1136_Econometrie (sept 2011)_4169.pdf

1

ECONOMETRIE

Cuprins

INTRODUCERE ................................................................................................................................................ 3

Unitatea de învăţare 1: MODELUL ECONOMIC – PREZENTARE GENERALĂ ........................................... 4 MODELUL ECONOMIC – PREZENTARE GENERALĂ ................................................................................ 6 1.1. Consideraţii generale .............................................................................................................................. 6 Test de evaluare a cunoştinţelor .................................................................................................................. 13 Lucrări obligatorii .............................................................................................................................. 15 Lucrări complementare ..................................................................................................................... 15

Unitatea de învăţare 2: Modele de optimizare - Modelul de programare lineară. Algoritmul Simplex ... 17

Modele de optimizare - Modelul de programare lineară. Algoritmul Simplex .......................................... 18 2.1. Formularea economică a problemei ...................................................................................................... 18 Test de evaluare a cunoştinţelor .................................................................................................................. 28 Lucrări obligatorii .............................................................................................................................. 30 Lucrări complementare ..................................................................................................................... 30

Unitatea de învăţare 3 - Modele de optimizare ........................................................................................... 32

Modele de optimizare .................................................................................................................................... 34 3.1. Stocurile de materii prime ..................................................................................................................... 34 3.2. Problema de transport .......................................................................................................................... 37 3.3. Teoria firelor de aşteptare ..................................................................................................................... 41 Test de evaluare a cunoştinţelor .................................................................................................................. 46 Lucrări obligatorii .............................................................................................................................. 48 Lucrări complementare ..................................................................................................................... 48

Unitatea de învăţare 4 - MODELE ECONOMETRICE – MODELUL LINEAR DE REGRESIE ..................... 50

MODELE ECONOMETRICE – MODELUL LINEAR DE REGRESIE ............................................................. 52 4.1. Modelul linear unifactorial ..................................................................................................................... 52 4.2. Modelul linear multifactorial................................................................................................................... 54 Test de evaluare a cunoştinţelor .................................................................................................................. 65 Lucrări obligatorii .............................................................................................................................. 67 Lucrări complementare ..................................................................................................................... 67

Unitatea de învăţare 5: TESTE DE SEMNIFICAŢIE ..................................................................................... 70

TESTE DE SEMNIFICAŢIE ............................................................................................................................ 72 5.1. Dispersia estimatorilor .......................................................................................................................... 72 5.2. Teste privind semnificaţia estimatorilor ................................................................................................. 73 5.3. Exemple de calcul ................................................................................................................................. 74 Test de evaluare a cunoştinţelor .................................................................................................................. 82 Lucrări obligatorii .............................................................................................................................. 85 Lucrări complementare ..................................................................................................................... 85

Unitatea de învăţare 6: HETEROSCEDASTICITATEA ERORILOR ............................................................. 87

HETEROSCEDASTICITATEA ERORILOR .................................................................................................... 89 6.1. Consecinţe ale heteroscedasticităţii ...................................................................................................... 89 6.2. Testarea heteroscedasticităţii ............................................................................................................... 89 6.3. Atenuarea heteroscedasticităţii ............................................................................................................. 91 6.4. Aplicaţii – testarea şi atenuarea heteroscadasticităţii ............................................................................ 91 Test de evaluare a cunoştinţelor ................................................................................................................ 103 Lucrări obligatorii ............................................................................................................................ 105 Lucrări complementare ................................................................................................................... 105

2

Unitea de învăţare 7 : TESTAREA ŞI ATENUAREA HETEROSCEDASTICITĂŢII ERORILOR - TESTUL WHITE ............................................................................................................................................ 107

TESTAREA ŞI ATENUAREA HETEROSCEDASTICITĂŢII ERORILOR - TESTUL WHITE ....................... 108 7.1. Testul White pentru modelul unifactorial ............................................................................................. 108 7.2. Testul White pentru modelul multifactorial .......................................................................................... 119 Test de evaluare a cunoştinţelor ................................................................................................................ 125 Lucrări obligatorii ............................................................................................................................ 127 Lucrări complementare ................................................................................................................... 127

Unitatea de învăţare 8: AUTOCORELAREA ERORILOR .......................................................................... 129

AUTOCORELAREA ERORILOR ................................................................................................................. 130 8.1. Consecinţe ale autocorelării erorilor .................................................................................................... 130 8.2. Testarea autocorelării erorilor ............................................................................................................. 130 8.3. Atenuarea fenomenului de autocorelare a erorilor .............................................................................. 131 Test de evaluare a cunoştinţelor ................................................................................................................ 133 Lucrări obligatorii ............................................................................................................................ 135 Lucrări complementare ................................................................................................................... 135

Unitatea de învăţare 9: APLICAŢII – TESTAREA FENOMENULUI DE AUTOCORELARE A ERORILOR137

APLICAŢII – TESTAREA FENOMENULUI DE AUTOCORELARE A ERORILOR...................................... 138 9.1. Aplicarea testului Durbin – Watson ..................................................................................................... 138 9.2. Aplicarea testului Lagrange ................................................................................................................ 142 Test de evaluare a cunoştinţelor ................................................................................................................ 148 Lucrări obligatorii ............................................................................................................................ 150 Lucrări complementare ................................................................................................................... 150

Unitatea de învăţare 10: UTILIZAREA MODELELOR ECONOMETRICE ÎN PROGNOZĂ ...................... 152

UTILIZAREA MODELELOR ECONOMETRICE ÎN PROGNOZĂ ................................................................ 153 10.1. Prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie lineară ............................................................ 153 10.2. Prognoza în cazul modelului multifactorial de regresie lineară ......................................................... 153 10.3. Exemple de calcul ............................................................................................................................. 154 Test de evaluare a cunoştinţelor ................................................................................................................ 158 Lucrări obligatorii ............................................................................................................................ 160 Lucrări complementare ................................................................................................................... 160

BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE................................................................................................................... 162

BIBLIOGRAFIE FACULTATIVĂ .................................................................................................................. 162

ANEXE STATISTICE .................................................................................................................................... 163 A. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul bilateral ....................................................................... 163 B. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul unilateral ..................................................................... 165 C. Valorile critice ale distribuţiei χ2 ............................................................................................................ 167 D. Statistica Durbin – Watson .................................................................................................................... 169

3

ECONOMETRIE

INTRODUCERE

Manualul de Modelare economică. Econometrie oferă studenţilor un ansamblu de cunoştinţe

privind metodele de calcul şi analiză cantitativă folosite în sistematizarea, prelucrarea, prezentarea

şi interpretarea datelor care caracterizează fenomenele şi procesele economice şi sociale. De

asemenea, asigură însuşirea cunoştinţelor de bază în domeniul metodologiei de calcul econometric,

din sfera testării ipotezelor emise în teoriile economice şi din domeniul prognozei economice.

Alături de disciplinele care realizează pregătirea teoretico-economică de bază, modelarea

economică furnizează o gamă de metode de analiză, testare şi prognoză la care apelează o serie de

discipline de specialitate.

Cursul este structurat în două părţi. În prima parte sunt prezentate noţiunile de bază ale metodei

modelării (schema generală a procesului de modelare, caracteristicile generale ale unui model

econometric, modele de optimizare – modele de programare lineară şi algoritmul Simplex, modele

de gestiune a stocurilor, problema de transport, elemente de teoria firelor de aşteptare). De

asemenea sunt prezentate modelele unifactoriale şi multifactoriale de regresie lineară. Toate

modelele economico-matematice sunt însoţite de metodele de rezolvare şi sunt prezentate aplicaţii

şi modele de interpretare a rezultatelor.

În partea a doua a cursului sunt descrise tehnicile de bază ale analizei econometrice. Sunt

prezentate ipotezele fundamentale ale modelelor econometrice şi sunt descrise principalele

proprietăţi ale acestor modele. În acest cadru, sunt analizate proprietăţile seriilor de date precum şi

fenomenele de heteroscedasticitate şi autocorelare a erorilor (consecinţe, teste, metode de

atenuare). De asemenea, sunt prezentate principalele tehnici de prognoză econometrică. Exemplele

de calcul sunt din domeniul analizei economico-financiare şi fiecare dintre aplicaţii descrie

algoritmic rezolvarea econometrică a unei clase de probleme (scrierea modelului, rezolvarea

econometrică, interpretarea rezultatelor).

Cursul se adresează, în primul rând, studenţilor de la Învăţământul la Distanţă din facultăţile cu

profil economic, dar poate fi util, de asemenea, studenţilor de la orice formă de învăţământ şi de la

orice facultate care, în planul de învăţământ are cursuri ce prezintă metode de analiză a seriilor de

date.

Pentru învăţământul la Distanţă de la Facultatea de Ştiinţe Economice – Universitatea Nicolae

Titulescu din Bucureşti, evaluarea studenţilor la cursurile de Modelare economică şi Econometrie se

realizează prin lucrări de control programate în cursul semestrului, realizarea unor proiecte şi

evaluarea prin examen scris la sfârşitul semestrului. Notarea se face de la 10 la 1. În evaluarea

finală examenul scris va avea o pondere de 80%, iar 20% reprezintă activitatea din timpul

semestrului (notări, lucrări de control, referate). Examenul scris conţine, de regulă, un subiect

teoretic şi trei subiecte practice.

Prof.univ.dr. Nicoleta JULA

Lect. univ. dr. Nicolae-Marius JULA

Modelul economic - prezentare generală

4

Unitatea de

învăţare 1

Unitatea de învăţare 1: MODELUL ECONOMIC – PREZENTARE

GENERALĂ

Cuprins:

1.1. Consideraţii generale

1.1.1. Schema generală a procesului de modelare economico-matematică

1.1.2. Modelul economic

Elementele unui model econometric

Datele utilizate

Introducere

După parcurgerea unităţii veţi fi în măsură să răspundeţi la întrebările:

Care este schema generală a procesului de modelare economico-matematică?

Ce este un model econometric? Care sunt elementele unui model econometric?

Obiectivele/competenţele unităţii de învăţare

Însuşirea noţiunii de model economic

Schema generală a procesului de modelare economico-matematică


Tipurile de date utilizate într-un model economic


5

Unitatea de

învăţare 1

Durata medie de parcurgere acestei unităţi de învăţare este de 3 ore.


6

Unitatea de

învăţare 1

MODELUL ECONOMIC – PREZENTARE GENERALĂ

1.1. Consideraţii generale

În accepţiunea comună, modelul reprezintă o normă, un ideal spre care se tinde datorită

calităţilor, chiar perfecţiunii sale. Un model ştiinţific este o construcţie, de obicei teoretică, în

anumite privinţe simplificată, care îşi propune să faciliteze înţelegerea unei realităţi complexe prin

intermediul unei imagini apropiate, cât mai fidele. Două idei sunt esenţiale în această abordare a

conceptului de model: în primul rând, ideea de reprezentare simplificată a realităţii şi, în al doilea

rând, cea de asemănare structurală, funcţională, comportamentală între model şi realitate1.

În interpretarea lui Malinvaud "un model constă în reprezentarea formală a ideilor şi

cunoştinţelor relative la un anumit fenomen. Aceste idei, numite deseori teoria fenomenului, se

exprimă printr-un ansamblu de ipoteze asupra elementelor esenţiale ale fenomenului şi a legilor

care le guvernează. Acestea sunt în general traduse sub forma unui sistem matematic numit model.

Logica modelului ne permite să explorăm consecinţele naturale ale ipotezelor reţinute, să le

confruntăm cu rezultatele experimentale şi să ajungem pe această cale la o cunoaştere mai bună a

realităţii şi să acţionăm mai eficace asupra sa." (Malinvaud E., 1964)2.

Există, în literatura de specialitate, mai multe tipologii ale modelelor economice. Clasificarea

unor elemente constă în plasarea acestora, în funcţie de caracteristicile proprii, într-o anumită grupă

(clasă). Aceste clase trebuie să respecte cel puţin două condiţii esenţiale3:

a) să fie omogene, adică elementele care prezintă caracteristici similare trebuie să aparţină

aceleiaşi clase;

b) să fie relativ bine separate, adică elementele ne-similare trebuie să facă parte din clase diferite.

Cu alte cuvinte, elementele dintr-o clasă trebuie să fie asemănătoare (similare) între ele şi să

distingă de elementele care aparţin altor clase.

În literatura de specialitate din România, una dintre cele mai interesante clasificări este

prezentată de Acad. Emilian Dobrescu4. În orice clasificare, esenţială este noţiunea de criteriu.

Aceasta deoarece un criteriu adecvat, aplicat asupra elementelor unei mulţimi induce în mulţimea

respectivă o relaţie de ordine. În lucrarea menţionată, Acad. Emilian Dobrescu reţine următoarele

criterii de clasificare a modelelor economice: natura elementelor componente, caracterul

interdependenţelor dintre variabile, nivelul de agregare a entităţilor, scopul elaborării modelelor

economice, comportamentul temporal. Rezultă clasificarea prezentată în tabelul 1-1.

1 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag.7.

2 Citat în Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică, Bucureşti, pag. 33.

3 Jula D., Jula N., 1999, Economie sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, pag. 18-21.

4 Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică, Bucureşti, pag. 24.


7

Unitatea de

învăţare 1

Tabelul 1–1: Tipologia modelelor economice

Criteriul de clasificare Categoriile de modele

1. Natura elementelor componente 1.a) logice

1.b) calitativ-analitice (teoretice),

1.c) numerice

2. Caracterul interdependenţelor dintre

variabile

2.1.a) lineare

2.1.b) nelineare

2.2.a) deterministe

2.2.b) probabiliste

3. Nivelul de agregare a entităţilor 3.a) cu dezagregare maximă

3.b) cu agregare intermediară

3.c) cu agregare naţională maximă

3.d) cu agregare internaţională

4. Scopul modelării 4.a) descriptiv-explicative

4.b) explorative

4.c) normative

5. Comportamentul temporal 5.a) strict statice

5.b) cvasistaţionare

5.c) dinamice

Sursa: Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică,

Bucureşti, Capitolul I: Repere metodologice, pag. 24, Schema 1.I.2: Tipologia modelelor economice.

Definiţiile pentru conceptele propuse în tabelul 1-1 pornesc, în general de la următoarele elemente.

1. Natura elementelor componente

1.a – Modelele logice. Un exemplu de acest gen este reprezentat de modelul concurenţei pure şi

perfecte.

1.b –Modelele calitativ-analitice (teoretice). Exemplu: funcţia monetaristă a cererii de bani

Md = f(Y, P, rB, rE, rD)

în care Md este cererea monetară, Y – output-ul, P – nivelul preţurilor, iar următoarele trei

simboluri reprezintă randamentele altor forme de active în care banii pot fi plasaţi (bonuri de

tezaur), acţiuni, bunuri durabile). În model variabilele implicate nu apar cu valori numerice,

dar pot fi calculate cu ajutorul statisticilor accesibile.


8

Unitatea de

învăţare 1

1.c – Modelele numerice. Modele de acest tip sunt, de exemplu, cele care estimează legătura

dintre şomaj şi rata inflaţiei (curba Phillips) pe baza datelor înregistrate într-un interval

corespunzător de timp, sau între venitul gospodăriilor şi consum etc.

2. Caracterul interdependenţelor dintre variabile

2.1. a – Modelele lineare: legătura dintre variabilele analizate este lineară. Linearitatea se referă

la forma legăturii dintre variabile, nu la modul de exprimare a variabilelor respective

2.1. b – Modelele nelineare în care legătura dintre variabilele analizate are forme mai complicate,

nelineare.

2.2.a – Modelele deterministe.

2.2.b – Modelele probabiliste. Astfel de modele sunt utilizate, de exemplu, pentru studiul pieţelor

financiare.

3. Nivelul de agregare a entităţilor

3.a – Modelele cu dezagregare maximă. De exemplu, toţi agenţii economici sunt analizaţi, prin

funcţii de comportament, ecuaţii de echilibru, de stare şi/sau de dinamică specifice.

3.b –Modelele cu agregare intermediară. Economia poate fi structurată, de exemplu, instituţional

(pornind de la sectoarele instituţionale din Sistemul Contabilităţii Naţionale), pe ramuri (aşa

ca în tabelele input-output), sau regional.

3.c – Modelele cu agregare naţională maximă. Un exemplu de astfel de model este reprezentat de

funcţia de consum keynesiană: Ct = C0 + cYd,t, unde:

Ct – consumul agregat la momentul t;

Yd – venitul disponibil al gospodăriilor la momentul t;

C0 – partea stabilă a consumului, relativ autonomă în raport cu venitul (ex. autoconsumul);

c – înclinaţia marginală spre consum, 0 < c < 1.

3.d –Modelele cu agregare internaţională analizează diferite zone geografice (de exemplu, zona

Mării Negre, zona Balcanilor), grupări de ţări (ex. ţări dezvoltate, ţări în dezvoltare,), uniuni

interstatale (ex. Uniunea Europeană), grupări sectoriale (ex. ţări exportatoare de petrol –

OPEC) sau abordează economia mondială în ansamblu.

4. Scopul modelării

4.a – Modele descriptiv-explicative. Modelul explicativ ajută la înţelegerea legăturilor esenţiale

dintre fenomenele studiate5. Un exemplu în acest sens este modelul input-output.

4.b –Modelele explorative sau de simulare facilitează studierea reacţiilor economiei faţă de

modificarea unei variabile.

4.c – Modelele normative. De exemplu, prin astfel de modele pot fi urmărite obiective de tipul:

respectarea unor restricţii ecologice, restricţii privind condiţiile de muncă, atingerea unor

condiţii de performanţă – calitate, fiabilitate etc.6

5. Comportamentul temporal:

5.a – Modelele strict statice sunt folosite pentru reprezentarea unor fenomene sau procese

economice la un moment dat. Exemplu: modelul input-output.

5 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag.7.

6 Nicolae V., Constantin D.-L., Grădinaru I., 1998, Previziune şi orientare economică, Editura Economică, Bucureşti, pag. 174-175.


9

Unitatea de

învăţare 1

5.b – Modelele cvasistaţionare.

5.c – Modelele dinamice ilustrează evoluţia în timp a diferitelor procese economice.

1.1.1. Schema generală a procesului de modelare economico-matematică

Modelarea matematică reprezintă cea mai utilizată aplicaţie în domeniul elaborării modelelor

economice. Procesul de construcţie a unui model economico-matematic presupune parcurgerea mai

multor etape7.

Într-o primă etapă, prin analiza unui obiect din realitatea economică (un proces, un fenomen

etc.) se identifică o mulţime finită de proprietăţi ale acestuia. Proprietăţile reţinute ca fiind

semnificative reprezintă teoria economică (modelul economic) elaborată pentru obiectul respectiv

din realitate.

În a doua etapă, se caută o teorie matematică în care poate fi descrisă o structură a sistemului.

În etapa a treia, se realizează rezolvarea modelului.

În a patra etapă, aceste noi proprietăţi (informaţii) sunt transferate asupra obiectului original

Pornind de la elementele prezentate, etapele procesului de modelare sunt prezentate în sinteză,

în tabelul 1-2.

Tabelul 1–2: Etapele procesului de modelare

(1) analiza realităţii cu ajutorul instrumentelor oferite de teoria economică şi identificarea unor

caracteristici semnificative;

(2) construirea modelului matematic, prin interpretarea (traducerea) propoziţiilor din teoria

economică în limbajul specific teoriei matematice;

(3) rezolvarea modelului;

(4) traducerea concluziilor obţinute din limbajul specific teoriei matematice în teoria economică

(interpretarea economică a rezultatelor modelului).

7 Etapele modelării sunt prezentate în detaliu în lucrarea Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting,

Bucureşti, pag.7-13.


10

Unitatea de

învăţare 1

1.1.2. Modelul econometric

Denumirea de econometrie provine din combinarea cuvintelor greceşti oikonomia – economia

(de la oicos – casă, gospodărie şi nomos – lege) şi metron – măsură. Deci, etimologic, econometria

presupune aplicarea unor tehnici de măsurare în economie.

În sens restrâns, econometria este definită ca o aplicaţie a statisticii matematice în economie.

În sens larg, econometria este înţeleasă ca o ştiinţă de graniţă între economie, matematică şi

statistică. (Thomas R.L., 19978 şi Ramanathan R., 1992

9).

Pornind de la relaţiile definite de teoria economică, econometria clasică se concentrează asupra

următoarelor tipuri de analiză10

:

(a) testarea şi validarea teoriei economice;

(b) estimarea relaţiilor dintre variabilele economice;

(c) prognoza evoluţiilor şi a comportamentelor economice.

Pornind de la schema generală privind procesul de modelare şi de la elementele prezentate,

poate fi construită o schiţă a procesului de modelare econometrică.

Un studiu econometric presupune parcurgerea următoarelor etape:

(1) formularea modelului pornind de la teoria considerată adecvată pentru explicarea evoluţiei

unui proces economic,

(2) realizarea unei cercetări selective pentru generarea unor serii de date referitoare la procesul

respectiv,

(3) estimarea modelului,

(4) testarea ipotezelor teoretice folosite în construirea modelului

(5) interpretarea rezultatelor.

EXEMPLU

Un asemenea proces este descris în figura 1-3.

8 Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag. 1-3.

9 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publishers, Orlando,

USA, pag. 3-11. 10

Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag. 1.


11

Unitatea de

învăţare 1

Figura 1–3: Etapele unui studiu econometric11


Elementele unui model economico-matematic sunt variabilele, ecuaţiile şi parametrii modelului.

De asemenea, rezolvarea modelului presupune existenţa unor serii de date, care să prezinte starea

şi/sau evoluţia (distribuţia) variabilelor din model.

Variabilele modelului

Într-un model econometric pot fi distinse trei tipuri de variabile: variabile endogene, variabile

exogene şi variabile de abatere (eroare).

Sunt endogene sau explicate acele variabile ale căror valori sunt obţinute prin rezolvarea

modelului.

Sunt exogene acele variabile pentru care starea şi evoluţia sunt determinate de factori exteriori

sistemului a cărui funcţionare este studiată cu ajutorul modelului.

Variabilele de abatere (sau erorile) reprezintă discrepanţele între evoluţia anticipată a unei

variabile şi evoluţia reală a variabilei respective.

Parametrii modelului

Parametrii modelului pot fi definiţi ca fiind caracteristicile cantitative ale sistemului studiat.

11

Thomas R.L, 1997, Modern Econometrics: An introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag.4.

Teoria economică, experienţa

Formularea modelului

Selectarea datelor

Estimarea modelului

Testarea ipotezelor: Ipotezele se verifică? NU DA

Interpretarea rezultatelor

Reformularea modelului

Prognoze Decizii de politică

economică


12

Unitatea de

învăţare 1

Ecuaţiile modelului

Prin ecuaţiile unui model se încearcă surprinderea legăturilor dintre variabilele endogene şi cele

explicative. Într-un model econometric pot apărea ecuaţii de comportament, ecuaţii de definiţie şi

ecuaţii contabile (de echilibru).

Ecuaţiile de comportament sunt construite pe baza unei teorii economice şi descriu, în formă

funcţională, comportamentul unui agent economic.

Ecuaţiile sau relaţiile de definiţie sunt utilizate pentru precizarea unor noţiuni sau determinarea

unor variabile. În ecuaţiile de definiţie nu intervin parametri necunoscuţi.

Ecuaţiile de echilibru sunt utilizate pentru asigurarea coerenţei modelului.

Datele utilizate

Pentru estimarea parametrilor din ecuaţiile modelului sunt utilizate anumite date economice

referitoare la evoluţia fenomenelor analizate. Datele economice reprezintă reflectări cantitative sau

calitative ale dimensiunii, stării şi evoluţiei proceselor şi fenomenelor economice. Aceste date pot fi

descrise pornind de la mai multe criterii. Astfel, ca prezentare, datele pot fi disponibile ca serii de

timp (cronologice), de distribuţie sau de tip panel.

Seriile de timp corespund unor observaţii efectuate asupra stării unui fenomen economic la

intervale regulate de timp (evoluţia cursului de schimb, dinamica preţurilor, a consumului, a

veniturilor etc.).

Seriile de distribuţie (repartiţie), numite şi serii în tăietură transversală sau serii de date

instantanee reflectă starea, structura şi relaţiile care există între diferitele componente ale unui

sistem economic, la un moment dat. De exemplu, aceste serii reflectă distribuţia în spaţiu a

diferitelor caracteristici ale unui fenomen – şomajul regional, localizarea activităţilor etc., structura

unor agregate (structura sectorială a unei economii, structura ocupării, structura pe elemente a

costului de producţie ş.a.), sau starea unei variabile la un moment dat într-un anumit eşantion (de

exemplu, venitul şi consumul familiilor).

Datele de tip panel combină seriile de timp şi datele în structură transversală. Principalul

avantaj al analizei de tip panel constă în aceea că permite o mai mare flexibilitate în modelarea

diferenţelor înregistrate în comportamentele individuale.


13

Unitatea de

învăţare 1

Test de evaluare a cunoştinţelor

Timp estimat: 20 minute

1. În ce constă în interpretarea lui Malinvaud termenul de model?

2. În ce constă tipologia modelelor economice?

3. Prezentaţi etapele procesului de construcţie al unui model economico-matematic.

4. Ce este econometria?

5. Ce tipuri de variabile intâlnim într-un model econometric?

6. Care sunt tipurile de ecuaţii ce se regăsesc într-un model?

Observaţie: Răspunsurile la acest test se pot consulta la finalul unităţii de învătare.


14

Unitatea de

învăţare 1

În sens restrâns, econometria este definită ca o aplicaţie a

statisticii matematice în economie, astfel încât prin analiza şi

prelucrarea datelor economice să se ofere un suport empiric

modelelor construite de economia matematică12

.

În sens larg, econometria este înţeleasă ca o ştiinţă de graniţă

între economie, matematică şi statistică.

Un studiu econometric presupune parcurgerea următoarelor

etape:

(1) formularea modelului pornind de la teoria considerată

adecvată pentru explicarea evoluţiei unui proces economic,

(2) realizarea unei cercetări selective pentru generarea unor

serii de date referitoare la procesul respectiv,

(3) estimarea modelului,

(4) testarea ipotezelor teoretice folosite în construirea

modelului

(5) interpretarea rezultatelor.

Parametrii modelului pot fi definiţi ca fiind caracteristicile

cantitative ale sistemului studiat.

Prin ecuaţiile unui model se încearcă surprinderea legăturilor

dintre variabilele endogene şi cele explicative. Într-un model

econometric pot apărea ecuaţii de comportament, ecuaţii de

definiţie şi ecuaţii contabile (de echilibru).

Datele economice reprezintă reflectări cantitative sau calitative

ale dimensiunii, stării şi evoluţiei proceselor şi fenomenelor

economice.

12

Samuelson P.A., Koopmans T.C., Stone J.R.N., 1954, Report of the evaluative committee for Econometrica, în Econometrica, 22, pag.141-146.


