm

-3 iar pentru Ge,

Nc=1019

cm-3

.

Concentraia golurilorPentru a determina concentraia golurilor din banda de valen, la echilibru termic, trebuie

menionat c acestea apar pe seama trecerii electronilor din banda de valen n banda de conducie.n aceste condiii funcia de distribuie Fermi-Dirac pentru goluri i pentru electroni trebuie ssatisfac relaia:

1ff pn (9.18)deoarece o stare energetic poate fi ocupat fie de un electron fie de un gol.Din relaia (9.18) rezult:

1e

1

1e

11)T,E(f

Tk

EE

Tk

EEp

B

F

B

F

(9.19)

care se poate aproxima n condiiile gazului nedegenerat cu funcia Boltzmann:

Tk

EE

Tk

EEpB

F

B

F

e

e

1)T,E(f

(9.20)

Deoarece majoritatea strilor ocupate de goluri sunt situate n apropierea limitei superioare abenzii de valen (de unde au plecat electronii n banda de conducie), densitatea de stri pe unitateade volum pentru goluri este:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

28/49

28

2/1v

2/3*p3p )EE()m2(

h

4)E(g

(9.21)

Concentraia golurilor din BV, avnd energia cuprins ntr-un interval E i E+dE va fi datde relaia:

dEf)E(gdp pp0 (9.22)

dEe)EE()m2(h

4dp TkEE

2/1v

2/3*p30

B

F

(9.23)

Pentru calculul concentraiei golurilor din banda de valen, trebuie inut seama c pentrugoluri creterea energie nseamn deprtarea de limita superioar a benzii de valen, Ev. Ca urmarerelaia (9.23) trebuie integrat ntre - i Ev. Se obine astfel relaia integral:

V

B

FETk

EE

2/1v

2/3*p30

dEe)EE()m2(h

4p (9.24)

V

BB

F ETk

E

2/1v

Tk

E

2/3*p30

dEe)EE(e)m2(h

4p (9.25)

Dup nmulirea i mprirea relaiei (9.25) cu TkE

B

v

e

, se obine:

V

B

v

B

Fv ETk

EE

2/1v

Tk

EE

2/3*p30

dEe)EE(e)m2(h

4p (9.26)

Fcnd schimbarea de variabil:

Tk

dEdx;

Tk

EEx

BB

v

(9.27)

se obine:

0

x2/1Tk

EE

2/3B

*p30

dxexe)Tkm2(h4p B

Fv

(9.28)

Dup nlocuirea integralei cu expresia (9.15), relaia (9.28) se obine:

Tk

EE

vTk

EE

2/3B

*p30

B

vF

B

vF

eNe)Tkm2(h

2p

(9.29)

unde

2/3B

*p3v

)Tkm2(h

2N (9.30)

reprezintdensitatea efectiv a strilor energetice pentru golurile din banda de valen. La

temperatura de 300 K, pentru Si, densitatea de stri pentru goluri este Nv=1019

cm-3

iar pentru Ge,Nv=6 10

19cm-3.

10. Semiconductori extrinseci de tip n

Introducerea anumitor impuriti ntr-o proporie foarte redus, modific considerabilproprietile electrice ale cristalului semiconductor. Impurificarea controlat a semiconductorilor senumete dotaresau dopare. n general concentraia impuritilor este de un atom de impuritate la105-106atomi ai semiconductorului de baz.

n funcie de natura atomilor de impuritate i de structura reelei semiconductorului de baz,aceti atomi pot fi donori de electroni sau acceptori de electroni. Ca impuriti donoare se folosescelementele pentavalente (P, As, Sb, Bi) iar ca impuriti acceptoare se folosesc elemente trivalente(B, Al, Ga, In). Introducerea atomilor de impuritate n reeaua cristalin a siliciului sau a

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

29/49

29

germanului, n proporie redus nu modific structura cristalin i proprietile chimice i mecaniceale semiconductorului.

