Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial euclidian orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor unui plan euclidian

Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu liniar euclidian 3 dimensional orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor spatiului euclidian trei dimensional

Curs 5Clasicarea izometriilor planului E2 si spatiului E3

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Curs 5

1 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial

euclidian orientat (recapitulare)

2 Clasicarea izometriilor unui plan euclidian

3 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu liniar

euclidian 3 dimensional orientat (recapitulare)

4 Clasicarea izometriilor spatiului euclidian trei dimensional

Clasicarea aplicatiilor ortogonale ale lui(−→E 2, <,>

)

Fie E2 =(E ,−→E ,Φ

)un plan euclidian orientat. Dorim sa clasicam

izometriile sale.

Fie f : E → E o izometrie. In cursul anterior am demonstrat ca feste un morsm an cu aplicatia liniara asociata ortogonala−→f ∈ O(

−→E ). De aceea consideram utila pentru intelegerea

izometriilor planului o recapitulare a clasicarii aplicatiilor

ortogonale ale lui−→E 2.

Amintim ca valorile proprii ale oricarei aplicatii ortogonale ale unui

spatiu liniar euclidian V sunt ±1.

Transformarile ortogonale de specia I

Fie B =i , jo baza ortonormata pozitiva in

−→E . Deoarece

−→f este

ortogonala, rezulta ca ea pastreaza norma vectorilor si unghiul

dintre vectori, deci−→f (i),

−→f (j)

este tot o baza ortonormata in

−→E .(1) Daca B ′ =

−→f (i),

−→f (j)

este o baza ortonormata pozitiva,

demonstram ca matricea lui−→f in raport cu baza B este

A =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)∈ SO(2), θ = ]o

(i ,−→f (i)

)si ca

−→f este Rθ, rotatia geometrica de unghi orientat θ.

Aplicatii ortogonale de specia a II-a

(2) Daca Daca B ′ =−→f (i),

−→f (j)

este o baza negativa, demonstram

ca matricea lui−→f in raport cu baza B este

A =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

), θ = ]o

(i ,−→f (i)

)si ca

−→f este simetria ortogonala a spatiului liniar euclidian orientat

−→E

fata de U(1), subspatiul liniar al vectorilor proprii ai lui−→f corespunzatori

valorii proprii +1.

In concluzie:

orice transformare ortogonala de specia I a planului vectorial

euclidian orientat−→E este o rotatie Rθ :

−→E →

−→E , cu cazul

particular Id−→E;

orice transformare ortogonala de specia a II-a a planului

vectorial euclidian orientat−→E este simetria ortogonala fata de

u, cu u vector propriu corespunzator valorii proprii +1.

Clasicarea izometriilor unui plan euclidian

Fie f : E → E o izometrie a planului euclidian orientat E si

R =O; i , j

un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .

Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial

X ′ = AX + B,

unde X =

(xy

)sunt coordonatele unuie punct arbitrar P in

raport cu R, X ′ =

(x ′

y ′

)sunt coordonatele lui f (P) in raport cu

R, A ∈ O(2) si B =

(b1b2

).

Translatia

Incepem cu deplasarile, adica izometriile cu−→f aplicatii ortogonale

de specia I.

(A) Daca−→f = Id−→

E⇔ A = I2, atunci f este translatia de vector

b = b1 i + b2 j .Ecuatiile translatiei tb in raport cu R sunt

x ′ = x + b1,

y ′ = y + b2.

Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0⇔f = IdE .

Rotatia de centru Ω si unghi orientat θ

(B) Daca−→f = Rθ este rotatia lui

−→E de unghi orientat θ 6= 0,

atunci matricea lui−→f in raport cu baza

i , jeste

A =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

), deci ecuatiile lui f sunt:

x ′ = x cos θ − y sin θ + b1,

y ′ = x sin θ + y cos θ + b2.

Studiem punctele xe ale acestei izometrii. Punand conditiile x ′ = x si

y ′ = y rezulta

(1− cos θ)x + (sin θ)y = b1,

−(sin θ)x + (1− cos θ)y = b2.Determinantul matricii

sistemului este 2(1− cos θ) 6= 0 pentru θ 6= 0. Deci sistemul are solutie

unica (x0, y0). Rezulta

(1− cos θ)x0 + (sin θ)y0 = b1,

−(sin θ)x0 + (1− cos θ)y0 = b2.

Deci ecuatiile lui f suntx ′ = (x − x0) cos θ − (y − y0) sin θ + x0,

y ′ = (x − x0) sin θ + (y − y0) cos θ + y0,

sau, matricial

X ′ = A (X − X0) + X0,

unde X0 e matricea coloana a coordonatelor punctului x. Notam

acest punct x cu Ω.