15

Unitatea de

învăţare 1

Lucrări obligatorii

1. Jula N., Jula D., 2010, Modelare economică. Modele econometrice şi de optimizare,

Editura Mustang, Bucureşti, pag. 12-22

2. Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti

3. Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar-monetare, Editura Bren, Bucureşti

4. Jula N., 2006, Modelare economică – elemente de econometrie aplicată, Editura Mustang,

Bucureşti

5. Jula N., 2006, Modelare economică – econometrie aplicată, Editura Cartea Studenţească,

Bucureşti

6. Jula N., Jula D., 2009, Modelare economică. Econometrie financiară, Editura Mustang,

Bucureşti

7. Pecican E.S., 1996, Macroeconometrie. Politici economice guvernamentale şi econometrie,

Editura Economică, Bucureşti

Lucrări complementare

1. Andrei T., 2003, Statistică şi econometrie, Editura Economică, Bucureşti

2. Greene W.H., 2000, Econometric analysis, fourth edition, Prentice Hall, New Jersey

3. Maddala G.S., 2001, Introduction to econometrics, third edition, Wiley, New York

4. Taşnadi A., 2001, Econometrie, Editura ASE, Bucureşti

5. Tănăsoiu O., Iacob A.I., 1999, Econometrie aplicată, Editura Arteticart, Bucureşti.

6. Zaman C., 1998, Econometrie, Editura Pro Democraţia, Bucureşti

7. Dobrescu E., 2000, Macromodelul economiei româneşti de tranziţie, Editura Expert,

Bucureşti


16

Unitatea de

învăţare 1

1. În interpretarea lui Malinvaud "un model constă în reprezentarea formală a ideilor şi

cunoştinţelor relative la un anumit fenomen. Aceste idei, numite deseori teoria fenomenului,

se exprimă printr-un ansamblu de ipoteze asupra elementelor esenţiale ale fenomenului şi a

legilor care le guvernează. Acestea sunt în general traduse sub forma unui sistem matematic

numit model. Logica modelului ne permite să explorăm consecinţele naturale ale ipotezelor

reţinute, să le confruntăm cu rezultatele experimentale şi să ajungem pe această cale la o

cunoaştere mai bună a realităţii şi să acţionăm mai eficace asupra sa."

2. Vezi tablelul 1-1

3. Procesul de construcţie a unui model economico-matematic presupune parcurgerea mai

multor etape.

Într-o primă etapă, prin analiza unui obiect din realitatea economică (un proces, un fenomen

etc.) se identifică o mulţime finită de proprietăţi ale acestuia. Proprietăţile reţinute ca fiind

semnificative reprezintă teoria economică (modelul economic) elaborată pentru obiectul

respectiv din realitate.

În a doua etapă, se caută o teorie matematică în care poate fi descrisă o structură a

sistemului.

În etapa a treia, se realizează rezolvarea modelului.

În a patra etapă, aceste noi proprietăţi (informaţii) sunt transferate asupra obiectului

original

4. În sens restrâns, econometria este definită ca o aplicaţie a statisticii matematice în economie,

astfel încât prin analiza şi prelucrarea datelor economice să se ofere un suport empiric

modelelor construite de economia matematică.

5. Într-un model econometric pot fi distinse trei tipuri de variabile: variabile endogene,

variabile exogene şi variabile de abatere (eroare).

6. Într-un model econometric pot apărea ecuaţii de comportament, ecuaţii de definiţie şi ecuaţii

contabile (de echilibru).

Modele de optimizare - Modelul de programare lineară - Algoritmul Simplex

17

Unitatea de

învăţare 2

Unitatea de învăţare 2: Modele de optimizare - Modelul de

programare lineară. Algoritmul Simplex

Cuprins:

Modelul de programare lineară. Algoritmul Simplex

Formularea economică a problemei

Modelul matematic

Exemplu de calcul: Optimizarea utilizării suprafeţei agricole

Introducere


• Ce este algoritmul Simplex?

• Cum se utilizează algoritmul Simplex?

• Care sunt paşii algoritmului?

Obiectivele/competentele unităţii de învăţare

Însuşirea algoritmului Simplex

Situaţii în care este folosit algoritmul Simplex

Durata medie de parcurgere acestei unităţi de învăţare este de 3 ore şi 20

minute.


18

Unitatea de

învăţare 2

Modele de optimizare - Modelul de programare lineară. Algoritmul

Simplex

2.1. Formularea economică a problemei

Exemplu de calcul: Optimizarea utilizării suprafeţei agricole

Presupunem că o fermă agricolă dispune de 100 ha teren arabil pentru cultura a patru produse:

grâu, porumb, cartofi, floarea soarelui. De asemenea, sunt disponibile 4 tipuri de resurse (timp

utilaj, forţă de muncă, două tipuri de îngrăşăminte). Se cunosc, pe baza informaţiilor economice din

anii precedenţi disponibilul din aceste resurse şi consumul specific la un hectar cultivat, valori ce

sunt prezentate în tabelul următor.

Se cunoaşte, de asemenea, că fiecare hectar cultivat cu un anumit produs aduce un anumit profit.

Grâu Porumb Cartofi Floarea soarelui Disponibil

Resursa 1 5 2 5 7 400

Resursa 2 0 3 4 3 300

Resursa 3 3 6 4 5 500

Resursa 4 8 10 12 10 1000

Din experienţa anterioară, precum şi pornind de la elementele economice şi tehnologice

cunoscute, se estimează că profiturile unitare, pentru culturile respective sunt:

Produsul Profitul la ha (u.m.)

Grâu 5

Porumb 7

Cartofi 9

Floarea soarelui 8

Notăm x1 - suprafaţa cultivată cu grâu, x2 - suprafaţa cultivată cu porumb, x3 - suprafaţa

cultivată cu cartofi, x4 - suprafaţa cultivată cu floarea soarelui. În aceste condiţii, restricţiile privind

încadrarea în disponibilul de resurse (inclusiv folosirea suprafeţei de teren), condiţiile de

nenegativitate şi criteriul de optim se scriu astfel:


19

Unitatea de

învăţare 2

4321

4321

4321

432

4321

4321

8975max

4,,1,0

10001012108

5005463

300343

4007525

100

xxxxZ

ix

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

i

Pentru obţinerea formei standard a problemei de programare liniară, se notează s1,...,s5

variabilele de abatere introduse pentru a transforma în egalităţi relaţiile din model:

x1 + x2 + x3 + x4 + s1 = 100

5x1 + 2x2 + 5x3 + x4 + s2 = 400

+ 4x2 + 4x3 + 4x4 + s3 = 300

3x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 + s4 = 500

8x1 + 10x2 + 12x3 + 10x4 + s5 = 1000

xi 0, i = 1,...,4; si 0, i = 1,..., 6

Z = 5x1 + 7x2 + 9x3 + 8x4 Max

Datele din modelul de programare liniară sunt scrise în tabloul Simplex astfel:


20

Unitatea de

învăţare 2

Tabloul Simplex: 0

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 0

cb Baza VVB x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 s4 s5

0 s1 100 1 1 1 1 1 0 0 0 0 100

0 s2 400 5 2 5 7 0 1 0 0 0 80

0 s3 300 0 3 4 3 0 0 1 0 0 75

0 s4 500 3 6 4 5 0 0 0 1 0 125

0 s5 1000 8 10 12 10 0 0 0 0 1 83.3

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cj- zj 5 7 9 8 0 0 0 0 0

În tabloul precedent, în bază sunt înscrişi vectorii ataşaţi variabilelor s1, ..., s5.

Valorile variabilelor ataşate vectorilor din bază sunt prezentate în coloana VVB. Pe linia cj sunt

scrise, pentru fiecare variabilă, costurile din funcţia obiectiv (valorile cu care contribuie la funcţia

obiectiv), iar pe coloana cb sunt scrise costurile din funcţia obiectiv pentru variabilele ataşate

vectorilor din bază. Sunt scrise, de asemenea, pe coloană vectorii ataşaţi fiecărei variabile.

Fiecare element de pe linia zj se calculează ca produs scalar al vectorului cb şi vectorul xj

(respectiv sj). Elementele cj-zj se calculează ca diferenţă între elementele de pe liniile

corespunzătoare. Elementele cj-zj sunt utilizate pentru a testa optimalitatea soluţiei obţinute la

fiecare iteraţie. Pentru problema de maxim considerată, soluţia este optimă (algoritmul se opreşte)

atunci când pe linia cj-zj nu există valori strict pozitive.

Deoarece soluţia iniţială nu este optimă se continuă algoritmul. Se selectează vectorul care intră

în bază. Vectorul respectiv corespunde valorii maxime de pe linia cj-zj. În exemplul considerat,

acest vector este ataşat variabilei x3. Se calculează, pentru elementele pozitive ale vectorului care

intră în bază, rapoartele () dintre fiecare element al din VVB şi elementul corespunzător din

vectorul respectiv. Valoarea minimă a acestui raport, corespunde vectorului care iese din bază. În

cazul considerat, iese din bază vectorul s3. Elementul situat la intersecţia coloanei ataşate vectorului

care intră în bază cu linia corespunzătoare vectorului înlocuit se numeşte pivot. Se completează

următorul tablou Simplex ţinând seama de câteva reguli (vezi manual Modelare Economică.

Modele econometrice şi de optimzare, Ed. Mustang, 2010).


21

Unitatea de

învăţare 2

Tabloul Simplex: 1

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 0


0 s1 25 1 0.25 0 0.25 1 0 -0.25 0 0 25

0 s2 25 5 -1.75 0 3.25 0 1 -1.25 0 0 5

9 x3 75 0 0.75 1 0.75 0 0 0.25 0 0

0 s4 200 3 3 0 2 0 0 -1 1 0 66.7

0 s5 100 8 1 0 1 0 0 -3 0 1 12.5

zj 675 0 6.75 9 6.75 0 0 2.25 0 0

cj- zj 5 0.25 0 1.25 0 0 -2.25 0 0

Iteraţiile următoare se desfăşoară similar. Algoritmul se opreşte atunci când toate elementele de

pe ultima linie a tabloului Simplex sunt negative sau zero.

Tabloul Simplex: 2

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 0


0 s1 20 0 0.60 0 -0.40 1 -0.20 0.00 0 0 33.3

5 x1 5 1 -0.35 0 0.65 0 0.20 -0.25 0 0

9 x3 75 0 0.75 1 0.75 0 0.00 0.25 0 0 100

0 s4 185 0 4.05 0 0.05 0 -0.60 -0.25 1 0 45.7

0 s5 60 0 3.80 0 -4.20 0 -1.60 -1.00 0 1 15.8

zj 700 5 5 9 10 0 1 1 0 0

cj- zj 0 2 0 -2 0 -1 -1 0 0


22

Unitatea de

învăţare 2

Tabloul Simplex: 3

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 0

cb B VVB x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 s4 s5

0 s1 10.526 0 0 0 0.263 1 0.053 0.158 0 -0.158

5 x1 10.526 1 0 0 0.263 0 0.053 -0.342 0 0.092

9 x3 63.158 0 0 1 1.579 0 0.316 0.447 0 -0.197

0 s4 121.053 0 0 0 4.526 0 1.105 0.816 1 -1.066

7 x2 15.789 0 1 0 -1.105 0 -0.421 -0.263 0 0.263

zj 731.579 5 7 9 7.789 0 0.158 0.474 0 0.526

cj- zj 0 0 0 0.211 0 -0.158 -0.474 0 -0.526

Tabloul Simplex: 4

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 0


0 s1 3.488 0 0 0 0 1 -0.012 0.110 -0.058 -0.096

5 x1 3.488 1 0 0 0 0 -0.012 -0.390 -0.058 0.154

9 x3 20.930 0 0 1 0 0 -0.070 0.163 -0.349 0.174

8 x4 26.744 0 0 0 1 0 0.244 0.180 0.221 -0.235

7 x2 45.349 0 1 0 0 0 -0.151 -0.064 0.244 0.003

zj 737.209 5 7 9 8 0 0.209 0.512 0.047 0.477

cj- zj 0 0 0 0 0 -0.209 -0.512 -0.047 -0.477

Toate elementele de pe ultima linie a tabloului Simplex sunt negative sau zero, deci algoritmul

se opreşte. Soluţia obţinută, Z = 737.209, este optimă. Un profit maxim, poate fi obţinut dacă se

cultivă cu: grâu x1 = 3.49 ha; porumb x2 = 45.35 ha; cartofi x3 = 20.93 ha; floarea soarelui o

suprafaţă x4 = 26.74 ha. Rămân necultivate s1 = 3.49 ha de teren.

Tablou Simplex final oferă şi alte informaţii utile. Valorile zj - cj reprezintă preţurile umbră,

adică măsoară importanţa relativă a restricţiei respective în soluţia optimă: dacă disponibilul dintr-o

anumită resursă creşte cu o unitate, atunci valoarea funcţiei obiectiv se îmbunătăţeşte cu (zj - cj)


23

Unitatea de

învăţare 2

unităţi. De asemenea, prin tehnici specifice, se poate calcula domeniul de variaţie a disponibilului

din fiecare resursă, sau a coeficienţilor din funcţia obiectiv, astfel încât structura soluţiei optime să

nu se modifice. Rezultatele respective sunt prezentate în tabelele următoare.

Restricţia Deficit (-) /

Excedent (+)

Preţurile umbră

(Shadow Price)

suprafaţa disponibilă 3.488 0.000

R1 0.000 0.209

R2 0.000 0.512

R3 0.000 0.047

R4 0.000 0.477

Intervalul de variaţie a coeficienţilor din funcţia obiectiv:

Variabila Limita

inferioară

Valoarea

curentă

Limita

superioară

Creşterea

permisă

Scăderea

permisă

x1 1.906 5 5.800 0.800 3.094

x2 6.810 7 8.385 1.385 0.190

x3 6.267 9 9.133 0.133 2.733

x4 7.789 8 10.025 2.025 0.211

Intervalul de variaţie pentru termenul liber - Right Hand Side Ranges (disponibilul de resurse)

Variabila

(resursa)

Limita

inferioară

Valoarea

curentă

Limita

superioară

Creşterea

permisă

Scăderea

permisă

suprafaţa 96.512 100 Fără limită Fără limită 3.488

R1 290.476 400 700.000 300.000 109.524

R2 268.421 300 308.955 8.955 31.579

R3 378.947 500 560.000 60.000 121.053

R4 977.358 1000 1036.364 36.364 121.053


24

Unitatea de

învăţare 2

Se constată că viteza de creştere cea mai mare a profitului se poate obţine dacă se asigură

creşterea disponibilului din resursa R2 (resursa R2 are preţul umbră cel mai mare). Pentru ca

structura soluţiei optime să nu se modifice, creşterea disponibilului din resursa R2 poate avea loc în

limita a maximum 8.955 unităţi. Fie o creşterea a disponibilului din resursa R2 cu 8 unităţi (de la

300 la 308 unităţi). Atunci, valoarea profitului va creşte cu 8 0.512 = 4.096 unităţi, la 741.31

unităţi. Pentru verificare, prin calcul se determină tabloul final Simplex următor:

Tabloul Simplex: 4

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 0


0 s1 4.372 0 0 0 0 1 -0.012 0.110 -0.058 -0.096

5 x1 0.372 1 0 0 0 0 -0.012 -0.390 -0.058 0.154

9 x3 22.233 0 0 1 0 0 -0.070 0.163 -0.349 0.174

8 x4 28.186 0 0 0 1 0 0.244 0.180 0.221 -0.235

7 x2 44.837 0 1 0 0 0 -0.151 -0.064 0.244 0.003

zj 741.302 5 7 9 8 0 0.209 0.512 0.047 0.477

cj- zj 0 0 0 0 0 -0.209 -0.512 -0.047 -0.477

În noua soluţie optimă (soluţia post optimizare), creşte suprafaţa neutilizată (de la 3.488 ha la

4.372 ha), scad suprafeţele cultivate cu grâu şi porumb şi cresc suprafeţele cultivate cu cartofi şi

floarea soarelui.

Variab

ila

Valoare

iniţială

Valoare post-

optimizare

x1 3.488 0.372

x2 45.349 44.837

x3 20.930 22.233

x4 26.744 28.186

Analiza problemei poate continua, de exemplu prin impunerea restricţiei ca suprafaţa

disponibilă să fie utilizată integral. În aceste condiţii, soluţia optimă, obţinută în mod asemănător, în

5 iteraţii este:


25

Unitatea de

învăţare 2

Tabloul Simplex: 5

cj 5 7 9 8 0 0 0 0 -M

cb Baza VVB x1 x2 x3 x4 s2 s3 s4 s5 A1

5 x1 15.789 1 0 0 0 -0.053 0 -0.263 -0.184 3.526

9 x3 15.789 0 0 1 0 -0.053 0 -0.263 0.316 -1.474

8 x4 21.053 0 0 0 1 0.263 0 0.316 -0.079 -1.632

7 x2 47.368 0 1 0 0 -0.158 0 0.211 -0.053 0.579

0 s3 31.579 0 0 0 0 -0.105 1 -0.526 -0.868 9.053

zj 721.053 5 7 9 8 0.263 0 0.316 0.921 -4.625

cj- zj 0 0 0 0 -0.263 0 -0.316 -0.921 -M

Obs. A1 este vectorul ataşat unei variabile auxiliare, variabilă care penalizează funcţia obiectiv cu

o valoare mare M.

Soluţia optimă: Z = 721.053,

Variab

ila

Valoar

e

x1 15.789

x2 47.368

x3 15.789

x4 21.053

Restricţ

ia

Deficit (-)

/

Excedent

(+)

Preţurile

umbră

(Shadow

Price)

R1 0.000 0.263

R2 31.579 0.000

R3 0.000 0.316


26

Unitatea de

învăţare 2

R4 0.000 0.921

Intervalul de variaţie a coeficienţilor din funcţia obiectiv:

Variabila Limita

inferioară

Valoarea

curentă

Limita

superioară

Creşterea

permisă

Scăderea

permisă

x1 Fără limită 5 6.200 1.200 Fără limită

x2 5.500 7 8.667 1.667 1.500

x3 6.083 9 10.200 1.200 2.917

x4 7.000 8 19.667 11.667 1.000

Intervalul de variaţie pentru termenul liber - Right Hand Side Ranges (disponibilul de resurse)

Variabila

(resursa)

Limita

inferioară

Valoarea

curentă

Limita

superioară

Creşterea

permisă

Scăderea

permisă

suprafaţa 96.512 100 110.714 10.714 3.488

R1 320.000 400 700.000 300.000 80.000

R2 268.421 300 Fără

limită

Fără

limită 31.579

R3 433.333 500 560.000 60.000 66.667

R4 950.000 1000 1036.364 36.364 50.000

Cea mai rapidă îmbunătăţire a soluţiei se obţine prin suplimentarea disponibilului din R4

(preţului umbră al acestei restricţii este maxim, 0.921). Creşterea permisă a pentru R4, astfel încât

structura soluţiei optime să nu se modifice este de 36.364 unităţi. Adică, pornind de la condiţiile

prezentate, prin suplimentarea lui R4, soluţia problemei de programare liniară poate fi îmbunătăţită

cu 36.364 0.921 = 33.49 unităţi, de la 727.05 unităţi, la 754.54 unităţi. Noua soluţie optimă este:

Variabila Valoarea

iniţială

Valoarea

post-optimizare

x1 15.789 9.091

x2 47.368 45.454


27

Unitatea de

învăţare 2

Variabila Valoarea

iniţială

Valoarea

post-optimizare

x3 15.789 27.273

x4 21.053 18.182

În sfârşit, dacă se păstrează restricţia ca suprafaţa disponibilă să fie cultivată integral, iar

suprafaţa cultivată cu grâu să nu fie mai mică de 20 ha, suprafaţa cultivată cu porumb să nu fie sub

20 ha, cea cultivată cu cartofi să fie de cel puţin 10 ha, iar floarea soarelui să fie cultivată pe

minimum 20 ha, atunci, programul de producţie va fi următorul:

Variabila Valoarea

x1 20.000

x2 46.667

x3 13.333

x4 20.000

iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv: Z = 706.667


28

Unitatea de

învăţare 2



1. Cine este autorul algoritmului Simplex?

2. Cum se identifică elementul pivot?

3. Cum se calculează elementele de pe linia pivotului?

4. Ce reprezintă tehnica denumită pivotare?

5. Când se opreşte algoritmul?



29

Unitatea de

învăţare 2

Elementul situat la intersecţia coloanei ataşate vectorului care intră în

bază cu linia corespunzătoare vectorului înlocuit se numeşte pivot. Se

completează următorul tablou Simplex ţinând seama de câteva reguli,

astfel:

o - în coloana cb se scrie costul corespunzător vectorului introdus

în bază;

o - elementele de pe linia pivotului se calculează prin împărţirea

elementelor din tabloul precedent la pivot;

o - vectorul care conţine pivotul va avea 1 în poziţia pivotului şi 0

celelalte elemente;

o - coloanele care au 0 la intersecţia cu linia pivotului se scriu

identic în următorul tablou;

o - toate celelalte elemente din tablou se calculează prin tehnica

denumită pivotare: se construieşte un dreptunghi care are o

diagonală formată din pivot şi elementul care constituie obiectul

calculului pentru noul tablou; produsul elementelor de pe cealaltă

diagonală a dreptunghiului se scade din produsul elementelor de

pe diagonală pivotului, iar rezultatul se împarte la pivot.

Algoritmul se opreşte atunci când toate elementele de pe ultima linie a

tabloului Simplex sunt negative sau zero.


30

Unitatea de

învăţare 2







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


31

Unitatea de

învăţare 2

1. G. B. Danzig

2. Elementul situat la intersecţia coloanei ataşate vectorului care intră în bază cu linia

corespunzătoare vectorului înlocuit se numeşte pivot.

3. Elementele de pe linia pivotului se calculează prin împărţirea elementelor din tabloul

precedent la pivot

4. Tehnica pivotării: se construieşte un dreptunghi care are o diagonală formată din pivot şi

elementul care constituie obiectul calculului pentru noul tablou; produsul elementelor de pe

cealaltă diagonală a dreptunghiului se scade din produsul elementelor de pe diagonală

pivotului, iar rezultatul se împarte la pivot.

5. Algoritmul se opreşte atunci când toate elementele de pe ultima linie a tabloului Simplex

sunt negative sau zero.

Modele de optimizare - Modele de gestiune a stocului - Problema de transport

- Teoria firelor de aşteptare

32

Unitatea de

învăţare 3

Unitatea de învăţare 3 - Modele de optimizare

Cuprins:

Modele de gestiune a stocurilor

o Stocurile de materii prime

o Optimizarea gestiunii stocurilor

o Exemplu de calcul

Problema de transport

o Formularea problemei de transport

o Rezolvarea problemei de transport

o Exemplu de calcul

Teoria firelor de aşteptare

o Formularea problemei

o Modelul matematic

o Exemplu de calcul

Introducere


Când se foloseşte un algoritm de optimizare?

Care sunt modelele de optimizare a stocului?

Problema de transport - enunţ şi rezolvare.

Ce reprezintă teoria firelor de aşteptare?


Noţiunea de optimizare

Modele de gestiune a stocului



33

Unitatea de

învăţare 3

Problema de transport

Teoria firelor de aşteptare


minute.



34

Unitatea de

învăţare 3

Modele de optimizare

3.1. Stocurile de materii prime

Prin stoc se înţelege o cantitate oarecare de resurse, de orice fel, existentă la un moment dat şi

nefolosită într-un proces de transformare, indiferent de natura acestuia. În general se spune că o

resursă oarecare intră în stoc atunci când este înmagazinată într-un mod oarecare. În mod asemă-

nător, se spune că o resursă iese din stoc atunci când este consumată efectiv.

Volumul stocurilor este determinat de caracterul procesului de producţie, natura materiilor

prime, modul de aprovizionare şi eventualele dificultăţi ale acestui proces (frecvenţa şi regularitatea

sosirii lor în întreprindere, starea mijloacelor şi a căilor de transport ş.a.).

Stocul curent reprezintă cantitatea de materiale care trebuie să asigure continuitatea producţiei

în intervalul dintre două aprovizionări. Stocul de siguranţă reprezintă cantitatea de materiale

necesară pentru a preveni întreruperile din producţie determinate de unele dificultăţi în

aprovizionare, dificultăţi cauzate de evenimente cu caracter aleatoriu. Stocul sezonier cuprinde

materialele care sunt utilizate în producţie şi/sau sunt aduse în întreprindere numai în anumite

perioade ale anului. Această situaţie este determinată, în special, de ciclul producţiei industriale.

Elementele principale analizate în cadrul unui proces de stocare sunt: cererea de resurse, aprovi-

zionarea, costurile implicate, parametrii legaţi de timp.

Satisfacerea cererii de materii prime (resurse) este scopul procesului de stocare. Cererea apare

ca urmare a procesului de producţie şi depinde de nivelul producţiei şi consumurile specifice.

Volumul şi ritmul aprovizionării sunt determinate de cererea de resurse, durata de livrare a

produselor (intervalul dintre lansarea comenzii şi sosirea materiilor prime) şi costurile implicate în

acest proces.

Costurile implicate în cazul unui proces de stocare se pot grupa în trei categorii:

cl - cheltuielile de lansare a comenzii sunt compuse din suma cheltuielilor efectuate până la intrarea

produselor în stoc (cheltuielile legate de formularea comenzii, cheltuieli administrative

determinate de operaţia de reaprovizionare);

cs - cheltuielile de stocare compuse din cheltuielile de depozitare, întreţinere, asigurare, imobilizare

a capitalului financiar etc. Costul stocării este, de obicei, proporţional cu cantitatea de bunuri

stocată şi cu durata depozitării;

cp - costul de penalizare (cheltuielile de rupere a stocului) reprezintă pierderile înregistrate în

situaţiile în care cererea de resurse este superioară stocului (amenzi, întreruperea producţiei,

plata despăgubirilor pentru producţia nelivrată etc.). De obicei, aceste cheltuieli sunt

proporţionale cu cantitatea cerută din resursa respectivă şi nesatisfăcută şi cu durata penuriei.

Optimizarea gestiunii stocurilor

Se demonstrează că, dacă aprovizionarea se face la intervale fixe, în condiţiile unei cereri

constante în timp şi nu se admite posibilitatea rupturii de stoc, atunci cheltuielile totale (de lansare a

comenzii plus cele legate direct de procesul de stocare) sunt minime dacă:

– intervalul de timp dintre două aprovizionări succesive este:



35

Unitatea de

învăţare 3

s

lopt

cV

cT2 = t

– mărimea comenzii de aprovizionare este:

cT

cV2 = v

s

lopt

Atunci, nivelul minim al cheltuielilor totale este:

ccTV2 = C slopt

Simbolurile utilizate au următoarele semnificaţii:

topt - intervalul optim între două aprovizionări succesive;

vopt - mărimea lotului optim;

Copt - volumul minim al cheltuielilor totale (lansare a comenzii plus stocare a produselor);

T - intervalul de timp pentru care se face gestiunea;

V - cererea totală de produse pe intervalul T;

cl - cheltuielile de lansare;

cs - costul de stocaj pe unitatea de produs stocat.

