algebra_liniara.matrice.sisteme liniare

8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare

1/21

Part I

ALGEBRA LINIARA

Teorie si aplicatii

1 1. MATRICE. SISTEME LINIARE

1.1 TEORIE

1. Notam cu M() multimea matricelor cu linii si coloane avandelementele din inelul ( + ) (de regula = R - corpul numerelor reale, = C - corpul numerelor complexe, ori = Z - corpul claselor de resturimodulo p, unde este un numar prim); despre o asemenea matrice spunemca este o matrice de tip . Matricele cu acelasi numar de linii si decoloane ( = ) se numesc matrice patratice. In exemplele (exercitiile)pe care le vom da, in lipsa altor precizari, inelul este corpul numerelorreale.

2. Daca = ( ) 1 1

2 M() (mai scriem = ( ) = 1 = 1

,

ori, daca nu este pericol de confuzie, = ( )) atunci matricea notata

=

0BB@

11 121 121 222 2

1 2

1CCA

sau

=

2664

11 12 1 121 22 2 2

1 2

3775

se poate exprima prin concatenarea (alaturarea)

coloanelor sale: notand cu

: :=

0BB@

12

1CCA

matricea coloana formata cu elementele coloanei a matricei , atunciconcatenarea matricilor :1,:2,...,: reface matricea :

1


2/21


3/21

unde 0 = Folosind concatenarea liniilor matricei putem scrie trans-

pusa astfel:= (1:I2:I...I:)

De exemplu:1 23 2

=

1 3

2 2

Proprietati.

-

= ;

- ( + )= + ;

- ()= ;

- Pentru orice scalar , ()= ;

- Daca este o matrice diagonala (elementele care nu sunt pe diagonalaprincipala sunt toate 0) atunci = .

O matrice patratica estesimetricadaca= .

5. Notam cu (sau doar daca nu este pericol de cofuzie) matriceanula, adica o matrice de tip avand toate elementele nule (i.e. el-ementul neutru al grupului (M() +)). Cu (ori doar ) notammatricea unitate de tip :

= (), unde := 0 daca 6=

1 daca = este simbolul lui Kronecker, adica este matricea care are pe diag-onala principala doar 1, iar in rest 0 (i.e. este elementul neutru fatade inmultirea matricelor patrate de tip ). Coloana din matriceaunitate va notata deci

1 =

0BB@

10

0

1CCA 2 =

0BB@

01

0

1CCA =

0BB@

00

1

1CCA

iar prin concatenare:

= (1I2I...I)

Proprietati.- este element neutru fata de adunarea matricelor:

+ = + = ;

- matricea (1) := este elementul simetric al elementului (pentruadunarea matricelor):

+ () = () + = ;

3


4/21

- (M() +) este un grup abelian.

3. Matricea permutarii 2 (i.e. este o bijectie avand domeniul sicodomeniulf1 2g; se mai noteaza tabelar astfel: =

1 2 ... (1) (2)()

)

este de tip si este denita prin:

=

()

,

adica matricea are pe linia doar elementul de pe coloana () egal cu1, in rest 0. Deoarece () = daca si numai daca = 1() urmeaza caputem scrie si :

=

1()

astfel ca putem arma ca matricea permutarii se obtine din matriceaunitate schimband liniile in raport cu 1 : linia () din devinelinia din De exemplu, daca

=

1 2 3 42 3 1 4

atunci matricea permutarii este

=

0BB@

0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1

1CCA

Din denitia determinantilor ( daca = () 2 () atuncidet() :=

P2()1(1)2(2) () unde() inseamna signatura permutarii)

urmeaza ca

() = det();

in exemplul de mai sus signatura permutarii (i.e. () = (1)(),unde() este numarul tuturor inversiunilor permutarii) este: () =(1)2 = 1 = det()

Daca =

0BB@

12

1CCA 2 M1(), atunci =

0BB@

(1)(2)

()

