Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

1

1. INTRODUCERE.

SEMNALE I SISTEME DISCRETE N TIMP

1.1 Semnale discrete n timp

Prelucrarea numeric a semnalelor analogice a devenit o practic frecvent ntlnit. Aceasta presupune dou operaii: - eantionarea la anumite momente de timp. n cele ce urmeaz acestea vor fi

presupuse de forma snT , unde sT reprezint perioada de eantionare, iar

SS TF /1 este frecvena de eantionare (eantionare regulat); aceast operaie

este realizat de un dispozitiv de eantionare-memorare (sample&hold). Dispozitivul respectiv realizeaz deci o discretizare n domeniul timp.

- conversia analog numeric. Aceasta presupune o discretizare a nivelului semnalului, aplicat eantioanelor, rezultnd o reprezentare numeric a semnalului, aplicabil unui sistem de calcul.

Acest prim capitol se refer la semnalele discrete n timp, incluznd deci ca un caz particular i semnalele numerice. Vom defini semnalul discret n timp ca o aplicaie de forma

RCZ sau: nx Poate proveni din eantionarea unui semnal analogic, )(txa cu perioada

SS FT /1 ,

Sa nTxnx Pentru ca procesul de eantionare s nu conduc la o pierdere de informaie, trebuie ndeplinite condiiile teoremei eantionrii. Aceasta presupune ca semnalul analogic s fie de band limitat i

2

SM

FF

unde MF este frecvena limit superioar a spectrului semnalului. n aceste

condiii, din semnalul discret se poate reface n mod exact semnalul analogic iniial.

Pe un interval finit de timp, semnalul va fi reprezentat printr-un numr finit N de eantioane, care pot fi exprimate ca i componente ale unui vector

, 1 , , 1T

n x n x n x n N x

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

2

Fig. 1.1

Semnale particulare

Impulsul unitar (Fig. 1.1):

0,0

0,1

n

nn

Fig. 1.1

Impulsul treapt unitate (Fig. 1.2):

0,0

0,1

n

nnu

Fig. 1.2

Semnal periodic de perioad N. Vom spune c un semnal discret n timp este periodic dac N N astfel nct

Nnxnx , Z n , iar N este perioada semnalului.

Semnal sinusoidal discretizat

Pornind de la semnalul analogic

00cos tAtxa , 00 2 F prin eantionare se obine

00cos SnTAnx n cele ce urmeaz vom nota frecvena normat 0f i frecvena unghiular

normat 0 :

u(n)

-2 -1 0 1 2

1

n

-2 -1 0 1 2 n

1

)(n

E/M CAN

)(txa ( )x n

Semnal analogic Semnal discret

n timp

Semnal numeric

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

3

SS

F

FTFf 000 , ST00

literele mari fiind utilizate pentru mrimile nenormate. Se atrage atenia c n unele lucrri mai vechi se utilizeaz pentru a simboliza normarea unei frecvene sublinierea. Cu notaia adoptat,

00cos nAnx Acest semnal nu este n general periodic. Este periodic, de perioad N, numai dac N, k, astfel nct

NkkN

22 00 ,

sau

N

k

T

TS 0

relaie care presupune un anumit sincronism ntre perioada de eantionare i perioada semnalului (n intervalul de timp NTS trebuie s fie cuprinse un numr ntreg de perioade ale semnalului analogic). Concluzia obinut este valabil pentru orice semnal obinut prin eantionarea unui semnal analogic periodic. Exponeniala complex:

0jneAnx

Energia semnalului discret este dat de :

n

def

nxE2

Conform teoremei eantionrii, energia unui semnal analogic poate fi calculat pormind de la eantioanele sale, prin relaia

n

SaSa nTxTE2

deci energia definit ca mai sus pentru semnalul discret se obine din energia semnalului analogic printr-o normare:

aS

ET

E1

Dac energia nu este finit, se poate defini puterea medie a semnalului discret n timp,

N

NnN

nxN

P2

12

1lim

1.2 Sisteme discrete n timp

Vom defini un sistem discret n timp ca un operator de forma

nxTny (Figura 1.3)

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

4

Fig. 1.3

Vom defini n continuare clase particulare de sisteme discrete n timp.

