Post on 07-Sep-2019
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminarii
2 Metoda diagonalizariiCazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
3 Matricea exponentiala
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Catedra de Matematica
2011
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Forma generala a unui sistem liniar
Consideram sistemul
y ′1(x) = a11y1(x) + a12y2(x) + · · ·+ a1nyn + f1(x)y ′2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + · · ·+ a2nyn + f2(x)
· · ·y ′n(x) = an1y1(x) + an2y2(x) + · · ·+ annyn + fn(x)
(1)
unde fi sunt functii continue pe intervalul (a,b).
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Forma generala a unui sistem liniar
Consideram sistemul
y ′1(x) = a11y1(x) + a12y2(x) + · · ·+ a1nyn + f1(x)y ′2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + · · ·+ a2nyn + f2(x)
· · ·y ′n(x) = an1y1(x) + an2y2(x) + · · ·+ annyn + fn(x)
(1)
unde fi sunt functii continue pe intervalul (a,b).
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Forma generala a unui sistem liniar
Consideram sistemul
y ′1(x) = a11y1(x) + a12y2(x) + · · ·+ a1nyn + f1(x)y ′2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + · · ·+ a2nyn + f2(x)
· · ·y ′n(x) = an1y1(x) + an2y2(x) + · · ·+ annyn + fn(x)
(1)
unde fi sunt functii continue pe intervalul (a,b).
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Notam
Y (x) =
y1(x)y2(x)· · ·
yn(x)
F (x) =
f1(x)f2(x)· · ·
fn(x)
A = (ai,j), i , j = 1, · · · ,n. Sistemul devine
Y ′(x) = AY (x) + F (x). (2)
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Sistem liniar omogen
Daca F = 0 atunci sistemul se numeste omogen.
Definitia
Solutiile Y1, · · · ,Yn formeaza un sistem fundamental de solutiipentru sistemul omogen daca
W (x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣y1,1 y1,2 · · · y1,ny2,1 y2,2 · · · y2,n· · · · · · · · · · · ·yn,1 yn,2 · · · yn,n
∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0
W (x) se numeste wronskian.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Solutia generala
TeoremaSolutia generala a sistemului liniar este de forma
Y = c1Y1 + · · ·+ cnYn + Yp
unde Y1, · · · ,Yn formeaza un sistem fundamental de solutii alesistemului omogen, iar Yp este o solutie particulara.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Problema Cauchy
Problema Cauchy inseamna determinarea unei solutii asistemului diferential liniar care sa satisfaca conditiile initiale
y1(x0) = y1,0· · ·
yn(x0) = yn,0
(3)
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Metoda eliminarii
Metoda consta în derivari succesive ale ecuatiilor si eliminareaa n − 1 functii necunoscute; se ajunge la o ecuatie diferentialaliniara de ordinul n.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Exemple
1. Sa se rezolve sistemul{y ′1 = y2
y ′2 = −y1
2. Sa se rezolve sistemuly ′1 = y2 + y3y ′2 = y1 + y3y ′3 = y1 + y2
Determinati un sistem fundamental de solutii.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Sa se rezolve problema Cauchyy ′1 + 3y1 + 4y2 = 2xy ′2 − y1 − y2 = xy1(0) = 0y2(0) = 0
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Metoda diagonalizarii
Presupunem ca matricea A admite forma diagonala.Exista o baza de vectori propriisi o matrice notata D care are pe diagonala valorile proprii,astfel ca are loc
D = C−1AC. (4)
unde C este matricea de schimbare de baza.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Metoda diagonalizarii
Presupunem ca matricea A admite forma diagonala.Exista o baza de vectori propriisi o matrice notata D care are pe diagonala valorile proprii,astfel ca are loc
D = C−1AC. (4)
unde C este matricea de schimbare de baza.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Metoda diagonalizarii
Presupunem ca matricea A admite forma diagonala.Exista o baza de vectori propriisi o matrice notata D care are pe diagonala valorile proprii,astfel ca are loc
D = C−1AC. (4)
unde C este matricea de schimbare de baza.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Metoda diagonalizarii
Presupunem ca matricea A admite forma diagonala.Exista o baza de vectori propriisi o matrice notata D care are pe diagonala valorile proprii,astfel ca are loc
D = C−1AC. (4)
unde C este matricea de schimbare de baza.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Consideram transformarea
Y = CU (5)
care duce la noi functii necunoscute ui , i = 1, . . . ,n.Substituim în ecuatia (2) si avem
CU ′ = ACU + F (x) (6)
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Consideram transformarea
Y = CU (5)
care duce la noi functii necunoscute ui , i = 1, . . . ,n.Substituim în ecuatia (2) si avem
CU ′ = ACU + F (x) (6)
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Dar matricea C este inversabila si obtinem
U ′ = C−1ACU + C−1F (x) (7)
care devine, daca folosim (4)
U ′ = DU + C−1F (t). (8)
Vectorul solutiilor Y rezulta din rezolvarea sistemului
Y (t) = CU(x).
