Post on 06-Nov-2015
description
4 SISTEME DE REGLARE
CU ESANTIONARE
In general, prin eantionare se ntelege discretizarea n timp a unui semnal continuu. In majoritatea aplicaiilor practice, eantionarea este uniform (are loc la momente de timp echidistante), iar semnalele de timp discret obinute prin eantionare sunt si cuantificate(discretizate n valoare), fiind deci semnale de tip numeric. In cazul sistemelor cu eantionare multipl, care contin att elemente continue cu dinamic lent ct si elemente continue cu dinamic rapid, semnalele continue asociate acestor sisteme sunt discretizate cu perioade de esantionare diferite. Sistemele cu esantionare, numite si sisteme esantionate, sunt sisteme hibride care contin att subsisteme cu timp continuu (analogice), ct si subsisteme cu timp discret (discrete). Prezenta ambelor tipuri de subsisteme si de semnale (analogice si discrete) n cadrul aceluiasi sistem creaz o serie de dificultti n analiza si sinteza sistemelor cu esantionare, care pot fi ns depsite prin utilizarea formalismului matematic bazat pe transformarea Z. Sistemele cu esantionare pot valorifica ntr-un mod armonios avantajele rezultate din mbinarea caracterului intuitiv al conceptului analogic cu flexibilitatea si potentialul de calcul(caracterizat prin capacitatea de memorare, viteza si precizia de calcul) specifice sistemelor numerice.
4.1. EXEMPLE DE SISTEME CU ESANTIONARE
Un exemplu de sistem cu esantionare l constituie sistemul de reglare continu (cu regulator continuu) a concentratiei unui component ntr-un amestec, avnd ca traductor de concentratie un cromatograf de proces. Probele de analizat sunt prelevate periodic, la momentele de timp tk=kT, kZ, iar operatia de msurare a concentratiei componentului dureaz un anumit interval de timp W (considerat timp mort), mai mic sau cel mult egal cu perioada de esantionareT. Intre momentele de timp tk+W si tk+1+W, cromatograful genereaz un semnal constant, ce caracterizeaz concentratia la momentul tk. Sub aspect formal (matematic), sistemul de msurare este echivalent unei conexiuni serie de trei elemente (fig. 4.1): un element de ntrziere cu timpul mort W, un convertor analogic-discret CA-D cu perioada de esantionare T si un convertor discret-analogic CD-A.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 174
De remarcat faptul c prin efectuarea succesiv a conversiilor analogic-discret si discret-analogic, o functie de timp continuu este transformat tot ntr-o functie de timp continuu, dar de tip scar, iar cele dou functii tind s se identifice atunci cnd perioada de esantionare T tinde la zero. Sistemele de reglare a temperaturii de inflamabilitate, a temperaturii initiale si atemperaturii finale de fierbere ale unor produse petroliere sunt, de asemenea, sisteme cu msurare esantionat si ntrziat.
Fig. 4.1. Sistem de reglare automat cu msurare esantionat si ntrziat
Tipul de sistem cu esantionare cel mai reprezentativ este cel ntlnit la reglarea proceselor continue cu ajutorul unui calculator sau al unui regulator numeric (fig. 4.2). La fiecare moment de esantionare tk=kT, convertorul analogic-discret CA-D genereaz valoarea numeric mo(tk) a semnalului discret numeric mo, practic egal cu valoarea semnalului de timp continuu m(t) la momentul tk, iar blocul numeric BN calculez, prin procesarea convenabil a erorii eo(tk)=io(tk)mo(tk), valoarea numeric co(tk) a semnalului de comand. Pe durata intervalului de esantionare [tk,tk+1), convertorul discret-analogic CD-A mentine semnalul de comand de timp continuu c(t) la o valoare constant, egal cu co(tk). Deoarece toate semnalele discrete ale sistemului de reglare sunt de tip numeric (digital), fiind cuantificate ntr-un numr finit de valori, convertorul analogic-discret CA-D se numeste analogic-digital sau analogic-numeric (CA-N) iar convertorul discret-analogic CD-A se numeste digital-analogic sau numeric-analogic (CN-A). Deoarece contine suplimentar, ntre cele dou convertoare, blocul numeric de procesare a semnalului discret, structura sistemului de reglare cu algoritm de comand numeric este mai general dect cea a sistemului de reglare cu msurare esantionat.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 175
Fig. 4.2. Sistem de reglare automat cu regulator numeric
4.2. CONVERSIE, MODULARE, EXTRAPOLARE
Prin conversie analogic-discret cu perioada T (numit si esantionare cu perioada T), o functie analogic (de timp continuu si cu valori finite) f(t) este transformat ntr-o functie de timp discret T-echivalent fo(t)={f(kT)}kN.
Pentru ca operatia de conversie s fie realizat fr pierdere de informatie este necesar ca pulsatia de esantionare (Zs=2S /T ) s fie mai mare cu dublul pulsatiei maxime Z0 a semnalului de esantionat (teorema de esantionare a lui Shannon). In conditiile precizate de teorema lui Shannon, functia de timp continuu f(t) poate fi reconstituit pe baza valorilor functiei discrete asociate fo(t)={f(kT)}kZ, cu relatia
f(t) =2
)( 2)(sin
)( kTtkTt
kTfk
Z
Z
f
f . (1)
Un exemplu edificator de nerespectare a regulei lui Shannon l constituie esantionarea cu pulsatia 2Z0 a unui semnal analogic pur sinusoidal, caracterizat prin pulsatia Z0 siamplitudinea A. Prin esantionare se obtine un semnal discret cu valoarea constant (cuprins n intervalul [A,A] ), din care, evident, nu se poate reconstitui semnalul sinusoidal.
In aplicatiile practice, pulsatia de esantionare se alege ns de circa 510 ori mai mare dect valoarea critic 2Z0. In plus, pentru ca semnalul analogic s nu fie contaminat de perturbatiile cu frecventa mai mare dect frecventa maxim initial prevzut Z0, n fata convertorului analogic-discret trebuie amplasat un filtru trece-jos care s blocheze frecventele superioare lui Z0. Prin conversie discret-analogic, o functie discret fo(t) cu perioada de discretizare T (t=kT, kZ) este transformat ntr-o functie analogic fa(t), tR.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 176
Functiei de timp continuu f(t) si functiei de timp discret fo(t)={ f(kT) }kN li se asociaz functia de timp continuu tip distributie f*(t), definit astfel
f*(t) = f
G
0()(
kkT)tkTf , tR+ . (2)
Din examinarea relatiei (2) reiese c distributia f* (numit impropriu si functie esantionat) este o succesiune de impulsuri Dirac echidistante si modulate n amplitudine. Distributia f* (t) va fi reprezentat grafic prin segmente orientate, avnd aceeasi lungime ca la functia de timp discret fo(t) - fig. 4.3. In cele ce urmeaz vom considera c la momentul tk=kT, distributia f*(t)are valoarea de modulare
f*(tk)= f (tk) . (3)
Distributia f* contine aceeasi informatie ca functia discret fo, dar spre deosebire de aceasta, este compatibil cu formalismul matematic de tipul transformrii Laplace. Transfor-mata Laplace a distributiei f* are expresia
F*(s) =f
0)(
k
kTsekTf . (4)
Sub aspectul formalismului matematic, operatia de conversie discret-analogic poate fi descompus n dou suboperatii: una de modulare n impulsuri Dirac, cealalt de extrapolare (fig. 4.3). Prin modulare, semnalul discret de intrare fo este transformat ntr-un semnal tip distributie f*, iar prin extrapolare, semnalul tip distributie f* este transformat ntr-un semnal analogic fa. In cazul convertorului discret-analogic de ordinul zero, functia analogic de iesire faconserv valoarea functiei discrete de intrare fo pe durata intervalului de esantionare.
