Post on 06-Mar-2016
description
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
1
Fenomene de transport
Scopul acestui capitol este acela de a analiza legile dup care se produc fenomenele de
transport cele mai cunoscute, cum sunt nclzirea i rcirea la suprafaa Pmntului,
formarea curenilor atmosferici i a celor oceanici, sau fabricarea jonciunilor
semiconductoare, care stau la baza tuturor dispozitivelor electronice.
Noiunea de transport se poate extinde, de la mrimile uzuale cum sunt substana, energia,
sarcina electric, la mrimi mai puin obinuite, cum sunt cele caracteristice fenomenelor
economico-sociale: transport de bani, de informaie, sau de cunotine.
Cuprins
I. Transportul n interpretare microscopic
Mrimi fizice caracteristice
II. Legile proceselor de transport
Caracterizare macroscopic
Fenomene de difuzie
Fenomene de drift
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
2
I. Transportul n interpretare microscopic
Mrimi fizice caracteristice
Cauzele fenomenelor de transport
Orice sistem fizic izolat tinde s evolueze ctre stri caracterizate de proprieti constante n
timp.
Enunul de mai este exprim o realitate constatat n toate studiile efectuate, necontrazis de
niciun experiment, prin urmare afirmaia a fost ridicat la rang de principiu1.
Deoarece sistemul fizic ocup un domeniu spaial, strile (de echilibru, neperturbate) presupun,
implicit, i faptul c proprietile trebuie s fie uniforme spaial, adic sistemul s fie omogen
din punct de vedere al proprietii (proprietilor) aflate n studiu. Procesul de omogenizare
spaial are loc prin transportul unei mrimi fizice n interiorul sistemului. Fenomenele de
transport sunt explicabile pe baza structurii microscopice i sub-microscopice a sistemului
(molecular, electronic etc.).
Prin proces de transport se nelege procesul microscopic de modificare spaial a proprietilor
unui sistem izolat, n tendina de a atinge starea de echilibru.
Mrimi microscopice caracteristice
Fie urmtorul experiment. ntr-un col al camerei se afl un flacon cu parfum. La un moment
dat, se nltur capacul i se cronometreaz timpul dup care mirosul de parfum este perceput de
un observator aflat n partea opus a camerei. Se constat c acest timp este de ordinul zecilor
de secunde. Totui, imediat dup procesul de evaporare, moleculele substanei aromate ajung n
stare de echilibru termic cu moleculele de aer din camer, deci vor fi caracterizate de aceleai
valori ale energiei cinetice medii. Moleculele fiind comparabile ca mase, nseamn c vor avea
viteze de acelai ordin de mrime, adic de ordinul sutelor de metri pe secund. Cei civa metri
ai camerei ar trebui s fie parcuri de molecule n timpi de ordinul sutimilor de secund.
Evident, n acest raionament exist o eroare, pentru c rezultatul lui nu concord cu constatrile
experimentale.
Singurul fapt neluat n considerare este ciocnirea
moleculelor, n micarea lor de agitaie termic (v. fig.),
drumul real parcurs de molecule ntre punctele A si B
fiind mult mai lung dect cel n linie dreapt. Numrul de
molecule dintr-un volum macroscopic de gaz, la presiune
normal, fiind de ordinul numrului lui Avogadro (~1023
molecule/mol), ne dm seama c numrul de ciocniri pe
care le sufer fiecare molecul trebuie s fie imens, chiar
ntr-un interval scurt de timp. Fiecare molecul este deviat de nenumrate ori de la traiectoria
rectilinie. Aceasta explic de ce moleculele unui gaz i manifest prezena dup un timp mult
1 Cunoscut sub numele de principiul fundamental.
Drumul real parcurs de molecule
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
3
mai lung dect cel calculat pe baza distanei dintre cele dou puncte i a vitezei medii a
moleculelor. Modificarea traiectoriei rectilinii a moleculelor este rezultatul ciocnirilor dintre
acestea, n cursul micrii de agitaie termic.
n ipoteza gazului ideal, dou molecule interacioneaz
ntre ele ca dou sfere rigide2, dependena forei de distana
x dintre centrele moleculelor fiind cea din figur. Fora este
nul pentru distane care depesc diametrul d al
moleculelor i crete brusc cnd distana devine egal cu d.
Seciunea de ciocnire i frecvena ciocnirilor
Seciunea de ciocnire este aria cercului n interiorul cruia molecula de referin i poate atinge
vecinii (ilustrat n figura alturat). n ipoteza c molecula
este o sfer rigid cu raza r, seciunea este
ciocnire=(4r)2.
Se poate evalua frecvena ciocnirilor - numrul de ciocniri
pe secund - suferite de o molecul de azot din aerul aflat n
condiii standard (pres0=101325N/m2, T0=273,15K). Pentru
aceasta, se consider c ea este o sfer rigid, cu raza
r109m, care se va ciocni de toate moleculele aflate n
interiorul volumului cu seciunea ciocnire=(4r)2, i
generatoarea l=t:
tvrnN 2ciocniri )4( ,
unde densitatea volumic de molecule n i viteza medie de agitaie termic au fost deja
calculate3 pentru condiiile standard:
0B
0
Tk
presn 2,651025m3,
M
RTv
8468m/s.
Rezult c frecvena ciocnirilor este
vrnt
N 2ciocniri )4( 468101614,31065,2 1925ciocniri
t
N 6,231010 s1.