Semiconductorul cu impuriti donoare, n care concentraia de electroni n este mai maredect cea a golurilor, p, se numetesemiconductor extrinsec de tip n. Modelul legturilor de valena semiconductorului extrinsec de tip n, n care s-a considerat doparea semiconductorului cu atomide As, este prezentat n Fig. 9.5a. Patru electroni de valen ai atomului de As satisfac legturile

covalente cu cei patru atomi vecini de Si. Al cincilea electron de valen al atomului de As, nefiindprins n nici o legtur covalent va fi mai slab legat de atom, putnd deveni electron de conducie.Pentru aceasta este suficient o energie n jur de 0,049 eV la Si i de 0,012 eV la Ge. Chiar latemperaturi foarte reduse, n jur de 10-20 K o mare parte din atomii de impuritate vor fi ionizai,determinnd creterea puternic a concentraiei de electroni. La temperatura camerei, 300 K, practictoi atomii de impuritate vor fi ionizai. n aceste condiii concentraia electronilo r devine mult maimare dect cea a golurilor (np). Impuritile pentavalente se numesc donoare deoarece doneazelectroni pentru conducie. Atomii de impuritate ionizai constituie sarcini imobile n reeauacristalin i nu particip la conducia electric.

F ig. 9.5.Modelul legturilor de valen pentru semiconductorul extrinsec de tip n.

Considerm un semiconductor extrinsec de tip n, aflat la echilibru termodinamic, dopat cu oconcentraie Nd atomi donori (atomi pentavaleni). La temperatura T=0 K, nivelul donor deenergie Ed este complet ocupat cu electroni (Fig. 9.15 a). Aceast observaie permite localizareanivelului Fermi ntre nivelul donor Edi limita inferioar a benzii de conducie Ec.

Datorit energiei de ionizare extrem de mic la temperatura foarte sczute, n jur de 10 -20K, un numr de atomi donori vor fi ionizai (Fig. 9.15 b). n urma acestui proces de ionizare aimpuritilor donoare, electronii vor determina apariia unei concentraii de electroni n banda deconducie mult mai mare dect la semiconductorii intrinseci.

a) b) c)

F ig. 9.15.Generarea termic a purttorilor de sarcin n semiconductorul extrinsecde tip n: a) T=0 K, b) generarea extrinsec, c) generarea intrinsec.

Probabilitatea ca un atom donor s fie ionizat, adic s cedeze un electron, se poatereprezenta printr-o funcie de distribuie similar cu cea pentru golurile din semiconductorulintrinsec(9.19):

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

30/49

30

1e

1)T,E(f

Tk

EED

B

Fnd

(9.45)

unde EFneste nivelul Fermi n semiconductorul de tip n.Concentraia atomilor donori ionizai, pe nivelul donor, va fi:

1e

N

NTk

EE

d

d

B

Fnd

(9.46)

Pentru semiconductorul nedegenerat, la care concentraia impuritilor donoare, Nd, esterelativ mic (1014-1018atomi/cm3)i aflat la temperaturi sczute, relaia (9.46) trece n funcia dedistribuie Boltzmann i devine:

Tk

EE

ddB

Fnd

eNN

(9.47)n acelai timp, concentraia electronilor n banda de conducie va fi dat, conform relaiei

(9.16), de expresia:

Tk

EE

c B

Fnc

eNn

(9.48)La temperaturi sczute, concentraia electronilor din banda de conducie este practic

determinat numai de electronii provenii de pe nivelul donor, adic:

Tk

EE

ddB

Fnd

eNNn

(9.49)sau

Tk

EE

dTk

EE

cB

Fnd

B

Fnc

eNeN

(9.50)de unde rezult expresia nivelului Fermi:

d

cBdc

Fn N

N

ln2

Tk

2

EE

E (9.51)

Concentraia electronilor poate fi calculat acum prin nlocuirea nivelului Fermi EFn nrelaia (9.48). Rezult:

Tk2

EE

dcB

dc

eNNn

(9.52)

sau

Tk2

E

dcB

d

eNNn

(9.53)

n care mrimea Edeste dat de relaia:

Ed=Ec-Ed (9.54)reprezint intervalul energetic dintre banda de conducie i nivelul donor.

Prin nlocuirea lui Ecdin relaia (9.54), relaia (9.51) devine:

d

cBddFn

N

Nln

2

Tk

2

EEE (9.55)

Din relaia (9.55) se observ c la T=0 K, nivelul Fermi extrinsec, EFn, este situat la mijloculdistanei dintre nivelul donor Ed i minimul benzii de conducie Ec (Fig. 9.16). La cretereatemperaturii nivelul Fermi, EFn, ncepe s scad spre nivelul Fermi intrinsec, Ei, situat aproximativla mijlocul benzii interzise a semiconductorului.