Fig. 4.3. Structura idealizat a convertorului discret-analogic CD-A: M - modulator n impulsuri Dirac, EX extrapolator (de ordinul zero).
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 177
Extrapolatorul de ordinul zero (numit holder n englez si bloquer n francez) genereaz o functie analogic avnd valoarea constant pe fiecare interval [tk, tk+1), egal cu valoarea de modulare a distributiei de intrare la momentul tk (fig. 4.4), adic:
fa(t) = f(tk) , t[tk, tk+1) . (5)
Fig. 4.4. Estimarea functiei analogice cu extrapolatorul de ordinul zero
Rspunsul extrapolatorului de ordinul zero la intrarea tip distributie f*(t)=G(t) este functia pondere
h0(t) =
f)[0)0[1
T,t,
T,t, . (6)
Scriind functia pondere sub forma
h0(t) = 1(t) 1(tT) , (7)
obtinem pentru extrapolatorul de ordinul zero urmtoarea functie de transfer
H0(s) =L [h0(t)] = se Ts1
. (8)
Extrapolatorul de ordinul unu (fig. 4.5) estimeaz functia analogic fa (t) pe intervalul[tk, tk+1) prin extrapolarea liniar a valorilor de modulare anterioare f(tk1) si f(tk) ale distributiei f*(t), dup relatia
)()()()()( k1kkka ttTtftftftf , t[tk, tk+1). (9)
Scriind functia pondere a extrapolatorului sub forma
h1(t) = (1+ tT )[1(t) 1(tT)] + (1tT )[1(tT) 1(t2T)] =
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 178
= (1+ tT )1(t) 2(1+t TT )1(tT) + (1+ T
Tt 2 )1(t2T) , (10)
rezult urmtoarea functie de transfer a extrapolatorului de ordinul unu
H1(s) = L [h1(t)] = T+Ts 1 2)1(
se Ts
. (11)
Fig. 4.5. Estimarea functiei analogice cu extrapolatorul de ordinul unu
Extrapolatorul cu ntrziere T (fig. 4.6) genereaz o functie analogic continu pe R si liniar pe fiecare interval [tk, tk+1], astfel nct fa(tk)=f(tk1) si fa(tk+1)=f(tk), adic
)()()()()( 11 kkkka ttTtftftftf , t[tk, tk+1]. (12)
Fig. 4.6. Estimarea functiei analogice cu extrapolatorul cu ntrziere T
Extrapolatorul are functia pondere
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 179
hT(t)= tT [1(t)1(tT)]+(2tT )[1(tT)1(tT)] =
tT 1(t)2
t TT 1(tT)
TTt 2 1(tT) (13)
si functia de transfer
HT (s) =L [hT (t)] = T1 2)(
se1 Ts
. (14)
Datorit simplittii si robustetii functionale, extrapolatorul de ordinul zero este preferat n majoritatea aplicatiilor practice.
4.3. METODA OPERATIONALA Z
Metoda operational de analiz si sintez a sistemelor cu esantionare apeleaz la transformarea liniar Z.
4.3.1. Transformarea Z
Functia analogic f(t), functia discret f0(t) si functia distributie asociat f*(t), toate cu valoarea nul pentru t
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 180
Z [ f(t) ] abz Z [F(s)] . (18)
Dintre propriettile transformrii Z valabile att pentru functiile de timp discret ct si pentru cele de timp continuu, mentionm:
x proprietatea de liniaritate
Z [k1f1(t) + k2f2(t)] = k1Z[f1(t)] + k2Z [f2(t)] , k1, k2 R ; (19) x proprietatea deplasrii n real
Z [f(tnT)] = znZ[f(t)] , Z [enTs F(s)] = znZ[f(t)] ; (20)
x proprietatea nmultirii n complex
Z [eat f(t)] = F(eaTz), Z [DtT f(t)] = F(Dz) ; (21)
x proprietatea derivrii n complex
Z [t f(t)] = T )(zF c (22)
x proprietatea valorii finale
)()(1)( 11
zFzlimnTflimzn
oof
, 1 (23)
valabil atunci cnd (1z1)F(z) are toti polii cu modulul subunitar; x proprietatea valorii initiale
f(0) = lim F zzof
( ) , (24)
valabil atunci cnd limita din dreapta egalului exist si este finit;
x proprietatea produsului de convolutie
Z [i
0
kh(kT iT)u(iT)] = H(z)U(z) . 2 (25)
1 (1z1)F(z) = Z [f(t)]Z [f (tT)] = Z [f (t) f (t T)] =f
0
)]1)(()([k
kzTkfkTf =
=
fo
n
k
k
nzTkfkTflim
0
)]1)(()([ = ])())(([1
0
1 nkk
nznTfzzkTfim
n
k
o
fl ,
deci
1oz
lim (1z1)F(z) = ])())(([1
0
1
1
nkk
znznTfzzkTflimlim
n
k
ofo
= )(nTflim
n fo.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 181
Reamintim c functia pondere h0(t) a unui sistem discret, este rspunsul fortat la intrarea impuls unitar G0 ={1, 0, 0, }, iar functia indicial g(t) este rspunsul fortat la intrarea treapt unitar 10={1,0,0, }. Deoarece G 0(t)=10(t)10(tT), din principiul superpozitiei rezult
h(t)=g(t)g(tT) , (26) iar n urma aplicrii transformrii Z obtinem
Z[h(t)]= (1z1)Z [g(t)] . (27)
In conformitate cu principiul superpozitiei, rspunsul fortat al unui sistem discret cu functia pondere h(t) la o intrare arbitrar u(t) poate fi exprimat prin relatiile de convolutie
y(kT)=
k
0i
h(kT iT)u(iT) =
k
0i
h(iT)u(kT iT) =
k
0i
g(iT)[u(kT iT)u(kT iTT)] , (28)
Mai departe, introducnd notatia )(zHU pentru transformata Z a produsului de convolutie a functiilor de timp continuu h(t) si u(t), adic )(zHU
'Z[h(t)qu(t)], din proprietatea
(2.8) a produsului de convolutie rezult
)(zHU = Z [H(s)U(s)] . (29)
Cazuri particulare. a) Dac U*(s) este transformata Laplace a semnalului tip distributie u*(t), atunci
)(zHU * = H(z)U(z) . (30) Intr-adevr, avem
)(zHU * = Z [H(s)f
0)(
k
kTsekTu ] =f
0])([)(
k
kTsesHkTu Z =
=f
0)()(
k
k zHzkTu = H(z)f
0)(
k
kzkTu = H(z)U(z) .
b) Dac H0(s) este functia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero, atunci
)(0 zHH = (1z1)Z [ ssH )( ] . (31)
Avem
2Z [ )(
0
iTkThk
i
u(iT)]= Z [ )(0
iTkTh
i
f
u(iT)]=
f
0k[ )(
0
iTkTh
i
f
u(iT)] z
k=
= )(
0
iTu
if
)(
0
iTkTh
k
f
zk
= )(
0
iTu
if
zi
)(
0
iTkTh
k
f
zki)
= [ )(0
iTu
if
zi][ )(
0
jTh
j
f
zj]=
= U(z)H(z).
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 182
)(0 zHH = Z [sesH
Ts1)( ] = Z [ssH )( ] Z [
ssH
e Ts )( ] = (1z1)Z [ ssH )( ] .
c) Dac Usc (s) este transformata Laplace a semnalului analogic tip scar usc(t), adic
usc(t) = uk , t[tk, tk+1) , atunci
)(zHUsc = (1z1)Z [ ssH )( ] Usc(z) . (32)
Intr-adevr, din
usc(t) = [1(t)1(tT)]u0 + [1(tT)1(tT)]u1 + [1(tT)1(tT)]u2 + ... , rezult
Usc(s) = se Ts1 [u0 + u1eTs + u2eTs + ... ] ,
deci Usc(s) = H0 (s)Usc*(s) . (32)
Tinnd seama, pe rnd, de relatiile (32), (30) si (31), obtinem
)(zHUsc =Z [H(s)Usc(s)] = Z [H(s)H0 (s)Usc*(s)] = Z [H(s)H0(s)] Usc(z) =
= (1z1)Z [ ssH )( ] Usc(z) .
