1. ANALIZA DIMENSIONALĂ

1.1. MĂSURARE, TEOREMA FUNDAMENTALĂ A UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ

Scopul fizicii este acela de a stabili legile în virtutea cărora se desfăşoară procesele din natură. Aceste legi pot fi exprimate atât sub formă calitativă cât şi sub formă cantitativă.

Forma calitativă a unei legi fizice – cum ar fi afirmaţia „un corp lăsat liber cade spre suprafaţa Pământului” – este de cele mai multe ori prea vagă pentru a avea aplicaţii practice. De aceea, este necesară stabilirea unei forme cantitative pentru fiecare lege a fizicii. Forma cantitativă a unei legi a fizicii este o relaţie matematică între mărimi fizice măsurabile. Mărimile fizice măsurabile sunt,

aşa cum le spune şi numele, acele mărimi fizice care pot fi măsurate. Iată definiţia măsurării :

Cuvinte cheie Mărimi fizice măsurabile

Unitate de măsură Teorema fundamentală a

unităţilor de măsură

Măsurarea unei mărimi fizice înseamnă compararea ei cantitativă

cu o mărime fizică de aceeaşi natură, aleasă ca unitate de măsură. De exemplu, măsurarea dimensiunilor unei camere cu pasul înseamnă a stabili de câte ori este mai mare lungimea camerei (adică lungimea fizică măsurabilă) decât lungimea pasului (unitatea de măsură). Vom folosi în continuare următoarele notaţii :

A = mărimea fizică măsurabilă <A> = unitatea de măsură

a = valoarea numerică rezultată în urma măsurării Între aceste mărimi există următoarea relaţie :

AAa =

Evident, aceeaşi mărime fizică poate fi măsurată cu două unităţi de măsură diferite :

22

11 A

Aa;AAa ==

Făcând raportul celor două valori numerice, rezultă :

3

1

2

2

1

AA

aa

=

Această relaţie a primit denumirea de teorema fundamentală a unităţilor de măsură şi se enunţă astfel :

Măsurând o mărime fizică cu două unităţi de măsură diferite, raportul valorilor numerice obţinute este invers proporţional cu raportul celor două unităţi de măsură, fiind independent de mărimea fizică măsurată

1.2. SISTEME DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ, SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE

MĂSURĂ (SI)

Forma cantitativă a unei legi fizice poate fi exprimată în două moduri diferite :

formula matematică, adică relaţia matematică dintre mărimile fizice

( )nA...,A,AfA 210 = formula fizică, adică relaţia matematică dintre

valorile mărimilor fizice ( )na...,a,aga 210 =

În general, determinarea unei legi a fizicii se face pe cale experimentală, găsindu-se corelaţiile

între valorile mărimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt stabilite utilizând unităţi de măsură specifice fiecăreia dintre mărimile fizice implicate.

Cuvinte cheie Formula matematică şi

formula fizica Sistem de unităţi de măsură

Coeficienţi paraziţi Mărimi fizice fundamentale,

respectiv derivate Sisteme coerente de unităţi de

măsură

Totalitatea unităţilor de măsură ataşate mărimilor fizice cunoscute

la un moment dat se numeşte sistem de unităţi de măsură. Dacă unităţile de măsură aparţinând unui sistem de unităţi de

măsură sunt definite în mod arbitrar atunci sistemul de unităţi de măsură se numeşte incoerent.

Folosirea unui sistem de unităţi de măsură incoerent generează neajunsuri în ceea ce priveşte relaţia dintre formulele fizică şi matematică ale unei legi a fizicii. Pentru a înţelege mai bine implicaţiile utilizării sistemelor de măsură incoerente, să examinăm următorul :

4

EXEMPLU

putem extrage următoarele date din Mersul Trenurilor : km localitatea A-821 P-8013 E-28 A-829 0 Bucureşti 1:00 8:25 9:15 19:00

109 Ciulniţa 2:26 10:29 - 20:09 146 Feteşti 2:52 11:14 - 20:31 190 Medgidia 3:37 12:35 - 21:13 225 Constanţa 4:12 13:34 11:40 21:42

Reprezentând grafic distanţa parcursă în funcţie de ora trecerii prin gări, observăm că legea de deplasare a celor patru trenuri este similară, fiind aproximativ o funcţie liniară de timp

0 1 2 3 4 5 60

255075

100125150175200225

acc. 82118 19 20 21 22 23 24

0255075

100125150175200225

acc. 8298 9 10 11 12 13 14

0255075

100125150175200225

pers. 8013

9 10 11 12 13 14 150

255075

100125150175200225

expres 280 1 2 3 4 5 6

0255075

100125150175200225

avion 1 Mach Dacă convenim să notăm panta acestor drepte cu V şi s-o numim viteză, putem scrie formula matematică corespunzătoare legii de deplasare a trenurilor sub forma :

( )0TTVD −⋅= unde :

D = mărimea fizică distanţa parcursă T = mărimea fizică ora de sosire

T0 = mărimea fizică ora de plecare

mărimea fizică V este o mărime fizică măsurabilă am putea conveni să alegem ca unitate de măsură a mărimii V viteza sunetului

în aer, astfel încât un mobil care se deplasează cu o viteză egală cu viteza sunetului în aer are viteza de 1 mach.

5

experimental, putem constata că un avion zburând cu viteză egală cu cea a sunetului ajunge la Constanţa la 11 minute după plecarea din Bucureşti.

formula matematică a legii de deplasare a avionului are aceeaşi formă ca şi în cazul trenurilor :

( )0TTVD −⋅= dacă pentru a exprima legea de mişcare a avionului am încerca să folosim o

formulă fizică asemănătoare formulei matematice, ar trebui să scriem : ( )avion0avionConstanta-Bucuresti ttvd −⋅=

înlocuind valorile numerice ar rezulta : 225 = 1 · 11

(km) (mach) (min) evident, această relaţie este incorectă matematic ! de aceea, trebuie să scriem formula fizică sub forma :

( )0ttvKd −⋅⋅= unde K este o constantă de proporţionalitate, denumită coeficient parazit, care are rolul de a corecta din punct de vedere matematic formula fizică. Rezultă :

225 = K · 1 · 11 (km) (mach) (min)

sau :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

minmachkm

11225K

Deci formula fizică corespunzătoare formulei matematice : ( )0TTVD −⋅=

este :

( )011225 ttvd −⋅⋅=

Cele două moduri de exprimare ale aceleiaşi legi a fizicii sunt diferite, fapt care reprezintă consecinţa alegerii arbitrare a celor trei unităţi de măsură folosite (kilometru, minut şi mach).

Discrepanţa dintre formula fizică şi formula matematică nu împiedică măsurarea vitezei trenului :

astfel, în cazul acceleratului 821 obţinem :

( )

( ) ( ) ( ) minh minh minmach

km km

00:1 - 12:4 11225 = 225 821

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅

⋅⋅ v

sau :

6

( ) ( ) min 192 minmach

km 11225= km 225 821 ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅v

sau :

( )mach 0,0573 19211 = 821 ≅v

Cu toate acestea, formele diferite ale formulei fizice şi formulei matematice implică dificultăţi care pot fi înlăturate renunţând să mai alegem în mod arbitrar toate unităţile de măsură

Astfel, dacă impunem condiţia ca factorul K să fie egal cu unitatea, rezultă :

( ) ( min km 11 1 = 225 avion

)⋅⋅ v

sau :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

minkm

11225 = avionv

Deci coeficientul parazit dispare, cu condiţia de a măsura viteza în kilometri pe minut.

Mărimile fizice ale căror unităţi de măsură pot fi alese arbitrar se numesc mărimi fizice fundamentale, iar unităţile lor de măsură unităţi de măsură fundamentale.

Unităţile de măsură care se exprimă în funcţie de unităţile de măsură ale altor mărimi fizice se numesc unităţi de măsură derivate, iar mărimile fizice corespunzătoare se numesc mărimi fizice derivate.

Concluziile sunt următoarele :

Pentru eliminarea coeficienţilor paraziţi care apar în formula fizică a unor legi ale fizicii, este necesar ca o parte dintre mărimile fizice folosite să fie mărimi fizice derivate.

Eliminând totalitatea coeficienţilor paraziţi care pot fi eliminaţi, obţinem un sistem de unităţi de măsură având un număr minim de mărimi fizice fundamentale. Acest sistem de unităţi de măsură se numeşte sistem de unităţi de măsură coerent.

Când există N mărimi fizice distincte şi n legi fizice independente pot fi eliminaţi n coeficienţi paraziţi.

7

Obţinem în acest caz n relaţii între unităţile de măsură ale celor N mărimi fizice. Prin urmare, numărul unităţilor de măsură fundamentale este egal cu (N - n). Notând mărimile fizice fundamentale cu :

N-n F ........ F, F 21 şi unităţile lor de măsură (stabilite arbitrar) cu :

nNF...........F,F −21 rezultă că unităţile de măsură derivate se pot exprima ca produse ale unor anumite puteri ale unităţilor fundamentale :

( )knNkknNk F......FFA −ϕ

−ϕϕ ⋅= 21

21 În istoria ştiinţei şi tehnicii s-au folosit diverse sisteme coerente de unităţi de măsură. Utilizarea lor simultană putea duce la confuzii. De aceea prin hotărârea Conferinţei Generale de Măsuri şi Greutăţi (Paris, 1960) s-a adoptat un sistem de unităţi de măsură unic pe plan internaţional. Acesta poartă denumirea de Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură sau, prescurtat, SI.

Sistemul Internaţional este un sistem coerent care cuprinde şapte mărimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale sistemului de unităţi.

Tabelul următor cuprinde lista mărimilor fizice fundamentale ale Sistemului

Internaţional :

Mărimea fizică

Simbolul dimensional

Unitatea de măsură

Simbolul unităţiide măsură

lungime L metru m timp T secundă s masă M kilogram kg

temperatură Θ kelvin K cantitate de substanţă N kilomol kmol

intensitate a curentului electric

I amper A

intensitate luminoasă E candelă cd Toate cele şapte unităţi de măsură fundamentale sunt definite în mod arbitrar (de exemplu, kelvinul este a 273,16-a parte din intervalul de temperatură între zero absolut şi temperatura punctului triplu al apei distilate). Toate celelalte unităţi de măsură utilizate de Sistemul Internaţional sunt unităţi de măsură derivate (de exemplu, viteza se măsoară în metri pe secundă). Alături de unităţile de măsură fundamentale şi derivate există şi aşa numitele unităţi de măsură tolerate. Unităţile de măsură tolerate au rămas în uz din mai multe motive. Astfel, unele dintre ele sunt tradiţionale (de exemplu, calul-putere : 1 CP = 735,5 W), iar altele sunt practice (de exemplu, 1 eV = 1,6⋅10-19 J). Cu toate acestea, utilizarea unităţilor de măsură tolerate nu este recomandată.

8

1.3. OMOGENITATEA DIMENSIONALĂ A LEGILOR FIZICII, FORMULA DIMENSIONALĂ

A UNEI MĂRIMI FIZICE Fie un de unităţi de măsură sistem coerent şi fie

mărimile fizice fundamentale ale acestuia. Fie de asemenea formula matematică

m F ........ F, F 21

( )nA,....A,AfA 210 = şi formula fizică ( )na,....a,afa 210 = ale unei legi a fizicii. Deoarece

sistemul de unităţi de măsură este coerent, forma matematică a celor două formule este identică. În această situaţie, unitatea de măsură a mărimii A0 se exprimă astfel :

Cuvinte cheie Condiţia de omogenitate

Formula dimensională a unei mărimi fizice

( )( )n

n

a,....a,afA,....A,Af

A21

210 =

Dar, unitatea de măsură ⟨A0⟩ nu poate depinde de valorile particulare a1, a2,... an pe care le iau mărimile fizice A1, A2,.... An ! Rezultă că legea fizică

( )na,....a,afa 210 = trebuie să fie o funcţie omogenă în raport cu unităţile de măsură ale mărimilor fizice de care depinde :

( ) ( ) ( )nnnnn a,....a,afA......AAAa,....Aa,AafA,....A,Af n2121221121

21 ααα ⋅== Această cerinţă care trebuie satisfăcută de legea fizică se numeşte condiţia de omogenitate. Dacă condiţia de omogenitate este satisfăcută, rezultă :

nnA......AAA ααα ⋅= 21

210 Pe de altă parte, unităţile de măsură derivate ⟨A0⟩ , ⟨A1⟩ ,....⟨An⟩ se exprimă în funcţie de unităţile fundamentale, conform relaţiilor :

mkkkmk F......FFA ϕϕϕ ⋅= 21

21 Înlocuind în relaţia rezultată din condiţia de omogenitate, obţinem :

( ) ( ) nmnnnmmmmm F......FF....F......FFF......FF

αϕϕϕαϕϕϕϕϕϕ ⋅⋅=⋅ 2111211102010212121

sau :

nmnmmnn

nnm

....m

....

....m

F......F

FF......FFαϕ++αϕ+αϕαϕ++αϕ+αϕ

αϕ++αϕ+αϕϕϕϕ

⋅

⋅=⋅22112222121

121211102010

2

121

Deoarece unităţile de măsură ⟨F0⟩ , ⟨F1⟩ ,... ⟨Fm⟩ au fost definite arbitrar, relaţia poate fi satisfăcută doar dacă exponenţii aceleiaşi unităţi de măsură valori egale în cei doi membri ai ecuaţiei :

9

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

αϕ++αϕ+αϕ=ϕ

αϕ++αϕ+αϕ=ϕαϕ++αϕ+αϕ=ϕ

nmnmmm

nn

nn

.........................................................

........

22110

222212120

121211110

Aceste relaţii pot fi puse sub forma matricială :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

α

αα

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϕ

ϕϕ

mmnmm

n

n

m

........

........................

....2

1

21

22221

11211

0

20

10

Ele sunt echivalente următoarei formulări a condiţiei de omogenitate :

Termenii unei expresii matematice, care corespunde unei legi a fizicii, trebuie să aibă acelaşi grad de omogenitate în raport cu fiecare dintre unităţile de măsură fundamentale.

De exemplu, o expresie de tipul :

3

3ats =

unde s = spaţiul parcurs, a = acceleraţia şi t = timpul necesar, nu poate reprezenta o lege corectă a fizicii deoarece membrul stâng are unitatea de măsură

01 smm ⋅==SIs iar membrul drept unitatea

1132

3

smssm

3⋅=⋅=

SI

at

nefiind respectată condiţia de omogenitate (rezultă : ) ?!smsm 1101 ⋅=⋅ Să presupunem acum că în cadrul unui sistem coerent de unităţi de măsură, redefinim unităţile de măsură fundamentale, conform relaţiilor

iii FKF = adică noua unitate de măsură este un multiplu al vechii unităţi, factorul Ki fiind doar un coeficient numeric. În urma acestei transformări, mărimile fizice fundamentale ale sistemului rămân aceleaşi. Condiţia de omogenitate

nmnmmnn

nnm

....m

....

....m

F......F

FF......FFαϕ++αϕ+αϕαϕ++αϕ+αϕ

αϕ++αϕ+αϕϕϕϕ

⋅

⋅=⋅22112222121

121211102010

2

121

devine :

10

nmnmnmnm

nnnnmm

..m

..m

....mm

FK....

FKFK...FKαϕ++αϕαϕ++αϕ

αϕ++αϕαϕ++αϕϕϕϕϕ

⋅

⋅=

1111

111111110010101111

În virtutea condiţiei de omogenitate, nn.... αϕ++αϕ+αϕ=ϕ 121211110 , rezultând : nn..KK αϕ++αϕϕ = 111110

11 În final, toţi coeficienţii numerici se simplifică, rămânându-ne :

nmnmnnm ..m

..m F....FF...F αϕ++αϕαϕ++αϕϕϕ

⋅= 11111101011

Deci deşi unităţile de măsură se schimbă, condiţia de omogenitate nu se modifică ! Cu alte cuvinte,

condiţia de omogenitate este independentă de unităţile de măsură ale mărimilor fizice fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură.

Deoarece condiţia de omogenitate depinde doar de alegerea mărimilor fizice fundamentale, putem introduce noţiunea de dimensiune asociată unei mărimi fizice fundamentale Fi , notată [Fi]. În aceste condiţii, relaţiilor între unităţile de măsură derivate şi unităţile de măsură fundamentale :

mkkkmk F......FFA ϕϕϕ ⋅= 21

21 le corespund relaţii asemănătoare între dimensiunea mărimii derivate şi dimensiunile mărimilor fundamentale :

[ ] [ ] [ ] [ ] mkkkmk F......FFA ϕϕϕ ⋅= 21

21 Acest tip de relaţie poartă numele de formulă dimensională a unei

mărimi fizice.

În funcţie de conceptul de dimensiune a mărimilor fizice, condiţia de omogenitate se poate reformula astfel :

Termenii unei relaţii matematice care exprimă o lege a fizicii trebuie să aibă acelaşi grad de omogenitate în raport cu fiecare dintre dimensiunile fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură considerat.

De exemplu, legea :

2

2ats =

unde s = spaţiul parcurs, a = acceleraţia şi t = timpul necesar, poate constitui o lege a fizicii, deoarece dimensiunile celor doi termeni ai relaţiei sunt egale :

[ ] 0122

201

2TLT

TLat;TLLs =⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

11

1.4. METODA RAYLEIGH Să presupunem că suntem în situaţia de a trebui să determinăm expresia exactă a unei legi încă necunoscută fizicii, de forma

( )n,...A,AA = fA 210 Există o infinitate de relaţii matematice posibile între mărimile fizice A0,A1,… An. Nu toate aceste relaţii matematice au şi sens fizic! Pot avea sens fizic doar expresiile care verifică condiţia de omogenitate

[ ] [ ] [ ] [ ] nαn

αα A.....AA= A 21210

Ce avantaje ar putea rezulta din acest fapt ? Pentru a înţelege cum putem utiliza condiţia de omogenitate dimensională, să examinăm în continuare un

EXEMPLU

să considerăm că viteza v cu care atinge solul un corp lăsat liber la o înălţime h depinde şi de masa sa m şi de acceleraţia gravitaţională g

frecările se pot neglija căutăm o lege a fizicii de forma

( )h, m, gv = f formulele dimensionale ale mărimilor care intervin sunt

[ ] [ ] [ ] [ ] 2TL = g = M ; m = L ; h ;

TL = v SISISISI

conform condiţiei de omogenitate dimensională avem : [ ] [ ] [ ] [ ] 321 ααα g m h = v

sau : 3

212

ααα ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

TL M = L

TL

sau : 2331 2011 αααα MT= L M TL - + -

dimensiunile sistemului de unităţi de măsură sunt mărimi independente, ceea ce are drept urmare faptul că exponenţii lor din membrul stâng trebuie să fie egali cu exponenţii din membrul drept al expresiei :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

αα−

αα

0 = 1- = 2

1 = +

2

3

31

soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt

21 = ,0 = ,2

1= 321 ααα rezultă că relaţia de omogenitate are forma :

[ ] [ ] [ ] [ ] 2102

1g m h = v

12

sau : [ ] [ ]ghv =

se ştie că legea vitezei căderii libere a unui corp în câmpul gravitaţional terestru este :

ghv 2= comparând condiţia de omogenitate dimensională cu legea vitezei, remarcăm asemănarea lor ! Diferenţa este dată doar de un coeficient numeric adimensional. Concluzia pe care o sugerează acest exemplu este următoarea :

Cel puţin în anumite cazuri, expresia matematică a unei legi a fizicii corespunde până la unii factori numerici adimensionali cu expresia matematică a condiţiei de omogenitate

Desigur, exemplul studiat a fost unul particular. Să vedem în continuare cum am putea analiza aceste aspecte în cazul general. Să presupunem că suntem în căutarea expresiei matematice concrete a unei legi a fizicii de formă implicită :

( )n,...A,AA = fA 210 Condiţia de omogenitate dimensională este :

[ ] [ ] [ ] [ ] nnA.....AA= A ααα 21

210 Substituind cantităţile [A0] , [A1] ..... [An] prin formulele lor dimensionale :

[ ] [ ] [ ] [ ] miiimi U.....UU= A µµµ 21

21 ajungem la ecuaţiile :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

αµ++αµ+αµµ

αµ++αµ+αµµαµ++αµ+αµµ

nmnmmm

nn

nn

.... =.................................................

.... =.... =

22110

222212120

121211110

Mărimile A0, A1,...An fiind cunoscute, exponenţii µij sunt de asemenea cunoscuţi. Rezultă că exponenţii αj nu pot lua cu toţii valori arbitrare. În aceste condiţii există trei situaţii posibile :

Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este mai mare decât numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este incompatibil. Sensul fizic al acestei situaţii matematice este acela că numărul mărimilor fizice luate în considerare este prea mic, fenomenul studiat depinzând şi de alte mărimi fizice. Legea pe care o căutăm ( )n,...A,AA = fA 210 nu există!

Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este egal cu numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil determinat, iar exponenţii αj sunt unic determinaţi. Sensul fizic este acela că există o singură relaţie matematică între mărimile fizice considerate care poate să reprezinte o lege a fizicii.

13

Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este mai mic decât numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil nedeterminat. Dintre exponenţii αj , p se exprimă în funcţie de ceilalţi (n - p) exponenţi, luaţi ca parametri. Sensul fizic este că există mai multe expresii matematice compatibile cu legea fizică căutată.

Rayleigh şi-a propus să determine forma concretă a legii fizice în cazurile al doilea şi al treilea. Pentru aceasta el face următoarea afirmaţie suplimentară :

Cuvinte cheie Ipoteza lui Rayleigh

Ipoteza lui Rayleigh : omogenitatea în raport cu dimensiunile mărimilor fizice este o consecinţă a omogenităţii în raport cu însăşi mărimile fizice ce intervin în expresia unei legi fizice.

Matematic această ipoteză se poate exprima astfel : ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] nα

nαα

nαα

n .....AA= KAAA.....AA= A,...A,AA = fA 2121210210210 ⇒⇒

unde K este o constantă numerică ([K] = 1 ). În cazul al doilea, această ipoteză, împreună cu soluţiile sistemului de ecuaţii

( )( )

( )mnnn

mn

mn

,.. = .............

,.. = ,.. =

µµαα

µµααµµαα

10

1022

1011

ne permit să afirmăm că legea fizică căutată are o unică formă ( ) ( )mnnmn ,.....

n,..... ....... A =K AA µµαµµα 10101

10 În cazul al treilea, în funcţie de rangul nedeterminării, (n - p), se vor introduce parametrii λ1 , λ2 ,.... λn-p, astfel încât soluţiile sistemului de ecuaţii sunt de forma :

( )n-pmn ,...,;,... λλλµµαα 2110ii = Conform ipotezei lui Rayleigh, rezultă :

( ) ( )∑

λλλµµαλλλµµα

j

,.....,;,.....n

,.....,;,.....j

n-pmnjnn-pmnj ....... AAK = A 21102110110

adică A0 reprezintă o sumă finită sau infinită de expresii matematice compatibile cu legea fizică cerută, diferind una de cealaltă prin valorile parametrilor λ. Valorile parametrilor Kj şi λ , precum şi numărul de termeni ai sumei urmează să se stabilească pe cale experimentală. În final, putem face următoarele observaţii asupra metodei Rayleigh :

Reprezintă o cale lesnicioasă pentru determinarea expresiei matematice a unor legi fizice simple, care depind de un număr redus de parametri. Mărirea numărului de parametri fizici face metoda greu de aplicat

Ipoteza lui Rayleigh privind omogenitatea legilor fizicii nu este valabilă în toate cazurile şi de aceea obţinem uneori soluţii eronate sau incomplete

14

2. MECANICA CLASICĂ

2.1. INTRODUCERE

Mecanica este ştiinţa care studiază mişcările corpurilor materiale. Acest studiu cuprinde două di-recţii esenţiale : cunoaşterea şi punerea într-o formă matematică a legilor de mişcare, respectiv cunoaşte-rea cauzelor care determină un anumit tip de mişca-re. În primul caz, vorbim despre o ramură a mecani-cii numită cinematică, iar în al doilea de o altă ra-mură, numită dinamică. Dacă sistemul fizic studiat este în echilibru mecanic, acest echilibru constituie

un caz special, explicat de legile dinamicii şi care studiat în particular este subiectul staticii. Matematizarea şi generalizarea legilor dinamicii s-a constituit într-un capitol special al mecanicii, denumit mecanică analitică.

2.2. CINEMATICA

Cuvinte cheie Mecanică

Cinematică Dinamică

Statică Mecanică analitică

Cuvinte cheie Spaţiu

Dimensiuni spaţiale Timp

Proprietăţile spaţiului şi tim-pului

Experienţa pe care ne-am însuşit-o prin simţuri-le noastre ne spune că existăm în spaţiu şi spaţiul are trei dimensiuni. Deşi pot exista multe discuţii referitoare la noţiunea de spaţiu, ceea ce ne intere-sează aici este o abordare, simplă, pragmatică a rea-lităţii înconjurătoare, care să ne permită să extragem concluzii şi legi folositoare în activitatea noastră de fiecare zi. Prin urmare, ne vom mărgini să afirmăm următoarele :

Spaţiul este infinit în toate direcţiile. Spaţiul este omogen şi izo-trop, adică proprietăţile sale sunt aceleaşi în orice punct şi în orice direcţie. Spaţiul are trei dimensiuni.

O altă percepţie a simţurilor noastre este aceea a trecerii timpului. Cu alte cuvin-te, trăim în timp. Se pot spune multe şi despre timp. Restrângându-ne la abordarea pragmatică despre care discutam, vom afirma următoarele :

Timpul se scurge liniar de la trecut spre viitor, uniform în spaţiu şi independent de prezenţa corpurilor care se află în spaţiu.

15

Spaţiul din jurul nostru este populat cu corpuri materiale. Unele dintre aceste corpuri îşi modifică poziţia în raport cu celelalte, iar altele nu. Cu late cuvinte unele corpuri sunt mobile şi se află în stare de mişcare, iar altele sunt imobile şi se află în stare

de repaus.

Cuvinte cheie Sistem de referinţă

Ceea ce-şi propune CINEMATICA ca ştiinţă este să studieze mişcările

şi să găsească legile după care se desfăşoară acestea. Legile mişcării pot fi enunţate calitativ, în cuvinte, sau cantitativ,

sub formă de expresii matematice. Forma matematică a legilor de mişcare poate fi stabilită numai definind mărimi fizice măsurabile, măsurându-le experimental şi găsind astfel corelaţiile căutate. Referitor la spaţiu şi timp, se pot defini două mărimi fizice măsurabile :

DISTANŢA DURATA

În Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură, distanţele se măsoară în metri, iar duratele în secunde. Distanţa (lungimea) şi durata (timpul) sunt mărimi fizice fundamentale ale Sistemului Internaţional de Unităţi de Măsură. Ca şi orice alte mă-rimi fizice fundamentale, distanţa şi durata au unităţi de măsură stabilite arbitrar. După ce am definit mişcarea ca modificarea poziţiei relative a corpurilor în spa-ţiu, pe măsura trecerii timpului, am vorbit despre cinematică ca despre ştiinţa care urmăreşte să stabilească forma cantitativă a legilor de mişcare, am precizat că forma cantitativă a legilor fizicii se poate stabili numai în urma măsurătorilor experimentale şi că măsurătorile se pot face doar având la îndemână etaloanele adecvate, mai rămâ-ne o singură întrebare : care sunt corpurile care nu se mişcă şi care sunt corpurile în mişcare ? Răspunsul la această întrebare, aparent simplă, este foarte complicat ! Vom da din nou o definiţie operaţională a ceea ce înseamnă starea de mişcare. Pri-vind sculptura din imaginea alăturată, putem observa că indiferent unde ar fi dusă – chiar dacă s-ar afla pe puntea unui vapor care traversează oceanul, sau într-o navetă cosmică – distanţele între cele patru colţuri ale ei nu se modifică în timp. Putem trage concluzia că respectivele patru colţuri formează un sistem de corpuri de referin-ţă, imobile unele în raport cu celelalte. Faţă de corpul 1, corpurile 2, 3, 4 au vectorii de poziţie r1,2, r1,3 şi r1,4.

Matematic vorbind, aceşti trei vectori de poziţie alcătuiesc o bază de vectori în spaţiul tridimensional. Prin operaţii matematice relativ simple această bază poate fi transformată într-o bază de trei vectori ortonormaţi ex, ey, şi ez care indică direcţiile şi sensurile a trei axe de coordonate carteziene.

16

COMENTARIU

Construirea sistemului de axe de coordonate ca şi afirmaţia că mo-dulul unui versor este unitar nu presupun doar aspecte matematice ci şi aspecte fizice. Rezultatul fi-nal este bazat pe cunoaşterea ra-poartelor între modulele celor trei vectori de poziţie iniţiali. De ase-menea, matematic vorbind, coor-donatele x, y şi z sunt simple nu-mere, incapabile să exprime prin ele însele poziţia unui corp. De aceea, sensul fizic al noţiunii de sistem de axe de coordonate pre-supune existenţa unui etalon de lungime. Coordonatele x, y, z sunt numerele care arată de câte ori se cuprinde etalonul de lungime în distanţele Ox, Oy sau Oz măsurate în lungul axelor de coordonate fi-zice. De altfel, chiar şi axele de coordonate din desenul alăturat sunt de natură fizică şi nu abstrac-tă (adică sunt trasate pe un suport material, au anumite dimensiuni spaţiale ş.a.m.d.)

Vectorul de poziţie al unui punct din spaţiu (zis şi rază vectoare) se exprimă în funcţie de proiecţiile ortogonale ale punctu-lui pe cele trei axe de coordonate (adică, pe scurt, coordonatele punctului) şi versorii axelor de coordonate :

r = x ex + y ey + z ez În practică, coordonatele nu sunt simple

numere, ci mărimi fizice măsurate cu etalonul de lungime ales.

O ex

y

x

ey ez

z

r

O ex

z

r1,4

r1,3

r1,2

y

x

ez ey

Cu trecerea timpului, poziţia ocupată de un corp se poate modifica în raport cu corpurile de referinţă şi, implicit, în raport cu sistemul de coordonate. Acestea fiind spuse, ajungem în sfârşit la ceea ce denumeam anterior o definiţie operaţională a stării de mişcare. Potrivit acesteia, mişcarea reprezintă modificarea în timp a poziţiei unui corp în cadrul unui sistem de referinţă.

17

Sistemul de referinţă este un concept fizic care include următoarele elemente :

Un ansamblu de corpuri de referinţă considerate fixe

Un sistem de axe de coordonate, ataşat corpurilor de referinţă

Un etalon de lungime, adică o unitate de măsură a distanţelor şi un instrument cu care se poate face măsurătoarea de lungime (riglă)

Un etalon de timp, adică o unitate de măsură a duratelor de timp şi un instru-ment cu care se poate face măsurătoarea de timp (ceas)

Măsurarea experimentală a stării de mişcare a unui corp înseamnă în acest context determinarea simultană a valorilor coordonatelor mobilului şi a momentelor de timp corespunzătoare.

2.2.1. Relativitatea mişcării şi a repausului Nu vom vorbi aici despre relativitatea percepţiilor umane, ci ne vom întreba despre ceva mult mai concret : sunt mişcarea sau repausul noţiuni absolute sau nu ?

Dacă aş afirma că baronul von Münchhausen, că-lare pe o ghiulea în zbor, este în repa-us, în vreme ce melcul se depla-sează cu o viteză de aproximativ 30

km/s, m-aţi crede probabil la fel de „sincer” ca şi pe celebrul mincinos-baron, sau la fel de „inteligent” ca pe melc. Cu toate acestea s-ar putea să am dreptate, fireşte omi-ţând să vă fi spus ceva de la bun început. Ce ar fi trebuit să vă comunic era că atunci când mă refeream la starea de mişcare a baronului, corpul de referinţă era ghiuleaua, iar când pomeneam melcul, corpul de referinţă era Soarele. Cei care m-ar fi contrazis ar fi făcut-o, fireşte, cu bună credinţă, dar se lăsau ei înşişi înşelaţi de o prejudecată, şi anume că pământul pe care ne desfăşurăm existenţa este în repaus absolut. Prin urmare, raţionamentul lor, bazat pe ideea (şi ea preconcepută) că o ghiulea în zbor se mişcă faţă de pământ mai repede decât un melc, li s-ar fi părut perfect valabil. Şi, ca să întregesc şirul de ciudăţenii din acest paragraf, vă voi mai spune că s-ar putea să am dreptate şi atunci când, păstrând pământul ca sistem de referinţă, afirm că există un interval de timp, chiar şi dacă este aparent mic, în care ghiuleaua se mişcă mai în-

18

cet decât melcul (de exemplu, dacă ghiuleaua este lansată vertical în sus, în punctul de înălţime maximă pe care-l atinge ea este o clipă în repaus). Ce concluzii trebuie să tragem din cele spuse ?

Nu se poate vorbi în mod absolut despre starea de mişcare sau de repaus a unui corp

Înainte de a spune dacă un corp este în repaus sau în mişcare trebuie să stabilim care este sistemul de referinţă faţă de care studiem evoluţia corpului

Prin urmare, afirmăm că mişcarea sau repausul sunt noţiuni relative, înţelegând prin aceasta că observatori aparţinând unor sisteme de referinţă dife-rite pot avea percepţii diferite în ceea ce priveşte starea de mişcare a aceluiaşi corp

2.2.2. Principalele mărimi cinematice În cursul mişcării sale, un corp material trece printr-un şir de stări. Fiecare asemenea stare este ca-racterizată de poziţia în raport cu sistemul de refe-rinţă (caracterizată de cele trei coordonate spaţiale x, y şi z) şi prin momentul de timp t.

Cuvinte cheie Eveniment Traiectorie

Lege de mişcare

Grupul format din cele trei coordonate spaţiale şi momentul de timp corespunzător se numeşte eveniment.

Locul geometric al tuturor punctelor din spaţiu pe care un corp le

ocupă în cursul întregii sale mişcări se numeşte traiectorie.

O funcţie matematică care ne permite aflarea poziţiei unui corp la un moment de timp bine stabilit se numeşte lege de mişcare.

În general, legea de mişcare se referă la vectorul de poziţie. Din acest motiv, în cazul cel mai general, putem scrie:

( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔=tzztyytxx

trr

unde x, y şi z sunt componentele vectorului de poziţie.

19

Remarcaţi că legea de mişcare este o ecuaţie vectorială, echivalentă cu trei ecuaţii scalare referitoare la componentele vectorului de poziţie. Acestea din urmă se mai numesc ecuaţiile parametrice de mişcare.

Pentru o analiză cantitativă a mişcărilor unor mobile diferite, este suficient să comparăm distanţe-le parcurse de acestea în anumite intervale de timp bine determinate, sau, invers, să comparăm interva-lele de timp necesare parcurgerii aceleiaşi distanţe.

Cuvinte cheie Viteză medie şi momentană

Acceleraţie medie şi momen-tană

Raportul dintre distanţa parcursă de un mobil şi intervalul de timp

necesar pentru aceasta se numeşte viteză medie. Formula corespunzătoare acestei definiţii este :

td

ttdvm ∆

=−

=12

Practica ne arată că viteza medie nu este aceeaşi pe orice porţiune de drum ! De exemplu, dacă vă deplasaţi cu autobuzul prin oraş există porţiuni în care circulaţia es-te fluentă, iar viteza medie mare, şi porţiuni în care circulaţia se desfăşoară cu greuta-te, ceea ce se manifestă într-o viteză medie mică. Rezultă de aici că informaţia cu-prinsă în valoarea vitezei medii are semnificaţie numai dacă precizăm şi segmentul de drum pe care ea a fost calculată.

Viteza medie nu poate caracteriza starea de mişcare a unui obiect, adică nu poate oferi o informaţie legată de un moment concret de timp !

Şi atunci, cum putem face distincţia dintre stările de mişcare ale corpurilor?

Simpla precizare a coordonatelor spaţio-temporale este insuficientă, ceea ce înseamnă că este necesară definirea unei mărimi fizice, a cărei valoare măsoară cantitativ diferenţa dintre obiectul fix şi cel în mişcare. Această mărime fizică se numeşte viteză momentană, sau pur şi simplu viteză.

Deosebirea între definiţia dată vitezei medii şi aceea dată vitezei

momentane este aceea că, în cazul vitezei momentane, intervalul de timp luat în considerare trebuie să fie cât mai scurt, astfel încât şirul de stări prin care trece corpul să fie cât mai mic (idealizat, să se reducă doar la stări extrem de apropiate de starea căreia i se atribuie viteza momentană).