Aceast comportare poate fi neleas dac se analizeaz dependena de temperatur a

concentraiei purttorilor de sarcin.ntr-adevr, odat cu creterea temperaturii apare i fenomenul de generare intrinsec apurttorilor (Fig. 9.15 c), care conduce la apariia unei concentraii de goluri n banda de valen i

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

31/49

31

la creterea concentraiei electronilor din banda de conducie. n aceste condiii din relaia deneutralitate a semiconductorului (9.44), se obine:

pNn d (9.56)

iar concentraia golurilor va fi:

n

np

2i (9.57)

Fig. 9.16.Pozitia nivelului Fermi n semiconductorii extrinseci de tip n la T=0 K..

Din relaiile (9.56) i (9.57), rezult ecuaia care permite determinarea concentraieielectronilor de conducie:

2idd n4NN

2

1n

2

(9.58)

ncepnd cu temperaturi situate n jur de T=100 K, toi atomii donori sunt ionizai iarconcentraia intrinsec ni, deci i a golurilor, este mult mai mic dect concentraia electronilor,adic:

idd nNN (9.59)

Din relaia (9.58), rezult concentraia electronilor:.constNn d (9.60)

iar din relaia (9.57), se poate calcula concentraia golurilor:

nN

np

d

2i (9.61)

Relaiile (9.60) i (9.61) sunt valabile ntr-un domeniu de temperaturi cuprins ntre 100 K i

500 K, care se numete domeniul de epuizarea impuritilor.Nivelul Fermi n acest domeniu de temperaturi se obine din relaia (9.48), n care concentraiaelectronilor n banda de conducie este n=Nd:

d

cBcFn

N

NlnTkEE (9.62)

Peste temperaturi mai mari dect 500 K, concentraia electronilor generai intrinsec dinbanda de valen crete apreciabil i devine mult mai mare dect cea datorat ionizrii atomilordonori (niNd), ceea ce va conduce la o cretere corespunztoare a concentraiei de goluri.. Dacnumrul golurilor aprute n banda de valen depete cu mult concentraia donorilor, atuncisemiconductorul se comport ca un semiconductor intrinsec. Din relaiile (9.58) i (9.57) rezult c

electronii i golurile au concentraii egale cu concentraia intrinsec n=p=n i. Nivelul Fermi, n acestcaz, tinde spre nivelul Fermi intrinsec, Ei, fiind determinat de relaia (9.37).

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

32/49

32

Odat cu creterea concentraiei atomilor donori, Nd, nivelul Fermi scade mai lent cucreterea temperaturii spre nivelul Fermi intrinsec. De asemenea, se poate arta c n domeniultemperaturilor joase nivelul Fermi prezint o cretere pn la o valoare maxim, corespunztoareintrrii semiconductorului n domeniul de epuizare.

n majoritatea aplicaiilor practice, concentraia purttorilor de sarcin din semiconductoriiintrinseci corespunde domeniului de epuizare, pentru care concentraia purttorilor este exclusiv

extrinsec i dat de relaia (9.60). n Fig. 9.17 este reprezentat grafic dependena concentraiaelectronilor i golurilor ntr-un semiconductor de tip n, n funcie de temperatur.

Fig. 9.17.Dependena de temperatur a concentraiei purttorilor de sarcinntr-un semiconductor extrinsec de tip n.

11. Cureni de drift n semiconductori

Considerm un semiconductor omogen de tip n, aflat ntr-un cmp electric exterior deintensitate electric E

. Asupra electronilor actioneaza o forta electrica:

EeFn

Sub aciunea acestei forte electronii vor avea o micare uniform accelerat cu o acceleraie:

*n

*n

nn

m

Ee

m

Fa

(10.5)

n prezena cmpului electric, peste micarea de agitaie termic a electronilor, se vasuprapune i o micare dirijat dup direcia cmpului dar n sens opus cmpului, numit micare dedrift. n Fig. 10.2 se prezint traiectoria unuielectron care se mic sub influena agitaiei termice ia cmpului electric.