Inversul acestei mrimi reprezint intervalul de timp mediu dintre dou ciocniri consecutive,
care este de ordinul a 14 picosecunde.
Concluzia este aproximativ adevrat pentru orice specie molecular din aer, n sensul c
oricare dintre acestea sufera circa zece miliarde de ciocniri n fiecare secund! Acest lucru
explic lentoarea proceselor de transport.
2 A se vedea fascicula Structura materiei, Cap. Interacia dintre molecule.
3 Idem.
Modelul sferelor rigide
Seciunea de ciocnire
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
4
Drumul liber mijlociu
Prin drum liber mijlociu, notat lmed, se nelege distana medie parcurs de o molecul ntre dou
ciocniri consecutive: acesta va fi dat de viteza medie, multiplicat cu timpul mediu dintre dou
ciocniri consecutive.
Pentru datele din cazul precedent, se obine
ciocniri
medN
tvl
7,5109 m, sau lmed7,5nm.
Fenomenele de transport sunt, n esen, de dou tipuri4:
1. Fenomene de difuzie, unde transportul se datoreaz micrii dezordonate de agitaie termic;
aceste fenomene sunt lente.
2. Fenomene de drift, sau de convecie, unde transportul se datoreaz unei micri ordonate,
care se suprapune peste micarea de agitaie termic.
Exemple
1. Transferul de cldur, dinspre zona mai cald nspre zona mai rece a unei bare de fier cu un
capt nclzit n foc, este un fenomen de difuzie (sau conducie) termic. De cealalt parte,
amintim curentul electric staionar n circuitele electrice, sau curenii atmosferici, datorai
diferenelor locale de presiune.
2. n exemplul cu parfumul, raspndirea moleculelor aromate este un fenomen combinat, de
difuzie i de convecie de molecule; din aceleai motive, pturile inferioare ale atmosferei sunt
amestecuri omogene de azot (N2), oxigen (O2), vapori de ap (H2O), dioxid de carbon (CO2),
precum i de urme de hidrogen (H2) i gaze inerte: argon (Ar), heliu (He) etc. Dac nu ar
exista difuzia, cmpul gravitaional ar diviza atmosfera n straturi distincte. Stratul cel mai de
jos ar fi din CO2, stratul urmtor ar fi de O2, urmtorul de N2, apoi vaporii de H2O s.a.m.d., cel
mai sus ar trebui s fie He i H2.
Entropia i starea de dezordine. Fenomenele de transport nu
pot fi explicate, exclusiv, doar prin parametrii de stare
considerai pn acum, anume presiune, volum, temperatur,
cantitate (total) de substan, ci trebuie luate n consideraie
informaii suplimentare, ca de exemplu natura moleculelor
(pentru dou specii distincte, trebuie considerat, separat,
fiecare cantitate de substan), eventual sarcina electric,
momentul magnetic etc.
Experimentul urmtor demonstreaz acest lucru. Un cilindru
gros de oel este divizat n dou compartimente, dintre care cel
de sus conine hidrogen, iar cel de jos oxigen (v. fig.), la aceeai presiune i la aceeai
temperatur. n peretele prii superioare montm o bujie, care poate genera o scnteie
electric. Peretele care separ gazele are o supap care poate fi deschis sau nchis, dup
4 ntr-o teorie mai larg, ambele tipuri de transport se pot explica n mod unitar http://en.wikipedia.org/wiki/Smoluchowski_equation.
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
5
dorin. Dac, nainte de deschiderea supapei se produce o scnteie electric n gaz
(hidrogen), aceasta nu va conduce la explozia amestecului, deoarece nu exist suficient
oxigen. Dac scnteia se produce la un timp oarecare dup deschiderea supapei, atunci
rezultatul va fi explozia amestecului de hidrogen i oxigen, cu producerea de ap, sub
form de vapori. Aceasta demonstreaz c moleculele de oxigen, dei mai grele, s-au
ridicat, trecnd n compartimentul superior, n timp ce moleculele mai uoare de hidrogen
au cobort n compartimentul inferior. Micarea gazelor s-a produs n sens contrar aciunii
cmpului gravitaional.
Calitativ, fenomenul este uor de explicat pe baza teoriei cinetico-moleculare a agitaiei
termice. n micarea lor haotic, moleculele celor dou gaze se vor ciocni ntre ele,
schimbndu-i permanent traiectoriile, astfel nct moleculele unui gaz vor penetra n
domeniul n care se afl moleculele celuilalt gaz, pn cnd amestecarea este complet.
Fenomenul de difuzie dureaz atta timp ct concentraiile gazelor n diferite pri ale
vasului sunt diferite.
Situaia descris este compatibil cu ecuaiile termice de stare, scrise separat pentru
hidrogen i oxigen, nainte de amestecare, i cu ecuaia termic de stare a amestecului.
nainte de amestecare (presiunile i temperaturile sunt egale):
TkV
NpresTk
V
Npres B
O
O
B
H
H
2
2
2
2 , ,
de unde
22
22
2
2
2
2
OH
OH
O
O
H
H
B VV
NN
V
N
V
N
Tk
pres
.
Reinnd extremele, se obine
22
22
OH
OH
B VV
NN
Tk
pres
,
adic exact ecuaia termic de stare dup amestecare i ncetarea difuziei.