Conform celor spuse, putem defini viteza momentană după cum urmează :

20

Viteza momentană este mărimea fizică vectorială calculată ca ra-portul dintre vectorul deplasare şi durata necesară deplasării, atunci când durata este foarte mică, adică este prima derivată a vectorului de poziţie în raport cu timpul. Formula corespunzătoare este :

rvrrv &==∆∆

=→∆

sau0 dt

dt

limt

În figură se poate observa semnificaţia geometrică a vectorului viteză. Fie starea marcată printr-un cerculeţ, având vectorul de poziţie r, la momentul de timp t. Pentru a de-termina viteza, considerăm două momente de timp t1 < t , t2 > t , foarte apropiate de mo-mentul t. Trasăm vectorii de poziţie la aceste două momente de timp şi facem diferenţa

12 rrr −=∆ . Înmulţim vectorul ∆r cu scalarul 1/( t2 - t1), găsind astfel vectorul v. Vectorul viteză este tangent la traiectorie. Ca orice alt vector, vectorul viteză are trei componente :

zt

dzv;ydtdy

z && =∆

===v;xdtdxv yx &==

Viteza atribuită unui corp în mişcare se poate şi ea modifica în timp. Cum măsurăm cât de repede variază aceasta ? Este nevoie de o nouă mărime fizică, denumită acceleraţie

momentană, sau pur şi simplu acceleraţie.

traiectorie r1 , t1

r2 , t2

∆r , ∆t→0 v

r , t v

Prin definiţie : acceleraţia momentană este mărimea fizică vecto-

rială calculată ca prima derivată a vectorului viteză în raport cu timpul, sau a doua derivată a vectorului de poziţie în raport cu timpul. Formula cores-punzătoare este :

rvarva &&& ==== sau2

2

dtd

dtd

Vectorul acceleraţie are, în general, trei componente :

zdt

zddt

dva;ydt

yddt

dva;x

dtxd

dtdva z

zy

yx

x &&&&&& ========= 2

2

2

2

2

2

21

Similar cu vectorul vite-ză, se poate construi geome-tric şi vectorul acceleraţie (vezi figura alăturată).

În general, vectorul acceleraţie este orientat sub un anumit unghi în raport cu vectorul viteză, iar cei doi vectori for-mează un plan.

Alegând în acest plan două axe de coordonate per-pendiculare, una dintre ele fi-ind îndreptată în sensul vite-zei, există două componente ale acceleraţiei : acceleraţia

tangenţială, orientată paralel cu vectorul viteză, şi acceleraţia normală, orientată perpendicular pe vectorul viteză. Evident, vectorul acceleraţie nu are şi o compo-nentă perpendiculară pe acest plan.

∆v, ∆t → 0

at , t

an , t

v , t

a , t

a , t

v2 , t2v1 , t1

v1 , t1

Din cele discutate până acum reiese faptul că starea momentană a unui corp în mişcare este caracterizată de trei mărimi fizice vectoriale : vectorul de poziţie r, viteza v şi acceleraţia a, la care se adaugă momentul de timp t. Valori-le şi orientările celor trei mărimi vectoriale se pot modifica în timp.

Funcţiile matematice care permit aflarea poziţiei, vitezei sau accele-

raţiei la un moment de timp dat se numesc legi de mişcare sau ecuaţii de mişcare (legea/ecuaţia spaţiului, legea/ecuaţia vitezei, sau legea/ecuaţia acceleraţiei).

În principiu, dacă cunoaştem ecuaţia acceleraţiei, poziţia şi viteza iniţială ale unui mobil, putem să determinăm atât ecuaţia vitezei, cât şi ecuaţia spaţiului.

Astfel, ecuaţia vitezei se determină cu ajutorul integralei : , ( ) ( ) ( )∫+=t

t

dtttt0

0 avv

iar ecuaţia spaţiului cu ajutorul integralei : ( ) ( ) ( )∫+=t

t

dtttt0

0 vrr

22

2.2.3. Clasificarea mişcărilor după traiectorie şi legea de mişcare

Clasificarea mişcărilor se poate face în două moduri :

după forma traiectoriei după legea de mişcare pe traiectorie

Cea mai generală mişcare este mişcarea

variată. Într-o mişcare variată modulul vitezei se

modifică permanent în timp

Mişcarea uniform variată este mişca-rea în care modulul vitezei variază cu

ca .ntităţi egale în intervale de timp egale

Mişcarea uniformă este mişcarea în ca-re modulul vitezei este constant în timp.

t

v

t

v ∆v∆v

∆t ∆t

v

Clasificarea mişcărilor după legea de mişcare

t

Clasificarea mişcărilor după forma traiectoriei

Cea mai generală formă de traiectorie este linia curbă.

Dacă traiectoria unui mobil este o curbă oarecare, spunem că mobilul are o tra-

iectorie curbilinie

Dacă curba are forma particulară de cerc, spunem că mobilul are o traiecto-

rie circulară

Dacă curba se reduce la o dreaptă, spu-nem că mobilul are o traiectorie recti-

linie

23

Când vorbim despre tipul de mişcare al unui corp trebuie să furni-zăm ambele informaţii necesare : forma traiectoriei şi legea de mişcare. Există, astfel, mişcări circulare uniforme, mişcări rectilinii uniform va-riate, mişcări curbilinii variate, ş.a.m.d.

Un exemplu de tip de mişcare este mişcarea rectilinie uniform variată.

Mişcarea rectilinie uniform variată este mişcarea care se desfă-

şoară în linie dreaptă şi în care modulul vitezei variază cu cantităţi egale în intervale de timp egale. În mişcarea rectilinie uniform variată vectorul ac-celeraţie este permanent paralel cu vectorul viteză şi, implicit, cu direcţia mişcării.

Din definiţia acceleraţiei momentane :

dtdva =

putem afla viteza la momentul t :

∫+=t

t

dt0

0 avv

sau : ( )00 tt −+= avv

Alegând sistemul de referinţă astfel încât traiectoria să se suprapună peste axa Ox, obţinem situaţia din figura alăturată. Se observă că vectorul acceleraţie poate avea acelaşi sens ca şi vectorul viteză, dar şi sens opus. Ecuaţia vectorială scrisă an-terior se reduce în cazul acesta la o singu-ră ecuaţie scalară, referitoare la compo-nentele vectorilor pe axa Ox: ( )00 ttavv −+=

x , t x0 , t0

v v0a

xO

x , t x0 , t0

v v0a

xO

Ecuaţia vitezei în mişcarea uniform variată

(nu uitaţi că valorile numerice ale mărimilor din ecuaţie sunt pozitive dacă sensul vectorului corespunzător coincide cu sensul axei, respectiv negative în caz contrar !).

Prin integrarea ecuaţiei vitezei, se obţine ecuaţia spaţiului :

( )[ ] tt

t

t

tt

t

t

t

t

tatattvdtttavdtvxx0

00

00

0

2

0000 2−+=−+==− ∫∫

sau : Ecuaţia spaţiului în mişcarea rectilinie

uniform variată ( ) ( )2

20

000tta

ttvxx−

+−+=

24

O altă ecuaţie importantă a mişcării uniform variate se poate obţine eliminând termenul (t - t0) între ecuaţia vitezei şi ecuaţia spaţiului :

( ) ( )avv

ttttavv 0000

−=−⇔−+=

( ) ( )2

00000000 2

121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⇔−+−+=avv

aavv

vxxttattvxx

sau :

( )020

2 2 xxavv −+=

Această relaţie se numeşte ecuaţia lui Galilei.

2.2.4. Transformarea Galilei

Fie cele două sisteme de coordonate din fotografia alăturată. Unul dintre ele es-te legat de pământ, iar celă-lalt de avion. Presupunem că avionul se deplasează recti-liniu şi uniform în raport cu solul, iar viteza sa v0 este orientată paralel cu axa Ox’. Pe cer zboară o pasăre, cu viteza v faţă de sol şi v’ faţă de avion. Vectorul de poziţie al păsării faţă de sol este r, iar faţă de avion este r’. Vectorul de poziţie al avio-nului faţă de sistemul de re-ferinţă legat de sol este r0.

z

y’

Două sisteme de coordonate în

mişcare relativă de translaţie uni-

formă.

x’

z’

x y

v0

v

NE PUNEM ÎNTREBAREA : CUNOSCÂND POZIŢIA ŞI VITEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE UNUL DINTRE SISTEMELE DE REFERINŢĂ, PRECUM ŞI POZI-ŢIA ŞI VITEZA UNUI SISTEM DE REFERINŢĂ FAŢĂ DE CELĂLALT, PU-

TEM OARE DETERMINA POZIŢIA ŞI VITEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE CEL DE-AL DOILEA SISTEM DE REFERINŢĂ ?

Mai întâi trebuie să ne reamintim că în mecanica clasică se consideră că timpul se scurge la fel în toate sistemele de referinţă. Aceasta înseamnă intervalele de timp măsurate în cele două sisteme de referinţă şi care se referă la acelaşi proces sunt egale între ele : ∆t = ∆t’ ⇒ dt = dt’.

25

Relaţia dintre vectorii de poziţie este : 'rrr += 0

Pentru că sistemul de referinţă mobil (avionul) este în translaţie uniformă în raport cu sistemul de referinţă fix (solul), iar viteza sa este v0, vectorul de poziţie r0 poate fi exprimat utilizând legea mişcării rectilinii uniforme (r0

(i) este vectorul de poziţie al originii sistemului mobil la mo-

mentul de timp t0) : ( ) ( )00i

00 tt −+= vrr În consecinţă, relaţia între vectorii de poziţie devine :

Relaţia galileană între vectorii de poziţie ( ) ( ) 'tt rvrr +−+= 00i

0 Viteza mobilului (pasărea) în sistemul de referinţă legat de sol prima derivată a vectorului de poziţie în raport cu timpul :

( ) ( )dt

'ddt

'ttdtd rvrvrrv +=

+−+== 0

00i

0

Deoarece dt = dt’, iar sistemul de referinţă mobil (avionul) nu se roteşte în raport cu cel fix (solul), rezultă că dr’/dt = dr’/dt’ = v’. Obţinem astfel relaţia galileană de compunere a vitezelor : 'vvv += 0 Derivând viteza în raport cu timpul, obţinem acceleraţia. Deoarece viteza v0 este constantă derivata ei este egală cu zero. Rezultă :

''dt'd

dtd avva ===

Acceleraţia unui mobil are aceeaşi valoare şi aceeaşi orientare în două sisteme de referinţă aflate unul faţă de celălalt în mişcare de translaţie rec-tilinie şi uniformă.

Cel mai simplu caz de mişcare relativă de translaţie uniformă a două sisteme de referinţă este acela în care momentul iniţial de timp este t0 = 0, originile celor două sisteme de referinţă se suprapun la momentul iniţial de timp (adică r0

(i) = 0), iar axele de coordonate ale unui sistem de referinţă sunt para-lele cu acelea ale celuilalt referenţial (ceea ce are

drept consecinţă şi relaţia v0 = ±v0ex). În această situaţie, relaţiile între vectorii de po-ziţie sau între viteze devin :

Cuvinte cheie Relaţiile de transformare a

coordonatelor ale lui Galilei Compunerea galileană a vite-

zelor

Relaţia de compunere galileană a vitezelor

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==±=

⇔+='zz'yy

tv'xx't

0

0 rvr , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==±=

⇔+=

zz

yy

xx

'vv'vv

v'vv'

0

0 vvv

26

2.3. DINAMICA

2.3.1. Forţe Măsurătorile experimentale au arătat că, la suprafaţa Pământului, în vid, accele-raţia căderii corpurilor este aproape constantă pe toată planeta, variind uşor de la poli spre Ecuator. Acceleraţia căderii libere a corpurilor în vid se numeşte acceleraţie gravitaţională şi se notează cu g. La latitudinea la care se găseşte ţara noastră, ea es-te : g = 9,81 m/s2.

Gravitaţia terestră determină căderea uniform accelerată a corpurilor.

∆x ∆x

Să discutăm acum o altă experienţă. Priviţi figura de mai sus. Dispunem de un dispozitiv format dintr-un taler foarte uşor, sprijinit de un resort elastic, montat, la rândul său, pe un stativ orizontal. Avem, de asemenea, un număr de bile de oţel iden-tice. Punând pe taler o bilă, observăm că resortul se scurtează cu lungimea ∆x. Adău-gând o altă bilă, resortul se mai scurtează cu ∆x şi tot aşa. Cum putem interpreta observaţiile făcute ?

Prima remarcă ar fi aceea că prezenţa bilelor pe taler afectează lungimea resor-

tului. Deci, bilele au o influenţă asupra resortului. De data aceasta influenţa nu se mai manifestă prin accelerarea mişcării, ci prin deformare !

În al doilea rând, constatăm că deformarea este proporţională cu numărul de bi-le aşezate pe taler. Să ne imaginăm că am topi bilele şi am confecţiona cu materialul rezultat o singură bilă. Punând-o pe taler am măsura aceeaşi deformare ca şi când pe taler ar fi aşezate bilele iniţiale. Deci, deformarea este proporţională cu cantitatea de material a corpului aşezat pe taler.

În al treilea rând, să observăm că dacă am monta dispozitivul în poziţie orizon-tală, nu am mai obţine nici-o deformare, iar bila ar cădea de pe taler. Deci, influenţa bilei se manifestă doar pe direcţia şi în sensul în care ea ar cădea liber, influenţa-tă, la rândul ei, de Pământ.

27

Să discutăm acum şi despre bile. Fiecare dintre ele stă în repaus pe taler. De ce bilele nu mai cad ? Nu se mai află ele sub influenţa Pământului ?

Răspunsul cel mai simplu pe care îl putem da este că talerul nu suprimă in-fluenţa Pământului, dar exercită, la rândul său, o influenţă asupra bilelor, care anulează influenţa Pământului. Putem desprinde de aici o idee fundamentală : deşi cauzele care fac ca un corp să exercite o influenţă asupra altui corp pot fi di-ferite, efectele acestor influenţe pot fi comparate ! Faptul că efectele pot fi comparate între ele deschide calea, deosebit de importantă, a posibilităţii de a măsura efectul influenţei pe care o are un corp asupra altuia.

Un alt aspect important relevat de această experienţă este următorul : se ob-servă că bila influenţează talerul, dar şi că talerul influenţează bila. Cu alte cu-vinte, există o reciprocitate : influenţa pe care o exercită un corp A asupra unui corp B este însoţită de un „răspuns” al corpului B asupra corpului A.

Cuvinte cheie Forţă

Echilibru mecanic Condiţia de echilibru mecanic

Greutate Masă Inerţie

Vom conveni să numim acum îna-inte, pe scurt, „influenţa pe care un corp o exercită asupra altui corp” şi care are drept ca rezultat schimbarea stării de mişcare sau deformarea acestuia din ur-mă : „acţiunea unui corp asupra altui corp”. Mărimea fizică prin care măsurăm tăria acţiunii o vom numi forţă.

Din cele discutate până acum, rezulta că acceleraţia sau mărimea deformării se pot constitui în măsuri ale acţiunii exercitate de un corp asupra altui corp. De aceea, forţa ar trebui să fie proporţională fie cu acceleraţia, fie cu mărimea de-formării :

F ∼ a F ∼ ∆x

Să revenim la experienţa cu resortul elas-tic şi bile. Remarcasem că bila de pe taler ră-mâne în repaus (figura alăturată), deşi asupra sa acţionează două corpuri : Pământul şi tale-rul (alte influenţe, cum ar fi aceea a aerului, pot fi neglijate). Spuneam despre cele două ac-ţiuni că se compensează reciproc, ceea ce ex-plică rămânerea în echilibru a bilei.

g

∆x F2 F1

Situaţia în care acceleraţia unui corp este nulă se numeşte stare de

echilibru mecanic.

28

Notând forţele care acţionează asupra bilei prin F1 (acţiunea Pământului) şi F2 (acţiunea talerului), afirmaţia : „cele două acţiuni se compensează reciproc, ceea ce explică rămânerea în echilibru a bilei” se poate exprima matematic prin condiţia de echilibru :

F1 - F2 = 0 Remarcasem că acţiunea talerului depinde de mărimea deformării resortului, dar şi de caracteristicile resortului (un resort mai „tare” se deformează mai puţin decât unul mai „slab”). Vom exprima matematic aceasta afirmaţie astfel :

F2 = k∆x unde ∆x este valoarea deformării, iar k este o constantă care ia în considerare caracte-risticile resortului şi se numeşte constanta de elasticitate. Forţa cu care Pământul acţionează asupra bilei se numeşte greutate, fiind notată cu G (F1 = G). Efectul pe care-l produce greutatea, în absenţa altor forţe, este accele-rarea corpului asupra căruia acţionează. Prin urmare, greutatea trebuie să fie măsurată prin acceleraţia gravitaţională, dar şi printr-o mărime caracteristică corpului, pentru că nu toate corpurile au aceeaşi greutate. Remarcasem, de asemenea, că :

efectul deformator al acţiunii bilei asupra resortului este proporţional cu cantita-tea de substanţă materială înglobată în bilă

acţiunea bilei asupra talerului este rezultatul faptului că sub influenţa gravitaţiei bila tinde să coboare

Am putea concluziona de aici că forţa cu care bila acţionează asupra talerului este egală numeric cu greutatea bilei şi că aceasta din urmă este proporţională cu cantitatea de substanţă materială conţinută de bilă.

Mărimea fizică care măsoară cantitatea de substanţă materială con-

ţinută de un corp se numeşte masă şi este notată cu m. Deci greutatea bilei se poate scrie ca un produs de doi factori :

G = mg

Cum greutatea este o forţă, putem face ipoteza că, în general, orice forţă care are ca efect accelerarea unui corp ar trebui să fie proporţională cu produsul din-tre masa corpului şi acceleraţia imprimată acestuia :

F = ma

În particular, în experienţa pe care o comentăm, ar fi trebuit să scriem zeroul din membrul drept al condiţiei de echilibru astfel 0 = m⋅0 :

mg - k∆x = m⋅0 înţelegând astfel că suprapunerea a două acţiuni diferite este echivalentă unei singure acţiuni, numită acţiune rezultantă, care produce un singur efect mă-surabil (în cazul nostru, lipsa acceleraţiei).

29

În fine, pentru a încheia discutarea experienţei cu bile şi resort elastic, să ne amintim că am remarcat că acţiunea bilelor asupra talerului este orientată vertical, de sus în jos. Aceasta înseamnă că forţele sunt reprezentabile prin mărimi vectoriale. Forţa cu care talerul acţionează asupra bilei este orientată în sens opus vectorului de-formare. Prin urmare, această forţă se scrie astfel :

xF ∆−= k2 Constanta de elasticitate k este un scalar pozitiv. Greutatea este un vector îndreptat în direcţia şi în sensul acceleraţiei gravitaţionale :

gG m= Şi masa m este un scalar pozitiv. Sub formă vectorială, condiţia de echilibru se scrie astfel :

( ) 002 =∆−+⇔=+ xgFG km

Mai trebuie menţionat că, într-o reprezentare grafică, punctul de aplicaţie al unui vector forţă trebuie să indice corpul asupra căruia acţio-nează forţa.

În relaţia : F = ma, masa joacă rolul unei mărimi care ne arată cât de difi-cil este să schimbăm starea de mişcare a unui corp dat. Aceeaşi forţă va accelera mai puţin un corp cu masă mare decât un corp cu masă mică. Din acest motiv, spunem că în această relaţie masa este o măsură a inerţiei corpurilor. Inerţia este definită ca fiind proprietatea corpurilor de a tinde să-şi păstreze starea de mişcare rectilinie uniformă sau de repaus relativ.

2.3.2. Principiile dinamicii newtoniene

2.3.2.1. Principiul inerţiei Am descris în paginile precedente o experienţă de mecanică. De asemenea, pe baza ei, am tras nişte concluzii care par destul de raţionale şi convingătoare. Totuşi, dacă am repeta experienţa într-o staţie cosmică orbitală, constatările noastre ar fi cu totul altele : bilele nu ar mai cădea (ele ar fi în stare de imponderabilitate), resortul elastic nu s-ar mai deforma, etc. În acest caz, s-ar putea motiva rezultatele prin lipsa gravitaţiei. Din păcate pentru cel care crede asta, gravitaţia este prezentă şi în interio-rul staţiei cosmice, iar la altitudini de 100-200 km acceleraţia gravitaţională este foar-te puţin diferită de cea de la nivelul solului. În consecinţă tot eşafodajul de concluzii pe care le-am tras iniţial s-ar prăbuşi. Ar fi un eşec pentru acela care s-a pripit să tra-gă concluzii fără să repete experienţa în mai multe sisteme de referinţă, dar şi o lecţie care sună astfel :

30

Rezultatul unei aceleiaşi experienţe de mecanică poate depinde de sis-temul de referinţă în care este efectuată !

Acestea fiind spuse, pare imposibil să unifici toa-te rezultatele experimentale într-o singură teorie. Cu toate acestea, a fost posibil, iar acela care a reuşit această performanţă a fost marele fizician şi matemati-cian englez Isaac Newton. Să urmărim în continuare esenţa teoriei sale :

În concepţia newtoniană, spaţiul şi timpul sunt absolute. Aceasta înseamnă că ele există independent

de prezenţa sau absenţa materiei şi, în particular, a observatorului.

Sir Isaac Newton

În absenţa materiei, nu există motive ca un punct al spaţiului să se deosebească de alt punct, sau ca timpul să se scurgă altfel într-o zonă a spaţiului decât în alta.

În consecinţă, spaţiul liber este omogen şi izotrop, iar timpul este universal.

Să presupunem acum că în Univers există un singur corp material. Evident, el este liber de orice influenţe externe. Cum se comportă el în această situaţie ?

Răspunsul „logic şi firesc”, pe care l-a dat Newton, este acela că el îşi păstrea-ză starea iniţială de mişcare, adică ori rămâne în repaus, ori se mişcă cu viteză con-stantă (are o mişcare rectilinie şi uniformă). Evident, nu putem proba prin experienţă sau teoretic această ultimă afirma-ţie. Ceea ce putem demonstra experimental este doar că în anumite sisteme de refe-rinţă, în condiţiile în care influenţele externe cunoscute care se exercită asupra unui corp se anulează reciproc, corpul rămâne în repaus sau în mişcare rectilinie uniformă. De aceea afirmaţia lui Newton trebuie tratată ca un principiu. Un principiu este o afirmaţie considerată corectă atâta timp cât nu se prezintă dovezi experimentale care să o contrazică. În consecinţă, vom spune că afirmaţia lui Newton reprezintă un prim principiu la dinamicii, numit principiul inerţiei :

PRINCIPIUL INERŢIEI

ÎN LIPSA ACŢIUNILOR EXTERNE, UN PUNCT MATERIAL ÎŞI PĂSTREAZĂ STAREA DE MIŞCARE RECTILINIE UNIFORMĂ SAU DE REPAUS RELATIV.

31

În enunţul principiului inerţiei se foloseşte termenul punct materi-al, care desemnează un corp a cărui mişcare poate fi reprezentată de mişca-rea unui singur punct al său, punct în care se consideră concentrată întreaga sa masă. Pot fi considerate puncte materiale corpurile aflate în mişcare de translaţie sau corpurile de dimensiuni mici în raport cu distanţele care le separă de corpurile învecinate.

2.3.2.2. Sisteme de referinţă inerţiale şi sisteme de referinţă neinerţiale

Veţi remarca : „Bine, să acceptăm că experienţele pe care le facem la noi în cameră sau în laboratorul facultăţii nu par să contrazică acest principiu. Dar cum rămâne cu cei aflaţi pe staţia orbitală ?”. Aveţi dreptate ! Pentru cei de pe sta-ţie acest principiu nu este valabil ! Aceasta înseamnă că există două mari clase de sisteme de referinţă :

sisteme de referinţă inerţiale, adică sistemele de referinţă în care este valabil principiul inerţiei

sisteme de referinţă neinerţiale, adică sistemele de referinţă în care nu este va-labil principiul inerţiei

TOATE CELE CE SE VOR DISCUTA ÎN CONTINUARE SE VOR REFERI DOAR LA SIS-TEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE.

2.3.2.3. Principiul fundamental al dinamicii În sistemele de referinţă inerţiale, experienţele ne arată că aplicarea unei forţe determină schimbarea stării de mişcare a corpului asupra căruia se acţionează. Deci, efectul forţei este unul dinamic : accelerarea corpului. Newton a ridicat la rang de principiu aceste observaţii experimentale, enunţând astfel principiul fundamental al dinamicii :

PRINCIPIUL FUNDAMENTAL AL DINAMICII

SUB ACŢIUNEA UNEI FORŢE EXTERNE, UNUI PUNCT MA-TERIAL I SE IMPRIMĂ O ACCELERAŢIE AVÂND DIRECŢIA ŞI SENSUL FORŢEI, PROPORŢIONALĂ ÎN MODUL CU MODULUL FORŢEI ŞI INVERS PROPORŢIONALĂ CU MASA PUNCTULUI MATERIAL :

mm FaaF =⇔=

32

2.3.2.4. Principiul acţiunii şi al reacţiunii

Să ne mai punem acum o întrebare : putem verifica expe-rimental principiul fundamen-tal al mecanicii ? Dacă insistăm să-l verificăm, am putea face ex-perienţa ilustrată în figura alătu-rată. Cu rigla măsurăm deplasa-rea căruciorului, iar cu ceasorni-cul durata necesară. Putem cal-cula astfel acceleraţia. Masa că-ruciorului o putem măsura sepa-

rat. Înmulţind acceleraţia cu masa, ar trebui să găsim valoarea forţei, indicată de alungirea resortului elastic. Pare corect, dar nu este ! De ce ? Pentru că produsul dintre masă şi acceleraţie trebuie să fie egal cu forţa care acţionează asupra cor-pului, pe când forţa măsurată de resortul elastic este aceea care acţionează asu-pra lui însuşi ! Se poate spune : da, dar corpul este cel care trage de resort cu forţa măsurată, iar experienţa indică că resortul, la rândul său, răspunde şi el corpului cu o forţă. Problema care se pune este : sunt aceste două forţe egale în modul sau nu ? Dacă răspunsul este DA, atunci experienţa descrisă poate fi folosită pentru veri-ficarea principiului fundamental al dinamicii, iar în caz contrar nu.

ceasornic

riglă

F

a F

resort elastic

6

12

Poate din aceste motive, generalizând unele observaţii experimentale, Newton a socotit necesar să formuleze un al treilea principiu al mecanicii clasice, denumit principiul acţiunii şi reacţiunii. Enunţul său este următorul :

DACĂ UN CORP ACŢIONEAZĂ ASUPRA ALTUI CORP CU O FORŢĂ (DENUMITĂ ACŢIUNE), ATUNCI AL DOILEA RĂSPUNDE PRIMULUI CU O FORŢĂ (NUMITĂ REACŢIUNE) EGALĂ ÎN MO-DUL, AVÂND ACEEAŞI DIRECŢIE, DAR SENS CONTRAR.

Acceptând valrării simultane a acMai putem remarcstabileşte un soi deele nu este „avantajstrat !

PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI AL REACŢIUNII

abilitatea acestui principiu, acceptăm, implicit, posibilitatea măsu-celeraţiei unui corp şi a forţei care determină această acceleraţie.

a faptul că acest principiu este „firesc şi logic”, în sensul în care „democraţie” în interrelaţia dintre două corpuri : nici unul dintre at”. Dar, „firesc şi logic” nu înseamnă că principiul este şi demon-

33

2.3.2.5. Principul acţiunii independente a forţelor simultane Realitatea fizică din jurul nostru cuprinde nenumărate corpuri aflate în interacţi-une. O carte aflată pe o masă înseamnă interacţiuni între ea şi masă, între ea şi aerul înconjurător, între ea şi Pământ, între filele ei… În aceste condiţii, este greu de crezut că am putea găsi vreun corp asupra căruia să nu acţioneze nici-o forţă, sau, eventual, să acţioneze o singură forţă. Dată fiind această situaţie ne mai putem pune alte două întrebări :

Ce se întâmplă dacă asupra unui corp acţionează simultan mai multe for-ţe?

În ce măsură acţiunea unei forţe este „alterată” de acţiunea altei forţe ? Cele trei principii ale mecanicii nu oferă răspuns acestor întrebări. De aceea, răs-punsul nu poate fi determinat decât pe cale experimentală.

În figura alăturată se poate vedea schiţa unei experienţe care urmăreşte să clarifice aceste aspecte. Experienţa se desfăşoară ast-fel :

a

F2

F1

se acţionează mai întâi cu forţa F1, se-parat. Se măsoară acceleraţia a1 şi se deter-mină direcţia ei.

se acţionează apoi cu forţa F2, tot sepa-rat. Se determină în acelaşi mod caracteristi-cile acceleraţiei a2.

se aplică simultan forţele F1 şi F2. Se măsoară acceleraţia a şi se determină di-recţia sa.

Concluzia experienţei este aceea că acceleraţia a este suma vectorială a acceleraţiilor a1 şi a2.

Generalizarea acestei observaţii experimentale formează ultimul principiu al mecanicii clasice, numit principiul acţiunii independente a forţelor simultane :

ACCELERAŢIA MIŞCĂRII UNUI PUNCT MATERIAL, SUPUS SIMULTAN ACŢIUNII MAI MULTOR FORŢE, ESTE NUMERIC EGA-LĂ CU SUMA VECTORIALĂ A ACCELERAŢIILOR PE CARE LE-AR IMPRIMA FIECARE DINTRE FORŢE ACŢIONÂND SEPARAT:

...mm

++= 21 FFa

PRINCIPIUL ACŢIUNII INDEPENDENTE A FORŢELOR SIMULTANE

34

În calcule, este mai comod să utilizăm o combinaţie între principiul fundamen-tal al dinamicii şi principiul acţiunii independente a forţelor simultane. Astfel, obser-văm că :

...m...mm

++=⇔++= 2121 FFaFFa

Comparând cu expresia principiului fundamental :

Fa =m rezultă că suma are semnificaţia unei unice forţe, denumită forţa rezul-tantă şi notată cu R. De aceea, putem enunţa combinaţia celor două principii astfel :

...++ 21 FF

Produsul dintre masa şi acceleraţia unui punct material este numeric

egal cu forţa rezultantă care acţionează asupra punctului material : Ra =m

2.3.3. Principiul relativităţii în mecanica clasică Am studiat într-un capitol anterior („Transformarea Galilei”) cazul a două sis-teme de referinţă care se află într-o deplasare relativă rectilinie şi uniformă unul faţă de celălalt. O concluzie importantă care privea această situaţie era următoarea :

Acceleraţia unui mobil are aceeaşi valoare şi aceeaşi orientare în două sisteme de referinţă aflate unul faţă de celălalt în mişcare de translaţie rec-tilinie şi uniformă.

Criteriul după care stabilim că un sistem de referinţă inerţial sau nu este respec-tarea principiului inerţiei, mai precis faptul că dacă rezultanta forţelor externe care ac-ţionează asupra unui corp este nulă, corpul îşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus relativ. Într-o asemenea stare acceleraţia mişcării corpului es-te egală cu zero. Să presupunem acum că există un sistem de referinţă inerţial, în care acceleraţia corpului este zero. Conform proprietăţilor transformării Galilei, în toate sistemele de referinţă care se află în translaţie uniformă faţă de sistemul de referinţă inerţial acceleraţia este de asemenea zero. Rezultă de aici că :

Fiind dat un sistem de referinţă inerţial, toate celelalte sisteme de refe-rinţă aflate în translaţie uniformă faţă de acesta sunt de asemenea sisteme de referinţă inerţiale.

Pe de altă parte, mecanica clasică, bazată pe legile lui Newton, mai postulează implicit (postulat = teză teoretică generală care este recunoscută ca justă fără demon-straţie) alături de proprietăţile spaţiului şi timpului şi o proprietate a masei :

35

Masa unui corp nu depinde de sistemul de referinţă în care se află acesta

Această afirmaţie este acceptată deoarece experienţa de toate zilele nu pare să o pună la îndoială (de exemplu, ni se pare greu de crezut că un kilogram de roşii cumpărat din piaţă are o altă masă în tramvaiul cu care îl transportăm acasă).

Deoarece acceleraţia şi masa unui corp au ace-leaşi valori în toate sistemele de referinţă inerţiale, tragem concluzia că şi rezultanta forţelor externe ca-re acţionează asupra corpului este aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale. Cu alte cuvinte, pen-

tru observatori inerţiali diferiţi, aceleaşi forţe produc aceleaşi efecte asupra aceluiaşi corp. Consecinţa este că oricare ar fi sistemul inerţial din care studiem evoluţia unui corp, legile de mişcare a corpului au aceeaşi formă matematică. Conţinutul acestor considerente este cuprins în principiul relativităţii galileene sau principiul relativi-tăţii din mecanica clasică :

Cuvinte cheie Principiul relativităţii

galileene

LEGILE MECANICII AU ACEEAŞI FORMĂ ÎN TOATE SISTEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE

PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII GALILEENE

O formulare alternativă a principiului relativităţii galileene este următoarea :

Prin nici-o experienţă de mecanică efectuată într-un sistem de referinţă inerţial nu putem stabili dacă sistemul de referinţă este în re-paus sau în translaţie uniformă.

2.3.4. Principalele mărimi de stare în dinamică Aşa cum discutat anterior, starea de mişcare a unui corp poate fi caracterizată de trei mărimi de stare mai importante : raza vectoare, viteza şi acceleraţia. Dinamica ia în considerare atât starea de mişcare a unui corp cât şi masa corpului, iar, pe de altă parte, ia în considerare acţiunile externe care se exercită asupra corpului. Principala relaţie de legătură dintre mărimile cinematice, masa corpului şi acţiunile externe este conţinută de principiul fundamental al dinamicii :

aF m=

36

În relaţie, forţa este o mărime dinamică asociată acţiunii externe, masa este o mărime dinamică asociată corpului, iar acceleraţia este mărimea cinematică asociată stării de mişcare a corpului. Produsul dintre masă şi acceleraţie capătă semnificaţia unei mă-rimi dinamice care caracterizează starea de mişcare a unui anumit corp.

Cuvinte cheie

Cantitate de mişcare (impuls) Energie cinetică Moment cinetic

Cu ajutorul masei şi mărimilor cinematice se pot construi şi alte mărimi dinamice care caracteri-zează starea de mişcare a unui anumit corp.

Prin definiţie, cantitatea de mişcare (impulsul) este mărimea fizi-că vectorială numeric egală cu produsul dintre masa punctului material şi viteza de deplasare a acestuia : p = mv. Direcţia şi sensul impulsului coin-cid cu direcţia şi sensul vitezei. Impulsul se măsoară în kg⋅m/s.

Prin definiţie, energia cinetică este mărimea fizică scalară numeric

egală cu semiprodusul dintre masa punctului material şi pătratul vitezei de

deplasare a acestuia: 2

2mvWc = . Energia cinetică se măsoară în kg⋅m2/s2 = J

Prin definiţie, momentul cinetic este mărimea

fizică vectorială numeric egală cu produsul vecto-rial dintre vectorul de poziţie al punctului material şi impulsul acestuia : l = r×p . Direcţia vectorului moment cinetic este perpendiculară pe planul for-mat de vectorul de poziţie şi vectorul impuls. Sen-sul vectorului moment cinetic este dat de regula burghiului drept. Modulul vectorului moment ci-netic este egal cu produsul între modulele razei vectoare şi impulsului şi sinusul unghiului dintre cei doi vectori : l = rp sinα . Momentul cinetic se măsoară în kg⋅m2/s

α p r

l

Cuvinte cheie Putere

Momentul forţei

Cu ajutorul forţei şi mărimilor cinematice se pot construi şi alte mărimi dinamice care caracteri-zează acţiunile externe ce se exercită asupra unui corp.

Prin definiţie, puterea este mărimea fizică scalară numeric egală cu produsul scalar dintre vectorii forţă şi viteză : P = F⋅v. Puterea se măsoară în kg⋅m2/s3 = W. Puterea este egală cu produsul între modulele forţei şi vi-tezei şi cosinusul unghiului dintre cei doi vectori : P = Fv cosα .

37

Prin definiţie, momentul forţei este mărimea fizică vectorială numeric egală cu produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului material şi forţa care acţionează asupra acestuia : M = r×F. Direcţia vectorului momentul forţei este per-pendiculară pe planul format de vectorul de poziţie şi vectorul forţă. Sensul vecto-rului momentul forţei este dat de regula burghiului drept. Modulul vectorului mo-mentul forţei este egal cu produsul între modulele razei vectoare şi forţei şi sinusul unghiului dintre cei doi vectori : M = rF sinα . Momentul forţei se măsoară în kg⋅m2/s2 = N⋅m.

2.3.5. Teorema variaţiei impulsului

2.3.5.1. Teorema variaţiei impulsului pentru un punct material

Figura alăturată vă prezintă o schemă a procesului de accelerare a unui corp :

există o stare iniţială, caracteri-zată de viteza v1 şi momentul de timp t1, precum şi o stare finală, caracteri-zată de viteza v2 şi momentul de timp t2

în intervalul de timp (t2 - t1), asupra corpului acţionează forţa re-zultantă R(t), imprimându-i la fiecare moment de timp o acceleraţia a(t).

mR

v2v1

t1 t2a starea 1 starea 2

mm

Conform principiului al doilea al mecanicii, putem scrie : Ra =m

Acceleraţia fiind prima derivată a vitezei în raport cu timpul, relaţia se poate pune şi sub forma următoare :

Rv=

dtdm

Masa fiind constantă, putem scrie : ( )

dtd

dtmd

dtdm pvv

==

Rezultă :

Teorema variaţiei impulsului pentru un punct material. Forma diferenţială. Rp

=dtd

38

Viteza de variaţie a impulsului unui punct material este nume-ric egală cu rezultanta forţelor externe care acţionează asupra sa.