4.3.2. Calculul transformatei Z a unei functii analogice
Transformata Z a unei functii analogice f(t) poate fi calculat direct, cu relatia de definitie (15), sau indirect, pe baza transformatei Laplace F(s) a functiei f(t).
Metoda direct. Pentru _z _ >1, avem
Z [1(t)] = 1+z1+z2+z3+ ... = 111 z
si
Z [ t ] = 0+Tz1+2Tz2+3Tz3+ ... = Tz1 (1+ z1+z2+ ... ) + Tz (1+ z1+z2+ ... ) +
+ Tz (1+ z1+z2+ ... ) + ... = Tz1 (1+ z1+z2+ ... )2 = 21
1
)(1
zTz
,
iar pentru _z _ > eaT rezult
Z [eat ] = f
0k
kkaT ze = kaT zek
f
)(0
=
111
ze aT .
Prin urmare, avem
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 183
Z [1(t)] = 111 z
, Z [Tt ] =
21
1
)(1
zz
, Z [eat ] =11
1 ze aT
. (33)
Ultimele dou relatii (33) pot fi aduse usor la forma
Z [ tT +1] = 21)(11z
, Z [ TtD ] = 111
zD . (34)
De remarcat faptul c transformata Z a functie ramp poate fi obtinut din transformata Z a functiei treapt pe baza propriettii derivrii n complex (22).
Metoda indirect. In general, dac transformata Laplace F(s) a functiei f(t) este o rational strict proprie si are polii s1, s2, ... , sn, atunci transformata Z a functiei f(t) poate fi calculat cu formula3
F(z) =
n
k ze
sFrez
Ts1 11)(
s sk . (35)
Intr-adevr, din F*(s)=f
0
)(k
kTsektf si f(kT)= f
f
jcjc
kT deFj VVSV)(2
1 rezult
F*(s)= f
f
f
0
)(21
k
jcjc
kTskT deeFj VVSV
= f
f
fjc
jck
)kT( deFjs
0
])[(1 VVS
V2
= f
f
jcjc T dse
Fj s)(1
)(21
VV
S,
deci
F*(s)=
n
k kTsT see
Frez
1 1)(
VVV
, F(z)=ze
sFTs
)(* =
n
k kT sze
Frez
1 11)(
VVV
.
In cazul functiei f(t) = eat sinbt, cu transformata Laplace 22)()( basbsF
, avem
F(z )= Z [F(s)] = rez [11
1 ze sT
]s a bj + rez [ 1ze
sFsT 1)( ]
bjas =
=b
s a bj 111
ze sT+ b
s a-bj 111
ze sT bjas =
3 Reziduul functiei F (s) relativ la polul p cu ordinul de multiplicitate m, este dat de relatia
rezF (s)s p
=!1)(
1
m[(s-p)
mF (s) ] 1)( m
s p .
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 184
= j21 [
1)(11
ze Tbj+a
1)(11
ze Tbj+a] ,
de unde, cu substitutia eaT =D, rezult
Z [eat sinbt ] = Z [ 22)( basb
] =221
1
)2(1)(
DDD
zzbTcoszbTsin
. (36)
Procednd similar, obtinem
Z [eat cos bt ] = Z [ 22)(+
basas
] =221
1
)2(1)(1
DDD
zzbTcoszbTcos
. (37)
De asemenea, pe baza relatiei (35) pot fi obtinute imediat relatiile (33).
Observatie. Relatiile (36) si (37) pot fi obtinute, mai simplu, plecnd de la relatia
Z [ea+jb)t ] =1)(1
1 ze Tbj+a
,
scris pe baza ultimei relatii (33), si tinnd seama c
ea+jb)t
= eat (cosbt + jsinbt ) .
4.3.2. Transformarea invers Z1
Fiind dat transformata Z direct F(z), prin transformarea inversa Z1 se obtine functia discret f0(t)={kT} kN. Transformarea invers se poate realiza prin metoda dezvoltrii n fractii simple, prin metoda formulei de inversiune sau prin metoda seriilor de puteri.
Metoda dezvoltrii n fractii simple este similar celei de la transformarea Laplace. De exemplu, functia
F(z) = ))(1(1 111
bzazz
, a z b
se descompune n fractii simple sub forma
F(z) = )1
11
1(1 11 bzazba ,
iar din (34) rezult
f0(t) = )(1 TtTt baba , f(kT) = )(1 kk baba , kN.
S considerm acum functia
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 185
G(z) = ))(1(1 11
bzazz p
, pN , a z b .
Deoarece G(z)=z(p1)F(z), din proprietatea deplasrii n real rezult g0(t)= f0(t(p1)T), deci
g(kT) = )(ba1 11 +pk+pk ba
, kN.
Metoda formulei de inversiune
f(kT) dzzFzjk )(2
1 1 J
S , (38)
unde J este un cerc ce contine totii polii functiei zk1F(z), permite determinarea valorii f(kT) cu relatia practic
f(kT) =
n
rez1i
[zk1F(z)] z=zi
, (39)
unde z1, z2, ..., zn sunt polii functiei zk1F(z). De exemplu, n cazul functiei anterioare F(z), rezult
f(kT) = rez ))(( bzazzk
z a + rez ))(( bzaz
zk
z b =aa b
k
+ bb a
k
=
a ba bk k
.
Metoda seriilor de puteri presupune aducerea functiei F(z) la forma
F(z) = n
n
rr
za...zaza
zb...zbzbb
22
11
22
110
1 (40)
si efectuarea mprtirii, n vederea dezvoltrii lui F(z) n serie de puteri negative, adic
F(z) = c0 + c1z1 + c2z2 + ... . (41)
In conformitate cu (15), rezult f(kT)=ck, kN.
4.3.4. Functia de transfer n z
Prin definitie, functia de transfer H(z) a unui sistem liniar monovariabil este transformata Z a functiei pondere h(t) a sistemului. Reamintim c la sistemele cu intrarea de timp continuu, functia pondere este rspunsul fortat la intrarea impuls Dirac G(t), iar la sistemele cu intrarea de timp discret, functia pondere este rspunsul fortat la intrarea impuls unitar G0(t) = {1, 0, 0, }.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 186
Dac la intrarea convertorului discret-analogic CD-A din figura 4.3, alctuit din modulatorul M si extrapolatorul EX, se aplic un semnal de tip impuls unitar, adic f 0(t)= G0(t),atunci la iesirea modulatorului se obtine un semnal de tip impuls Dirac, adic f*(t)=G(t).
Deoarece Z [f*(t) ]=1, rezult c modulatorul are functia de transfer n z egal cu 1. Mai departe, din faptul c functia pondere a extrapolatorului coincide cu functia pondere a convertorului discret-analogic, rezult c extrapolatorul si convertorul au aceeasi functie de transfer n z. Vom arta c extrapolatorul si convertorul discret-analogic de ordinul zero sau unu au functia de transfer n z egal cu 1, iar convertorul discret-analogic si extrapolatorul cu ntrziere T au functia de transfer egal cu z1. Astfel, n cazul extrapolatorului de ordinul zero, avem
H0(z) = Z [h0(t)] = Z [1(t) 1(tT)] = (1z1)Z [1(t)] = 1,
iar n cazul extrapolatorului cu ntrziere T, avem
HT(z) = Z [hT(t)] = Z [ tT 1(t) 2t TT 1(tT) + T
Tt 2 1(tT)] =
= (12z1+z2)Z [ tT 1(t) ] = (1z1)2 21
1
1 )z(z
= z1 .