Prin urmare, ecuaia termic de stare, singur, nu poate explica difuzia. Este nevoie de ceva
suplimentar, care s caracterizeze cantitativ starea de dezordine din sistem pentru fiecare
specie de molecule. Aceast mrime este entropia.
Se pot face urmtoarele remarci despre concentraiile celor dou specii:
nainte de amestecare, n volumul superior:
- concentraia moleculelor de hidrogen:
2
2
H
H
V
N;
- concentratia moleculelor de oxigen: zero.
nainte de amestecare, n volumul inferior:
- concentraia moleculelor de hidrogen: zero;
- concentraia moleculelor de oxigen:
2
2
O
O
V
N.
Dup deschiderea supapei, n volumul total, comun pentru amestecul de hidrogen i oxigen:
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
6
- concentraia moleculelor de hidrogen: V
N2H ;
- concentraia moleculelor de oxigen: V
N2O .
Dezordinea poate fi msurat prin inversul concentraiei, adic prin volumul accesibil unei
molecule din fiecare specie. Acesta este mai mare n starea final:
2
2
2 H
H
H N
V
N
V ,
2
2
2 O
O
O N
V
N
V .
Evoluia natural a sistemelor este de la ordine spre dezordine. Starea de dezordine este mai
mare dup ncetarea difuziei. Ca i disipaia, difuzia caracterizeaz evoluia ctre dezordine.
Ambele fenomene sunt consecine ale agitaiei termice.
II. Legile proceselor de transport
Caracterizare macroscopic
Un sistem fizic izolat tinde s evolueze liber (de la sine)
ctre o stare de echilibru, caracterizat de omogenitate
spaial a proprietilor sale. Spre exemplu, dizolvarea
zahrului n ap este un proces de omogenizare, sub
influena agitaiei termice (vezi figura alturat). La scar
macroscopic, aceast tendin se exprim prin ecuaii
care descriu cantitativ variaia mrimilor de stare asociate proprietilor aflate n studiu. Astfel
de mrimi de stare pot fi densitatea volumic de particule, concentraia molar, densitatea
masic, temperatura etc.
Tinnd cont c proprietatea este analizat n tot volumul ocupat de sistemul fizic, mrimea de
stare trebuie s fie funcie de coordonatele spaiale (x,y,z); tinnd cont c proprietatea este
analizat n evoluia temporal, mrimea de stare trebuie s fie i funcie de timp. n concluzie,
mrimile fizice de stare sunt funcii de spaiu i de timp, adic de (t,x,y,z). Dac se noteaz,
generic, o astfel de mrime de stare cu , atunci (t,x,y,z). Dac ne referim doar la
neomogeniti unidimensionale, fie aceasta x, atunci dependena se reduce la dou variabile
(t,x).
Gradieni
Neomogenitile spaiale locale sunt caracterizate de gradientul mrimii fizice de stare asociat
proprietii n discuie.
Formal, gradientul se exprim prin derivata spaial. Deoarece trebuie fcut distincie ntre
dependenele n raport cu fiecare variabil, este necesar utilizarea derivatelor pariale. n caz
unidimensional, gradientul se scrie:
Ilustrarea unui proces de difuzie
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
7
x
notatnotat
Gradgradient .
Spre exemplu, dac mrimea de stare care caracterizeaz neomogitatea este densitatea volumic
a moleculelor n(t,x), exprimat n m3, atunci gradientul densitii volumice a moleculelor este
x
n
, cu unitatea de msur
SI
x
n= m
4.
Un sistem omogen din punct de vedere al concentraiei are gradientul nul.
Exemplu
n situaia ilustrat n figura alturat, la timpul t0
se fac cinci msurtori, simultane, ale numrului
de particule existente n cinci volume egale, la
coordonatele x1=0cm, x2=1,5cm, x3=3,5cm,
x4=5cm, x5=6,5cm.
Valorile msurate sunt N(t0,0)=7particule,
N(t0,1,5cm)=4particule, N(t0,3,5cm)=3particule, N(t0,5cm)=1particul, N(t0,6,5cm)=0particule.
Msurtorile reale opereaz cu cantiti finite, motiv pentru care infiniii mici din matematic,
notai prin simbolurile d sau , se noteaz acum cu , cu sensul de diferen finit,
msurabil. Consecina este aceea c gradienii calculai sunt valori medii pe intervalele finite
considerate. Se poate calcula gradientul (sau variaia) numrului de particule, ntre
coordonatele succesive x1, x2, , x5:
25,1
74),(),(),(Grad
12
102010
11
xx
xtNxtN
x
N
x
NxtN
xxxx
particule/cm;
5,05,15,3
43),(),(),(Grad
23
203020
22
xx
xtNxtN
x
N
x
NxtN
xxxx
particule/cm.
3,15,35
31),(),(),(Grad
34
304030
33
xx
xtNxtN
x
N
x
NxtN
xxxx
particule/cm;
7,055,6
10),(),(),(Grad
45
405040
44
xx
xtNxtN
x
N
x
NxtN
xxxx
particule/cm.
Se poate calcula i variaia medie pe tot intervalulul (x1, x5):
08,105,6
70),(),(
15
1050
xx
xtNxtN
x
Nparticule/cm.