Relaţia diferenţială poate fi pusă şi sub forma : dtd Rp =

Rezultanta forţelor externe este în general o funcţie de timp. Relaţia anterioară se poate integra, rezultând :

( )∫=−2

1

12

t

t

dttRpp

sau : Teorema variaţiei impulsului pentru un

punct material. Forma integrală. 2121 ,, Hp =∆ Enunţul teoremei este următorul :

Variaţia impulsului (cantităţii de mişcare) unui punct material în cursul unui proces este numeric egală cu impulsul forţei (impulsul) dezvoltat de forţa rezultantă care acţionează asupra punctului materi-al în cursul procesului.

Factorul reprezintă o mărime dinamică de proces, ( )∫=2

1

21

t

t, dttRH

denumită impulsul forţei (dacă p = impuls) sau impuls (dacă p = cantitate de mişcare). Unitatea de măsură a impulsului forţei este kg⋅m/s = N⋅s.

2.3.5.2. Teorema variaţiei impulsului pentru un sistem de puncte materiale

Să luăm în discuţie cel mai simplu sistem de puncte materiale : cel din fi-gura alăturată. Asupra punctelor mate-riale ce alcătuiesc sistemul acţionează forţele externe Fe1, respectiv Fe2. Între cele două puncte materiale se exercită

forţele interne de interacţiune F1,2, respectiv F2,1. Fiecăruia dintre cele două puncte materiale care alcătuiesc sistemul i se poate aplica teorema variaţiei impulsului :

Fe2

Fe1

F1,2F2,1

( ) ( ) ( )∫∫∫ +==−2

1

2

1

2

1

12 112111

t

te

t

t,

t

t

dttdttdtt FFRpp

( ) ( ) ( )∫∫∫ +==−2

1

2

1

2

1

11 221222

t

te

t

t,

t

t

dttdttdtt FFRpp

Adunând cele două relaţii, obţinem :

39

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫∫ +++=+=+−+2

1

2

1

2

1

1122 212112112121

t

tee

t

t,,

t

t

dtttdtttdttt FFFFRRpppp

Ce comentarii putem face ?

Mai întâi, forţele F1,2 şi F2,1 au calitatea de a fi în relaţia acţiune-reacţiune, fiind egale în modul, având aceeaşi direcţie şi sensuri opuse. Deci F1,2 + F2,1 = 0.

Suma vectorială Fe1 + Fe2 reprezintă rezultanta forţelor externe care acţio-nează asupra sistemului de puncte materiale : Re.

Suma vectorială p1 + p2 este o mărime de stare care caracterizează sistemul de puncte materiale, pe care convenim s-o numim impulsul total al sistemului de puncte materiale şi s-o notăm cu p.

Ţinând cont de aceste comentarii, rezultă :

( )∫=−2

1

12

t

te dttRpp

Relaţia mai poate fi scrisă şi sub forma următoare, fiind valabilă pentru un sistem format din orice număr de puncte materiale : Teorema variaţiei impulsului unui sistem de punc-

te materiale. Forma integrală. eHp =∆

În cursul unui proces, variaţia impulsului unui sistem de puncte ma-teriale este numeric egală cu impulsul forţei rezultante externe care acţio-nează asupra sistemului de puncte materiale pe durata procesului.

Teorema variaţiei impulsului unui sistem de puncte materiale poate fi scrisă şi sub forma diferenţială : Teorema variaţiei impulsului unui sistem de punc-

te materiale. Forma integrală. edtd Rp

=

Enunţul teoremei este : Viteza de variaţie a impulsului total al unui sistem de puncte

materiale este numeric egală cu rezultanta forţelor externe care acţio-nează asupra sistemului.

În cazul particular în care sistemul de puncte materiale este izolat de exterior, rezultanta forţelor externe este nulă. Rezultă că şi viteza de variaţie a impulsului total al sistemului este nulă. Prin urmare, impulsul total al sistemului de puncte materiale este constant în timp. Obţinem în acest caz o formă particulară a teo-remei variaţiei impulsului, numită : teorema conservării impulsului, şi care se enunţă după cum urmează :

40

Impulsul total al unui sistem de puncte materiale izolat de exte-rior este constant în timp.

2.3.6. Teorema variaţiei energiei cinetice

2.3.6.1. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un punct ma-terial

Să considerăm un punct material care se mişcă accelerat sub acţiunea unei forţe rezultante externe F. Acceleraţia şi forţa sunt legate prin principiul fundamental al di-namicii :

dtdmm vFaF =⇒=

Putem înmulţi scalar expresia cu vectorul viteză : ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=⋅⇒⋅=⋅

221

21

21 22 mv

dtd

dtvdm

dtdm

dtd

dtdm

dtdm vvvvvvvFvvvF

Deoarece factorul mv2/2 reprezintă energia cinetică Wc, iar factorul F⋅v este puterea, putem scrie :

Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un punct material. Forma diferenţială. P

dtdWc =

Enunţul teoremei este :

Viteza de variaţie a energiei cinetice a unui punct material este numeric egală cu puterea dezvoltată de forţa rezultantă care acţionea-ză asupra punctului material.

Pornind de la relaţia :

dtdWmv

dtd c=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅

2

2

vF

şi ţinând cont că viteza este prima derivată a vectorului de poziţie în raport cu timpul, mai putem scrie :

cc dWd

dtdW

dtd

=⋅⇒=⋅ rFrF

Integrând pe traiectoria urmată de punctul material, obţinem :

( )

( )

( )

( )

A,cB,cc WWdWd −==⋅ ∫∫B

A

B

A

rF

sau :

Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un punct material. Forma diferenţială.

ABAB,c LW =∆

41

Enunţul teoremei este : În cursul unui proces, variaţia energiei cinetice a unui punct

material este numeric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa rezul-tantă care acţionează asupra sa în cursul procesului.

Factorul reprezintă o mărime dinamică de proces, ( )

( )

∫ ⋅=B

AAB dL rF

denumită lucru mecanic. Unitatea de măsură a lucrului mecanic este kg⋅m2/s2 = J.

2.3.6.2. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale

Să luăm în discuţie cel mai simplu sistem de puncte materiale : cel din fi-gura alăturată. Asupra punctelor mate-riale ce alcătuiesc sistemul acţionează forţele externe Fe1, respectiv Fe2. Între cele două puncte materiale se exercită

forţele interne de interacţiune F1,2, respectiv F2,1. Fiecăruia dintre cele două puncte materiale care alcătuiesc sistemul i se poate aplica teorema variaţiei energiei cinetice:

Fe2

Fe1

F1,2F2,1

( )( )

( )

AB,FAB,F

B

A,eA,cB,c ,e

LLdWW12112111 +=⋅+=− ∫ rFF

( )( )

( )

AB,FAB,F

B

A,eA,cB,c ,e

LLdWW21212222 +=⋅+=− ∫ rFF

Adunând cele două relaţii, obţinem : ( ) ( ) ( ) ( )AB,FAB,FAB,FAB,FA,cA,cB,cB,c ,,ee

LLLLWWWW1221112121 +++=+−+

Suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor materiale care alcătu-

iesc un sistem este o mărime de stare a sistemului de puncte materiale şi se numeşte energia cinetică totală a sistemului de puncte materiale, sau, pe scurt, energia cinetică a sistemului. Ea se poate nota simplu prin Wc.

Sumând lucrul mecanic făcut de toate forţele externe care acţionea-ză asupra componentelor sistemului de puncte materiale, obţinem lucrul mecanic extern total Lext, total. Sumând lucrul mecanic făcut de toate forţele interne cu care interacţionează componentele sistemului de puncte materia-le, obţinem lucrul mecanic intern total Lint, total.

42

Utilizând definiţia anterioară, ultima relaţie se poate scrie după cum urmează :

total,exttotalint,totalc LLLW +==∆

În cursul unui proces, variaţia energiei cinetice totale a unui sis-tem de puncte materiale este numeric egală cu lucrul mecanic total efectuat de toate forţele care acţionează asupra tuturor punctelor ma-teriale, indiferent că ele reprezintă interacţiuni interne sau interacţiuni cu corpuri din exteriorul sistemului.

2.3.7. Forţe conservative, energie potenţială Să presupunem că un punct material se de-plasează între punctele A şi B, aflate într-un câmp de forţe. În acest câmp de forţe, intensita-tea şi orientarea forţei pot varia de la un punct la altul, pot depinde de viteza punctului material sau de momentul de timp. Cu alte cuvinte, forţa care acţionează asupra punctului material de-pinde de poziţia acestuia, de viteză şi de mo-mentul de timp : F = F(r, v, t). În aceste condi-ţii, lucrul mecanic efectuat la deplasarea din A

în B, ( )

( )

∫ ⋅=B

AAB dL rF , poate depinde atât de forma

traiectoriei cât şi de legea de mişcare pe traiec-torie. Acesta este şi motivul pentru care lucrul

mecanic este considerat mărime de proces (adică depinde de modul concret în care se desfăşoară procesul deplasării din A în B).

LA3B

LA2B

LA1B

(3)

(2) (1)

r + drr O

F(r) dr

B

A

Teorema variaţiei energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale. Forma integrală

În acest context, întâlnim o categorie specială de câmpuri de forţe, şi anume câmpurile de forţe conservative.

Forţele conservative sunt acele forţe care se bucură de proprietatea că lucrul mecanic pe care îl fac nu depinde nici de forma traiectoriei, nici de modul de deplasare pe traiectorie. Lucrul lor mecanic depinde doar de poziţiile iniţială şi finală ale punctului material asupra căruia acţionează.

Dacă analizaţi cu atenţie definiţia anterioară, nu se poate să nu puneţi în-

trebarea : poziţii faţă de ce sau de cine ? Ca să răspundem la întrebare, să ne amintim că orice forţă reală este manifestarea interacţiunii între două corpuri materiale. Deci poziţiile iniţială şi finală ale punctului material ar trebui raportate la corpul sau la sistemul de corpuri cu care interacţionează.

43

EXEMPLU

Fie un corp care se deplasează în plan ver-tical pe o traiectorie oarecare şi cu viteză varia-bilă între punctele A şi B. Să calculăm lucrul mecanic al forţei de greutate. Conform formulei de calcul a lucrului mecanic, putem scrie :

B

G

α

180° - α

drdh

h

A hA

hB

( )

( )

∫ ⋅=B

AAB,G dL rG

Produsul scalar G⋅dr este egal cu produsul mo-dulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiu-lui dintre ei : G dr cos(180° - α) = -G dr cos α. Examinând schiţa alăturată, observăm că produ-sul dintre dr şi cos α este egal cu proiecţia seg-mentului dr pe axa h : dr cos α = dh. Rezultă :

( )

( )

AB

h

hAB,G mghmghdhGL

B

A

+−=−= ∫

Se poate observa că rezultatul nu depinde nici de forma traiectoriei, nici de modul în care s-a deplasat corpul pe traiectorie. Lucrul mecanic depinde doar de înălţimile la care se află punctul de plecare şi cel de sosire. Prin urmare, forţa de greutate este o forţă conservativă.

Avantajul pe care îl aduc forţele conservative este acela că fiecăreia dintre ele îi corespunde un tip de energie potenţială.

Energia potenţială este definită prin următoarea relaţie : AB,vconservatiAB,pAB,vconservatiA,pB,p LWLWW −=∆⇔−=−

În cursul unui proces, variaţia de energie potenţială asociată unei anumite forţe conservative este numeric egală cu lucrul mecanic efec-tuat de respectiva forţă în cursul procesului, luat cu semn schimbat.

Fiecărui tip de energie potenţială îi corespunde o formulă de calcul. Avantajul care rezultă de aici este acela că lucrul mecanic al unei forţe con-servative nu se mai calculează prin integrare directă, ci doar ca diferenţa valorilor obţinute cu ajutorul formulei de calcul.

Conform definiţiei anterioare, în exemplul studiat mai sus, rezultă că

B,A;mghWmghWmghmghWW AA,pBB,pABA,pB,p ∀−=−⇒−=− . Deoarece relaţia este adevărată oricare ar fi punctele A şi B, tragem concluzia că fiecare mem-bru al egalităţii este o constantă : ( ) constmghhWconstmghW pp +=⇒=− . Prin operaţia numită etalonare, atribuim o anumită valoare energiei potenţiale într-un anumit punct de referinţă. Luând ca referinţă nivelul h = 0 şi atribuind valoarea zero energiei potenţiale la acest nivel (Wp(0) = 0) facem ca valoarea constantei să fie nulă,

44

astfel încât în final expresia energiei potenţiale a forţei de greutate capătă expre-sia: . ( ) mghhWp =

Energia potenţială nu poate fi atribuită unui singur punct material. Ener-gia potenţială poate fi definită doar în sisteme de corpuri care interac-ţionează prin forţe conservative. De exemplu, energia potenţială gravita-ţională este energia sistemului format din punctul material considerat şi Pământ. Din acest punct de vedere, energia potenţială este o energie de configuraţie a unui sistem de corpuri care interacţionează prin forţe con-servative. Fiecărei configuraţii posibile a sistemului îi corespunde o valoare a energiei potenţiale. Dacă configuraţia sistemului se modifică în cursul unui proces, forţele conservative fac lucru mecanic, iar variaţia energiei po-tenţiale a sistemului este egală cu acest lucru mecanic luat cu semn schim-bat. Energia potenţială este o mărime de stare a sistemului fizic.

2.3.7.1. Relaţia între forţă şi energia potenţială În general, lucrul mecanic are expresia :

( )

( )

∫ ⋅=B

AAB dL rF

În cazul unui câmp de forţe conservative, expresia lucrului mecanic este :

( )( )

( )

∫−=−−=B

ApA,pB,pAB dWWWL

Deci în cazul câmpurilor de forţe conservative există relaţia :

( )

( )

( )

( )B,AddW

B

A

B

Ap ∀⋅−= ∫∫ rF

Energia potenţială este o funcţie doar de poziţia pe care o ocupă corpul de probă :

( ) ( ) ( ) dzz

Wdy

yW

dxx

Wz,y,xdWz,y,xWWW ppp

pppp ∂∂

+∂∂

+∂∂

=⇒== r

Pe de altă parte, produsul scalar dintre forţă şi vectorul deplasare se poate explicita în modul următor :

( ) ( ) dzFdyFdxFdzdydxFFFd zyxzyxzzyyxx ++=++⋅++=⋅ eeeeeerF Înlocuind în relaţia integrală, obţinem :

( )

( )BA,∀=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂∫ 0B

Az

py

px

p dzFz

WdyF

yW

dxFx

W

Pentru că această relaţia este satisfăcută oricare ar drumul de integrare, rezul-tă că integrandul trebuie să fie nul, ceea ce atrage după sine următoarele egali-tăţi:

zW

F;y

WF;

xW

F pz

py

px ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

45

În aceste condiţii, vectorul forţă se poate exprima în modul următor :

pzyxp

zp

yp

xzzyyxx Wzyxz

Wy

Wx

WFFF ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=++= eeeeeeeeeF

Pe scurt această relaţie se scrie sub forma :

Într-un câmp de forţe conservative, forţa care acţionează asupra corpului de probă este numeric egală cu gradientul energiei po-

tenţiale

pW−∇=F

2.3.8. Teorema variaţiei energiei mecanice pentru un sistem de puncte materiale

Există sisteme de puncte materiale în care se manifestă acţiunea unor forţe in-terne conservative.

Dacă în cadrul interacţiunilor care se exercită între componentele unui sistem de puncte materiale există şi forţe conservative, lucrul mecanic total intern are două componente : lucrul forţelor conservative şi lucrul for-ţelor neconservative :

tivneconserva,totalint,vconservati,totalint,totalint, LLL += Ştim deja că lucrul forţelor conservative este legat de variaţia energiei potenţiale a sistemului :

pvconservati,totalint, WL ∆−= Folosind observaţia de mai sus şi revenind la expresia matematică a teoremei va-riaţiei energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale, putem scrie :

total,exttivneconserva,totalint,pc LLWW ++∆−=∆ Atât energia cinetică, cât şi energia potenţială sunt mărimi de stare, astfel încât, în procesul de modificare a stării sistemului de la A la B, se poate scrie :

total,exttivneconserva,totalint,A,pB,pA,cB,c LLWWWW +++−=− sau :

( ) ( ) total,exttivneconserva,totalint,B,pA,cB,pA,c LLWWWW +=+−+

Convenim să numim suma dintre energia cinetică şi energia poten-ţială ale unui sistem de puncte materiale energie mecanică şi s-o notăm prin W (W = Wc + Wp).

46

Prin urmare, obţinem :

total,exttivneconserva,totalint, LLW +=∆

În cursul unui proces, variaţia energiei mecanice a unui sistem de puncte materiale este numeric egală cu lucrul mecanic total efectuat de toate forţele interne neconservative, la care se adună lucrul mecanic al tuturor forţelor care reprezintă interacţiuni cu corpuri din exterio-rul sistemului.

În cazul particular în care sistemul de puncte materiale este izolat de exterior, lucrul mecanic al forţelor externe este nul. Dacă între corpurile din sistem nu se exercită forţe neconservative, lucrul mecanic total intern conservativ este de asemenea nul. Rezultă că variaţia energiei mecanice a sistemului este şi ea nulă. Prin urmare, energia mecanică a sistemului de puncte materiale este constantă în timp. Obţinem în acest caz o formă particulară a teoremei variaţiei energiei me-canice, numită : teorema conservării energiei mecanice, şi care se enunţă după cum urmează :

Energia mecanică a unui sistem de puncte materiale izolat de exterior şi în care nu există forţe neconservative este constantă în timp.

2.3.9. Teorema variaţiei momentului cinetic

2.3.9.1. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un punct material

Fie un punct material, care, la un mo-ment dat, se deplasează cu viteza v şi se află sub acţiunea unei forţe F. Poziţia punctului material se raportează la punctul fix O (pe ca-re-l vom numi pol) prin vectorul de poziţie r. Fireşte, în aceste condiţii, este valabil princi-piul fundamental al dinamicii :

( ) ( )tdtd Rv

=mtm Ra ⇔=

O

F

v r

Teorema variaţiei energiei mecanice a unui sistem de puncte materiale

47

Putem înmulţi vectorial fiecare membru al acestei egalităţi cu vectorul de pozi-ţie:

( )tdtdm Rrvr ×=×

Remarcăm că membrul drept al ecuaţiei este momentul forţei rezultante în raport cu polul ales : M. Membrul stâng al ecuaţiei se poate prelucra după cum urmează :

( ) ( ) ( )vrvvvrvrvrvr ×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×−×=×

dtdm

dtdm

dtd

dtdm

dtdm

0

Masa fiind constantă, mai putem scrie (l este momentul cinetic al punctului material):

( ) ( )dtd

dtdm

dtd

dtdm lprvrvr =×=×=×

Înlocuind în ecuaţie, rezultă : Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un

punct material. Forma diferenţială. Ml=

dtd

Enunţul teoremei este :

În raport cu un anumit pol, viteza de variaţie a momentului ci-netic al unui punct material este numeric egală cu momentul forţei re-zultante care acţionează asupra sa.

Mai putem scrie :

( )dttd Ml = Relaţia se poate integra, obţinându-se :

Teorema variaţiei momentului cinetic pen-tru un punct material. Forma integrală. ( ) ( )∫∫ =∆⇒=−

2

1

2

1

2112

t

t,

t

t

dttdtt MlMll

În cursul unui proces şi în raport cu un anumit pol, variaţia momen-

tului cinetic al unui punct material este numeric egală cu integrala momen-tului forţei în raport timpul.

Trebuie remarcat că integrala momentului forţei în raport timpul este o mă-rime de proces la fel cum sunt impulsul forţei şi lucrul mecanic.

48

2.3.9.2. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un sistem de puncte materiale

Să luăm în discuţie cel mai simplu sistem de puncte materiale : cel din fi-gura alăturată. Asupra punctelor mate-riale ce alcătuiesc sistemul acţionează forţele externe Fe1, respectiv Fe2. Între cele două puncte materiale se exercită forţele interne de interacţiune F1,2, res-pectiv F2,1. Fiecăruia dintre cele două puncte materiale care alcătuiesc siste-mul i se poate aplica teorema momentu-lui cinetic :

Fe2F2,1 F1,2

O (pol)

r2 - r1

r2 r1

Fe1

21222

1211

,e

,e

2

11

212

121

FF

FF

,e

,e

dtddtd

rMMl

rMMl

=+=

=+=

FrF

FrF

×+×

×+×

Cele două relaţii se pot aduna : ( )

212121221121

,,eedtd FrFrFrFrll

×+×+×+×=+

Ce comentarii putem face ?

Mai întâi, forţele F1,2 şi F2,1 au calitatea de a fi în relaţia acţiune-reacţiune, fiind egale în modul, având aceeaşi direcţie şi sensuri opuse. Deci F1,2 = - F2,1.

Suma vectorială 2211 ee FrFr ×+× reprezintă rezultanta momentelor forţelor externe care acţionează asupra sistemului de puncte materiale : Me.

Suma vectorială l1 + l2 este o mărime de stare care caracterizează sistemul de puncte materiale, pe care convenim s-o numim momentul cinetic total al sistemului de puncte materiale şi s-o notăm cu l. Relaţia de mai sus devine :

( ) 2112 ,edtd FrrMl

×−+=

Vectorii (r2 – r1) şi F1,2 au direcţii paralele şi produsul lor vectorial este egal cu zero. Ne rămâne :

( ) 2112 ,Frr ×−

Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un sistem de puncte materiale. Forma diferenţială. edt

d Ml=

49

Enunţul teoremei este :

În raport cu un anumit pol, viteza de variaţie a momentului ci-netic total al unui sistem de puncte materiale este numeric egală cu re-zultanta momentelor forţelor externe care acţionează asupra compo-nentelor sistemului.

Sub formă integrală, obţinem :

Teorema variaţiei momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale. Forma integrală. ∫=∆

2

1

t

te dtMl

În cursul unui proces şi în raport cu un pol dat, variaţia mo-

mentului cinetic total al unui sistem de puncte materiale este numeric egală cu integrala în raport cu timpul a momentului rezultant al forţe-lor externe care acţionează asupra punctelor materiale ce constituie sistemul.

50

3. MECANICA RELATIVISTĂ

3.1. EXPERIENŢA LUI MICHELSON ŞI MORLEY

În secolul al XIX-lea, au avut o largă răspândire teoriile legate de eter. Ce este acest eter ? Fizicienii acelor vremuri considerau că lumina este un fenomen ondula-toriu, de natură nemecanică. Ştiindu-se că undele mecanice nu se pot propaga în ab-senţa unui mediu elastic, s-a făcut ipoteza că nici propagarea luminii nu poate fi con-cepută fără existenţa unui mediu „elastic” specific, care a fost denumit eter. Acest eter ar fi trebuit să ocupe întreg spaţiul cosmic, oferind posibilitatea ca lumina să că-lătorească de la stelele cele mai îndepărtate până la noi. Stelele, planetele şi alte cor-puri cosmice s-ar fi deplasat în interiorul unui „ocean” de eter ! Măsurătorile expe-rimentale arătau că viteza luminii în raport cu eterul are o valoare de aproape 300000 km/s. Faţă de o planetă oarecare, cum ar fi Pământul, viteza luminii ar fi trebuit să aibă o valoare care să depindă de viteza cu care acesta se deplasează în raport cu eterul. Prin urmare, o experienţă în care s-ar fi măsurat viteza lumi-nii faţă de Pământ ar fi oferit informaţii asupra vitezei cu care Pământul se de-plasează faţă de eter ! În concluzie :

Printr-o experienţă desfăşurată în afara cadrului mecanicii s-ar fi putut pune în evidenţă starea de mişcare a Pământului în raport cu eterul.

Considerând eterul imobil, printr-o experienţă de optică exista posibilita-tea de a măsura viteza absolută a Pământului.

Michelson şi Morley, doi fizicieni americani, au conceput o modalitate practică de măsurare a vitezei Pământului faţă de eter. Montajul experimental consta dintr-o sursă de lumină monocromatică, trei oglinzi (dintre care una semitransparentă) şi un dispozitiv interferenţial. Oglinda semitransparentă avea rolul de a scinda raza de lu-mină incidentă în alte două raze care să se propage pe direcţii perpendiculare între ele. Una dintre direcţii coincide cu direcţia de deplasării Pământului. Pe cele două di-recţii, la distanţe egale faţă de oglinda semitransparentă, se află situate celelalte două oglinzi, care au rolul de a inversa direcţia de propagare a luminii. În acest mod, cele două raze de lumină se reîntâlnesc în dreptul dispozitivului interferenţial. Studiul franjelor de interferenţă rezultate permite măsurarea decalajului de timp apărut la propagarea celor două raze de lumină. Decalajul de timp depinde de viteza Pământu-lui faţă de eter, iar cunoaşterea valorii sale permite calcularea acestei viteze.

51

Înainte de a face calcu-lele legate de experienţa lui Michelson şi Morley, să fa-cem o listă a mărimilor fizi-ce cunoscute cu certitudi-ne de către experimentatori:

viteza luminii faţă de eter c

distanţele l'x şi l'y par-curse de razele de lumină faţă de Pământ

diferenţa τ'x - τ'y din-tre intervalele de timp nece-sare propagării celor două raze de lumină, măsurată pe Pământ

Observăm că există o anumită nepotrivire : viteza luminii este cunoscută doar în raport cu eterul, pe când toate celelalte date sunt cunoscute doar în raport cu Pământul.

În mod analog, există o listă de mărimi care nu sunt cunoscute cu certitudine :

vitezele de propagare ale luminii faţă de Pământ : v'x1, v'x2, v'y1 şi v'y2 distanţele de propagare lx şi ly în raport cu eterul, respectiv diferenţa intervalelor

de timp τx - τy aşa cum ar fi măsurată din eter Vom face un calcul care să reflecte punctul de vedere al observatorului aflat în repaus faţă de eter. Pentru acesta, propagarea razei de lumină paralelă cu direcţia de deplasare a Pământului corespunde următoarei schiţe :

Analizând schiţa, determinăm relaţiile :

Viteza Pă-mântului

Poziţia oglinzilor la momentul iniţial

Poziţia oglinzilor la momentul τx1

Poziţia oglinzilor la momentul τx1+τx2

lx

lx

lx uτx1

cτx2

uτx2

cτx1

Drumul razelor de lumină

u

Sursă de lumină

Oglindă

Oglindă Oglindă semi-transparentă

Interferenţă

v'x1

v'x2

v'y1 v'y2

l'x

l'y

Viteza Pământului

-

Experienţa Michelson şi Morley

52

ucl

ulc xxxxx −=τ⇒τ+=τ 111

ucl

lcu xxxxx +=τ⇒=τ+τ 222

Intervalul de timp necesar propagării razei paralele cu direcţia de deplasare a Pămân-tului este :

22212

uccl

ucl

ucl xxx

xxx −=

++

−=τ+τ=τ

Iată acum schiţa drumului celeilalte raze de lumină :

Viteza Pă-mântului

Poziţia oglinzilor la momentul τy1+τy2

Poziţia oglinzilor la momentul τy1

u

Drumul razelor de lumină ly

uτy2uτy1

cτy2cτy1

Poziţia oglinzilor la momentul iniţial

Conform schiţei şi utilizând teorema lui Pitagora, obţinem :

( ) ( )2221

221

2221

uc

lulc y

yy,yy,y−

=τ=τ⇒τ+=τ

Intervalul de timp necesar propagării razei perpendiculare pe direcţia de deplasa-re a Pământului este :

22212

uc

l yyyy

−=τ+τ=τ

Prin urmare, diferenţa intervalelor de timp de propagare este :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=−

−−

=τ−τ yxyx

yx l

cu

l

ucuc

luc

cl

2

2222222

1

222

Acceptând afirmaţiile mecanicii clasice, după care aceleaşi intervalele de timp sau distanţe măsurate de observatori inerţiali diferiţi au valori egale, pu-tem introduce în această expresie valorile rezultate prin măsurătoarea făcută pe Pământ :

53

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=τ−τ yx

yx 'l

cu

'l

cuc

''

2

2

2

2

11

2

Pentru că razele de lumină parcurg distanţe de egale în dispozitivul experimental Michelson şi Morley, rezultă :

( )'l

''c

cu

cu

cu

cuc

'l'' yxyx 2

1

1

1

1

11

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

τ−τ=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=τ−τ

Această ultimă relaţie face posibilă calcularea vitezei Pământului faţă de eter, în fun-cţie de valorile măsurate ale decalajului temporal τ'x - τ'y şi parcursului razelor de lu-mină l' şi de viteza luminii în eter c.

Care a fost rezultatul experienţei ? Ei bine, a fost SENZAŢIONAL ! Măsurătorile au arătat cu certitudine, în limi-tele unor erori experimentale extrem de mici, că DECALAJUL TEMPORAL ÎNTRE CELE DOUĂ RAZE DE LUMINĂ NU EXISTĂ! Mai precis

τ'x - τ'y = 0 În acest caz, utilizând formula de calcul găsită anterior, re-zultă :

0=⇒ u11 2

2

=−cu

Cu alte cuvinte, PĂMÂNTUL NU SE DEPLASEAZĂ ÎN RAPORT CU ETERUL !!! Evident, UN ASEMENEA REZULTAT NU PUTEA FI ACCEPTAT ! Nu se poate crede că tocmai Pământul este singurul corp în repaus absolut din tot Universul !

Ce demonstrează aceste fapte ? Putem trage două concluzii :

Nici printr-o experienţă de optică nu se poate pune în evidenţă starea ab-solută de mişcare rectilinie uniformă sau de repaus a unui corp

Afirmaţia că „aceleaşi intervalele de timp sau distanţe măsurate de ob-servatori inerţiali diferiţi au valori egale” ar putea fi greşită ! Această afir-maţie este consecinţa transformărilor Galilei ceea ce înseamnă că ele pot fi eronate.

Ultima dintre concluzii este deosebit de importantă pentru că pune la îndoială în-

treaga mecanică clasică şi, odată cu ea, toate aserţiunile despre spaţiu şi timp care se acceptau ca fiind certe (!?).

54

3.2. TRANSFORMĂRILE DE COORDONATE ŞI TIMP LORENTZ – EINSTEIN

3.2.1. Consideraţii introductive

„Bănuiala” că transformările Galilei nu sunt corecte ne face să reconsiderăm modul în care se transformă coordonatele şi timpul la schimbarea sistemului de refe-rinţă.

Vom considera în cele ce urmează că există două sisteme de referinţă inerţiale : primul dintre ele este considerat în repaus al doilea se deplasează faţă de primul rectiliniu şi uniform cu viteza u axele de coordonate ale celor două sisteme de referinţă sunt paralele viteza u este paralelă cu axa Ox a primului sistem de referinţă şi orientată în

sensul pozitiv al acesteia Situaţia descrisă este reprezentată în schiţa alăturată. Un eveniment corespunde pentru observatorul O coordonatelor spaţio-temporale (x, y, z, t), iar pentru observatorul din O' coordonatelor spaţio-temporale (x', y', z', t').

În continuare, urmează să stabilim relaţii-le dintre coordonatele spaţio-temporale care corespund aceluiaşi eveniment pentru cei doi observatori.

Mai întâi, vom observa că datorită para-lelismului axelor de coordonate, coordonatele

pe axele Oy şi O'y', respectiv Oz şi O'z', sunt egale : 'yy =

x'u

y'

z'

x

y

O' O

t' t

z = z'

y = y'

'zz = Pentru că unui eveniment înregistrat în sistemul de referinţă O poate să-i cores-

pundă doar un singur eveniment înregistrat în sistemul de referinţă O', rezultă că rela-ţiile după care se transformă celelalte două coordonate trebuie să fie lineare :

ε+β+α= 't'xx ϕ+δ+γ= 't'xt

unde α, β, γ, δ, ε şi ϕ sunt coeficienţi reali, constanţi, care pot să depindă doar de vi-teza relativă u a celor două sisteme de referinţă.

vom face convenţia că la momentul iniţial de timp originile celor două sisteme de referinţă coincid. Aceasta înseamnă că :

55

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

00

00

't'x

tx

Înlocuind în relaţiile care dau transformarea de coordonate, rezultă : 0=ε 0=ϕ

Ne rămân relaţiile : 't'xx β+α= 't'xt δ+γ=

3.2.2. Aplicarea principiului relativităţii

Principiul relativităţii galileene afirma că prin nici-o experienţă de mecanică nu putem pune în evi-denţă starea de mişcare absolută a unui sistem de re-ferinţă inerţial. Experienţa lui Michelson şi Morley a arătat că nici printr-o experienţă de optică acest lucru nu este posibil. Albert Einstein (1879-1955) a fost

acela care, luând act de această realitate, a văzut în rezultatul experienţei lui Michelson şi Morley manifestarea unui principiu al fizicii, numit principiul relativi-tăţii restrânse. Conform acestuia :

Cuvinte cheie Principiul relativităţii restrân-

se.

PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII RESTRÂNSE

LEGILE FIZICII AU ACEEAŞI FORMĂ ÎN TOATE SISTE-MELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE.

Principiul relativităţii restrânse fiind un principiu general al fizicii trebuie să fie respectat şi în cazul transformărilor de coordonate şi de timp.

Vom examina în continuare consecinţele sale în privinţa acestor transformări.

t1' O' O

x1 = u t1

y

x

x1' = 0

y'

u

să considerăm evenimentul 1 care pen-

tru observatorul din O' are loc la momentul t'1 chiar în originea O' (adică în punctul de coor-donată x'1 = 0). x1 acest eveniment are pentru observatorul din O coordonatele x1 şi t1 t1

56

deoarece la momentul iniţial originile sistemelor de referinţă coincid, la mo-mentul t1 originea sistemului O' trebuie să ocupe poziţia :

11 tux = introducând aceste valori în relaţiile de transformare :

't'xt't'xx

δ+γ=β+α=

Rezultă :

11

11

'tt'tut

δ=β=

să considerăm acum evenimentul 2 care pentru observatorul din O are loc la momentul t2 chiar în originea O (adică în punctul de co-ordonată x2 = 0).

acest eveniment are pentru observatorul din O coordonatele x'2 şi t'2

deoarece la momentul iniţial originile sistemelor de referinţă coincid, la momentul t'2 originea sistemului O trebuie să ocupe po-ziţia :

22 't'u'x −=− (viteza şi coordonata x'2 sunt negative pentru

că, relativ la observatorul O', mişcarea are loc în sens contrar).

t'2

x'2

y

x2 = 0 x

O' O

t2

x'2 = -u't'2

y'

-u' x'

introducând aceste valori în relaţiile de transformare, obţinem : ( )( ) 222

220't't'ut't't'u

δ+−γ=β+−α=

este momentul să folosim principiul relativităţii restrânse :

Nici-un observator nu este îndreptăţit să afirme că viteza cu care el îl vede deplasându-se pe celălalt observator este mai mare decât viteza de deplasare pe care i-ar atribui-o lui celălalt observator

'uu =

Dacă evenimentele 1 şi 2 corespund aceleiaşi stări în care se află sistemele de referinţă, nici-un observator nu este îndreptăţit să afirme că intervalul de timp în care el îl vede deplasându-se pe celălalt observator este mai mare decât interva-lul de timp de deplasare pe care i l-ar atribui lui celălalt observator

12

21

'tt'tt

==

Avem în acest moment şapte relaţii :

57

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

δ+−γ=β+−α=

δ=β=

12

21

222

22

11

11

0

'tt'tt'uu

't't'ut't't'u

'tt'tut

Eliminând u', t'1 şi t'2, ne rămâne :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

δ+γ−=β+α−=

δ=β=

112

11

21

21

0tutttut

tttut

Eliminând şi pe t1, obţinem :

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

δ+γ−δ=β+α−δ=

β=δ

22

2

22

0tuttu

ttu

Momentul de timp t2 fiind arbitrar, rezultă :

u

u

α−α

=γ

α=δα=β

12

Relaţiile de transformare ale coordonatei x şi momentului de timp t devin : ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−α

+α=

+α=

'xu

'tt

'ut'xx

2

2 1

Să presupunem că viteza relativă are o valoare foarte mică : u → 0. În aceste condiţii, factorul

u2

2 1α−α

trebuie să se anuleze pentru că t → t’. A) O primă soluţie ar fi chiar :

1012

2

=α⇒=α−αu

În acest caz se obţin transformările de coordonate ale lui Galilei : 'tu'xx +=

'tt =

58

Se observă că alegerea α = 1 corespunde afirmaţiei din mecanica clasică pre-cum că timpul se scurge la fel pentru toţi observatorii inerţiali. Această afirmaţie are putere de principiu al mecanicii clasice, fiind cunoscută sub numele de prin-cipiul simultaneităţii.