În condiţiile de ruptură a stocului, elementele prezentate mai sus se calculează prin introducerea

unui factor de indisponibilitate:

c + c

c =

ps

p .

Atunci:

– intervalul de timp dintre două aprovizionări succesive este:

c

c+c

cV

cT2 = t

p

ps

s

lopt

– mărimea comenzii de aprovizionare este:

c

c+c

cT

cV2 = v

p

ps

s

lopt

– stocul optim este:

c+c

c

cT

cV2 = s

ps

p

s

lopt

Nivelul minim al cheltuielilor totale este:

c+c

c ccTV2 = C

ps

p

slopt

Simbolurile utilizate au următoarele semnificaţii:



36

Unitatea de

învăţare 3

topt - intervalul optim între două aprovizionări succesive;

vopt - mărimea lotului optim;

Copt - volumul minim al cheltuielilor totale (lansare a comenzii plus stocare a produselor);

sopt - mărimea stocului optim;

T - intervalul de timp pentru care se face gestiunea;

N - cererea totală de produse pe intervalul T;

cl - cheltuielile de lansare;

cs - costul de stocaj, pe unitatea de produs stocat;

cp - costul de penalizare.

Exemplu de calcul

Pentru exemplificarea modului de calcul, să presupunem că la un nivelul unei firme, care are ca

obiect de activitate realizarea unor produse industriale, cererea anuală (T = 360) pentru tablă de oţel

este de V = 5000 tone. În tot timpul anului cererea este continuă şi constantă pe perioade egale. Prin

analize statistice privind perioadele anterioare, s-a calculat costul de stocaj pentru o unitate (o tonă),

pe zi cs = 1000 unităţi monetare. Cheltuielile de lansare a comenzii (cheltuieli administrative, plata

achizitorului, delegaţi pentru recepţie, transport etc.) sunt cl = 5 mil. unităţi monetare/lot şi sunt

independente de volumul lotului.

În aceste condiţii, cantitatea optimă de aprovizionat (lotul optim) este:

(tone) 372.7 1000360

500000050002 = vopt

Perioada optimă între două aprovizionări succesive este:

(zile) 27 10005000

50000003602 = topt

Costul total minim al gestiunii este:

(mil.u.m.) 134 5000000100036050002 = Copt 2.

Dacă se admite posibilitatea ruperii stocului, introducând un cost de penalizare de 2500 u.m. pe

unitate, pe zi, factorul de indisponibilitate va fi:

0.71 = 2500 + 1000

2500 =

şi atunci:

– lotul optim pentru evitarea ruperii stocului:

(tone) 441 0.71

1 372.7 = vopt

– stocul optim:

sopt = 4410.71 = 313 (tone)



37

Unitatea de

învăţare 3

– perioada între două aprovizionări succesive:

(zile) 32 0.71

1 27 = topt

– costul total minim al gestiunii stocului:

(mil.u.m.) 113 0.71 134.2 = Copt

Se observă că, în cazul unui cost de penalizare relativ mic, se poate admite ruptura stocului în

vederea obţinerii unui cost total mai mic (în problema analizată, cu aproximativ 20 mil.u.m.).

3.2. Problema de transport

Rezolvarea problemei de transport

Algoritmul pentru rezolvarea problemei de transport se bazează pe teorema ecarturilor

complementare.

1. Algoritmul pentru obţinerea soluţiei optime a problemei de transport presupune ca prim pas

determinarea unei soluţii iniţiale de bază. Metoda generală de obţinere a unei soluţii iniţiale de

bază porneşte de la determinarea valorii jiij bax ,min . Pornind de la această metodă

generală, sunt cunoscute mai multe variante de generare a soluţiei de bază.

a) Metoda colţului de Nord-Vest..

b) Metoda costului minim din tabel. Se cunosc două sub-variante ale variantei b:

b-1) Metoda elementului minim pe linie;

b-2) Metoda elementului minim pe coloană.

c) Metoda diferenţelor maxime (Vögel)

După aplicarea uneia dintre metodele descrise pentru (1) determinarea unui program iniţial al

problemei de transport, algoritmul simplificat pentru obţinerea soluţiei optime a problemei

presupune parcurgerea în continuare a mai multor paşi. (vezi Bibliografie şi exemplul următor)

Exemplu de calcul

În 3 depozite Ai, 1 i 3 se află un produs solicitat de 5 consumatori Bj, 1 j 5. Cantităţile

disponibile în fiecare depozit, cantităţile solicitate de fiecare consumator şi costurile unitare de

transport de la fiecare depozit la fiecare consumator sunt prezentate în tabelul următor. Se cere să se

determine un program de transport, astfel încât cheltuielile totale de transport să fie minime.



38

Unitatea de

învăţare 3

B1 B2 B3 B4 B5 Disponibil

A1 15 8 12 6 12 2500

A2 5 20 15 10 4 1500

A3 12 10 8 12 8 2000

Necesar 1500 2000 500 1200 800

Soluţia iniţială, obţinută prin metoda costului minim din tabel este:


A1 1300 1200 2500

A2 700 800 1500

A3 800 700 500 2000

Necesar 1500 2000 500 1200 800

Pentru această soluţie a problemei de transport, valoarea funcţiei obiectiv este:

Z = 13008 + 12006 + 7005 + 8004 + 80012 + 70010 + 5008 = 44900

Testarea optimalităţii acestei soluţii de bază se realizează potrivit algoritmului prezentat.

Calculăm, în primul rând, valorile ui şi vj din condiţiile ui + vj = cij, (i, j) I, adică, pentru fiecare

cuplu (i, j) corespunzător soluţiei de bază.

v1 v2 v3 v4 v5

u1 8 6

u2 5 4

u3 12 10 8

Sistemul obţinut este:

8

1012

45

68

33

2313

5212

4121

vu

vuvu

vuvu

vuvu



39

Unitatea de

învăţare 3

Rezolvarea sistemului se realizează prin impunerea condiţiei u3 = 0. Valorile obţinute pentru ui,

vj, precum şi diferenţele ijji cvu sunt prezentate în tabelul următor. Celulele care conţin zero

corespund soluţiei de bază.

ijji cvu v1 = 12 v2 = 10 v3 = 8 v4 = 8 v5 = 11

u1 = -2 -5 0 -6 0 -3

u2 = -7 0 -17 -14 -9 0

u3 = 0 0 0 0 -4 3*

Dacă toate aceste diferenţe sunt negative sau zero soluţia este optimă. Dacă există diferenţe

pozitive, algoritmul continuă. Se alege valoarea maximă dintre diferenţele pozitive. Poziţia acestei

diferenţe pozitive maxime este marcată cu (*). Se construieşte, potrivit algoritmului prezentat,

ciclul corespunzător diferenţei respective. Acest ciclu este, de asemenea, marcat în tablou.


A1 1300 1200 2500

A2 700(+) 800(-) 1500

A3

800(-)

700 500

(+) * 2000

Necesar 1500 2000 500 1200 800

Noua soluţie de bază este prezentată în tabloul următor:


A1 1300 1200 2500

A2 1500 0 1500

A3 700 500 800 2000

Necesar 1500 2000 500 1200 800

Testarea optimalităţii pentru noua soluţie de bază se realizează similar iteraţiei precedente.

Calculăm, în primul rând, valorile ui şi vj din condiţiile ui + vj = cij, pentru fiecare cuplu (i, j)

corespunzător soluţiei de bază.



40

Unitatea de

învăţare 3

v

1

v2 v3 v4 v5

u1 8 6

u2 5 4

u3 10 8 8

Sistemul obţinut este:

8

810

45

68

53

3323

5212

4121

vu

vuvu

vuvu

vuvu

Rezolvarea sistemului se realizează prin impunerea condiţiei u3 = 0. Valorile obţinute pentru ui,

vj, precum şi diferenţele ijji cvu sunt prezentate în tabelul următor.

ijji cvu v1 = 9 v2 = 10 v3 = 8 v4 = 8 v5 = 8

u1 = -2 -8 0 -6 0 -6

u2 = -4 0 -14 -11 -6 0

u3 = 0 -3 0 0 -4 0

Toate diferenţele ijji cvu sunt negative sau zero, deci soluţia este optimă. Această soluţie

propune ca programul optim de transport să fie următorul:

Sursa Destinaţia Cantitatea transportată

A1 B2 1300

A1 B4 1200

A2 B1 1500

A3 B2 700

A3 B3 500

A3 B5 800

Valoarea funcţiei obiectiv pentru programul de transport optim:

Z = 13008 + 12006 + 15005 + 70010 + 5008 + 8008 = 42500.



41

Unitatea de

învăţare 3

3.3. Teoria firelor de aşteptare

Formularea problemei

Timpul de aşteptare în vederea servirii şi durata servirii propriu-zise sunt în funcţie de ritmul

sosirii solicitanţilor şi operativitatea răspunsului oferit de sistemul de servire.

Studiul problemelor legate de procesele de aşteptare a generat metode specifice de analiză,

grupate în teoria matematică a sistemelor de aşteptare13

Modelul matematic

Dacă există o singură staţie de servire, venirile în sistem sunt întâmplătoare, independente unele

de altele şi nelimitate, numărul de sosiri pe unitatea de timp este o variabilă aleatoare repartizată

Poisson cu media λ, serviciile sunt independente între ele şi nu depind de sosiri, durata serviciului

fiind o variabilă aleatoare cu o repartiţie exponenţial negativă de parametru µ, iar ordinea de servire

este primul venit - primul servit (FIFO), clienţii fiind serviţi în ordinea sosirii14

, atunci se

demonstrează ca15

:

(a) numărul mediu de solicitanţi în şirul de aşteptare (nf);

(b) numărul mediu de solicitanţi în sistem (în şir sau în curs de servire) (ns);

(c) timpul mediu de aşteptare în şir (ts);

(d) timpul mediu de aşteptare în sistem (ts)

se calculează astfel:

- 1 = n

2

f

- 1 = ns

) - (1 = t f

) - (1

1 = t s

13

Primele lucrări în domeniul teoriei aşteptării sunt cele ale lui Karl Erlang (1908) efectuate pentru compania de telefoane din

Copenhaga. Terminologia utilizată în modelele din teoria sistemelor de aşteptare s-a impus după prezentarea de către D.G. Kendall la Societatea Regală de Statistică din Londra a cărţii Some Problems in the Theory of Quenes, J.Ray Statist. Soc., Ser. B, 13, No.2, 1951 (vezi A.M.Lee, Teoria aşteptării cu aplicaţii, Bucureşti, Editura Tehnică, 1976, p.15-16). În limba română, pot fi consultate, pe lângă lucrarea menţionată, şi altele. Cităm doar: Gh.Mihoc, G. Ciucu, Introducere în teoria aşteptării, Bucureşti, Editura Tehnică, 1967; Gh. Mihoc, G. Ciucu, A. Muja, Modele matematice ale aşteptării , Bucureşti, Editura Academiei, 1973. 14

Această regulă este numită FIFO (first in first out). Există şi alte reguli de servire: LIFO (last in first out), adică ultimul venit, primul servit

(de exemplu produsele sunt ambalate în cutii şi aşezate în stivă lângă vânzător; servirea se va face prima dată din cutia aşezată deasupra, adică ultima adusă etc.); servire aleatoare - când fiecare cerere poate fi servită cu aceeaşi probabilitate; servire cu aplicarea unor reguli de prioritate; disciplină de servire de tipul următor: prima cerere din şirul de aşteptare este servită numai o perioadă de timp (cuantă), după care, dacă cererea a fost satisfăcută integral, solicitantul părăseşte sistemul, dacă nu, intră din nou în şirul de aşteptare pentru continuarea serviciului (metodă utilizată, de exemplu, pentru servirea solicitanţilor unui sistem de calcul) . 15

Pentru demonstrarea acestor formule vezi, de exemplu, acad. O. Onicescu, Probabilităţi şi procese aleatoare, Bucureşti, Editura

Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1977, p.486-502; A. M. Lee, Teoria aşteptării cu aplicaţii, Bucureşti, Editura Tehnică, 1976, p.31-38; G. Boldur Lăţescu, I. Săcuiu, E. Ţigănescu, Cercetare operaţională cu aplicaţii în economie, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1979, p.232-240 ş.a.



42

Unitatea de

învăţare 3

unde:

=

este denumit factorul de serviciu, iar:

λ - parametrul ce caracterizează sosirile în sistem (media sosirilor);

µ - parametrul ce caracterizează durata servirii (numărul mediu al solicitanţilor serviţi în unitatea

de timp).

Mai mult, probabilitatea ca un solicitant să aştepte în şir un timp mai mare decât un timp dat t0

este:

e = )t > tP( )-(1 t-0f

0

probabilitatea ca un solicitant să aştepte:

P(tf > 0) = ρ

şi, de aici, probabilitatea ca unitatea de servire să nu fie ocupată este:

P(ns = 0) = 1 – ρ

Timpul mediu de inactivitate al unităţii de servire într-un anumit interval T este:

Tn = (1 – ρ)T

Exemplu de calcul

Pentru exemplificarea modului de calcul al elementelor prezentate, să considerăm că la un

magazin de pâine sosesc 25 de cumpărători la fiecare 10 minute, iar timpul necesar servirii unui

cumpărător este, în medie, de 20 de secunde. În acest caz, luând ca unitate de timp minutul, se

calculează:

λ = 2.5 solicitanţi pe minut;

µ = 3 cumpărători serviţi pe minut;

- numărul mediu de persoane în şir:

nj = 4.17 persoane;

- numărul mediu de persoane în şir sau în curs de servire:

ns = 5 persoane;

- timpul mediu de aşteptare al unei persoane în şirul de aşteptare:

tf = 1.67 minute;

- timpul mediu de aşteptare al unei persoane în sistem:

ts = 2 minute;

- probabilitatea ca un solicitant să aştepte un timp mai mare de 5 minute:

P(tf > 5) = 6.84%;

- probabilitatea ca unitatea să nu fie ocupată, să nu existe nici un solicitant:

P(ns = 0) = 16.7%;



43

Unitatea de

învăţare 3

- timpul mediu de inactivitate al unităţii de servire într-o oră:

Tn(1 oră) = 10 minute.

În cazul în care există mai multe unităţi de servire, relaţiile de determinare a numărului de

solicitanţi ce aşteaptă să fie serviţi şi a timpului de aşteptare sunt mai complicate.

Notând ca mai înainte ρ = λ/µ şi ρ* = ρ/s, unde s = numărul de unităţi care sunt la dispoziţia

solicitanţilor, atunci:

) - (1

s! p = n 2*

*s

0f

+

) - (1

s! p = n 2*

*s

0s

) - (1

1

s! s p = t 2*

s

0f

1 + t = t fs

unde p0 este probabilitatea ca în sistemul de aşteptare să nu fie nici o persoană şi:

) - (1 s! +

n! = p

*

nn1-s

0=n

-1

0

Probabilitatea ca toate punctele de servire să fie ocupate la un moment dat (Ps0) se calculează:

- s

s p

s! = P 0so

Probabilitatea ca timpul de aşteptare a unui solicitant în firul de aşteptare să nu depăşească un

timp dat t0 este:

p e - s

s

s! = )t < tP(

0t) - (s-

0f0

Dacă s = 2 (numărul de unităţi sau puncte de servire), timpul de aşteptare în şir este dat de

relaţia

1

2

- 12

= t

22

f

/ ,

iar numărul de solicitanţi în firul de aşteptare

2 - 1

2 = n

22

f / .

De asemenea, timpul de aşteptare în sistem

1 + t = t fs ,



44

Unitatea de

învăţare 3

iar numărul de solicitanţi

ns = nf + ρ.

Să presupunem că pentru un produs se înregistrează în medie 90 solicitanţi pe oră, iar timpul

necesar pentru satisfacerea unei cereri urmează o lege de repartiţie exponenţială negativă şi este în

medie 1.2 minute. În acest caz, dacă unitatea de timp considerată este ora,

λ = 90 persoane pe oră;

µ = 60/1.2 = 50 persoane pe oră,

deci

ρ = 90/50 = 1.8

Deoarece ρ > 1, dacă solicitanţii ar fi serviţi de un singur vânzător, în sistem s-ar produce o

aglomerare nelimitată. Dacă servirea este asigurată de doi vânzători, pentru şirul de aşteptare

format, factorul de servire va fi

ρ* = ρ/2 = 0.9 < 1

Atunci, potrivit relaţiilor prezentate mai sus:

- timpul mediu de aşteptare al unui solicitant la coadă:

tf = 5.1 minute;

- timpul mediu de aşteptare al unui solicitant în sistem:

ts = 6.3 minute;

- numărul mediu de persoane în şirul de aşteptare:

nf = 7.67 persoane;

- numărul mediu de persoane în sistem:

ns = 9.47 persoane.

Există modele ale teoriei firelor de aşteptare construite şi în alte ipoteze, privind natura

repartiţiei sosirilor şi a timpilor de servire, disciplina de servire, populaţia din care sosesc

solicitanţii, capacitatea staţiilor de servire etc.

Din aceste aspecte prezentate, pentru problema abordată - reducerea timpului necesar realizării

unui serviciu - se impune precizarea că servirea unui număr cât mai mare de solicitanţi în unitatea

de timp (în terminologia utilizată în teoria aşteptării, reducerea factorului de serviciu) şi deci

reducerea timpului de aşteptare se poate realiza prin creşterea numărului unităţilor de servire, iar în

cadrul acestora a numărului posturilor de servire (vânzători) pentru produsele la care ritmul sosirii

solicitanţilor este ridicat. Fie, de exemplu, un produs a cărui vânzare necesită 10 minute (alegerea

produsului, proba de funcţionare, completarea certificatului de garanţie etc.). Dacă într-o oră sosesc

5 solicitanţi ai produsului respectiv, timpul mediu de aşteptare al unui solicitant, în vederea servirii

este, potrivit relaţiei prezentate mai sus (cazul s = 1):

6

5 - 1 6

6

5

= ) - (1

= t f

tf = 0.83 ore = 50 min.

Timpul de aşteptare în sistem este:



45

Unitatea de

învăţare 3

ts = tf + 10 minute = 60 minute.

Dacă pentru produsul respectiv există două staţii de servire, aproximativ identice, deci pentru

acelaşi şir de aşteptare doi vânzători, atunci timpul mediu de aşteptare al unui solicitant în vederea

servirii este:

)(5/12 - 16 =

1

2 - 1

2 = t 22

2

f

2

12

5

adică,

tf = 0.035 ore = 2.1 min.

iar timpul de aşteptare în sistem:

ts = 12.1 minute.

Din punctul de vedere al cumpărătorului, aceasta înseamnă, în medie, o economie de 47.9

minute. Dacă în aceeaşi zonă există două magazine care desfac produsul respectiv, iar cumpărătorii

se împart între acestea, astfel încât la o unitate să sosească în medie 2.5 solicitanţi pe oră, timpul

mediu de aşteptare al unei persoane în vederea servirii este:

tf = 7.2 minute,

iar timpul de aşteptare în sistem:

ts = 17.2 minute,

adică o economie de 42.8 minute.

În ambele cazuri se realizează o importantă economie de timp (ca valoare medie).



46

Unitatea de

învăţare 3



1. Ce reprezintă procesul de stocare?

2. Ce reprezintă stocul curent?

3. Care sunt cele 3 categorii de costuri implicate în procesul de stocare?

4. Când este echilibrată problema de transport?

5. Care este teorema pe care se bazează rezolvarea problemei de transport?

6. Ce teorie stă la baza firelor de aşteptare?




47

Unitatea de

învăţare 3

Procesul de stocare reprezintă acumularea unor bunuri în

vederea satisfacerii unei cereri viitoare.

Prin stoc se înţelege o cantitate oarecare de resurse, de orice fel,

existentă la un moment dat şi nefolosită într-un proces de

transformare, indiferent de natura acestuia.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei de transport se bazează

pe teorema ecarturilor complementare: dacă ui şi vj sunt variabile

ataşate în problema duală restricţiilor din problema de transport,

atunci ansamblul de valori ale variabilelor xij, ui şi vj (i = 1, ..., m;

j = 1, ..., n) constituie programe optimale ale cuplului de probleme

de transport dacă şi numai dacă:

0;0,,1,,10

,1,;,1,11

jiijijjiijij

m

i

jij

n

j

iij

vucxvucnjmix

njbxmiax

Din ultima relaţie se deduce faptul că, dacă xij ≠ 0 (adică, dacă

xij este în bază) atunci cij – ui – vj = 0, echivalent cu ui + vj = cij..

Studiul problemelor legate de procesele de aşteptare a generat

metode specifice de analiză, grupate în teoria matematică a

sistemelor de aşteptare.



48

Unitatea de

învăţare 3







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti



49

Unitatea de

învăţare 3

1. Procesul de stocare reprezintă acumularea unor bunuri în vederea satisfacerii unei cereri

viitoare.

2. Stocul curent reprezintă cantitatea de materiale care trebuie să asigure continuitatea produc-

ţiei în intervalul dintre două aprovizionări.

3. Costurile implicate în cazul unui proces de stocare se pot grupa în trei categorii:

cl - cheltuielile de lansare a comenzii sunt compuse din suma cheltuielilor efectuate până

la intrarea produselor în stoc (cheltuielile legate de formularea comenzii, cheltuieli

administrative determinate de operaţia de reaprovizionare);

cs - cheltuielile de stocare compuse din cheltuielile de depozitare, întreţinere, asigurare,

imobilizare a capitalului financiar etc. Costul stocării este, de obicei, proporţional cu

cantitatea de bunuri stocată şi cu durata depozitării;

cp - costul de penalizare (cheltuielile de rupere a stocului) reprezintă pierderile

înregistrate în situaţiile în care cererea de resurse este superioară stocului (amenzi,

întreruperea producţiei, plata despăgubirilor pentru producţia nelivrată etc.). De

obicei, aceste cheltuieli sunt proporţionale cu cantitatea cerută din resursa respectivă

şi nesatisfăcută şi cu durata penuriei.

4. Problema de transport este echilibrată dacă suma cantităţilor din depozite este egală cu suma

solicitărilor.

5. Algoritmul pentru rezolvarea problemei de transport se bazează pe teorema ecarturilor

complementare: dacă ui şi vj sunt variabile ataşate în problema duală restricţiilor din

problema de transport, atunci ansamblul de valori ale variabilelor xij, ui şi vj (i = 1, ..., m; j =

1, ..., n) constituie programe optimale ale cuplului de probleme de transport dacă şi numai

dacă:

0;0,,1,,10

,1,;,1,11

jiijijjiijij

m

i

jij

n

j

iij

vucxvucnjmix

njbxmiax

6. Studiul problemelor legate de procesele de aşteptare a generat metode specifice de analiză,

grupate în teoria matematică a sistemelor de aşteptare.

Modele econometrice – modelul linear de regresie

50

Unitatea de

învăţare 4

Unitatea de învăţare 4 - MODELE ECONOMETRICE – MODELUL

LINEAR DE REGRESIE

Cuprins:

Modelul linear unifactorial

o Ecuaţia de regresie

o Metoda celor mai mici pătrate

o Ipotezele modelului linear unifactorial

o Proprietăţi ale estimatorilor

Modelul linear multifactorial

o Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial – metoda celor

mai mici pătrate

o Ipotezele modelului

o Proprietăţi ale estimatorilor calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate

Exemple de calcul

o Modelul linear unifactorial

o Modelul linear multifactorial

Introducere


• Ce este modelul linear unifactorial de regresie?

• Ce este modelul linear multifactorial de regresie?

• Care sunt proprietăţile estimatorilor calculaţi prin aceste modele?


51

Unitatea de

învăţare 4


Însuşirea modelelor unifactorial şi multifactorial de regresie

Proprietăţile estimatorilor calculaţi prin aceste modele


minute.


52

Unitatea de

învăţare 4

MODELE ECONOMETRICE – MODELUL LINEAR DE

REGRESIE

Începem acest modul prin analiza unui exemplu ipotetic privind dinamica masei monetare şi a

inflaţiei într-o perioadă dată de timp. Din teoria economică se cunoaşte faptul că masa monetară şi

rata inflaţiei sunt două variabile care nu evoluează independent una de alta. Admitem faptul că

masa monetară depinde – în mare măsură – de nivelul preţurilor.

Reţinem ideea că masa monetară depinde linear de nivelul preţurilor, adică

M = f(P, e),

unde prin e am simbolizat ceilalţi factori care contribuie la dinamica masei monetare.

În cazul general, se notează cu Y variabila explicată (în exemplul prezentat M ≡ Y) şi X –

variabila explicativă (în exemplul prezentat P ≡ X). Scriem atunci relaţia precedentă astfel:

Y = f(X, e),

unde Y este variabila endogenă, X – variabila exogenă, iar e reprezintă un factor perturbator, de

natură aleatoare.

4.1. Modelul linear unifactorial

Să acceptăm, pentru început, ipoteza că masa monetară depinde linear de nivelul preţurilor şi

să notăm M(Y/X) valoarea anticipată a masei monetare atunci când nivelul preţurilor atinge

valoarea X. Adică, în ipoteza de linearitate menţionată, acceptăm că

M(Y / X) = a0 + a1X

unde a0 şi a1 sunt parametrii modelului.

4.1.1. Ecuaţia de regresie

Ecuaţia de regresie poate fi scrisă astfel:

Y = a0 + a1X + e,

unde Y este variabila endogenă (variabila explicată prin model), X este variabila exogenă

(variabila explicativă), a0 şi a1 sunt parametrii modelului, iar e reprezintă eroarea sau abaterea

dintre valoarea anticipată a endogenei şi valoarea efectiv înregistrată.

Forma exactă a ecuaţiei de regresie nu este cunoscută. Se admite, în acest punct, doar ipoteza că

relaţia dintre Y şi X este lineară. În aceste condiţii, problema modelării legăturii dintre masa

monetară şi preţuri este aceea de a determina, folosind datele disponibile, o formă cât mai adecvată

a relaţiei dintre cele două variabile.


53

Unitatea de

învăţare 4

4.1.2. Metoda celor mai mici pătrate

Prin reprezentarea într-un sistem de axe (XOY) a punctelor de coordonate (Xt, Yt) se obţine un

nor de puncte (aşa ca în figura 2-1).

Y t

Xt

t10t XaaY

ut

Y

X

XaaY 10

Figura 2–1: Dreapta de regresie şi variabila reziduală

Grafic, criteriul aplicat în cazul metodei celor mai mici pătrate este următorul: dreapta care

asigură cea mai bună ajustare a punctelor empirice (dreapta de regresie) este aceea pentru care se

minimizează suma pătratelor abaterilor dintre punctele de pe grafic şi punctele care au aceiaşi

abscisă pe dreapta de regresie, abaterile fiind măsurate vertical.