Sisteme liniare (SL) sunt acele sisteme care satisfac principiul

superpoziiei adic pentru orice constante 1a , 2a i orice semnale )(1 nx , )(2 nx ,

nyanyanxTanxTanxanxaT 221122112211 Pentru sistemele liniare vom introduce funcia de pondere, ca rspuns al sistemului la impulsul unitar n .

nTnh Orice semnal discret poate fi reprezentat ca

k

knkxnx

n consecin rspunsul unui SL poate fi scris

k k

kk

nhkxknTkxknkxTnxTny

unde

knTnhk Sisteme invariante n timp (SIT) sau invariante la deplasare, se definesc

prin

nxTny knxTkny pentru Zk . Definiia de mai sus poate fi interpretat prin aceea c un SIT comut cu un operator de ntrziere (Fig. 1.4)

Fig. 1.4

y(n) x(n)

T { } z-k

y(n-k)

x(n-k) x(n)

T { } z-k

T{x(n-k)}

y(n) x(n)

T { }

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

5

Pentru un sistem liniar i invariant n timp (SLIT): knhknTnhk

aa nct

k

knhkxny

Se definete convoluia liniar n timp discret prin

k

knxkxnxx 2121

Este evident un operator comutativ,

nxxknxkxknxkxnxxkk

12122121

O notaie echivalent este frecvent utilizat nxnxnxx 2121

Rezult pentru un SLIT concluzia important c rspunsul acestuia la un semnal nx este convoluia dintre acesta i funcia de pondere a sistemului (Fig. 1.5):

nhxnxhny

Fig. 1.5

Sisteme stabile Un sistem stabil este un sistem pentru care orice semnal de intrare mrginit (ca amplitudine) conduce la un semnal de ieire de asemenea mrginit. n cazul unui SLIT, pentru aceasta este necesar i suficient ca

k

kh

deci ca funcia de pondere s fie absolut sumabil.

Sisteme cauzale

O definiie general pentru un sistem cauzal impune ca pentru 0nn , s

existe implicaia

nxnx ba pentru 0nn nyny ba pentru 0nn , unde nyny aa , reprezint rspunsurile sistemului la cele dou semnale de intrare.

Pentru un SL condiia de cauzalitate se rezum la condiia de neanticipativitate (rspunsul sistemului nu poate aprea naintea excitaiei). ntr-

adevr, dac la intrarea unui sistem liniar cauzal se aplic nxnxnx ba deci 0nx pentru 0nn , rspunsul sistemului, n baza liniaritii este

y(n)=(h x)(n) x(n)

h(n)

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

6

nynyny ba 0ny pentru 0nn . Deci n acest caz condiia de cauzalitate se poate scrie

00 pentru0pentru0 nnnynnnx Pentru un SLIT condiia de cauzalitate poate fi scris sub forma:

0nh , 0n . ntr-adevr, n acest caz, pentru orice nxnx ba , ce satisfac condiiile de mai nainte, se poate scrie

0

10

0

10

nkb

n

kbb

nka

n

kaa

knhkxknhkxny

knhkxknhkxny

0pentru nnnyny ba

00 nk

b

nk

a knhkxknhkx

Dar aceasta nseamn

00

nk

ba knhkxkx 0 knh pentru 0nk i 0nn adic

0 kn , deci n final

0nh , 0n . Prin extensie, dac o secven ndeplinete condiia 0nx , pentru 0n , se spune c este cauzal.

Ecuaii cu diferene finite

O clas particular de SLIT poate fi descris prin ecuaii cu diferene finite.

M

kk

N

kk knxkny

00

unde k i k sunt nite constante. Dac 00 rezult, mprind cu 0 i notnd

kk a0

,

kk b0

,

N

kk

M

kk knyaknxbny

10

Dac 0N , rmne:

M

kk knxbny

0

i n particular, pentru nnx ,

restin,0

],0[,

0

Mnbknbnh n

M

k

k

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

7

Un asemenea sistem se spune c este cu rspuns finit la impuls (RFI) sau FIR

(finite impulse response). n caz contrar, 0N , sistemul este cu rspuns infinit la impuls (RII) sau IIR (infinite impulse response).