Convertorului analogic-discret nu i se poate asocia o functie de transfer n z deoarece nu admite aplicarea la intrare a semnalului de tip Dirac.
Tinnd seama c transformata Laplace a functiei pondere h(t) a unui sistem cu timp continuu este chiar functia de transfer H(s) a sistemului, avem
H(z) ' Z [h(t)] abz Z [H(s)] , (42) iar din relatia (35) rezult c functia de transfer n z a unui sistem cu functia de transfer H(s)strict proprie poate fi calculat cu formula
H(z) =
n
k ze
sHrez
Ts1 11)(
s=sk, (43)
unde s1, s2, ... , sn sunt polii lui H(s).Relatia (43) evidentiaz faptul c polului sk al functiei de transfer H(s) i corespunde
polul zk= kTse al functiei de transfer H(z). Cu exceptia polului z=1 asociat polului s=0, ceilalti poli ai functiei H(z) sunt dependenti de perioada de esantionare T.
Aplicnd relatia (43) sau tinnd seama de (33), (36) si (37), rezult corespondenta
H(s) = s1
l H(z) = 111 z
, (44)
H(s) =2s
1 l H(z) =
21
1
1 )z(Tz
, (45)
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 187
H(s) = as
1 l H(z) = 11
1 ze aT
, (46)
H(s) = 22)( basb
l H(z) = 221
1
)2(1)(
zzbTcoszbTsin
DDD
, (47)
H(s) = 22)( basa+s
l H(z) = 221
1
)2(1)(1
zzbTcoszbTcosDD
D . (48)
unde D=eaT . Un sistem de tip integral are functia de transfer n z caracterizat prin polul z=1, iar un sistem cu timp mort multiplu de T (W=qT) are functia de transfer n z
Hm(z) = zq H(z) , (49)
unde H(z) este functia de transfer a sistemului considerat ns fr timp mort. Considernd c la intrarea unui sistem liniar cu intrarea de timp continuu se aplic semnalul distributie
u*(t) = u(0)G(t) + u(1)G(t1) +u(2)G(t2) + ... , (50) (cu perioada de esantionare T=1), n conformitate cu principiul superpozitiei rezult c valoarea iesirii fortate y la momentul k este egal de suma efectelor impulsurilor Dirac aplicate la momentele anterioare, adic
y(k) = u(0)h(k) + u(1)h(k1) + ... + u(k)h(0) =
k
ukh0
)()(i
ii , (51)
unde h reprezint functia pondere a sistemului. Relatia (51) este similar relatiei de convolutie a sistemelor liniare cu intrarea de timp discret. Tinnd seama de acest lucru, din proprietatea (25) a produsului de convolutie obtinem teorema functiei de transfer n z:
In cazul unui sistem liniar cu intrarea u(t) de tip discret sau de tip distributie, functia de transfer n z a sistemului este egal cu raportul dintre transformata Z a iesirii fortate y(t) si transformata Z a intrrii u(t), adic
H(z) = )()(
zUzY
. (52)
Desi relatia Y(z)=H(z)U(z) nu este valabil pentru sistemele cu intrarea de tip analogic, determinarea functiei de transfer este util si la aceste sisteme, n calculul rspunsului pondere (la impuls Dirac), n studiul stabilittii etc.
Relatia (52) confirm faptul c functia de transfer n z a convertorul discret-analogic (de ordinul zero sau unu) este egal cu 1. Intr-adevr, deoarece la orice moment de timp tk=kT,kN, iesirea y este egal cu intrarea u, rezult Y(z)=U(z) si deci H(z)=1. In cazul unui sistem discret cu modelul I-E sub forma ecuatiei cu diferente
y(k)+a1y(k1) + ... + any(kn) = b0u(k) + b1u(k1) + ... + bru(kr) , (53)
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 188
aplicnd transformarea Z ambilor membri si utiliznd proprietatea de liniaritate si proprietatea deplasrii n real, obtinem functia de transfer
H(z) = n
r
zaza
zbbbn
r
...1...z
11
110
. (54)
In mod similar, pentru sistemul discret cu modelul I-S-E
X(t+1) = AX(t) + BU(t), Y(t) = CX(t) + DU(t) (55)
rezult functia de transfer
H(z) = C(zIA)1B + D . (56)
4.3.5. Functia de transfer a sistemului discretizat
Discretizatul de ordinul zero 6o al sistemului continuu 6are functia de transfer4 n z
Ho(z) = )(0 zHH = (1z1)Z [ ssH )( ] , (57)
unde H(s) este functia de transfer a sistemului 6, iar H0(s) functia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero. Intr-adevr, avnd n vedere c 6o se obtine prin ncadrarea lui 6 ntre un convertor discret-analogic de ordinul zero si un convertor analogic-discret (fig. 4.7), prin aplicarea la intrarea lui 6o a semnalului impuls unitar u0(t)=G0(t) obtinem u*(t)=G(t) si ua(t)=h0(t),deci Y(s)=H(s)Ua(s)=H(s)H0(s) si, prin urmare, Y0(z)=Y(z)=Z [Y(s)]=Z [H(s)H0(s)]. Expresia functiei de transfer a discretizatului 6o al sistemului continuu 6se poate obtine, indirect, tinnd seama de faptul c functiile indiciale ale celor dou sisteme sunt T-echivalente. Astfel, notnd cele dou functii indiciale cu g0(t) si g(t), avem:
H0(z)=Z [h0(t)]=Z [g0(t)g0(tT)]= (1z1)Z [g0(t)] = (1z1)Z [g(t)]=(1z1)Z [ssH )( ].
De asemenea, considernd u0(t)=10(t), avem U0(z)= 111 z
si Y0(z)=Z[g0(t)]=Z[g(t)]=Z[ssH )( ],
iar din relatia Y0(z)=H0(z)U0(z) rezult imediat (57).
4 In cazul unui sistem continuu cu intrarea U(s), iesirea Y(s) si functia de transfer H(s), din relatiile
Y(z)= )(zHU si H0(z)= )(0 zHH rezult c functia de transfer a discretizatului de ordinul zero se obtine
prin nlocuirea lui U cu H0 n expresia care exprim dependenta n z dintre iesirea Y si intrarea U.
Aceast observatie rmne valabil si n cazul sistemelor esantionate cu intrare de timp continuu.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 189
Fig. 4.7. Schema echivalent a discretizatului sistemului continuu 6
In continuare sunt prezentate functiile de transfer n z ale discretizatelor unor sisteme uzuale:
H(s) = Ts1
l H0(z)= 11
1
zz
, H0(z)= 111
z5 , (58)
H(s) = 221sT
l H0(z)=21
21
2(1 )zzz
, H0(z)=
21
1
)2(11
zz
, (59)
H(s) = 1
11 sT
l H0(z) = 11
1)(1
pzzp
, (60)
H(s) = 11
1
1
sTsW
l H0(z)= 11
11
11
1
)(1
pz
zpTTWW
, (61)
H(s) = 11 sTsTd
l H0(z)= 11
11
1
pzz
TTd
, (62)
H(s) = 21 1)(
1sT
l H0(z)=2)1
)11
11
1
(1(1
1)(1
pzzpz
T
pzzp
, (63)
unde p= 1TT
e
. Functiei de transfer
H(s) = 111
1)(1
1111
sTsTsTsT (64)
i corespunde
H0(z)= 11
11 1)(1
11
pzzp
zTT
, (65)
functiei de transfer
H(s) = 111
1
sTsT
sTsT d
i
i= 11)(1
1)(11
11
1
1
sT
sTTT
TT
sTTTT dd )(
iii
(66)
i corespunde
5 In majoritatea aplicatiilor practice, n locul ecuatiei cu timp discret de tip integral yk=yk1+Tuk1 este
preferat ecuatia yk=yk1+Tu k
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 190
H0(z)= 111
11
111)1)(1(
11)(1
pz
zTT
TT
zTT
TTT dd
iii
, (67)
iar functiei de transfer
H(s) = 1)(1)(121
sTsT
s= 1
11
112
2
121
1
sTTTT
sTTTT
2
(68)
i corespunde
H0(z)= 11
12
21
1
21
11
)(11
)(1
qzzq
TTT
pzzp
TTT
, (69)
unde q= 2TT
e
. De asemenea, are loc corespondenta
H(s) = 12
122
1
ss
sWW
W[
l H0(z) = 22121
2(1(1
zazcosa
)zcosa(a)zcosaa)D
DGDG. (70)
unde a= W[ T
e , D = 21 [WT
, G = DD[ W
WW
sin)(T 1 , 0 d [ d 1 .