Formula de medie. A se observa c ultima valoare medie nu este altceva dect media
valorilor anterioare, ponderat cu lungimea intervalelor. Acest lucru este normal, deoarece
expresia este consecina formulei de medie, calculat din msurtorile disponibile:
4
1
10
15
0
15
0
15
)(),(1
d),(1
d),(Grad1 5
1
5
1i
ii
i
i
x
x
x
x
xxx
xtN
xxx
x
xtN
xxxxtN
xxx
N ,
sau, explicitand termenii
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
8
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(1
45
45
405034
34
3040
23
23
203012
12
1020
15
xxxx
xtNxtNxx
xx
xtNxtN
xxxx
xtNxtNxx
xx
xtNxtN
xxx
N
de unde se regsete expresia cutat
08,105,6
70),(),(
15
1050
xx
xtNxtN
x
Nparticule/cm.
Exemplu
ntr-o camer se msoar temperatura n dou locuri: lng calorifer, unde se gsete T1=29C,
i lng fereastr, unde termometrul indic T2=21C. Dac distana calorifer-fereastr este de
4m (poziia caloriferului la x1=0, poziia ferestrei x2=4m), atunci gradientul de temperatur este
12
12Gradxx
TT
x
TT
2
m4
K8Grad
T K/m.
Semnul negativ indic faptul c temperatura descrete la creterea coordonatei spaiale. n acest
caz, originea referenialului a fost aleas n locul unde se gsete caloriferul.
Mrimi fizice caracteristice
Presupunem c mrimea care se transport este notata cu F . Acesta poate fi cantitate de
substan, energie, sarcin electric etc.
Fluxul F al unei mrimi F se definete ca variaia lui F n unitatea de timp:
td
dFF .
Echivalent, transportul lui F printr-o suprafa fix,
sub form de flux, conduce la variaia acesteia:
t FF
F lui variatia
.
Exemplu
Volumul de ap (mrimea fizic F ) dintr-un lac de acumulare scade cu 10m3/s din cauza unui
flux (debit volumic) de F =10m3/s. n 10 minute, variaia volumului de ap din lac va fi
t FF F 10m3/s 60s F 600m3, adic volumul de ap scade cu 600m3.
Densitatea de flux JF a mrimii F prin suprafaa fix S este fluxul lui F pe unitatea de suprafa,
orientat perpendicular pe direcia de transport:
tSSJ
F
Fd
d11
marimii aflux de densitatea
marimii fluxul
FFF
,
Dac mrimea F este, de exemplu, cantitatea de substan, msurat n moli, atunci unitile de
msura sunt: pentru flux [F]=mol/s, iar pentru densitatea de flux [JF]=mols1m2.
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
9
Observaie
Marimile generice flux si densitate de flux trebuie nelese n sens larg, deoarece, pentru anumite
mrimi fizice, se regsesc denumiri cunoscute, ca i notaiile consacrate istoric, care exprim
mai bine sensul fizic:
- Dac mrimea F este energia unei unde F=E, msurat n Joule, atunci se regsesc
mrimi cunoscute: fluxul de energie este puterea undei E ~ P (W), iar densitatea de
flux este intensitatea energetic a undei JE ~ IE (Wm2
).
- Dac mrimea F este sarcina electric F=q, msurat n Coulombi, atunci fluxul de
sarcin este intensitatea curentului elctric q ~ Iq (A), iar densitatea de flux este
densitatea de curent electric Jq (Am2
).
- Dac mrimea F este un volum de fluid F=V, msurat n metri cubi, atunci fluxul de
volum este debitul volumic V ~ QV (m3/s), iar densitatea de flux este viteza de curgere
JV ~ v (m/s).
Exemplu
Dac golirea apei din lacul de acumulare din exemplul anterior se face printr-o conduct cu aria
seciunii S=1m2, atunci densitatea de flux este FF S
J1
s
m10
m1
1 3
2FJ
s
m10FJ .
Ecuaia general de transport
Cauza care determin transportul este neomogenitatea proprietii sistemului, exprimat, formal,
prin gradient. Transportul are loc pn cnd gradientul mrimii de stare, asociat proprietii
aflate n studiu, se anuleaz.
Densitatea de flux a mrimii transportate JF este proporional cu gradientul mrimii de stare F
care caracterizeaz neomogenitatea:
stare de marimii gradientulflux de densitate
xDJ
FFF . (T)
Coeficientul de proportionalitate DF depinde de proprietile entitii transportate, de
proprietile mediului n care are loc transportul, precum i de temperatur. La scar
microscopic, este funcie de seciunile de ciocnire i de vitezele de agitaie termic.
Observaie
Dei au legtur ntre ele, deoarece se refer la proprietatea F, mrimile JF si F sunt diferite:
cea dinti este o mrime de stare, care exprim neomogenitatea, iar cea de-a doua este o mrime
de proces, care exprim transportul. Spre exemplu, neomogenitatea temperaturii determin un
transport de energie, sub form de flux de cldur. Temperatura este mrimea de stare, iar
cldura este mrimea de proces. Sau, o neomogenitate a concentraiei determin un transport de
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
10
substan, sub form de flux de particule. Concentraia este mrimea de stare, iar fluxul de
substan este mrimea de proces.