Analitic, se demonstrează că valorile (â0, â1) care minimizează suma pătratelor abaterilor u

dintre datele înregistrate ale variabilei Y şi valorile calculate Ŷ sunt soluţiile sistemului de ecuaţii

normale:

n

t

n

t

n

t

tttt

n

t

t

n

t

t

XaXaYX

XaanY

1 1 1

2

10

1

10

1

ˆˆ

ˆˆ

(Vezi demonstraţia în referinţele bibliografice şi în exemplele de calcule)

4.1.3. Ipotezele modelului linear unifactorial

Estimarea parametrilor din ecuaţia de regresie se bazează pe o serie de ipoteze referitoare la

forma dependenţei dintre variabile, la variabila explicativă şi la variabila de abatere.

Ipoteza I-1: linearitatea modelului.

Ipoteza I-2: variabila X are dispersia nenulă şi finită.

Ipoteza I-3: variabila X nu este aleatoare.

Ipoteza I-4: erorile sunt aleatorii, cu media zero.


54

Unitatea de

învăţare 4

Ipoteza I-5: dispersia erorii este constantă.

Ipoteza I-6: erorile nu sunt autocorelate.

Ipoteza I-7: erorile sunt normal distribuite.

4.1.4. Proprietăţi ale estimatorilor

Pornind de la ipotezele prezentate, pot fi demonstrate o serie de proprietăţi ale estimatorilor

calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate pentru parametrii modelului linear unifactorial16

.

Proprietatea P-1: estimatorii sunt lineari.

Proprietatea P-2: estimatorii sunt nedeplasaţi.

Proprietatea P-2': estimatorii sunt consistenţi.

Proprietatea P-3: estimatorii sunt eficienţi.

Proprietatea P-4: estimatorii sunt normal distribuiţi.

Proprietatea P-5: estimatorii sunt de maximă verosimilitate.

În literatura de specialitate se foloseşte expresia BLUE (Best Linear Unbiased Estimators)

pentru estimatorii parametrilor din modelul de regresie lineară calculaţi prin metoda celor mai mici

pătrate, atunci când estimatorii respectivi îndeplinesc condiţiile din teorema Gauss-Markov.

Concluzia este următoarea:

Dacă în modelul de regresie lineară, variabila exogenă are dispersia nenulă, dar finită şi este

independentă faţă de erori, iar erorile sunt variabile aleatoare independente între ele, normal

distribuite, cu medie zero şi dispersia constantă, atunci estimatorii obţinuţi prin metoda celor

mai mici pătrate sunt lineari, nedeplasaţi (consistenţi), eficienţi, normal distribuiţi şi de

maximă verosimilitate.

4.2. Modelul linear multifactorial

În subcapitolul precedent a fost analizat un caz simplu, al dependenţei lineare dintre două

variabile X şi Y, sub forma Y = f(X, e). De cele mai multe ori însă, intercondiţionările dintre

procesele economice sunt mult mai complexe, astfel încât evoluţia unei variabile Y nu depinde de

16

Pentru demonstraţia proprietăţilor vezi Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, cap.2, anexele 2.A.6 – 2.A.10, pag.56-70.


55

Unitatea de

învăţare 4

un singur factor, ci de o serie de factori. De exemplu, inflaţia este un proces economic deosebit de

complex, care depinde de evoluţia salariilor în economie, de dinamica productivităţii muncii, de

cursul de schimb al monedei naţionale, de ratele dobânzii, de preţurile la energie pe plan

internaţional etc.

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e

unde Y este variabila endogenă, X1, X2, …, Xk sunt k variabile explicative, a0, a1, a2, …, ak sunt k+1

parametri necunoscuţi, iar e este variabila de abatere (eroarea) din ecuaţia de regresie.

Eroarea e reflectă, la fel ca în modelul linear unifactorial, influenţa elementelor calitative

necuantificabile, a celor care depind de comportamentul uman nepredictibil, sau a altor factori cu

influenţă minoră, alţii decât X1, X2, …, Xk.

Parametrul a0 modelează comportamentul autonom al variabilei endogene, iar parametrii ai

cuantifică intensitatea influenţei factorului Xi asupra variabilei Y.

4.2.1. Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial – metoda celor mai mici

pătrate

Presupunem că printr-o cercetare selectivă sunt obţinute n înregistrări. Fiecare înregistrare

conţine o singură valoare pentru variabila Y şi câte o valoare pentru fiecare dintre variabilele

explicative.

Scriem Xit valoarea variabilei i, în înregistrarea t, unde k,1i , iar n,1t .

Sistemul poate fi scris, concentrat, astfel:

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + ... + akXkt + et.

Introducem următoarele notaţii:

knnn

k

k

k

n XXX

XXX

XXX

XXX

X

Y

Y

Y

Y

Y

21

32313

22212

12111

3

2

1

1

1

1

1

,

nk e

e

e

e

e

a

a

a

a

A

3

2

1

2

1

0

,

unde:

– Y este un vector coloană, de dimensiuni n 1, care are drept componente cele n înregistrări ale

variabilei explicate (endogene),

– X este o matrice de dimensiuni n (k+1), care conţine în prima coloană (ataşată termenului

liber) constanta 1, iar în celelalte k coloane înregistrările pentru fiecare dintre cele k variabile

explicative;

– A este un vector coloană, de dimensiuni (k+1) 1, care include cei k+1 parametri ai

modelului;


56

Unitatea de

învăţare 4

– e este un vector coloană, de dimensiuni n 1, care include cele n valori ale variabilei de

abatere (erorile din ecuaţie de regresie)

Cu aceste notaţii, sistemul poate fi scris matriceal astfel:

Y = XA + e.

Dacă se selectează valorile obţinute în înregistrarea t pentru variabilele din ecuaţia precedentă,

atunci

Ŷt = â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt.

Valoarea înregistrată Yt nu coincide cu valoarea calculată Ŷt pe baza modelului, diferenţa dintre

cele două mărimi fiind un estimator al erorilor din ecuaţia de regresie. Notăm estimatorul respectiv

cu ut şi îl denumim variabila reziduală. Atunci:

Yt = Ŷ + ut, oricare ar fi t = 1, 2, ..., n,

Ecuaţiile pot fi scrise sub formă matriceală astfel:

Y = XÂ + u,

unde Â şi u sunt vectorii ataşaţi estimatorilor, respectiv variabilei reziduale.

nk u

u

u

u

u

a

a

a

a

A

3

2

1

2

1

0

,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Valorile Â şi u depind de eşantionul selectat şi de metoda de estimare aleasă.

Cea mai cunoscută procedură de calcul a estimatorilor pentru parametrii modelului linear

multifactorial este metoda celor mai mici pătrate. Se demonstrează că valorile â0, â1, …, âk, care

minimizează suma pătratelor reziduurilor se calculează astfel:

Â = (X'X)-1

X'Y


4.2.2. Ipotezele modelului

Estimarea parametrilor din ecuaţia de regresie multifactorială se bazează, la fel ca în cazul

unifactorial, pe o serie de ipoteze referitoare la forma dependenţei dintre variabile, la variabila

explicativă şi la variabila de abatere.

I–1M: Linearitatea modelului.

I–2M: Ipotezele referitoare la variabilele explicative

a. Variabilele explicative nu sunt aleatoare, au valorile fixate atunci când se repetă selecţia


57

Unitatea de

învăţare 4

b. Fiecare variabilă exogenă are dispersia nenulă, dar finită

c. Numărul de observaţii este superior numărului de parametri

d. Nu există nici o relaţie lineară între două sau mai multe variabile explicative (absenţa

colinearităţii)

I–3M: Ipotezele referitoare la erori

a. Erorile et au media nulă

b. Erorile et au dispersia constantă oricare ar fi t (erorile nu sunt heteroscedastice)

c. Erorile et sunt independente (nu sunt autocorelate)

d. Erorile et sunt normal distribuite

4.2.3. Proprietăţi ale estimatorilor calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate

Dacă ipotezele modelului sunt respectate, atunci estimatorii calculaţi prin metoda celor mai

mici pătrate pentru modelul multifactorial de regresie lineară au anumite proprietăţi.

Proprietatea P-1M: estimatorii sunt lineari.

Proprietatea P-2M: estimatorii sunt nedeplasaţi.

Proprietatea P-2'M: estimatorii sunt consistenţi.

Proprietatea P-3M: estimatorii sunt eficienţi.

Proprietatea P-4M: estimatorii sunt normal distribuiţi.

Proprietatea P-5M: estimatorii sunt de maximă verosimilitate.

4.3. Exemple de calcul

4.3.1. Modelul linear unifactorial

Pentru exemplificarea modului de calcul a estimatorilor din modelul linear unifactorial analizăm

legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul economiilor. Datele înregistrate pentru 20 momente

diferite de timp sunt prezentate în tabelul următor:


58

Unitatea de

învăţare 4

Nr.

crt.

Veniturile

populaţiei

(X)

Volumul

economiilor

(Y)

1 100 20

2 110 25

3 120 28

4 125 30

5 130 33

6 140 35

7 150 36

8 155 42

9 170 44

10 170 42

11 180 45

12 185 50

13 190 47

14 200 48

15 205 52

16 210 58

17 215 54

18 220 55

19 220 58

20 225 60

Modelul linear unifactorial se scrie:

Yt = a0 + a1Xt + et,

unde Yt este variabila endogenă (explicată) –volumul economiilor populaţiei, Xt este variabila

exogenă (explicativă) – veniturile populaţiei, et – variabila de abatere (discrepanţa dintre valorile

înregistrate şi cele anticipate pe baza modelului), a0 şi a1 sunt parametrii modelului.


59

Unitatea de

învăţare 4

Tabelul 2-1: Calculul estimatorilor în modelul linear unifactorial

t Xt Yt Xt² XtYt Ŷt ut=Yt–Ŷt

0 1 2 3 4 5 6

1 100 20 10000 2000 22.5441 -2.5441

2 110 25 12100 2750 25.4393 -0.4393

3 120 28 14400 3360 28.3345 -0.3345

4 125 30 15625 3750 29.7821 0.2179

5 130 33 16900 4290 31.2297 1.7703

6 140 35 19600 4900 34.1249 0.8751

7 150 36 22500 5400 37.0201 -1.0201

8 155 42 24025 6510 38.4677 3.5323

9 170 44 28900 7480 42.8105 1.1895

10 170 42 28900 7140 42.8105 -0.8105

11 180 45 32400 8100 45.7057 -0.7057

12 185 50 34225 9250 47.1533 2.8467

13 190 47 36100 8930 48.6009 -1.6009

14 200 48 40000 9600 51.4961 -3.4961

15 205 52 42025 10660 52.9437 -0.9437

16 210 58 44100 12180 54.3913 3.6087

17 215 54 46225 11610 55.8389 -1.8389

18 220 55 48400 12100 57.2865 -2.2865

19 220 58 48400 12760 57.2865 0.7135

20 225 60 50625 13500 58.7341 1.2659

∑ 3420 862 615450 156270 862.0000 0.0000

Cu aceste date, sistemul de ecuaţii normale se scrie astfel:

10

10

ˆ615450ˆ3420156270

ˆ3420ˆ20862

aa

aa


60

Unitatea de

învăţare 4

Rezolvăm sistemul prin regula lui Cramer.

Atunci, valorile â0 şi â1 se calculează astfel:

28952.0612600

177360ˆ

40793.6612600

3925500ˆ

1

0

ˆ

1

ˆ

0

a

a

a

a

Valorile estimate pentru variabila endogenă se determină astfel:

Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt.

Dreapta de regresie este prezentată în figura 2-3.

Valorile calculate sunt prezentate în col.5 a tab.2-1. De asemenea, se pot calcula reziduurile din

ecuaţia de regresie, adică abaterile dintre valorile înregistrate ale variabilei endogene (Yt) şi valorile

estimate pe baza modelului (Ŷt):

ut = Yt – Ŷt

Valorile variabilei reziduale ut sunt date în coloana 6 a tabelului 2-1.

Figura 2-3: Dreapta de regresie

4.3.2. Modelul linear multifactorial

Fie următoarele date înregistrate privind dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei

reale a dobânzii pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare (Yt):

Y = - 6.4079 +0.2895X

R 2 = 0.9719

10

20

30

40

50

60

70

75 100 125 150 175 200 225 250


61

Unitatea de

învăţare 4

Nr.crt.

Dinamica

veniturilor

populaţiei

(X1t)

Evoluţia ratei

reale a

dobânzii pasive

(X2t)

Dinamica

depozitelor

bancare

(Yt)

1 0.5 4.1 0.3

2 1.0 4.2 0.8

3 1.2 4.0 0.3

4 -0.3 4.1 -0.5

5 2.1 3.8 0.8

6 2.3 4.2 1.4

7 1.2 3.8 0.2

8 1.0 3.9 0.7

9 0.8 3.9 0.0

10 0.0 3.8 -0.7

11 -0.6 3.8 -1.0

12 2.2 3.8 1.3

13 1.4 4.2 1.0

14 2.0 3.9 1.2

15 2.3 4.2 1.7

16 1.1 3.8 0.4

17 0.8 3.9 0.6

18 -0.5 4.1 -0.9

19 -1.4 3.9 -1.4

20 0.2 4.1 -0.2

21 1.8 4.2 1.5

22 2.2 3.8 0.9

23 2.1 4.1 1.0

24 1.5 4.2 0.7


62

Unitatea de

învăţare 4

Nr.crt.

Dinamica

veniturilor

populaţiei

(X1t)

Evoluţia ratei

reale a

dobânzii pasive

(X2t)

Dinamica

depozitelor

bancare

(Yt)

25 1.8 3.8 1.2

Datele sunt reprezentate grafic în figura 2-4. Modelul linear bi-factorial se scrie:

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et.

Vectorul estimatorilor Â se calculează după relaţia:

Â = (X'X)-1

X'Y.

Matricea X3,3 se construieşte astfel: în prima coloană apare valoarea 1; în coloana următoare

sunt trecute valorile variabilei X1t (dinamica veniturilor populaţiei), iar în ultima coloană, valorile

variabilei X2t (evoluţia ratei reale a dobânzii pasive). Vectorul Y25,1 conţine elementele înregistrate

pentru variabila dinamica depozitelor bancare.

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

X1 X2 Y

Figura 2-4: Modelul linear multifactorial

În aceste condiţii, elementele din formula precedentă sunt:

46.39774.10660.99

74.10609.5470.26

60.9970.2625

' XX

de unde:

542.1022.0121.6

022.0039.0046.0

121.6046.0378.24

)'( 1XX

De asemenea,


63

Unitatea de

învăţare 4

86.45

75.31

3.11

'YX .

Rezultă:

860999.0

75722.0

78693.3

A

Valorile estimate pentru variabila endogenă se determină astfel:

Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t.

Valorile calculate sunt prezentate în tabelul 2-2

Tabelul 2-2: Calculul estimatorilor în modelul linear multifactorial

t X1t X2t Yt Ŷt ut = Yt – Ŷt

1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782

2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135

3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657

4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160

5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750

6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709

7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935

8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718

9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767

10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849

11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305

12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493

13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106

14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146


64

Unitatea de

învăţare 4

t X1t X2t Yt Ŷt ut = Yt – Ŷt

15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291

16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822

17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233

18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646

19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891

20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946

21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077

22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507

23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333

24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651

25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521

De asemenea, se pot calcula reziduurile din ecuaţia de regresie, adică abaterile dintre valorile

înregistrate ale variabilei endogene (Yt) şi valorile estimate pe baza modelului (Ŷt): ut = Yt – Ŷt.

Aceste reziduuri vor fi folosite în testarea modelului.


65

Unitatea de

învăţare 4



1. Care este forma ecuaţiei de regresie in modelul unifactorial?

2. În ce constă metoda celor mai mici pătrate?

3. În ce condiţii estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate sunt lineari, nedeplasaţi

(consistenţi), eficienţi, normal distribuiţi şi de maximă verosimilitate?

4. Care sunt ipotezele modelului multifactorial?

Observaţie: Răspunsurile la acest test se pot consulta la finalul unităţii de învăţare.


66

Unitatea de

învăţare 4

În modelul unifactoria, ecuaţia de regresie poate fi scrisă într o

formă echivalentă astfel:

Y = a0 + a1X + e,

unde Y este variabila endogenă (variabila explicată prin model),

X este variabila exogenă (variabila explicativă), a0 şi a1 sunt

parametrii modelului, iar e reprezintă eroarea sau abaterea dintre

valoarea anticipată a endogenei şi valoarea efectiv înregistrată

Dacă în modelul de regresie lineară, variabila exogenă are

dispersia nenulă, dar finită şi este independentă faţă de erori, iar

erorile sunt variabile aleatoare independente între ele, normal

distribuite, cu medie zero şi dispersia constantă, atunci estimatorii

obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate sunt lineari,

nedeplasaţi (consistenţi), eficienţi, normal distribuiţi şi de maximă

verosimilitate.

Modelul factorial este de forma

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e

unde Y este variabila endogenă, X1, X2, …, Xk sunt k variabile

explicative, a0, a1, a2, …, ak sunt k+1 parametri necunoscuţi, iar e

este variabila de abatere (eroarea) din ecuaţia de regresie.

Se demonstrează că valorile â0, â1, …, âk, care minimizează suma

pătratelor reziduurilor se calculează astfel:

Â = (X'X)-1

X'Y


67

Unitatea de

învăţare 4







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


68

Unitatea de

învăţare 4

1. Ecuaţia de regresie poate fi scrisă într-o formă echivalentă astfel:

Y = a0 + a1X + e,

unde Y este variabila endogenă (variabila explicată prin model), X este variabila exogenă

(variabila explicativă), a0 şi a1 sunt parametrii modelului, iar e reprezintă eroarea sau

abaterea dintre valoarea anticipată a endogenei şi valoarea efectiv înregistrată.

2. Procedura cunoscută sub denumirea de metoda celor mai mici pătrate constă în însumarea

pătratelor abaterilor şi determinarea acelor valori ale parametrilor care să ducă la

minimizarea sumei respective.

Grafic, criteriul aplicat în cazul metodei celor mai mici pătrate este următorul: dreapta care

asigură cea mai bună ajustare a punctelor empirice (dreapta de regresie) este aceea pentru

care se minimizează suma pătratelor abaterilor dintre punctele de pe grafic şi punctele care

au aceeaşi abscisă pe dreapta de regresie, abaterile fiind măsurate vertical.

Analitic, se demonstrează că valorile (â0, â1) care minimizează suma pătratelor abaterilor u

dintre datele înregistrate ale variabilei Y şi valorile calculate Ŷ sunt soluţiile sistemului de

ecuaţii normale:

n

t

n

t

n

t

tttt

n

t

t

n

t

t

XaXaYX

XaanY

1 1 1

2

10

1

10

1

ˆˆ

ˆˆ

3. Dacă în modelul de regresie lineară, variabila exogenă are dispersia nenulă, dar finită şi este

independentă faţă de erori, iar erorile sunt variabile aleatoare independente între ele, normal

distribuite, cu medie zero şi dispersia constantă, atunci estimatorii obţinuţi prin metoda celor

mai mici pătrate sunt lineari, nedeplasaţi (consistenţi), eficienţi, normal distribuiţi şi de

maximă verosimilitate.

4. I–1M: Linearitatea modelului.

I–2M: Ipotezele referitoare la variabilele explicative

a. Variabilele explicative nu sunt aleatoare, au valorile fixate atunci când se

repetă selecţia


69

Unitatea de

învăţare 4

b. Fiecare variabilă exogenă are dispersia nenulă, dar finită

c. Numărul de observaţii este superior numărului de parametri

d. Nu există nici o relaţie lineară între două sau mai multe variabile explicative

(absenţa colinearităţii)

I–3M: Ipotezele referitoare la erori

a. Erorile et au media nulă

b. Erorile et au dispersia constantă oricare ar fi t (erorile nu sunt

heteroscedastice)

c. Erorile et sunt independente (nu sunt autocorelate)

d. Erorile et sunt normal distribuite

Teste de semnificaţie

70

Unitatea de

învăţare 5

Unitatea de învăţare 5: TESTE DE SEMNIFICAŢIE

Cuprins:

Dispersia estimatorilor

o Dispersia estimatorilor în modelul unifactorial de regresie lineară

o Dispersia estimatorilor în modelul linear multifactorial

Teste privind semnificaţia estimatorilor

o Testul de semnificaţie în cazul modelului unifactorial

o Teste de semnificaţie a estimatorilor în modelul linear multifactorial

Exemple de calcul



Introducere


• Ce este dispersia şi cum se calculează în cazul celor 2 tipuri de modele?

• Care sunt testele de semnificaţie în cazul modelului unifactorial, respectiv

multifactorial?


Testarea dispersiei estimatorilor

Testarea semnificaţiei estimatorilor

Exemple de calcul în cazul modelului unifactorial/multifactorial


71

Unitatea de

învăţare 5


minute.


72

Unitatea de

învăţare 5

TESTE DE SEMNIFICAŢIE

5.1. Dispersia estimatorilor

5.1.1. Dispersia estimatorilor în modelul unifactorial de regresie lineară

Se poate demonstra că o estimare nedeplasată a dispersiei erorilor, calculată pornind de la

dispersia de selecţie a variabilei reziduale, este dată de expresia17

:

2n

u

s

n

1t

2t

2u

Prin calcul direct se pot deduce dispersiile estimatorilor â0 şi â1 obţinuţi prin metoda celor mai

mici pătrate. Se pot calcula estimările nedeplasate pentru dispersiile estimatorilor din modelul

unifactorial de regresie lineară18

:

2

222

ˆ

10

XX

X

nss

t

ua

2

22

ˆ

11

XXss

t

ua

Valorile 2

ˆ0as şi 2

ˆ1as sunt estimatori nedeplasaţi ai mărimilor var(a0), respectiv var(a1), în măsura

în care 2

us este un estimator nedeplasat al dispersiei de selecţie a erorilor 2

e .

Abaterile standard ale variabilelor aleatoare u, â0 şi â1, adică su, 0as şi

1as se calculează prin

extragerea rădăcinii pătrate din valorile corespunzătoare ale dispersiilor.

5.1.2. Dispersia estimatorilor în modelul linear multifactorial

Un estimator nedeplasat al matricei V(Â) se calculează astfel:

122

ˆ '

XXsS uA,

unde

17

Idem, Anexa 2.A.13, pag.74-75. 18

Relaţiile de calcul pentru dispersiile estimatorilor din modelul unifactorial de regresie lineară se deduc simplu, prin precizarea k = 1 în relaţiile de calcul a dispersiilor din modelul multifactorială de regresie lineară, relaţii demonstrate în paragraful următor.


73

Unitatea de

învăţare 5

uukn

su '1

12

este un estimator nedeplasat al dispersiei erorilor.

Pornind de la relaţia precedentă se calculează dispersia de selecţie pentru estimatorii

parametrilor din ecuaţia de regresie, notată 2

a i

s , astfel:

iiua dssi

22

ˆ , unde k,0i .

Abaterea standard de selecţie a estimatorului âi se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate

din dispersia estimatorului respectiv.

5.2. Teste privind semnificaţia estimatorilor

Pentru prezentarea metodologiei de testare a semnificaţiei estimatorilor calculaţi prin metoda

celor mai mici pătrate, în cazul unui model linear unifactorial care respectă ipotezele de la I-1 la I-7

sunt necesare câteva noţiuni elementare privind intervalele de încredere şi testarea ipotezelor

statistice. Aceste noţiuni sunt prezentate, sintetic, în paragrafele următoare.

5.2.1. Testul de semnificaţie în cazul modelului unifactorial

Procedura uzuală aplicată pentru testarea semnificaţiei parametrilor din modelul unifactorial de

regresie lineară urmăreşte testarea ipotezei nule H0: parametrii nu diferă semnificativ de zero,

contra ipotezei alternative H1: parametrii din ecuaţia de regresie sunt, în valoare absolută, strict

pozitivi. Atunci, sub ipoteza H0, statistica

i

i

a

ia

s

at

ˆ

ˆ

ˆ

urmează o distribuţie Student cu n – 2 grade de libertate (i = 0 sau 1). Se respinge ipoteza nulă

H0: âi = 0 (X nu influenţează Y) dacă valoarea absolută a acestui test este mai mare decât o valoare

critică obţinută din tabelele distribuţiei t (Student).

Algoritmul de testare a semnificaţiei estimatorilor este prezentat în exemplul de calcul.

Observaţie: Dacă valoarea unui estimator este negativă, fie se testează

,2ˆ na tti

, fie statisticile t

se calculează în modul şi se urmează procedura prezentată.



74

Unitatea de

învăţare 5



Pentru testarea semnificaţiei estimatorilor reluăm exemplul analizat în capitolul II, referitor la

legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul economiilor.

Aplicarea relaţiilor pentru calculul dispersiilor, respectiv abaterilor standard, presupune în plus

faţă de elementele prezentate în tabelul respectiv, calculul blocurilor ∑ut2 şi

2XX t

. De aceea,

reluăm tabelul 2-1, completat cu două coloane, în tabelul 3-1:


75

Unitatea de

învăţare 5

Tabelul 3-1: Teste de semnificaţie – modelul linear unifactorial

t Xt Yt Ŷt ut=Yt–Ŷt u2 ∑( XXt )

2

1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 5041

2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 3721

3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 2601

4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 2116

5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 1681

6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 961

7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 441

8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 256

9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 1

10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 1

11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 81

12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 196

13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 361

14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 841

15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 1156

16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 1521

17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 1936

18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 2401

19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 2401

20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 2916

∑ 3420 862 862.0000 0.0000 74.3359 30630

Relaţiile pentru calculul dispersiilor reziduurilor, respectiv estimatorilor â0 şi â1 duc la

următoarele rezultate:

1298.4s2u


76

Unitatea de

învăţare 5

148988.4s2

a0

000135.0s2

a1

Prin extragerea radicalului se calculează valorile abaterilor standard ale estimatorilor:

0as = 2.0369

1as = 0.0116

Pentru calculul statisticii testului de semnificaţie se aplică relaţiile

146.30369.2

4079.6

s

at

0

0

a

0a

958.240116.0

28952.0

s

at

0

1

a

1a

Din tabelele distribuţiei t-Student, pentru numărul gradelor de libertate

df = n – 2 = 18,

în cazul testului unilateral se identifică următoarele valori19

:

Numărul gradelor de libertate α - testul unilateral

0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922

Rezultă:

922.3t146.3t878.2t *0005.0;18a

*005.0;18

0

,

deci estimatorul â0 poate fi garantat statistic cu un grad de încredere mai mare decât 99.5%, dar nu

poate fi garantat 99.95%. Gradul de încredere exprimă şansele de respingere a ipotezei nule

(potrivit căreia estimatorul â0 nu diferă semnificativ de zero) şi este calculat după relaţia (1 –

α)∙100%, iar

922.3t958.24t *0005.0;18a1

.

Aceasta înseamnă că ipoteza potrivit căreia estimatorul â1 este semnificativ diferit de zero este

acceptată cu un grad de încredere mai mare de 99.95%.