Discretizatul de ordinul unu, realizat prin conectarea la intrarea sistemului 6 a unui convertor discret-analogic de ordinul unu, are functia de transfer
H 1(z) = )(1 zHH = (1z1)2 Z [ )(12 sHTs+Ts ] . (71)
Discretizatul cu ntrziere T, realizat prin conectarea la intrarea sistemului 6 a unui convertor discret-analogic cu ntrziere T, are functia de transfer
HT (z) = )(zHHT = (1z1)2 Z [ 2)(
TssH ] . (72)
Din (57), (71) si (72) reiese faptul c ntre polul sk al functiei de transfer H(s) si polul asociat zk al functiei de transfer H(z) exist relatia zk= kTse . Cu exceptia polului z=1 (asociat polului s=0), ceilalti poli ai functiei H(z) sunt dependenti de perioada de esantionare T.
In MATLAB, pentru calculul si reprezentarea grafic a rspunsului unui sistem discret respectiv la intrrile U=[1 1 ... 1] , U=[1 0 0 ... 0] si U=[U0 U1 ... UN1 ], exist functiile:
x function [Y,X] = dstep (num,den,N) ; x function [Y,X] = dimpulse (num,den,N) ; x function [Y,X] = dlsim (num,den,U) .
Argumentul de intrare N (optional) reprezint numrul de puncte luate n consideratie, iar argu-
mentul de intrare U al functiei dlsim este vectorul linie al unei secvente de valori de intrare alese.
Argumentele de intrare num si den sunt vectori linie avnd ca elemente coeficientii de la numrtorul si
numitorul functiei de transfer n z. In cazul functiei de transfer (54), cu rdn, avem num=[b0 b1 ... br] si den=[a0 a1 ... an]. In cazul r>n, vectorul den se scrie sub forma den=[a0 a1 ... an 0 ... 0], astfel nct s
aib aceeasi dimensiune ( r ) ca num.
Argumentele Y si X exprim secventele de valori ale iesirii si, respectiv, strii sistemului.
Vectorul Y are N elemente, iar matricea X are N linii si n coloane, unde n este numrul variabilelor de
stare.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 191
Functia dimpulse calculeaz functia pondere a sistemului, adic transformata invers a functiei de
transfer H(z).
Remarc. Functiile dstep, dimpulse si dlsim permit, de asemenea, calculul rspunsului unui
sistem esantionat 6cu mrimea de intrare de tip analogic, respectiv la intrare tip treapt unitar, tip impuls unitar si tip scar. In acest caz, argumentele de intrare num si den trebuie s contin coeficientii de
la numrtorul si numitorul functiei de transfer H0(z) a discretizatului sistemului 6. Modelul discretiza-tului de ordinul zero (zoh) al unui sistem cu timp continuu 6se obtine cu functia
x [numd,dend]=c2dm(num,den,T,zoh) ,
unde num si den sunt vectorii linie ai coeficientilor polinoamelor de la numrtorul si numitorul functiei
de transfer n s a sistemului 6, T este perioada de esantionare, iar numd si dend sunt vectorii linie ai coeficientilor polinoamelor de la numrtorul si numitorul functiei de transfer n z a sistemului
discretizat.
Rspunsul indicial al sistemului 6poate fi calculat si cu functia dimpulse, dac argumentele de intrare num si den sunt asociate iesirii Y(z)= )(zHU corespunztoare intrrii U(s)=1/s.
4.3.6. Functia de transfer a regulatorului numeric PID
Mai nti vom determina ecuatia regulatorului numeric PID printr-o metod direct de discretizare a algoritmului de reglare continu PID, cu forma idealizat cunoscut
c = Kp [e + WW deTt
0)(1
i
+ Td dtde ] + c0 ,
Pentru t=kT si t=(k1)T, kN, avem
ck = Kp [ek + WW deTkT
0)(1
i + Td ek ] + c0 ,
ck1 = Kp [ek1 + WW deTTk
0)(1 1)(
idt + Td 1ke ] + c0 ,
unde ci=c(iT), ei=e(iT), )( Tee ii , iN. Din cele dou relatii rezult
ck = ck1 + Kp [ekek1 + dtteTkT
Tk)(1 )1( i + Td ( 1 kk ee
)] . (73)
Presupunnd dttekT
Tk)(
1)( #Tek, ke (ekek1)/T si 1ke =(ek1ek)/T, obtinem urm-toarea form recursiv a algoritmului numeric PID:
ck = ck1 + Kp(b0ek + b1ek1 +b2ek2 ) , (74)
unde
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 192
b0 = 1+TT
i
+TTd
, b1 = (1 + TTd2 ) , b2 = TT
d . (75)
Din (74) rezult c regulatorul numeric cu algoritmul de reglare obtinut prin discretizarea algoritmului continuu de reglare PID are functia de transfer
HPID (z) = 12
110
1)(
z
zbzbb 2pK . (76)
In continuare vom determina functia de transfer HPID(z) a regulatorului numeric, considernd c acesta este discretizatul regulatorului continuu cu functia de transfer n s
HPID (s) =Kp ( 111
1
sTsT
sTd
i) , (77)
unde Td reprezint constanta de timp derivativ, iar T1 constanta de timp de ntrziere a componentei derivative (de circa 3 ... 8 ori mai mic dect Td ). Avem
HPID (z) = Kp (1+ 111
z
ki + 11
11
zpzkd
d ) , (78)
unde ki=iT
T, kd=
1TTd
, pd = 1TT
e
. Functia de transfer a regulatorului numeric poate fi adus sub
forma
HPID (z) = 22
11
2110
1)(
zaza
zbzbb 2pK , (79)
unde
a1=1 pd, a2=pd, b0=1+ki+kd, b1= 1(ki +1)pd2kd, b2=kd +pd. (80)
In conformitate cu (78), modelul temporal al regulatorului poate fi scris astfel:
kkk
kkdpkdk
kkkpkk
DPc
eekKDpD
ekeeKPP
)(])([
11
11 i
, (81)
In continuare, vom determina functia de transfer n z a regulatorului numeric n ipoteza c acesta este discretizatul regulatorului continuu cu functia de transfer
HPID(s) = 111
1
sTsT
sTsTK dpi
i. (82)
Scriind functia de transfer sub forma
HPID(s) = )1( 11J
EDsT
sTTsKp ,
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 193
unde)1)(1(1 1
11
iii TT
TT
TT
TTT dd J E D ,, , (83)
rezult
HoPID (z) = )11
11( 1
1
1
JED zp
zz
Kdp 22
11
2110
1)(
zaza
zbzbb 2pK , (84)
unde: pd= 1TT
e
, a1=1 pd , a2=pd , b0=D+E+J, b1=D(1+pd)Epd2J, b2=Dpd + J.Din (84) rezult pentru regulator urmtorul model temporal:
J
ED
kkk
kkkdk
kkkkk
DPc
eeKDpD
eeeKPP
p
p
)()(
11
11 ][
. (85)
4.4. SISTEME ESANTIONATE DESCHISE
S considerm sistemul deschis din figura 4.8 cu intrarea u analogic si intrarea v0 numeric. Din relatiile