Iat cteva corespondene dintre mrimea de stare F, care exprim neomogenitatea, i mrimea
de proces F, care caracterizeaz transportul:
Mrimea care se transporta F Mrimea de stare F Marimea de proces F
Numr de particule, N Densitate volumic de particule, n Flux de particule, n
Cantitate de substan, Concentraie molara, c Flux molar,
Mas de substan, m Densitate masic, m Flux (debit) masic, m
Energie cinetica medie de agitaie
termic Temperatur, T Putere (flux termic), PQ
Sarcin electric, q Potenial electric, V Curent electric, Iq
n continuare, ecuaia generala de transport (T) va fi aplicat pentru procese particulare de
difuzie i de drift.
Fenomene de difuzie
Difuzia este cazul cel mai reprezentativ al fenomenelor de transport. Difuzia nu are sens fr
existena agitaiei termice.
Difuzia substanei
Difuzia este fenomenul de egalizare a concentraiei unei substane, cnd este amestecat cu alt
substan.
Difuzia este observat att n gaze i lichide, ct i n solide5. Fluxurile care intervin sunt fluxuri
de particule, fluxuri molare, sau fluxuri masice. Difuzia substanei se poate exprima n trei
moduri asemanatoare, n care diferenele sunt formale, fiind date de modul n care este
exprimat densitatea volumic de substan (concentraia): difuzia de particule, difuzia molar,
i difuzia masic.
Difuzia particulelor
Densitatea fluxului de difuzie a particulelor JN este proporional cu gradientul densitii de
particule n:
x
nDJN
. (Dif)
Unitatile de msur sunt: [JN]SI=m2s1, [n]SI=m
3, iar pentru coeficientul de difuzie [D]SI=m
2/s.
5 A se vedea http://en.wikipedia.org/wiki/File:Chemical_surface_diffusion_slow.gif
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
11
Semnul minus indic faptul c fluxul de difuzie este orientat n sensul descreterii concentraiei
particulelor. Aa cum arat experimentul descris, difuzia const din transferul unui component
al unui amestec din zona de concentraie mare spre zona unde de concentraie mic, adic
transportul densitatea de flux are direcia i sensul n care se reduce concentraia. Cu ct
diferena de concentraie este mai mare (gradient mai mare), cu att fluxul de difuzie este mai
mare (n valori absolute).
Ecuaia difuziei este mai uor utilizabil sub forma urmtoare:
x
nSDN
. (Dif )
n aplicaiile practice, inclusiv n programele de calculator, n locul formelor difereniale se
folosesc diferenele finite:
x
nSDN
.
Exemplu
n cazul difuziei la presiune atmosferic, procesul este lent. Vom exemplifica acest lucru,
presupunnd c un balon cu volumul V=10m3, confecionat din aluminiu cu grosimea de
d=2mm, plin cu heliu (He), la presiunea de o atmosfera (i temperatura de 273,15K), are un por
cu sectiunea de S=0,5mm2, astfel c heliul difuzeaz n atmosfer (i reciproc, amestecul de
specii moleculare din aer difuzeaz n sens invers, spre interiorul balonului). Coeficientul de
difuzie a heliului n aer este D=5,4105 m2/s.
Fluxul de molecule de heliu este intext
intext
xx
nnSDN
, unde
ext i int se refer la exteriorul, respectiv interiorul
balonului. Densitatea de molecule de heliu din exterior este
nul next=0, iar cea din interior a mai fost calculat, pentru
condiiile standard nint=2,651025
m3
; prin urmare fluxul de
heliu din interior spre exterior este
16
3
2557int 1058,3
102
1065,2104,5105
0
d
nSDN molecule/s.
n timp, concentraia de heliu din interior va scdea; totui, ct timp variaiile rmn mici, de
exemplu, n limita de 1%, se poate face aproximaia c nint rmne constant. Se poate calcula
timpul dup care iese o fraciune de 1% din numrul iniial de molecule de heliu din balon
N=0,01N, sau N=0,01Vnint. Aadar:
7
16
252int 104,7
1058,3
1065,2101001,0
N
nVt s, adic circa 20 000 de ore!
Moleculele de heliu din balon sunt nlocuite de componentele aerului. Desigur, dac ar exista
10000 de pori, timpul ar scdea la 2 ore, dar aceast estimare ar fi afectat de erori mari,
deoarece relaiile de mai sus sunt valabile doar dac variaiile de concentraie ramn mici
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
12
(
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
13
Densitatea fluxului de difuzie molar J este proporional cu gradientul concentraiei molare c:
x
cDJ
. (Difm)
n acest caz, mrimea de stare este concentraia molar a substanei c, mrimea de transportat
este numrul de moli , iar D este coeficientul de difuzie molar, DD. Unitile de msur
sunt urmtoarele: [J]SI=molm2s1, [c]SI=mol/m
3, [D]SI=m
2/s.
Pentru probleme unidimensionale, ecuaia difuziei molare se poate scrie sub formele alternative:
x
cSD
;
x
cSD
t
.
Analog, ecuaia cu derivate pariale corespunztoare este:
02
2
xD
t.
Difuzia masic
innd cont c moleculele au mas, i multiplicnd relaia precedent cu masa molar, se obine
relaia difuziei masice, cunoscut i sub numele de legea lui Fick.
Densitatea fluxului de difuzie masic Jm este proporional cu gradientul densitii de mas m:
xDJ mmm
.
Jm este fluxul masic, m este densitatea masic, iar coeficientul DmDD este acelai. Unitile
de msur sunt [Jm]SI=kgm2s1, [m]SI=kg/m
3, [Dm]SI=m
2/s.