Rezultatele permit o primă evaluare a modelului unifactorial de regresie lineară: sub rezerva

verificării şi a celorlalte ipoteze (discutate în modulele anterioare), analiza semnificaţiei

estimatorilor sugerează existenţa unei legături semnificative între veniturile populaţiei şi volumul

economiilor.

Calculele precedente pot fi realizate prin utilizarea unor programe specializate. Un astfel de

program este Econometric Views. Rezolvarea problemei cu ajutorul acestui program duce la

obţinerea următoarelor rezultate:

19

Vezi tabelul distribuţiei t-Student din anexele prezentate la sfârşitul manualului.


77

Unitatea de

învăţare 5

Variabila dependentă: Y

Metoda de rezolvare: Metoda celor mai mici pătrate

Eşantionul: 1 20

Observaţii incluse: 20

Parametrii Estimatorii Ab.std. t-statistic alfa

a0 -6.407933 2.036906 -3.145915 0.0056

a1 0.289520 0.011612 24.93383 0.0000

R2

0.971862 Media var.endog. 43.10000

R2 – ajustat 0.970298 Ab.std. var.endog. 11.79161

Ab.std.a regresiei 2.032185 Akaike info criterion 4.350739

Suma pătrate rezid. 74.33595 Schwarz criterion 4.450313

Log likelihood -41.50739 F-statistic 621.6959

Durbin-Watson stat 1.939666 Prob(F-statistic) 0.000000

În Excel utilizăm formula regresiei din meniul Analiză Date:


78

Unitatea de

învăţare 5

Figura 3-2a: Rezolvarea problemelor de regresie lineară unifactorială cu ajutorul programului Excel

din pachetul Microsoft Office: utilizarea opţiunii Regression


Pentru prezentarea modului de testare a semnificaţiei estimatorilor în cazul modelului linear

multifactorial reluăm exemplul analizat în capitolul precedent, tabelul 2-2, referitor la legătura

dintre dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei reale a dobânzii pasive (X2t) şi dinamica

depozitelor bancare (Yt). Tabelul 2-2 este completat cu o coloană în care se calculează ∑ut2.

Calculele sunt prezentate în tabelul 3-2.

Tabelul 3-2: Teste de semnificaţie – modelul linear multifactorial

t X1t X2t Yt Ŷt ut = Yt – Ŷt ut2

1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318

2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456

3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706

4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003

5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756

6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292

7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375

8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382

9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312

10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342

11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009

12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223

13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122

14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131

15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167

16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068


79

Unitatea de

învăţare 5

t X1t X2t Yt Ŷt ut = Yt – Ŷt ut2

17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791

18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700

19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079

20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090

21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947

22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629

23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111

24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703

25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240

∑ 26.7 99.6 11.3 11.3 0.0000 1.2952

Dispersia 2

us este dispersia variabilei reziduale:

0589.02 us .

Matricea (X'X)-1

este:

542.1022.0121.6

022.0039.0046.0

121.6046.0378.24

)'( 1XX .

Pornind de la diagonala principală a acestei matrice şi de la valoarea 2us se determină

4359.12

ˆ0as 198.1

0ˆ as

0023.02

ˆ1as 048.0

1âs

091.02

ˆ2as 301.0

2ˆ as

Pentru calculul statisticii testului de semnificaţie se aplică relaţiile:

16.30ˆ

at

72.151ât

86.21ât

Din tabelele distribuţiei t-Student, pentru numărul gradelor de libertate

df = n – 2 – 1 = 22,

în cazul testului unilateral se identifică următoarele valori:


80

Unitatea de

învăţare 5

Numărul gradelor de libertate α – testul unilateral

0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792

Rezultă:

792.3819.2 *

0005.0;22ˆ

*

005.0;22 0 ttt a

deci estimatorul â0 poate fi garantat statistic cu un grad de încredere mai mare decât 99.5%, dar nu

poate fi garantat 99.95%.

La fel ca în cazul modelului unifactorial, gradul de încredere exprimă şansele de respingere a

ipotezei nule (potrivit căreia estimatorul â0 nu diferă semnificativ de zero) şi este calculat după

relaţia (1 – α)∙100%.

Estimatorul â1 este semnificativ diferit de zero cu un grad de încredere mai mare de 99.95%,

deoarece

792.372.15 *

0005.0;22ˆ1 tta .

De asemenea,

792.3819.2 *

0005.0;22ˆ

*

005.0;22 2 ttt a

ceea ce înseamnă că estimatorul â2 poate fi garantat statistic cu un grad de încredere mai mare de

99.5%, dar mai mic de 99.95%.

La fel ca în cazul modelului unifactorial, prezentăm, pentru comparaţie, rezultatele obţinute cu

ajutorul programului EViews:



Eşantionul: 1 25



81

Unitatea de

învăţare 5

Parametrii Estimatorii Ab.std. t-Statistic alfa

C -3.786930 1.197995 -3.161057 0.0045

X1 0.757220 0.048174 15.71857 0.0000

X2 0.860999 0.301339 2.857241 0.0092

R2

0.923464 Media var.endog. 0.452000

R2 – ajustat 0.916506 Ab.std. var.endog. 0.839702

Ab.std.a regresiei 0.242635 Akaike info criterion 0.117647

Suma pătrate rezid. 1.295176 Schwarz criterion 0.263913

Log likelihood 1.529406 F-statistic 132.7229


Rezultatele permit o primă evaluare a modelului: sub rezerva verificării şi a celorlalte ipoteze

discutate în modulele anterioare, analiza semnificaţiei estimatorilor sugerează existenţa unei relaţii

semnificative între dinamica depozitelor bancare (Yt) şi dinamica veniturilor populaţiei (X1t),

respectiv evoluţia ratei reale a dobânzii pasive (X2t).


82

Unitatea de

învăţare 5



1. Care este formula dispersiei erorilor în modelul unifactorial?

2. Cum se calculează dispersia estimatorului âi în modelul multifactorial?

3. Construiţi un model multifactorial şi testaţi semnificaţia estimatorilor parametrilor

cu ajutorul unui software specializat.



83

Unitatea de

învăţare 5

Se poate demonstra că o estimare nedeplasată a dispersiei

erorilor, calculată pornind de la dispersia de selecţie a variabilei

reziduale, este dată de expresia:

2

1

2

2

n

u

s

n

t

t

u

Prin calcul direct se pot deduce dispersiile estimatorilor â0 şi â1

obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate. Se demonstrează că

dacă se respectă ipotezele I-5 (erorile nu sunt heteroscedastice) şi

I-6 (erorile nu sunt autocorelate), atunci se pot calcula estimările

nedeplasate pentru dispersiile estimatorilor din modelul

unifactorial de regresie lineară:

2

222

ˆ

10

XX

X

nss

t

ua

2

22

ˆ

11

XXss

t

ua

În cazul modelului multifactorial, dacă erorile sunt independente

(ipoteza I-3Mc) şi nu sunt heteroscedastice (ipoteza I-3Mb), atunci

un estimator nedeplasat al matricei V(Â) se calculează astfel:

122

ˆ '

XXsS uA, unde uu

knsu '

1

12

este un estimator nedeplasat al dispersiei erorilor.

Pornind de la relaţia precedentă se calculează dispersia de

selecţie pentru estimatorii parametrilor din ecuaţia de regresie,

notată 2

ˆias , astfel:

iiua dssi

22

ˆ , unde ki ,0 .

Procedura uzuală aplicată pentru testarea semnificaţiei

parametrilor din modelul unifactorial de regresie lineară

urmăreşte testarea ipotezei nule H0: parametrii nu diferă

semnificativ de zero, contra ipotezei alternative H1: parametrii

din ecuaţia de regresie sunt, în valoare absolută, strict pozitivi.

Atunci, sub ipoteza H0, statistica


84

Unitatea de

învăţare 5

i

i

a

ia

s

at

ˆ

ˆ

ˆ

urmează o distribuţie Student cu n – 2 grade de libertate (i = 0 sau

1). Se respinge ipoteza nulă H0: âi = 0 (X nu influenţează Y) dacă

valoarea absolută a acestui test este mai mare decât o valoare

critică obţinută din tabelele distribuţiei t (Student).


85

Unitatea de

învăţare 5







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


86

Unitatea de

învăţare 5

1. O estimare nedeplasată a dispersiei erorilor, calculată pornind de la dispersia de selecţie a

variabilei reziduale, este dată de expresia:

2

1

2

2

n

u

s

n

t

t

u

2. Pentru a calcula dispersia estimatorului âi se înmulţeşte dii – elementul aflat pe poziţia i

(i = 0, 1, 2, …, k) în diagonala matricei (X'X)-1

cu dispersia constantă a valorilor variabilei

reziduale 2us .

3. Vezi Excel sau Eviews.

Heteroscedasticitatea erorilor

87

Unitatea de

învăţare 6

Unitatea de învăţare 6: HETEROSCEDASTICITATEA ERORILOR

Cuprins:

Consecinţe ale heteroscedasticităţii

Testarea heteroscedasticităţii

o Testul Goldfeld–Quandt

o Testul Breusch-Pagan

o Testul White

Atenuarea heteroscedasticităţii

Aplicaţii – testarea şi atenuarea heteroscadasticităţii

o Testul Goldfeld–Quandt pentru modelul unifactorial

o Testul Goldfeld–Quandt pentru modelul multifactorial

Introducere


• Ce este heteroscedasticitatea?

• Care sunt consecinţele ignorării acestui fenomen?

• Care sunt principalele teste pentru depistarea ei?


Heteroscedasticitatea - consecinţe, testare şi atenuare

Teste pentru depistarea heteroscetasticităţii

Exemple de atenuare a heteroscetasticităţii


88

Unitatea de

învăţare 6


minute.


89

Unitatea de

învăţare 6

HETEROSCEDASTICITATEA ERORILOR

Proprietatea erorile de a nu avea o dispersie constantă se numeşte heteroscedasticitate. În

prezentul capitol sunt analizate problemele legate de testarea modului în care se respectă ipoteza

privind distribuţia erorilor cu o dispersie constantă, consecinţele nerespectării acestei ipoteze şi

procedurile de atenuare a fenomenului respectiv.

6.1. Consecinţe ale heteroscedasticităţii

Dacă fenomenul de heteroscedasticitate a erorilor din modelul de regresie lineară este ignorat,

iar pentru estimarea parametrilor se foloseşte metoda celor mai mici pătrate, atunci, sintetic, cele

mai importante consecinţe ale ignorării fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor sunt

următoarele:

Consecinţe ale ignorării fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor

a. Estimatorii parametrilor din model sunt nedeplasaţi şi consistenţi.

b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi.

c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa parametrilor sunt deplasaţi, nu sunt

consistenţi şi nu sunt eficienţi.

d. Testul t Student aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este valid.

e. Estimatorii parametrilor nu au proprietatea de maximă verosimilitate.

6.2. Testarea heteroscedasticităţii

Deoarece fenomenul de heteroscedasticitate a erorilor invalidează testele statistice aplicate

asupra semnificaţiei parametrilor, este necesar ca prezenţa fenomenului respectiv să fie testată şi

atunci când este semnalat, să fie aplicate proceduri de eliminare.

Pentru modelul unifactorial de regresie, cea mai simplă metodă de detectare a fenomenului de

heteroscedasticitate a erorilor constă în reprezentarea grafică într-un sistem de coordonate XOY a

cuplurilor de puncte (Xt,Yt). Evident, procedura grafică este imprecisă, este într-o anumită măsură

subiectivă şi, ca atare, are aplicabilitate limitată. De aceea, au fost construite teste statistice care să

identifice heteroscedasticitatea erorilor. Cele mai cunoscute sunt: testul Goldfeld–Quandt, testul

Breusch–Pagan şi testul White.


90

Unitatea de

învăţare 6

6.2.1. Testul Goldfeld–Quandt

Procedura Goldfeld–Quandt este folosită pentru testarea ipotezei nule H0, care presupune lipsa

heteroscedasticităţii erorilor, contra ipotezei alternative H1, care admite faptul că dispersia erorilor

este corelată cu valorile uneia dintre variabilele explicative (de exemplu, dispersia erorilor creşte pe

măsură ce cresc valorile acelei variabile explicative care este considerată ca fiind relevantă). Pentru

aplicarea testului se admite faptul că o astfel de variabilă explicativă relevantă poate fi identificată.

6.2.2. Testul Breusch-Pagan

Testul Breusch-Pagan se bazează pe multiplicatorii Lagrange. Să presupunem că dispersia

erorilor 2tσ nu este constantă ci este asociată cu un număr p de variabile Z1, Z2, …, Zp (câteva, sau

toate dintre aceste variabile pot fi selectate dintre variabilele explicative X ale modelului de

regresie). Considerăm modelul, în forma generală

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + ... + akXkt + et, t = 1, 2, ..., n

şi

2

t = α0 + α1Z1t + α2Z2t + … + αpZpt,

unde

2

t = Var(et).

Dacă

α1 = α2 = ... = αp = 0,

atunci dispersia estimatorilor este constantă 0

2 t şi erorile nu sunt heteroscedastice. De aceea,

prin procedura propusă de Breusch şi Pagan se testează ipoteza nulă H0: α1 = α2 = ... = αp = 0,

contra ipotezei alternative H1: există cel puţin o valoare αi nenulă (i ≠ 0).

6.2.3. Testul White

Procedura White este următoarea:

1. Se estimează ecuaţia de regresie prin metoda celor mai mici pătrate şi se calculează

ut = Yt –(â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt), t = 1, 2, ..., n

2. Se calculează modelul

2tu = α0 + α1Z1t + α2Z2t + … + αpZpt + εt,

pentru care se calculează coeficientul de determinare multiplă R2. Dacă oricare dintre parametrii

α este semnificativ, valoarea coeficientului de determinare R2 va fi semnificativă.

3. Dacă 05.022

pnR atunci fenomenul de heteroscedasticitate a erorilor este prezent cu o

probabilitate de 95%.


91

Unitatea de

învăţare 6

6.3. Atenuarea heteroscedasticităţii

Atenuarea fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor presupune construirea unor proceduri

prin care să fie calculaţi estimatori nedeplasaţi, consistenţi şi eficienţi ai parametrilor modelului.

În primul rând, dacă modelul nu este bine specificat, în sensul că în specificarea modelului a

fost exclusă o variabilă explicativă semnificativă, atunci este posibil ca erorile să fie

heteroscedastice. Aceasta deoarece eroarea din modelul redus substituie variabila omisă din model,

astfel încât dispersia erorilor depinde de valorile variabilei neincluse în specificarea modelului.

Atenuarea heteroscedasticităţii se poate realiza, în această situaţie, printr-o specificare corectă a

modelului.

6.4. Aplicaţii – testarea şi atenuarea heteroscadasticităţii

6.4.1. Testul Goldfeld–Quandt pentru modelul unifactorial

Pentru exemplificarea procedurii de identificare a fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor

prin testul Goldfeld–Quandt presupunem că sunt înregistrate următoarele date referitoare la legătura

dintre veniturile populaţiei şi volumul economiilor, într-un eşantion de volum n = 20. Modelul

linear unifactorial este dat prin ecuaţia: Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, ..., 25, unde Xt reprezintă

veniturile populaţiei la momentul t, iar Yt – volumul economiilor.

Datele înregistrate pentru 20 momente diferite de timp sunt în tabelul 4-1:

Tabelul 4-1: Testul Goldfeld–Quandt, modelul unifactorial

Nr.crt. Veniturile populaţiei

(X)

Volumul economiilor

(Y)

1 100 20

2 110 25

3 120 28

4 125 30

5 130 33

6 140 35

7 150 36

8 155 42

9 170 44


92

Unitatea de

învăţare 6

Nr.crt. Veniturile populaţiei

(X)

Volumul economiilor

(Y)

10 170 42

11 180 45

12 185 50

13 190 47

14 200 48

15 205 52

16 210 58

17 215 54

18 220 55

19 220 58

20 225 60

Aplicarea testului Goldfeld–Quandt presupune, în primul rând, aranjarea observaţiilor în

ordinea crescătoare a valorilor factorului care ar putea explica apariţia fenomenului de

heteroscedasticitate a erorilor. În al doilea rând, se divide volumul eşantionului în două părţi egale,

după eliminarea observaţiilor situate în mijlocul eşantionului.

Deoarece numărul de observaţii din eşantion nu este mare (20 observaţii), nu s-au eliminat

observaţiile mediane, astfel încât prima parte a eşantionului cuprinde primele 10 înregistrări (pentru

t de la 1 la 10), iar cea de-a doua parte, ultimele 10 înregistrări (pentru t de la 11 la 20).

Tabelul 4-2: Selectarea seriilor pentru aplicarea

procedurii Goldfeld–Quandt,

modelul unifactorial

Seria 1 Seria 2

t Xt Yt t Xt Yt

1 100 20 11 180 45

2 110 25 12 185 50

3 120 28 13 190 47

4 125 30 14 200 48


93

Unitatea de

învăţare 6

5 130 33 15 205 52

6 140 35 16 210 58

7 150 36 17 215 54

8 155 42 18 220 55

9 170 44 19 220 58

10 170 42 20 225 60

Potrivit algoritmului Goldfeld–Quandt, se aplică metoda celor mai mici pătrate pentru calculul

estimatorilor separat pentru cele două serii de date.

Astfel, pornind de la seria 1, se estimează parametrii modelului M–1:

M – 1: Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, ..., 10

şi, separat, pornind de la seria 2 se estimează parametrii modelului M–2:

M – 1: Yt = a0 + a1Xt + et, t = 11, 12, ..., 20

Modelul M–1 este estimat prin metoda celor mai mici pătrate, pornind de la eşantionul prezentat

în tabelul 4-2 sub denumirea de "seria 1". Au fost obţinute următoarele rezultate:

M – 1: Ŷt = -10.3869 + 0.3203∙Xt.

Rezolvarea în detaliu este prezentată în tabelul EViews următor:



Eşantionul: 1 10



C -10.38688 3.082584 -3.369538 0.0098

X 0.320342 0.022192 14.43516 0.0000

R2 0.963027 Media var.exog. 33.50000

R2

ajustat 0.958405 Ab.std.var.exog. 7.891627

Ab.std.regresie 1.609479 Akaike info criterion 3.966555

Suma pătratelor rezid. 20.72338 Schwarz criterion 4.027072




94

Unitatea de

învăţare 6

Seriile de date şi elementele utilizate în calculul testului sunt descrise, în detaliu în tabelul 4-3.

Tabelul 4-3: Testul Goldfeld–Quandt,

modelul unifactorial M–1

t Xt Yt Ŷt ut 2tu

1 100 20 21.6473 -1.6473 2.7137

2 110 25 24.8508 0.1492 0.0223

3 120 28 28.0542 -0.0542 0.0029

4 125 30 29.6559 0.3441 0.1184

5 130 33 31.2576 1.7424 3.0359

6 140 35 34.4610 0.5390 0.2905

7 150 36 37.6644 -1.6644 2.7704

8 155 42 39.2662 2.7338 7.4739

9 170 44 44.0713 -0.0713 0.0051

10 170 42 44.0713 -2.0713 4.2903

Suma 1370 335 335.0000 0.0000 20.7234

Modelul M–2 este estimat prin metoda celor mai mici pătrate, pornind de la eşantionul prezentat în

tabelul 4-2 sub denumirea de "seria 2". Au fost obţinute următoarele rezultate:

M – 2: Ŷt = -6.97778 + 0.291111∙Xt.

Rezolvarea în detaliu este prezentată în tabelul EViews următor:


Metoda de rezolvare: Metoda celor mai mici pătrate (vezi modulele anterioare)

Eşantionul: 11 20


Parametrii Estimatorii Ab.std t-Statistic alfa

C -6.977778 10.55038 -0.661377 0.5270

X 0.291111 0.051328 5.671580 0.0005

R2 0.800831 Media var.exog. 52.70000

R2



95

Unitatea de

învăţare 6






Tabelul 4-4: Testul Goldfeld–Quandt,

modelul unifactorial M–2

t Xt Yt Ŷt ut 2

tu

11 180 45 45.4222 -0.4222 0.1783

12 185 50 46.8778 3.1222 9.7483

13 190 47 48.3333 -1.3333 1.7778

14 200 48 51.2444 -3.2444 10.5264

15 205 52 52.7000 -0.7000 0.4900

16 210 58 54.1556 3.8444 14.7798

17 215 54 55.6111 -1.6111 2.5957

18 220 55 57.0667 -2.0667 4.2711

19 220 58 57.0667 0.9333 0.8711

20 225 60 58.5222 1.4778 2.1838

Suma 2050 527 527.0000 0.0000 47.4222

Pornind de la rezultatele obţinute, se calculează:

29.27234.20

4222.4710

1

2

20

11

2

1

2

t

t

t

t

c

u

u

VTR

VTRF

Din tabelul distribuţiei F, pentru un prag de încredere α = 0.05, se determină

F10-2,10-2(0.05) = F8,8(0.05) = 3.44

Rezultă

Fc = 2.29 < 3.44 = F8,8(0.05)


96

Unitatea de

învăţare 6

deci, erorile et din modelul iniţial nu sunt heteroscedastice.

6.4.2. Testul Goldfeld–Quandt pentru modelul multifactorial

Pentru aplicarea testului Goldfeld–Quandt în cazul modelului multifactorial de regresie lineară

sunt utilizate datele referitoare la legătura dintre dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei

reale a dobânzii pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare (Yt). Aceste date sunt prezentate în

tabelul 4-5.

Tabelul 4-5: Testul Goldfeld–Quandt, modelul multifactorial

Nr.crt.

Dinamica

veniturilor

populaţiei

(X1t)

Evoluţia ratei

reale a

dobânzii

pasive

(X2t)

Dinamica

depozitelor

bancare

(Yt)

1 0.5 4.1 0.3

2 1.0 4.2 0.8

3 1.2 4.0 0.3

4 -0.3 4.1 -0.5

5 2.1 3.8 0.8

6 2.3 4.2 1.4

7 1.2 3.8 0.2

8 1.0 3.9 0.7

9 0.8 3.9 0.0

10 0.0 3.8 -0.7

11 -0.6 3.8 -1.0

12 2.2 3.8 1.3

13 1.4 4.2 1.0


97

Unitatea de

învăţare 6

Nr.crt.

Dinamica

veniturilor

populaţiei

(X1t)

Evoluţia ratei

reale a

dobânzii

pasive

(X2t)

Dinamica

depozitelor

bancare

(Yt)

14 2.0 3.9 1.2

15 2.3 4.2 1.7

16 1.1 3.8 0.4

17 0.8 3.9 0.6

18 -0.5 4.1 -0.9

19 -1.4 3.9 -1.4

20 0.2 4.1 -0.2

21 1.8 4.2 1.5

22 2.2 3.8 0.9

23 2.1 4.1 1.0

24 1.5 4.2 0.7

25 1.8 3.8 1.2

Modelul linear bi-factorial se scrie:

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et.

Vectorul estimatorilor Â se calculează după relaţia: Â = (X'X)-1

X'Y.

Aplicarea testului Goldfeld–Quandt presupune, în primul rând, aranjarea observaţiilor în

ordinea crescătoare a valorilor factorului care ar putea explica apariţia fenomenului de

heteroscedasticitate a erorilor. Presupunem că acest factor ar putea fi: dinamica veniturilor

populaţiei (X1t). În tabelul următor s-a realizat acest lucru.

Nr.crt. X1t X2t Yt

1 -1.4 3.9 -1.4

2 -0.6 3.8 -1.0

3 -0.5 4.1 -0.9


98

Unitatea de

învăţare 6

Nr.crt. X1t X2t Yt

4 -0.3 4.1 -0.5

5 0.0 3.8 -0.7

6 0.2 4.1 -0.2

7 0.5 4.1 0.3

8 0.8 3.9 0.0

9 0.8 3.9 0.6

10 1.0 4.2 0.8

11 1.0 3.9 0.7

12 1.1 3.8 0.4

13 1.2 4.0 0.3

14 1.2 3.8 0.2

15 1.4 4.2 1.0

16 1.5 4.2 0.7

17 1.8 4.2 1.5

18 1.8 3.8 1.2

19 2.0 3.9 1.2

20 2.1 3.8 0.8

21 2.1 4.1 1.0

22 2.2 3.8 1.3

23 2.2 3.8 0.9

24 2.3 4.2 1.4

25 2.3 4.2 1.7

În al doilea rând, se divide volumul eşantionului în două părţi egale, după eliminarea

observaţiilor situate în mijlocul eşantionului. Egalitatea celor două părţi nu reprezintă o condiţie

obligatorie a procedurii Goldfeld–Quandt.

Concret, din eşantionul prezentat în tabelul precedent s-a eliminat observaţia numerotată cu

t = 13, astfel încât prima parte a eşantionului cuprinde primele 12 înregistrări (pentru t de la 1 la

12), iar cea de-a doua parte, ultimele 12 înregistrări (pentru t de la 14 la 25).

01:50


99

Unitatea de

învăţare 6

Tabelul 4-6: Selectarea seriilor pentru

aplicarea procedurii Goldfeld–Quandt,

modelul multifactorial

Seria 1 Seria 2

t X1t X2t Yt t X1t X2t Yt

1 -1.4 3.9 -1.4 14 1.2 3.8 0.2

2 -0.6 3.8 -1.0 15 1.4 4.2 1.0

3 -0.5 4.1 -0.9 16 1.5 4.2 0.7

4 -0.3 4.1 -0.5 17 1.8 4.2 1.5

5 0.0 3.8 -0.7 18 1.8 3.8 1.2

6 0.2 4.1 -0.2 19 2.0 3.9 1.2

7 0.5 4.1 0.3 20 2.1 3.8 0.8

8 0.8 3.9 0.0 21 2.1 4.1 1.0

9 0.8 3.9 0.6 22 2.2 3.8 1.3

10 1.0 4.2 0.8 23 2.2 3.8 0.9

11 1.0 3.9 0.7 24 2.3 4.2 1.4

12 1.1 3.8 0.4 25 2.3 4.2 1.7

Potrivit algoritmului Goldfeld–Quandt, se aplică metoda celor mai mici pătrate pentru calculul

estimatorilor separat pentru cele două serii de date. Astfel, pornind de la seria 1, se estimează

parametrii modelului

M–1: Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et, t = 1, 2, ..., 12

şi, separat, pornind de la seria 2 se estimează parametrii modelului

M–2: Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et, t = 14, 15, ..., 25.



M – 1: Ŷt = -3.6176 + 0.8805∙X1t + 0.8240∙X2t.

Rezolvarea în detaliu cu ajutorul programului EViews este prezentată în tabelul următor.



