PLANUL sI DREAPTA N SPAIU

PLANUL sI DREAPTA N SPAIU

2.1. Ecuatia generala a unui plan

2.2. Tipuri de ecuatii ale unui plan2.3. Ecuatiile canonice ale dreptei n spatiu

2.4. Tipuri de ecuatii ale unei drepte2.5. Probleme metrice

2.1. Ecuatia generala a unui planEcuatia generala a unui plan n spatiu este data de urmatoarea teorema:

Teorema 1. Un punct M(x, y, z) ( E3 se gaseste ntr-un plan ( daca si numai daca verifica ecuatia INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/625_poze/image002.gif" \* MERGEFORMATINET

, cu A, B, C , nenule simultan.Demonstratie:Fie un plan ( din E3 si fie un punct M0(x0, y0, z0)(( fixat.

Fie, un vector nenul perpendicular pe plan, . Fie un punct oarecare M(x, y, z) ( E3 din planul (.

Avem atunci:

ntruct , este perpendicular pe orice dreapta din plan, deci (( Ax + By + Cz + (-Ax0 - By0 - Cz0) = 0, adica Ax + By + Cz + D = 0, unde D = -Ax0 - By0 - Cz0.

Reciproc, fie . Vom arata ca multimea S reprezinta un plan. ntr-adevar, daca si , atunci avem:

Fie . Evident este nenul, iar din relatia de mai sus rezulta ca este perpendicular pe , oricare ar fi . Asadar, S reprezinta planul care trece prin si este perpendicular pe . Reamintim ca prin directia dreptei d ntelegem orice dreapta care este paralela sau coincide cu dreapta d.

Ecuatia se numeste ecuatia generala a planului.

Vectorul se numeste normala la planul (.Cazuri particulare de plane 1) Ecuatia planelor de coordonate:

Planul xOy are ecuatia z = 0.

Planul xOz are ecuatia y = 0.

Planul yOz are ecuatia x = 0.

2) Ecuatia unui plan paralel cu planele de coordinate:

Un plan are ecuatia z = z0 (constant).

Un plan are ecuatia x = x0 (constant).

Un plan are ecuatia y = y0 (constant).

3) Ecuatia unui plan ce trece prin originea O(0, 0, 0) :

Daca originea O apartine planului si nlocuind n ecuatia generala a planului rezulta ca D = 0, si deci ecuatia planului este: Az + By + Cz = 0.

4) Ecuatia unui plan paralel cu axele de coordonate

De exemplu: un plan paralel cu Ox, are ecuatia By +Cz + D = 0.

ntr-adevar, daca este un vector normal la plan, atunci , deci .Asadar ecuatia planului paralel cu axa Ox este: By + Cz + D = 0.

n mod analog, ecuatia planului paralel cu axa Oy este: Ax + Cz + D = 0,

ecuatia planului paralel cu axa Oz este: Ax + By + D = 0.5) Ecuatia unui plan ce contine o axa de coordonate

De exemplu, planul ce contine axa Ox, deci trece prin origine, are ecuatia de forma: By + Cz = 0.

Planul ce contine Oy are ecuatia: Ax + Cz = 0.

Planul ce contine Oz are ecuatia: Ax + By = 0.

2.2. Tipuri de ecuatii ale unui plan0. Ecuatia unui plan ce trece prin M0(x0, y0, z0) si este perpendicular pe vectorul este:.

1. Ecuatia unui plan ce trece printr-un punct M0(x0, y0, z0) si este paralel cu doua directii date, si este:.

ntr-adevar, daca M(x, y, z) apartine planului, atunci vectorii sunt coplanari, deci produsul mixt () = 0.

Rezulta: .

2. Ecuatia unui plan ce trece prin doua puncte Mi(xi, yi, zi) i = 1,2 si este paralel cu o directie data este .

ntr-adevar, daca M(x, y, z) apartin planului, atunci vectorii sunt coplanari, deci produsul lor mixt = 0.

3. Ecuatia unui plan ce trece prin trei puncte necoliniare Mi(xi, yi, zi) i = 1, 3. Se reduce la cazul 2, deci scriem ecuatia unui plan ce trece prin punctele M1 si M2 si este paralel cu . Daca M(x, y, z) apartine planului, atunci rezulta ca produsul mixt deoarece vectorii , sunt coplanari.

( Caz particularFie M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0), M3(0, 0, c) puncte de intersectie cu axele de coordonate. Calculnd, avem ecuatia ecuatia planului prin taieturi.

Aplicatia 1. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin origine, prin punctul M1(x1, y1, z1) si este perpendicular pe planul (P) ax + by + cz + d = 0.