Y(s) = H3(s)H0(s)W*(s) , Y(z)= )(03 zHH W(z) , (86) U1(s) = H1(s)U(s) , U1(z)= )(1 zUH , (87) W(z)=V1(z)+U2(z) , W(z)= H4(z)V(z) + H2(z)U1(z) , (88)
se obtine urmtoarea relatie de corelatie intrare-iesire:
Y(z) = )(03 zHH H4(z) V(z) + )(03 zHH H2(z) )(1 zUH . (89) Din (89) rezult c pe canalul intrare numeric v 0 iesire analogic y, sistemul are functia de transfer n z
Hyv(z) = )(03 zHH H4(z) . (90)
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 194
Fig. 4.8. Sistem esantionat deschis cu intrare de timp continuu
Dac la intrarea analogic a sistemului se aplic un semnal tip impuls Dirac, adic u(t)=G(t), atunci
)(1 zUH =Z[H1(s)U(s)]=Z[H1(s)]=H1(z) ,
iar din (89) obtinem transformata Z a rspunsului pondere al sistemului, adic functia de transfer Hyu(z), sub forma
Hyu(z)= )(03 zHH H2(z)H1(z) . (91)
In general, functia de transfer a unui sistem esantionat cu intrarea u(t) analogic se obtine prin nlocuirea lui U cu 1 n relatia n z intrare-iesire. Operatia invers, de obtinere a relatiei intrare-iesire a sistemului pe baza functiei de transfer n z, nu este ns posibil. Pentru U(s)=
s1
, din (89) se obtine transformata Z a rspunsului indicial al sistemului, sub forma
Y(z)= (1z1)Z [s
sH )(3 ] H2(z)Z [ ssH )(1 ] . (92)
Tot din (89), prin nlocuirea lui U cu H0, obtinem functia de transfer a discretizatului de ordinul zero al sistemului esantionat cu intrarea analogic u si iesirea y, sub forma
)(zHyu0 = )(03 zHH H2(z) )(01 zHH = (1z1)2Z [ ssH )(3 ] H2(z)Z [ s
sH )(1 ]. (93)
i Aplicatia 4.1. Fie sistemul esantionat din figura 4.8, caracterizat prin
H1(s)=11
1
sTk
, H2(z) = k2 , H3(s)=13
3
sTk
.
a) S se afle rspunsul indicial al sistemului pentru u=1(t);
b) S se afle functia de transfer )(0 zH yu a discretizatului sistemului.
Rspuns. a) In conformitate cu relatia (92), calculm
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 195
Z [s
sH )(1 ]=Z [1)( 1
1
sTsk
] = k1Z (1+
1
1
1
sT
T
s ) = k1( 11
1 z
111
1 zp
) =))(1(1
)(11
11
111
zpz
zpk
si, similar
Z [s
sH )(3 ] = Z [1)( 3
3
sTsk
] =))(1(1
)(11
31
133
zpz
zpk ,
unde p1= 1e TT
, p3= 3e TT
. Rezult
Y(z) = (1z1)Z [s
sH )(3 ]H2(z)Z[s
sH )(1 ] =)z)(1z)(1z(1
z))(1(11
31
11
231321
pp
ppkkk ,
iar n urma descompunerii n fractii simple se obtine
Y(z) = k1k2k3( 11
1 z
1131
3
1
11
zppp
p 1
313
1
1
11
zppp
p) .
Prin urmare
y(kT) = k1k2k3(1 kppp
p1
31
31 kp
pp
p3
3
1
1
1
) .
b) Comparnd (92) si (93), rezult
)(0 zH yu = (1z1
)Y(z) = )z)(1z(1
z))(1(11
31
1
231321
pp
ppkkk .
i Aplicatia 4.2. Pentru v0=0(t), s se afle rspunsul (indicial) al sistemului esantionat din figura 4.8, stiind c
(64) v1(kT)+av1((k1)T) = bv((k1)T)
(63) T3 )(ty +y(t) = k3wa(tmT) , mN .
Rspuns. Avem
H4(z)= 1
1
1
azbz
si
H3(s)=13
3
sT
ek mTs ,
)(03 zHH = (1z1
)Z [1)( 3
3
sTs
ek mTs]= k3(1z1)zmZ [
1)(1
3 sTs]=
13
133
1
)(1
zp
zpk m ,
unde p3= 3e TT
. In conformitate cu (89), obtinem
Y(z)= )(03 zHH H4(z)V(z) = 13
133
1
)(1
zp
zpk m
1
1
1
az
bz11
1
z
=
= a
zbk m
13 (
11
1 z
13
3
1
11
azpa
p 1
33 1
11
zppaa
) ,
deci
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 196
y(kT) =a
bk
13 [1 mka
pa
p
)(1
3
3 mkppaa
33
1]1(km) .
4.5. SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE
S considerm sistemul de reglare cu msurare esantionat din figura 4.1, n ipoteza c timpul mort de ntrziere coincide cu perioada de esantionare, adic W=T. Avem
Y(s) = V(s) + HP(s)HE(s)HR(s)[ I(s) H0(s)W*(s)] , iar prin aplicarea transformrii Z, obtinem
Y(z) =V(z) + )(zHHH REP I )(zHHHH 0REP W(z) .Tinnd seama si de relatia W(z)=z1Y(z), rezultat din W(s)=eTsY(s), obtinem
)()(
)()(
z
zHHHz
zVzY REP
PP
I )( . (94) unde
)(1)( 01 zHHHHzz REP P . (95)Mai departe, din (94) si din
E(z) = I(z)Mz= I(z)H0(z)W(z) = I(z)W(z) = I(z)z1Y(z) , rezult
E(z) = I(z) )()(1
z
zHHHz REPP
I )()(1
z
zVzP
. (96)
Din (94) si (96), prin nlocuirea lui V cu 0 si a lui I cu 1, obtinem
Hyi (z) = )()(
z
zHHH REPP
, Hei (z) = 1 )()(1
z
zHHHz REPP
, (97)
iar prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu 1, obtinem
Hyv (z) = )(1zP
, Hev (z) = )(1
z
z
P
. (98)
Pe baza relatiilor (94) si (96) putem determina functiile de transfer ale discretizatului sistemului de reglare. Astefl, prin nlocuirea lui V cu 0 si a lui I cu H0, obtinem
)()()( 0
z
zHHHHzH REP0y
P i , )(
1z
zH0eP
)(i . (99)
iar prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu H0, obtinem
)(1)(z
zH0yvP
, )(z 1
zzH0ev
P
)( . (100)
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 197
Considerm acum sistemul de reglare numeric din figura 4.2. Din
E(z)=I(z)Z[HT (s)Y(s) ] , Y(s)=V(s) + Hp(s)HE(s)H0(s)C*(s) , rezult
E(z) = I(z) )(zVHT )()(0 zCzHHHH EPT , Tinnd seama de ecuatia n z a regulatorului numeric,
C(z) = HR(z)E(z) , obtinem
E(z) = )()(
)()(
z
zVHz
z TPP
I , (101) unde
)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P . (102)
Mai departe, din (101) si din
Y(z)= V(z) + )()(0 zCzHHH EP = V(z) + )()()(0 zEzHzHHH REP ,
rezult
Y(z)= V(z) )()()()(0
z
zVHzHzHHH TREPP )(
)()()(0z
zzHzHHH REPP
I. (103)
Din (101) si (103), prin nlocuirea lui V cu 0 si a lui I cu 1, obtinem
Hei (z) = )(1zP
, Hyi (z)= )()()(0
z
zHzHHH REPP
, (104)
iar prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu 1, obtinem
Hev (z) =)(z
zHTP
)(, Hyv (z) = )(
)()()(1 0z
zHzHzHHH TREPP
. (105)
Tot din (101) si (103), prin nlocuirea lui I cu 0 si a lui V cu H0, obtinem functiile de transfer ale discretizatului sistemului de reglare
)((z)0
z
HHzH T0ev
P
)( , )(
)()()(1)( 00z
zHHzHzHHHzH TREP0yv
P
. (106)
In cele ce urmeaz este prezentat n MATLAB un program pentru calculul si reprezentarea grafic a rspunsului unui sistem de reglare numeric la referint treapt si perturbatie treapt.