Data: 11/20/03 Ora: 12:22


100

Unitatea de

învăţare 6

Eşantionul: 1 12



C -3.617605 1.805439 -2.003725 0.0761

X1 0.880510 0.082618 10.65757 0.0000

X2 0.823990 0.455063 1.810718 0.1036

R2 0.929610 Media var.exog. -0.158333

R2


Ab.std.regresie 0.216430 Akaike info criterion -0.010782





Tabelul 4-7: Testul Goldfeld–Quandt, modelul multifactorial M–1

t X1t X2t Yt Ŷt ut 2tu

1 -1.4 3.9 -1.4 -1.6368 0.2368 0.0561

2 -0.6 3.8 -1.0 -1.0147 0.0147 0.0002

3 -0.5 4.1 -0.9 -0.6795 -0.2205 0.0486

4 -0.3 4.1 -0.5 -0.5034 0.0034 0.0000

5 0.0 3.8 -0.7 -0.4864 -0.2136 0.0456

6 0.2 4.1 -0.2 -0.0631 -0.1369 0.0187

7 0.5 4.1 0.3 0.2010 0.0990 0.0098

8 0.8 3.9 0.0 0.3004 -0.3004 0.0902

9 0.8 3.9 0.6 0.3004 0.2996 0.0898

10 1.0 4.2 0.8 0.7237 0.0763 0.0058

11 1.0 3.9 0.7 0.4765 0.2235 0.0500

12 1.1 3.8 0.4 0.4821 -0.0821 0.0067


101

Unitatea de

învăţare 6


Suma 2.6 47.6 -1.9 -1.9000 0.0000 0.4216



M – 2: Ŷt = -3.967 + 0.77354∙X1t+ 0.9097∙X2t.

Rezolvarea în detaliu cu ajutorul programului EViews este prezentată în tabelul următor.



Data: 11/20/03 Ora: 12:47

Eşantionul: 14 25



C -3.967000 1.740501 -2.279229 0.0486

X1 0.735366 0.220423 3.336162 0.0087

X2 0.909669 0.417831 2.177123 0.0574

R2 0.630303 Media var.exog. 1.075000

R2







Tabelul 4-8: Testul Goldfeld–Quandt, modelul multifactorial M–2


14 1.2 3.8 0.2 0.4 -0.1722 0.0296

15 1.4 4.2 1.0 0.9 0.1169 0.0137

16 1.5 4.2 0.7 1.0 -0.2567 0.0659


102

Unitatea de

învăţare 6


17 1.8 4.2 1.5 1.2 0.3227 0.1042

18 1.8 3.8 1.2 0.8 0.3866 0.1495

19 2.0 3.9 1.2 1.1 0.1486 0.0221

20 2.1 3.8 0.8 1.0 -0.2340 0.0548

21 2.1 4.1 1.0 1.3 -0.3069 0.0942

22 2.2 3.8 1.3 1.1 0.1925 0.0370

23 2.2 3.8 0.9 1.1 -0.2075 0.0431

24 2.3 4.2 1.4 1.5 -0.1450 0.0210

25 2.3 4.2 1.7 1.5 0.1550 0.0240

Suma 22.9 48.0 12.9 12.9 0.0000 0.6590

Pornind de la rezultatele obţinute, se calculează:

56.14216.0

6590.012

1

2

25

14

2

1

2

t

t

t

t

c

u

u

VTR

VTRF

Din tabelul distribuţiei F, pentru un prag de încredere α = 0.05, se determină

F12-2,12-2(0.05) = F10,10(0.05) = 2.98

Rezultă

Fc = 1.56 < 2.98 = F10,10(0.05)

deci, erorile et din modelul iniţial nu sunt heteroscedastice.


103

Unitatea de

învăţare 6



1. Care este definiţia heteroscedaticităţii?

2. Care sunt consecinţele ignorării heteroscedasticităţii?

3. Care sunt cele mai cunoscute teste pentru identificarea heteroscedasticităţii?



104

Unitatea de

învăţare 6

Proprietatea erorile de a nu avea o dispersie constantă se numeşte

heteroscedasticitate.

Consecinţe ale ignorării fenomenului de heteroscedasticitate a

erorilor

a. Estimatorii parametrilor din model sunt nedeplasaţi şi

consistenţi.

b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi.

c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa

parametrilor sunt deplasaţi, nu sunt consistenţi şi nu sunt

eficienţi.

d. Testul t Student aplicat pentru analiza semnificaţiei

estimatorilor nu este valid.

e. Estimatorii parametrilor nu au proprietatea de maximă

verosimilitate.


105

Unitatea de

învăţare 6



Editura Mustang, Bucureşti, pag. 171-179; 183-193




Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


106

Unitatea de

învăţare 6

1. Proprietatea erorile de a nu avea o dispersie constantă se numeşte heteroscedasticitate.

2. Consecinţe ale ignorării fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor


b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi (există estimatori care au o

dispersie mai mică).

c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa parametrilor sunt deplasaţi, nu

sunt consistenţi şi nu sunt eficienţi.

d. Testul t Student aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este valid. Dacă

dispersia erorilor şi variaţia factorului explicativ sunt pozitiv corelate, atunci

dispersia corectă a parametrului a1 este subestimată, astfel încât calculele sugerează

o precizie a estimării mai bună decât este în realitate.

e. Estimatorii parametrilor nu au proprietatea de maximă verosimilitate.

3. Cele mai cunoscute sunt: testul Goldfeld–Quandt, testul Breusch–Pagan şi testul White.

Testarea şi atenuarea heteroscedasticităţii erorilor - Testul White

107

Unitatea de

învăţare 7

Unitea de învăţare 7 : TESTAREA ŞI ATENUAREA

HETEROSCEDASTICITĂŢII ERORILOR - TESTUL WHITE

Cuprins:

Testul White pentru modelul unifactorial

Testul White pentru modelul multifactorial

Introducere


• Cum se testează heteroscedasticitatea prin testul White?

• Cum se atenuează hetersocedasticitateaî în cazul în care aceasta este depistată?


Testarea heteroscedasticiţii folosind testul White.


minute.


108

Unitatea de

învăţare 7

TESTAREA ŞI ATENUAREA HETEROSCEDASTICITĂŢII

ERORILOR - TESTUL WHITE

7.1. Testul White pentru modelul unifactorial

Pentru exemplificarea modului de testare a heteroscedasticităţii erorilor analizăm legătura dintre

economiile populaţiei20

(simbolizate EP) şi câştigul salarial mediu nominal net lunar (lei/persoană)

– simbolul utilizat SNN, în perioada ianuarie 1997 – august 2003. Datele sunt prezentate în tabelul

4-9.

Tabelul 4-9: Evoluţia economiilor populaţiei şi a câştigului salarial în perioada 1997-2003

Luna

Economiile

populaţiei

– mil.lei (EP)

Câştigul salarial

(mediu nominal net)

– mil.lei/pers (SNN)

EPt D(EPt) SNNt D(SNNt)

Ianuarie - 97 9.368 – 0.397 –

Februarie - 97 10.017 0.649 0.456 0.059

Martie - 97 10.981 0.965 0.507 0.051

Aprilie - 97 12.052 1.071 0.592 0.085

Mai - 97 13.491 1.439 0.568 -0.024

Iunie - 97 14.566 1.075 0.581 0.013

Iulie - 97 15.405 0.839 0.622 0.041

August - 97 15.766 0.361 0.651 0.029

Septembrie - 97 16.287 0.521 0.710 0.060

Octombrie - 97 16.934 0.647 0.797 0.087

Noiembrie - 97 17.701 0.767 0.821 0.024

Decembrie - 97 20.166 2.464 0.940 0.120

Ianuarie - 98 20.793 0.628 0.884 -0.056

20

Datele sunt extrase din Bilanţul monetar agregat al băncilor – pasive interne – depozite ale clienţilor nebancari – Economii ale populaţiei (milioane lei, la sfârşitul perioadei) – Banca Naţională a României, Buletin lunar, 1/1997-9/2003.


109

Unitatea de

învăţare 7

Luna

Economiile

populaţiei

– mil.lei (EP)

Câştigul salarial

(mediu nominal net)



Februarie - 98 21.891 1.098 0.879 -0.006

Martie - 98 22.426 0.536 0.954 0.076

Aprilie - 98 23.380 0.954 1.045 0.091

Mai - 98 24.429 1.049 0.999 -0.046

Iunie - 98 25.153 0.724 1.041 0.041

Iulie - 98 25.797 0.644 1.099 0.058

August - 98 26.368 0.570 1.123 0.024

Septembrie - 98 26.627 0.259 1.140 0.017

Octombrie - 98 27.306 0.679 1.171 0.031

Noiembrie - 98 28.227 0.921 1.192 0.021

Decembrie - 98 30.967 2.739 1.360 0.169

Ianuarie - 99 32.484 1.517 1.241 -0.119

Februarie - 99 32.959 0.475 1.294 0.053

Martie - 99 32.110 -0.849 1.411 0.117

Aprilie - 99 30.943 -1.167 1.480 0.068

Mai - 99 29.674 -1.269 1.460 -0.019

Iunie - 99 30.215 0.541 1.514 0.053

Iulie - 99 32.209 1.994 1.604 0.090

August - 99 33.221 1.012 1.624 0.020

Septembrie - 99 34.178 0.957 1.630 0.006

Octombrie - 99 34.710 0.532 1.657 0.027

Noiembrie - 99 35.086 0.376 1.752 0.095

Decembrie - 99 39.238 4.152 1.990 0.238


110

Unitatea de

învăţare 7

Luna

Economiile

populaţiei

– mil.lei (EP)

Câştigul salarial

(mediu nominal net)



Ianuarie - 00 40.735 1.497 1.726 -0.264

Februarie - 00 41.922 1.187 1.748 0.022

Martie - 00 42.988 1.066 1.907 0.159

Aprilie - 00 43.039 0.051 2.136 0.229

Mai - 00 42.599 -0.440 2.030 -0.106

Iunie - 00 43.253 0.654 2.104 0.074

Iulie - 00 43.624 0.371 2.172 0.068

August - 00 43.090 -0.534 2.220 0.048

Septembrie - 00 42.328 -0.762 2.273 0.053

Octombrie - 00 41.095 -1.233 2.357 0.084

Noiembrie - 00 40.827 -0.268 2.497 0.140

Decembrie - 00 44.549 3.722 2.912 0.414

Ianuarie - 01 45.829 1.280 2.738 -0.174

Februarie - 01 46.923 1.094 2.596 -0.142

Martie - 01 48.382 1.459 2.819 0.223

Aprilie - 01 49.755 1.374 3.025 0.206

Mai - 01 50.697 0.942 2.915 -0.110

Iunie - 01 52.348 1.651 2.981 0.066

Iulie - 01 53.138 0.790 3.124 0.142

August - 01 54.030 0.892 3.135 0.011

Septembrie - 01 55.327 1.297 3.125 -0.010

Octombrie - 01 56.761 1.434 3.210 0.086

Noiembrie - 01 58.670 1.909 3.314 0.104


111

Unitatea de

învăţare 7

Luna

Economiile

populaţiei

– mil.lei (EP)

Câştigul salarial

(mediu nominal net)



Decembrie - 01 63.706 5.037 3.660 0.345

Ianuarie - 02 65.542 1.836 3.672 0.012

Februarie - 02 67.766 2.224 3.464 -0.207

Martie - 02 70.378 2.612 3.666 0.202

Aprilie - 02 72.443 2.065 3.966 0.299

Mai - 02 73.852 1.409 3.795 -0.170

Iunie - 02 75.447 1.594 3.806 0.011

Iulie - 02 77.508 2.061 3.919 0.113

August - 02 79.337 1.829 3.898 -0.021

Septembrie - 02 79.946 0.609 3.855 -0.043

Octombrie - 02 82.290 2.344 3.967 0.112

Noiembrie - 02 83.837 1.547 4.038 0.071

Decembrie - 02 88.894 5.057 4.526 0.488

Ianuarie - 03 90.509 1.615 4.731 0.205

Februarie - 03 92.753 2.244 4.452 -0.279

Martie - 03 93.098 0.345 4.638 0.186

Aprilie - 03 94.126 1.029 4.955 0.318

Mai - 03 93.633 -0.494 4.729 -0.226

Iunie - 03 93.926 0.293 4.706 -0.023

Iulie - 03 93.961 0.035 4.864 0.158

August - 03 94.990 1.029 4.808 -0.056

Sursa datelor: Banca Naţională a României, Buletin lunar, 1/1997-9/2003, Bucureşti


112

Unitatea de

învăţare 7

Econometric, datele nu pot fi incluse într-o ecuaţie de regrese, în forma în care apar în tabel.

Demonstrarea acestei afirmaţii se bazează pe analiza staţionarităţii seriilor de date. Justificarea

economică ar fi următoarea: ambele serii sunt influenţate de dinamica preţurilor din economie

(inflaţie), astfel încât înscrierea lor în aceeaşi bandă crescătoare nu înseamnă automat prezenţă unei

relaţii de cauzalitate între serii. Pur şi simplu, este posibil ca seriile să urmeze o tendinţă

asemănătoare datorită inflaţiei. Din această cauză, s-a eliminat tendinţa prin diferenţierea seriilor:

D(EPt) = EPt – EPt-1

D(SNNt) = SNNt – SNNt-1.

Seriile astfel obţinute sunt staţionare. În aceste condiţii, econometric, se testează legătura dintre

seriile staţionare D(EPt) şi D(SNNt). Admitem pentru început ipoteza că între cele două variabile

există o legătură lineară.

D(EP) = a0 + a1D(SNN) + et

Estimarea acestei ecuaţii prin metoda celor mai mici pătrate duce la obţinerea următoarelor

rezultate:

SNNDEPD 904.0132961.023.3903487.0

(în paranteză, sub estimatori sunt abaterile medii standard).

Testele statistice pentru semnificaţia estimatorilor sunt:

795.6132961

903487.00ˆ at

573.3904.0

23.31ˆ

at

Figura 4-2: Evoluţia economiilor populaţiei şi a câştigului salarial, în perioada 1997-2003

0

1

2

3

4

5

6

ian

ua

rie-9

7

iun

ie-9

7

no

iem

brie

-97

ap

rilie-9

8

se

pte

mb

rie-9

8

feb

rua

rie-9

9

iulie

-99

de

cem

brie

-99

ma

i-00

octo

mb

rie-0

0

ma

rtie-0

1

au

gu

st-0

1

ian

ua

rie-0

2

iun

ie-0

2

no

iem

brie

-02

ap

rilie-0

3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Economiile populaţiei (mil.lei) –

scara din dreapta

Câştigul salarial

(mil.lei/pers.) –scara din stânga


113

Unitatea de

învăţare 7

Pentru testarea heteroscedasticităţii erorilor se utilizează testul White. Calculul modelului pentru

seriile din tabelul 4-9 duce la rezultatele prezentate în tabelul 4-10.

D(EP) = 0.903487 + 3.23∙D(SNN)

Tabelul 4-10: Calculele de bază pentru aplicarea testului White, modelul unifactorial*)

t D(SNNt) D(EPt) D(EPt)c ut ut2

D(SNNt)2

1 – – – – – –

2 0.0594 0.6490 1.0954 -0.4464 0.1992 0.0035

3 0.0507 0.9646 1.0673 -0.1027 0.0105 0.0026

4 0.0848 1.0707 1.1775 -0.1068 0.0114 0.0072

5 -0.0242 1.4386 0.8253 0.6134 0.3762 0.0006

6 0.0133 1.0750 0.9465 0.1285 0.0165 0.0002

7 0.0408 0.8392 1.0351 -0.1959 0.0384 0.0017

8 0.0289 0.3610 0.9969 -0.6359 0.4044 0.0008

9 0.0596 0.5210 1.0960 -0.5750 0.3306 0.0036

10 0.0870 0.6473 1.1843 -0.5370 0.2883 0.0076

11 0.0236 0.7672 0.9799 -0.2126 0.0452 0.0006

12 0.1197 2.4642 1.2899 1.1742 1.3788 0.0143

13 -0.0561 0.6278 0.7224 -0.0946 0.0089 0.0031

14 -0.0058 1.0976 0.8847 0.2129 0.0453 0.0000

15 0.0757 0.5355 1.1479 -0.6124 0.3750 0.0057

16 0.0912 0.9539 1.1980 -0.2441 0.0596 0.0083

17 -0.0463 1.0487 0.7541 0.2946 0.0868 0.0021

18 0.0414 0.7242 1.0372 -0.3130 0.0980 0.0017

19 0.0579 0.6438 1.0906 -0.4467 0.1996 0.0034

20 0.0243 0.5704 0.9821 -0.4117 0.1695 0.0006

21 0.0171 0.2592 0.9586 -0.6994 0.4892 0.0003

22 0.0310 0.6794 1.0035 -0.3242 0.1051 0.0010


114

Unitatea de

învăţare 7


D(SNNt)2

23 0.0206 0.9213 0.9700 -0.0487 0.0024 0.0004

24 0.1688 2.7393 1.4485 1.2908 1.6662 0.0285

25 -0.1193 1.5174 0.5181 0.9993 0.9985 0.0142

26 0.0533 0.4748 1.0757 -0.6009 0.3611 0.0028

27 0.1171 -0.8487 1.2817 -2.1304 4.5388 0.0137

28 0.0683 -1.1671 1.1241 -2.2912 5.2497 0.0047

29 -0.0192 -1.2694 0.8414 -2.1108 4.4556 0.0004

30 0.0531 0.5411 1.0749 -0.5338 0.2849 0.0028

31 0.0904 1.9939 1.1953 0.7986 0.6377 0.0082

32 0.0203 1.0123 0.9691 0.0432 0.0019 0.0004

33 0.0058 0.9573 0.9221 0.0352 0.0012 0.0000

34 0.0270 0.5317 0.9908 -0.4592 0.2108 0.0007

35 0.0946 0.3765 1.2090 -0.8325 0.6931 0.0089

36 0.2385 4.1517 1.6738 2.4780 6.1403 0.0569

37 -0.2641 1.4967 0.0505 1.4461 2.0912 0.0697

38 0.0221 1.1873 0.9747 0.2126 0.0452 0.0005

39 0.1589 1.0662 1.4168 -0.3506 0.1229 0.0253

40 0.2289 0.0505 1.6427 -1.5922 2.5351 0.0524

41 -0.1062 -0.4396 0.5605 -1.0000 1.0001 0.0113

42 0.0740 0.6537 1.1424 -0.4887 0.2389 0.0055

43 0.0683 0.3711 1.1242 -0.7531 0.5672 0.0047

44 0.0484 -0.5339 1.0598 -1.5937 2.5398 0.0023

45 0.0526 -0.7616 1.0734 -1.8350 3.3673 0.0028

46 0.0842 -1.2335 1.1755 -2.4090 5.8034 0.0071

47 0.1403 -0.2678 1.3566 -1.6244 2.6387 0.0197


115

Unitatea de

învăţare 7


D(SNNt)2

48 0.4141 3.7215 2.2409 1.4807 2.1924 0.1715

49 -0.1735 1.2801 0.3430 0.9371 0.8782 0.0301

50 -0.1418 1.0943 0.4455 0.6488 0.4210 0.0201

51 0.2230 1.4585 1.6238 -0.1653 0.0273 0.0497

52 0.2059 1.3737 1.5685 -0.1948 0.0380 0.0424

53 -0.1098 0.9420 0.5487 0.3933 0.1547 0.0121

54 0.0662 1.6509 1.1173 0.5336 0.2847 0.0044

55 0.1422 0.7900 1.3629 -0.5729 0.3282 0.0202

56 0.0115 0.8921 0.9406 -0.0485 0.0023 0.0001

57 -0.0103 1.2970 0.8702 0.4268 0.1822 0.0001

58 0.0855 1.4335 1.1797 0.2538 0.0644 0.0073

59 0.1038 1.9088 1.2389 0.6700 0.4488 0.0108

60 0.3454 5.0368 2.0191 3.0176 9.1062 0.1193

61 0.0119 1.8356 0.9419 0.8937 0.7987 0.0001

62 -0.2072 2.2239 0.2342 1.9897 3.9590 0.0429

63 0.2021 2.6118 1.5561 1.0557 1.1144 0.0408

64 0.2994 2.0651 1.8706 0.1945 0.0378 0.0897

65 -0.1704 1.4094 0.3531 1.0563 1.1158 0.0290

66 0.0110 1.5945 0.9389 0.6555 0.4297 0.0001

67 0.1130 2.0613 1.2684 0.7929 0.6287 0.0128

68 -0.0210 1.8286 0.8358 0.9929 0.9858 0.0004

69 -0.0434 0.6091 0.7632 -0.1541 0.0237 0.0019

70 0.1125 2.3444 1.2668 1.0776 1.1612 0.0127

71 0.0707 1.5472 1.1318 0.4153 0.1725 0.0050

72 0.4875 5.0570 2.4781 2.5789 6.6505 0.2377


116

Unitatea de

învăţare 7


D(SNNt)2

73 0.2051 1.6146 1.5658 0.0488 0.0024 0.0421

74 -0.2789 2.2442 0.0026 2.2416 5.0246 0.0778

75 0.1859 0.3446 1.5038 -1.1592 1.3437 0.0345

76 0.3176 1.0288 1.9292 -0.9004 0.8108 0.1009

77 -0.2260 -0.4938 0.1737 -0.6674 0.4455 0.0511

78 -0.0234 0.2934 0.8278 -0.5345 0.2857 0.0005

79 0.1579 0.0352 1.4135 -1.3783 1.8997 0.0249

80 -0.0558 1.0289 0.7232 0.3057 0.0935 0.0031

*) Prin D(EP)c am simbolizat valorile calculate pe baza ecuaţiei de regresie pentru variabila

endogenă D(EP)

Potrivit metodei White, se realizează o regresie de tipul:

tttt SNNDSNNDu 2

210

2 )()(

Rezultatele sunt următoarele:

22 )(421.25)(457.0641.0ˆttt SNNDSNNDu .

Coeficientul de determinare R2, calculat pentru modelul precedent este:

R2 = 0.2729,

iar blocul nR2 din testul White se calculează astfel:

nR2 = 79 ∙0.2729 = 21.56.

Se testează ipoteza nulă

H0: α1 = α2 = 0 (lipsa heteroscedasticităţii).

Valoarea testului 99.52

2 , pentru un prag de semnificaţie α = 0.05 (un grad de încredere de

95%). Cum

nR2 = 21.56 > 2

299.5 ,

rezultă că ipoteza H0 este respinsă, adică se poate afirma, cu un grad de încredere de 95% faptul că

erorile et din modelul iniţial sunt heteroscedastice. Aceleaşi rezultate pot fi obţinute prin utilizarea

programului EViews:

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 14.26234 Probabilitatea 0.000006

nR2

21.55902 Probabilitatea 0.000021


117

Unitatea de

învăţare 7

Test Equation – variabila dependentă: u2


Eşantionul: 1997:02 2003:08, Observaţii incluse: n = 79


C 0.640700 0.206192 3.107297 0.0027

D(SNN) -0.457366 1.536016 -0.297762 0.7667

(D(SNN))2 25.42088 5.393215 4.713492 0.0000

R2

0.272899 Media var.endog. 1.165073

R2 – ajustat 0.253765 Ab.std.var.endog. 1.838512

Ab.std.regr. 1.588197 Akaike info criterion 3.800311




Pentru eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se procedează la transformarea modelul

iniţial

D(EP)t = a0 + a1D(SNN)t + et,

în modelul:

t

t

tt

t

SNND

ea

SNNDa

SNND

EPD 10

1)(

Rezultatele sunt următoarele:

Variabila dependentă: )(

)(

SNND

EPD

Metoda de estimare: Metoda celor mai mici pătrate

Eşantionul (ajustat): 1997:02 2003:08

Observaţii incluse: 79 după ajustare

Coeficienţii Estimatorii Ab.std. t-Statistic Prob.


118

Unitatea de

învăţare 7

)(

1

SNND 1.018483 0.060994 16.69807 0.0000

constanta -0.722544 2.499231 -0.289106 0.7733

R2 0.783602 Media var.endogene 9.456939

R2 ajustat 0.780791 Ab.std.var.endogene 46.01198


Suma pătratelor erorilor 35734.69 Schwarz criterion 9.062925



Reziduurile din această ecuaţie nu sunt heteroscedastice. Prin estimarea unei ecuaţii de regresie

de tipul

t

tt

tSNNDSNND

u 2210

2

)(

1

)(

1

se obţine:

2

2

)(

1036317.0

)(

13344.36895.424

tt

tSNNDSNND

u

Pentru ecuaţia precedentă

R2 = 0.016056,

deci

nR2 = 0.268424 < 5.99 = )05.0(2

2 .

Aceasta înseamnă că erorile din ecuaţia de regresie nu sunt heteroscedastice, cu un grad de

încredere mai mare de 95%. Rezultatele în detaliu sunt prezentate în tabelul următor:

Variabila dependentă: (RES2)2

Metoda de estimare: Metoda celor mai mici pătrate

Eşantionul (ajustat): 1997:02 2003:08

Observaţii incluse: 79 după ajustare

Coeficienţii Estimatorii Ab.std. t-Statistic Prob.

constanta 424.6895 211.1689 2.011137 0.0479


119

Unitatea de

învăţare 7

)(

1

SNND -3.334400 4.918515 -0.677928 0.4999

2)(

1

SNND 0.036317 0.039584 0.917466 0.3618

R2 0.01606 Media var.endogene 452.34

R2 ajustat -0.00984 Ab.std.var.endogene 1726.4


Suma pătratelor erorilor 2.29E+08 Schwarz criterion 17.882



7.2. Testul White pentru modelul multifactorial

Pentru testarea prezenţei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor în cazul unui model

multifactorial de regresie lineară este utilizat exemplul numeric prezentat în capitolul 2, tabelul 2-2.

Să presupunem că printr-o cercetare selectivă s-au înregistrat următoarele date privind:

– dinamica veniturilor populaţiei (X1t),

– evoluţia ratei reale a dobânzii pasive (X2t) şi

– dinamica depozitelor bancare (Yt):

Nr.crt.

Veniturile

populaţiei

(X1t)

Rata reală a

dobânzii pasive

(X2t)

Depozitele

bancare

(Yt)

1 0.5 4.1 0.3

2 1.0 4.2 0.8

3 1.2 4.0 0.3

4 -0.3 4.1 -0.5

5 2.1 3.8 0.8

6 2.3 4.2 1.4

7 1.2 3.8 0.2


120

Unitatea de

învăţare 7

Nr.crt.

Veniturile

populaţiei

(X1t)

Rata reală a

dobânzii pasive

(X2t)

Depozitele

bancare

(Yt)

8 1.0 3.9 0.7

9 0.8 3.9 0.0

10 0.0 3.8 -0.7

11 -0.6 3.8 -1.0

12 2.2 3.8 1.3

13 1.4 4.2 1.0

14 2.0 3.9 1.2

15 2.3 4.2 1.7

16 1.1 3.8 0.4

17 0.8 3.9 0.6

18 -0.5 4.1 -0.9

19 -1.4 3.9 -1.4

20 0.2 4.1 -0.2

21 1.8 4.2 1.5

22 2.2 3.8 0.9

23 2.1 4.1 1.0

24 1.5 4.2 0.7

25 1.8 3.8 1.2

Modelul linear bi-factorial se scrie:

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et.

Vectorul estimatorilor Â se calculează prin relaţia:

Â = (X'X)-1

X'Y.