1CCA

7. Inmultirea matricelor. Daca = () 2 M() iar = ( ) 2M() produsul matricelor si este o matrice de tip obtinutaprin tehnica inmultirii "linie cu coloana", adica

=

0BB@

11 12121 222

1 2

1CCA

0BB@

11 12 .121 22 2

1 2

1CCA =

4


5/21

=

0BBBBBBBB@

P=11 1

P=112

P=11

P=1

2 1P

=122

P=1

2

P

=11

P=1

2P

=1

1CCCCCCCCA=

=(P

=1) = (:1I:2I...I:)

De exemplu

=

+ +

iar6 41 1

33

=

60

In particular, daca

=

0BB@

12

1CCA 2 M1(),

atunci

=

0BB@

111 + 122 + + 1211 + 222 + + 2

11 + 22 + +

1CCA

= 1:1+2:2+...+:

De exemplu

=

+ + + +

si

1 2 30 1 4

24 1 52 23 1

35 =

12 1214 6

Proprietati ale inmultirii matricelor. Fie = () de tip si = () de tip . Atunci:

- () = () (asociativitatea inmultirii matricelor);

- ( + ) = + (distributivitatea la stanga a inmultirii ma-

tricelor fata de adunare);

- ( + ) = + (distributivitatea la dreapta a inmultiriimatricelor fata de adunare);

- pentru orice scalar , () = () = () (asociativitateainmultirii cu scalari si matrice);

- daca = ( :1 j :2j j: ) atunci = ( :1 j :2j j: ) ;

5


6/21

- daca 2 atunci = , iar = ;

- daca 2 atunci = (:1I:2I...I:) =

=

()

=

0BB@

(1)1 (1)2(1)(2)1 (2)2(2)

()1 ()2 ()

1CCA

Inversa matricei patratice este o matrice de acelasi tip astfel incat: = = . Inversa matricei se noteaza cu 1 O matrice careadmite inversa se numeste matrice inversabila, sau nesingulara. Omatrice care nu are inversa se numeste matrice singulara.

* Daca 2 atunci

= 1 = 1

Matricea este nesingulara daca si numai dacadet() 6= 0 (det()

inversabil, daca inelul nu este corp).De exemplu

1 23 2

14

14

3818

=

1 00 1

=

14

14

3818

1 23 2

deci:1 23 2

1=

14

14

3818

Daca este matrice patratica, notam

:=

z } | {

De exemplu5 68 7

3=

941 942

1256 1255

si5 68 7

3

=

12552197

9422197

12562197

9412197

Se verica imediat ca (() + ) este un inel, necomutativ, in gen-eral, in care este elementul neutru fata de inmultirea matricelor " ".

8. Un sistem liniar de m ecuatii cu n necunoscute avand coecientii dincorpul (la noi R C ori Z):

111 + 122 + + 1 =

211 + 222 + + 2 = 2 (1)

6


7/21

...

11 + 22 + + =

se poate scrie matriceal astfel:

=

adica2664

11 12 13 121 22 23 2

1 2 3

377526664

12...

37775 =

2664

12

3775

unde = ( ) 2 M() este matricea coecientilor sistemului (1)

= 0BB@1

2

1CCA 2 M1()este matricea coloana a necunoscutelor, iar

=

0BB@

12

1CCA 2 M1()

este matricea coloana a termenilor liberi. Un asemenea sistem poate incompatibil, i.e. multimea solutiilor Seste vida (S= ;) compatibil de-terminat, i.e. sistemul are solutie unica, sau compatibil nedeterminati.e.sistemul are mai multe solutii (o innitate in cazul = R sau = C,

daca = Z)

Teorema Kronecker-Capelli. Sistemul (1) este compatibil daca si nu-mai daca

() = (),

unde = ( j) este matricea extinsa a matricei (i.e. matriceabordata (concatenata)cu coloana termenilor liberi ):

=

0BB@

11 12121 222

1 2

12

1CCA

Un sistem de forma

111 + 122 + + 1 = 1

222 + + 2 = 2

...

