Post on 01-Feb-2016
SEMNALE de BANDĂ LIMITATĂ Spectrul de frecvențe = o resursă finită !
Ocuparea spectrului de frecvențe
Semnale de BANDĂ LIMITATĂ
Semnalul analitic
Transformarea Hilbert
Reprezentarea semnalelor modulate cu ajutorul semnalului analitic
Concluzii practice
SEMNALE de BANDĂ LIMITATĂ Un semnal este de bandă limitată daca: finit ( )ăB
În acest caz, spectrul semnalului x(t) este:
( )
, pentrucu :
( ) 0, pentru
0
( )
( )
X TF
X
x t
B
X B
De exemplu, semnalul ideal de JF ocupă o banda finită (în joasă frecvență)
( )X
M M
M 0
Atunci:
(
sinc(
2
)
1( ) )
M
M
j
M
t
M
e
t
Xx t d
Însă, semnalul x(t) are o variație nelimitată în timp!
Un semnal cosinusoidal, real, poate fi reprezentat prin:
0 0j
0
jecos e2 2
t tA tA A .
Transformata Fourier a semnalului cosinusoidal (real) este:
0 0 0
cosTF A t A A .
0cosX A t F
A
00 0
Să calculăm transformata Fourier a unui semnal exponenţial complex, definit de:
0je tAx t .
Rezultă:
0
0
je 2tF A AX T
Spectrul X unui semnal exponenţial
complex este definit doar pentru 0
şi nu are componente şi în domeniul frecvenţelor negative !
2 A
0
0je tX A F
02 A
0
În general, pentru un semnal real x t ,
rezultă că:
j
j0
j
0
1e d
21
e d2
1e d
2t t
tx t X
XX
Să notăm cu xz t funcţia semnal
analitic ataşată semnalului real x t şi care
este definită de:
j
0
1e dt
xz t X j
.
Cu substituţia , prima integrală devine:
0 0j j
j
0
1 1e d e d
2 21
e d1
22
t t
t
x
X j X j
X j z t
Astfel că:
1
2Re
xx xx t z t z t z t
.
Exemplu: 0 M
( )BLX
În acest caz:
0
(
1 1( ) 1 1
)( )
MM
j tj t
xz t e d e
j
x
t
t j x t
FUNCŢIA DENSITATE SPECTRALĂ
a unui SEMNAL ANALITIC Funcţia densitate spectrală x
Z a
semnalului analitic xz t este definită de
relaţia:
j1e d
2 xx
tZz t
.
Dar, conform relaţiei de definiţie a semnalului analitic, rezultă că:
j j
0 0
1 1e d e2 d
2t t
xXz t X
Relaţiile de mai sus conduc la:
,,
0
0 0
2x
ZX
Interpretarea grafică a legăturii dintre spectrele semnalelor ˆ,x t x t şi x
z t , este
dată în figura :
X
ˆjXZ X
M M0
M
1
1
2
M
1
1
M
0
0
ˆjX
Dacă notăm cu X̂ funcţia densitate
spectrală a semnalului conjugat x t ,
rezultă că:
ˆjx
TF z t TF x t TF x t ,
adică: j ˆ
xt XXZ .
Relaţiile conduc la:
, 0
sgn 0, ˆ 0
, 0
j
X
XX
X
j , 0
jsgn 0, 0
j , 0
ˆ X
X
X
X
Relaţia de legătură dintre funcţiile spectrale X̂ şi X , poate fi rescrisă
sub forma:
ˆ jsgn
j , 0
0, 0
j , 0
X X X
X
H
X
unde s-a notat cu H funcţia:
, 0
, 0
,
j
0
j 0
TH h tF
Funcţia de transfer H , corespunde
unui filtru trece tot, cu proprietăţile:
1, 0
0, 0
1 0
H
/ 2, 0
0, 0
/ 2
arg
, 0
H
Interpretarea legăturii dintre partea reală şi cea imaginară a semnalului analitic cu ajutorul produsului de convoluţie:
1 1dˆ h t
t
xx t x t x t
t
,
unde:
1 1TF H
th t
.
Semnalul x̂ t rezultă ca răspuns al unui
sistem caracterizat de funcţia pondere h t
sau de funcţia de transfer H s , la intrarea
căruia s-a aplicat semnalul x t , ca în figura
x t 1
h tt
x̂ t x t h t
(Câteva) CONCLUZII PRACTICE Dacă x(t) este un semnal cauzal:
având spectrul (complex):
( ) (( ) ( ) )TF x t u t X Xj
atunci: ( ) ( )TH
X X
( ) ( )x t u t
t
De exemplu:
dacă: 1( ) ( )TF u t
j
atunci: 1
( )TH
Dacă spectrul unui semnal este cauzal:
iar: 1 ( ) ( ) ( ) ( )xX uT tjt xF
atunci: ( ) ( )TH
x t x t
0M
( ) ( )X u
De exemplu:
0 0 0
1 cos si( n2 )TF tjt
iar: 0 0
cos sinTH
t t
FUNCŢIA ÎNFĂŞURĂTOARE, FAZĂ INSTANTANEE
și FRECVENŢĂ INSTANTANEE ale unui SEMNAL ANALITIC
Semnalul analitic este:
jˆj e t
x xz t x t x t U t
Se definesc: - funcţia înfăşurătoare (sau anvelopă) a
unui semnal analitic:
2 2ˆD
x xU t z t x t x t ;
- funcţia fază instantanee:
ˆarg arctg
D
x x
x tt z t
x t ;
- funcţia frecvenţă instantanee:
ˆd darctg
d dx x
x tt t
t t x t
.
Reprezentarea SEMNALELOR MODULATE folosind SEMNALELE ANALITICE Fie:
0( ) ( )cos ( )
Mx t A t t t
sau:
0
0
0
( )
( )
(
( ) Re ( )
Re
Re
)
( )
j
j t t
M
j t
t
t
j
C
x t A t e
e
e
A t e
a t
Dar: 0( )( ) t
M C
ja t ez t este semnalul analitic atașat semnalului ( )
Mx t
Dar:
0
0 0
( )
( )cos(
(
) ( )sin( )
) j t
M
C C
Cz t e
a t t ja t t
a t
Fie: ( ) ( )
C CA TF a t
și:
0
0
( ) ( ) ( )
( )
j t
M M C
C
Z TF z t TF a t e
A
( )C
A
( )M
Z
M M
0 0M M
SEMNALE MODULATE reprezentate cu ajutorul
SEMNALELOR ANALITICE
Semnale MA 0
0( ) cos( )) ((( ) ) j t
MAMAm t mx t t z t et
Semalul demodulat în banda de bază este: ( ) ( )
BBm t m t
Semnale MF
0
0
( )( )( ) cos ( ) j tm
M
t
MFFm tx t t z t e
Semalul demodulat în banda de bază este: ( )( ) j tt
BB
mm t e
Semnale MP
( )
0( ) c ( )os ( ) j
MP
m
M
t
Pm tx t t z t e
Semalul demodulat în banda de bază este: ( )( ) m tj
BBm t e