Comportarea SLIT n domeniul frecven Pentru caracterizarea unui sistem n domeniul frecven, vom aplica la intrarea sa un semnal

jnjjnj eeAeeAnAnx 2

1

2

1cos

S lum pentru nceput cazul mai simplu:

jnenx 0 i s calculm rspunsul sistemului. Se gsesc succesiv

k

jk

k

jkjn

k

knj

k

ekhnxekhe

ekhknxkhny

0

00

Se definete funcia de transfer a sistemului:

k

jkj ekheH

Deci, n cazul considerat, avem:

jeHnxny 00 Prin urmare, rspunsul unui SLIT la o exponenial complex de frecven se obine nmulind semnalul de intrare cu funcia de transfer calculat la frecvena . Observaie Aceast proprietate st la baza metodei armonice de calcul a rspunsului unui SLIT la un semnal ce const ntr-o combinaie liniar de exponeniale complexe,

i

jnj

i

i

jn

iiii eeHAnyeAnx

,

sau n particular, de sinusoide (cosinusoide).

jeH fiind n general o funcie complex, se poate scrie ca:

jjjeHj

jj eeHeeHeH

arg

Un caz important este cel al sistemelor cu funcie de pondere real, RZ:nh . n acest caz funcia de transfer se scrie:

kkk

j kkhjkkhkjkkheH sincossincos

Evident, partea real este

k

j kkheH cosRe

iar cea imaginar

k

j kkheH sinIm

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

8

Constatm deci c n cazul sistemelor cu funcie de pondere real, partea real a

funciei de transfer este funcie par de , iar partea imaginar este funcie impar. De aici deriv proprieti de simetrie pentru modul i argument:

jjjj eHeHeHeH 22 ImRe

j

j

eH

eH

Re

Imarctg

n consecin,

jjjjjj eHeHjeHeHjeHeH ImReImRe

ntrebare. n ce caz funcia de transfer este real?

Din rezultatul obinut pn aici se poate deduce simplu rspunsul sistemului la

exponeniala complex jnenx 0 , nlocuind n final, rspunsul n cazul semnalului real nAnx cos se obine pe baza liniaritii:

jnjjjjnjjj eeeHeAeeeHeAny )()(22

njnjj eeeHAny2

neHAny j cos Relaia de mai sus sugereaz c

jeH arat ctigul introdus de filtru, n funcie de frecven, deci reprezint caracteristica amplitudine frecven ;

indic defazajul introdus de sistem, deci reprezint caracteristica faz frecven ;

d

d este caracteristica timp de ntrziere de grup (normat)-

frecven.

O particularitate a fuciei de transfer jeH a unui sistem discret n timp const n faptul c este periodic de perioad 2. n cazul sistemelor cu funcie de pondere real, apare i o simetrie a caracteristicii

amplitudine-frecven n raport cu jj eHeH 2 jj eHeH

Avnd n vedere aceste particulariti, aspectele caracteristicilor amplitudine-frecven ale unor filtre sunt date n figurile 1.6-1.8.

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

9

Fig. 1.6

Fig 1.7

Fig. 1.8

Transformri utilizate n studiul sistemelor discrete n timp Se reamintesc, pentru precizarea notaiilor, principalele transformri folosite n domeniul semnalelor i sistemelor discrete n timp.

Transformata Fourier n timp discret direct

nxenxeXn

jnj TFTD

i invers

neXdeeXnx jjnj

TFTDI2

1

reprezint un instrument util de lucru pentru analiza n domeniul frecven, comportarea circuitelor n regim armonic, analiza spectral a semnalelor. Observaii

FTB

0 2 3 -

FTJ

- 2 3 0

jeH

jeH

FTS

- 2 3 0

jeH

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

10

Este evident o funcie periodic de perioad 2 (n frecvene unghiulare normate ) sau 1 (n frecvene normate f ), motiv pentru care se reprezint n mod uzual n intervalul (-, ], respectiv (-0,5,0,5].

Se tie (teorema eantionrii) c dac transformata Fourier a semnalului analogic

txa este

i

este TFTD a semnalului eantionat, Sa nTxnx , atunci

deci spectrul semnalului discret n timp se obine prin periodizarea cu perioada

S

ST

2

a spectrului semnalului analogic (Figura 1.9).

Fig. 1.9

Convergena TFTD este asigurat dac

n

nx , deci dac secvena este

absolut sumabil. n caz contrar, comportamentul spectral poate fi descris prin distribuii.