Fig. 10.2.Micarea de drift a electronului n semiconductori.

Viteza medie suplimentar datorat aciunii cmpului electric, numit vitez de drifti carese suprapune peste viteza termic, este dat de relaia:

EEm

eav

n*n

n

nnn

(10.6)

unde

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

33/49

33

*n

nn

m

e (10.7)

este mobilitatea electronilor i este timpul mediu dintre dou ciocniri succesive.ntr-un semiconductor extrinsec de tip p, purttorii majoritari fiind golurile, acestea se vor

deplasa sub actiunea unei forte:

EeFp

acceleratia va fi:

*p

*p

pn

m

Ee

m

Fa

iar viteza de drift, vp, n sensul cmpului va fi dat de o relaie asemntoare cu relaia (10.6):

EEm

eav p*

p

pppp

(10.8)

unde

*p

p

pm

e

(10.9)

este mobilitatea golurilor.

Mobilitatea purttorilor este reprezint viteza de drift a purttorilor corespunztoare unuicmp electric egal cu unitatea i se msoar n m2/Vs n SI. Mobilitatea purttorilor depinde denatura semiconductorului, de tipul purttorului de sarcin, de temperatur i de concentraia deimpuriti. Odat cu creterea concentraiilor de impuriti, mobilitatea scade, deoarece cretenumrul de ciocniri cu ionii de impuritate. La concentrai reduse de impuriti, conteaz doarciocnirile cu fononii. Numrul ciocnirilor cu fononii devine din ce n ce mai mare cu cttemperatura este mai mare. Ca urmare mobilitatea purttorilor scade odat cu creterea temperaturii,dup legea ~T-, unde este un coeficient cu valori cuprinse ntre 1 i 2,5 pentru majoritateasemiconductorilor.

Pentru cmpuri electrice mai mici de 104 V/m, viteza de drift este mult mai mic dectviteza termic, iar mobilitatea purttorilor este aproximativ constant.

ntr-un semiconductor intrinsec, unde conducia electric este asigurat prin ambele tipuri depurttori, sub aciunea unui cmp electric exterior E

, electronii se vor deplasa n sens contrar

cmpului electric iar golurile n acelai sens cu cmpul electric. Vitezele de drift corespunztoaredeplasrii electronilor i golurilor vor fi date de relaiile (10.6) i (10.8). Acestor deplasri desarcini, n semiconductor intrinsec va apare o densitate de curent driftnJ

corespunztoare deplasrii

electronilor i o densitate driftpJ

corespunztoare golurilor. Avnd n vedere c sensul pozitiv al

curentului electric este dat de sensul de deplasare al sarcinilor pozitive (sau de sensul opus

deplasrii electronilor), rezult c ambele componente ale densitii de curent au sensul deplasriigolurilor, adic n sensul cmpului electric exterior E

.

Pentru deducerea expresiei densitii de curent, vom nota cu dQn sarcina electric carestrbate perpendicular un element de suprafa dS, din interiorul unui semiconductor de tip n, aflatn cmp electric exterior E

(Fig. 10.3 a). Aceasta nseamn c toi electronii care se gsesc n

momentul iniial n interiorul paralelipipedului cu lungimea vndt, vor strbate suprafaa dS, nintervalul de timp dt. Dac n este concentraia electronilor, atunci sarcina dQn se poate exprimaastfel:

dtdSenvedNdQ nnn (10.10)n aceste condiii, intensitatea curentului electric va fi:

dt

dQdI ndriftn

iar densitatea de curent a electronilor este dat de relaia:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

34/49

34

nn

driftndrift

n envdSdt

dQ

dS

dIJ (10.11)

sau vectorial:

ndriftn venJ

(10.12)

Dac se ine seama de expresia vitezei de drift a electronilor (10.6), rezult:

EenJ ndriftn

(10.13)Pentru un semiconductor de tip p (Fig. 10.3 b) se poate face acelai raionament ca i n

cazul semiconductorului de tip n, cu deosebirea c sarcina golurilor este egal cu (+e) iarconcentraia acestora este p.

dtdSenvedNdQ ppp

dt

dQdI

pdriftp

pp

driftpdrift

p envdSdt

dQ

dS

dIJ

n acest caz se obin urmtoarele expresii pentru densitatea de curent de goluri:p

driftp vepJ

(10.14)