= ,

7


8/21

unde 6= 0 , pentru orice , se rezolva prin metoda substitutiei in-verse

(i.e. obtinem

din ultima ecuatie, apoi

1 din penultima etc.)si are ca matrice o matrice superior triunghiulara, adica = 0 oride cate ori :2664

11 12 10 22 2

0 0 0

3775 ; (2)

daca in plus coecientii au toti valoarea 1 spunem ca matricea estediagonal unitara.

Un sistem in care 6= 0 = 1 de forma

111 = 1

122 + 222 = 2...

11 + 22 + + =

se rezolva prin metoda substitutiei directe iar matricea acestuia esteinferior triunghiulara.

4. Matricea= ( ) 2 () pentru care:

- daca o linie este nula, e.g. : = (0 0 ... 0) atunci toate liniile de subaceasta sunt nule, deci: = (0 0 ... 0) pentru orice ;

- daca primul element nenul de pe o linie: este atunci elementelede pe coloanele precedente inclusiv

; (i.e.

;1

;2

;) aate sub linia

sunt nule (i.e. = 0 pentru orice si ) se numestematricescara pe linii; elementul se numeste pivot .

Matricea (2) este o matrice scara pe linii; de asemenea matricele2664

2 1 1 30 0 2 50 0 0 110 0 0 0

3775

2664

1 2 3 4 50 0 3 5 70 0 0 0 110 0 0 0 0

3775

2664

1 2 0 0 8 90 2 0 4 0 60 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3775

sunt matrice scara pe linii, iar matricele2

6642 1 1 31 13 2 50 0 3 0

0 0 0 11

3

775

2

6641 2 3 4 50 0 3 5 70 0 0 0 11

0 0 0 0 1

3

775

2

6641 2 0 0 8 90 2 0 4 0 60 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

3

775nu au forma scara.

10. Transformari elementare. Fie sistemul liniar de m ecuatii cu n ne-cunoscute (1) cu multimea solutiilor; notam ecuatia a i-a cu ,adica:

8


9/21

: 11 + 22 + + =

Unsistem echivalentcu sistemul(1) este un sistem liniar de m ecuatiicu n necunoscute pentru care multimea solutiilor este tot.

Urmatoarele transformari elementare :

- interschimbarea a doua ecuatii: $ ;

- multiplicarea unei ecuatii cu un element nenul 2 : ! ;

multiplicarea unei ecuatii cu un element 2 si adunarea rezultatuluila alta ecuatie: + ! conduc la un sistem echivalent.

Lor le corespund transformarile elementare efectuate asupra matricei

= () 2 () pe linii:- interschimbarea a doua linii: : $ :; o numimtransformare

de tip 1;

- multiplicarea unei linii cu un element nenul 2 : : !:transformare de tip 2;

- multiplicarea unei linii cu un element 2 si adunarea rezultatuluila alta linie: : + : ! : transformare de tip 3.

Metoda lui Gauss: aplicand succesiv transformari elementare asupramatricei extinse a sistemului(1) pana la forma scara, obtinem multimeasolutiilorS.

Metoda Gauss-Jordan presupune in plus fata de metoda Gauss:

transformarea ecarui pivot in1;

anularea succesiva a tuturor elementelor de pe coloana pivotului.

Matricea astfel obtinuta se numestematrice scara redusa.

Exemplul. 1. Sa se rezolve sistemul:

31+42 + 3 + 24 = 3

61+82 + 23 + 54 = 7

91+122 + 33 + 104 = 13

prin metoda Gauss.Rezolvare. Atasam sistemului matricea sa extinsa

=

0@ 3 4 1 26 8 2 5

9 12 3 10

37

13

1A

9


10/21

si efectuam transformari elementare pe linii pentru a obtine o forma scara.