De exemplu, pentru secvena constant, 1(n), 221TFTD n

unde 2 este distribuia Dirac, periodizat cu perioada 2. Pentru exponeniala complex, aplicnd teorema deplasrii n formula precedent,

022TFTD 0 jne

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

11

Se observ imediat c funcia de transfer definit mai nainte, este transformata funciei pondere,

jeH =TFTD{h(n)}. Avnd n vedere teorema convoluiei (transformata convoluiei a dou secvene este

produsul transformatelor acestora), aplicat formulei ce d rspunsul unui SLIT,

jjj eXeHnxhnyeY TFTDTFTD Transformata Z este definit ca o serie de puteri

n

nznxnxZzX

C

n dzzzXj

zXZnx 11

2

1

Fig. 1.10

Domeniul de convergen al transformatei Z este n general o coroan circular (Figura 1.10),

RzRzD C Domeniul de integrare n transformata invers, C, este o curb nchis inclus n domeniul de convergen. n particular, poate fi un cerc cu centrul n origine, de raz R,

RRRRzzC ,C .

Cazuri particulare

Secven limitat la stnga, nelimitat la dreata prin nnnx pentru,0 . n acest caz R , aa nct RzzD C este exteriorul unui cerc de raz

R (Figura 1.11a). Se excepteaz z=, dac 0n . Pentru 0n , o asemenea

secven mai este numit cauzal.

Secven nelimitat la stnga, limitat la drepta, caracterizat prin

nnnx pentru,0 . n acest caz 0R , aa nct RzzD C este interiorul unui cerc de raz R . Se excepteaz punctul z=0, dac 0n (Figura

1.11b). Pentru 0n , o asemenea secven mai este numit anticauzal.

R- R- R+ Re{z}

Im{z}

C

R

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

12

Observaii

Calculul integralei pe contur se efectueaz cu ajutorul teoremei reziduurilor

k

k

z

n

zkC

n zzXdzzzXj

zXZnx 1

IntC,

11 Rez2

1

Fig. 1.11

Se reamintete c reziduul ntr-un pol simplu se calculeaz cu formula

11 limRez

nkzzz

n zzXzzzzXk

k

,

iar n cazul unui pol multiplu de ordin m,

1

1-

1-1

d

d

!1

1limRez

nm

km

m

zzz

n zzXzzzm

zzXk

k

Precizarea domeniului de convergen este necesar pentru determinarea n mod unic a secvenei temporale.

Ca i n cazul TFTD, exist o teorem a convoluiei, ce transform convoluia n timp n produs al transformatelor Z. Ca urmare a acestui fapt i a existenei unui instrument eficient de calcul a transformatei inverse (metoda reziduurilor),

transformata Z reprezint un instrument de baz pentru calculul rspunsului sistemelor discrete n timp la semnale de tip impuls,

zXzHnxhnyzY ZZ . Se verific imediat c dac cercul de raz unitate este inclus n domeniul de

convergen, exist TFTD i

n- n

x(n)

n+

n

x(n)

R- R+

a. b.

D

D

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

13

jezn

jnj zXnxenxeX

TFTD

Deci TFTD este egal cu transformata Z evaluat pe cercul unitar.

Exemplu

Fie

babzaz

zX

,11

111

. Calculai nx n cazurile

1. bzzD C 2. bzazD C 3. azzD C

Verificai soluiile calculnd transformatele secvenelor obinute. Vom trata pe rnd cele trei situaii.

n cazul 1, transformata invers va corespunde unei secvene limitate la stnga. n

plus, deoarece zXz lim este finit, 0n (secven cauzal). Conturul de

integrare poate fi luat un cerc C1 de raz bR .

11

11

11

1

1

1

2

1

11

1

2

1

C

n

C

n dzzbzazj

dzzbzazj

zXZnx

Deoarece secvena este cauzal, ne intereseaz numai cazul 0n , astfel nct 1nz nu genereaz poli n interiorul cercului C1. Rmn a fi luate n considerare numai reziduurile

aferente polilor bzaz 21 , , situai n interiorul acestui cerc,

111

1

11

nn bab

aba

zXZnx

Deoarece am stabilit c este o secven cauzal, putem scrie

nubaba

zXZnx nn 11111

Verificare

0

1

0

1

0

11

111

1

n

n

n

n

n

nnn

n

n bzba

baz

ba

azba

baznxnxZzX

Seria de puteri din primul termen e convergent dac raia e subunitar, azaz 1 i

n aceste condiii,

101

1

1

azba

aaz

ba

a

n

n

La fel, pentru al doilea termen, condiia de convergen este bz i

101

1

1

bzba

bbz

ba

b

n

n

n consecin, domeniul de convergen pentru zX1 este dat de intersecia celor dou condiii, adic bzzD C1 , i

