CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT”, EDIŢIA a X-a 31.05.2013

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT” Nume elev: …………..………………

CLASA a VIII-a, 31.05.2013, EDIŢIA a X-a Şcoala: …………………………….

Profesor:…………………………........

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.

Timpul de lucru pentru toate cele 4 subiecte este de 3 ore.

Scrie rezolvarea detaliată a fiecărui subiect.

SUBIECTUL I – 7 puncte

Arătați că dacă *, ,a b c astfel încât 3

3

a bc

ac b

atunci c .

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT”, EDIŢIA a X-a 31.05.2013

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT” Nume elev: …………..………………

CLASA a VIII-a, 31.05.2013, EDIŢIA a X-a Şcoala: …………………………….

Profesor:…………………………........

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.

Timpul de lucru pentru toate cele 4 subiecte este de 3 ore.

Scrie rezolvarea detaliată a fiecărui subiect.

SUBIECTUL II – 7 puncte

Arătați că ecuația ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x a x b x b x c x c x a are o singură soluție reală

dacă și numai dacă a b c .

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT”, EDIŢIA a X-a 31.05.2013

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT” Nume elev: …………..………………

CLASA a VIII-a, 31.05.2013, EDIŢIA a X-a Şcoala: …………………………….

Profesor:…………………………........

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.

Timpul de lucru pentru toate cele 4 subiecte este de 3 ore.

Scrie rezolvarea detaliată a fiecărui subiect.

SUBIECTUL III – 7 puncte

a) Arătați că sunt necesare şi suficiente următoarele condiții ca să existe un triunghi cu

lungimile înălţimilor *, ,x y z :

xz yz xy

yx zx yz

zy xy zx

b) Să se afle laturile şi aria unui triunghi în funcţie de lungimile *, ,x y z ale înălţimilor

sale.

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT”, EDIŢIA a X-a 31.05.2013

CONCURSUL NAŢIONAL „ MATHEMATIKA - OLT” Nume elev: …………..………………

CLASA a VIII-a, 31.05.2013, EDIŢIA a X-a Şcoala: …………………………….

Profesor:…………………………........

NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii.

Timpul de lucru pentru toate cele 4 subiecte este de 3 ore.

Scrie rezolvarea detaliată a fiecărui subiect.

SUBIECTUL IV – 7 puncte

Fie ABCDA’B’C’D’ un trunchi de piramidă patrulateră regulată. Un plan paralel cu bazele intersectează muchiile laterale AA’, BB’, CC’ și DD’ în punctele M, N, P, respectiv Q.

Notăm cu L, l și t lungimile laturilor pătratelor ABCD, A’B’C’D’ și respectiv MNPQ. Dacă

volumele trunchiurilor de piramidă ABCDMNPQ și MNPQA’B’C’D’ sunt egale, să se

demonstreze că

3 33

2

L lt

.