Pentru probleme unidimensionale, ecuaia difuziei masice se poate scrie i sub formele:
xSD mmm
;
xSD
t
m mm
.
Ecuaia cu derivate pariale corespunztoare este:
02
2
x
mD
t
mm
.
Difuzia termic
Prin conducie (difuzie) termic nelegem fenomenul de apariie a unui flux de cldur n
sistem atunci cnd temperaturile din zone diferite ale sistemului sunt diferite. Fluxul de cldur
apare n condiiile unei neomogeniti a temperaturii.
Aadar, un gradient de temperatur d natere unui flux de cldur. n cest caz, procesul de
transport este descris de relaia (cunoscuta si sub denumirea de legea lui Fourier):
x
TJQ
.
Densitatea fluxului de cldur JQ este proporional cu gradientul temperaturii T.
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
14
JQ este cldura transferat n unitatea de timp prin unitatea de arie a suprafeei S, orientat
perpendicular pe direcia de difuzie, iar este coeficientul de conductibilitate termic. Unitile
de msur sunt: [JQ]SI=Wm2
, 1
SI
mK
x
T; pentru coeficientul de conductibilitate termic
se obine []SI=Wm1K1.
Semnul minus arat c fluxul de cldur JQ este orientat n sens invers variaiei de temperatur,
adic transportul de cldur se face dinspre zonele cu temperatura mai ridicat spre zonele cu
temperatur mai redus. Fluxul de cldur conduce la uniformizarea temperaturii n cadrul
sistemului.
Observaie
Procesele de difuzie sunt diferite de procesele de propagare a undelor. Putem vorbi de viteza de
difuzie termic, la fel cum vorbim de viteza de propagare a undelor, dar fenomenele de difuzie
nu sunt procese ondulatorii, i fluxurile termice nu au proprietile undelor. Spre exemplu,
transferurile de cldur nu interfer, n sensul producerii de maxime i minime de
temperatur.
Pentru probleme unidimensionale, ecuaia difuziei termice se scrie:
x
TSQ
;
x
TS
t
Q
,
unde unitile de msur sunt: [Q]SI=J, [Q]SI=W.
Ecuatia cu derivate pariale este uor modificat fa de cele anterioare, deoarece, pentru a
modifica temperatura cu dT, este necesar cldura dQ=mVCmdT, de unde
02
2
termicatedifuzivita
x
T
Ct
T
TD
mm
.
Noua constant de proporionalitate DT, denumit difuzivitate termic, depinde att de
coeficientul de conductibilitate termic , ct i de densitatea de mas m i de cldura
specific masic Cm. Unitile de msura sunt [Cm]SI=Jkg1K1, [DT]SI=m
2/s. Ecuaia este
cunoscut i sub denumirea de ecuaia cldurii.
Aplicaie: rezistena termic i circuitele termice.
Analog legii lui Ohm din electricitate, se poate
gsi o expresie echivalent pentru circuitele
termice.
Pentru un mediu filiform, de lungime l i
seciune S, caracterizat de conductibilitatea
termic , ecuaia general a difuziei termice
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
15
x
TSQ
se poate rescrie, sub form aproximativ,
l
TSQ
, unde T=T(x1)T(x2)
este diferena de temperatur dintre capetele firului, iar Q este fluxul termic, cu dimensiune de
putere (unitatea de msur este Watt). Relaia se rescrie sub forma
thR
TQ
,
unde mrimea S
lR
1th este rezistena termic, [Rth]SI=K/W. Prin analogie cu legea lui Ohm
de la circuitele electrice, elR
UIq , rolul intensitii curentului electric (fluxul de sarcin
electric) este luat de puterea caloric (fluxul de cldur) [Q]=W, iar tensiunea electic, sau
variaia de potenial U=V , este nlocuit de variaia de temperatur T.
n circuitele integrate din interiorul calculatoarelor, conexiunile dintre plcuele de siliciu i
terminalele exterioare, care fac legturile cu placa de baz, sunt confecionate din fire de aur, cu
diametrul de 20m i cu lungimea de ordinul l=2mm.
Pentru dimensiunile de mai sus, i innd cont c Au=318Wm1
K1, se obine
14
210
3
11thWK1000,2
m10
m102
KWm318
1
R .
Dac temperatura n interiorul circuitului integrat este de T1=80C, iar temperatura terminalului
extern este T2=30C, cldura evacuat n unitatea de timp, prin firul de aur, este
3
14105,2
WK1000,2
K50
Q W=2,5mW.
Prin toate cele 100 de terminale nu s-ar putea evacua dect cel mult 250mW, cu mult sub
necesitile de evacuare termic impuse de funcionarea corect a circuitelor integrate pe plcua
de siliciu6, care poate ajunge la zeci de Watt, fiind necesare radiatoare termice. Tehnologiile
circuitelor integrate tind s minimizeze tensiunile i curenii de lucru, reducnd pierderile de
energie prin efect termic (Joule).
Observaie
n tehnic, n afara rezistenei termice, se mai foloseste aa numitul factorU=
l msurat n
m2K/W. Acesta este ntlnit n specificaiile tehnice ale geamurilor i ramelor de tip termopan.
Aplicaie: pierderile de cldur din apartamente.
6 n tehnologia actual de 45nm, microprocesoarele conin circa 1,5 miliarde tranzistoare.