Solutie: Fie planul cautat (() de ecuatie: AX + By + Cz + D = 0.

ntruct planul (():

trece prin origine, rezulta ca D = 0.

contine pe M1, rezulta ca Ax1 + By1 + Cz1 = 0.

perpendicular pe planul (P), rezulta ca Aa + Bb + Cc = 0.

n aceste conditii obtinem: ( ecuatia planului (() este:

(cy1 - bz1)x + (az1 - cz1)y + (bx1 - ay1)z = 0.

2.3. Ecuatiile canonice ale unei drepte n spatiuPropozitia 1. Fie M0(x0, y0, z0) punct fix, vectorul nenul si un punct oarecare M(x, y, z) apartinnd dreptei d ce trece prin M0 si este paralela cu . Atunci coordonatele (x, y, z) ale punctului M verifica ecuatiile:

(ecuatiile canonice ale dreptei n spatiu).Demonstratie: , ( ( , t (parametru real).

Observatie.

Din , cu t , reprezinta ecuatiile parametrice ale dreptei.2.4. Tipuri de ecuatii ale unei drepte n spatiu1. Ecuatia dreptei ce trece prin doua puncte Mi(xi, yi, zi), i = 1, 2.

Fie si M(x, y, z) punct oarecare pe dreapta M1M2.

innd seama de Propozitia 1, 2.3, rezulta ca .

Aplicatia 1. Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin origine si prin punctul A(a, b, c).

Solutie:

sau x = at,y = bt,z = ct.Aplicatia 2. Fie punctul M(a, b, c) si dreapta (d): .

Se cer:

a) Proiectia M' a punctului M pe dreapta (d);

b) Simetricul M'' al punctului M fata de (d);

c) Ecuatia unei drepte ce trece prin M si este perpendiculara pe (d) si intersecteaza planul (P).

a) Dreapta (d) are vectorul director .

Avem de asemenea, ecuatiile parametrice ale dreptei (d): , t . (1)

Scriem ecuatia unui plan (P) ce contine punctul M si este perpendicular pe (d):

l(x - a) + m(y - b) + n(z - c) = 0. (2)

Fie M'(x', y', x') punctul de intersectie al dreptei (d) cu planul (P): .

Aflam valoarea parametrului t nlocuind relatia (1) n relatia (2):

(3)

si n sfrsit coordonatele x', y', x' ale punctului M', proiectia punctului M , din relatia (1) folosind valorile parametrului t din relatia (3).

b) Fie M"(x", y", z") simetricul punctului M fata de (d).

Atunci, conform relatiei care da coordonatele mijlocului M' al unui segment n functie de coordonatele capetelor segmentului M si M'', avem:

c) Dreapta trece prin M si M', are deci ecuatia:

2.5. Dreapta de intersectie a doua plane. Fascicol de planeFie doua plane neparalele. Ele se intersecteaza dupa o dreapta d, de ecuatie:

Ne propunem sa gasim ecuatiile canonice ale dreptei (d). Pentru aceasta alegem un punct M0(x0, y0, z0) ( d. Mai precis (x0, y0, z0) este o solutie particulara a sistemului

.

Determinam directia dreptei d, , adica determinam l, m, n.

Scriem normalele la planele P1 si P2, adica:

( (

Dar , unde :

deci ecuatia dreptei este

,

cu l, m, n dati de Fascicol de planeDefinitie. Se numeste fascicol de plane multimea tuturor planelor care contine o dreapta data (d).

Propozitie. Fie dreapta (d), intersectia planelor P1 si P2, adica Planele nu sunt paralele, deci ecuatia unui plan ce apartine fascicolului de plane generat de dreapta (d) este:

(A1x + B1y + C1z + D1) + (( A2x + B2y + C2z + D2) = 0 cu 2 + (2 ( 0, , ( .

Daca = 1 si ( = 0 rezulta A1x + B1y + C1z + D1 = 0 deci (P1) este de forma enuntata.

Daca = 0, ( = 1 rezulta A2x + B2y + C2z + D2 = 0 deci (P2) este de forma enuntata si planul (P1) + ((P2) = 0 contine dreapta d.

Se poate arata ca fascicolul definit de dreapta d este de forma 1P1 + 2P2 = 0.

2.6. Probleme metrice2.6.1. Distanta de la un punct la un plan

Propozitie: Fie Ax + By + Cz + D = 0 planul (P) si M0(x0, y0, z0), un punct care nu apartine planului (P). Atunci distanta de la punctul M0 la planul (P) este:

Demonstratie: Fie M' (x', y', z') proiectia lui M0 pe plan.

Deoarece este coliniar cu rezulta ca: si mai departe Atunci .Pe de alta parte (x', y', z') verifica ecuatia planului (P) deci:

(

( 2.6.2. Distanta de la un punct M0 la o dreapta d n spatiu

Propozitie: Fie dreapta (d), M0 ( d, M1(x1, y1, z1) proiectia lui M0(x0, y0, z0) pe dreapta (d). Atunci distanta de la punctul M0 la dreapta (d) este:

,

unde este vectorul director al dreptei (d).