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Dar matricea C este inversabila si obtinem
U ′ = C−1ACU + C−1F (x) (7)
care devine, daca folosim (4)
U ′ = DU + C−1F (t). (8)
Vectorul solutiilor Y rezulta din rezolvarea sistemului
Y (t) = CU(x).
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Exemple
Rezolvati sistemul prin metoda diagonalizarii matricei1. {
y ′1 + 2y1 + 4y2 = 1 + 4xy ′2 + y1 − y2 = 3/2x2
2. {y ′1 = y1 + y2
y ′2 = y1 + y2 + x
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Cazul valorilor proprii realeCazul valorilor proprii nereale
Exemple
Rezolvati sistemele prin metoda diagonalizarii matricei1. {
y ′1 + 2y1 − y2 = sin xy ′2 + 4y1 + 2y2 = cos x
2. {y ′1 = −7y1 + y2
y ′2 = −2y1 − 5y2
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Matricea eAx
Fie A o matrice patratica; definim matricea exponentiala
eAx = I + xA +x2
2!A2 +
x3
3!A3 + · · ·
Matricea eAx are proprietatile1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru oricex fixat2. Are loc
ddxn (eAx) = AneAx , n = 1,2, · · ·
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Matricea eAx
Fie A o matrice patratica; definim matricea exponentiala
eAx = I + xA +x2
2!A2 +
x3
3!A3 + · · ·
Matricea eAx are proprietatile1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru oricex fixat2. Are loc
ddxn (eAx) = AneAx , n = 1,2, · · ·
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Matricea eAx
Fie A o matrice patratica; definim matricea exponentiala
eAx = I + xA +x2
2!A2 +
x3
3!A3 + · · ·
Matricea eAx are proprietatile1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru oricex fixat2. Are loc
ddxn (eAx) = AneAx , n = 1,2, · · ·
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Presupunem ca A este diagonalizabila.Exista deci o matrice C inversabila si o matrice diagonala
D =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn
astfel ca
A = CDC−1
Observând ca
An = CDnC−1
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Presupunem ca A este diagonalizabila.Exista deci o matrice C inversabila si o matrice diagonala
D =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn
astfel ca
A = CDC−1
Observând ca
An = CDnC−1
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Presupunem ca A este diagonalizabila.Exista deci o matrice C inversabila si o matrice diagonala
D =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn
astfel ca
A = CDC−1
Observând ca
An = CDnC−1
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Presupunem ca A este diagonalizabila.Exista deci o matrice C inversabila si o matrice diagonala
D =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn
astfel ca
A = CDC−1
Observând ca
An = CDnC−1
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Avem
eAx = I +(CDC−1)x +(CD2C−1)x2
2!+ · · ·+(CDnC−1)
xn
n!+ · · · =
C(I + Dx + D2 x2
2!+ · · ·+ Dn xn
n!+ · · · )C−1 =
= C
eλ1x 0 · · · 0
0 eλ2x · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · eλnx
C−1
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Rezolvarea sistemelor diferentiale liniare
Fie sistemul diferential
Y ′(x) = AY (x)Y (x0) = Y0
Vectorul
Y (x) = eAxY0
este solutia problemei initiale Cauchy, deoarece
dYdx
=ddx
(eAx)Y0 = AeAxY0.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Rezolvarea sistemelor diferentiale liniare
Fie sistemul diferential
Y ′(x) = AY (x)Y (x0) = Y0
Vectorul
Y (x) = eAxY0
este solutia problemei initiale Cauchy, deoarece
dYdx
=ddx
(eAx)Y0 = AeAxY0.
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1
Metoda eliminariiMetoda diagonalizarii
Matricea exponentiala
Exemple
Rezolvati prin metoda diagonalizarii1. {
y ′1 = −2y1 − 3y2y ′2 = 6y1 + 7y2
2. {y ′1 = −3y1 − 4y2
y ′2 = 2y1 + y2
Sisteme diferentiale liniare de ordinul 1