EepJ pdrift

p

(10.15)

a) b)

Fig. 10.3. Sensurile vitezei i a curentului de drift n semiconductori:a) pentru electroni, b) pentru goluri.

ntru-un semiconductor cu ambele tipuri de purttori densitatea total de curent se obineadunnd cele dou componente ale densitii de curent pentru electroni i pentru goluri:

EepEenvepvenJJJ pnpndrift

pdriftn

drift

(10.16)

sau

E)pn(eJ pndrift

(10.17)Curentul electric ntr-o seciune oarecare S a unui semiconductor este o mrime scalar, care

se obine integrnd produsulscalar dintre densitatea de curent i elementul de suprafa:

S

drift SdJI

(10.18)

Relaia (10.17) este valabil n cmpuri electrice care nu depesc valoarea de aproximativ107 V/m. La intensiti mai mari ale cmpului electric apar fenomene suplimentare, cum ar fimultiplicarea prin avalan a purttorilor, care determin o cretere brusc a curentului electric nsemiconductori.

Conductivitatea electric a semiconductorilor, , poate fi determinat din expresia legii Ohm

sub forma local, care leag densitatea de curent de cmpul electric ntr-un punct:EJdrift (10.19)Din relaia (10.17) se obine expresia conductivitii electrice a semiconductorului:

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

35/49

35

pnpn )pn(e (10.20)

ntr-un semiconductor de tip n, pentru care concentraia electronilor este mult mai maredect concentraia golurilor, np, conductivitatea semiconductorului va fi:

nn en (10.21)iar ntr-un semiconductor de tip p, pentru care pn, rezult:

pp ep n cazulsemiconductorului intrinsec, deoarece n=p=ni, conductivitatea electric va fi dat derelaia:

)(en pnii (10.20)

La temperaturi sczute, conductivitatea semiconductorului, n, crete odat cu cretereatemperaturii, deoarece n aceast regiune concentraia electronilor crete exponenial cutemperatura, conform relaiei (9.53). n aceast regiune are loc ionizarea treptat a impuritilordonoare, iar conductivitatea este dat de relaia:

Tk2

E

dcnnnB

d

eNNeen

(10.21)

Tk2E

enB

d

eC

(10.22)unde Ce este o constant independent de temperatur, deoarece se poate considera c variaiamobilitii n aceast regiune este mult mai slab dect variaia concentraiei electronilor, care creteexponenial.

In domeniul de epuizare a impuritilor, cnd practic toate impuritile au fost ionizate i,deci, concentraia electronilor este aproximativ independent de temperatur, n = Nd=const. Totui,conductivitatea electric n aceast regiune, dat de relaia:n=enNdconst. (10.23)

prezint o uoar scdere la creterea temperaturii la fel cum scade mobilitatea electronilor n cu

temperatura.La temperaturi ridicate, concentraiile purttorilor cresc foarte mult, deoarece aparefenomenul de generare intrinsec a perechilor electron-gol, niNd. n aceste condiii, aa cum amartat n subcapitolul 9.5.1, semiconductorul se comport ca un semiconductor intrinsec. n aceastregiune conductivitatea semiconductorului crete foarte mult i este practic dat de conductivitateaintrinsec (10.20). Dac se ine seama de expresia concentraiei intrinseci n i (relaia 9.40),dependena de temperaturii a conductivitatea electric a semiconductorului va fi:

Tk2

E

iipnnB

g

eCn)(e

(10.24)

Dependena conductivitii electrice de temperatur a semiconductorilor permitedeterminarea benzii interzise a semiconductorilor, E

g i localizarea nivelului donor, E

d fa de

minimul benzii de conducie a semiconductorilor.Astfel, dac se msoar experimental conductivitatea electric a unui semiconductor de tip n

i se traseaz graficul ln n=f(1/T) (Fig. 10.5), se obin trei regiuni, descrise de relaiile:

Iregiunean,T

1

k2

EClnln

B

den

(10.25)

IIregiunean),Ne(lnln dnn (10.26)

IIIregiunean,T

1

k2

EClnln

B

g

in (10.27)

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

36/49

36

Fig. 10.5.Graficul ln n=f(1/T) pentru un semiconductor extrinsec de tip n.