B) A doua soluţie, cea pe care o căutăm ca alternativă la transformările Galilei, este :

( )22

2 1uu

u ξ=

α−α

unde ξ(u)2 este o funcţie pozitivă de viteza u, finită în u = 0. Rezultă :

( )( )2

22

222

1

11

uuu

u

ξ−

=α⇒ξ

α=−α

Transformările de coordonate capătă forma finală :

( )22

1uu'ut'xx

ξ−

+=

( )

( )22

2

1u

u

'xuu't

t

ξ−

ξ+

=

Aceste relaţii au următoarea proprietate :

( ) ( ) ( ) ( )22222222222 'ttu'xx'tu'xtux −ξ=−⇒ξ−=ξ− Considerând şi un al treilea sistem de referinţă inerţial care se deplasează tot pa-

ralel cu axa Ox, cu viteza U, putem scrie : ( ) ( )22222 "ttU"xx −ζ=−

Scăzând cele două relaţii, se obţine : ( ) ( )( ) ( ) ( ) 222222222 "tU'tutuU"x'x ζ−ξ+ξ−ζ=−

Cum rezultatul nu poate depinde de t, rezultă : ( ) ( ) universală constantă==ζ=ξ CUu

Rezultă :

2

2

1

1

Cu

−

=α

astfel încât transformările de coordonate capătă forma finală :

59

2

2

1Cu'ut'xx

−

+=

2

2

2

1Cu

'xCu't

t−

+=

Extrem de interesant este faptul că principiul relativităţii relevă existenţa unei constante fizice universale, cu dimensiuni de viteză : C.

Caracterul universal al constantei C ne arată că toţi observatorii inerţiali dis-pun de acelaşi etalon de determinare a lungimilor prin măsurători de timp !

3.2.3. Principiul invarianţei vitezei luminii în vid Să ne reamintim relaţia care oferă diferenţa dintre intervalele de timp necesare

razelor de lumină pentru a parcurge drumurile dus-întors în dispozitivul Michelson :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=τ−τ yx

yx l

cu

l

uc2

222

1

2

unde τx şi τy sunt intervalele de timp măsurate de observatorul din eter, iar lx şi ly sunt distanţele între oglinzi măsurate de acelaşi observator. Notând cu t0 momentul plecă-rii razelor de lumină şi cu tx, respectiv ty, momentele reîntoarcerii lor, putem scrie :

( ) ( ) yxyxyx tttttt −=−−−=τ−τ 00 Pentru a determina valoarea acestei expresii, trebuie să ne bazăm pe rezultatele obţi-nute de observatorul de pe Pământ. Acesta are coordonata x' şi măsoară timpii t'x şi t'y. Necunoscând încă valoarea coeficientului α, putem scrie :

( ) ( yxyxyxyx '''t't'xu

't'xu

'ttt τ−τα=−α=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−α

+α−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−α

+α=− 2

2

2

2 11 ) Intervalele de timp τ'x şi τ'y măsurate pe Pământ sunt egale (τ'x - τ'y = 0) concluzia acestor relaţii fiind că intervalele de timp τx şi τy sunt egale şi pentru observatorul din eter. În aceste condiţii, rezultă :

2

2

1cull yx −=

deci pentru observatorul din eter distanţele dintre oglinzi nu sunt egale, chiar dacă aceste distanţe sunt egale pentru observatorul de pe Pământ ! Distanţa lx re-prezintă diferenţa dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcţia de mişcare a Pămân-tului x + lx şi oglinzii semitransparente x, măsurate la acelaşi moment de timp t de observatorul din eter. Distanţa l'x reprezintă diferenţa dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcţia de mişcare a Pământului x' + l'x şi oglinzii semitransparente x', mă-

60

surate de observatorul de pe Pământ. Momentul de timp t corespunde momentelor de timp t'1 în cazul oglinzii semitransparente, respectiv t'2 în cazul celeilalte oglinzi. Re-zultă relaţiile :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−α

+α=+α= 'xu

'tt,'ut'xx 2

2

111

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−α

+α−α

+α=++α=+ xxx 'lu

'xu

'tt,'ut'l'xlx 2

2

2

2

2211

De aici obţinem : ( )12 't'tu'll xx −α+α=

x'lu't't 2

2

121

α−α

−=−

sau :

xxxx 'l'l'llα

=α−α

−α=112

Distanţa ly reprezintă diferenţa dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcţia perpen-diculară direcţiei de mişcare a Pământului y + ly şi oglinzii semitransparente y, măsu-rate de observatorul din eter. Distanţa l'y reprezintă diferenţa dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcţia perpendiculară direcţiei de mişcare a Pământului y' + l'y şi oglinzii semitransparente y', măsurate de observatorul de pe Pământ. Rezultă relaţiile

'yy = yy 'l'yly +=+

sau : yy 'll =

Relaţia

2

2

1cull yx −=

devine

2

2

11cu'l'l yx −=

α

iar cum l'x şi l'y sunt egale, rezultă :

cC

cu

Cu

cu

=⇒

−

=

−

⇒

−

=α

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

Constanta universală cu dimensiune de viteză C este egală chiar cu viteza luminii în eter c.

61

Înlocuind constanta C prin viteza luminii, relaţiile de transformare ale coordona-telor devin :

2

2

2

2

2

1

1

cu

'xcu't

t

'zz'yycu

'ut'xx

−

+=

==

−

+=

Aceste relaţii sunt cunoscute sub

numele de grupul de transformări de co-ordonate Lorentz-Einstein.

Prima remarcă care se poate face în legătură cu

transformările de coordonate Lorentz-Einstein este aceea că, spre deosebire de mecanica clasică, timpul nu se mai scurge la fel pentru cei doi observatori inerţiali. În consecinţă principiul simultaneităţii nu mai este va-labil şi ar trebui înlocuit printr-un alt principiu.

Cuvinte cheie Transformările de coordonate

Lorentz-Einstein Principiul invarianţei vitezei

luminii în vid

Grupul de transformări de coordonate Lorentz-Einstein

A doua remarcă este aceea că transformările de coordonate ale lui Galilei repre-zintă o aproximare a transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein, valabilă în con-diţiile în care u/c → 0. Este momentul unui ultim cuvânt despre eter. Această noţiune a fost des aminti-tă în paginile anterioare. Am folosit-o doar din raţiuni istorice, pentru că toată discu-ţia de la începutul secolului al XX-lea care a condus la formularea teoriei relativităţii restrânse s-a centrat în jurul ei. În realitate, eterul nu există. Nu este nevoie de nici-un mediu special care să permită propagarea luminii prin spaţiul cosmic. Descoperi-rea ecuaţiilor lui Maxwell şi, pe baza lor, a ecuaţiei propagării undelor electromagne-tice au condus la concluzia că lumina este o undă electromagnetică şi se poate propa-ga în vid, adică într-un spaţiu care nu conţine substanţă. Mai mult, sensul fizic care se poate atribui transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein este acela că ele au pro-prietatea de a face invariantă ecuaţia undelor electromagnetice la schimbarea sistemu-lui de referinţă inerţial. „Viteza luminii faţă de eter” despre care se vorbea reprezintă de fapt viteza luminii în vid. Einstein a fost acela care analizând experienţa lui Michelson şi Morley a remar-cat primul că viteza luminii în vid ar trebui să fie o constantă universală având ace-eaşi valoare pentru toţi observatorii inerţiali. Astfel, el impune un nou principiu, me-

62

nit să înlocuiască principiul simultaneităţii. Acest nou principiu se numeşte : princi-piul invarianţei vitezei luminii în vid.

PRINCIPIUL INVARIANŢEI VITEZEI LUMINII ÎN VID

VITEZA LUMINII ÎN VID ARE ACEEAŞI VALOARE PEN-TRU TOŢI OBSERVATORII INERŢIALI.

Astfel, dacă mecanica clasică este fondată pe principiul relativităţii galileene şi pe principiul simultaneităţii, mecanica relativistă este fondată pe principiul relativităţii restrânse şi pe principiul invarianţei vitezei luminii în vid.

3.3. CONSECINŢE CINEMATICE ALE TRANSFORMĂRILOR LORENTZ-EINSTEIN

3.3.1. Contracţia lungimilor

Fie observatorii inerţiali O şi O'. Observa-torul O' se deplasează cu viteza constantă u, ori-entată paralel cu axele Ox, respectiv O'x'. În re-ferenţialul O' se află o bară imobilă, de lungime

12 'x'x'l x −= Ne punem întrebarea: ce lungime are bara pentru observatorul O ?

Pentru a determina lungimea barei, observatorul O trebuie să cunoască la acelaşi moment de timp coordonatele ex-tremităţilor barei.

O'

x1'

t1' t2'

x2'

y'

u O

y

x x1 x2

t t

Stabilirea celor două coordonate formează un cuplu de evenimente: (x1, t), res-pectiv (x2, t). Celor două evenimente din referenţialul O le corespund evenimentele (x'1, t'1) şi (x'2, t'2) în referenţialul O'. Conform relaţiilor de transformare de coordona-te Lorentz-Einstein, putem scrie :

63

2

2

121

2

211

1

11cu

'xcu't

t,

cu

'ut'xx

−

+=

−

+=

2

2

222

2

222

2

11cu

'xcu't

t,

cu

'ut'xx

−

+=

−

+=

Lungimea barei faţă de observatorul O este : ( )

2

21212

12

1cu

't'tu'x'xxxlx

−

−+−=−=

Egalând ecuaţiile de transformare ale timpului, rezultă :

( )12212222121 'x'xcu't't'x

cu't'x

cu't −−=−⇒+=+

Substituind diferenţa momentelor de timp în ecuaţia lungimii barei, obţinem :

( ) ( )( ) 2

2

12

2

2

122

2

12

12 1

1cu'x'x

cu

'x'xcu'x'x

xxlx −−=

−

−−−=−=

sau :

2

2

1cu'll xx −=

Deoarece radicalul din această expresie este subuni-tar, rezultă că lungimea lx este mai mică decât lungi-

mea l'x.

Cuvinte cheie Contracţia lungimilor paralele

cu direcţia de mişcare

În concluzie :

Măsurarea lungimii segmentelor de dreaptă paralele cu direcţia deplasării relative oferă întotdeauna valori mai mici observatorului aflat în mişcare faţă de ele decât observatorului aflat în repaus.

Cu definiţia :

Sistemul de referinţă propriu este sistemul de referinţă în care corpul studiat este în repaus,

putem enunţa această consecinţă a relaţiilor de transformare ale coordonatelor şi ast-fel :

64

Lungimile longitudinale au valori maxime în sistemul de referinţă pro-priu.

Această micşorare a lungimilor longitudinale este cunoscută şi sub numele de

contracţia Lorentz. Acest nume se datorează faptului că fizicianul H. A. Lorentz a încercat să explice rezultatul experienţei lui Michelson şi Morley ca fiind consecinţa apariţiei unei contracţii a lungimilor pe direcţia de mişcare a Pământului.

Dacă bara ar fi aşezată paralel cu axa Oy (sau Oz) atunci lungimea măsurată de obser-vatorul O este :

y2 t t y1

y2' t2' t1'

O'

y1'

y'

u O

y

12 yyl y −= Utilizând relaţiile de transformare ale coordo-natelor, obţinem :

12 'y'yl y −= x sau :

yy 'll = În concluzie :

Lungimile transversale îşi păstrează valoarea în toate sistemele de referin-ţă inerţiale.

Concluzia finală este că :

Spre deosebire de mecanica clasică, din cauza contracţiei Lorentz, distan-ţa dintre două puncte nu este invariantă la schimbarea referenţialului.

3.3.2. Dilatarea timpului

Fie observatorii inerţiali O şi O'. Observatorul O' se deplasea-ză cu viteza constantă u, orientată paralel cu axele Ox, respectiv O'x'. În referenţialul O', într-un punct de coordonată x', se desfăşoară un proces fizic care începe la momen-tul t'1 şi sfârşeşte la momentul t'2. Evenimentele corespunzătoare în sistemul de referinţă O sunt (x1, t1)

şi (x2, t2). Conform relaţiilor de transformare ale coordonatelor, putem scrie :

x' t2' O'

y'

u t1' O'

x'

y'

u

x2x1

O

y

x t1 t2

65

2

2

21

1

1cu

'xcu't

t

−

+=

2

2

22

2

1cu

'xcu't

t

−

+=

Durata procesului pentru observatorul din O este τ = t2 - t1, iar durata aceluiaşi proces are valoarea τ' = t'2 - t'1 pentru observatorul din O'. Rezultă :

2

2

2

212

12

11cu

'

cu

't'ttt

−

τ=

−

−=−=τ

Deoarece radicalul din această expresie este subuni-tar, rezultă că durata τ este mai mare decât durata τ'. În concluzie :

Măsurarea duratelor unor procese fizice oferă întotdeauna valori mai mari observatorului aflat în mişcare decât observatorului aflat în repaus în raport cu locul în care se desfăşoară procesul.

Utilizând noţiunea de sistem de referinţă propriu, putem enunţa această consecinţă a relaţiilor de transformare ale coordonatelor şi astfel :

Duratele măsurate în sistemul propriu de referinţă sunt întotdeauna mai mici decât duratele corespunzătoare măsurate într-un sistem de referinţă inerţial aflat în mişcare.

Putem spune că duratele „se dilată” pentru observatorul aflat în mişcare, ceea ce vine din nou în contradicţie cu mecanica clasică.

3.3.3. Compunerea relativistă a vitezelor

Cuvinte cheie Dilatarea timpului

Cuvinte cheie Compunerea vitezelor în me-

canica relativistă

Fie observatorii inerţiali O şi O'. Observatorul O' se deplasează cu viteza constantă u, orientată pa-ralel cu axele Ox, respectiv O'x'. În referenţialul O' se găseşte un mobil care se deplasează cu viteza v' faţă de observatorul din O'. Acelaşi mobil are faţă de

66

observatorul din O viteza v. Ne propunem să găsim relaţiile între componentele vite-zei în cele două sisteme de referinţă. Putem scrie :

'dt'dx

cu

u'dt'dx

'dxcu'dt

'dtu'dx

cu

'xcu't

d

cu

'ut'xd

dtdxvx

22

2

2

2

2

2

1

1

1

+

+=

+

+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

==

Deci :

21c

'uvu'vv

x

xx

+

+=

De asemenea :

( )

'dt'dx

cu

cu

'dt'dx

'dxcu'dt

cu'dy

cu

'xcu't

d

'yddtdyvy

2

2

2

2

2

2

2

2

21

11

1

+

−=

+

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+

==

sau :

2

2

2

1

1

c'uvcu'v

vx

y

y

+

−=

Analog :

2

2

2

1

1

c'uvcu'v

vx

z

z

+

−=

Pătratul modulului vitezei se poate calcula astfel :

( )( )

2

2

2

222

2

2

22222

1

1

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=++=

c'uv

cu'v'v

c'uvu'v

vvvvx

zy

x

xzyx

67

Putem prelucra expresia astfel :

2

2

2

22

2

2

2

2222

2

1

1

1

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++

=

c'uv

cu'v

c'uv

cu'vuu'v'v

vxx

xxx

2

2

2

22

2

2

2224

222

2

2

2

22

2

2

22

22

2

1

1

1

12

1

1

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++=

c'uv

cu'v

c'uv

ucc

u'vc

'vuc

c'uv

cu'v

c'uv

uu'vc

'vu

vxx

xx

xx

xx

În final, expresia pătratului modului vitezei devine :

2

2

2

2

2

22

22

1

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

c'uv

cu

c'vc

cvx

Analiza acestei formule ne permite să constatăm o proprietate foarte interesantă a grupului de transformări de coordonate Lorentz-Einstein, care vine din nou în con-tradicţie cu afirmaţiile mecanicii clasice. Conform relaţiilor de compunere a vitezelor din mecanica clasică, există posibilitatea ca un corp să se deplaseze faţă de un obser-vator cu o viteză mai mare decât aceea a luminii, chiar dacă în raport cu un alt obser-vator viteza corpului nu depăşeşte viteza luminii (de exemplu, dacă corpul se depla-sează după axa Ox cu viteza v’ = 0,75 c faţă de observatorul O’, iar viteza relativă a referenţialelor este u = 0,75 c, viteza faţă de observatorul O este v = 0,75 c + 0,75 c = 1,5 c). În cazul transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein viteza corpului în raport cu observatorul O nu poate depăşi viteza luminii (un calcul simplu, refe-ritor la exemplul precedent, ne oferă valoarea v = 0,94 c). Rezultă că :

Faţă de nici-un sistem de referinţă inerţial, un corp material nu se poate deplasa cu viteză mai mare decât viteza luminii.

3.3.4. Invarianţa intervalului de lungime spaţio-temporal

Cantitatea

222222 dtcdzdydxds −++=

68

se numeşte pătratul elementului de lungime spaţio-temporal. Conform relaţiilor de transformare ale coordonatelor şi timpului din mecanica relativistă, obţinem :

( )

2

2

2

2222

2

2

22

11cu

'dxcu'dt

c'dz'dy

cu

'udt'dxds−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++−

+=

sau : 2222222 'ds'dtc'dz'dy'dxds =−++=

În concluzie :

Mărimea elementului de lungime spaţio-temporal este invariantă la transformarea de coordonate Lorentz-Einstein.

Cuvinte cheie Invarianţa intervalului de lun-

gime spaţio-temporal

Şi această caracteristică vine în contradicţie cu afirmaţiile mecanicii clasice. Astfel, în mecanica cla-sică, există două cantităţi invariante: intervalul spaţi-al ds2 = dx2 + dy2 + dz2 şi intervalul temporal dt.

3.4. CONSECINŢE DINAMICE ALE TRANSFORMĂRILOR DE COORDONATE

LORENTZ-EINSTEIN Legile mecanicii clasice – principiile dinamicii sau teoremele derivate din aces-

tea – aveau calitatea de a fi invariante la transformarea galileană de coordonate, res-pectând astfel principiul relativităţii galileene şi principiul simultaneităţii. Înlocuirea principiului simultaneităţii cu principiul invarianţei vitezei luminii are drept consecin-ţă şi faptul că ecuaţiile care exprimă legile mecanicii clasice nu mai sunt valabile în mecanica relativistă. De exemplu, principiul fundamental al dinamicii vine în contradicţie cu faptul că un corp nu se poate deplasa cu viteză supraluminoasă în raport cu nici-un observator inerţial. Iată de ce : în mecanica clasică acţiunea unei forţe constante are drept consecinţă imprimarea unei acceleraţii constante, iar mişcarea cu acceleraţie constantă, întreţinută un timp suficient de lung, permite atin-gerea unei viteze arbitrar de mari, care ar putea depăşi viteza luminii.

Acestea fiind spuse, ce putem face pentru a găsi legile valabile în mecanica relativistă ? Analiza lucidă a faptelor ne spune că legile mecanicii clasice derivă din studiul experimental al fenomenelor mecanice şi, prin urmare, ele reprezintă aproxi-maţii convenabile (în condiţiile experimentale date) ale unor legi mai generale, care sunt legile mecanicii relativiste. Specificul condiţiilor experimentale uzuale este

69

acela că vitezele de deplasare ale corpurilor studiate au valori extrem de mici în comparaţie cu viteza luminii. Putem concluziona că :

Legile mecanicii clasice sunt valabile în cazul fenomenelor caracterizate prin deplasări care se fac cu viteze mult mai mici decât viteza luminii

Pe de altă parte, legile mecanicii relativiste trebuie să se supună principiului relativităţii restrânse şi trebuie să fie în consecinţă invariante la transformările de coordonate Lorentz-Einstein. Concluzia pe care o extragem de aici este aceea că

Expresiile matematice ale legilor fundamentale ale mecanicii relativiste sunt invariante la transformările de coordonate Lorentz-Einstein.

Utilizând aceste afirmaţii, putem elabora o strategie de lucru care să ne per-mită generalizarea legilor mecanicii clasice pentru a le face valabile în cadrul re-lativităţii restrânse : considerăm legile clasice valabile într-un sistem de refe-rinţă în care deplasările se fac cu viteze foarte mici în comparaţie cu viteza luminii şi apoi extrapolăm rezultatele, utilizând transformările de coordo-nate Lorentz-Einstein, astfel încât să reflecte punctul de vedere al unui ob-servator pentru care vitezele de deplasare ar fi comparabile cu viteza lumi-nii.

3.4.1. Transformarea impulsului şi energiei Două dintre teoremele mecanicii clasice sunt : Teorema variaţiei impulsului :

Fp=

dtd

Teorema variaţiei energiei cinetice :

vF ⋅=dt

dW

Eliminând forţa între cele două relaţii, obţinem :

dtd

dtd

dtdW

dtd

dtdW rpvp

⋅=⇔⋅=

sau : dzdpdydpdxdpdtdW zyx ++=

Vom considera că această expresie este o lege fundamentală a mecanicii clasice şi vom impune ca ea să fie invariantă la transformarea de coordonate Lorentz-Einstein. Cu alte cuvinte, într-un sistem de referinţă inerţial O’ trebuie să fie valabilă relaţia :

70

'dz'dp'dy'dp'dx'dp'dt'dW zyx ++= Conform relaţiilor de transformare de coordonate :

2

2

2

2

2

11cu

'dxcu'dt

dt;'dzdz;'dydy;

cu

'dtu'dxdx−

+===

−

+=

Înlocuind în expresia anterioară, obţinem :

'dzdp'dydp

cu

'dtu'dxdp

cu

'dxcu'dt

dW zyx ++

−

+=

−

+

2

2

2

2

2

11

Regrupând termenii, obţinem :

'dzdp'dydp'dx

cu

dWcudp

'dt

cudpudW

zy

xx ++

−

−=

−

−

2

2

2

2

2

11

Comparând expresiile valabile în sistemul iner-ţial O’, găsim următoarele relaţii care exprimă transformarea variaţiilor de impuls şi energie în me-canica relativistă :

Cuvinte cheie Transformarea impulsului şi

energiei în mecanica relativis-tă

2

2

2

1cu

cudp

'dpx

x

−

−=

dW

yy dp'dp =

zz dp'dp =

2

2

1cudpudW'dW x

−

−=

unde u este viteza relativă a sistemului inerţial O’ în raport cu referenţialul O. Prin integrarea expresiilor obţinute găsim relaţiile de transformare ale impulsului şi energiei în mecanica relativistă :

2

2

2

2

2

11cupuW'W;p'p;p'p;

cu

Wcup

'p xzzyy

x

x

−

−===

−

−=

71

3.4.2. Relaţia între impuls şi energie, invarianţa acesteia la transformarea de coordonate Lorentz-

Einstein

Să calculăm expresia . Avem : 222 'W'pc −2

2

2

2222

2

2

2

222222222

11 ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=−++

cu

puWpcpc

cu

Wcup

c'W'pc'pc'pc xzy

x

zyx

sau :

2222

2

2

22222

222

222

1

22zy

xxxxpcpc

cu

puWupWWcuWuppc

'W'pc ++−

−+−+−=−

sau :

2222222

2

2

2

22

2

222

222

1

11Wpcpcpc

cu

cuW

cupc

'W'pc zy

x

−=++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

În mecanica relativistă cantitatea c2p2 – W 2 este invariantă la transforma-rea de coordonate Lorentz-Einstein. În particular, în sistemul de referinţă propriu unde impulsul p0 este nul, această cantitate are valoarea –W0

2. Deci : 2

022

0222 1 WW

cpWWpc −=⇒−=−

Cuvinte cheie Relaţia de legătură între im-pulsul şi energia unui corp în

dinamica relativistă

Această ultimă relaţie exprimă legătura între impulsul şi energia unui corp în dinamica relati-vistă. Se poate remarca în primul rând că formula din mecanica relativistă este complet diferită de aceea din mecanica clasică, unde

mWpmvW;mvp 22

2

=⇒==

O a doua remarcă poate fi aceea că impulsul relativist depinde de energia corpului în repaus W0 (adică energia corpului în sistemul propriu de referinţă). Aceasta este o altă deosebire faţă de mecanica clasică, în care corpul în repaus nu posedă energie.

72

3.4.3. Energia de repaus, relaţia lui Einstein din-tre masă şi energie, alte relaţii ale dinamicii rela-

tiviste

Să considerăm trei sisteme de referinţă:

Sistemul O0 în care corpul de masă m0 este în repaus. Energia cor-pului în acest referenţial este W0.

Sistemul O’ faţă de care corpul se deplasează cu viteza v0, viteză mult mai mică decât viteza luminii.

Sistemul O faţă de care siste-mul O’ se deplasează cu o viteză

comparabilă cu viteza luminii.

m0 v0

OO’ u

O0

Pentru că viteza de deplasare a corpului în raport cu O’ este mică, în acest re-ferenţial sunt valabile legile mecanicii clasice.

Exprimând impulsul corpului ca în mecanica clasică şi introducând în relaţia relati-vistă, obţinem :

( )( )002

02

0011 WWWWc

WWc

vm +−=−=

Termenul W – W0 reprezintă diferenţa dintre energia corpului în stare de miş-care şi energia corpului în stare de repaus. Dar, această diferenţă este tocmai energia cinetică a corpului faţă de observatorul O’!

Înlocuind în expresie cu formula clasică a energiei cinetice, obţinem :

( ) 2000

200

00 22

1 cmWWWWvmc

vm =+⇒+=

Observând că suma W + W0 este proporţională cu c2, iar diferenţa W - W0 este propor-ţională doar cu v0

2 (deci mult mai mică decât suma), rezultă că termenii W şi W0 au valori apropiate, practic egale. În concluzie, obţinem ecuaţia :

200 cmW =

În dinamica relativistă orice corp aflat în re-paus posedă o cantitate de energie, denumită energie de repaus, proporţională cu masa (mai precis, cu masa de repaus m0) şi cu pătratul vi-tezei luminii.

Cuvinte cheie Relaţia dintre masă şi energie

în teoria relativităţii Masa de mişcare Energia cinetică

Expresia impulsului

73

Să găsim în continuare expresiile componentelor impulsului corpului pentru ob-servatorul din O. Vom afla mai întâi viteza corpului faţă de observatorul din O. Utili-zăm relaţia de compunere ale vitezelor :

2

20

2

2

2

202

22

1

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

cuv

cu

cvc

cvx

În ipoteza v0 << c 2

2

2222 1 u

cuccv =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≅

iar componentele vitezei v sunt :

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−≅+

−=

−≅+

−=

+≅+

+=

2

2

0

20

2

2

0

2

2

0

20

2

2

0

0

20

0

11

1

11

1

1

cvv

cuv

cuv

v

cvv

cuv

cuv

v

vu

cuvvuv

zx

z

z

yx

y

y

xx

xx

Conform relaţiilor de transformare ale componentelor impulsului, avem :

2

2

2

1cu

'Wcu'p

px

x

−

+=

Dar p’x = m0v0x şi W’ = m0c2, astfel încât

( )xx

xx

x mvv

cv

m

cvvum

cu

cmcuvm

p =⋅

−

=

−

+=

−

+=

2

20

2

200

2

2

20200

111

unde am făcut notaţia

2

20

1cv

mm−

=

Această relaţie defineşte aşa numita masă de mişcare m.

74

Masa de mişcare este o mărime care depinde de viteza de deplasare a corpu-lui. Valoarea masei de mişcare creşte la creşterea vitezei de deplasare a corpului considerat. Masa de mişcare tinde către o valoare infinită atunci când viteza cor-pului se apropie de viteza luminii.

Continuând exprimarea componentelor impulsului, obţinem

yy

yyy mv

cv

vmvm'pp =

−

===

2

2000

1

zz

zzz mv

cv

vmvm'pp =

−

===

2

2000

1

Relaţia dintre componentele impulsului şi componentele vitezei are aceeaşi formă în mecanica relativistă ca şi în mecanica clasică, cu deosebirea că în for-mula relativistă apare masa de mişcare, iar în aceea clasică masa de repaus.

Energia se transformă după relaţia

2

2

20

2

200

20

2

2

111cv

cm

cu

vumcm

cu

'up'WW xx

−

≅

−

+=

−

+=

sau 2mcW =

În teoria relativităţii, energia totală a unui corp în mişcare este proporţională cu masa de mişcare a corpului şi cu pătratul vitezei luminii în vid.

Relaţia W = mc2 poate fi interpretată ca o relaţie de echivalenţă între masă şi energie. Potrivit ei, este posibilă transformarea masei (substanţei) în energie (câmp) şi reciproc.

Definind energia cinetică ca fiind mărimea fizică numeric egală cu

diferenţa dintre energia corpului în mişcare şi energia corpului în repaus, găsim formula energiei cinetice în teoria relativităţii restrânse :

20

2 cmmcWWWc −=−= Şi expresia energiei cinetice este profund diferită de aceea din mecanica clasică ! Să încheiem expunerea privind noţiunile de dinamică relativistă cu câteva consi-deraţii despre forţă.

75

În dinamica relativistă relaţia de definiţie a forţei este : dtdpF =

Relaţia este asemănătoare aceleia din mecanica clasică, dar există o mare diferenţă: masa cuprinsă în expresia impulsului poate varia şi ea în timp. Din acest motiv expresia clasică F = ma nu mai este valabilă şi în teoria relativităţii. De exemplu, considerând un corp în deplasare de-a lungul axei Ox, aflat sub acţiunea unei forţe paralele cu aceeaşi axă, putem scrie :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

==dt

dv

cv

cv

vmdt

dv

cv

m

cv

vmdtd

dtdpF x

x

x

xx

xx

xxx

23

2

2

2

0

2

20

2

20

1

2

21

11

sau :

2

223

2

2

0

2

2

2

2

2

20

11

11

1 cv

ma

cv

am

cv

cv

dtdv

cv

mFx

x

x

x

x

x

x

xx

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

=

De aici :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 2

2

23

2

2

01

1

cv

mF

cv

mFa xx

x

xx

Examinând această expresie, putem constata că :

Expresia clasică a acceleraţiei (a = F/m) nu mai este valabilă nici măcar dacă folosim în locul masei de repaus masa de mişcare

În cazul unei forţe constante, acceleraţia descreşte foarte mult pe măsură ce viteza corpului se apropie de viteza luminii, anulându-se dacă viteza luminii ar fi atinsă. Aceasta explică de ce, sub acţiunea unei forţe constante oricât de mari, viteza corpului nu poate depăşi viteza luminii.

76

4. OSCILAŢII MECANICE

4.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Există situaţii în care parametrii care descriu un sistem mecanic iau succesiv valori care variază al-ternativ în jurul valorilor care caracterizează sistemul mecanic aflat în stare de echilibru. Spunem în acest caz că sistemul efectuează oscilaţii mecanice. Stările prin care trece sistemul mecanic se pot repeta sau nu identic în timp.

Cuvinte cheie Oscilaţii mecanice Oscilaţii periodice Perioada oscilaţiei Oscilaţii armonice

În cazul în care parametrii ce caracterizează sistemul mecanic iau

valori egale după intervale de timp egale, oscilaţia se numeşte oscilaţie pe-riodică, iar intervalul de timp caracteristic acesteia se numeşte perioada oscilaţiei şi se notează cu T.

Mişcările oscilatorii de tipul ( ϕ+ω )= tsinAx sau

( )ϕ+ω= tcosAx se numesc oscilaţii armonice. Parametrii care intervin în expresie au următoarele semnificaţii: x – elongaţia oscilaţiei, A – amplitu-dinea oscilaţiei, ω - pulsaţia oscilaţiei, ϕ - faza iniţială a oscilaţiei, Φ = ωt + ϕ - faza oscilaţiei, t – momentul de timp.

Conform definiţiei perioadei de oscilaţie, elongaţia unei oscilaţii periodice trebu-ie să ia aceleaşi valori după trecerea unor intervale de timp egale cu câte o perioadă. Astfel, pentru o oscilaţie armonică :

( ) ( ) ttxTtx ∀=+ sau :

( )[ ] ( )ϕ+ω=ϕ++ω tsinATtsinA De aici obţinem :

( )[ ] ( ) 022

20 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

+ϕ+ωω

⇔=ϕ+ω−ϕ++ωTtsinTsinAtsinATtsinA

Această egalitate este adevărată pentru orice moment de timp t doar dacă

N∈π=ω k,kT2

sau :

ωπ

=2kT

77

Evident, intervalul de timp minim corespunde valorii întregi k = 1, astfel încât pe-rioada oscilatorului armonic are expresia :

ωπ

=2

0T

Inversul perioadei de oscilaţie se numeşte frecvenţă. Rezultă :

πω

==ν2

1

00 T

Când elongaţia oscilatorului armonic reprezintă distanţa la care se află oscilato-rul faţă de poziţia de echilibru, prima derivată a elongaţiei în raport cu timpul are semnificaţia de viteză, iar a doua derivată pe aceea de acceleraţie :

( ) ( )

( ) ( )ϕ+ωω−====⇒ϕ+ω=

ϕ+ωω===⇒ϕ+ω=

tsinAxdtdv

dtxdatsinAx

tcosAxdtdxvtsinAx

22

2&&

&

Examinând aceste relaţii, observăm că : 022 =ω+⇔ω−= xxxa &&

ecuaţie care poartă numele de ecuaţia diferenţială a oscilatorului armonic. Există posibilitatea ca unele mişcări oscilatorii periodice, armonice, să aibă o amplitudine care variază în timp.

Oscilaţiile periodice, armonice, a căror amplitudine variază în timp se numesc oscilaţii armonice modulate în amplitudine. Ecuaţia lor are forma :

( ) ( ) ( )ϕ+ω= tsintAtx

Oscilaţiile periodice, armonice, a căror frecvenţă variază în timp se numesc oscilaţii armonice modulate în frecvenţă. Ecuaţia lor are forma

( ) ( )( )ϕ+πν= ttsinAtx 2

4.2. COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMO-NICE

4.2.1. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi frecvenţă şi direcţii paralele

Fie cele două cărucioare ataşate resorturilor elastice din figura alăturată. Scoţând cărucioarele din poziţiile lor de echilibru ele vor efectua oscilaţii armonice.

78

Să presupunem că pulsaţiile acestor oscilaţii sunt egale (ceea ce înseamnă că şi frecvenţele de oscilaţie sau pe-rioadele sunt egale). Elongaţia oscilaţiei căruciorului inferior este egală cu deplasarea acestuia faţă de repe-rul fix din stânga şi are expresia matematică :

( )111 ϕ+ω= tsinAx Elongaţia oscilaţiei căruciorului superior, măsurată în raport cu reperul din stânga solitar cu căruciorul inferior, este :

( )222 ϕ+ω= tsinAx În raport cu reperul fix, elongaţia căruciorului su-

perior este :

x1

x

x2 x1

( ) ( )221121 ϕ+ω+ϕ+ω=+= tsinAtsinAxxx Putem extrage din acest exemplu următoarea concluzie generală

Dacă un punct material participă simultan la două oscilaţii care se fac pe direcţii paralele, elongaţia rezultantă este suma algebrică a elon-gaţiilor celor două oscilaţii

Să examinăm consecinţele matematice ale re-laţiilor precedente. Cu binecunoscuta relaţie :

Cuvinte cheie Compunerea oscilaţiilor para-

lele de frecvenţe egale

( ) acosbsinbcosasinbasin +=+ putem obţine :

( ) ( ) tcossinAsinAtsincosAcosAx ωϕ+ϕ+ωϕ+ϕ= 22112211 Cu notaţiile :

⎩⎨⎧

ϕ+ϕ=ϕϕ+ϕ=ϕ

2211

2211

cosAcosAcosAsinAsinAsinA

putem aduce expresia la forma : ( ) ( )ϕ+ω=ωϕ+ϕω= tsinAtcossincostsinAx

Expresia elongaţiei x este aceea a unei oscilaţii armonice de amplitudine A şi fază ini-ţială ϕ, având aceeaşi frecvenţă ca şi cele două oscilaţii care se compun. Concluzia este următoarea :

Prin compunerea a două oscilaţii armonice de frecvenţe egale se obţine tot o oscilaţie armonică, care are aceeaşi frecvenţă.

Din expresiile care definesc amplitudinea şi faza iniţială ale oscilaţiei rezultante, ob-ţinem :

( )212121

222

2222

2122

1122

12222

2 ϕϕ+ϕϕ++ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ+ϕ

coscossinsinAAcosAsinAcosAsinAcosAsinA

Putem restrânge expresia astfel : ( )1221

22

21

2 2 ϕ−ϕ++= cosAAAAA De aici obţinem expresia amplitudinii rezultante :

79

( )122122

21 2 ϕ−ϕ++= cosAAAAA

De asemenea, expresia fazei iniţiale rezultante este :

2211

2211

ϕ+ϕϕ+ϕ

=ϕcosAcosAsinAsinAtg

Putem remarca că valoarea amplitudinii rezultante depinde de diferenţa de fa-ză dintre cele două oscilaţii. Dacă oscilaţiile sunt în fază, adică diferenţa de fază este nulă : ϕ2 - ϕ1 = 0, amplitudinea rezultantă are valoare maximă : A = A1 + A2. Când oscilaţiile sunt în opoziţie de fază, adică : ϕ2 - ϕ1 = π, amplitudinea rezul-tantă îşi atinge valoarea minimă : A = A1 - A2.