Pentru a forma zerouri pe prima coloana alegem pivotul

11 = 3 si efec-tuam transformarile 21 + 2 ! 2 si 31 + 3 ! 3; obtinem:

0@ 3 4 1 20 0 0 1

0 0 0 4

31

4

1A ;

din ultimile doua linii rezulta ca 4 = 1 iar din prima linie obtinem 3 =1 3142 Deci sistemul nostru este compatibil (dublu) nedeterminat,iar multimea solutiilor sale este:

S= f( 1 3 4 1) j 2 g

Daca luam corpul claselor de resturi modulo 2 atunci avem patru solutii:

S= f(0 0 1 1) (1 0 0 1) (0 1 1 1) (1 1 0 1)g

Exemplul. 2. Sa se rezolve sistemul:

81+ 62+ 53+ 24 =31+ 32+ 23+ 4 =41+ 22+ 33+ 4 =31+ 52+ 3+ 4 =71+ 42+ 53+ 24 =

21108

1518

prin metoda Gauss-Jordan.

Rezolvare. Atasam sistemului matricea sa extinsa:

=

0BBBB@8 6 5 2

3 3 2 14 2 3 13 5 1 17 4 5 2

21

108

1518

1CCCCAsi efectuam transformari elementare pe linii pentru a obtine o forma scararedusa. Pentru a obtine pivotul 1 pe prima linie putem sa inmultim liniaa 5-a cu (1) si sa adunam rezultatul la prima linie, adica sa efectuamtransformarea elementara: 7 + 1 ! 1 :

0BBBB@

1 2 0 03 3 2 14 2 3 13 5 1 17 4 5 2

348

1518

1CCCCA

ceea ce permite crearea de zerouri sub pivotul 1 al primei linii:

31 + 2 ! 2 41 + 3 ! 3 2 + 4 ! 4 71 + 5 ! 5

adica obtinem matricea echivalenta:

10


11/21

0BBBB@1 2 0 00 3 2 10 6 3 10 2 1 00 10 5 2

3545

3

1CCCCA

Asemanator procedam cu celelalte coloane: pe coloana a II-a formam unpivot 1 si zerouri in rest, etc. De exemplu:

0BBBB@

1 2 0 00 3 2 10 6 3 10 2 1 00 10 5 2

31

45

3

1CCCCA

4+1!124+2!2

^54+5! 520

2+4!4

34+3! 3

0BBBB@

1 0 1 0

0 1 0 10 0 0 10 0 1 20 0 0 2

2

1111

1722

1CCCCA ^4+1! 1

234$3

+5! 5

0BBBB@

1 0 0 2

0 1 0 10 0 1 20 0 0 10 0 0 0

19

1117110

1CCCCA

^2L4+L1 !L1

-L4+L2 !L2

-2L4+L3 !L3

0BBBB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

30

5110

1CCCCA

deci multimea solutiilor este formata dintr-un singur element (sistem com-

patibil determinat):S= f(3 0 1 5 11)g

Proprietati induse de transformari elementare. Fie o matrice, o forma scara a sa, iar 0 forma scara redusa. Atunci:

() = () = numarul de pivoti din;

forma scaranu este, in general, unica, in schimb forma scara redusa0 este unica;

daca este matrice patratica, este matricea unitate de acelasi tipsi efectuam transformari elementare asupra matricei ( j) pana la forma(0 j0) atunci:

daca0 = rezulta ca0

= 1

, iar daca0 6= rezulta ca matricea este singulara.

daca este matrice patratica nesingulara, putem calcula produsul1 efectuand transformari elementare asupra matricei ( j) pana laforma (j) ; astfel = 1;

11


12/21

transformarile elementare asupra matricei se exprima matriceal

cu ajutorulmatricelor elementare de tip 1, 2 si 3

(

()

(

),respectiv () inversabile, denite mai jos) astfel:

pentru transformarea de tip 1: : $ : noua matrice este produsul() unde () este matricea transpozitiei ( ) ==

1 2 ... 1 2 ...