% function[] = stepsran(Kp,Ti,Td,T1,T,N)
% Reprezentarea grafic a functiilor indiciale ale unui SRA cu regulator numeric PID,
% format din regulator, proces (p), element de executie (e) si traductor (t)
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 198
% T - perioada de esantionare, N numarul perioadelor de esantionare
% Kp - factorul de proportionalitate al regulatorului, Ti - constanta de timp integral a regulatorului
% Td - constanta de timp derivativ, T1 constanta de timp de ntrziere a componentei derivative
% Regulatorul are functia de transfer Hr(z)=Kp(1+ 1z1
ki
+1
d
1
dzp1
z1k
), cu ki=
T
Ti,
1
dd
T
Tk , pd= 1T
T
e
;
% este discretizatul regulatorului analogic cu functia de transfer HPID (s)=Kp ( 111
1
sTsT
sTd
i) .
function[]=stepsran(Kp,Ti,Td,T1,T,N)
t=0:1:N1; % Regulator
ki=T/Ti;
if T1==0, kd=10; pd=0;
else kd=Td/T1; pd=exp(T/T1); end
a1=1Sd; a2=pd; b0=1+ki+kd; b1=-1(ki+1)*pd2*kd; b2=kd+pd; nr=Kp*[b0 b1 b2]; dr=[1 a1 a2];
% Parametrii procesului: K, t1, t2 si tm (tm - timp mort)
K=1; t1=50; t2=20; tm=30;
np=K; dp=[t1*t2 t1+t2 1];
% Parametrii elementului de executie: Ke, Te
Ke=1; te=5;
ne=Ke; de=[te 1];
% Parametrii traductorului: Kt, Tt
Kt=1; tt=10;
nt=Kt; dt=[tt 1];
% Hp*He(s)
[ns,ds]=series(np,dp,ne,de);
% HpHeHo(z), inclusiv timpul mort
[n,d]=c2dm(ns,ds,T,'zoh');
zmort=zeros(1,tm/T);
n=[zmort n];
while length(d)< length(n), d=[d 0];
end;
% Ht*Hp*He(s)
[ns1,ds1]=series(nt,dt,ns,ds);
% HtHpHeHo(z), inclusiv timpul mort
[n1,d1]=c2dm(ns1,ds1,T,'zoh');
n1=[zmort n1];
while length(d1)< length(n1), d1=[d1 0];
end;
% Hr(z)*HtHpHeHo(z)
[n0,d0]=series(nr,dr,n1,d1);
% eroarea pentru referinta treapta unitara
[neror,deror]= feedback(1,1,n0,d0,-1);
[neror,deror]=minreal(neror,deror);
clg; hold on;
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 199
e=dstep(neror,deror,N); plot(t,e,'w');
% comanda pentru referinta treapta unitara
[ncom,dcom]= series(nr,dr,neror,deror);
[ncom,dcom]=minreal(ncom,dcom);
dstep(ncom,dcom,N);
% iesirea pentru referinta treapta unitara
[nies,dies]=series(n,d,ncom,dcom);
[nies,dies]=minreal(nies,dies);
m=dstep(nies,dies,N); plot(t,m,'c');
title('EROAREA-W, IESIREA-C, COMANDA-Y pentru I=1(t)');
grid; pause;
% HtHo(z)
[n2,d2]=c2dm(-nt,dt,T,'zoh');
% eroarea pentru perturbatie treapta unitara
[neror1,deror1]= series(n2,d2,neror,deror);
[neror1,deror1]=minreal(neror1,deror1);
clg; hold on;
e=dstep(neror1,deror1,N); plot(t,e,'w');
% comanda pentru perturbatie treapta unitara
[ncom1,dcom1]= series(nr,dr,neror1,deror1);
[ncom1,dcom1]=minreal(ncom1,dcom1);
dstep(ncom1,dcom1,N);
% iesirea pentru perturbatie treapta unitara
[nies1,dies1]=series(n,d,ncom1,dcom1);
[nies1,dies1]=parallel(1,1,nies1,dies1);
[nies1,dies1]=minreal(nies1,dies1);
m=dstep(nies1,dies1,N); plot(t,m,'c');
title('EROAREA-W, IESIREA-C, COMANDA-Y pentru V=1(t)');
grid;
hold off;
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 200
Fig. 4.9. Rspunsul la referint treapt al unui SRA cu timp mort, obtinut prin apelarea functiei stepsran(1,80,16,8,5,81)
Fig. 4.10. Rspunsul la perturbatie treapt al unui SRA cu timp mort, obtinut prin apelarea functiei stepsran(1,80,16,8,5,81)
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 201
4.6. STABILITATEA SISTEMELOR DISCRETE
Cunoasterea functiilor de transfer n z ale unui sistem cu esantionare este deosebit de util n analiza stabilittii sistemului. Studiul stabilitattii sistemelor cu esantionare se face cu ajutorul teoremei de stabilitate (extern) a sistemelor cu esantionare, care are urmtorul enunt: Un sistem monovariabil cu esantionare este extern strict stabil dac si numai dac toti polii functiei de transfer H(z) a sistemului au modulul subunitar, adic sunt situati n interiorul cercului unitar (de raz 1) cu centrul n origine. Vom demonstra aceast teorem n cazul particular n care polinomul polilor sistemului are numai rdcini simple, adic
p(z) = (zp1)(z p 2) ... (z pn). (107)
Din forma descompus a functiei de transfer
H(z) = 1
1pz
a
+
2
2pz
a
+ ... +
az p
n
n = z1(
11
1
1 zpa
+ 1
2
2
1 zpa
+ ... + 11 zp
a
n
n ) ,
se obtine functia pondere
h(kT) = a1p1k1 + a2p2k1 + ... + anpnk1 , kN. (108)
De aici reiese c sistemul este extern strict stabil, adic f
1)(
kkTh < f, dac si numai dac
pi
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 202
Rspuns. a) In conformitate cu (94), avem )(
)()(
z
zHHHzY
IREPP
. Din
)(zHHH IREP Z[HP(s)HE(s)HR(s)s
1] Z[
1)(102
1
ss]
2
1Z[
1+10
101
ss ]
2
1 [11
1 z
110/1
1 ze T
]2
1 [11
1 z
134
4 z
])34)(1(2 11
1
zz
z ,
)(0 zHHHH REP (1z1)Z[
s
1HP(s)HE(s)HR(s)]
)34(2 1
1
z
z ,
P(z) 1+ z1 )(0 zHHHH REP )34(2
11
2
z
z
)34(2
)4)(2(1
11
z
zz ,
obtinem
Y(z)
)34(2
)4)(2(
)z34)(z1(2
z
1
11
11
1
z
zz ))(4)(2(1 111
1
zzzz
)3(1
11
z 12
1
z )3(4
21
z
.