Au fost determinate următoarele valori


121

Unitatea de

învăţare 7

860999.0

75722.0

78693.3

A

deci

Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t, pentru t = 1, 2, …, 25 şi

ut = Yt – Ŷt.

Rezultatele estimării sunt preluate din în tabelul 2-2. În tabelul 4-11 sunt incluse, în plus faţă de

coloanele tabelului 2-2, blocurile necesare pentru aplicarea testului White privind

heteroscedasticitatea erorilor.

Tabelul 4-11: Calculele de bază pentru aplicarea

testului White, modelul multifactorial

t X1t X2t Yt Ŷt ut 2

tu 2

1tX 2

2tX X1X2

1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318 0.25 16.81 2.05

2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456 1.00 17.64 4.20

3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706 1.44 16.00 4.80

4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003 0.09 16.81 -1.23

5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756 4.41 14.44 7.98

6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292 5.29 17.64 9.66

7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375 1.44 14.44 4.56

8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382 1.00 15.21 3.90

9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312 0.64 15.21 3.12

10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342 0.00 14.44 0.00

11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009 0.36 14.44 -2.28

12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223 4.84 14.44 8.36

13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122 1.96 17.64 5.88

14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131 4.00 15.21 7.80

15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167 5.29 17.64 9.66

16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068 1.21 14.44 4.18

17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791 0.64 15.21 3.12


122

Unitatea de

învăţare 7

t X1t X2t Yt Ŷt ut 2

tu 2

1tX 2

2tX X1X2

18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700 0.25 16.81 -2.05

19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079 1.96 15.21 -5.46

20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090 0.04 16.81 0.82

21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947 3.24 17.64 7.56

22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629 4.84 14.44 8.36

23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111 4.41 16.81 8.61

24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703 2.25 17.64 6.30

25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240 3.24 14.44 6.84

∑ 26.7 99.6 11.3 11.3000 0.0000 1.2952 54.09 397.46 106.74

Pentru modelul multifactorial de regresie lineară multifactorială se scrie:

tttttttt XXXXXXu 215

2

24

2

1322110

2

unde

ut = Yt – (â0 + â1X1t + â2X2t), 25,1t

Ipoteza nulă

H0: α1 = α2 = α2 = α2 = α5 = 0

(lipsa fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor et) este respinsă dacă 05.0χnR 25

2 .

Rezolvarea prin metoda celor mai mici pătrate a modelului descris de ecuaţia de regresie

precedentă, pe baza datelor din tabelul 4-11 duce la obţinerea următoarelor rezultate:

tttt

ttt

XXXX

XXu

21

2

2

2

1

21

2

025.0029.101.0

156.8067.0095.16ˆ

Coeficientul de determinare R2, calculat pentru modelul precedent este: R

2 = 0.2196. În aceste

condiţii, blocul nR2 se calculează astfel:

nR2 = 25∙0.2196 = 5.49.

În tabelul χ2, pentru pragul α = 0.05 şi 5 grade de libertate se identifică

0705.1105.02

5 .

Deoarece

nR2 = 5.49 < 05.00705.11 2

5 ,

ipoteza nulă


123

Unitatea de

învăţare 7

H0: α1 = α2 = α2 = α2 = α5 = 0

(lipsa fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor et din modelul linear bi-factorial) nu se

respinge. Cu alte cuvinte, erorile et nu sunt heteroscedastice.

Rezultate identice pot fi obţinute direct, prin utilizarea programului EViews. În detaliu, aceste

rezultate sunt prezentate în tabelul următor:

White Heteroskedasticity Test:


nR2 5.490533 Probabilitatea 0.358985

Test Equation:

Variabila dependentă: u2


Eşantionul: 1 25


Variabile Estimatori Ab.std. t-statistic alfa

C -16.09519 11.24317 -1.431553 0.1685

X1 -0.067375 0.274951 -0.245043 0.8090

X12 -0.009548 0.008989 -1.062213 0.3015

X1X2 0.025277 0.070422 0.358935 0.7236

X2 8.155651 5.661626 1.440514 0.1660

X22 -1.029061 0.712198 -1.444910 0.1648

R2 0.219621 Media var. exogene 0.051807

R2 ajustat 0.014259 Ab.std.var.exog. 0.047464

Ab.std.regresie 0.047124 Akaike info criterion -3.066503

Suma pătrate

resid.

0.042193 Schwarz criterion -2.773973



124

Unitatea de

învăţare 7

Variabile Estimatori Ab.std. t-statistic alfa

Durbin-

Watson stat

1.702749 Prob(F-statistic) 0.407971


125

Unitatea de

învăţare 7



1. Când este respinsă ipoteza lipsei fenomenului de hetersoscedasticitate?

2. Utilizaţi software-ul Microsoft Excel pentru a rezolva o problemă de regresie, model

multifactorial, utilizând testul White pentru depistarea heteroscedasticităţii.



126

Unitatea de

învăţare 7

Ipoteza lipsei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor

et este respinsă dacă

05.02

5

2 nR .


127

Unitatea de

învăţare 7



Editura Mustang, Bucureşti, pag. 177-183; 194-209




Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


128

Unitatea de

învăţare 7

1. Ipoteza lipsei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor et este respinsă dacă

05.02

5

2 nR .

Autocorelarea erorilor

129

Unitatea de

învăţare 8

Unitatea de învăţare 8: AUTOCORELAREA ERORILOR

Cuprins:

Consecinţe ale autocorelării erorilor

Testarea autocorelării erorilor

o Testul Durbin – Watson

o Testul Lagrange

Atenuarea fenomenului de autocorelare a erorilor

o Procedura Cochrane – Orcutt

o Procedura Hildreth – Lu

Introducere


• Care sunt consecinţele autocorelării erorilor?

• Care sunt principalele teste pentru depistarea autocorelării?

• Cum se realizează atenuarea acesti fenomen?


Autocorelarea erorilor - consecinţe, testare, atenuare

Teste pentru depistarea autocorelării

Proceduri pentru anularea autocorelării

Durata medie de parcurgere acestei unităţi de învăţare este de 1 oră şi 40 minute.


130

Unitatea de

învăţare 8

AUTOCORELAREA ERORILOR

În prezenţa autocorelării erorilor este afectată calitatea estimatorilor calculaţi prin metoda celor

mai mici pătrate pentru parametrii modelului de regresie. În modelele economice de regresie

lineară se întâlnesc des situaţii în care erorile sunt autocorelate. În special, autocorelarea erorilor

apare în modelele construite pentru seriile de timp. Principalele cauze care determină fenomenul

respectiv sunt:

(1) omiterea din model a unor variabile explicative cu influenţă semnificativă asupra variabilei

endogene;

(2) ignorarea prezenţei unor relaţii nelineare între variabile şi

(3) imposibilitatea evitării unor erori de măsurare.

8.1. Consecinţe ale autocorelării erorilor

Dacă fenomenul de autocorelare a erorilor din modelul de regresie lineară este ignorat, iar

pentru estimarea parametrilor se foloseşte metoda celor mai mici pătrate, atunci, sintetic,

consecinţele ignorării fenomenului de autocorelare a erorilor sunt următoarele:

Consecinţe ale ignorării fenomenului de autocorelare a erorilor


b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi şi nu au proprietatea de maximă

verosimilitate.

c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa parametrilor sunt deplasaţi, nu sunt

consistenţi şi nu sunt eficienţi.

d. Testul t statistic (Student) aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este valid.

e. Valorile t-Student calculate pentru estimarea semnificaţiei parametrilor sunt supradimensionate.

f. Abaterea standard a erorilor este subdimensionată faţă de valoarea .

8.2. Testarea autocorelării erorilor

Deoarece autocorelarea erorilor afectează calitatea estimatorilor, testarea – şi, dacă este cazul,

atenuarea – fenomenului respectiv reprezintă un pas important în validarea modelului.


131

Unitatea de

învăţare 8

8.2.1. Testul Durbin – Watson

Testul Durbin – Watson este cea mai cunoscută procedură utilizată pentru identificarea

autocorelării de ordinul întâi a erorilor din modelele de regresie lineară. Statistica Durbin – Watson

se calculează astfel:

n

t

t

n

t

tt

u

uu

dw

1

2

2

2

1

unde ut sunt valorile variabilei reziduale din ecuaţia de regresie lineară, ecuaţie estimată pornind de

la datele din eşantionul selectat.

8.2.2. Testul Lagrange

Testul construit pe baza multiplicatorilor Lagrange pentru identificarea fenomenului de

autocorelare a erorilor (testul LM) a fost propus de Breusch21

şi Godfrey22

. Acest test nu este

restricţionat la autocorelarea de ordinul I a erorilor şi rămâne valid în prezenţa regresorilor

construiţi pornind de la starea variabilei dependente în perioadele trecute. În consecinţă, are o

aplicabilitate mai mare decât testul Durbin – Watson.

8.3. Atenuarea fenomenului de autocorelare a erorilor

Nu există nici o procedură care să garanteze eliminarea autocorelării erorilor, deoarece sursa

fenomenului respectiv este dificil de identificat cu exactitate. De aceea, procedurile aplicate atunci

când prezenţa autocorelării este semnalată prin testele specifice, urmăresc o cât mai bună atenuare a

fenomenului respectiv.

8.3.1. Procedura Cochrane – Orcutt

Metoda construită de Cochrane şi Orcutt pentru atenuarea fenomenului de autocorelare a

erorilor presupune aplicarea unei proceduri iterative de estimare a coeficientului de corelaţiei de

ordinul I. Procedura Cochrane – Orcutt se aplică pentru modelul

Yt = a0 + a1X1t + … + akXkt + et, iar

et = ρet-1 + εt (modelul AR(1), t=1..n)

Procedura Cochrane – Orcutt converge destul de repede şi, în majoritatea cazurilor, nu necesită

un număr mare de iteraţii. Din nefericire însă, metoda Cochrane – Orcutt de atenuare a autocorelării

erorilor nu garantează obţinerea unei valori ρ care să ducă la minimizarea pătratelor reziduurilor,

deoarece tehnica iterativă descrisă poate să ducă la un minim local şi nu la un minim global.

21

Breusch T., 1978, Testing foe autocorelation in dinamic linear models, în Australian Economic Papers, 17, pag. 334-355 22

Godfrey L.G., 1988, Specification Tests in Econometrics, Cambridge University Press


132

Unitatea de

învăţare 8

8.3.2. Procedura Hildreth – Lu

De regulă, numărul iteraţiilor din procedura Hildreth – Lu este mare, adică aplicarea procedurii

Hildreth – Lu necesită rezolvarea unui număr mare de modele de regresie. Din acest punct de

vedere, procedura Hildreth – Lu este mai laborioasă decât Cochrane – Orcutt.


133

Unitatea de

învăţare 8



1. Ce reprezintă autocorelarea erorilor?

2. Care sunt consecinţle ignorării autocorelării?

3. Cum se calculează statistica Durbin-Watson?



134

Unitatea de

învăţare 8

Autocorelarea erorilor presupune existenţa unei covarianţe

nenule între erorile din ecuaţia de regresie.

Testul Durbin – Watson este cea mai cunoscută procedură utilizată

pentru identificarea autocorelării de ordinul întâi a erorilor din

modelele de regresie lineară. Statistica Durbin – Watson se

calculează astfel:

n

t

t

n

t

tt

u

uu

dw

1

2

2

2

1

unde ut sunt valorile variabilei reziduale din ecuaţia de regresie

lineară, ecuaţie estimată pornind de la datele din eşantionul

selectat.

Nu există nici o procedură care să garanteze eliminarea

autocorelării erorilor, deoarece sursa fenomenului respectiv este

dificil de identificat cu exactitate. De aceea, procedurile aplicate

atunci când prezenţa autocorelării este semnalată prin testele

specifice, urmăresc o cât mai bună atenuare a fenomenului

respectiv.


135

Unitatea de

învăţare 8







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


136

Unitatea de

învăţare 8

1. Autocorelarea erorilor presupune existenţa unei covarianţe nenule între erorile din ecuaţia

de regresie.

2. Consecinţe ale ignorării fenomenului de autocorelare a erorilor


b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi şi nu au proprietatea de maximă

verosimilitate.

c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa parametrilor sunt deplasaţi, nu

sunt consistenţi şi nu sunt eficienţi.

d. Testul t statistic (Student) aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este

valid.

e. Valorile t-Student calculate pentru estimarea semnificaţiei parametrilor sunt

supradimensionate, ceea ce sugerează o semnificaţie a parametrilor mai mare decât

este în realitate.

f. Abaterea standard a erorilor este subdimensionată faţă de valoarea reală şi, în

consecinţă, coeficientul de determinare R2 este supradimensionat, ceea ce indică o

ajustare mai bună decât este în realitate.

3. Statistica Durbin – Watson se calculează astfel:

n

t

t

n

t

tt

u

uu

dw

1

2

2

2

1

unde ut sunt valorile variabilei reziduale din ecuaţia de regresie lineară, ecuaţie estimată

pornind de la datele din eşantionul selectat.

Testarea fenomenului de autocorelare a erorilor

137

Unitatea de

învăţare 9

Unitatea de învăţare 9: APLICAŢII – TESTAREA FENOMENULUI

DE AUTOCORELARE A ERORILOR

Cuprins:

Aplicarea testului Durbin – Watson



Aplicarea testului Lagrange



Introducere


• Cum se utilizeaza testul Durbin-Watson pentru depistarea autocorelării?

• Cum se atenuează fenomenul de autocorelare?


Utilizarea testului Durbin-Watson pentru testarea autocorelării erorilor

Durata medie de parcurgere acestei unităţi de învăţare este de 1 oră şi

40 minute.


138

Unitatea de

învăţare 9

APLICAŢII – TESTAREA FENOMENULUI DE AUTOCORELARE

A ERORILOR

9.1. Aplicarea testului Durbin – Watson


Pentru exemplificarea procedurii de identificare a fenomenului de autocorelare a erorilor prin

testul Durbin – Watson analizăm legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul economiilor.

Datele înregistrate pentru 20 momente diferite de timp sunt prezentate în tabelul 2-1 şi sunt reluate

în tabelul 5-1.

Tabelul 5-1: Autocorelarea erorilor:

evoluţia veniturilor populaţiei (X) şi a volumului economiilor (Y)

t Xt Yt t Xt Yt

1 100 20 11 180 45

2 110 25 12 185 50

3 120 28 13 190 47

4 125 30 14 200 48

5 130 33 15 205 52

6 140 35 16 210 58

7 150 36 17 215 54

8 155 42 18 220 55

9 170 44 19 220 58

10 170 42 20 225 60

Modelul unifactorial de regresie lineară este descris prin ecuaţia următoare:

Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, …, 20

unde Xt reprezintă veniturile populaţiei, iar Yt – volumul economiilor.

Estimatorii ecuaţiei, calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, sunt prezentaţi în ecuaţia

următoare:


139

Unitatea de

învăţare 9

Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt.

Calculele pentru testarea autocorelării erorilor (testul Durbin-Watson) sunt prezentate în tabelul

5-2.

Tabelul 5-2: Calculele de bază pentru

aplicarea testului Durbin – Watson, modelul unifactorial

t Xt Yt Ŷt ut 2tu (ut – ut-1)

2

1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 –

2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 4.4302

3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 0.0110

4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 0.3051

5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 2.4099

6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 0.8014

7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 3.5918

8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 20.7243

9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 5.4887

10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 4.0000

11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 0.0110

12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 12.6195

13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 19.7811

14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 3.5918

15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 6.5147

16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 20.7243

17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 29.6764

18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 0.2003

19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 9.0000

20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 0.3051

∑ 342

0

86

2 862.0000 0.0000 74.3359 144.1869


140

Unitatea de

învăţare 9

Potrivit testului Durbin – Watson,

94.1

3359.74

1869.144

1

2

2

2

1

n

t

t

n

t

tt

u

uu

dw .

Deoarece dw < 2, înseamnă că nu există riscul unei autocorelări negative, astfel încât, în

asemenea situaţii se justifică testul unilateral Durbin – Watson pentru autocorelarea pozitivă a

erorilor: se acceptă ipoteza lipsei de autocorelare a erorilor dacă dw > dU. Pentru testul unilateral

valorile din tabelul Durbin-Watson, în cazul k = 1 şi n = 20 sunt: dL = 1.20 şi dU = 1.41. Deoarece

dw = 1.94 > 1.41 = dU se acceptă ipoteza nulă, H0: lipsa autocorelării de ordinul I al erorilor.


Pentru testarea prezenţei fenomenului de autocorelare de gradul I a erorilor în cazul unui model

multifactorial de regresie lineară este analizat următorul exemplu numeric.

Să presupunem că printr-o cercetare selectivă s-au obţinut datele prezentate în tabelul 5-3

privind dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei reale a dobânzii pasive (X2t) şi

dinamica depozitelor bancare (Yt) în 25 intervale succesive de timp (datele reprezintă modificările

procentuale ale variabilelor analizate şi sunt preluate din tabelul 2-2). Admitem ipoteza că dinamica

depozitelor bancare depinde linear de dinamica veniturilor şi de evoluţia ratei reale a dobânzii

pasive, astfel încât modelul econometric, construit pe baza acestor ipoteze este:

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et,

Modelul a fost calculat prin metoda celor mai mici pătrate şi au fost determinate următoarele

valori ale estimatorilor Â:

Â = (X'X)-1X'Y =

860999.0

75722.0

78693.3

În aceste condiţii:

Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t. pentru t = 1, 2, …, 25

şi

ut = Yt – Ŷt.

Tabelul 5-3: Calculele de bază pentru

aplicarea testului Durbin – Watson,

modelul multifactorial

t X1t X2t Yt Ŷt ut ut2 (ut-ut-1)

2

1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318 –


141

Unitatea de

învăţare 9

t X1t X2t Yt Ŷt ut ut2 (ut-ut-1)

2

2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456 0.0012

3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706 0.2297

4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003 0.0624

5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756 0.0671

6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292 0.0108

7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375 0.0005

8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382 0.3196

9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312 0.3009

10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342 0.0001

11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009 0.0238

12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223 0.0323

13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122 0.0015

14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131 0.0000

15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167 0.0002

16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068 0.0022

17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791 0.1163

18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700 0.4731

19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079 0.1251

20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090 0.0338

21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947 0.1619

22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629 0.3119

23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111 0.0068

24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703 0.0047

25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240 0.3810

∑ 26.7 99.6 11.3 11.3 0.0000 1.2952 2.6669


142

Unitatea de

învăţare 9

Potrivit testului Durbin – Watson, se calculează dw = 2.059 La fel ca în cazul modelului

unifactorial de regresie lineară, pentru a testa ipoteza H0: ρ = 0 (lipsa autocorelării erorilor), contra

ipotezei alternative H1: ρ ≠ 0 (prezenţa fenomenului de autocorelare a erorilor) se aplică testul

Durbin – Watson unilateral. Din tabelele testului bilateral Durbin – Watson, pentru un nivel de

semnificaţie ales la 5%, volumul eşantionului n = 25 şi numărul de variabile explicative din model

k = 2, se identifică valorile critice dL = 1.21 şi dU = 1.55. Deoarece dw = 2.059 se găseşte între

dU = 1.55 şi 4 – dU = 2.45, se acceptă ipoteza nulă, H0: lipsa autocorelării de ordinul I al erorilor.

9.2. Aplicarea testului Lagrange


Pentru exemplificarea procedurii de identificare a fenomenului de autocorelare a erorilor prin

testul Lagrange analizăm legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul economiilor. Datele

înregistrate pentru 20 momente diferite de timp sunt prezentate în tabelul 2-1 şi sunt reluate în

tabelul 5-2. Pentru modelul linear unifactorial:

Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, …, 20

calculat prin metoda celor mai mici pătrate, estimatorii parametrilor sunt prezentaţi în ecuaţia

următoare:

Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt.

Aplicarea procedurii Lagrange presupune regresia reziduurilor ut în funcţie de o constantă şi de

variabilele Xt, ut-1, ut-2, …, ut-p. Rezolvarea ecuaţiei de regresie de tipul

ut = b0 + b1X1t + … + bkXkt + ρ1ut-1 + ρ2ut-2 + … + ρput-p + vt

s-a realizat pentru p = 5,

ut = b0 + b1X1t + ρ1ut-1 + ρ2ut-2 + … + ρ5ut-5 + vt

conform procedurii cunoscute, pe baza datelor din tabelul 5-4.

Tabelul 5-4: Testul Lagrange pentru autocorelarea erorilor,

modelul unifactorial de regresie lineară

t ut Xt ut-1 ut-2 ut-3 ut-4 ut-5

1 -2.5441 100 – – – – –

2 -0.4393 110 -2.5441 – – – –

3 -0.3345 120 -0.4393 -2.5441 – – –


143

Unitatea de

învăţare 9

t ut Xt ut-1 ut-2 ut-3 ut-4 ut-5

4 0.2179 125 -0.3345 -0.4393 -2.5441 – –

5 1.7703 130 0.2179 -0.3345 -0.4393 -2.5441 –

6 0.8751 140 1.7703 0.2179 -0.3345 -0.4393 -2.5441

7 -1.0201 150 0.8751 1.7703 0.2179 -0.3345 -0.4393

8 3.5323 155 -1.0201 0.8751 1.7703 0.2179 -0.3345

9 1.1895 170 3.5323 -1.0201 0.8751 1.7703 0.2179

10 -0.8105 170 1.1895 3.5323 -1.0201 0.8751 1.7703

11 -0.7057 180 -0.8105 1.1895 3.5323 -1.0201 0.8751

12 2.8467 185 -0.7057 -0.8105 1.1895 3.5323 -1.0201

13 -1.6009 190 2.8467 -0.7057 -0.8105 1.1895 3.5323

14 -3.4961 200 -1.6009 2.8467 -0.7057 -0.8105 1.1895

15 -0.9437 205 -3.4961 -1.6009 2.8467 -0.7057 -0.8105

16 3.6087 210 -0.9437 -3.4961 -1.6009 2.8467 -0.7057

17 -1.8389 215 3.6087 -0.9437 -3.4961 -1.6009 2.8467

18 -2.2865 220 -1.8389 3.6087 -0.9437 -3.4961 -1.6009

19 0.7135 220 -2.2865 -1.8389 3.6087 -0.9437 -3.4961

20 1.2659 225 0.7135 -2.2865 -1.8389 3.6087 -0.9437

Pentru estimarea prezentată, coeficientul de determinare multiplă este R2 = 0.491127. Pornind

de la aceste rezultate, se calculează

2Rpn = (20-5)∙0.491127 = 9.82254.

Valoarea din tabelele distribuţiei teoretice 05.02

5 este 11.0705. În aceste condiţii,

05.02

5

2 Rpn ,

deci se admite ipoteza nulă

H0: ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = ρ5 = 0,

potrivit căreia, erorile nu sunt autocorelate, cel puţin până la ordinul 5. Rezultate similare pot fi

obţinute direct, prin apelarea la programul EViews:


144

Unitatea de

învăţare 9

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:



Test Equation – Variabila dependentă: u


Variabile Estimatori Ab.std. t-Statistic alfa

C 0.503237 1.719056 0.292740 0.7743

X -0.003521 0.009822 -0.358489 0.7257

ut-1 0.126344 0.252467 0.500438 0.6251

ut-2 -0.235887 0.233917 -1.008424 0.3317

ut-3 0.093004 0.243309 0.382246 0.7085

ut-4 0.435680 0.249664 1.745068 0.1045

ut-5 -0.483220 0.292692 -1.650952 0.1227

R2 0.491127 Media var.depend. -1.87E-15

R2 ajustat 0.256263 Ab.std.var.dep. 1.977983

Ab.std. regresie 1.705816 Akaike info criterion 4.175182

Suma pătrate erori 37.82752 Schwarz criterion 4.523688




Pentru modelul de regresie lineară multiplă, procedura de testare a fenomenului de autocorelare

a erorilor prin metoda multiplicatorilor Lagrange este similară.

Pentru modelul

Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et,

calculat prin metoda celor mai mici pătrate au fost determinate următoarele valori ale estimatorilor

Â:


145

Unitatea de

învăţare 9

Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t,

pentru t = 1, 2, …, 25.

Testăm, la fel ca în cazul modelului unifactorial, ipoteza că erorile urmează un proces

autoregresiv de ordinul 5. Pentru aceasta, se construieşte ecuaţia

ut = b0 + b1X1t b2X2t + ρ1ut-1 + ρ2ut-2 + … + ρ5ut-5 + vt, pentru t = 6, 7, 25.

Rezolvarea modelului multifactorial de regresie lineară se realizează prin metoda celor mai mici

pătrate, potrivit procedurii obişnuite.

Tabelul 5-5: Testul Lagrange pentru autocorelarea erorilor,

modelul multifactorial de regresie lineară

t ut X1t X2t ut-1 ut-2 ut-3 ut-4 ut-5

1 0.1782 0.5 4.1 – – – – –

2 0.2135 1.0 4.2 0.1782 – – – –

3 -0.2657 1.2 4.0 0.2135 0.1782 – – –

4 -0.0160 -0.3 4.1 -0.2657 0.2135 0.1782 – –

5 -0.2750 2.1 3.8 -0.0160 -0.2657 0.2135 0.1782 –

6 -0.1709 2.3 4.2 -0.2750 -0.0160 -0.2657 0.2135 0.1782

7 -0.1935 1.2 3.8 -0.1709 -0.2750 -0.0160 -0.2657 0.2135

8 0.3718 1.0 3.9 -0.1935 -0.1709 -0.2750 -0.0160 -0.2657

9 -0.1767 0.8 3.9 0.3718 -0.1935 -0.1709 -0.2750 -0.0160

10 -0.1849 0.0 3.8 -0.1767 0.3718 -0.1935 -0.1709 -0.2750

11 -0.0305 -0.6 3.8 -0.1849 -0.1767 0.3718 -0.1935 -0.1709

12 0.1493 2.2 3.8 -0.0305 -0.1849 -0.1767 0.3718 -0.1935

13 0.1106 1.4 4.2 0.1493 -0.0305 -0.1849 -0.1767 0.3718

14 0.1146 2.0 3.9 0.1106 0.1493 -0.0305 -0.1849 -0.1767

15 0.1291 2.3 4.2 0.1146 0.1106 0.1493 -0.0305 -0.1849

16 0.0822 1.1 3.8 0.1291 0.1146 0.1106 0.1493 -0.0305

17 0.4233 0.8 3.9 0.0822 0.1291 0.1146 0.1106 0.1493

18 -0.2646 -0.5 4.1 0.4233 0.0822 0.1291 0.1146 0.1106


146

Unitatea de

învăţare 9

t ut X1t X2t ut-1 ut-2 ut-3 ut-4 ut-5

19 0.0891 -1.4 3.9 -0.2646 0.4233 0.0822 0.1291 0.1146

20 -0.0946 0.2 4.1 0.0891 -0.2646 0.4233 0.0822 0.1291

21 0.3077 1.8 4.2 -0.0946 0.0891 -0.2646 0.4233 0.0822

22 -0.2507 2.2 3.8 0.3077 -0.0946 0.0891 -0.2646 0.4233

23 -0.3333 2.1 4.1 -0.2507 0.3077 -0.0946 0.0891 -0.2646

24 -0.2651 1.5 4.2 -0.3333 -0.2507 0.3077 -0.0946 0.0891

25 0.3521 1.8 3.8 -0.2651 -0.3333 -0.2507 0.3077 -0.0946

Rezultatele obţinute sunt următoarele

ût = 0.12 – 0.05X1t + 0.043X2t + 0.06ut-1 – 0.165ut-2 – 0.37ut-3 + 0.39ut-4 – 0.14ut-5

Pentru această estimare, valoarea coeficientului de determinare multiplă este R2 = 0.229706.