;

desigur 1() = () deci inversa unei transformari de tip 1 este o trans-

formare de tip 1 ;

pentru transformarea de tip 2: : ! noua matrice este produsul() unde cu () am notat matricea unitate avand intrarea ( )modicata in (in loc de1); cum (())1 =(1), urmeaza ca inversaunei transformari de tip 2 este o transformare de tip 2;

pentru transformarea de tip 3: : + : ! : noua matrice esteprodusul () unde cu () am notat matricea unitate avand in-trarea ( ) modicata in (in loc de 0); deoarece (())1 = ()rezulta ca inversa unei transformari de tip 3 este o transformare de tip 3

5. Descompunerea a unei matrici patratice. Spunem ca matriceanesingulara

= ( ) 2 M()

admite factorizare (descompunere) daca exista doua matrice 2 M() astfel ca

=

ind o matrice inferior triunghiulara diagonal unitara, iar o matricesuperior trunghiulara, i.e. respectiv sunt de forma:

=

266664

1 0 0 021 1 0 031 32 0 0

1 2 1 1

377775, =

2664

11 12 10 22 2

0 0 0

3775.

Proprietati. Fie o matrice patratica nesingulara de tip .

Daca poate transformata intr-o matrice scarafolosind doarmatrice elementare de tip 3, de forma() cu atunci admitedescompunere De fapt daca

= 11 ,atunci

= 11 1 iar =

Matricea = () admite descompuneredaca si numai dacaminorii principali1 2 sunt nenuli, unde:

12


13/21

1 = j11j 2 = 11 1221 22 ... , = det() =

11 12 121 22 2

1 2

Exista doua permutari 2 astfel incat matricea saadmita descompunere; in acest caz =

Exemplu. Sa se descompuna in produs matricea: =

0BB@

2 1 0 13 1 1 10 4 2 35 2 3 0

1CCA

Rezolvare. Incercam sa aplicam doar transformari elementare de tip 3asupra matricei pana la forma scara . Formam zerouri pe primacoloana folosind ca pivot elementul 11 = 2; aceasta inseamna de faptca inmultim, la stanga, matricea succesiv cu matricele elementare:12(

32 ) 12(

52 ) apoi formam zerouri pe a doua coloana folosind ca

pivot elementul 22 = 12 adica inmultim la stanga cu matricele ele-

menare 23(8) si 24(1) si, in sfarsit, cu 34(23 ); obtinem:

=

0BB@

2 1 0 13 1 1 10 4 2 35 2 3 0

1CCA

0BBB@

2 1 0 1

0 - 12 152

0 4 2 30 12 3

52

1CCCA

0BB@

2 1 0 1

0 12 1 520 0 -6 230 0 4 0

1CCA 0BB@

2 1 0 10 12 1

52

0 0 6 230 0 0 463

1CCA =

Deci am obtinut

= 34(23 )24(1)23(8)12(

52 )12(

32 )

sau, echivalent (aplicand formula (())1 = ()),

= (34(23 )24(1)23(8)12(

52 )12(

32 ))

1=

=12(32 )12(

52 )23(8)24(1)34(

23 )

Luand

= 12(32 )12(

52 )23(8)24(1)34(

23 ) =

0BB@1 0 0 0

32 1 0 00 8 1 52 1

23 1

1CCArezulta descompunerea

13


14/21

= = 0BB@1 0 0 03

21 0 0

0 8 1 52 1

23 1

1CCA0BB@2 1 0 10 1

2

1 5

20 0 6 230 0 0 463

1CCA

1.2 PROBLEME

1. Concatenati urmatoarele matrice:

(a) 12 10 2

2 10 2,

(b)

12 1 2 10 2 0 2

2 20 1

1

13

,

(c)

0@11

1

1A

0@1 00 1

1 13

1A

0@ 0 0 81 8 1

8 0 0

1A.

Raspunsuri. a.

12 1 2 10 2 0 2

;

b.

12 1 2 1 2 2 10 2 0 2 0 1 13

;c.