4.2.2. Compunerea oscilaţiilor paralele de frec-venţe apropiate, fenomenul de bătăi

Putem da următoarea definiţie :

Prin bătăi înţelegem rezultatul compunerii a două oscilaţii paralele ale căror frecvenţe au valori foarte apropiate.

Pentru simplificare, vom considera două oscilaţii având amplitudinile egale şi faze iniţiale nule :

tsinAx 11 ω= tsinAx 22 ω=

Pulsaţiile având valori apropiate, putem scrie relaţiile :

01221

0 22ω<<ω

ω−ω=ω

ω+ω=ω ;;

Cu aceste notaţii, rezultă : ( )[ ] ( )[ ]tsinAtsinAxxx ω+ω+ω−ω=+= 0021

sau : ( ) tsinttsintcosAx 002 ω=ω⋅ω= A

Observăm că ecuaţia care descrie rezultatul compunerii celor două oscilaţii are o formă asemănătoare cu aceea a unei oscilaţii armonice de pulsaţie ω0, cu deosebirea că amplitudinea nu mai este constantă în timp. Perioada noii amplitudini T = 2π/ω are valoare mult mai mare

decât perioada oscilaţiilor T0 = 2π/ω0. Din acest motiv, spunem că prin compu-nerea celor două oscilaţii se obţine o oscilaţie cvasiarmonică modulată în am-plitudine.

Cuvinte cheie Compunerea oscilaţiilor para-

lele de frecvenţe apropiate Bătăi

80

0 20 40 60 80 100

1

1

Cele două oscilaţii

0 20 40 60 80 100

2

2

Rezultatul compunerii celor două oscilaţiiRezultatul compunerii celor două oscilaţii

Cele două oscilaţii

Graficele de mai sus reprezintă oscilaţiile tsin9

2π şi tsin112π , precum şi rezultatul

compunerii lor 99

409942 π

⋅π sincos . Se observă că amplitudinea rezultantă variază peri-

odic în timp între o valoare minimă nulă şi o valoare maximă egală cu dublul ampli-tudinii oscilaţiilor care se compun. Dacă cele două oscilaţii ar fi reprezentat sunete emise de două diapazoane identice, dintre care unul uşor dezacordat, atunci la ure-chea noastră ar ajunge un sunet cu o frecvenţă practic egală cu aceea a sunetului emis de diapazonul acordat corect, dar a cărui intensitate variază periodic în timp între va-lori minime şi maxime. Senzaţia auditivă este aceea a ecoului unor lovituri periodice (bătăi), care se petrec undeva în depărtare. De aici provine şi numele dat acestui fe-nomen.

81

4.2.3. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi frecvenţă şi direcţii perpendiculare

Să considerăm un punct material asupra căruia acţionează simultan două forţe

elastice perpendiculare. Acţionând separat, fiecare dintre forţe imprimă o mişcare os-cilatorie armonică pe direcţia sa :

( )( )22

11

ϕ+ω=ϕ+ω=

tsinAytsinAx

Mişcarea pe care o va efectua punctul material în prezenţa ambelor forţe va reprezen-ta compunerea acestor două oscilaţii armonice. Vom determina în cele ce urmează traiectoria descrisă de punctul material. Tra-iectoria este definită astfel:

Traiectoria reprezintă locul geome-tric al tuturor punctelor din spaţiu prin care trece un mobil în cursul mişcării sale.

După cum se remarcă din această definiţie, traiecto-ria este independentă de timp, în sensul că ea este re-zultatul întregii perioade de mişcare a mobilului. Din

acest motiv, putem trage următoarea concluzie

Cuvinte cheie Compunerea oscilaţiilor per-pendiculare de frecvenţe ega-

le

Pentru a găsi ecuaţia traiectoriei unui mobil este suficient să eliminăm timpul între ecuaţiile de mişcare corespunzătoare fiecărei axe de coordonate.

Pentru eliminarea timpului vom folosi relaţia :

122 =ω+ω tcostsin Pentru a găsi expresiile lui sin ωt şi cos ωt procedăm astfel :

dezvoltăm trigonometric expresiile elongaţiilor : ( )( ) 222222

111111

ϕω+ϕω=ϕ+ω=ϕω+ϕω=ϕ+ω=

sintcosAcostsinAtsinAysintcosAcostsinAtsinAx

alcătuim sistemul de ecuaţii :

⎩⎨⎧

=ϕω+ϕω=ϕω+ϕω

ysintcosAcostsinAxsintcosAcostsinA

2222

1111

soluţiile sale sunt :

( )1221

1122

2222

1111

22

11

ϕ−ϕϕ−ϕ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕϕϕϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕϕ

=ωsinAA

sinyAsinxA

sinAcosAsinAcosA

sinAysinAx

tsin

82

( )1221

1122

2222

1111

22

11

ϕ−ϕϕ+ϕ−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕϕϕϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕϕ

=ωsinAA

cosyAcosxA

sinAcosAsinAcosAycosAxcosA

tcos

ridicând la pătrat şi adunând, obţinem : ( )

( ) 12

1222

221

21212121

222

2

=ϕ−ϕ

ϕϕ+ϕϕ−+sinAA

sinsincoscosAxyAAyAx

sau :

( ) ( )122

1221

22

2

21

2

2 ϕ−ϕ=ϕ−ϕ−+ sincosAA

xyAy

Ax

Acest rezultat matematic ne permite să tragem următoarele concluzii :

Dacă un punct material parti-cipă simultan la două oscilaţii armo-nice de frecvenţe egale şi direcţii perpendiculare, traiectoria sa are în general forma unei elipse. Unghiul făcut de axele elipsei şi axele de co-ordonate depinde de diferenţa de fază ϕ2 - ϕ1 între cele două oscilaţii. Va-loarea semiaxelor depinde de ampli-tudinile oscilaţiilor şi de diferenţa de fază.

Putem discuta câteva cazuri particulare :

Traiectoria unui punct material care participă la două oscilaţii armonice de frecvenţe egale şi direcţii perpendicu-

lare

Dacă diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii este egală cu ±π/2, (spunem în acest caz că oscilaţiile sunt în cvadratură de fază) ecuaţia traiectoriei devine :

122

2

21

2

=+Ay

Ax

Cazuri particulare de compunere a os-cilaţiilor perpendi-culare de frecvenţe

egale

∆ϕ = 0 y

A2

A1

x

∆ϕ = π

∆ϕ = ±π/2

83

Concluzia este următoarea :

La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe egale, aflate în cvadratură de fază, traiectoria punctului material este o elipsă ale cărei axe coincid cu axele de coordonate şi ale cărei semiaxe au valori egale cu amplitudinile celor două oscilaţii.

Dacă diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii este nulă, (spunem în acest caz

că oscilaţiile sunt în fază) ecuaţia traiectoriei devine :

xAAy

Ay

Ax

AAxy

Ay

Ax

1

22

212122

2

21

2

002 =⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒=−+

Concluzia este următoarea :

La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe egale, aflate în fază, traiectoria punctului material este o dreaptă de pantă poziti-vă şi egală cu raportul amplitudinilor oscilaţiilor.

Dacă diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii este egală cu π, (spunem în

acest caz că oscilaţiile sunt în opoziţie de fază) ecuaţia traiectoriei devine :

xAAy

Ay

Ax

AAxy

Ay

Ax

1

22

212122

2

21

2

002 −=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇒=++

Concluzia este următoarea:

La compunerea a două oscilaţii perpendiculare, armonice, de frecvenţe egale, aflate în opoziţie de fază, traiectoria punctului material este o dreaptă de pantă negativă şi egală în modul cu raportul amplitudinilor oscilaţiilor.

4.2.4. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de frecvenţe diferite, figurile Lissajous

Fie oscilaţiile perpendiculare, de frecvenţe dife-

rite : ( )( )2

1

ϕϕ

22

11

+ω=+ω=tsinAy

tsinAx

Să presupunem că un punct material participă simul-tan la cele două oscilaţii. Ne putem pune întrebarea : în ce condiţii traiectoria punctului material este

închisă (adică când mişcarea punctului material este periodică, repetându-se identic după intervale de timp bine stabilite) ? Mai întâi, să formulăm în limbaj matematic această întrebare :

Cuvinte cheie Compunerea oscilaţiilor per-pendiculare de frecvenţe dife-

rite Figurile Lissajous

84

Traiectoria este închisă dacă există un interval de timp T astfel încât coordo-natele x şi y ale punctului material la momentul de timp t şi coordonatele la mo-mentul de timp t + T să aibă aceleaşi valori, oricare ar fi momentul de timp t.

( ) ( ) ( ) ( ) t,tyTty,txTtxT ∀=+=+∃ aî Cele două oscilaţii sunt periodice şi, prin urmare, intervalul de timp T nu poate fi de-cât un multiplu întreg al perioadelor oscilaţiilor :

ℵ∈ωπ

==

ℵ∈ωπ

==

22

222

11

111

2

2

k;kTkT

k;kTkT

De aici, obţinem :

ℵ∈=ωω

⇒ωπ

=ωπ

211

2

2

1

22

11

22 k,k;kkkk

Concluzia este că :

Traiectoria punctului material care participă simultan la două mişcări os-cilatorii armonice, desfăşurate pe direcţii perpendiculare, este închisă dacă ra-portul pulsaţiilor celor două oscilaţii este un număr raţional.

Care este aspectul unei traiectorii închise ? Pentru a răspunde la această între-

bare să remarcăm mai întâi că sunt valabile relaţiile : 2211 AyA;AxA ≤≤−≤≤−

Traiectoria este conţinută în interiorul unui dreptunghi cu laturile 2A1, respec-tiv 2A2.

Prin eliminarea timpului între cele două ecuaţii de mişcare, obţinem ecuaţia tra-iectoriei ca o funcţie y = y(x). Această funcţie are extreme, corespunzătoare condiţiei :

0=dxdy

Putem scrie şi : ( )( ) ( )( )

( )( )( )( ) 0

1111

2222

111

111222 =ϕ+ωωϕ+ωω

=ϕ+ω

ϕ+ωϕ+ω=

tcosAtcosA

tsinAdtsinAtsinAd

dxdy

Funcţia trigonometrică de la numărător, cos(ω2t + ϕ2), se anulează de două ori în fie-care perioadă T2. În intervalul de timp T, corespunzător parcurgerii traiectoriei închi-se, care cuprinde numărul întreg k2 de perioade T2, numărătorul se va anula de 2k2 ori. În concluzie, funcţia y = y(x) are 2k2 extreme, dintre care k2 sunt maxime, iar k2 sunt minime. În mod analog se poate arăta că funcţia x = x(y) are 2k1 extreme, dintre care k1 sunt maxime, iar k1 sunt minime. Semnificaţia acestor constatări în ceea ce priveşte reprezentarea grafică a traiectoriei este următoarea :

85

Graficul traiectoriei închise are k2 puncte de tangenţă la dreapta y = A2, k2 puncte de tangenţă la dreapta y = -A2, k1 puncte de tangenţă la dreapta x = A1 şi k1 puncte de tangenţă la dreapta x = A1.

Aceste observaţii ne permit să trasăm graficul traiectoriei în coordonate x,y.

Figura alăturată este traiectoria punctului material care participă la oscilaţiile :

k2=2

2A2

2A1

k1=3

( )( )22

11

32

ϕ+ω=ϕ+ω=

tsinAytsinAx

Prin urmare :

332

11

2

2

1 =⇒==ωω k;k

kk 22 =

Studiind graficul, remarcăm că ra-portul numerelor de „creste” orizon-tale şi verticale este egal cu raportul k2/k1, respectiv egal cu raportul ω1/ω2.

Concluzia este următoarea :

Dacă un punct material participă simultan la două oscilaţii armonice, pe direcţii perpendiculare, iar raportul pulsaţiilor oscilaţiilor este un număr raţional, traiectoria punctului material este o curbă închisă, raportului numerelor de creste verticale şi orizontale fiind invers egal cu raportul pulsaţiilor. Acest tip de traiec-torie a primit numele de figură Lissajous.

4.3. TIPURI DE MIŞCĂRI OSCILATORII

4.3.1. Mişcarea oscilatorie armonică

Vom porni de la următoarea definiţie :

Se numeşte mişcare oscilatorie armonică mişcarea descrisă de ecuaţia diferenţială :

xx 2ω−=&& unde x reprezintă distanţa la care se află oscilatorul faţă de poziţia de echi-libru, numită pe scurt elongaţie, iar ω2 este o constantă pozitivă.

86

Conform principiilor mecanicii newtoniene, acceleraţia unui corp este determi-nată de rezultanta forţelor externe care acţionează asupra acestuia :

Ra Rx⇔= =&&mm

xmxm 2ω−=&&

Înmulţind ecuaţia diferenţială a mişcării oscilatorii armonice cu masa oscilatorului, obţinem R m a

x

sau, în conformitate cu principiul fundamental al di-namicii :

xkxmRkm =ω=⇒−=ω−= 22 xxR Putem trage următoarea concluzie :

Un punct material execută o oscilaţie armo-nică dacă rezultanta forţelor externe care acţio-nează asupra sa este proporţională cu elongaţia şi are sens opus acesteia. Un asemenea tip de forţă se numeşte forţă elastică, iar constanta de proporţionalitate k se numeşte constantă de elasticitate.

Forţele elastice sunt forţe conservative. Prin urmare, lucrul mecanic al forţei elastice egalează va-

riaţia de energie potenţială, luată cu semn schimbat :

Cuvinte cheie Ecuaţia diferenţială a oscila-

torului armonic Forţe elastice

Energia potenţială a oscilato-rului armonic

Energia totală a oscilatorului armonic

Ecuaţia de mişcare a oscilato-rului armonic

fip WWWL −=∆−= Lucrul mecanic este dat de relaţia :

( )

( )

( )

( )

22

22if

f

i

f

i

kxkxdxkxdxRL +−=−== ∫∫

Rezultă :

22

22i

if

fkxW

kxW −=−

Cum această egalitate este adevărată oricare ar fi cele două elongaţii implicate, rezul-tă :

( ) ( ) constkxxWconstkxxW pp +=⇔=−22

22

adică energia potenţială a oscilatorului armonic este proporţională cu pătratul elonga-ţiei şi este definită până la o constantă aditivă arbitrară. Considerând prin convenţie că energia potenţială în poziţia de echilibru este nulă :

( ) 00 =⇒= xWx p atribuim o valoare nulă constantei arbitrare, astfel încât expresia energiei potenţiale a oscilatorului armonic devine :

( )2

2kxxWp =

87

Energia cinetică a oscilatorului armonic este :

22

22 xmmvWc&

==

Pătratul vitezei oscilatorului poate fi calculat utilizând ecuaţia diferenţială de mişcare ( ) ( )

dtxdk

dtxdmxxkxxmxkxmxm

222

21

21

⋅−=⋅⇔−=⇒−=ω−=&

&&&&&&

Prin integrare în raport cu timpul, rezultă :

constkxxm+−=

22

22&

sau :

constWWconstkxxmpc =+⇔=+

22

22&

Concluzia este că energia mecanică a oscilatorului armonic este con-stantă în timp :

0WWWW max,pmax,c === Valoarea energiei mecanice egalează fie energia potenţială maximă, fie energia cinetică maximă.

Ecuaţia de mişcare a oscilatorului armonic poate fi obţinută prin integrarea ecuaţiei diferenţiale de mişcare.

Pornind de la relaţia :

2

00

2200

22

21

212

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω⇒ω−=⇒+−= x

Wmx

Wm

dtdx

mWxWkxxm

&&

Rezultă :

dt

xWm

xWmd

ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

2

0

0

21

2

Cu notaţia :

duucosxWmdusinx

Wm

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω⇒=ω

00 22

obţinem : ϕ+ω=⇒ω=⇒ω= ∫∫ tudtdudtdu

ϕ fiind o constantă de integrare. Rezultă :

88

( ) ( )ϕ+ω=ϕ+ωω

= tsinkWtsin

mWx 00 221

Notând :

22 2

00 kAW

kWA =⇔=

unde A se numeşte amplitudinea oscilaţiei armonice, rezultă în final : ( )ϕ+ω= tsinAx

ecuaţie care reprezintă ecuaţia de mişcare a oscilatorului armonic liniar. Din ex-presie, se remarcă că amplitudinea reprezintă distanţa maximă la care oscilatorul armonic poate ajunge faţă de poziţia de echilibru. Mai putem remarca că energia mecanică a oscilatorului armonic este proporţională cu constanta de elasticitate şi cu pătratul amplitudinii oscilaţiei.

4.3.2. Mişcarea oscilatorie amortizată

Vom porni de la următoarea definiţie : Se numeşte mişcare oscilatorie amortizată mişcarea descrisă de

ecuaţia diferenţială (ecuaţia diferenţială a oscilatorului amortizat) 02 2

0 =ω+γ+ xxx &&& unde x reprezintă distanţa la care se află oscilatorul faţă de poziţia de echi-libru, iar ω0

2 şi γ sunt constante pozitive.

Conform principiilor mecanicii newtoniene, putem scrie :

Fr

Fe m a

x

x20ωmva 2 −γ−= mm

xva

sau :

kfm −−=

Această expresie arată că mişcarea oscilatorie amortizată este determinată de acţiunea a două forţe : o forţă de tip elastic –kx şi o forţă de rezistenţă –fv pro-porţională cu viteza oscilatorului şi orientată în sens opus.

Cuvinte cheie Ecuaţia diferenţială a oscila-

torului amortizat Forţa de rezistenţă

Ecuaţia de mişcare a oscilato-rului amortizat

Vom încerca în continuare să găsim forma ma-tematică a ecuaţiei de mişcare a oscilatorului amorti-zat. Pentru aceasta, vom face mai întâi următoarea schimbare de funcţie :

( ) ( )tXetx tα= Conform acestei schimbări de funcţie, obţinem :

eXex tt& αα X& +α=şi :

89

XeXeXex ttt &&&&& ααα +α+α= 22 Înlocuind în ecuaţia diferenţială de mişcare, obţinem :

0222 20

2 =ω+γ+γα++α+α αααααα XeXeXeXeXeXe tttttt &&&& sau :

( ) ( )[ ] 022 20

2 =ω+γα+α+γ+α+α XXXe t &&& Cum eαt nu poate fi un termen nul, rezultă :

( ) ( ) 022 20

2 =ω+γα+α+γ+α+ XXX &&& Alegând α = -γ, rezultă :

Xex tγ−= şi :

( ) 020

2 =ω+γ−+ XX&& sau :

( )XX 20

2 ω+γ−−=&& Putem distinge trei situaţii :

A) ( ) 022

022

02 ≥Ω=ω−γ=ω+γ−−

În acest caz : XX 2Ω=&&

Mai putem scrie :

CXXdt

dXdtXdXXXX +Ω=⇒

Ω=⇒Ω= 222

2222

221 &

&&&&&

unde C este o constantă de integrare. Mai putem scrie :

dt

CX

CXd

dtCX

dXΩ=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

⇒=+Ω

1222

Cu schimbarea de funcţie :

duuchCdXushCX

Ω=⇒=

Ω

obţinem :

ϕ+Ω=⇒Ω=⇒Ω=+

tudtdudtushduuch

12

unde ϕ este o constantă de integrare. Rezultă :

( ) ( )ϕ+Ω=ϕ+ΩΩ

= tshAXtshCX sau

În final, ecuaţia de mişcare a oscilatorului amortizat în cazul A) este :

( ) ( ) 020

2 ω>γϕ+ω−γ=ϕ+Ω== γ−γ−γ− ;tshAetshAeXex ttt

90

Viteza oscilatorului este dată de expresia : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ+ΩΩ+ϕ+Ωγ−=ϕ+ΩΩ+ϕ+Ωγ−== γ−γ−γ− tchtshAetchAetshAexv ttt&

La momentul iniţial (t = 0), elongaţia şi viteza au expresiile :

⎩⎨⎧

ϕΩ+ϕγ−=ϕ=

chAshAvshAx

0

0

În cazul în care punctul de plecare se află în zona negativă a axei (x0 < 0), rezultă sh ϕ < 0 astfel încât v0 > 0 (adică oscilatorul se mişcă în sensul pozitiv al axei). Ecuaţia :

( ) ( ) 0=ϕ−Ω=ϕ+Ω= γ−γ− tshAetshAex tt admite soluţia :

Ωϕ

=1t

ceea ce înseamnă că oscilatorul trece la acest moment de timp prin poziţia de echili-bru, cu viteza :

0>Ω= Ωϕ

γ−eAv

Viteza oscilatorului se anulează corespunzător condiţiei :

( ) ( ) 1210 tarcthttchtsh >⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡γΩ

+ϕΩ

=⇒=ϕ−ΩΩ+ϕ−Ωγ−

În acest moment, sensul vitezei se modifică şi punctul material revine către poziţia de echili-bru. Cum elongaţia x nu se mai anulează pentru nici-o altă valoare a timpului, rezultă că punctul material nu va mai trece niciodată prin poziţia de echilibru, dar se va apropia asimptotic de acesta deoarece 0=

∞→txlim . Graficul alăturat pre-

zintă variaţia elongaţiei în funcţie de timp în ca-zul discutat. Se remarcă faptul că nu există miş-carea oscilatorie. Spunem că mişcarea este ape-riodică.

0 5 10

1

0.5

0.5

x=exp(-1,1t)*sh(t-0,5)

În cazul în care punctul de plecare se află în zona pozitivă a axei (x0 > 0), rezultă că sh ϕ > 0 şi ϕ > 0. În această situaţie, anularea elongaţiei nu se mai poate realiza la nici-un moment de timp ulterior. Viteza iniţială poate avea atât valori pozitive (cazul

0>ϕΩ+ϕγ− AchAsh ) cât şi negative. În pri-mul caz, punctul material se depărtează iniţial de poziţia de echilibru până în punctul în care viteza se anulează, iar apoi se apropie asimptotic

de punctul de echilibru (vezi graficul alăturat).

0 5 100.2

0.4

0.6

0.8

x=exp(-1,1t)*sh(t+0,5)

91

Dacă viteza iniţială este negativă, punctul material va evolua asimptotic către poziţia de echilibru (vezi graficul alăturat).

0 5 10

5

10

15

x=exp(-1,1t)*sh(t+3)

Şi în aceste două situaţii mişcarea punctu-lui material este una aperiodică.

În concluzie, în cazul ( ) 022

022

02 ≥Ω=ω−γ=ω+γ−−

mişcarea punctului material este aperiodi-că.

B) 020

2 =ω+γ− În acest caz :

0=X&& Prin integrare, rezultă :

BAtXAX +=⇒=& unde A şi B sunt două constante de integrare. Soluţia completă este :

( ) teBAtx γ−+= Poziţia şi viteza iniţială sunt :

⎩⎨⎧

γ−==

BAvBx

0

0

Şi în acest caz, în funcţie de valori-le iniţiale ale elongaţiei şi vitezei, putem întâlni trei forme de mişcare, asemănătoare cu cele obţinute în cazul precedent.

În concluzie, în cazul 02

02 =ω+γ−

mişcarea punctului material este aperiodică şi numită ape-riodică critică.

0 2 4 6

5

5

Mişcare aperiodică critică

C) 0220

2 >ω=ω+γ− În acest caz :

XX 2ω−=&& Aşa cum am arătat în cazul oscilatorului armonic liniar, soluţia unei ecuaţii de acest tip este :

( )ϕ+ω= tsinAX Prin urmare, soluţia completă a ecuaţiei oscilatorului amortizat devine :

( )ϕ+ω= γ− tsinAex t

92

0 2 4 6

5

5

Oscilaţie pseudoarmonică x = 4 exp(-x) sin(20x)

Aşa cum se poate vedea din graficul alăturat, în acest caz mişcarea punctului material este oscilatorie, dar amplitudinea oscilaţiei scade exponenţial în timp. Carac-terul de mişcare oscilatorie, asemănătoare oscilaţiei armonice, este cu atât mai pro-nunţat cu cât ω0 are valori mai mari decât γ. Un asemenea tip de mişcare se numeşte oscilaţie pseudoarmonică.

În concluzie, în cazul 022

02 >ω=ω+γ−

mişcarea punctului material este periodică şi este numită oscilaţie pseudoar-monică.

Se poate utiliza mărimea denumită decrement logaritmic, definită

prin relaţia : ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝

⎛+

=δTtx

txln

pentru a măsura atenuarea (sau amortizarea) oscilaţiei. În relaţie, T repre-zintă perioada funcţiei armonice : T = 2π/ω. Cu cât decrementul logaritmic are valori mai mari, cu atât amortizarea oscilaţiei este mai rapidă.

Conform ecuaţiei de mişcare a oscilatorului amortizat, rezultă :

( )( ) ( ) 22

0

22γ−ω

πγ=

ωπγ

=γ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ+ω+ω

ϕ+ω=δ +γ−

γ−

TTtsinAe

tsinAeln Tt

t

93

Se observă că valoarea decrementului logaritmic este cu atât mai mare cu cât factorul γ are o valoare mai mare. Din acest motiv, factorul γ se mai numeşte co-eficient de atenuare. Mai putem remarca şi faptul că pentru acelaşi coeficient de atenuare, amortizarea este mai pronunţată la frecvenţe de oscilaţie mari.

94

5. UNDE MECANICE

5.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Într-un mediu elastic, se pot produce uneori per-turbaţii. Datorită elasticităţii mediului, perturbaţiile se pot transmite punctelor vecine, propagându-se ast-fel în interiorul mediului elastic.

Cuvinte cheie Unde elastice

Funcţia de undă Ecuaţia diferenţială a undelor

Clasificări ale undelor

Prin definiţie, propagarea unei per-turbaţii într-un mediu elastic se numeşte undă mecanică elastică.

O caracteristică foarte importantă a undelor elastice este aceea că propagarea perturbaţiei prin mediul elastic se face cu viteză finită şi din aproape în aproape. De asemenea, undele elastice nu transportă substanţă (adică nu au loc transferuri de materie în interiorul mediului elastic). Totuşi, undele elastice transportă ener-gie şi impuls.

Termenul de „perturbaţie” pe care l-am folosit anterior se referă la micile va-riaţii ale valorilor unor mărimi fizice care caracterizează interiorul mediului elastic, pe care acestea le pot suferi faţă de valorile corespunzătoare stării de echilibru. Exemple de asemenea mărimi fizice pot fi : deplasarea unei porţiuni a mediului, vite-za sa de deplasare, energia cinetică dobândită, ca şi multe altele. Oricare dintre abate-rile valorilor acestor mărimi fizice faţă de starea de echilibru poate fi socotită ca o măsură a modificărilor induse în prezenţa undei elastice. Din acest motiv, putem face următoarea definiţie :

Diferenţa dintre valoarea atinsă de o mărime fizică care caracteri-zează mediul elastic în prezenţa undei elastice şi valoarea de echilibru a respectivei mărimi fizice se numeşte în general funcţie de undă şi se no-tează cu Ψ.

Funcţiile de undă pot fi atât mărimi fizice scalare, cât şi mărimi fizice vectori-ale, iar din punct de vedere matematic ele sunt funcţii de momentul de timp şi de raza vectoare a punctului pe care îl reprezintă în interiorul mediului :

( )t,rΨ=Ψ Ne putem pune întrebarea : este oare posibil ca ştiind starea de perturbare la un anumit moment de timp şi într-un anumit punct al mediului elastic, precum şi caracteristicile mediului, să putem calcula care va fi starea de perturbare într-un alt punct şi la alt moment de timp ? Cu alte cuvinte, există o ecuaţie matemati-că care să descrie propagarea perturbaţiei în interiorul mediului elastic ?

95

Pentru a răspunde acestei în-trebări, să începem prin a examina situaţia din schiţa alăturată. Presu-punem că o perturbaţie se propagă cu viteza constantă c, fără ca aspec-tul său să se modifice (de exemplu, ca propagarea unui val în largul mării). În consecinţă, după trecerea

unui interval de timp dt, valoarea funcţiei de undă corespunzătoare punctului de co-ordonată x va fi regăsită în punctul de coordonată x + cdt. Putem scrie :

c

Ψ(x+cdt,dt) Ψ(x,t)

x + cdt cdt x

( ) ( )dtt,cdtxt,x ++Ψ=Ψ Prin dezvoltarea în serie Taylor şi considerând că intervalul de timp dt este suficient de mic pentru ca termenii de ordin superior să poată fi neglijaţi, rezultă :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 dtdtt

t,xdtcx

t,xt,xt,xt,xt,x

+∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

+Ψ=Ψ

sau : ( ) ( )

tt,x

cxt,x

∂Ψ∂

−=∂

Ψ∂ 1

În concluzie, derivatele de ordinul întâi ale funcţiei de undă în raport cu coor-donata sau cu momentul de timp sunt proporţionale.

Să ne imaginăm în continuare că dispunem două „fotografii” ale unei unde, luate la momente de timp foarte apropiate: t şi t + dt, pe care le-am aşezat una sub cealaltă (vezi figura alăturată). Putem găsi legătura între Ψ(x + dx, t + dt) şi Ψ(x, t) pe două căi diferite :

A) Mai întâi stabilim legătura dintre Ψ(x + dx, t + dt) şi Ψ(x + dx, t):

( ) ( ) ( ) dtt

t,dxxt,dxxdtt,dxxt,dxx+∂

+Ψ∂++Ψ≅++Ψ

şi apoi, utilizând relaţiile :

Ψ(x+dx,t+dt)Ψ(x,t+dt)

x+dx x

t+dt

Ψ(x+dx,t) Ψ(x,t)

t ( ) ( ) ( ) dxx

t,x

t,x∂Ψ∂

+t,xt,dxx Ψ≅+Ψ

( ) ( ) ( ) dxtx

t,xt

t,x

t,x∂∂Ψ∂

+2

tt,dxx

∂Ψ∂

≅∂+Ψ∂

( )

stabilim relaţia cu Ψ(x, t) :

( ) ( )

( ) ( )dtdxtx

t,x

dxx

t,xt,x

∂

+∂

Ψ∂+

dt

tt,x

dtt,dxx

∂Ψ∂

+∂

Ψ∂+

Ψ≅++Ψ

2

96

B) Mai întâi stabilim legătura dintre Ψ(x + dx, t + dt) şi Ψ(x, t + dt) :

( ) ( ) ( ) dxx

dtt,xdtt,xdtt,dxxdtt,x +∂

+Ψ∂++Ψ≅++Ψ

şi apoi utilizând relaţiile :

( ) ( ) ( ) dtt

t,xt,xdtt,xt,x∂

Ψ∂+Ψ≅+Ψ

( ) ( ) ( ) dtxt

t,xx

t,xx

dtt,x

t,x∂∂Ψ∂

+∂

Ψ∂≅

∂+Ψ∂ 2

stabilim relaţia cu Ψ(x, t) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxdtxt

t,xdxx

t,xdtt

t,xt,xdtt,dxx∂∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

+∂

Ψ∂+Ψ≅++Ψ

2

Egalând expresiile obţinute şi reducând termenii egali, rezultă : ( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∂∂

⇔∂∂

Ψ∂=

∂∂Ψ∂

xttxxtt,x

txt,x 22

Dacă ţinem cont de relaţia obţinută anterior între derivatele de ordinul întâi în raport cu coordonata sau cu timpul, rezultă :

2

2

2

2 11tcx

ctctx

cx ∂

Ψ∂=

∂Ψ∂

⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

−∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

−∂∂

sau :

012

2

22

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

tcx

Această ecuaţie se numeşte ecuaţia diferenţială a undelor plane şi reprezintă cea mai generală relaţie matematică care descrie propagarea unei unde elastice plane. Generalizarea în trei dimensiuni spaţiale a acestei ecuaţii :

012

2

22

2

2

2

2

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+∂Ψ∂

tczyx

se numeşte ecuaţia diferenţială a undelor şi poate reprezenta matematic orice pro-ces ondulatoriu. Utilizând operatorul lui Laplace :

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

ecuaţia diferenţială a undelor se scrie sub o formă simplificată :

012

2

22 =

∂Ψ∂

−Ψ∇tc

Locul geometric al punctelor din spaţiu care sunt caracterizate de

aceeaşi stare de perturbaţie se numeşte front de undă sau suprafaţă de undă.

97

Undele se pot clasifica în funcţie

de forma frontului de undă. Astfel, putem întâlni

Unde plane, ale căror front de undă este o suprafaţă plană

Unde cilindrice, ale căror front de undă este o suprafaţă cilindrică

Unde sferice, ale căror front de undă este o suprafaţă sferică

De asemenea, undele pot fi clasificate şi în funcţie de direcţia pe care au loc per-turbaţiile. Astfel, dacă deformările induse de perturbaţie au direcţie paralelă cu direcţia de propagare a undei, unda se numeşte undă longitudinală. Dacă defor-mările induse de perturbaţie au direcţie perpendiculară pe direcţia de propaga-re a undei, unda se numeşte undă transversală.

c Front de

undă

5.2. SOLUŢII ALE ECUAŢIEI UNDELOR ÎN UNELE CAZURI PARTICULARE

5.2.1. Soluţia generală a ecuaţiei undei plane

Să considerăm o undă elastică plană care se propagă în lungul axei Ox cu viteza c. Frontul de undă este perpendicular pe direcţia de propagare a undei, iar în toate punctele sale funcţia de undă Ψ are aceeaşi valoare. Prin urmare, funcţia de undă nu depinde de coordonatele y şi z :

x, t

Ψ(x, t)

x

Ψ = Ψ((x, t) Pentru că derivatele parţiale ale funcţiei de undă

în raport cu coordonatele y şi z sunt nule, din ecuaţia diferenţială a undelor rezultă : ( ) ( ) 01

2

2

22

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

tt,x

cxt,x

Soluţia generală a acestei ecuaţii se poate obţine astfel : se face schimbarea de variabile :

⎩⎨⎧

−=η+=ξ

ctxctx

astfel încât :

98

( ) ( )

( ) ( ) ct

ctxdt

;x

ctxdx

ct

ctxdt

;x

ctxdx

−=∂−

=∂η∂

=∂−

=∂η∂

=∂+

=∂ξ∂

=∂+

=∂ξ∂

1

1

se calculează derivatele :

η∂Ψ∂

+ξ∂Ψ∂

=∂η∂

η∂Ψ∂

+∂ξ∂

ξ∂Ψ∂

=∂Ψ∂

xxx

2

22

2

2

2

2

2η∂Ψ∂

+η∂ξ∂Ψ∂

+ξ∂Ψ∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

+ξ∂Ψ∂

η∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

+ξ∂Ψ∂

ξ∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

η∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

ξ∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ∂Ψ∂

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

+ξ∂Ψ∂

∂∂

=∂Ψ∂

xxxxxx

η∂Ψ∂

−ξ∂Ψ∂

=∂η∂

η∂Ψ∂

+∂ξ∂

ξ∂Ψ∂

=∂Ψ∂ cc

ttt

2

22

22

2

22

2

2

2η∂Ψ∂

+η∂ξ∂Ψ∂

−ξ∂Ψ∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

−ξ∂Ψ∂

η∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

−ξ∂Ψ∂

ξ∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

η∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

ξ∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ∂Ψ∂

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

−ξ∂Ψ∂

∂∂

=∂Ψ∂

ccccccccc

tc

tc

tc

tccc

tt

Se înlocuiesc derivatele de ordinul al doilea în ecuaţia undei plane : ( ) ( ) 01

2

2

22

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

tt,x

cxt,x

rezultând :

042

=η∂ξ∂Ψ∂

Putem scrie :

0=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η∂Ψ∂

ξ∂∂

Deoarece derivata parţială în raport cu ξ este nulă, termenul ∂Ψ/∂η nu poate repre-zenta decât o constantă în raport cu ξ, fiind cel mult o funcţie de variabila η :

( ) ( )ηη

=η=η∂Ψ∂

ddf'f

Prin integrarea acestei ecuaţii, obţinem : ( ) constf +η=Ψ

Constanta de integrare este de fapt constantă în raport cu variabila η, deci poate totuşi reprezenta o funcţie de variabila ξ :

( ) ( )ξ+η=Ψ gf Revenind la variabilele iniţiale, obţinem :

( ) ( ) ( )ctxgctxft,x ++−=Ψ

99

Concluzia este că soluţia generală a ecuaţiei undelor plane este o sumă de do-uă funcţii arbitrare, care depind de variabilele x - ct, respectiv x + ct. Aceste do-uă variabile se numesc faze.