Izometria obtinuta se numeste rotatia de centru Ω si unghi

orientat θ.

Simetria centrala

Observam ca rotatia de centru Ω si unghi π coincide cu simetria

fata de punctul Ω:

SΩ = RΩ,π.

Daca Ω(x0, y0) in raport cu reperul R, rezulta ca ecuatiile simetriei

centrale SΩ sunt x ′ = 2x0 − x ,

y ′ = 2y0 − y .

Antideplasarile planului euclidian

(C) Daca−→f = Su este simetria ortogonala a lui

−→E fata de u, cu

−→f (u) = u , este mai usor sa lucram cu baza u, v, unde−→f (v) = −v . Deci matricea lui

−→f in raport cu baza u, v este

A′ =

(1 0

0 −1

).

In raport cu reperul R′ = O; u, v, obtinut din R printr-o rotatie

de unghi θ2, ecuatiile izometriei f sunt:

x ′ = x + b1,

y ′ = −y + b2.

Mentionam ca, pentru simplitatea scrierii, am notat coordonatele

punctelor in raport cu noul reper in acelasi mod.

Simetria ortogonala axiala

Studiem punctele xe ale lui f . Observam ca x ′ = x si y ′ = y daca

si numai daca

b1 = 0,

y = b22.

(C1) Daca b1 = 0 izometria f are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = x ,

y ′ = −y + b2.

In acest caz dreapta d de ecuatie y = b22

(in raport cu R′) este xa

punct cu punct.

Deci f = Sd este simetria ortogonala a planului E2 fata de

dreapta d .

Remarcam ca directia dreptei d este un vector propriu al lui−→f

corespunzator valorii proprii +1.

Simetria alunecata

(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Observam ca

f = tw Sd este compunerea dintre simetria ortogonala fata de

dreapta d si translatia de vector w = b1u ∈−→d :

(x , y) Sd−−→ (x ,−y + b2) tw−−→ (x + b1,−y + b2)

In literatura de specialitate in limba romana nu exista o denumire

consacrata pentru aceasta izometrie, dar o putem numi simetrie

alunecata (in engleza: glide reexion).

Ecuatiile simetriei ortogonale axiale in raport cu RDe obicei dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale a planului

E2 fata de o dreapta d care are in raport cu un reper ortonormat

R =O; i , j

ecuatia generala

ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0.

Deducem ca N(a, b) este un vector normal dreptei d .

Daca P(x , y) si Sd(P) = P ′(x ′, y ′), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si

1

2P + 1

2P ′ ∈ d , obtinem

x ′ − x

a=

y ′ − y

ba

2

(x + x ′

)+

b

2

(y + y ′

)+ c = 0.

Din aceste conditii rezulta

Sd :

x ′ = x − 2a(ax+by+c)

a2+b2,

y ′ = y − 2b(ax+by+c)a2+b2

.

Concluzie

Am obtinut urmatoarea clasicare a izometriilor unui plan euclidian

orientat:

deplasarile:

translatia de vector arotatia de centru Ω si unghi orientat θ

antideplasarile:

simetria ortogonala fata de o dreapta dcompunerea dintre simetria ortogonala fata de o dreapta d si otranslatie de vector cu aceeasi directie cu dreapta d

Concluzie

Clasicarea transformarilor ortogonale ale lui(−→E 3, <,>

)

Pentru a studia izometriile unui spatiu an euclidian 3-dimensional

incepem cu clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu

liniar euclidian orientat de dimensiune trei.

Fie−→f :−→E 3 →

−→E 3 o aplicatie ortogonala arbitrara.

Vom face clasicarea in functie de dimensiunea spatiului liniar al

vectorilor proprii ai lui−→f corespunzatori valorii proprii +1.

Notam cu U := U(1) =u ∈−→E |

−→f (u) = u

.

(1) Daca dimU = 3 rezulta ca orice vector nenul al lui−→E este

vector propriu corespunzator valorii proprii +1, deci−→f (u) = u, ∀u ∈

−→E . Rezulta ca

−→f = Id−→

E.

(2) Presupunem ca dimU = 2.

Fie u1, u2 o baza ortonormata a lui U si v ∈ U⊥ un vector unitar

‖ v ‖= 1. Altfel spus U⊥ = [v ].

Demonstram ca v este vector propriu al lui−→f corespunzator valorii

proprii −1, apoi consideram baza ortonormata B = v , u1, u2.Matricea lui

−→f in raport cu baza B este

A =

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

Rezulta ca

−→f este simetria ortogonala a lui

−→E fata de U. .

(3) Presupunem ca dimU = 1.

Fie u un vector unitar al lui U si v1, v2 o baza ortonormata in

U⊥. Deoarece dimU⊥ = 2 si restrictia aplicatiei−→f la U⊥ este tot

ortogonala, rezulta din clasicarea transformarilor ortogonale ale

unui plan vectorial euclidian ca−→f |U⊥ este IdU⊥ , o rotatie a lui U⊥

sau o simetrie ortogonala a lui U⊥ fata de un vector. Daca−→f |U⊥

ar aplicatia identica sau o simetrie ortogonala, atunci ea ar

admite vectori proprii corespunzatori valorii proprii +1, imposibil

deoarece dimU = 1.

Deci−→f |U⊥ e o rotatie (de unghi θ) si matricea lui

−→f in raport cu

baza ortonormata u, v1, v2 este 1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

.

Am obtinut astfel ca−→f este rotatia lui

−→E in jurul lui u de unghi θ.

Observam ca rotatia in jurul lui u de unghi π este simetria

ortogonala fata de u: Ru,π = Su.

(4) Daca dimU = 0, rezulta ca−→f nu are vectori prorii

corespunzatori valorii proprii +1. Cum polinomul caracteristic al lui−→f este un polinom de grad trei cu coecienti reali, el are cel putin

o radacina reala. Deoarece singurele valori proprii ale aplicatiilor

ortogonale sunt ±1, rezulta ca −1 e valoare proprie a lui−→f .

Fie v un vector propriu unitar corespunzator valorii proprii −1,−→f (v) = −v si W = [v ]⊥. Fie w1, w2 o baza ortonormata in W .

Se demonstreaza in mod analog ca restrictia lui−→f la W este o

rotatie, deci matricea lui−→f in raport cu baza v , w1, w2 este −1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

=

1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

deci−→f = Rv ,θ SW . Am obtinut astfel o compunere dintre

simetria ortogonala fata de W si o rotatie in jurul lui v , v ⊥W .

Concluzie

Deci aplicatiile ortogonale ale lui−→E 3 sunt:

de specia I:

Id−→E

Ru,θ rotatia in jurul unui vector nenul u, de unghi orientat θ

de specia a II-a:

simetria ortogonala SU fata de un plan vectorial URv ,θ SW , cu W un plan vectorial si v ⊥W

Clasicarea izometriilor spatiului euclidian orientat E3

Fie f : E → E o izometrie a spatiului euclidian orientat E si

R =O; i , j , k

un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .

Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial

X ′ = AX + B,

unde X =

xyz

sunt coordonatele unui punct arbitrar P in

raport cu R, X ′ =

x ′

y ′

z ′

sunt coordonatele lui f (P) in raport cu

R, A ∈ O(3) si B =

b1b2b3

.

Translatia

(A) Daca−→f = Id−→

E⇔ A = I3 rezulta ca f = tb, unde

b = b1 i + b2 j + b3k . Ecuatiile translatiei in raport cu R sunt:x ′ = x + b1,

y ′ = y + b2,

z ′ = z + b3.

Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0.

(B) Daca exista o baza ortonormata v , u1, u2 in raport cu care

matricea aplicatiei liniare asociate sa e

A′ =

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

atunci−→f este simetria ortogonala in raport cu U = [u1, u2] si

ecuatiile lui f in raport cu R′ = O; v , u1, u2 sunt x ′

y ′

z ′

=

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

xyz

+

b1b2b3

⇔x ′ = −x + b1,

y ′ = y + b2,

z ′ = z + b3.

Simetria ortogonala fata de un plan

Punctul P(x , y , z) este punct x al lui f daca si numai dacax = b1

2,

b2 = 0,

b3 = 0.

(B1) Daca b2 = b3 = 0, atunci toate punctele planului π ce are in

raport cu R′ ecuatia x = b12

sunt xe pentru f . In acest caz f este

simetria ortogonala fata de π si are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = −x + b1,

y ′ = y ,

z ′ = z .

Observam ca −→π este subspatiul vectorilor proprii ai lui A′

corespunzatori valorii proprii +1.

Simetria alunecata

(B2) Daca b2 6= 0 sau b3 6= 0, atunci izometria f este compunerea

dintre o simetrie ortogonala fata de un plan π si o translatie de

vector a ∈ −→π . Mai exact f = ta Sπ, a = b2u1 + b3u2, unde

Sπ :

x ′ = −x + b1,

y ′ = y ,

z ′ = z ,

ta :

x ′′ = x ′,

y ′′ = y ′ + b2,

z ′′ = z ′ + b3.

In acest caz f nu are puncte xe. Putem sa numim aceasta

izometrie simetrie ortogonala alunecata.

Daca dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale Sπ in raport cu

un reper ortonormat arbitrar R, atunci cand se da ecuatia generala

a lui π, procedam astfel.