0

@1 1 0 0 0 81 0 1 1 8 11 1 13 8 0 0

1

A

2. Fie =

1 2 3 42 3 1 4

si =

1 2 3 41 3 4 2

2 4

(a) Sa se calculeze 1,111 11,()1si ()1

(b) Sa se calculeze numarul inversiunilor () , () , precum si sig-natura permutarilor date.

(c) Sa se determine matricele permutarilor de la punctul a. si determi-nantii acestora.

(d) Sa se calculeze inversele matricelor de la punctul precedent.

(e) Fie =

0BB@1 1 22 1 23 0 12 2 1

1CCA

i. Sa se calculeze produsele 2 si 1

14


15/21

ii. Sa se determine toate produsele posibile dintre matricele

determinate la punctulc

si matricea

3. Sa se arate ca

0BB@

5 2 2 36 4 3 59 2 3 47 6 4 7

1CCA0BB@

2 2 2 21 5 3 1116 24 8 88 16 0 16

1CCA =

0BB@

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

1CCA

4. Fie () = 3 72 + 13 5 si =

0@5 2 31 3 1

2 2 1

1A Sa se arate ca

() = 0@0 0 00 0 00 0 0

1A

5. Aratati ca:

(a)

0@2 7 33 9 4

1 5 3

1A1

= 13

0@7 6 15 3 1

6 3 3

1A

(b)

0BB@

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1CCA

1

= 14

0BB@

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1CCA

(c)

0BB@

1 1 10 1 1

0 0 1

1CCA1

=

0BBBB@

1 1 0 00 1 1 00 0 1 0

0 0 0 0 1

1CCCCA in M(R)

(d)

0BBBBBB@

1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 10 0 1 2 3 2

0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 1

1CCCCCCA

1

=

=

0BBBBBB@

1 2 1 0 0 00 1 2 1 0 00 0 1 2 0 0

0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 1

1CCCCCCA

15


16/21


17/21

10. Sa se determine o matrice scara si matricea scara redusa pentru urma-

toarele matrice si sa se precizeze rangul lor:

(a)

0@11 4 3 010 1 2 9

9 2 4 13

1A,

(b)

0BB@

5 2 2 36 4 3 59 2 3 47 6 4 7

1CCA,

(c)

0BB@

0 1 9 0 30 1 3 11 20 1 0 13 1

0 1 1 2 0

1CCA

,

(d)

0BBBB@

0 0 0 1 1 1 10 4 4 4 4 4 40 2 3 3 3 3 331 3 2 1 0 1 2

1 2 2 2 2 2 2

1CCCCA.

Raspunsuri. a.

0@1 0 0

53287

0 1 0 7432870 0 1 1185287

1A, 3;

b.

0BB@

1 0 1414

0 1 3878

0 0 0 00 0 0 0

1CCA 2; c.

0BB@

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 1

1CCA 4;

d.

0BBBB@

1 0 0 0 0 0 1200 1 0 0 0 0 300 0 1 0 0 0 300 0 0 1 0 1 1520 0 0 0 1 0 151

1CCCCA 5

11. Fie matricea =

0

@2 0 22 2 00 2 2

1

A Sa se calculeze:

(a) 1 si 11 unde =

0@ 2 1 23 0 1

1 2 1

1A.

(b) Sa se calculeze produsele (13) (13)(1) si 2( 12 )(23)(

12 )

(unde cu diversi indici desemneaza matrice elementare)

17


18/21

(c) Sa se rezolve sistemul = unde = 0@112 1A

12. Sa se rezolve prin metoda Gauss in R sistemele liniare ale caror matriceextinse sunt:

(a)

0@9 3 5 6 46 2 3 1 5

3 1 3 14 8

1A ;

(b)

0BBBB@

3 2 2 2 22 3 2 5 39 1 4 5 12 2 3 4 5

7 1 6 1 7

1CCCCA

;

(c)

0BB@

1 1 3 2 3 12 2 4 1 3 22 2 8 3 9 13 3 5 2 3 1

1CCA

Raspuns.S=

2 2713 +9

13 1 +3

13 1

13

j 2

S=n

6+87

1137

1567 j2

o S= ;

14*. Sa se descrie in pseudocod algoritmii de rezolvare a unui sistem liniar prinmetoda Gauss, respectiv prin metoda Gauss-Jordan.