n regiunea I, regiunea temperaturilor joase, se poate aprecia c prin creterea temperaturiipn la temperatura extrinsec Te, dependena ln n=f(1/T) este liniar. Din panta dreptei n aceastregiune, etg , se poate determina intervalul energetic dintre minimul benzii de conducie i

nivelul donor:

eBd tgk2E (10.28)

Lrgimea benzii interzise, Eg, se poate calcula din panta poriunii liniare, itg

corespunztoare temperaturilor mai mari dect temperatura intrinsec (regiunea III), TTi:

iBg tgk2E (10.29)

Deoarece, EgEd, rezult itg etg .

n regiunea II graficul ln n=f(1/T) prezint un palier deoarece acesta corespundedomeniului de epuizare a impuritilor. n cazul Si dopat cu P n concentraie de Nd=310

14cm-3,

domeniul de epuizare a impuritilor este cuprins ntre Te=45 K i Ti=500 K.Un raionament asemntor cu cel pentru semiconductorul de tip n se poate face i pentru un

semiconductor de tip p.

12. Cureni de difuzie n semiconductori

n materialele semiconductoare care sunt impurificate neuniform, n afara curentului de driftapare i un curent de difuzie. Aceti cureni de difuzie apar ca urmare a existenei unui gradientde concentraie a purttorilor de sarcin. Gradientul concentraiei de purttori poate aparentotdeauna atunci cnd un semiconductor este dopat neuniform sau n urma injectrii de purttorintr-o anumit regiune limitat asemiconductorului prin aciunea radiaiilor electromagnetice sau aunui cmp electric aplicat la un capt sau ntr-o zon a semiconductorului.

Considerm un semiconductor de tip n, n care la momentul iniial, exist un gradient deconcentraie dup axa Ox, (dn/dx0); distribuia electronilor dup axele Oy i Oz fiind uniform(Fig. 10.7 a). Electronii vor difuza din regiunea cu o concentraie ridicat spre regiunea cu oconcentraie mai redus, n cazul din Fig. 10.7 a, electronii se vor deplasa n sensu l pozitiv al axeiOx, pn cnd gradientul de concentraie dispare. Se produce astfel un flux de particule(electroni)n sensul pozitiv al axei Ox, proporional cu gradientul de concentraie, dat de legea lui Fick, adic:

dx

dnDnn (10.35)

unde Dnse numete coeficientul de difuzieal electronilor i se msoar n m2/s.

Semnul -din relaia (10.35) arat c fluxul de particule este orientat ntotdeauna nsens contrar gradientului de concentraie indiferent de tipul particulelor (Fig. 10.7).

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

37/49

37

a) b)Fig. 10.7.Difuzia purttorilor de sarcin n semiconductori: a) difuzia electronilor, b) difuzia golurilor.

Prin definiie fluxul de particule este egal cu numrul de particule ce traverseazunitatea de suprafa aezat perpendicular la direcia de difuzie a particulelor n unitatea detimp.

dSdt

dNnn

Micrii ordonate a electronilor va corespunde un curent electr ic de dif uziede intensitate:

dt

dNe

dt

dQdI nndifn

a crui densitatede curent este egal cu:

dx

dn

DeedtdS

dNe

dS

dI

J nnn

difndifuzie

n

dx

dnDeJ n

difuzien (10.36)

Dac variaia concentraiei de electroni se face dup o ax oarecare, atunci gradientul deconcentraie va fi )n( , iar curentul de difuzie va fi dat de expresia:

nDeJ ndifuzien (10.37)

n mod similar, dac se consider un semiconductor de tip p (Fig. 10.7 b) n care exist ungradient de concentraie de goluri (dp/dx0):

dSdt

dNpp

dt

dNe

dt

dQdI

ppdifp

pp

difpdifuzie

p edtdS

dNe

dS

dIJ

dx

dpDeJ p

difuziep (10.38)

pentru cazul unidimensional i

pDeJ pdifuziep (10.39)

pentru cazul tridimensional. n relaiile (10.38) i (10.39) coeficientul de proporionalitate, Dp senumete coeficient de difuziepentru goluri.