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
16
Crmizile ceramice actuale au un coeficient de conductibilitate termic =0,2...0,6Wm1K1,
mai mic dect al betonului (care este de aproximativ 1,0Wm1
K1
). Pentru un perete exterior, cu
suprafaa de 16m2 i grosimea l=0,5m, considernd =0,5Wm1K1, rezistena termic este
2
th 1025,616
5,0
5,0
1 R K/W. Dac temperatura din interior este Tint=22C, iar temperatura n
exterior este Text=0C, puterea pierdut prin perete este .W3521025,6
222
th
R
TQ
Pierderile printr-un geam termopan cu suprafata de 4m2, caracterizat de factorU=1,4m
2K/W, de
unde 35,04
4,1Ugeamth
S
factorR K/W, sunt .W63
35,0
22
geamth
geam
R
TQ
Prin urmare, printr-un perete prevzut cu un geam pierderile sunt de aproximativ 400W; se
poate estima c, pentru un apartament, pierderile prin difuzie sunt de ordinul a 1kW, ceea ce
nseamna o energie pierdut, sub form de cldur, de 24kWh20,7Mcal zilnic, sau 0,62Gcal
lunar. Costul actual al gigacaloriei este de circa 168lei/Gcal, asadar energia pierdut ne cost
aproximativ 104lei n fiecare lun.
Aplicaie: o soluie nestaionar a ecuaiei cldurii.
Sa presupunem c avem un mediu unidimensional, de lungime L
i difuzivitate DT, care la captul x=0 este excitat de o surs
termic periodic, cu pulsatia i cu amplitudinea T, astfel c
T(t,0)=T0+(T)sin(t), iar la celalalt capt temperatura este constant T(t,L)=T0.
Ecuatia cldurii 02
2
x
TD
t
TT
admite o soluie amortizat, de forma:
)sin(e)(),( 0 kxtTTxtTx .
Prin analogie cu fenomenele ondulatorii (dar diferit de acestea), variaia de temperatur
difuzeaz cu viteza TD
kc
2difuzie . Mrimea
xT e)( este amplitudinea oscilaiei,
amortizat cu factorul TD2
. Inversul factorului de amortizare se numete adncime de
ptrundere
1
, i are semnificaia distanei la care amplitudinea scade de e ori.
ngroparea conductelor de ap trebuie s se fac la o adncime suficient de mare, astfel ca
acestea s nu nghee. Temperatura multianual medie este T0=12C, iar amplitudinea termic,
la suprafaa solului, este T=Tmax,varaTmin,iarna adic T=44(20)=64K. Amplitudinea, la
adncimea dorit, trebuie s fie suficient de atenuat nct temperatura s nu coboare sub
temperatura de nghe, adic, la limit, /e)K64( x =12K, de unde 12
64ln
1
x .
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
17
Dac difuzivitatea solului este DT=2,8107
m2/s, iar perioada de un an nseamn o pulsaie
iarna-vara=2107
rad/s, se obine =0,6m1, sau o adncime de ptrundere de 1,7m.
Corespunztor, rezult o adncime a gropilor 8,2x m. Viteza de difuzie este extrem de mic,
de circa 1,2mm/or! Cu ct este mai mare pulsaia, cu att este mai mare viteza de difuzie, dar i
atenuarea. Spre exemplu, variaiile diurne difuzeaz mult mai repede (circa 2,4cm/or), dar
adncimea lor de ptrundere este mult mai redus, de aproximativ 8,7cm.
Teme
Verificai faptul c soluia indicat )sin(e)(),( 0 kxtTTxtTx satisface ecuaia
cldurii 02
2
x
TD
t
TT
, i regsii expresiile pentru viteza de difuzie i adncimea de
ptrundere.
Fenomene de drift
Driftul de sarcin electric
n cazul prezenei unor particule purttoare de sarcin electric, existenta unui gradient de
potenial electric, sau tensiune electric, conduce la apariia unui flux de purttori de sarcin.
Acest flux se poate produce i n lipsa agitaiei termice.
Densitatea de flux de sarcina Jq este direct propoionala cu gradientul potenialului electric:
xJq
Vel .
Jq este densitatea superficial de curent electric, [Jq]SI=A/m2, V este potenialul electric,
[V]SI=V (Volt), iar el este coeficientul de conductivitate electric, [el]SI=1
m1
, unde
simbolul (Ohm) este pentru unitatea de msur a rezistenei electrice.
Daca q este sarcina electric, [q]SI=C (Coulomb), atunci sarcina transportat n unitatea de
timp prin unitatea de suprafa, orientat perpendicular pe direcia de curgere, este
densitatea de flux de sarcin Jq, sau densitatea superficial de curent electric:
t
q
SSJ qq
11
electriccurent de lsuperficia densitateflux de densitate
electric curentului eaintensitatsarcin de fluxul
.
Gradientul potenialului electric definete mrimea vectorial intensitatea cmpului electric
E
, orientat n sensul scderii potenialului electric; n cazul unidimensional
xE
d
dV , [E]SI=V/m.
Pentru probleme unidimensionale, ecuaia curentului de drift se poate scrie:
xSq
Vel .
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
18
Observaie
De cele mai multe ori driftul i difuzia de sarcin coexist. Este situaia tipic de la jonciunile
semiconductoare, unde diferena de concentraie a purttorilor conduce la difuzia acestora i la
un dezechilibru de potenial electric, care genereaz, la rndul sau, un curent de drift care
echilibreaz curentul datorat difuziei. Se formeaz, astfel, bariera de potenial electric,
caracterisic jonciunile semiconductoare.