111 11

1

bzaz

zX

n cazul 2, domeniul de convergen sugereaz o secven bilateral. Conturul de

integrare va fi bRaRzzC ,C2 i

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

14

2

1

2

1

2

1

C

n dzzbzazj

nx

Dintre cei doi poli bzaz 21 , , numai 1z se afl n interiorul conturului de integrare. n

afar de acesta, pentru n0. n acest caz, singurul reziduu ce trebuie luat n considerare

este az 1 .

nuaba

nx n 121

n cazul n

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

15

n cazul 3, domeniul de convergen fiind interiorul unui cerc, secvena va fi limitat

la dreapta. Cum n z=0 zX are limit finit, 0n , deci este o secven anticauzal i ne intereseaz 0pentru3 nnx . Conturul de integrare poate fi

luat un cerc C3 de raz aR .

3

1

11

1

311

1

2

1

C

n dzzbzazj

zXZnx

Singurul pol situat n interiorul conturului C3 este cel multiplu, din origine. Putem evita

calculul reziduului n acest pol procednd la fel ca n cazul precedent. Vom calcula deci

partea cauzal a transformatei lui

nxZz

bz

a

abbzazzXzX

11

11

11

11 , cu

a

zzD1

C

Conturul de integrare va fi

a

RRzzC1

,C3

care conine n interior polii b

za

z1

,1

21 . n plus, pentru n=0 mai apare un pol n

origine. Pentru n>0

111331

11

11

2

1

3

nn

C

n abba

dzz

zb

za

abjnxnx

Pentru n=0, adugnd i reziduul aferent polului din origine, se obine 003 x .

11 1133

nuabba

nxnx nn

Verificare

1

1

1

11

11

11

333

1

n

n

n

n

n

nn

n

nn

n

n zaba

azb

ba

bzazb

baznxnxZzX

Prima serie e convergent pentru bzzD C1,3 , iar a doua pentru azzD C2,3 , astfel nct azzDDD C2,31,3 . Efectund nsumrile,

se verific zXzX 3 . Exemplul acesta ilustreaz dependena secvenei de domeniul de convergen al transformatei Z i modul de calcul pentru a evita calculul reziduurilor n polii multipli. Aplicaia 2

Deducei funcia de transfer

Y zH z

X z pentru un sistem descris prin ecuaia cu

diferene finite

N

kk

M

kk knyaknxbny

10

.

Ce implicaii au condiiile de cauzalitate i de stabilitate?

Aplicnd transformata Z relaiei de mai sus i innd seama de teorema ntrzierii,

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

16

00 1

1

1

Mk

kM Nk k k

k k Nkk k

k

k

b z

Y z b X z z a Y z z H z

a z

Funcia de transfer este deci n general un raport de polinoame. Condiia de cauzalitate impune ca domeniul de convergen s fie exteriorul unui cerc de raz R suficient de

mare, astfel nct toi polii s se afle n interiorul acestuia. n plus, limz

H z

trebuie s

fie finit, condiie evident ndeplinit. Pentru ca n plus sistemul s fie stabil,

k

kh .

Dar 0 0

j k j k j

k k k

h k h k e h k e H e

, deci condiia de stabilitate

impune ca jH e . Rezult c cercul de raz unitate trebuie s se afle n interiorul domeniului de convergen, R

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

17

kX este o funcie periodic de perioad N, Z pkkXpNkX ,, . Ca urmare, procedura din Matlab ce efectueaz TFD, numit FFT, are ca intrare un

vector cu N elemente, reprezentnd eantioanele TNxxxn 1,,1,0 x ale secvenei temporale, iar ca ieire, un vector

TNXXXk 1,,1,0 X reprezentnd cele N valori reprezentative ale TFD.

Aplicnd definiia TFTD pentru secvena de suport finit

1

0

N

n

jnj enxeX

i comparnd cu definiia TFD, rezult evident

NknxeXenxknxkX N

jkN

n

Njnk

N

2TFTDTFD

21

0

2

Rezult c TFD genereaz N eantioane ale spectrului TFTD, la frecvene de forma

1,,1,0,2

NkN

kk

(Fig. 1.12)

Fig. 1.12

Probleme

1. Fie RZ :nx . Demonstrai c acest semnal se poate reprezenta sub forma

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

18

nxnxnx ip , unde nx p este partea par, iar nxi partea impar a

semnalului iniial, nxnxnxnx iipp ; . 2. Gsii i reprezentai prile pare i impare ale semnalelor:

0,sincos

10,

3

2

1

nenx

nAnx

nx

an

n

3. Fie CZ :nx . Demonstrai c acest semnal se poate reprezenta sub forma

nxnxnx ip , unde nx p este un semnal conjugat simetric, nxnx pp ,

iar nxi este un semnal conjugat antisimetric, nxnx ii .