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

38/49

38

Din relaiile (10.3610.39) i din Fig. 10.7 se observ c densitile de curent de difuzie i,deci, i curenii de difuzie pentru electroni i respectiv pentru goluri au sensuri opuse deoarecesarcinile electronilor i golurilor sunt opuse. Curentul de difuzie pentru e lectroni este orientatdinspre regiunea cu concentraie mai mic ctre regiunea cu concentraie mai mare, n timp cecurentul de difuzie pentru goluri este orientat n sens opus. Curenii de difuzie au valoareapreciabil numai n semiconductori.

n urma plecrii purttorilor de sarcin, electronilor (Fig. 10.7 a) respectiv golurilor (Fig.10.7 b) din regiunile n care acetia aveau o concentraie ridicat, n aceste regiuni vor rmnesarcini imobile necompensate, ioni pozitivi n semiconductorul de tip n i respectiv ioni negativi nsemiconductorul de tip p. Ca urmare n semiconductori apare un cmp electric intern E

, care va

determina apariia unor cureni de drift (de cmp):

EenJ ndriftn (10.40)

pentru electroni, i

EepJ pdriftp (10.41)

pentru goluri. Sensurile curenilor de drift pentru cazurile prezentate sunt indicate n Fig. 10.7.Curenii totali care circul prin semiconductor, att datorit cmpului intern ct i datorit

difuziei va fi:

dx

dnDeEenJJJ nn

difuzien

driftnn (10.42)

pentru electroni i:

dx

dpDeEepJJJ pp

difuziep

driftpp (10.43)

pentru goluri.

ntr-un semiconductor n care exist att un gradient de concentraie de electroni ct i ungradient de concentraie de goluri, curentul total va fi:

dx

dp

DeEepdx

dn

DeEenJ ppnn (10.44)Relaiile curentului total de electroni i de goluri rmn valabile i n cazul n care

semiconductorul se afl ntr-un cmp electric extern.Pentru a deduce expresiile coeficientului de difuzie pentru electroni, Dn, considerm un

semiconductor izolat i impurificat neuniform numai cu impuriti donoare. n acest caz din Fig.

10.7a, se observ c la echilibru termic, curentul de difuzie difuzienJ

va fi egalat de curentul de driftdriftnJ

, determinat de apariia cmpului intern E

. Deoarece cele dou componente ale curentului

electric au sensuri opuse rezult c, n semiconductorul izolat, curentul total nJ

va fi nul, nconformitate cu condiia de neutralitate a semiconductorului. Din relaia (10.42) rezult:

EendxdnDe nn (10.45)

Considernd semiconductorul nedegenerat, concentraia de echilibru a electronilor va fi datde relaia (9.16):

Tk

EE

c0B

Fc

eNn

(10.46)

Datorit cmpului electric intern E

, electronii vor cpta o energie potenial suplimentarEp =-eU, unde U este diferena de potenial (tensiunea electric) ce apare ntre capetelesemiconductorului. Aceast energie se adaug la energia Eca electronilor de conducie, astfelnct,expresia concentraiei electronilor devine:

Tk

eU

0Tk

E)eUE(

cBB

Fc

eneNn

(10.47)

7/26/2019 2016 15 Subiecte Fizica (1)

39/49

39

Efectund derivata (dn/dx) i innd seama c valoarea intensitii cmpului electric seexprim prin derivata diferenei de potenial n raport cu x, adic:

dx

dUE (10.48)

rezult:

nETk

e

dx

dU

nTk

e

dx

dn

BB (10.49)nlocuind relaia aceast derivat n relaia (10.45), rezult expresia coeficientului de difuzie

pentru electroni:

nB

ne

TkD (10.50)

n mod asemntor se obine i coeficientul dedifuzie pentru goluri:

pB

pe

TkD (10.51)

Din relaiile (10.50) i (10.51), rezult c raportul dintre coeficientului de difuzie imobilitatea purttorilor este o constant indiferent de tipul purttorului:

TB

p

p

n

n Ue

TkDD

(10.52)

unde UTestepotenialul termici are valoarea 26 mV la temperatura T=300 K.

13. Bariera de potenial a jonciunii pn

Jonciunea pn reprezint o structur fizic realizat prin punerea n contact intim a douregiuni semiconductoare extrinseci dopate diferit, una de tip p i cealalt de tip n. Planul deseparaie dintre cele dou reg