Să considerăm acum unda plană reprezentată de

ecuaţia : ( ) ( )ctxft,x −=Ψ

Faza undei este Φ = x - ct. Să presupunem că luăm în considerare un moment de timp ulterior t’ şi un alt punct din spaţiu x’, cu condiţia ca faza să nu-şi modi-fice valoarea Φ = x’- ct’. Fazele fiind egale, funcţiile

de undă corespunzătoare sunt de asemenea egale. Rezultă de aici că suprafaţa de undă care trece prin punctele de coordonată x la momentul t este identică cu suprafaţa de undă care trece prin punctele de coordonată x’ la momentul t’. Acest fapt este rezulta-tul propagării undei în lungul axei Ox. Putem scrie :

Cuvinte cheie Viteza de fază

Unde progresive Unde regresive

Undă plană armonică

( )txctcxt'tcx'xctx'ct'x∆∆

=⇒∆=∆⇒−=−⇒−=−

Această relaţie ne permite să găsim semnificaţia fizică a parametrului c. El reprezintă viteza cu care se propagă o suprafaţă de undă în lungul axei Ox, adică chiar viteza de propagare a undei. Pentru că suprafaţa de undă este caracterizată prin valoarea fazei sale, viteza c se numeşte viteză de fază. În cazul discutat, viteza de fază este pozitivă, ceea ce semnifică că unda plană se propagă în sensul pozitiv al axei Ox. Rezultă de aici că :

Unda plană caracterizată de faza Φ = x – ct se propagă în sensul pozitiv al axei Ox, numindu-se undă progresivă.

Analog se poate arăta că : Unda plană caracterizată de faza Φ = x + ct se propagă în sensul

negativ al axei Ox, numindu-se undă regresivă. În practică, unda regresivă şi unda progresivă pot fi întâlnite separat sau simul-tan (de exemplu, al doilea caz apare când sunetul incident la o suprafaţă se întâlneşte cu sunetul reflectat de suprafaţă).

Un caz particular de undă plană progresivă este unda plană armonică :

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

ω−ϕ=Ψ 00 2 x

TtsinActx

csinAt,x

unde A este amplitudinea, T este perioada, ω este pulsaţia, λ este lungimea de un-dă (adică distanţa pe care se propagă unda în timp de o perioadă) iar ϕ0 este faza ini-ţială. Într-un punct de coordonată x, unda plană armonică determină în timp o oscila-ţie armonică în jurul poziţiei de echilibru. Importanţa undelor plane armonice este aceea că o undă plană oarecare poate fi descrisă matematic prin serii sau integrale Fourier, ca o simplă suprapunere de unde plane armonice.

100

5.2.2. Soluţia ecuaţiei undelor sferice

Undele sferice sunt undele ale căror suprafaţă de undă este o sferă cen-trată în jurul punctului în care s-a produs perturbaţia care a generat unda.

Ψ(r, t)

r

n

z

y

x Toate punctele suprafeţei sferice de undă se găsesc în aceeaşi stare de perturbare şi, prin urma-re, funcţia de undă depinde doar de modulul razei vectoare, dar nu şi de orientarea acesteia.

Concluzia este că funcţia de undă caracteristică unei unde sferice este o fun-cţie doar de modulul razei vectoare şi momentul de timp :

Ψ = Ψ(r, t) Pentru a găsi formula matematică generală corespunzătoare undelor sferice

procedăm astfel : observăm că :

xr

rx ∂∂

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

dar :

rx

zyxx

xzyx

xrzyxr =

++=

∂++∂

=∂∂

⇒++=222

222222

deci :

rrx

x ∂Ψ∂

=∂Ψ∂

calculăm derivata a doua în raport cu x

xr

rrx

rxr

rx

rrrxrx

rrxx

rrrrx

xx ∂∂

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

∂∂

−∂Ψ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∂∂

+∂Ψ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂Ψ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∂∂

=∂Ψ∂

2

2

22

2 111

sau :

2

2

2

2

3

2

2

2 1rr

xrr

xrrx ∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

−∂Ψ∂

=∂Ψ∂

Analog :

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

1

1

rrz

rrz

rrz

rry

rry

rry

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂Ψ∂

=∂Ψ∂

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂Ψ∂

=∂Ψ∂

substituind aceste derivate în ecuaţia generală a undelor :

101

012

2

22

2

2

2

2

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+∂Ψ∂

tczyx

obţinem :

0132

2

22

2

2

222

3

222

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂++

+∂Ψ∂++

−∂Ψ∂

tcrrzyx

rrzyx

rr

sau :

0122

2

22

2

=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

tcrrr

ecuaţie care se numeşte ecuaţia diferenţială a undelor sferice. facem schimbarea de funcţie :

( ) ( )t,rr

t,r ψ=Ψ1

astfel încât :

rrrrrr ∂ψ∂

+ψ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ

∂∂

=∂Ψ∂ 111

2

2

2

232

2

22322

2 122111211rrrrrrrrrrrrrrrrr ∂ψ∂

+∂ψ∂

−ψ=∂ψ∂

+∂ψ∂

−∂ψ∂

−ψ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

+ψ−∂∂

=∂Ψ∂

rezultând :

0111121222

2

222

2

23 =∂ψ∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

+ψ−+∂ψ∂

+∂ψ∂

−ψtrcrrrrrrrrr

sau :

012

2

22

2

=∂ψ∂

−∂ψ∂

tcr

soluţia ultimei ecuaţii este : ( ) ( ) ( )ctrgctrft,r ++−=ψ

astfel încât în final obţinem :

( ) ( ) (( )ctrgctrf )r

t,r ++−=Ψ1

ecuaţie care este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale a undelor sferice. Un caz particular este :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π=Ψ 02 r

Ttsin

rAt,r

care reprezintă unda sferică armonică progresivă (sau divergentă).

5.3. UNDE ELASTICE LONGITUDINALE

Undele longitudinale se caracterizează prin aceea că direcţia de pro-pagare coincide cu direcţia în care se produc deformările mediului elastic.

102

Să examinăm în continuare propagarea unei unde longitudinale într-un mediu elastic.

Sub acţiunea undei, starea unui element de volum dV al materialului se modifi-că. Efectele produse sunt de două tipuri :

Deplasarea elementului de volum Deformarea (alungirea sau comprimarea) elementului de volum

Astfel, la un moment dat, depla-sarea capătului din stânga este notată Ψ(x, t), iar deplasarea capătului din dreapta este notată Ψ(x+dx, t). Expre-siile acestor deplasări vor fi considera-te în continuare ca fiind tocmai funcţia de undă care caracterizează propaga-rea undei longitudinale. Deplasarea se face în timp, astfel încât derivata întâ-ia a deplasării în raport cu timpul re-prezintă viteza de deplasare :

F(x+dx, t)F(x, t)

c

x + Ψ(x+dx, t)x + Ψ(x, t)

x+dx x

dy dz

Ψ(x, t)

Ψ(x+dx, t)

( )t

t,xv∂

Ψ∂=

Acceleraţia elementului de volum es-te: ( )2

2

tt,x

tva

∂Ψ∂

=∂∂

=

Principiul fundamental al dinamicii ne spune că acceleraţia elementului de vo-lum este rezultatul acţiunii forţelor externe, adică al forţelor elastice cu care me-diul acţionează asupra elementului de volum.

Notând masa elementului de volum cu dm, putem scrie : ( ) ( )t,xFt,dxxFadm −+=

Cum dzdydxdVdm ρ=ρ=

unde ρ este densitatea materialului, prin dezvoltare în serie Taylor şi neglijarea facto-rilor de ordin superior

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxx

t,xFt,xF...dxx

t,xFdxx

t,xFt,xFt,dxxF∂

∂+≅+

∂∂

+∂

∂+=+ 2

2

2

21

rezultă : ( ) ( )

xt,xFdzdy

tt,x

∂∂

=∂Ψ∂

ρ 2

2

Să ne ocupăm acum de deformarea elementului de volum. Lungimea sa în starea

neperturbată este dx. În stare perturbată, lungimea elementului de volum este egală cu diferenţa între coordonata capătului din dreapta şi coordonata capătului din stânga

103

( )[ ] ( )[ ]t,xxt,dxxdxx'dx Ψ+−+Ψ++= ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( t,xt,dxxdxt,xxt,dxxdxx'dx Ψ− )+Ψ+=Ψ+−+Ψ++=

Recurgând din nou la dezvoltarea în serie Taylor şi neglijarea termenilor de ordin su-perior, rezultă :

( )dxx

t,xdx'dx∂

Ψ∂+=

Alungirea elementului de volum este diferenţa dintre lungimea sa în stare perturbată şi lungimea în stare neperturbată :

( ) ( )dxx

t,xdx'dxdx∂

Ψ∂=−=δ

Conform legii lui Hooke, alungirea δ(dx) este proporţională cu forţa de întin-dere F(x, t) şi cu lungimea în stare nedeformată dx şi invers proporţională cu aria secţiunii transversale dS = dydz şi cu modulul de elasticitate al materialului E

Înlocuind expresia deformării, rezultă :

( ) ( )dzdyEdxt,xFdx =δ

sau ( ) ( )

dzdyEt,xF

xt,x=

∂Ψ∂

sau

( ) ( ) dzdyx

t,xEt,xF∂

Ψ∂=

5.3.1. Viteza de propagare a undelor elastice lon-gitudinale

Dispunem în acest moment de două expresii referitoare la forţele elastice cu

care mediul acţionează asupra elementului de volum :

( ) ( ) dzdyx

t,xEt,xF∂

Ψ∂=

( ) ( )x

t,xFdzdyt

t,x∂

∂=

∂Ψ∂

ρ 2

2

Derivând prima expresie în raport cu coordonata x, rezultă : ( ) ( ) dzdy

xt,xE

xt,xF

2

2

∂Ψ∂

=∂

Substituind în expresia a doua, ne rămâne : ( ) ( )

2

2

2

2

xt,xE

tt,x

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

ρ

sau :

104

( ) ( ) 02

2

2

2

=∂Ψ∂ρ

−∂Ψ∂

tt,x

Ext,x

Comparând cu ecuaţia diferenţială a undelor plane : ( ) ( ) 02

2

=122

2

∂Ψ∂

−∂Ψ∂

cxt,x

tt,x Cuvinte cheie

Viteza de propagare a undelor longitudinale

observăm similaritatea celor două expresii şi tragem următoarele concluzii :

Perturbaţiile care au loc în direcţie longitudinală se propagă prin materialul elastic sub forma unei unde plane longitudinale.

Viteza de fază a undelor longitudinale are expresia

ρ=

Ec

unde E este modulul de elasticitate al mediului, iar ρ densitatea mediului. Remarcăm din această expresie că viteza de propagare este cu atât mai mare cu cât mediul este mai elastic şi are densitate mai mică (de exemplu, în aluminiu viteza undelor longitu-dinale este mult mai mare decât în bronz).

5.3.1.1. Viteza de propagare a undelor longitudinale în fluide Fluidele – lichide sau gaze – nu sunt caracterizate în mod uzual de modulul de elasticitate ci de o mărime cunoscută sub numele de coeficient de compresibilitate şi notată cu litera β.

Să găsim în continuare legătura între modu-lul de elasticitate şi coeficientul de compresibili-tate.

Coeficientul de compresibilitate măsoară comprimarea relativă a unui volum de fluid ca urmare a creşterii presiunii pe care restul fluidu-lui o exercită asupra volumului considerat.

dpdV

V1

−=β

Semnul negativ apare pentru că la creşterea pre-siunii (dp > 0), volumul se micşorează (dV < 0),

iar coeficientul de compresibilitate este o mărime pozitivă.

l dl

dV

dp S dp S

Din schiţa alăturată, observăm că : lSV;dlSdV ==

Rezultă :

SlF

SlSdpdl

dpdlS

lSdpdV

Vβ=β=⇒==β

11

105

unde F = Sdl este forţa care comprimă elementul de volum. Comparând cu legea lui Hooke :

SElFdl =

rezultă :

β=

1E

Modulul de elasticitate al unui fluid este egal cu inversul coeficientului de compresibilitate al fluidului.

Cu această observaţie, rezultă că viteza de propagare a undelor longitudinale în fluide are formula :

βρ=

1c

Coeficientul de compresibilitate poate depinde de parametrii de stare ai flui-dului şi de tipul transformării de stare pe care o suferă fluidul în cursul propagă-rii undei.

Să discutăm în continuare cazul gazelor ideale. Variaţiile de presiune datorate

trecerii undei printr-un punct dat pot fi lente sau rapide.

Dacă variaţiile de presiune sunt lente, putem considera că gazul din jurul punctului considerat schimbă căldură cu mediul înconjurător, menţinându-şi constantă temperatura. În acest caz, gazul suferă o transformare izotermă.

Într-o transformare izotermă este valabilă legea Boyle-Mariotte care afirmă că produ-sul dintre presiunea şi volumul gazului este constant :

00VppV = Diferenţiind această relaţie, obţinem :

pdpdV

VdpVdVp 110 =−=β⇒=+

Ecuaţia vitezei de propagare capătă forma :

ρ=

pc

Din ecuaţia de stare a gazului ideal

RTmpVµ

=

unde m este masa de gaz, iar µ este masa molară a gazului obţinem :

µ==

ρRT

Vmpp

106

astfel încât forma finală a formulei vitezei de propagare a undelor longitudinale care determină transformarea izotermă a gazelor ideale se scrie astfel

µ=

RTcT

Dacă variaţiile de presiune sunt rapide, putem considera că gazul din jurul punctului considerat nu are timp să schimbe căldură cu mediul înconjurător. În acest caz, gazul suferă o transformare adiabatică.

Într-o transformare adiabatică este valabilă legea lui Poisson care se scrie astfel

γγ = 00VppV unde γ este exponentul adiabatic al gazului. Diferenţiind această relaţie, obţinem :

pdpdV

VdpVdVVp γ

=−=β⇒=+γ γ−γ 101

Ecuaţia vitezei de propagare capătă forma :

ργ

=pc

Din ecuaţia de stare a gazului ideal rezultă :

µ=

ρRTp

iar forma finală a formulei vitezei de propagare a undelor longitudinale care de-termină transformarea adiabatică a gazelor ideale se scrie astfel :

µγ

=RTcQ

Examinând aceste expresii tragem următoarele concluzii :

Viteza de propagare în gaze a undelor longitudinale, şi în particular a su-netelor, depinde de temperatura gazului dar şi de frecvenţa undelor. Viteza de propagare a undelor de frecvenţă mare, care determină transformarea adiabatică a gazului, este mai mare decât a undelor de frecvenţă mică, care determină transformarea izotermă a gazului.

Măsurătorile experimentale arată că viteza sunetului în aer este de aproximativ

340 m/s. La temperatura de 300 K, cunoscând masa molară a aerului: 29 kg/kmol şi exponentul său adiabatic: 1,4, putem calcula vitezele cT şi cQ:

sm293

kmolkg29

K300K kmol

J8310≅

⋅=Tc

107

sm347

kmolkg29

K300K kmol

J831041≅

⋅⋅=

,cQ

Analizând aceste rezultate tragem concluzia :

Propagarea sunetelor în aer provoacă procese de compresiune şi decom-presiune locale care determină transformarea adiabatică a aerului.

5.3.2. Densitatea de energie în cazul undelor lon-gitudinale

Deplasarea elementului de volum cu viteza v implică faptul că acesta are o ener-gie cinetică :

( ) ( ) dVt

t,xdzdydxt

t,xvdmdWc

222

222⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂ρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂ρ

==

Cu definiţia : Densitatea de energie cinetică reprezintă energia cinetică a unităţii

de volum: wc = dWc/dV putem scrie :

( ) 2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂ρ

==t

t,xdVdWw c

c

Densitatea de energie cinetică într-un mediu elastic în care se propagă o undă transversală este proporţională cu densitatea mediului şi cu pătratul primei derivate a funcţiei de undă, reprezentată prin deplasarea locală, în raport cu tim-pul.

Prin deformarea mediului elastic, în acesta se acumulează şi energie potenţială. Revenind la legea lui Hooke aplicată elementului de volum :

( ) ( ) ( )dxkdxdx

dzdyEt,xF δ=δ=

observăm că forţa deformatoare este de tip elastic. Energia potenţială asociată unei asemenea forţe are expresia :

( )[ ]2

2dxkdWpδ

=

Prin urmare, obţinem : ( ) ( ) ( ) dV

xt,xEdzdydx

xt,xEdx

xt,x

dxdzdyEdWp

222

2221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂Ψ∂

=

Cu definiţia : Densitatea de energie potenţială reprezintă energia potenţială a

unităţii de volum: wp = dWp/dV

108

putem scrie : ( ) 2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

==x

t,xEdV

dWw p

p

Densitatea de energie potenţială într-un mediu elastic în care se propagă o undă transversală este proporţională cu modulul de elasticitate al mediului şi cu pătratul primei derivate a funcţiei de undă, reprezentată prin deplasarea locală, în raport cu coordonata după direcţia de propagare a undei.

După cum am demonstrat anterior, funcţia de undă care verifică ecuaţia diferen-ţială a undelor plane este o funcţie oarecare de faza Φ = x – ct, unde c este viteza de fază :

( ) ( )ΦΨ=−Ψ=Ψ ctx În aceste condiţii :

( ) ( )ΦΨ

−=∂Φ∂

ΦΨ

=∂

Ψ∂ΦΨ

=∂Φ∂

ΦΨ

=∂

Ψ∂ddc

tdd

tt,x;

dd

xdd

xt,x

Înlocuind aceste expresii în formulele densităţilor de energie cinetică şi potenţială, rezultă :

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ∂Ψ

=dEwp

pc wdEdEdcw =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ∂Ψ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ∂Ψ

ρρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Φ∂Ψρ

=222

2

221

2

Concluzia este că :

În prezenţa unei unde longitudinale, în orice punct al mediului şi la orice moment de timp, densitatea locală de energie cinetică este egală cu densitatea locală de energie potenţială: wc = wp.

Mai rezultă de aici şi că :

Cuvinte cheie Densitatea de energie într-un mediu în care se propagă o

undă longitudinală

În prezenţa unei unde longitudinale, densitatea totală de energie, adică suma dintre densităţile de energie cinetică şi potenţială, este egală fie cu dublul densităţii de energie potenţială, fie cu dublul densităţii de energie cinetică : w = wc + wp = 2wc = 2wp.

5.3.3. Transportul de energie Densitatea locală de energie variază în timp. De aceea, energia mecanică conţi-

nută într-un element de volum afectat de prezenţa unei unde longitudinale se modifi-că în cursul timpului. Dacă la momentul de timp t energia elementului de volum este :

( ) ( ) ( ) dzdydxt,xwdVt,xwt,xdW == La momentul ulterior t + dt ea devine :

109

( ) ( ) dzdydxdtt +,xwdtt,xdW =+ w(x, t) → w(x, t+dt) În intervalul de timp dt, variaţia energiei mecanice a elementului de volum este

dz

x + dx dy

c x

J(x+dx, t) J(x, t) ( ) ( ) ( )( ) dzdydxt,xw−dtt,xwdW +=δ Prin dezvoltare în serie Taylor şi prin negli-jarea termenilor de ordin superior obţinem : ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )dtt

t,xwt,xw

tt,xwt,xw

dtt,xw =+

...dtt

t,xwdt

∂∂

+≅

∂∂

+= ≅+∂

∂+ 2

2

2

21

rezultând :

( ) ( ) dzdydxdtt

t,xwdW∂

∂=δ

În lumina principiului conservării energiei mecanice, modificarea energiei elementului de volum nu poate fi acceptată decât dacă admitem că are loc un transport de energie în interiorul mediului elastic, transport făcut prin propaga-rea undei longitudinale.

Mărimea fizică aleasă pentru a măsura transportul de energie se numeşte densi-

tatea curentului de energie. Densitatea curentului de energie este mărimea fizică vectorială

numeric egală cu energia transportată normal prin unitatea de suprafaţă în unitatea de timp :

dtdSdWJ

n=

Cuvinte cheie Transport de energie

Densitatea curentului de energie

Ecuaţia de continuitate

Curentul de energie introduce în elementul de volum, în intervalul de timp dt, energia :

( ) ( ) dtdzdyt,xJdtndSt,xJdW ==← Tot în acest interval de timp, elementul de volum pierde energia :

( ) dtdzdyt,dxxJdW +=→ Bilanţul energetic este :

( ) ( ) ( )( ) dtdzdyt,dxxJt,xJdWdWdW +−=−=δ →← Prin dezvoltare în serie Taylor şi prin neglijarea termenilor de ordin superior, rezultă :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dtdzdydxx

t,xJdtdzdydxx

t,xJt,xJt,xJdW∂

∂−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−≅δ

Din relaţia pe care am obţinut-o anterior, rezultă :

110

( ) ( ) dtdzdydxx

t,xJdzdydxdtt

t,xw∂

∂−=

∂∂

sau : ( ) ( ) 0=

∂∂

+∂

∂t

t,xwx

t,xJ

Această relaţie se numeşte ecuaţia de continuitate şi reprezintă exprimarea mate-matică cea mai generală a principiului conservării energiei mecanice în cursul propagării unei unde elastice plane, longitudinale.

Dacă remarcăm că atât densitatea de energie, cât şi densitatea curentului de energie pot fi la rândul lor funcţii de undă, adică funcţii care depind de faza undei plane Φ = x - ct, rezultă :

( )

( )Φ

−=∂Φ∂

Φ=

∂∂

Φ=

∂Φ∂

Φ=

∂∂

ddwc

tddw

tt,xw

ddJ

xddJ

xt,xJ

astfel încât ecuaţia de continuitate devine :

( ) ( )( ) 0=−Φ

t,xcwt,xJdd

Prin integrare, rezultă : ( ) ( )t,xcwt,xJ =

expresie care are forma vectorială : ( ) ( )cJ t,xwt,x =

Densitatea locală a curentului de energie este proporţională la orice mo-ment de timp cu densitatea locală de energie, iar transportul de energie se face în direcţia şi sensul de propagare al undei elastice longitudinale.

5.4. DISPERSIA UNDELOR

Perturbaţiile care se produc în mod natural într-un mediu elastic au calitatea de a fi procese bine limitate în timp şi spaţiu. Astfel, după cum se poate vedea în figura alăturată, starea de perturba-re durează un interval de timp ∆t într-un punct de coordonată x, iar extinderea spaţială a câmpului de perturbaţie este ∆x. Fără îndoială, expresia mate-matică a funcţiei de undă corespunzătoare propa-gării acestei perturbaţii nu este deloc simplă. În

matematică, prin analiză Fourier se arată că :

x

c ∆t

x∆x

Perturbaţie naturală

111

Expresia matematică a funcţiei de undă care caracterizează o per-turbaţie periodică se poate scrie ca o suprapunere de unde armonice pla-ne, numită serie Fourier, având forma :

( ) ( ) ℵ∈−ω=Ψ ∑ j;xktjsinAt,xj

jj 0

unde ω0 este pulsaţia armonicei fundamentale (corespunzătoare lui k = 1), iar kj sunt numerele de undă asociate armonicei fundamentale (pentru k = 1) şi armonicelor de ordin superior.

Expresia matematică a funcţiei de undă care caracterizează o per-turbaţie neperiodică se poate scrie ca o suprapunere de unde armonice plane, numită integrală Fourier, având forma

( ) ( ) ( )( )∫ ωω−ωω=Ψ dxktsinAt,x

Aceste compuneri de unde plane armonice se mai numesc pachete de unde sau trenuri de unde.

Datele experimentale arată că în general viteza de fază a unei unde plane armonice poate depinde de frecvenţa sau pulsaţia undei.

Dependenţa vitezei de fază a unei unde de frecvenţa sau pulsaţia sa se nu-meşte dispersie. Gradul în care această dependenţă este mai mare sau mai mică es-

te funcţie de natura mediului prin care se propagă unda.

Cuvinte cheie Dispersia

Viteza de grup Formula lui Rayleigh

Dacă fiecare undă componentă a pachetului de unde are altă viteză de fază, ce mai înseamnă oare „viteza de propagare a perturbaţiei ? Noţiunea care se folo-seşte în acest caz este aceea de viteză de grup.

Viteza de grup este viteza cu care se propagă maximul rezultantei obţinute prin compunerea undelor plane care alcătuiesc pachetul de unde.

În continuare vom încerca să găsim relaţia matematică între viteza de grup a unui pachet de unde şi vitezele de fază ale undelor componente. Pentru aceasta vom considera cel mai simplu pachet de unde posibil, format din două unde plane armoni-ce având aceeaşi amplitudine şi pulsaţii uşor diferite :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xktsinAxktsinA δω+ω−δω+ω+δω−ω−δω−ω=Ψ 0000 unde δω << ω0. Prin transformarea sumei de sinuşi în produs, se obţine :

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δω−ω−δω+ω

−ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δω−ω−δω+ω

−δω=Ψ xkktsinxkktcosA22

2 000

00

Ţinând cont de dezvoltările în serie Taylor :

112

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )δω

ωω

−ω≅δω−ω

δωωω

+ω≅δω+ω

ω

ω

0

0

00

00

ddkkk

ddkkk

mai putem scrie : ( ) ( )( )xktsinx

ddktcosA 00

0

2 ω−ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−δω=Ψω

Această expresie este echivalentă unei unde plane : ( ) ( )( )xktsint,x 00 ω−ω=Ψ A

a cărei amplitudine :

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−δω=ω

xd

dktcosAt,x0

2A

depinde de timp şi poziţie. Faza amplitudinii este : ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−δω=Φω

xd

dkt0

Să presupunem că luăm în considerare un moment de timp ulterior t’ şi un alt punct din spaţiu x’, cu condiţia ca faza să nu-şi modifice valoarea :

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−δω=Φω

'xd

dk't0

Fazele fiind egale, amplitudinile pachetului de unde în cele două situaţii sunt de ase-menea egale. Putem spune în acest caz că pachetul de unde s-a propagat din punctul de coordonată x în punctul de coordonată x’. Putem scrie :

( ) ( ) ( ) ( )( )

0

000

1

ω

ωωω

ωω

=∆∆

⇒−=ωω

−⇒ωω

−=ωω

−

ddkt

xt'td

dkx'x'xd

dk'txd

dkt

Pentru că raportul ∆x/∆t are semnificaţia unei viteze, care este chiar viteza de grup, mai rezultă :

( )ωω

=dk

dvg

Ştiind că :

λλπ

−=⇒λπ

= ddkk 222

şi că :

dcdcdccT

cT λ

π+λ

λπ

−=ω⇒λπ

=π

=π

=ω22222

2

şi înlocuind în expresia vitezei de grup, mai rezultă :

113

λλπ−

λπ

+λλπ

−=

d

dcdc

vg

2

2

2

22

sau :

λλ−=

ddccvg

Aceasta este relaţia de legătură între viteza de grup a unui pachet de unde şi viteza de fază. Ea poartă numele de relaţia lui Rayleigh şi caracterizează medii-le dispersive în care viteza de fază a unei unde plane armonice depinde de lun-gimea de undă a aceleiaşi unde.

În mediile numite nedispersive, viteza de fază nu depinde de lungimea de undă (dc/dλ = 0) astfel încât viteza de grup este egală cu viteza de fază. În ase-menea medii forma perturbaţiei nu se modifică în cursul propagării prin me-diu.

O ultimă remarcă este aceea că vitezele de fază nu pot fi măsurate. Experi-mental se poate măsura doar viteza de grup cu care se propagă perturbaţia.

5.5. EFECTUL DOPPLER

Efectul Doppler se manifestă atunci când sursa perturbaţiilor care generează unda şi observatorul se află în stare de mişcare relativă unul faţă de celălalt. Un exemplu ar putea fi locomotiva care şuie-ră şi se apropie sau se depărtează de noi. Tonalitatea sunetului pe care îl auzim în cele două cazuri este diferită, iar aceasta constituie tocmai manifestarea efectului Doppler.

Să considerăm în continuare o sursă de perturbaţii periodice care se deplasea-ză cu viteza vs. Observatorul care recep-ţionează undele generate de perturbaţiile generate de sursă se deplasează cu viteza vo. Undele se propagă cu viteza c. Să

admitem că prima perturbaţie se produce la momentul de timp t0 = 0, la care distanţa dintre sursă şi observator este d0. Frontul de undă ajunge din urmă observatorul la

vs vo

c

d0

vst1

vot1

c t1

t1

t0 = 0

114

momentul de timp t1. Ne propunem să calculăm întârzierea t1. Studiind figura alătura-tă putem scrie relaţia :

101 tvdtc o+= Obţinem :

ovcdt−

= 01

Următoarea perturbaţie are loc la sursă după un interval de timp egal cu o perioadă T0. Întârzierea cu care aceasta ajunge la observator este :

ovcdt−

= 12

unde d1 este distanţa sursă-observator la momentul producerii celei de-a doua pertur-baţii. Această distanţă este egală cu distanţa iniţială, la care se adaugă distanţa parcur-să de observator în timpul T0 şi se scade distanţa parcursă de sursă în acelaşi interval de timp :

0001 TvTvdd so −+= Rezultă :

00

2 Tvcvv

vcdt

o

so

o⋅

−−

+−

=

Să calculăm acum perioada perturbaţiilor recepţionate de observator. Prima dintre ele este recepţionată la momentul t1, iar a doua la momentul T0 + t2, astfel încât :

( ) 00120 TvcvvTttTTo

so ⋅−−

+=−+=

sau :

o

s

vcvc

TT

−−

=0

Cuvinte cheie Efectul Doppler

Decalajul de frecvenţă între undele emise şi undele recep-

ţionate Unde de şoc

Din expresie, observăm că perioada undelor re-cepţionate T este diferită de perioada undelor emise T0. Aceasta este însăşi esenţa efectului Doppler. Putem trage următoarea concluzie :

Efectul Doppler constă în dependenţa raportului dintre perioada undelor recepţionate de un observator şi perioada undelor emise de sursă de viteza de propagare a undelor şi de componentele vitezelor de deplasare ale observatorului şi sursei pe direcţia de propagare a undelor.

Ştiind că perioada unei oscilaţii este inversul frecvenţei sale, putem scrie

s

o

vcvc

−−

=νν

0

Între undele recepţionate şi cele emise există un decalaj de frecvenţă

00 ν⋅−−

=ν−νs

os

vcvv

115

În cazul particular în care observatorul este imobil iar sursa este mobilă, formula de-calajului de frecvenţă devine :

0001

1ν⋅

−=ν⋅

−=ν−ν

s

s

s

vcvc

v

Frecvenţa la recepţie este maximă când sursa se apropie de observator pe direcţia de propagare a undei (adică când vs > 0, vo < 0) :

001

1ν⋅

−=ν−ν

s

max

vc

Frecvenţa la recepţie este minimă când sursa se depărtează de observator pe direcţia de propagare a undei (adică când vs < 0, vo > 0) :

001

1ν⋅

+=ν−ν

s

min

vc

Se observă că în primul caz semnalul re-cepţionat are frecvenţă mai mare decât cel emis, iar în al doilea caz semnalul re-cepţionat are frecvenţă mai mică decât cel emis. Dacă undele sunt unde sonore, în primul caz sunetul recepţionat este mai înalt decât cel emis, iar în al doilea caz sunetul recepţionat este mai jos decât cel emis. Această proprietate ar putea fi folo-sită pentru calcularea vitezei de deplasare a sursei în cazul în care se cunoaşte frec-venţa la emisie şi se măsoară decalajul de frecvenţă la recepţie.

d = vst

α r = ct vs > c

Efectul Doppler nu se mai mani-festă dacă viteza de deplasare a sur-sei depăşeşte viteza de propagare a undelor emise de aceasta.

În acest caz, îşi face apariţia aşa numita undă de şoc. Fronturile de undă succesi-ve, respectiv întreaga energie, sunt cu-

prinse într-un con caracterizat de unghiul α format de înălţimea sa şi generatoare

svc

drsin ==α

La limita acestui con, undele vin în contact cu receptorul producând un şoc mecanic extrem de pronunţat şi periculos. Acesta este şi motivul pentru care avioanele su-personice nu au permisiunea de a survola cu viteză supersonică zonele locuite. De altfel, chiar momentul atingerii vitezei sunetului este periculos pentru avion, deoarece

116

(vezi şi figura alăturată) acest moment înseamnă penetrarea unui strat de aer puternic comprimat, care se comportă ca un adevărat „zid” de care avionul se poate „strivi”. Atenuarea acestui şoc mecanic se poate face utilizând forme aerodinamice speciale, caracteristice avioanelor supersonice.

5.6. NOŢIUNI DE ACUSTICĂ

5.6.1. Generalităţi Obiectul acusticii este studiul emisiei propagării şi absorbţiei sunetelor.

Sunetele sunt unde elastice longitudinale, de energie relativ scăzută, care se propagă prin aer sau alte medii gazoase, lichide sau solide.

Urechea umană este capabilă să sesizeze doar undele sonore cu frecvenţe cu-prinse între 20 Hz şi 20 kHz.

De aceea se face următoarea clasificare a undelor sonore : Infrasunete, adică unde sonore cu frecvenţă inferioară valorii de 20 Hz Sunete, adică unde sonore cu frecvenţă cuprinsă între 20 Hz şi 20 kHz Ultrasunete, adică unde sonore cu frecvenţă superioară valorii de 20 kHz

Sunetele, în calitate de unde mecanice, au toate proprietăţile acestora, dar au şi proprietăţi specifice care vor fi discutate în continuare.

Viteza de propagare a sunetelor depinde de mediul de propagare. Iată câteva exemple :

mediul viteza (m/s)

mediul viteza (m/s)

mediul viteza (m/s)

aer (1 atm ; 0°C)

332 granit 6000 plumb 1200

aer (1 atm ; 100°C)

386 oţel (bară) 5050 apă (15°C) 1440

hidrogen (0°C) 1269 aluminiu 6100 beton 3160 cauciuc 54 sticlă 5190 alcool 1210

Viteza de propagare a sunetului în aer poate depinde de condiţiile atmosferice (temperatură, presiune, densitate). În aer, lungimea de undă λ = c T = c / ν a unui su-net cu frecvenţa de 1000 Hz este de aproximativ 35 de centimetri. Acelaşi sunet are în apă o lungime de undă de 4-5 ori mai mică, iar în beton de nouă ori mai mică.

117

5.6.2. Câmp sonor, presiune sonoră

Propagarea undelor elastice se face prin forţele elastice cu care interacţionează particulele mediului. Acţiunea mecanică produsă de un factor perturbator se manifestă în deformarea şi deplasarea faţă de po-ziţia de echilibru a unor mici porţiuni din material. Interacţiunea dintre acestea şi porţiunile învecinate determină apariţia unor forţe de presiune suplimenta-re în interiorul materialului.

Cuvinte cheie Câmp sonor

Presiune sonoră Valoarea efectivă a presiunii

sonore Impedanţă sonoră

Variaţia de presiune înregistrată într-un punct al materialului în timpul propagării undei elastice, în comparaţie cu presi-unea în absenţa undei este denumită presiune sonoră şi poate constitui o măsură a prezenţei undei sonore şi a calităţii acesteia.

Totalitatea presiunilor suplimentare generate în mediul elastic alcătuieşte un câmp de presiune sonoră, denumit uneori şi câmp sonor.

Dacă notăm presiunea sonoră cu ps şi luăm în considerare o undă sonoră plană:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π=

xTtsinpp max,ss 2

se poate demonstra că intensitatea undei sonore (adică densitatea curentului de energie al undei sonore) are forma matematică:

cpI s

ρ=

2

unde ρ este densitatea mediului, iar c este viteza de fază a undei. Intensitatea undei sonore este o mărime variabilă în timp. Instrumentele de măsură sau urechea umană măsoară în realitate doar o valoare medie a intensităţii undei sonore. Aceasta se poate calcula astfel:

∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π⋅

ρ=⋅

ρ=

Tmax,s

T

s dtxTtsin

Tcp

dtpTc

I0

22

0

2 2111

Cum

22

2212

00

2 Tdt

xTtcos

dtxTtsin

TT

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π ∫∫

rezultă

cp

I max,s

ρ=

2

2

118

Factorul ρc se numeşte impedanţă sonoră, iar raportul 2/p max,s este cunoscut ca presiunea sonoră efectivă pef. Densitatea medie de energie a undei sonore este :

2

2

2 cp

cI

w max,s

ρ==

5.6.3. Caracteristicile sunetelor

5.6.3.1. Tăria Tăria unui sunet este o mărime legată, pe de-o

parte, de efectul auditiv pe care-l produce sunetul şi, pe de-altă parte, de cantitatea de energie pe care o transportă unda sonoră.

Efectul auditiv şi energia undei so-

nore nu se află într-o simplă relaţie de proporţionalitate, din cauza caracterului subiectiv al percepţiei auditive. Din acest

motiv trebuie să utilizăm mărimi fizice diferite pentru a caracteriza tăria sunetului, fie din punctul de vedere obiectiv al transportului de energie so-noră, fie din punctul de vedere subiectiv al efectului auditiv.

Cuvinte cheie Intensitatea sonoră

Pragul de audibilitate şi pra-gul de durere

Nivelul de intensitate acustică Nivelul de tărie sonoră

Să considerăm mai întâi un ton muzical pur, adică o undă sonoră de frecvenţă bine stabilită.

Tăria unui ton muzical pur poate fi caracterizată din punct de vede-re obiectiv de intensitatea sonoră, adică de cantitatea de energie sonoră transportată în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă perpendiculară direcţiei de propagare a sunetului :

I dWdS dt

s

nν =

Intensitatea sonoră minimă care mai poate fi sesizată de analizato-rul auditiv uman se numeşte intensitatea pragului de audibilitate.

Valoarea intensităţii sonore ce corespunde pragului de audibilitate este o funcţie de frecvenţa sunetului. Domeniul de maximă sensibilitate al urechii umane este cu-prins între frecvenţele de 600 Hz şi de 7000 Hz. În acest interval pot fi percepute su-nete de intensitate I = 10-12 - 10-11 W/m2.

119

S-a ales ca valoare standard a pragului de audibilitate intensita-tea pragului de audibilitate al sunetului pur cu frecvenţa de 1000 Hz :

I0 = 10-12 W/m2

Pentru fiecare frecvenţă, există şi o valoare maximă a intensităţii care mai poate fi suportată fără a produce efecte ireversibile asupra aparatului auditiv.

Valoarea maximă a intensităţii care mai poate fi suportată fără a produce efecte ireversibile asupra aparatului auditiv este numită intensita-tea pragului de durere.

Intensitatea pragului de durere este mai mică în intervalul de frecvenţe pentru care urechea este mai sensibilă (0,1 W/m2 la 6000 Hz), ajungând pentru alte frecvenţe până la 10 W/m2. Deoarece valorile numerice extreme ale intensităţilor sonore care trebuie luate în consideraţie în ceea ce priveşte efectul auditiv diferă prin 13 ordine de mărime, se preferă utilizarea unei mărimi fizice relative, denumită nivelul de intensitate acusti-că.

Nivelul intensităţii acustice se defineşte ca fiind de zece ori loga-ritmul zecimal al raportului dintre intensitatea sonoră a sunetului considerat şi intensitatea standard a pragului de audibilitate:

L II

= 100

lg

Unitatea de măsură a nivelului intensităţii acustice este decibelul, cu simbolul dB.

Efectul auditiv al unor sunete, în funcţie de distanţa până la locul unde au fost generate, este prezentat în următorul tabel :

Sursa sunetului Distanţa (m)

Intensitatea (W/m2)

Nivelul inten-sităţii (dB)

şoaptă (prag de audibilitate) 1 10-12 0 căderea picăturilor de apă 1 10-10 20

conversaţie normală 1 10-8 40 automobile rulând pe asfalt 5-10 10-6 60

orchestră simfonică 3-5 10-4 80 ciocan de nituit 1 10-2 100

motor de avion (prag de durere) 10 1 120 Datorită subiectivităţii urechii, sunete având acelaşi nivel al intensităţii acustice provoacă senzaţii auditive diferite. Spre limitele extreme ale domeniului de frecvenţe, pragul de audibilitate creşte mult, iar valorile minime sunt întâlnite pentru frecvenţe

120

între 500 şi 5000 de Hz. Pentru a descrie tăria unui sunet, aşa cum este el perceput de urechea umană, se foloseşte o mărime denumită nivel de tărie a sunetului.

Nivelul de tărie al sunetului este definit ca de zece ori logaritmul zecimal al raportului dintre intensitatea sonoră a unui sunet cu frecvenţa de 1000 Hz, care are aceeaşi tărie aparentă ca şi sunetul considerat, şi intensi-tatea standard a pragului de audibilitate.

Unitatea de măsură a nivelului de tărie este fonul. Relaţia de calcul a nivelului de tărie este :

ννν +=== KlgL

IIKlg

IIlgLt 101010

00

1000

Factorul Kν este o mărime biofizică, iar valoarea sa, în funcţie de frecvenţa şi natura sunetului, este dată de curbe sau de tabele experimentale. Nivelul de tărie, exprimat în foni, este numeric egal cu nivelul intensităţii acustice, exprimat în decibeli, numai pentru sunetele cu frecvenţa de 1000 Hz.

5.6.3.2. Înălţimea şi timbrul

Tonurile muzicale pure sunt undele elastice armonice, de frec-venţă bine definită, care determină oscilaţii locale, armonice, ale particu-lelor mediului, de forma:

y = A sin(2πνt + ϕ) Calitatea sunetului, denumită înălţime, este asociată frecvenţei unui

ton muzical pur. În funcţie de înălţimea lor tonurile muzicale pu-re sunt grupate în octave. Octava începe cu o notă muzicală (de obicei nota do) şi se încheie cu aceeaşi notă, corespunzând acum octavei următoare. Rapor-tul dintre frecvenţa ultimei note a octavei şi frecvenţa

primei note este egal cu doi. În interiorul unei octave există douăsprezece intervale de frecvenţă. Frecvenţa notei la din prima octavă a fost stabilită la valoarea de 440 Hz. Frecvenţele tuturor celorlalte note muzicale pot fi calculate în funcţie de această frec-venţă după relaţia :

Cuvinte cheie Înălţimea sunetului Timbrul sunetului

12101

2440−

+−⋅=ν

mn

unde n este numărul octavei şi m poziţia notei în interiorul octavei. Urechii umane îi este accesibilă gama de frecvenţe 20 Hz - 20000 Hz, adică aproximativ 10 octave.

Tonul muzical complex este sunetul format dintr-un ton muzical pur fundamental, însoţit de alte tonuri muzicale pure, având frecvenţele

121

egale cu multipli întregi ai frecvenţei fundamentale, numite armonice de ordin superior.

În funcţie de proporţia în care armonicele superioare se compun cu tonul fun-damental, sunetul rezultat este auzit într-un mod diferit.

Calitatea sunetului de-a fi perceput într-un mod distinct, deşi este

bazat pe acelaşi ton fundamental, se numeşte timbru. Pe lângă sunetele muzicale întâlnim şi zgomotele. Acestea sunt perturbaţii în general aperiodice, reprezentând sunete nedorite care provoacă senzaţii auditive ne-plăcute. Ca fenomen fizic, zgomotul nu este diferit în mod esenţial de sunetele muzi-cale.

122

6. GAZUL IDEAL

6.1. LEGILE EXPERIMENTALE ALE GAZULUI IDEAL

Gazele împreună cu lichidele fac parte din categoria fluidelor.

Starea termodinamică a unui fluid este perfect determinată de trei parametri de stare : presiunea, volumul şi temperatura. Cantita-tea de fluid este măsurată prin masă sau prin numărul de moli.

Diferenţa dintre gaze şi lichide constă în faptul că gazele sunt compresibile, în timp ce lichidele sunt practic incompresibile.

Transformările în care unul dintre cei trei parametri de stare ai unui fluid este menţinut constant, urmărindu-se variaţia celorlalţi doi parametri, se numesc transformări simple.

6.1.1. Legea transformării izocore

Prin transformare izocoră înţelegem transformarea simplă în care volumul unei mase date de gaz este menţinut constant, variindu-se temperatura şi presiunea.

Datele expe-rimentale arată că într-o transformare izocoră presiunea creşte odată cu creşterea tempera-turii absolute a ga-zului. Graficul

presiunii în funcţie de temperatură este o dreap-tă care trece prin origine. Prin urmare, expresia matematică a legii transformării izocore este o funcţie de gradul întâi

p

TTT0

p

p0

B

A

Cuvinte cheie Transformare izocoră

Legea transformării izocore Coeficientul termic de varia-ţie a presiunii la volum con-

stant

0

0

0

0

Tp

TpT

Tpp =⇔=

123

Enunţul legii transformării izocore este : într-o transformare izocoră raportul dintre presiunea gazului şi temperatura absolută a gazului este constant.

Coeficientul termic de variaţie a presiunii la volum constant se

defineşte prin relaţia :

constVp T

pp =∂∂

=α1

Diferenţiind ecuaţia transformării izocore :

dTTpdp

0

0=

obţinem :

TTp

pTp

pdTdp

p1111

0

0 ===

Rezultă :

Tp1

=α

Coeficientul termic de variaţie a presiunii la volum constant este numeric egal cu inversul temperaturii absolute a gazului.

6.1.2. Transformarea izobară Prin transformare izobară înţelegem transformarea simplă în

care presiunea unei mase date de gaz este menţinută constantă, variindu-se temperatura şi volumul.

Datele expe-rimentale arată că într-o transformare izobară volumul creşte odată cu creşterea tempera-turii absolute a ga-zului. Graficul vo-

lumului în funcţie de temperatură este o dreaptă care trece prin origine. Prin urmare, expresia matematică a legii transformării izocore este o funcţie de gradul întâi

V

TTT0

V

V0

B

A

Cuvinte cheie Transformare izobară

Legea transformării izobare Coeficientul termic de varia-ţie a volumului la presiune

constantă

0

0

0

0

TV

TVT

TVV =⇔=

124

Enunţul legii transformării izobare este : într-o transformare izobară raportul dintre volumul gazului şi temperatura absolută a gazului este constant.

Coeficientul termic de variaţie a volumului la presiune con-

stantă se defineşte prin relaţia

constpV T

VV =∂∂

=α1

Diferenţiind ecuaţia transformării izobare :

dTTVdV

0

0=

obţinem :

TTV

VTV

VdTdV

V1111

0

0 ===

Rezultă

TV1

=α

Coeficientul termic de variaţie a volumului la presiune constantă este numeric egal cu inversul temperaturii absolute a gazului.

6.1.3. Transformarea izotermă

Prin transformare izotermă înţelegem transformarea simplă în care temperatura unei mase date de gaz este menţinută constantă, variindu-se presiunea şi volumul.

Datele expe-rimentale arată că într-o transformare izotermă presiunea scade odată cu creşterea volumu-lui gazului. Grafi-cul presiunii în

funcţie de volum este o hiperbolă echilateră. Prin urmare, expresia matematică a legii transformării izoterme este o funcţie de tipul

VVV0

p

p0 A

B

p Cuvinte cheie Transformare izotermă

Legea transformării izoterme Coeficientul de compresibili-

tate izotermă

00001 VppVV

Vpp =⇔=

125

Enunţul legii transformării izoterme este: într-o transformare izotermă produsul dintre presiunea gazului şi volumul gazului es-te constant.

Coeficientul de compresibilitate izotermă se defineşte prin re-

laţia :

constTTV

V =∂∂

−=β1

Diferenţiind ecuaţia transformării izoterme : 0=+VdppdV

obţinem :

ppV

VdpdV

V111

−=−=

Rezultă :

p1

=β

Coeficientul de compresibilitate izotermă este numeric egal cu inver-sul presiunii gazului.

6.1.4. Legea lui Avogadro

Pornind de la unele date experimentale ob-ţinute de Gay-Lussac în 1805 şi de la ipoteza structurii atomice sau moleculare a gazelor, Avogadro a enunţat următoarea lege :

Cuvinte cheie Legea lui Avogadro

Volume egale din gaze diferite luate în aceleaşi condiţii de temperatură şi presiune conţin acelaşi număr de molecule.

Această lege este echivalentă afirmaţiei :

Numărul de molecule conţinut de o cantitate de gaz ideal de-pinde doar de presiunea, volumul şi temperatura gazului, dar nu de-pinde de natura gazului :

( )T,V,pNN =

126

6.2. TRANSFORMAREA GENERALĂ A GAZULUI IDEAL, ECUAŢIA DE STARE A

GAZULUI IDEAL

6.2.1. Ecuaţia transformării generale a gazului ideal

Transformarea generală a unei mase date de gaz este transfor-marea în care variază toţi cei trei parametri de stare ai gazului.

Experienţele care au condus la descoperi-rea legilor transformărilor simple ale gazului ideal au sugerat că oricare ar fi starea gazului există o relaţie de legătură între parametrii de stare ai gazului. De exemplu, într-o stare dată, temperatura ar trebui să poată fi calculată cu-noscând presiunea şi volumul gazului :

Cuvinte cheie Transformarea generală a ga-

zului ideal Ecuaţia transformării generale

( )V,pTT = Să ne imaginăm că starea gazului se schimbă prin mica modificare a unuia din-tre parametrii de stare. În consecinţă, se vor produce mici variaţii ale celorlalţi doi parametri de stare :

dTT,dVV,dppT,V,p +++→ Putem scrie :

( ) ( )V,pTdVV,dppTdT −++= Dezvoltând în serie Taylor :

( ) ( )V,pT...dVVTdp

pTV,pTdT

pV

−+⋅∂∂

+⋅∂∂

+=

şi neglijând termenii de ordin superior, obţinem :

dVVTdp

pTdT

pV

⋅∂∂

+⋅∂∂

=

Această expresie poate fi pusă sub forma :

VdV

TV

Vp

dp

Tp

pTVdV

TpdpdT

pVpV ∂∂

+

∂∂

=

∂∂

+

∂∂

=1

11

1

Recunoscând în expresie formulele coeficienţilor termici de variaţie ai presiunii, respectiv volumului şi înlocuind valorile acestora, rezultă :

127

VdVT

pdpT

VdV

pdpdT

Vp+=

α+

α=

11

Aducem expresia la forma :

VdV

pdp

TdT

+=

şi integrăm :

∫∫∫ +=V

V

p

p

T

T VdV

pdp

TdT

000

0000

TlnVlnplnTlnVlnplnVdVln

pdpln

TTln −+=−+⇒+=

⇒=0

00

TVpln

TpVln

0

00

TVp

TpV

=

Această ecuaţie este expresia matematică a legii transformării generale a gaze-lor ideale. Enunţul corespunzător este :

În cursul transformării generale a gazului ideal raportul dintre produsul presiune-volum şi temperatura absolută a gazului este con-stant.

6.2.2. Ecuaţia de stare a gazului ideal După cum afirma legea lui Avogadro, numărul de molecule al unui gaz este

o funcţie de parametrii de stare ai gazului ( )T,V,pNN =

De aici rezultă că raportul pV/T care este con-stant în cursul transformării generale a unei ma-se date de gaz nu poate depinde, la rândul său, decât de numărul de molecule al gazului

Cuvinte cheie Ecuaţia de stare a gazului

ideal Constanta lui Boltzmann Constanta gazelor ideale

( )NfTpV

=

Să ne imaginăm că un recipient es-te împărţit în n secţiuni egale. În fieca-re secţiune avem aceleaşi condiţii de presiune şi temperatură. Evident, fieca-re dintre volume va conţine acelaşi număr de molecule N. Scriem :

p,V,TN

p,V,T N

p,V,T N

p,V,T N

( )NfTpV

=

Înlăturând pereţii despărţitori, presiu-

128

nea şi temperatura nu se vor modifica, iar gazul va conţine nN molecule care ocupă volumul nV :

( ) ( )nNfTpVnnNf

TnVp

=⇒=

Folosindu-ne de relaţia precedentă, obţinem : ( ) ( )nNfNnf =

Dând valori particulare lui n, obţinem graficul alăturat. Rezultă că f(N) este o funcţie liniară de numărul N de mole-cule :

5f(N)

4f(N)

3f(N)

2f(N) f(N)

( ) kNNf = Cu această concluzie, rezultă :

kNTpV

=

Nk

0 N 2N 3N 4N 5N Relaţia poate fi pusă şi sub forma :

TpV = Această ecuaţie poartă numele de ecuaţia de stare a gazului ideal. Conform acesteia :

Produsul dintre presiunea şi volumul unei cantităţi de gaz ideal este proporţional cu produsul dintre numărul de molecule al gazului şi temperatura absolută a acestuia.

Constanta de proporţionalitate se numeşte constanta lui Boltzmann şi are valoarea k = 1,38⋅10-23 J/K.

Observăm că ecuaţia de stare a gazului ideal conţine ca factor numărul de

molecule de gaz. Această mărime fizică are valori foarte mari şi nu este conve-nabil să o folosim în practică. De aceea, în loc de numărul de molecule se utili-zează în practică mărimea fizică cunoscută sub numele de numărul de moli sau cantitatea de substanţă.

Un kilomol este cantitatea de substanţă care conţine un număr de molecule egal cu numărul lui Avogadro :

NA = 6,023⋅1026 molecule/kmol Numărul de molecule se poate calcula în funcţie de numărul de moli ν cu relaţia:

N = νNA

În consecinţă, ecuaţia de stare a gazului ideal devine : RTTkNpV A ν=ν=

129

Constanta R = kNA se numeşte constanta gazelor ideale şi are valoarea R = 8310 J/(kmol⋅K).

Putem face enunţul :

Produsul dintre presiunea şi volumul unei cantităţi de gaz ideal este proporţional cu produsul dintre numărul de moli al gazului şi temperatura absolută a acestuia.

RTpV ν=

130

7. ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ

7.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Termodinamica este o ştiinţă în bună parte experimentală. Aceasta înseamnă că principiile şi legile termodinamicii derivă din experienţă, fără se facă ipoteze sau modele structurale ale sistemelor termodinamice.

Cuvinte cheie Sistem termodinamic

Stare termodinamică şi proces termodinamic

Parametrii de stare şi clasificarea lor

Mărimi de stare şi mărimi de proces

Echilibrul termodinamic.

Formalismul matematic adoptat pentru a exprima legile fizicii ne cere să definim o serie de mărimi fizice măsurabile, capabile să descrie sistemele termodinamice. Rolul acestei introduceri este acela de a defini principalele noţiuni din „limbajul” termodinamicii.

Sistemul termodinamic este o porţiune finită a spaţiului, pe care o delimităm (fie şi doar imaginar) de restul Universului.

Delimitarea de restul Universului nu exclude interacţiunea dintre Univers şi sistemul termodinamic.

Situaţia de moment în care se află un sistem termodinamic se

numeşte stare a sistemului termodinamic. Sistemul termodinamic aflat într-o anumită stare este caracterizat de o

serie de mărimi fizice măsurabile. Mărimile fizice măsurabile ale căror valori momentane permit

caracterizarea stării sistemului termodinamic şi a relaţiilor acestuia cu exteriorul se numesc parametri de stare.

Parametrii de stare pot fi clasificaţi în diferite moduri. Una dintre aceste

clasificări este următoarea : parametri de stare externi (parametri de poziţie) – valoarea acestora

depinde de poziţiile ocupate corpurile care înconjoară sistemul termodinamic considerat

131

parametri de stare interni - valoarea acestora depinde de mişcarea de ansamblu şi distribuţia în spaţiu ale componentelor microscopice ale sistemului termodinamic

Totalitatea parametrilor de stare necesari pentru a descrie complet starea unui sistem termodinamic se numeşte grupul complet al parametrilor sistemului.

Mărimile caracteristice sistemului termodinamic care sunt

funcţii doar de parametrii grupului complet de parametri se numesc funcţii de stare sau mărimi de stare.

În general, din cauza interacţiunilor dintre sistemul termodinamic şi restul

Universului, starea sistemului termodinamic se poate schimba în timp. Trecerea sistemului termodinamic dintr-o stare în alta şi este

însoţită de variaţia parametrilor de stare se numeşte transformare de stare sau proces termodinamic.

Procesele termodinamice sunt caracterizate de mărimi specifice, denumite mărimi de proces.

Diferenţa esenţială între mărimile de stare şi mărimile de proces este aceea că primele depind doar de stările iniţială şi finală ale sistemului termodinamic, pe când celelalte depind şi de şirul de stări intermediare prin care a trecut sistemul.

Echilibrul termodinamic este situaţia în care parametrii de

stare ai sistemului termodinamic rămân constanţi în timp. În fizica statistică (care încearcă stabilirea principalelor legi ale termodinamicii pe cale teoretică pornind de la utilizarea anumitor modele structurale ale sistemelor termodinamice), parametrii de stare sunt mărimi macroscopice obţinute prin medierea mărimilor microscopice legate de mişcarea particulelor microscopice care compun sistemul termodinamic. În acest sens, până şi noţiunea de echilibru termodinamic este o noţiune statistică.

Obiectul de studiu al termodinamicii clasice este constituit de sistemele termodinamice la echilibru sau de sistemele termodinamice care evoluează spre atingerea stării de echilibru.

132

7.2. POSTULATELE TERMODINAMICII

Sistemul termodinamic

izolat este sistemul termodinamic care nu schimbă nici energie nici substanţă cu exteriorul.

Studiul experimental al sistemelor

termodinamice izolate de exterior, care nu se află iniţial la echilibru termodinamic, a arătat că mai devreme sau mai târziu se atinge starea de echilibru termodinamic. Generalizând aceste constatări experimentale s-a enunţat primul postulat al termodinamicii, numit şi principiul general al termodinamicii :

Studiul atinger

sisteme termodinamicunor parametri obişnude echilibru termodsuplimentar. Acesta eempirică. Generalizâpostulat al termodina

Cuvinte cheie Sistem termodinamic izolat

Principiul general al termodinamicii

Principiul zero al termodinamicii

UN SISTEM TERMODINAMIC IZOLAT ATINGE DUPĂ UN ANUMIT INTERVAL DE TIMP STAREA DE ECHILIBRU TERMODINAMIC ŞI NU MAI POATE PĂRĂSI ACEASTĂ STARE DE LA SINE (ADICĂ FĂRĂ VARIAŢIA PARAMETRILOR DE STARE EXTERNI SAU, ALTFEL SPUS, FĂRĂ O INTERVENŢIE DIN EXTERIOR).

STAREA CARACTERIZAEXTERNI, PRECARE ESTE TERMODINAM

Primul postulat al termodinamicii

ii echilibrului termodinamic în cazul în care diferite e sunt puse în interacţiune a arătat că pe lângă egalarea iţi (de exemplu cei mecanici: presiune, forţă, etc.) starea inamic necesită considerarea unui singur parametru ste un parametru intern şi a fost denumit temperatură nd aceste constatări experimentale s-a enunţat al doilea micii, numit şi principiul zero al termodinamicii :

DE ECHILIBRU TERMODINAMIC ESTE TĂ DE TOTALITATEA PARAMETRILOR DE STARE CUM ŞI DE O MĂRIME DENUMITĂ TEMPERATURĂ

UN PARAMETRU INTERN AL SISTEMULUI IC.

Al doilea postulat al termodinamicii

133

Temperatura unui sistem termodinamic este un parametru de stare care are următoarele proprietăţi :

Temperatura este o mărime care poate fi definită doar pentru un sistem termodinamic aflat în stare de echilibru termodinamic şi

format dintr-un număr extrem de mare de microentităţi componente. Dacă aceste condiţii nu sunt îndeplinite noţiunea de temperatură nu are sens.

Cuvinte cheie Temperatura

Caracteristicile temperaturii

Dacă sistemul termodinamic considerat este în echilibru termodinamic, având deci o anumită temperatură, şi dacă el este format din mai multe subsisteme, fiecare dintre subsistemele componente este la echilibru termodinamic, având fiecare aceeaşi temperatură.

Dacă două sisteme termodinamice în contact nu schimbă energie când parametrii lor de poziţie sunt constanţi în timp, atunci temperatura lor empirică este egală. Echivalentul acestei afirmaţii este : sistemele termodinamice se pot afla în echilibru termic când temperaturile lor sunt egale.

Al doilea postulat al termodinamicii arată că starea de echilibru termodinamic poate fi caracterizată doar de parametrii de poziţie (parametrii externi) şi de temperatură. Urmează de aici că un alt enunţ al celui de-al doilea postulat al termodinamicii ar putea fi următorul :

Toţi parametrii de stare interni ai unui sistem termodinamic aflat în echilibru termodinamic sunt funcţii de parametrii de stare externi şi de temperatura sistemului termodinamic.

7.3. ECUAŢIILE TERMICE DE STARE ŞI ECUAŢIA CALORICĂ DE STARE

Să considerăm un sistem termodinamic în echilibru termodinamic. Să

notăm parametrii de stare externi prin a1, a2, … an. Fie şi parametrii de stare interni b1, b2, … bk. Temperatura sistemului o notăm prin T. Conform principiului zero al termodinamicii, putem scrie :

( ) k,...,iT,a,...a,abb nii 2121 =∀= Una dintre mărimile de stare, parametru intern, este energia internă : U. Conform celor spuse în paragraful anterior, energia internă se poate exprima în funcţie de parametrii de poziţie şi de temperatură :

( )T,a,...a,aUU n21=

134

Această ecuaţie se numeşte ecuaţia calorică de stare. Pentru orice sistem termodinamic în echilibru există o singură ecuaţie calorică de stare.

Când un sistem termodinamic suferă o transformare de stare, el poate schimba energie cu exteriorul.

Energia schimbată prin variaţia parametrilor externi (parametrilor de poziţie) se numeşte lucru mecanic.

Conform acestei definiţii, putem scrie :

∑=

=n

iiidaALd

1

unde coeficienţii Ai ai micilor variaţii ale parametrilor de poziţie se numesc parametri de forţă conjugaţi cu parametrii de poziţie ai. Notaţia „dL” semnifică că lucrul mecanic elementar este o mărime de proces, adică valoarea sa depinde de stările intermediare prin care trece sistemul termodinamic. Parametrii de forţă sunt de fapt parametrii interni asociaţi fiecăruia dintre parametrii de poziţie în condiţii de echilibru termodinamic. Conform principiului zero al termodinamicii, putem scrie :

( ) n,...,iT,a,...a,aAA nii 2121 =∀= Aceste relaţii poartă numele de ecuaţii termice de stare.

Numărul ecuaţiilor termice de stare este egal cu numărul parametrilor de poziţie.

7.3.1. Ecuaţiile de stare calorică şi termică pentru gazul ideal

Gazul ideal este un fluid. Ca orice fluid, el este caracterizat de un singur parametru de poziţie : volumul V. Prin urmare, există un singur parametru de forţă : presiunea.

Ecuaţia termică de stare : ( )T,Vpp =

este de fapt chiar relaţia pe care am denumit-o până acum „ecuaţia de stare a gazului ideal” :

( )VTRT,VpRTpV ν=⇔ν=

135

Singura formă de energie pe care o posedă moleculele de gaz ideal este energia cinetică. Energia internă a gazului ideal reprezintă deci energia cinetică totală a tuturor moleculelor gazului.

În cazul unui gaz cu moleculă monoatomică ecuaţia calorică de stare are forma :

( ) RTT,VUU ν==23

În general, oricare ar fi gazul ideal, putem scrie ecuaţia calorică de stare sub forma :

TCU Vν= unde CV se numeşte căldura molară la volum constant a gazului.

Se poate remarca faptul că energia internă a unui gaz ideal nu depinde de volumul pe care-l ocupă gazul!

7.4. PRIMUL PRINCIPIU AL TERMODINAMICII

Să presupunem că dispunem de un sistem termodinamic în echilibru termodinamic. Pentru a amorsa un proces termodinamic este necesar să variem printr-o acţiune din exterior cel puţin un parametru de stare. Aşa cum ne asigură principiul general al termodinamicii, după un anumit interval de timp, denumit timp de relaxare τ, sistemul revine în stare de echilibru termodinamic.

Dacă în cursul unui proces

termodinamic viteza de variaţie a unui parametru de stare dai/dt este mult mai mică decât viteza sa medie de variaţie în cursul timpului de

relaxare ∆ai/τ, procesul se numeşte cvasistatic. În caz contrar, procesul este numit nestatic.

Cuvinte cheie Proces cvasistatic

În procesul cvasistatic sistemul termodinamic poate fi considerat ca trecând printr-o succesiune de stări de echilibru !

Din acest motiv, parametrii interni sunt chiar parametrii de forţă, iar lucrul mecanic elementar în procesul cvasistatic este :

( )∑=

=n

iini daT,a,...a,aALd

121

136

Orice sistem termodinamic este mărginit la exterior de o suprafaţă care poate fi numită înveliş. Există o categorie specială de învelişuri care nu permit schimbul de

energie cu exteriorul decât prin variaţia parametrilor de poziţie, adică doar prin efectuarea de lucru mecanic. Acest tip de înveliş se numeşte înveliş adiabatic.

Cuvinte cheie Transformarea adiabatică

Procesul suferit de un sistem termodinamic mărginit de un înveliş adiabatic se numeşte proces adiabatic sau transformare adiabatică.

Să considerăm un sistem termodinamic

care parcurge procesul adiabatic ciclic AMBCA. În cursul acestui proces se efectuează lucru mecanic.

Una dintre convenţiile utilizate de termodinamică (denumită şi convenţia inginerească) atribuie un semn pozitiv lucrului mecanic efectuat

de sistemul termodinamic asupra exteriorului.

N

M

B

A

Utilizând această convenţie, sunt posibile teoretic două situaţii : În transformarea adiabatică, lucrul mecanic total este negativ sau pozitiv În transformarea ciclică adiabatică, lucrul mecanic total este nul

Experienţele efectuate în cursul timpului au arătat că nu este posibil experimental ca în transformarea ciclică adiabatică, lucrul mecanic total să fie pozitiv sau negativ. Cazul contrar ar însemna că sistemul termodinamic face sau primeşte lucru mecanic fără ca în mediul exterior să aibă loc nici-o schimbare !

Generalizând această constatare, stabilim de fapt un principiu al termodinamicii, pe care îl vom enunţa ceva mai târziu. Experimental putem obţine doar ca lucrul mecanic total efectuat în transformarea adiabatică ciclică să fie nul :

0=AMBNA,adL sau :

ANB,adAMB,adANB,adAMB,adBNA,adAMB,ad LLLLLL =⇔=−⇔=+ 00 (am ţinut cont de faptul că la inversarea sensului unei transformări termodinamice lucrul mecanic îşi schimbă semnul).

137

Concluzia este că într-o transformare adiabatică lucrul mecanic efectuat de sistemul termodinamic la trecerea din starea A în starea B nu depinde de stările intermediare prin care trece sistemul ci doar de stările iniţială şi finală !

Faptul că lucrul mecanic în transformarea adiabatică nu depinde de modul în care se face transformarea înseamnă că acesta este o funcţie de stare !

Această funcţie de stare este tocmai energia internă a sistemului termodinamic :

BAAB

def

AB,ad UUUL −=∆−=

Consecinţa directă a observaţiilor experimentale care conduc la concluzia că într-o transformare ciclică adiabatică lucrul mecanic total făcut de sistemul termodinamic este nul este aceea că se poate defini funcţia

de stare care este energia internă. De aceea, generalizarea acestor observaţii experimentale, care constituie primul principiu al termodinamicii, este cuprinsă în enunţul :

Engeneralmişcărşi a entotală ina sistemcare nuîntr-o c

Cuvinte cheie Energia internă

EXISTĂ O FUNCŢIE DE STARE, DENUMITĂ ENERGIE INTERNĂ, A CĂREI VARIAŢIE ÎN CURSUL UNEI TRANSFORMĂRI TERMODINAMICE NU DEPINDE DECÂT DE STĂRILE INIŢIALĂ ŞI FINALĂ ALE SISTEMULUI CONSIDERAT.

ergia internă ş mărimi diferitilor dezordonaergiilor potenclude pe lângăului termodina

pot afecta starutie de conserv

Primul principiu al termodinamicii

i energia totală ale unui sistem termodinamic sunt în e. Energia internă este suma energiilor cinetice ale te ale moleculelor (translaţii, rotaţii, vibraţii), precum ţiale asociate interacţiunilor dintre molecule. Energia energia internă şi energia cinetică a mişcării de ansamblu mic sau energia potenţială a acestuia în câmpuri de forţe ea de echilibru termodinamic (de exemplu, gazul închis e are aceeaşi energie internă şi într-un autobuz în mişcare

138

şi pe vârful unui munte ca şi în laboratorul facultăţii, cu singura condiţie ca şi temperatura să aibă aceeaşi valoare). Tot experienţele arată că într-o transformare ciclică sistemele termodinamice pot totuşi schimba lucru mecanic cu exteriorul, cu singura condiţie ca ele să nu aibă înveliş adiabatic. În aceste cazuri :

0≠+∆⇒∆−≠ ABABABAB LUUL Consecinţa este şi aceea că de această dată lucrul mecanic efectuat într-o transformare deschisă depinde de şirul de stări intermediare, adică lucrul mecanic este mărime de proces. Pentru transformări infinitezimale, această concluzie se poate scrie astfel :

0≠+ LddU Prin căldură înţelegem suma

dintre variaţia energiei interne şi lucrul mecanic în cursul unui proces termodinamic oarecare :

QdLddU =+ Această definiţie este echivalentă cu următoarea afirmaţie :

Căldura este numeric egală cu variaţia energiei interne într-o transformare în care parametrii de poziţie rămân constanţi.

Despre căldură putem face următoarele afirmaţii : Căldura este o mărime de proces. Aceasta înseamnă că expresia

matematică a căldurii depinde de transformarea pe care o suferă sistemul termodinamic.

Căldura este o formă de schimb de energie. Căldura măsoară variaţia energiei interne asociată mişcării dezordonate a moleculelor sau interacţiunilor dintre molecule. Lucrul mecanic, la rândul său, măsoară variaţia energiei interne asociată mişcării ordonate a moleculelor.

Una dintre convenţiile utilizate de termodinamică (denumită şi convenţia inginerească) atribuie un semn pozitiv căldurii primite de sistemul termodinamic din exterior.

Cuvinte cheie Căldură

Cuvinte cheie Formularea cantitativă a

primului principiu al termodinamicii

Putem scrie :

LdQddU −= Aceasta este ecuaţia corespunzătoare formulării cantitative a primului principiu al termodinamicii.

139

Enunţul asociat este : Variaţia energiei interne într-o transformare oarecare a

unui sistem termodinamic este numeric egală cu diferenţa între căldura primită de sistem din exterior şi lucrul mecanic făcut de sistem asupra exteriorului.

Ecuaţia principiul întâi al termodinamicii ne arată că într-un proces ciclic (în care ∆U = 0) lucrul mecanic este efectuat de sistemul termodinamic asupra exteriorului (L > 0) doar dacă sistemul primeşte căldură din exterior (Q > 0). Aceasta înseamnă că nu poate exista o maşină capabilă să furnizeze lucru mecanic fără a consuma o altă formă de energie (căldura).

O maşină (adică un dispozitiv care funcţionează pe baza unui

ciclu infinit repetabil în timp) capabilă să furnizeze lucru mecanic fără a consuma o altă formă de energie se numeşte perpetuum mobile de speţa întâia. Primul principiu al termodinamicii este echivalent cu afirmaţia :

Nu se poate construi un perpetuum mobile de prima speţă.

Primul principiu al termodinamicii este considerat modul cel mai general de formulare a legii conservării energiei.

7.5. APLICAŢII ALE PRIMULUI PRINCIPIU AL TERMODINAMICII

7.5.1. Coeficienţi calorici

Căldura transferată între sistemul termodinamic şi exterior într-un proces cvasistatic depinde atât de variaţia parametrilor de poziţie, cât şi de variaţia temperaturii

Cuvinte cheie Capacitate latentă Capacitate calorică Capacitate termică dTC+daQd

n

kkkλ=∑

=1

Factorul λk se numeşte capacitate latentă asociată parametrului de poziţie ak. Capacitatea latentă asociată parametrului

140

de poziţie ak este numeric egală cu căldura transferată între sistemul termodinamic şi exterior atunci când parametrul ak creşte cu o unitate, iar toţi ceilalţi parametri de poziţie şi temperatura rămân constanţi.

Factorul C se numeşte capacitate calorică a sistemului termodinamic. Capacitatea termică este numeric egală cu căldura transferată între sistemul termodinamic şi exterior atunci când temperatura creşte cu o unitate, iar toţi parametrii de poziţie rămân constanţi.

Deoarece căldura este mărime de proces, rezultă că toate capacităţile latente şi capacitatea calorică sunt de asemenea mărimi de proces.

Conform principiului întâi al termodinamicii, putem scrie :

( ) ∑∑==

+∂∂

+∂∂

=+=n

kkk

n

kk

kn daAdT

TUda

aULdT,a,...a,adUQd

1121

sau :

dTTUdaA

aUQd

n

kkk

k ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∑=1

Prin comparaţie cu relaţia :

dTdaQdn

kkk C+λ=∑

=1

rezultă expresiile capacităţilor latente şi capacităţii calorice :

n...,k;AaU

kk

k 21=∀+∂∂

=λ

TU∂∂

=C

Capacitatea termică a unui sistem termodinamic este definită prin relaţia

TU

dTdaA

aU

dTda

dTQd n

k

kk

k

n

k

kk ∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=+λ== ∑∑== 11

0 CC

7.5.1.1. Coeficienţii calorici ai fluidelor

Fluidele au un singur parametru de poziţie : volumul V. Energia internă este funcţie doar de volum şi temperatură :

( ) pdVQddU;T,VUU −== Ca urmare, există o singură capacitate latentă (asociată volumului) :

141

pVU

V +∂∂

=λ

o capacitate calorică :

TU∂∂

=C

şi o capacitate termică :

TU

dTdVp

VU

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

=0C

În cazul gazului ideal, energia internă are expresia :

0=∂∂

ν=∂∂

⇒ν=VU;C

TUTCU VV

relaţii în care ν este numărul de moli, iar CV este căldura molară la volum constant. Rezultă :

VRTpVν

==λ

VCν=C

VV CdTdV

VTRC

dTdVp ν+ν=ν+=0C

7.5.2. Relaţia Robert-Mayer pentru fluide

Fie un fluid care participă la o transformare izocoră (V = const, dV = 0). În aceste condiţii, rezultă :

dTTUdTdTdVQd VV ∂∂

==+λ= CC

Dacă fluidul participă la o transformare izobară (p = const, dp = 0), scriem :

dTTUdVp

VUdTdVQd Vp ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

=+λ= C

Ecuaţia termică de stare a fluidului p = p(V,T) permite calcularea volumului ca funcţie de presiune şi temperatură: V = V(p,T). Atunci :

dTTVdp

pVdV

∂∂

+∂∂

=

În transformarea izobară dp = 0, aşa că rezultă :

Vconstp

p QddTTVp

VUdT

TUdT

TVp

VUQd +

∂∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

=∂∂

+∂∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

==

sau :

142

constp

Vp

TVp

VU

dTQd

dTQd

=∂∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

=−

sau :

constpV

constpV,p, T

VTVp

VU

== ∂∂

λ=∂∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

=− 00 CC

Această expresie se numeşte relaţia Robert-Mayer pentru fluide.

