8/18/2019 2011 Haimovici Loc

1/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a IX-a

prol s, tiint, e ale naturii, servicii, tehnologic

1. a) Se consideră numerele a , b, c, d pozitive, aate în această ordine în progresie geometrică. Să se aratecă a + d ≥ b + c.

b) Se consideră numerele a , b, c, d pozitive, aate în această ordine în progresie aritmetică. Să se aratecă √ a + √ d ≥√ b + √ c.

2. Într-o clasă cu 30 elevi, 17 cunosc limba franceză s, i 19 cunosc limba germană.

a) Să se demonstreze că există elevi care cunosc ambele limbi.

b) Să se determine numărul minim s, i numărul maxim de elevi care pot cunoas, te ambele limbi.

3. a) Să se arate că oricare ar n ∈N ∗ , avem ⌊√ n 2 + n ⌋ = n .b) Calculat, i ⌊√ 12 + 1 ⌋+ ⌊√ 22 + 2 ⌋+ · · ·+ ⌊√ 20112 + 2011 ⌋.

4. În gura de mai jos este reprezentată o sfoară atârnată între doi stâlpi. Punctul A reprezintă punctul deînălt, ime minimă fat, ă de sol, iar punctele B s, i C sunt punctele în care sfoara este prinsă de stâlpi. Să sedemonstreze că lungimea sforii este mai mare decât 10 + 5√ 2 m.

5 m 4 m 10 m

7 m 8 m

B

A

C

1

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

2/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a IX-aprol uman

1. a) Se consideră numerele pozitive a , b, c, d, aate în această ordine în progresie geometrică. Să se aratecă a + d ≥ b + c.

b) Se consideră numerele pozitive a , b, c, d, aate în această ordine în progresie aritmetică. Să se aratecă √ a + √ d ≤√ b + √ c.

2. a) Fie M un punct oarecare în planul triunghiului ABC astfel încât # »

MA + # »

MB + # »

MC = #»

0 . Să se aratecă M este centrul de greutate al triunghiului ABC .

b) Fie M un punct în planul patrulaterului ABCD astfel încât # »

MA + # »

MC = # »

MB + # »

MD . Arătat, i că

ABCD este paralelogram.3. Într-o clasă cu 30 de elevi, 17 elevi cunosc limba franceză, iar 19 elevi cunosc limba germană.

a) Să se demonstreze că există elevi care cunosc ambele limbi.

b) Să se determine numărul minim s, i numărul maxim de elevi care pot cunoas, te ambele limbi.

4. Fie a, b > 0 astfel încât a < b . Ordonat, i crescător numerele a , b, √ ab, a + b2 s, i a 2 + b22 .

2

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

3/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a X-a

prol s, tiint, e ale naturii, servicii, tehnologic

1. a) Dacă a , b, c ∈R astfel încât a2 + 2 b2 + c2 = 2 ab + 2 bc, atunci a = b = c.b) Să se determine numerele reale x care verică egalitatea 9x + 2 2 x +1 + 25 x = 2(6 x + 10 x ).

2. a) Fie a, b, c > 1. Să se arate că 11 + log bc a

+ 1

1 + log ca b +

11 + log ab c

= 2 .

b) Demonstrat, i că log2 9 + log3 16 > 4√ 2.3. a) Să se arate că oricare ar u, v ∈C avem |u + 2 v|2 = 3 |u |2 + 6 |v|2 −2|u −v|2 .

b) Să se determine z

∈C care verică egalitatea

|z + 2i

|2 = 3

|z

|2 + 6 .

4. În gura de mai jos, în punctul V este pozit, ionat un tun a cărui obuz descrie o traiectorie care poate modelată prin funct, ia f (x) = −x 2 + 10 x , unde x reprezintă distant, a în linie dreaptă fat, ă de punctul V .

2 m

15 m

V S

ZID

a) Să se arate că, în condit, iile date, obuzul trece prin zid.

b) Să se arate că un obiectiv O , situat pe dreapta V S , astfel încât V O = √ 97 m nu poate nimerit deobuzele tunului.

3

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

4/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a X-aprol uman

1. a) Dacă log2 3 = a s, i log5 2 = b, atunci calculat, i log60 6 în funct, ie de a s, i b.

b) Fie a , b, c > 0 trei numere aate în progresie geometrică, în această ordine. Demonstrat, i că numerelelog2 a , log2 b s, i log2 c sunt în progresie aritmetică.

2. a) Să se arate că 3 7 + 5√ 2 = 1 + √ 2.b) Să se arate că numărul A = 3 7 + 5√ 2 + 3 7 −5√ 2 este întreg.3. Să se determine numerele reale a care verică egalitatea

3 + a√ 2 +

3 −a√ 2 = 2 √ 2.

4. Să se arate că:

a) log2 3 + log2 5 < 4;

b) log2 3 ·log2 5 < 4.

4

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

5/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a XI-a

prol servicii, tehnologic, s , tiint, e ale naturii

1. Se consideră matricele A =0 1 00 0 23 0 0

s, i B =1 2 33 1 22 3 1

.

a) Să se determine valorile minime ale numerelor p, q ∈N ∗ pentru care A p = qI 3 .b) Să se determine matricea X ∈M 3 (R ) care verică egalitatea AX = B .

2. Pentru orice matrice A ∈M 2 (R ), notăm cu Tr(A) suma elementelor de pe diagonala principală, iar cuAT transpusa sa.

a) Să se arate că oricare ar A ∈M 2 (R ), avem Tr(A T A) ≥ 0;b) Să se determine A ∈M 2 (R ) pentru care Tr(A T A) = 0 .