Demonstratie:

Daca proiectam punctul M0 pe dreapta (d), obtinem:

2.6.3. Unghiul a doua plane

Definitie. Unghiul a doua plane este unghiul dintre normalele celor doua plane.

Fie ecuatiile planelor (P1) si (P2):

si fie ecuatiile normalelor lor:

Atunci (

( Aplicatia 1. Sa se scrie unghiul dintre planele (P1) si (P2), date de ecuatiile:

(P1) 2x - y + 3z + 2 = 0

(P2) x + y - z + 5 = 0.

Aplicatia 2. Sa se gaseasca proiectia ortogonala a punctului M0(x0, y0, z0) pe dreapta:.Solutie:Consideram datele:M0(5, 0, -2)

Proiectia M'(x', y', z') a punctului M0 pe dreapta data se afla la intersectia dreptei (() cu planul dus prin M0 perpendicular pe (.Ecuatia planului n cazul nostru este 3(x - 5) + 2y + 4(z + 2) = 0 sau 3x + 2y + 4z - 7 = 0.nlocuim n aceasta ecuatie a planului ecuatiile parametrice ale dreptei (() si obtinem valoarea parametrului real t. ( 29t + 13 = 0 ( .Deci .2.6.4. Distanta dintre doua drepte n spatiu

Fie dreptele: Avem trei cazuri:

(d1)

1) Drepte concurente . Deoarece d1 si d2 sunt doua drepte concurente n acelasi plan rezulta ca distanta dintre ele este 0, atunci coplanare.

2) Drepte paralele . Dreptele sunt coplanare, deci putem scrie atunci distanta de la M1 la dreapta d2 ca n 2.6.2.

(d1)

3) Drepte oarecare n spatiu

(d2)

M2

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/625_poze/image213.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/625_poze/image214.gif" \* MERGEFORMATINET

Distanta dintre d1 si d2 este lungimea perpendicularei comune celor doua drepte.

Perpendiculara comuna celor doua drepte este o dreapta perpendiculara si pe d1 si pe d2 si care intersecteaza dreptele d1 si d2.

Fie si vectorii directori ai dreptelor d1 si d2 , respectiv.

n punctul M2 ducem un vector echipolent cu .Suporturile vectorilor si formeaza un plan. Rezulta ca dreapta d1 este paralela cu acest plan.

Deci distanta dintre cele doua drepte este naltimea paralelipipedului format de vectorii si .Vparalelipiped = = Sbazei paralelipiped hparalelipipedDar Sbazei = ;

Atunci hparalelipiped= Exercitii.1) Sa se scrie ecuatia unui plan cunoscnd P(2, 3, 4) unde P este piciorul perpendicularei (proiectia) punctului O(0, 0, 0) pe plan.Solutie:

Ecuatia planului care trece prin punctual P(2,3,4) este:

,

unde A, B, C sunt parametrii directori ai normalei la plan,

.

n cazul nostru:

.

Ecuatia planului devine deci:

2) Se da dreapta d:.Sa se scrie ecuatia unui plan (P) ce contine drepta d si este perpendicular pe planul (P*): x + y + z + 1900 = 0.Solutie:Planul (P) apartine fascicolului de plane determinat de dreapta d, adica:, cu .Normala la planul (P) este deci:.Pe de alta parte, normala la planul (P*) este: .Dar.Introducnd n ecuatia fascicolului obtinem ecuatia planului (P):.

3) Se da dreapta (d) de ecuatii si M(-1, 2, 3). Sa se scrie ecuatia unui plan (P) ce trece prin punctul M si este perpendicular pe dreapta d.Solutie:Ecuatia planului cautat este de forma:, unde:x0 = -1, y0 = 2, z0 = 3(punctul )

C = 1, B = 1, A = 3 (dreapta (d) este normala la planul (P)),deci ecuatia planului devine:, adica .

Probleme propuse.1) Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctul M0(1, -1, 3) si este perpendiculara pe planul x + y + z + 3 = 0.2) Sa se calculeze distanta de la punctul M(1, 1, 1) la planul 3x + y + z + 7 = 0.3) Sa se rescrie ecuatiile dreptei care trece prin punctul (2, -5, 3) si este:a) paralela cu axa Oz;b) paralela cu dreapta . 4) Sa se scrie ecuatia dreptei AB unde A(2, -1, 0), si sa se calculeze cosinii directori ai directiei determinate de dreapta AB. 5) Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin origine si prin punctul A(a, b, c). 6) Se considera dreapta determinata de punctele A(1, 2, 3), B(-2, 1, 4). Sa se gaseasca punctele ei de intersectie cu planele de coordonate.