1

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 1

Erori si incertitudini de msurare

Surse:

Modele matematice

Instrument: proiectare, fabricaie,

Interaciune msurand instrument:

(transfer informaie transfer energie)

Influene externe:

temperatura, presiune,

cmpuri electro-magnetice,

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 2

Eroare absolut, a:

xm valoare msurat

x valoare de referin

Eroare absolut maxim, x:

Estimaii:

Erori la msurri individuale - expresii cantitative

ax x m mxx xx x

1 2

1 2

, -cunoscute

x

x x

x x

1 21 2 ,2 2

x xx xx x

[X],a mx x

2

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 3

Erori la msurri individuale - expresii cantitative

Eroare relativ, r:

Exprimare: Numr, r

Procent, [%]:

Pri per milion, [ppm]:

Clas de precizie, c: Xc valoare convenional: limita superioar a scalei

domeniul instrumentului

lungimea scalei

,a m

m

r rmx x

x x

x x

x

100r

610r

100, [%]c

xc

X

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 4

Erori la msurri individuale - expresii cantitative

Exemplu:

Voltmetru analogic:

voltmetru

10 V

1,5%

7,5 V

N

m

U

c

U

1,5 100,15 V

100 100

NUc U

r max

0,15100 100 2%

7,5m

U

U

3

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 5

Erori la msurri individuale - expresii cantitative

Exemplu:

Voltmetru digital:

0.87.5 V 3 10 mV 0.09 V

100U

r max

0.09100 100 1.2%

7.5mU

U

Domeniu 20 V

Rezolutie=10 mV

Precizie 0.8% din citire 3 digit

7.5 V

N

m

U

U

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 6

Erori la msurri individuale - expresii cantitative

Incertitudine de msurare:

x mrime de intrare:

mrime de ieire:

mx x x

i

4

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 7

Msurare indirect:

f funcie cunoscut xi parametri direct msurabili

xi erori absolute maxime

Eroarea absolut maxim, z:

Eroarea relativ maxim:

Erori la msurri indirecte

1 2( , ,..., )nz x x xf

1 1 22( , ,..., )nm nx x xz x xxf

1 11( , , ) ( , , )n nnz xf x xx x xf

1 1

1

1( , , ) ( , , )

( , , )

nn n

n

x x xf f

f

xx

x

x

x

z

z

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 8

Metoda incertitudinilor (marginilor)

Msurare indirect:

Incertitudinile variabilelor:

L( ) limita (marginea) inferioar

H( ) limita (marginea) superioar

Incertitudinile de msurare pentru operaii simple

Estimarea rezultatelor:

( ) ( )

( ) ( )

L x x H x

L y y H y

,z f x y

( ) ( )( ) ( ),

2

2z

L z H zL z H zz

5

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 9

Metoda erorii limita (derivatelor)

Msurare indirect:

Dezvoltarea n serie Taylor a funciei f:

1 11

1

1

,..., ... ...

1... ...

!

n n

n

k

n

n

z z f x x x x fx x

x x fk x x

1

11

,...,

,...,

n

n n

f

f

z x

z x x

x

z x x

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 10

Metoda erorii limita (derivatelor)

Eroarea absolut:

Eroarea absolut maxim:

1

n

i

i i

fz x

x

1

11

...n

a n i

in i

f f fx x x

x x x

6

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 11

Metoda erorii limita (derivatelor)

Eroarea relativ:

Eroarea relativ maxim:

Erori maxime pentru funcii simple

1

ni i

i i i

z x f x

z f x x

1 1

1 1 1

...,...,

a n nr

n n n

x f x x f x

f x x f x x f x x

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 12

Erori la msurri repetate

Erori: Aleatoare (tip A):

Variaz imprevizibil la repetarea msurrii n aceleai condiii

Pentru un numr mare de msurtori, valoarea lor medie este nul

Sistematice (tip B): Evaluare: date anterioare, experien operator, specificaii

(fabricaie, manuale, )

Pentru un numr mare de msurtori, reprezint diferena dintre valoarea medie a rezultatelor i valoarea adevrat a msurandului

Valori aberante

7

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 13

Erori la msurri repetate

Msurri repetate:

Valoare adevrata:

Valoare ateptata:

0

1

1lim

n

in

i

x xn

1 2, ,..., nx x x x , 1,...,i ix x i n

1

1[ ]

n

i

i

M x x xn

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 14

Erori la msurri repetate

Dispersia:

Eroare medie ptratic (eroare standard):

Precizia msurrii: valoare adevrat, valoare ateptat

mprtierea rezultatelor: dispersie, eroare medie ptratic

2

2

22 2

1 1 1

1 1 1

1 1

n n n

i i i

i i i

x x xn n n

8

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 15

Erori aleatoare (tip A)

Repartiia normal (Gauss):

Densitatea de probabilitate:

p(x)max, x =

Simetrie: x =

Inflexiune: x =

21

21( )2

x

p x e

1( )

2p

Densitatea de probabilitate a repartiiei normale

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 16

Erori aleatoare (tip A)

Erori absolute pentru repartiia normal:

Eroare probabil: 0,674

Eroare medie:

Eroare absolut maxim: ~3

0,674 0,674 50%

68,3%

3 3 99,73%

a

a

a

9

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 17

Erori sistematice (tip B)

Erori i incertitudini evaluate prin alte metode (dect cele

statistice)

Estimare incertitudini:

Date de msurare anterioare

Experien

Specificaii productor

Buletine de verificare

Manuale de utilizare

Distribuie rectangular:

Densitatea de probabilitate a erorilor aleatoare, respectiv sistematice.

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 18

Erori sistematice (tip B)

m surse de erori tip B: i, i=1,,n

Eroarea medie ptratic rezultant:

rij covariana (coeficient de corelaie)

Surse de erori independente (complet necorelate):

Surse de erori puternic corelate:

2 2

10 ...ij mr

12

1 1 1

2m m m

i ij i j

i i j i

r

11 ...ij nr

10

17 octombrie 2011 Masurari Electronice si Senzori - Prof. Ioan G. TARNOVAN 19

Eroare medie a unei msurri

Eroarea medie ptratic a unei msurri, :

A eroarea medie ptratic rezultant dup estimarea erorilor de tip A

B eroarea medie ptratic rezultant dup estimarea erorilor de tip B

2 2

A B Densitatea de probabilitate a erorilor aleatoare, respectiv sistematice.