4. Deducei prile conjugat simetrice i conjugat antisimetrice ale semnalelor

02

01

njn

nj

eAnx

Aenx

5. Demonstrai c operaia de convoluie liniar este asociativ: nznynxnznynx .

6. Fie dou sisteme liniare i invariante n timp cu funciile pondere

nhnh 21 , . Calculai funcia de pondere a sistemului obinut prin conectarea celor dou sisteme

- n paralel; - n cascad.

7. n cazul celor dou sisteme din problema 6 fie

2,1,Z

2,1,TFTD

inhzH

inheH

ii

ij

i

Calculai funciile de transfer n domeniul frecven i n domeniul Z ale sistemului obinut prin conectarea celor dou sisteme - n paralel; - n cascad.

8. Fie un sistem liniar i invariant n timp cu funcia pondere

0,

0,

nb

nanh

n

n

Determinai valorile lui a i b pentru care sistemul este - stabil; - cauzal i stabil.

9. Un sistem este caracterizat prin relaia intrare-ieire N MnMxny ,

Este acest sistem liniar? Dar invariant n timp?

10. Un sistem este caracterizat prin relaia intrare-ieire

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

19

restin0

,,, NLkkLnL

nx

ny

Este acest sistem liniar? Dar invariant n timp?

11. Un sistem este caracterizat prin relaia intrare-ieire

2nxny Este acest sistem liniar? Dar invariant n timp?

12. Verificai dac sistemele caracterizate prin relaiile intrare-ieire

nxnynnxny

nxny

3

02

1

cos

cos

14 nnxnxny sunt

a. liniare; b. invariante n timp; c. cauzale; d. stabile.

13. Calculai transformata Z pentru i precizai domeniul de

convergen.

14. Fie secvena circular simetric CZ:nx . Demonstrai c transformata sa

Z se bucur de proprietatea

zXzX

1i reciproc. Cum se modific

enunul de mai sus n cazul secvenelor reale?

15. Calculai secvena a crei transformat Z este

,

Indicaie. Utilizai proprietatea enunat n problema 14.

16. Demonstrai c dac secvena CRZ :nx are transformata cu domeniul de convergen

atunci i determinai

domeniul de convergen.

17. Demonstrai c dac secvena CZ :nx are transformata cu domeniul de convergen

atunci

zXnxZ

1 i determinai

domeniul de convergen. 18. Determinai domeniile de convergen pentru transformatele de mai jos, tiind

c ele corespund unor secvene cauzale. Calculai secvenele respective.

11 1

1

az

zX

25,0

12

zzzX

Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin

20

az

azzX

13

19. Calculai secvenele corespunztoare transformatelor Z de la problema precedent, pentru toate variantele posibile de alegere a domeniului de convergen.

20. Calculai transformata Z i domeniul de convergen pentru

10,10,1 nununx nn . Verificai apoi rezultatul, efectund transformata invers.

21. Un semnal sinusoidal cu frecvena 15KHz este eantionat cu frecvena 100KHz. Demonstrai c semnalul discret n timp este periodic i calculai perioada.

22. Calculai expresia funciei de transfer pentru un sistem descris prin ecuaii cu diferene finite. Discuie, pentru sisteme RFI i RII.

23. Un SLIT are . Calculai ctigul la frecvena .

24. Unui SLIT cu funcia de transfer jeH i se aplic la intrare semnalul

i

iii nAnx cos . Scriei expresia semnalului de la ieire.

25. Unui SLIT cu i se aplic .

Calculai ieirea sistemului. 26. Sistemului de la problema 24 i se aplic

. Calculai ieirea

acestuia.

27. Aceeai problem, dac semnalul de intrare este .

Indicaie. Pentru ultimele trei probleme se va utiliza metoda armonic. 28. Deducei i reprezentai distribuiile spectrale pentru semnalele de la

problemele 26 i 27.