Pornind de la aceste rezultate, se calculează

(n – p)R2 = (25-5)∙0.229706 = 4.59

Valoarea din tabelele distribuţiei teoretice 05.02

5 este 11.0705. În aceste condiţii,

(n – p)R2 < 05.02

5 ,

deci se admite ipoteza nulă

H0: ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = ρ5 = 0.

Rezultatele complete, obţinute prin utilizarea programului EViews sunt următoarele:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:



Test Equation – Variabila dependentă: u



C -0.120982 1.281733 -0.094390 0.9259

X1 -0.051365 0.057379 -0.895174 0.3832

X2 0.043434 0.324293 0.133936 0.8950


147

Unitatea de

învăţare 9


ut-1 0.059695 0.242073 0.246600 0.8082

ut-2 -0.164876 0.264976 -0.622229 0.5420

ut-3 -0.370266 0.277283 -1.335335 0.1994

ut-4 0.391204 0.271416 1.441344 0.1677

ut-5 -0.140877 0.295483 -0.476769 0.6396

R2 0.229706 Media var.depend. -4.49E-16

R2 ajustat -0.087473 Ab.std.var.dep. 0.232305

Ab.std. regresie 0.242252 Akaike info criterion 0.256664

Suma pătrate erori 0.997666 Schwarz criterion 0.646704



Obs. Valoarea calculată în EViews este nR2 = 5.742659, în locul valorii teoretice (n –

p)R2 = 4.59.


148

Unitatea de

învăţare 9



1. Atenuaţi fenomenul de autocorelare a erorilor folosind procedura Durbin-Watson, bazându-

vă pe un model linear unifactorial construit pornind de la teoria economică dintr-un

domeniu la alegere.



149

Unitatea de

învăţare 9

La fel ca în cazul modelului unifactorial, şi la

modelul multifactorial de regresie lineară, pentru a

testa ipoteza H0: ρ = 0 (lipsa autocorelării erorilor),

contra ipotezei alternative H1: ρ ≠ 0 (prezenţa

fenomenului de autocorelare a erorilor) se aplică

testul Durbin – Watson unilateral

Statistica Durbin-Watson se calculează:

n

t

t

n

t

tt

u

uu

dw

1

2

2

2

1


150

Unitatea de

învăţare 9







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


151

Unitatea de

învăţare 9

1. Vezi interpretarea statisticii DW, prezentată în acest modul şi în bibliografie.

Utilizarea modelelor econometrice în prognoză

152

Unitatea de

învăţare 10

Unitatea de învăţare 10: UTILIZAREA MODELELOR

ECONOMETRICE ÎN PROGNOZĂ

Cuprins:

Prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie lineară

Prognoza în cazul modelului multifactorial de regresie lineară

Exemple de calcul



Introducere


• Cum se realizează prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie lineară?

• Cum se realizează prognoza în cazul modelului multifactorial de regresie

lineară?


Cum se realizează prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie lineară,

respectiv multifactorial

Durata medie de parcurgere acestei unităţi de învăţare este de 2 ore.


153

Unitatea de

învăţare 10

UTILIZAREA MODELELOR ECONOMETRICE ÎN PROGNOZĂ

În sens econometric, prognoza reprezintă o anticipare cantitativă a unor evenimente sau condiţii

viitoare, pornind de la un set de informaţii disponibile.

10.1. Prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie lineară

Se presupunem că legătura dintre două variabile Y şi X poate fi modelată printr-o ecuaţie de

regresie lineară de tipul Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, ..., n, relaţie în care erorile sunt normal

distribuite, de medie nulă, nu sunt heteroscedastice, nu sunt autocorelate şi sunt independente în

raport cu variabila explicativă Xt.

Se demonstrează că un indicator nedeplasat pentru dispersia erorilor de prognoză este:

2

2

122 11

XX

XX

nss

t

n

uf

Construirea unui indicator nedeplasat pentru dispersia erorilor de prognoză permite calculul

unui interval de prognoză pentru Yn+1, pornind de la relaţia:

fnnnfnn stYYstY ;211;21ˆˆ

unde tn-2;α este valoarea din distribuţia teoretică t-Student, testul bilateral, pentru n-2 grade de

libertate (n fiind dimensiunea eşantionului), valoare corespunzătoare unui grad de încredere de

(1-α).

10.2. Prognoza în cazul modelului multifactorial de regresie lineară

Să presupunem că modelul de regresie lineară conţine k regresori (variabile explicative) şi este

estimat pornind de la o selecţie de volum n:

Y = XA + e

unde Y este un vector de dimensiuni n×1, care are drept componente valorile variabilei endogene,

X este o matrice de dimensiuni n×(k+1), în care elementele din prima coloană sunt egale cu unu, iar

fiecare dintre celelalte k coloane conţine valorile înregistrate pentru una dintre variabilele

explicative, A este vectorul de dimensiuni (k+1)×1 al parametrilor modelului, iar e este vectorul

erorilor, de dimensiuni n×1. Se demonstrează că, dacă sunt respectate ipotezele obişnuite privind

erorile şi variabilele explicative, atunci vectorul estimatorilor calculaţi pentru parametrii modelului

prin metoda celor mai mici pătrate este dat de relaţia:

Â = (X’X)-1

X’Y

Se poate demonstra că un estimator nedeplasat al dispersiei erorilor de prognoză, estimator

calculat pe baza datelor din eşantion este dat de expresia:

1

1

1

22 ''1

nnuf XXXXss


154

Unitatea de

învăţare 10

unde

1

1

2

2

kn

u

s

n

t

t

u

Intervalul de încredere pentru valorile de prognoză, calculat cu un grad de încredere de (1-α),

este dat de relaţia următoare:

fknnnfknn stYYstY ;111;11ˆˆ

,

unde tn-k-1;α este valoarea din distribuţia teoretică t-Student, testul bilateral, pentru n-k-1 grade de

libertate (n fiind dimensiunea eşantionului, iar k – numărul variabilelor exogene din model), valoare

corespunzătoare unui grad de încredere de (1-α).



Pentru exemplificarea modului de calcul a prognozei reluăm cazul numeric studiat în capitolul

2, referitor la legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul economiilor (tabelul 2-1). Scopul

analizei este realizarea unei prognoze a volumului economiilor pentru o familie care urmează un

comportament de consum asemănător celui specific populaţiei din care s-a extras eşantionul

prezentat în tabelul (2-1). Să presupunem că familia respectivă, numerotată cu 21, realizează un

venit X21 = 230. Pentru realizarea prognozei, se determină, în primul rând, valoarea Ŷ21, pe baza

ecuaţiei de regresie. Pentru exemplul analizat, ecuaţia de regresie este de forma:

Yt = a0 + a1Xt + et,

unde

– Yt este variabila endogenă (explicată) – volumul economiilor populaţiei,

– Xt este variabila exogenă (explicativă) – veniturile populaţiei,

– et este variabila de abatere (discrepanţa dintre valorile înregistrate şi cele anticipate pe baza

modelului), a0 şi a1 sunt parametrii modelului.

Aşa cum s-a demonstrat în capitolele anterioare, dacă modelul respectiv este estimat pornind de

la datele din tabelul 2-1, atunci erorile sunt normal distribuite, nu sunt heteroscedastice şi nu sunt

autocorelate.

Modelul calculat prin metoda celor mai mici pătrate pentru întreg eşantionul este:

Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt, pentru t = 1, 2 ,…, 25,

iar rezultatele estimării modelului sunt prezentate în tabelul 6-1.


155

Unitatea de

învăţare 10

Tabelul 6-1: Calcule de bază pentru prognoză

- modelul unifactorial

t Xt Yt Ŷt ut 2

tu 2XX t

1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 5041

2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 3721

3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 2601

4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 2116

5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 1681

6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 961

7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 441

8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 256

9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 1

10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 1

11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 81

12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 196

13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 361

14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 841

15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 1156

16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 1521

17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 1936

18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 2401

19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 2401

20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 2916

∑ 3420 862 862.0000 0.0000 74.3359 30630


156

Unitatea de

învăţare 10

Pornind de la ecuaţia de regresie

Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt,

şi de la X21 = 230 se deduce

Ŷ21 = -6.40793 + 0.28952∙230 = 60.18167.

Abaterea standard a erorilor de prognoză se calculează astfel:

192154.2805538.42 ff ss

Din tabelul distribuţiei bilaterale t (Student), pentru n-2 = 18 grade de libertate şi un prag de

semnificaţie α = 0.05 se identifică t23;0.05 = 2.101 Intervalul de încredere pentru prognoză se

calculează potrivit formulei:


adică

60.18167 – 2.101∙2.192154 ≤ Yn+1 ≤ 60.18167 + 2.101∙2.192154

sau

55.576 ≤ Yn+1 ≤ 64.787

Interpretarea rezultatelor este următoarea: dacă o familie din populaţia analizată înregistrează un

venit X21 de 230 u.m., atunci, pentru familia respectivă, volumul economiilor va fi, în medie

Y21 = 60.182 u.m. Cu un grad de încredere de 95%, volumul economiilor se va situa între 55.567 şi

64.787 u.m. Aceasta înseamnă că dacă eşantionul selectat este reprezentativ pentru întreaga

populaţie şi se urmăresc, prin selecţii succesive un număr mare de familii care au un venit egal cu

230, atunci media volumul economiilor înregistrate va fi 60.182 şi doar 5% dintre valori se vor situa

în afara intervalului [55.567, 64.787].


Pentru exemplificarea modului de elaborare a prognozei pe baza modelului multifactorial de

regresie lineară se porneşte de la cazul numeric analizat în modulele anterioare, referitor la

dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei reale a dobânzii pasive (X2t) şi dinamica

depozitelor bancare (Yt) în 25 intervale succesive de timp (tabelul 2-2). Rezultatele estimării

modelului linear prin metoda celor mai mici pătrate pornind de la eşantionul prezentat în tabelul

(2-1) sunt următoarele:

Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t.

Presupunem că la momentul t = 26, ritmul de creştere a veniturilor populaţiei este X1,26 = 3, iar

dinamica ratei reale a dobânzii pasive este X2,26 = 2. Valoarea medie a dinamicii depozitelor

bancare la momentul t = 26, respectiv prognoza Ŷ26 se determină astfel:

Ŷ26 = -3.78693 + 0.75722·3.0 + 0.860999·2.0 = 0.21

Pentru calculul dispersiei erorilor de prognoză se deduce, mai întâi, blocul Xn+1(X'X)-1

X'n+1.

Matricea (X'X)-1

şi valoarea 2us sunt preluate:


157

Unitatea de

învăţare 10

542.1022.0121.6

022.0039.0046.0

121.6046.0378.24

)'( 1XX

şi

0589.02 us

Atunci:

428.6'' 1

1

1

nn XXXX

Utilizând valorile determinate mai sus, se obţine:

3786.02 fs

Pornind de la valoarea dispersiei erorilor de prognoză, se calculează abaterea standard a erorilor

de prognoză astfel:

615.03786.02 ff ss

Intervalul de prognoză se determină, în această situaţie:


0.21 – t22;0.050.615 ≤ Y26 ≤ 0.21 + t22;0.050.615

unde valoarea t22;0.05 este preluată din repartiţia teoretică t Student, testul bilateral, pentru pragul de

semnificaţie α = 0.05 şi (25-2-1) = 22 grade de libertate: t22;0.05 = 2.074

Intervalul de prognoză este, în această situaţie, dat prin inegalitatea următoare:

0.21 – 2.0740.615 ≤ Y26 ≤ 0.21 + 2.0740.615

0.21 – 1.28 ≤ Y26 ≤ 0.21 + 1.28

adică

-1.07 ≤ Y26 ≤ 1.49


158

Unitatea de

învăţare 10



1. Ce reprezintă în sens econometric noţiunea de prognoză?

2. Ce presupune realizarea unei prognoze în cazul modelului unifactorial?

3. Care este intervalul de prognoză pentru modelul unifactorial?



159

Unitatea de

învăţare 10

În sens econometric, prognoza reprezintă o anticipare cantitativă

a unor evenimente sau condiţii viitoare, pornind de la un set de

informaţii disponibile

Pentru modelul unifactorial, prognoza t+1 se calculează astfel:

Ŷn+1 = â0 + â1Xn+1

Intervalul de încredere:


Pentru modelul multifactorial,

Yn+1 = Xn+1A + en+1

Intervalul de încredere :



160

Unitatea de

învăţare 10







Bucureşti


Bucureşti


Bucureşti











Bucureşti


161

Unitatea de

învăţare 10

1. În sens econometric, prognoza reprezintă o anticipare cantitativă a unor evenimente sau

condiţii viitoare, pornind de la un set de informaţii disponibile.

2. Realizarea unei prognoze presupune anticiparea a două elemente. Pe de o parte, prognoza

implică determinarea valorii medii a variabilei Y la un moment viitor n+1, sau, mai general,

n+p (unde p ≥ 1), atunci când parametrii ecuaţiei de regresie sunt estimaţi pe baza unei

selecţii realizate la momentele 1, 2, …, n. Pe de altă parte, este necesar calculul împrăştierii

probabile a valorilor prognozate în jurul mediei estimate (calculul dispersiei erorilor de

prognoză).

3. Intervalul de prognoză în cazul modelului unifactorial este:


unde tn-2;α este valoarea din distribuţia teoretică t-Student, testul bilateral, pentru n-2 grade

de libertate (n fiind dimensiunea eşantionului), valoare corespunzătoare unui grad de

încredere de (1-α).

Bibliografie

162

Bibliografie

BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE

1. Jula N., Jula D., 2010, Modelare economică. Modele econometrice şi de optimizare, Editura

Mustang, Bucureşti


3. Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar – monetare. Elemente de econometrie aplicată,

Editura Bren, Bucureşti

4. Jula N., 2006, Modelare economică – econometrie aplicată, Editura Mustang, Bucureşti

5. Pecican E.-S., 1994, Econometrie, Editura All, Bucureşti

6. Tănăsoiu O., Iacob A.-I., 1999, Econometrie aplicată, Editura Arteticart, Bucureşti

7. Taşnadi Al., 2001, Econometrie aplicată, Editura ASE, Bucureşti

8. Zaman C., 1998, Econometrie, Pro Democraţia, Bucureşti

BIBLIOGRAFIE FACULTATIVĂ


2. Ailenei D., 2002, Economia sectorului public, Editura Brent, Bucureşti

3. Bourbonnais R., 1997, Econométrie. Cours et exercises corrigés, Edition Dunod, Paris

4. Brillet J.-L, 1989, Techiques de modelisation, Collection ENSAE (École Nationale de la

Statistique et de l'Administration Économique), Paris

5. Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică,

Bucureşti

6. Greene W.H., 2000, Econometric Analysis, 3rd edition, Prentice-Hall.

7. Hansen B.E., 2002, Econometrics, University of Wisconsin, www.ssc.wisc.edu/~ bhansen

8. Johnston J., DiNardo J.E., 1997, Econometric Methods, 4th edition, McGraw-Hill.

9. Jula N., 2003, Statistică economică, Editura Bren, Bucureşti

10. Kmenta J., 1986, Elements of Econometrics, New York: Macmillan

11. Maddala G.S, 2001, Econometrics, New York: McGraw-Hill

12. Pârţachi I., Brăilă A., Şişcanu N., 1999, Econometrie aplicată, A.S.E.M., Chişinău

13. Pecican E.-S., 1996, Macroeconometrie - Politici economice guvernamentale şi econometrie,


14. Pindyck R.S., Rubinfeld D.L, 1991, Econometric Models and Economic Forecasts, McGraw-

Hill, Inc

15. Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt

Brace College Publishers, Orlando, USA

16. Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman

17. Vangrevelinghe G., 1973, Econométrie, Hermann, Paris

http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen

Anexe

163

Anexe

ANEXE STATISTICE

Tabelele distribuţiilor t – Student şi χ2 au fost calculate cu ajutorul programului Microsoft Excel

A. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul bilateral

df α - testul bilateral

0.10 0.05 0.02 0.01 0.001

1 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619

2 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598

3 2.353 3.182 4.541 5.841 12.941

4 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610

5 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869

6 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959

7 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408

8 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041

9 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781

10 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587

11 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437

12 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318

13 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221

14 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140

15 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073

16 1.746 2.120 2.583 2.921 4.015

17 1.740 2.110 2.567 2.898 3.965

18 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922

19 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883

Anexe

164

Anexe

20 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850

21 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819

22 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792

23 1.714 2.069 2.500 2.807 3.768

24 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745

25 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725

30 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646

40 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551

50 1.676 2.009 2.403 2.678 3.496

80 1.664 1.990 2.374 2.639 3.416

100 1.660 1.984 2.364 2.626 3.390

120 1.658 1.980 2.358 2.617 3.373

∞ 1.645 1.960 2.327 2.576 3.291

Anexe

165

Anexe

B. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul unilateral

df α - testul unilateral

0.10 0.05 0.01 0.005 0.0005

1 3.078 6.314 31.821 63.657 636.619

2 1.886 2.920 6.965 9.925 31.598

3 1.638 2.353 4.541 5.841 12.941

4 1.533 2.132 3.747 4.604 8.610

5 1.476 2.015 3.365 4.032 6.869

6 1.440 1.943 3.143 3.707 5.959

7 1.415 1.895 2.998 3.499 5.408

8 1.397 1.860 2.896 3.355 5.041

9 1.383 1.833 2.821 3.250 4.781

10 1.372 1.812 2.764 3.169 4.587

11 1.363 1.796 2.718 3.106 4.437

12 1.356 1.782 2.681 3.055 4.318

13 1.350 1.771 2.650 3.012 4.221

14 1.345 1.761 2.624 2.977 4.140

15 1.341 1.753 2.602 2.947 4.073

16 1.337 1.746 2.583 2.921 4.015

17 1.333 1.740 2.567 2.898 3.965

18 1.330 1.734 2.552 2.878 3.922

19 1.328 1.729 2.539 2.861 3.883

20 1.325 1.725 2.528 2.845 3.850

21 1.323 1.721 2.518 2.831 3.819

22 1.321 1.717 2.508 2.819 3.792

23 1.319 1.714 2.500 2.807 3.768

Anexe

166

Anexe

24 1.318 1.711 2.492 2.797 3.745

25 1.316 1.708 2.485 2.787 3.725

30 1.310 1.697 2.457 2.750 3.646

40 1.303 1.684 2.423 2.704 3.551

50 1.299 1.676 2.403 2.678 3.496

80 1.292 1.664 2.374 2.639 3.416

100 1.290 1.660 2.364 2.626 3.390

120 1.289 1.658 2.358 2.617 3.373

∞ 1.282 1.645 2.327 2.576 3.291

Anexe

167

Anexe

C. Valorile critice ale distribuţiei χ2

Numărul

gradelor

de

libertate

0.99 0.95 0.9 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001

1 0.000 0.004 0.016 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

2 0.020 0.103 0.211 4.605 5.991 9.210 10.597 13.816

3 0.115 0.352 0.584 6.251 7.815 11.345 12.838 16.266

4 0.297 0.711 1.064 7.779 9.488 13.277 14.860 18.467

5 0.554 1.145 1.610 9.236 11.070 15.086 16.750 20.515

6 0.872 1.635 2.204 10.645 12.592 16.812 18.548 22.458

7 1.239 2.167 2.833 12.017 14.067 18.475 20.278 24.322

8 1.646 2.733 3.490 13.362 15.507 20.090 21.955 26.125

9 2.088 3.325 4.168 14.684 16.919 21.666 23.589 27.877

10 2.558 3.940 4.865 15.987 18.307 23.209 25.188 29.588

11 3.053 4.575 5.578 17.275 19.675 24.725 26.757 31.264

12 3.571 5.226 6.304 18.549 21.026 26.217 28.300 32.909

13 4.107 5.892 7.042 19.812 22.362 27.688 29.820 34.528

14 4.660 6.571 7.790 21.064 23.685 29.141 31.319 36.123

15 5.229 7.261 8.547 22.307 24.996 30.578 32.801 37.697

16 5.812 7.962 9.312 23.542 26.296 32.000 34.267 39.252

17 6.408 8.672 10.085 24.769 27.587 33.409 35.719 40.790

18 7.015 9.390 10.865 25.989 28.869 34.805 37.157 42.312

19 7.633 10.117 11.651 27.204 30.144 36.191 38.582 43.820

20 8.260 10.851 12.443 28.412 31.410 37.566 39.997 45.315

21 8.897 11.591 13.240 29.615 32.671 38.932 41.401 46.797

22 9.542 12.338 14.041 30.813 33.924 40.289 42.796 46.268

Anexe

168

Anexe

23 10.196 13.091 14.848 32.007 35.172 41.638 44.181 49.728

24 10.856 13.848 15.659 33.196 36.415 42.980 45.559 51.179

25 11.524 14.611 16.473 34.382 37.652 44.314 46.928 52.618

26 12.198 15.379 17.292 35.563 38.885 45.642 48.290 54.052

27 12.879 16.151 18.114 36.741 40.113 46.963 49.645 55.476

28 13.565 16.928 18.939 37.916 41.337 48.278 50.993 56.893

29 14.256 17.708 19.768 39.087 42.557 49.588 52.336 58.302

30 14.953 18.493 20.599 40.256 43.773 50.892 53.672 59.703

Anexe

169

Anexe

D. Statistica Durbin – Watson

Valorile dL şi dU pentru testul Durbin-Watson unilateral, la un nivel de semnificaţie de 5%

n k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

6 0.61 1.40

7 0.70 1.36 0.47 1.90

8 0.76 1.33 0.56 1.78 0.37 2.29

9 0.82 1.32 0.63 1.70 0.46 2.13 0.30 2.59

10 0.88 1.32 0.70 1.64 0.53 2.02 0.38 2.41 0.24 2.82

11 0.93 1.32 0.76 1.60 0.60 1.93 0.44 2.28 0.32 2.65

12 0.97 1.33 0.81 1.58 0.66 1.86 0.51 2.18 0.38 2.51

13 1.01 1.34 0.86 1.56 0.72 1.82 0.57 2.09 0.45 2.39

14 1.05 1.35 0.91 1.55 0.77 1.78 0.63 2.03 0.51 2.30

15 1.08 1.36 0.95 1.54 0.82 1.75 0.69 1.97 0.56 2.21

16 1.10 1.37 0.98 1.54 0.86 1.73 0.74 1.93 0.62 2.15

17 1.13 1.38 1.02 1.54 0.90 1.71 0.78 1.90 0.67 2.10

18 1.16 1.39 1.05 1.53 0.93 1.69 0.82 1.87 0.71 2.06

19 1.18 1.40 1.08 1.53 0.97 1.68 0.86 1.85 0.75 2.02

20 1.20 1.41 1.10 1.54 1.00 1.68 0.90 1.83 0.79 1.99

21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1.81 0.83 1.96

22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94

23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92

24 1.27 1.45 1.19 1.55 1.10 1.66 1.01 1.78 0.93 1.90

25 1.29 1.45 1.21 1.55 1.12 1.66 1.04 1.77 0.95 1.89

26 1.30 1.46 1.22 1.55 1.14 1.65 1.06 1.76 0.98 1.88

27 1.32 1.47 1.24 1.56 1.16 1.65 1.08 1.76 1.01 1.86

28 1.33 1.48 1.26 1.56 1.18 1.65 1.10 1.75 1.03 1.85

Anexe

170

Anexe

n k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

29 1.34 1.48 1.27 1.56 1.20 1.65 1.12 1.74 1.05 1.84

30 1,35 1.49 1.28 1.57 1.21 1.65 1.14 1.74 1.07 1.83

31 1.36 1.50 1.30 1.57 1.23 1.65 1.16 1.74 1.09 1.83

32 1.37 1.50 1.31 1.57 1.94 1.65 1.18 1.73 1.11 1.82

33 1.38 1.51 1.32 1.58 1.26 1.65 1.19 1.73 1.13 1.81

34 1.39 1.51 1.33 1.58 1.27 1.65 1.21 1.73 1.15 1.81

35 1.40 1.52 1.34 1.58 1.28 1.65 1.22 1.73 1.16 1.80

36 1.41 1.52 1.35 1.59 1.29 1.65 1.24 1.73 1.18 1.80

37 1.42 1.53 1.36 1.59 1.31 1.66 1.25 1.72 1.19 1.80

38 1.43 1.54 1.37 1.59 1.32 1.66 1.26 1.72 1.21 1.79

39 1.43 1.54 1.38 1.60 1.33 1.66 1.27 1.72 1.22 1.79

40 1.44 1.54 1.39 1.60 1.34 1.66 1.29 1.72 1.23 1.79

45 1.48 1.57 1.43 1.62 1.38 1.67 1.34 1.72 1.29 1.78

50 1.50 1.59 1.46 1.63 1.42 1.67 1.38 1.72 1.34 1.77

55 1.53 1.60 1.49 1.64 1.45 1.68 1.41 1.72 1.38 1.77

60 1.55 1.62 1.51 1.65 1.48 1.69 1.44 1.73 1.41 1.77

65 1.57 1.63 1.54 1.66 1.50 1.70 1.47 1.73 1.44 1.77

70 1.58 1.64 1.55 1.67 1.52 1.70 1.49 1.74 1.46 1.77

75 1.60 1.65 1.57 1.68 1.54 1.71 1.51 1.74 1.49 1.77

80 1.61 1.66 1.59 1.69 1.56 1.72 1.53 1.74 1.51 1.77

85 1.62 1.67 1.60 1.70 1.57 1.72 1.55 1.75 1.52 1.77

90 1.63 1.68 1.61 1.70 1.59 1.73 1.57 1.75 1.54 1.78

95 1.64 1.69 1.62 1.71 1.60 1.73 1.58 1.75 1.56 1.78

100 1.65 1.69 1.63 1.72 1.61 1.74 1.59 1.76 1.57 1.78

n – numărul de observaţii;

k – numărul variabilelor explicative

Anexe

171

Anexe

Sursa:

J.Durbin and G.S.Watson, Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression, in

Biometrika, vol. 38 (1951), pp.159-177 (pentru n 15)

Mukherjee Ch., White H., Wuyts M., 1998, Econometrics and data analysis for developing

countries, Routledge, London and New York (pentru n < 15)

1136_Econometrie (sept 2011)_4169.pdf

Documents

Transcript of 1136_Econometrie (sept 2011)_4169.pdf