Rezult
y(kT) = 3
11+2
1k
k46
1
, k = 0, 1, 2, ...
b) Tinnd seama de (94), avem
)(
)()(
z
zVzY
P
)34(2
)4)(2(z1
1
1
11
1
z
zz
))(4)(2(1
)34(2111
1
zzz
z
)3(1
21z 12
2
z )3(4
81
z
,
deci
y(kT) = 3
2k2
1k43
2
, k = 0, 1, 2, ...
c) In conformitate cu (99) si (100), avem:
)(
)()( 00
z
zHHHHzH REPyi
P
)34(2
)4)(2(
)z34(2
z
1
11
1
1
z
zz )4)(2(
z11
1
zz,
)(0 zHei)(
1)(0
zzH yv
P
)4)(2(
)34(211
1
zz
z,
)()(
10
z
zzHev
P
)4)(2(
)34(211
21
zz
zz.
Aplicatia 4.4. S se analizeze stabilitatea sistemului de reglare cu msurare esantionat de la
aplicatia anterioar, considernd acum HR(s)=Kp, KpR.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 203
Rspuns. Formm ecuatia polilor P(z) 0, unde
P(z) 1+ z1 )(0 zHHHH REP 1 + z1
)34(4 1
1
z
zK p.
Obtinem polinomul polilor
p(z) = 16z2 12z + Kp ,
apoi formm ecuatia p(1
1
s
s) = 0, care are forma
(4+Kp)s2 + 2(16 Kp)s + Kp + 28 = 0 .
Rdcinile acestei ecuatii au partea real negativ atunci cnd coeficientii trinomului de gradul doi n s
din stnga semnului egal sunt strict pozitivi, adic atunci cnd Kp(4, 16). In acest caz sistemul este extern strict stabil, iar pentru Kp(f, 4)(16, f ) este instabil.
Aplicatia 4.5. Se consider sistemul de reglare numeric din figura 4.2, n care
T = 2,77 sec., HR(z) =2
1 , HE(s) =1 , HP(s) =
14
1
s , HT(s) = 1.
a) S se afle rspunsul indicial e(t) pentru i=1(t);
b) S se determine functiile de transfer ale discretizatului sistemului.
Rspuns. a) Utilizm relatia E(z) Hei(z)I(z), unde Hei(z) )(
1
zP. Avem
)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1+(1z1
)Z2
1]
1)(4
1[
ss 1
2
1 1 z Z [1+4
41
ss ]
12
1 1 z [11
1z
14/1
1 ze T
] = 12
1 1 z [11
1z
12
2 z
] =)(22
41
1
z
z ,
deci
E(z) = 1
1
4
)(22
z
z 11 z 1
=1
3(
11
2 z 14
4
z
) ,
si
e(t) = 1
3(2 + T/t4 ) , e(kT) =
1
3(2 + k4 ) .
b) In conformitate cu (106), avem:
)(
)()( 00
z
zHHzH Tev
P
)2(2
4
1
1
1
z
z 1
1
4
)2(2
z
z,
)(
)(()(1)( 000
z
zHHz)HzHHHzH TREPyv
P
)(
1
zP=
1
1
4
)2(2
z
z .
Aplicatia 4.6. S se studieze stabilitatea sistemului de reglare numeric precedent (de la aplicatia
4.5), n conditiile mai generale T>0 si HR(z)=Kp, Kp >0.
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 204
Rspuns. Formm ecuatia polilor P(z) 0, unde )()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P . Avem
P(z) 1+(1z1)Z pKss
]
1)(4
1[ 1 )1( 1zKp [ 11
1z
11
1 pz
] pz
KKpz pp
)1(
,
unde p 4/Te . Sistemul de reglare are un singur pol, anume z1= p(Kp +1)Kp. Sistemul este extern strict
stabil n cazurile: a) Kpd1; b) Kp >1 si T < 41
1ln
p
p
K
K.
Aplicatia 4.7. Se consider sistemul de reglare numeric din figura 4.2, n care
T = 2,77 sec., HR(z) = Kp , HE(s) =5 , HP(s) =s5
1 , HT(s) =
14
1
s .
a) S se studieze stabilitatea sistemului;
b) S se determine functiile de transfer ale discretizatului sistemului.
Rspuns. a) Avem
)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1 )1( 1zKp Z ]1)(41
[2 ss
)1(1 1zKp Z [ 1+41641
2 sss ]
)1(1 1zKp [ 211
)(1
zzT
11
4z
+14/1
4 ze T
] 1 + Kp[ 11
1
zzT 4 1
1
2
)1(8
z
z]
2121
32
1)(1,233)1,54(2
zz
zKzK pp
Obtinem polinomul polilor
p(z) 2z2 4Kpz 1,23Kp 1,
apoi formm ecuatia p(1
1
s
s) 0, care are forma
2,77Kp s2 + 2(11,23Kp s +60,31Kp 0 .
Rdcinile acestei ecuatii au partea real negativ, si deci sistemul este extern strict stabil, atunci cnd
coeficientii trinomului de gradul doi n s sunt strict pozitivi, adic atunci cnd Kp(0; 0,813). b) Vom utiliza formulele
)(
)()( 00
z
zHHzH Tev
P
,)(
)(()(1)( 000
z
zHHz)HzHHHzH TREPyv
P
.
Avem
)(0 zHHT (1z1)Z ]
1)(4
1[
ss=
)2)(1()1(
11
11
zz
zz 1
1
2
zz
,
de unde rezult
21
210
1)(1,233)1,54(2)(
zKzK
zzzH
ppev
Mai departe, avem
SISTEME DE REGLARE CU ESANTIONARE 205
)(0 zHHH EP (1z1)Z ]
1[
2s=
21
11
)(1)(1
z
zTz =
1
1
1
zzT
=1
1
1
77,2
zz
,
si deci
)(
1)(()(1)( 00
0
zzHHz)HzHHHzH TREPyv
P
1
1
1
77,2
zz
Kp 1
1
2
zz
21
11
1)(1,233)(1,542
)2)(1(
zKzK
zz
pp
21
21
1)(1,233)(1,542
)1,541(3)(1,542
zKzK
zKzK
pp
pp
Aplicatia 4.8. S se calculeze rspunsul indicial y(t) pentru i 1(t) al unui sistem de reglare numeric cu timp mort, caracterizat prin
HR(z) 1, HP(s) s
s
4
e, HE(s) 1, HT(s) 1
si perioada de esantionare T 1 sec.
Rspuns. Avem
Y(z) )()(
)()(0 zz
zHzHHHIREP
P,
)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1 +
4
1 1zZ ]
e[
2
s
s
1 +
4
1 1z21
2
)(1
zTz
)4(1
)2(1
21
z
z ,
)(0 zHHH EP )(0 zHHHH EPT )(14 1
2
zz
,
Y(z)
)4(1
)2(
)z4(1
z
1
21
1
2
z
z
1
1 z 1
211
2
))(2(1
zzz
11
1 z 21)(2
4
z
11
1 z 21])(2[1
1
z
.
Tinnd seama de relatia Z [T
t+ 1]
21)(1
1
z si de proprietatea nmultirii (cu o constant) n complex,
obtinem
y(t) 1 (T
t+1) T/t2 1(t+1) t2 , tN.
Aplicatia 4.9. S se analizeze stabilitatea sistemului de reglare numeric cu timp mort de la
aplicatia 4.8, considernd perioada de esantionare T arbitrar pozitiv si HR(z) Kp , Kp >0.
Rspuns. Din
)()(1)( 0 zHzHHHHz REPT P 1 + )4(1 1
2
zTzKp
,
obtinem polinomul polilor p(z) = 4z2 4z + KpT si ecuatia asociat a polilor n s
KpT s2 + 2(4KpT)s + 8 + KpT 0 ,
de unde rezult c sistemul este strict stabil atunci cnd KpT< 4.