3. Într-un sistem cartezian de axe xOy se consideră punctele A(a, a 2 + 3 a ), B (b, b2 + 3 b) s, i C (c, c2 + 3 c).

a) Să se arate că punctele A , B , C nu pot coliniare, oricare ar a, b, c ∈Z diferite.b) Să se arate că aria triunghiului ABC este număr natural, oricare ar a, b, c ∈Z diferite.

4. a) Calculat, i limx → 0

ln(1 + x + x 2 + x 3 )√ 1 + x −1

;

b) Calculat, i limx →−∞ x2

+ x + 1 + x ;c) Determinat, i a, b ∈R , astfel încât limx →∞ x 2 + 2 x + 5 −ax −b = 1 .

5

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

6/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a XI-aprol uman

1. Numărul de bilete de odihnă vândute de o agent, ie de turism a cunoscut pe parcursul anului 2013 urmă-toarea evolut, ie:

Luna I II III IV V VI VII VIII IX X XI XIINumăr de bilete 3 15 5 18 25 10 30 20 45 15 6 8

a) Să se precizeze populat, ia statistică, unităt, ile statistice, efectivul total al populat, iei, caracteristica s, itipul acesteia.

b) Să se completeze seria statistică cu frecvent, ele absolute cumulate, frecvent, ele relative s, i frecvent, elerelative cumulate.

c) Până la sfârs, itul cărei luni au fost vândute cel put, in 106 bilete? Dar cel mult 186?

d) Care este procentul de bilete vândut până la începutul lunii mai? Dar până la 1 august?

e) Ce procent de bilete se vinde după 1 iulie? Dar după 30 aprilie?

f) Să se reprezinte grac seria statistică folosind poligonul frecvent, elor s, i histograma.

2. În urma unui sondaj privind audient, a unui post de radio se constată că: 10% din persoane ascultă postulde radio între 0 s, i 2 ore, 25% între 2 s, i 4 ore, 40% între 4 s, i 6 ore, 20% între 6 s, i 8 ore, iar restul între 8s, i 10 ore.

a) Să se organizeze datele sondajului într-o serie statistică.

b) Care este numărul mediu de ore de audient, ă de persoană?

c) Să se determine mediana.

3. La examenul de bacalaureat, cei 500 de elevi ai unui liceu au obt, inut la proba de matematică rezultateledin tabelul de mai jos:

Nota Numărul de elevi5-6 61

6-7 347-8 1868-9 1689-10 51

a) Să se alcătuiască histograma s, i poligonul frecvent, elor.

b) Calculat, i media s, i dispersia.

4. O echipă de handbal mai are de disputat un singur meci în cadrul unui turneu. Dacă marchează 24 degoluri, atunci media golurilor pe meci este de 20, iar dacă marchează 30 media va de 22 de goluri. Câtemeciuri a disputat echipa în turneu?

6

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

7/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a XII-a

prol servicii, tehnologic, s , tiint, e ale naturii

1. Pe mult, imea numerelor întregi Z se denes, te legea de compozit, ie x ◦y = xy −3x −3y + 12 , pentru oricex , y ∈Z .

a) Să se determine elementele din Z , simetrizabile în raport cu legea „◦”.b) Să se determine x ∈Z pentru care x ◦x ◦ . . . ◦x

2011 termeni= x .

2. Se consideră mult, imea M =a 00 a

a > 2 . Pe această mult, ime denim legea „⊗” prin

A⊗

B = AB −2A −2B + 6 I 2 , pentru orice A, B ∈ M .a) Să se arate că operat, ia „⊗” este lege de compozit, ie pe mult, imea M .

b) Să se arate că (M, ⊗) este grup comutativ.3. Fie f : R →R , f (x) = e x + 2x 2 + x + 5 .

a) Să se determine a, b ∈R astfel încât af (x) + bf ′ (x) = 5e x + 4x 2 + 14x + 13 , pentru orice x ∈R .b) Să se calculeze 5ex + 2x 2 + 14x + 13ex + 2x 2 + x + 5 dx.

4. Fie f : R →R , f (x) =√ x 2 + 1 , x > 0ex , x ≤ 0 .

a) Să se arate că funct, ia f admite primitive pe R .

b) Să se determine o primitivă F a funct, iei f pentru care F (0) = 3 .

7

8/18/2019 2011 Haimovici Loc

8/8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI”, 2011

ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARAClasa a XII-aprol uman

1. Fie A = 1 11 1

s, i M = {uA + vI 2 | u, v ∈R }.

a) Să se arate că O 2 ∈ M s, i A 2 ∈ M .b) Să se arate că oricare ar X , Y ∈ M , avem X Y ∈ M .

2. Fie matricele A =a bc d

s, i B =a cb d

, unde a , b, c, d ∈R . Să se arate că AB = O2 ⇐⇒ A = O2 .

3. Fie M =a bc d a, b, c, d ∈N .

a) Să se determine toate matricele X ∈ M pentru care există Y ∈ M astfel încât X Y = I 2 .b) Dat, i exemplu de matrice A, B ∈ M , diferite de matricea nulă, astfel încât AB = O2 .

4. Fie A =1 0 00 2 00 0 3

, B =2 0 00 1 00 0 3

s, i C =3 0 00 3 00 0 3

. Arătat, i că nu există x , y, z ∈N ∗ astfel încât

xA + yB + zC = I 3 .

8