13. Fie =

astfel incat 6= 0 Sa se arate ca urmatoarele armatii

sunt echivalente:

(a) exista 6= 0 astfel incat :1 = :2;

(b) exista 6= 0 astfel incat 1: = 2:

16*. Sa se arate ca un sistem liniar cu coecienti reali nu poate sa aiba exactdoua solutii.

17*. Sa se dea un exemplu de sistem liniar care admite exact doua solutii.

18


19/21

14. Sa se descompuna in produs matricele:

(a)

0@ 2 2 31 1 0

1 2 1

1A

(b)

0BB@

1 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

1CCA

(c)

0@ 2 3 54 0 1

1 2 3

1A =

0@1 0 00 1 0

0 0 1

1A0@ 1 0 02 1 0

12 7

12 1

1A0@2 3 50 6 11

0 0 8312

1A

(d) 0@1 2 3

2 3 13 1 2

1A

Raspunsuri. a.

0@ 1 0 01

2 1 0 12

32 1

1A0@2 2 30 2 32

0 0 14

1A

b.

0BB@

1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1

1CCA0BB@

1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA ;

c.0@1 0 02 1 0

12 7

12 11A0@

2 3 50 6 110 0 8312

1A ;

d.

0@1 0 02 1 0

3 5 1

1A0@1 2 30 1 5

0 0 18

1A

15. Sa se descompuna in produs unde este matricea unei permutari,urmatoarele matrice:

(a)

0@7 6 15 3 1

6 3 3

1A ;

(b)0@5 2 31 3 1

2 2 1

1A ;

(c)

0@ 2 0 22 2 0

0 2 2

1A ;

19


20/21

(d) 0BB@5 2 2 36 4 3 59 2 3 47 6 4 7

1CCA ;

e.*

0BB@

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1CCA ;

f*.

0BBBB@

3 2 2 2 22 3 2 5 39 1 4 5 12 2 3 4 57 1 6 1 7

1CCCCA

Raspunsuri.a.

0@1 0 00 1 0

0 0 1

1A0@1 0 01

5 1 025

613 1

1A0@5 2 30 135 25

0 0 513

1A;

b.

0@1 0 00 1 0

0 0 1

1A0@1 0 01

5 1 025

613 1

1A0@5 2 30 135 25

0 0 513

1A;

c.

0@ 1 0 00 1 0

0 0 1

1A0@ 1 0 01 1 0

0 1 1

1A0@ 2 0 20 2 2

0 0 4

1A;

d.0BB@1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@1 0 0 06

5 1 0 095 1 1 075 2 0 1

1CCA0BB@5 2 2 3

0

8

5

3

5

7

50 0 0 00 0 0 0

1CCA;

e.

0BB@

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1CCA0BB@

1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 1 1 1

1CCA0BB@

1 1 1 10 2 0 20 0 2 20 0 0 4

1CCA;

f.

0BBBB@

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 1

1CCCCA

0BBBB@

1 0 0 0 023 1 0 0 023

25 1 0 0

3 3 0 1 073

115 2 0 1

1CCCCA

0BBBB@

3 2 2 2 20 53

23

113

53

0 0 7565 3

0 0 0 0 00 0 0 0 0

1CCCCA

(matricea

nu este invesabila!).

20*. Fie 2 ( ) astfel incat sa existe 2 1( ) , nenula, pentrucare = 0 si = Daca este matricea obtinuta prin inlocuireacoloanei : cu coloana : sa se arate ca ( 1) + ( 2) + + () = 0

20


21/21

(Concurs "Traian Lalescu", 2009, nala)

21

algebra_liniara.matrice.sisteme liniare

Documents

Transcript of algebra_liniara.matrice.sisteme liniare