Aplicaie: legea lui Ohm.
Pentru un mediu conductor cilindric, de seciune
S i lungime l=x2x1, ntre capetele cruia exist
o diferen de potenial V= V (x2) V (x1),
ecuaia de transport se scrie, succesiv
12
12el
)()(1
xx
xx
Sq
VV,
lSqV
el ,
care este, de fapt, legea lui Ohm
el
notat
R
UIqq ,
unde )()( 21 xxU VV este tensiunea electric, iar S
lR
el
el
1 este rezistena electric. n
concluzie, legea lui Ohm, la scar macroscopic, se explic, microscopic, prin convecia, sau
driftul purttorilor de sarcin electric. n metale, purttorii de sarcin electric sunt electronii7,
fiecare electron purtnd o sarcin elementar negativ eel=1,61019
C.
n circuitele integrate din interiorul calculatoarelor, conexiunile dintre plcuele de siliciu i
terminalele exterioare, care fac legturile cu placa de baz, sunt confecionate din fire de aur, cu
diametrul de 20m i cu lungimea de ordinul l=2mm. Rezistena electric a conexiunii de aur
este (se consider el,Au=4,51071m1)
m142142,0
m10
m102
m105,4
1210
3
117elR .
Un astfel de fir suport o densitate de curent elctric de Jq=1mA/m2; n consecin, intensitatea
maxim a curentului electic suportat de fir este:
SJI 314,0m
A10m10
2
9210 I A=314mA.
Cderea de tensiune pe fir este extrem de mic, de ordinul milivolului:
7 n plasme (gaze ionizate), purttorii sunt de dou tipuri: electroni i ioni. n semiconductoare, purttorii de sarcin sunt tot de dou tipuri: electroni i goluri.
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
19
elIRU U422 1046,41042,1A1014,3 V 0,5mV.
Cldura degajat de fir prin efect Joule, n unitatea de timp (puterea disipat sub form de
cldur)
IUP Joule V1046,4A1014,3 42JouleP 1,4010
5J=14,0W.
Acest flux de cldur (0,014mW) este semnificativ mai mic dect cel de 2,5mW care poate fi
evacuat de firul conductor. Altfel spus, firul de aur nu se va ncinge din cauza trecerii curentului
electric. Dimpotriv, firul de aur contribuie la evacuarea cldurii din pastila de siliciu.
Caracteristicile electrice i termice ale unor materiale cunoscute, la temperatura camerei.
Material el (107 1m1) (Wm1K1)
Aur (Au) 4,5 318
Argint (Ag) 6,3 429
Cupru (Cu) 6,0 401
Aluminiu (Al) 3,8 237
Diamant (C) ~1016
1000-3000
Metalele, care sunt foarte bune conductoare electrice, sunt i bune conductoare de cldur.
Motivul este c aceiai electroni liberi, care particip la conducia electric, particip i la
conducia termic.
Cazul diamantului este unul special. El este foarte bun izolator electric, dar conduce extrem de
bine cldura. n cazul lui, conducia termic nu se face prin electronii liberi care, practic, sunt
inexisteni , ci prin alte mecanisme, care exced scopul capitolul de fa. Oricum, una dintre
metodele cele mai rapide de a distinge diamantele de alte pietre semipreioase este proprietatea
de a fi bun conductor termic.
Alte procese de difuzie (extensii de studiu)
Desi exced cerinele acestui curs de fizic, amintim aici i alte fenomene de transport, cu
aplicaii pe pieele financiare, sau n tiinele sociale.
Difuzia informaiei
Informaia se msoar prin entropia informaional8, care constituie o mediere a
informaiei pe simbol, msurat prin bit.
Ipoteza pieei eficiente9, conform creia informaia este disponibil, instantaneu i n mod
egal tuturor operatorilor din pia, este criticabil. Aceasta ar presupune o vitez de
circulaie infinit, ceea ce este inacceptabil practic.
8 http://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory 9 http://en.wikipedia.org/wiki/Efficient_markets
Eugen Scarlat, Fizic Fenomene de transport Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria i Managementul Afacerilor
20
n realitate, orice informaie difuzeaza cu viteza finit, prin comunicare mesajelor ntre
operatorii economici, ceea ce conduce la decizii raionale, cu scopul maximizrii
profiturilor (spre exemplu, arbitraje). Sau, informaia despre o banc aflat n dificultate
este tipic pentru ilustrarea rspndirii mesajului, de la agent la agent. Acest proces de
transport se poate modela cu o ecuaie de tip difuzie pentru funcia necunoscut N(t,x,y)
care reprezint procentul de cunosctori ai mesajului la momentul t, n coordonate
spaiale (x,y):
02
2
2
2
y
N
x
ND
t
N.
n majoritatea cazurilor, ecuaiile de difuzie sunt stocastice, adic funcia necunoscut
este o valoare medie a unei variabile aleatorii.
Cea mai cunoscut teorie care st la baza stabilirii preurilor10 este teoria drumului
aleatoriu (random walk11).
Difuzia inovaiilor
http://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_of_innovations
10 http://en.wikipedia.org/wiki/Financial_market_efficiency#Random_Walk_theory 11 http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk