2. Principiul lui Dirichlet Matematica elementar ne ofer numeroase surse de inspiraie bazate pe cunotine simple. Se pot realiza rezultate matematice valoroase folosind mijloace la nivelul nvmntului gimnazial, ba chiar i a celui primar. Exist probleme n matematica care nu cer aproape nici o cultur special, putnd fi abordate cu mijloacele gndirii cotidiene, dar care prezint dificulti trecute cu eforturi cerebrale remarcabile, cu imaginaie i ingeniozitate. Un exemplu strlucit l constituie Principiul cutiei sau Principiul lui Dirichlet, dup numele matematicianului care a adus rigoare i exigen n analiza matematic. Faptul c acest principiu a fost introdus de ctre un matematician cu profund sim al fineii n raionament, ne d de gndit asupra posibilitii de modelare logico-matematic a unor fapte i evenimente cotidiene, cu anse de realizri neateptate i pe arii largi de aplicabilitate. Vom da n continuare cteva formulri ale principiului aplicat n algebr i n geometrie, urmat de exemple. 2.1 Principiul lui Dirichlet n algebr Una din formulrile principiului este urmtoarea: Dac repartizm nk+1 obiecte n k cutii, atunci n cel puin o cutie vor fi cel puin n+1 obiecte. Observm c n acest enun este pus n eviden existena unui numr minim de obiecte repartizate n aceeai cutie. ntr-o alt formulare, folosim noiunea de partiie a unei mulimi: Fie A o mulime nevid, iar A1 , A2 ,..., An o partiie a lui A, adic

UAi =1

n

i

= A , i Ai A j = pentru i j . Dac avem n+1 elemente din A,

a1 , a 2 ,..., a n , a n +1 , atunci exist o submulime Ai a partiiei care s conin cel puin dou elemente ale mulimii {a1 , a2 ,..., an+1} .2.2. Principiul lui Dirichlet n geometrie Pentru aplicaiile geometrice dm trei formulri ale principiului. A. Dac figurile F1 , F2 ,..., Fn cu ariile respective S1 , S 2 ,..., S n sunt incluse n figura F cu aria S i S1 + S 2 + ... + S n > ks , atunci k + 1 din figurile F1 , F2 ,..., Fn au un punct comun. 23

B. Fie n plan o figura F de arie S i n figuri Fi de arie S i , i = 1, n . Dac

S > S i atunci cele n figuri Fi nu pot acoperi figura F n ;i =1

n

Dac cele n figuri Fi acoper pe F, atunci

Si =1

n

i

S.

Urmtoarea formulare a principiului lui Dirichlet are ca suport teoretic noiunea de msur. C. Fie X o mulime i fie P( X ) mulimea prilor sale. O funcie m : P( X ) [0, ) se numete msur pe X dac are proprietile: 1o m ()=0. 2 o m( A B) = m( A) + m( B) m( A B).

Fie A1 , A2 ,..., An P( X ). S notm I k =2.2.1 Propoziie:

i1 1i1 Lik n

U (A

Ai2 ... Aik , k = 1, n .

)

m( A ) = m( Ik =1 k k =1

n

n

k

).

Soluie: Pentru n = 2 ,obinem: m( A1 ) + m( A2 ) = m( A1 A2 ) + m( A1 A2 ), deci proprietatea 2 o din definiia msurii. S presupunem relaia adevrat pentru n i s demonstrm pentru n+1. Fie I k' = U Ai1 Ai2 ... Aik

(

)

1i1 Lik n +1

Avem I k `= I k ( An +1 I k 1 ) rezult:

m I k' = m(I k ) + m(I k 1 An+1 ) m(I k An+1 ) , k = 1, n ; dnd valori, avem:' 1 1n +1 n +1

( ) m(I ) = m(I ) + m( A ) m( A ( )

I1 )

n

' m I n = m(I n ) + m(I n1 An+1 ) m(I n An+1 )

Adunnd egalitile obinem: m I k' = m(I k ) + m( An+1 ) m(I n An+1 )k =1 k =1

( )

n

' Dar I n An+1 = I n+1 , deci

m( Ik =1 n +1 k =1

n +1

k

`) = m( I k ) + m( An +1 ). Folosind ipotezak =1

n

induciei, avem

m( Ik =1

n

k

' ) = m( Ak ) .

2.2.2. Corolar. Dac I p +1 = , atunci

n m( Ak ) < p m U Ak k =1 k =1 n

24

Soluie: Avem evident I1 I 2 L I p +1 L I n , deci

m( I 1 ) m( I 2 ) .... m( I p ) m( I p +1 ) ... m( I n ). Prin urmare I p +1 = ,rezult c m( I k ) = 0, k p + 1. Folosind relaia din propoziia anterioar, obinem:

m( Ak ) = m( I k ) p m( I1 ) = p m(U Ak ) .k =1 k =1 k =1 k

n

n

n

2.2.3. Corolar. Dac

m( A ) > p m(U A ) , exist i , i , i ,..., ik =1 k

n

n

1

2

3

p +1

cu

k =1

1 i1 i2 ... i p +1 n, astfel nct Ai1 Ai2 L Ai p +1 . Observaii 1. Dac X este finit se poate lua m( A) = numrul elementelor mulimii A. 2. Dac X = R, , pentru a < b definim m([a, b]) = b a. 3. Dac X = R 3 , putem lua ca msur volumul. Prezentm in continuare cteva aplicaii la variantele amintite.Bibliografie M. Ganga, Teme i probleme de matematica,Ed tehnica, Bucureti, 1991, pag. 95-108 A. Ghioca, N. Teodorescu, Culegere de probleme, Ed. SSM, 1997, Bucureti , pag 5368 D. Buneag, I. Maftei, Teme pentru cercurile i concursurile de matemetica ale elevilor, Ed. Scrisul Romnesc, Craiova ,1983. M. Ganga, Probleme elementare de matematica, Ed. Math-press , Ploieti, 2003, pag. 172-183 M. Cocuz, Culegere de probleme de matematica, Ed. Academiei, 1984, pag. 125 N. Teodorescu, A. Constantinescu, Probleme din gazeta matematica , Ed. Tehnica 1984

25