Post on 16-Oct-2015
5/26/2018 Concursul de Matematic Traian Lalescu-201 1
1/2
Concursul de matematic Traian Lalescu, etapa local, U.T.C.B.
16-04-2011
1) Fie funcia ( ) 3 3: , , 25F F x y x y xy = + .
a) Artai c ecuaia ( ), 0F x y = definete implicit ntr-o ecintate a punctului ( )1,3M pe y ca funcie de x .
!) "alculai ( )1y i ( )1y! i artai c 1x = e#te punct de e$trem local pentru ( )y y x= .
c) Fie #eria de funcii ( )1
1,0 2 1
n
n
F xn
=
+
. %#ii mulimea de coner&ent a #eriei.
2) Fie inte&rala
( )
22 1
2 10 co# ,
n
nI x dx n
+
+ = .
a) ' #e arate c 2 1 2 12
, 12 1
n n
nI I n
n+ = +
i # #e calcule(e 2011I .
!) ' #e calcule(e 2 1nI + .
c) ' #e calcule(e ( )1
2
1
1 ,n
nJ x dx n
= .
3) Fie ( ) ( )3 3: , , , 3 2 , 3 2 , 2 2T T x y z x y z x y z x y = + + + + i A matricea a#ociat lui
T n raport cu !a(a canonic a lui 3 .
a) ' #e dia&onali(e(e matricea A i # #e determine o !a( ortonormat { }1 2 3, ,f f f n raport
cu care #e face dia&onali(area.
!) ' #e ea#c coordonatele ectorului ( )1,1,1u= n raport cu !a(a { }1 2 3, ,f f f .
c) ' #e calcule(e ( ) 3* , , 2.n
A I n n
*) Fie dreapta ( )d de ecuaii2 2
3 2 1
x y z+ = = i punctul ( )3,0,1M .
a) ' #e determine coordonatele lui N = #imetricul lui M fa de dreapta ( )d .!) ' #e cercete(e dac dreptele de ecuaii
( )11
:1
y xd
z x
= =
( )23 +
:2
y xd
z x
= =
#unt concurente.
c) ' #e #crie ecuaiile dreptei care trece prin M i #e #priin pe dreptele ( )1d i ( )2d .
5/26/2018 Concursul de Matematic Traian Lalescu-201 1
2/2