În cazul gazelor ideale, pentru care energia internă nu depinde de volum, rezultă :

constpV,p, T

Vp=∂

∂=− 00 CC

Din ecuaţia transformării izobare, rezultă :

dTTVdT

TVdVT

TVV

TV

TV

==⇒=⇒=0

0

0

0

0

0

sau :

RTRT

TpV

TVp

constpν=

ν==

∂∂

=

sau : RV,p, ν=− 00 CC

Aceasta este relaţia Robert-Mayer pentru o cantitate oarecare de gaz ideal.

Capacitatea termică a unui mol de gaz se numeşte căldură

molară. Valoarea acesteia depinde de procesul la care participă gazul:

ν= 0CC

Cu această definiţie, relaţia Robert-Mayer pentru un mol de gaz devine :

RCC Vp =−

Diferenţa dintre căldura molară la presiune constantă şi căldura molară la volum constant ale unui gaz ideal este o constantă (constanta gazelor ideale) care nu depinde de natura gazului ideal.

143

7.5.3. Lucrul mecanic, căldura şi variaţia de energie internă în transformarea politropă a

gazului ideal

7.5.3.1. Ecuaţia transformării politrope a fluidelor

Se numeşte transformare politropă o transformare în care capacitatea termică a substanţei este constantă

constdTQd x

,x ==0C

Conform primului principiu al termodinamicii, rezultă :

dVpVUdT

TUpdVdUdT,x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

+∂∂

=+=0C

Folosind relaţia Robert-Mayer, obţinem :

dV

TV

dTdT

constp

V,p,,V,x

=∂∂

−+= 00

00CC

CC

sau :

( ) ( ) 00000 =∂∂

−+−=

dVVTdT

constpV,p,,x,V CCCC

Exprimând temperatura ca funcţie de volum şi presiune, rezultă :

( ) dVVTdp

pTdTV,pTT

constpconstV == ∂∂

+∂∂

=⇒=

Înlocuind diferenţiala temperaturii în ecuaţia precedentă, obţinem :

( ) ( ) 00000 =∂∂

−+∂∂

−==

dVVTdp

pT

constpx,p,

constV,x,V CCCC

Cu notaţia :

,x,V

x,p,x00

00

CC

CC

−−

=

unde x se numeşte indicele politropei, putem scrie :

0=∂∂

+∂∂ dp

pTdV

VTx

Vp

Această ecuaţie se numeşte ecuaţia diferenţială a transformării politrope a unui fluid.

144

7.5.3.2. Ecuaţia transformării politrope a gazelor ideale

În cazul gazelor ideale, putem scrie :

Rp

VT;

RV

pT

RpVT

constpconstV ν=

∂∂

ν=

∂∂

⇒ν

===

Înlocuind în ecuaţia diferenţială a transformării politrope, obţinem :

0=ν

+ν

dpR

VdVRpx

sau :

0=+p

dpVdVx

Integrând, obţinem :

000000

=+⇒=+ ∫∫ ppln

VVlnx

pdp

VdVx

p

p

V

V

sau : constVppV xx == 00

Aceasta este ecuaţia transformării politrope a gazelor ideale.

7.5.3.3. Transformările simple ale gazelor ideale, cazuri particulare de transformări politrope

Transformările simple ale gazelor ideale corespund anumitor valori ale

indicelui izotropei. Transformarea izocoră

Scriem ecuaţia politropei sub forma 0

10

1 VpVp x/x/ = Observăm că ecuaţia izocorei V = V0 este respectată dacă 1/x = 0, sau x = ∞. Deci :

Transformarea izocoră a unui gaz ideal este transformarea politropă corespunzătoare unei valori infinite a indicelui politropei.

Transformarea izobară

Observăm că ecuaţia izobarei p = p0 este respectată dacă x = 0. Deci :

Transformarea izobară a unui gaz ideal este transformarea politropă corespunzătoare unei valori nule a indicelui politropei.

145

Transformarea izotermă Observăm că ecuaţia izotermei pV = p0V0 este respectată dacă x = 1. Deci :

Transformarea izotermă a unui gaz ideal este transformarea politropă corespunzătoare unei valori unitare a indicelui politropei.

Transformarea adiabatică

Într-o transformare adiabatică gazul ideal nu schimbă căldură cu exteriorul : 0=γQd

(am notat indicele corespunzător al politropei cu γ). Această condiţie este îndeplinită dacă :

pdVdpR

VdVRpCpdVdTCpdVdU VV +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ν+

νν=+ν=+=0

Utilizând şi relaţia Robert-Mayer, rezultă :

0001 =+⋅⇔=+⋅+

⇔=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

pdp

VdV

CC

pdp

VdV

CRC

pdp

RC

VdV

RC

V

p

V

VVV

Comparând cu ecuaţia diferenţială a politropei gazului ideal, rezultă :

V

p

CC

=γ

respectiv, ecuaţia transformării adiabatice a gazului ideal (numită şi ecuaţia lui Poisson) :

constVppV == γγ00

unde γ poartă numele de exponent adiabatic.

Transformarea adiabatică a unui gaz ideal este transformarea politropă corespunzătoare unei valori a indicelui politropei egală cu exponentul adiabatic al gazului.

Exponentul adiabatic al unui gaz ideal este o mărime

adimensională, numeric egală cu raportul dintre căldura molară la presiune constantă şi căldura molară la volum constant.

În funcţie de numărul i al gradelor de libertate ale moleculelor gazului, expresia căldurii molare la volum constant este :

⇒+

=+=⇒= RiRCCRiC VpV 22

2

ii 2+

=γ

146

7.5.3.4. Căldura, lucrul mecanic, variaţia de energie internă în transformarea politropă a gazului ideal

În cazul gazului ideal, variaţia infinitezimală a energiei interne este :

dTCdU Vν= Prin integrare, rezultă :

( ) TCTTCdTCU VV

T

TV ∆ν=−ν=ν=∆ ∫ 12

2

1

În orice transformare politropă a unui gaz ideal variaţia de energie internă este proporţională cu numărul de moli al gazului, cu căldura molară la volum constant şi cu variaţia temperaturii absolute a gazului.

În particular, în transformarea izotermă variaţia de energie internă este nulă.

În cazul gazului ideal, lucrul mecanic elementar este :

pdVLd = În transformarea politropă :

xxxx

VdVVpLdVppV 0000 =⇒=

prin integrare, obţinem :

( )2

1

2

1

2

1

1000000 11

V

Vx

xV

Vx

xV

Vx

x

VxVp

VdVVp

VdVVpL −−

=== ∫∫

sau :

( ) xTR

xVpVpVp

VpVpVp

VpVp

xL x

x

x

x

−∆ν

=−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

1111 2222

1111

0022

22

00

În orice transformare politropă a unui gaz ideal lucrul mecanic este proporţional cu numărul de moli al gazului, cu constanta gazelor ideale, cu variaţia temperaturii absolute a gazului şi depinde de indicele politropei.

Formula anterioară nu este aplicabilă în cazul izotermei, unde x = 1. Lucrul mecanic în transformarea izotermă se poate calcula astfel :

1

2

1

20000

0000

2

1VVlnRT

VVlnVp

VdVVpL

VdVVpLdVppV

V

V

ν===

⇒=⇒=

∫

147

În particular, în transformarea izotermă lucrul mecanic este proporţional cu numărul de moli al gazului, cu constanta gazelor ideale, cu temperatura absolută a gazului şi cu logaritmul natural al raportului dintre volumul final şi volumul iniţial ale gazului. Căldura infinitezimală schimbată într-o transformare politropă a gazului

ideal are expresia : dTCQd xν=

unde Cx este căldura molară corespunzătoare transformării politrope considerate:

ν= ,x

xC 0C

Prin integrare, rezultă :

( ) TCTTCdTCQ xx

T

Tx ∆ν=−ν=ν= ∫ 12

2

1

În orice transformare politropă a unui gaz ideal căldura este proporţională cu numărul de moli al gazului, cu căldura molară corespunzătoare politropei şi cu variaţia temperaturii absolute a gazului.

În particular, în transformarea adiabatică căldura este nulă. În cazul transformării izoterme, în virtutea primului principiu al

termodinamicii, ştiind că variaţia de energie internă este nulă, rezultă egalitatea dintre căldură şi lucrul mecanic :

1

2

VVlnRTLQ ν==

În particular, în transformarea izotermă căldura este egală cu lucrul mecanic. Iată în încheiere un rezumat, prezentat sub forma unui tabel :

Transformarea politropă Transformarea

gazului ideal Indicele

politropeiLucrul

mecanic Căldura Variaţia

energiei interne

izocoră ∞ 0 TCV∆ν izobară 0 TR∆ν TCp∆ν

izotermă 1

1

2

VVlnRTν

1

2

VVlnRTν

adiabatică γ TCV∆ν− 0 politropă oarecare

x xTR

−∆ν

1

xxCC Vp

−−

ν1

TCV∆ν

148

7.6. PRINCIPIUL AL DOILEA AL TERMODINAMICII

În procesele ciclice starea iniţială coincide cu starea finală, efectul fiind că

variaţia totală a energiei interne este nulă.

Se numeşte termostat un sistem termodinamic a cărui temperatură rămâne practic constantă chiar dacă termostatul schimbă căldură sau lucru mecanic cu un alt sistem termodinamic.

Fie un sistem termodinamic care este supus unei transformări ciclice, monoterme, reversibile. Cuvinte cheie

Termostat Transformare monotermă Transformare reversibilă

Transformarea monotermă este transformarea în care sistemul termodinamic este în contact cu un termostat.

Transformarea reversibilă este transformarea care poate fi parcursă de la o stare A la o stare B sau de la starea B la starea A trecând prin aceeaşi succesiune de stări (evident, în sensuri contrare).

Conform primului principiu al termodinamicii, variaţia energiei interne fiind nulă, rezultă că lucrul mecanic total efectuat în cursul transformării ciclice, monoterme, reversibile este egal cu căldura schimbată cu termostatul :

L = Q Cum putem interpreta o asemenea relaţie ? Evident, putem spune că ea este echivalentă afirmaţiei : căldura se poate transforma integral în lucru mecanic sau invers. Experimental se poate verifica dacă această afirmaţie este sau nu adevărată. Există trei cazuri :

1. Sistemul primeşte căldură din exterior (Q > 0), pe care o transformă integral în lucru mecanic făcut asupra exteriorului (L > 0). O maşină termică capabilă de o asemenea acţiune se numeşte perpetuum mobile de speţa a doua. Numeroasele experienţe făcute pentru a constata dacă aşa ceva este posibil au avut rezultate negative.

149

2. Sistemul cedează căldură spre exterior (Q < 0), pe seama lucrului mecanic pe care îl primeşte din exterior (L < 0). Transformarea ciclică monotermă fiind reversibilă, posibilitatea de a realiza în practică un asemenea proces este exclusă pentru că parcurgând ciclul în sens invers am ajunge în prima situaţie, aceea care nu a putut fi confirmată experimental.

3. Atât lucrul mecanic total, cât şi căldura totală sunt nule. Aceasta este singura posibilitate care se poate confirma experimental. Tragem de aici următoarea concluzie experimentală :

Într-o transformare ciclică, monotermă, reversibilă căldura totală şi lucrul mecanic total sunt nule.

Dacă transformarea este ciclică şi monotermă, dar nu este şi reversibilă, experimental se poate constata doar că sistemul termodinamic primeşte lucru mecanic din exterior şi furnizează căldură exteriorului. Tragem de aici următoarea concluzie experimentală :

Într-o transformare ciclică, monotermă, ireversibilă sistemul termodinamic primeşte lucru mecanic din exterior.

Cuvinte cheie Al doilea principiu al

termodinamicii

Generalizarea acestor constatări experimentale a condus la formularea celui de-al doilea principiu al termodinamicii (această formulare aparţine lui William Thomson, lord Kelvin).

ÎNTR-O TRANSFORMARE CICLICĂ, MONOTERMĂ SISTEMUL TERMODINAMIC NU POATE EFECTUA LUCRU MECANIC ASUPRA EXTERIORULUI. DACĂ TRANSFORMAREA ESTE ŞI IREVERSIBILĂ, SISTEMUL TERMODINAMIC PRIMEŞTE LUCRU MECANIC DIN EXTERIOR.

O formulare ech

Nu estecu temperaturridicată.

Al doilea principiu al termodinamicii

ivalentă aparţine lui Clausius :

posibilă trecerea de la sine a căldurii de la un corp ă mai scăzută la un corp cu temperatură mai

150

În fine, consecinţa inginerească cea mai importantă este aceea că nu se poate construi o maşină termică care să transforme integral căldura primită în lucru mecanic. Aşadar :

Nu se poate construi un perpetuum mobile de speţa a doua.

7.7. CONSECINŢE ALE PRINCIPIULUI AL DOILEA AL TERMODINAMICII

7.7.1. Ciclul Carnot Concluzia celor discutate până acum este că orice maşină termică poate

furniza lucru mecanic în exterior doar dacă este pusă în contact cu minimum două surse de căldură (termostate).

Cuvinte cheie Ciclu Carnot

Randamentul unei maşini termice

Motorul termic este o maşină termică care furnizează lucru mecanic în exterior, funcţionând conform unui ciclu termodinamic.

Cel mai simplu ciclu termodinamic după care ar putea

funcţiona un motor termic se numeşte ciclu Carnot. Un ciclu Carnot este format din două transformări adiabatice

şi două transformări izoterme, în cursul cărora sistemul termodinamic este pus în contact cu termostatele. Unul dintre termostate are rolul de a ceda căldură motorului termic, iar celălalt de a prelua căldură de la acesta.

Deoarece orice motor termic funcţionează ciclic, variaţia totală a energiei interne în cursul unui ciclu este nulă. Conform primului principiul al termodinamicii, ne rămâne relaţia :

totalcedatprimit LQQ =+ În această relaţie Qprimit şi Ltotal au valori pozitive, iar Qcedat valoare negativă.

Randamentul unui motor termic este definit prin relaţia

primit

total

QL

=η

Înlocuind expresia lucrului mecanic total, obţinem :

151

primit

cedat

QQ

−=η 1sauprimit

cedat

QQ

+=η 1

În cazul ciclului Carnot, se primeşte căldură pe izoterma Tc şi se cedează căldură pe izoterma Tr. Randamentul ciclului Carnot este :

AB

CDC Q

Q+=η 1

Utilizând expresiile corespunzătoare transferului de căldură în transformarea

izotermă, rezultă :

izotermă Tr

p

izotermă Tc

adiabată adiabată D

B

A

V C

A

Bc

C

Dr

A

Bc

C

Dr

C

VVlnT

VVlnT

VVlnRT

VVlnRT

+=ν

ν+=η 11

În cele două transformări adiabatice, putem scrie :

11−γ

γγγγ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

ν=

ν⇒=

r

cBCC

C

rB

B

cCB T

TVVVVRTV

VRTVpVp

CB

11−γ

γγγγ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

ν=

ν⇒=

r

cADA

A

cD

D

rAD T

TVVVVRTV

VRTVpVp

AD

Rezultă :

A

B

B

A

C

D

B

A

C

D

VVln

VVln

VVln

VV

VV

−==⇒=

Expresia randamentului ciclului Carnot devine :

c

rC T

T−=η 1

Randamentul ciclului Carnot depinde doar de temperaturile absolute ale izvoarelor de căldură (termostatelor) şi nu depinde de natura gazului ideal participant la ciclu.

Ţinând cont şi de expresia randamentului în funcţie de căldurile schimbate în cursul ciclului Carnot, rezultă :

⇒−=c

r

AB

CD

TT

QQ 0=+

r

CD

c

AB

TQ

TQ

Într-un ciclu Carnot, suma rapoartelor dintre căldurile schimbate cu fiecare dintre termostate şi temperaturile acestora este nulă.

152

7.7.2. Maşini termice biterme, teorema lui Carnot

Să considerăm un motor termic

biterm, care funcţionează cu termostatele de temperaturi T1 > T2. De asemenea considerăm şi un ciclu Carnot, parcurs în sens invers (el nu funcţionează ca motor termic). Alegem cantitatea de gaz care participă

la ciclul Carnot astfel încât căldura primită de termostatul de temperatură T2 să fie egală în modul cu căldura cedată de acesta ciclului Carnot :

T1 T2

C Q’2 Q’1

MT Q2 Q1

022 =+ 'QQ

În acest mod, ansamblul motor termic-ciclu Carnot nu schimbă căldură cu termostatul de temperatură T2, iar transformările care au loc alcătuiesc un ciclu monoterm.

Conform celui de-al doilea principiu al termodinamicii, lucrul mecanic total nu poate fi decât negativ (sistemul primeşte lucru mecanic din exterior)

( ) ( ) 01122112121 ≤+=+++=+++=+= 'QQ'QQ'QQ'Q'QQQLLL C,tMT,tt În ciclul Carnot :

2

121 T

T'Q'Q −=

Conform condiţiei impuse Q’2 = -Q2, rezultând :

1

2

1

2

1

2

1

2

2

121 1100

TT

QQ

TT

QQ

TTQQ −≤+⇒≤+⇒≤+

sau :

CTT

QQ

η≤η⇔−≤−1

2

1

2 11

Randamentul oricărui motor termic biterm este mai mic sau cel mult egal cu randamentul unui ciclu Carnot care s-ar desfăşura între aceleaşi temperaturi extreme.

Această concluzie poartă numele de teorema lui Carnot.

153

7.7.3. Inegalitatea lui Clausius, entropia

Fie o transformare ciclică oarecare. Considerăm o porţiune foarte mică MN, suficient de mică pentru ca temperatura să poată fi considerată constantă şi egală cu Ti. În transformarea MN, sistemul termodinamic schimbă cu exteriorul căldura dQi. Considerăm şi un ciclu Carnot care, funcţionând între temperaturile Ti şi T0, schimbă căldura dQ’i, astfel încât :

2

Ti

M N

1

0=+ ii 'QdQdPentru ciclul Carnot este valabilă relaţia :

00

0 =δ

+δ

T'Q

T'Q ,i

i

i

Rezultă :

0

0

0

0 0T

'QdTQd

T'Qd

TQd ,i

i

i,i

i

i =⇒=+−

Pentru tot ciclul :

0

00

0

1T'Q'Qd

TTQd

,ii

i == ∫∫

Căldura totală schimbată în cursul ciclului este : ( )[ ] ( )[ ] 0000 'Q'Qd'QdQdQd'Qd'QdQdQ ,iii,i,iiit ==++=++= ∫∫∫

Condiţia 0=+ ii 'QdQd are drept consecinţă faptul că procesul ciclic considerat (împreună cu ciclurile Carnot) formează o transformare ciclică monotermă. Conform principiului al doilea al termodinamicii, rezultă :

00 0 ≤⇒≤ 'QQt Căldura Q’0 fiind negativă, mai rezultă :

0≤∫i

i

TQd

Această relaţie se numeşte inegalitatea lui Clausius.

Dacă ciclul este reversibil (Qt = 0) şi dacă considerăm stările 1 şi 2 de pe parcursul său, putem scrie :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫∫∫∫∫∫ =−=⇒=+=2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

0TQd

TQd

TQd

TQd

TQd

TQd revrevrevrevrevrev

154

Relaţia ne arată că integrala mărimii dQrev/T depinde de starea iniţială şi finală, dar nu depinde de şirul de stări prin care trece sistemul termodinamic, ceea ce înseamnă că mărimea dQrev/T este de fapt variaţia foarte mică a unei funcţii de stare.

În consecinţă, putem formula următoarea definiţie :

Într-un proces reversibil, mărimea dQrev/T este variaţia foarte mică a unei funcţii de stare pe care o numim entropie.

TQddS rev=

Dacă ciclul este ireversibil stările 1 şi 2 de pe parcursul său (în porţiunea

care trece prin M sau N) şi reversibil între stările 2 şi 1, atunci procesul complet este ireversibil şi Qt < 0. Rezultă :

( )

( )

( )

( )0

1

2

2

1

<+= ∫∫∫ TQd

TQd

TQd revirev

Cum :

( )

( )

( )

( )

21

1

2

1

2

SSdSTQd rev −== ∫∫

rezultă :

( )

( )

12

2

1

SST

Qd irev −<∫

Incluzând atât procesele reversibile, cât şi cele ireversibile, putem scrie :

( )

( )

∫≥−2

112 T

QdSS

Considerând că în procesul 1 → 2 sistemul este izolat de exterior (dQ = 0), rezultă :

012 ≥− SS Aceasta înseamnă că în procesul ireversibil entropia creşte, iar în cel reversibil entropia rămâne constantă. Pornind de la aceste observaţii, se poate da o nouă formulare a principiului al doilea al termodinamicii :

Există o funcţie de stare denumită entropie, definită prin relaţia dS = dQ/T, a cărei valoare creşte în procesele ireversibile pe care le suferă un sistem termodinamic izolat şi rămâne constantă în procesele reversibile.

155

Faptul că entropia creşte în cursul proceselor ireversibile ale unui sistem termodinamic izolat ne arată că entropia este legată de sensul de desfăşurare pe care îl poate avea o transformare termodinamică.

În cazul unui fluid, după definirea entropiei, principiul întâi şi principiul

al doilea ale termodinamicii se pot reuni într-o singură relaţie matematică : pdVTdSdU −=

7.8. APLICAŢII ALE PRINCIPIULUI AL DOILEA AL TERMODINAMICII

7.8.1. Calculul entropiei gazului ideal

Din relaţia : pdVTdSdU −=

obţinem :

TpdVdUdS +

=

Ştiind că : dTCdU Vν=

şi că :

VR

TpRTpV ν=⇒ν=

ajungem la relaţia :

VdVR

TdTCdS V ν+ν=

Prin integrare :

000

00VVlnR

TTlnC

VdVR

TdTCSS V

V

V

T

TV ν+ν=ν+ν=− ∫∫

sau : ( ) constVlnRTlnCT,VS V +ν+ν=

Aceasta este expresia entropiei unui gaz ideal. Deşi entropia se exprimă în general ca funcţie de volum şi temperatură, se poate găsi şi expresia entropiei în funcţie de presiune şi temperatură. Din ecuaţia de stare a gazului ideal, putem obţine :

156

( ) constplnTlnRlnplnTlnVlnpRTVRTpV +−=ν+−=⇒ν

=⇒ν=

Înlocuind în formula entropiei, rezultă : ( ) ( ) ( ) constplnRTlnRCconstconstplnTlnRTlnCT,pS VV +ν−+ν=++−ν+ν=

Din relaţia Robert-Mayer :

pV CRC =+ astfel încât în final rezultă :

( ) constplnRTlnCT,pS p +ν−ν=

7.8.2. Creşterea entropiei unui sistem izolat de exterior

Vom considera un sistem termodinamic simplu, format din două corpuri

identice care au iniţial temperaturi diferite (de exemplu, două cărămizi). Corpurile sunt puse în contact şi izolate adiabatic de exterior, fiind astfel împiedicate să schimbe căldură cu exteriorul. Pentru că volumul corpurilor rămâne practic constant, rezultă că sistemul nu schimbă nici lucru mecanic cu exteriorul. Ca urmare, putem afirma că sistemul este izolat de exterior. Consecinţa este aceea că variaţia energiei interne a sistemului este nulă :

0=∆U Energia internă este funcţie de stare aditivă, adică variaţia energiei interne a sistemului este egală cu suma variaţiilor de energie internă ale fiecăruia dintre cele două corpuri :

021 =∆+∆=∆ UUU Principiul întâi al termodinamicii este valabil pentru fiecare corp, astfel încât :

( ) ( ) 02211 =−+− LQLQ Volumul corpurilor solide se modifică în mod neglijabil la variaţii nu prea mari de temperatură şi, prin urmare, lucrul mecanic de dilatare sau contracţie este nul: L1, L2 = 0. Ne rămâne :

021 =+QQ Căldura este proporţională cu variaţia de temperatură, cu masa şi cu căldura specifică. Corpurile fiind identice, rezultă :

( ) ( )2

0 2121

TTTTTmcTTmc +=⇒=−+−

unde T1 şi T2 sunt temperaturile iniţiale, iar T este temperatura finală (adică aceea atinsă la stabilirea echilibrului termic al sistemului). Variaţia de entropie a primului corp se calculează astfel :

157

111TTlnmcdT

Tmc

TQd'S'S'S

T

T

T

Tif ===−=∆ ∫∫

Analog se obţine variaţia de entropie a corpului al doilea :

2TTlnmc"S"S if =−

Entropia este şi ea o funcţie de stare aditivă, aşa încât :

( ) ( )21

2

21 TTTlnmc

TTln

TTlnmc"S"S'S'SSS ififif =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−+−=−

Înlocuind expresia temperaturii de echilibru, rezultă : ( )

21

212

22

1

21

221

42

4 TTTTTTlnmc

TTTTlnmcSS if

++=

+=−

Putem scrie : ( ) 0

41

442

21

221

21

21212

22

1 >⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

+−+=−

TTTTlnmc

TTTTTTTTlnmcSS if

Concluzia este aceea că transferul de căldură de la un corp mai fierbinte la unul mai rece, în condiţiile în care sistemul de corpuri este izolat de exterior, este un proces ireversibil. Cu alte cuvinte, este imposibil ca două corpuri care au aceeaşi temperatură să-şi transfere spontan căldură, astfel ca unul dintre ele să se încălzească, iar celălalt să se răcească.

Prin intervenţia factorilor externi (care efectuează lucru mecanic) este totuşi posibilă trecerea căldurii de la corpurile reci la cele calde. Acesta este cazul frigiderelor.

7.9. AL TREILEA PRINCIPIU AL TERMODINAMICII

Aşa cum am discutat deja, entropia este definită până la o constantă aditivă

arbitrară. Un mare număr de rezultate experimentale au indicat că în vecinătatea temperaturii absolute nule, în sisteme termodinamice la echilibru, procesele izoterme decurg fără variaţie de entropie.

Teorema lui Nernst, bazată pe aceste rezultate afirmă că :

158

Teorema lui Nernst : în apropierea temperaturii de 0 K şi în sisteme termodinamice la echilibru, entropia tinde către o valoare constantă, independentă de temperatură.

Planck, la rândul său, a ajuns la concluzia că în toate sistemele

termodinamice entropia tinde către aceeaşi valoare când temperatura absolută tinde către zero. Această valoare poate fi considerată nulă. Se obţine astfel al treilea principiu al termodinamicii. Enunţul său este :

ENTROPIA TUTUROR CORPURILOR PURE CONDENSATE TINDE LA LIMITĂ CĂTRE O VALOARE NULĂ CÂND TEMPERATURA ABSOLUTĂ TINDE CĂTRE ZERO.

Acest enunţ este ab

Izoter Un alt mod de

Temp

mod experimconsecinţă, ptermodinamiatinge vreoda

În aparenţă,

unele afirmaţii din

nu respectă condiCauza este aceea calculele care covecinătatea lui zeabsolut nu ar puteaprincipiul al treilea

Al treilea principiu al termodinamicii

solut echivalent cu următorul :

ma de zero absolut coincide cu adiabata de zero.

a enunţa al treilea principiu al termodinamicii este următorul

eratura de zero absolut nu poate fi atinsă în nici-un ental care să presupună un număr finit de paşi. În utem să aducem temperatura absolută a unui sistem c arbitrar de aproape de zero absolut, fără a putea tă punctul de zero.

principiul al treilea al termodinamicii vine în contradicţie cu acest capitol. De exemplu, formula entropiei gazului ideal :

( ) constVlnRTlnCT,VS V +ν+ν= ţia de a se anula la anularea temperaturii absolute (S → -∞ ). că ecuaţia de stare a gazului ideal, pe care se bazează nduc la formula în discuţie, nu mai este valabilă în ro absolut ! O substanţă aflată în stare de gaz ideal la zero constitui un sistem termodinamic la echilibru, aşa cum cere al termodinamicii. De aici rezultă că :

159

Dacă sistemul termodinamic nu este în stare de echilibru, chiar dacă temperatura absolută tinde către valori nule, entropia sistemului nu se anulează.

Experienţele arată că această afirmaţie este valabilă pentru aliaje, corpuri amorfe sau unii compuşi chimici, care nu se află în stare de echilibru.

160

161

CUPRINS

1. Analiza dimensională……………………………………………………..…....3 1.1. Măsurare, teorema fundamentală a unităţilor de măsură………………..3 1.2. Sisteme de unităţi de măsură, Sistemul Internaţional de Unităţi de măsu-ră (SI).............................................................................................................................4 1.3. Omogenitatea dimensională a legilor fizicii, formula dimensională a unei mărimi fizice………………………………………………………………………….9 1.4. Metoda Rayleigh………………………………………………............12 2. Mecanica clasică……………………………………...……………………….15 2.1. Introducere……………………………………………………………..15 2.2. Cinematica……………………………………………………………..15 2.2.1. Relativitatea mişcării şi a repausului…………………………………..18 2.2.2. Principalele mărimi cinematice………………………………………..19 2.2.3. Clasificarea mişcărilor după traiectorie şi legea de mişcare…………...23 2.2.4. Transformarea Galilei………………………………………………….25 2.3. Dinamica……………………………………………………………….27 2.3.1. Forţe……………………………………………………………………27 2.3.2. Principiile dinamicii newtoniene………………………………………30 2.3.2.1. Principiul inerţiei ……………………………………………...30 2.3.2.2. Sisteme de referinţă inerţiale şi sisteme de referinţă neinerţiale32 2.3.2.3. Principiul fundamental al dinamicii…………………………...32 2.3.2.4. Principiul acţiunii şi al reacţiunii……………………………...33 2.3.2.5. Principul acţiunii independente a forţelor simultane………….34 2.3.3. Principiul relativităţii în mecanica clasică……………………………..35 2.3.4. Principalele mărimi de stare în dinamică………………………………36 2.3.5. Teorema variaţiei impulsului…………………………………………..38 2.3.5.1. Teorema variaţiei impulsului pentru un punct material……….38 2.3.5.2. Teorema variaţiei impulsului pentru un sistem de puncte materi-ale……………………………………………………………………………………39 2.3.6. Teorema variaţiei energiei cinetice…………………………………….41 2.3.6.1. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un punct material…41 2.3.6.2. Teorema variaţiei energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale……………………………………………………………………………..42 2.3.7. Forţe conservative, energie potenţială…………………………………43 2.3.7.1. Relaţia între forţă şi energia potenţială………………………..45 2.3.8. Teorema variaţiei energiei mecanice pentru un sistem de puncte materia-le……………………………………………………………………………………..46 2.3.9. Teorema variaţiei momentului cinetic…………………………………47 2.3.9.1. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un punct materi-al……………………………………………………………………………………..47 2.3.9.2. Teorema variaţiei momentului cinetic pentru un sistem de punc-te materiale …………………………………………………………………………49 3. Mecanica relativistă ……………………………………………….……51

162

3.1. Experienţa lui Michelson şi Morley……………………………………51 3.2. Transformările de coordonate şi timp Lorentz – Einstein……………...55 3.2.1. Consideraţii introductive,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,55 3.2.2. Aplicarea principiului relativităţii……………………………………...56 3.2.3. Principiul invarianţei vitezei luminii în vid……………………………60 3.3. Consecinţe cinematice ale transformărilor Lorentz-Einstein…………..63 3.3.1. Contracţia lungimilor…………………………………………………..63 3.3.2. Dilatarea timpului……………………………………………………...65 3.3.3. Compunerea relativistă a vitezelor…………………………………….66 3.3.4. Invarianţa intervalului de lungime spaţio-temporal……………………68 3.4. Consecinţe dinamice ale transformărilor de coordonate Lorentz-Einstein………………………………………………………………………………69 3.4.1. Transformarea impulsului şi energiei………………………………….70 3.4.2. Relaţia între impuls şi energie, invarianţa acesteia la transformarea de coordonate Lorentz-Einstein…………………………………………………………72 3.4.3. Energia de repaus, relaţia lui Einstein dintre masă şi energie, alte relaţii ale dinamicii relativiste………………………………………………………………73 4. Oscilaţii mecanice……………………………………………………………..77 4.1. Noţiuni introductive……………………………………………………77 4.2. Compunerea oscilaţiilor armonice……………………………………..78 4.2.1. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi frecvenţă şi direcţii paralele….78 4.2.2. Compunerea oscilaţiilor paralele de frecvenţe apropiate, fenomenul de bătăi ………………………………………………………………………………….80 4.2.3. Compunerea oscilaţiilor având aceeaşi frecvenţă şi direcţii perpendicula-re……………………………………………………………………………………..82 4.2.4. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de frecvenţe diferite, figurile Lissajous……………………………………………………………………………..84 4.3. Tipuri de mişcări oscilatorii……………………………………………86 4.3.1. Mişcarea oscilatorie armonică…………………………………………86 4.3.2. Mişcarea oscilatorie amortizată………………………………………..89 5. Unde mecanice………………………………………………………………...95 5.1. Noţiuni introductive……………………………………………………95 5.2. Soluţii ale ecuaţiei undelor în unele cazuri particulare………………...98 5.2.1. Soluţia generală a ecuaţiei undei plane ………………………………...98 5.2.2. Soluţia ecuaţiei undelor sferice……………………………………….101 5.3. Unde elastice longitudinale…………………………………………...102 5.3.1. Viteza de propagare a undelor elastice longitudinale………………...104 5.3.1.1. Viteza de propagare a undelor longitudinale în fluide….105 5.3.2. Densitatea de energie în cazul undelor longitudinale………………...108 5.3.3. Transportul de energie………………………………………………..109 5.4. Dispersia undelor……………………………………………………..111 5.5. Efectul Doppler……………………………………………………….114 5.6. Noţiuni de acustică……………………………………………………117 5.6.1. Generalităţi……………………………………………………………117 5.6.2. Câmp sonor, presiune sonoră…………………………………………118

163

5.6.3. Caracteristicile sunetelor……………………………………………..119 5.6.3.1. Tăria…………………………………………………….119 5.6.3.2. Înălţimea şi timbrul……………………………………..121 6. Gazul ideal……………………………………………………………………123 6.1. Legile experimentale ale gazului ideal………………………………..123 6.1.1. Legea transformării izocore…………………………………………..123 6.1.2. Transformarea izobară………………………………………………..124 6.1.3. Transformarea izotermă………………………………………………125 6.1.4. Legea lui Avogadro…………………………………………………..126 6.2. Transformarea generală a gazului ideal, ecuaţia de stare a gazului ideal………………………………………………………………………………...127 6.2.1. Ecuaţia transformării generale a gazului ideal………………………..127 6.2.2. Ecuaţia de stare a gazului ideal……………………………………….128 7. Elemente de termodinamică………………………………………………...131 7.1. Noţiuni introductive…………………………………………………..131 7.2. Postulatele termodinamicii……………………………………………133 7.3. Ecuaţiile termice de stare şi ecuaţia calorică de stare………………...134 7.3.1. Ecuaţiile de stare calorică şi termică pentru gazul ideal……………...135 7.4. Primul principiu al termodinamicii…………………………………...136 7.5. Aplicaţii ale primului principiu al termodinamicii…………………...140 7.5.1. Coeficienţi calorici ……………………………………………………140 7.5.2. Relaţia Robert-Mayer pentru fluide…………………………………..142 7.5.3. Lucrul mecanic, căldura şi variaţia de energie internă în transformarea politropă a gazului ideal……………………………………………………………144 7.6. principiul al doilea al termodinamicii………………………………...149 7.7. consecinţe ale principiului al doilea al termodinamicii………………151 7.7.1. Ciclul Carnot………………………………………………………….151 7.7.2. Maşini termice biterme, teorema lui Carnot………………………….153 7.7.3. Inegalitatea lui Clausius, entropia…………………………………….154 7.8. Aplicaţii ale principiului al doilea al termodinamicii………………...156 7.8.1. Calculul entropiei gazului ideal………………………………………156 7.8.2. Creşterea entropiei unui sistem izolat de exterior…………………….157 7.9. Al treilea principiu al termodinamicii………………………………...158