Presupunem ca planul are ecuatia π : ax + by + cz + d = 0.

Rezulta ca un vector normal lui −→π este N(a, b, c). Daca P(x , y , z)

si Sπ(P) = P ′(x ′, y ′, z ′), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si

1

2P + 1

2P ′ ∈ π, obtinem

x ′ − x

a=

y ′ − y

b=

z ′ − z

c,

a

2

(x + x ′

)+

b

2

(y + y ′

)+

c

2

(z + z ′

)+ d = 0.

Din aceste conditii rezulta

Sπ :

x ′ = x − 2a(ax+by+cz+d)

a2+b2+c2,

y ′ = y − 2b(ax+by+cz+d)a2+b2+c2

,

z ′ = z − 2c(ax+by+cz+d)a2+b2+c2

.

(C) Daca exista o baza ortonormata u, v1, v2 in raport cu care

matricea aplicatiei liniare asociate sa e

A′ =

1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

, θ 6= 0,

atunci ecuatiile izometriei f in raport cu R′ = O; u, v1, v2 suntx ′ = x + b1,

y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,

z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.

Rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat θPunctul P(x , y , z) este x pentru f daca si numai daca

b1 = 0,

y cos θ − z sin θ + b2 = y ,

y sin θ + z cos θ + b3 = z .

Sistemul format din ultimele doua ecuatii are solutie unica, e aceasta(y0, z0) (sunt coordonatele centrului unei rotatii de unghi θ din planulO + [v1, v2]).(C1) Daca b1 = 0 observam ca orice punct care in raport cu R′ arecoordonatele P(x , y0, z0) este x pentru f . Deci f are o dreapta depuncte xe, avand directia u, care este un vector propriu al lui A′

corespunzator valorii proprii +1.Izometria f este in acest caz rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat

θ, notata Rd,θ. Ecuatiile lui d sunt

y = y0,

z = z0.

Ecuatiile rotatiei Rd,θ suntx ′ = x ,

y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,

z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.

Simetria ortogonala axiala

Observam ca rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat π este

simetria ortogonala fata de dreapta d . In raport cu R′ ea are

ecuatiile x ′ = x ,

y ′ = −y + b2,

z ′ = −z + b3,

matricea aplicatiei liniare asociate in raport cu baza u, v1, v2 ind 1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

.

Rototranslatia (miscare elicoidala)

(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Ea se poate scrie

sub forma ta Rd ,θ, cu a = b1u ∈−→d , deci este compunerea intre o

rotatie in jurul unei drepte d , de unghi θ si o translatie de vector

paralel cu d :

Rd ,θ :

x ′ = x ,

y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,

z ′ = y sin θ + z cos θ + b3,

ta :

x ′′ = x ′ + b1,

y ′′ = y ′,

z ′′ = z ′.

Numim o astfel de izometrie rototranslatie sau deplasare elicoidala.

Rotosimetria (simetrie rotativa)

(D) Daca exista o baza ortonormata v , w1, w2 in raport cu care

matricea aplicatiei liniare asociate sa e

A′ =

−1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

, θ 6= 0,

atunci ecuatiile lui f in raport cu R′ = O; v , w1, w2 suntx ′ = −x + b1,

y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,

z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.

Aceasta izometrie are un singur punct x, care are in raport cu R′coordonatele P(b1

2, y0, z0), cu (y0, z0) centrul rotatiei din planul

O + [w1, w2] data de ultimele doua ecuatii ale sistemului de mai sus.

Aceasta izometrie este f = Rδ,θ Sπ, deci compunerea dintre o

simetrie ortogonala fata de un plan π de ecuatie x = b12

(−→π = [w1, w2]) si o rotatie in jurul unei drepte δ, (−→δ = [v ]) de

unghi θ, cu δ ⊥ π:

Sπ :

x ′ = −x + b1,

y ′ = y ,

z ′ = z ,

Rδ,θ :

x ′′ = x ′,

y ′′ = y ′ cos θ − z ′ sin θ + b2,

z ′′ = y ′ sin θ + z ′ cos θ + b3.

Numim aceasta izometrie o rotosimetrie.

In cazul in care unghiul rotatiei este π obtinem simetria fata de

punctul de intersectie dintre plan si dreapta.

Concluzie

Am obtinut astfel urmatoarele izometrii ale lui E3:deplasari:

translatiarotatia in jurul unei drepte d , de unghi orientat θ, cu cazulparticular θ = π cand obtinem simetria ortogonala fata dedreapta d

rototranslatia (miscare elicoidala): ta Rd,θ, a ∈−→d

antideplasari:

simetria ortogonala fata de un plan Sπsimetria alunecata ta Sπ, a ∈ −→πrotosimetria Rδ,θ Sπ, δ ⊥ π